teorema de castigliano i

8/17/2019 Teorema de Castigliano i

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1. INTRODUCCION:

La estructura es el conjunto mecánico encargado de soportar y transmitir las cargas

hasta las cimentaciones, donde serán absorbidas por el terreno.


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UNIVERSIDAD ALAS PERUANASEscuela Profesional de Ingeniería Civil.

Ing. oselmyne Campano Pantos.

Para ello, las estructuras se encuentran constituidas por una serie de barras

enla!adas entre sí.

Las vigas son los principales elementos estructurales, la cual ofrece resistencia a la

deformaci"n# con e$actitud a la fle$i"n.

E$isten muchos m%todos de conservaci"n de energía, los cuales sirven para el

cálculo de las defle$iones de una viga# el primer m%todo de Castigliano es uno de

ellos, es conocido como el más e$acto para estas operaciones, ya &ue primero

calcula el trabajo reali!ado por la fuer!a cortante &ue aplica la cargas en dicha viga,

y por 'ltimo calcula lo &ue se desea en realidad( cuán deformable es el material &

vamos a utili!ar en la fabricaci"n de esta.

Los teoremas y procedimientos relacionados con la energía de deformaci"n ocupan

una posici"n central en todo cálculo de estructuras. En este trabajo se a intentará

determinar la deformaci"n de una viga, utili!ando los teoremas de Castigliano.

Pues calcular el despla!amiento de un cuerpo, s"lo se aplica a cuerpos de

temperatura constante, de material con comportamiento elástico lineal# es decir nos

ayuda a calcular las defle$iones producidas en una viga a causa de una determinada

carga &ue debe soportar y por ende nos ayuda a elegir el mejor material para la

construcci"n de estás seg'n su resistencia y para &ue prop"sito la necesitamos.

2. OBTETIVOS:

2.1.- OBJETIVO GENERAL:

ANALISIS ESTRUCTURAL I – Pág. 2


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Estudiar y anali!ar el )%todo de Castigliano para determinar la defle$i"n o la

pendiente en un punto determinado de una estructura.

2.2.- OBJETIVO ESPECIFICO:

* Investigar los dos teoremas propuestos en el )%todo de Castigliano para el

cálculo de defle$i"n y pendiente en una viga, armadura o un marco.

* Identificar cuando podemos utili!ar los teoremas de Castigliano para el cálculo

la pendiente y la defle$i"n de una estructura.

* +plicar estos conocimientos mediante ejercicios &ue vinculen este tipo de

cálculo en la deformaci"n de una estructura y comparando &ue los resultados

sean iguales a los demás m%todos estudiados.

3.- METODOLOGIA:

La manera en la &ue se llevará a cabo la presente investigaci"n será utili!ando la

metodología analíticasint%tica, ya &ue de acuerdo con el tema referido sobre el

)%todo de Castigliano, estudiaremos el tema en cada una de sus partes paracomprenderlas en forma individual y luego la integramos para aplicarla en los

ejercicios &ue nos proponemos.

En atenci"n a esta modalidad de investigaci"n, y de acuerdo con la investigaci"n

propuesta se introducirán tres fases en el estudio, a fin de cumplir con los

objetivos establecidos.

En la primera fase, investigaremos el autor de este m%todo, consultaremos el

)%todo de Castigliano y sus diferentes teoremas para la determinaci"n de ladefle$i"n y pendiente en la deformaci"n de una estructura.

En la segunda fase de la investigaci"n identificaremos cuando podemos aplicar

este m%todo, por&ue en el estudio de estructuras encontraremos en varias

-casiones diferentes tipos de vigas como las determinadas y las indeterminadas

en las cuales tendrán procedimientos específicos a cada una de ellas.



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Por 'ltima fase, con todos estos conocimientos ad&uiridos podremos aplicarlos a

los ejercicios propuestos en los diferentes libros de esistencia de los )ateriales

&ue encontremos a nuestra disposici"n.

4.- MARCO TEORICO:

4.1.-BIOGRAFÍA DE CARLO ALBERTO CASTIGLIANO:

Carlo +lberto Castigliano / de noviembre de 0123, +sti 45 de octubre de 0112,

)ilán 6 fue un italiano matemático y físico conocido por el m%todo de Castigliano

para la determinaci"n de los despla!amientos en un elásticolineal del sistema

sobre la base de las derivadas parciales de energía de deformaci"n .

+lberto Castigliano se traslad" desde la regi"n de su nacimiento, Piamonte en el

noroeste de Italia, para el Instituto 7%cnico de 7erni en 8mbría6 en 0199.

:espu%s de cuatro a;os en 7erni, Castigliano se traslad" al norte de nuevo, esta

ve! para convertirse en un estudiante de la universidad de


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Aig. Bro. 0 Carlo +lberto Castigliano.

4.2.- ENERGÍA DE DEFORMACIN:La energía de deformaci"n es la energía elástica total &ue se acumula en el

s"lido. @e obtiene por integraci"n de la densidad de energía a todo el volumen.

@upongamos &ue las cargas aplicadas al s"lido crecen, progresivamente, desde

cero hasta su valor final de una manera continua. En ese caso, el trabajo <

reali!ado por todas las cargas &ue act'an sobre el s"lido &uedaría almacenado

como energía elástica de deformaci"n 8 en el s"lido y, por tanto(

8 D <

• 8na barra uniforme es sometida a una carga &ue incrementa lentamente.

• El trabajo elemental reali!ado por la carga P mientras la barra se estira una

pe&ue;a distancia dx es(

ANALISIS ESTRUCTURAL I – Pág. !


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El cual es igual al área de ancho dx bajo el diagrama esfuer!o deformaci"n.

@u grafica(

Aig. Bro. 4 Energía de deformaci"n.

• El trabajo total hecho por una carga para una deformaci"n $0, su formula

es la siguiente(

7rabajo total D energía de deformaci"n

@u gráfica(

ANALISIS ESTRUCTURAL I – Pág. "

elemental dx P dU trabajo==


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Aig. Bro. > 7rabajo 7otal.

• En el caso de una deformaci"n elástica,

@u f"rmula es la siguiente(

@u gráfica(

Aig. Bro. 2 :eformaci"n elástica.

4.2.1.- ENERGIAS DE DEFORMACION:

Por fle$i"n. Esta energía está dada por la aplicaci"n de fuer!as e$ternas

aplicadas a un cuerpo haciendo &ue esta se deforme, intentan doblar el

cuerpo6.

ANALISIS ESTRUCTURAL I – Pág. #

11212

121

0

1

x P kxdxkxU

x

=== ∫


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Aig. Bro. 5 :eformaci"n por fle$i"n.

Por torsi"n.

Aig. Bro. 9 :eformaci"n por torsi"n.

Por corte. La influencia del esfuer!o cortante sobre la defle$i"n total de la

viga es de muy pe&ue;a magnitud, por lo tanto se desprecia en la

determinaci"n de pendientes y defle$iones.

ANALISIS ESTRUCTURAL I – Pág. $


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Aig. Bro. 3 :eformaci"n por corte.

4.2.2.- DENSIDAD DE ENERGÍA DE DEFORMACIN:

Para eliminar los efectos del tama;o, evaluar la energía de deformaci"n por unidad de volumen.

@u f"rmula(

La densidad de la energía de deformaci"n, es igual al área bajo la curva hasta

el punto e0.

ANALISIS ESTRUCTURAL I – Pág. %

ndeformaciódeenergíadedensidad d u

L

dx

A

P

V

U

x

x

==

=

∫

∫ 1

1

0

0

ε

ε σ


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Cuando se deja de aplicar la carga en el material el esfuer!o regresa a cero,

pero e$iste una deformaci"n permanente. @"lo se recupera la energía de

deformaci"n representada por el área triangular.

El resto de la energía se disipa en el material en forma de calor.

@u gráfica(

Aig. Bro. 1 :ensidad de la energía de deformaci"n.

La energía de deformaci"n resultado de seleccionar e1 = eR es el m"dulo de

tenacidad.

La energía por unidad de volumen re&uerida para causar la ruptura de un

material es relacionada con su ductilidad y su resistencia 'ltima.

@i el esfuer!o se mantiene dentro del límite proporcional.

@u f"rmula(

E

E d E u x

22

21

21

0

1

1σ ε

ε ε

ε

=== ∫

ANALISIS ESTRUCTURAL I – Pág. 1&


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@u gráfica(

Aig. Bro. / Energía de deformaci"n.

La densidad de la energía de deformaci"n &ue resulta de hacer s0 D s es el

m"dulo de resiliencia.

@u f"rmula(

@u gráfica(

Aig. Bro. 0 )odulo de resilencia.



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ndeformaciodetotalenergialim0

===∆

∆= ∫ →∆ dV uU dV

dU

V

U u

V



4.2.2.- ENERGÍA DE DEFORMACIN EL'STICA PARA

ESFUER(OS NORMALES:

• En un elemento con una distribuci"n de esfuer!os no uniforme.

@u ecuaci"n es(

@u gráfica(

Aig. Bro.00 :eformaci"n elástica.

• Para una barra de secci"n transversal uniforme.

@u formula es(

@u gráfica(



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Aig. Bro.04 @ecci"n transversal.

4.3.- C'LCULO DE CORRIMIENTOS EN ESTRUCTURAS DE

ALMA LLENA ) EN ESTRUCTURAS RETICULARES:

S* g+á,/:

Aig. Bro. 0> +lma llena.

7omemos la estructura indicada en el gráfico, sometida a un sistema de cargas

F reales6.Lo primero &ue debemos hacer es hallar las reacciones y luego de

esto estamos capacitados para determinar los momentos flectores en cual&uier

punto de la misma. @i deseamos evaluar el corrimiento G de un punto como el )


Estructuras de alma llena.

F4

F0

)

δ

P D 0


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en una direcci"n deseada, &ue puede ser cual&uiera, aplicamos en el punto una

carga unitaria.

4.4.- SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO:

Teorema de Castigliano( permite calcular la deformaci"n en estructuras

hiperestáticas como(

• +rmaduras.

• Higas

• P"rticos.

Aundamento del m%todo de fle$ibilidad.

Permite el cálculo de i

Para una estructura elástica sometida a n cargas, la defle$i"n x j del punto de

aplicaci"n de P j puede ser e$presado como(

@u gráfica(



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Aig. Bro.02 7eorema de castigliano.

Cuadro seg'n sus estructuras(

ANALISIS ESTRUCTURAL I – Pág. 1!


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4.!.1. DEFLE0IN POR EL TEOREMA DE CASTIGLIANO:

La aplicaci"n del teorema de Castigliano se simplifica si la diferenciaci"n con

respecto a la carga P j se reali!a antes de la integraci"n para obtener la

energía de deformaci"n U .

• En el caso de una viga.

@u formula(

@u gráfica(

Aig. Bro.05 :efle$ion por castigliano.

4.!.2. TEOREMA DE CASTIGLIANO PARA ARMADURAS:

La energía de deformaci"n para un miembro de una armadura esta dada por

la ecuaci"n.

U = N ² L

2 AE

ANALISIS ESTRUCTURAL I – Pág. 1"


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S* ,+*/:

∆=∑N ( δN δP ) L

AE

:onde(

∆ D despla!amiento e$terno del nudo de la armadura.

PD fuer!a e$terna aplicada al nudo de la armadura en la direcci"n de la ∆

buscada.

BD fuer!a interna en un miembro causada por las fuer!as P y cargas sobre la

armadura

LD longitud de un miembro.

+D área de la secci"n transversal de un miembro.

!.- EJERCICIOS:

Ejemplo 0(

Calcular la má$ima deformaci"n de una viga simplemente apoyada con una

carga uniformemente distribuida.

ANALISIS ESTRUCTURAL I – Pág. 1#


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@e ha colocado una carga imaginaria F en el centro de la viga, &ue es el

punto de má$ima deformaci"n. Considerando s"lo la parte i!&uierda, el

momento es(

La energía de deformaci"n para la viga entera es el doble de lacorrespondiente a la mitad de la viga.

La deformaci"n en el centro es(

Puesto &ue F es imaginaria podemos ahora igualarla a cero.

ANALISIS ESTRUCTURAL I – Pág. 1$


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Ejemplo 2:

Sea una viga en voladizo, empotrada en A y con un momento aplicado en B !o"

planteamo" calcular el de"plazamiento vertical de # $punto medio de AB% En tal ca"o:

:onde A es una fuer!a infinitesimal aplicada en C, en la direcci"n en &ue se &uiere

calcular el despla!amiento. +sí tendremos(

ANALISIS ESTRUCTURAL I – Pág. 1%


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@implificamos(

".- CONCLUSIONES:

El teorema de Castigliano está dise;ado para aplicarlo en vigas &ue están

solicitadas por más de una carga puntual en donde utili!ando la derivada

parcial de la energía de deformaci"n se pueden calcular las defle$iones y

los ángulos de giro.

7ambi%n se concluye &ue el segundo teorema de Castigliano se utili!a

para calcular la deformaci"n de armaduras en donde la carga P no es

considerada como una carga num%rica sino como una variable.

Este teorema tiene tambi%n un parecido al m%todo del trabajo virtual.

ANALISIS ESTRUCTURAL I – Pág. 2&


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El m%todo de Castigliano, con sus dos teoremas, nos sirve para el cálculo

de defle$iones y pendientes en cual&uier punto de una viga.

Este m%todo, con sus dos teoremas, nos sirve para el cálculo de

defle$iones y pendientes en vigas estáticamente determinadas e

indeterminadas.

#.- BIBLIOGRAFIA:

LIBROS:

AN'LISIS ESTRUCTURAL TEOREMA DE CASTIGLIANO- Carlos +lberto

iveros Jere! 416 :epartamento de Ingeniería @anitaria y +mbiental Aacultad

de Ingeniería.

AN'LISIS ) DISEO DE ESTRUCTURAS TOMO 1& Ing. +lberto )artíne!Castillo. esistencia de )ateriales. +lfaomega. )%$ico

teorema de castigliano i

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