elasticité et rdm- parti

Calculateurs Temps Réel

1 S. MEZLINI - T. DAAMI – A. DOGUI


Résistance des Matériaux

(2013-2014)




Module: Résistance des Matériaux, Niveau: 1ère année Durée: 21 heures Cours Contrôle de connaissance: Un devoir surveillé à mi-cours, un examen principal, un examen de rattrapage, une note de travaux pratiques Pré-requis: notion sur les torseurs, cours MMC Objectifs: formulations torsorielle et tensorielle de mécanique des solides déformables de type poutre et de mécanique des milieux continus. Modélisation et résolution des problèmes, dimensionnement élastique

Fiche Module

2



Calculateurs Temps Réel Programme

Partie 1. Elasticité

Résolution d’un problème d’élasticité 3D: Equations générales, de compatibilité, de Beltrami, Stratégie de résolution

Résolution des problèmes plans en élasticité: déformation plane, contrainte plane, fonction d’Airy

Méthode énergétique: solutions approchées

3



Calculateurs Temps Réel Programme

Partie 2. Résistance des matériaux- Milieux curvilignes

Hypothèses fondamentales: Hypothèse sur la géométrie, hypothèse de

Saint Venant (hypothèse de formulation torsorielle de mécanique de solide déformable)

Description des efforts , état de contraintes

Efforts extérieurs, Charges de liaisons, équations d’équilibre global

Efforts intérieurs ou de cohésion des particules entre elles: Relation avec les contraintes, équations d’équilibre, sollicitations particulières. États des contraintes.

Mouvement et Déformations: Torseurs de déplacement et de déformation

4



Calculateurs Temps Réel Programme Partie 3: Résistance des matériaux- Milieux curvilignes

5

Comportement élastique: Loi de comportement en milieux curvilignes. Dimensionnement élastique. Concentration des contraintes.

- Méthodes énergétiques: Théorèmes de Manébréa et de Catigliano, application pour la résolution des problème hyperstatiques et de calcul de déplacement


6 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI


Chapitre 1

Résolution d’un problème d’élasticité 3D

6



Calculateurs Temps Réel Chapitre 1: Résolution d’un problème d’élasticité 3D

Problème d’élasticité linéaire statique ou quasi-statique

Connaissant

Géométrie Propriétés du matériau Loi de comportement Sollicitations

Champ de déplacement Champ de contrainte

Trouver

L’équation d’équilibre Conditions aux limites statiques et Cinématiques Loi de comportement

Vérifier

7





Connaissant

Géométrie: Arbre, anneau, barrage, cylindre….

Propriétés du matériau:

- E: Module d’Young (ou coefficients de Lamé et ) - : Coefficient de poisson

Loi de comportement:

E νσ= ε+ tr I 2 tr I σ=A:ε

1+ν 1-2ν

8





Connaissant

Sollicitations

-

-

-

f: force de volume

d

σ : conditions aux limites statiquesd

u : conditions aux limites cinématiques

Champ de déplacement :

Champ de contrainte:

Trouver

T1u = Gradu Grad u

2

σ

9





L’équation d’équilibre (statique ou quasi-statique):

Conditions aux limites statiques

Conditions aux limites cinématiques

Vérifier

divσ+ρf =0

d

σ =σ.n : conditions aux limites statiquesf

d

u =u : conditions aux limites cinématiquesu

10




Problème régulier: Définition

Un problème est dit régulier si on connait en chaque point M de la frontière trois composantes «non duales» parmi les composantes des vecteurs contrainte et déplacement. C’est-à-dire on connait sur chacune des surfaces frontières: - soit les trois composantes de - soit les trois composantes de - soit trois composantes de ces six qui sont « non duales »

M

d

σd

u

d d d

1 2 3d d d

1 2 3d d d

1 2 3

Exemple: (σ , σ et u )

(σ , u et σ )

(u , σ et σ )11




Problème régulier: Théorème

Dans le cas d’un problème régulier, il existe une solution unique en contrainte (et déformation), solution unique en déplacement à un mouvement de solide rigide prés, compatible avec les conditions aux limites cinématiques. Problème régulier: Exemple (écrasement d’un lopin)

y

- a a

x

o

H

y

- a a

x

o

H

Bloc 1 rigide et fixe

Bloc 2 rigide et mobile

Lopin

F

12




Problème régulier: Exemple (écrasement d’un lopin)

cas 1: Contact parfait (sans frottement) entre B1/Lopin et Lopin/B2: Conditions aux limites sur : - Surfaces latérales: x=a Surfaces libres de contraintes

d

11 12 13σ =0 0

-Surface y=0: Sans frottement

σ=σ.n est porté par y

12 23 σ =σ =0

1 2B est rigide et fixe u =0

-Surface y=h: Sans frottement

σ=σ.n est porté par y

12 23

22

σ =σ =0F

et σ = - P = -S

Problème régulier

13




Problème régulier: Exemple (écrasement d’un lopin)

cas 2: Adhérence parfaite entre B1/Lopin et Lopin/B2: Conditions aux limites sur : - Surfaces latérales: x=a Surfaces libres de contraintes

d

11 12 13σ =0 0

-Surface y=0:

L B1

u =u =0 (adhérence parfaite et le bloc B1 est fixe)

-Surface y=h:

1 3u =u =0 (déplacement uniquement selon y)

22

F σ =-P=

S

Problème régulier

14




Problème régulier: Exemple (écrasement d’un lopin: adhérence)

15




Problème régulier: Exemple (écrasement d’un lopin: sans frottement)

16




Problème régulier: Exemple (Torsion d’un cylindre)

cas 1: S0: Fixe, SL : Libre de contrainte, S1: Torsion (angle imposé 0): Conditions aux limites sur : - Surface latérale: SL Surfaces libres de contraintes

d

rr r rzσ =0 0

-Surface S0:

r θ zu =u =u 0

-Surface S1 :

r 0 zu =0, u =r , u =0

Problème régulier

S1

SL

S0

17




Problème régulier: Exemple (Torsion d’un cylindre)

cas 2: on ajoute une pression sur la surface latérale SL Conditions aux limites sur : - Surface latérale: SL

r rr rθ rzσ=σ.n=-P.e σ =-P, σ =σ =0

-Surface S0:

r θ zu =u =u 0

-Surface S1 :

r 0 zu =0, u =r , u =0

Problème régulier

S1

SL

S0

18




Stratégie de résolution: Stratégie 1

u C.L. Cinématiques

(u u )?d

Oui

Non

S

ε= Grad(u) L. C.=A:ε

C.L. Statiques

( )?d

Oui

Non

Solution

Equations d'équilibre ?

Oui

Non

19

Ainsi, tout champ de déplacement continu vérifiant les équation de Navier , les conditions aux limites cinématique et statique est solution du problème.

Equations d’équilibre 0 fdiv

En combinant 1,2,3, on obtient les équations de Navier

1 2

3

continu





Les équations de Navier = Les équations d'équilibre écrites en déplacement

λ+2μ divu - μrotrotu + f =0

ou

λ+μ divu+μdiv Gradu + f =0 avec Δu= divu - rotrotu

λ+μ divu+μΔu + f =0

Les équations de Navier sont données par les expressions suivantes:

20

Application : disque en rotation uniforme, cylindre creux sous pression, sphère sous pression avec force de volume négligeable . Grace à la symétrie géométrique et des charges , on peut supposer que le champ de déplacement est de la forme :

eruu r )(





d

C.L. Statiques

(σ=σ.n= )?Oui

Non

u par intégration

-1

L. C.ε=A :

Equations de compatibilité ?

Oui

Non

Solution

Equations d'équilibre ?

Oui

Non

Non

Oui

C.L. Cinématiques

(u u )?d

21

En combinant 1, 2, 3 on obtient les équations de Beltrami: 6 conditions aux dérivées secondes des contraintes).

Ainsi, tout champ de contrainte qui vérifie les équations de Beletrami, les équations d’équilibre et les conditions aux limites est solution du problème

2

3

1





Equations de compatibilité: Conditions d'intégrabilité du champ de déformation

jm,kk kk,jm jk,km km,jk

Δ + tr -2 div =0

En écriture indicielle:

0

S

i,j j,i

Pour qu'un champ tensoriel symétrique ε puisse correspondre à un tenseur de déformation, donc qu'il puisse être intégrable

en vue de lui associer un champ de déplacement u tel que:1

ε= u u = u2

il est nécéssaire et suffisante que vérifie les équations ci-dessous dites de compatibilités

S

22





Equations de compatibilité: Conditions d'intégrabilité du champ de déformation

23

, , , ,

, , , , , , ,

, , , , ,

, , , , , , , , , ,

,

1 1( ) ( )

2 2

1 1( ) ( ) ( )

2 2

1

2

( ) ( ) 0

ij i j j i ij i j j i

ij i j j i k k i jk k ij k ij j ik k

ik j kj i k ij k ik j kj i

ik j kj i l il j lj i k kj il il jk lj ik ik jl

kj

u u et u u

d u u dx u u u u dx

dx

, , , 0

2( ) 0

ii ii jk ij ik ik ji

Strace div

Les fonctions sont intégrables s’il vérifie les conditions d’intégrabilité Ce sont les conditions de différentielle totale des :

ij

Or on a trois indice (i,j,k) de la base orthonormé. En remplaçant i=l on obtient :

ij





Equations de Beltrami = Equations de compatibilité écrites en contraintes

ij,kk kk,ij

1Δσ+ trσ+2 f divf1=0

1+ν 1

Pour des forces de volume négligeables:

1+ν Δσ+ trσ=0

En écriture indicielle:1+ν σ +σ =0

S

24

En utilisant la loi de Hooke et les équations d’équilibre, les équations de compatibilité donnent les équations de Beltrami

Remraque : sil les équations de Beltrami sont vérifiées,(dérivées secondes des les équations d’équilibres ne sont pas nécessairement vérifiées (dérivée premières des ).

ij

ij





ijMode opératoire pour calculer u à partir de

ij,k ij,k ik,j jk,i

ij

1- On calcule w à partir de la relation w = -

2- Par intégration on retrouve les différentes expressions de w

(seulement si les équations de compatibilité sont vérifiées)

3- A partir d

ij i,j ij ij

i

e w on calcule : u =

5- Finalement par intégration on trouve les expressions de u(ceci est assuré si les équations de compatibilité sont vérifiées)

w

25




Application

On considère un cylindre de révolution plein de rayon a et infiniment long constituée par un matériau élastique obéissant à la loi de Hooke. Ce cylindre est soumis, sur sa surface cylindrique extérieure, à une pression p constante. On néglige les forces de volume. Déterminer les champs de contrainte et de déplacement générés par cette pression.

26




Application

27




Application

28




Chapitre 2

Problèmes plans en élasticité

29




Les deux états plans d ’élasticité

Les équations de la théorie de l’élasticité se simplifient considérablement dans les cas particuliers. Ces cas se rencontrent dans deux types de problèmes: - Etat plan de déformation - Etat plan de contrainte

Chapitre 2: Problèmes plans en élasticité

30




Etat de déformation plan: Exemple 1

Tunnel ou un puits de mine de très grande étendue selon la direction z.

Si les sections perpendiculaires à z sont toutes identiques, deux sections distantes de dz se déforment de façon identiques.

Déformations planes (dans le plan (x,y))


31




Etat de déformation plan: Exemple 2

Tôle en sortie du laminoir.

Dans la direction transversale (DT), il n’y a pas de déformation à cause du frottement entre les cylindres du laminoir et la tôle.

Déformations planes (dans le plan (DL, DN))


32




Etat de déformation plan

Hypothèses:

- Comportement élastique linéaire: (structure sans déformation permanentes: ponts, voitures, trains, structures génie civil…….), - Matériau homogène et isotrope, - Hypothèses de petites perturbations (hpp), - Déformation dans le plan (x1,x2).

1 1 2 11 12

2 1 2 ij i,j j,i 21 22

Dans ce cas le vecteur déplacement est donné par:

u , 01

u = u , ε = u +u ε= 02

0 0 0 0

x x

x x


33





E ν

σ= ε+ tr I 2 tr I1+ν 1-2ν

E E ν

21+ν 1+ν 1-2ν

Loi de comportement:

11 1 2 12 1 2

21 1 2 22 1 2

33 1 2

σ , σ , 0

σ= σ , σ , 0

0 0 σ ,

x x x x

x x x x

x x

Montrer que: 33 11 22 σ σ σ


34

Ce tenseur des contraintes doit vérifier 0 fdiv 03 f




Etat de déformation plan:

11 11 11 22

22 22 11 22

33 11 22

12 12

13 23

E νσ= ε+ tr I 2 tr I

1+ν 1-2ν

E νσ ε + ε ε

1+ν 1-2ν

E νσ ε + ε ε

1+ν 1-2ν

E νσ ε ε

1+ν 1-2ν

Eσ ε

1+ν

σ σ 0

Loi de comportement: Montrer que: 33 11 22 σ σ σ


11 22 11 22

11 22

33

E 2νσ +σ = ε ε 1+

1+ν 1-2νE

= ε ε1+ν 1-2ν

σ =

33 11 22σ = σ +σ

35





Fonction d’Airy:


11 22 22 11 12 12

Pour une force de volume f négligeable, il existe une fonction appelée fonction d'Airy telle que:σ , ; σ , ; σ ,

et tr = 1+ν et 0

Démonstration: En appliquant l’équation d’équilibre (force de volume négligeable):

11 12 11 12

1 2 1 2

12 22 12 22

1 2 1 2

0

div 0

0

x x x x

x x x x

36




Etat de déformation plan: Fonction d’Airy: Démonstration :


11 12

11 2 12 1

1 2

12 22

22 1 12 2

1 2

/

/

f gh telle que dh fdy gdx

x y

f df dx dxx x

g dg dx dxx x

11 2 12 1

2

22 1 12 2

1

, ; = - ,

, ; = - ,

ff f

x

gg g

x

1 2

2 1

, , / f g

d fdx gdx

37

Théorème : soit On montre que la fonction h est intégrable si est seulement si

kdzgdyfdxzhxdh ),,(

y

k

z

g

x

k

z

f

x

g

y

f

;;




Etat de déformation plan: Fonction d’Airy: Démonstration :


2 11 2 22

12 1 2 12 21

1 22 1 11

, , , - , - , , ,

, , ,

f ff g

g g

11 22 22 11 12 12

et par conséquent il existe une fonction telle que , ; , ; ,

11 22 33 11 22 11 22

11 22 11 22

1 1 , , 1

tr

38




Etat de contraintes plan: Exemple


Considérons une plaque mince d’épaisseur constante, sollicitée par des forces appliquées sur son contour. Les contraintes zz , xz et yz sont nulles sur les faces de la plaque

Par raison de continuité, zz , xz et yz ne peuvent prendre à l’intérieur de la plaque que des valeurs très faibles par rapport à xx , xy et yy.

, 0M z

On ne commet pas une erreur sensible en affirmant qu’elles sont nulles

39




40

Etat plan de contraintes :


Pour la même raison (de continuité), il est certain que les trois composantes non nulles , et ne dépendent pratiquement pas de . (c’est-à-dire qu’elles restent constantes sur toute l’épaisseur du disque) le tenseur de contrainte est dans ce cas est donné sous la forme suivante:

11 1 2 12 1 2

21 1 2 22 1 2

, , 0

= , , 0

0 0 0

x x x x

x x x x

Ce tenseur des contraintes doit vérifier

0 fdiv 03 f

11 1222

3x




Etat de contraintes plan: loi de comportement


11 11 11 22

22 22 11 22

33 11 22

12 12

13 23

1+ν νε= σ- 1

E E1+ν ν

ε σE E

1+ν νε = σ

E E

ν

E

1+νσ

E

0

tr

Montrer que: 33 11 22=- ε ε1-

11 1 2 12 1 2

21 1 2 22 1 2

33 1 2

, , 0

= , , 0

0 0 ,

x x x x

x x x x

x x

41




Etat de contraintes plan: loi de comportement


11 22 11 22 11 22

11 22 33

33

1+ν 2νε ε σ σ

E E1-ν 1-ν E

σ σ εE E ν1-ν

εν

33 11 22=- ε ε1-

42



Calculateurs Temps Réel Chapitre 2: Problèmes plans en élasticité

Etat de contrainte plan

Fonction d’Airy:

11 22 22 11 12 12

11 22

Pour une force de volume f négligeable, il existe une fonction appelée fonction d'Airy telle que:

σ , ; σ , ; σ ,

tr =σ σ

est linéaire de ces coordonnées

1 2

1 2Montrer que:

x x

x x

43




Etat de contrainte plan

Fonction d’Airy:

, ,

11, ,11

,22 ,11

,22 ,11

,11 ,22

,12 ,12

A partir des équations de Beltrami: 1+ 0

, 1,1 1+ 0

1+ 0

1+ 0

De même:, 2,2 1+ 0

, 1,2 - 1+ 0

et par cons

ij ll kk ij

ll kk

ll

i j

i j

i j

,11 ,22 ,12équent: 0

44




Etat de contrainte plan: Fonction d’Airy:

,11 ,1 1 2 1 2 1 2 2

,22 ,2 3 1 3 1 2 4 1

' '

,1 3 1 2 4 1 1 2

'

4 1 1 4 1 1 1 1

'

3 1 2 3 1 2 1 2

2 1 2 2 1 1 1

,12 2

1 1

0

0

or 0 0

C x C x x C x

C x C x x C x

C x x C x C x

C x cte C x x

C x cte C x x

x x x

x

2 2 1 d'ou est linéairex 45




Intégration du déplacement: Déformation plane

11 1,1 11

11 1,1 ,22 ,22

22 2,2 ,11 ,11

12 1,2 2,1 12 ,12

1+ν νε σ or tr = 1+ν

E Eν 1+ν1+ν 1+ν

ε νE E E

De même : ν 1+ν1+ν 1+ν

ε νE E E

1+ν 1+ν2ε 2 2

E E

u tr

u

u

u u

46




Intégration du déplacement: Contrainte plane

11 1,1 11

11 1,1 ,22 ,22

22 2,2 ,11 ,11

12 1,2 2,1 12 ,12

1+ν νε σ or tr =

E E1+ν ν 1+ν ν

εE E E 1+ν

De même : 1+ν ν 1+ν ν

εE E E 1+ν

1+ν 1+ν2ε 2 2

E E

u tr

u

u

u u

47




Intégration du déplacement: Contrainte plane

13 1,3 3,1 ,1 3 ,1 ,1 3 ,1 1 2

23 2,3 3,2 ,2 3 ,2 ,2 3 ,2 1 2

,

ν ν2ε 0 ,

E E

ν ν2ε 0 ,

E E

0i

u u x a x a x x

u u x a x a x x

Il faut vérifier que:

3 33 3,3 33

3 3 1 2

1+ν ν νPour la composante u : ε σ

E E Eν

,E

u tr

u x a x x

48




Application: Traction d’un barreau prismatique en contrainte plane

Effort surfacique d’intensité σ

=> force de traction N : N=A∙σ

- Les Contraintes ? - Les déformations ? - Les Déplacements ?

49





21Y

2 Choisissons Φ :

est linéaire de ces coordonnées

2 2 2

2 2; ;x y xy

Y X X Y

x y xy

N; 0 ; 0

A

50





; ; 0X y z xy

N N

E EA E EA

; ;y yx x

X y xy

u uu u

X Y Y x

Déformations par loi de Hooke

Par intégration

=> champs de déplacement suivant X et Y :

51





; ; 2y yx x

X y xy

u uu u

X Y Y x

( ) ; ( )X y

N Nu X f Y u Y g X

EA EA

52





( ) ; ( )X y

N Nu X f Y u Y g X

EA EA

( ) ( )

0df Y dg X

dY dX

2 0yx

xy

uu

Y x

Information en plus grâce au cisaillement

53





( ) ( )

0df Y dg X

dY dX

( ) ( )

;df Y dg X

c cdY dX

( ) ; ( )f Y a cY g X b cX

a, b, c constantes

54





( ) ; ( )X y

N Nu X f Y u Y g X

EA EA

( ) ; ( )f Y a cY g X b cX

cXbYEA

NYXu

cYaXEA

NYXu

Y

X

),(

),(

55





cXbYEA

Nu

cYaXEA

Nu

Y

X

0)0,0(

0)0,0(

0 ba

00)0,( cLEA

NLuY

YEA

NYLuY ),(

0c

LEA

NYLuX ),( X

EA

NhXuX ),(

hEA

NhXuY ),(

E D

EF DE

F

56




57

Chapitre 3

Méthodes énergétiques



Calculateurs Temps Réel Chapitre 3: Méthodes énergétiques

I Rappel et Introduction

L’équation d’équilibre Conditions aux limites statiques et Cinématiques Loi de comportement

Vérifiant

58

Dans certains cas, on ne peut pas déterminer une solution exacte d’un problème d’élasticité (ou on n’a pas besoin de déterminer la solution complète)

M

Solution approchée !!




I Rappel et Introduction

59

Chapitre 3: Méthodes énergétiques

Deux approches:

1- Approches cinématiques: en postulant d’un champ de déplacement

approché (C. C. A.),

2- Approche statique: En postulant d’un champ de contrainte approché

(S. A.)

u

La méthode énergétique permet de trouver des bornes supérieure et

inférieure de la solution en utilisant l’énergie potentielle d’un champ

de déplacement (C.C.A.) et l’énergie complémentaire d’un champ

de contrainte (S.A.)




II Champ de déplacement cinématiquement admissible

60


Définition: est un champ de déplacement cinématiquement

admissible (C.C.A.) s’il vérifie les conditions aux limites

Cinématiques:

L’énergie de déformation: l’énergie de déformation d’un champ

de déplacement C.A. est donnée par:

u

d

u u

u

, ,

1:

21

avec 2

ij i j j i

W u dv

u u




II Champ de déplacement cinématiquement admissible

61


Travail des efforts donnés dans

L’énergie Potentielle d’un champ C.A. est donnée par:

u

avec : efforts donnés

dd

f

fd

T u f udv uda

d

fK u W u T u




III Champ de contrainte statiquement admissible (S.A.)

62


Définition: est un champ de contrainte statiquement admissible

(S.A.) s’il vérifie:

- Les conditions aux limites statiques

- Les équations d’équilibre

L’énergie de déformation: l’énergie de déformation associée à ce

champ de contrainte est donnée par:

1

:2

W dv




III Champ de contrainte statiquement admissible (S.A.)

63


Travail de dans les déplacements donnés

L’énergie complémentaire d’un champ S.A. est donnée par:

.

avec : déplacements donnés

dd

u

ud

T n u da

u

d

uH T W




IV Théorèmes

64


Lemme Fondamental: soit un champ de déplacement (virtuels)

quelconque et un champ S.A. alors:

Théorème des travaux virtuels (associé à virtuel): on

remplace dans le lemme fondamental par

*

u

, ,

* **

* **

: . .

1 avec

2 i j j i

u

ij

dv f u dv n u da

u u

*

u

* *

*: . .u

dv f u dv n u da




IV Théorèmes

65


Théorème de l’énergie potentielle: Parmi tous les solutions C. A., on

montre que la solution minimise l’énergie potentielle:

Théorème de l’énergie complémentaire: Parmi tous les solution S.

A. on montre que la solution maximise l’énergie complémentaire:

Théorème de comparaison:

: solution K u K u u

u

: solution H H

et : solutionsH H K u K u u




IV Théorèmes

66


= solution

Théorème du travail: l’énergie de déformation est égale à la

moitié du travail des efforts extérieurs

1 1

: . . .2 2

u

w dv f udv n uda

)~(uK

)(

H

)()( uKH




IV Application: compression d’un barreau

67


y

a

r

o

y

a o

h

Bloc 1 rigide et fixe

Bloc 2 rigide et mobile

Barreau

-Barreau cylindrique de rayon r et de hauteur h - Adhérence parfaite - Le bloc inférieur est fixe et indéformable - Le bloc supérieure est indéformable est soumis à un déplacement U donné - Si P est la force nécessaire à l’écrasement: P=K.U avec K est la rigidité - Objectif: détermination de K, en utilisant la méthode énergétique

U





Calcul de

68


et d d

u fT T

33

.

= .

dd

u

u

u

T n u da

PU da U S PU

S

0

avec 0d

u

U

avec 0d d

d

f

f

T u f udv uda f

.d

uT PU

0d

fT u





Calcul de

69


et d d

u fT T

L'énergie potentielle: d

fK u W u T u W

L'énergie complémentaire d

uH T W PU W

Théorème de comparaison: H K u et solutions

u

P P

2

PUH K W





Proposer un champ de déplacement C.A:

70


z

zu U e

h

0 0. . . vérifiées

u zC L C

u z h U

0 0 0

10 0 0

20 0 1

T UGradu Grad u

h

0 0

0 01 1 2

0 0 1

EU

h

. . .? , 0 donc ne vérifie pas les C.L.S.

et par consiquent il ne peut pas être solutionrC L S r a e





Proposer un champ de déplacement C.A:

71


z

zu U e

h

2 21:

2 21

avec 1 1 2

d

f

E a UK u W u T u W u dv

h

L’énergie potentielle du champ C.A.: z

zu U e

h

2 2

2

2

sup

1 1 1

2 2 2 2

E a UK u PU K u KU U KU

hE a

K Kh





Proposer un champ de contrainte homogène :

72


z zzz e e Champ de contrainte homogène est indépendante de r, et zzz

- Montrer que est S.A.

0 Vérifiée

, 0 Vérifiée est S.A.r

div

r a e

- Loi de comportement

0 0

0 0

0 0 1E

linéaire en fonction de r (incompatible avec les C.L.C. r, 0 z=0)

r

r

u

u pour






73


z zzz e e

- Calculer l’énergie complémentaire du

2

2 2

1 :

2 2

P hPW dv

a E a

2

2

2

d d

u u

hPH T W PU Avec T PU

E a

- Déterminer maximisant l’énergie complémentaire

optimaleP

2 2 2

max0 = 2

op

dH E a U E a UP H

h hdP






74


z zzz e e

- Théorème de l’énergie complémentaire:

2 2 2

2

max inf

1 =

2 2

E a U E aH KU K K

h h

- Evaluer le rapport:

sup

inf

1 pour 0.3 1.35

1 1 2

K

K

2 2

E a E aK

h h




75

Dimensionnement élastique



Calculateurs Temps Réel Dimensionnement élastique

I- Introduction et critères d’élasticité

OA (< e ): déformation élastique: Comportement linéaire (loi

de Hooke): =E .e

AB et BC (> e ): déformation plastique irréversible: la loi de

Hooke n’est plus valable

%2,0

%2,0 %2,0





Définition: En tout point du solide, il existe une contrainte

équivalente éq qui dépend du tenseur de contraintes et une contrainte limite e vérifiant la propriété suivante: le comportement est élastique linéaire tant que: On dira de façon équivalente que la plasticité apparait dès que:

x M

(M)

éq()

éq()< e

éq()= e





Hypothèse du principe d’isotropie: (En tout point donné, un critère ne dépend pas du choix du repère orthonormé):

éq= eq (I , II ,III )

Avec:

I 1 2 3

2 2

II 1 2 2 3 1 3

III 1 2 3

σ =tr σ =σ +σ +σ1

σ = trσ trσ =σ σ +σ σ +σ σ2

σ det σ=σ σ σ

1 2 3σ ,σ , σ contraintes principales





Incompressibilité : éq éq II III tr =0 σ =σ σ ,σ

Déformation plastique se fait par glissement des plans cristallographiques les uns par rapport aux autres (cisaillement):

III

D D

éq éq II σ =σ σ ,σD 1

σ =σ- trσ.13

- La détermination de la fonction éq fait partie du domaine de la modélisation. - e est plutôt du ressort de l’expérimentation.





Les deux critères les plus utilisés sont: le critère de Tresca

Le critère de Von Mises




II- Critère de Tresca Définition: En un point, la plasticité est atteinte dès que la valeur de la contrainte

de cisaillement atteint une valeur critique. La contrainte de cisaillement maximale est : Le critère de Tresca est donnée par l’expression suivante:

max

1max

2i j

, 1,2,3

maxéqT e

i ji j

i j

max

32 1

Rayon du grand cercle de Mohr

ei critique max

ee

Représentation de Mohr de l’état des contrainte




II- Critère de Tresca:

Exemple 1: Traction

0 0

0 0 0

0 0 0

max éq i j e

Exemple 2: Cisaillement 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

max 2 2 2

e

éqT i j e

Exemple 2: problème de milieu curviligne

00

00

13

12

131211

eéqT )(4 2

12

2

12

2

11

22

12

2

12

2 )(




III- Critère de Von Mises: Enoncé du critère: L’Energie de déformation ne doit pas dépasser le

seuil de plastification de matériau :

1 1: :

2 21 1 1

.1 : .12 3 31 1 1 1

: . :1 .1: . .1:12 3 3 9

ij ij

D D

D D D D

w

tr tr

tr tr tr tr

or on a : :1 1: 0 car: tr 0D D D Dtr

1 1: .

2 3

D Dw tr tr

Dans le cas de comportement élastique linéaire, l’énergie de déformation par unité de volume est l’aire au dessous de la courbe :

ij

ij




III- Critère de Von Mises:

Energie de déformation par unité de volume:

1 1: .

2 3

1 1 :2 .

2 3 21 1

. :6 4

D D

D DD D

D D

d c

w tr tr

w tr tr

w tr tr

w w w

0)(6

1 tratrawd

Or, la déformation plastique se fait sans variation de volume

DD

dww

:4

1

Energie de cisaillement de plastification ou de distorsion de matériau




III- Critère de Von Mises:

L a plastification se fait à volume constant : 1

tr =0 :4

D D

cw w

0 0

0 0 0

0 0 0

e

Le critère d’élasticité:

maxc cw w

maxcw

2

max

1

6c ew

21 1:

4 6

D D

e

3:

2

D D

éqV e




III- Critère de Von Mises: Application : problème de milieu curviligne On montre que : Exemple 1: Traction 2

0 030 0

0 0 0 0 03

0 0 0

0 03

3 3 4 1 1: .

2 2 9 9 9

D

D D

éqV

éqV éqT

eéqV )(3 2

12

2

12

2

11

22

12

2

12

2 )(




III- Critère de Von Mises: Exemple 2: état de contraintes de cisaillement

0 0

0 0

0 0 0

3: 3. 3. 2

2

D

D D

éqV éqV éqT

Le critère de Tresca est plus sévère que le critère de Von Mises

Le critère de Von Mises peut s’écrire aussi sous les forme suivantes:

2 2 2

1 2 2 3 3 1

1

2éqV e

2 2 2 2 2 2

11 22 22 3 33 11 12 23 13

16

2éqV e

éqV éqT




IV- Représentation graphique:

Pour simplifier nous supposons qu’on se place dans le plan (1, 2) avec 3 =0:

2 1maxéqT e

-Les inéquations définissant le domaine sont donc:

1

2

2 1

e e

e e

e e

-Les Frontières du domaine de Tresca:

1

2

2 1

e

e

e

1

2

e

e

e

e

2 e

2 e

2 1 e

2 1 e




IV- Représentation graphique: Von Mises

3 =0:

-le domaine de Von mises est donc limité par une ellipse

1

2

e

e

e

e

2

3e

2 2 2

1 2 2 1

1

2éqV e

2 e

Limite de TRESCA : hexagone

Limite de Von Mises: ellipse

elasticité et rdm- parti

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