1. OptimizacinAlfonso Cubillos V Capitulo 4 OptimizacinIntroduccin Aplicacin a la Mecnica de MaterialesConceptos FundamentalesAplicaciones computacionales de la Mecnica de Materiales Tipos de OptimizacinEjemplos y EjerciciosMtodos de Solucin Programacin Lineal (PL) Mtodo a partir de DerivadasAlfonso Cubillos V Programa de Ing. MecnicaUniversidad de Ibagu4.1

2. Optimizacin Introduccin Alfonso Cubillos V En la solucin de problemas, siempre se deben tomar decisiones sobre el valor de ciertas condiciones del problema. Estas decisiones Introduccin afectan el resultado nal del Conceptos problema. FundamentalesTipos de OptimizacinEjemplos y EjerciciosMtodos de Solucin Programacin Lineal (PL) Mtodo a partir de Derivadas4.2 3. Optimizacin Minimizar o Maximizar qu? Alfonso Cubillos V El costo $ El Peso El volumen La eciencia IntroduccinConceptos El tiempoFundamentalesTipos de Optimizacin El trabajo Ejemplos y Ejercicios La distancia Mtodos de Solucin Programacin Lineal (PL) Las gananciasMtodo a partir de Derivadas ... y muchas ms Qu se requiere?Un modelo que describa el comportamiento del sistema ysobre el cual se puedan realizar pruebas con el n deencontrar la solucin4.3 4. Optimizacin Algunos conceptosAlfonso Cubillos VVariables de decisinDecisiones cuanticables relacionadas con otras. Por ejemplo,la distancia a donde poner el soporte, el tipo de viga aimplementar. Funcin ObjetivoIntroduccin ConceptosLa medida de efectividad compuesta expresada como una Fundamentales funcin de las variables de decisin. Tipos de Optimizacin Ejemplos y Ejercicios Mtodos de SolucinParmetrosProgramacin Lineal (PL)Mtodo a partir deValores constantes que actan como coecientes al ladoDerivadas derecho de las variables tanto en la funcin objetivo como enlas restricciones y que se basan en datos tecnolgicos de losproblemas RestriccionesLimitaciones impuestas sobre los valores de las variables dedecisin, casi siempre en forma de ecuaciones odesigualdades. Pueden =, , . 4.4 5. Optimizacin OptimizacinAlfonso Cubillos V Tambin conocida como programacin matemtica intenta darrespuesta a un tipo general de problemas de la forma max(min) f (x)x RnIntroduccin ConceptosFundamentales Tipos de Optimizacin x = (x1 , . . . , xn ) es un vector y representa las variables de Ejemplos y Ejercicios decisinMtodos de SolucinProgramacin Lineal (PL) f (x) es la llamada funcin objetivo y representa o mide la Mtodo a partir deDerivadas calidad de las decisiones es el conjunto de decisiones factibles o restriccionesque se puede expresar comoConjunto de restriccionesgi (x1 , . . . , xn ) 0 (Restricciones de Desigualdades)hi (x1 , . . . , xn ) = 0 (Restricciones de Igualdades)4.5 6. Optimizacin FactibilidadAlfonso Cubillos VDado un conjunto de restriccionesgi (x) = 0 hi (x) 0Por ejemplo Introduccin ConceptosFundamentales23x1 + 2x2 = 3x3 9 sin(x1 ) cos(x2 ) Tipos de Optimizacin Ejemplos y Ejercicios Mtodos de SolucinSe re-escriben para manejarla mejor...Programacin Lineal (PL)Mtodo a partir deDerivadas2 g1 (x) = 3x1 + 2x2 3x3 + 9 = 0 h1 = cos(x2 ) sin(x1 ) 0 Un punto que satisface todas las restricciones es un puntofactible El conjunto de puntos factibles se denomina regin factible4.6 7. Optimizacin Mnimos (o mximos) locales y globalesAlfonso Cubillos V Puntos de ineccinIntroduccin ConceptosFundamentales Tipos de Optimizacin Ejemplos y Ejercicios Mtodos de SolucinProgramacin Lineal (PL)Mtodo a partir deDerivadas 4.7 8. Optimizacin Mnimos (o mximos) locales y globalesAlfonso Cubillos V Puntos de ineccinIntroduccin ConceptosFundamentales Tipos de Optimizacin Ejemplos y Ejercicios Mtodos de SolucinProgramacin Lineal (PL)Mtodo a partir deDerivadas 4.8 9. Optimizacin Mnimos (o mximos) locales y globalesAlfonso Cubillos V Puntos de ineccinIntroduccin ConceptosFundamentales Tipos de Optimizacin Ejemplos y Ejercicios Mtodos de SolucinProgramacin Lineal (PL)Mtodo a partir deDerivadas 4.9 10. Optimizacin Segn el tipo de problema y mtodo de solucinAlfonso Cubillos VIntroduccin ConceptosFundamentales Tipos de Optimizacin Ejemplos y Ejercicios Mtodos de SolucinProgramacin Lineal (PL)Mtodo a partir deDerivadas 4.10 11. Optimizacin Tipos de Optimizacin Alfonso Cubillos V Segn el nivel de generalidades que tome el problema, ser lasolucin que se plantee.1 Optimizacin sin restricciones 2 Optimizacin con restricciones de desigualdad -optimizacin no clsica Introduccin3 Optimizacin estocstica Conceptos Fundamentales4 Optimizacin con informacin no perfecta Tipos de OptimizacinEjemplos y Ejercicios1. Optimizacin sin restriccionesMtodos de Solucin Programacin Lineal (PL) Si la restriccin no existe, o es una restriccin de igualdad, con Mtodo a partir de Derivadas menor o igual nmero de variables que la funcin objetivo. 2. Con restriccin de desigualdadSi la restriccin contienen mayor cantidad de variables que lafuncin objetivo, o la restriccin contiene restricciones dedesigualdad, existen mtodos en los que algunos casos sepueden encontrar los valores mximos o mnimos.4.11 12. Optimizacin Tipos de OptimizacinAlfonso Cubillos V2. Con restricciones de desigualdadSi tanto las restricciones como funcin objetivo son lineales(Programacin Lineal o PL), la existencia de mximo (oIntroduccinmnimo), esta asegurada, y el problema se reduce a la Conceptosaplicacin de unos algoritmos de lgebra lineal elemental.Fundamentales Tipos de Optimizacin Ejemplos y Ejercicios3. Optimizacin Estocstica Mtodos de SolucinProgramacin Lineal (PL)Cuando las variables del problema (funcin objetivo y/o Mtodo a partir deDerivadasrestricciones) son variables aleatorias 4. Optimizacin con informacin no perfectaLa cantidad de variables, o ms an la funcin objetivo puedeser desconocida o tambin variable.4.12 13. Optimizacin Taller MecnicoAlfonso Cubillos V A una empresa que cuenta con un taller de reparacin para lamaquinaria que utiliza se le presenta el problema dedeterminar el nmero de obreros que constituye la plantillaptima del taller.Para ello, se estudian las condiciones de trabajo y el coste demantenimiento, obtenindose los siguientes datos: Introduccin Conceptos1 La reparacin de una mquina requiere, por trminoFundamentales medio, 3 obreros/da. Tipos de Optimizacin Ejemplos y Ejercicios2 La capacidad del taller permite reparar x mquinas porMtodos de Solucinda.Programacin Lineal (PL)Mtodo a partir de3 El nmero medio de mquinas pendientes de reparacinDerivadasque un da cualquiera hay en el taller viene determinadopor 10/(x-10).4 La jornada de trabajo es de 8 horas, con salario de200u.m./h por obrero.5 El coste de inactividad de una mquina es de 1920u.m.por da.Determine ese nmero ptimo de obreros. 4.13 14. Optimizacin Fabricacin de tablasAlfonso Cubillos V Una rma de plsticos ha recibido un pedido para fabricar8000 tablas especiales de espuma de plstico paraentrenamientos de natacin.Introduccin La rma posee 10 mquinas ConceptosFundamentales El coste de adaptacin de las mquinas para producirTipos de Optimizacintablas especiales es de 20 US por mquina Ejemplos y Ejercicios Cada mquina adaptada puede producir 30 tablas de Mtodos de SolucinProgramacin Lineal (PL)entrenamiento por horaMtodo a partir deDerivadas Una vez estas mquinas han sido adaptadas, la operacines completamente automtica y puede ser supervisadapor un solo capataz, cuyo salario es de 4,80 US por hora.Cuntas de las mquinas deben adaptarse para reducir almnimo el coste de produccin de dichas tablas?4.14 15. Optimizacin Taller de Joe Alfonso Cubillos V El taller de Joe se especializa en cambios de aceite del motory regulacin del sistema elctrico. El benecio por cambio del aceite es $7 y de $15 porregulacin. Joe tiene un cliente jo con cuya ota, le garantiza 30Introduccin cambios de aceite por semana.Conceptos Fundamentales Cada cambio de aceite requiere de 20 minutos de trabajoTipos de Optimizacin y $8 de insumos. Ejemplos y EjerciciosMtodos de Solucin Una regulacion toma una hora de trabajo y gasta $15 en Programacin Lineal (PL) insumos. Mtodo a partir de Derivadas Joe paga a los mecnicos $10 por hora de trabajo yemplea actualmente a dos de ellos, cada uno de loscuales labora 40 horas por semana. Las compras de insumos no pueden pasar el valor de$1.750 semanales.Cuntos cambios de aceite y regulaciones debe realizarsemanalmente Joe para maximizar el benecio total.4.15 16. Optimizacin Planta de ReneraAlfonso Cubillos V Una renera produce tres tipos de crudo: C1, C2 y C3. Elcrudo tipo C1 cuesta $0.4/galn, y se pueden producir mximo10.000 galones por da. El crudo tipo C2 cuesta $0.2/galn, yse pueden producir mximo 12.000 galones por da. El crudode tipo C3 cuesta $0.1/galn, y se pueden producir mximo15.000 galones por da. La renera puede convertir cada tipo Introduccin Conceptosde crudo en gasolina, y puede producir tres tipos de gasolina:Fundamentales regular, plus y premium. La mxima demanda del mercadoTipos de Optimizacin para la gasolina regular, plus y premium, es de 9000, 8000 yEjemplos y Ejercicios 7000 galones por da respectivamente. La renera puede Mtodos de SolucinProgramacin Lineal (PL)vender su gasolina a un distribuidor por $0.7/galn de gasolina Mtodo a partir deDerivadasregular, $0.8/galn de plus, y $0.9/galn de premium. Asumaque 1 galn de crudo tipo C1 genera 0.2 galones de gasolinaregular, 0.3 galones de regular y 0.5 de premium. Un galn decrudo tipo C2 genera 0.5 galones de regular, 0.3 de plus y 0.2de premium. Para el crudo tipo C3, se asume que un galn,genera 0.7 galones de regular, 0.3 de plus, y nada de premium.Se desea determinar el nmero de galones de cada crudo porprocesar de C1, C2 y C3 para maximizar las ganancias. 4.16 17. Optimizacin Equilibrio de dos resortes Alfonso Cubillos VConsidere un sistema de dos resortes como lo muestra lagura. Las lneas punteadas muestran los resortes sindeformar y sin carga. Despus de aplicar las fuerzas en elpunto A, el sistema se deforma hasta su equilibrio en el puntoB, donde los resortes se muestran en lneas continuas. Seesta interesado en encontrar el estado de equilibrio en el punto IntroduccinB en la posicin (x1 , x2 )ConceptosEl estado de equilibrio del sistema se obtiene minimizando laFundamentales energa potencial del mismo, con respecto a las variables de Tipos de OptimizacinEjemplos y Ejerciciosdiseo x1 y x2 Mtodos de Solucin Programacin Lineal (PL) Mtodo a partir de Derivadas4.17 18. Optimizacin Costo de tubera de una planta Alfonso Cubillos VEl costo de la tubera, incluidas tantos las prdidas como elbombeo,son de importante consideracin en el diseo de unaplanta qumica. Considere el diseo de una tubera que tieneun longitud L-ft de longitud y transporta un uido a Q gpm. El Introduccinobjetivo es determinar el dimetro del tubo D-in que minimiza Conceptosanualmente el costo de bombeo. Para una bomba normal, el Fundamentales costo anual de bombeo puede ser estimado por:Tipos de OptimizacinEjemplos y Ejercicios f (D) = 0,45L + 0,245 L D 1,5 + 325(hp)0,5 + 61,6(hp)0,925 + 102 Mtodos de Solucin Programacin Lineal (PL) Mtodo a partir de DerivadasdondeLQ 3LQ 2,68hp = 4,4 108+ 1,92 109 4,68 D5DSe desea obtener el dimetro de la tubera D para un mnimocosto, de longitud de 1000 ft. y ujo de 20 gpm.4.18 19. Optimizacin Minimizar Volumen Alfonso Cubillos VThe weight of the suspended object is 10 kN. The twomembers have different cross-sectional areas x1 and x2 , andeach will safely support an axial stress of = 105 kPa.Determine the value of h, x1 y x2 that minimizes the totalvolume of material in the two members. IntroduccinConceptos FundamentalesTipos de OptimizacinEjemplos y EjerciciosMtodos de Solucin Programacin Lineal (PL) Mtodo a partir de Derivadas4.19 20. Optimizacin Cundo un problema se puede solucionar como PL?Alfonso Cubillos VCuando se formula un problema de toma de decisiones comoun programa lineal, se deben vericar las siguientescondiciones:1 La funcin objetivo debe ser lineal. Vale decir que se debe Introduccin vericar que todas las variables estn elevadas a laConceptosFundamentalesprimera potencia y que sean sumadas o restadas (noTipos de Optimizacindivididas ni multiplicadas);Ejemplos y Ejercicios 2 El objetivo debe ser ya sea la maximizacin o Mtodos de SolucinProgramacin Lineal (PL) minimizacin de una funcin lineal. El objetivo debeMtodo a partir deDerivadas representar la meta del decisor; y3 Las restricciones tambin deben ser lineales. . Asimismo,la restriccin debe adoptar alguna de las siguientesformas ( , , o =, es decir que las restricciones de PLsiempre estn cerradas).4.20 21. Optimizacin Mtodo de Derivadas Alfonso Cubillos VEs el mtodo ms utilizado para resolver problemas deoptimizacin no lineal.IntroduccinConceptos FundamentalesSe dividen en: Tipos de Optimizacin 1 Optimizacin donde la funcin objetivo es no lineal, y sin Ejemplos y EjerciciosMtodos de SolucinrestriccionesProgramacin Lineal (PL) Mtodo a partir de2 Optimizacin donde la funcin objetivo y las restricciones Derivadasson no lineales4.21