Definiciones básicas en Definiciones básicas en Programación linealProgramación lineal

M.Sc. Jorge E. Hernández H

12/04/231

Contenido.Contenido.

1. Variables de decisión 2. Función Objetivo 3. Restricciones 4. Región Factible. 5. Soluciones Factibles. 6. Propiedades. 7. Solución gráfica. 8. Análisis de Sensibilidad.

12/04/232

1. Variables de decisión.1. Variables de decisión. Es lo que se trata de

determinar, y para lo cual se requiere una decisión. Generalmente se designan con letras subindizadas. Cada variable debe representar una cantidad que corresponda con una misma unidad de medida.

12/04/233

2. Función Objetivo.2. Función Objetivo.

El objetivo es lo que se quiere maximizar o minimizar. En el caso de la programación lineal está expresado como una función lineal.

12/04/234

1 2 1 1 2 2( , )Z f x x a x a x

3. Restricciones. 3. Restricciones.

Representan los límites del escenario de la situación planteada. Se muestran por medio de desigualdades de tipo lineal. El sistema completo muestra una región del plano.

12/04/235

4. Región Factible.4. Región Factible.

Es precisamente la región determinada por el sistema de restricciones de tipo lineal. Es un conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen las restricciones del problema.

La región está determinada por los ejes cartesianos y las rectas.

12/04/236

4.1 Región Factible no 4.1 Región Factible no acotada.acotada.

No acotadas:

Una región es no acotada si no se puede encerrar en un círculo. Generalmente se piensa que el problema está mal planteado.

12/04/237

4.2 Región Factible acotada.4.2 Región Factible acotada.

Acotada:

Una región es acotada si se puede encerrar en un círculo.

12/04/238

5. Soluciones Factibles.5. Soluciones Factibles.

Cualquier solución dentro de la región factible se denomina solución factible, es decir cualquier punto dentro de la región factible determina valores numéricos para las variables que satisfacen las restricciones.

12/04/239

5.1 Solución Factible Optima.5.1 Solución Factible Optima.

Entre todas las soluciones factibles, buscamos aquella que maximice o minimice la función objetivo, además de que satisfaga las restricciones impuestas.

12/04/2310

6. Propiedades.6. Propiedades.

Proporcionalidad.

La contribución de cada variable a la función objetivo o cualquier restricción debe estar en proporción directa con los coeficientes o parámetros

Aditividad.

La contribución total de las variables de decisión a la función objetivo o a las restricciones debe estar expresada en sumas o restas.

12/04/2311

.a x Z ax by

7. Solución gráfica.7. Solución gráfica.

12/04/2312

8. Análisis de Sensibilidad.8. Análisis de Sensibilidad.

Es un estudio que se hace para conocer que tanto pueden variar los coeficientes de la función objetivo y los parámetros de las restricciones, sin alterar el valor óptimo encontrado.

12/04/2313

8.1 Análisis de Sensibilidad.8.1 Análisis de Sensibilidad.

En el ejemplo de la clase anterior encontramos el siguiente gráfico, donde pudimos evaluar que la función objetivo

alcanza su máximo en el vértice (2,6).

12/04/2314

1 23000 5000Z x x

8.2 Análisis de Sensibilidad.8.2 Análisis de Sensibilidad.

Grafiquemos la recta obtenida de la función objetivo, dándole a Z el valor máximo encontrado:

Nótese que la recta segmentada tiene una inclinación que permanece entre los límites establecidos por las rectas de color rojo y verde.

12/04/2315

1 23000 5000 36000x x

8.3 Análisis de Sensibilidad.8.3 Análisis de Sensibilidad. Esto se puede establecer

de la siguiente manera:

La pendiente de la recta solución (pendiente -0.6) está entre los valores de la pendiente de la recta horizontal (pendiente 0) y la pendiente de la recta roja (pendiente -1.5).

Esto quiere decir que

12/04/2316

cualquier modificación a los coeficientes de la función objetivo no deben cambiar la pendiente fuera del intervalo establecido entre las rectas que pasan por el punto óptimo.

8.4 Análisis de Sensibilidad.8.4 Análisis de Sensibilidad. ¿Qué pasa si

modificamos la disponibilidad, es decir, si modificamos los valores del lado derecho de las restricciones?

Identificamos las rectas que determinan el punto óptimo:

12/04/2317

2 6x

1 23 2 18x x

8.5 Análisis de Sensibilidad.8.5 Análisis de Sensibilidad. Observamos,

manteniendo la disponibilidad de la recta en 6, es posible desplazar la recta desde el punto (0,6) hasta el punto (4,6), evaluando la recta en esos puntos obtenemos

y

12/04/2318

3.0 2.6 12

3.4 2.6 24

8.6 Análisis de Sensibilidad8.6 Análisis de Sensibilidad En otras palabras, la

disponibilidad de la planta 3 puede variar entre 12 y 24 horas.

Caso similar ocurre si dejamos la disponibilidad de el recurso de la planta 3 fijo en 18. Entonces, podemos mover la recta correspondiente a la planta 1I desde (4,3) hasta (0,9)

12/04/2319

8.7 Análisis de Sensibilidad.8.7 Análisis de Sensibilidad. Esto nos conduce a

observar que la disponibilidad de la planta 1I puede ser modificada entre 3 y 9 horas.

Hay otro aspecto de interés para el análisis de sensibilidad.

Valor por unidad de un recurso:

Tasa de cambio Tasa de cambio del valor de la del valor de la función objetivo función objetivo con respecto a los con respecto a los cambios en la cambios en la disponibilidad de disponibilidad de los recursos.los recursos.

12/04/2320

8.8 Análisis de Sensibilidad.8.8 Análisis de Sensibilidad. Se consigue usando la

siguiente expresión:

En nuestro caso, encontremos y3: los puntos considerados fueron (0,6) y (4,6), con lo que al sustituirlos en Z obtenemos

para (0,6):

para (4,6)

de esta manera, cambios en Z = 12000

12/04/2321

Cambios en Z

Cambios en el recurso iy i

1 23000 5000Z x x

3000.0 5000.6 30000

3000.4 5000.6 42000

8.9 Análisis de Sensibilidad.8.9 Análisis de Sensibilidad. Los cambios en el

recurso 3 ya son conocidos:

24 – 12 = 12

Luego, el valor por unidad de recurso correspondiente a la planta 3 es

Similarmente estudiamos el recurso 1I. Los límites del recurso oscilan entre 3 y 9, lo que nos da un cambio de 6. Y el cambio en la función objetivo es de 18, así que el valor por unidad de recurso correspondiente a la planta II es

12/04/2322

3

120001000

12y 2

180003000

6y

Fin de la presentación.Fin de la presentación.

Gracias por su atención.

12/04/2323