Circonferenza e Cerchio

isidoro.sciarratta@alice.itMatematica di Base - Ingegneria UNIUD

Circonferenza e Cerchio

Si definisce circonferenza una linea chiusa i cui punti hanno uguale distanza da un punto fisso detto centro. Tale distanza si chiama raggio e generalmente si indica con r.

Si definisce cerchio la parte di piano racchiusa da una circonferenza

AOr

AOr

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CORDA E DIAMETRO

Si dice corda il segmento che unisce due punti della circonferenza.

Si dice diametro d la corda che passa per il centro. Pertanto il diametro è una corda massima

Vale la relazione:

d = 2 r

A

B

C DOd

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Parti del cerchio

A

B

1_

O

B

A

C

D3_

A

B

O

2_

settore circolare

segmento circolare

monobasico

segmento circolare a due basi

Dicesi segmento circolare la parte di cerchio delimitata da una o due corde (parallele).

La parte di cerchio delimitata da due raggi dicesi, invece, settore

circolare

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Circonferenze tangenti esternamente

Due circonferenze sono tangenti esternamente se hanno due punti coincidenti in comune e la distanza dei loro centri è uguale alla somma dei due raggi.

Or

r1

O1

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Due circonferenze sono tangenti internamente se hanno due punti coincidenti in comune e la distanza dei loro centri è uguale alla differenza dei raggi.

Circonferenze tangenti internamente

Or

r1O1

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Circonferenze esterneDue circonferenze

sono una esterna all’altra se non hanno alcun punto in comune e la distanza dei loro centri è maggiore della somma dei raggi.

Or

r1

O1

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Circonferenze interne

Due circonferenze sono una interna all’altra se non hanno alcun punto in comune e la distanza dei loro centri è minore della differenza dei raggi.

O

c1

c2

Circonferenze concentriche

Orr1

O1

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Circonferenza e cerchio: formule

O

r

9

Lunghezza di un arco di circonferenza

A

O

l

10

Area del settore circolare

O

A

B

11

Corona circolare

O

Ac1

Ac2

12

Circonferenzee angoli

13

angoli al centro ed alla circonferenza

Si definisce angolo al centro un angolo il cui vertice è situato sul centro della circonferenza

Si definisce angolo alla circonferenza un angolo il cui vertice è un punto qualsiasi della circonferenza.

Fra gli uni e gli altri sussistono delle importanti proprietà alcune delle quali sono descritte nei seguenti lucidi

V

V

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Si dimostra che tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco hanno la stessa ampiezza.

Un angolo alla circonferenza ed un angolo al centro che insistono sullo stesso arco hanno ampiezze che stanno nel rapporto 1 a 2.

angoli al centro ed alla circonferenza

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un angolo alla circonferenza che insiste su un arco pari alla semicirconferenza è retto.

Di conseguenza ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è un triangolo rettangolo di cui l’ipotenusa coincide con il diametro.

angoli al centro ed alla circonferenza

16

La retta tangente in un punto qualsiasi di una circonferenza ed il raggio che passa per lo stesso punto, sono perpendicolari

angoli al centro ed alla circonferenza

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tangenti e secanti

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Rette tangenti condotte da un punto esterno

I segmenti di tangenza condotti da un punto esterno verso una circonferenza sono congruenti, e ancora:

P

A

B

o°°

°°

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teorema delle secanti

Per ogni coppia di secanti condotte da un punto esterno ad una circonferenza, parte esterna ed intera secante di una retta costituiscono i medi di una proporzione così come quelli della seconda retta costituiscono gli estremi.

PA B

CD

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tr. della tangente e della secante

Il segmento di tangenza è medio proporzionale fra la parte esterna e ľintera secante della retta secante.

P

A

BC

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tr. delle corde intersecantesiOgni coppia di corde

intersecantesi di una circonferenza forma quattro segmenti tali che i segmenti di una medesima corda costituiscono gli estremi e quelli della seconda i medi di una proporzione.

DA

CB

P

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Esercizi1. Calcolare l’area della superficie di un cerchio la cui

circonferenza misura 6π m

2. Calcola la misura dell’arco sotteso e l’area della superficie di un settore circolare il cui angolo al centro misura 120°

3. Calcola la misura dell’arco sotteso e l’area della superficie di un semento circolare delimitato da una corda di lunghezza r(2)1/2

4. Calcola l’area della superficie di un segmento circolare (bibasico) delimitato dalle due corde di misura rispettivamente r(3)1/2 ed r

5. .

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Terminologia

Altezze, asse, bisettrice, mediane

Ortocentro, circumcentro, incentro, baricentro

tangente, secante,

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