tanggapan frekuensi - gunadarma

of 65 /65
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali _____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 1 dari 65 TANGGAPAN FREKUENSI Analisis Tanggapan Frekuensi Penggambaran Bode Plot Polar Plot / Nyquist Plot Log Magnitude vs Phase Plot / Nichols Plot Kriteria Kestabilan Nyquist Beberapa Contoh Analisis Kestabilan Pembahasan Lanjut (Optional) Analisis Kestabilan Relatif/Transient

Author: others

Post on 18-Oct-2021

3 views

Category:

Documents


0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

Bab7_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 1 dari 65
TANGGAPAN FREKUENSI
Ì Log Magnitude vs Phase Plot / Nichols
Plot
Ì Pembahasan Lanjut (Optional)
Ì Analisis Kestabilan Relatif/Transient
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 2 dari 65
♦ ANALISIS TANGGAPAN FREKUENSI
− Metoda konvensional dilakukan dengan mengubah frekuensi input dalam cakupan yang diinginkan dan mengamati tanggapannya.
Ada Beberapa Teknik Analisis :
1. Polar Plot / Nyquist : • Dapat diketahui kestabilan mutlak dan relatif sistem
loop tertutup dari karakteristik tanggapan frekuensi loop terbukanya.
• Kurva Nyquist menggambarkan karakteristik tanggapan frekuensi untuk seluruh cakupan frekuensi.
2. Digram Bode: • Kompensasi unjuk kerja sistem lebih mudah melalui
diagram Bode. • Penentuan fungsi alih secara eksperimen dapat
dilakukan lebih mudah.
3. Log Magnitude Vs Phase Plot / Bagan Nichols: • Kenaikan /penurunan konstanta penguat G(jz) hanya
menggeser kurva keatas / kebawah, tanpa mengubah bentuknya.
• Kestabilan relatif sistem loop tertutup dapat dengan mudah ditentukan, sehingga kompensasi dapat mudah dilakukan
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 3 dari 65
­ Tanggapan Frekuensi vs Tanggapan Waktu
• Kestabilan tak perlu ditentukan dengan terlebih dulu mencari akar-akar persamaan karakteristik.
• Pengujian tanggapan frekuensi umumnya mudah dan dapat dibuat akurat dengan tersedianya generator sinus dan peralatan pengukuran yang diteliti.
• Fungsi alih komponen-komponen yang rumit dapat ditentukan secara eksperimen melalui pengujian tanggapan frekuensi.
• Metoda tanggapan frekuensi dapat diterapkan pada sistem-sistem yang telah memiliki fungsi-fungsi rasional, seperti fungsi dengan transport lags.
• Plant yang tak dapat dikarakterisasi dengan tepat dapat ditangani melalui metoda tanggapan frekuensi.
• Suatu sistem dapat dirancang melalui pendekatan tanggapan frekuensi sehingga derau yang tak diinginkan dapat dihilangkan.
• Analisis tanggapan frekuensi dapat dikembangkan pada sistem kendali non linear tertentu.
• Tanggapan waktu alih tak langsung dapat diketahui, tetapi ada hubungannya antara tanggapan frekuensi dengan tanggapan waktu alih.
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 4 dari 65
­Tanggapan terhadap Input Sinus
( ) ( )( )G s G j→ ω
• Pandang sistem linear invarian waktu sebagai berikut :
Output :
( ) n
n
ss
b
ss
b
ss
b
js
a
js
ωω atau
( )y t a e j t a e j t b e s t b e s t bne snt t= − + + − + − + + − ≥ω ω* 1 1 2 2 0L
Untuk sistem stabil, pada t = ~, diperoleh
( ) tjtj ss eaeaty ωω *+= −
( ) ( ) ( )
+ + +1 2 L
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5 dari 65
Bentuk kompleks dapat dinyatakan sebagai berikut :
( ) ( ) ( )G j G j e j G jω ω φ ω φ= = ∠
( )G jω = magnitude G(jω) ( )φ ω= ∠ =G j pergeseran fasa antara input sinus dengan
output sinus = ( )[ ] ( )[ ]tan−
ω = frekuensi yang cakupannya ditentukan dan frekuensi kerjanya.
Untuk ( ) ( ) ( )G j G j e j G j e j− = − − = −ω ω φ ω φ
Sehingga :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
yss t x G j e j t e j t
j
ω ω φ
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 6 dari 65
Kesimpulan :
1. Bila sistem stabil linear invarian waktu diberi input sinus, maka akar memiliki output sinus dengan frekuensi sama dengan inputnya, meskipun amplitudo dan phasanya mungkin berbeda.
2. Fungsi alih sinus sistem dapat diperoleh melalui
( ) ( ) ( )G j
y j
=
sedang fasa alih G(s) dapat diperoleh dengan mengganti jω menjadi s pada G(jω).
( ) ( ) ( )G j
y j
( ) ( ) ( )∠ = ∠G j
y j
phasa output sinus terhadap inputnya.
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 7 dari 65
Tanggapan Frekuensi dari Plot Pole-Zero
Anggap :
s s p =
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 8 dari 65
Untuk sistem dengan akar kompleks sekawan p1 dan p2 :
))(( )(
Sudut fasa : ( ) 21
θθω −=∠ jG Untuk pole-pole kompleks sekawan yang dekat dengan sumbu maya :
( )G jω = besar sekali
Sebaliknya bila tanggapan frekuensi tak memiliki simpangan yang besar, berarti sistem tak memiliki pole kompleks sekawan yang dekat dengan sumbu maya.
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 9 dari 65
♦ PENGGAMBARAN BODE PLOT
• Diagram Bode terdiri dari 1. Kurva magnitude fungsi alih sinus 20 log ( )G jω
terhadap frekuensi dengan skala logaritmis 2. Kurva sudut fasa fungsi alih sinus ( )∠G jω terhadap
frekuensi dengan skala logaritmis.
• Keuntungan menggunakan kurva logaritma : ∗ Perkalian magnitude dikonversi menjadi penjumlahan ∗ Sketsa pendekatan kurva log magnitude dapat
dilakukan dengan mudah melalui penjumlahan asimtot- asimtot fungsi-fungsi (sederhana) penyusunannya.
∗ Penentuan fungsi alih secara ekperimen dapat dilakukan lebih mudah bila data tanggapan frekuensi tersedia seperti pada Diagram Bode.
∗ Karakteristik frekuensi rendah dan tinggi dari fungsi alih terekam dalam satu diagram. Memperluas cakupan frekuensi rendah memungkinkan analisis pada
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 10 dari 65
frekuensi rendah yang merupakan hal penting dalam sistem-sistem sebenarnya.
• Bentuk-Bentuk Dasar Fungsi ( ) ( )G j H jω ω
1. Penguatan k
+
+





_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 11 dari 65
Penguatan k
( ) ( )G j H j kω ω = Magnitude ( ) ( )G j H j k dbω ω = 20log
Sudut fasa ( )∠ =G jω 0
0,1 1 10 100
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 12 dari 65
Faktor-faktor Integral dan Turunan 1
j atau j
ω ω ω
Sudut fasa ( ) ( )∠ = −G j H j oω ω 90
Untuk : ( ) ( )G j H j jω ω ω= , diperoleh Magnitude : 20 log ω db Sudut fasa : 90o
Catatan:
Magnitude : -20 n Log z db; Sudut fasa : -900x n
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 13 dari 65
Faktor-faktor orde-1 : 1
ω ω ω
+ = − +
• Pada frekuensi rendah : ω ⟨⟨ 1
T , maka
Magnitude ~ log− =20 1 0 db (asimtot pertama) Sudut fasa ~0o
• Pada frekuensi tinggi : ω ⟩⟩ 1
T , maka
Magnitude ~ log log− = −20 2 2 20ω ωT T (asimtot kedua) Sudut fasa ~90o
• Pada frekuensi sudut ω = 1
T
o
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 14 dari 65
Galat Magnitude Akibat Pendekatan dengan Asimtot
Pada ω = 1
galat = − + + = −20 1 1 20 1 3 03log log , db
Pada ω = 1
galat = − + + = −20 1
Pada ω = 2
galat = − + + = −20 22 1 20 2 0 97log log , db
dst.
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 15 dari 65
Untuk ( ) ( )G j H j j Tω ω ω= +1
dengan mengingat faktor reciprocal :
kurva 1
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 16 dari 65
•• Faktor-Faktor Kuadratik
j n
j n
ω ω
ζ ω
ω ω
1 2 2
Bila ζ ⟩ 1 , maka faktor orde-2 tersebut dapat dipecah menjadi 2 faktor orde-1.
Untuk 0 1⟨ ⟨ζ :
2
2
2
Magnitude : − =20 1 0log db
Sudut fasa : φ ~ tan− − =10 0o (asimtot 1)
Pada frekuensi tinggi : ω ω⟩⟩ n
Magnitude : − = −20 2
Mangitude : − 20 2log ζ
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 17 dari 65
Sudut fasa : θ ζ
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 18 dari 65
Untuk ( ) ( )G j H j j n
j n
2 ,
diagram Bodenya dapat diperoleh dengan membalik tanda pada magnitude dan sudut fasa dari faktor sebelumnya.
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 19 dari 65
Frekuensi Resonansi ωr dan Simpangan Puncak Resonansi Mr
Perhatikan lagi :
( )G j
n n
2
2
4 2 1 2
( )g ω =minimum bila ω ω ζ= −n 1 2 2
Sehingga : frekuensi resonansi
( )ω ω ζ ζr n= − ≤ ≤1 2 2 0 0 707,
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 20 dari 65
Bandingkan dengan frekuensi natural teredam pada respons transient :
ω ω ζd n= −1 2
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 21 dari 65
Simpangan Puncak Resonansi :
= = −
φ ζ
ω ω
ω ω
φ ζ
ζ ζ
ζ r
90 1
1 2
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 22 dari 65
Tahapan Membuat Diagram Bode
1. Ubah fungsi alih sinus ( ) ( )G j H jω ω menjadi perkalian faktor-
faktor dasar yang telah dibahas sebelumnya.
2. Tentukan frekuensi-frekuensi sudut setiap faktor-faktor dasar
yang bersangkutan.
dengan memperhatikan kemiringan kurva (0,±20 db, ±40 db,
dst) dibawah dan diatas frekuensi sudut.
4. Jumlahkan kurva-kurva asimtot pada butir 3 untuk setiap
sedang frekuensi sudut.
pada butir 4 dapat diperoleh dengan melakukan koreksi-
koreksi (terutama pada frekuensi-frekuensi sudut).
6. Kurva sudut fasa ( ) ( )G j H jω ω dapat digambarkan dengan
menjumlahkan kurva-kurva sudut fasa masing-masing faktor
dasar pada butir 1.
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 23 dari 65
Contoh:
Suatu sistem orde 4 dengan umpanbalik satuan memiliki fungsi alih loop terbuka sbb:
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 24 dari 65
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 25 dari 65
∗ Sistem Phasa Minimum : Sistem dengan fungsi alih yang tak memiliki pole ataupun zero pada daerah tak stabil bidang-s.
∗ Sistem Phasa Non Minimum : Sistem dengan fungsi alih yang memiliki pole dan / atau zero pada daerah tak stabil bidang-s.
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 26 dari 65
◊ Hubungan antara Tipe Sistem dan Kurva Magnitude
Tipe sistem menentukan kemiringan kurva Magnitude pada frekuensi rendah.
Tipe-0 → kemiringan 0 db/dec Tipe-1 → kemiringan -20 db/dec Tipe-2 → kemiringan -40 db/dec
◊ Penentuan Konstanta Galat Stabil melalui kurva Magnitude
1) ( ) ( )k p s G s H s= →0 lim
Dalam domain frekuensi : ( ) ( )k p G j H j= →ω ω ω0
lim
( ) ( )20 20log logG j H j kpω ω =
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 27 dari 65
2) ( ) ( )kv s sG s H s= →0 lim
Dalam domain frekuensi :
ω ω ω
= untuk ω ⟨⟨1
20log log kv j
kvω ω = = atau : ( ) ( )20 1 20log logG j H j kvω ω ω = =
Alternatif lain :
pada 0 db, sehingga kv jω1
1=
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 28 dari 65
3) ( ) ( )ka
→ lim
0
j ω ω
sehingga :
=
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 29 dari 65
Perpotongan kurva -40 db/dec pada sumbu frekuensi terjadi pada 0 db, sehingga :
( ) 20 2 0log ,
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 30 dari 65
n POLAR PLOT / NYQUIST PLOT
Kurva magnitude G(jω) terhadap sudut fasa G(jω) pada koordinat polar dengan ω dinaikkan dari 0 sampai ~
Untuk sistem yang dihubungkan seri sebagai berikut :
Maka kurva Nyquist ( ) ( ) ( )G j G j G jω ω ω= 1 2 diperoleh dengan melakukan perkalian vektor.
Bandingkan dengan Diagram Bode
• Kurva Nyquist menggambarkan karakteristik tanggapan frekuensi untuk seluruh cakupan frekuensi.
• Kurva Nyquist tak menunjukkan secara jelas kontribusi setiap faktor fungsi alih loop terbuka.
( )G s1 ( )G s2
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 31 dari 65
PENGGAMBARAN POLAR PLOT
Untuk ( )G j j
( )G jω ω=
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 32 dari 65
2. Faktor-Faktor Orde-1
( )ω ω
Pada ω=0 ( )G j oω = ∠1 0
Pada ω = 1 T
( )G j oω = ∠ − 1
( )G j oω = ∠ −0 90
Kurva Nyquist berupa setengah lingkaran dikuadran IV dengan titik pusat -0,5+j0 dan jari-jari 0,5.
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 33 dari 65
Bukti : ( )G j x jyω = +
dengan
( )G j T Tω ω ω= + ∠ −1 2 2 1tan
pada ( )ω ω= = ∠0 1 0G j o
pada ( )ω ω= = ∠ 1
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 34 dari 65
Untuk TjjG ωω += 1)(
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 35 dari 65
3. Faktor-Faktor Kuadratik
Untuk ( )G j
=



+




∠ − −

pada ω ω= n
( )G j oω ζ
ωn dicari dari perpotongan G(jω) dengan sumbu maya.
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 36 dari 65
ωr dicari dengan menentukan ( )G jω maximum.
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 37 dari 65
Sedang simpangan resonansi dihitung sebagai berikut :
( ) ( )Mr
Untuk ( )G j j n
j n
pada ω ω= n : ( )G j oω ζ= ∠2 90
pada ω →~
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 38 dari 65
Untuk ( ) 0;21 2
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 39 dari 65
Contoh:
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 40 dari 65
Transport Lag
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 41 dari 65
Bentuk Umum Polar Plot
Untuk sistem tipe-0 (λλ=0) : Kurva berawal (ω=0), dan sumbu nyata positif dengan magnitude berhingga dan sudut fasa = -90o pada titik tersebut kurva berakhir (ω=~). Pada salah satu sumbu (tergantung pada (n-m)
Untuk sistem tipe-1 (λλ=1) : Pada ω=0, kurva asimtotis terhadap sumbu maya negatif, akibat kontribusi suku jω pada penyebut. Kurva berakhir pada titik asal dan bersudut pada salah satu sumbu.
Untuk sistem tipe-2 (λλ=2) : Kurva asimtotis terhadap sumbu nyata negatif untuk frekuensi rendah dan berakhir pada salah satu sumbu.
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 42 dari 65
Bagian pembilang G(jω) menentukan kerumitan bentuk kurva Nyquist (kontanta waktu pembilang).
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 43 dari 65
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 44 dari 65
◊ Log Magnitude vs Phase Plot / Nichols Plot
Merupakan kurva log magnitude vs sudut fasa atau phase margin untuk cakupan frekuensi kerja.
• Kenaikan konstanta penguatan G(jω) hanya menggeser kurva keatas/kebawah, tanpa mengubah bentuknya.
• Kestabilan relatif sistem loop tertutup dapat dengan mudah ditentukan, sehingga kompensasi dapat mudah dilakukan.
• Kurva G(jω) simetris terhadap titik asal dengan 1
G j( )ω
mengingat ( )20 1
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 45 dari 65
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 46 dari 65
◊ KRITERIA KESTABILAN NYQUIST
= +1
• Sistem stabil bila akar-akar persamaan karakteristik ( ) ( )1 0+ =G s H s terletak disebelah kiri bidang-s.
• Sistem tetap stabil bila kondisi diatas dipenuhi meskipun pole-pole/zero-zero fungsi alih loop terbuka ada yang terletak disebelah kanan bid-s.
• Kriteria Nyquist menghubungkan tanggapan frekuensi loop terbuka ( ) ( )G j H jω ω terhadap jumlah pole dan zero loop tertutup
( ) ( )1+ G s H s yang terletak di daerah tak stabil pada bid-s.
• Kestabilan dapat ditentukan dari kurva tanggapan frekuensi loop terbuka (diperoleh secara analisis eksperimen) tanpa perlu menentukan letak pole-pole loop tertutup.
• Perlu pemahaman konsep pemetaan bidang-s ke bidang F s G s H s( ) ( ) ( ).= + +1
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 47 dari 65
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 48 dari 65
Beberapa Catatan Penting dari Pemetaan
1. Bila ada n pole dikelilingi oleh kurva tertutup bidang-s, maka titik asal akan dikelilingi n kali berlawanan arah jarum jam pada di bidang F(s).
2. Bila ada pole dan zero dengan jumlah sama pada kurva tertutup di bidang -s, maka kurva tertutup di bidang F(s) tak mengelilingi titik asal.
3. Bila ada zero yang dilingkupi oleh kurva tertutup di- bidang-s, maka kurva tertutup pada bidang F(s) nya akan mengelilingi titik asal searah jarum jam sebanyak jumlah zero tersebut.
4. Bila kurva tertutup di bidang-s tak mencakup pole atau zero, maka kurva pemetaannya di bidang F(s) tak mengelilingi titik asal pula.
5. Pemetaan dari bidang-s ke bidang T(s) merupakan pemetaan 1-1, sebaliknya tidak.
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 49 dari 65
Teori Pemetaan :
q s ( )
Bila :P = jumlah pole F(s) yang terletak di dalam beberapa
lintasan tertutup dibidang-s.
lintasan tertutup di bidang-s. (lintasan tersebut tidak
melalui pole-pole / zero-zero tersebut).
Maka : Total jumlah N lintasan tertutup di bidang-s yang
mengelilingi titik asal searah jarum jam = Z - P.
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 50 dari 65
Aplikasi Teori Pemetaan pada Analisis Kestabilan
• Lintasan tertutup pada bid-s mencakup semua bidang sebelah kanan (lintasan Nyquist).
• Semua pole dan zero 1 + G(s) H(s) yang memiliki bagian nyata positip tercakup pada lintasan Nyquist.
• Sistem stabil bila tak ada akar-akar 1+G(s)H(s) = 0 didalam lintasan Nyquist.
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 51 dari 65
Pemetaan Loop Tertutup ke Loop Terbuka
• Pengelilingan titik asal oleh kurva 1 + G(jω) H(jω) berubah menjadi pengelilingan titik -1 + j0 oleh kurva G(jω) H(jω).
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 52 dari 65
Kriteria Kestabilan Nyquist
[Untuk kasus G(s)H(s) tak memiliki pole/zero pada sumbu maya jω].
• Bila fungsi alih loop terbuka G(s)H(s) memiliki k pole di sebelah kanan bidang-s dan s→~
lim G(s)H(s) = konstan, maka sistem stabil bila kurva G(jω)H(jω) mengelilingi titik -1 + j0 sebanyak k kali berlawanan searah jarum jam.
• Lintasan Nyquist tak boleh melalui pole/zero 1+G(s)H(s).
• Bila ada satu atau lebih pole G(s)H(s) dititik asal (pada bid-s), maka lintasan Nyquist harus tidak mencakupnya).
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 53 dari 65
• Banyaknya akar F(s)=1+G(s)H(s) yang terletak di daerah tak stabil sama dengan banyaknya pole G(s)H(s) di daerah tak stabil ditambah dengan berapa kali kurva F(s) mengelilingi titik asal searah jarum jam Z = N + P.
Z = N + P
Z = banyaknya akar 1+G(s)H(s) disebelah kanan bidang-s N = Berapa kali titik -1+j0 dikelilingi searah jarum jam. P = banyaknya pole loop terbuka G(s)H(s) disebelah kanan bidang-s.
∗ Sistem stabil bila Z = 0 :
1) P = 0 dan N = 0 2) Bila P ≠ 0, maka N = -P
∗ Sistem multi loop harus dianalisis kestabilannya secara hati- hati. Lebih mudah gunakan kriteria Routh.
∗ Bila ada fungsi transendental (misal e-Ts) pada G(s)H(s), dekati fungsi tersebut dengan 2 suku pertama deret .
Ts
selanjutnya gunakan kriteria Routh.
∗ Bila kurva G(jω)H(jω) melalui titik -1+j0, berarti ada pole- pole loop tertutup pada sumbu jω : sistem berosilasi.
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 54 dari 65
◊ Kasus Khusus Bila Ada Pole/Zero G(s)H(s) pada Sumbu jωω
Ambil ( ) ( ) ( )G s H s
k
dengan θ ;−90o sampai + 90o , maka
( ) ( )G e j H e j k
e j k
θ= = −
(setengah lingkaran dengan jari-jari ~ dan bermula dari +900 hingga -900)
00;0 =→== ZPN (stabil)
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 55 dari 65
Ambil ( ) ( ) ( )
s Ts =
+2 1
diperoleh :
k e j
Terlihat: N=2; P=2, sehingga Z=2 (tak stabil)
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 56 dari 65
BEBERAPA CONTOH ANALISIS KESTABILAN
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 57 dari 65
Contoh 2:
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 58 dari 65
Contoh 3:
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 59 dari 65
Contoh 4:
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 60 dari 65
Contoh 5:
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 61 dari 65
Pembahasan Lanjut (Optional):
1. Invers Polar untuk Memudahkan Analisis Kestabilan Nyquist pada Sistem Multiple Loop.
2. Analisis kestabilan Relatif / Transient melalui modifikasi Lintasan Nyquist.
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 62 dari 65
◊ Analisis Kestabilan Relatif/Transient
• Kurva Nyquist dapat menunjukkan keduanya dan bagaimana kestabilan diperbaiki bila diperlukan.
• Asumsi pada analisis.
1. Sistem Balikan Satuan
2. Sistem fasa minimum (tak memiliki pole loop terbuka didaerah tak stabil bidang-s)
• Analisis melalui
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 63 dari 65
∗ Phase Margin dan Gain Margin
• Untuk k besar, sistem tak stabil. • Untuk k lebih kecil, kurva G(jω) melewati titik -1+j0,
sistem berosilasi (batas kestabilan). • Untuk k kecil, sistem menjadi stabil. • Makin dekat kurva G(jω) mengelilingi titik -1+j0,
tanggapan sistem makin berosilasi. • Kedekatan kurva G(jω) ketitik -1+j0 merupakan ukuran
batas kestabilan : phase margin dan gain margin.
◊ Phase margin : jumlah phase lag tambahan pada frekuensi gain crossover ( )ωgco yang diperlukan untuk membuat sistem
tak stabil.
φγ += o180 ; φ : sudut fasa ( )G j gcoω
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 64 dari 65
Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem Kendali
_____________________________________________________________________ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 65 dari 65
• Gain margin : kestabilan magnitude ( )G jω pada frekuensi phase crossover ωpco
ωpco : frekuensi pada saat ( )∠ = −G j oω 180
( )kg G j pco
Untuk sistem phase minimum : gain margin positip (negatip) menunjukkan berapa besar penguatan masih dapat dinaikkan (diturunkan) sebelum sistem menjadi tak stabil (stabil)
• Sistem phase minimum stabil bila gain margin dan phase margin positip.
• Untuk sistem stabil kondisional : ada 2 atau lebih frekuensi phase crossover.
• Untuk sistem orde tinggi mungkin memiliki 2 atau lebih frekuensi gain crossover : phase margin dihitung pada frekuensi gain crossover tertinggi.
• Tanggapan transient “optimum” bila : phase margin 300 sampai 600
gain margin > 6 db
• Untuk sitem phase minimum, phase margin 300-600 berarti kemiringan kurva Bode ( )G jω pada ωgco harus lebih landai dari