análise de erro

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Material didático sobre análise de erro. Para disciplinas como Metrologia.

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  • Anlise de Erro

    Kenny Vinente dos Santos

    Universidade Federal do AmazonasFaculdade de Tecnologia

    Metrologia e Instrumentao

  • Sumrio

    1. Caractersticas Bsicas da Distribuio de Erro; Histogramas

    2. Probabilidade e Variveis Aleatrias; Distribuio Normal

    3. Distribuio de Probabilidades e Caracterizaes

    4. Funes de Variveis Aleatrias Independentes

  • 1. Caractersticas Bsicas da Distribuio de Erro; Histogramas

    Introduo: prtica da engenharia e origem de erros

    Erros de medio de parmetros particulares (massa, tempo, comprimento, ngulo) em respeito a magnitude do parmetro

    Erro de um parmetro particular de um produto produzido em relao a magnitude nominal fornecida do parmetro

    Erro de posicionamento de um rob manipulador em respeito a posio exigida

  • 1. Caractersticas Bsicas da Distribuio de Erro; Histogramas

    Erros: origem sistemtica ou aleatria

    o Sistemtica: geralmente causados por fatores rigorosamente definidos que afetam o resultado da medio

    o Leve aquecimento do dispositivo de medio

    o Viso defeituosa do operador do medidor

    o Ajuste incorreto do dispositivo

    o Geralmente, este tipo de erro pode ser estimado e eliminado

  • 1. Caractersticas Bsicas da Distribuio de Erro; Histogramas

    Erros: origem sistemtica ou aleatria

    o Aleatrio: resultam de aes aleatrias em pequenos nmeros, muitas vezes imperceptveis, fatores relacionados com a estrutura do dispositivo de medio, mquinas de fabricao ou de um manipulador (ex.: folga entre as partes mveis)

    o Esse tipo de erro calculado atravs da teoria de probabilidade. Em geral, assume-se que este erro pequeno em relao a magnitude da grandeza medida.

  • 1. Caractersticas Bsicas da Distribuio de Erro; Histogramas

    Medio prtica: histograma

    Intervalo discretode setores

    ocorrncias

  • 1. Caractersticas Bsicas da Distribuio de Erro; Histogramas

    Histograma anterior com intervalos maiores

  • 1. Caractersticas Bsicas da Distribuio de Erro; Histogramas

    Mdia das amostras medidas

    Se cada resultado ocorreu vezes 1,2, ,

  • 1. Caractersticas Bsicas da Distribuio de Erro; Histogramas

    Para o exemplo anterior (2 histograma)

    Se calcularmos agora para o 1 histograma

    Que resulta em uma diferena de 8%

  • 1. Caractersticas Bsicas da Distribuio de Erro; Histogramas

    Medida de disperso em Anlise de Erro

    Diferena entre o valor mximo e o valor mnimo das amostras:

    Esta medida tem limitaes prticas significantes

    No entrega nenhuma informao em relao a distribuio da quantidade em questo

  • 1. Caractersticas Bsicas da Distribuio de Erro; Histogramas

    Medida de disperso em Anlise de Erro

    Varincia amostral

    Ou equivalente , denominada frmula computacional

    (1)

  • 1. Caractersticas Bsicas da Distribuio de Erro; Histogramas

    Medida de disperso em Anlise de Erro

    Se cada resultado ocorreu vezes 1,2, ,

    Ou equivalente

    A grandeza denominada desvio padro amostral

  • 1. Caractersticas Bsicas da Distribuio de Erro; Histogramas

    Substituindo na frmula (1) todos os elementos por expresses , em que o valor constante certo fixado

    arbitrariamente e representa os desvios do elemento em

    relao a , obtemos:

    Nessa equao, no precisamos conhecer o valor atual . Somente

    precisamos das variaes dos valores.

  • 1. Caractersticas Bsicas da Distribuio de Erro; Histogramas

    Estendendo para o caso em que cada resultado ocorreu vezes 1,2, ,

    Exemplo: 1 histograma, escolhendo 0 como referncia

  • 1. Caractersticas Bsicas da Distribuio de Erro; Histogramas

    Medida de disperso em Anlise de Erro

    Desvio mdio amostral

    Utilizado quando todos os dados so gerados automaticamente

  • 1. Caractersticas Bsicas da Distribuio de Erro; Histogramas

    Distribuio de Frequncia Cumulativa

    a probabilidade (calculada com base no histograma)

  • 1. Caractersticas Bsicas da Distribuio de Erro; Histogramas

    Exemplo: 2 histograma

  • 1. Caractersticas Bsicas da Distribuio de Erro; Histogramas

    Exemplo de distribuies empricas: estimativa da preciso da artilharia

  • 1. Caractersticas Bsicas da Distribuio de Erro; Histogramas

    Exemplo de distribuies empricas: idade das pessoas que finalizaram o doutorado

  • 1. Caractersticas Bsicas da Distribuio de Erro; Histogramas

    Exemplo de distribuies empricas: comprimento de bacalhaus pescados no mar Bltico em 1952

  • 1. Caractersticas Bsicas da Distribuio de Erro; Histogramas

    Parmetros obtidos dos dados obtidos e seus valores tericos

    Como obter as informaes referentes as amostras de maneira automtica?

    Como realizar generalizaes?

    Uso de estimadores e teoria de variveis aleatrias

  • 1. Caractersticas Bsicas da Distribuio de Erro; Histogramas

    Exerccio 1 Mudando o espaamento na escala de comprimento dos peixes para os dados apresentados no histograma do exemplo 3 para 5 cm, obtemos a nova tabela a seguir. Desenhe o novo histograma para estes dados. Mude o intervalo para 20 cm e apresente o seu novo histograma.

  • 1. Caractersticas Bsicas da Distribuio de Erro; Histogramas

    Exerccio 2 utilizando os histogramas do exerccio anterior, desenhe a curva de distribuio de frequncia acumulada

    Exerccio 3 Calcule os valores mdio, varincias e desvios padres para os dados dos exerccios 1 e 2. Observe a diferena entre os valores calculados desses parmetros.

    Exerccio 4 Para os dados estudados nos exerccios 1 a 3, calcule o desvio

    mdio . Compare os resultados com os desvios padres amostrais

    equivalentes a cada varivel.

  • 2. Probabilidade e Variveis Aleatrias; Distriuio Normal

    Probabilidade e Variveis Aleatrias

    O que um fenmeno aleatrio?

    Intuitivamente: no conseguimos determinar o resultado exato do fenmeno

    Exemplos do dia-a-dia: loteria, disperso de um tiro em uma cidade

  • 2. Probabilidade e Variveis Aleatrias; Distriuio Normal

    Formalizao de um fenmeno aleatrio: conceito de probabilidade e variveis aleatrias

    Evento aleatrio (coleo de amostras pontuais): o resultado de um fenmeno aleatrio, e a probabilidade a chance de um fenmeno ocorrer, expressa por um nmero no intervalo [0,1]

  • 2. Probabilidade e Variveis Aleatrias; Distriuio Normal

    Exemplo 2.1: Lanamento de uma moeda no tendenciosa

    Ao jogar uma moeda, temos duas possibilidades: a ocorrncia de cara ou da coroa. Ambos resultados so eventos aleatrios. A probabilidade de ocorrer a cara igual a da coroa:

    Neste exemplo, dizemos que o conjunto de todos os resultados possveis contm 2 elementos (cara, coroa). Como determinar a probabilidade de ocorrncia?

    Frequncia amostral

  • 2. Probabilidade e Variveis Aleatrias; Distriuio Normal

    Exemplo 2.2: lanamento de um dado no viciado

    6 possveis resultados: {1,2,3,4,5,6}

    conjunto de resultados contm 6 elementos

    Probabilidade de ocorrncia de cada resultado: 1/6

    Isso significa se realizarmos infinitas ocorrncias, a relao:

    Tende a 1/6, para !1,2,3,4,5,6&

  • 2. Probabilidade e Variveis Aleatrias; Distriuio Normal

    Podemos calcular tambm outros eventos, como por exemplo:

    A) Qual a probabilidade de obtermos um nmero par ao lanar 1 dado?

    B) Qual a probabilidade de obtermos um nmero maior que 4 ao lanar 1 dado?

  • 2. Probabilidade e Variveis Aleatrias; Distriuio Normal

    Aplicao da teoria de probabilidade na teoria de medio: espao de probabilidades

    Definido pelo trio ', ), *+

    : Espao amostral, contendo todos os eventos elementares

    ): lgebra- dos subconjuntos de Borel

    *: probabilidades relacionadas a )

  • 2. Probabilidade e Variveis Aleatrias; Distriuio Normal

    Exemplo 2.3: lanamento da moeda, continuao

    Espao de probabilidades

    : {cara, coroa}

    ): {, cara, coroa, }

    *: *(cara) = , *(coroa) =

  • 2. Probabilidade e Variveis Aleatrias; Distriuio Normal

    Exemplo 2.4: lanamento do dado, continuao

    Espao de probabilidades

    : {1, 2, 3, 4, 5, 6}

    ): {, 6 subconjuntos de 1 elemento, 15 subconjuntos de 2 elementos, 20 subconjuntos de 3 elementos, 15 subconjuntos de 4 elementos, 6 subconjuntos de 5 elementos, }

    *: * 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 1/6

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