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Teoria C7-1

C7. Circonferenza e cerchio

C7.1 Introduzione ai luoghi geometrici Un luogo geometrico linsieme dei punti del piano che godono di una propriet detta propriet caratteristica del luogo geometrico. Esempio Lasse di un segmento il luogo dei punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento. Si era definito precedentemente lasse di un segmento come la retta passante per il punto medio del segmento e perpendicolare al segmento stesso. Ora si data una differente definizione di asse di un segmento. Per essere sicuri che le due definizioni coincidano bisogna dimostrare i teoremi seguenti. Teorema C7.1a La retta passante per il punto medio di un segmento AB e perpendicolare ad esso formata da punti equidistanti dagli estremi del segmento AB. Teorema C7.1b I punti equidistanti da A e B sono tutti e soli quelli che si trovano sulla retta passante per il punto medio del segmento e perpendicolare al segmento stesso. Le dimostrazioni dei due teoremi sono abbastanza semplici e sono lasciate per esercizio. Esempio La bisettrice di un angolo il luogo dei punti del piano equidistanti dai lati dellangolo. Anche in questo caso si era definita precedentemente la bisettrice come la retta che divide un angolo in due angoli congruenti. Per essere sicuri che le due definizioni coincidano necessario dimostrare i teoremi seguenti. Teorema C7.1c La retta che divide in due parti congruenti un angolo formata dai punti equidistanti dai lati dellangolo. Teorema C7.1d I punti equidistanti dai lati dellangolo formano una retta che divide langolo in due parti congruenti. Anche in questo caso le due dimostrazioni vengono lasciate per esercizio. I luoghi geometrici verranno approfonditi in geometria analitica, quando si introdurranno le coordinate cartesiane nel piano.

C7.2 Circonferenza e cerchio Dato un punto O e un segmento r si dice circonferenza di centro O e raggio r linsieme dei punti del piano tali che OP=r. Dato un punto O e un segmento r si dice cerchio di centro O e raggio r linsieme dei punti del piano tali che OPr.

A

B

M

D

Fig. C7.1 Asse di un segmento.

Fig. C7.2 Bisettrice di un angolo.

Teoria C7-2

Un punto detto interno alla circonferenza se la distanza tra il punto e il centro minore del raggio. Un punto detto esterno alla circonferenza se la distanza tra il punto e il centro maggiore del raggio. In base alle definizioni di punti interni ed esterni il cerchio linsieme formato sia dai punti della circonferenza che da quelli interni ad essa. Anche se risulta ovvio non dimostrabile dalle definizioni precedenti e si deve prendere la seguente affermazione come assioma. Assioma: ogni segmento avente come estremi un punto interno e uno esterno alla circonferenza interseca la circonferenza in un solo punto. Costruzione Dati tre punti A, B e C non allineati trovare la circonferenza passante per i tre punti. Procedimento:

Determinare lasse del segmento AB. Determinare lasse del segmento BC. Determinare lintersezione degli assi dei segmenti AB e BC. Il punto trovato p il centro della circonferenza. Il raggio il segmento avente come estremi il centro e uno qualunque dei punti A, B o C.

Teorema Esiste una sola circonferenza passante per tre punti non allineati. DIMOSTRAZIONE La dimostrazione non altro che la costruzione precedente, in quanto tale costruzione permette, in base a tre punti non allineati, di determinare lunica circonferenza passante per essi.

Costruzione dellasse del segmento AB Costruzione dellasse del segmento BC

Lintersezione degli assi dei due segmenti il centro della circonferenza.

Fig. C7.3 Circonferenza e cerchio.

Circonferenza. Cerchio.

Fig. C7.4 Costruzione della circonferenza passante per 3 punti.

Teoria C7-3

Osservazione Si applichi il procedimento per trovare la circonferenza passante per tre punti se gli stessi sono allineati. In questo caso si trova che gli assi dei segmenti AB e BC risultano essere paralleli e pertanto non si intersecano in alcun punto. Per tale ragione non esiste una circonferenza passante per 3 punti allineati.

C7.3 Diametri e corde La circonferenza ha un centro di simmetria, che il centro della circonferenza, e nella figura C7.5 indicato con O. Il segmento che ha come estremi due punti della circonferenza detto corda. Nella figura C7.5 il segmento CD una corda. Se una corda passa per il centro allora detta diametro. Nella figura C7.5 il segmento AB un diametro. In base alle definizioni precedenti si pu affermare che:

Il diametro il doppio del raggio. Tutti i diametri di una circonferenza sono congruenti tra loro. Ogni diametro asse di simmetria della circonferenza. Tra tutte le corde di una circonferenza il diametro quella maggiore.

Teorema C7.3a Data una qualsiasi corda AB di una circonferenza di centro C il suo asse di simmetria passa per il centro della circonferenza. IPOTESI: la retta r asse di simmetria della corda AB. TESI: Cr. DIMOSTRAZIONE Lasse del segmento AB formato dai punti equidistanti da A e B per quanto detto nei teoremi C7.1a e C7.1b. Il centro equidistante da A e da B per definizione di circonferenza, quindi esso appartiene allasse del segmento. Teorema C7.3b Il diametro perpendicolare a una corda la divide a met. IPOTESI: AB perpendicolare a CD. TESI: CHHD. DIMOSTRAZIONE: Il triangolo COH e il triangolo OHD sono rettangoli, hanno il cateto OH in comune e OCOD perch sono entrambi raggi. Per i criteri di congruenza dei triangoli rettangoli avendo congruenti un cateto e lipotenusa i triangoli COH e OHD sono congruenti. Essendo congruenti lo sono tutti i loro angoli e lati, e in particolare lo sono

quindi anche CH e HD.

A

B

C D

Fig. C7.7 Teorema del diametro perpendicolare a una corda.

O

H

A

B

C D

Fig. C7.5 Diametro e corda.

O

A B

Fig. C7.6 Il centro della circonferenza appartiene allasse

di simmetria di una qualsiasi corda.

C

M

r

Teoria C7-4

Teorema C7.3c La perpendicolare a una corda passante per il centro di una circonferenza lasse della corda. IPOTESI: AB perpendicolare a CD, OAB. TESI: AB lasse di CD. DIMOSTRAZIONE: Sia H il punto di intersezione tra AB e CD. Dal fatto che OC e OD sono raggi della stessa circonferenza segue che OCOD, dunque il triangolo OCD isoscele sulla base CD e OH laltezza del triangolo isoscele OCD poich per ipotesi ABCD. In un triangolo isoscele laltezza relativa alla base anche mediana, da cui segue che CHHD. La retta passante per A e B risulta dunque essere perpendicolare a CD e passante per il punto medio di CD, dunque essa lasse di CD. Teorema C7.3d Se due corde sono congruenti allora esse hanno la stessa distanza dal centro. IPOTESI: CDEF, CD e EF corde di una circonferenza avente centro O, OHCD, OGEF. TESI: OHOG. DIMOSTRAZIONE Per i teoremi precedenti G e H sono i punti medi di EF e CD rispettivamente.

Dal fatto che CDEF per ipotesi segue che 1 1CH CD AB EG2 2

.

Si considerino ora i triangoli COH e EGO. Essi hanno congruenti: OCOE perch sono entrambi raggi della stessa circonferenza. CHEG come appena dimostrato.

OHC OGE perch sono entrambi angoli retti per i teoremi precedenti. I due triangoli sono dunque congruenti per criteri di congruenza dei triangoli rettangoli e dunque hanno congruenti tutti i lati e tutti gli angoli. In particolare risulta OHOG. Teorema C7.3e Se due corde hanno la stessa distanza dal centro allora sono congruenti. IPOTESI: OHOG, CD e EF corde di una circonferenza avente centro O, OHCD, OGEF. TESI: CDEF. DIMOSTRAZIONE Si considerino ora i triangoli COH e EGO. Essi hanno congruenti:

OCOE perch sono entrambi raggi della stessa circonferenza. OHOG per ipotesi.

A

B

C D

Fig. C7.8 Teorema del diametro perpendicolare a una corda.

O

H

A

C D

Fig. C7.9 Due corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro.

O

H

E

F

G

B

A

C D

Fig. C7.10 Due corde aventi la stessa distanza dal centro sono congruenti.

O

H

E

F

G

B

Teoria C7-5

OHC OGE perch sono entrambi angoli retti per i teoremi precedenti. I due triangoli sono dunque congruenti per i criteri di congruenza dei triangoli rettangoli e dunque hanno congruenti tutti i lati e tutti gli angoli. In particolare risulta CHEG. Da ci segue che CD2CH2EGEF. Il seguente teorema ha una dimostrazione un po pi elaborata che si omette. Teorema C7.3f Se una corda ha distanza maggiore dal centro rispetto a unaltra allora la sua lunghezza minore. IPOTESI: OHEF.

C7.4 Angoli al centro

Ognuno degli angoli che ha come lati due raggi detto angolo al centro. In figura C7.12 COD langolo al centro.

Le parti della circonferenza delimitate dai due punti C, D appartenenti alla circonferenza detta arco. In figura C7.12 uno degli archi di circonferenza segnato non tratteggiato, mentre laltro segnato tratteggiato. Se come corda si prende un diametro allora larco detto semicirconferenza. La parte di cerchio delimitata da un angolo al centro prende il nome di settore circolare. Osservazione Ad ogni angolo al centro corrisponde una corda e un arco. Ad ogni corda corrisponde un angolo al centro e un arco. Ad ogni arco corrisponde un angolo al centro e una corda. Osservazione Riferendosi alla stessa circonferenza valgono le seguenti affermazioni:

Ad angoli al centro congruenti corrispondono

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