INTEGRALS

INDEFINIDES

Autora : Mònica Orpí i Mañé

En les pròximes sessions, veurem que la integral és una antiderivada i

que gràcies a ella podem calcular l’àrea sota una corba f(x).

Però…d’on venen aquestes definicions?

En l’Antiga Grècia, els grans matemàtics van idear un procés

mitjançant el qual podien trobar l’àrea de qualsevol figura, sempre i

quan es pogués dividir en altres figures geomètriques més elementals

( com ara triangles ), aquest mètode era conegut com el mètode per

“Esgotament“

Aquest mètode relativament enginyós, encara estava lluny de

la presentació formal de la integral, a més de presentar molts

errors quan volien trobar l’àrea d’una figura corba.

Els grecs competien amb el fi de trobar un mètode de

quadratures, un procés mitjançant el qual poguessin trobar

l’àrea de qualsevol forma bidimensional…

No ho van aconseguir !!!

Tot i així, cal destacar el triomf d’un d’aquest matemàtics :

Arquímides de Siracusa (287a.C. – 212a.C.), qui mitjançant un

enginyós argument exclusivament geomètric, va descobrir que l’àrea

del segment parabòlic des de x=0 fins a x=t és igual a (1/3)t^3.

Ell ho va fer sense conèixer les integrals,

Més o menys a partir del segle III d.C. (succés relacionat amb la

destrucció de la Biblioteca d'Alexandria) no passar gairebé res

respecte al desenvolupament del càlcul per un llarg temps

Però afortunadament, després d’aquesta etapa obscura, a partir del

Renaixement i la Il·lustració, va ser el moment en el que varen

renéixer la ciència i la tècnica. El desenvolupament de la Humanitat

ja no es basa en un punt de vista místic, sinó que s’estimula cap a

una admiració pel coneixement. Apareixen personatges com ara

Kepler, Pierre de Fermat, René Descartes, entre altres. Tots ells varen

fer aportacions al descobriment del càlcul.

Entre els segles XVII y XVIII apareixen dos

personatges que donaran per fi la solució al

problema que plantejaven els Antics Grecs :

Sir Isaac Newton i Gottfried Leibniz.

http://www.rtve.es/alacarta/videos/universo-matematico/universo-

matematico-sobre-hombros-gigantes-newton-leibnitz

Desafortunadament, aquest parell mai es va arribar a conèixer

personalment, tot i que mantenien contacte per

correspondència, però mai van treballar junts, sinó que es

limitaven a competir entre ells. Cadascú va inventar la seva

pròpia versió del càlcul (gairebé en paral·lel).

Newton s’ho va guardar durant 30 anys mentre que Leibniz va

publicar el seu treball sense embuts ni prejudicis.

Per raons que m’atreveixo a qualificar d’excessivament retrògrades i

banyades d’un elitisme completament innecessari, Leibniz fou jutjat

com culpable davant de l’acusació que havia plagiat les idees de

Newton de les cartes que aquest li enviava. Es pot dir que aquest fet

va portar a Leibniz a morir d’amargura (mentre tant, Newton e

vanagloriava dient que havia destorçat el cor de Leibniz).

Durant quasi un segle van prevaldre les notacions d’ Isaac Newton

per al Càlcul, basat principalment en límits. Però eventualment es va

començar a adoptar la notació del Càlcul de Leibniz, el qual, en

certs aspectes, era millor que la de Newton. Fou Leibniz qui va idear

la notació que avui en dia utilitzem per a les integrals, basant-se en

una paraula llatina summa, que significa suma.

Això significa que tota funció contínua integrable verifica que

la derivada de la seva integral és igual a ella mateixa. Aquest

teorema és central en la branca de les matemàtiques

denominada anàlisis matemàtic o càlcul.

El descobriment més important del càlcul infinitesimal (creat

per Newton i Leibniz) és la íntima relació entre la derivada i la

integral.

El teorema fonamental del càlcul consisteix (intuïtivament) en

l’afirmació que la derivació i la integració d’una funció són

operacions inverses.

Definició : Sigui f una funció definida en l’interval (a,b).

Anomenem PRIMITIVA de f(x) a una funció F(x) que compleix

que F’(x)=f(x) per a totes les xϵ(a,b)

Trobar la derivada és el procés invers de trobar la derivada

•Si una funció f(x) té primitiva, té infinites primitives, on totes

elles es diferencien en una constant.

•[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

Exemple : La funció 𝑭 𝒙 = 𝒙𝟑 és una primitiva

de f(x)=𝟑𝒙𝟐 ja que F’(x)= f(x)

Exemple : Comprova que 𝑭 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟏

𝒊 𝑮 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟓 són primitives de f(x)=2𝒙

Només cal comprovar que F’(x)=f(x) i G’(x)=f(x)

En efecte F’(x)= 2𝑥 = 𝑓 𝑥

I també G’(x)= 2x = f(x)

De fet, hi ha infinites primitives de f(x), i totes tenen l’expressió 𝑥2 + C

En general , tenim que si F(x) i G(x) són dues primitives qualsevol de f(x), aleshores F(x)-G(x)=C

Integrant Derivant

S’anomena integral indefinida d’una funció f(x) en un interval I al conjunt de totes les primitives de la funció f en el interval I. S’escriu

f(x) dx, i es llegeix «integral de f(x)»

Exemple : La integral indefinida de f(x) = ex és F(x) = ex + C, on C és una constant. S’ expressa de la següent manera:

ex

dx = ex + C

Si F(x) és una primitiva de f(x) en un interval I, totes lesprimitives de f(x) són de la forma F(x) + C, on C és unaconstant arbitrària que pot ser qualsevol número real.

La notació utilitzada per referir-nos a la primitiva o

integral indefinida d’una funció f es deu a Leibniz.

Essent f una funció de x, escriurem la primitiva de f com 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

f(x) és l’integrant

El símbol dx és la diferencial de x i

X és la variable d’integració

Donat que F(x és una primitiva de f e la variable x, es

pot expressar F(x)= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥, i es té que

F’(x)=f(x) ⇒ 𝑑

𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥

La derivada de la funció F(x)= (1 + 𝑥2)𝑑𝑥 é𝑠 1 + 𝑥2

Propietats de la integral indefinida

I k f(x) dx = k f(x) dx amb k R Les constants poden sortir i entrar fora del signe de la integral indefinida.

II [ f(x) g(x)] dx= f(x) dx

g(x) dx La integral indefinida de una suma (resta) de dos funcions és la suma (resta) de les inte

grales indefinidas.

Propietats de la derivada

I (kf )' (x) = k f '(x) amb k R La derivada d’una constant per una fun-ció és el producte de la constant per la derivada de la funció

II (f g) ' (x) = f ' (x) g ' (x) La derivada d’una suma (resta) de dos funcions és la suma (resta) de las deri-vades de cadascuna d’elles.

Propietats de la integració

1.-

xa dx =

xa+1

a+1 + C, si a -1, a R

2.-

1

x dx = ln x + C

3.-

ex dx = ex + C

4.- ∫ax = ln

xa

a + C, si a>0, a 1

5.-

sen x dx = – cos x + C

6.-

cos x dx = sen x + C

7.- 2

1

1dx arcsen x C

x

8.- 2

1arctg

1dx x C

x

Integrals immediates: és la taula de derivades llegida al revés.

Exemples :

Sigui la funció polinòmica f(x)= 11x5 + 5x3 - 7x2 + 7x + 9

Aquesta funció és la suma de les funcions potencials

f1(x) = 11x 5 ; f2(x) = 5x 3 ; f3(x) = (-7)x 2 ; f4(x) = 7x ; f5(x) = 9

Segons les propietats donades anteriorment :

[11x5 + 5x3 - 7x2 + 7x + 9 ] dx =

= 11x5 dx + 5x3 dx - 7x2 dx + 7x dx + 9 dx =

11x6 5x4 7x3 7x2

= ----- + ------ -- ----- + ---- + 9x + C

6 4 3 2

INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA

FUNCIÓ POLINÒMICA

f '(x) [f(x)]r dx =

[f(x)]r+1

r + 1 + C per a r -1

1

2 2 cos 2x sen3 2x dx =

1

2 sen4 2x

4 =

1

8 sen4 2x + C

Generalització

cos 2x sen3 2x dx =

Exemple :

𝑥𝑟𝑑𝑥 =𝑥𝑟+1

𝑟 + 1+ 𝐶 𝑝𝑒𝑟 𝑎 𝑟 ≠ 1

La regla de la cadena, és a dir , 𝒇 ° 𝒈 ′ = (𝒇′ ° 𝒈)·𝒈′

ens permet escriure que (𝒇′ °𝒈) 𝒙 𝒈′ 𝒙 𝒅𝒙 = (𝒇°𝒈)(𝒙)

1

x dx = ln | x | + C

Generalització

Exemple:

tg 3x dx = – 1

3 – 3 sen 3x

cos 3x dx = –

1

3 ln |cos 3x | + C

𝑓′(𝑥)

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 𝑓(𝑥) + 𝐶

ax dx =

ax

ln a + C, per quasevol a > 0

Per a a = e s’obtè ex dx = ex + C

Generalització

Exemple:

f '(x) af(x) dx = af(x)

ln a + C, para a > 0

x2 e

x3 dx =

1

3

3x2 ex3 dx =

1

3 ex3

+ C

Recordem que si f(x)=𝑎𝑥 𝑎𝑙𝑒𝑠ℎ𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑓′ 𝑥 = 𝑎𝑥 · 𝑙𝑛𝑎

sen x dx = – cos x + C

Generalització

Exemple

f '(x) sen f(x) dx = – cos f(x) + C

e3x sen (e3x + 5) dx =

1

3

3 e3x

sen (e3x

+ 5) dx = – 1

3 cos (e

3x + 5) + C

cos x dx = sen x + C

Generalització

Exemple:

f '(x) cos f(x) dx = sen f(x) + C

e7x cos (e7x + 5) dx =

1

7 7 e7x cos (e7x + 5) dx =

1

7 sen (e7x + 5) + C

g '(x)

1 - [g(x)]2 dx = arcsen g(x) + C

2

1arcsen( )

1dx x C

x

Generalització

Exemple:

e3x

1 – e6x

dx =

e3x

1 – (e3x

)2 dx =

1

3

3e3x

1 – (e3x

)2 dx =

1

3 arcsen e

3x + C

1

1 + x2 dx = arctg x + C

2

f ( )arctg( )

1 f ( )

xdx x C

x

1

1 + 2x2 dx =

1

1 + ( 2x)2 dx =

1

2

2

1 + ( 2x)2 dx =

1arctg 2x

2C

Generalització

Exemple:

Integrals racionals

Canvi de variable o mètode de substitució

Integració per parts

Anomenem integral racional a les integrals de les funcions de la

forma

On N(x) i D(x) són polinomis. Considerem els casos senzills on el

polinomi D(x) denominador tindrà grau 1 o grau 2. Els casos

immediats són

Tots els altres es redueixen en la pràctica a aquestes, és a dir, la

primitiva serà en petites variants, la suma de logaritmes i

d’arctangents

Si el numerador N(x) és un nombre, totes les primitives corresponen a un

logaritme. En efecte :

El cas senzill és

Si el numerador N(x) té grau 1 o superior, es fa la divisió

Exemple : Calcula Com que

Fem la descomposició en fraccions simples

Exemple : Calcula

Es descomposa la fracció en fraccions simples, és a dir,

Es treuen els denominadors i s’ha de complir la identitat

Es donen valors a la x. Les arrels dels factors faciliten el càlcul

Volem obtenir

P(x)

Q(x) dx on P(x) i Q(x) són polinomis tals que

Grau de [P(x)] = m i Grau de [Q(x)] = n

Cas 1: m n. Veurem que aquest cas es pot convertir en el Cas 2.

P(x) Q(x)

C(x)R(x)

con grau[R(x)] < grau[Q(x)]

P(x) = C(x) . Q(x) + R(x) P(x)

Q(x) = C(x) +

R(x)

Q(x)

Per tant :

P(x)

Q(x) dx =

C(x) .dx +

R(x)

Q(x) dx

On la primera integral ésimmediata i la segonda

correspon al Cas 2

Cas 2: m < n. Llavors la integral es fa per descomposició en fraccions simples.

Com m n, és possible la divisió entera entre P(x) i Q(x)

Volem obtenir

P(x)

Q(x) dx on P(x) i Q(x) són polinomis tals que

grau[P(x)] = m < grau[Q(x)] = n

• Suposem que és possible factoritzar el polinomi Q(x). Això equival a resoldre la equació Q(x) = 0.

• Suposem que la equació Q(x) = 0 té:• Solucions reals senzilles (per exemple x1).• Solucions reals múltiples (per exemple x2 amb ordre de multiplicitat 2).• Solucions complexes senzilles (per exemple té dues solucions, que són

necessàriament conjugades).• El cas solucions complexes múltiples no s’estudia.

Per ex. Si té una arrel simple, una doble i dues complexes conjugades, llavors aquest polinomi factoritza de la següent manera:Q(x) = ao(x – x1)

. (x – x2)2 . (x2 + bx + c)

on ao és el coeficient del terme de major grau.

P(x)

Q(x) dx =

1

ao

P(x)

(x – x1) . (x – x2)

2 . (x

2 + bx + c)

dx =

Pas 1. Factorizació del polinomi Q(x)

Descomposició en fraccions simples II

Pas 2. Descomposar l’integrant en fraccions simples

P(x)

(x – x1) . (x – x2)

2 . (x

2 + bx + c)

= A

x – x1

+B

(x – x2)2 +

C

x – x2

+ Mx + N

x2 + bx + c

Pas 3. Càlcul dels coeficients indeterminats

Procés del càlcul:

• Eliminar denominadors en la igualtat anterior, per obtenir una identitat polinòmica.

• Donar valors numèrics qualssevol, tants com coeficients indeterminats (en l’exemple 5: x1, x2 i 3 valors més).

• Resoldre el sistema.

Descomposició en fraccions simplesExemple

Descompondre en fraccions simples: x2 + x + 1

x5 – x4 – x + 1

Pas 1. Factorizació del polinomi denominador

Per Ruffini obtenim: x5 – x4 – x + 1 = (x + 1) . (x – 1)2 . (x2 + 1)

Pas 2. Descomposar en fraccions simples

x2 + x + 1

x5 – x

4 – x + 1

= A

x + 1 +

B

(x – 1)2 +

C

x – 1 +

Mx + N

x2 + 1

Pas 3. Càlcul dels coeficients indeterminats

x2 + x + 1= A(x–1)

2(x

2+1) + B(x+1)(x

2 +1) + C(x–1)(x+1)(x

2 +1) + (Mx+N) (x+1)(x–1)

2

x=1 B=3/4

x=–1 A=1/8

x=0 – C + N = 1/8

x=2 5C+2M+N = –13/8

x=–2 5C+6M–3N = 3/8

I d’aquí: A = 1/8; B = 3/4; N = –1/4; C = –3/8; M = 1/4

Integrals racionals amb denominador de grau 2

Estudi de la integral

Mx + N

ax2 + bx + c dx

Sigui D el discriminant del denominador: D = b2 – 4ac

Si la derivada del denominador és el numerador menys una constant, la integral podrà ser resolta com immediata tipus neperià.En cas contrari:

• Si D 0 la integral s’ obté per descomposició en fraccions simples.• Si D < 0 la integral és tipus neperià + arc tangent.

Passos per la seva obtenció :

M 0Pas 1: es busca la derivada del denominador en el numerador.Pas 2: com a conseqüència es pot descomposar la integral en suma d’altres dues: la

primera és immediata (neperià) i la segona és tipus arc tangent.M = 0 (Càlcul de la integral tipus arc tangent).

Pas 3: Es converteix el denominador en un número (k) més un binomi al quadrat (cosa que és possible per ser D < 0). Si prèviament es multiplica per 4a s’eviten els números fraccionaris.

Pas 4: Es converteix el denominador en la unitat més una funció al quadrat (traient factor comú k en el denominador), ajustem amb constants, i integrem com immediata tipus arc tangent

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑔(𝑡) 𝑔′ 𝑡 𝑑𝑡 = 𝐹 𝑔 𝑡 = 𝐹 𝑥 𝑎𝑚𝑏 𝑥 = 𝑔 𝑡

Com que normalment tindrem la integral expressada en x, és a dir,

tindrem 𝑓 𝑔(𝑥) 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥

• Busquem una transformació u = g(x) que redueixi el seu càlcul al de una integral immediata.

• Quan es realitza el canvi ha de transformar-se també la diferencial mitjançant

du = g'(x) dx

𝑓 𝑔(𝑥) 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥= 𝑓 𝑢 𝑑𝑢 = 𝐹 𝑢 + 𝐶

• Després de calcular la integral immediata ha de desfer-se el canvi posant g(x) de nou en lloc d’u per obtenir el resultat final.

𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑢 𝑑𝑢 = 𝐹 𝑢 + 𝐶 = 𝐹 𝑔 𝑥 + 𝐶

1

x ln x dx

Canvi ln x = u dx / x = du

= dxLnx

x

/1 =

1

u du = ln | u | + C

Desfem el canvi

= ln | ln x | + C

𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑢 𝑑𝑢 = 𝐹 𝑢 + 𝐶 = 𝐹 𝑔 𝑥 + 𝐶

L’utilitzaré quan vegi que hi ha una funció i la seva derivada al

costat. Llavors anomenaré per u la funció i la derivaré du

Desfem en canvi

x3 x

4 + 2 dx =

Canvi x4 + 2 = u 4x3 . dx = du x3 dx = du/4

4

duu

sen3 2x

. cos 2x dx =

1

2

t3 . dt =

Canvi sen 2x=t 2 cos 2x . dx = dt cos 2x dx = dt/2

= 1

8 sen

4 2x + C

1

2

t4

4 + C

Desfem el canvi

Integració per parts

Integració per parts

Consell

1. Anomenar g a una funció de la que sigui còmode obtenir g i també

és important triar f(x) aquella que al derivar-la tingui una expressió

més senzilla que f(x).

2. Si és còmode obtenir g sigui quina sigui l’elecció que fem per g,

anomenar aleshores g a aquella que faci ∫ f g sigui més còmoda que

∫ f g

𝑬𝒙𝒆𝒎𝒑𝒍𝒆 ∶ 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥

𝑉𝑒𝑖𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑠ó𝑛 𝑑𝑢𝑒𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑠 𝑎𝑣𝑒𝑢𝑟𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑎𝑚𝑏 𝑙′𝑎𝑙𝑡𝑟𝑎, . 𝐸𝑛 𝑎𝑞𝑢𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 ℎ𝑜𝑖 𝑓𝑒𝑚 𝑝𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑠 ∶

𝑆𝑒𝑟à 𝑚é𝑠 𝑐ó𝑚𝑜𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑟 𝑔′ 𝑥 = 𝑒𝑥 𝑗𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑔 𝑥 = 𝑒𝑥 𝑖 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑓′ 𝑥 = 1, 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑟 𝑔′ 𝑥 = 𝑥 𝑗𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑠ℎ𝑜𝑟𝑒𝑠𝑠 𝑔 𝑥 =

𝑥2

2𝑖 𝑒𝑛𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑚é𝑠 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙

Així f(x)=x per tant f’(x)=1

𝑔′ 𝑥 = 𝑒𝑥 per tant g 𝑥 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥

Com que tenim tots els components de la integració per parts, podem fer

el següent :

𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 − 1 · 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝐶

És molt freqüent expressar aquesta fórmula amb la següent notació abreujada que s’obté posant : u = f(x), dv = g '(x)dx, v = g(x) i du = f ' (x) dx. Així tenim :

u dv = uv –

v du

Una notació especial per al

mètode d’integració per parts :

= x2 e

x – 2[xe

x –

e

x dx ] = e

x (x

2 – 2x + 2) + C

x

2 e

x dx = x

2 e

x –

e

x 2x dx = x

2 e

x – 2

x e

x dx =

u = x2 du = 2x dx

dv = ex . dx v = ex

u = x du = dx

dv = ex . dx v = ex

u = sen (L x) du = cos(L x) . (1/x) . dx

dv = dx v = x

= x . sen(ln x) – x cos(ln x) –

sen(ln x) .

dx Aïllant la integral buscada queda:

u = cos (L x) du = – sen(L x) . (1/x) . dx

dv = dx v = x

x . sen (ln x) –

cos (ln x) . dx =

sen(ln x) . dx =

sen(ln x) . dx =

1

2x [sen(ln x) – cos(ln x)] + C

Integració de funcions trigonomètriques: fórmules

Fórmules trigonomètriques fonamentals

sen2x + cos2x = 1 Fórmula fonamental de la

trigonometria

sen 2x = 2 sen x . cos x

cos 2x = cos2x – sen2x

Sinus i cosinus de l’angle

doble.

Fórmules de reducció de

grau

sen a · cos b = 1

2 sen (a + b) +

1

2 sen (a – b)

cos a . cos b = 1

2 cos (a + b) +

1

2 cos (a – b)

sen a . sen b = – 1

2 cos (a + b) +

1

2 cos (a – b)

Fórmules de conversió de

productes de sinus i

cosinus en suma.

sen (– x) = – sen x

cos (– x) = cos x

Sinus i cosinus de l’angle

oposant

1 + tg2 x = sec2 x;

1 + ctg2 x = csc2 x

𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 =𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙

𝟐

𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 =𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙

𝟐

Si hi ha potència senar en sinus es fa el canvi de variable cosx=t

Fem el canvi t=cos3x dt= -3sin3xdx dx = −𝑑𝑡

3𝑠𝑖𝑛3𝑥

𝑠𝑒𝑛53𝑥𝑑𝑥 ⇒−1

3 (1 − 𝑡2)2𝑑𝑡 =

−1

3 1 − 2𝑡2 + 𝑡4 =

−1

3𝑡 −

2

3𝑡3 +

𝑡5

5=

= -1

3𝑐𝑜𝑠3𝑥 −

2

3(𝑐𝑜𝑠3𝑥)3+

(𝑐𝑜𝑠3𝑥)5

5+ 𝐶 =

Si hi ha potència senar en cosinus es fa el canvi de variable sinx=t

sen5 3x.dx =

(sen23x)2 sen 3x.dx =

(1–cos23x)2 sen 3x.dx =

Integració de funcions trigonomètriques

Integració de funcions trigonomètriques

En els casos parells, intentem baixar un grau amb la fórmula de l'angle doble

Fent servir 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 =𝟏−𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙

𝟐𝒊 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 =

𝟏+𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙

𝟐

Exemple 1 : 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 = 1+𝑐𝑜𝑠2𝑥

2𝑑𝑥 =

1

2 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 =

1

2𝑥 +

𝑠𝑒𝑛2𝑥

2+ 𝐶

Exemple 2 :

𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 =𝟏+𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙

𝟐en lloc

de x, posem 2x/3