limit kontinuitas -...

UNIVERSITAS GUNADARMA


LIMIT &

KONTINUITAS

Oleh

Nuryanto, ST., MT

Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT



11)(

2

xxxf

2

3.1 Limit Fungsi di Satu Titik

Pengertian limit secara intuisi

Perhatikan fungsi

Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1

Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1, seperti pada tabel berikut

x

f(x)

0.9 0.99 0.999 1.11.011.0010.9999 1.00011

?1.9 1.99 1.999 1.9999 2.0001 2.001 2.01 2.1




3

1

º2

x x

f(x)

f(x)

Secara grafik

Dari tabel dan grafik disampingterlihat bahwa f(x) mendekati 2jika x mendekati 1

Secara matematis dapat dituliskanSebagai berikut

211lim

2

1

xx

x

Dibaca “ limit dari untuk x mendekati1 adalah 2 1

12

xx

Definisi(limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa berarti bahwa

Lxfcx

)(limbilamana x dekat, tetapi berlainan dengan c, maka f(x) dekat ke L




2)2)(12(lim

2232lim

2

2

2

x

xxx

xxxx

512lim2

xx

33

39lim

39lim

99

xx

xx

xx

xx 9)3)(9(lim

9

x

xxx

4

853lim1

xx

Contoh

1.

2.

63lim9

xx

3.

4. )/1sin(lim0

xx

Ambil nilai x yang mendekati 0, seperti pada tabel berikut

x

)/1sin( x/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2 7/2 8/2

1 0 -1 0 1 0 -1 0

0

?

Dari tabel terlihat bahwa bila x menuju 0, sin(1/x) tidak menuju kesatu nilai tertentu sehingga limitnya tidak ada




5

Lxfcx

)(lim |)(|||00,0 Lxfcx

Definisi limit

jika

c

º

Untuk setiap 0

L

c

ºL

L

L

Terdapat sedemikian sehingga 0

c

ºL

||0 cx |)(| Lxf

c c c

ºL




)(lim xfcx

LxfLxfLxfcxcxcx

)(limdan)(lim)(lim

6

Limit Kiri dan Limit Kanan

cxJika x menuju c dari arah kiri (dari arahbilangan yang lebih kecil dari c, limit disebutlimit kiri,

)(lim xfcx

Jika x menuju c dari arah kanan (dari arahbilangan yang lebih besar dari c, limit disebutlimit kanan,

c x

Hubungan antara limit dengan limit sepihak(kiri/kanan)

notasi

notasi

Jika )(lim xfcx

)(lim xfcx

maka tidak ada )(lim xfcx




)(lim1

xfx

)(lim2

xfx

7

1,210,0,

)(2

2

xxxxxx

xf

)(lim0

xfx

Contoh Diketahui

a. Hitung

d. Gambarkan grafik f(x)Jawab

a. Karena aturan fungsi berubah di x=0, maka perlu dicari limitkiri dan limit kanan di x=0

c. Hitung

b. Hitung) Jika ada

1.




0)(lim0

xfx

)(lim2

xfx

8

)(lim0

xfx

0lim 2

0

x

x

)(lim0

xfx

0lim0

xx

b. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limitkiri dan limit kanan di x=1

)(lim1

xfx

1lim1

xx

)(lim1

xfx

32lim 2

1

x

x

11lim)(limxx

xf )(lim1

xfx

62lim 2

2

x

x

Karena Tidak ada

c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x=2, maka tidak perlu dicari limitkiri dan limit kanan di x=2




22)( xxf

9

d.

Untuk x 02)( xxf

Grafik: parabola

Untuk 0<x<1

f(x)=x

Grafik:garis lurus

Untuk 1

Grafik: parabola

1

3

º

di x=1 limit tidakada




10

2. Tentukan konstanta c agar fungsi

1,1,3

)( 2 xcxxcx

xf

mempunyai limit di x=-1

Jawab

Agar f(x) mempunyai limit di x=-1, maka limit kiri harus sama denganlimit kanan

)(lim1

xfx

ccxx

33lim1

)(lim1

xfx

ccxx

1lim 2

1

Agar limit ada 3+1c=1-c

C=-1




11

)(lim3

xfx

)(lim1

xfx

)(lim1

xfx

)(lim1

xfx

)(lim1

xfx

A. Diberikan grafik suatu fungsi f seperti gambar berikut .

Cari limit /nilai fungsi berikut, atau nyatakan bahwa limit /nilaifungsi tidak ada.

f(-3)

f(-1)

f(1)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Soal Latihan




12

Soal Latihan

1,2

1,1)(

2

2

xxxxx

xf

)(lim1

xfx x

f x 1lim ( )

xf x

1lim ( )

xxxg 32)(

xg x

2lim ( )

xg x

2lim ( )

xg x

2lim ( )

22

)(

xx

xf

xf x

2lim ( )

xf x

2lim ( )

xf x

2lim ( )

1. Diketahui :

a.Hitung dan

b. Selidiki apakah ada, jika ada hitung limitnya

2. Diketahui , hitung ( bila ada ) :

3. Diketahui , hitung ( bila ada )

a. b. c.

a. b. c.

B.




LGxgxfxgxfaxaxax

)(lim)(lim)()(lim

0,)(lim

)(lim

)()(lim

Gbila

GL

xg

xf

xgxf

ax

axax

nnax

nax

Lxfxf

)(lim)(lim

13

GxgLxfaxax

)(limdan)(lim

GLxgxfxgxfaxaxax

)(lim)(lim)()(lim

Sifat limit fungsiMisal

(limit dari f , g ada dan berhingga)

maka

2.

3.

4. n

ax

n

axxfxf ))(lim())((lim

,n bilangan bulat positif

5. bila n genap L harus positif

1.




222 )1(1

1sin)1()1(

xx

xx

)()()( xhxgxf

01

1sin)1(lim 2

1

xx

x 14

LxhLxfcxcx

)(limserta)(lim

Lxgcx

)(lim

11sin)1(lim 2

1

xx

x

Prinsip Apit

Misal untuk x disekitar c dan

maka

Contoh Hitung

Karena 1)1

1sin(1

x

dan 0)1(lim 2

1

x

x0)1(lim, 2

1

x

x

maka




15

Limit Fungsi Trigonometri

1sinlim.10

x

xx

1coslim.20

xx

1tanlim.30

x

xx

Contoh

2.2

2tan5

4.4

4sin3lim

2tan54sin3lim

00

xx

xx

xxxx

xx

2.

22tanlim5

4.4

4sinlim3

0

0

xx

xx

x

x

37

2.2

2tanlim5

4.4

4sinlim3

02

04

xx

xx

x

x

x 0 ekivalen dgn 4x 0




16

Soal Latihan

tt

t sin1coslim

2

0

ttt

t sec2sincotlim

0

tt

t 23tanlim

2

0

tttt

t sec43sinlim

0

Hitung

1.

2.

3.

4.

xx

x 2sintanlim

05.




atasarahdari0)(dan0jika,)( xgLi

17

Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga

Limit Tak Hingga

maka,0)(limdan0)(limMisal

xgLxfaxax

)(

)(lim

xgxf

ax

bawaharahdari0)(dan0jika,)( xgLii

bawaharahdari0)(dan0jika,)( xgLiiiatasarahdari0)(dan0jika,)( xgLiv

Ctt : g(x) 0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x)positif.

g(x) 0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x)negatif.




021lim 2

1

x

x

11lim 2

2

1 xx

x 18

Contoh Hitung

11lim

2

1

xx

xa.

11lim 2

2

1

xx

x xx

x sinlim

b. c.

Jawab

a. 021lim 2

1

x

x,g(x)=x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karena x 1 dari kiri berarti x lebih kecil dari 1, akibatnyax-1 akan bernilai negatif

Sehingga

11lim

2

1 xx

x

b. akan menuju 0 dari arah atas, karena x -1 dari kiri berarti x lebih kecil dari -1, tapibilangan negatif yang lebih kecil dari -1 jika dikuadratkan lebih besar dari 1 sehingga bernilai positif

1)( 2 xxg

12 x

Sehingga




0lim

xx

x

xx sinlim

19

c.

danf(x)=sinx

x

Jika x menuju dari arah kanan maka nilai sinx menuju 0 dari arahbawah(arah nilai sinx negatif)

sehingga

Karena




Lxfx

)(lim

20

Limit di Tak Hingga

a. jika |)(|00 LxfMxM

atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hingga

L

x

Contoh Hitung

4252lim 2

2

xxx

x

Jawab

)2()1(

lim2

2

42

522

x

xx

x xx

4252lim 2

2

xxx

x2

2

42

521lim

x

xxx

= 1/2




21

Lxfx

)(lim jika |)(|00 LxfMxM

atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga

b.

L

x

Contoh Hitung

4252lim 2

x

xx

4252lim 2

x

xx

Jawab

)2()(

lim2

2

42

522

x

xx

x xx

)2()(

lim2

2

4

52

x

xx

x

= 0




xxxx

3lim 2)

33(3lim

2

22

xxxxxxxxx

x

22

Contoh Hitung

xxxx

3lim 2

Jawab :Jika x , limit diatas adalah bentuk ( )

xxxxxx

x

33lim

2

22

xxxx

x

33lim

2

xxx

xx

x

x

)1()1(lim

2312

3||2 xx

xxx

xx

xx

2

31

3

1)1(

lim

21

)11(1lim

231

3

xx

xx




23

Soal Latihan

limx

xx

3

33

limx x 2 2

3

4

)1(lim xxx

limx

xx 1 2

11lim

2

xx

x

limx

x xx

2

1

.

Hitung

1.

2.

3.

4.

5.

6.




ada)(lim xfax

)()(lim afxfax

24

Kekontinuan Fungsi

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika

(i) f(a) ada

(ii)

(iii)

Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka f dikatakantidak kontinu di x=a

a

(i)

º f(a) tidak ada

f tidak kontinu di x=a




25

a

(ii)

1L2L

Karena limit kiri(L1) tidaksama dengan limit kanan(L2)maka f(x) tidak mempunyai limitdi x=a

Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a

(iii)

a

●

º

f(a) f(a) ada

)(lim xfax

L ada

Tapi nilai fungsi tidak sama denganlimit fungsi

Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a




26

(iv)

a

f(a)

f(a) ada

)(lim xfax

ada

)()(lim afxfax

f(x) kontinu di x=2

Ketakkontinuan terhapus

Ketakkontinuan kasus (i) bisa dihapusdengan cara mendefinisikan nilai fungsidititik tersebut = limit fungsia

º




27

contoh

Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkanalasannya

24)(

2

x

xxf

2,3

2,24

)(2

x

xxx

xfa. b.

2,12,1

)( 2 xxxx

xfc.

Jawab :

a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0) f(x) tidak kontinudi x=2

b. - f(2) = 3

42lim)2(

)2)(2(lim24lim

22

2

2

x

xxx

xx

xxx

)2()(lim2

fxfx

-

-

Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) tidakkontinu di x=2




28

c. 312)2( 2 f-

- 31lim)(lim22

xxfxx

31lim)(lim 2

22

xxf

xx

3)(lim2

xfx

)2()(lim2

fxfx

-

Karena semua syarat dipenuhi f(x) kontinu di x=2




29

Kontinu kiri dan kontinu kanan

Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a jika

)()(lim afxfax

Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a jika

)()(lim afxfax

Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=a

Contoh : Tentukan konstanta a agar fungsi

2,1

2,)( 2 xax

xaxxf

Kontinu di x=2




)2()(lim2

fxfx

1412)2( 2 aaf

30

Jawab :Agar f(x) kontinu di x=2, haruslah

f kontinu kiri di x=2

)2()(lim2

fxfx

aaxxfxx

2lim)(lim22

1412)2( 2 aaf

2 + a = 4a – 1-3a = -3

a = 1f kontinu kanan di x=2

141lim)(lim 2

22

aaxxf

xx

Selalu dipenuhi




31

1. Diketahui

1,221,1

)(2

xxxx

xf

selidiki kekontinuan fungsi f(x) di x = -1

Soal Latihan

2. Agar fungsi

2,321,

1,1)(

xxxbax

xxxf

kontinu pada R, maka berapakah a + 2b ?

3. Tentukan a dan b agar fungsi

2,42

2,2

4)(

2

xx

xx

bxaxxf

kontinu di x = 2




Kekontinuan pada interval

• Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila f(x) kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut.

• Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b ] bila :

32

1. f(x) kontinu pada ( a,b )

2. f(x) kontinu kanan di x = a

3. f(x) kontinu kiri di x = b

Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x R maka dikatakan f(x) kontinu ( dimana-mana ).




• Teorema 3.2• Fungsi Polinom kontinu dimana-mana• Fungsi Rasional kontinu pada Domainnya• Misalkan , maka

– f(x) kontinu di setiap titik di R jika n ganjil– f(x) kontinu di setiap R positif jika n genap.

Contoh : tentukan selang kekontinuan

Dari teorema diatas diperoleh f(x) kontinu untuk x-40 atau x4.

f(x) kontinu kanan di x=4

Sehingga f(x) kontinu pada [4, )

33

n xxf )(

4)( xxf

)4(04lim)(lim44

fxxfxx




34

f xx x

x( )

2 33

f xxx

( )

2

348

f xxx

( )| |

22

941)(2

xxxf

24)( xxxf

A. Carilah titik diskontinu dari fungsi

B. Tentukan dimana f(x) kontinu

Soal Latihan

1.

2.

3.

1.

2.




Limit dan Kekontinuan Fungsi Komposisi

• Teorema Limit Fungsi Komposisi:Jika dan f(x) kontinu di L, maka

• Teorema kekontinuan fungsi komposisi:Jika g(x) kontinu di a, f(x) kontinu di g(a), maka fungsi kontinu di a.Bukti

karena f kontinu di g(a)= f(g(a)) karena g kontinu di a= (fog)(a)

35

Lxgax

)(lim

)()(lim))((lim Lfxgfxgfaxax

))(( xgf

))((lim))((lim xgfxgfaxax

))(lim( xgfax




36

4313cos)( 2

4

xxxxxf

))(()( xhgxf

4313)( 2

4

xxxxxh dan g(x) = cos x

Contoh Tentukan dimana fungsi

kontinu

Jawab :

Fungsi f(x) dapat dituliskan sebagai komposisi dua fungsi atau

dengan

Karena h(x) kontinu di R-{-4,1} dan g(x) kontinu dimana-mana makafungsi f(x) kontinu di R-{-4,1}


limit kontinuitas -...

Documents