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Anlise de Erro

Kenny Vinente dos Santos

Universidade Federal do AmazonasFaculdade de Tecnologia

Metrologia e Instrumentao

Sumrio

1. Caractersticas Bsicas da Distribuio de Erro; Histogramas

2. Probabilidade e Variveis Aleatrias; Distribuio Normal

3. Distribuio de Probabilidades e Caracterizaes

4. Funes de Variveis Aleatrias Independentes


Introduo: prtica da engenharia e origem de erros

Erros de medio de parmetros particulares (massa, tempo, comprimento, ngulo) em respeito a magnitude do parmetro

Erro de um parmetro particular de um produto produzido em relao a magnitude nominal fornecida do parmetro

Erro de posicionamento de um rob manipulador em respeito a posio exigida


Erros: origem sistemtica ou aleatria

o Sistemtica: geralmente causados por fatores rigorosamente definidos que afetam o resultado da medio

o Leve aquecimento do dispositivo de medio

o Viso defeituosa do operador do medidor

o Ajuste incorreto do dispositivo

o Geralmente, este tipo de erro pode ser estimado e eliminado


Erros: origem sistemtica ou aleatria

o Aleatrio: resultam de aes aleatrias em pequenos nmeros, muitas vezes imperceptveis, fatores relacionados com a estrutura do dispositivo de medio, mquinas de fabricao ou de um manipulador (ex.: folga entre as partes mveis)

o Esse tipo de erro calculado atravs da teoria de probabilidade. Em geral, assume-se que este erro pequeno em relao a magnitude da grandeza medida.


Medio prtica: histograma

Intervalo discretode setores

ocorrncias


Histograma anterior com intervalos maiores


Mdia das amostras medidas

Se cada resultado ocorreu vezes 1,2, ,


Para o exemplo anterior (2 histograma)

Se calcularmos agora para o 1 histograma

Que resulta em uma diferena de 8%


Medida de disperso em Anlise de Erro

Diferena entre o valor mximo e o valor mnimo das amostras:

Esta medida tem limitaes prticas significantes

No entrega nenhuma informao em relao a distribuio da quantidade em questo



Varincia amostral

Ou equivalente , denominada frmula computacional

(1)



Se cada resultado ocorreu vezes 1,2, ,

Ou equivalente

A grandeza denominada desvio padro amostral


Substituindo na frmula (1) todos os elementos por expresses , em que o valor constante certo fixado

arbitrariamente e representa os desvios do elemento em

relao a , obtemos:

Nessa equao, no precisamos conhecer o valor atual . Somente

precisamos das variaes dos valores.


Estendendo para o caso em que cada resultado ocorreu vezes 1,2, ,

Exemplo: 1 histograma, escolhendo 0 como referncia



Desvio mdio amostral

Utilizado quando todos os dados so gerados automaticamente


Distribuio de Frequncia Cumulativa

a probabilidade (calculada com base no histograma)


Exemplo: 2 histograma


Exemplo de distribuies empricas: estimativa da preciso da artilharia


Exemplo de distribuies empricas: idade das pessoas que finalizaram o doutorado


Exemplo de distribuies empricas: comprimento de bacalhaus pescados no mar Bltico em 1952


Parmetros obtidos dos dados obtidos e seus valores tericos

Como obter as informaes referentes as amostras de maneira automtica?

Como realizar generalizaes?

Uso de estimadores e teoria de variveis aleatrias


Exerccio 1 Mudando o espaamento na escala de comprimento dos peixes para os dados apresentados no histograma do exemplo 3 para 5 cm, obtemos a nova tabela a seguir. Desenhe o novo histograma para estes dados. Mude o intervalo para 20 cm e apresente o seu novo histograma.


Exerccio 2 utilizando os histogramas do exerccio anterior, desenhe a curva de distribuio de frequncia acumulada

Exerccio 3 Calcule os valores mdio, varincias e desvios padres para os dados dos exerccios 1 e 2. Observe a diferena entre os valores calculados desses parmetros.

Exerccio 4 Para os dados estudados nos exerccios 1 a 3, calcule o desvio

mdio . Compare os resultados com os desvios padres amostrais

equivalentes a cada varivel.

2. Probabilidade e Variveis Aleatrias; Distriuio Normal

Probabilidade e Variveis Aleatrias

O que um fenmeno aleatrio?

Intuitivamente: no conseguimos determinar o resultado exato do fenmeno

Exemplos do dia-a-dia: loteria, disperso de um tiro em uma cidade


Formalizao de um fenmeno aleatrio: conceito de probabilidade e variveis aleatrias

Evento aleatrio (coleo de amostras pontuais): o resultado de um fenmeno aleatrio, e a probabilidade a chance de um fenmeno ocorrer, expressa por um nmero no intervalo [0,1]


Exemplo 2.1: Lanamento de uma moeda no tendenciosa

Ao jogar uma moeda, temos duas possibilidades: a ocorrncia de cara ou da coroa. Ambos resultados so eventos aleatrios. A probabilidade de ocorrer a cara igual a da coroa:

Neste exemplo, dizemos que o conjunto de todos os resultados possveis contm 2 elementos (cara, coroa). Como determinar a probabilidade de ocorrncia?

Frequncia amostral


Exemplo 2.2: lanamento de um dado no viciado

6 possveis resultados: {1,2,3,4,5,6}

conjunto de resultados contm 6 elementos

Probabilidade de ocorrncia de cada resultado: 1/6

Isso significa se realizarmos infinitas ocorrncias, a relao:

Tende a 1/6, para !1,2,3,4,5,6&


Podemos calcular tambm outros eventos, como por exemplo:

A) Qual a probabilidade de obtermos um nmero par ao lanar 1 dado?

B) Qual a probabilidade de obtermos um nmero maior que 4 ao lanar 1 dado?


Aplicao da teoria de probabilidade na teoria de medio: espao de probabilidades

Definido pelo trio ', ), *+

: Espao amostral, contendo todos os eventos elementares

): lgebra- dos subconjuntos de Borel

*: probabilidades relacionadas a )


Exemplo 2.3: lanamento da moeda, continuao

Espao de probabilidades

: {cara, coroa}

): {, cara, coroa, }

*: *(cara) = , *(coroa) =


Exemplo 2.4: lanamento do dado, continuao

Espao de probabilidades

: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

): {, 6 subconjuntos de 1 elemento, 15 subconjuntos de 2 elementos, 20 subconjuntos de 3 elementos, 15 subconjuntos de 4 elementos, 6 subconjuntos de 5 elementos, }

*: * 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 1/6

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