documento procesos y gestion de la calidad

7/26/2019 Documento Procesos y Gestion de La Calidad

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Procesos y Gestin de la Calidad

Ing. Mario Guillermo Jurez P. 1

UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE EL SALVADOR

FACULTAD DE INFORMTICA Y CIENCIAS APLICADAS

ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL

PRE-ESPECIALIDADGESTION POR PROCESOS

MODULO No. 4

Automatizacin de Procesos

FACILITADOR: ING. MARIO GUILLERMO JUAREZ P.

DOCUMENTO

PROCESOS Y GESTION DE LA CALIDAD

Enero Febrero de 2014

San Salvador, El Salvador; Centro Amrica


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PROCESOS Y GESTION DE LA CALIDAD

INDICE

Contenido Pgina

INTRODUCCION 4

1.0 CONTROL DE LA CALIDAD 4

1.1 Concepto de Calidad...................... 5

1.2 Proceso del Control de la Calidad 61.3 Principios del Control de la Calidad.. 7

1.4 Funciones del Control de la Calidad.. 8

1.5 Tareas de un Programa de Control de la Calidad 8

2.0 COSTOS DE LA CALIDAD 9

2.1 Categoras de Costos de la Calidad................ 10

2.1.1 Costos de Prevencin.. 10

2.1.2 Costos de Evaluacin............. 10

2.1.3 Defectos Dentro de la Organizacin 11

2.1.4 Defectos Fuera de la Organizacin 11

3.0 INGENIERIA DE LA CALIDAD 12

3.1 Estadsticas segn Federer (1973).............. 12

3.2 Investigaciones Estadsticas..................... 13

3.3 Elementos Bsicos sobre Variacin....................... 14

3.4 Clasificacin de Procesos 16

3.5 Teora Muestral.. 17

3.6 Distribuciones Muestrales 20

3.6.1 Distribucin Muestral de Medias. 21


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3.6.3 Distribucin de una Proporcin Muestral (P) 28

3.6.4 Distribucin Muestral de Varianzas... 29

3.7 Tamao de la Muestra.. 30

4.0 CONTROL ESTADISTICO DE PROCESOS 33

4.1 Introduccin 33

4.2 Mtodos Estadsticos.... 34

4.2.1 Graficas de Control.. 36

4.2.2 Diagrama de Causa-Efecto. 414.2.3 Diagrama de Pareto.... 42

4.2.4 Grafico de Corridas.. 43

4.2.5 Histograma de Frecuencia.. 44

4.2.6 Anlisis de Regresin.. 44

5.0 AJUSTES DE CURVAS 50

5.1 Modelo Determinstico.......................... 50

5.2 Modelo Probabilstico....................... 51


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ASEGURAMIENTO DE LA CALIDAD Y CALIDAD TOTAL

Introduccin

El presente documento representa un breve, general e introductorio tratado sobre herramientas

estadsticas aplicables al control de procesos, como un material de apoyo dirigido a los gerentes.

Es conveniente sealar que el autor no pretende reclamar la autora de algunas secciones a las

cuales se hace referencia, dado que los mismos son productos de congresos, seminarios, lecturas,

cursos y de la experiencia profesional. De esta forma, lo original de este escrito consiste en

haberlos recopilados y en presentarlos de una forma resumida como una gua de estudio.

Este texto difiere de las publicaciones comunes de estadstica y/o control de calidad porque su

principal propsito es, adems de conceptualizar el control de calidad, mostrar cmo aplicar la

teora estadstica a problemas derivados de la experiencia del campo laboral. La estadstica

descriptiva, per s no resuelve los problemas de produccin y los mtodos estadsticos son

herramientas que ayudan a mejorar el proceso, dando objetividad a las observaciones y no

serviran si no son utilizados apropiadamente. De esta forma, se dar mayor importancia a los

hechos que a los conceptos abstractos, utilizando cifras derivadas de observaciones reales,

aceptando como confiable la informacin proveniente de la distribucin normal hacia la cual

tiende las observaciones cuando son grandes.

Los mtodos estadsticos constituyen un medio efectivo para controlar la calidad en el proceso de

produccin; sin embargo, "lo importante no es el conocimiento de los mtodos estadsticos sino

ms bien la actitud mental hacia su utilizacin" (Kume 1992; p.9).

1.0 Control de la Calidad

El objetivo de esta seccin es conocer los conceptos bsicos aplicados en el control de calidad y

familiarizar al lector con los principios, funciones y los costos que la calidad implica.

La finalidad de todo proceso industrial es la reproduccin del prototipo de un producto. Cuando el

producto est bien diseado y se fabrica cumpliendo las normas establecidas, el mismo llenar las

expectativas para el cual fue elaborado y para el usuario. En consecuencia, se hace necesario que

todos los productos se fabriquen ajustados a las normas, el control de calidad interviene para

asegurar el fiel cumplimiento de estas normas por el producto.


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Lgicamente no hay dos productos iguales, por lo que la calidad vara continuamente,

dependiendo del nivel de refinamiento tcnico alcanzado.

Puesto que la calidad es variable, va en contraposicin a la uniformidad y en la prctica estasituacin se obvia llegando a la transaccin entre ambos, estableciendo lmites para definir las

variaciones con respecto a las especificaciones cualitativas permisibles y tolerables en el producto

final, sin desprecio al principio de normalizacin.

Sin embargo existen elementos perturbadores que impiden que la produccin se ajuste lo mejor

posible a las especificaciones cualitativas, tales como:

Irregularidad en las mquinas

Imprecisiones humanas Errores de los instrumentos de control

Condiciones ambientales

Otros

La desviacin cualitativa del producto representa un aumento de los costos puesto que implica un

gasto extra de materia prima o de tiempo y trabajos para realizar las correcciones de los defectos

del producto acabado.

Este aumento de los costos de produccin sumados a los retrasos de la produccin, la disminucindel prestigio de la empresa, etc. son hechos graves como para no estudiarlos atentamente y

buscar las medidas correctivas necesarias.

El diseo de este trabajo bibliogrfico va orientado a proporcionar los conocimientos mnimos

necesarios que permitan comprender las tcnicas estadsticas, metodologa e interpretacin y

anlisis de resultados. Para ello es necesario basarse en fundamentos de estadsticas matemticas,

as como en matemticas avanzadas; sin embargo, la mayora de las aplicaciones descritas slo

requieren de conocimientos aritmticos.

1.1 Concepto de Calidad

Calidad es la aptitud de un producto para satisfacer una necesidad al menor costo posible.

Calidad significa adecuacin de un producto o servicio para su uso.


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La calidad es inversamente proporcional a la variabilidad.

El mejoramiento de la calidad es la reduccin de la variabilidad en procesos y productos (Es la

reduccin del desperdicio). La calidad de un producto implica dos aspectos fundamentales:

a. Calidad del Diseo:

Es el grado de concordancia entre el diseo y el fin para el cual fue creado; en la medida que las

caractersticas previstas, los materiales y las formas concebidas por el diseador cumplen con las

necesidades del usuario.

b. Calidad del Producto:

Es el grado de concordancia entre el producto y sus especificaciones. Siendo el grado en el que el

proceso de manufactura y mano de obra han reproducido el producto lo ms cercano del diseo

original.

1.2 Proceso del Control de la Calidad

Es el proceso mediante el cual se miden las caractersticas de un producto, se comparan los valores

con las normas establecidas y se adoptan las medidas correctivas convenientes cuando no se

ajustan a las normas.

La definicin previa de calidad tiene varias implicaciones y una de ellas es que con el slo control

estadstico no es posible alcanzar la satisfaccin del consumidor, por lo tanto para alcanzar esta

calidad se requiere adems:

Una adecuada investigacin de mercado (calidad de investigacin del mercado).

Un producto con un diseo acorde (calidad de diseo).

Un producto fiel al diseo del prototipo (calidad de fabricacin o concordancia).

Un producto al alcance del consumidor oportunamente (calidad de distribucin). Un producto con adecuados componentes de reemplazo (calidad de servicio).

De esta forma la calidad es una resultante de todos estos elementos mencionados, que para ser

alcanzada requiere de un control total de la calidad. Entre estos controles se pueden establecer los

indicados en la siguiente figura:


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Tipos de Control

Control Dinmico de la Calidad: Realizado estrictamente sobre el proceso de fabricacin.

Control Esttico de la Calidad: Aplicado a los productos semi-elaborados y productos terminados.

1.3 Principios del Control de la Calidad

1. Con el control de calidad no se obtiene calidad del producto; sta es una caracterstica

inherente al producto mismo. Esto es evidente, para obtener un buen nivel de calidad hay

que fabricarlo puesto que el control de calidad no agrega calidad a los productos.

2. El equipo productor es el responsable directo de la calidad del producto de acuerdo a las

directrices que el control de calidad establece.

3. No resuelve problemas de fabricacin, slo da las razones para estudiarlos. Es muy

importante que el equipo productor sepa qu problemas existen y en qu sentido se

manifiestan para lograr un buen nivel de calidad en la fabricacin.

4. Las decisiones deben tomarse sobre la base de datos reales, la confiabilidad de los datos

registrados es el punto inicial para todo anlisis e interpretacin de resultado.

5. Los datos deben ser compatibles y estar dispuestos de manera tal, que permitan su anlisis.

Esto permitir el empleo de algunas herramientas estadsticas de las cuales el control de

calidad hace uso.


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6. El control de calidad debe ser activo, debe prevenir la ocurrencia de errores o defectos,

mantener regulados y bajo control los procesos, evitar el desperdicio, el reproceso, las

devoluciones y tomar las medidas correctivas oportunamente.

1.4 Funciones del Control de la Calidad

Antes de iniciar la fabricacin de un producto, se requiere fijar las especificaciones de lo que se va

a hacer. Despus, viene la manufactura real de este producto y finalmente la comprobacin para

verificar si est de acuerdo con lo especificado. Al pensar en todos los puntos relacionados con la

calidad es conveniente hacerlo en trmino de estas tres funciones: Especificacin, fabricacin e

inspeccin.

El control de calidad estadstico debe ser considerado como un grupo de herramientas, que

pueden influir en las decisiones relacionadas con estas funciones. Mientras ms personas existan

en cargos de supervisin de inspeccin, de supervisin de produccin, de ingeniera de mtodos,

de ingeniera de diseo y de nivel gerencial, que comprendan los principios bsicos de control de

calidad estadstico, mayor ser la probabilidad de emplear efectivamente estas tcnicas en una

organizacin.

Entre las funciones bsicas del control de calidad relacionadas con las funciones de especificar,

fabricar e inspeccionar un producto tenemos:

1. Intervenir en la estipulacin de la calidad de diseo mediante la realizacin de normas de

control, preparacin de prescripciones etc. Esta no es una funcin exclusiva de control de

calidad, pues intervienen otros departamentos, pero jams debe realizarse un diseo sin la

intervencin del departamento de control de calidad.

2. Ejercer el control dinmico de la calidad mediante el control durante el proceso de

fabricacin, con el propsito de obtener productos de acuerdo al diseo, evitando la

fabricacin de piezas defectuosas.

3. Ejercer el control esttico de la calidad mediante el establecimiento del control de entrada

y de salida con el propsito de vigilar el producto terminado o la materia prima para otros

sectores de la planta.

1.5 Tareas de un Programa de Control de la Calidad


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A continuacin figuran tareas especficas que pueden cumplirse como parte de un programa de

control de calidad.

a. Determinar las condiciones que deben cumplir los diseos, los proyectos y lasespecificaciones para satisfacer las normas de calidad y a su vez verificar que se cumplan

los procedimientos establecidos.

b. Planificar las herramientas, los instrumentos de medicin y el equipo de control necesario

para medir las caractersticas del producto. As mismo verificar que los instrumentos de

medicin estn calibrados.

c. Establecer procedimientos de control de calidad, basados en la estadstica sobre las

operaciones de fabricacin, as como para las piezas, materiales y muestreos de recepcin.

d. Crear un sistema para inscribir en un registro los defectos en materia de calidad y para

inscribir datos sobre seguimiento de las medidas correctoras adoptadas, igualmente

recoger las informaciones que puedan proporcionar mejoras al proceso de fabricacin.

e. Proporcionar formacin para el personal de inspeccin, de pruebas, etc.

f. Establecer los costos de control de la calidad.

2.0 Costos de la Calidad

Cada uno de los departamentos de una organizacin debe ser capaz de justificar su existencia

midiendo sus costos y comparndolos con la contribucin que aporta al cumplimiento de los

objetivos de la compaa y a la obtencin de beneficios. El departamento de control de calidad no

es una excepcin. Por consiguiente, es importante determinar el costo general del control de

calidad.

Mejorar el nivel de calidad de un producto hace que el costo de produccin del mismo se eleve,

lgicamente se convierte en un aspecto que debe ser estudiado detenidamente. En la prcticasiempre hay un nivel de rechazos ptimo para un proceso dado, por lo que carece de sentido

esforzarse por reducir los rechazos. Por lo tanto la calidad de un producto debe ser controlada a

una tolerancia dada y para cierto nivel de rechazos, para obtener la relacin de compromiso

requerida, pretender mejorar la calidad ms all de este nivel es, hacer la produccin anti-

econmica. El costo total del control de calidad bien puede ser analizado o determinado,

agrupando los costos en cuatro categoras.


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2.1 Categoras de Costos de la Calidad

2.1.1 Costos de Prevencin.- Los costos de prevencin son los de planificacin y aplicacin del

programa de calidad antes de la fabricacin del producto. A continuacin se dan ejemplos de

tareas que pueden clasificarse como de prevencin de defectos.

a) Revisin del diseo.

b) Programas de formacin y titularizacin de trabajadores.

c) Calificacin de proveedores antes de la subcontratacin.

d) Medios mecnicos para el control de calidad, incluido el diseo de equipos y

herramientas especiales.

e) Control de los procesos para asegurar que los procesos de fabricacin

corresponden a las tolerancias establecidas para el producto.

2.1.2 Costo de evaluacin. Los costos de evaluacin son los gastos en que se incurre para medir la

conformidad del producto con las normas; incluidas las inspecciones y pruebas.

A continuacin se dan ejemplos de tareas cuyo costo puede incluirse en esta categora:

a) Inspeccin y prueba de las piezas y materiales suministrados por proveedores.

b) Inspeccin y prueba de materiales, piezas, montajes parciales o productos

completos fabricados en la empresa.

c) Costo de los productos destruidos o daados para realizar pruebas que destruyen

en material o determinan su perodo de vida.

d) Calibracin y conservacin de instrumentos y equipos de medicin.

e) Compilacin, registro y comunicacin de datos sobre cuestiones de calidad.


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2.1.3 Defectos dentro de la organizacin.- Los defectos dentro de la organizacin son aquellos que

se producen antes de la expedicin (o mientras el producto sigue perteneciendo a la compaa

productora). Estos costos son el resultado de productos defectuosos (productos que no cumplen

las normas).

Entran en esta categora los costos siguientes:

a) Sustitucin de piezas defectuosas.

b) Costos de reparacin.

c) Costos de recepcin y trmite de las quejas.

d) Responsabilidad del fabricante por los peligros que puede suponer el producto,

generalmente en forma de litigios o costo del seguro de responsabilidad civil.

e) Prdida de pedidos futuros o dao para la reputacin de la empresa por losdefectos comprados por los clientes.

2.1.4 Defectos fuera de la organizacin: Se incluyen en esta categora los costos relacionados con

los defectos que se revelan una vez que el producto es propiedad del cliente. Se incluyen los

siguientes costos:

a) Sustitucin de piezas defectuosas.

b) Costos de reparacin.

c) Costos de recepcin y trmites de reclamos.d) Costos legales y/o seguros.

e) Prdida de futuros pedidos y daos a la reputacin de la empresa.

Los costos de prevencin y evaluacin constituyen los costos directos del control de calidad. Por

otra parte tenemos a los costos por defectos, tanto dentro como fuera de la organizacin, que

seran los costos indirectos. (ver figura 3). A medida que los costos directos se reducen, aumenta el

nmero de defectos y a medida que aumenta el nivel de stos, aumenta el costo por defectos.

Los costos totales del control de calidad son la suma de los costos directos y de los costos por

defectos o costos indirectos. En el valor mnimo de la curva de costos totales, se sita la

combinacin ptima de esfuerzos.


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El control de la calidad debe efectuarse sin perder de vista los costos que implica y los beneficios

que de su aplicacin se deriven. Generalmente el control total de la calidad conduce a una

reduccin paulatina de los costos totales de la calidad en una empresa haciendo nfasis en la

prevencin de la ocurrencia de defectos ms que en cualquier otro caso.

Los costos de prevencin representan el 5% del costo total de la calidad, en contraste con los

costos por fallas, los cuales alcanzan entre el 70 y 80% aproximadamente. Los costos de inspeccin

representan entre el 15 y 25%.

3.0 Ingeniera de la Calidad

El quinto de los 14 postulados de Deming, tambin conocido como el padre del concepto decalidad total, aboga por la mejora constante y continua de todos los procesos de planificacin,

produccin y servicio. El mejoramiento continuo disminuye el desperdicio, disminuye costos y

aumenta la productividad y crea condiciones para el disfrute del trabajo.

Mejorar continuamente e innovar en las organizaciones de las que formamos parte, es contribuir a

la construccin de un mundo mejor.


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3.1 Estadstica segn Federer (1973).

Es la ciencia que se ocupa de la caracterizacin, el desarrollo y la aplicacin de tcnicas para:

El diseo estadstico de una investigacin, bien sea un experimento

comparativo, una encuesta por muestreo, un estudio de observacin o

un estudio de construccin de un modelo estocstico.

El resumen de los hechos de investigacin

Las inferencias que se pueden formular a partir de los hechos de la

investigacin, sobre la poblacin bajo estudio.

3.2 Investigaciones Estadsticas

Los estudios estadsticos de carcter emprico se pueden clasificar de acuerdo a la finalidad que

persiguen en dos tipos:

Figura 4 Proceso de un Estudio


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Procesos y Caractersticas de la Calidad

Figura 4 Procesos y Caractersticas de la Calidad

Estudios Enumerativos: Aquellos en los cuales se estudia un marco especfico con la finalidad de

actuar sobre los elementos que lo conforman. (Inferencia Estadstica).

Estudios Analticos: Aquellos en los cuales el objetivo es actuar sobre el sistema de causas o

proceso que produjo los elementos del marco estudiado. (Diseo Estadstico).

3.3 Elementos Bsicos sobre Variacin

Entenderemos por variacin el fenmeno que se manifiesta en la incapacidad de un sistema,

proceso, persona, etc. para reproducir exactamente un comportamiento dado, an bajo

condiciones aparentemente semejantes.

La variacin es causal

Hay distintos tipos de variacin

La eliminacin o atenuacin de cada tipo de causa demanda de acciones radicalmente distintas

Un sistema es estable cuando solo obedece a causas comunes

La cantidad de variacin se puede medir estadsticamente

Causas comunes:


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Multitud de factores que siempre estn presentes y que contribuyen en diversos grados a

cambios pequeos y aparentemente aleatorios en el resultado de un proceso.

Su agregacin resulta en lo que podemos denominar la variacin del sistema.

Causas especiales:

Factores que actan espordicamente sobre el sistema agregando variacin adicional sobre la

variacin del sistema.

Manifestaciones extremas

Causas asignables.

Causas distintas requieren acciones Distintas.

Asunto crtico

La diferencia ms importante es entre causas comunes y causas especiales Estrategia para eliminar causas especiales:

- Obtener datos oportunos

- Prestar atencin a seales de posibles causas especiales

- Investigar su origen

- Tomar previsiones para que lo malo no recurra

- Tomar previsiones para que lo bueno siga ocurriendo

Estrategia para mejorar un sistema de causas comunes:

- Todos los datos son importantes

- Conocimiento ntimo del sistema

Interferencias Innecesarias.

Ajustes innecesarios efectuados para compensar o corregir la variacin del sistema y que

agregan ms variacin. (ver experimento de Deming).

Exacerbar en lugar de mejorar

Tratar todo como si fuera el resultado de causas especiales (querer explicar todo)

Errores comunes:

- Examinar las ltimas cifras

- Suponer que todo lo bueno o malo se debe a la actuacin de las personas


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3.4 Clasificacin de Procesos

1. Estado Ideal. Proceso bajo control Estadstico y Produccin conforme al 100%.

Figura 5 Estado Ideal

2. Estado de Caos. Proceso fuera de control Estadstico y Produccin conforme menor del

100%.

Figura 6 Estado de Caos

3. Prximo al Estado del Caos. Proceso fuera del Control Estadstico y produccin conforme al

100%

Figura 7 Prximo al Estado del Caos


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4. Prximo al Estado Ideal. Proceso bajo control Estadstico y produccin conforme menor del

100%.

Figura 8 Prximo al Estado Ideal

3.5 Teora Muestral

La teora de muestreo se refiere al estudio de las relaciones que existen entre un colectivo o

poblacin y las muestras que se extraen de las mismas. El estudio de las muestras permite hacer

estimaciones de caractersticas desconocidas de la poblacin (tales como media, desviacin tpica,

proporciones, etc.). Estas estimaciones se hacen a partir del conocimiento de las caractersticas de

las muestras (media, desviacin tpica, proporcin, etc.).

Las caractersticas o medidas obtenidas de una muestra se llaman estadsticos; y las medidas

correspondientes a la poblacin parmetros. Cuando una medida muestral o estadstico es

utilizada como representante de una caracterstica poblacional o parmetro se denominaestimador.

Ventajas de la utilizacin de las muestras

1) El costo es menor y se puede obtener un mejor rendimiento del dinero invertido.

2) Se obtiene una disminucin notable del tiempo necesario para alcanzar la informacin

Cuando una muestra posee 30 o ms datos se denomina muestra grande y si la muestra tiene

menos de 30 observaciones se denomina muestra pequea.

Se denomina muestreo al procedimiento utilizado para elegir una muestra.

Necesidad del Muestreo

Poblacin Infinita

Poblacin uniforme


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Proceso de investigacin destructiva

Economa de costos

Calidad

Muestreo con o sin reemplazamiento:

Con reemplazamiento cuando un elemento de la poblacin puede ser escogido varias

veces para formar parte de la muestra

Sin reemplazamiento cuando un elemento de la poblacin solo puede ser seleccionado

una sola vez para formar parte de la muestra.

Poblacin: es una coleccin de todos los elementos que estamos estudiando y acerca de los cuales

se intenta extraer conclusiones. Puede ser infinita o finita.

Muestra: Una parte de la poblacin o un subconjunto del conjunto de unidades obtenidas con el

objeto de investigar las propiedades de la poblacin.

Muestreo estadstico: Es un enfoque sistemtico para seleccionar unos cuantos elementos (una

muestra) de un grupo de datos (poblacin) a fin de hacer algunas inferencias sobre el grupo total.

Desde el punto de vista matemtico, podemos describir las muestras y las poblaciones mediante

medidas como la media, la moda, la desviacin estndar, etc. No es ms que el procedimiento a

travs del cual se obtienen las muestras.

Tipos de muestreo

Muestreo de juicio o no probabilstico. Se basa en el conocimiento de la poblacin por parte de

alguien, quien hace a la muestra representativa, dependiendo de su intencin, por lo tanto es

subjetiva.

Probabilstico(Errtico): Todos los elementos de la poblacin tienen la posibilidad de pertenecer a

la muestra.

Muestreo Aleatorio:

Muestreo aleatorio simple

Muestreo Sistemtico

Muestreo Estratificado

Muestreo por Conglomerado


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Muestreo de juicio: A travs del conocimiento y la opinin personal, basada en la experiencia del

investigador, se identifican los elementos de la poblacin que van a formar parte de la muestra.

Una muestra seleccionada por muestreo de juicio se basa en el conocimiento de la poblacin por

parte de alguien. Por ejemplo, un guardabosque tomar una muestra de juicio si decide conantelacin que parte de una gran zona reforestada deber recorrer para estimar el total de metros

de madera que pueden cortarse. En ocasiones el muestreo de juicio sirve de muestra piloto para

decidir cmo seleccionar despus una muestra aleatoria.

Muestreo aleatorio: Cuando se conoce la probabilidad de que un elemento de la poblacin figure

o no en la muestra, puede ser:

Muestreo Aleatorio Simple (Irrestrictamente Aleatorio):

Un muestreo es aleatorio cuando cada elemento de la poblacin tiene la misma probabilidad deser escogido para formar parte de la muestra. Este tipo de muestreo evita que la muestra sea

sesgada evitando por lo tanto que se realice una mala inferencia estadstica.

Por ejemplo, supngase que un investigador quiera estimar el mdulo de ruptura promedio de un

material determinado formado por una poblacin de tamao N = 500; por ser ensayos destructivos

este quiere seleccionar una muestra de tamao n = 10 que le permita realizar la inferencia, ahora

bien el criterio que us el investigador para seleccionar dicha muestra fue el de tomar 10

materiales que estaban ms prximos a l; evidentemente esta muestra no es representativa de la

poblacin, se dice que esta sesgada, por lo que la inferencia estadstica que se realice sererrnea. Por lo tanto, una muestra se dice que esta sesgada cuando los elementos seleccionados

tenan mayor probabilidad de pertenecer a la misma.

La forma ms fcil de realizarlo es usando nmeros aleatorios, para esto se puede recurrir a una

tabla o a un generador de nmeros aleatorios. Actualmente, se recurre a computadora.

Muestreo Sistemtico o Secuencial.

Los elementos se seleccionan de la poblacin con un intervalo uniforme en el tiempo, en el orden

o en el espacio. Por ejemplo, supongamos que se quiere estudiar una determinada caracterstica

de un producto fabricado en serie y se decide seleccionar a cada veinte producto hasta formar la

muestra, para esto se escoge un punto aleatorio de arranque en los primeros veinte productos y

luego se escoge cada vigsimo producto hasta completar la muestra. Una de las ventajas de este

muestreo es cuando los elementos presentan un patrn secuencial, tal vez requiera menos tiempo

y algunas veces cuesta menos que el mtodo de muestreo aleatorio.


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Muestreo Estratificado.

Para aplicar el muestreo estratificado, se divide la poblacin en grupos homogneos, llamados

estratos, los cuales son hetergeneos entre s. Despus se recurre a uno de dos mtodos posibles:

a) Se selecciona al azar en cada estrato un nmero especificado de elementos correspondientes ala proporcin del estrato de la poblacin total

b) Se extrae al azar un nmero igual de elementos de cada estrato y damos un peso a los

resultados de acuerdo a la proporcin del estrato en la poblacin total

El muestreo estratificado es adecuado cuando la poblacin ya est dividida en grupos de

diferentes tamaos y queremos reconocer este hecho. La ventaja de las muestras estratificadas, es

que cuando se disean bien, reflejan ms exactamente las caractersticas de la poblacin de donde

se extrajeron que otras clases de muestreo.

Muestreo por Conglomerado.

En el muestreo por conglomerados, se divide la poblacin en grupos o conglomerados de

elementos heterogneos, pero homogneos con respecto a los grupos entre si. Un procedimiento

bien diseado, de muestreo por conglomerados, puede producir una muestra ms precisa a un

costo mucho menor que el de un simple muestreo aleatorio. Se usa el muestreo estratificado

cuando cada grupo presenta una pequea variacin en su interior, pero existe una amplia

variacin entre ellos. Se usa el muestreo por conglomerado en el caso contrario, cuando hay

considerable variacin dentro de cada grupo pero los grupos son esencialmente semejantes entre

s.

3.6 Distribuciones Muestrales

Distribucin muestral de medias

Distribucin muestral para diferencias de medias

Distribucin muestral de proporciones y diferencias

Distribucin muestral de varianzas

Se define la distribucin muestral de un estadstico (distribucin de muestreo) en una poblacin,como la distribucin de probabilidad de todos los posibles valores que un estadstico puede asumir

para cierto tamao de la muestra. Especficamente, se trabajar con las distribuciones muestrales

para: medias, proporciones y varianzas.

Una distribucin muestral es una distribucin de probabilidad de un estadstico muestral calculado

a partir de todas las muestras posibles de tamao n, elegidas al azar en una poblacin


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determinada. Si la poblacin es infinita, tenemos que concebir la distribucin muestral como una

distribucin muestral terica, ya que es imposible sacar todas las muestras aleatorias posibles de

tamao n de una poblacin infinita. Si la poblacin es finita y moderada se puede construir una

distribucin muestral experimental, sacando todas las muestras posibles de un tamao dado,calculando para cada muestra el valor del estadstico que nos interesa. Ejemplo, supongamos que

se tiene una poblacin de tamao N = 10 y queremos extraer con reemplazamiento todas las

muestras posibles de tamao n = 5, para esto se utiliza la relacin N a la n , es decir, 10 a la 5 =

100000 muestras de tamao n = 5.

En cambio, si el muestreo es sin reemplazamiento, el nmero de muestras de tamao n = 5 viene

dado por la combinatoria:

En el caso anterior la distribucin muestral para un estadstico determinado, la media aritmtica

() viene dada por:

Por lo tanto, X , X , X , , X 1 2 3 K 252 conforman la distribucin muestral de medias.

Se puede hacer una aproximacin experimental de distribuciones muestrales basadas en

poblaciones infinitas o finitas grandes, sacando un nmero de muestras aleatorias y siguiendo el

mismo procedimiento anterior.

3.6.1 Distribucin Muestral de Medias

Es la distribucin de probabilidad de todas las medias posibles de las muestras, para un tamao ndeterminado. Ver ejemplo, anterior. Esta distribucin de probabilidad tiene asociados

(parmetros) tales como la media y desviacin estndar . Para calcular, estos parmetros de

la distribucin muestral de medias se utilizan las siguientes relaciones:


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Es la desviacin estndar de la distribucin muestral de medias, se le llama error tpico o estndar

de la media y nos indica la diferencia promedio entre los diversos valores de y . Como se

observa, a medida que el tamao de la muestra aumenta este error disminuye, las diversas medias

muestrales se hacen ms uniforme en su valor, y en consecuencia, cualquier media muestral esuna buena estimacin de la media poblacional .

Anteriormente se mostr la manera de calcular la media y la desviacin estndar de la distribucin

de las medias muestrales. Ahora se va a distinguir dos situaciones:

a) Muestreo en una poblacin distribuida normalmente: Si es la media de la muestra aleatoria

de tamao n, tomada de una poblacin distribuida normalmente, con media y desviacin tpica

/n, entonces la distribucin muestral de X est normalmente distribuida. Para hallar la

probabilidad asociada a , se transforman los valores de a valores de la distribucin normalestandarizada, mediante la frmula:

Ejemplo: Cierta marca de neumticos tiene una vida til media de 21.000 Km con una desviacin

tpica de 800 Km.

a. suponiendo que la vida til de los neumticos estn distribuidas normalmente. Cul es la

probabilidad de que un neumtico cualquiera dure menos de 20.900 Km?

b. Cul es la probabilidad de que la vida til media de 64 neumticos sea inferior a 20.900 Km?

Solucin:

1. Como la variable X = vida til de los neumticos, est distribuida normalmente. Entonces la

probabilidad de que un neumtico cualquiera dure menos de 20.900 km se calcula de la forma

siguiente:


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Es decir, el porcentaje de que un neumtico tenga una vida til menor que 20.900 Km es de 44,83

%.

Para calcular esta probabilidad, se recurre a una tabla de distribucin normal estandarizada.

2. Si se seleccionan todas las muestras posibles de tamao 64 de la poblacin de neumticos,

entonces por lo anteriormente mencionado esta distribucin muestral de medias es normal, con

media y desviacin tpica igual a 21.000 Km y 100 Km respectivamente.

Luego la probabilidad de que la vida til media de 64 neumticos sea inferior a 20.900 Km se

calcula de la forma siguiente:

Por lo que el porcentaje de que la vida til media de 64 neumticos sea inferior a 20.900 Km es de

15,87 %.

b) Distribucin en poblaciones que no estn distribuidas normalmente.

Existen mtodos que se pueden emplear cuando se necesita hacer inferencia sobre este tipo de

poblacin. Una solucin usada con frecuencia es que se extraiga una muestra grande. Una vez

extrado ese n grande, el investigador puede utilizar el Teorema del Lmite Central, el cual se

enuncia a continuacin:

Sin tomar en cuenta la forma funcional de la poblacin de donde se extrae la muestra, la

distribucin de medias muestrales, calculadas con muestras de tamao n extradas de una

poblacin con media y desviacin estndar , se aproxima a una distribucin normal con

media y desviacin /n (raz cuadrada de n) , cuando n aumenta. Si n es grande, la distribucin

de las medias muestrales puede aproximarse mucho a una distribucin normal.

Este teorema expresa que sin tomar en cuenta la forma de la poblacin que se est estudiando, se

puede seguir empleando la teora normal para obtener inferencias sobre la media poblacional a

condicin de que obtengamos una muestra grande, porque la distribucin muestral de ser


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aproximadamente normal cuando n sea grande. Generalmente, muchos investigadores consideran

que a partir de n = 30 se puede usar el teorema del Lmite Central.

Ejemplo:Una empresa emplea 1500 personas. La cantidad promedio gastada durante un ao determinado,

en servicios mdicos personales por empleados fue de $ 25,75 y la desviacin estndar de $ 5,25.

Cul es la probabilidad de que una muestra de 100 empleados arroje una media comprendida

entre $ 25 y $ 27.

En este problema no se especifica si la poblacin es normal, pero como el tamao de la muestra n

= 100 > 30 podemos aplicar el teorema del lmite central, por lo que la distribucin muestral de

es aproximadamente normal y por lo tanto podemos hallar su probabilidad, esto es:

Es decir, se tiene un porcentaje del 92,37 % de que el promedio de gastos mdicos por empleado

durante un ao este entre $ 25 y $ 27, est distribuido segn la distribucin t de Student con v =

n1 + n22 grados de libertad.

c) Distribucin t de student:Esta distribucin permite realizar inferencias sobre medias poblacionales cuando se desconoce la

varianza de la poblacin con muestras de tamao n < 30. En consecuencia para hallar la

probabilidad asociada a t transformamos los valores t (de la distribucin normal) a valores de la

distribucin normal estandarizada mediante la siguiente frmula:

Para hallar la probabilidad asociada a t se usa la tabla de distribucin de Student.

Caractersticas de la distribucin t:

a) tiene forma de campana como la distribucin normal, solo que es ms ancha en las colas (mayor

rea)

b) los grados de libertad vienen dados por: v = n-1


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c) Se aproxima a la normal a medida que aumentan los grados de libertad.

Ejemplo: Considerando el ejemplo anterior, con = 25, $ 75 y desconocida. Cul es la

probabilidad de que una muestra de 20 empleados, con una desviacin de $ 5, arroje una mediacomprendida entre $ 25 y $ 27?.

Solucin: Como n < 30 y es desconocida, se tienen pequeas muestras, por lo que se utiliza la

distribucin t de Student:

Es decir, se tiene una probabilidad de 0,72 (72 %) de que la media de gastos mdicos por

empleado para una muestra de tamao n = 20 est entre $ 25 y $ 27.

3.6.2 DISTRIBUCIN MUESTRAL PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS

A veces interesa hacer inferencias sobre la diferencia poblacional de medias 1 - 2, o saber si es

razonable concluir que dos medias poblacionales no son iguales, considerando que se tienen

sendas muestras para las poblaciones 1 y 2, respectivamente, donde:

Entonces, la diferencia de las medias muestrales 1 2X X , estima a 1 - 2. La forma funcional de

la distribucin muestral de 1 2 X X depende de la forma funcional de las poblaciones donde se

extraen las muestras tomando en cuenta:

Si ambas poblaciones son normales la distribucin muestral de la diferencia de medias es normal.

Si una o ambas de las poblaciones no es normal, la distribucin muestral de las diferencias de

medias 1 2 X X es normal si n1 + n2 2 >30 (grandes muestras), este resultado se deduce del

teorema del lmite central.

En estos casos, los parmetros que definen esta distribucin muestral de las diferencias de medias

vienen dados por:


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El cual se aplica para dos casos especficos dependiendo de la muestra:

a) Para grandes muestras, cuando v = n1+n2 - 2 > 30, se trabaja con la distribucin normal. En

estos casos, estandarizando la diferencia de medias muestrales, se tiene:

Ejemplo: La siguiente tabla nos muestra informacin del tiempo medio en minutos que tarda un

cliente en ser atendido en dos bancos:

Hallar la probabilidad de que la diferencia media entre los dos bancos no exceda de 2 minutos.

Solucin: como los grados de libertad 20 + 13 2 =332=31 > 30, se tienen grandes muestras se

trabaja con la distribucin normal:

Existe un 91,46 % que la diferencia media entre los dos bancos no exceda de 2 minutos.


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b) Para pequeas muestras, Cuando v = n1 + n2 2 < 30, se trabaja con la Distribucin t de

Student. Por lo tanto, el valor viene dado por:

Ejemplo: Considerando los ingresos mensuales de empleados de dos empresas, se tieneinformacin de dos muestras mediante la siguiente tabla:

Hallar la probabilidad de que la diferencia de medias muestrales sea a lo menos 3500.

Solucin: Como los grados de libertad 20 + 102 =302=28 < 30, se tienen pequeas muestras se

trabaja con la distribucin t de Student:


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Es decir, la probabilidad de que la diferencia media de los salarios sea mayor que 3500 es del 0,99.

3.6.3 Distribucin de una Proporcin Muestral ()

Se define una proporcin poblacional como el cociente:

Por ejemplo: si de una poblacin de N = 50, empleados de una empresa, 15 de ellos no cumplen

con su horario de trabajo, la proporcin de empleados que no cumplen horario con relacin al

total, viene dado: P = 15/50 = 0,3; es decir, el 30 % de los empleados no cumplen su horario.

La proporcin muestral (), se define como:

= Nmero de Casos Favorables/Tamao de la Muestra

Ejemplo:

Si se toma una muestra aleatoria de tamao n = 1000 y 425 personas satisfacen un evento,

entonces p = 425 / 1000 = 0,425. Esto significa que el 42,5 % de las personas satisfacen dicho

evento.

La distribucin de una proporcin muestral, se define de una manera anloga a a la distribucin de

media, o sea:

Muestra 1---- 1

Muestra 2---- 2

Muestra 3---- 3

Muestra X---- x

De esta forma: 1,2,3,k, , 1 p , 2 p , 3 p ,..., p k corresponden a la distribucin de una

proporcin muestral.

De acuerdo a lo expuesto, la distribucin muestral de proporciones corresponde a una distribucin

de probabilidad de todas las proporciones posibles de las muestras, para un tamao n

determinado.

Los parmetros que definen esta distribucin vienen dados por:


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Para el clculo de probabilidades relativa a proporciones, se trabaja de manera anloga al caso de

la distribucin muestral de medias.

Ejemplo: Un encuestador sabe que en cierta rea el 20 % est a favor de las emisiones en bonos.

Considerando una muestra de 64 personas, hallar la probabilidad de que la proporcin muestral

difiera de la proporcin real a lo sumo en un 0,06.

Solucin:

p = 0.20 proporcin de personas de la poblacin que estn a favor de la emisin

= proporcin de personas de la muestra que estn a favor de la emisin, entonces nos estn

pidiendo la siguiente probabilidad:

3.6.4 Distribucin Muestral de Varianzas

Con esta distribucin, se estudia las probabilidades relativas a la varianza de una poblacin. De

esta forma, la distribucin muestral de varianzas, viene dada por todas las posibles varianzas de las

muestras para un tamao de muestra n determinado. Para encontrar probabilidades relativas a

varianzas se usa la distribucin 2 (chi cuadrado), para ello se transforman los valores S2 (varianzas

muestrales) a valores de 2 mediante la siguiente relacin: 2 = (n - 1). S2 / 2 para v = n - 1

(grados de libertad).

Nota: El nico requisito para usar la distribucin chi cuadrado es que la poblacin est

distribuida normalmente

Ejemplo:


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En una empresa, la desviacin estndar del sueldo de los empleados es de Bs. 75,000,

correspondiente a valores distribuidos normalmente. Para un nuevo estudio se escogen 17

empleados cuyos salarios se muestran a continuacin:

Se desea conocer si estos resultados muestran consistencia con respecto a la desviacin, en cuanto

a la variabilidad del sueldo de los empleados de dicha empresa.

Solucin:Cuando se habla de variabilidad nos referimos a la varianza desviacin estndar, por lo que

debemos calcular la desviacin muestral, esto es S = 87325,99 Bs. Por lo tanto:

Los resultados muestran consistencia ya que es ms probable que la varianza muestral para

muestras de tamao n = 17 estn por debajo de Bs. 87325,99

3.7 Tamao de la Muestra

La clave del problema estriba en escoger una muestra cuyo seleccin garantice la

representatividad de la poblacin objeto de estudio. En los estudios socio-econmicos, una

muestra de un 30% de la poblacin, tiene un elevado nivel de representatividad (Ramrez 1995);

sin embargo, esta representatividad depende mayormente, del tipo de muestreo. Obviamente,

que el trabajar con muestras, por muy confiables que sean, no se obtiene el 100% de exactitud, sin

embargo, ese pequeo error que acompaa siempre a los estudios por muestreo, es compensado

con el tiempo y costo ahorrado al trabajar con grupos pequeos en vez de toda la poblacin.

Determinacin del Tamao de la Muestra en una poblacin infinita , cuando se utilizan

proporciones:


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Ejemplo: Opinin de los electores sobre gestin de gobierno.Se realiz un estudio piloto de 150 electores donde 60 opinan favorablemente. A cuntas

personas es necesario encuestar si se desea un nivel de confiabilidad de 99 % y un error de

muestreo +/- 1.5%?.

Entonces se tiene:

En el caso de una Poblacin Infinita con 95 % de Confiabilidad.

Utilizando el ejemplo anterior, se tiene:

Al bajar el coeficiente o el nivel de confiabilidad, tambin baja el tamao de la muestra.

En el caso de que no exista un Estudio Piloto.


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A los valores de p y q se les asigna el valor de 50% a cada uno y es lo que se denomina Condiciones

desfavorables de muestreo. En el caso del ejemplo citado el tamao de la muestra viene

determinado de la siguiente manera:

Esto quiere decir que habr que encuestar a 4.268 personas.

En el caso de poblaciones finitas, el modelo matemtico difiere con el de las poblaciones

infinitas:

Donde: N es el tamao de la poblacin y n el tamao de la muestra.

Se puede aplicar en el siguiente caso: Conocer la opinin de los miembros de un sindicato, ante un

nuevo contrato colectivo. Compuesto por 3.257 obreros. Cuntas obreros se deben entrevistar

para obtener un nivel de confianza de 99 % y un error de muestreo de +/- 3%, en condiciones

desfavorables?

Se requieren encuestar a 1.168 obreros, para lograr cierto grado de Confianza.

Determinacin del Tamao de la Muestra en una poblacin para medias.

En este caso se utiliza la relacin:

Ejemplo: Se quiere estudiar la vida til media de una marca de neumticos. Si sabe por estudios

anteriores que la desviacin estndar es de 800 Km. Determinar el tamao de la muestra

requerido para un nivel de confianza del 95 %, fijando un error de 40.


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Sustituyendo los valores se tiene

En conclusin, la validez en la investigaciones de negocios, est muy relacionada con la

confiabilidad del muestreo y una muestra confiable est en funcin del tipo de poblacin a

estudiar ( finitas o infinitas); asi mismo, en cuanto al nivel de confiabilidad, sta ser mayor si la

muestra es mayor y en relacin al error de muestreo, ste ser menor cuando la muestra es

mayor.

Para determinar el tamao de la muestra de una forma ms rpida y prctica, se han diseado las

Tablas de Harvard, las cuales permiten calcular, rpidamente el tamao de la muestra a tomar, enfuncin del error de muestreo, niveles de confiabilidad y posibles valores de p y q.

Para profundizar en este aspecto de muestreo, se recomienda consultar los textos especializados

en estas reas. Pues una vez determinado el tamao de la muestra el paso siguiente que se

plantea es lo relacionado al tipo de muestreo que se va a utilizar para escoger los elementos que

integran a la muestra y esto es un amplio e interesante tema a tratar.

4.0 Control Estadstico del Proceso

4.1 Introduccin

El objetivo es conocer los mtodos estadsticos utilizados en el control de procesos y aplicar las

herramientas especficas para cada caso, con la finalidad de detectar y corregir posibles fallas.

La estadstica descriptiva y la inferencial as como la teora de probabilidades, tienen un campo

muy amplio de aplicacin en la industria, especialmente en el control de la calidad y en el anlisis

de procesos.

En los procesos de produccin se generan simultneamente grandes volmenes de informacin

cuantitativa y cualitativa a travs de las cuales se pueden controlar los costos, la produccin y la

calidad, es decir, lo que significa el control de gestin administrativa de la compaa.

La recopilacin, presentacin y anlisis de este flujo de informacin permite a la gerencia conocer

los resultados y establecer controles y as mismo comparar los resultados obtenidos con lo


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deseado, pudiendo establecer acciones correctivas cuando se observen discrepancias significativas

entre ellos.

El Control Estadstico de la Calidad es el conjunto de acciones orientadas a cumplir con las metasde calidad previamente establecidas, utilizando para ello las tcnicas estadsticas aplicables al

menor costo posible.

Lo importante del Control de Calidad es que constituye una herramienta muy eficaz para

incrementar la productividad, permitiendo elevar el nivel tcnico de la empresa, incrementando la

produccin y reduciendo los costos de operacin.

De esta forma, el propsito del control de la calidad es fijar la calidad normal, mantener y mejorar

el nivel, la uniformidad y la confiabilidad de la calidad garantizando sta y reduciendo los costos defabricacin, suministrar productos a la satisfaccin del cliente aumentando los beneficios.

Como se observa, el control de calidad involucra el proceso total de: comercializacin,

investigacin, desarrollo, produccin, transporte, instalacin y mercadeo, sin soslayar todas

aquellas funciones tendientes a maximizar el beneficio.

4.2 Mtodos Estadsticos

Este control moderno de la calidad implica el uso de mtodos estadsticos, siendo denominadoControl Estadstico de la Calidad cuya aplicacin es ampliamente utilizada en diferentes reas

tales como: anlisis de procesos, control de procesos, investigacin, desarrollo, etc.

En funcin de ello se puede establecer una estructura basada en:

Ingeniera de Control de Calidad: Encargada del planeamiento de calidad de una empresa.

Ingeniera en Control de Procesos: Supervisa la aplicacin adecuada del sistema del control de

calidad en la fabricacin.

Ingeniera de equipos de informacin: Disea y desarrolla el equipo para la inspeccin y el ensayo.

Entre los mtodos estadsticos de mayor uso se tienen:

a. Grficas de control.

b. Distribucin de frecuencia, histogramas y diagramas de pareto.

c. Distribuciones estadsticas.

d. Ensayo de significacin.


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e. Inspeccin por muestreo.

f. Diseo de experimento y anlisis de la varianza.

En el cuadro que a continuacin se presenta se resume las diferentes reas de control y lastcnicas utilizadas en cada una de ellas:

Control Tarea Tcnica Utilizada

CONTROL DE NUEVOS

DISENOS

MATERIAPRIMA

Planeamiento de la

calidad del producto y

proceso, standard,

costos, especificaciones

del proceso, confiabilidad.

Controles de recepcin yalmacenamiento,

economa y costos.

Anlisis de la funcin producto,

pruebas ambientales, prototipo,

evaluacin, estndares de calidad,

anlisis de materia prima,

inspeccin, entrenamiento,

almacenamiento y transporte.

Evaluacin de proveedores,

instrumentos de medicin ,

entrenamiento, muestreo,

especificaciones, caractersticas de

calidad, lotes rechazados y

aceptados, anlisis estadsticos,

etc.

PRODUCTOY PROCESO

ESTUDIOSESPECIALES

Control del producto

desde su fabricacin,

establecer correctivos,

servicios.

Investigaciones y ensayo

para mejorar la calidad.

Control de procesos, productos

terminados, control de

herramientas, mantenimiento,

personal, condiciones ambientales,

inspeccin, cartas de control,

muestreo, planos, auditora,defectos, empaque y despacho,

servicios.

Grficas. distribucin de

frecuencias, diagramas de fallas,

anlisis de pareto, diferentes

mtodos estadsticos, pruebas de

hiptesis, distribucin t, chi

cuadrado, anlisis de la varianza,

correlaciones y regresiones,

anlisis secuencial.

El anlisis de procesos no viene a ser ms que la aplicacin de mtodos cientficos al

reconocimiento y a la formulacin de problemas y al desarrollo de procedimientos para

resolverlos. Esto significara: la especificacin matemtica del problema para una situacin fsica

determinada y realizar el anlisis pormenorizado para obtener los modelos matemticos, lo cual

conducira a la sntesis y presentacin de los resultados para asegurar su comprensin y posible

aplicacin.


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El anlisis estadstico desempea un papel importante en el estudio de los procesos. El mtodo de

encontrar las causas de los productos con defectos, es lo que se denomina Diagnstico del

Proceso. Para reducir el nmero de productos defectuosos la primera accin es la de hacer un

diagnstico correcto para determinar las causas de los defectos.

Existen muchos mtodos para hacer un diagnstico correcto, algunos basados en la intuicin y

otros en la experiencia. En este trabajo se recurrir al anlisis estadstico de los datos; la forma

estadstica de considerar las cosas y el uso de los mtodos estadsticos constituye un medio muy

valioso para hacer las observaciones.

4.2.1 Graficas de Control

De acuerdo con E.L. Grant (Statistical Quality Control) la calidad medida de un productomanufacturado, est siempre sujeta a una cierta variacin fortuita. Algn sistema estable de

causas fortuitas es inherente a cualquier esquema particular de produccin e inspeccin. La

variacin propia de este modelo estable es inevitable, pero las razones para la variacin fuera de

este modelo estable pueden ser descubiertas y corregidas.

La carta control desarrollada por Shewhart (Economic Control of Quality of Manufatured Product.)

es un dispositivo grfico para detectar modelos no naturales de variacin en los datos resultantes

de procesos repetitivos, lo cual permite fijar un criterio para detectar deficiencias en el control

estadstico. En estas cartas los puntos muestreados son representados grficamente de una formasecuencial y posteriormente unidos por una lnea facilitando la interpretacin visual.

Figura 9 Grafica de Control

Las pruebas ms comunes para modelos no naturales son las pruebas de inestabilidad, las cuales

permiten determinar si el sistema de causas est cambiado, comnmente se les designa como las

zonas A, B, y C.


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Como referencia a estas zonas, el modelo de variacin observado se dice que es no natural o que

el proceso est fuera de control si ocurre uno o ms de los siguientes eventos:

1.- Un slo punto cae fuera del lmite de control.Por ejemplo ms all de la zona A.

2.- Dos de tres puntos sucesivos, caen en la zona B o ms all

3.- Cuatro de cinco puntos sucesivos caen en la zona B o ms all

4.- Ocho puntos sucesivos caen en la zona C o ms all

Estas pruebas se aplican separadamente a ambas mitades de la Carta Control.

Las cartas ms comnmente usadas son: Carta X, la Carta R, la Carta p, y la carta c; las dos primeras

tratan con datos de medicin, mientras que las dos ltimas tratan con datos de atributos.

(Enumeracin).

Frmulas para las Cartas de Control

Las constantes A2 , D3 y D4 estn tabuladas (ver anexo), mientras que las cantidades X, R, p, y c se

calculan de los datos suministrados.

Planes de Muestreo:

El muestreo de aceptacin puede ser de dos tipos: muestreo lote por lote tambin denominado

muestreo por atributos y muestreo de produccin continuo o muestreo variable. Los primeros se

refieren a los casos donde cada espcimen es clasificado simplemente como defectuoso o no

defectuoso; en los planes variables se refiere a los casos en los cuales una medida es tomada y

registrada numricamente en cada espcimen inspeccionado. El plan de muestreo por atributosque se efecta en base de lote, est definido por tres elementos: el tamao del lote (N), el tamao

de la muestra (n) y el nmero de aceptacin A.

Ejemplo:

La tabla que se exhibe a continuacin muestra los valores codificados de la resistencia a la

compresin de bloques de concreto.


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Igualmente para la Carta R:

LSC = D4. R = (2.12) (1.59) = 3.37

LIC = D3. R = (0) (1.59) = 0

Si tratamos con datos de enumeracin como por ejemplo el nmero de fusibles defectuosos

escogidos en muestras de tamao 50, tomados en tiempos al azar durante el proceso de

produccin; podemos emplear la Carta p.


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De esta tabla de valores se comprueba:

p = p/K = 1.68/40 = 0.042

Aplicando la Ecuacin correspondiente

LSC = p + 3 p (1- p) / n

LSC = 0.042 + 3 (0.042) (0.958) /50 = 0.127

LIC = 0.042 - 3 (0.042) (0.958) /50 = - 0.043

Como el LIC resulta un valor negativo y debido a que la fraccin defectuosa es una cantidad no

negativa, este lmite se toma como cero, lo cual hace a los lmites de control asimtricos con

respecto a la lnea central.

Si interesa determinar el nmero de defectos por unidad, la Distribucin de Poisson y una carta C

sera lo ms apropiado. A continuacin se presentan los datos tabulados del nmero de defectos

observados en una junta soldada, realizando cada conteo en una sola junta, soldndose 8 juntas

por hora.

Del cuadro siguiente y aplicando las ecuaciones correspondientes tenemos:

c= c/K = 144/24 = 6

LSC = + 3 c

LSC = 6 + 3 6 = 13.35

LIC= 6 - 3 6 = - 1.35


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En esa grfica no se presentan puntos por encima del LSC; igualmente, el mismo patrn aparece

cada medio da; este patrn recurrente sugiere un factor de fatiga que debe ser tomado en cuenta.

4.2.2 Diagrama de Causa Efecto

Es una representacin grfica de la relacin entre un efecto y todas las posibles causas que

influyen en l, permitiendo identificarlas y clasificarlas para su anlisis. Es llamado tambin

diagrama de Ishikawa o Espina de Pescado.


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Ejemplo

Despus de haberse realizado un anlisis de las principales causas que originan bobinas desviadas

en el laminador tandem 1, se encontr que manchas contaminantes afectaba en gran proporcin

los resultados de calidad. El equipo de trabajo realiz un estudio utilizando el diagrama causa

efecto el cual se presenta a continuacin:

4.2.3 Diagrama de Pareto

a. Es un grfico de barras que jerarquiza los problemas, condiciones o las causas de stos,

por su importancia e impacto siguiendo un orden descendente de izquierda a derecha.

b. Es utilizado cuando se necesita determinar el orden de importancia de los problemas o

condiciones a fin de seleccionar el punto de inicio para la solucin de dichos problemas

o la identificacin de la causa fundamental de ellos.


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4.2.4 Grafico de Corridas

Es una representacin grfica mediante lneas del comportamiento de una variable en un proceso

durante un perodo determinado, es utilizado cuando se necesita mostrar las tendencias de puntos

observados, dentro de un perodo de tiempo especificado.


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PASOS PARA LA ELABORACIN DE UN GRAFICO DE CORRIDAS:

1. Determinar la variable del proceso a medir.

2. Establecer la escala a utilizar en los ejes:a. El eje horizontal X , representa el perodo de tiempo y

b. El eje vertical Y, representa los valores de la variables del proceso.

3. Indicar con puntos los valores encontrados en cada una de las mediciones y proceder a unir

dichos puntos mediante el uso de lneas.

4. Calcular el promedio de los valores.

5. Representar en el grfico el promedio determinado trazando una lnea horizontal.

6. Interpretar el grfico resultante.

4.2.5 Histograma de Frecuencia

Es una grfica de barras que muestra la frecuencia con que ocurre una determinada caracterstica

que es objeto de observacin. Es utilizada comnmente cuando se requiere mostrar la distribucin

de los datos y representar la variacin propia de un proceso.

4.2.6 Anlisis de Regresin

En muchas situaciones que se presentan a menudo en el campo de la ciencia, la ingeniera o las

ciencias econmicas nos encontramos con el problema de la relacin entre dos variables


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numricas. Por ejemplo, la relacin entre la temperatura de un paciente y el nmero de

pulsaciones por minuto o la relacin entre el costo de un producto y el costo de la mano de obra

para fabricarlo. Muchas veces existen ecuaciones matemticas que nos permiten calcular una

variable conociendo el valor de otra de la cual depende.

En general, cuando se nos presentan dos variables numricas X e Y, podemos encontrar distintos

tipos de relacin entre ellas. Puede ocurrir que entre ellas no exista ningn tipo de relacin. En tal

caso, la variacin de una de ellas no genera una variacin correlativa en la otra. Variacin

correlativa significa que cada vez que X aumenta, Y debe aumentar si hay correlacin positiva o

cada vez queX aumenta, Y debe disminuir en caso de correlacin negativa. Pero si cada vez queX

vara, Y puede aumentar o disminuir al azar en cualquier grado y proporcin, entonces significa

que no hay ninguna correlacin entre ambas:

Figura 16 Grafica de Correlacin

Cuando hay una relacin funcional entre X e Y, es decir Y=F(X), la correlacin entre ambas es

perfecta. Supongamos que medimos el valor de Y para un determinado valor de X, y que dicho

valor de X lo podemos fijar con exactitud (En general, esto no va a ser cierto). La ecuacin de la

funcin nos da un valor de Y para ese valor deX. El valor de Y medido y el valor de Y calculado con

la ecuacin, en general, no van a coincidir. Si repitiramos la medicin de Y muchas veces para el

mismo valor deX, tendramos una serie de valores que son diferentes del valor calculado. Pero si

seguimos este proceso, obtendremos una poblacin de valores de Y cuyo promedio s va a

coincidir con el valor calculado.


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Es decir, la relacin funcional expresada por la ecuacin matemtica se cumple para los promedios

de losX e Y medidos, porque la mediciones individuales estn sujetas al error experimental o error

de medicin. Vemoslo con un ejemplo. Si dejamos caer una pelotita desde el borde de una mesa,

la distancia que recorre desde el borde hasta tocar el suelo se puede calcular por medio de laecuacin siguiente:

Hay una relacin funcional no lineal entre la altura Y desde la cual cae la pelotita y el tiempo t que

tarda en caer, expresada por la ecuacin anterior. Si dejamos caer la pelotita midiendo con un

cronmetro el tiempo que tarda en llegar al suelo y medimos tambin la distancia recorrida (la

altura de la mesa), los valores resultantes de la medicin seguramente no cumplen con esarelacin. Esto lo podemos verificar reemplazando t en la ecuacin por el tiempo obtenido con el

cronmetro. El valor resultante Y seguramente no va a coincidir con nuestra medicin de la altura

de la mesa. Si repetimos esto muchas veces, las mediciones de tiempo y distancia realizadas en

cada ocasin, en general, no van a cumplir la relacin. Pero si promediamos todas las mediciones

de tiempo y luego reemplazamos t en la ecuacin por este promedio, la distancia calculada con la

ecuacin s va a coincidir con el promedio de todas las mediciones de altura de la mesa.

Entre las dos posibilidades extremas, la de no tener ninguna relacin entre las variables y la de

tener una relacin funcional, hay infinitas situaciones intermedias, en las cuales hay un ciertogrado de correlacin entre ambas:

Figura 17 Grafica de Correlacin


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En muchos problemas prcticos de la industria y de la economa se trata de conocer en forma

emprica la relacin entre dos variables, de tal manera que si se tiene un valor de la variable X se

pueda obtener por clculo o en forma grfica el valor de la variable Y, sin importar si existe una

verdadera relacin funcional entre ambas variables. Por ejemplo, supongamos que tenemos ungrupo muy grande de personas de sexo masculino, de edad entre 30 y 40 aos. Se nos presenta el

problema de relacionar las variables peso y estatura, de tal manera que, conociendo la estatura en

metros de un individuo del grupo, podamos calcular su peso en Kg. Entre ambas variables no existe

una relacin funcional. Esto lo vemos fcilmente si tomamos algunos individuos cuya estatura sea

la misma, por ejemplo, 1,75 mts. y medimos el peso de cada una. Resulta claro que las mediciones

van a ser diferentes, una pesar 73 Kg., otra 79 Kg., etc. y estas diferencias no se deben al error de

medicin, sino a diferencias reales en el peso de las personas:

Figura 18 Grafica de Peso Vrs. Altura

Quiere decir que para un determinado valor de la variable estatura podemos encontrar mltiples

valores de la variable peso, lo cual niega la existencia de relacin funcional. No obstante, existe un

importante grado de correlacin entre ambas variables, porque sabemos que a medida que

aumenta la estatura de las personas dentro del grupo, el peso tiende a aumentar. Cmo podemos

hacer, entonces, para estimar el peso de una persona conociendo su estatura?

Para ello, vamos a suponer un procedimiento hipottico: Tomamos del grupo un nmero muy

grande de personas que miden exactamente 1,65 mts., las pesamos y promediamos los resultados.


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Repetimos el procedimiento para grupos que miden 1,70 mts., 1,75 mts., etc. y luego

representamos grficamente los promedios de peso en funcin de dichas alturas:

Figura 19 Regresin del Peso sobre la Altura

La representacin resultante se denomina Regresin del peso sobre la altura, y a la ecuacin

correspondiente Ecuacin de Regresin. Una vez hecho esto, disponemos de una forma sencilla de

estimar el peso de una persona del grupo conociendo la altura: con la misma entramos al grfico y

obtenemos el valor de Y correspondiente. Este valor Y es el promedio de los pesos de las personasdel grupo que miden una altura X, y slo nos sirve como una estimacin (aproximacin) del peso

real de la persona cuyo peso deseamos conocer.

Tambin podemos utilizar la ecuacin de regresin para calcular el peso. La forma de la

representacin grfica puede ser una recta u otro tipo de curva. Cuando es una recta decimos que

es una regresin lineal, y de ahora en ms nos referiremos a este tipo de regresiones.

El procedimiento real para obtener la regresin utiliza un mtodo que se conoce como Mtodo de

los Cuadrados Mnimos. Se toma una muestra aleatoria de personas del grupo que cubran todo el

rango de alturas y a cada una se le mide el peso y la altura. Si representamos estos puntos en un

grfico, veremos que se agrupan aproximadamente alrededor de una recta imaginaria, que

representa los puntos de la regresin. Parece lgico pensar que la recta de la regresin debe pasar

muy cerca de los puntos experimentales (las mediciones que realizamos). Si hacemos pasar esta

recta imaginaria por el punto correspondiente a uno de los individuos la estamos alejando,

probablemente, de los otros puntos.


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Es decir que, la recta de regresin debe pasar a una distancia ptima de los puntos

experimentales, de tal manera que est lo ms cerca posible de todos ellos. Esto es lo que se trata

de hacer con el mtodo de los cuadrados mnimos.

Entonces, tenemos una serie de valores de la variable X, para cada uno de los cuales se mide la

variable Y:

La ecuacin de la recta de regresin ser de la forma:

Y R= a + bX

Si ingresramos en esta ecuacin los valores X1 ,X2 ,X3 , etc. obtendramos los valores de Y de la

regresin: YR1, YR2 y YR3, etc. Las diferencias entre estos valores calculados y los valores Y

medidos se denominan residuos:

(Y R 1Y1)

(Y R2Y2)

(Y R3Y3)

.etc.

Si elevamos las diferencias o residuos al cuadrado y sumamos estos cuadrados, obtenemos una

cantidad denominada suma de cuadrados alrededor de la regresin:

De todas las rectas posibles que pasan por los puntos representados en el grfico, la recta de

regresin debe ser la que haga mnima esa suma de cuadrados. Observemos que en dicha suma de

cuadrados conocemos los valoresXi , Yi (Son la mediciones que realizamos) y deseamos conocer a

y b, que son los coeficientes de la ecuacin de regresin. Para obtenerlos se calcula el mnimo de la

suma de cuadrados y de las ecuaciones resultantes se despejan las frmulas de ambos

coeficientes, que son como sigue:


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Son los promedios deXi e Yi respectivamente y n es el nmero de pares de observaciones Xi , Yi .

De esta forma, Cmo podemos conocer cul es el grado de vinculacin entre ambas variables?

Para ello, calculamos el Coeficiente de Correlacin, que es un nmero real entre 0 y 1 que nos da

el grado de correlacin entre dos variables X e Y. Cuando este coeficiente es 0, la correlacin entre

ambas variables no existe; cuando es 1, hay una correlacin perfecta, es decir, tenemos unarelacin funcional entre ambas. El coeficiente de correlacin es el cociente entre la Covarianza y

las desviaciones standard deX e Y:

5.0 Ajustes de Curvas

Cuando se quiere estudiar la relacin entre variables se puede recurrir a dos tipos de

modelos:

5.1 Modelo Determinstico, la relacin viene definida a travs de una frmula. Por

ejemplo, sea y = x2, entonces se dice que y est en funcin de x, donde y se conoce como

variable dependiente y x variable independiente. La caracterstica fundamental de este

modelo es que para un valor particular de x siempre obtenemos el mismo resultado en y,

esto significa que la relacin entre las variables es perfecta.


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5.2 Modelo Probabilstico, la relacin entre las variables no es perfecta, ya que debido a una

perturbacin aleatoria (ruido) a veces para un mismo valor de la variable independiente x se

obtienen valores diferentes para y. En este caso, no se obtiene una curva sino un diagrama de

dispersin.

Considerando el ejemplo anterior, y = x2 + , donde es un ruido.

Por tanto, los modelos probabilsticos son tiles cuando se realizan investigaciones del tipo

experimental donde a pesar de mantener fijo los valores de la variable independiente ocurren

fluctuaciones debido fundamentalmente a errores de medicin, de los equipos, etc. En el presente

trabajo estamos interesados en este tipo de modelos. A continuacin mencionamos los modelos

de ajustes ms usados:

Regresin simple: Se define como la curva que optimiza (minimiza), mediante el mtodo de los

mnimos cuadrados, los saltos o fluctuaciones de los datos. Es decir, es la curva que mejor ajusta

los valores del diagrama de dispersin convirtiendo el modelo probabilstico en un modelo

determinstico con la finalidad de realizar predicciones. De igual forma, la curva de regresin

permite modelar la tendencia de los valores. Los modelos de regresin simple vienen definidos por

y = f(x)+. A continuacin veamos los distintos modelos con su respectivo ajuste o curva de

regresin:


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El procedimiento en un anlisis de regresin consiste en calcular los estimadores ( a, b, c y d )

que definen la curva que mejor ajusta los datos. En la actualidad, existen paquetes estadsticos que

permiten calcular los estimadores y la curva de regresin directamente, sin necesidad de realizar

los clculos manualmente. (Excell, Statgraph, Minitab, SSPS y otros).

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