introducció a les derivades mònica orpí

Download Introducció a les derivades Mònica Orpí

Post on 20-Jul-2015

190 views

Category:

Education

4 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Matemtiques

    INTRODUCCI A LA

    DERIVADA

    Autora : Mnica Orp i Ma

  • DEFINICI DE DERIVADA

    INTERPRETACI GEOMTRICA i

    CLCUL DE DERIVADES

  • Si una funci la tenim expressada algebraicament, s a dir, y=f(x), podem conixer:

    Domini

    Punts de tall de la grfica amb leix OX i leix OY

    Asmptotes ( AV, AH i AO)

    Continutat i en els punts de discontinutats ( Clcul a partir de lmits

    El seu comportament a linfinit i ( tamb grcies als lmits )

    Per en canvi la frmula de f(x) s poc til quan vull conixer :

    Intervals de creixement i de decreixement

    Situar els Mxims i Mnims relatius

  • Desprs dels lmits, ve una de les operacions ms importants de totes les matemtiques i una

    de les ms potents eines de lanlisi i del clcul per a les funcions : La derivadaNewton i Leibniz van comenar lestudi infinitesimal. Per a la seva difusi i ampliaci van

    collaborar cientfiques com ara milie du Chtelet (1706-1749), que va traduir al francs tota

    lobra newtoniana Principia

    http://www.rtve.es/alacarta/videos/universo-matematico/universo-matematico-sobre-hombros-

    gigantes-newton-leibnitz/

    Els orgens de la derivada :

  • La clau per a lestudi dels dos aspectes que ens proposem (mxims, mnims i intervals de creixement i decreixement) sn les rectes tangents:

    La recta tangent s la recta que talla una corba per un nic punt

  • m=0

    m=0

    m0m

  • Anomenem Derivada de la funci f en x=a al pendent de la

    recta tangent a la grfica de f en el punt dabscissa a

    y=-3/2x-24

    y=-4

    y=3

    y=1,2x+1,5

    y=-1,3x+13

    La derivada de la funci f en a es denota amb el

    smbol f(a) que es llegeix f prima da

    f( -4,5)= -3/2 ja que la tangent en el punt dabscissa 4,5

    t pendent -3/2.

    f(-2)= 0 f(4)=0

    f(2)=1,2 f(6)=-1,32-2 4 6-45

  • Si coneixem el valor de la derivada en el punt x=a, s a dir, f(a) podem calcular lequaci de la recta tangent mitjanant

    y= mx + n ( Equaci de la recta)

    m=f(a) i imposant que passa pel punt de tangncia A(a, f(a))

    Aix y= f(a)x + n i com que passa per A(a, f(a)) tenim que

    f(a) = f(a)a + n n = f(a) - f(a)a

    y = f(a)x + f(a) - f(a)a y - f(a) = f(a)x - f(a)a

    y-f(a)=f(a)(x-a)Equaci de la recta tangent en x=a

  • Coneguts dos punts de la recta

    tangent puc calcular la seva equaci

    (1,-1)

    (3,2) y=mx+nPassa per (1,-1)

    -1=m+n

    Passa per (3,2)2=m3+n

    Resolent el sistema:

    y= 3/2 x-5/2

    Daquesta manera f(3)=3/2

  • El que hem fet abans, s molt

    llarg, doncs el que noms ens

    interessa saber s la m. Per calcular-la hi ha una manera

    molt ms senzilla:

    (1,-1) )=(x0,y0)

    (3,2)=(x1,y1)

    Daquesta manera obtenim igualment que f(3)=3/2

    1 0

    1 0

    2 ( 1) 3

    3 1 2

    y ym

    x x

    - - -= = =

    - -

  • 1 0

    1 0

    y ym

    x x

    -=

    -

    1 0

    1 0

    ( ) ( )f x f xm

    x x

    -=

    -

    O el que s el mateix :

  • Per com calculem el pendent daquesta recta, s a dir la derivada f(a), si noms coneixem el punt de tangncia ?

    A(a,f(a))

    Recta t

  • Ens situem sobre leix OX en a, labscissa del punt A de tangncia, i ens desplacem cap a la dreta o cap a lesquerra una distncia h. Tenim

    aix el punt x = a+h sobre leix OX i el seu corresponent punt de la grfica P ((a+h), f(a+h))

    A(a,f(a))

    Recta t

    a a+h

    P(a+h,f(a+h))

  • A(a,f(a))

    Recta t

    a a+h

    P(a+h,f(a+h))

    Calculem el pendent de la recta secant AP amb les

    coordenades dels dos punts A y P.

    h

    f(a+h)-f(a)

    ( ) ( ) ( ) ( )f a h f a f a h f am

    a h a h

    + - + -= =

    + -

    Si anomenem m el pendent de la

    recta secant , tenim que m s :

  • Si h s molt petit, a+h est molt a prop da. Daquesta forma, les rectes secants s van apropant a ser la recta tangent

    A

    a a+h

    P

    h 0

  • Aa a+h

    P

    h 0

    P est molt prxim a A

    La secant AP gaireb es confon amb la tangent tEl pendent de la secant AP s gaireb el pendent de t

    Ara b, el valor d h no pot ser 0, tot i que s que pot ser tan petit

    com es vulgui. I aqu interv el

    concepte de lmit

  • Aa a+h

    P

    P est molt prxim a A

    La secant AP gaireb es confon amb la tangent tEl pendent de la secant AP s gaireb el pendent de t i recordem que el pendent de les

    rectes secants s m on

    Aix doncs la derivada s un nmero que sobt mitjanant un lmit

    ( ) ( ) ( ) ( )f a h f a f a h f am

    a h a h

    + - + -= =

    + -

    I... f(a)= Pendent de la recta tangent en x = a

  • Exemple : Calcula la derivada de f(x)= x2/4 per a x=2

    0

    (2 ) (2)'(2) lim

    h

    f h ff

    h

    + -=

    ( )2

    22

    2 4 4(2 ) 1 0,25

    4 4

    (2) 1

    h h hf h h h

    f

    + + + + = = = + + =

  • * El pendent de la recta tangent a

    la funci en el punt x=2 s 1. Per

    tant, la recta tangent a la meva

    funci en x=2 es:

    '(2) 1f =f(x)=x2/4

    ( ) '( )( )y f a f a x a= + -

    1 1( 2)y x= + -

    1y x= -

    * A ms, com que la derivada s

    +, aix ens indica que al voltant

    de x=2 la funci s creixent.

    (x0,y0) y=y0+m(x-x0)y - f(a) = f(a)(x-a)

  • http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/derivades/tvmderi/TVMDeripag.html

  • Caiguda lliure dun cos : Velocitats mitjana i instantnia. Introducci a la derivada en un punt

    http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/derivades/caiguda/Caigudapag.html

  • Taxa de Variaci Mitjana Observeu la relaci que hi ha entre la Taxa de Variaci Mitjana (TVM), el pendent de la recta

    secant i la tangent de l'angle que forma aquesta recta amb l'horitzontal.

    http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/derivades/tvm/TVMpag.html

  • Interpretaci geomtrica de la derivada en un puntFixat el punt (a , 0), ( en el dibuix (1,0) ). Arrossegueu el punt (x , 0), en el grfic (5,0) cap a (1,0) i

    observeu que els pendents (taxes de variaci mitjanes o TVM) de les successives rectes secants

    tendeixen al pendent de la recta tangent per a x = a, que s f'(a). Aix per x=1 tenim que el pendent de

    la recta tangent ser f(1) http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/derivades/tvmderi/TVMDeripag.html

  • Definici de funci derivada

    Si desplaceu el punt lliscant b, es mou el punt A. Si activeu el tra del punt P, s'anir dibuixant la funci derivada

    a partir dels pendents de la recta tangent en cada punt de la corba. Tamb podeu fer visible tota la funci

    derivada activant la casella corresponent.

    http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/derivades/funderi/FuncDeripag.html

  • http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/derivades/pujabaixa/BiciPujaBaixapag.html

    Pujades i baixades: La relaci entre la grfica d'una funci i la de la seva derivada

  • No !! Hi ha una taula amb la que pots trobar la derivada

    sense calcular lmits, per aquestes expressions

    provenen del pas al lmit anterior

  • La funci La derivada

    Regla del producte per

    una constant

    f(x)=kg(x) f(x)=kg(x)

    Regla de la suma f(x)=g(x)+h(x) f(x)=g(x)+h(x)

    Regla del producte f(x)=g(x)h(x) f(x)=g(x)h(x)+g(x)h(x)

    Regla del quocient

    Regla de la cadena f(x)=g(h(x)) f(x)=g(h(x))h(x)

  • Exemples :

    Exemples :

  • Exemple :

    Exemple:

  • Exemple :

    La regla de la cadena

  • Derivem f(x)=Ln(2x)

  • http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/derivades/grafunderi/funcideripag.html

    Grfiques d'una funci i de la seva derivada

  • Funcions no derivables : No totes les funcions sn derivables, almenysno ho sn en tots els seus punts. Un exemple tpic s la funci valor absolut

    http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/derivades/noderi/noderivablepag.html

  • Els teus DESITJOS sn

    ordres per mi !!!

  • En clcul, el Teorema de Taylor nom del matemtic britnic Brook Taylor, qui el va enunciar

    al 1712.

    Aquest teorema permet aproximar una funci derivable en l'entorn redut al voltant d'un punt a

    mitjanant un polinomi els coeficients del qual depenen de les derivades de la funci en aquest

    punt.

    Com ms gran s el valor de n, ms b aproximar el polinomi de Taylor a la funci.

    En termes matemtics: Si n0 s un enter i f una funci que s derivable n vegades en l intervaltancat [a, x] i n+1 en l'interval obert (a, x), llavors es compleix que:

  • http://www.xtec.cat/~jbujosa/GeoGebra/derivades/taylor/Taylorpag.html

  • En un entorn petit del punt a, la funci f(x) es comporta com el polinomi de grau 1 segent, que ser la recta

    tangent de la funci en x=a