Definiciones básicas en Programación lineal

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Conceptos bsicos en programacin lineal y anlisis de sensibilidad

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<p>Definiciones bsicas en Programacin linealM.Sc. Jorge E. Hernndez H</p> <p>1</p> <p>26/05/08</p> <p>Contenido. </p> <p>1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.</p> <p>Variables de decisin Funcin Objetivo Restricciones Regin Factible. Soluciones Factibles. Propiedades. Solucin grfica. Anlisis de Sensibilidad.</p> <p>2</p> <p>26/05/08</p> <p>1. Variables de decisin.</p> <p>3</p> <p>Es lo que se trata de determinar, y para lo cual se requiere una decisin. Generalmente se designan con letras subindizadas. Cada variable debe representar una cantidad que corresponda con una misma unidad de medida.</p> <p>26/05/08</p> <p>2. Funcin Objetivo.</p> <p>El objetivo es lo que se quiere maximizar o minimizar. En el caso de la programacin lineal est expresado como una funcin lineal.</p> <p>Z f ( x1 , x2 ) a1 x1 a2 x2</p> <p>4</p> <p>26/05/08</p> <p>3. Restricciones.</p> <p>Representan los lmites del escenario de la situacin planteada. Se muestran por medio de desigualdades de tipo lineal. El sistema completo muestra una regin del plano.</p> <p>5</p> <p>26/05/08</p> <p>4. Regin Factible. </p> <p>Es precisamente la regin determinada por el sistema de restricciones de tipo lineal. Es un conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen las restricciones del problema.</p> <p>La regin est determinada por los ejes cartesianos y las rectas.</p> <p>6</p> <p>26/05/08</p> <p>4.1 Regin Factible no acotada.</p> <p>No acotadas: Una regin es no acotada si no se puede encerrar en un crculo. Generalmente se piensa que el problema est mal planteado.</p> <p>7</p> <p>26/05/08</p> <p>4.2 Regin Factible acotada.</p> <p>Acotada: Una regin es acotada si se puede encerrar en un crculo.</p> <p>8</p> <p>26/05/08</p> <p>5. Soluciones Factibles.</p> <p>Cualquier solucin dentro de la regin factible se denomina solucin factible, es decir cualquier punto dentro de la regin factible determina valores numricos para las variables que satisfacen las restricciones.26/05/08</p> <p>9</p> <p>5.1 Solucin Factible Optima.</p> <p>Entre todas las soluciones factibles, buscamos aquella que maximice o minimice la funcin objetivo, adems de que satisfaga las restricciones impuestas.</p> <p>10</p> <p>26/05/08</p> <p>6. Propiedades.</p> <p>Proporcionalidad. La contribucin de cada variable a la funcin objetivo o cualquier restriccin debe estar en proporcin directa con los coeficientes o a.x parmetros</p> <p>Aditividad. La contribucin total de las variables de decisin a la funcin objetivo o a las restricciones debe estar expresada en sumas o restas.Z ax by26/05/08</p> <p>11</p> <p>7. Solucin grfica.</p> <p>12</p> <p>26/05/08</p> <p>8. Anlisis de Sensibilidad.</p> <p>Es un estudio que se hace para conocer que tanto pueden variar los coeficientes de la funcin objetivo y los parmetros de las restricciones, sin alterar el valor ptimo encontrado.26/05/08</p> <p>13</p> <p>8.1 Anlisis de Sensibilidad. </p> <p>En el ejemplo de la clase anterior encontramos el siguiente grfico, donde pudimos evaluar que la Z 3000 x1 5000 x2 funcin objetivo</p> <p>alcanza su mximo en el vrtice (2,6).14 26/05/08</p> <p>8.2 Anlisis de Sensibilidad.</p> <p>Grafiquemos la recta obtenida de la funcin objetivo, dndole a Z el valor mximo encontrado:</p> <p>3000 x1 5000 x2 36000</p> <p>Ntese que la recta segmentada tiene una inclinacin que permanece entre los lmites establecidos por las rectas de color rojo y verde.</p> <p>15</p> <p>26/05/08</p> <p>8.3 Anlisis de Sensibilidad.</p> <p>cualquier modificacin a los coeficientes de la funcin objetivo no deben cambiar la pendiente fuera del intervalo establecido entre las rectas que pasan por el punto ptimo.16 26/05/08</p> <p>Esto se puede establecer de la siguiente manera: La pendiente de la recta solucin (pendiente -0.6) est entre los valores de la pendiente de la recta horizontal (pendiente 0) y la pendiente de la recta roja (pendiente -1.5). Esto quiere decir que</p> <p>8.4 Anlisis de Sensibilidad.</p> <p>Qu pasa si modificamos la disponibilidad, es decir, si modificamos los valores del lado derecho de las restricciones? Identificamos las rectas x 6 que 2 determinan el punto ptimo: 3 x1 2 x2 1826/05/08</p> <p>17</p> <p>8.5 Anlisis de Sensibilidad.</p> <p>Observamos, manteniendo la disponibilidad de la recta en 6, es posible desplazar la recta desde el punto (0,6) hasta el punto (4,6), evaluando la recta en esos puntos 3.0 2.6 12 obtenemos y</p> <p>3.4 2.6 2426/05/08</p> <p>18</p> <p>8.6 Anlisis de SensibilidadEn otras palabras, la disponibilidad de la planta 3 puede variar entre 12 y 24 horas. Caso similar ocurre si dejamos la disponibilidad de el recurso de la planta 3 fijo en 18. Entonces, podemos mover la recta correspondiente a la planta 1I desde (4,3) 19 hasta (0,9)</p> <p>26/05/08</p> <p>8.7 Anlisis de Sensibilidad.</p> <p>Esto nos conduce a observar que la disponibilidad de la planta 1I puede ser modificada entre 3 y 9 horas. Hay otro aspecto de inters para el anlisis de sensibilidad.</p> <p>Valor por unidad de un recurso: Tasa de cambio del valor de la funcin objetivo con respecto a los cambios en la disponibilidad de los recursos.</p> <p>20</p> <p>26/05/08</p> <p>8.8 Anlisis de Sensibilidad.</p> <p>Cambios en Z yi Cambios en el recurso i</p> <p>Se consigue usando la siguiente expresin:</p> <p>Z 3000 x1 5000 x2</p> <p>para (0,6):</p> <p>3000.0 5000.6 30000</p> <p>En nuestro caso, encontremos y3: lospuntos considerados fueron (0,6) y (4,6), con lo que al sustituirlos en Z obtenemos 21</p> <p>para (4,6)</p> <p>3000.4 5000.6 42000de esta manera, cambios en Z = 1200026/05/08</p> <p>8.9 Anlisis de Sensibilidad.</p> <p>Los cambios en el recurso 3 ya son conocidos: 24 12 = 12 Luego, el valor por unidad de recurso correspondiente a la planta12000 3 esy3 12 1000</p> <p>22</p> <p>Similarmente estudiamos el recurso 1I. Los lmites del recurso oscilan entre 3 y 9, lo que nos da un cambio de 6. Y el cambio en la funcin objetivo es de 18, as que el valor por unidad18000 recurso de y2 3000 correspondiente a la 6 planta II es26/05/08</p> <p>Fin de la presentacin.Gracias por su atencin.</p> <p>23</p> <p>26/05/08</p>

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