1

บทท 1 ล ำดบอนนตและอนกรมอนนต

1.2 ลมตของล ำดบอนนต

(1) พจารณากราฟของล าดบ 1

2n n

a ดงตอไปน

จากกราฟจะเหนวา ถา n มคามากขนโดยไมมทสนสดแลว na มคาลดลงและเขาใกล 0 แต

จะไมเทากบ 0 หมำยเหต เสนประทปรากฏในกราฟเปนเสนทใชเพอแสดงใหเหนแนวของจด ไมใชสวนหนงของกราฟ

(2) พจารณากราฟของล าดบ 2na ดงตอไปน

จากกราฟจะเหนวา na มคาเปน 2 เสมอ ส าหรบทกคาของ n

2

เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด และพจนท n เขาใกลหรอเทากบจ านวนจรง L เพยงจ านวนเดยวเทานนแลว เรยก L วา ลมตของล ำดบ (limit of a sequence) และกลาววาล าดบนนมลมตเทากบ L เรยกล าดบอนนตทมลมตวา ล ำดบลเขำ (convergent sequence)

จากตวอยางขางตนจะไดวา ล าดบ 1

2n n

a เปนล าดบลเขา มลมตเทากบ 0 และล าดบ 2na

(3) พจารณากราฟของล าดบ ( 1)1

n

nan

ดงตอไปน

จากกราฟจะเหนวา แนวของจดในกราฟจะเขาใกลเสนทบทปรากฏ ซงหมายความวา เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด พจนท n มคาเขาใกล 1 แตจะไมเทากบ 1

ดงนน ล าดบ ( 1)1

n

nan

เปนล าดบลเขาและมลมตเทากบ 1

(4) พจารณากราฟของล าดบ 2 1na n ดงตอไปน

จากกราฟจะเหนวา เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด พจนท n ของล าดบจะมคามากขนและไมเขาใกลจ านวนใดจ านวนหนง จงกลาวไดวา ล าดบ 2 1na n ไมมลมต ล าดบนจงไมใชล าดบลเขา

เรยกล าดบอนนตทไมใชล าดบลเขาวา ล ำดบลออก (divergent sequence)

เปนล าดบลเขา มลมตเทากบ 2

3

(5) พจารณากราฟของล าดบ 1( 1)n

na ดงตอไปน

จากกราฟจะเหนวา เมอ n เปนจ านวนค พจนท n จะเทากบ 1 และเมอ n เปนจ านวนค พจนท n จะเทากบ –1 ดงนน เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด พจนท n ของล าดบจงไมเขาใกลจ านวนใดจ านวนหนง ล าดบ 1( 1)n

na จงไมมลมต ดงนน ล าดบนจงเปนล าดบลออก และเรยกล าดบ

ลออกทมลกษณะของกราฟขนและลงสลบกนโดยไมเขาใกลจ านวนใดจ านวนหนงวา ล ำดบแกวงกวด (oscillating sequence)

ส าหรบล าดบลออก ถาพจารณาล าดบจากการเขยนกราฟจะแบงออกเปน 3 ประเภท คอ 1) ล าดบลออกซงพจนท n มคามากขนเรอย ๆ เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด 2) ล าดบลออกซงพจนท n มคาลดลงเรอย ๆ เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด 3) ล าดบลออกซงมลกษณะแตกตางจากล าดบในขอ 1) และ 2) ซงเรยกวา ล าดบแกวงกวด

ลมตของล ำดบ 1. ล าดบทจะน ามาพจารณาลมตนนตองเปนล าดบอนนต 2. ถากลาววา L เปนลมตของล าดบทมพจนท n เปน na หมายถง เมอ n มากขนโดยไมมท

สนสด พจนท n ของล าดบจะเขาใกลหรอเทากบจ านวนจรง L เพยงจ านวนเดยวเทานน และเขยนแทนดวยสญลกษณ lim n

na L

(อานวา ลมตของล าดบ na เมอ n มากขนโดยไมมทสนสด เทากบ L )

3. ล าดบอนนตทมลมตเรยกวา ล าดบลเขา สวนล าดบอนนตทไมมลมตเรยกวา ล าดบลออก 4. การพจารณาวาล าดบใดจะมลมตหรอไมนน อาจท าไดโดยการพจารณาจากกราฟของล าดบ เมอ n มากขนโดยไมมทสนสด

4

ตวอยำงท 1 จงหาลมตของล าดบ an = n2 โดยการวาดกราฟ วธท ำ

ตวอยำงท 2 จงหาลมตของล าดบ an = 3

5

n โดยการวาดกราฟ

วธท ำ

5

แบบฝกหดท 4

ชอ – สกล ...................................................................................... ชน .............................. เลขท ..................

จงเขยนกราฟเพอตรวจสอบดวาล าดบในแตละขอตอไปนเปนล าดบลเขาหรอลออก

1. sin2

n

na

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an

2. 5

1na

n

n 1 2 3 4 5 6 7 8 an

6

3. 2n

nan

n 1 2 3 4 5 6 7 8 an

4. (1 ( 1) )n

na n

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 an

5. 14

2n n

a

n 1 2 3 4 5 6 7 8 an

7

ตวอยำงท 1 จงพจารณาวาล าดบ 1na

n เปนล าดบลเขาหรอลออก ถาเปนล าดบลเขา ใหบอกดวยวา

วธท ำ

ตวอยำงท 2 จงพจารณาวาล าดบ 3

na n เปนล าดบลเขาหรอลออก ถาเปนล าดบลเขา ใหบอกดวยวา

ลมตของล าดบนเปนเทาใด

วธท ำ

ตวอยำงท 3 จงพจารณาวาล าดบ an = 1

𝑛2 เปนล าดบลเขาหรอลออก ถาเปนล าดบลเขา ใหหาลมตดวย

วธท ำ ทฤษฎบทท 1 ให r เปนจ านวนจรงบวกใด ๆ จะไดวา

1. 1lim 0

rn n

2. lim r

nn

หาคาไมได

ลมตของล าดบนเปนเทาใด

8

ทฤษฎบทท 2 ให r เปนจ านวนจรง 1. ถา | | 1r แลว lim 0n

nr

2. ถา | | 1r แลว lim n

nr

หาคาไมได

ตวอยำงท 4 จงหาลมตของล าดบ 1

2

n

na

วธท ำ

ตวอยำงท 5 จงหาลมตของล าดบ 5

4

n

na

วธท ำ ตวอยำงท 6 จงหาลมตของล าดบ 2n

na

วธท ำ

9

ทฤษฎบทท 3 ให , ,n n na b t เปนล าดบของจ านวนจรง ,A B เปนจ านวนจรง และ c เปนคาคงตวใด ๆ

โดยท lim nn

a A

และ lim nn

b B

จะไดวา

1. ถา nt c แลว lim limn

n nt c c

2. ถา lim limn nn n

ca c a cA

3. lim( ) lim limn n n nn n n

a b a b A B

4. lim ( ) lim limn n n nn n n

a b a b A B

5. lim( ) lim limn n n nn n n

a b a b AB

6. ถา 0nb ทกจ านวนเตมบวก n และ 0B แลว lim

limlim

nn n

nn n

n

aa A

b b B

ตวอยำงท 7 จงหาลมตของล าดบ 4na

วธท ำ

ตวอยำงท 8 จงหาลมตของล าดบ 4na

n

วธท ำ

ตวอยำงท 9 จงหาลมตของล าดบ 2

2

1 3n

na

n

วธท ำ

10

ตวอยำงท 10 จงหาลมตของล าดบ 2

3 2

4 3

2 3 5n

n na

n n

วธท ำ

ตวอยำงท 11 จงหาลมตของล าดบ 2

3 8

4n

na

n n

วธท ำ

ตวอยำงท 12 จงหาลมตของล าดบ 3

2 4n

na

n n

วธท ำ

11

ตวอยำงท 13 จงหาลมตของล าดบ 2 3

21 3n

n na

n n

วธท ำ ทฤษฎบทท 4 ให na เปนล าดบของจ านวนจรงทมากกวาหรอเทากบ 0 และ m เปนจ านวนเตมทมากกวา

หรอเทากบ 2 ถา lim n

na L

แลว lim lim mm m

n nn n

a a L

ตวอยำงท 14 จงหาลมตของล าดบ 4 1

1n

na

n

วธท ำ

12

ตวอยำงท 15 จงหาลมตของล าดบ 25 1

7 4n

na

n

วธท ำ เราสามารถประยกตใชทฤษฎบทเกยวกบลมตทกลาวมาแลว ในการพจารณาวาล าดบ ทก าหนดใหเปนล าดบลเขาหรอไม ดงตวอยางตอไปน

ตวอยำงท 16 จงพจารณาวาล าดบ 3 2n

na

n

เปนล าดบลเขาหรอลออก

วธท ำ

13

ตวอยำงท 17 จงพจารณาวาล าดบ 3

3

3

5 17n

n nb

n

เปนล าดบลเขาหรอลออก

วธท ำ

ตวอยำงท 18 จงพจารณาวาล าดบ 2

52

4

32 3n

n nc

n n

เปนล าดบลเขาหรอลออก

วธท ำ

14

สรปวธพจำรณำวำล ำดบใดเปนล ำดบลเขำหรอลออก วธท 1 พจารณาการลเขาหรอลออกจากกราฟของล าดบ 1) ถา n มากขนโดยไมมทสนสด แลวท าให

na เขาใกลหรอเทากบจ านวนจรง L เพยง

จ านวนเดยว ล าดบนนจะเปนล าดบลเขา และมลมตของล าดบเทากบ L 2) ถา n มากขนโดยไมมทสนสด แลวท าให

na เขาใกลจ านวนจรงมากกวา 1 คา หรอท าให

na มคาเพมขนหรอลดลงอยางไมมขอบเขต ล าดบนนจะเปนล าดบลออก และไมมลมต

วธท 2 พจารณาการลเขาหรอลออกโดยใชทฤษฏบทของลมต วธนใชแนวคดจากบทนยามทกลาววา “ล าดบอนนตทมลมตเรยกวา ล าดบลเขา” และ “ล าดบอนนตทไมมลมตเรยกวา ล าดบลออก”

ขอสงเกตเกยวกบลมตของล ำดบทพจนทวไปอยในรปของเศษสวนพหนำม 1. ถาเลขชก าลงสงสดของพหนามทเปนตวเศษเทากบเลขชก าลงสงสดของพหนามทเปนตวสวน แลว

ลมตของล าดบจะเทากบสมประสทธของพจนทมเลขชก าลงสงสดของตวเศษหารดวยสมประสทธของพจนทมเลขชก าลงสงสดของตวสวน

2. ถาเลขชก าลงสงสดของพหนามทเปนตวเศษนอยกวาเลขชก าลงสงสดของพหนามทเปนตวสวน แลว ลมตของล าดบจะเทากบศนย

3. ถาเลขชก าลงสงสดของพหนามทเปนตวเศษมากกวาเลขชก าลงสงสดของพหนามทเปนตวสวน แลว ล าดบนนจะไมมลมต

จากขอสงเกตเกยวกบลมตของล าดบทพจนทวไปอยในรปของเศษสวนพหนามขางตน เราสามารถหาลมตของล าดบดวยวธลด ไดดงน

กำรหำลมตของล ำดบดวยวธลด 1. ท าใหตวเศษและตวสวนในพจนท n มตวแปรก าลงสงสดเทากน

2. คาลมต =

สมประสทธของพจนทมก าลงสงสดของตวเศษ สมประสทธของพจนทมก าลงสงสดของตวสวน

15

แบบฝกหดท 5

ชอ – สกล ...................................................................................... ชน .............................. เลขท ..................

1. จงใชทฤษฎบทเกยวกบลมตของล าดบเพอตรวจสอบวาล าดบในแตละขอตอไปนเปนล าดบลเขาหรอลออก

1) 8

3na

n

2) 8

7

n

n na

3) ( 1)n

na

4) 13

2

n

na

5) 14na

n

6) 2

2

7

5 3n

na

n

16

7) 1

2

3

5

n

n na

8) 2 1

4n

na

n

9) 3 1 2

n

na

n

10) 2

3 3

4 1

2 2n

na

n n

17

2. จงหาลมตของล าดบในแตละขอตอไปน

1) 6 4

6n

na

n

...............................................................................................................

2) 3 5

6n

na

...............................................................................................................

3) 1

n

na

n

...............................................................................................................

4) 2

4 5n

na

n

...............................................................................................................

5) 2 1

3 1n

na

n

...............................................................................................................

6) 23 5

7 1n

n na

n

...............................................................................................................

7) 2

2

4 2 3n

n na

n

...............................................................................................................

8) 2

2

3 1

10 5n

na

n n

...............................................................................................................

9) 1 1

1na

n n

...............................................................................................................

10) 1

1n

na

n

...............................................................................................................

11) 28 5 2

3 2n

n na

n

...............................................................................................................

12) 3 2

3

5 4 1

2 3n

n na

n n

...............................................................................................................

13) 5

2 5

1n

na

n

...............................................................................................................

14) 210 1

1n

na

n

...............................................................................................................

15) 2

44

3 1

16 5n

na

n

...............................................................................................................

16) 1

3

n

na

...............................................................................................................

18

3. ก าหนดล าดบ 4 2

4

2

3 13n

n na

n

จงใหเหตผลวา นกเรยนเหนดวยหรอไมกบวธการหาลมตของล าดบ

na

ทแสดงไวในกรอบตอไปน

โดยทฤษฎบทเกยวกบลมต จะได 4 2

4 2

4 4

lim 22lim

3 13 lim 3 13

n

n

n

n nn n

n n

แตเนองจาก 4 2lim (2 )n

n n

หาคาไมได และ 4lim (3 13)n

n

กหาคาไมได

ดงนน 4 2

4

2lim

3 13n

n n

n

จงหาคาไมได

....................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................

4. ประโยคตอไปนเปนจรงหรอไม จงใหเหตผล 1) ถา na และ nb เปนล าดบลออก แลว ( )n na b เปนล าดบลออก

2) ถา na เปนล าดบลเขา และ nb เปนล าดบลออก แลว ( )n na b เปนล าดบลออก

....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................

19

ล ำดบอนนตทเปนล ำดบเลขคณต ล าดบอนนตทเปนล าดบเลขคณตจะอยในรป

1 1 1, , 2 , ...a a d a d เมอ d คอผลตางรวม

และ 1 ( 1)na a n d

กรณท 1 ถา 0d จะได 1na a

ดงนน 1 1lim limn

n na a a

แสดงวา ล าดบอนนตนเปนล าดบลเขา และมลมตเทากบ 1a

กรณท 2 ถา 0d จะได 1

11 0

( 1)n

a n d da a n d

n

ดงนน 1

1

0lim limnn n

a n d da

n

ซงหาคาไมได

แสดงวา ล าดบอนนตนเปนล าดบลออก

สรปไดวำ ส าหรบล าดบอนนตทเปนล าดบเลขคณตทอยในรป 1 1 1, , 2 , ...a a d a d

(1) ถา 0d แลว ล าดบอนนตนเปนล าดบลเขา และมลมตเทากบ 1a

(2) ถา 0d แลว ล าดบอนนตนเปนล าดบลออก

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

ล ำดบอนนตทเปนล ำดบเรขำคณต ล าดบอนนตทเปนล าดบเรขาคณตจะอยในรป 2

1 1 1, , , ...a a r a r เมอ r คออตราสวนรวม

และ 1

1

n

na a r

กรณท 1 ถา 1 1r จะได 1

1lim lim 0n

nn n

a a r

แสดงวา ล าดบอนนตนเปนล าดบลเขา และมลมตเทากบ 0 กรณท 2 ถา 1r จะได 1

1 1lim lim n

nn n

a a r a

แสดงวา ล าดบอนนตนเปนล าดบลเขา และมลมตเทากบ 1a

กรณท 3 ถา 1r หรอ 1r จะได 1

1lim lim n

nn n

a a r

หาคาไมได

แสดงวา ล าดบอนนตนเปนล าดบลออก

สรปไดวำ ส าหรบล าดบอนนตทเปนล าดบเรขาคณตทอยในรป 2

1 1 1, , , ...a a r a r

(1) ถา 1 1r แลว ล าดบอนนตนเปนล าดบลเขา และมลมตเทากบ 0 (2) ถา 1r แลว ล าดบอนนตนเปนล าดบลเขา และมลมตเทากบ 1a

(3) ถา 1r หรอ 1r แลว ล าดบอนนตนเปนล าดบลออก

ควำมรเพมเตม

20

ถา 1 2 3, , , ..., , ...na a a a เปนล าดบอนนต ซงแตละพจนมเครองหมายบวกและลบสลบกนแลว

(1) ถา lim| | 0nn

a

แลว ล าดบอนนตนจะเปนล าดบลเขา และมลมตของล าดบเทากบ 0

(2) ถา lim| |nn

a L

โดยท 0L แลว ล าดบอนนตนจะเปนล าดบลออก

ตวอยำงท 1 จงพจารณาวาล าดบ 2 1( 1)

3 8

n

n

na

n

เปนล าดบลเขาหรอลออก

วธท ำ เนองจาก

2 1lim| | lim ( 1)

3 8

n

nn n

na

n

2 1lim

3 8n

n

n

2

3

ดงนน ล าดบ 2 1( 1)

3 8

n

n

na

n

เปนล าดบลออก

ตวอยำงท 2 จงพจารณาวาล าดบ 1

2

2 5( 1)

3 4

n

n

na

n

เปนล าดบลเขาหรอลออก

วธท ำ เนองจาก 1

2

2 5lim| | lim ( 1)

3 4

n

nn n

na

n

2

2 5lim

3 4n

n

n

0

ดงนน ล าดบ 1

2

2 5( 1)

3 4

n

n

na

n

เปนล าดบลเขา และมลมตเทากบ 0

ควำมรเพมเตม