CIRCONFERENZA E CERCHIO

LA CIRCONFERENZA E IL CERCHIO

La CIRCONFERENZA è una linea chiusa costituita da tutti i punti del piano che hanno la stessa distanza detta RAGGIO da un punto fisso il CENTRO.

Il CERCHIO è la porzione di piano racchiusa da una circonferenza

ELEMENTI DELLA CIRCONFERENZA

L’ARCO è ciascuna delle due parti in cui una circonferenza è divisa da due suoi punti, detti estremi dell’arco.

La CORDA è il segmento che unisce due punti qualsiasi della circonferenza.

Il DIAMETRO è la corda massima e passa per il centro.

Gli estremi di uno stesso diametro dividono la circonferenza in due parti congruenti, ciascuna delle quali si chiama SEMICIRCONFERENZA.

Una semicirconferenza e il relativo diametro costituiscono il contorno di un SEMICERCHIO

PROPRIETÀ DELLACIRCONFERENZA

1° PROPRIETA’ DELLA CIRCONFERENZA

Si ha la seguente costruzione:

OBA è un triangolo isoscele perché :

OB = OA = r B = A BH = HA

OH è detta DISTANZA dalla corda AB dal centro O

2° PROPRIETA DELLA CIRCONFERENZA

Si ha la seguente costruzione:

PH = PK

OHP e OKP

sono rettangoli e congruenti

3° PROPRIETÀ DELLA CIRCONFERENZA

b = c = d = 90°

perché

a = 180°

POSIZIONI DI UNA RETTA RISPETTO A UNA CIRCONFERENZA

RETTA ESTERNA

Una retta si dice ESTERNA a una circonferenza se la sua distanza dal centro della circonferenza è maggiore del raggio.

RETTA TANGENTE

Una retta si dice TANGENTE a una circonferenza se la sua distanza dal centro della circonferenza è uguale al raggio.

RETTA SECANTE

Una retta si dice SECANTE a una circonferenza se la sua distanza dal centro dalla circonferenza è minore del raggio.

POSIZIONI RECIPROCHE DI DUE

CIRCONFERENZE

C e C’ non hanno punti in comune

OO’ › r + r’

CIRCONFERENZE ESTERNE

CIRCONFERENZE TANGENTI

ESTERNAMENTE

OO’= r + r’

CIRCONFERENZE TANGENTI

INTERNAMENTE

OO’= r - r’

CIRCONFERENZE SECANTI

OO’‹ r + r’

CIRCONFERENZE INTERNE

C e C’non hanno punti in comune

OO’ < r - r’

CIRCONFERENZE CONCENTRICHE

C e C’non hanno punti in comune

O ≡ O’

ANGOLI AL CENTRO E ANGOLI ALLA

CIRCONFERENZA

V: angolo al centro che insiste sull’arco AB

ANGOLI AL CENTRO

ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA

K e J:

angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco AB

RELAZIONI TRA ANGOLI AL CENTRO E ANGOLI ALLA

CIRCONFERENZA

Y e T si dicono corrispondenti e risulta che :

Y = 2T

T = K

SETTORI, SEGMENTI E CORONA CIRCOLARE

SETTORE CIRCOLARE

Si dice SETTORE CIRCOLARE ciascuna delle due parti di cerchio racchiusa da due raggi e un arco di circonferenza.

Segmento circolare

Consideriamo un cerchio ed una sua corda a

La corda divide il cerchio in due parti

Si definisce segmento circolare una porzione di cerchio delimitata da una corda

SEGMENTO CIRCOLARE A UNA BASE

Si dice SEGMENTO CIRCOLARE A UNA BASE ciascuna delle due parti in cui il cerchio è diviso da una corda.

SEGMENTO CIRCOLARE A DUE BASI

Si dice SEGMENTO CIRCOLARE A DUE BASI la parte di cerchio compresa tra due corde parallele.

CORONA CIRCOLARE

Si dice CORONA CIRCOLARE la parte di cerchio compresa tra due circonferenze concentriche.

POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI

POLIGONI INSCRITTI IN UNA CIRCONFERENZA

Un poligono si dice inscritto in una

circonferenza se tutti i suoi vertici

appartengono alla circonferenza

CRITERIO DI INSCRITTIBILITÀ

Un poligono è inscrittibile in

una circonferenza se gli assi dei suoi

lati si incontrano in un unico punto,

detto circocentro, coincidente con il

centro della circonferenza

POLIGONI CIRCOSCRITTI AD UNA CIRCONFERENZA

Un poligono si dice circoscritto ad una

circonferenza se tutti i suoi lati sono

tangenti alla circonferenza

CRITERIO DI CIRCOSCRITTIBILITÀ

Un poligono è circoscrittibile ad una

circonferenza se le bisettrici dei suoi

angoli si incontrano in un unico punto, detto incentro, coincidente

con il centro della circonferenza

MISURA DELLA CIRCONFERENZA, DEL

CERCHIO E DI LORO PARTI

LUNGHEZZA DI UNA CIRCONFERENZA

Il rapporto fra circonferenza e diametro è uno dei numeri che più ricorrono e non solo in matematicaSi tratta di un numero che non può essere espresso come rapporto di numeri interi perciò appartiene alla categoria dei numeri irrazionali

Rapporto fra circonferenza e diametro

Cd

p

p 3,14…

FormuleC = p x

dMa d = 2 x

r allora

Circonferenza uguale a p greco per il diametro

C = p x 2r

Circonferenza uguale a p greco per due volte il raggio

Formule

inverse

Cd pC

r2 p

LUNGHEZZA DI UN ARCO

L : α = C : 360°

L =

α =

C=

360

C

C

L 360

360L

α

Se il valore il valore dell’angolo al centro arriva a 360° il corrispondente valore dell’arco sarà l’intera circonferenzaQuesto valore sarà uguale a rapporto di un arco e del corrispondente angolo al centro

AREA DEL CERCHIOAc = π · r²

Ac

L’area del

cerchio è data

dal prodotto di p

greco per il

raggio al

quadrato

Il

raggio

di un

cerchio

è

uguale

alla

radice

quadra

ta

dell’are

a fratto

p greco

r =

AREA DEL SETTORE CIRCOLARE

As : α = Ac : 360°

As =

α=

Ac =

360

Ac

Ac

As 360360As

360As

α

L’area del settore circolare è proporzionale al valore dell’angolo al centro Se il valore il valore dell’angolo al centro arriva a 360° il corrispondente settore circolare coinciderà con l’area del cerchio

r As

x 360°p x a

= a =As

x 360°

p x r2

AREA DEL SEGMENTO CIRCOLARE

Tssc AAA

Tssc AAA L’area del segmento circolare sarà data dalla differenza fra l’area del settore circolare a l’area del triangolo

Caso 1 il segmento non contiene il centro

Caso 2 il segmento contiene il centroL’area del segmento circolare sarà data dalla somma fra l’area del settore circolare a l’area del triangolo

Area della corona circolareL’area della corona circolare si ottiene sottraendo all’area del cerchio maggiore quella del cerchio minore

Acc = pr22 – pr1

2

Acc = p(r22 – r1

2)