Centro

O

A

B

C

raggioLa circonferenza è una linea chiusaformata da tutti i punti del piano chehanno la stessa distanza da un puntointerno O.

Questo punto O si chiama centro dellacirconferenza e la distanza fra i puntidella circonferenza e il centro sichiama raggio della circonferenza.

circonferenzachiama raggio della circonferenza.

Il cerchio è la parte di piano racchiusa da una circonferenza che ne costituisce il contorno. Esso è quindi formato dalla circonferenza stessa e da tutti i punti interni ad essa; il centro e il raggio della circonferenza sono anche il centro e il raggio del cerchio. cerchio

O

I punti del piano su cui giace una circonferenza possono essere interni, appartenenti o esterni alla circonferenza.

Si dicono:

•interni , se lo loro distanza dal centro è minore del raggio

OA < r OB < r

A

OBr

AOA < r OB < r

•appartenenti alla circonferenza , se la loro distanza dal centro è uguale al raggio,

OA = r OB = R

•esterni se la loro distanza dal centro è maggiore del raggio,

OA > r OB > r

B

A

rO

r

O

A

B

Una retta giacente sullo stesso piano di una circonferenza può essere secante , tangente o esterna ad essa.

Retta secante la circonferenza:

La retta ha in comune con la circonferenza due punti e la sua distanza dal centro è

minore del raggio OH < r

Retta tangente alla circonferenza:

or

aH

La retta ha in comune con la circonferenza un solo punto e la sua distanza dal centro è

uguale al raggio OH = r La retta si dice tangente alla circonferenza e il punto in comune si chiama punto di tangenza. Tangente e raggio sono perpendicolari.

Retta esterna alla circonferenza:

La retta non ha in comune con la circonferenza alcun punto e la sua

distanza dal centro è maggiore del raggio

OH > r

o rH

a

or

H

a

Due circonferenze giacenti sullo stesso piano possono essere tra loro secanti , tangenti esternamente o internamente, una esterna all’altra ,una interna all’altra e concentriche .

•Due circonferenze secanti :

Le due circonferenze hanno due punti in comune e la distanza dei loro centri è minore della somma

dei raggi OO’ < r + r’

•Due circonferenze tangenti esternamente :

ro’o

r’

•Due circonferenze tangenti esternamente :

Le due circonferenze hanno un solo punto in comune e la

distanza dei loro centri è uguale alla somma dei raggi

OO’ = r + r’

•Due circonferenze tangenti internamente :

Le due circonferenze hanno un solo punto in comune e la distanza dei loro centri è uguale alla differenza dei raggi

OO’ = r’ - r

o’r’

o r

o’or

r’

•Due circonferenze una esterna all’altra :

Le due circonferenze non hanno alcun punto in comune e la distanza dei loro centri è maggiore della somma dei loro raggi

OO’ > r + r’

•Due circonferenze una interna all’altra :

r

o’

or’

•Due circonferenze una interna all’altra :

Le due circonferenze non hanno alcun punto in comune e la

distanza dei loro centri è minore della differenza dei raggi

OO’ < r’ - r

•Due circonferenze concentriche :

Le due circonferenze sono una interna all’altra e hanno lo stesso centro

OO’ = r’ - r

o’o

} rr’

o≡o’

arcocorda

AB

DC

Odiametro

Si chiama arco la parte di circonferenza limitata d due punti A e B, detti estremi dell’arco, e si indica con AB.

Si chiama corda ogni segmento che unisce due punti della circonferenza.

Ogni corda passante per il centro si chiama diametro .

Consideriamo una circonferenza di centro O e raggio r e in essa disegniamo una corda AB. Il triangolo AOB è isoscele, in esso l’altezza, la bisettrice e la mediana relativa alla base AB coincidono, quindi l’altezza OH è anche mediana, per cui AH = HB.

Possiamo concludere dicendo che:

La perpendicolare condotta dal centro a una qualsiasi corda divide tale corda in due parti congruenti; essa è quindi asse della corda.

r

o

BA H

Il segmento OH è la distanza della corda dal centro.

•settore circolare :

rappresenta la parte di cerchio limitata dall’arco AB e dai due raggi.

OA

B Settore circolare

•segmento circolare a una base:A

Segmento circolare a

Ciascuna delle due parti di cerchio limitata dalla corda e dagli archi corrispondenti.

O

B

circolare a una base

•segmento circolare a due basi :

Parte di cerchio limitata da due corde.

Segmento circolare a due basi

O

Si chiama angolo al centro di unacirconferenza ogni angolo avente il verticecoincidente con il centro della circonferenza.

Or

Aa

B

bParticolari angoli al centro sono:

1. quello retto formato da due

α

α

A

1. quello retto formato da due semirette perpendicolari: α = 90°

2. quelli piatti formati da due semirette adiacenti, cioè dal diametro. BA

α

α’°

Oα

B°

Particolari angoli al centro sono:

3. quello giro formato da due semirette sovrapposte: α = 360°

A=Bα

O

Angoli alla circonferenzaP

Aa

O

B

b

O

P

a

b

Si chiama angolo alla circonferenza unangolo che ha il vertice sulla circonferenza ei cui lati possono essere entrambi secantioppure uno secante e l’altro tangente allacirconferenza.

Angoli al centro che insistono su archi congruenti sono tra loro congruenti. αα’

'αα ≅In una qualsiasi circonferenza ogni angolo alla circonferenza è la metà dell’angolo al centro che insiste sullo stesso arco.

o

α

β

B

αβ2

1≅

Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono tra loro congruenti.

o

αBA

α’’’α’’

α’

αααα2

1'''''' =≡≡

αA

B

Angoli alla circonferenza che insistono su archi congruenti sono tra loro congruenti.

C

AB

D

O

In una circonferenza ogni angolo allacirconferenza che insiste su unasemicirconferenza è un angolo retto. Tutti i β

P

semicirconferenza è un angolo retto. Tutti itriangoli aventi un vertice appartenente auna circonferenza e un lato coincidente conun diametro della circonferenza stessasono triangoli rettangoli.

α

β

OA B

Osserviamo che:

°=°== 90 180 2

1 βααβ

Se in una circonferenza inscriviamo untriangolo avente un lato coincidente con ildiametro, questo triangolo è rettangolo e inesso ipotenusa=diametro

Abbiamo quindi le seguenti relazioni:

222222 CdccdCcCd −=−=+=