Download - Elasticité et RDM- PartI
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1 S. MEZLINI - T. DAAMI – A. DOGUI
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Résistance des Matériaux
(2013-2014)
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2 S. MEZLINI - T. DAAMI – A. DOGUI
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Module: Résistance des Matériaux, Niveau: 1ère année Durée: 21 heures Cours Contrôle de connaissance: Un devoir surveillé à mi-cours, un examen principal, un examen de rattrapage, une note de travaux pratiques Pré-requis: notion sur les torseurs, cours MMC Objectifs: formulations torsorielle et tensorielle de mécanique des solides déformables de type poutre et de mécanique des milieux continus. Modélisation et résolution des problèmes, dimensionnement élastique
Fiche Module
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Calculateurs Temps Réel Programme
Partie 1. Elasticité
Résolution d’un problème d’élasticité 3D: Equations générales, de compatibilité, de Beltrami, Stratégie de résolution
Résolution des problèmes plans en élasticité: déformation plane, contrainte plane, fonction d’Airy
Méthode énergétique: solutions approchées
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Calculateurs Temps Réel Programme
Partie 2. Résistance des matériaux- Milieux curvilignes
Hypothèses fondamentales: Hypothèse sur la géométrie, hypothèse de
Saint Venant (hypothèse de formulation torsorielle de mécanique de solide déformable)
Description des efforts , état de contraintes
Efforts extérieurs, Charges de liaisons, équations d’équilibre global
Efforts intérieurs ou de cohésion des particules entre elles: Relation avec les contraintes, équations d’équilibre, sollicitations particulières. États des contraintes.
Mouvement et Déformations: Torseurs de déplacement et de déformation
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Calculateurs Temps Réel Programme Partie 3: Résistance des matériaux- Milieux curvilignes
5
Comportement élastique: Loi de comportement en milieux curvilignes. Dimensionnement élastique. Concentration des contraintes.
- Méthodes énergétiques: Théorèmes de Manébréa et de Catigliano, application pour la résolution des problème hyperstatiques et de calcul de déplacement
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Chapitre 1
Résolution d’un problème d’élasticité 3D
6
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Calculateurs Temps Réel Chapitre 1: Résolution d’un problème d’élasticité 3D
Problème d’élasticité linéaire statique ou quasi-statique
Connaissant
Géométrie Propriétés du matériau Loi de comportement Sollicitations
Champ de déplacement Champ de contrainte
Trouver
L’équation d’équilibre Conditions aux limites statiques et Cinématiques Loi de comportement
Vérifier
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Calculateurs Temps Réel Chapitre 1: Résolution d’un problème d’élasticité 3D
Problème d’élasticité linéaire statique ou quasi-statique
Connaissant
Géométrie: Arbre, anneau, barrage, cylindre….
Propriétés du matériau:
- E: Module d’Young (ou coefficients de Lamé et ) - : Coefficient de poisson
Loi de comportement:
E νσ= ε+ tr I 2 tr I σ=A:ε
1+ν 1-2ν
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Calculateurs Temps Réel Chapitre 1: Résolution d’un problème d’élasticité 3D
Problème d’élasticité linéaire statique ou quasi-statique
Connaissant
Sollicitations
-
-
-
f: force de volume
d
σ : conditions aux limites statiquesd
u : conditions aux limites cinématiques
Champ de déplacement :
Champ de contrainte:
Trouver
T1u = Gradu Grad u
2
σ
9
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Calculateurs Temps Réel Chapitre 1: Résolution d’un problème d’élasticité 3D
Problème d’élasticité linéaire statique ou quasi-statique
L’équation d’équilibre (statique ou quasi-statique):
Conditions aux limites statiques
Conditions aux limites cinématiques
Vérifier
divσ+ρf =0
d
σ =σ.n : conditions aux limites statiquesf
d
u =u : conditions aux limites cinématiquesu
10
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Calculateurs Temps Réel Chapitre 1: Résolution d’un problème d’élasticité 3D
Problème régulier: Définition
Un problème est dit régulier si on connait en chaque point M de la frontière trois composantes «non duales» parmi les composantes des vecteurs contrainte et déplacement. C’est-à-dire on connait sur chacune des surfaces frontières: - soit les trois composantes de - soit les trois composantes de - soit trois composantes de ces six qui sont « non duales »
M
d
σd
u
d d d
1 2 3d d d
1 2 3d d d
1 2 3
Exemple: (σ , σ et u )
(σ , u et σ )
(u , σ et σ )11
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Calculateurs Temps Réel Chapitre 1: Résolution d’un problème d’élasticité 3D
Problème régulier: Théorème
Dans le cas d’un problème régulier, il existe une solution unique en contrainte (et déformation), solution unique en déplacement à un mouvement de solide rigide prés, compatible avec les conditions aux limites cinématiques. Problème régulier: Exemple (écrasement d’un lopin)
y
- a a
x
o
H
y
- a a
x
o
H
Bloc 1 rigide et fixe
Bloc 2 rigide et mobile
Lopin
F
12
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Calculateurs Temps Réel Chapitre 1: Résolution d’un problème d’élasticité 3D
Problème régulier: Exemple (écrasement d’un lopin)
cas 1: Contact parfait (sans frottement) entre B1/Lopin et Lopin/B2: Conditions aux limites sur : - Surfaces latérales: x=a Surfaces libres de contraintes
d
11 12 13σ =0 0
-Surface y=0: Sans frottement
σ=σ.n est porté par y
12 23 σ =σ =0
1 2B est rigide et fixe u =0
-Surface y=h: Sans frottement
σ=σ.n est porté par y
12 23
22
σ =σ =0F
et σ = - P = -S
Problème régulier
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Calculateurs Temps Réel Chapitre 1: Résolution d’un problème d’élasticité 3D
Problème régulier: Exemple (écrasement d’un lopin)
cas 2: Adhérence parfaite entre B1/Lopin et Lopin/B2: Conditions aux limites sur : - Surfaces latérales: x=a Surfaces libres de contraintes
d
11 12 13σ =0 0
-Surface y=0:
L B1
u =u =0 (adhérence parfaite et le bloc B1 est fixe)
-Surface y=h:
1 3u =u =0 (déplacement uniquement selon y)
22
F σ =-P=
S
Problème régulier
14
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Calculateurs Temps Réel Chapitre 1: Résolution d’un problème d’élasticité 3D
Problème régulier: Exemple (écrasement d’un lopin: adhérence)
15
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Calculateurs Temps Réel Chapitre 1: Résolution d’un problème d’élasticité 3D
Problème régulier: Exemple (écrasement d’un lopin: sans frottement)
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Calculateurs Temps Réel Chapitre 1: Résolution d’un problème d’élasticité 3D
Problème régulier: Exemple (Torsion d’un cylindre)
cas 1: S0: Fixe, SL : Libre de contrainte, S1: Torsion (angle imposé 0): Conditions aux limites sur : - Surface latérale: SL Surfaces libres de contraintes
d
rr r rzσ =0 0
-Surface S0:
r θ zu =u =u 0
-Surface S1 :
r 0 zu =0, u =r , u =0
Problème régulier
S1
SL
S0
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Calculateurs Temps Réel Chapitre 1: Résolution d’un problème d’élasticité 3D
Problème régulier: Exemple (Torsion d’un cylindre)
cas 2: on ajoute une pression sur la surface latérale SL Conditions aux limites sur : - Surface latérale: SL
r rr rθ rzσ=σ.n=-P.e σ =-P, σ =σ =0
-Surface S0:
r θ zu =u =u 0
-Surface S1 :
r 0 zu =0, u =r , u =0
Problème régulier
S1
SL
S0
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Calculateurs Temps Réel Chapitre 1: Résolution d’un problème d’élasticité 3D
Stratégie de résolution: Stratégie 1
u C.L. Cinématiques
(u u )?d
Oui
Non
S
ε= Grad(u) L. C.=A:ε
C.L. Statiques
( )?d
Oui
Non
Solution
Equations d'équilibre ?
Oui
Non
19
Ainsi, tout champ de déplacement continu vérifiant les équation de Navier , les conditions aux limites cinématique et statique est solution du problème.
Equations d’équilibre 0 fdiv
En combinant 1,2,3, on obtient les équations de Navier
1 2
3
continu
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Calculateurs Temps Réel Chapitre 1: Résolution d’un problème d’élasticité 3D
Stratégie de résolution: Stratégie 1
Les équations de Navier = Les équations d'équilibre écrites en déplacement
λ+2μ divu - μrotrotu + f =0
ou
λ+μ divu+μdiv Gradu + f =0 avec Δu= divu - rotrotu
λ+μ divu+μΔu + f =0
Les équations de Navier sont données par les expressions suivantes:
20
Application : disque en rotation uniforme, cylindre creux sous pression, sphère sous pression avec force de volume négligeable . Grace à la symétrie géométrique et des charges , on peut supposer que le champ de déplacement est de la forme :
eruu r )(
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Calculateurs Temps Réel Chapitre 1: Résolution d’un problème d’élasticité 3D
Stratégie de résolution: Stratégie 2
d
C.L. Statiques
(σ=σ.n= )?Oui
Non
u par intégration
-1
L. C.ε=A :
Equations de compatibilité ?
Oui
Non
Solution
Equations d'équilibre ?
Oui
Non
Non
Oui
C.L. Cinématiques
(u u )?d
21
En combinant 1, 2, 3 on obtient les équations de Beltrami: 6 conditions aux dérivées secondes des contraintes).
Ainsi, tout champ de contrainte qui vérifie les équations de Beletrami, les équations d’équilibre et les conditions aux limites est solution du problème
2
3
1
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Calculateurs Temps Réel Chapitre 1: Résolution d’un problème d’élasticité 3D
Stratégie de résolution: Stratégie 2
Equations de compatibilité: Conditions d'intégrabilité du champ de déformation
jm,kk kk,jm jk,km km,jk
Δ + tr -2 div =0
En écriture indicielle:
0
S
i,j j,i
Pour qu'un champ tensoriel symétrique ε puisse correspondre à un tenseur de déformation, donc qu'il puisse être intégrable
en vue de lui associer un champ de déplacement u tel que:1
ε= u u = u2
il est nécéssaire et suffisante que vérifie les équations ci-dessous dites de compatibilités
S
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Calculateurs Temps Réel Chapitre 1: Résolution d’un problème d’élasticité 3D
Stratégie de résolution: Stratégie 2
Equations de compatibilité: Conditions d'intégrabilité du champ de déformation
23
, , , ,
, , , , , , ,
, , , , ,
, , , , , , , , , ,
,
1 1( ) ( )
2 2
1 1( ) ( ) ( )
2 2
1
2
( ) ( ) 0
ij i j j i ij i j j i
ij i j j i k k i jk k ij k ij j ik k
ik j kj i k ij k ik j kj i
ik j kj i l il j lj i k kj il il jk lj ik ik jl
kj
u u et u u
d u u dx u u u u dx
dx
, , , 0
2( ) 0
ii ii jk ij ik ik ji
Strace div
Les fonctions sont intégrables s’il vérifie les conditions d’intégrabilité Ce sont les conditions de différentielle totale des :
ij
Or on a trois indice (i,j,k) de la base orthonormé. En remplaçant i=l on obtient :
ij
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Calculateurs Temps Réel Chapitre 1: Résolution d’un problème d’élasticité 3D
Stratégie de résolution: Stratégie 2
Equations de Beltrami = Equations de compatibilité écrites en contraintes
ij,kk kk,ij
1Δσ+ trσ+2 f divf1=0
1+ν 1
Pour des forces de volume négligeables:
1+ν Δσ+ trσ=0
En écriture indicielle:1+ν σ +σ =0
S
24
En utilisant la loi de Hooke et les équations d’équilibre, les équations de compatibilité donnent les équations de Beltrami
Remraque : sil les équations de Beltrami sont vérifiées,(dérivées secondes des les équations d’équilibres ne sont pas nécessairement vérifiées (dérivée premières des ).
ij
ij
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Calculateurs Temps Réel Chapitre 1: Résolution d’un problème d’élasticité 3D
Stratégie de résolution: Stratégie 2
ijMode opératoire pour calculer u à partir de
ij,k ij,k ik,j jk,i
ij
1- On calcule w à partir de la relation w = -
2- Par intégration on retrouve les différentes expressions de w
(seulement si les équations de compatibilité sont vérifiées)
3- A partir d
ij i,j ij ij
i
e w on calcule : u =
5- Finalement par intégration on trouve les expressions de u(ceci est assuré si les équations de compatibilité sont vérifiées)
w
25
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Calculateurs Temps Réel Chapitre 1: Résolution d’un problème d’élasticité 3D
Application
On considère un cylindre de révolution plein de rayon a et infiniment long constituée par un matériau élastique obéissant à la loi de Hooke. Ce cylindre est soumis, sur sa surface cylindrique extérieure, à une pression p constante. On néglige les forces de volume. Déterminer les champs de contrainte et de déplacement générés par cette pression.
26
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Calculateurs Temps Réel Chapitre 1: Résolution d’un problème d’élasticité 3D
Application
27
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Calculateurs Temps Réel Chapitre 1: Résolution d’un problème d’élasticité 3D
Application
28
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29 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
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Chapitre 2
Problèmes plans en élasticité
29
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Les deux états plans d ’élasticité
Les équations de la théorie de l’élasticité se simplifient considérablement dans les cas particuliers. Ces cas se rencontrent dans deux types de problèmes: - Etat plan de déformation - Etat plan de contrainte
Chapitre 2: Problèmes plans en élasticité
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Etat de déformation plan: Exemple 1
Tunnel ou un puits de mine de très grande étendue selon la direction z.
Si les sections perpendiculaires à z sont toutes identiques, deux sections distantes de dz se déforment de façon identiques.
Déformations planes (dans le plan (x,y))
Chapitre 2: Problèmes plans en élasticité
31
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Etat de déformation plan: Exemple 2
Tôle en sortie du laminoir.
Dans la direction transversale (DT), il n’y a pas de déformation à cause du frottement entre les cylindres du laminoir et la tôle.
Déformations planes (dans le plan (DL, DN))
Chapitre 2: Problèmes plans en élasticité
32
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Etat de déformation plan
Hypothèses:
- Comportement élastique linéaire: (structure sans déformation permanentes: ponts, voitures, trains, structures génie civil…….), - Matériau homogène et isotrope, - Hypothèses de petites perturbations (hpp), - Déformation dans le plan (x1,x2).
1 1 2 11 12
2 1 2 ij i,j j,i 21 22
Dans ce cas le vecteur déplacement est donné par:
u , 01
u = u , ε = u +u ε= 02
0 0 0 0
x x
x x
Chapitre 2: Problèmes plans en élasticité
33
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Etat de déformation plan
E ν
σ= ε+ tr I 2 tr I1+ν 1-2ν
E E ν
21+ν 1+ν 1-2ν
Loi de comportement:
11 1 2 12 1 2
21 1 2 22 1 2
33 1 2
σ , σ , 0
σ= σ , σ , 0
0 0 σ ,
x x x x
x x x x
x x
Montrer que: 33 11 22 σ σ σ
Chapitre 2: Problèmes plans en élasticité
34
Ce tenseur des contraintes doit vérifier 0 fdiv 03 f
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35 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
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Etat de déformation plan:
11 11 11 22
22 22 11 22
33 11 22
12 12
13 23
E νσ= ε+ tr I 2 tr I
1+ν 1-2ν
E νσ ε + ε ε
1+ν 1-2ν
E νσ ε + ε ε
1+ν 1-2ν
E νσ ε ε
1+ν 1-2ν
Eσ ε
1+ν
σ σ 0
Loi de comportement: Montrer que: 33 11 22 σ σ σ
Chapitre 2: Problèmes plans en élasticité
11 22 11 22
11 22
33
E 2νσ +σ = ε ε 1+
1+ν 1-2νE
= ε ε1+ν 1-2ν
σ =
33 11 22σ = σ +σ
35
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Etat de déformation plan
Fonction d’Airy:
Chapitre 2: Problèmes plans en élasticité
11 22 22 11 12 12
Pour une force de volume f négligeable, il existe une fonction appelée fonction d'Airy telle que:σ , ; σ , ; σ ,
et tr = 1+ν et 0
Démonstration: En appliquant l’équation d’équilibre (force de volume négligeable):
11 12 11 12
1 2 1 2
12 22 12 22
1 2 1 2
0
div 0
0
x x x x
x x x x
36
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37 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel
Etat de déformation plan: Fonction d’Airy: Démonstration :
Chapitre 2: Problèmes plans en élasticité
11 12
11 2 12 1
1 2
12 22
22 1 12 2
1 2
/
/
f gh telle que dh fdy gdx
x y
f df dx dxx x
g dg dx dxx x
11 2 12 1
2
22 1 12 2
1
, ; = - ,
, ; = - ,
ff f
x
gg g
x
1 2
2 1
, , / f g
d fdx gdx
37
Théorème : soit On montre que la fonction h est intégrable si est seulement si
kdzgdyfdxzhxdh ),,(
y
k
z
g
x
k
z
f
x
g
y
f
;;
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38 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel
Etat de déformation plan: Fonction d’Airy: Démonstration :
Chapitre 2: Problèmes plans en élasticité
2 11 2 22
12 1 2 12 21
1 22 1 11
, , , - , - , , ,
, , ,
f ff g
g g
11 22 22 11 12 12
et par conséquent il existe une fonction telle que , ; , ; ,
11 22 33 11 22 11 22
11 22 11 22
1 1 , , 1
tr
38
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39 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel
Etat de contraintes plan: Exemple
Chapitre 2: Problèmes plans en élasticité
Considérons une plaque mince d’épaisseur constante, sollicitée par des forces appliquées sur son contour. Les contraintes zz , xz et yz sont nulles sur les faces de la plaque
Par raison de continuité, zz , xz et yz ne peuvent prendre à l’intérieur de la plaque que des valeurs très faibles par rapport à xx , xy et yy.
, 0M z
On ne commet pas une erreur sensible en affirmant qu’elles sont nulles
39
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Calculateurs Temps Réel
40
Etat plan de contraintes :
Chapitre 2: Problèmes plans en élasticité
Pour la même raison (de continuité), il est certain que les trois composantes non nulles , et ne dépendent pratiquement pas de . (c’est-à-dire qu’elles restent constantes sur toute l’épaisseur du disque) le tenseur de contrainte est dans ce cas est donné sous la forme suivante:
11 1 2 12 1 2
21 1 2 22 1 2
, , 0
= , , 0
0 0 0
x x x x
x x x x
Ce tenseur des contraintes doit vérifier
0 fdiv 03 f
11 1222
3x
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41 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel
Etat de contraintes plan: loi de comportement
Chapitre 2: Problèmes plans en élasticité
11 11 11 22
22 22 11 22
33 11 22
12 12
13 23
1+ν νε= σ- 1
E E1+ν ν
ε σE E
1+ν νε = σ
E E
ν
E
1+νσ
E
0
tr
Montrer que: 33 11 22=- ε ε1-
11 1 2 12 1 2
21 1 2 22 1 2
33 1 2
, , 0
= , , 0
0 0 ,
x x x x
x x x x
x x
41
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42 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel
Etat de contraintes plan: loi de comportement
Chapitre 2: Problèmes plans en élasticité
11 22 11 22 11 22
11 22 33
33
1+ν 2νε ε σ σ
E E1-ν 1-ν E
σ σ εE E ν1-ν
εν
33 11 22=- ε ε1-
42
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Calculateurs Temps Réel Chapitre 2: Problèmes plans en élasticité
Etat de contrainte plan
Fonction d’Airy:
11 22 22 11 12 12
11 22
Pour une force de volume f négligeable, il existe une fonction appelée fonction d'Airy telle que:
σ , ; σ , ; σ ,
tr =σ σ
est linéaire de ces coordonnées
1 2
1 2Montrer que:
x x
x x
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44 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel Chapitre 2: Problèmes plans en élasticité
Etat de contrainte plan
Fonction d’Airy:
, ,
11, ,11
,22 ,11
,22 ,11
,11 ,22
,12 ,12
A partir des équations de Beltrami: 1+ 0
, 1,1 1+ 0
1+ 0
1+ 0
De même:, 2,2 1+ 0
, 1,2 - 1+ 0
et par cons
ij ll kk ij
ll kk
ll
i j
i j
i j
,11 ,22 ,12équent: 0
44
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45 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel Chapitre 2: Problèmes plans en élasticité
Etat de contrainte plan: Fonction d’Airy:
,11 ,1 1 2 1 2 1 2 2
,22 ,2 3 1 3 1 2 4 1
' '
,1 3 1 2 4 1 1 2
'
4 1 1 4 1 1 1 1
'
3 1 2 3 1 2 1 2
2 1 2 2 1 1 1
,12 2
1 1
0
0
or 0 0
C x C x x C x
C x C x x C x
C x x C x C x
C x cte C x x
C x cte C x x
x x x
x
2 2 1 d'ou est linéairex 45
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Calculateurs Temps Réel Chapitre 2: Problèmes plans en élasticité
Intégration du déplacement: Déformation plane
11 1,1 11
11 1,1 ,22 ,22
22 2,2 ,11 ,11
12 1,2 2,1 12 ,12
1+ν νε σ or tr = 1+ν
E Eν 1+ν1+ν 1+ν
ε νE E E
De même : ν 1+ν1+ν 1+ν
ε νE E E
1+ν 1+ν2ε 2 2
E E
u tr
u
u
u u
46
Calculateurs Temps Réel
47 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel Chapitre 2: Problèmes plans en élasticité
Intégration du déplacement: Contrainte plane
11 1,1 11
11 1,1 ,22 ,22
22 2,2 ,11 ,11
12 1,2 2,1 12 ,12
1+ν νε σ or tr =
E E1+ν ν 1+ν ν
εE E E 1+ν
De même : 1+ν ν 1+ν ν
εE E E 1+ν
1+ν 1+ν2ε 2 2
E E
u tr
u
u
u u
47
Calculateurs Temps Réel
48 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel Chapitre 2: Problèmes plans en élasticité
Intégration du déplacement: Contrainte plane
13 1,3 3,1 ,1 3 ,1 ,1 3 ,1 1 2
23 2,3 3,2 ,2 3 ,2 ,2 3 ,2 1 2
,
ν ν2ε 0 ,
E E
ν ν2ε 0 ,
E E
0i
u u x a x a x x
u u x a x a x x
Il faut vérifier que:
3 33 3,3 33
3 3 1 2
1+ν ν νPour la composante u : ε σ
E E Eν
,E
u tr
u x a x x
48
Calculateurs Temps Réel
49 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel Chapitre 2: Problèmes plans en élasticité
Application: Traction d’un barreau prismatique en contrainte plane
Effort surfacique d’intensité σ
=> force de traction N : N=A∙σ
- Les Contraintes ? - Les déformations ? - Les Déplacements ?
49
Calculateurs Temps Réel
50 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel Chapitre 2: Problèmes plans en élasticité
Application: Traction d’un barreau prismatique en contrainte plane
21Y
2 Choisissons Φ :
est linéaire de ces coordonnées
2 2 2
2 2; ;x y xy
Y X X Y
x y xy
N; 0 ; 0
A
50
Calculateurs Temps Réel
51 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel Chapitre 2: Problèmes plans en élasticité
Application: Traction d’un barreau prismatique en contrainte plane
; ; 0X y z xy
N N
E EA E EA
; ;y yx x
X y xy
u uu u
X Y Y x
Déformations par loi de Hooke
Par intégration
=> champs de déplacement suivant X et Y :
51
Calculateurs Temps Réel
52 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel Chapitre 2: Problèmes plans en élasticité
Application: Traction d’un barreau prismatique en contrainte plane
; ; 2y yx x
X y xy
u uu u
X Y Y x
( ) ; ( )X y
N Nu X f Y u Y g X
EA EA
52
Calculateurs Temps Réel
53 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel Chapitre 2: Problèmes plans en élasticité
Application: Traction d’un barreau prismatique en contrainte plane
( ) ; ( )X y
N Nu X f Y u Y g X
EA EA
( ) ( )
0df Y dg X
dY dX
2 0yx
xy
uu
Y x
Information en plus grâce au cisaillement
53
Calculateurs Temps Réel
54 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel Chapitre 2: Problèmes plans en élasticité
Application: Traction d’un barreau prismatique en contrainte plane
( ) ( )
0df Y dg X
dY dX
( ) ( )
;df Y dg X
c cdY dX
( ) ; ( )f Y a cY g X b cX
a, b, c constantes
54
Calculateurs Temps Réel
55 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel Chapitre 2: Problèmes plans en élasticité
Application: Traction d’un barreau prismatique en contrainte plane
( ) ; ( )X y
N Nu X f Y u Y g X
EA EA
( ) ; ( )f Y a cY g X b cX
cXbYEA
NYXu
cYaXEA
NYXu
Y
X
),(
),(
55
Calculateurs Temps Réel
56 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel Chapitre 2: Problèmes plans en élasticité
Application: Traction d’un barreau prismatique en contrainte plane
cXbYEA
Nu
cYaXEA
Nu
Y
X
0)0,0(
0)0,0(
0 ba
00)0,( cLEA
NLuY
YEA
NYLuY ),(
0c
LEA
NYLuX ),( X
EA
NhXuX ),(
hEA
NhXuY ),(
E D
EF DE
F
56
Calculateurs Temps Réel
57 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel
57
Chapitre 3
Méthodes énergétiques
Calculateurs Temps Réel
58 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel Chapitre 3: Méthodes énergétiques
I Rappel et Introduction
L’équation d’équilibre Conditions aux limites statiques et Cinématiques Loi de comportement
Vérifiant
58
Dans certains cas, on ne peut pas déterminer une solution exacte d’un problème d’élasticité (ou on n’a pas besoin de déterminer la solution complète)
M
Solution approchée !!
Calculateurs Temps Réel
59 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel
I Rappel et Introduction
59
Chapitre 3: Méthodes énergétiques
Deux approches:
1- Approches cinématiques: en postulant d’un champ de déplacement
approché (C. C. A.),
2- Approche statique: En postulant d’un champ de contrainte approché
(S. A.)
u
La méthode énergétique permet de trouver des bornes supérieure et
inférieure de la solution en utilisant l’énergie potentielle d’un champ
de déplacement (C.C.A.) et l’énergie complémentaire d’un champ
de contrainte (S.A.)
Calculateurs Temps Réel
60 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel
II Champ de déplacement cinématiquement admissible
60
Chapitre 3: Méthodes énergétiques
Définition: est un champ de déplacement cinématiquement
admissible (C.C.A.) s’il vérifie les conditions aux limites
Cinématiques:
L’énergie de déformation: l’énergie de déformation d’un champ
de déplacement C.A. est donnée par:
u
d
u u
u
, ,
1:
21
avec 2
ij i j j i
W u dv
u u
Calculateurs Temps Réel
61 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel
II Champ de déplacement cinématiquement admissible
61
Chapitre 3: Méthodes énergétiques
Travail des efforts donnés dans
L’énergie Potentielle d’un champ C.A. est donnée par:
u
avec : efforts donnés
dd
f
fd
T u f udv uda
d
fK u W u T u
Calculateurs Temps Réel
62 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel
III Champ de contrainte statiquement admissible (S.A.)
62
Chapitre 3: Méthodes énergétiques
Définition: est un champ de contrainte statiquement admissible
(S.A.) s’il vérifie:
- Les conditions aux limites statiques
- Les équations d’équilibre
L’énergie de déformation: l’énergie de déformation associée à ce
champ de contrainte est donnée par:
1
:2
W dv
Calculateurs Temps Réel
63 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel
III Champ de contrainte statiquement admissible (S.A.)
63
Chapitre 3: Méthodes énergétiques
Travail de dans les déplacements donnés
L’énergie complémentaire d’un champ S.A. est donnée par:
.
avec : déplacements donnés
dd
u
ud
T n u da
u
d
uH T W
Calculateurs Temps Réel
64 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel
IV Théorèmes
64
Chapitre 3: Méthodes énergétiques
Lemme Fondamental: soit un champ de déplacement (virtuels)
quelconque et un champ S.A. alors:
Théorème des travaux virtuels (associé à virtuel): on
remplace dans le lemme fondamental par
*
u
, ,
* **
* **
: . .
1 avec
2 i j j i
u
ij
dv f u dv n u da
u u
*
u
* *
*: . .u
dv f u dv n u da
Calculateurs Temps Réel
65 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel
IV Théorèmes
65
Chapitre 3: Méthodes énergétiques
Théorème de l’énergie potentielle: Parmi tous les solutions C. A., on
montre que la solution minimise l’énergie potentielle:
Théorème de l’énergie complémentaire: Parmi tous les solution S.
A. on montre que la solution maximise l’énergie complémentaire:
Théorème de comparaison:
: solution K u K u u
u
: solution H H
et : solutionsH H K u K u u
Calculateurs Temps Réel
66 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel
IV Théorèmes
66
Chapitre 3: Méthodes énergétiques
= solution
Théorème du travail: l’énergie de déformation est égale à la
moitié du travail des efforts extérieurs
1 1
: . . .2 2
u
w dv f udv n uda
)~(uK
)(
H
)()( uKH
Calculateurs Temps Réel
67 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel
IV Application: compression d’un barreau
67
Chapitre 3: Méthodes énergétiques
y
a
r
o
y
a o
h
Bloc 1 rigide et fixe
Bloc 2 rigide et mobile
Barreau
-Barreau cylindrique de rayon r et de hauteur h - Adhérence parfaite - Le bloc inférieur est fixe et indéformable - Le bloc supérieure est indéformable est soumis à un déplacement U donné - Si P est la force nécessaire à l’écrasement: P=K.U avec K est la rigidité - Objectif: détermination de K, en utilisant la méthode énergétique
U
Calculateurs Temps Réel
68 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel
IV Application: compression d’un barreau
Calcul de
68
Chapitre 3: Méthodes énergétiques
et d d
u fT T
33
.
= .
dd
u
u
u
T n u da
PU da U S PU
S
0
avec 0d
u
U
avec 0d d
d
f
f
T u f udv uda f
.d
uT PU
0d
fT u
Calculateurs Temps Réel
69 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel
IV Application: compression d’un barreau
Calcul de
69
Chapitre 3: Méthodes énergétiques
et d d
u fT T
L'énergie potentielle: d
fK u W u T u W
L'énergie complémentaire d
uH T W PU W
Théorème de comparaison: H K u et solutions
u
P P
2
PUH K W
Calculateurs Temps Réel
70 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel
IV Application: compression d’un barreau
Proposer un champ de déplacement C.A:
70
Chapitre 3: Méthodes énergétiques
z
zu U e
h
0 0. . . vérifiées
u zC L C
u z h U
0 0 0
10 0 0
20 0 1
T UGradu Grad u
h
0 0
0 01 1 2
0 0 1
EU
h
. . .? , 0 donc ne vérifie pas les C.L.S.
et par consiquent il ne peut pas être solutionrC L S r a e
Calculateurs Temps Réel
71 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel
IV Application: compression d’un barreau
Proposer un champ de déplacement C.A:
71
Chapitre 3: Méthodes énergétiques
z
zu U e
h
2 21:
2 21
avec 1 1 2
d
f
E a UK u W u T u W u dv
h
L’énergie potentielle du champ C.A.: z
zu U e
h
2 2
2
2
sup
1 1 1
2 2 2 2
E a UK u PU K u KU U KU
hE a
K Kh
Calculateurs Temps Réel
72 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel
IV Application: compression d’un barreau
Proposer un champ de contrainte homogène :
72
Chapitre 3: Méthodes énergétiques
z zzz e e Champ de contrainte homogène est indépendante de r, et zzz
- Montrer que est S.A.
0 Vérifiée
, 0 Vérifiée est S.A.r
div
r a e
- Loi de comportement
0 0
0 0
0 0 1E
linéaire en fonction de r (incompatible avec les C.L.C. r, 0 z=0)
r
r
u
u pour
Calculateurs Temps Réel
73 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel
IV Application: compression d’un barreau
Proposer un champ de contrainte homogène :
73
Chapitre 3: Méthodes énergétiques
z zzz e e
- Calculer l’énergie complémentaire du
2
2 2
1 :
2 2
P hPW dv
a E a
2
2
2
d d
u u
hPH T W PU Avec T PU
E a
- Déterminer maximisant l’énergie complémentaire
optimaleP
2 2 2
max0 = 2
op
dH E a U E a UP H
h hdP
Calculateurs Temps Réel
74 S. MEZLINI – T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel
IV Application: compression d’un barreau
Proposer un champ de contrainte homogène :
74
Chapitre 3: Méthodes énergétiques
z zzz e e
- Théorème de l’énergie complémentaire:
2 2 2
2
max inf
1 =
2 2
E a U E aH KU K K
h h
- Evaluer le rapport:
sup
inf
1 pour 0.3 1.35
1 1 2
K
K
2 2
E a E aK
h h
Calculateurs Temps Réel
75 S. MEZLINI - T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel
75
Dimensionnement élastique
Calculateurs Temps Réel
76 S. MEZLINI - T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel Dimensionnement élastique
I- Introduction et critères d’élasticité
OA (< e ): déformation élastique: Comportement linéaire (loi
de Hooke): =E .e
AB et BC (> e ): déformation plastique irréversible: la loi de
Hooke n’est plus valable
%2,0
%2,0 %2,0
Calculateurs Temps Réel
77 S. MEZLINI - T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel Dimensionnement élastique
I- Introduction et critères d’élasticité
Définition: En tout point du solide, il existe une contrainte
équivalente éq qui dépend du tenseur de contraintes et une contrainte limite e vérifiant la propriété suivante: le comportement est élastique linéaire tant que: On dira de façon équivalente que la plasticité apparait dès que:
x M
(M)
éq()
éq()< e
éq()= e
Calculateurs Temps Réel
78 S. MEZLINI - T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel Dimensionnement élastique
I- Introduction et critères d’élasticité
Hypothèse du principe d’isotropie: (En tout point donné, un critère ne dépend pas du choix du repère orthonormé):
éq= eq (I , II ,III )
Avec:
I 1 2 3
2 2
II 1 2 2 3 1 3
III 1 2 3
σ =tr σ =σ +σ +σ1
σ = trσ trσ =σ σ +σ σ +σ σ2
σ det σ=σ σ σ
1 2 3σ ,σ , σ contraintes principales
Calculateurs Temps Réel
79 S. MEZLINI - T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel Dimensionnement élastique
I- Introduction et critères d’élasticité
Incompressibilité : éq éq II III tr =0 σ =σ σ ,σ
Déformation plastique se fait par glissement des plans cristallographiques les uns par rapport aux autres (cisaillement):
III
D D
éq éq II σ =σ σ ,σD 1
σ =σ- trσ.13
- La détermination de la fonction éq fait partie du domaine de la modélisation. - e est plutôt du ressort de l’expérimentation.
Calculateurs Temps Réel
80 S. MEZLINI - T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel Dimensionnement élastique
I- Introduction et critères d’élasticité
Calculateurs Temps Réel
81 S. MEZLINI - T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel Dimensionnement élastique
I- Introduction et critères d’élasticité
Calculateurs Temps Réel
82 S. MEZLINI - T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel Dimensionnement élastique
I- Introduction et critères d’élasticité
Les deux critères les plus utilisés sont: le critère de Tresca
Le critère de Von Mises
Calculateurs Temps Réel
83 S. MEZLINI - T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel Dimensionnement élastique
II- Critère de Tresca Définition: En un point, la plasticité est atteinte dès que la valeur de la contrainte
de cisaillement atteint une valeur critique. La contrainte de cisaillement maximale est : Le critère de Tresca est donnée par l’expression suivante:
max
1max
2i j
, 1,2,3
maxéqT e
i ji j
i j
max
32 1
Rayon du grand cercle de Mohr
ei critique max
ee
Représentation de Mohr de l’état des contrainte
Calculateurs Temps Réel
84 S. MEZLINI - T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel Dimensionnement élastique
II- Critère de Tresca:
Exemple 1: Traction
0 0
0 0 0
0 0 0
max éq i j e
Exemple 2: Cisaillement 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
max 2 2 2
e
éqT i j e
Exemple 2: problème de milieu curviligne
00
00
13
12
131211
eéqT )(4 2
12
2
12
2
11
22
12
2
12
2 )(
Calculateurs Temps Réel
85 S. MEZLINI - T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel Dimensionnement élastique
III- Critère de Von Mises: Enoncé du critère: L’Energie de déformation ne doit pas dépasser le
seuil de plastification de matériau :
1 1: :
2 21 1 1
.1 : .12 3 31 1 1 1
: . :1 .1: . .1:12 3 3 9
ij ij
D D
D D D D
w
tr tr
tr tr tr tr
or on a : :1 1: 0 car: tr 0D D D Dtr
1 1: .
2 3
D Dw tr tr
Dans le cas de comportement élastique linéaire, l’énergie de déformation par unité de volume est l’aire au dessous de la courbe :
ij
ij
Calculateurs Temps Réel
86 S. MEZLINI - T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel Dimensionnement élastique
III- Critère de Von Mises:
Energie de déformation par unité de volume:
1 1: .
2 3
1 1 :2 .
2 3 21 1
. :6 4
D D
D DD D
D D
d c
w tr tr
w tr tr
w tr tr
w w w
0)(6
1 tratrawd
Or, la déformation plastique se fait sans variation de volume
DD
dww
:4
1
Energie de cisaillement de plastification ou de distorsion de matériau
Calculateurs Temps Réel
87 S. MEZLINI - T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel Dimensionnement élastique
III- Critère de Von Mises:
L a plastification se fait à volume constant : 1
tr =0 :4
D D
cw w
0 0
0 0 0
0 0 0
e
Le critère d’élasticité:
maxc cw w
maxcw
2
max
1
6c ew
21 1:
4 6
D D
e
3:
2
D D
éqV e
Calculateurs Temps Réel
88 S. MEZLINI - T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel Dimensionnement élastique
III- Critère de Von Mises: Application : problème de milieu curviligne On montre que : Exemple 1: Traction 2
0 030 0
0 0 0 0 03
0 0 0
0 03
3 3 4 1 1: .
2 2 9 9 9
D
D D
éqV
éqV éqT
eéqV )(3 2
12
2
12
2
11
22
12
2
12
2 )(
Calculateurs Temps Réel
89 S. MEZLINI - T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel Dimensionnement élastique
III- Critère de Von Mises: Exemple 2: état de contraintes de cisaillement
0 0
0 0
0 0 0
3: 3. 3. 2
2
D
D D
éqV éqV éqT
Le critère de Tresca est plus sévère que le critère de Von Mises
Le critère de Von Mises peut s’écrire aussi sous les forme suivantes:
2 2 2
1 2 2 3 3 1
1
2éqV e
2 2 2 2 2 2
11 22 22 3 33 11 12 23 13
16
2éqV e
éqV éqT
Calculateurs Temps Réel
90 S. MEZLINI - T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel Dimensionnement élastique
IV- Représentation graphique:
Pour simplifier nous supposons qu’on se place dans le plan (1, 2) avec 3 =0:
2 1maxéqT e
-Les inéquations définissant le domaine sont donc:
1
2
2 1
e e
e e
e e
-Les Frontières du domaine de Tresca:
1
2
2 1
e
e
e
1
2
e
e
e
e
2 e
2 e
2 1 e
2 1 e
Calculateurs Temps Réel
91 S. MEZLINI - T. DAAMI – A. DOGUI
Calculateurs Temps Réel Dimensionnement élastique
IV- Représentation graphique: Von Mises
3 =0:
-le domaine de Von mises est donc limité par une ellipse
1
2
e
e
e
e
2
3e
2 2 2
1 2 2 1
1
2éqV e
2 e
Limite de TRESCA : hexagone
Limite de Von Mises: ellipse