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MÉTODOS DE ENERGIA

1 INTRODUÇÃO

Quando não ocorre dissipação de energia, o trabalho realizado pelas cargas

aplicadas e a energia são iguais, sendo o trabalho um produto vetorial da força pelo

deslocamento. Em campos da engenharia, como, o método dos elementos finitos, o

método das diferenças finitas energéticas, o método dos elementos de contorno e o

método dos volumes finitos, são os métodos que mais utilizam os métodos de energia.

Em um sistema estrutural as deformações internas são provocadas por cargas

que causam as tensões e esforços internos, essas causadas por forças axiais, forças

cortantes, momento fletor e momento de torsões. Quando essas deformações

internas se acumulam elas resultam em um deslocamento da superfície do elemento

estrutural. Para determinar essas deformações de estruturas usam-se os princípios

de energia, ou seja, relações entre tensões e deformações.

Se o sistema for carregado por forças externas, ele segue o princípio de

conservação de energia. O trabalho feito pelas forças externas (Uₑ) é inteiramente

convertido em energia associada ao sistema. A troca de energia de um sistema

elástico consiste de variações na energia potencial (Ui) e na energia cinética (K). Se

o sistema for carregado lentamente a energia cinética pode ser desprezada e teremos

como resultado: Uₑ = Ui

O trabalho realizado por uma força é o produto da força pela deformação que

a força provoca quando aplicada. Quando as cargas são aplicadas na estrutura e ela

sofre essa deformação, suas fibras desenvolvem esforços e deflexões.

Esses métodos de energia são importantes para fazer análises estruturais.

Com várias aplicações pode-se realçar os cálculos, como os, de deslocamento e

determinar incógnitas em sistemas hiperestáticos. Se o trabalho realizado pelas

forças externas for aplicado em um corpo elástico, o trabalho se armazena no interior

do corpo e se transforma em energia elástica de deformação.

Os teoremas de energia em relação a elasticidade podem ser deduzidos

pelos dois seguintes princípios:

• Princípio do trabalho virtual (ou dos deslocamentos virtuais);

• Princípio do trabalho virtual complementar (ou das forças virtuais).

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2 REFERENCIAL TEÓRICO

2.1 TEOREMA DE CLAPEYRON

Figura 1 - Teorema de Clapeyron Fonte: (Autor desconhecido, SD)

Sejam P1, Pi, ..., Pn forças externas independentes entre si e δ1, δ2, ..., δn os

deslocamentos correspondentes de seus pontos de aplicação medidos na direção e

sentido de cada uma das forças.

Admitamos que as forças Pi sejam aplicadas gradualmente e que, em um

determinado instante, as forças podem ser colocadas sob a forma α.Pi, onde α varia

entre 0 e 1 e Pi é o valor final da força Pi. Consequentemente, pela lei de Hooke, os

deslocamentos também são colocados sob a forma α.δi.

Durante a passagem de um estado de solicitação a outro infinitamente próximo,

ou seja, α sofrendo um incremento dα, o deslocamento genérico (δi) será (α+dα)δi e

o incremento de trabalho será:

∑ α𝑃𝑖. 𝑑αδ𝑖 = ∑ 𝑃𝑖δ𝑖α𝑑α

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

O trabalho total realizado por todas forças é:

ENERGIA TOTAL DE DEFORMAÇÃO

CEDIDA AO CORPO PELO SISTEMA DE

FORÇAS

𝑈 = ∑ ∫ 𝑃𝑖δ𝑖α𝑑α =1

2 ∑ 𝑃𝑖δ𝑖

𝑛

𝑖=1

1

𝑎=0

𝑛

𝑖=1

3

Obs.: Pi e δi são forças e deslocamentos “generalizado” ou seja Pi pode ser força ou

momento e δi deslocamento linear ou angular.

A expressão da energia total para um carregamento de momentos é:

Teorema de Clapeyron:

“A energia de deformação de uma estrutura, solicitada por diversos esforços

externos Pi, é igual à metade da soma dos produtos dos valores finais de cada esforço

pelo deslocamento de seu ponto de aplicação, medido na direção e sentido do esforço

considerado”.

2.1.1 Energia de deformação de barras sob esforços simples

2.1.1.1 Tração e compressão

Figura 2 - Tração e Compressão Fonte: (Autor desconhecido, SD)

Energia de deformação em um trecho de comprimento dx → 𝑑𝑈 = 1

2𝑁. 𝑑𝛿

𝑑𝛿 = 휀𝑥. 𝑑𝑥 = 𝑁𝑥

𝐸.𝐴𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑈 =

𝑁𝑥²

2.𝐸.𝐴𝑥

ou 𝑁 = 𝑐𝑡𝑒, 𝐴 = 𝑐𝑡𝑒

𝑈 = 1

2∑ 𝑀𝑖𝜑𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑈 = 𝑁². 𝐿

2. 𝐸. 𝐴

𝑈 = 1

2. 𝐸∫

𝑁𝑥²𝑑𝑥

𝐴𝑥

1

0

4

2.1.1.2 Cisalhamento - distribuição uniforme

Figura 3 - Cisalhamento Fonte: (Autor desconhecido, SD)

𝑑𝑈 = 1

2 𝑄. 𝑑𝛿 =

1

2 𝑄. 𝛾. 𝑑𝑥 =

𝑄2

2. 𝐴. 𝐺 𝑑𝑥

𝑈 = ∫𝑄²

2. 𝐺. 𝐴 𝑑𝑥

𝐿

0

Ou, em função da tensão de cisalhamento, 𝑈 = ∫𝜏².𝐴𝑑𝑥

2.𝐺

𝐿

0

Para distribuição não uniforme,

𝑈 = ∫𝑘.𝑄²

2.𝐺.𝐴

𝐿

0𝑑𝑥 Seção retangular: 𝑘 =

6

5

Seção circular: 𝑘 =10

9

2.1.1.3 Flexão

5

Figura 4 - Flexão Fonte: (Autor desconhecido, SD)

𝑑𝑈 = 1

2 𝑀 . 𝑑𝜑

𝑑φ = 𝑑𝑠

𝜌=

𝑑𝑥

𝜌 ,

1

𝜌=

𝑀

𝐸𝐼

𝑑φ = 𝑀

𝐸𝐼𝑧 𝑑𝑥 , 𝑑𝑈 =

𝑀²

2.𝐸.𝐼𝑧 𝑑𝑥

2.1.1.4 Torção

𝑑𝑈 = 1

2 . 𝑇. 𝑑𝜑

𝛾. 𝑑𝑥 = 𝑟. 𝑑𝜑 portanto, 𝑑𝜑

𝑑𝑥= 𝜃 =

𝛾

𝑟=

𝑇

𝐺.𝐼𝑝 𝛾 =

𝜏

𝐺=

𝑇.𝑟

𝐺.𝐼𝑝

𝑇 = 𝐺. 𝜃. 𝐼𝑝 , 𝜃 =𝑇

𝐺.𝐼𝑝=

𝑑𝜑

𝑑𝑥 portanto, 𝑑𝜑 =

𝑇.𝑑𝑥

𝐺.𝐼𝑝

𝑈 = ∫𝑀²

2. 𝐸. 𝐼𝑧 𝑑𝑥

1

0

Figura 5 - Torção Fonte: (Autor desconhecido, SD)

6

𝑑𝑈 =1

2 .

𝑇². 𝑑𝑥

𝐺. 𝐼𝑝

2.1.1.5 Esforços simples combinados

𝑈 = 1

2𝐸. ∫

𝑁². 𝑑𝑥

𝐴

𝐿

0

+1

2𝐺 . ∫

𝑘. 𝑄². 𝑑𝑥

𝐴+

1

2𝐸

𝐿

0

. ∫𝑀². 𝑑𝑥

𝐼𝑧+

1

2𝐺

𝐿

0

. ∫𝑇². 𝑑𝑥

𝐼𝑝

𝐿

0

2.2 TEOREMA DE MENABRÉA

A interpretação puramente energética a seguir será aplicável apenas para os

valores dos hiperestáticos de uma estrutura hiperestática.

Seja, por exemplo, a estrutura hiperestática da Figura 6, submetida ao

carregamento P𝑖 indicado.

Figura 6 - Teorema de Menabréa Fonte: (José Carlos Süssekind, 1980)

Podemos, conforme já sabemos, encará-la como sendo a estrutura isostática

da Figura 7, submetida ao mesmo carregamento P𝑖, acrescido dos hiperestáticos x1,

..., x5, cujos valores são tais que as deformações da estrutura em sua direção são

nulas.

𝑈 =1

2𝐺. ∫

𝑇². 𝑑𝑥

𝐼𝑝

𝐿

0

7

Figura 7 - Teorema de Menabréa Fonte: (José Carlos Süssekind, 1980)

Sendo assim, podemos dizer, por exemplo, que δ3 = 0, pois δ3 é a deformação

da estrutura, devida ao carregamento atuante, na direção do hiperestático x3 (no

caso, é o deslocamento horizontal de E). Por força dos teoremas de Castigliano,

podemos escrever que δ3 = ∂τ

∂x3, sendo 𝜏 a energia real de deformação da estrutura.

Derivando esta última expressão em relação a x3, obtemos 𝜕𝛿3

𝜕𝑥3=

𝜕²𝜏

𝜕𝑥3² , que

representa o aumento da deformação δ3 na direção de x3 para um acréscimo x3,

aumento este essencialmente positivo. Temos, então que o valor de x3 satisfaz às

condições:

𝜕𝜏

𝜕𝑥3= 0 e

𝜕²𝜏

𝜕𝑥3²> 0 , o que indica que x3 torna um mínimo; isto constitui o teorema de

Menabréa, que podemos enunciar da seguinte forma:

“A grandeza hiperestática tem um valor tal que torna o trabalho real de

deformação da estrutura um mínimo.”

2.3 TEOREMAS DE BETTI – MAXWEEL

2.3.1 Teorema de Betti

Seja um sólido, para o qual um sistema de forças Pi constitui o estado de

deformações e outro sistema de forças Pk constitui o estado de esforços (P).

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Figura 8 - Teorema de Betti Fonte: (Autor desconhecido, SD)

Aplicando o princípio dos trabalhos virtuais e indexando os deslocamentos com

dois índices, o primeiro indicando o local da deformação e o segundo a causa que a

provocou, resulta:

δk,i → deslocamento na direção de Pk e provocado por Pi.

Considerando agora, para o mesmo corpo, o sistema de forças Pk como estado

de deformações e Pi como estado de esforços, aplicando o princípio dos trabalhos

virtuais, resulta:

Figura 9 - Teorema de Betti Fonte: (Autor desconhecido, SD)

9

Comparando as duas expressões, conclui-se:

“O trabalho realizado por um sistema de forças em equilíbrio, agindo em um

corpo de material elástico linear, quando se desloca devido às deformações

provocadas por outro sistema de forças em equilíbrio, é igual ao trabalho realizado

por este segundo sistema de forças, quando o corpo se desloca devido às

deformações provocadas pelo primeiro sistema”.

2.3.2 Teorema de Maxweel

Considerando na expressão do teorema de Betti, que os sistemas de forças

sejam compostos por uma única força unitária, ou momento, resulta:

“O deslocamento do ponto k, provocado por uma força unitária aplicada no

ponto i, é igual ao deslocamento do ponto i, provocado por uma força unitária

aplicada no ponto k, desde que as direções das forças e deslocamentos coincidam

nos respectivos pontos”.

Figura 10 - Teorema de Maxweel Fonte: (Autor desconhecido, SD)

Pelo teorema de Maxwell:

10

Figura 11 - Teorema de Maxweel Fonte: (Autor desconhecido, SD)

2.4 PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS

O princípio dos trabalhos virtuais na conservação dos trabalhos virtuais é

empregada limitada nos cálculos de deslocamentos de estruturas, permitindo calcular

o deslocamento caso tenha uma força concentrada, calculando de acordo com a

direção da força e a rotação de um momento concentrado aplicado.

A relação do princípio de conservação de energia, generalizando não tem

nenhuma ligação entre o sistema de forças e a configuração deformada. Ou seja, não

existe relação entre a força e a deformação. Dessa forma, a associação entre o

trabalho externo e a deformação interna resulta no Princípio dos Trabalhos Virtuais

(PTV):

No caso das entradas dos planos, a energia de deformação interna virtual pode

ser desvinculadas em partes dos efeitos axiais de flexão e cortante:

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Analisando as equações acima, as forças não são a causa ou o efeito dos

deslocamentos. Isto é, a energia interna virtual e os esforços internos não são a causa

ou o efeito dos deslocamentos. Assim o trabalho WE e a energia de deformação U

são ditos virtuais, pois são conceitos de cálculos. O princípio de trabalhos virtuais tem

validade, caso o sistema de forças satisfazer as condições de equilíbrio e a

deformação atenderem as condições de compatibilidade.

Á vista disso, o princípio pode ser utilizado para determinar condições de

compatibilidade para uma deformação qualquer, para isso as forças denominadas

como virtuais, satisfazendo a equação de equilíbrio.

2.5 TEOREMA DE CASTIGLIANO

O Teorema de Castigliano é um método para determinar os deslocamentos de

um sistema linear elástico baseado em derivadas parciais da energia de deformação.

O conceito básico pode ser facilmente entendido, observando que uma

mudança em energia é igual à força causadora multiplicada pelo deslocamento (pela

equivalência trabalho/energia) resultante. Portanto, a força causadora é igual à

mudança de energia dividida pelo deslocamento resultante. Alternativamente, o

deslocamento resultante é igual à mudança de energia dividida pela força causadora.

As derivadas parciais são necessárias para relacionar as forças causadoras e o

deslocamento resultante com a mudança de energia.

2.5.1 Primeiro Teorema de Castigliano

O método de Castigliano para calcular forças é uma aplicação de seu primeiro

teorema, que estabelece:

“Se a energia de deformação de uma estrutura elástica pode ser expressa

como uma função do deslocamento generalizado qi, então a derivada parcial da

energia de deformação em relação ao deslocamento generalizado fornece a força

generalizada Qi.”

Na forma de uma equação temos:

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U= energia de deformação

2.5.2 Segundo Teorema de Castigliano

O método de Castigliano para calcular deslocamentos é uma aplicação de seu

segundo teorema, que estabelece:

“Se a energia de deformação de uma estrutura linear elástica pode ser

expressa como uma função da força generalizada Qi, então a derivada parcial de

energia de deformação em relação à força generalizada fornece o deslocamento

generalizado qi na direção de Qi.”

Na forma de uma equação temos:

4 REFERENCIAL BIBLIOGRÁFICO SÜSSEKIND, José Carlos. Curso de análise estrutural: deformações em estruturas, métodos das forças. 4 ed. Porto Alegre: Globo, 1980. 2 v. AUTOR DESCONHECIDO. Teoremas gerais de deformações. SD. Disponível em:<http://www.cesec.ufpr.br/disciplinas/resmat/Material%202/Capitulo%2010.pdf>. Acesso em: 23 out. 2015. AUTOR DESCONHECIDO. Métodos de energia. SD. Disponível em:<https://ecivilufes.files.wordpress.com/2011/07/3-mc3a9todos-de-energia.pdf>. Acesso em: 23 out. 2015.