integrals indefinides mònica orpí

Download Integrals indefinides  Mònica Orpí

Post on 28-Jul-2015

147 views

Category:

Education

5 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

1. INTEGRALSINDEFINIDESAutora : Mnica Orp i Ma 2. Enlesprximessessions,veuremquelaintegralsunaantiderivadaiquegrciesaellapodemcalcularlreasotaunacorbaf(x).Perdonvenenaquestesdefinicions?EnlAntigaGrcia,elsgransmatemticsvanidearunprocsmitjanantelqualpodientrobarlreadequalsevolfigura,sempreiquanespogusdividirenaltresfiguresgeomtriquesmselementals(comaratriangles),aquestmtodeeraconegutcomelmtodeperEsgotament 3. Aquest mtode relativament enginys, encara estava lluny de la presentaci formal de la integral, a ms de presentar molts errors quan volien trobar lrea duna figura corba. Els grecs competien amb el fi de trobar un mtode de quadratures, un procs mitjanant el qual poguessin trobar lrea de qualsevol forma bidimensional No ho van aconseguir !!!Tot i aix, cal destacar el triomf dun daquest matemtics : Arqumidesde Siracusa (287a.C. 212a.C.), qui mitjanant un enginys argument exclusivament geomtric, va descobrir que lrea del segment parablic des de x=0 fins a x=t s igual a (1/3)t^3.Ell ho va fer sense conixer les integrals, 4. MsomenysapartirdelsegleIIId.C.(succsrelacionatambladestruccidelaBibliotecad'Alexandria)nopassargairebresrespectealdesenvolupamentdelclculperunllargtempsPerafortunadament,desprsdaquestaetapaobscura,apartirdelRenaixementilaIllustraci,vaserelmomentenelquevarenrenixerlacinciailatcnica.EldesenvolupamentdelaHumanitatjanoesbasaenunpuntdevistamstic,sinquesestimulacapaunaadmiracipelconeixement.ApareixenpersonatgescomaraKepler,PierredeFermat,RenDescartes,entrealtres.Totsellsvarenferaportacionsaldescobrimentdelclcul. 5. Entre els segles XVII y XVIII apareixen dos personatges que donaran per fi la soluci al problema que plantejaven els Antics Grecs :Sir Isaac Newton i Gottfried Leibniz.http://www.rtve.es/alacarta/videos/universo-matematico/universo- matematico-sobre-hombros-gigantes-newton-leibnitz 6. Desafortunadament, aquest parell mai es va arribar a conixer personalment, tot i que mantenien contacte per correspondncia, per mai van treballar junts, sin quees limitaven a competir entre ells. Cadasc va inventar la seva prpia versi del clcul (gaireb en parallel). Newton sho va guardar durant 30 anys mentre que Leibniz va publicar el seu treball sense embuts ni prejudicis. 7. Perraonsquematreveixoaqualificardexcessivamentretrgradesibanyadesdunelitismecompletamentinnecessari,LeibnizfoujutjatcomculpabledavantdelacusaciquehaviaplagiatlesideesdeNewtondelescartesqueaquestlienviava.EspotdirqueaquestfetvaportaraLeibnizamorirdamargura(mentretant,NewtonevanagloriavadientquehaviadestoratelcordeLeibniz).DurantquasiunseglevanprevaldrelesnotacionsdIsaacNewtonperalClcul,basatprincipalmentenlmits.PereventualmentesvacomenaraadoptarlanotacidelClculdeLeibniz,elqual,encertsaspectes,eramillorqueladeNewton.FouLeibnizquivaidearlanotaciqueavuiendiautilitzemperalesintegrals,basant-seenunaparaulallatinasumma,quesignificasuma. 8. Aix significa que tota funci contnua integrable verifica que la derivada de la seva integral s igual a ella mateixa. Aquest teorema s central en la branca de les matemtiques denominada anlisis matemtic o clcul.El descobriment ms important del clcul infinitesimal (creat per Newton i Leibniz) s la ntima relaci entre la derivada i la integral.El teorema fonamental del clcul consisteix (intutivament) en lafirmaci que la derivaci i la integraci duna funci sn operacions inverses. 9. Definici:Siguifunafuncidefinidaenlinterval(a,b).AnomenemPRIMITIVAdef(x)aunafunciF(x)quecompleixqueF(x)=f(x)peratoteslesx(a,b)TrobarladerivadaselprocsinversdetrobarladerivadaSiunafuncif(x)tprimitiva,tinfinitesprimitives,ontotesellesesdiferencienenunaconstant.[F(x)+C]'=F'(x)+0=F'(x)=f(x)Exemple : La funci =s una primitiva de f(x)=ja que F(x)= f(x) 10. Exemple : Comprova que =+ =+sn primitives de f(x)=2Noms cal comprovar que F(x)=f(x) i G(x)=f(x)En efecte F(x)=2=I tamb G(x)= 2x = f(x)De fet, hi ha infinites primitives de f(x), i totes tenen lexpressi 2+ CEn general , tenim que si F(x) i G(x) sn dues primitives qualsevol de f(x), aleshores F(x)- G(x)=C 11. IntegrantDerivant 12. Sanomena integral indefinida duna funci f(x) en un interval I alconjunt de totes les primitives de la funci f en el interval I. Sescriu f(x) dx, i es llegeix integral de f(x)Exemple : La integral indefinida de f(x) = ex s F(x) = ex + C, on Cs una constant. S expressa de la segent manera: exdx = ex + CSi F(x) s una primitiva de f(x) en un interval I, totes lesprimitives de f(x) sn de la forma F(x) + C, on C s unaconstant arbitrria que pot ser qualsevol nmero real. 13. La notaci utilitzada per referir-nos a la primitiva o integral indefinida duna funci f es deu a Leibniz. Essent f una funci de x, escriurem la primitiva de f com f(x) s lintegrantEl smbol dx s la diferencial de x iX s la variable dintegraciDonat que F(x s una primitiva de f e la variable x, es pot expressar F(x)= , i es t queF(x)=f(x) =La derivada de la funci F(x)= (1+2)1+2 14. Propietats de la integral indefinidaI k f(x) dx = k f(x) dx amb k RLes constants poden sortir i entrar fora delsigne de la integral indefinida.II [ f(x) g(x)] dx= f(x) dx g(x) dxLa integral indefinida de una suma (resta) dedos funcions s la suma (resta) de les integrales indefinidas.Propietats de la derivadaI (kf )' (x) = k f '(x) amb k RLa derivada duna constant per una fun-cis el producte de la constant per laderivada de la funciII (f g) ' (x) = f ' (x) g ' (x)La derivada duna suma (resta) de dosfuncions s la suma (resta) de las deri-vadesde cadascuna delles.Propietats de la integraci 15. 1.- xa dx =xa+1a+1+ C, si a -1, a R2.- 1xdx = ln x + C3.- ex dx = ex + C4.- ax = lnx aa + C, si a>0, a 15.- sen x dx = cos x + C6.- cos x dx = sen x + C7.- 211dx arcsen x Cx 8.- 21arctg1dx x Cx Integrals immediates: s la taula de derivades llegida al revs. 16. Exemples : 17. Sigui la funci polinmica f(x)= 11x5+ 5x3-7x2+ 7x + 9Aquesta funci s la suma de les funcions potencialsf1(x) = 11x 5; f2(x) = 5x 3; f3(x) = (-7)x 2; f4(x) = 7x ; f5(x) = 9Segons les propietats donades anteriorment :[11x5+ 5x3-7x2+ 7x + 9 ] dx == 11x5dx + 5x3dx -7x2dx + 7x dx + 9 dx =11x65x47x37x2= -----+ -------------+ ----+ 9x + C6 4 3 2INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNCI POLINMICA 18. f '(x) [f(x)]r dx =[f(x)]r+1r + 1+ C per a r -112 2 cos 2x sen3 2x dx =12sen4 2x4=18sen4 2x + CGeneralitzaci cos 2x sen3 2x dx =Exemple : =+1 + 1+ 1La regla de la cadena, s a dir , = ( )ens permet escriure que ( ) = ()() 19. 1xdx = ln | x | + CGeneralitzaciExemple: tg 3x dx = 13 3 sen 3xcos 3xdx = 13ln |cos 3x | + C()() = () + 20. ax dx =axln a+ C, per quasevol a > 0 Per a a = e sobt ex dx = ex + CGeneralitzaciExemple: f '(x) af(x) dx =af(x)ln a+ C, para a > 0 x2 ex3dx =13 3x2 ex3dx =13ex3+ CRecordem que si f(x)= = 21. sen x dx = cos x + CGeneralitzaciExemple f '(x) sen f(x) dx = cos f(x) + C e3x sen (e3x + 5) dx =13 3 e3x sen (e3x + 5) dx = 13cos (e3x + 5) + C 22. cos x dx = sen x + CGeneralitzaciExemple:f '(x) cos f(x) dx = sen f(x) + C e7x cos (e7x + 5) dx =17 7 e7x cos (e7x + 5) dx =17sen (e7x + 5) + C 23. g '(x)1 - [g(x)]2dx = arcsen g(x) + C 21arcsen( )1dx x Cx GeneralitzaciExemple:e3x1 e6xdx =e3x1 (e3x)2dx =133e3x1 (e3x)2dx =13arcsen e3x + C 24. 11 + x2dx = arctg x + C 2f ( )arctg( )1 f ( )xdx x Cx 11 + 2x2 dx = 11 + ( 2x)2 dx =1221 + ( 2x)2 dx = 1arctg 2x2CGeneralitzaciExemple: 25. Integrals racionalsCanvi de variable o mtode de substituciIntegraci per parts 26. Anomenem integral racional a les integrals de les funcions de la formaOn N(x) i D(x) sn polinomis. Considerem els casos senzills on el polinomi D(x) denominador tindr grau 1 o grau 2. Els casos immediats snTots els altres es redueixen en la prctica a aquestes, s a dir, la primitiva ser en petites variants, la suma de logaritmes i darctangents 27. Si el numerador N(x) s un nombre, totes les primitives corresponen a un logaritme. En efecte :El cas senzill sSi el numerador N(x) t grau 1 o superior, es fa la divisiExemple : Calcula Com que 28. Fem la descomposici en fraccions simplesExemple : CalculaEs descomposala fracci en fraccions simples, s a dir,Es treuen els denominadors i sha de complir la identitatEs donen valors a la x. Les arrels dels factors faciliten el clcul 29. Volem obtenirP(x)Q(x)dx on P(x) i Q(x) sn polinomis tals queGrau de [P(x)] = m i Grau de [Q(x)] = nCas 1: m n. Veurem que aquest cas es pot convertir en el Cas 2.P(x) Q(x)R(x) C(x)con grau[R(x)] < grau[Q(x)] P(x) = C(x) . Q(x) + R(x) P(x)Q(x)= C(x) +R(x)Q(x)Per tant : P(x)Q(x)dx =C(x) .dx + R(x)Q(x)dxOn la primera integral simmediata i la segondacorrespon al Cas 2Cas 2: m < n. Llavors la integral es fa per descomposici en fraccions simples.Com m n, s possible la divisi entera entre P(x) i Q(x) 30. Volem obtenir P(x)Q(x)dx on P(x) i Q(x) sn polinomis tals quegrau[P(x)] = m < grau[Q(x)] = n Suposem que s possible factoritzar el polinomi Q(x). Aix equival a resoldre laequaci Q(x) = 0. Suposem que la equaci Q(x) = 0 t: Solucions reals senzilles (per exemple x1). Solucions reals mltiples (per exemple x2 amb ordre de multiplicitat 2). Solucions complexes senzilles (per exemple t dues solucions, que snnecessriament conjugades). El cas solucions complexes mltiples no sestudia.Per ex. Si t una arrel simple, una doble i dues complexes conjugades, llavors aquestpolinomi factoritza de la segent manera:Q(x) = ao(x x1) . (x x2)2 . (x2 + bx + c)on ao s el coeficient del terme de major grau. P(x)Q(x)dx =1ao P(x)(x x1) . (x x2)2 . (x2 + bx + c)dx =Pas 1. Factorizaci del polinomi Q(x) 31. Descomposici en fraccions simples IIPas 2. Descomposar lintegrant en fraccions simplesP(x)(x x1) . (x x2)2 . (x2 + bx + c)=Ax x1+B(x x2)2 +Cx x2+Mx + Nx2 + bx + cPas 3. Clcul dels coeficients indeterminatsProcs del clcul: Eliminar denominadors en la igualtat anterior, per obtenir unaidentitat polinmica. Donar valors numrics qualssevol, tants com coeficientsindeterminats (en le