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  • Folie 1
  • 1 Graphentheorie Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, 2012 http://www.leuphana.de/matheomnibus Gibt es in Knigsberg einen Spaziergang, bei dem man jede der sieben Pregelbrcken genau einmal berquert?
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  • 2 Knigsberger Brckenproblem Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, 2012 http://www.leuphana.de/matheomnibus Gibt es in Knigsberg einen Spaziergang, bei dem man jede der sieben Pregelbrcken genau einmal berquert? Im Jahre 1736 Leonhard Euler lste das Problem allgemein
  • Folie 3
  • 3 Was ist ein Graph? Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, 2012 http://www.leuphana.de/matheomnibus Im Jahre 1736 Leonhard Euler lste das Problem allgemein und begrndete damit die Graphentheorie Ein Graph besteht aus einer Eckenmenge und einer Kantenmenge Jede Kante verluft von Ecke zu Ecke. Ecken= vertices Kanten= edges V E Mindestens eine Ecke
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  • 4 Gundbegriffe Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, 2012 http://www.leuphana.de/matheomnibus Die Adjazenz-Matrix gibt an, durch wie viele Kanten die Ecken verbunden sind. Der Grad einer Ecke ist die Anzahl der abgehenden Kanten.
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  • 5 Eulersche Begriffe Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, 2012 http://www.leuphana.de/matheomnibus Im Jahre 1736 Leonhard Euler lste das Problem allgemein In einem Eulerschen Weg kommt jede Kante genau einmal vor. Ein geschlossener Eulerscher Weg heit Eulerscher Kreis. Kanten, die zu ihrer Startecke zurckkehren, heien Schlingen.
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  • 6 Eulersche Begriffe Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, 2012 http://www.leuphana.de/matheomnibus Im Jahre 1736 Leonhard Euler lste das Problem allgemein In einem Eulerschen Weg kommt jede Kante genau einmal vor. Ein geschlossener Eulerscher Weg heit Eulerscher Kreis.
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  • 7 Eulers Lsung: Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, 2012 http://www.leuphana.de/matheomnibus Im Jahre 1736 Leonhard Euler lste das Problem allgemein Eulerscher Satz: Einen Eulerschen Kreis gibt es genau dann, wenn alle Ecken einen geraden Grad haben. Im Knigs- berg- Graphen gibt es keinen Eulerschen Kreis.
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  • 8 Das Haus des Nikolaus Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, 2012 http://www.leuphana.de/matheomnibus In einem Eulerschen Weg kommt jede Kante genau einmal vor.
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  • 9 Das Haus des Nikolaus Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, 2012 http://www.leuphana.de/matheomnibus Eulerscher Satz: Einen offenen Eulerschen Weg gibt es genau dann, wenn genau zwei Ecken einen ungeraden Grad haben. In einem Eulerschen Weg kommt jede Kante genau einmal vor.
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  • 10 Graphen in unserer Welt Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, 2012 http://www.leuphana.de/matheomnibus
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  • 11 Graphen in unserer Welt Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus Mit Graphen schafft man sich ein Modell der Wirklichkeit, das einen bestimmten Zusammenhang deutlich macht und andere Aspekte der Wirklichkeit ausblendet. Die geometrische Lage und Form spielen bei Graphen eigentlich gar keine Rolle. Bei Streckenplnen wird allerdings ganz grob die gegenseitige Lage wiedergegeben.
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  • 12 Routenplaner und Graphen Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, 2012 http://www.leuphana.de/matheomnibus Die Routenplaner arbeiten mit bewerteten Graphen
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  • 13 Routenplaner und Graphen Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, 2012 http://www.leuphana.de/matheomnibus Die Routenplaner arbeiten mit bewerteten Graphen Die Bewertung kann Entfernung, Zeit, Kosten.... bedeuten. Erstmal leichtere Probleme:
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  • 14 Stadtplanung und Graphen Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, 2012 http://www.leuphana.de/matheomnibus die Bewertung Baukosten bedeuten. Fr das Stadt- bauamt kann
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  • 15 Optimierung und Graphen Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, 2012 http://www.leuphana.de/matheomnibus Bewertung Baukosten Radwegbelag mglichst billig so erneuern, dass jede Kreuzung auf neuem Belag erreichbar ist. Greedy-Algorithmus Protokoll greedy=gierig
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  • 16 Optimierung und Graphen Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, 2012 http://www.leuphana.de/matheomnibus Bewertung Baukosten Eine Kante davon whlen. Nicht nehmen, sonst wird es ein Kreis. Radwegbelag mglichst billig so erneuern, dass jede Kreuzung auf neuem Belag erreichbar ist. Greedy-Algorithmus Protokoll
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  • 17 Optimierung und Graphen Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, 2012 http://www.leuphana.de/matheomnibus Bewertung Baukosten Radwegbelag mglichst billig so erneuern, dass jede Kreuzung auf neuem Belag erreichbar ist. Protokoll Greedy-Algorithmus Entstanden ist ein minimaler Spannbaum
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  • 18 Optimierung und Graphen Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, 2012 http://www.leuphana.de/matheomnibus Bewertung Baukosten Ein Baum ist ein zusammenhngender Graph ohne Kreise. Radwegbelag mglichst billig so erneuern, dass jede Kreuzung auf neuem Belag erreichbar ist. Entstanden ist ein minimaler Spannbaum
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  • 19 Optimierung und Graphen Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, 2012 http://www.leuphana.de/matheomnibus Bewertung Baukosten Leitungsnetz verlegen, so dass jeder Knoten erreicht wird. Minimiere die Baukosten. Greedy-Algorithmus brigens: gibt es hier einen Eulerschen Weg? Markiere die billigsten Kanten, solange kein Kreis entsteht. Mache dann mit einer nchst teureren Kante weiter, bis ein Spannbaum entsteht. Protokoll Selber machen
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  • 20 Optimierung und Graphen Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, 2012 http://www.leuphana.de/matheomnibus Bewertung Baukosten Leitungsnetz verlegen, so dass jeder Knoten erreicht wird. Minimiere die Baukosten. Greedy-Algorithmus Eulerschen Weg? Ja, denn genau zwei Ecken haben ungeraden Grad. Markiere die billigsten Kanten, solange kein Kreis entsteht. Mache dann mit einer nchst teuren Kante weiter, bis ein Spannbaum entsteht. Protokoll
  • Folie 21
  • 21 Optimierung und Graphen Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, 2012 http://www.leuphana.de/matheomnibus Bewertung Baukosten Leitungsnetz verlegen, so dass jeder Knoten erreicht wird. Minimiere die Baukosten. Greedy-Algorithmus Eulerschen Weg? Ja, denn genau zwei Ecken haben ungeraden Grad. Markiere die billigsten Kanten, solange kein Kreis entsteht. Mache dann mit einer nchst teuren Kante weiter, bis ein Spannbaum entsteht. Protokoll
  • Folie 22
  • 22 Graphen- Theorie Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, 2012 http://www.leuphana.de/matheomnibus ist eins der spannendsten und dynamischsten mathematischen Themen zur Zeit. Zwei Mathematiker greifen die Idee von Sofies Welt auf. http://www-m9.ma.tum.de/Ruth/WebHomewww-m9.ma.tum.de/Ruth/WebHome
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  • 23 Krzeste-Wege-Bume Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, 2012 http://www.leuphana.de/matheomnibus Das ist das Routenplaner- Problem. Dijkstra-Algorithmus. Wir suchen einen krzesten Weg von A aus zu allen anderen Ecken Fertige Ecken: A Unfertige Ecken: Unbetretene Ecken Ecken: B C D E F G H I Der Wert einer Ecke ist seine Entfernung von A. Aktive Ecke: A Niederlndischer Mathematiker Edsger Dijkstra, 1960 Sprich ij wie ei Lassen Sie sich im Folgenden lediglich auf den Grundgedanken ein. Es ist schwieriger zu lsen als das Spannbaum-Problem.
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  • 24 Krzeste-Wege-Bume Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, 2012 http://www.leuphana.de/matheomnibus Das ist das Routenplaner- Problem. Dijkstra-Algorithmus. Wir suchen die krzesten Wege von A aus zu allen anderen Ecken Wir beschriften die Ecken mit ihren Entfernungen von A. Achte auf die Grundidee Bei kleinen Graphen findet man eine Lsung durch Hinsehen. Klausurfrage! Es ist schwieriger zu lsen als das Spannbaum-Problem.
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  • 25 Krzeste-Wege-Bume Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, 2012 http://www.leuphana.de/matheomnibus Das ist das Routenplaner- Problem. Dijkstra-Algorithmus. Wir notieren an jeder Ecke Abstand von A und Vorgnger- Kante. Fertige Ecken: A Unfertige Ecken: B1 A, E9 A, D2 A, Unbetretene Ecken Ecken: C F G H I Aktive Ecke wird: B Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke.
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  • 26 Krzeste-Wege-Bume Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, 2012 http://www.leuphana.de/matheomnibus Das ist das Routenplaner- Problem. Dijkstra-Algorithmus. Fertige Ecken: A, B1 A, Unfertige Ecken: E9 A, E8 B, D2 A, C7 B, Unbetretene Ecken Ecken: F G H I Aktive Ecke wird: D Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke. Die aktive Ecke ist fertig. Wir notieren an jeder Ecke Abstand von A und Vorgnger- Kante.
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  • 27 Krzeste-Wege-Bume Prof. Dr. Drte Haftendorn, Leuphana Universitt Lneburg, 2012 http://www.leuphana.de/matheomnibus Das ist das Routenplaner- Problem. Dijkstra-Algorithmus. Fertige Ecken: A0, B1 A, D2 A, Unfertige Ecken: E9 A, E8 B, C7 B, E7 D, H5 D, Unbetretene Ecken Ecken: F G I Der Wert einer Ecke ist seine Entfer

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