aplicacions de la derivada : gràfiques de funcions, hôpital i el polinomi de taylor. mònica orpí
TRANSCRIPT
TALENT JOVE
APLICACIONS DE LA
DERIVADA- Polinomi de Taylor
- Regla de l’Hôpital
- Gràfiques de funcions
Per Mònica Orpí i Mañé
APLICACIONS DE LA DERIVADA
1. APROXIMAR FUNCIONS PER POLINOMIS : Polinomi de Taylor
2. RESOLUCIÓ D’INDETERMINACIONS : REGLA DE L’HÔPITAL
3. GRÀFICA DE FUNCIONS
4. PROBLEMES D’OPTAMITZACIÓ
APLICACIONS DE LA DERIVADA :
APROXIMAR UNA FUNCIÓ
o Aproximacions del valor d’una funció fent
𝑓 𝑥 ≈ 𝑓 𝑎 + 𝑓′ 𝑎 · (𝑥 − 𝑎)
Vàlid només per a valors x propers a a, és a dir, x≈a
Exemple : f(x)= 𝑥 i volíem conèixer 144
145 = 144 +1
2 144(145 − 144)
En càlcul, el Teorema de Taylor, rep el nom del matemàtic britànic Brook
Taylor, qui el va enunciar al 1712.
Aquest teorema permet aproximar una funció derivable en l'entorn reduït
al voltant d'un punt a mitjançant un polinomi els coeficients del qual
depenen de les derivades de la funció en aquest punt.
Com més gran és el valor de n, que serà el grau del polinomi, més bé
aproximarà el polinomi de Taylor a la funció.
En termes matemàtics: Si n≥0 és un enter i f una funció que és
derivable n vegades en l‘ interval tancat [a, x] i n+1 cops en l'interval
obert (a, x), llavors es compleix que: Matemàtic britànic (1685-1731). Va ser
membre de la Royal Society
considerada com la més antiga de les
societats científiques que encara
existeixen.
http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/derivades/taylor/Taylorpag.html
En un entorn petit del punt a, la funció f(x) es comporta com el polinomi de grau 1 següent,
que serà la recta tangent de la funció en x=a
𝑓′ 𝑎 = lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎𝑐𝑜𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑥 𝑒𝑠𝑡à 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑝 𝑑𝑒 𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑛𝑒𝑚
𝑢𝑛𝑎 1𝑎. 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖ó 𝑑𝑒 𝑓′ 𝑎 ≅𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎
𝑥 − 𝑎,
𝑎ï𝑙𝑙𝑎𝑛𝑡 𝑓 𝑥 𝑡𝑒𝑛𝑖𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎 ≅ 𝑓′ 𝑎 · 𝑥 − 𝑎 𝑖 𝑝𝑒𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡,
𝒇 𝒙 ≈ 𝒇 𝒂 + 𝒇′ 𝒂 · 𝒙 − 𝒂
Prenent g(x)=f(a)+f’(a)·(x-a) com el polinomi de grau 1 que aproximaràa f(x) en punts proper a x=a
D’on surt g(x) ??Com que f(x)=𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏 𝑖 𝑓𝑒𝑚 𝑙′𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖ó 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑥 = 3 𝑡𝑒𝑛𝑖𝑚 𝑞𝑢𝑒
𝑓 𝑥 ≅ 𝑓 3 + 𝑓′ 3 𝑥 − 3 𝑝 𝑒𝑟 𝑎 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑒𝑟𝑠 𝑎 3
Atès que f(3)=9-9+1=1 i que f’(x)=2x-3 i per tant f’(3)=6-3=3 , prenent g(x) la funció que aproxima a f(x) en x=3 tenim
que g(x)=1+3(x-3)=3x-8, que és la recta tangent de f(x) en x=3
f(x)=𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏
g(x)=1+3(x-3)=3x-8
APLICACIONS DE LA DERIVADA : REGLA DE L’HÔPITAL
Guillaume François Antoine, marquès de l’Hôpital (1661 - 1704) matemàtic francès - Analyse des infiniment petits pour
l'intelligence des lignes courbes (1696).
Actualment se sap que la regla es déu a Johann Bernoulli, que va ser qui la va desenvolupar i demostrar.
L’explicació és que ambdós varen entrar en un curiós negoci per mitjà del qual el marqués l’Hôpital va comprar els drets dels descobrimients matemàtics de Bernoulli que tingué a L'Hôpital
com alumne.
La regla de L'Hôpital és un teorema utilitzat
principalment per determinar límits que d'altra
manera foren complicats de calcular. Es pot
aplicar si es tracta de cercar un límit d'un
quocient entre dues funcions contínues, f(x)/g(x),
el numerador i denominador el qual tendeixen
alhora a zero o bé tendeixen a l‘infinit.
Per calcular el límit es deriva independentment
el numerador i el denominador i es determina el
límit del quocient entre aquestes derivades. Si el
límit existeix, la regla afirma que coincidirà amb el
límit de f(x)/g(x).
LA REGLA DE L’HÔPITAL
És una regla que serveix per resoldre
indeterminacions del tipus0
0𝑖
∞
∞
És basa amb el teorema següent :
Si on f i g són
derivables en un entorn d’a i existeix el límit :
Aleshores coincidirà amb
El mateix enunciat serveix quan els límits de f(x) i g(x) van simultàniament a l’∞
http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/3/lhospital.1/index.html
1r Exemple
Últim Exemple
→
→
DEMOSTRACIÓ REGLA L’HÔPITAL :De manera análoga es fa el cas 2 ) f x → ∞ i g(x) → +∞
Teorema del valor mitjà de Cauchy
TAMBÉ SÓN ÚTILS PER REPRESENTAR LES FUNCIONS
En la representació de funcions és molt útil conèixer què passa en cada interval :
* És creixent o decreixent en aquell interval
* Podem localitzar el valor màxim i mínim en aquest interval?
* La funció és còncava o convexa ?
Les derivades donen resposta a totes aquestes
preguntes !!!
APLICACIONS DE LA DERIVADA REPRESENTACIÓ DE FUNCIONS
Passos a seguir per a poder representar una funció f(x) :
Domini de f(x)
Punts de tall amb els eixos
Càlcul de les asímptotes ( AV, AH i AO)
Estudi de la monotonia : Intervals de creixement i decreixement. Màxims i mínims
Curvatura (concavitat i convexitat) i punts d’inflexió
Altres aspectes interessants :
Simetries (parell o senar ) i periodicitat
SIMETRIES :
Simetria parell f(-x)=f(x) Simetria senar f(-x)= - f(x)
p
INTERVALS DE CREIXEMENT : DIREM QUE UNA FUNCIÓ CONTÍNUA ÉS ESTRICTAMENT CREIXENT EN UN INTERVAL QUAN COMPLEIX QUE :
Recorda que la derivada d’una funció y=f(x)en un punt x indica la pendent de la rectatangent en aquest punt.
Si ens els punts 𝑥0, 𝑥1 𝑖 𝑥2 les rectes tenentangents de pendent positiva, la funció éscreixent en aquest punts
Si f(x) és derivable tenim que
f’(x)>0 ⇒ f(x) és creixent
INTERVALS DE DECREIXEMENT : DIREM QUE UNA FUNCIÓ CONTÍNUA ÉS ESTRICTAMENT DECREIXENT EN UN INTERVAL QUAN COMPLEIX QUE :
Recorda que la derivada d’una funció y=f(x) en
un punt x indica la pendent de la recta tangent en
aquest punt.
Si ens els punts 𝑥0, 𝑥1 𝑖 𝑥2 les rectes tenen
tangents de pendent negativa, la funció és
decreixent en aquest punts
Si f(x) és derivable tenim que
f ’(x)<0 ⇒ f(x) és decreixent
PUNTS ESTACIONARIS O SINGULARS: SÓN ELS PUNTS D’UNA FUNCIÓ CONTÍNUA
QUE TENEN PENDENT HORITZONTAL. COM QUE LA TANGENT ÉS HORITZONTAL , LA PENDENT ÉS 0 I PER AQUESTA RAÓ LA DERIVADA ENS AQUEST PUNTS ÉS 0.
x=a és un punt singular ⇔f’(a)=0
Hi ha tres casos :
El punt 𝑐1 s’anomena mínim relatiu
f’(𝑐1) = 0
El punt 𝑐2 s’anomena punt d’inflexió de tangent horitzontal
f’(𝑐2) = 0
El punt 𝑐3 s’anomena màxim relatiu
f’(𝑐3) = 0
Màxim relatiu Mínim relatiu
PUNTS D’INFLEXIÓ DE TANGENT HORITZONTAL
Observa que les rectes tangent passen a estar damunt de la corba a estar sota o al revés
EXEMPLE : ESTUDI DE LA MONOTONIA D’UNA FUNCIÓ ESTUDIA ELS INTERVALS DE CREIXEMENT I DECREIXEMENT I PUNTS SINGU LARS DE
Conclusió obtinguda de la taula *:
La funció és decreixent en −∞, −1 𝑖 0,1
La funció és creixent en (-1,0) i (0, ∞)
Hi ha dos mínims en (-1,f(-1))=(-1,-1) i en (1,f(1))=(1,-1)
Hi ha un màxim en (0,f(0))=(0,0)
Observem que el domini és (-∞, +∞)
I donat que és polinòmica és contínua
en (-∞, +∞)
Calculem primer els punts on s’anul·la la
derivada i localitzem els punts singulars
• Estudiem el signe que
tindrà la derivada en
els intervals que
determinen els punts
singulars
*
ESTUDI DE LA CONCAVITAT D’UNA FUNCIÓ : Com hem vist, la primera derivada f’ ens dóna informaciósobre la funció f(x). Si derivem f’ obtenim la derivada de f’,que denotarem per f’’(x). Aquesta ens donarà informació def’(x)
Així com f’>0 ens informa que f és creixent, f’’>0 ensinforma que f’ és creixent. Això ens indica que la corba de f(x)està per sobre de les seves tangent (ja que les pendentspassen a ser negatives a ser positives i per tant f’ creix). Enaquest cas direm que f és còncava
En el cas que f’’<0 ens informa que f’ és decreixent. Això es tradueix que la corba de f(x) està per sota de les tangents i direm que f(x) és convexa
o f’’>0 en un interval ⇒ f és còncava ∪o f’’<0 en un interval ⇒ f és convexa ∩
EL TEST DE LA SEGONA DERIVADA PER DETECTAR MÀXIM I MÍNIMS :
També podem detectar que un punt singular és un màxim oun mínim amb el test de la 2a derivada
Si f’(a)=0 i f ’’(a)>0 ⇔ f presenta un mínim en x=a
Si f’(a)=0 i f’’(a)<0 ⇔f presenta un màxim en x=a
EL TEST DE LA SEGONA DERIVADA PER DETECTAR PUNTS D’INFLEXIÓ:
x=a és un punt d’inflexió PI de f(x) sien aquell punt on la corba canvia decurvatura
f(x) presenta un PI en x=a si f’’(a)=0.
Si a més, tenim que f’(a)=0 i f ’’(a)=0aleshores diem que en x=a f presentaun punt d’inflexió de tangenthoritzontal
Còncava : la corba de
f(x) està per sobre de
les seves tangent
Convexa : la corba de
f(x) està per sota de
les seves tangent
EXEMPLE : EN LA FIGURA ES MOSTRA EL GRÀFIC DE LA FUNCIÓ F(X).
COMPLETA LA TAULA SEGÜENT AMB ELS SIGNES DE F, F’ I F’’ EN ELS PUNTS DELGRÀFIC A, B, C, D I E :
Solució :
A= (a,f(a)) B=(b,f(b)) C=(c,f(c)) D=(d, f(d)) E=(e, f(e))
f(a)=0, f’(a)=0 perquè presenta un mínim (tangenthoritzontal) i f’’(a) >0 perquè es còncava
f(b)>0, f’(b)>0 ja que la recta tangent tindrà pendentpositiu ja que f és creixent i f’’(b)<0 ja que és convexa
f(c)>0, f’(c)=0 ja que presenta un màxim i f’’(c)<0 ja queés convexa
f(d)>0, f’(d)<0 ja que f decreix i f’’(d)<0 perquè ésconvexa (podria ser el PI, ja que f(x) passa de convexa acòncava i, en aquest cas f’’(d)=0 )
f(e)<0, f’(e)>0 ja que f creix, f’’(e)>0 ja que f és còncava
En una funció racional, normalment apareixen
AV en els valors de x que fa que el seu
denominador s’anul·li.
És molt probable que la funció de la gràfica
tingui un denominador del tipus
(𝒙𝟐 -4) a que presenta dues AV : x=-2 i x=2
Una funció racional normalment presentarà una AH
quan el grau del numerador sigui igual o inferior
que el del denominador
Per exemple : 𝒇 𝒙 =𝒙𝟐−𝟐
𝒙𝟐+𝟒
𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒖𝒏𝒂 𝑨𝑯 𝒆𝒏 𝒚 = 𝟏 ja que
𝐥𝐢𝐦𝒙→±∞ 𝒇 𝒙 = 𝟏
Per exemple : 𝒇 𝒙 =𝒙−𝟐
𝒙𝟐+𝟒
𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒖𝒏𝒂 𝑨𝑯 𝒆𝒏 𝒚 = 𝟎 ja que
𝒍𝒊𝒎𝒙→±∞
𝒇 𝒙 = 𝟎
Una funció racional normalment presentarà una AO
quan el grau del numerador és superior en una
unitat al grau del denominador
Per exemple : 𝒇 𝒙 =𝒙𝟐−𝟐
𝒙 +𝟒
Presenta una AO del tipus y=x-4 ja que
𝐦 = 𝐥𝐢𝐦𝒙→±∞𝒇(𝒙)
𝒙= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
𝒙𝟐−𝟐
𝒙 +𝟒
𝒙= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
𝒙𝟐−𝟐
𝒙𝟐+𝟒𝒙= 𝟏
𝒏 = 𝐥𝐢𝐦𝒙→±∞
𝒇 𝒙 − 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦𝒙→±∞
𝒙𝟐−𝟐
𝒙+𝟒− 𝒙 =
= 𝐥𝐢𝐦𝒙→±∞
𝒙𝟐−𝟐
𝒙+𝟒−
𝒙+𝟒
𝒙+𝟒𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
𝒙𝟐−𝟐
𝒙+𝟒−
𝒙𝟐+𝟒𝒙
𝒙+𝟒=
𝐥𝐢𝐦𝒙→±∞
−𝟐−𝟒𝒙
𝒙+𝟒= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→±∞
−𝟒𝒙
𝒙= −𝟒
ALGUNS EXEMPLES DE GRÀFIQUES :
1) Domini ℝ- 0
2) Punts de tall amb els eixos
Eix OX ⇒ y=0 𝑥+1
𝑥2 =0 ⇒ x+1=0 ⇒x=-1
Punt (-1,0)
Eix OY ⇒ x=0 ( No talla l’eix ja que x=0 no pertany al domini de f(x)
3) Asímptotes
AV en x=0 lim𝑥→0±
𝑥+1
𝑥2 =1
0+ = +∞ AV x=0
AH lim𝑥→±∞
𝑥+1
𝑥2 =∞
∞⇒ lim
𝑥→±∞
𝑥+1
𝑥2 = 0± AH y=0
No té AO, ja que té AH
4. Intervals de creixement i decreixement – Màxims i mínims
f és decreixent (−∞,-2) i de (0, +∞)f és creixent de (-2, 0) i presenta un mínim en (-2, -1/4)
5. Curvatura (Intervals de concavitat i convexitat-Punts d’inflexió
En (-3, f(-3))=(-3,-2/9) presenta un PI
+
LA GRÀFICA DE F(X)=𝑥+1
𝑥2
Talla l’eix OX en (-1,0)
Té AV en x=0 i AH en y=0
f és decreixent (−∞,-2) i de (0, +∞)
f és creixent de (-2, 0)
Presenta un mínim en (-2, -1/4)
Té en (-3, -2/9) Punt d’inflexió
És convexa de (-∞, −3) i còncava (-3, 0) i de
(0, +∞)
• Intervals de creixement i decreixement :
f’(x)=3𝑥2 𝑥2−1 −𝑥3(2𝑥)
𝑥2−1 2 =3𝑥4−3𝑥2−2𝑥4
𝑥2−1 2 =𝑥4−3𝑥2
𝑥2−1 2
f’(x)=𝑥4−3𝑥2
𝑥2−1 2 = 0 ⇒ 𝑥4 − 3𝑥2=0⇒𝑥2 𝑥2 − 3 = 0
⇒ 𝑥 = 0 𝑖 𝑥 = ± 3 fem el test de la 2a derivada pe avaluar
si són màxims, mínims o punts d’inflexió
𝑓′′ 𝑥 =2𝑥3+6𝑥
𝑥2−1 3 i si avaluem en els punts singulars f’’(0)=0⇒
(0, 0) és Punt d’inflexió de tangent horitzontal
𝑓′′( 3)>0 ⇒( 3, 𝑓 3 é𝒔 𝒖𝒏 𝒎í𝒏𝒊𝒎
f′′(− 3)<0 ⇒(− 3, 𝑓 −3 é𝒔 𝒖𝒏 𝒎à𝒙𝒊𝒎
-∞ − 𝟑 − 𝟏 𝟏 𝟑 +∞
f Màxim ∄ ??? ∄ Mínim
f’ + 0 - 0 +
f’’ ∩ ??? ∪
En (-1,1) f’<0, per
tant f decreix
= 2𝑥(𝑥2+3)
(𝑥2−1)3
En (-1,1) (𝑥2 − 1)3<0
(-1,0) 2𝑥(𝑥2 + 3)<0per tant f’’>0 cóncava
(0,1) 2𝑥 𝑥2 + 3 >0per tant f ’’<0 convexa
∩ 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑎∪ còncava
La gràfica
de f(x)=𝑥3
𝑥2−1