La natura sap matemàtiques ?

Mònica Orpí i Mañé

1564-1642. Físic i astrònom

italià

“Les matemàtiques són l’alfabet amb el qual

Déu ha escrit l’univers” Galileu

Galilei

Geometria amb bombolles de sabó i amb

d’altres materials : cordes, cintes....

Yo amo los mundos sutiles, ingrávidos y gentiles como

pompas de jabón.

Antonio Machado.

I jo a les bombolles les estimo per què…n’hi ha tantes com adjectius et pots

imaginar

Bombolles efímeres

Bombolles metafòriques

I bombolles dalinianes

Bombolles repetides

Bombolles per viure-hi

Bombolles encantades

Bombolles encantadores

Bombolles màgiques …I que ens porten sort !!!

Bombolles gegants

Bombolles jugarrines !!!

Bombolles borratxines

I fins i tot …

Bombollesembolvents

I, encara que no ho sembli, també hi han...

Bombolles matemàtiques

Les bombolles constitueixen un petit microcosmos en el qual tenen un punt de trobada:

• La bellesa• La ciència• La imaginació i• La reflexió

• Són els habitants d’un món amb les lleis matemàtiques, on angles i longituds regeixen les relacions socials, on la bellesaamaga regles numèriques, on les formes són, al mateix temps,

seductores i racionals.

Aquestes existències efímeres amaguen un Magnífic entramat matemàtic

Objectiu

Constatar les possibilitats que ofereix la Matemàtica per descriure,

explicar i predir el món que ens envolta.

Fórmula sabonosa :65% d’aigua

25% de sabó i10% de glicerina

Qui no ha jugat alguna vegada amb bombolles de sabó?

Tot sembla molt simple … ...darrera aquestes divertides figures s’hi amaga un formidable entramat matemàtic!

Però també, darrera aquestes divertides

figures també s’hi amaga un interminable entramat de treball per fer possible la construcció

d’unes bombolles ben especials, que per mi, són, de totes les bombolles, les més belles !!

Les bombolles mestres!!!

Gràcies a elles podem aprendre molt !!

Però sobretot el millor que ens donen les bombolles és oferir-nos la oportunitat de ...

Poder experimentar i descobrir...

...que hi ha matemàtiques a tot arreu...

Crear emocions

...i que les matemàtiques

poden ser emocionants!

Si ens apropem a una bresca d’abelles, les seves cel·les tenen seccions hexagonals;

Les ales de certs insectes, per exemple les libèl·lules, presenten un enreixat igualment, gairebé hexagonal i, si seguim buscant hexàgons els trobarem en situacions que han de recobrir un pla sense deixar forats.

Però, per què la natura opta per aquestes formes ??

. Si enfoquem la vista cap a les plantes, les llavors dels gira-sols es

distribueixen formant espirals que també les trobarem en la llengua de les papallones i en les closques dels cargols.

Veiem com la natura ha escollit l‘espiral logarítmica com a forma geomètrica en altres moltes

configuracions naturals, però d’on surt aquesta forma espiral ??

EL PROBLEMA DELS CONILLS :

“Certa persona va posar una parella de conills en un corral tancat

completament per un mur. Quants parells de conills hi haurà al corral en

un any, si posem una parella de conills no productius que, tardarà un

mes a ser productiva i llavors engendrarà una nova parella de

conills?”

Els conills es reprodueixen seguint també una pauta matemàtica, la de la SUCCESSIÓ DE FIBONACCI

SUCCESSIÓ

112358

1321345589

144233377610987

PROPORCIONS ENTRENOMBRES

CONSECUTIUS

12

1’51’66...

1’61’625

1’615384...1’619047...1’617647...

1’6188...1’617977...1’618055...1’618025...1’618037...1’618032...

I MOLTES FLORS TENEN UN NOMBRE DE PÈTALS QUE SÓN TERMES DE LA SUCCESSIÓ DE FIBONACCI.

Darrere de totes aquestes casualitats, hi ha el nombre d’or !!!

RELACIÓ ENTRE EL NOMBRE D’OR I LA SUCCESSIÓ DE FIBONACCI

n

n

fflím 1

EL RECTANGLE D’OR :El quocient entre els seus costats és Ф=1’61..

I d’aquí surt l’espiral logarítmica que hi ha en els cargols, en les

Galàxies, en la nostra orella,…, fins i tot en les faccionsde les cares més boniques!!!

Serà un rectangle d’0r o rectangle auri si …

LA PROPORCIÓ ÀURIA AL COS HUMÀ

ALÇADA (cm) ALÇADA MELIC (cm) PROPORCIÓ

1 163 102 1’6

2 166 103 1’612

3 169 108 1’565

4 175 105 1’67

LE CORBUSIER

STEPHEN MARQUARDT

- La raó entre l’alçada total d’una persona i l’alçada fins al melic

- La raó de la longitud del braç i la longitud de la mà al colze

- La raó entre l’amplada i la llargada de la cara

- La raó entre la primera falange de la mà i la segona, i entre la segona i la tercera.

- La raó entre la longitud de la cama i la longitud del peu al genoll

- La raó entre la longitud del colze al canell i del canell a la punta dels dits de la mà.

Les següents raons o quocients tenen com a resultat el nombre d’or:

El nombre d’or està present en una gran quantitat d’objectes de la vida quotidiana :

El nombre d’or està present en nombroses peces artístiques, fins i tot el trobem en la música

El nombre Ф el trobem en diverses construccions arquitectòniques com

La piràmide de Keops, el Partenó d’Atenes,l¡ edifici de la ONU i l’escala de la

Sagrada Família

La natura estructura els seus objectes seguint unes lleis, però quines són aquestes lleis ??

Podem observar que molts dels objectes de la natura, com ara els planetes són esfèrics, així com també ho són les gotes

d’aigua i les bombolles de sabó. La forma esfèrica no té cantons i és infinitament simètrica. Però per què prenen aquesta forma les bombolles de sabó ?

Què té la forma esfèrica que la fa tant especial ?

L’objectiu de les abelles és emmagatzemar la major quantitatde mel amb el mínim consum de la preuada cera

( fabricar ½ kg de cera equival, per a les abelles, a donar 12 voltes al món !!!)

L’HEXAGON és la forma plana que pren la natura, ja que és la de major eficiència: És la figura que recobreix tot el pla i que

donada una superfície, és la que té menys perímetre de totes elles.

Podem veure que dels tres polígons regulars que recobreixen el pla, el que té el mínim perímetre tot i tenint

tots tres la mateixa àrea és l’HEXÀGON !!

https://drive.google.com/drive/u/0/folders/0B6E3Y6IFddu1NnhmQkpDN0Nfd2c

Les lleis de la natura actuen de manera que minimitza longituds i superfícies.

En 1744, Pierre-Luís Moreau de Maupertuis, va proposar el seu gran Esquema del Món: “La natura opera sempre amb la màxima economia”.

Per exemple, la línia recta per un raig de llum Geomètricament, els hexàgons omplen el pla sense deixar forats i les espirals estalvien espai. La circumferència i l’esfera tenen la màxima simetria i compleixen els principis d’optimització.Per això les bombolles de sabó són esfèriques, ja que és la forma més eficient, la que economitza sabó, és a dir la que donat un volum fixat és la que té la superfície mínima

• La tensió superficial és la força que existeix entre les molècules de qualsevol líquid que tendeix a reduir la superfície lliure que presenta. Els líquids presenten

una tendència a reduir la superfície exterior que mostren ja que la mínima superfície correspon al menor valor possible de l’energia potencial deguda a la

tensió superficial. I la natura estalvia energia !!

• Així doncs, si un volum de líquid es deixa lliure a l’aire prendrà una forma tal que tingui la mínima superfície exterior possible compatible amb el seu volum.

Tanmateix les gotes dels líquids són esfèriques per què, per a un volum donat fixat, l’esfera és la figura que presenta

menor superfície exterior.

Tensió superficial = Timidesa

Fonament físic

Propietat física Tensió superficial

Què fem quan tenim fred?

Ens esferifiquem?

I els iglús?

Els centpeus

Els porquets de Sant Antoni

Què passa quan en un líquid hi posem sabó?

La tensió superficial disminueix... però no s’elimina

Què passa quan en un líquid hi posem sabó?

La tensió superficial disminueix... però no s’elimina

Es deixa “laminar”... però manté la tendència a formar superfícies mínimes.

El sabó fa perdre la timidesa

A cada configuració correspon una tensió superficial que el líquid voldrà fer mínima

Propietat física Tensió superficial

Model matemàtic Superfícies d’àrea mínima

Hem passat de la propietat físicaa un model matemàtic

Per això les bombolles són esfèriques

Són petits móns efímers...

Éssers encantadors, suggeridors...

Segons la Universitat de Bordeus els moviments del líquid en les bombolles és un model del comportament

dels petits ciclons i de les turbulències que es produeixen en la nostra atmosfera.

Una bombolla congelant-se!

Universos a l’abast de les nostres mans

Però tornem de l’univers a les molècules i a la tensió superficial!

Quan em rento les mans no sento cap força!

Sents la Força?

I què hi fa el sabó?

•El sabó té l’efecte de disminuir la tensió superficial dels líquids i de permetre la seva laminació en superfícies minimals (mínims relatius). •Un experiment per veure que fa disminuir la tensió superficial :

• Prenem dos gots d’aigua i en un hi afegim sabó. Després tirem pols de talc sobre un got i l’altre de manera abundant. Observarem que : - En el got que no hi ha sabó, el talc sura, ja que la tensió superficial impedeix que es trenqui la “pell del líquid” - En el got amb sabó, el talc s’enfonsa per què la tensió superficial ha disminuït i no el pot aguantar.

Què fa el sabó ?

Uns especialistes en tensió superficial: Els sabaters (Gerris najas)

Stenus comma

Els devastadors efectes que,

per a aquests insectes, té la contaminació de l’aigua dels rius amb detergents.

Aquests animalons viuen gràcies a la tensió superficial

Depredadors a part...la natura crea formes boniques

I les bombolles també!

•Gràcies al sabó i a la seva laminació podrem observar quines seran les formes que donaran les superfícies mínimes, és a dir podrem visualitzar que, submergint una estructura dins d’un poal ple de sabó, la forma que prendrà serà aquella que tingui una menor superfície.

•Al introduir estructures tancades dins del sabó, obliguem a que s’ajusti a l’estructura, per exemple, que s’ajusti al perímetre del fil ferro, obligant a que passi per tots els contorns, però de manera òptima, és a dir, minimitzant la pel·lícula de sabó.

•Podem posar de manifest aquesta tendència mitjançant un petit però vistós experiment en el qual es tensa un fil unit a una estructura de filferro com mostra la fotografia següent:

Al submergir un filferro semicircular amb un fil lligat en els extrems, aquest quedarà tensat cap a

la part interior del fil ferro en forma circular. Si, amb un dit mullat tirem del fil i el deixem

novament lliure, el fil torna a retrocedir tornant a la posició d’equilibri

i de superfície mínima. Amb el dit podem sentir la tensió superficial !!!

Per efecte de la tensió superficial les superfícies

que formarà l’aigua amb sabó sempre seran mínimes.

Observem que hem passat d’una idea física a una idea matemàtica, el de trobar mínims !!!!

Sense fer derivades i problemes d’optimització, simplement submergint estructures dins del

sabó !!

Molts cops, els problemes de màxims i mínims són difícils de resoldre. Però, és suficient una dissolució sabonosa per a que puguem arribar a la

comprovació visual de quelcom que els matemàtics hem tardat molts segles en demostrar-ho.

Plateau en el segle XIX, va resoldre i enunciar les lleis que regeixen el comportament de minimitzar esforços que utilitza la natura, fent experiments

amb bombolles de sabó.

Una de las observacions que va fer i ha estat de gran importància per a les matemàtiques, és la que correspon a que “si introduïm una estructura

tancada en una dissolució sabonosa, sempre es formarà una pel·lícula de sabó, la superfície de la qual serà minimal”

Dues bombolles juntes minimitzen la pel·lícula de sabó compartint una cara i, deixant de tenir una forma esfèrica, optant altres formes geomètriques més econòmiques.

Així estalvien àrea superficial !!!

Si unim diferents bombolles, obtenim sempre formes geomètriques pures : Unint 4 bombolles, en el seu interior, hi haurà un Tetràedre, i

amb 12.... Un dodecàedre !! Les formes regulars són les triades per la natura, per què ??? Perquè són les més eficients, és a dir, són les

que estalvien sabó!!

Les tres parets d’una bombolla sempre es trobaran formant un angle de 120º !! Així si fem moltes

bombolles de mida similar obtenim HEXÀGONS, com els de les abelles !!!

• Problema de Pierre Fermat (1601-1665): Donat un triangle d’angles aguts, trobar el punt P tal que la suma de les distàncies als vèrtexs sigui la més

petita possible. A aquest punt se l’anomena el punt de Fermat. • Problemes de Jacob Steiner (1796-1863):

• De totes les corbes de perímetre fixat, el cercle és el d’àrea màxima • Camins mínims : Trobar la xarxa de línies que connecti diferents punts i la longitud total d’aquesta

connexió sigui la mínima possible• Problema de Joseph A. Plateau (1801-1883):

• Determinar la superfície d’àrea mínima limitada en el espai per un contorn tancat.

Hi ha tres tipus de problemes que podem resoldre amb bombolles de sabó

Joseph A. F. Plateau (1801-1883)

Com demostrem matemàticament que el cercle és, de totes les corbes de perímetre fixat,

la que té una superfície més gran ?

De tots els polígons regulars d’igual perímetre, quin de

tots té l’àrea màxima?

Què voldrà dir que la solució de l’angle sigui 0º?

Equivaldrà a dir que el polígon buscat té infinits costats i, per tant,

Serà el cercle !!!

https://drive.google.com/drive/u/0/folders/0B6E3Y6IFddu1NnhmQkpDN0Nfd2c

De tots els polígons regulars de perímetre P fixat, el cercle és el que té l’àrea màxima, ( cercle = polígon regular d’infinits costats )

Però les bombolles de sabó ho fan de manera natural, sense derivar !!!

El cercle és la solució al problema isoperimètric

1r Problema de Jacob Steiner (1796-1863) resolt:

Com que el sabó vol minimitzar la superfície que passi pel contorn, al tensar el fil interior en forma de cercle, observem que la tensió

superficial contrau a la pel·lícula sabonosa que queda al exterior del fil. El fil es tensa i adopta la forma d’una circumferència perfecta.

Dóna igual la manera en que es subjecti el fil, aconseguim una forma circular perfecta. Aquest fet demostra que la circumferència és la

figura amb màxima àrea donat un perímetre fixat

Donat un perímetre fixat, és el Cercle la figura que tanca la màxima àrea

2n Problema de Jacob Steiner (1796-1863):Trobar la xarxa de línies que connecti diferents punts i la longitud total d’aquesta connexió sigui la mínima possible

Camins mínims Problema de Steiner per 2 punts Comprovarem experimentalment que la línia més curta entre dos punts és la línia recta. Per fer-ho, submergirem una estructura transparent de dos claus. El sabó obliga a passar per aquests dos punts però utilitzant la mínima quantitat de sabó. El camí més curt que els unirà serà la línia recta

Problema de Steiner per 3 punts – Punt de FermatPosarem de manifest de l’existència i les propietats del punt de Fermat d’un triangle

Problema de Steiner per 4 puntsResoldrem el problema de Steiner per quatre punts situats en els vèrtexs d’un rectangle obtenint una estructura de camins que connecten els punts amb una longitud total mínima.

Punt de Fermat  d’un triangle és un punt tal que la distància total des dels tres vèrtexs del triangle al punt és la mínima.

Des d’aquest punt es veu cadascun dels costats del triangle sota un angle de 120 º

Özil ???

Özil ???

=17’32 m

http://www.geogebra.org/material/show/id/46701

Un nou problema que té per solució el punt de Fermat :

“Donats tres pobles, on s’ha de construir un hospital de manera que el camí total que hauria de recórrer les ambulàncies sigui

mínim”.El mètode de construcció del punt de Fermat d’un triangle acutangle amb

regla i compàs :

construïm triangles equilàters sobre cada costat del triangle original i unim el

vèrtex exterior de cadascun d’aquests triangles amb el vèrtex oposat d’aquell. Els tres segments es tallaran en el punt

de Fermat. Vegi’s l’esquema següent i observeu que

no coincideix amb el baricentre del triangle

Baricentre d’un triangle

El baricentre d’un triangle és el punt d’intersecció de les seves medianes.

És un punt la suma de les distàncies a tres punts donats és mínima. Des d’aquest punt es veu cadascun dels costats del triangle sota un

angle de 120ºObservem que el que en l’estructura són parets de líquid, en projectar-la són segments de manera que la propietat que s’ha comentat de superfície total

mínima, en la imatge projectada, passa a ser de longitud total mínima.

Observarem també que els angles lliures entre les superfícies de sabó són tots de 120º (podem superposar-hi sectors de 120º retallats sobre transparències de

colors).

EL PUNT DE FERMAT amb BOMBOLLES DE SABÓ

EL PUNT DE FERMAT amb CORDES

?

120º

120º

120º

Un altre final per al conte dels tres mosqueters!

d'Artagnan

AthosPortos

Aramis

d'Artagnan

AthosPortos

Aramis

d'Artagnan

AthosPortos

Aramis

d'Artagnan

AthosPortos

Aramis

d'Artagnan

AthosPortos

Aramis

?

El problema de Steiner per a 4 punts : La “solució del sabó” minimitza la longitud total de la xarxa que

uneixen els quatre punts donats. De nou, surten els 120º !!!

Demostrar-ho matemàticament és bastant complicat !!!

I si en lloc de quatre punts, en volem unir 6 ?

Matemàticament

seria terriblement

difícil !!

Hexàgon regular

Treballarem amb una estructura formada per

dues plaques planes transparents unides per

sis claus metàl·lics situats en els vèrtexs d’un

hexàgon regular (els angles interiors ja són de

120º!). Què passarà?

El sabó sí farà dreceres i, en aquest cas obtindrem

un hexàgon, però més curt, el seu contorn serà

com la de l’hexàgon original menys un dels

costats.

Problema de Joseph A. Plateau (1801-1883): “Determinar la superfície d’àrea mínima

limitada en l’espai per un contorn tancat”

Superfícies minimals en estructures tridimensionals.

Superfícies minimals

Estructures tancades de fil ferro tridimensionals.

Catenoide : Superfície obtinguda per la revolució de la corba catenària

Una hèlix és un tipus de corba suau en l'espai tridimensional

que es caracteritza pel fet que la tangent en qualsevol punt produeixun angle constant amb una línia fixa

anomenada eix. Exemples d'hèlices són les molles i

les baranes de les escales de cargol.

Una hèlix "plena" s'anomena helicoide.

Les hèlices són importants en la biologia donat que la molècula de l‘

ADN està formada per una doble hèlix i

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/72/Nonsymmetric_velocity_time_dilation.gif

Una cinta de Möbius o banda de Möbius és una superfiície d'una sola cara,un sol contorn i és topològicament no orientable

Fou descoberta de manera independent pels matemàtics alemanysAugust Ferdinand Möebius i Johann Benedict Listing l'any 1858

Què és la banda de Möebius ??

https://www.youtube.com/watch?v=pp7uevoCLZM

https://ztfnews.wordpress.com/2011/02/14/%C2%A1feliz-dia-de-san-valentin-matematico/

La banda de Möebius i l’amor Quina classe d’amor sents tu ??

Quina clase d’amor sents tu ??Amor 1 : Aquest és l’amor de les persones molt independents, cada una va per la seva banda, tot i que s’assemblen en molts aspectes i tenen coses en comú.

Amor 2 : Simbolitzen l’amor autèntic : Les dues persones conserven la seva independència, però tenen un lligam indestructible.

Amor 3 : És l’amor passional, els dos amants es fonen en un sol amor com si fossin un sol ésser i això no els permet diferenciar-se un de l’altre

Poliedres fets amb varillesLàmines sabonoses que es tallen en

arestes i arestes que es tallen en un punt

El punt de Fermat en 3D

Tetràedre (6 arestes – 4 cares – 4 vèrtexs)•Obtindrem, de cada aresta del tetràedre, una làmina, obtenim sis làmines planes i triangulars que es tallen en quatre arestes, i aquestes en un punt central, que convergiran en el baricentre del tetràedre, si és regular.

•L’angle díedre d’aquesta forma sabonosa, és a dir l’angle entre cara parell de les làmines és de 120º (com va postular Plateau)

•L’angle entre cada parell d’arestes que convergeixen en el baricentre és de 109º 28’ (com va postular Plateau)

•Si trenquem dues làmines obtindrem un bonic paraboloide hiperbòlic (sella de muntar )•Resulta interessant col·locar una bombolla sobre el baricentre i bufar amb l’ajut d’una palleta: apareix una figura tetraèdrica amb les cares lleugerament corbades sostinguda per sis làmines planes

Cub ( 6 cares-12 arestes- 8 vèrtexs)

En el cas d’una estructura cúbica apareixerà :•Una làmina plana i quadrada en el centre sostinguda per dotze làmines planes en forma de trapezi (cada làmina surt d’una aresta del cub)•La simetria del cub ens permet observar que hi haurà tres solucions minimals que tindran la làmina central amb orientacions diferents. Passarem d’una a l’altra movent l’estructura, per tant, s’obtenen varies situacions de làmines en equilibri.

• A més, les arestes formen un nou cub en el interior (cub quadrimensional)

Hipercub:Un tesseractis o hipercub és una figura formada per dos cubs desplaçats en un quart eix dimensional (anomenem al primer

longitud, al segon alçada i al tercer profunditat).Es compon de 8 cel·les cúbiques, 24 cares quadrades, 32

arestes i 16 vèrtexs

Projecció d'un hipercub, amb una transformació semblant a la que podem aplicar

a un cub de tridimensioal.

• https://ca.wikipedia.org/wiki/Fitxer:8-cell-simple.gif

Paraboloide hiperbòlic (sella de muntar): x 2 /a 2 — y 2 /b 2 = 2 z ,

La seva intersecció amb un pla que contingui l’eix de simetria és una

paràbola i la intersecció amb un pla perpendicular a l’anterior és una

hipèrbola

L’OctàedreEn aquest cas poden obtenir-se diferents formes.

Totes les figures que s’obtenen són molt maques però resulta especialment fascinant una rosa dels vents tridimensional d’extraordinària bellesa.I el reflexe de la llum sobre la pe´:lícula sabonosa que evoca la bellesa d’un diamant Tots els angles dièdrics són de 120º

És bonic pensar que darrere d’aquestes formes tan harmonioses hi ha la condició que la superfície total sigui la mínima que passa per les 12 arestes de l’octàedre

Formes estables que semblen fràgils però no ho són. Posseeixen una estilitzada i increïble bellesa, formant arcs i corbes.

La tensió superficial de les cordes crea una forma estable i econòmica que l’home les ha utilitzat en el

seu benefici fent ...

Enginyer Frei Otto - 1972

Estadi Olímpic de Munic (1972)

Jocs Olímpics de Pequín 2008The National Aquatics Center o “Water Cube"

La il·lusió és el gest desmesurat,sorprenentment amable i ple de vida,

que no vulnera límits ni malmetocells ni flors, i crea meravelles

que esclaten com bombolles de sabópassat el temps molt breu de l´encanteri,

però perduren sense fer remoral fons amorosit de la mirada.

Miquel Martí i Pol