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Kurven erkunden und verstehen

Ist das nun dieselbe Schlaufe?Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, http://www.mathematik-verstehen.de Folie 1.Vielfltige Argumente und eigenes Erkunden von Klasse 8 bis zum 8. Semester

Weitere DidaktikProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, http://www.mathematik-verstehen.de Folie 31www.kurven-erkunden-und-verstehen.dewww.mathematik-sehen-und-verstehen.de

Reichhaltig in Hans Schupp, Heinz DabrockHhere Kurven 1995, nur Bib.Beweisbedrfnis und Beweise erlebenNUTZEN fr: Klasse 8 bis 8. Semester ?! Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, http://www.mathematik-verstehen.de Folie 3?!?!?!?!?

Wie man das verstehen soll, ergibt sich unterwegs

GelenkeProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, http://www.mathematik-verstehen.de Folie 50www.kurven-erkunden-und-verstehen.dewww.mathematik-sehen-und-verstehen.de

SchlaufenvielfaltProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, http://www.mathematik-verstehen.de Folie 5Strophoide = Schlaufe 1 Seilkurvegeometrische DefinitionPolargleichungVerstehen der polar-kartesische KoppelungSchlaufe 2 mit Polargleichung aus der Animation Unterschied verstandenen, nichts ist bewiesen

Schlaufe 4 RasterschlaufeSchlaufe 3 LogozyklikaSchlaufe 5 TrisektrixSchlaufe 7 Cissoide

Wann sind zwei Kurven gleich?Schlaufe 6 KonchoideWie kann man hier Vermutungen beweisen?Strophoide Original DefinitionProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, http://www.mathematik-verstehen.de Folie 6

geometrische DefinitionGrn: Beweglich, Q auf WegBlau: geometrische ElementeRot: Ergebnis Ortskurve

Strophoide PolargleichungProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, http://www.mathematik-verstehen.de Folie 7Grn: Beweglich, Q=(u,v) auf WegBlau: geometrische ElementeRot: P=(x,y), Ergebnis OrtskurveAsymptote?Sichere Punkte?

Polargleichung fr den Weg

Polargleichung Strophoide

Da ist nichts weggelassen, die Beweise sind so kurz!Strophoide kartesische GleichungProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, http://www.mathematik-verstehen.de Folie 8

Kreis um Q enthlt P

Strahlensatz

, v eliminieren, fertig!Beweisen-Lernen brauchthilfreiche Strukturen

Strophoide Polar-kartesische SichtProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, http://www.mathematik-verstehen.de Folie 9

Ani.Grundlage

Schlaufe 2 Polar-kartesische SichtProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, http://www.mathematik-verstehen.de Folie 10

Ani.GrundlageSchlaufe 1 Schlaufe 2 Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, http://www.mathematik-verstehen.de Folie 11Verstanden, warum der Durchlauf verschieden ist!

Aber was heit Gleichheit bei Kurven? Zwei Kurven sind von gleichen Typ, wenn sie als geometrischePunktmengen kongruent oder hnlich (i.e.S) sind. Um dieses nachzuweisen, bringt man sie in gleiche Lage und Gre. Sei C1 die bekannte Kurve und C2die neue Kurve.

Wir stellen uns vor, man habe die neue Kurve C2 mit einer geometrischen Konstruktion gefunden.

Dazu folgen bald mehrere Beispiele!Schlaufe 1 Schlaufe 2 Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, http://www.mathematik-verstehen.de Folie 12

Geometrie von C1 in Geometrie von C2 finden, geometrisch beweisen: P aus C2 ist ein P von C1.Eine Gleichung von C1 in der Geometrie von C2 eintragen. Wenns nicht passt, ist entschieden: Die Kurven sind ungleich. Anderenfalls: Weg 1Fr C2 kartesische Gleichung aufstellen und nachalgebraischer Umformung suchen, die die kartesische Gleichung von C1 ergibt.Weg 2Weg 3Weg 4Wie Weg 3, aber fr die Polargleichung. Vorsicht! Trigonometrische Funktion sind vielgestaltig.Weg 2, 3, 4, 5Weg 5Spezifische berlegungen mit der gegenseitigen Lage wichtiger Elemente wie sicheren Punkten, Asymptoten, wichtigen Winkeln u.s.w. Strophoide Schlaufe 3 Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, http://www.mathematik-verstehen.de Folie 13

Schlaufe 3 ist die StrophoideStrophoide Schlaufe 4 Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, http://www.mathematik-verstehen.de Folie 14

Schlaufe 4 ist die Strophoide

Raster-Konstruktionklausurfhig

Strophoide Schlaufe 5 Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, http://www.mathematik-verstehen.de Folie 15

Nach Weg 1 und Weg 5Schlaufe 5 ist keine StrophoideTrisektrix

Strophoide Schlaufe 2 Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, http://www.mathematik-verstehen.de Folie 16

Die Strophoide ist eine spezielle Cissoide.rrot=rblau-rgrnCissoiden

und diese Polargleichung passt zu

der verschobenen Strophoide

Allgemeine geometrische Konstruktion der CissoideProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, http://www.mathematik-verstehen.de Folie 17www.kurven-erkunden-und-verstehen.dewww.mathematik-sehen-und-verstehen.de

Wanderkurve C1 fr Q beliebig Zweite Kurve C2

Fahrstrahl schneidet C2 in E Vektor QE an O anhngen ergibt PStrophoide verschieben Polargleichung der Strophoidein verschobener LageProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, http://www.mathematik-verstehen.de Folie 19

Die gewhnliche Strophoide ist eine spezielle Cissoide.Schlaufenvielfalt gebndigt!Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, http://www.mathematik-verstehen.de Folie 20Unsere Grundlage war die gewhnliche Strophoide = Schlaufe 1 SeilkurveErkenntnis zu Schlaufe 2Schlaufe 4 RasterschlaufeSchlaufe 3 LogozyklikaSchlaufe 5 Trisektrix

Die allgemeinen Cissoiden sind eine groe Kurvenklasse.Das waren einfachealternative Konstruktionen, sie ist keine StrophoideAber sie ist auch eine spezielle CissoideKurvengleichung F(x,y)=0 und 3DProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, http://www.mathematik-verstehen.de Folie 21www.kurven-erkunden-und-verstehen.dewww.mathematik-sehen-und-verstehen.de

Der Graph der Produktkurve ist die Vereinigung der Punkte der Faktorkurven.Wenn hier keine 0 steht?Dann hilft die 3D-Dar-stellung beim Verstehenprodukt-ohne3DKurvengleichung F(x,y)=0 und 3DProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, http://www.mathematik-verstehen.de Folie 22www.kurven-erkunden-und-verstehen.dewww.mathematik-sehen-und-verstehen.de

produkt3DMit zwei Fenstern in GeoGebra!3D-Darstellungen anderer KurvenProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, http://www.mathematik-verstehen.de Folie 23www.kurven-erkunden-und-verstehen.dewww.mathematik-sehen-und-verstehen.de

Durch Schnitte in anderer Hhe bilden sich Kurvenfamilien.Doch manchmal kommt es anders als man denkt.KonchoideAllgemeine bipolare KurvenProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, http://www.mathematik-verstehen.de Folie 24www.kurven-erkunden-und-verstehen.dewww.mathematik-sehen-und-verstehen.de

Ein Punkt P habe die Abstnde r und r von zwei Brennpunkten E und E im Abstand 2e. Jede Gleichung von r und r definiert eine bipolare Kurve als Menge aller Punkte, die sowohl die Gleichung erfllen, als auch mit E und E eine Dreieck bilden.

Visualisierungder Dreiecks-bedingungim zweiten Grafikfensterin GeoGebra.gekoppelteDarstellungbipolar-bereich-start-fkt

Bipolare Sinus-KurvenProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, http://www.mathematik-verstehen.de Folie 25www.kurven-erkunden-und-verstehen.dewww.mathematik-sehen-und-verstehen.debipolar-bereich-start-fkt

Durch die gekoppelte Darstellung kann man dieBesonderheiten alle verstehen.

Kurven, alles ist mit allem verwobenProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, http://www.mathematik-verstehen.de Folie 26www.kurven-erkunden-und-verstehen.dewww.mathematik-sehen-und-verstehen.deMeine BcherProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, http://www.mathematik-verstehen.de Folie 27www.kurven-erkunden-und-verstehen.dewww.mathematik-sehen-und-verstehen.de

2. Aufl. Herbst 2015Dieses Buch war fralle, Vorlesung fr alle unsere Erstis,1500 Studierende aller Fcher.600 farbige BilderZumeist mit GeoGebraMein neues Buch Kurven erkunden und verstehen soll die Lehrerausbildung in Mathematik bereichern.Es soll auch fr Lehrer sein, die mehr nahrhaftesFutter fr ihre Schler brauchen.DiagnoseProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, http://www.mathematik-verstehen.de Folie 28www.kurven-erkunden-und-verstehen.dewww.mathematik-sehen-und-verstehen.deDie Mathematiklehre leidet an akuter Magersucht.Die Mathematiklehre ist schon so schlapp und kraftlos geworden, dass sie die jungen Menschen nicht durchs Studium tragen kann.DENNWege zur Heilung Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, http://www.mathematik-verstehen.de Folie 29www.kurven-erkunden-und-verstehen.dewww.mathematik-sehen-und-verstehen.deHaben wir Zeit, noch einmal in denWundersack zu greifen? Verleugnen wir nicht die Kraft der Mathematik, die in der Verlsslichkeit bewiesener Aussagen liegt. Wie mssen eine vielfltige Mathematik ermglichen,in der Lernende selbst etwas vermuten und behaupten und dann lernen, mathematisch zu argumentieren.

WeiteresProf. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, http://www.mathematik-verstehen.de Folie 30www.kurven-erkunden-und-verstehen.dewww.mathematik-sehen-und-verstehen.de weitere Didaktik allgemeine Definitionen Gelenke und Handlung Rasterkonstruktionen 2D-Raum

Starten mit HandelnProf. Dr. Drte Haftendorn

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