calculo dos deslocamento pelo metodo de castigliano e elementos finitos

UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO

FACULDADE DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE MECÂNICA

ESTABILDADE E MÉTODOS ENERGÉTICOS

TRABALHO DE AVALIAÇÃO Nº1

APLICAÇÃO DO TEOREMA DE CASTILIANO E

FERRAMENTAS C.A.D E F.E.A

Autor

Van Gompel Raph nº 49714

Docente

Professor : Dr.Ct. Dr.Cs. Arturo Martinez Rodriguez

Luanda,2012

Faculdade de Engenharia Departamento de Mecânica Aplicação do teorema de Castigliano e ferramentas C.A.D e F.E.A

ÍNDICE

RESUMO.............................................................................................................................................2

INTRODUÇÃO....................................................................................................................................3

Objectivos de estudo............................................................................................................................4

ENUNCIADO DO TRABALHO:........................................................................................................5

1 DETERMINAÇÃO DOS DESLOCAMENTOS PELO TEOREMA DE CASTIGLIANO............6

1.1 Cálculo do deslocamento em x no ponto B....................................................................................7

1.1 1 Análise da energia no trecho AB.................................................................................................8

1.1.2 Análise da energia no trecho BC.................................................................................................8

1.1.3 Analise das energias no trecho CD..............................................................................................9

1.2 Cálculo do deslocamento em y no ponto B..................................................................................10

1.2.1 Análise da energia no trecho AB...............................................................................................10

1.2.2 Análise da energia no trecho BC...............................................................................................11

1.2.3 Analise das energias no trecho CD............................................................................................12

1.3 Cálculo do deslocamento em Z no ponto B.................................................................................13

1.3.1 Análise da energia no trecho AB...............................................................................................13

1.3.2 Análise da energia no trecho BC...............................................................................................14

1.3.3 Analise das energias no trecho CD............................................................................................15

1.4 Determinação do deslocamento resultante...................................................................................16

2 DETERMINAÇÃO DOS DESLOCAMENTOS PELO MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS16

2.1 Cálculo do deslocamento em x no ponto B..................................................................................16

2.1.1 Vista do ponto com maior deslocamento em x.........................................................................17

2.2 Cálculo do deslocamento em y no ponto B..................................................................................18

2.2.1 Vista com maior deslocamento y..............................................................................................19

2.3 Cálculo do deslocamento em Z no ponto B..................................................................................20

2.3.1 Vista com maior deslocamento Z..............................................................................................21

2.4 Deslocamento total.......................................................................................................................22

2.4.1 O ponto com deslocamento máximo.........................................................................................23

3 DISTRIBUIÇÃO DE DEFORMAÇÕES E TENSÕES NO PÓRTICO.........................................24

3.1 Ponto de máxima tensão...............................................................................................................25

3.2 Coeficiente de segurança com respeito ao limite de fluência do material...................................26

CONCLUSÃO....................................................................................................................................27

BIBLIOGRAFIA................................................................................................................................28

AutorVan Gompel Raph nº 49714 Professor : Dr.Ct. Dr.Cs. Arturo Martinez Rodriguez 2


RESUMO

Neste trabalho da cadeira de estabilidade cujo tema é aplicação do teorema de castilhiano e

ferramentas C.A.D e F.E.A fez-se um estudo de caso pratico, que consistiu na determinação dos

deslocamentos em um determinado ponto avaliado para todos os eixos de coordenadas x, y e z,

utilizando inicialmente o método tradicional (Castigliano) e posteriormente a análise por elementos

finitos através do programa autodesk inventor 2009 e cosmo designer star 3.0. de maneiras a se avaliar

a efetividade dos métodos tradicional e computacional recorrendo a comparação dos resultados

encontrados nos dois métodos.

PALAVRAS- CHAVES: Estabilidade, método tradicional, método computacional, analise

por elemento finito, pórtico.



INTRODUÇÃO

Para a determinação do deslocamento, tensões, ou seja análise de estruturas assim como

pórticos utiliza-se os métodos tradicionais tais como método de energia, teorema de Castigliano, ou

também a utilização de ferramentas assistido por computador e análise por elementos finitos.

Neste trabalho vamos calcular para pórtico proposto formado por vigas de secção transversal do

tipo "I" segundo a norma IPN, com alma em posição vertical para os trechos BC e CD, sendo o

material das vigas aço AISI 1020.

Portanto vamos calcular os as componentes do deslocamento do ponto B sobre os eixos X,

Y e Z e posteriormente o deslocamento resultante deste ponto. Para efeito usaremos o método de

Castigliano, ferramentas de desenho assistido por computador e análise por elementos finitos, sem

deixar obviamente de fazer a análise da distribuição de deformações e tensões no pórtico

assinalando os pontos de máxima tensão e por ultimo determinar o coeficiente de segurança com

respeito ao limite de fluência do material. Finalmente, vamos comparar os resultados.



OBJECTIVOS DE ESTUDO

Objectivo geral

Avaliar a efetividade do método computacional na determinação dos deslocamentos em pórticos,

através da comparação com o método tradicional, determinação das tensões e deformações no pórtico

assinalando o ponto de máxima tensões e o cálculo do coeficiente de segurança com respeito ao limite

de fluência do material

Objectivos específicos

Determinar os componentes sobre os eixos coordenados do deslocamento no ponto B, e

deslocamento resultante usando o método tradicional (Castigliano)

Determinar os componentes sobre os eixos coordenados do deslocamento no ponto B, e

deslocamento resultante usando o método computacional (Ferramentas de desenho assistido por

computador e analise por elemento finitos (Castigliano)

Comparar os resultados encontrados no método normal e no método tradicional



ENUNCIADO DO TRABALHO:

a) Determinar para o pórtico da figura, usando o método de Castigliano, os componentes

sobre os eixos x, y e z do deslocamento do ponto B e o deslocamento resultante nesse

ponto.

b) Determinar para o pórtico da figura, usando ferramentas de Desenho Assistido por

Computador e Analise por Elementos Finitos, os componentes do deslocamento do ponto

B, e o deslocamento resultante nesse ponto. Comparar os resultados com os obtidos no

inciso a).

c) Determinar, usando ferramentas de Desenho Assistido por Computador e Analise por

Elementos Finitos a distribuição de deformações e tensões no pórtico e assinalar o ponto de

máximas tensões. Determine o coeficiente de segurança com respeito ao limite de fluência

do material.

O pórtico está conformado por vigas de secção transversal do tipo " I " segundo a norma

IPN, com a alma em posição vertical para os trechos BC e CD. No trecho AB a alma é paralela ao

plano yz.

O material das vigas é aço AISI 1020.


z

x

DBB

CBB

BBB A

P2

P1

x

z

y

y


1 DETERMINAÇÃO DOS DESLOCAMENTOS PELO TEOREMA DE CASTIGLIANO

1.1 Cálculo do deslocamento em x no ponto B

Uma vez que não temos força aplicada neste ponto em direção ao x, aplicamos uma força fictícia a esta direção neste ponto.


DadosP=8 KNA B̄=0,4 mBC̄=0,5 mC D̄=0,7 mMatreial AISI 1020G=7 ,75 . 1010 PaE=2.1011 PaPerfil IPN 220I x=3060 .104mm4

I y=162. 104mm4

I t=18 ,6 .104mm4

A=3950mm2

Po

DBB

CBB

BBB

AP2

P1

Z____

AB

z

NP1 BA

Poz

C

B

N2

Y

Mx

MyZ

X


Sabemos que:X B=

∂U AD

∂ Po

=∂U AB

∂ Po

+∂U BC

∂ Po

+∂UCD

∂ Po portanto teremos que encontrar ∂U AB

∂ Po

,∂U BC

∂ Po

e ∂U CD

∂ Po

1.1 1 Análise da energia no trecho AB

0≤z≤A B̄

U AB=12 . E . A

∫0

A B̄

N2 dZ (1 )

Da figura temos temos que:N=P1 substituindo em (1) e integrando teremos:

U AB=P

12. A B̄

2 . E . A⇒

∂U AB

∂ Po

=0

1.1.2 Análise da energia no trecho BC


Z

Y

X

D C

P1P2

Po B

My

MxMt

z


0≤z≤BC̄

U BC=12 . E . A

∫0

BC

N22 dZ +1

2 . E . I x∫0

BC

Mx2 dZ+1

2 . E . I y∫0

BC

My2 dZ (2 )

Da figura temos temos que:

{M y=Po . z ¿ {M x=P1 . z ¿¿¿¿¿

¿

U BC=P

22 . BC

2. E . A+

P1

2 .BC3

6 . E . I x

+P

o2 . BC3

6 . E . I y

⇒∂ UBC

∂ Po

=Po . BC3

3 . E . I y

1.1.3 Analise das energias no trecho CD

0≤z≤C D̄


0

Po

DBB

CBB

BBB

AP2

P1


UCD=12 . E . I x

∫0

CD

Mx2 dZ+1

2 . E . I y∫0

CD

My2 dZ +1

2 .G . I t∫0

CD

Mt2

dZ (3 )


{M t=P1 . BC̄ ¿ {M x=P1 . z ¿¿¿¿

¿

UCD=P

12 .BC2 . CD

2 .G . I t

+P

12 . CD3

6 . E . I x

+P

22 . CD3

6 . E . I y

⇒∂U CD

∂ Po

=0

O deslocamento em X no ponto B será:

X B=∂ U AB

∂ Po

+∂U BC

∂ Po

+∂U CD

∂ Po

=0+Po . BC3

3 . E . I y

+0

com o o Po é ficticio ou seja Po=0 então:

X B=Po . BC3

3 .E . I y

=0

1.2 Cálculo do deslocamento em y no ponto B

Uma vez que não temos força aplicada neste ponto em direção ao y, aplicamos uma força fictícia a esta direção neste ponto.


Z____

AB

z

NP1 BA

Po

P2P1

z

C

B

N2

Y

Mx

Z

X


Sabemos que:Y B=

∂U AD

∂ Po

=∂U AB

∂ Po

+∂U BC

∂ Po

+∂ UCD

∂ Po portanto teremos que encontrar ∂U AB

∂ Po

,∂U BC

∂ Po

e ∂U CD

∂ Po

1.2.1 Análise da energia no trecho AB

0≤z≤A B̄

U AB=12 .E . A

∫0

A B̄

N2 dZ (4 )

Da figura temos temos que:N=P1 substituindo em (4 ) e integrando teremos:

U AB=P

12. A B̄

2 .E . A⇒

∂U AB

∂ Po

=0


0≤z≤BC̄


Z

Y

X

D C

P1P2

Po

B

My

MxMt

z


U BC=12 . E . A

∫0

BC

N22dZ +1

2 . E . I x∫0

BC

Mx2 dZ (5)


{ M x=(P1+Po) . z ¿ ¿¿¿

¿

U BC=P

22 . BC

2. E . A+

(P1+Po )2 .BC3

6 . E . I x

⇒∂U BC

∂ Po

=(Po+P1) . BC 3

3 . E . I x


0≤z≤C D̄


0 0 0

DBB

CBB

BBB

AP2


UCD=12 .E . I x

∫0

CD

Mx2 dZ+1

2 . E . I y∫0

CD

My2 dZ +1

2 .G . I t∫0

CD

Mt2

dZ (6 )


{ Mt=(P1+Po) .B C̄ ¿ {M x=(P1+Po) . z ¿ ¿¿¿

¿

UCD=( P1+Po )2 . BC2 .CD

2 . G . I t

+(P1+Po )2 . CD3

6 .E . I x

+P

22 . CD3

6. E . I y

⇒∂U CD

∂ Po

=(P1+Po ) .BC2 .CD

G . I t

+(P1+Po) . CD3

3 . E . I x

O deslocamento em Y no ponto B será:

Y B=∂U AB

∂ Po

+∂ UBC

∂ Po

+∂UCD

∂ Po

=0+(Po+P1) . BC3

3. E . I x

+(P1+Po ). BC2 .CD

G . I t

+( P1+Po ) .CD 3

3 . E . I x

com o o Po é ficticio ou seja Po=0 então:

Y B=(Po+P1) . BC3

3 . E . I x

+(P1+Po ) .BC2 .CD

G . I t

+(P1+Po) . CD3

3. E . I x

Y B=P1 .BC 3

3 .E . I x

+P1 .CD 3

3. E . I x

+P1 .BC 2 .CD

G . I t

Substituindo os dados teremos:

Y B=8 .103 .0,53

3 .2 .1011 .3060 .104 . 10−12+

10 .103 . 0,73

3 .2.1011 . 3060.104 .10−12+

8.103 . 0,52 . 0,7

7 ,75 .1010 . 18 ,6 .104 . 10−12

Y B=0 ,054 .10−3+0 ,187 .10−3+0 ,0072

Y B=7,4 .10−3 m

1.3 Cálculo do deslocamento em Z no ponto B

Como já temos força aplicada no eixo z neste ponto, portanto não é necessário força fictícia.


Z____

AB

z

NP1 BA

P2P1

z

C

B

N2

Y

Mx

Z

X


Sabemos que:ZB=

∂U AD

∂ P2

=∂U AB

∂ P2

+∂ UBC

∂ P2

+∂UCD

∂ P2 portanto teremos que encontrar ∂U AB

∂ P2

,∂U BC

∂ P2

e ∂U CD

∂ P2

1.3.1 Análise da energia no trecho AB

0≤z≤A B̄

U AB=12 .E . A

∫0

A B̄

N2 dZ (7 )

Da figura temos temos que:N=P1 substituindo em (7 ) e integrando teremos:

U AB=P

12 . A B̄

2. E . A⇒

∂U AB

∂ P2

=0



Z

Y

X

D C

P1P2

B

My

MxMt

z


0≤z≤BC̄

U BC=12 . E . A

∫0

BC

N22dZ +1

2 .E . I x∫0

BC

Mx2 dZ (8)


{M x=P1 . z ¿ ¿¿¿

¿

U BC=P

22 . BC

2. E . A+

P1

2 .BC3

6 . E . I x

⇒∂U BC

∂ P2

=P2. BC

E . A


0≤z≤C D̄

UCD=12 . E . I x

∫0

CD

Mx2 dZ+1

2 . E . I y∫0

CD

My2 dZ +1

2 .G . I t∫0

CD

Mt2

dZ (3 )


{M t=P1 . BC̄ ¿ {M x=P1 . z ¿¿¿¿

¿

UCD=P

12 .BC2 . CD

2 .G . I t

+P

12 . CD3

6 . E . I x

+P

22 . CD3

6 . E . I y

⇒∂U CD

∂ P2

=P2 . CD3

3 . E . I y



O deslocamento em Z no ponto B será:

ZB=∂ U AB

∂ P2

+∂U BC

∂ P2

+∂ UCD

∂ P2

=0+P2 . BC

E . A+

P2 .CD 3

3 . E . I y

ZB=P2 . BC

E . A+

P2 . CD3

3 . E . I y

substituindo os dados teremos :

ZB=8 . 103 . 0,52 .1011. 3950 .10−6

+8 .103 . 0,73

3. 2 .1011 . 162 .104 . 10−12

ZB=5 , 06 .10−6+2 , 82 .10−3

ZB=2 , 83 .10−3m

1.4 Determinação do deslocamento resultante

2 DETERMINAÇÃO DOS DESLOCAMENTOS PELO MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

2.1 Cálculo do deslocamento em X no ponto B



2.1.1 Vista do ponto com maior deslocamento em X



2.2 Cálculo do deslocamento em Y no ponto B



2.2.1 Vista com maior deslocamento Y



2.3 Cálculo do deslocamento em

Z no ponto

B



2.3.1 Vista com maior deslocamento Z



2.4 Deslocamento

total



2.4.1 O ponto com deslocamento máximo



3 DISTRIBUIÇÃO DE DEFORMAÇÕES E TENSÕES NO PÓRTICO



3.1 Ponto de máxima tensão



3.2 Coeficiente de segurança com

respeito ao limite de fluência do material



CONCLUSÃO

Analisando minuciosamente os pontos vistos no decurso deste trabalho concluiu-se que o

método de análise por elementos finitos através de programas computacionais é eficiente pois não

existe grandes diferenças nos resultados encontrados nos dois métodos ou melhor do método tradicional

(Castigliano) e no método computacional (Ferramentas de desenho assistido por computador e Analise

por elementos finitos). Os resultados calculados provam esta afirmação de forma nítida e transparente.



Os deslocamentos calculados no método tradicionais para os eixos x, y e z são

respectivamente, 0m, 0,0074m e 0,00284m que resultou num deslocamento total de 0,00792m,

enquanto os calculados no método computacional para os mesmos eixos são respectivamente:

0,0022m,0,0078m e 0,0039m resultando num deslocamento total de 0,00879m.

Portanto podemos também concluir que a análise por elemento finito veio para facilitar o

estudo ou seja analise de estruturas e pórticos com uma eficiência muito alta.

BIBLIOGRAFIA

Elaborado apenas em função do material dado pelo professor de estabilidade

Softwares utilizados

Autodesk Inventor profissional 2009 e 2013



Cosmo designerstar 3.0


calculo dos deslocamento pelo metodo de castigliano e elementos finitos

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