Universidade Federal do Rio Grande

Escola de Engenharia - Curso de Engenharia Civil

Disciplina de Resistência dos Materiais

Prof. Mauro de Vasconcelos Real

Aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais e

do Teorema de Castigliano

Kadan Griebeler – 42643

Ana Paula Ribeiro – 42667

Ariadne Bassani Maciel – 42640

Alice Tavares da Silva – 42653

Alexandra Damas – 42626

Rio Grande

2010

2

Universidade Federal do Rio Grande

Escola de Engenharia - Curso de Engenharia Civil

Disciplina de Resistência dos Materiais

Prof. Mauro de Vasconcelos Real

Aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais e

do Teorema de Castigliano

Trabalho apresentado à disciplina de

Resistência dos Materiais, ministrada

pelo Prof. Dr. Mauro de Vasconcelos

Real, para obtenção parcial de nota no

curso de graduação em Engenharia

Civil.

Kadan Griebeler – 42643

Ana Paula Ribeiro – 42667

Ariadne Bassani Maciel – 42640

Alice Tavares da Silva – 42653

Alexandra Damas – 42626

Rio Grande

2010

3

Sumário

Introdução .......................................................................................................... 4

Princípio do Trabalho Virtual .............................................................................. 5

Princípio dos trabalhos virtuais para treliças ...................................................... 6

Exemplo de aplicação do princípio dos trabalhos virtuais para treliças .............. 7

Teorema de Castigliano para vigas .................................................................. 26

Exemplo de aplicação do Teorema de Castigliano .......................................... 27

Conclusão ........................................................................................................ 30

III

4

Introdução

Neste trabalho explicaremos e aplicaremos dois métodos de energia

para obtenção do deslocamento de um ponto específico em uma estrutura.

Analisaremos a deflexão de um ponto numa treliça através do Princípio dos

Trabalhos Virtuais e a deflexão de um ponto numa viga através do Teorema de

Castigliano.

5

Princípio do Trabalho Virtual

O princípio do trabalho virtual baseia-se na conservação de energia.

Para o caso em que as forças internas e externas de um corpo estão

relacionadas através das equações de equilíbrio, a conservação de energia diz

que:

ie UU (1)

uP (2)

Sendo P e Δ as forças e deslocamentos externos, e u e δ as forças e

deslocamentos internos, respectivamente.

Em um corpo no qual se quer achar o deslocamento realizado em um

ponto por um conjunto de forças, é possível substituir as forças reais por

apenas uma carga unitária virtual, que atua no ponto e na direção do

deslocamento. Da mesma forma que as cargas reais externas criam forças

internas, esta carga unitária virtual criará uma força virtual interna em um

elemento do corpo aparecendo assim trabalho virtual externo e interno. Pode-

se então relacionar as cargas virtuais e os deslocamentos reais através da

equação do trabalho virtual:

dLu1 (3)

Percebe-se que o deslocamento real Δ é facilmente calculado devido à

carga virtual aplicada ser unitária.

De maneira semelhante, o deslocamento por rotação em certo ponto

de um corpo pode ser determinado aplicando-se um momento conjugado

unitário no ponto, utilizando-se a fórmula:

dLu 1 (4)

Trabalho virtual interno

Os termos dLu e dLu das equações acima representam o

trabalho virtual interno desenvolvido no corpo.

No método da força virtual, a carga virtual “total” é aplicada antes que

as forças reais provoquem os deslocamentos e, portanto, o trabalho da carga

virtual interna é simplesmente o produto da carga virtual interna por seu

deslocamento real. A partir disso podemos escrever a equação do trabalho

virtual para um corpo sujeito a carregamento geral como:

dxGJ

tTdx

GA

VFdx

EI

mMdx

AE

nN c1 (5)

6

Princípio dos trabalhos virtuais para treliças

Se aplicarmos uma carga qualquer a treliça e essa provocar somente

força axial nos elementos, só é preciso considerar o trabalho virtual interno

devido à carga axial. Para obtermos o valor de tal trabalho, será preciso

considerar que cada elemento tenha área da seção transversal A constante e

que a carga axial n e a carga real N sejam constantes ao longo de todo o seu

comprimento. Assim, a equação do trabalho virtual para qualquer ponto na

treliça é:

EA

nNL1 (6)

Onde:

1 = carga unitária virtual externa que atua no nó da treliça na direção de

Δ;

Δ = deslocamento do nó, provocado pelas cargas reais sobre a treliça;

n = força virtual interna no elemento da treliça, provocada pela carga

virtual unitária externa;

N = força interna no elemento da treliça, provocada pelas cargas reais;

L = comprimento do elemento;

A = área da seção transversal do elemento;

E = módulo de elasticidade do elemento.

7

Exemplo de aplicação do princípio dos trabalhos virtuais para treliças

Para a treliça isostática mostrada na figura abaixo, 𝑎 = 4m, 𝑏 = 3m, F1

= 50KN, F2 = 50KN, F3 = 50KN. Determinar através do Princípio dos Trabalhos

Virtuais o deslocamento vertical do nó D. Considerar E = 200GPa e que todas

as barras possuem uma área de seção transversal igual a 5000 mm².

Considerando que: 𝑎 = 4 e 𝑏 = 3.

Primeiramente resolvemos a treliça para o carregamento dado.

Utilizando as condições de equilíbrio 0A

ZM , 0G

ZM e 0 yF ,

calculamos as reações descritas abaixo:

𝐴𝑦 = 100𝐾𝑁

𝐺𝑦 = 50𝐾𝑁

Para acharmos os esforços nas barras é necessário obtermos o valor

do ângulo , cujo cálculo é descrito abaixo:

𝜃 = tan−14

3≅ 53,13°

50𝐾𝑁

50𝐾𝑁

50𝐾𝑁

50𝐾𝑁

𝜃

𝑁

𝐴

𝑀 𝐿

𝐵

𝐾 𝐽 𝐼 𝐻

𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺

6𝑏

𝑎

S2 S3 S4 S5 S1

𝜃

8

Os esforços normais de cada barra foram obtidos através do método

das seções de Ritter e do método dos nós. Os cálculos realizados são

apresentados a seguir:

Nó A:

𝑁𝐴𝐵 = 0

𝑁𝐴𝑁 = −100𝐾𝑁

Nó N:

𝑁𝑁𝐵 = 125𝐾𝑁

𝑁𝑁𝑀 = −75𝐾𝑁

Nó B:

𝑁𝐵𝑀 = −100𝐾𝑁

𝑁𝐵𝐶 = 75𝐾𝑁

100𝐾𝑁

𝑁𝐴𝐵

𝑁𝐴𝑁

𝐴

𝑁𝑁𝑀

100𝐾𝑁

𝑁𝑁𝐵

𝑁

𝜃

𝜃

𝑁𝐵𝑀

𝑁𝐵𝐶

125𝐾𝑁

𝑂 𝐵

9

𝑆1:

∑𝑀𝑐 = 0

100 × 6 − 𝑁𝑀𝐿 × 4 − 50 × 3 = 0

𝑁𝑀𝐿 = −112,5𝐾𝑁

𝑆2:

∑𝑀𝐷 = 0

100 × 9 − 50 × 6 − 50 × 3 − 𝑁𝐿𝐾 × 4 = 0

𝑁𝐿𝐾 = −112,5𝐾𝑁

𝑆3:

∑𝑀𝐷 = 0

100 × 9 − 50 × 6 − 50 × 3 − 𝑁𝐾𝐽 × 4 = 0

50𝐾𝑁

S1

𝑁

𝐴

𝑀

𝐵

𝜃

𝜃

100𝐾𝑁

100𝐾𝑁

𝑁

𝜃

𝜃 𝐴

𝑀

𝐵

𝐿

50𝐾𝑁

𝐶

50𝐾𝑁

S2

C D

L K

50KN

B A

N M

50KN 50KN

100KN

S3

θ

θ

10

𝑁𝐾𝐽 = −112,5𝐾𝑁

𝑆4:

∑𝑀𝐸 = 0

100 × 12 − 50 × 3 − 50 × 6 − 50 × 9 − 𝑁𝐼𝐽 × 4 = 0

𝑁𝐼𝐽 = −75𝐾𝑁

𝑆5:

∑𝑀𝐹 = 0

100 × 15 − 50 × 12 − 50 × 9 − 50 × 6 − 𝑁𝐼𝐻 × 4 = 0

𝑁𝐼𝐻 = −37,5𝐾𝑁

𝑆2:

C D

L K

50KN

B A

N M

50KN 50KN

100KN E

J

S4

C D

L K

50KN

B A

N M

50KN 50KN

100KN E

J

F

I

S5

C

L

B A

N M

50KN 50KN

100KN

S2

θ

θ

θ

θ

θ

θ

11

∑𝑀𝐿 = 0

100 × 6 − 50 × 3 − 𝑁𝐶𝐷 × 4 = 0

𝑁𝐶𝐷 = 112,5𝐾𝑁

𝑆3:

∑𝑀𝐽 = 0

100 × 12 − 50 × 9 − 50 × 6 − 50 × 3 − 𝑁𝐷𝐸 × 4 = 0

𝑁𝐷𝐸 = 75𝐾𝑁

𝑆4:

∑𝑀𝐼 = 0

100 × 15 − 50 × 12 − 50 × 9 − 50 × 6 − 𝑁𝐸𝐹 × 4 = 0

𝑁𝐸𝐹 = 37,5𝐾𝑁

C D

L K

B A

N M

100KN

50KN 50KN 50KN S3

L K J

C D

50KN

B A

N M

50KN 50KN

100KN E

S4

θ

θ

θ

θ

12

𝑆5:

∑𝑀𝐻 = 0

100 × 18 − 50 × 15 − 50 × 12 − 50 × 9 − 𝑁𝐹𝐺 × 4 = 0

𝑁𝐹𝐺 = 0

Nó G:

𝑁𝐺𝐻 = −50𝐾𝑁

Nó H:

𝑁𝐻𝐹 = 62,5𝐾𝑁

Nó F:

C D

L K

50KN

B A

N M

50KN 50KN

100KN E

J

F

I

S5

NGH

NFG 50KN

50KN

37,5KN

NHF

37,5KN

NFI 62,5KN

θ

θ

G

H

F

13

𝑁𝐹𝐼 = −50𝐾𝑁

Nó I:

𝑁𝐼𝐸 = 62,5𝐾𝑁

𝑁𝐼𝐽 = −75𝐾𝑁

Nó E:

𝑁𝐽𝐸 = −50𝐾𝑁

Nó J:

𝑁𝐽𝐷 = 62,5𝐾𝑁

Nó K:

37,5KN

50KN

50KN

NIE

NIE 62,5KN

37,5KN 75KN

50KN NJD

112,5KN

50KN

112,5KN NKL

NKD

I

E

J

K

14

𝑁𝐾𝐿 = −112,5𝐾𝑁

𝑁𝐾𝐷 = −50𝐾𝑁

Nó M:

𝑁𝑀𝐶 = 62,5𝐾𝑁

Nó C:

𝑁𝐿𝐶 = −50𝐾𝑁

Nó L:

𝑁𝐿𝐷 = 0

Posteriormente, aplicamos a carga unitária, que deve ser expressa em

KN, no ponto D da treliça e ignoramos o restante do carregamento. Para essas

novas condições, calculamos os esforços na treliça da mesma maneira.

𝐴𝑌 = 0,5𝐾𝑁

75KN

50KN

112,5KN

100KN NMC

NLC

62,5KN

75KN

112,5KN

50KN

112,5KN 112,5KN

50KN NLD

M

C

L

15

𝐵𝑌 = 0,5𝐾𝑁

Nó A:

𝑁𝐴𝐵 = 0

𝑁𝐴𝑁 = −0,5𝐾𝑁

Nó N:

𝜃 = 53,13°

𝑁𝐵𝑁 = 0,625𝐾𝑁

𝑁𝑀𝑁 = −0,375𝐾𝑁

Nó B:

𝑁𝐵𝑀 = −0,5𝐾𝑁

𝑁𝐵𝐶 = 0,375𝐾𝑁

0,5KN

NAB

NAN

NMN

NBN

θ

0,5KN

NBM

NBC 0

0,625KN

A

N

θ

B

16

𝑆1:

∑𝑀𝐶 = 0

0,5 × 6 − 𝑁𝐿𝑀 × 4 = 0

𝑁𝐿𝑀 = −0,75𝐾𝑁

𝑆2:

∑𝑀𝐷 = 0

0,5 × 9 − 𝑁𝐾𝐿 × 4 = 0

𝑁𝐾𝐿 = −1,125𝐾𝑁

𝑆3:

θ

θ

B

A

N M

S1

0,5KN

0,5KN

S2

θ

θ

B

A

N M L

C

0,5KN

S3

θ

θ

B

A

N M L

C 1KN

D

K

17

∑𝑀𝐷 = 0

0,5 × 9 − 𝑁𝐽𝐾 × 4 = 0

𝑁𝐽𝐾 = −1,125𝐾𝑁

𝑆4:

∑𝑀𝐸 = 0

0,5 × 12 − 1 × 3 − 𝑁𝐼𝐽 × 4 = 0

𝑁𝐼𝐽 = −0,75𝐾𝑁

𝑆5:

∑𝑀𝐹 = 0

0,5 × 15 − 1 × 6 − 𝑁𝐻𝐼 × 4 = 0

𝑁𝐻𝐼 = −0,375𝐾𝑁

0,5KN

S4

θ

θ B

A

N M L

C 1KN

D

K

E

J

0,5KN

S5

θ

θ B

A

N M L

C 1KN

D

K

E

J

F

J

18

𝑆2:

∑𝑀𝐿 = 0

0,5 × 6 − 𝑁𝐶𝐷 × 4 = 0

𝑁𝐶𝐷 = 0,75𝐾𝑁

𝑆3:

∑𝑀𝐽 = 0

0,5 × 12 − 1 × 3 − 𝑁𝐷𝐸 × 4 = 0

𝑁𝐷𝐸 = 0,75𝐾𝑁

𝑆4:

0,5KN

θ

θ

B

A

N M L

C

S2

θ

θ

1KN D

K

0,5KN B

A

N M L

C

S3

0,5KN

θ

θ B

A

N M L

C 1KN

D

K

E

J

S4

19

∑𝑀𝐼 = 0

0,5 × 15 − 1 × 6 − 𝑁𝐸𝐹 × 4 = 0

𝑁𝐸𝐹 = 0,375𝐾𝑁

𝑆5:

∑𝑀𝐻 = 0

0,5 × 8 − 1 × 9 − 𝑁𝐹𝐺 × 4 = 0

𝑁𝐹𝐺 = 0

Nó G:

𝑁𝐺𝐻 = −0,5𝐾𝑁

𝑁𝐹𝐺 = 0

Nó H:

𝑁𝐹𝐻 = 0,625𝐾𝑁

0,5KN

S5

θ

θ B

A

N M L

C 1KN

D

K

E

J

F

J

NGH

NFG

0,5KN

0,5KN NFH

0,375KN

G

H

20

Nó F:

𝑁𝐹𝐼 = −0,5𝐾𝑁

Nó I:

𝑁𝐸𝐼 = 0,625𝐾𝑁

Nó E:

𝑁𝐸𝐽 = −0,5𝐾𝑁

Nó J:

𝑁𝐷𝐽 = 0,625𝐾𝑁

NFI

0,375KN

0,625KN

0

NEI 0,5KN

0,375KN 0,75KN

NEJ

0,375KN

0,625KN

0,75KN

0,75KN

0,5KN NDJ

1,125KN

F

I

E

J

21

Nó K:

𝑁𝐷𝐾 = 0

Nó M:

𝑁𝐶𝑀 = 0,625𝐾𝑁

Nó C:

𝑁𝐶𝐿 = −0,5𝐾𝑁

Nó L:

𝑁𝐷𝐿 = 0,625𝐾𝑁

A Tabela1 refere-se aos dados obtidos de esforço normais e

deformações para cada barra. O somatório das deflexões resulta na

deformação no ponto especificado, assim como foi explicado anteriormente.

1,125KN 1,125KN

NDK

0,375KN

0,75KN

0,5KN NCM

NCL

0,375KN

0,625KN

NDL

1,125KN

0,5KN

0,75KN

K

M

C

L

22

Tabela 1 – Barras e seus referentes dados

Barra ÁREA i [m²] E [Pa] L i [m]

ni [N] Ni [N] ni.Ni.Li/E.Ai [m]

AB 0,005 2E+11 3 0 0 0

BC 0,005 2E+11 3 0,375 75 8,4375E-08

CD 0,005 2E+11 3 0,75 112,5 2,53125E-07

DE 0,005 2E+11 3 0,75 75 1,6875E-07

EF 0,005 2E+11 3 0,375 37,5 4,21875E-08

FG 0,005 2E+11 3 0 0 0

GH 0,005 2E+11 4 -0,5 -50 0,0000001

HI 0,005 2E+11 3 -0,375 -37,5 4,21875E-08

IJ 0,005 2E+11 3 -0,75 -75 1,6875E-07

JK 0,005 2E+11 3 -1,125 -112,5 3,79688E-07

KL 0,005 2E+11 3 -1,125 -112,5 3,79688E-07

LM 0,005 2E+11 3 -0,75 -112,5 2,53125E-07

MN 0,005 2E+11 3 -0,375 -75 8,4375E-08

AN 0,005 2E+11 4 -0,5 -100 0,0000002

BN 0,005 2E+11 5 0,625 125 3,90625E-07

BM 0,005 2E+11 4 -0,5 -100 0,0000002

CM 0,005 2E+11 5 0,625 62,5 1,95313E-07

CL 0,005 2E+11 4 -0,5 -50 0,0000001

DL 0,005 2E+11 5 0,625 0 0

DK 0,005 2E+11 4 0 -50 0

DJ 0,005 2E+11 5 0,625 62,5 1,95313E-07

EJ 0,005 2E+11 4 -0,5 -37,5 0,000000075

EI 0,005 2E+11 5 0,625 62,5 1,95313E-07

FI 0,005 2E+11 4 -0,5 -50 0,0000001

FH 0,005 2E+11 5 1,875 62,5 5,85938E-07

∑ 4,19375E-06

Pelo teorema de trabalhos virtuais para treliças (Equação 6) obtemos

como deformação no ponto D o valor de .1019375,4 6 m

O fato de termos encontrado um valor positivo indica que a deformação

ocorre no mesmo sentido da carga unitária aplicada, ou seja, para baixo.

1KN

G A θ

θ

23

Teorema de Castigliano

Alberto Castigliano, em 1879 criou um método capaz de determinar a

inclinação e o deslocamento de dado ponto em um corpo (tendo este

temperatura constante e seu material possuindo comportamento linear-

elástico). O método afirma que o deslocamento de um dado ponto é igual à

primeira derivada parcial da energia de deformação, em relação a um momento

que atua sobre o ponto e na direção do ângulo da inclinação (Equação 1).

j

ii

P

U

(1)

Para que possamos deduzir o referente teorema, consideraremos um

corpo qualquer que está sujeito a uma série de n forças P1, P2. . .Pn. e

consideramos que há conservação de energia no corpo (Equação 2).

ie UU (2)

No entanto, sabe-se que nesse caso o trabalho externo é função das

cargas externas (Equação 3). Analogamente, o trabalho interno também será

função das forças externas (Equação 4).

PdxU e (3)

),...,,( 21 nei PPPfUU (4)

Se qualquer uma das forças, Pj por exemplo, aumentar uma

quantidade infinitesimal dPj, consequentemente o trabalho também aumentará,

transformando a equação da energia escrita a seguir (Equação 5):

j

j

iiii dP

P

UUdUU

(5)

Esse valor independe da sequência na qual as n forças são aplicadas

ao corpo. A partir de um equacionamento, assim como o que será mostrado a

seguir, pode-se comprovar tal afirmação.

24

1. Primeiramente consideraremos a equação de energia de

deformação:

Considerando a área triangular que é equivalente a energia de

deformação, U será então:

nnn PU 2

1 (6)

2. Calcular inicialmente a energia de deformação U de P1 e P2,

lembrando que:

12111 (7)

2121111 PP (8)

Sendo assim, analogamente:

21222

1212222 PP

Relacionando P1 e P2 na Eq. 6 temos:

1212221112

1

2

1 PPPU (9)

Substituindo a Eq.8 na Eq. 9:

2121222211112

1

2

1PPPPPPU

122122

2

211

2

12

1

2

1 PPPPU (10)

Lembrando da Eq. 5, podemos considerar que:

0

1

2

3

0 1 2 3

P

∆

Energia de Deformação

25

212111

1

PPP

U

(11)

Observamos então a igualdade entre as Equações 7, 8 e 11, temos:

11211

1

P

U (12)

Analogamente, se considerarmos a sequência P2 e P1 ao invés de P1 e

P2, temos então:

1221112222

1

2

1PPPPU

212111

2

122

2

22

1

2

1 PPPPU

22122121222

1

PP

P

U

Logo, conclui-se que:

i

iP

U

(13)

Obtendo a Eq. 13 comprovamos o teorema.

26

Teorema de Castigliano para vigas

A energia de deformação interna de uma viga é provocada pela flexão e

pelo cisalhamento. No entanto, como a viga em questão é longa e esbelta, o

cisalhamento acaba sendo desprezível. Sendo assim, a deformação interna da

viga é dada pela Eq. 14. Substituindo a Eq. 14 na Eq.15, temos a Eq. 16.

dxEI

xMU

L

02 )(

2

1 (14)

P

U

(15)

dxP

xM

EI

xML

)()(2

2

1

0

(16)

Onde:

∆ = deslocamento do ponto provocado pelas cargas reais que atuam

sobre a viga;

P = força externa de intensidade variável aplicada à viga na direção de

∆;

M = momento interno da viga, expresso em função de x e provocado

tanto pela força P quanto pelas cargas sobre a viga;

E = módulo de elasticidade do material;

I = momento de inércia da área da seção transversal calculado em

torno do eixo neutro.

Para calcular a inclinação da tangente de certo ponto da linha elástica,

usa-se a relação que diz que a mesma é igual à derivada parcial do momento

interno M. Dessa maneira, obtivemos a Eq.17.

dxM

xM

EI

xML

'

)()(

0

(17)

27

Exemplo de aplicação do Teorema de Castigliano

Para a viga mostrada na figura abaixo, determinar através do Teorema

de Castigliano o deslocamento vertical do ponto C. Considerar 49102 mmI

e GPaE 200 .

Utilizando as condições de equilíbrio 0A

ZM , 0B

ZM e 0 yF ,

calculamos as reações descritas abaixo:

NBy 1000

NAy 800

Através do método das seções obtemos a equação do momento em x

para a viga em análise.

3262002200800)( 32 xxxxM

950100800)( 32 xxxxM

Aplicamos a carga P no ponto C:

B A C

400N/m

200N/m

3m 3m

B A C

400N/m

200N/m

S1

28

Da mesma maneira, encontramos a equação do momento em x para o

novo carregamento.

950100800)( 32 xxxxM

)3(950100800)( 32 xPxxxxM

Derivando a equação acima parcialmente em relação a P:

mxP

M

)3(

Para P=0:

B A C

P

400N/m

200N/m

B A C

P

400N/m

200N/m

B A C

P

400N/m

200N/m

S1

S2

29

950100800)( 32 xxxxM

Considerando 49102 mmI e GPaE 200 , temos:

2943

2

9

10.4,010.210.200

Nmmm

NEI

Com os dados obtidos, aplicamos a equação descrita a seguir para

acharmos a deflexão no ponto especificado.

L

dxEI

mxM

P

U

0

)(

6

0

32

9.3

9

50100800

10.4,0

1dxx

xxx

6

0

32

432

9 3

503002400

9

50100800

10.4,0

1dx

xxx

xxx

6

0

32

4

9 3

25011002400

9

50

10.4,0

1dx

xxx

x

6

0

2345

91200

3

1100

6

125

9

10

10.4,0

1

x

xxx

Encontramos então, um deslocamento no ponto C igual a m710.9 .

30

Conclusão

Concluímos que o método dos trabalhos virtuais e o método do

Teorema de Castigliano fornecem de maneira simples os valores de deflexões

pontuais em treliças e vigas respectivamente. Após a aplicação dos mesmos

percebemos que sua execução é fácil e intuitiva, porém trabalhosa se forem

necessárias deflexões em vários pontos. Por este e outros motivos

consideramos os métodos empregados mais simples e de resolução mais

rápida que outros semelhantes utilizados para os mesmos fins.