12. satz von castigliano k - ifme.ovgu.de · satz von castigliano 272 festigkeit / strackeljan 12....

Grundlagen der Festigkeitslehre

Satz von Castigliano 272

Festigkeit / Strackeljan

12. Satz von Castigliano Im Jahr 1873 veröffentlichte der italienische Baumeister und Eisenbahningenieur Alberto Castigliano (1847– 1884), ein Verfahren zur Bestimmung der Verschiebung und des Neigungswinkels von Punkten eines elastischen Körpers. Diese unter dem ersten Satz von Castigliano bekannte Methode wird nachfolgend behandelt.

Voraussetzungen für die Anwendung:

• linear-elastisches Materialverhalten ( Gültigkeit des Hookeschen Gesetzes ) • keine Dehnungen infolge Temperaturänderungen

Satz von Castigliano:

• Die partielle Ableitung der gesamten Formänderungs-arbeit eines Systems nach einer äußeren Kraft ergibt die Verschiebungskomponente des Kraftangriffspunktes in Kraftrichtung infolge aller äußeren Lasten, die bei der Formulierung der Formänderungsarbeit berücksichtigt wurden.

• Die partielle Ableitung nach einem äußeren Moment ergibt die Verdrehwinkelkomponente des Momenten-angriffspunktes in Bogenmaß.

• Die partielle Ableitung nach einer statisch unbestimmten Größe ist immer Null.

KK

KK

K X

W

M

W

F

Wv

∂∂

∂∂ϕ

∂∂ === 0;;

W = Formänderungsarbeit des Gesamtsystems vK = Verschiebungskomponente des Angriffspunktes von FK in Richtung von FK




ϕK = Verdrehwinkel ( in Bogenmaß) der Momentenangriffs- stelle von MK in Richtung von MK

FK = äußere Kraft MK = äußeres Moment XK = statisch unbestimmte Größe ( Kraft oder Moment )

12.1 Darstellung der Idee des Satzes von Castigliano Im Abschnitt 10.2 war die Verschiebung an der Stelle i eines elastischen Körpers in Folge von n Kräften an den Stellen k über die Einflusszahlen definiert worden:

( )∑=

=n

kkiki Fv

1α

Die Arbeit einer äußeren Kraft an der Stelle k ist durch die Verschiebung des Kraftangriffspunktes an der Stelle k gegeben. Greift nur eine einzige Kraft an ergibt sich:

kkkka FFW α21=

Für die Arbeit aller Kräfte sind nun die Verschiebungen an allen n Angriffspunkten von Bedeutung:

αα

αα

=

nnnn

n

n F

F

F

v

v

v

M

L

MOM

MM

K

M

2

1

1

111

2

1

(11.24)

Es folgt für die Arbeit durch Summation über alle Angriffspunkte:




∑∑= =

α=n

i

n

kkikia FFW

1 12

1 . (11.25)

Unter den Voraussetzungen linearen Materialverhaltens und ohne Temperaturdehnung ist die infolge dieser Kräfte verrichtete äußere Arbeit gleich der im Körper gespeicherten Formänderungsenergie WWW aF == . Wird die Arbeit (Gl. 11.25) nach der Last Fj abgeleitet, so folgt:

∂∂+

∂∂α=

∂∂

∑∑j

kik

j

in

i

n

kik

j F

FFF

F

F

F

W

21

.

Wegen

=≠

=∂∂

ji

ji

F

F

j

i

1

0 und

=≠

=∂∂

jk

jk

F

F

j

k

1

0

folgt: (11.26) Diese Beziehung gilt wegen jiij αα = und da der

Summationsindex im 2. Summanden getauscht werden kann. Dieses Ergebnis entspricht der Verschiebung vj des Kraft-angriffspunktes der Kraft Fj

. 2

1

2

1

2

1

2

1

1 1 1

1 1

∑ ∑ ∑

∑ ∑

= = =

= =

= + =

+ = ∂

∂

n

k k jk

n

k

n

k k jk k jk

n

k

n

i i ij k jk

j

F F F

F F F

W

α α α

α α




∑= ∂

∂=α=n

k j

kjkj F

WFv

1

. (11.27)

und bestätigt den Satz von Castigliano. 12.2 Anwendungen des Satzes von Castigliano

Der Satz von Castigliano eignet sich gut zur Berechnung beliebiger allgemein belasteter statisch unbestimmter Systeme und zur Berechnung von Verformungsgrößen an diskreten Stellen. Die Berechnung der allgemeinen räumlichen Verschiebung eines Körperpunktes erfordert die Berechnung von drei unabhängigen Verschiebungskomponenten jeweils in Richtung einer äußeren Kraft im betrachteten Punkt. Sinngemäß gilt die Aussage für die Berechnung der allgemei-nen Verdrehung. In vielen ebenen Anwendungen ist aber nur eine Komponente je Modellpunkt zu berechnen. Anschauliche Darstellung der Formänderungsgrößen

v2

F1

F2

v1

22

11

F

Wv

F

Wv

∂∂=

∂∂= 1

1 M

W

∂∂=ϕ

11 M

W

∂∂=ϕ

F

ϕ1

q M1

ϕ1

M1




Hinweise:

• Die Aussage, dass die partielle Ableitung der Formänderungsenergie nach einer statisch unbestimmten Größe Null ist, ist für statisch unbestimmte Lagerreaktionen aus den ersten beiden Aussagen ableitbar, da dort die entsprechenden Lagerverschiebungen Null sein müssen.

Die Aussage gilt aber allgemein und kann als notwendige Bedingung für die Existenz des Minimums der potentiellen Energie angesehen werden, denn jedes physikalische System stellt sich im Gleichgewichtszustand so ein, dass die gespeicherte Energie ein Minimum annimmt.

• Die Schnittgrößen gehen in die Formänderungsenergie

quadratisch ein, das heißt, die Vorzeichendefinition der Schnittgrößen ist bei dieser Anwendung unerheblich. Die Verschiebungsgrößen sind immer in Richtung der äußeren Kraft bzw. des äußeren Momentes positiv. Es ist bei der Be-rechnung der Schnittgrößen vorteilhaft, immer mit dem positiven Schnittufer zu arbeiten und es stört bei der Anwendung des Satzes von Castigliano nicht, dazu gegebenenfalls gegenläufige Koordinaten einzuführen.

• Die Anwendung des Satzes von Castigliano erfordert nicht die vorherige Berechnung der Formänderungsarbeit

( )

∑ ∫

⋅⋅⋅+=i l

ii

ib

i

dzEI

MW

2

21

(11.28)

Bei stetigen Funktionen, die hier stets bereichsweise vorliegen, können partielle Differentiation und Integration getauscht werden.




( )

( )∑ ∫

∑ ∫

∑ ∫

⋅⋅⋅+∂∂

=

⋅⋅⋅+∂∂

∂∂=

⋅⋅⋅+

∂∂=

∂∂=

i li

K

ib

i

ib

ii

K

ib

i

ib

l ib

i li

i

ib

KK

K

i

i

i

dzF

M

EI

M

dzF

M

EI

M

M

dzEI

M

FF

Wv

2

)(

2

21

21

Da z.B. der Ausdruck ( Kbi FM ∂∂ / ) i. allg. wesentlich kürzer als Mbi selbst ist, erspart diese Vorgehensweise den Rechenaufwand nennenswert.

• Bei der Ausführung der partiellen Ableitungen der Schnitt-größen besteht eine Fehlerquelle darin, dass verdeckte Abhängigkeiten nicht erkannt werden. So sind z.B. die Lagerreaktionen von den äußeren Lasten abhängig. Zur Fehlervermeidung sind die statisch bestimmten Lagerreaktionen vor der Ableitung durch die aus den Gleichgewichtsbedingungen folgenden Ausdrücke zu ersetzen.

• Eine Ausnahme bilden statisch unbestimmte Größen, sie müssen nach ihrer Berechnung für nachfolgende Ver-formungsberechnungen nicht ersetzt werden, denn es gilt mit ,...),( KK XFfW =

K

K

KKK F

X

X

W

F

Wv

∂∂

∂∂

∂∂ ⋅+=

worin, wegen ∂W/∂XK = 0 , die Abhängigkeit der statisch Unbestimmten von der Kraftgröße, nach der abgeleitet wird, keine Rolle spielt.

0




• Die Bezeichnung der Lastgröße, nach der abgeleitet wird, muss eindeutig sein. Tritt z.B. eine Kraft, nach der abgeleitet werden soll, mehrfach am System auf, so ist diese bereits vor der Berechnung der Lagerreaktionen und der Schnittgrößen-verläufe umzubenennen. Nach der Ausführung der partiellen Ableitung kann noch vor der Integration die Umbenennung rückgängig gemacht werden.

Wird dieses nicht beachtet, so wird z.B. die Summe der Ver-schiebungen aller gleich bezeichneten Kräfte berechnet.

• Verformungsberechnungen für Punkte, an denen keine äußere Belastung angreift, sind möglich, wenn dort je eine Hilfskraft FHi bzw. ein Hilfsmoment MHi schon vor der Berechnung der Lagerreaktionen und der Schnittgrößen angebracht wird. Die Hilfsgrößen können nach der partiellen Ableitung vor der Integration Null gesetzt werden.

• Bei der Berechnung von statisch unbestimmt gelagerten Systemen dürfen als statisch Unbestimmte nur Kräfte oder Momente gewählt werden, die nicht allein aus Gleichgewichtsbedingungen ( GGB )berechnet werden können.

Beispiel:

Bei innerlich statisch unbestimmten Systemen dürfen ent-sprechend nur solche Schnittgrößen als statisch

Hier darf nur FAH oder FBH als statisch Unbestimmte gewählt werden. FAV und FBV lassen sich aus GGB berechnen.

F1

FAH FAV FBV FBH

F2




Unbestimmte gewählt werden, die nicht allein aus GGB berechnet werden können.

Beispiel:

Der obere geschlossene Rahmen ist innerlich dreifach statisch unbestimmt. Die Schnittgrößen FlC , FqC und MbC können als statisch Unbestimmte gewählt werden, sie sind nicht allein aus GGB zu berechnen. Die Schnittgrößen im Querschnitt D wären allein aus GGB berechenbar.

12.3 Festlegung einer sinnvollen Vorgehensweise zur Anwendung des Satzes von Castigliano auf statisch bestimmte und unbestimmte Tragwerke

Als Voraussetzung für die nachfolgend beschriebene Vor-gehensweise soll gelten:

- linear-elastisches Materialverhalten - keine Temperaturänderungen - System kann aus beliebigen starren und folgenden elastischen Elementen bestehen:

• Seile und Stäbe • gerade Balkenabschnitte • Schraubenfedern und Drehfedern

F1

FAH FAV FB

D

F2

C

Flc F1

FAH FAV FB

D

F2

Fqc

Mbc

Fqc




Satz von Castigliano in anwendungsorientierter Schreibweise mit verallgemeinerten Größen bei Vernachlässigung von Querkraftschub:

( )( )

( )( )

( )

( )∑

∑

∑ ∫

∑ ∫

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

+∂∂=

∂∂=

*4

*3

*2

*1

iK

F

d

F

iK

FF

li

iK

ll

i

iK

ll

l K

t

t

t

K

by

yy

by

K

bx

xx

bx

K

K

F

M

c

M

F

F

c

F

dzF

F

EA

F

dzF

F

EA

F

F

M

GI

M

F

M

EI

M

F

M

EI

M

F

Wv

i

i

1*) Summe über alle Balkenabschnitte 2*) Summe über alle Seile und Stäbe 3*) Summe über alle Federn 4*) Summe über alle Drehfedern

KF = äußere Kraft FK KK vv = Verschiebungskomponente in Richtung von FK

KF = äußeres Moment MK KKv ϕ= Verdrehwinkelkomponente in Richtung von MK

KF = stat. unbest. Größe XK 0=Kv Berechnungsgleichung für XK




Darstellung des prinzipiellen Lösungswegs:

1. Klarheit verschaffen, an welchen diskreten Stellen Verfor- mungsgrößen berechnet werden sollen. Dort müssen ein-deutige äußere Kräfte bzw. Momente in Verformungs-richtung angreifen. � evtl. Hilfskräfte und/oder -momente einführen

� evtl. vorhandene Lasten eindeutig umbenennen Dieses muss schon vor der Berechnung der Lager-reaktionen erfolgen.

2. Bei statisch unbestimmten Systemen statisch unbestimmte Kräfte bzw. Momente auswählen und festlegen.

� Diese Kräfte bzw. Momente dürfen nicht allein aus GGB berechenbar sein.

3. Lager- und Gelenkreaktionen berechnen. Bei nur ein-seitiger Einspannung kann auf die Berechnung der Lager-reaktionen i.allg. verzichtet werden.

4. Für alle elastischen Bereiche Schnittgrößenverläufe berechnen Seil, Zug- / Druckstab : Fl Balken, Welle : Mbx, Mby, Mt, (Fl) Feder : FF Drehfeder : MF

Es ist vorteilhaft, wenn die Schnittgrößenfunktionen einfache mathematische Ausdrücke sind

� Mit positivem Schnittufer arbeiten, dafür gegenläufige Koordinaten zulassen.

5. In den Schnittgrößenverläufen alle statisch bestimmten Lagerreaktionen ersetzen ( durch gegebene Belastung, Hilfsgrößen und statisch unbestimmte Größen ).

6. Berechnung der erforderlichen partiellen Ableitungen der Schnittgrößen.




7. Nach der Berechnung aller Ableitungen können Hilfs-größen Null gesetzt und evtl. umbenannte Lasten wieder gleich bezeichnet werden. Die Schnittgrößenfunktionen zweckmäßig unter Nutzung der eingeführten allgemeinen Lagerreaktionen verkürzt schreiben.

8. Falls erforderlich, Berechnung der statisch unbestimmten Größen

0=KX

W

∂∂

9. Falls erforderlich, Berechnung der Verformungsgrößen

K

KK

K M

W

F

Wv

∂∂ϕ

∂∂ == ;

10. Es ist zweckmäßig, für jede Schnittgröße die dazugehörige Steifigkeit, die Integrationsgrenzen und die partiellen Ab-leitungen in Tabellenform darzustellen. Schnittgrößen-funktionen zweizeilig in ausführlicher (nach Punkt 5) und in verkürzter Schreibweise (nach Punkt 7) eintragen.

Beispiel :

Element i

Integrations-grenzen

gi

Steifig-keit Bi

Schnittgröße

Si

k

i

F

S

∂∂

...∂∂ iS

1 0...2a EA1 Fl1 = ... ... ... 2.1 0...3a EIxx2 Mbx2 = ... ... ... 2.2 0...3a EIyy2 Mby2 = ... ... ... 2.3 0...3a GIt2 Mt2 = ... ... ... 3 0...a ... ... ... ... 4 - c FF = ... ... ... 5 - cd MF =... ... ...




( )( )

∑ ∫ ∂∂=

∂∂

*5 igi

K

i

i

i

K

dzF

S

B

S

F

W 5*) Summe über alle Zeilen

Beispiel 1: Einseitig eingespannter Balken mit Kraft- und

Momentenbelastung Gegeben: F1, M1, l, EI Gesucht: v1, ϕ1 (nur infolge Biegearbeit)

verformt: Lösung: Biegemomentenverlauf

11 MzFMb −−= Partielles Differenzieren Hierfür ist die Anordnung in Tabellenform geeignet:

F1

v1

φ1M1

F1

M1

Mb

z

F1

EI

l M1




i

Int.-grenzen

gi

Steifig-keit Bi

Schnittgröße

Si

1F

Si

∂∂

1M

Si

∂∂

1 0...l EI 11 MzF −− z− 1−

Hinweis zur Kontrolle: Da die Schnittgrößen immer linear von den äußeren Kräften und Momenten abhängen, ist die partielle Ableitung einfach immer gleich dem Faktor vor derjenigen Größe nach der differenziert wird.

Berechnung der gesuchten Verformungen

( )

,23

,2

1

3

111

,1

21

31

1

0

21

31

01

211

0 111

EI

lM

EI

lFv

zMzFEI

dzzMzFEI

v

dzF

MM

EIF

Wv

ll

lb

b

+=

+=+=

∂∂=

∂∂=

∫

∫

( )

.2

,1

,1

12

11

0111

0 111

EI

lM

EI

lF

dzMzFEI

dzM

MM

EIM

W

l

lb

b

+=ϕ

+=ϕ

∂∂=

∂∂=ϕ

∫

∫




Beispiel 2 Gegeben: F, a, EI Gesucht: v1 (Durchbiegung bei 1, nur infolge Biegearbeit) Lösung: Unterschiedliche Bezeichnung der Kräfte Nur bei eindeutiger Bezeichnung kann nach der bei 1 angrei-fenden äußeren Kraft differenziert werden Biegemomentenverlauf 11 zFMb −= ( ) 2122 zFzaFMb −+−=

a a

F F

1

EI

a a

F1 F

1 z1z2

FMb1

z1

F1Mb2

z2

F

a




Partielles Differenzieren und anschließendes Gleichsetzen der Kräfte

i

Int.-grenzen

gi

Steifigkeit Bi

Schnittgröße

Si

1F

Si

∂∂

1 0...a EI 1Fz− 0

2 0...a EI

( )

( )2

212

2zaF

zFzaF

+−

−+−

2z−

Berechnung der gesuchten Verschiebung

( )

.67

,3

22

2

,1

3

1

33

220

21

0 02

1

221

1

11

11

EI

Fav

aa

EI

Fdzzza

EI

Fv

dzF

MMdz

F

MM

EIF

Wv

a

a ab

bb

b

=

+=+=

∂∂+

∂∂=

∂∂=

∫

∫ ∫

Beispiel 3 Gegeben: q0, a, b, EI1, EI2

Gesucht: vc, ϕB

(nur infolge Biegearbeit)

q0

C

A B

aEI1

EI2

b




Lösung: Antragen von Hilfsbelastungen Das Einführen der Hilfskraft FH und des Hilfsmomentes MH vom Betrage Null ist notwendig, damit überhaupt die partielle Differentiation entsprechend den gesuchten Verformungen möglich ist. Die Hilfsbelastungen dürfen nach dem Differenzieren gleich Null gesetzt werden. Berechnung der Lagerreaktionen Die Berechnung von FA und FBH erübrigt sich, weil für die weitere Rechnung nur FBV benötigt wird. Die Hilfsbelastungen sind zu berücksichtigen! Es folgt:

++= HHBV MaFaqb

FA 202

11:

Biegemomentenverlauf

12101 2

1zFzqM Hb +=

HBVb MzFM −= 22

MH

Mb2FBH

FBV

z2

q0

a

b

FH

MHFA

FBH

FBV

z1

z2

A

Mb1

FH

z1

z1

2

q z0 1




Einsetzen der Lagerreaktionen in den Biegemomentenverlauf FBV ist von den Größen FH und MH, nach denen differenziert wird, abhängig und muss deshalb vorher in Mb2 eingesetzt werden:

HHHb Mb

zMaFaqM −

++= 2202 2

1

Partielles Differenzieren und anschließendes Nullsetzen der Hilfsbelastungen:

i Int.-

grenzen gi

Steifig-keit Bi

Schnittgröße

Si H

i

F

S

∂∂

H

i

M

S

∂∂

1 0 ... a EI1 12102

1zFzq H+ z1 0

2 0 ... b EI2 HHH Mb

zMaFaq −

++ 2202

1 2z

b

a 12 −

b

z

Berechnung der Verformungen

,68

,211

211

,11

2

30

1

40

20

222

3

02

10

310

1

0 02

22

21

11

1

EI

baq

EI

aqv

zdzb

aq

EIzdzq

EIv

dzF

MM

EIdz

F

MM

EIF

Wv

c

ba

c

a b

H

bb

H

bb

H

c

+=

+=

∂∂+

∂∂=

∂∂=

∫∫

∫ ∫

0

0 0 0




.12

,232

11

2

11

,11

2

20

222

2

02

2

02

2

02

02

22

201

11

1

EI

baq

bb

b

a

EI

qzd

b

zz

b

aq

EI

dzM

MM

EIdz

M

MM

EIM

W

B

b

B

b

H

bb

a

H

bb

H

B

−=ϕ

−=

−=ϕ

∂∂+

∂∂=

∂∂=ϕ

∫

∫∫

Anschauliche Deutung der Ergebnisse

vc ist die Summe von 1

40

1 8EI

aqvc =

infolge Biegung des vertikalen Trägers

und 2

30

2 6EI

baqvc =

infolge der Drehung der biegesteifen Ecke bei A. Das negative Vorzeichen bei ϕB bedeutet, dass der Richtungssinn von ϕB dem von MH entgegengesetzt ist.

C

vcvc2 vc1

A B-φB




Beispiel 4 Gegeben: F, R, EI. Der Träger sei schwach gekrümmt, d.h.

R >> Querschnittsabmessungen. Gesucht: vBH (Horizontalverschiebung des Lagers B, nur infolge Biegearbeit) Lösung: Lagerkräfte und Biegemomentenverlauf

Es wird nur FBV benötigt: ,0: =BVFA ϕ= sinFRMb

A BF

EI

R

F F

R

FAH

FAV FBV FBV=0

φ

s

Mb




l l

h

B

A C

F

S

EAEI2 EI1

Partielles Differenzieren

i

Int.-grenzen

Int.-grenzen Si

F

Si

∂∂

für s für ϕ

1 0...sA=πR 0 ... π FR sinϕ R sinϕ

Berechnung der gesuchten Verschiebungen

ϕ∂

∂=∂

∂= ∫∫π

dRF

MM

EIds

F

MM

EIv b

bb

s

bBH

A

00

11 .

Man beachte: ds = R dϕ !

∫π

ϕϕ=0

23

sin dEI

FRvBH ,

EI

FRvBH

3

2

π= .

Beispiel 5 Gegeben: F, l, EI1, EI2, EA Gesucht: vc

Vertikalverschiebung bei C infolge Biegung des Trägers AC und Dehnung des Stabes oder Seiles S




Lösung: Berechnung der Stabkraft FFA s 2: = Biegemomentenverläufe

11 FzMb −=

( ) 222 zFzlFM sb ++−=

Einsetzen von Fs in Mb2 und partielles Differenzieren

i Int.-

grenzen Steifig-

keit Si F

Si

∂∂

1 0 ... l EI1 -Fz1 -z1

2 0 ... l EI2 -F ( l - z2) - ( l – z2)

3 0 ... h EA 2F 2

l l

AC

F

FAH

FAV

z2 z1

FS

z1

Mb1

F

FSMb2

z2

Fl





∫ ∫ ∫ ∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂=

l l hs

sb

bb

bc dzF

FF

EAdz

F

MM

EIdz

F

MM

EIF

Wv

0 0 02

22

21

11

1

,111

( ) ,4111

02

0

2

20 2

121

1∫∫∫ +−+=hll

c FdzEA

zdzlFEI

zdzFEI

v

.

4113 21

3

+

+=

EA

h

EIEI

lFvc

Hinweis: Betrachtet man den Stab als Feder mit der Federsteifigkeit

h

EAc = , so gilt entsprechend

+

+=

∂∂+=

cEIEI

lF

F

FF

cv s

sc

4113

1...

21

3

.

Beispiel 6

Gegeben: F, a, EA Die Verformung ist durch die Gesucht: vv, vH Längenänderung der Stäbe infolge der Stabkräfte bedingt.

a

a

F

F

EA

(1)

(2)

vHvv

verformt




Antragen einer Hilfskraft und Berechnung der Stabkräfte

�: FFFF SS 2,02

222 −==+

: HSHSS FFFFFF +==−+ 121 ,022

Partielles Differenzieren und anschließendes Nullsetzen der Hilfskraft

i Bi

Si F

Si

∂∂

H

i

F

S

∂∂

l i

1 EA F+FH 1 1 a

2 EA F2− 2− 0 a2

Berechnung der gesuchten Verschiebungen

( )

( )

EA

aFv

lF

FF

EAF

Wv

EA

aFv

aFaFEA

lF

FF

EAF

Wv

H

ii H

SiSi

HH

v

ii

SiSiv

=

∂∂=

∂∂=

+=

+=∂∂=

∂∂=

∑

∑

=

=

,1

221

,2211

2

1

2

1

F

FS1

FS2

FH

45°




z2 az1

F

Mb2

Mt2

3a

z3

a

F

Mb3

Mt3

Beispiel 7 Gegeben: F, a, EI = konst., GIp = konst. Gesucht: vB (Verschiebung von B in Richtung F) Lösung: Es liegt ein räumliches Problem vor. Die Längskraft ist in allen 3 Bereichen Null. Jeder Balken- bereich wird nur einachsig auf Biegung beansprucht. Die Biege- achse liegt jeweils innerhalb der Zeichenebene. Bereiche 2 und 3 werden zusätzlich auf Torsion beansprucht. Schnittmomentenverläufe

0, 111 == tb MFzM

aFMFzM tb == 222 ,

( ) FaMzaFM tb 3, 333 −=+=

z1

F

Mb1

Mt1

2a

A

3a

z3

z2 a

z1

F

B





i Int.-grenzen

gi Bi Si

F

Si

∂∂

1 0 … a EI Fz1 z1

2.1 0 … 3a EI Fz2 z2

2.2 0 … 3a GIp Fa a

3.1 0 … 2a EI ( )3zaF + ( )3za +

3.2 0 … 2a GIp -3Fa -3a


∑∫ ∑ ∫= = ∂

∂+∂

∂=∂∂=

3

1 0

3

1 0

,11

i

l

i

l

iti

ti

p

ibi

bi

i i

dzF

MM

GIzd

F

MM

EIF

Wv

( ) ,93

0

2

03

22

2

0

3

0

2

03

232

221

21

++

+++= ∫ ∫∫ ∫ ∫

a a

p

a a a

dzadzaGI

Fdzzadzzdzz

EI

Fv

32118Fa

GIEIv

p

+=




12.4 Anwendung des Satzes von Castigliano zur Berechnung von Einflusszahlen Da der Satz von Castigliano einzelne Verformungen liefert, ist er auch sehr gut für die Berechnung von Einflusszahlen geeignet. Es gilt für die Verschiebung infolge der Belastung durch Momente und durch Kräfte:

( )∑=

γ+α=n

kkikkiki MFv

1

, k

iik F

v

∂∂=α .

Mit i

i F

Wv

∂∂= folgt

ki

ik FF

W

∂∂∂=α

2

.

Entsprechend erhält man:

ikki

kiik FM

W

MF

W

∂∂∂=

∂∂∂=δ=γ

22

und ki

ik MM

W

∂∂∂=β

2

.

Auch hier empfiehlt sich die Ausführung der partiellen Ableitungen in allgemeiner Form. Dabei wird die erste Ableitung einer Schnittgröße infolge ihrer Linearität von allen äußeren Lasten unabhängig, wodurch die allgemeinen Beziehungen eine einfache Gestalt annehmen. Wird nur Biegearbeit berücksichtigt, so folgt z.B.

( )( )

( )( )

( )( )∑ ∫

∑ ∫

∑ ∫

=

=

=

∂∂

∂∂

=β

∂∂

∂∂

=δ=γ

∂∂

∂∂

=α

n

jj

k

bj

i

bj

l jik

n

jj

k

bj

i

bj

l j

kiik

n

jj

k

bj

i

bj

l jik

dzM

M

M

M

EI

dzM

M

F

M

EI

dzF

M

F

M

EI

j

j

j

1

1

1

.1

,1

,1




Beispiel Gegeben: a, EI Gesucht: Sämtliche Einflusszahlen für die Stellen 1 und 2 Lösung: Antragen geeigneter äußerer Lasten und Berechnung der Lagerkräfte Es werden nur FAV und FB benötigt:

( ) ( )2121 21

21

: MMa

FFFB AV +−−=

( ) ( )2121 21

321

: MMa

FFFA B +++= .


a aa

1 2EI

a aa

1 2

F1 F2

FB

FAH

FAVM1

M2

a

F2 F2

FB

FAH

FAV

M2 M2

Mb1 Mb2Mb3

z1 z2 z3




Angabe der Biegemomente in allen drei Bereichen:

11 zFM AVb = , ( ) 22222 MzaFzFM Bb −+−= , 2323 MzFMb −−= Einsetzen der Lagerreaktionen und partielles Differenzieren

i Int.- grenzen Si

1F

Si

∂∂

2F

Si

∂∂

1M

Si

∂∂

2M

Si

∂∂

1 0...a ( ) ( )[ ] 12121

2121 zMMFF a +−−

21z

21z−

a

z

21−

a

z

21−

2 0...a ( ) ( )[ ] 2222121

2121 MaFzMMFF a −−+++

22z a

z −22

a

z

22 1

22 −a

z

3 0...a 232 MzF −− 0 -z3 0 -1

Berechnung der Einflusszahlen Bei gleichen Integrationsgrenzen lässt sich die Rechnung durch Addition der Integranden vor der Integration vereinfachen.

∂∂+

∂∂+

∂∂=α ∫ ∫ ∫

a a abbb dz

F

Mdz

F

Mdz

F

M

EI 0 0 03

2

1

32

2

1

21

2

1

111

1,

EI

adz

z

EI

a

642 3

0

2

11 ==α ∫




Entsprechend ergibt sich:

EI

adza

z

EI

a

421 3

02112 −=

−=α=α ∫ ,

EI

azdazaz

EI

a

4231 3

0

2222 =

+−=α ∫ .

01111 =δ=γ ,

∫ −=

−=δ=γa

EI

adz

z

EI 0

2

2112 421

,

∫ −=

−=δ=γa

EI

adz

z

a

z

EI 0

22

1221 12221

,

∫ =

+=δ=γa

EI

adza

a

z

EI 0

22

2222 67

21

,

∫ ==βa

EI

adz

a

z

EI 0

2

11 642

,

∫ −=

−=β=βa

EI

adz

a

z

a

z

EI 02

2

2112 12221

,

∫ =

+−=βa

EI

adz

a

z

a

z

EI 02

2

22 35

22

1 .




12.5 Anwendung des Satzes von Castigliano auf äußerlich statisch unbestimmte Systeme

Die besondere Leistungsfähigkeit des Satzes von Castigliano ergibt sich erst bei der Anwendung auf statisch unbestimmte Systeme. Die Systeme der folgenden Beispiele seien im unbelasteten Zustand spannungsfrei ! Beispiel 1 Gegeben: q0, l, EI Gesucht: Lagerreaktionen (nur infolge Biege- arbeit) Lösung: Markieren der gewählten statisch unbestimmten Lager-reaktionen FB sei die statisch Unbestimmte Berechnung der übrigen Auflagerreaktionen in Abhängigkeit von FB

�: 0=AHF , �: BAV FlqF −= 0 , A: 202

1lqlFM BA −=

q0

A BEI

l

q0

EI

l

FAH

FAV

FB

MA





202

1zqzFM Bb −=


Mb B

b

F

M

∂∂

202

1zqzFB − z

Berechnung der statisch Unbestimmten

∫ =∂∂=

∂∂=

l

B

bb

B

B dzF

MM

EIF

Wv

0

01

,

d.h.

0832

1 4

0

3

0 0

30

2 =−=

−=∂∂

∫ ∫l

ql

FdzzqzFdzF

MM B

l l

B

B

bb ,

lqFB 08

3= .

Endgültige Berechnung der übrigen Lagerreaktionen

200 8

1,

8

5,0 lqMlqFF AAVAH −=== .

q0

FB

Mb

z




Beispiel 2 Gegeben: q0, a, EI Gesucht: a) Lager- und Gelenk- reaktionen b) vGV (Vertikalverschiebung von G nur infolge Biege- arbeit) Lösung: Antragen einer Hilfskraft und Markieren der gewählten statisch unbestimmten Lagerkraft FBH sei die statisch Unbestimmte

q0

A

B

a

a

a

q0

MA

a

a

a

FAH

FAV

FH

FGH

FGH

FGV

FBV

FBH

FGV

z3

z2

z1

I

II




Berechnung der benötigten übrigen Lager- und Gelenk-reaktionen in Abhängigkeit von FBH

I G: aqFF BHBV 02

1+= ,

I �: BHGH FF = ,

I � : aqFaqFF BHBVGV 00 2

1+−=+−=


21011 2

1zqzFM VBb −=

22 zFM GHb = ( ) 33 zFFM HGVb +−=

q0Mb1

Mb2

Mb3FH

FGH

FGH

FGV

FBV

FBH

FGV

z3

z2

z1




Einsetzen der übrigen Lager- und Gelenkreaktionen, partielles Differenzieren und Nullsetzen der Hilfskraft

i Int.-

grenzen Si BH

i

F

S

∂∂

H

i

F

S

∂∂

1 0...a 21010 2

121

zqzaqFBH −

+ z1 0

2 0...a 2zFBH z2 0

3 0…a 302

1zFaqF HBH

++−− z3 -z3


∑∫=

=∂∂=

∂∂=

3

1 0

01

i

a

i

BH

bibi

BH

BH dzF

MM

EIF

Wv ,

d.h.

08

1

2

13 4

03

0

30

2 =−=

−∫ aqaFdzzqzF BH

a

BH ,

aqFBH 08

1= .


∑∫= ∂

∂=∂∂=

3

1 0

1

i

a

i

H

bibi

H

GV dzF

MM

EIF

Wv ,

∫∫ =

+−=aa

BHGV dzzEI

aqdzzaqF

EIv

03

23

03

23

00 8

3211

,

EI

aqvGV 8

40= .

0




Berechnung der übrigen Lager- und Gelenkreaktionen Nach Einsetzen von FBH in die bereits ermittelten Ausdrücke folgt:

aqFaqFaqF GVGHBV 000 83

,81

,85 ===

Außerdem erhält man mit FH = 0

II : aqFF GHAH 08

1−=−= ,

II �: aqFF GVAV 08

3== ,

II A : 208

3aqaFM GVA −=−= .

Beispiel 3 Gegeben: q0, a, EI, vB0

Gesucht: Lagerreaktionen Lösung: Es wird zunächst angenommen, dass der belastete Balken bei B aufliegt. Dann ist der Balken statisch unbestimmt gelagert. Markieren der gewählten statisch unbestimmten Lagerkraft

q0

CABEI

a a

vB0

FAH

FAV

q0

CAFB FC

a a




FB sei die statisch Unbestimmte Berechnung der benötigten Lagerreaktionen

2

: 0B

AV

FaqFC −= ,

2

: 0B

C

FaqFA −= .

Biegemomentenverläufe

21011 2

1zqzFM AVb −= ,

22022 2

1zqzFM Cb −= .

Einsetzen der übrigen Lagerreaktionen und partielles Differenzieren

i Int.-grenzen Si B

i

F

S

∂∂

1 0...a 21010 2

1

2zqz

Faq B −

− 21z−

2 0...a 22020 2

12

zqzF

aq B −

− 22z−

FAH

FAV

Mb1z1

q0

FC

Mb2

z2

q0





00

22

211

01

1B

a

B

bb

B

ba

b

B

B vdzF

MMdz

F

MM

EIF

Wv −=

∂∂+

∂∂=

∂∂= ∫∫

Das Minuszeichen bei vB0 berücksichtigt, dass vB0 und FB entgegengesetzt gerichtet sind. Es ist zu erkennen, dass beide Integrale auf Grund der Symmetrie des Systems übereinstimmen. Die Rechnung kann also von Anfang an auf eine Systemhälfte beschränkt werden. Es folgt

.442

220

0

3

0

22

011

01 B

a

B

B

ba

bB vdzz

qz

Fz

aqEI

dzF

MM

EIv −=

++−=∂

∂= ∫∫

Die Auswertung liefert

04

0

3

485

122

BB vaqa

FEI

−=

− , 030

645

BB va

EIaqF −= .

Diskussion Das Ergebnis gilt nur, wenn es ein 0≥BF liefert, d.h. für

0403.00 5246

54

BBGr va

EIv

a

EI

aqq ==≥ .

(Der Index Gr bedeutet: Grenzwert.) Sonst liegt der Balken bei B nicht auf und es gilt immer 00 =BF .




Berechnung der übrigen Lagerreaktionen Liegt der Balken nicht auf, so folgt aus den Beziehungen für FAV und FC nach Einsetzen von 00 =BF natürlich aqFF CAV 0

00 == . Gilt Grqq 00 ≥ , so ergibt sich

030

383

BCAV va

EIaqFF +== .

Das Ergebnis enthält auch den Sonderfall 000 == BB vv :

aqFB 045= , aqFF CAV 08

3== .

Beispiel 4 Gegeben: M0, a, EI Gesucht: Lagerreaktionen bei B (nur Biegearbeit) Lösung: Markieren der gewählten statisch unbestimmten Lagerreaktionen Das System ist zweifach statisch unbestimmt. FBV und MB seien die statisch Unbestimmten. Biegemomentenverlauf

A

B

aa

M0EI

M0

MB

FBV




Bb MM =1 022 MzFMM BVBb −+= Partielles Differenzieren

i Int.-

grenzen Si B

i

M

S

∂∂

BV

i

F

S

∂∂

1 0...a MB 1 0

2 0...a 02 MzFM BVB −+ 1 z2


01

0 0

22

211

1 =

∂∂+

∂∂=

∂∂=ϕ ∫ ∫

a a

B

bb

B

bb

B

B dzM

MMdz

M

MM

EIM

W ,

Mb1

MB

FBV

M0

MB

FBV

Mb2

a




d.h.

( ) 02

122 0

2

0

0 =−+=−+∫ aMaFaMdzMzFM BVB

a

BVB ,

01

0 0

22

211

1 =

∂∂+

∂∂=

∂∂= ∫ ∫

a a

BV

bb

BV

bb

BV

BV dzF

MMdz

F

MM

EIF

Wv ,

d.h.

( ) 021

31

21 2

032

020

222 =−+=−+∫ aMaFaMdzzMzFzM BVB

a

BVB .

Auflösung des Gleichungssystems ergibt:

051

MM B = , a

MFBV

0

56= .

01 2 2

0 0 03

0

332

0

221

0

11

0

=

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂

∫ ∫ ∫

a aa

q

bb

q

bb

q

bb

q

l dzF

MMdz

F

MMdz

F

MM

EIF

W

,022

2 2

0

002

0

00

2

=

++

+ ∫∫ dzaa

FMdzza

MF

a

qq

a

02212

2

00

30

0 =

++

+ aaFM

a

a

MF qq

.47 0

0 a

MFq −=




Endgültige Berechnung des Biegemomentenverlaufes mit

grafischer Darstellung

a

zMMb

101 4

7−= , 02 81

MMb −= , a

zMMb

303 4

1−=

Mb-Verlauf

(-)

(-)

(-)

(+)

(+)

(+)

18

M0

78

M0-




12.8 Nichtlinearer Zusammenhang zwischen Verformung und Belastung

Schon bei den Federn war ein nichtlinearer Zusammenhang zwischen Kraft und Verschiebung betrachtet worden. Auch Durchsenkung und Stabkräfte sind nicht immer eine lineare Funktionen der Belastung. Man kann die Stabkräfte alleine aus den Gleichgewichtsbedingungen mit den Methoden der Statik nicht ermitteln. Freischneiden und GGB für die unverformte Konstruktion an:

B : 2F

Cy = aber aus G : 0=yC .

Ein Krafteck lässt sich auch nicht zeichnen, denn die endliche senkrechte Kraft F bedingt zwei unendlich große Horizontalkräfte. Notwendig sind die Gleichgewichtsbedingung am verformten System (Theorie zweiter Ordnung). Aus dem Lageplan und dem Kräfteplan ergibt sich folgender Zusammenhang (∆l und v << l ).

( )

EA

F

l

l

ll

lll

ll

v

F

F s

s

22

2

22

=∆≈∆+

−∆+=∆+

=

BG

C

F

l l




Daraus ergibt sich:

3 2

21

FAEFs ≈ und 32

2EA

Fl

EA

Flllv s ≈=∆≈

Es kann nun die Formänderungsarbeit und die Ergänzungsarbeit angegeben werden:

( )( ) ( ) 3

1

3

4

3

43

44

EA

Fl

l

EAvdvEA

l

vdvFW

v vF ==

== ∫ ∫

und

( )( ) ( ) 3

1

3

4

3

1

4

3

EA

FldF

EA

FldFvW

F FE =

== ∫ ∫ .

Wegen des nichtlinearen Verhältnisses gilt EF WW ≠ und nur

aus der Ableitung der Ergänzungsenergie F

WE

∂∂

folgt v.

v

F

l+ ∆ll+∆lF

Fs Fs

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