PRUEBA

DE

HIPÓTESIS1

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Una Hipótesis es una declaración sobre el valor de un parámetro de la población, desarrollado con el propósito de probar.

¿Qué es una Hipótesis?

Veinte por ciento de todos los clientes en un restaurante regresan para otra comida dentro de un mes.

Ejemplos:

El ingreso mensual promedio para los analistas de sistemas es de $ 3,625.

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La prueba de hipótesis es un procedimiento, basado enevidencia de la muestra y teoría de probabilidad, que se usapara determinar si la hipótesis es una declaración razonable yno debe ser rechazada, o no es razonable y debe rechazarse.

¿Qué es la prueba de hipótesis?

Pasos de prueba de hipótesis

PASO 1

Formular Hipótesis Nula H0

y Alternativa Ha

PASO 2

Seleccionar un Nivel de Significancia (α)

PASO 3

Hallar el estadístico de prueba:Zα , tα (una cola)

Zα/2 , tα/2 (dos cola)

PASO 4

De una muestra calcular el estadístico :

Z, t

PASO 5

CONCLUSIÓN:No rechazar H0

o rechazar H0 y aceptar Ha

4

"≠" "<" y ">" siempre forman parte de Ha

Cosas importantes para recordar sobre H0 y Ha

H0: hipótesis nula y Ha: hipótesis alternativa

H0 y Ha son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos

H0 siempre se presume que es verdadera. En la práctica real, el status quo se configura como H0

Ha es la hay que probar

Una muestra aleatoria (n) se usa para "rechazar H0"

Si concluimos "no rechazo H0", esto no significa necesariamente que la hipótesis nula sea verdadera, solo sugiere que no hay pruebas suficientes para rechazar H0; rechazando la hipótesis nula entonces, sugiere que la hipótesis alternativa puede ser verdadera.

La igualdad siempre es parte de H0 (por ejemplo, "=", "≥", "≤").

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En la resolución de problemas, busque palabras clave y conviértalas en símbolos. Algunas palabras clave incluyen: "mejorado, mejor que, tan efectivo como, diferente de, ha cambiado, etc."

Palabras clave Símbolo Parte de:

Más grande (o más) que,

ha aumentado

> Ha

Más pequeño (o menos) < Ha

No más que H0

Al menos ≥ H0

¿Hay alguna diferencia? ≠ Ha

No ha cambiado = H0

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INVDECISIÓN

HIPÓTESIS NULA NO RECHAZAR H0 RECHAZAR H0

H0 VERDADERA DECISIÓN CORRECTA ERROR TIPO I

H0 FALSA ERROR TIPO II DECISIÓN CORRECTA

Definido como la probabilidad de "aceptar" la hipótesis nula cuando en realidad es falsa. Esto se denota con la letra griega "β"

Probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es realmente verdadera.Esto se denota con la letra griega " α “. También conocido como el nivel de significancia de una prueba

Error Tipo I:

Error tipo II:

ERRORES

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Prueba de dos colas

Probabilidad 1

2ZZ

NO RECHAZAR H0 Región de RECHAZO

α/2

2Z

Valor crítico

Región de RECHAZO

α/2

Valor crítico

0 0:H

0:aH

Rechazar H0 si:

2Z Z

2, 1nt t

8

Prueba de una cola: SUPERIOR

Probabilidad 1

Z Z

RECHAZAR H0

α

Valor crítico

0 0:H

0:aH

Rechazar H0 si:

Z Z

, 1nt t NO RECHAZAR H0

9

Prueba de una cola: INFERIOR

Probabilidad 1

ZZ

RECHAZAR H0

α

Valor crítico

NO RECHAZAR H0

0 0:H

0:aH

Rechazar H0 si:

Z Z

, 1nt t

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Ejemplo 1

Una empresa fabrica y ensambla escritorios. La producción semanal de escritorios sigue la distribución de probabilidad normal con una media de 200 y una desviación estándar de 16. Recientemente, debido a la expansión del mercado, se han introducido nuevos métodos de producción y se han contratado nuevos empleados. Al gerente de fabricación le gustaría investigar si ha cambiado la producción semanal del escritorio. Se toma una muestra de 50 semana y se obtiene un promedio de producción semanal de escritorios de 203.5. Prueba usando 0.01 nivel de significancia.

Solución: Paso 1: Indique la hipótesis nula y la hipótesis alternativa.(la palabra clave en el problema "ha cambiado")

H0: µ = 200Ha: µ ≠ 200

Paso 2: Indica el Nivel de Significancia.

α = 0.01

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Paso 3: Determina el estadístico de prueba.

203.5 2001.55

16 50

XZ

n

Probabilidad 99%

2.58 Z

NO RECHAZAR H0 Región de RECHAZO

0.5%

2.58

Región de RECHAZO

0.5%

1.55

Como 1.55 no cae en la región de rechazo, H0 no se rechaza. Concluimos que la media de la población no es diferente de 200. Por lo tanto, le informaríamos al gerente de fabricación que la evidencia de la muestra no permite pensar que la tasa de producción de escritorios haya cambiado de 200 por semana.

Paso 5: CONCLUSÓN: tome una decisión e interprete el resultado.

2 0.01 2 0.005 2.58ZZ Z Es una prueba de dos colas

Paso 4: Calcule el estadístico de la muestra.

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Ejemplo 2

Supongamos que en el problema anterior el gerente quiere saber si ha habido unaumento en el número de unidades ensambladas. Para decirlo de otra manera,¿podemos concluir, debido a los métodos de producción mejorados, que el númeromedio de escritorios ensamblados en las últimas 50 semanas fue más de 200?Recordar: σ = 16, n = 50, α = .01

Solución:Paso 1: Indique la hipótesis nula y la hipótesis alternativa.

H0: µ≤ 200Ha: µ> 200

(La palabra clave en el problema "un aumento")

Paso 2: Indica el nivel de significancia.

α = 0.01

Paso 3: Determina el estadístico de prueba.

0.01 2.33Z Z

Es una prueba de una cola (superior)

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Paso 4: Calcule el estadístico de la muestra.

203.5 2001.55

16 50

XZ

n

Probabilidad 99%

Z

NO RECHAZAR H0

2.33

Región de RECHAZO

1%

1.55

Como 1.55 no cae en la región de rechazo, H0 no se rechaza. Concluimos que el número promedio de escritorios ensamblados en las últimas 50 semanas no es más de 200

Paso 5: CONCLUSÓN: tome una decisión e interprete el resultado.

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Una muestra aleatoria de 100 paquetes mostró un peso promediode 71.8 gr. Con una desviación estándar de 8.9 gr. Pruebe con unnivel de significancia de 5%, que el peso promedio de todos lospaquetes (población) es mayor a 70 gr.

Solución:

Ejemplo 3

Paso 1:0 : 70H

: 70aH

Paso 2 y 3: 0.05

Paso 4:0 71.8 70

2.028.9 100

XZ

n

0.05 1.645Z

Paso 5:

0.05

2.02 1.645

Z Z

Debido a que:

Se rechaza que la media poblacional es 70 gr y se concluye, con una significancia del 5%, que el peso promedio de la población es mayor a 70 gr.

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Si el valor de p <nivel de significancia, H0 es rechazado, de lo contrario H0 no es rechazado.

Valor de p en Prueba de hipótesisp-VALOR es la probabilidad de observar un valor de muestra tan extremo como, o más extremo que, el valor observado, dado que la hipótesis nula es verdadera.

Al probar una hipótesis, también podemos comparar el valor de p con el nivel de significación (α).

value ZP P Z

2value ZP P Z Prueba de una cola:

Prueba de dos colas:

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Ejemplo:

Recuerde el último problema donde las reglas de hipótesis y decisión se configuraron como:

H0: µ ≤ 200Ha: µ > 200

Probabilidad 99%

Z

NO RECHAZAR H0

Región de RECHAZO

1%

1.55

1.55 0.5 0.439

value

4

0.0606

P

P

Z

Solución:

Como 0.0606 no es menor que 0.01 CONCLUIMOS no rechazar H0

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(a) 0.10, tenemos alguna evidencia de que H0 no es verdad.

(b) 0.05, tenemos pruebas sólidas de que H0 no es verdad.

(c) 0.01, tenemos pruebas muy sólidas de que H0 no es verdad.

(d) 0.001, tenemos pruebas extremadamente sólidas de que H0 no es verdadero.

¿Qué significa cuando p-value < α?

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1. Una empresa farmacéutica ha establecido que un comprimido debe tener un peso medio igual a 0.50 g y una desviación estándar de 0.11 g. Se tomó una muestra de 144 comprimidos de un lote de fármacos, cuyo peso promedio fue de 0.53 g. Para un nivel de significación de 0.01, ¿el peso de los comprimidos en el lote se diferencia del admisible por Ia empresa?

Resp. El peso de los comprimidos si se diferencia de 0.50 gr

Ejercicios Propuestos

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2. Según un estudio del Ministerio de Educación, el costo medio de la lista de útiles de los escolares de educación básica es 87 dólares. Para verificarlo, un investigador tomó una muestra con los siguientes resultados:

Costo (Xi) $ 68 75 93 101 123

cantidad 2 3 4 5 6

Para un nivel de significación de 0.05, verificar la hipótesis.

Resp. El precio medio de las listas de útiles es distinto al que afirma el Ministerio.

20

3. Según las previsiones del gobierno, la inflación para este año será de 3.9 %. Un economista, desconfiado de Ia cifra, realizó una investigación por su cuenta y registró la variación de los precios en los 22 artículos que a su juicio tienen la mayor incidencia en Iaeconomía popular. Obtuvo una variación de 4.5 % y una desviación estándar de 1.3 %. Pruebe si la cifra de inflación del investigador será mayor que la del gobierno.

Resp. Se deduce que μ=3.9% no es concluyente, puesto que con α=0.05 se rechaza y con α=0.01 se acepta. En este caso se debería aumentar el número de observaciones.

21

1. Una empresa realizó una investigación de mercado para determinarel nivel de consumo de refresco, para lo que consultó a 200consumidores, de los cuales 28 expresaron su preferencia por elproducto. El fabricante, de acuerdo a sus ventas, cree que tiene el10% del mercado de refrescos. ¿Son los resultados de Ia investigaciónconsistentes con los datos del fabricante?

Prueba de Hipótesis sobre la proporción

Solución:Datos:

200n

28ˆ 0.14

200p

0.10p

22

Paso 1:0 : 0.1H p

: 0.1aH p

Paso 2 y 3: 0.05

Paso 4:

ˆ 0.14 0.101.886

1 0.1 0.1 0.9 200

p pZ

p p n

0.05 2 0.022 5 1.96ZZ Z

Paso 5:

0.025

1.886 1.96

Z Z

Debido a que:

Se acepta que el fabricante tiene el 10% del mercado. No hay evidencia de que la proporción de consumidores sea distinta del 10 %.

Prueba de 2 colas

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2. La norma de artículos aceptables producidos por una fábrica es 90% .Se ha tomado una muestra aleatoria de 175 artículos y seencontraron 150 artículos aceptables. Pruebe con una significancia de5% que no se está cumpliendo con la norma.

Solución:

Datos:175n

150ˆ 0.857

175p

0.90p

24

Paso 1:0 : 0.9H p

: 0.90a pH

Paso 2 y 3: 0.05

Paso 4:

ˆ 0.857 0.901.869

1 0.9 1 0.9 175

p pZ

p p n

0.05 1.645Z Z

Paso 5:

0.05

1.886 1.645

Z Z

Debido a que:

Rechazamos H0. Hay evidencia suficiente para afirmar que, con una significancia del 5%, no se cumple la norma (se están fabricamos menos del 90% aceptables) .

Prueba de 1 colas (inferior)

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1. Una marca de aceite comestible cubre actualmente el 20 % de lospotenciales clientes. Para incrementar las ventas se estructura unacampaña publicitaria intensiva. Al final de la misma se realizará unainvestigación a 400 consumidores potenciales para determinar si hatenido éxito. La empresa concluirá que la campaña tuvo éxito si al menos94 de los 400 entrevistados prefieren su producto. Determine si tuvoéxito o no.

Ejercicios Propuestos

Resp. Si tuvo éxito

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2. En una encuesta a 300 taxistas, 132 contestaron que utilizan el cinturónde seguridad. Utilizando un nivel de significación del 5 %, ¿podemosconcluir que la mitad de los conductores utilizan el cinturón?

Resp. No