verovatnoca i statistika i deo. verovatnoca beleške prof

Download Verovatnoca i Statistika I deo. Verovatnoca Beleške Prof

Post on 31-Jan-2017

235 views

Category:

Documents

6 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Verovatnoca i Statistika

    I deo. Verovatnoca

    Beleske Prof. Aleksandra Ivica

    0.1 Slucajni doga -daji i osnovni pojmovi verovatnoce

    Matematicka teorija verovatnoce je grana ciste matematike. Teorija verovatnoce se baviizucavanjem zakonitosti raznih slucajnih procesa i doga -daja. Kao i u svakoj matematickojdisciplini i ovde se polazi od skupa nedefinisanih objekata, a zatim se pomocu odre -denih ak-sioma razvija matematicka teorija koja odgovara nasem intuitivnom poimanju verovatnoce.Dalje, Teorija verovatnoce je polazna osnova za Matematicku Statistiku, jednu od oblastimatematike sa najvise primena. Matematicka Statistika cini drugi deo ovih beleski. Osnovnipojam u teoriji verovatnoce (koji se kao takav ne definise) je elementaran doga -daj, a skupmogucih ishoda (realizacija) nekog opita ili pojave nazivamo skup elementarnih doga -daja ioznacavamo sa Q. Slucajan doga -daj A je neki podskup Q i sadrzi sve elementarne doga -dajekoji imaju svojstvo kojim se A definise. Doga -daj Q je siguran (ili izvestan) doga -daj, a prazanpodskup (u oznaci , tj. skup bez elemenata) je nemoguc doga -daj.

    Ako su A1 i A2 doga -daji, onda je i A1 A2 (unija doga -daja) tako -de doga -daj koji serealizuje kada se realizuje barem jedan od doga -daja A1, A2. Tako -de

    i=1

    Ai = A1 A2 A3

    je doga -daj ako su A1, A2, . . . doga -daji.Ako su A1 i A2 doga -daji, onda je A1A2 (presek doga -daja) tako -de doga -daj koji se realizuje

    ako se realizuje istovremeno i doga -daj A1 i doga -daj A2. Doga -daji A1 i A2 su disjunktni akoje A1 A2 = , tj. A1 i A2 nemaju zajednickih elemenata.

    Razlika dva doga -daja A1 i A2 (u oznaci A1\A2) je doga -daj koji se realizuje ako se realizujedoga -daj A1, a ne realizuje doga -daj A2.

    Svakom doga -daju A moze da se dodeli suprotan doga -daj A, koji se realizuje ako se A nerealizuje.

    Primer 1Kocka cije su strane oznacene od 1 do 6 baca se jedanput. Eksperiment se sastoji u

    bacanju kocke. Elementarni doga -daji ovog eksperimenta su

    1 = pad jedinice, 2 = pad dvojke, . . . , 6 = pad sestice.

    Skup elementarnih doga -daja Q je Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Neka je A = pad parnogbroja, B = pad neparnog broja, C = pad broja veceg od 4, tada je

    A = {2, 4, 6}, B = {1, 3, 5}, C = {5, 6},

    1

  • a na osnovu gornjih definicija je

    A = {1, 3, 5} = B, B C = {5},B C = {1, 3, 5, 6}, A B = Q.

    Svakom elementu A iz Q dodeljuje se jedan realan broj koji se oznacava sa P (A) i zove severovatnoca slucajnog doga -daja A. Za verovatnocu P (A) uvek vazi 0 P (A) 1, pri cemuje P () = 0 i P (Q) = 1, tj. nemoguc i siguran doga -daj imaju verovatnoce 0 odnosno 1, sto jeuostalom u skladu sa nasim intuitivnim predstavama o verovatnoci. Dalja osobina kojom sedefinise verovatnoca je

    P (A1 A2) = P (A1) P (A2), (zaA1 A2 = ),

    odakle je

    P (A1 A2 An) = P (A1) + P (A2) + + P (An),(zaAi Aj = , 1 i 6= j n).

    Tako -de slediP (A) P (B), ako je A B,

    tj. ako je A podskup (sadrzano u) B. Vazi i

    P (A) = 1 P (A), P (A B) = P (A) + P (B) P (A B).

    Dokaz prve relacije je:B = B (B\A), A (B\A) = ,

    pa je stogaP (B) = P (A) + P (B\A) P (A).

    Pored ove (tzv. aksiomatske) definicije verovatnoce, postoji i klasicna (tzv. Laplasova)definicija verovatnoce, koja se sastoji u sledecem. Neka je prostor elementarnih doga -daja,vezanih za dati eksperiment, sastavljen od elemenata {1, 2, . . . , n} koji imaju istu sansuda se realizuju, odnosno radi se o prostoru jednako verovatnih elementarnih doga -daja. Akose doga -daj A realizuje ako se realizuje m (bilo kojih) doga -daja k, onda je P (A) = m/n, tj.verovatnoca je uprosceno broj povoljnih ishoda podeljen brojem svih mogucih ishoda.

    Primer 2.1

    Neka je Q skup iz Primera 1. Kako se obicno pretpostavlja da se pri bacanju kockesvaki broj pojavljuje sa jednakom sansom, to je P (i) = 1/6 (i = 1, 2, . . . , 6). Ako se kockauzastopno baca tri puta onda je verovatnoca da se sva tri puta dobije 6 jednaka 1/216.Naime, broj mogucih (jednako verovatnih) doga -daja predstavljaju trocifreni brojevi cije sucifre brojevi od 1 do 6 (sto odgovara brojevima koji se dobijaju prilikom tri bacanja kocke)kojih ima ukupno 63 = 216, a jedini povoljan doga -daj je broj 666.

    Primer 2.2

    U preduzecu je zaposleno 8 ekonomista i 11 pravnika. Od njih se bira nasumce delegacijaod 5 clanova. Kolika je verovatnoca da se u delegaciji nalaze 3 ekonomiste i 2 pravnika?

    2

  • Moguci slucajevi su svi izbori 5 od ukupno 19 = 8+11 elemenata. Povoljni slucajevi suda se izaberu 3 od 8 ekonomista i 2 od 11 pravnika. Verovatnoca da se u delegaciji nalaze 3ekonomiste i 2 pravnika zato iznosi (11

    3

    )(82

    )(19

    5

    ) .

    Primer 2.3

    Cifre 0, 1, . . . , 9 pore -dane su na slucajan nacin u niz. Kolika je verovatnoca da nula ijedinica nisu susedne?

    Ukupan broj rasporeda je 10!. Neka je A doga -daj da nula i jedinica nisu susedne. Doga -dajA se realizuje kao svaka permutacija devet simbola X, 2, . . . , 9 ili Y, 2, . . . , 9, gde je X =01, Y = 10, jer samo tako su 0 i 1 jedno pored drugoga u nizu od 10 cifara. Takvih permutacijaima ukupno 9! + 9!, pa je

    P (A) =2 9!10!

    =15, P (A) = 1 P (A) = 4

    5.

    Doga -daji A i B su zavisni ako realizacija doga -daja A utice na verovatnocu realizacijedoga -daja B. Sa P (B|A) se oznacava verovatnoca doga -daja B pod uslovom da se realizovaodoga -daj A i ta verovatnoca se definise kao

    P (B|A) = P (A B)P (A)

    ,

    odakle jeP (A B) = P (A)P (B|A) = P (B)P (A|B).

    Doga -daji A i B su nezavisni ako je

    P (A B) = P (A)P (B).

    Ako je za doga -daje A1, A2, . . . , An zadovoljena relacija

    P (Ak1 Ak2 Akm) = P (Ak1)P (Ak2) . . . P (Akm) (1)

    za svaki skup indeksa {k1, k2, . . . , km} {1, 2, . . . , n} (2 m n), onda se za doga -dajeA1, A2, . . . , An kaze da su nezavisni u ukupnosti.

    Ako je Q = B1 B2 Bn, a doga -daji B1, . . . , Bn se me -dusobno iskljucuju (tj.Bi Bj = za 1 i 6= j n) onda je

    P (A) = P (A B1) + P (A B2) + + P (A Bn).

    Dalje vaziA = A Q = A (B1 . . . Bn) = (A B1) . . . (A Bn)

    po zakonu distributivnosti za skupove. Kako su skupovi

    A B1, . . . , A Bn

    3

  • disjunktni, to se dobija

    P (A) = P (B1)P (A|B1) + P (B2)P (A|B2) + + P (Bn)P (A|Bn), (2)

    sto se naziva formula totalne verovatnoce. Kako je

    P (Bi|A) = P (Bi A)P (A)

    =P (Bi)P (A|Bi)

    P (A),

    onda ako se iskoristi (2), dobija se za i = 1, . . . , n

    P (Bi|A) = P (Bi)P (A|Bi)P (B1)P (A|B1) + P (B2)P (A|B2) + + P (Bn)P (A|Bn) , (3)

    sto je poznato u literaturi kao tzv. Bajesova formula.

    Primer 3.1 Ako su B1, B2 proizvoljni doga -daji i P (A) > 0, pokazati da je

    P ((B1 B2)|A) = P (B1|A) + P (B2|A) P ((B1 B2)|A) .

    Na osnovu definicije uslovne verovatnoce vazi

    P ((B1 B2)|A) = P ((B1 B2) A)P (A)

    =P ((B1 A) (B2 A))

    P (A)

    =P (B1 A) + P (B2 A) P ((B1 B2) A)

    P (A)= P (B1|A) + P (B2|A) P ((B1 B2)|A) .

    Primer 3.2

    Posmatrajmo tri ormana od kojih svaki ima dve fioke. Prvi orman sadrzi po zlatan novcicu svakoj fioci, drugi orman u jednoj fioci sadrzi srebrni novcic, a u drugoj zlatan, a treciorman u svakoj fioci sadrzi po srebrni novcic. Nasumice je odabran orman i otvorena jednafioka. Ako ta fioka sadrzi zlatan novcic, kolika je verovatnoca da i druga fioka istog ormanasadrzi tako -de zlatan novcic?

    Neka su A1, A2, A3 doga -daji koji oznacavaju izbor prvog, drugog odnosno treceg ormana,a B doga -daj da je iz fioke izvucen zlatan novcic. Nas ustvari interesuje P (A1|B), jer samoprvi orman sadrzi i u drugoj fioci zlatan novcic. Iz postavke zadatka je P (A1) = P (A2) =P (A3) = 1/3, P (B|A1) = 1, P (B|A2) = 1/2, P (B|A3) = 0, pa (3) daje

    P (A1|B) = P (A1)P (B|A1)P (A1)P (B|A1) + P (A2)P (B|A2) + P (A3)P (B|A3) =

    23.

    Primer 4.1

    Neka je u preduzecu zaposleno 60% muskaraca i 40% zena, i neka fakultetsko obrazovanjeima 60% muskaraca i 55% zena. Kolika je verovatnoca da je nasumce odabrana osoba, zakoju se zna da ima fakultetsko obrazovanje, zena?

    4

  • Neka je F doga -daj da osoba ima fakultetsko obrazovanje, M da je muskarac, a Z da jezena. Trazi se

    P (Z|F ) = P (Z F )P (F )

    =P (F |Z)P (Z)

    P (F |M)P (M) + P (F |Z)P (Z) ,

    jer jeM Z = Q, F = F Q = F (M Z) = (F M) (F Z).

    Kako je P (M) = 3/5, P (Z) = 2/5, P (F |M) = 3/5, P (F |Z) = 0, 55, to sledi

    P (Z|F ) = 1129

    = 0, 379310 . . . .

    Primer 4.2

    Neka se stanovnistvo grada sastoji od 40% muskaraca i 60% zena. Neka 50% muskaracai 30% zena pusi. Kolika je verovatnoca da je nasumce odabran pusac muskarac?

    Neka je M doga -daj da je izabrana osoba muskarac, a Z da je zena. Neka P oznacavapusaca, a N nepusaca. Date informacije su:

    P (P |M) = 0, 5, P (P |Z) = 0, 3, P (M) = 0, 4, P (Z) = 0.6.

    Tada jeP (P ) = P (P M) + P (P Z).

    Ali P (P Z) = P (Z)P (P |Z) = 0, 18, P (M P ) = P (M)P (P |M) = 0, 2, tako da je P (P ) =0, 38 i najzad

    P (M |P ) = P (M P )P (P )

    =0, 20, 38

    = 0, 5263 . . . .

    0.2 Diskretne slucajne promenljive

    Diskretna slucajna promenljiva X nad skupom elementarnih doga -daja Q (prostorom verovatno-ce) je funkcija koja svakom slucajnom doga -daju A iz Q dodeljuje jedan od brojeva x1, x2, x3, . . . ,pri cemu su xi realni brojevi kojih ima prebrojivo mnogo. Tada je funkcija f definisana nadskupom realnih brojeva pomocu f(x) = P (X = x) ( zax R funkcija gustine diskretneslucajne promenljive X. Ocigledno je f(x) = 0 ako x nije jedan od brojeva x1, x2, x3, . . . , askup { : X() = x} je slucajan doga -daj za x R.

    Primer 5

    Neka novcic pada pismo (P ) sa verovatnocom p, a glava (G) sa verovatnocom 1 p.Recimo da za svaki pad P dobijamo dinar, a za svaki pad G placamo (gubimo) dinar.