Esercizi C7-1

C7. Circonferenza e cerchio - Esercizi DEFINIZIONI E COSTRUZIONI 1) Dare la definizione di luogo geometrico. 2) Indicare almeno due luoghi geometrici. 3) Dare la definizione di asse di un segmento come luogo geometrico. 4) Dare la definizione di bisettrice come luogo geometrico. 5) Dare la definizione di circonferenza. 6) Dare la definizione di cerchio. 7) Dire come è formato il luogo dei punti equidistanti da due rette parallele. 8) Dato un segmento AB dire come è formato il luogo dei centri dei quadrati avente diagonale AB. 9) Completare osservando la figura.

I punti ____ e ____ sono interni alla circonferenza. I punti ____ e ____ sono esterni alla circonferenza. I punti ____, ____ e ____ appartengono al cerchio. I punti ____ e ____ non appartengono al cerchio. Il punto ____ appartiene alla circonferenza.

10) Tracciare con il compasso, dopo aver trovato il centro contando i quadretti, la circonferenza passante per i tre punti indicati in figura.

11) Tracciare con il compasso, dopo aver trovato il centro contando i quadretti, la circonferenza passante per i tre

punti indicati in figura.

Esercizi C7-2

12) Tracciare con il compasso, dopo aver trovato il centro contando i quadretti, la circonferenza passante per i tre punti indicati in figura.

13) Tracciare con il compasso, dopo aver trovato il centro contando i quadretti, la circonferenza passante per i tre

punti indicati in figura.

14) Tracciare con riga e compasso la circonferenza passante per i tre punti indicati in figura.

Esercizi C7-3

15) Tracciare con riga e compasso la circonferenza passante per i tre punti indicati in figura.

16) Tracciare con riga e compasso la circonferenza passante per i tre punti indicati in figura.

17) Tracciare con il compasso, dopo aver determinato il centro contando i quadretti, la circonferenza avente diametro

AB.

Esercizi C7-4

18) Tracciare con il compasso, dopo aver determinato il centro contando i quadretti, la circonferenza avente diametro AB.

19) Tracciare con riga e compasso la circonferenza avente diametro AB.

20) Tracciare con riga e compasso la circonferenza avente diametro AB.

21) Completa osservando la figura.

Le corde della circonferenza rappresentate in figura sono i segmenti ____, ____ e ____. Il diametro della circonferenza rappresentato in figura è il segmento ____. I raggi della circonferenza rappresentati in figura sono i segmenti ____, ____, ____.

Esercizi C7-5

22) Data la figura seguente completa al posto dei puntini.

Gli angoli al centro sono ______, ______ Colora il settore circolare delimitato dai punti C, D ed E. Colora l’arco delimitato dai punti A e B. Disegna le corde AB e DE. Dal fatto che AB>DE si può dedurre che la corda _____ è più vicina al centro C. Dal fatto che AB>DE si può dedurre anche che l’arco _____ è maggiore dell’arco _____, infine si può anche dedurre che l’angolo _____ è maggiore dell’angolo _____.

23) Dato un punto P interno a una circonferenza si disegni la corda passante per P di lunghezza minore. 24) Data la figura seguente indica quali sono le rette secanti, quelle tangenti e quelle esterne alla circonferenza.

25) Data la figura seguente disegna le distanze delle rette dal centro della circonferenza utilizzando riga e compasso.

Esercizi C7-6

26) Si tracci con riga e compasso la retta tangente alla circonferenza in figura passante per il punto A.

27) Dare la definizione di angolo alla circonferenza. 28) Tracciare un angolo alla circonferenza con due rette secanti che insiste sull’arco AB.

29) Tracciare un angolo alla circonferenza con una retta tangente e una secante che insiste sull’arco AB.

30) Dire quali degli angoli indicati sono angoli al centro e quali sono angoli alla circonferenza, e dire su quale arco

insistono.

L’angolo ˆBDE è un angolo ___________________________ e insiste sull’arco ______.

L’angolo ˆDCA è un angolo ___________________________ e insiste sull’arco ______.

L’angolo ˆFCA è un angolo ___________________________ e insiste sull’arco ______.

L’angolo ˆDBA è un angolo ___________________________ e insiste sull’arco ______.

L’angolo ˆCFG è un angolo ___________________________ e insiste sull’arco ______.

Esercizi C7-7

31) Tracciare con riga e compasso le rette tangenti alla circonferenza passanti per il punto A.

32) Tracciare con riga e compasso le rette tangenti alla circonferenza passanti per il punto A.

33) Tracciare con riga e compasso le rette tangenti alla circonferenza passanti per il punto A.

34) Tracciare con riga e compasso la circonferenza avente centro C e tangente alla retta r.

Esercizi C7-8

35) Dare la definizione di poligono inscritto in una circonferenza. 36) Dare la definizione di poligono circoscritto ad una circonferenza. 37) Dare la definizione di circonferenza circoscritta a un poligono. 38) Dare la definizione di circonferenza inscritta in un poligono. 39) Tracciare con riga e compasso la circonferenza avente centro C e tangente alla retta r.

40) Determinare le misure di tutti gli angoli in figura.

41) Data la seguente circonferenza disegnare un poligono inscritto in essa con riga e compasso.

42) Data la seguente circonferenza disegnare un poligono circoscritto ad essa con riga e compasso.

Esercizi C7-9

43) Dato il poligono in figura disegnare la circonferenza circoscritta ad esso con riga e compasso.

44) Dato il poligono in figura disegnare la circonferenza inscritta in esso con riga e compasso.

45) Disegnare due circonferenze secanti, si trovino i punti di intersezione e si tracci la retta passante per i punti di

intersezione (che è detta asse radicale). 46) Disegnare due circonferenze tangenti internamente e la retta tangente comune. 47) Disegnare due circonferenze tangenti esternamente e la retta tangente comune. 48) Disegnare due circonferenze interne non concentriche. 49) Disegnare due circonferenze interne concentriche. 50) Si disegni, se possibile, la retta tangente comune a due circonferenze concentriche. 51) Date due circonferenze tangenti internamente si tracci l’unica retta tangente a entrambe. 52) Date due circonferenze secanti si traccino le due rette tangenti a entrambe. 53) Date due circonferenze tangenti esternamente si traccino le tre rette tangenti a entrambe. 54) Date due circonferenze esterne si traccino le quattro rette tangenti a entrambe. 55) Date due circonferenze di raggi r1=2 e r2=3 la distanza tra i loro centri è 1. Come sono le circonferenze? 56) Date due circonferenze di raggi r1=2 e r2=3 la distanza tra i loro centri è 2. Come sono le circonferenze? 57) Date due circonferenze di raggi r1=2 e r2=3 la distanza tra i loro centri è 3. Come sono le circonferenze? 58) Date due circonferenze di raggi r1=2 e r2=3 la distanza tra i loro centri è 5. Come sono le circonferenze? 59) Date due circonferenze di raggi r1=2 e r2=3 la distanza tra i loro centri è 6. Come sono le circonferenze? 60) Una circonferenza di raggio r=3 ha il centro a distanza 4 da una retta. La retta è esterna, tangente o secante la

circonferenza? 61) Una circonferenza di raggio r=3 ha il centro a distanza 3 da una retta. La retta è esterna, tangente o secante la

circonferenza? 62) Una circonferenza di raggio r=3 ha il centro a distanza 2 da una retta. La retta è esterna, tangente o secante la

circonferenza?

Esercizi C7-10

63) Dato il triangolo equilatero in figura disegnare la circonferenza circoscritta ad esso.

64) Dato il quadrato in figura disegnare la circonferenza circoscritta ad esso.

65) Dato il pentagono in figura disegnare la circonferenza circoscritta ad esso.

66) Dato l’esagono in figura disegnare la circonferenza circoscritta ad esso.

Esercizi C7-11

67) Dato l’ottagono in figura disegnare la circonferenza circoscritta ad esso.

68) Data una circonferenza disegnare un triangolo equilatero inscritto in essa con riga e compasso. 69) Data una circonferenza disegnare un quadrato inscritto in essa con riga e compasso. 70) Data una circonferenza disegnare un esagono inscritto in essa con riga e compasso.

71) Data la figura seguente determinare la misura dell’angolo ˆCDA .

72) Data la figura seguente determinare la misura dell’angolo ˆCDB .

73) Data la figura seguente determinare la misura dell’angolo ˆCDA .

Esercizi C7-12

74) Data la figura seguente e sapendo che BD è parallelo ad AC determinare la misura dell’angolo ˆCDA .

75) Data la figura seguente determinare la misura dell’angolo ˆCBD .

76) Data la figura seguente e sapendo che BD≅BC determinare la misura dell’angolo ˆBAC .

77) Data la figura seguente e sapendo che AC≅CD determinare la misura dell’angolo ˆCBD .

Esercizi C7-13

DIMOSTRAZIONI

78) Si dimostri che la retta passante per il punto medio di un segmento AB e perpendicolare ad esso è formata da punti equidistanti dagli estremi del segmento AB.

79) Si dimostri che i punti equidistanti da A e B sono tutti e soli quelli che si trovano sulla retta passante per il punto medio del segmento e perpendicolare al segmento stesso.

80) Si dimostri che la retta che divide in due parti congruenti un angolo è formata dai punti equidistanti dai lati dell’angolo.

81) Si dimostri che i punti equidistanti dai lati dell’angolo formano una retta che divide l’angolo in due parti congruenti.

82) Si dimostri che due circonferenze di centro O e O’ e raggi r e r’ sono esterne se e solo se OO’>r+r’. 83) Si dimostri che due circonferenze di centro O e O’ e raggi r e r’ sono tangenti esternamente se e solo se OO’≅r+r’. 84) Si dimostri che due circonferenze di centro O e O’ e raggi r e r’ sono secanti se e solo se r-r’<OO’<r+r’. 85) Si dimostri che due circonferenze di centro O e O’ e raggi r e r’ sono tangenti internamente se e solo se OO’≅r-r’. 86) Si dimostri che due circonferenze di centro O e O’ e raggi r e r’ sono interne se e solo se OO’<r-r’. 87) Si dimostri che due circonferenze di centro O e O’ e raggi r e r’ sono concentriche se e solo se O≅O’. 88) Si dimostri che una retta e una circonferenza non possono avere più di due punti in comune. 89) Si dimostri che in un poligono circoscritto a una circonferenza allora le bisettrici degli angoli si incontrano nel

centro della circonferenza. 90) Si dimostri che in un poligono inscritto a una circonferenza allora gli assi dei lati si incontrano nel centro della

circonferenza. 91) Dato il punto A esterno alla circonferenza di centro C si costruiscano le rette tangenti alla circonferenza passanti

per A. Tali rette intersecano la circonferenza in B e D. Si dimostri che gli angoli ˆBCD e ˆBAD sono supplementari.

92) Data una circonferenza di centro C sia AB una sua corda. Si dimostri che gli angoli ˆBAC e ˆABC sono congruenti.

93) Data una circonferenza di centro C sia AB una corda e sia CH la sua distanza dal centro della circonferenza. Si

dimostri che se AB=2CH allora ˆ ˆBAC ABC4π≅ ≅ .

94) Dato un trapezio inscrittibile in una circonferenza si dimostri che esso è isoscele. 95) Dato un parallelogramma inscrittibile in una circonferenza si dimostri che esso è un rettangolo. 96) Data una circonferenza di centro C e raggio CA si disegni una corda BD della circonferenza parallela al raggio CA

in modo AD<AB. Si dimostri che la retta passante per A e B è bisettrice dell’angolo ˆCBD .

97) Data una circonferenza di centro C e diametro AB si tracci una corda AD passante per A e una corda BE ad essa parallela passante per B. Si dimostri che le corde AD e BE sono congruenti.

98) Sia dato un triangolo isoscele ABC con base AB. Si tracci una circonferenza con centro in C che intersechi i lati obliqui del triangolo in D ed E. Si dimostri che la retta passante per D ed E è parallela alla base AB.

99) Data una circonferenza di centro C si traccino due corde congruenti AB e DE non parallele. Si prolunghino le rette passanti per le corde AB e DE e si trovi il loro punto di intersezione F. Si dimostri che FC è bisettrice dell’angolo formato dalle due corde.

100) Data una circonferenza di centro C si traccino due corde congruenti AB e DE non parallele con un punto F in comune. Si dimostri che FC è bisettrice dell’angolo formato dalle due corde.

101) Data una circonferenza di centro C si traccino due corde congruenti AB e DE non parallele con un punto F in comune in modo che AF<BF e DF<EF. Si dimostri che AF≅DF e che BF≅EF.

102) Data una circonferenza di centro C si traccino due corde congruenti AB e DE non parallele con un punto F in comune in modo che AF≅BF e DF≅EF. Si dimostri che AB e DE sono diametri della circonferenza.

103) Date due corde congruenti AB e BD in una circonferenza di centro C si dimostri che CB è bisettrice degli angoli

ˆACD e ˆABD .

104) Data la circonferenza di centro C si traccino due rette tangenti alla circonferenza parallele tra loro che intersechino la circonferenza in A e B. Si dimostri che AB è un diametro della circonferenza.

105) Data una circonferenza di diametro AB si dimostri che le tangenti alla circonferenza passanti per A e B sono parallele.

106) Data una circonferenza di centro C si considerino le tangenti alla circonferenza passanti per il punto A esterno ad essa che intersechino la circonferenza in due punti B e D. Si indichi con E il punto di intersezione tra la

circonferenza e il segmento AC. Sapendo che l’angolo ˆBAC6π≅ si dimostri che il triangolo CDE è equilatero. Si

dimostri inoltre che E è il punto medio del segmento AC. 107) Data una circonferenza di centro C si consideri una corda AB congruente al raggio della circonferenza e la retta r

tangente alla circonferenza passante per A. La retta r interseca il prolungamento della retta CB in un punto D.

Calcolare l’ampiezza dell’angolo ˆABD . 108) Data una circonferenza di centro C si considerino le tangenti alla circonferenza passanti per il punto A esterno ad

essa che intersechino la circonferenza in due punti B e D. Si indichi con E il punto di intersezione tra la

circonferenza e il segmento AC. Sapendo che l’angolo ˆBAC4π≅ si dimostri che ABCD è un quadrato e si calcoli

l’ampiezza dell’angolo ˆAED . 109) Data una circonferenza di centro C e un suo arco di circonferenza AB sia D il punto medio dell’arco di

circonferenza. Si dimostri cha la tangente alla circonferenza passante per D è parallela alla retta passante per A e B.

110) Data una circonferenza di centro C si considerino due corde non congruenti AB e DE che si intersechino in F, tali che DF<FE e BF<FA. Si dimostri che i triangoli ABD e EBD hanno gli angoli congruenti.

111) Data una circonferenza di centro C si considerino due corde non congruenti AB e DE che si intersechino in F, tali che DF<FE e BF<FA. Si dimostri che i triangoli AFD e EFD hanno gli angoli congruenti.

Esercizi C7-14

112) Data una circonferenza di centro C e diametro AB sia r la retta passante per A e per un punto D appartenente alla circonferenza. Si prolunghi il segmento BD di un segmento DE≅BD. Si dimostri che AB≅AE.

113) Data una circonferenza di centro C e diametro AB sia r la retta passante per A e B e sia E un punto esterno alla circonferenza tale che E∉r e AB≅BE. La retta passante per A ed E interseca la circonferenza in D. Si dimostri che

la retta passante per B e D è bisettrice dell’angolo ˆABE . 114) Dato un triangolo ABC si traccino le altezze AD e BE. Si dimostri che il quadrilatero AEDB è inscrittibile in una

circonferenza. 115) Data una circonferenza di centro C avente diametro AB si traccino le tangenti alla circonferenza r ed s passanti

per A e per B. Si consideri una retta t tangente alla circonferenza in D che intersechi le rette r ed s in E ed F. Si

dimostri che l’angolo ˆECF è retto. (Si considerino tutti gli angoli con vertice in C).

116) Dato un trapezio ABDE di base maggiore AB circoscritto a una circonferenza di centro C si dimostri che gli angoli

ˆACB e ˆECD sono supplementari. (Si consideri l’esercizio precedente).

117) Dato un pentagono regolare ABCDE si traccino le corde AC e BD che si intersecano in F. Determinare l’ampiezza dei quattro angoli di vertice F. Dimostra poi che AEDF è un rombo.

118) Data una circonferenza di centro C si consideri un arco di circonferenza AB con punto medio D tale che l’angolo

ˆADB 108≅ ° . Sia E il simmetrico di D rispetto al segmento AB. Si prolunghino AE e BE che intersechino la

circonferenza in F e G rispettivamente. Si dimostri che ADBFG è un pentagono regolare. 119) Data una circonferenza di centro C si consideri un arco di circonferenza AB con punto medio D tale che l’angolo

ˆADB 108≅ ° . Sia E il simmetrico di D rispetto al segmento AB. Si prolunghino AE e BE che intersechino la

circonferenza in F e G rispettivamente. Si dimostri che BEF è isoscele. 120) Date due circonferenze di centri C e C’ congruenti e secanti in A e B si consideri la retta r passante per C e A che

interseca la circonferenza di centro C’ in D. Sia poi s la retta passante per C e C’ che interseca la circonferenza di

centro C’ in E. Si dimostri che ˆ ˆDC'E 3 DCE≅ ⋅ .

121) Date due circonferenze di centri C e C’ non congruenti e secanti in A e B si traccino le tangenti ad esse passanti per il punto A. Le due tangenti intersecano la circonferenza di centro C in un punto D e la circonferenza di centro C’ in un punto E. Si dimostri che D, B ed E sono allineati.

122) Date due circonferenze di centri C e C’ congruenti e tangenti in un punto T si considerino due raggi CD e C’D’

paralleli dalla stessa parte della retta CC’. Si dimostri che ˆDTD'2π≅ .