tema4 oscilaciones pequeñas

Curso 2006-2007

Universidad ComplutenseJJ J N I II 1/23JJ J N I II 1/23

Tema 4Oscilaciones pequeñas

Curso 2006-2007


Ejemplo introductorio

Tres muelles de longitud natural l ydos masasm que se mueven sobre unarecta horizontal. La separación entrelas paredes es 3l. El sistema tiene dosgrados de libertad

T =1

2m(x′21 + x′22

)V =

1

2k(x′1 − l

)2+

1

2k(x′2 − x′1 − l

)2+

1

2k(3l − x′2 − l)2(

∂V

∂x′i

)eq= 0 =⇒ x′01 = l y x′02 = 2l

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Definimos las posiciones respecto al equilibrio xi ≡ x′i − x′0i.

L = T − V =1

2m(x21 + x2

2

)− k

(x21 − x1x2 + x2

2

)=⇒

mx1 + 2kx1 − kx2 = 0

mx2 + 2kx2 − kx1 = 0

Introducimos la siguiente notación matricial

K = k

(2 −1−1 2

)M = m

(1 00 1

)~q =

(x1

x2

)

L =1

2~q tM~q +

1

2~q tK~q

M~q + K~q = 0 −→ ~q = C ~A cos(ωt + δ)

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(K − ω2M

)· ~A = 0 det |K − ω2M | = 0 =⇒

{ω21 = k/m

ω22 = 3k/m

donde ωi son las frecuencias normales.

Solución general cuando imponemos la condición ~AtiM

~Aj = δij :

~q =2∑i=1

Ci~Ai cos(ωit + δi) ~A1 =

1√2m

(11

)~A2 =

1√2m

(1−1

)

Sea A la matriz cuyas filas son las componentes de los vectores ~Ai, es decir,Aij es la componente j del vector ~Ai

A =1√2m

(1 11 −1

)

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Coordenadas normales : Qi ≡ Ci cos(ωit + δi) =⇒ Qi + ω2iQi = 0

x1 =1√2m

(Q1 +Q2)

x2 =1√2m

(Q1 −Q2)

=⇒Q1 =

√m2 (x1 + x2)

Q2 =√m2 (x1 − x2)

=⇒ ~Q = AM~q

Lagrangiano en coordenadas normales :

L =1

2

(Q2

1 + Q22

)− 1

2

k

m

(Q2

1 + 3Q22

)

L =1

2~Q tI ~Q− 1

2~Q tω2 ~Q I ≡

(1 00 1

)ω2 ≡

(ω21 00 ω2

2

)Las matrices ahora son diagonales y las coordenadas son independientes.

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Tratamiento general

Energía potencial

Sistema natural con n grados de libertad (q′1, . . . , q′n) y al menos una con-

figuración de equilibrio estable q′01, . . . , q′0n:(

∂V

∂qk ′

)eq

= 0

Desarrollamos el potencial en torno a ~q ′0 con V (~q ′0) ≡ 0

V (~q ′) =n∑k=1

(∂V

∂q′k

)eq

(q′k− q′0k) +1

2

n∑k=1

n∑l=1

(∂2V

∂q′k∂q′l

)eq

(q′k− q′0k)(q′l− q′0l)

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El primer es nulo por la condición de equilibrio. Haciendo el cambio qk ≡q′k − q′0k y definiendo la matriz

Kkl ≡(∂2V

∂q′k∂q′l

)eq

=⇒ V (~q) =1

2

n∑k=1

n∑l=1

Kklqkql

La matriz K es simétrica y definida positiva (Kll > 0 y todos los determi-nantes hasta orden n× n son también positivos).

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Energía cinética

Como el sistema es natural

T =1

2

n∑k=1

n∑l=1

M ′kl(~q

′)q′kq′l

donde q′l = ql.

M ′kl(~q

′) 'M ′kl(~q

′0) =

(∂2T

∂q′k∂q′l

)eq

≡Mkl

No es necesario tener en cuenta términos de orden superior en el desarrollode M ′

kl(~q′). Dichos términos dan lugar a contribuciones de tercer orden

o superior cuando se introducen en la expresión de T , puesto que debenmultiplicarse por términos de segundo orden de la forma q′kq

′l.

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Lagrangiano y ecuaciones del movimiento

L =1

2

n∑k=1

n∑l=1

(Mklqkql −Kklqkql) =⇒ M~q + K~q = 0

Introduciendo la solución ~qk = Ck~Ak cos(ωkt + δk) tenemos(

K − ω2kM)· ~Ak = 0 =⇒ det |K − ω2

kM | = 0

Frecuencias normales : M−1K ~Ak = ω2k~Ak k = 1, 2, . . . n

Algo de álgebra elemental

M = OD(µ1, . . . , µn)Ot M 1/2 = OD(√µ1, . . . ,√µn)Ot

M−1/2 = OD(1/√µ1, . . . , 1/√µn)Ot

M 1/2 y M−1/2 son simétricas.

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La matrizM−1/2KM−1/2

es simétrica y definida positiva.(M−1/2KM−1/2

)~Bk = ω2

k~Bk

~Bk ≡ M 1/2 ~Ak

ω2k > 0 y los vectores ~Bk son ortogonales dos a dos.

~Btk · ~Bj = δkj =⇒ ~At

k · M · ~Aj = δkj

de donde resulta que

δkj =n∑r=1

n∑s=1

AkrMrsAjs =n∑r=1

n∑s=1

AkrMrsAtsj =⇒ AMAt = I

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Modos y coordenadas normales

La solución general es

~q =n∑k=1

Ck~Ak cos(ωkt + δk)︸︷︷︸

Modo normal

=⇒ qi(t) =n∑k=1

CkAki cos(ωkt + δk)

Coordenadas normales : Qk(t) = Ck cos(ωkt + δk) , Ck, δk constantes.

qi(t) =n∑k=1

QkAki =⇒ ~q = At ~Q =⇒ ~Q = AM~q

Evidentemente verifican Qk + ω2kQk = 0 , k = 1, 2, . . . n

Cuando existe una frecuencia normal nula se dice que se trata de un modode traslación, y entonces Qk = αt + β.

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Energía cerca del equilibrio

Como ~q = At ~Q tendremos

E =1

2~q tM~q +

1

2~q tK~q =

1

2~Q t AMAt︸︷︷︸

1

~Q +1

2~Q t AKAt︸︷︷︸

ω2

~Q

Tenemos que encontrar la matriz ω2. Definimos S ≡(At)−1

,

ω2 =(AMAt

)SM−1KAt

De la ecuación de autovalores M−1K ~Ak = ω2k~Ak, de donde

n∑s=1

(M−1K

)rsAks = ω2

kAkr

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Multiplicando por Srj y sumando para todos los valores de r

n∑r=1

n∑s=1

Sjr(M−1K

)rs

(S−1

)sk= ω2

k

n∑r=1

Sjr(S−1

)rk︸︷︷︸

δjk

Por tanto,ω2 = D(ω2

1, . . . ω2n)

de manera que la energía se escribe como

E =1

2~Q t ~Q +

1

2~Q tω2 ~Q =

1

2

n∑k=1

(Q2k + ω2

kQ2k

)n osciladores armónicos independientes.

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Molécula lineal triatómica

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Las energias cinética y potencial son

T =1

2m(x′21 + x′23

)+

1

2M x′22

V =1

2k (x′2 − x′1 − l)

2+

1

2k (x′3 − x′2 − l)

2

Configuración de equilibrio estable

x′01 = arbitrario x′02 = x′01 + l x′03 = x′01 + 2l

Definimos xi = x′i − x′0i

L =1

2m(x21 + x2

3

)+

1

2M x2

2 −1

2k[(x2 − x1)

2 + (x3 − x2)2]

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Las matrices requeridas son

M =

m 0 00 M 00 0 m

K =

k −k 0−k 2k −k0 −k k

La condición det |K − ω2

kM | = 0 nos permite obtener

ω21 =

k

mω22 =

k

m

(1 +

2m

M

)ω23 = 0

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Mediante la relación(K − ω2

kM)· ~Ak = 0 obtenemos

~A1 =1√2m

10−1

~A2 =

√M

2m(2m +M)

1

−2mM1

~A3 =

1√2m +M

111

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Los modos normales son los siguientes:

Modo k = 1: x1 = −x3 y x2 = 0.

Modo k = 2: x1 = x3 = −(M/2m)x2.

Modo k = 3: x1 = x2 = x3 = αt + β.

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Las coordenadas normales son las siguientes:

X1

X2

X3

= A M

x1

x2

x3

=⇒

X1 =

√m2 (x1 − x3)

X2 =

√mM

2(2m +M)(x1 − 2x2 + x3)

X3 =√2m +M xcm

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Vibraciones forzadas

Aquí r(t) es una función conocida. El Lagrangiano es

L =1

2m(x21 + x2

2

)− k

[(r − x2)

2 + (x2 − x1)2 + x2

1

]Ecuaciones del movimiento, con α2 ≡ k/m

x1 + 2α2x1 − α2x2 = 0

x2 + 2α2x2 − α2x1 = α2r(t)

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La solución del sistema homogéneo (r = 0) es(xo1

xo2

)= C1

(1−1

)cos(√3αt + δ1) + C2

(11

)cos(αt + δ2)

Entrada escalón

r(t) = Rθ(t) θ(t) =

{0 t ≤ 01 t > 0

Una solución particular es xp1 = R/3 y xp

2 = 2R/3. Utilizando las condicio-nes iniciales x1(0) = x2(0) = 0 y x1(0) = x2(0) = 0 resulta que la soluciónpara t > 0 es

x1(t) =R

3+R

6cos(√3αt)− R

2cos(αt)

x2(t) =2R

3− R

6cos(√3αt)− R

2cos(αt)

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Pulsaciones

Frecuencias normales:ω21 = (2k′ + k)/m y ω2

2 = k/m.

Condiciones de contorno:x1(0) = x0, x2(0) = 0x1(0) = x2(0) = 0.

x1(t) =x0

2[cos(ω1t) + cos(ω2t)] = x0 cosω+t cosω−t

x2(t) = − x0

2[cos(ω1t)− cos(ω2t)] = x0 senω+t senω−t

siendo ω± = (1/2) (ω1 ± ω2).

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Si ocurre que el acoplamiento entre las masas es débil (k′ � k) tendremosque ω+ '

√k/m y ω− ' (k′/2k)ω+ � ω+.

La energía se transfiere de unapartícula a otra en un tiempoigual a T/4 = π/2ω−.Descargue una animación en formato GIF

y la hoja de trabajo de Maple empleada

para generarla

http://material.fis.ucm.es/mecanica/documentos/motion.gif

http://material.fis.ucm.es/mecanica/documentos/motion.mw

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