circonferenza, cerchio e loro parti - trevisini.it pdf novit%88/opmat_pdf_geometria.pdf · 100 12....

Nucleo tematico: geometria

Circonferenza, cerchio

e loro parti

1. Circonferenza e cerchio2. Parti della circonferenza e del cerchio3. Posizione di una retta rispetto a una circonferenza4. Posizioni reciproche di due circonferenze5. Angoli al centro6. Angoli alla circonferenza7. Relazione tra un angolo alla circonferenza e il corrispondente

angolo al centro8. Proprietà di corde ed archi

* Usare strumenti per il disegno geometrico* Operare con misure angolari* Operare con rapporti e proporzioni

Prerequisiti Conoscenze* I significati di termini e simboli inerenti la cir-

conferenza, il cerchio e le loro parti

* Le relazioni e le proprietà inerenti la circonfe-renza, il cerchio e le loro parti

Abilità* Disegnare circonferenze, cerchi e i loro ele-

menti secondo le istruzioni date

* Utilizzare proprietà e relazioni per risolvere pro-blemi con circonferenza, cerchio e loro parti

Obiettivi

10012. Circonferenza, cerchio e loro parti

Circonferenza e cerchioSe si fa ruotare di 360° l’estremità di un compasso attorno a unpunto O del piano si ottiene una linea curva par-ticolare i cui punti sono tutti equidistanti da O.Questa linea curva si chiama circonferenza, ilpunto O è detto centro della circonferenza ela distanza che ogni punto appartenente alla cir-conferenza ha dal centro è il raggio della cir-conferenza (come OA in figura 1). Tutti gli altri punti del piano rispetto alla circon-ferenza si possono trovare in una di queste duesituazioni:il punto è esterno alla circonferenza(figura 1, punto C);il punto è interno alla circonferenza(figura 1, punto B).

L’insieme dei punti appartenenti alla circonfe-renza e di quelli interni ad essa costituiscono ilcerchio. In un piano, sia la circonferenza sia ilcerchio sono individuati quando si conoscono ilcentro, in generale indicato con la lettera O, e ilraggio, indicato invece con la lettera r (figura 2).

In conclusione:

1esercizi

pagg. 249 - 250

r

AB C

O

figura 1

raggio rO

cerchio

circonferenza

figura 2

La circonferenza è una linea chiusa formata da tutti i punti equidistanti da un puntointerno O, detto centro della circonferenza.

Il raggio è la distanza che un punto qualsiasi della circonferenza ha dal centro dellastessa.

Il cerchio è la parte di piano costituito dai punti appartenenti ad una circonferenza edai punti interni ad essa.

Il centro di una circonferenza o di un cerchio è anche centro di simmetria; infatti,per qualsiasi punto della circonferenza o del cerchio esiste sempre il simmetrico ri-spetto al centro (figura 3).

O

P

P'

O

A

A'

P e P' sono simmetricirispetto a O; infatti PO � P'O

A e A' sono simmetricirispetto a O; infatti AO � A'O

figura 3


r

P e P' sono simmetrici rispetto a r

A e A' sono simmetrici rispetto a r

A

O

A'P'P

figura 4

A A B A CO

ts

r

B

a) b) c)

figura 5

Acorda AB B

arco AB

arco AB

C DO

semicirconferenzasemicerchio

semicirconferenza

diametro d

semicerchio

figura 6

Una qualsiasi retta che passa per il centro della circonferenza o del cerchio è ancheasse di simmetria; infatti per qualsiasi punto della circonferenza o del cerchio esi-ste sempre il simmetrico rispetto a tale asse (figura 4).

Nota beneOsserva la figura 5.Per un punto (A) passano infinite circonferenze (figura 5a). Per due punti (A e B) passano infinite circonferenze (figura 5b). Per tre punti non allineati (A, B e C) passa una e una sola circonferenza. Il cen-tro della circonferenza (O) è il punto d’incontro dei tre assi (circocentro) del triangoloche ha come vertici i tre punti considerati (figura 5c).

Parti della circonferenzae del cerchio

Osserva la figura 6.

Il segmento che ha come estremi A e B si dice corda e ciascuna delle due parti incui la circonferenza viene divisa si chiama arco: quello di minor lunghezza si rap-presenta con il simbolo (arco convesso) e quello di maggior lunghezza invececon il simbolo (arco concavo); nell’esempio considerato AB e AB. Quando non

2esercizi

pagg. 250 - 252


si specifica il tipo di arco, si intende quello convesso. I punti A e B sono gli estremisia degli archi AB e AB sia della corda AB: cioè si dice che l’arco AB oppure ABèsotteso dalla corda AB, oppure che un arco e una corda aventi gli stessi estremisono corrispondenti.

Facendo sempre riferimento alla figura 6, possiamo notare che il segmento che ha perestremi i punti C e D è una corda che passa per il centro ed è la più lunga che possiamodisegnare nel cerchio considerato: essa si chiama diametro e si indica con la letterad. Si può inoltre osservare che il diametro è il doppio del raggio, ovvero d � 2 � r.Gli estremi del diametro dividono la circonferenza in due archi congruenti detti se-micirconferenze. Il diametro divide invece il cerchio in due parti congruenti dettesemicerchi.

Nella figura 7a, ciascuna parte di cerchio limitata dai raggi OP e OQ e dall’arco PQoppure PQ si chiama settore circolare, rispettivamente settore circolare convessoo concavo. Nella figura 7b, la corda MN divide invece il cerchio in due parti chiamate segmenticircolari.

Ogni segmento che congiunge due punti di una circonferenza si chiama corda.

L’arco di circonferenza è una parte di circonferenza limitata da due suoi punti che sidicono estremi dell’arco.

Il settore circolare è ciascuna delle due parti in cui un cerchio resta diviso da due raggi.

Un segmento circolare è ciascuna delle due parti in cui un cerchio è diviso da una suacorda non passante per il centro.

M

N

segmenticircolari

O P

Qsettore circolare

convesso

settore circolareconcavo

a) b)

figura 7


1. Completa le frasi inserendo al posto dei puntini i nomi delle parti evidenziate nei disegni.

– La lettera r indica il .................................. e la lettera d il ...................................

– Il segmento AB è una ........................... e divide il cerchio in due ....................................................

– Il segmento RS è un ................................ e divide il cerchio in due .......................................,

mentre i punti R e S dividono la circonferenza in due .......................................................................

– ABe AB sono ......................... di ..............................................., rispettivamente ...........................

e ............................

– La parte di cerchio colorata in verde e quella in violetto sono ................................................., ri-

spettivamente ............................ e .....................

2. Per ciascun punto segnato nella seguente figura indica se appartiene o non appartiene alcerchio (CO) e alla circonferenza c.

............................................ ............................................

............................................ ............................................

............................................ ............................................

............................................ ............................................

............................................ ............................................

............................................ ............................................

............................................ ............................................

3. Riferendoti alla precedente figura in cui con r si indica il raggio, completa le seguenti scrit-ture inserendo in modo adeguato i segni =, >, o <.

OB ............. r OE ............. r OF ............. r OC ............. r

OG ............. r OA ............. r OD ............. r

4. Nella circonferenza a fianco disegna, a tuo piacere, una cordaRS non passante per il centro O ed evidenzia con due colori di-versi i segmenti circolari che si vengono a formare.

O

A

Br R S

O

d

rA

O

E

F

D

GC

B

CHECK POINT

A appartiene a CO

A non appartiene a c

O


Posizione di una retta rispetto a unacirconferenza

Date una retta e una circonferenza in un piano, possono presentarsi le tre situazionirappresentate in figura 8:

la retta è esterna: non ha alcun punto in comune con la circonferenza e la suadistanza dal centro è maggiore del raggio della circonferenza (figura 8a);

la retta è secante: ha due punti in comune con la circonferenza e la sua distanzadal centro è minore del raggio della circonferenza (figura 8b);

la retta è tangente: ha un solo punto in comune con la circonferenza e la suadistanza dal centro è uguale al raggio della circonferenza (figura 8c).

Ricordando che la distanza di un punto da una retta è un segmento perpendicolare allaretta stessa, possiamo fare la seguente constatazione:

3esercizi

pagg. 252 - 255

La tangente ad una circonferenza è perpendicolare al raggio condotto per il punto ditangenza.

c

O

r

l

H

c

O

r

m

K

B

A

c

O

r

n

P

a) retta esterna

OH > r OH < r OH = r

b) retta secante c) retta tangente

figura 8

O

P

Ai

r

figura 9

Il triangolo che si ottiene tracciando una tangente, ilraggio condotto per il punto di tangenza (P) e la di-stanza del centro della circonferenza (O) da un puntoappartenente alla tangente (A) è rettangolo. Pertanto per il teorema di Pitagora si ha che:

OA� � � r2 � AP�2

r � � OA�2 � AP�2

AP� � � OA�2 � r2


Posizioni reciproche di due circonferenze

Date due circonferenze c e c' in un piano, esse possono essere re-ciprocamente:

esterne: non hanno alcun puntoin comune e la distanza tra i duecentri è maggiore della sommadei raggi delle due circonferenze(figura 10)

OO' > r � r'

secanti: hanno due punti in comune e la distanza trai due centri è minore della somma dei raggi delle duecirconferenze (figura 11)

OO' < r � r'

concentriche: hanno lo stessocentro e raggi diversi: non hannopertanto punti in comune; in que-sto caso la parte di piano compresatra le due circonferenze si dice co-rona circolare e la differenza deiraggi delle due circonferenze sidice larghezza della corona circo-lare: r – r' (figura 12)

O � O'

una interna all’altra: non hanno alcun punto in co-mune e tutti i punti di una circonferenza sono interniall’altra, ma non sono concentriche. La distanza tra idue centri è minore della differenza tra i due raggi(figura 13)

OO' < r � r'

tangenti esternamente: hannoun punto in comune e la distanzatra i due centri è uguale alla sommadei raggi delle due circonferenze(figura 14).

OO' � r � r'

tangenti internamente: hanno un punto in comunee la distanza tra i due centri è uguale alla differenza trai raggi delle due circonferenze (figura 15)

OO' � r � r'

4esercizi

pagg. 255 - 257

O O'r r'

c c'

figura 10

O O'r r'

c c'A

B

figura 11

O �O'r'

rc c'

figura 12

O

r

c

O' r'

c'

figura 13

Or

c

O'r'

c'P

figura 14

Or

c

O' r'

c'

T

figura 15


1. Per ciascuna retta del disegno indica la posizione che occupa rispetto alla circonferenza c.

– r rispetto a c è ..................... e, pertanto, non ha ....................

punto in comune con c.

– s rispetto a c è .................................. ed ha ............. punti in

comune con c.

– t rispetto a c è .............................. ed ha ........................ in

comune con c.

2. Osserva il disegno e completa le frasi inserendo i termini adeguati.

– c e c1 sono ....................................

.....................................................

– c2 e c3 sono ..................................

.....................................................

– c1 e c2 sono ..................................

.....................................................

– c e c2 sono ....................................

.....................................................

3. Completa il seguente problema in cui la retta t è tangente la circonferenza nel punto T.

OA� � 25 cm 2p(AOT) � ?

CD� � 30 cm A(AOT) � ?

– CD è il diametro della circonferenza; pertanto

puoi calcolare la misura del raggio OT:

OT� � CD� : ............. � .....................

– Applica il teorema di Pitagora al triangolo ret-

tangolo AOT per calcolare la misura di AT:

AT� � ...................................................................

quindi:

2p(AOT) � ...............................................................

A(AOT) � .................................................................

r

s t

c

c c1

c2

c3

O

T

A tDC

CHECK POINT

12

1. Segna sulla figura seguente i punti M, N, P, Q,R, S in modo che siano soddisfatte le seguenticondizioni: P appartiene c, Q � O, R interno ac, S esterno a c, M e N simmetrici rispetto a O.

2. Riferendoti alla seguente figura indica la posi-zione di ciascun punto rispetto alla circonfe-renza c.

A ........................... c E è ......................... c

B è ........................ c M è ......................... c

D ........................... c N è ......................... c

G e F sono ................................... rispetto a O

3. Considera l’illustrazione seguente e completainserendo uno dei seguenti simboli: >, <, =(r è il raggio della circonferenza).

OF .......... r OG ......... OH

OH ......... OE r ............. OH

OE ......... OF r ............. OG

4. Un cerchio ha il raggio di 3 cm e un punto Adista dal suo centro 2,8 cm. Il punto A appar-tiene al cerchio? Giustifica la risposta. (Confronta la misura del raggio con quelladella distanza del punto A dal centro O).

5. Considera una circonferenza avente il raggio di2,9 m e un punto P distante dal centro O 2,6 m.Il punto P appartiene alla circonferenza? E se ladistanza del punto P fosse 15 dm dove sarebbeil punto? Motiva le risposte.

6. Il segmento OA è lungo 9 cm. Quanto misurala parte di OA esterna alla circonferenza dicentro O e raggio 5 cm?

O

c

OF

HG

E

O

c

E

F

B

AG

D

N

M

1. Circonferenza e cerchio teoriapagg. 100 - 101

Ripasso della teoria

La circonferenza è l’insieme di tutti e soli i punti di un piano equidistanti da un punto fisso dettocentro.

Il cerchio è la parte di piano formata da una circonferenza e dai punti ad essa interni.

Per un punto e per due punti passano infinite circonferenze, per tre punti non allineatipassa una ed una sola circonferenza.

12 249Circonferenza,cerchio e loro parti

25012. Esercizi

12

7. Osserva le seguenti situazioni e indica in quali casi è possibile tracciare una circonferenza passanteper i punti dati. Giusti fica la risposta.

Perché gli assi dei segmenti AB e BC si inter-

secano nel ........................................................

SÌ NO

Perché ...........................................................

........................................................................

SÌ NO

C

B

A

A

P Q R

B

Perché gli assi dei segmenti AB, BC e CD non

........................................................................

SÌ NO

Perché ...........................................................

........................................................................

SÌ NO

A

B C

D

C

A

B

CD

D

2. Parti della circonferenza e del cerchio

teoriapagg. 101 - 103


arco di circonferenza (è una parte di circonferenza delimi-tata da due suoi punti)

settore circolare (è ognuna delle due parti in cui un cerchio èdiviso da due suoi raggi)

raggio (è la distanza dal centro a un punto qualunque dellacirconferenza)

diametro (è una corda passante per il centro, è il doppio delraggio)

corda (è un segmento avente gli estremi sulla circonferenza)

Il segmento circolare a una base è ognuna delle due parti in cui un cerchio è diviso da unasua corda.

d

r


12

8. Facendo riferimento alla circonferenza della figu raa lato, scrivi con il linguaggio geometrico le partiindicate.

I raggi: .......................................

Il diametro: ................................

Le corde: ...................................

Alcuni archi convessi: ..............................................

9. Indica in ognuna delle seguenti circonferenze quali segmenti rappresentano delle corde.

O

E

AC

D

B

F

PH

OG

F

O

C

F

E

AB

AO e OB

10. Evidenzia con colori differenti i settori che corri-spondono ad un angolo convesso e determinale loro ampiezze utilizzando il goniometro.

11. Evidenzia con colori differenti i segmenti circo-lari. Quanti sono?

12. In una circonferenza di raggio 4 cm può essere tracciata una corda di 10 cm? Giustifica la risposta.

13. Considera una circonferenza avente il raggio di 3,8 m; è possibile tracciare in essa una corda di 6,9 m?Motiva la risposta.

14. È possibile tracciare una corda di 58 cm in una circonferenza avente il raggio di 2,9 dm?Motiva la risposta.

15. Indica se a ciascuna delle seguenti parti di una circonferenza corrisponde un arco convesso o concavo.

di circonferenza; di circonferenza; di circonferenza;

di circonferenza; di circonferen za; di circonferenza.45

12

34

25

14

23

25212. Esercizi

12

16. Disegna una circonferenza; in quante parti essa viene divisa da tre suoi punti? Quanti archi vengonodeterminati?

17. Disegna una circonferenza e traccia in essa un diametro. Rispondi poi alle seguenti domande.

Quanti diametri può avere una circonferenza? ......................................................................................

Che relazione intercorre tra il raggio e il diametro della stessa circonferenza?

................................................................................................................................................................

Che relazione intercorre tra il diametro e una corda qualsiasi della stessa circonferenza?

..............................................................................................................................................................

18. Facendo riferimento alla figura, determina gli archi che si ottengono.

PQ � OP � ........................ MP� MQ � ...............

PM� MN � ....................... OM � ON � ...............

PM� PQ � ........................ PN � OQ � ................

MN � ON � OP � ............ OM� ON� ................

OM� OM � ....................... PM� PN � .................

3. Posizione di una retta rispetto a una circonferenza

teoriapag. 104


La tangente a una circonferenza è sempre perpendicolare al raggio nel punto di tangenza.

M

Q

P

O

N

esterne (nessun punto in comune)

tangenti (un solo punto in comune)

secanti (due punti in comune)

Posizioni reciprochetra una retta

e una circonferenza

19. Riferendoti alla circonferenza c della figura, com pletale proposizioni mettendo al posto dei puntini il ter-mine adeguato.

La retta p è ............................................................ c

La retta s è ............................................................ c

La retta r è ............................................................ c

La retta t è ............................................................ c

La retta v è ............................................................ c

p

rs

c

t v

A

B CD

EF

tangente alla circonferenza


12

20. Completa la tabella nella quale con rè indicata la misura del raggio di unacirconferenza e con ds la misuradella distanza di una retta dal centrodella stessa circonferenza.

21. Traccia le rette a, b, r, d, t in modo che siano soddisfatte le se-guenti relazioni:a è tangente a c nel punto Q;b è tangente a c nel punto P;r è secante c e passa per il punto O;d è secante c e passa per i punti P e S;t è esterna a c e dista 2,5 cm da O.

22. Disegna una circonferenza di centro O e raggio 3 cm. Segna su di essa un punto A e traccia la tan-gente alla circonferenza passante per tale punto. Com’è la tangente rispetto al raggio OA?

23. Traccia le rette tangenti a una circonferenza negli estremi P e Q di un suo diametro. Come sono traloro le due rette?

24. Disegna una circonferenza avente il raggio di 2,5 cm, trac cia poi tre rette parallele tra loro e che di-stano rispettivamen te 2 cm, 2,5 cm e 3 cm dal centro della circonferenza. Come sono le tre rette ri-spetto alla circonferenza?

25. Considera una circonferenza di raggio 5 cm e una retta esterna che dista 7 cm dal centro della cir-conferenza. Indica di quanto deve variare tale distanza affinché la retta:– diventi secante la circonferenza; – diventi tangente la circonferenza; – passi per il centro della circonferenza; – occupi rispetto al centro della circonferenza una posizione simmetrica rispetto a quella iniziale.

r ds POSIZIONE DELLA RETTARISPETTO ALLA CIRCONFERENZA

3 m 2,5 m

1,5 cm 3 cm

12 cm 1,2 cm

5 cm tangente

6 m secante

5 dm esterna

OQ

c

P

S

Per condurre le tangenti ad una data circonferenza da un puntoP esterno ad essa, si procede nel seguente modo:

1) si congiunge P con il centro O della circonferenza assegnata;

2) si traccia la circonferenza di diametro OP che interseca la cir-conferenza data nei punti A e B;

3) le rette sostegno di PA e PB sono le tangenti richieste.

Nota beneLa semiretta con origine in P e passante per il centro O è bisettrice dell’angolo formato dalle duetangenti (APB).

A

O

B

P

ESEMPIO

26. Disegna una circonferenza di centro O ed esternamente ad essa segna un punto A la cui distanza daO sia uguale al doppio del raggio. Da A conduci le tangenti alla circonferenza nei punti P e Q. Verificache il triangolo APQ è equilatero.

25412. Esercizi

12

27. Data una circonferenza di centro O da un punto Aester no ad essa conduci le tangenti alla circonfe-renza. Verifica, utilizzando il goniometro, che la se-miretta congiungente A con O è bisettrice dell’angoloA formato dalle due tangenti.

28. Considera una circonferenza di centro O e raggioqualsiasi; traccia le tangenti alla circonferenza da unpunto A esterno ad essa e indica con P e Q i punti ditangenza. Congiungi i punti P e Q ottenendo così untriangolo. – Come sono i segmenti AP e AQ?– Che tipo di triangolo è APQ?– Come sono gli angoli APQ e PQA?Motiva le risposte.

29. Una circonferenza di centro O ha il raggio lungo 12 cm.Dal punto esterno A si conduce la retta r tangentealla circonferenza nel punto P. Determina la distanzadel punto A dal centro della circonferenza sapendoche il segmento AP misura 16 cm. (Ricorda che il raggio condotto nel punto di tangenzaforma con la retta tangente un angolo di .....).

[20 cm]

30. Considera una circonferenza avente il diametro di 10 m e un punto E esterno alla circonferenza distantedal centro 13 m. Dal punto E si conduce una retta t tangente la circonferenza nel punto T. Determinala misura del segmento TE. (Fai riferimento al disegno del problema precedente). [12 m]

31. Determina le ampiezze degli angoli indicati nelle figure seguenti in cui t e r sono tangenti la circonferenza.

OA

P

O

Q

A

O A

P

r

B

O

C

A25°

OAC = ………AOB = ………AOC = ………

t

r

A

A

O

B

P60°

OAP = ………ABP = ………AOB = ………

t

r

B

B

O

C

A54°

ACB = ………ABC = ………OBC = ………OCB = ………

t

r

Ct

r

O

B

P118°

PAB = ………PBA = ………APB = ………

A

D


12

32. Risolvi i seguenti problemi utilizzando i dati indicati.

O

BA30°

AAO� � 28 dm

AB O � 30°

OB� � ?

AB� � ?

[56 dm; 48,5 dm]

O

PA

45°

BAO� � 30 m

AO P � 45°

AP� � ?

OP� � ?

[30 m; 42,42 m]

O

P

CB A

45°

CAPB � 45°

AP� � 4,8 cm

BC� � 0,8 cm

OA� � r � ?

[2 cm]

A

O

B

C 60°

D OC è bisettrice degliangoli O e C

ACB � 60°

AC� � 5,6 cm

2p(OACB) � ?

A(OACB) � ?

[17,67 cm; 18,11 cm2]

4. Posizioni reciproche di due circonferenze

teoriapagg. 105 - 106


dove OO' è la distanza dei centri delle due circonferenze, r e r' sono i raggi delle circonferenze.

La corona circolare è la parte di piano delimitata da due circonferenze concentriche diraggi disuguali.

esterne (nessun punto in comune, OO' > r � r')

internamente (un solo punto in comune, OO' � r � r')

tangenti

esternamente (un solo punto in comune, OO' � r � r')

secanti (due punti in comune, OO'< r � r')

una interna all’altra (nessun punto in comune, OO'< r � r')

concentriche (hanno lo stesso centro)

Posizioni reciproche

di duecirconferenze

25612. Esercizi

12

33. Indica quali punti in comune hanno le circonferenzeindicate con c1, c2, c3, c4, c5 e c6 della seguente fi-gura.

c1 e c2 ....................................

c3 e c4 ....................................

c4 e c5 ....................................

c4 e c6 ....................................

c1 e c4 ....................................

34. Facendo riferimento all'esercizio precedente, completa le seguenti proposizioni.

c1 e c2 sono .............................................. c3 e c4 sono ..............................................

c5 è ...................................................... a c4 c6 e c4 sono ..............................................

c3 e c5 sono ..............................................

35. Completa la seguente tabela in cui r, r1, O e O1 sono rispettivamente i raggi e i centri di due circonfe-renze c e c1. Procedi come nelll’esempio della prima riga.

c2

c1

A B

Dc3

c5

E

c6

c4

r r1 OO1 CONFRONTO POSIZIONE RECIPROCA DI c E c1

5 cm 4,5 cm 12 cm OO1 > r � r1 esterne

8 cm 2,5 cm tangenti internamente

6 cm 30 mm 9 cm

3,5 cm 5 cm tangenti esternamente

5,5 cm 9 cm secanti

4,2 cm 2 cm 0

2,5 cm 1,5 cm una interna all’altra

7,5 cm 30 mm 45 mm

63 mm 24 mm 2 cm

7 cm 4 cm concentriche

36. Disegna due circonferenze che hanno rispettivamente i raggi di 3 cm e 5 cm sapendo che la distanzadei loro centri è di 10 cm. Come sono una rispetto all’altra?

37. Disegna due circonferenze tangenti esternamente, tali che la distanza dei loro centri sia di 7 cm e cheil raggio di una di esse sia di 3 cm.

38. Sia t una retta secante una circonferenza c e siano P e Q i punti in comune. In quante e quali parti cviene divisa da t?

39. I raggi di due circonferenze sono uno il triplo dell’altro e il maggiore è lungo 60 cm. Sapendo che ladistanza tra i due centri è 70 cm, indica perché le due circonferenze sono secanti.

40. I raggi di due circonferenze sono uno i dell’altro e il minore è lungo 18 dm. Sapendo che la distanza

tra i due centri è 65 dm, qual è la lunghezza del raggio maggiore e qual è la posi zione reciproca delledue circonferenze? Motiva la risposta.

[45 dm; ...]

25

il punto A


12

41. Risolvi i seguenti problemi utilizzando i dati indicati e specifica la posizione delle circonferenze.

OP� � 3 � O1P� OP� � � O1P�

OO1� � 4,8 m OO1� � 35 m

OP� � ? OP� � ?

O1P� � ? O1P� � ?

[7,2 m; 2,4 m] [15 dm; 20 dm]

c e c1 sono ........................................................ c e c1 sono ..........................................................

42. Due circonferenze sono concentriche: il raggio della maggio re è lungo 9,6 m ed è i del raggio della

minore. Calcola la larghezza della corona circolare individuata dalle due circonfe renze. [3,2 m]

43. Disegna due circonferenze secanti nei punti P e Q e verifica che la retta congiungente i centri O e O1

delle due circonferenze è l’asse del segmento PQ.Verifica poi che i triangoli OPO1 e OQO1 sono congruenti e che i triangoli OPQ e PQO1 sono isosceli.Che tipo di quadrilatero è OPO1Q? Ha assi di simmetria?

44. I raggi di due circonferenze c e c1 di centro rispetti-vamente O e O' misurano rispettivamente 10 dm e17 dm e il segmento AB che si ottiene congiun-gendo i due punti d’intersezione delle circonferenzemisura 16 dm. Calcola il perimetro e l’area del qua-drilatero AOBO’. (Osserva che AOBO’ è un deltoide quindi...)

[54 dm; 168 dm2]

In base ai dati forniti dalle illustrazioni risolvi i problemi.(Osserva che i quadrilateri disegnati sono deltoidi, quindi...).

45. 2p(POQ) � 98 dm 2p(OQO’P) � ?

PQ� � 40 dm A(OQO’P) � ?

PO'� � 52 dm

[162 dm; 1380 dm2]

46. A(EOF) � 120 m2 2p(EOFO’) � ?

OH� � 15 m A(EOFO’) � ?

O'H� � 6 m

[54 m; 168 m2]

32

34

c

c1

O1PO

A

cc1

O1

PO

B

A

O O'

B

P

O

Q

O’H

EO

F

O’H

Completa in modo adeguato la seguente mappa delle conoscenze. In ogni casella èindicato il punteggio che ti devi assegnare in caso di risposta esatta. Controllal’esattezza delle risposte utilizzando il “Ripasso della teoria”.

CONOSCENZE


12

12

esercizi per l’ autovalutazione

26612. Esercizi per l’autovalutazione

SEGMENTO CIRCOLARE

Ciascuna delle due parti in cuiun cerchio è diviso da una sua

.................... non passante peril .................................

2

CORONA ………………..

Parte di piano compresa tra............................................

............................................

2

RAGGIO (r)Distanza di un punto qualsiasi dellacirconferenza dal .................................

1

ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA

Angoli aventi il .................. sulla ....................... e i lati secanti la ............................stessa oppure un lato .......................... el’altro ......................... la circonferenza

4

ANGOLI AL CENTRO

Angoli aventi il .................... nel................ di una circonferenza.I due lati dell’angolo sono ......................circonferenza.

3

su cui si possono individuare

cui corrispondo

le parti del cerchio sono

il doppio del raggio è il

DIAMETRO (…..)È qualsiasi corda passante per il......................... e quindi la cordadi ................................. lunghezza.

2

CORDAOgni segmento checongiunge ........ puntidi una .......................

2ARCO

Parte di circonferenzalimitata da ........... suoipunti detti ....................

2

CIRCONFERENZALinea chiusa formata dai punti................................ da un puntointerno, detto ..................... dellacirconferenza.

2 le parti della circonferenza sono

........................Simbolo: ..............

2

........................Simbolo: ..............

2

può essere

puòessere

........................

1

........................

1

ESTERNE

Retta e circonferenza non hanno

.....................................................

1

TANGENTI

Internamente oppure ................

...................................................

In entrambi i casi hanno ..........

................................. in comune

2CONCENTRICHE

...................................................

...................................................

...................................................

2

ESTERNE

...................................................

...................................................

2

UNA INTERNA ALL’ALTRA

Tutti i punti di una circonferenzasono ..........................................

...................................................

2

.............................

Le due circonferenze hanno incomune ................. punti

2Due circonferenzetra loro

possono essere

SECANTI

Retta e circonferenza

..................................

..................................

2.........................

Retta e circonferenza hanno unpunto in ....................... La retta........................ è ......................

................. al raggio condottodal punto di...............................

4

Una retta e una circonferenzapossono essere

Ho ottenuto il punteggio ......./46

SETTORE CIRCOLARE

Ciascuna delle due parti incui un cerchio resta divisoda .................................

1

CERCHIOParte di piano formata dai puntidella ................................ e daipunti ......................... ad essa.

2

ABILITÀ esercizi per l’ autovalutazione tipo invalsi

26812. Esercizi per l’autovalutazione

12

1. Data una circonferenza di raggio 7,5 cm, la distanza dal centro di una retta tangente è:

minore di 7,5 cm diversa da 7,5 cm

maggiore di 7,5 cm una misura qualsiasi

uguale a 7,5 cm

2. Date due circonferenze, di centri O e O’ e raggi di 4 cm e 3 cm, se OO’� � 5 cm le due circonferenze sono:

secanti una interna all’altra tangenti internamente

concentriche esterne

3. Due circonferenze congruenti, di centri O e O’, sono tangenti esternamente; se OO’� � 24,8 cm; i raggi delle due circonferenze misurano:

14,4 cm e 10,4 cm 12,4 cm e 12,4 c m 24,8 cm e 24,8 cm

0 e 24,8 cm non è possibile stabilirlo

4. Un angolo al centro e un angolo alla circonferenza insistono sulla stesso arco che

è della circonferenza; i due angoli misurano:

90° e 45° 120° e 60° 60° e 30° 72° e 36° 70° e 35°

5. Un angolo alla circonferenza che insiste su una semicirconferenza misura:

72° 45° 180° 90° 60°

6. Due angoli alla circonferenza sono supplementari e uno è i dell’altro; i due angolial centro corrispondenti misurano:

140° e 220° 144° e 216° 72° e 108° 60° e 120° 90° e 270°

7. Se POQ = 72° e POS = SOQ allora OQR misura:

18° 36° 21° 48° 24°

8. Due circonferenze tangenti internamente, di centri O e O’, hanno i raggi che misurano

uno i dell’altro; se OO’� � 48 cm, i due raggi misurano:

18 cm e 30 cm 24 cm e 72 cm 72 cm e 120 cm

24 cm e 24 cm 80 cm e 128 cm

B

ED

CBA

35

EDCBA

12

B

23

ED

CA

S QP

O

R

EDCA

EDCBA

EDCBA

16

ED

CBA

A B

C D

E

1

1

2

2

2

3

3

3

Ho ottenuto ............/17

punti

circonferenza, cerchio e loro parti - trevisini.it pdf novit%88/opmat_pdf_geometria.pdf · 100 12....

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