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  • A Previso com o Modelo de Regresso.................................................................................... 1 1. Introduo ao Modelo de Regresso .............................................................................. 1 2. Exemplos de Modelos Lineares ..................................................................................... 2 3. Derivao dos Mnimos Quadrados no Modelo de Regresso ...................................... 6 4. A Natureza Probabilstica do Modelo de Regresso...................................................... 9 5. Propriedades Estatsticas dos Estimadores................................................................... 13 6. Critrios de Avaliao dos Estimadores....................................................................... 14 7. Obteno da Mdia e o Desvio Padro dos Melhores Estimadores Lineares No Tendenciosos ou Best Linear Unbiased Estimators (BLUEs) .......................................... 16 8. Aplicao de Testes de Hipteses e Intervalos de Confiana aos EstimadoresErro! Indicador no definido. 9. O Coeficiente de Ajustamento ou Determinao: Erro! Indicador no definido. 10. Interpretao da Variao em Y em termos da Anlise de VarinciaErro! Indicador no definido. 11. O Modelo de Regresso Mltipla......................... Erro! Indicador no definido. 12. Consideraes Adicionais: a Correlao Parcial.................................................34 13. Teste de Chow: um Teste para a Estabilidade Estrutural dos Modelos ................36 14. O Modelo de Regresso Mltipla com Variveis Explanatrias Estocsticas......36 15. Violao dos Pressupostos Bsicos do Modelo de Regresso Clssico..............37 16. O Problema da Multicolinearidade .....................................................................38 17. O Problema de Heteroscedasticidade..................................................................40 18. O Problema da Correlao Serial ......................... Erro! Indicador no definido. 19. A Previso com o Modelo de Regresso.............. Erro! Indicador no definido.

    Leituras recomendadas (Pindyck e Rubinfeld(1976)): 1. Variveis instrumentais e mnimos quadrados em dois estgios (Leitura

    recomendada) (Pindyck e Rubinfeld)

    2. Tpicos avanados em estimao de uma equao singular (Leitura recomendada)

    3. Modelos de escolha qualitativa (Leitura recomendada) (Pindyck e Rubinfeld) Referncias Bibliogrficas:

    Kmenta, Jan, Elementos de Econometria, Ed. Atlas.

    Thomas, J. J. (1978), Introduo Anlise Estatstica para Economistas, Zahar Editores.

    Pindyck, R. S. e Rubinfeld, D. L. (1976), Econometric Models and Economic Forecasts, McGraw-Hill Kogakusha Ltd., Tokyo.

    Pindyck, R.S. e Rubinfeld, D.L. (1991), Econometric Models and Economic Forecasts, Mcgraw-Hill International Editors.

    Bowerman, B.L. e O`Connel, R.T. (1987), Times Series Forecasting-Unified Concepts and Computer Implementation, Duxbury Press, Boston.

    Levenbach, H. e Cleary, J.P. (1984), The Modern Forecaster: The Forecasting Process Through Data Analysis, Lifetime Learning Publications, Belmonnt, Califrnia.

  • 1

    A Previso com o Modelo de Regresso

    1. Introduo ao Modelo de Regresso

    A teoria da Regresso permite que se estabeleam relaes entre variveis que se

    interrelacionam cujas informaes esto disponveis (dados pr-coletados), relaes s quais

    associam-se os modelos de regresso. Dessa forma, os economistas e os administradores

    procuram compreender a natureza e o funcionamento de sistemas econmicos que so

    descritos por meio dessas variveis. Por exemplo, o volume do comrcio internacional pode

    ser modelado como uma funo linear do produto interno bruto dos pases. As vendas de um

    produto podem ser estimadas por uma relao entre a varivel que as representa e variveis

    relativas aos preos desse produto e de seus concorrentes no mercado e aos respectivos gastos

    relativos com propaganda. Uma vez estabelecida essa relao pelo modelo de regresso,

    preciso avaliar a confiana que nela se pode colocar, realizando testes estatsticos.

    Temos dois tipos bsicos de informao a considerar:

    (1) Informao descrevendo as mudanas assumidas por uma varivel atravs

    do tempo (dados de sries temporais)

    (2) Informao descrevendo as atividades de pessoas, firmas etc. num dado

    instante de tempo (dados de corte transversal)

    Para esses dois tipos de informao possvel estabelecer relaes que descrevem as

    situaes observadas por meio de modelos de regresso.

    Ou seja, dado um conjunto finito de observaes X e Y, por meio do modelo de

    regresso buscado estabelecer relaes entre X e Y. Esse conjunto finito de observaes

    corresponde a uma amostra representativa do universo de informaes ou populao, a qual

    permitiria estabelecer a verdadeira relao entre X e Y (Figura 1).

    Amostra Populao (verdadeira relao entre X e Y)

    Figura 1- Relao entre a amostra e a populao ou universo de informaes

  • 2

    Tome-se por hiptese que exista a relao linear li entre X e Y. No diagrama de

    disperso da Figura 2 so representadas as linhas l1 e l2 que se procurou ajustar ao conjunto de

    pares ordenados (X, Y) do conjunto amostral, assim como os desvios (positivos e negativos)

    em relao a l2 .

    Figura 2 - Diagrama de disperso e desvios em relao linha ajustada

    Definem-se desvios como os valores, segundo Y, das diferenas entre os valores

    observados e os valores sobre a linha li ajustada ao conjunto de pares (X, Y). Como regra

    estabelece-se que a melhor linha li corresponde quela cujo somatrio dos desvios tende a

    zero ( minimizado). A melhor linha ajustada define o modelo de regresso e pode ser obtida

    pela derivao de mnimos quadrados ordinrios, apresentada mais frente.

    2. Exemplos de Modelos Lineares

    (A) Modelagem de Tendncia e Sazonalidade atravs de Funes do Tempo

    Seja por exemplo o modelo Yt = St + Tt , onde Tt representa a tendncia no perodo

    t. Por outro lado, St representa a sazonalidade no perodo t, sendo L o comprimento da

    sazonalidade. Exemplos de situaes onde a tendncia modelada, em que 0, 1 e 2 so os

    parmetros do modelo, so:

  • 3

    Modelo

    Tendncia inexistente, ou constante

    horizontal

    Tt = 0

    Tendncia linear Tt = 0 + 1t

    Tendncia quadrtica (Figura 3) Tt = 0 + 1t + 2t2

    Tt

    t

    Tt

    t

    que se transforma em:

    Tt = 0 + 1t + 2v,

    fazendo v=t2, o que torna possvel transformao do grau da relao.

    Tt

    t

    Tt

    t

    Figura 3- Grficos de dados com tendncia quadrtica

    Em algumas situaes observa-se sazonalidade ou seja, os valores observados variam

    de forma caracterstica por perodo de tempo t ao longo do comprimento da sazonalidade.

    Assim, pode-se escrever que:

    St = t1),(L1)(Lt2,2t1,1 SSSSSS X...XX +++

    Variveis dummies

    Define-se cada varivel dummy por:

    t1,SX =

    t2,SX =

    t1),-(LSX =

    1 se t o perodo sazonal 2 0 seno

    1 se t o perodo sazonal 1 0 seno

    1 se t o perodo sazonal (L-1) 0 seno

  • 4

    Observa-se que o perodo sazonal L corresponde ao perodo base da representao de St

    (poderia ser outro qualquer, definindo-o a priori).

    (B) Exemplos de Transformao Linear

    Seja o modelo:

    y = ea+bx = (a + bx) y = a + bx (transformao

    linear).

    Substituindo-se x = 1/t, obtm-se a curva S ou curva do aprendizado (Figura 4):

    Figura 4- Grfico da curva do aprendizado

    Modelo recproco

    bxa1Y+

    = Y1 = a + bx y=a+bx (transformao linear)

    Modelo semilogartmico

    Y = a + b log x Y = a + bv (transformao linear)

    Da mesma forma:

    Y = 0 + 1 x12 + 2 log x2 Y = 0 + 1 V1 + 2 V2

    V1 V2

    Seja a equao no linear nas variveis independentes:

    Y = 0 x11 x22

    Esta equao no linear nos coeficientes, mas linearizvel, por meio de aplicao

    de logaritmos.

    y logey

    1 logee

    v

    t

  • 5

    Seja o exemplo das vendas de um produto introduzido no mercado e com vendas,

    posteriormente, em expanso. Esta situao tpica do modelo que representa a curva do

    aprendizado do tipo Y = ea (b/t), pois observa-se o comeo lento, crescimento forte e perodo

    de saturao (Figura 5).

    Resultados do ajuste do modelo ao

    conjunto de observaes:

    Parmetros (a) 20.7867

    (b) -21.0389

    R2 = 0.953, Fteste = 442.6

    Dados

    tempo(t) vendas(Y) 1/t Loge(vendas) 1 0.023 1 -3.77226 2 0.157 0.5 -1.851151 3 0.329 4 0.48 5 1.205 6 1.748 7 1.996 8 2.509 9 2.366

    10 2.94 11 2.8714 12 2.9346 13 3.1346 14 3.24 15 3.148 16 3.522 17 3.54 18 3.31 19 3.547 20 3.374 21 3.3745 22 3.401 23 3.6971 24 3.493

    Figura 5- Exemplo de situao tpica da curva do aprendizado (vendas de T.V.

    a cores, Makridakis e Wheelwright, Forecasting, pg. 203)

    (C) Uso do tempo como uma das variveis explanatrias

    Situaes-Exemplo:

    1) Qt = Lt Kt A(t) t

    2) Incluso da varivel tempo em modelo pouco aderente

    Yt = 1 + 2 x2t + 3t + t, sendo que o termo 3t modela o efeito lquido de

    conjunto de variveis excludas. O efeito da incluso desse termo estatstico.

    Y = e1,478 (5,786/t)

    funo de produo

    mudana tcnica

    funcional de tex.: A(t) = et

  • 6

    3. Derivao dos Mnimos Quadrados no Modelo de Regresso

    A derivao dos mnimos quadrados permite testes estatsticos sobre o

    ajustament

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