cd cap4 2 digitalizacion de controladores

METODOLOGA DE DISEO DE CONTROLADORES DIGITALES A PARTIR DE CONTROLADORES CONTINUOS.

A esta metodologa de diseo tambin se le conoce como digitalizacin (o discretizacin) de controladores continuos. La metodologa est formado por cinco pasos generales y bsicamente consiste en emplear los algoritmos de discretizacin ampliamente conocidos para digitalizar el controlador continuo.

Esta metodologa es til principalmente en sistemas donde ya exista un controlador continuo funcionando (sistemas de control viejos u obsoletos) o en sistemas nuevos donde se requiera el diseo de un algoritmo de control digital. Claro est, en sistemas nuevos deber disearse primero el controlador continuo usando tcnicas ya conocidas y posteriormente convertirlo a discreto. Gran parte de las etapas del diseo se llevan acabo usando una herramienta tipo CAD tal como Program CC o Matlab con la toolbox de Control y/o de Simulink.

La figura N 1 muestra esquemticamente lo deseado:

Diseo del Controlador

Continuo

Obtencin del Controlador

Digital

ALGORITMO DE CONVERSIN

EMPLEADO

( )R s ( )1Y s( )E s ( )U sC( )CG s ( )PG s

SISTEMA CONTINUO

+

( )R s

( )2Y s

( )E s ( )U zC( )CG z ( )PG s

SISTEMA DISCRETOT

2 ( )Y z

2 ( )y t

T

+ ( )ZOHG s( )G s

FIG. N 1: D.B. QUE MUESTRA LA METODOLOGA DE DIGITALIZACIN DE CONTROLADORES CONTINUOS.

Las propiedades del controlador digital dependen de principalmente de:

El perodo de muestreo T. Mtodo de digitalizacin utilizado.

El objetivo de esta metodologa es hallar GC(z) para que Y2(s) Y1(s).

PASOS PARA DIGITALIZAR UN CONTROLADOR CONTINUO.

PASO 1:

Verificar el funcionamiento satisfactorio del sistema continuo modificado, usando una herramienta tipo CAD, tal como Program CC o Matlab:

( )R s ( )1Y s( )E s ( )U sC( )CG s ( )PG s

SISTEMA CONTINUO MODIFICADO

+

( )ZOHG s

FIG. N 2: Sistema analgico modificado a ser verificado para prever el impacto causado por el muestreo.

GZOH(s) puede ser aproximado usando PADE. Si es necesario se corrige GC(s).

PASO 2:

Discretizar GC(s) aplicando algn mtodo conocido a fin de hallar GC(z). Los mtodos ms empleados que estudiaremos aqu son:

Diferenciacin hacia adelante o derivada posterior (Forward rectangle). Diferenciacin hacia atrs o derivada anterior(Backward rentangle). Transformacin bilineal o Tustin. Tustin con predoblamiento de frecuencia (Tustin with prewarping). Mapeo de polos y ceros (Pole Zero Map).

Transformada Z. Mantenedor de orden zero. Mantenedor de primer orden. Integracin rectangular hacia delante. Integracin rectangular hacia atrs. PASO 3:

Discretizar la planta, GP(s), usando el ZOH para hallar G(z).

PASO 4:

Verificar El funcionamiento satisfactorio del sistema discreto usando una herramienta tipo CAD, tal como Program CC v5.0 o Matlab 6.0.

PASO 5:

Implementar GC(z) usando:

Algoritmo numrico (E.E.D.L.). Hardware: DSP, PC, PLC, DCS, SCADA. Especial cuidado debe tenerse al elegir el algoritmo numrico y el hardware ms adecuado. Esta eleccin bsicamente responde a lo siguiente:

Costo. Poder de cmputo de los dispositivos de hardware. Aplicabilidad. Ahora desarrollaremos los mtodos que se ms se emplean:

MTODO DE LA DIFERENCIA HACIA DELANTE O DERIVADA POSTERIOR.

El mtodo consiste en aproximar la derivada del error mediante una funcin en diferencia hacia adelante. Sea x(t) la derivada del error y X(s) la transformada de Laplace de la derivada del error, con lo cual se tiene que:

( )( ) ( ) ( )de tx t X sdt

= = SE s (1.1)

La pendiente de e(t) en t = [(k+1)T] se aproxima a la pendiente de la lnea recta entre e(kT) y e[(k+1)T]. Permita que la derivada numrica de e(t) en t = [(k+1)T] sea x(kT), entonces se tiene que:

( ) ( )1( )( ) ( ) e k T e kTde tx t x kTdt T

+ = = (1.2)

(1.2) representa la E.E.D.L. del algoritmo de control. Aplicando T.Z. a (1.2) tenemos:

[ ] [ ] ( )( 1)( ) ( ) e k T e kTX z SE sT

+ = = (1.3)

1( ) ( )ZX z ET= z (1.4)

La expresin (1.4) permite obtener la F.T. del controlador digital a partir del controlador continuo de la siguiente forma:

1( ) ( ) ZC C ST

G z G s == (1.5)

kT [( 1) ]k T+

( )e kT

[( 1) ]e k T+( )e t

t FIG. N 3: Explicacin grfica del mtodo de la derivada posterior.

MTODO DE LA DIFERENCIA HACIA ATRS O DERIVADA ANTERIOR.

El mtodo consiste en aproximar la derivada del error mediante una funcin en diferencia hacia atrs. Sea x(t) la derivada del error y X(s) la transformada de Laplace de la derivada del error, con lo cual se tiene que:

( )( ) ( ) ( )de tx t X sdt

= = SE s (1.6)

La pendiente de e(t) en t = kT se aproxima a la pendiente de la lnea recta entre e[(k-1)T] y e(kT). Permita que la derivada numrica de e(t) en t = kT sea x(kT), entonces se tiene que:

( ) ( )1( )( ) ( )[( 1) ]

e kT e k Tde tx t x kTdt kT k T

= = (1.7)

(1.7) representa la E.E.D.L. del algoritmo de control. Aplicando T.Z. a (1.7) tenemos:

[ ] ( ) [ ]( 1)( ) ( ) e kT e k TX z SE sT

= = (1.8)

1( ) ( )ZX z ETZ= z (1.9)


1( ) ( ) ZC C STZ

G z G s == (1.10)

kT[( 1) ]k T

[( 1) ]e k T( )e kT

( )e t

t FIG. N 4: Explicacin grfica del mtodo de Tustin.

En esencia lo expresado en (1.3) y (1.8) est en funcin de la pendiente de una recta tangente a una curva dada en un punto, lo cual es el concepto geomtrico de la derivada.

MTODO DE LA TRANSFORMACIN BILINEAL O DE TUSTIN.

A este mtodo tambin se le conoce como Integracin Trapezoidal. El mtodo consiste en aproximar la integral del error mediante sumas de reas de trapezoides. Estas sumas se pueden expresar mediante una funcin en diferencia.

Sea x(t) la integral del error y X(s) la transformada de Laplace de la integral del error, con lo cual se tiene que

0( )( ) ( ) ( )t E sx t e t dt X s

S= = (1.11)

El valor de la integral en t = kT es igual al valor en t = [(k-1)T] ms el rea adicionada desde [(k-1)T] hasta kT. El rea que se adiciona es el rea del trapezoide que se resalta en la figura 6. Permita que x[(k-1)T] sea la integral numrica de e[(k-1)T], con lo cual se tiene que:

[ ] ( ) ( ) [0

1( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1)

2

t e kT e k T ]x t x kT e t dt x k T kT k T+ = = + (1.12) (1.12) representa la E.E.D.L. del algoritmo de control. Aplicando T.Z. a (1.12) tenemos:

( ) ( ) ( )1( )( ) 12

e kT e k TE sX z x k TS

+ T

= = + (1.13)

1( ) ( )2 1T ZX zZ+ = E z (1.14)


2 11

( ) ( ) ZC C ST Z

G z G s = + = (1.15)

En esencia lo expresado en (1.13) est en funcin de reas de trapecios.

FIG. N 6: Explicacin grfica del mtodo de Tustin.

kT[( 1) ]k T

( )e t

t

[( 1) ]e k T( )e kT

MTODO DE TUSTIN CON PREDOBLAMIENTO DE FRECUENCIA.

Se deja al estudiante para que lo investigue.

MTODO DEL MAPEO DE POLOS Y CEROS.

Se deja al estudiante para que lo investigue

MTODO DE LA TRANSFORMADA Z.

El mtodo consiste en hallar la T.Z. de la transformada inversa muestreada de Laplace del controlador continuo G(s).

(1 *( ) ( )CG z Z G s= )C (1.16)

FIG. N 9: Explicacin grfica del mtodo de la T.Z.

T( )CG s

( )E s ( )CU s ( )CG z( )CU z*( )E s

En caso de que se presente Aliasing la solucin es un filtro analgico. En algunas ocasiones se requiere redisear GC(s).

{ }1 *1( ) ( )CG z Z G s = C (1.17)

( )CG s( )CU s( )FG sT

( )E s

1

( )CG s

FIG. N 10: Explicacin grfica del mtodo de la T.Z. cuando se presenta Aliasing.

MTODO DEL MANTENEDOR DE ORDEN ZERO.

El mtodo consiste en hallar la T.Z. del conjunto mantenedor controlador:

[ ] 1 ( )( ) ( ) ( ) (1 ) CC ZOH C G sG z Z G s G s Z Z S = = (1.18)

FIG. N 11: Explicacin grfica del mtodo del mantenedor de orden cero.

T( )ZOHG s

( )E s ( )CU s ( )CG z( )CU z*( )E s( )CG s

MTODO DEL MANTENEDOR DE PRIMER ORDEN.

El mtodo consiste en hallar la T.Z. del conjunto mantenedor controlador:

[ ] 1 2 2( 1) ( )( ) ( ) ( ) (1 ) CC FOH C TS G sG z Z G s G s Z Z TS+ = = (1.19)

FIG. N 12: Explicacin grfica del mtodo del mantenedor de primer orden.

T( )FOHG s

( )E s ( )CU s ( )CG z( )CU z*( )E s( )CG s

MTODO DE INTEGRACIN RECTANGULAR HACIA ADELANTE

En esencia este mtodo consiste en aproximar la integral del error mediante sumas de reas de rectngulos.

Basados en la figura 13 se sabe que el valor de la integral en t = [(k+1)T] es igual al valor en t = kT ms el rea adicionada desde kT hasta [(k+1)T]. Permita que x(kT) sea la integral numrica de e(kT), con lo cual se tiene que:

( ) ( ) [ ] [ ]1 ( 1) ( 1)x k T x kT e k T k T kT+ = + + + (1.20) ( )[( 1) ] [( 1) ]*x k T x kT e k T+ = + + T (1.21)

(1.21) es la E.E.D.L del algoritmo de control. Aplicando T.Z. a (1.21) tenemos:

( ) ( )1

TZX z EZ

= z (1.22)

1CITZGZ

= (1.23)

kT [( 1) ]k T+

( )e t

t

[( 1) ]e k T+( )e kT

FIG. N 13: Explicacin grfica del mtodo de integracin rectangular hacia adelante.

MTODO DE INTEGRACIN RECTANGULAR HACIA

ste mtodo consiste en aproximar la integral del error mediante sumas de reas de rectngulos.

ura 14 se sabe que el valor de la integral en t = kT es igual al valor en t = [(k-1)T] ms el rea adicionada desde [(k-1)T] hasta KT. Permita que x[(k-1)T] sea la integral

ATRS

En esencia e

Basados en la fig

numrica de e[(k-1)T], con lo cual se tiene que:

[ ] [ ] [( ) ( 1) ( 1) ( 1)x kT x k T e k T kT k T= + ] (1.25)

(1.24)

( ) [( 1) ] [( 1) ]*x kT x k T e k T T= + e control. Aplicando T.Z. a (1.25) tenemos:

(1.25) es la E.E.D.L del algoritmo d

( ) ( )1Z

TX z E z= (1.26)

( )1CI

TG zZ

= (1.27)

de integracin rectangular hacia atrs.

IGITALIZACIN DE CONTROLADORES PID

erencial estndar del controlador continuo PID es:

( )e t

FIG. N 14: Explicacin grfica del mtodo

kT[( 1) ]k T t

[( 1) ]e k T ( )e kT

DCONTINUOS.

La ecuacin integro dif

( ) ( ) ( )C DI a

u t K e t e t dt TT d

= + + 1 ( )b de t

t (1.28)

Aqu K es la ganancia proporcional, TI es el tiempo integral y TD es el tiempo derivativo.

Aplicando T.L. a (1.28) y despejando la F.T. se tiene que:

( ) 1( )C

C DI

G s K T SE s T S

= = + + ( ) 1U s (1.29)

En (1.29) las tres constantes K, TI y TD definen el control y GC(s) es la F.T. del controlador continuo PID en el dominio S.

expresar la F.T. del controlador continuo PID es: Una manera tpica como se suele

( )C PG s K K SS= + +IK D (1.30)

Aqu KP representa la constante proporcional, KI representa la constante integral y KD representa la constante derivativa.

y TD definen el control.

(1.31)

La parte in

En (1.30) las tres constantes KP, TI

Observando (1.28) tenemos:

La parte proporcional:

( ) ( )CPu t Ke t= tegral:

( ) ( )CII a

u t e t dtT

= bK (1.32) La parte derivativa:

( )CD Du t KT dt= (1.33)

La figura 15 muestra la manera como actan cada una de las partes de un controlador continuo PID en un determinado sistema de control continuo.

( )de t

FIG. N 15: D.B. tpico de un sistema de control que usa un controlador continuo PID.

IKS ( )PG s+

++

( )R s ( )E s ( )CU s ( )Y s

PK

DK S

+

( )H s

Controlador PID( )CPu t

( )CIu t

( )CDu t

La aproximacin de los trminos de control planteados en las ecuaciones (1.31), (1.32) y (1.33) mediante una ecuacin algebraica que pueda ser implementada en una computadora digital, se puede hacer aplicando a (1.30) las diferentes tcnicas de aproximacin numrica antes citadas. De acuerdo a esto se tiene lo siguiente:

PID DISCRETO A PARTIR DE LA DERIVADA POSTERIOR

Aplicando (1.5) a (1.30) tenemos que:

(( ) 11

IDC PD DD

KG z K K ZZ

= + + ) (1.34) Donde:

KPD = KP y representa la constante proporcional discreta.

KID = KIT y representa la constante integral discreta.

KDD = KD/T y representa la constante derivativa discreta.

PID DISCRETO A PARTIR DE LA DERIVADA ANTERIOR


1( )1C PD ID DD

Z ZG z K K KZ Z

= + + (1.35)

Donde:


KID = KIT y representa la constante integral discreta.

KDD = KD/T y representa la constante derivativa discreta.

PID DISCRETO A PARTIR DE LA TRANSFORMACIN BILINEAL


( )( )

( )( )

1 1( )

1 1ID DD

C PD

K Z K ZG z K

Z Z+ = + + + (1.36)

Donde:


KID = KIT/2 y representa la constante integral discreta.

KDD = 2KD/T y representa la constante derivativa discreta.

PID DISCRETO A PARTIR DE LA INTEGRACIN RECTANGULAR HACIA ADELANTE

Aplicando (1.23) a (1.30) se obtienen los mismos resultados que se obtuvieron en (1.35)

PID DISCRETO A PARTIR DE LA INTEGRACIN RECTANGULAR HACIA ATRS

Aplicando (1.27) a (1.30) se obtienen los mismos resultados que se obtuvieron en (1.34)

Por lo general se usan combinaciones de los mtodos de integracin y diferenciacin para digitalizar el algoritmo continuo PID. Estas combinaciones se basan en usar la aproximacin de la derivada del error para el trmino derivativo y la aproximacin de la integral del error o Tustin para el trmino integral. La idea es usar las tcnicas de aproximacin numrica donde mejor apliquen. Si el controlador continuo tiene accin integral se usarn los mtodos de integracin rectangular y/o trapezoidal segn se desee. Si el controlador continuo tiene accin derivativa se usarn los mtodos de diferenciacin segn se desee. Si el controlador continuo tiene ambas acciones (integral y derivativa) se usarn ambos mtodos, es decir, la

parte integral ser tratada con los mtodos de integracin y la parte derivativa ser tratada con los mtodos de diferenciacin. En base a esto se tiene lo siguiente:

PID DISCRETO A PARTIR DE LOS MTODOS: INTEGRACIN TRAPEZOIDAL + DERIVADA ANTERIOR

( )( )

( )1 1( ) 12 1

DC

I

T Z T ZG z K

T Z TZ + = + +

(1.37)

1( )1C PD ID DD

ZG z K K K 1ZZ Z+ = + + (1.38)

Donde:

KPD = K = KP.

KID = KT/(2TI) = KIT/2

KDD = KTD/T = KD/T

(1.38) puede ser escrita, mediante arreglo algebraico, de la siguiente manera:

( )( 1)( ) 1

2 1D

CI I

T ZT TZG z KT T Z TZ

= + + (1.39)

1( )1C PD ID DD

Z ZG z K K KZ Z

= + + (1.40)

Donde:

KPD = K- [KT/(2TI)] = KP KIT/2 = KP KID/2.

KID = KT/TI = KIT.

KDD = KTD/T = KD/T.

A (1.40) se le conoce comnmente como ALGORITMO DE POSICIN o FORMA POSICIONAL del esquema de control digital PID.

Otra forma comnmente usada en los esquemas de control digital PID es conocida como ALGORITMO DE VELOCIDAD o FORMA DE VELOCIDAD del esquema de control digital PID. Para este esquema no es posible obtener una F.T. como tal, sino que la salida del controlador se expresa como:

[ ] 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )1C PD ID DD

Z ZU z K Y z K R z Y z K Y zZ Z

= +

(1.41)

La figura N 15 muestra el D.B. del algoritmo de velocidad para el controlador PID discreto.

1ZZ IDK ( )G z

DDK

1ZZ

PDK

++

+ +

( )R z ( )E z ( )CU z ( )Y z

FIG. N 15: D.B. que muestra la implementacin del algoritmo de velocidad PID.

QUE SIGNIFICA ALGORITMO DE CONTROL DE POSICIN O DE VELOCIDAD?.

La figura 16 muestra un esquema tpico de control digital en el cual se controla el servomotor de una vlvula analtica. Para definir el algoritmo de posicin o el algoritmo de velocidad nos basaremos en esta figura.

Controlador+

ValorDeseado error Servomotor

Proceso Variable Manipulada

Seal deControl

VariableControlada

Computador

FIG. N 16: D.B. que muestra un esquema tpico de control digital.

ALGORITMO DE POSICIN:

o depende de la posicin actual de la vlvula.

ada = 30%

porta)

LOCIDAD

En este algoritmo la salida de control n

Ejemplo:

Salida dese

Salida actual = X (no im

Salida de control = 30%

ALGORITMO DE VE :

un offset que se le suma a la posicin actual de la vlvula para lograr la salida deseada. Aqu si tiene importancia la posicin actual de la vlvula.

ada = 50%

0% - 10% = 40%

En este algoritmo la salida de control es

Ejemplo:

Salida dese

Salida actual = 10%

Salida de control = 5

OBSERVACIONES:

a.) Para usar el algoritmo de velocidad debemos tener un buen conocimiento del problema de control digital en cuestin.

b.) con actuadores que se muevan por porcentaje, es decir, aquellos actuadores en los cuales una salida de control de cero por ciento (0%) significa

ID DISCRETO A PARTIR DE LOS MTODOS:

Este algoritmo debe ser usado

que se mantiene la posicin actual.

PINTEGRACIN TRAPEZOIDAL + DERIVADA POSTERIOR

( )1Z +( ) ( )( ) 11C PD ID DDG z K K K ZZ= + + (1.42)

Las constantes tienen el mismo significado que ya conocemos.

PID DISCRETO A PARTIR DE LOS MTODOS: INTEGRACIN RECTANGULAR POSTERIOR + DERIVADA POSTERIOR

(( ) 11C PD ID DD

ZG z K K K ZZ

= + + ) (1.43) Las constantes tienen el mismo significado que ya conocemos.

PID DISCRETO A PARTIR DE LOS MTODOS: INTEGRACIN RECTANGULAR ANTERIOR + DERIVADA ANTERIOR

( )11( )1C PD ID DD

ZG z K K K

Z Z= + + (1.44)


PID DISCRETO A PARTIR DE LOS MTODOS: INTEGRACIN RECTANGULAR POSTERIOR + DERIVADA ANTERIOR

( )1( )1C PD ID DD

ZZG z K K KZ Z

= + + (1.45)


PID DISCRETO A PARTIR DE LOS MTODOS: INTEGRACIN RECTANGULAR ANTERIOR + DERIVADA POSTERIOR

(1( ) 11C PD ID DD

G z K K K ZZ

= + + ) (1.46) Las constantes tienen el mismo significado que ya conocemos.

METODOLOGA DE DISEO DE CONTROLADORES DIGITALESPASOS PARA DIGITALIZAR UN CONTROLADOR CONTINUO.MTODO DE LA DIFERENCIA HACIA DELANTE O DERIVADAMTODO DE LA DIFERENCIA HACIA ATRS O DERIVADA AMTODO DE LA TRANSFORMACIN BILINEAL O DE TUSTINMTODO DE TUSTIN CON PREDOBLAMIENTO DE FRECUENCIMTODO DEL MAPEO DE POLOS Y CEROS.MTODO DE LA TRANSFORMADA Z.MTODO DEL MANTENEDOR DE ORDEN ZERO.MTODO DEL MANTENEDOR DE PRIMER ORDEN.MTODO DE INTEGRACIN RECTANGULAR HACIA ADELANTEMTODO DE INTEGRACIN RECTANGULAR HACIA ATRSDIGITALIZACIN DE CONTROLADORES PID CONTINUOS.PID DISCRETO A PARTIR DE LA DERIVADA POSTERIORPID DISCRETO A PARTIR DE LA DERIVADA ANTERIORPID DISCRETO A PARTIR DE LA TRANSFORMACIN BILINPID DISCRETO A PARTIR DE LA INTEGRACIN RECTANGUPID DISCRETO A PARTIR DE LA INTEGRACIN RECTANGUPID DISCRETO A PARTIR DE LOS MTODOS: INTEGRACIQUE SIGNIFICA ALGORITMO DE CONTROL DE POSICIN OPID DISCRETO A PARTIR DE LOS MTODOS: INTEGRACIPID DISCRETO A PARTIR DE LOS MTODOS: INTEGRACIPID DISCRETO A PARTIR DE LOS MTODOS: INTEGRACIPID DISCRETO A PARTIR DE LOS MTODOS: INTEGRACIPID DISCRETO A PARTIR DE LOS MTODOS: INTEGRACI

cd cap4 2 digitalizacion de controladores

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