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Clculo Numrico

Erros em processamento Numricos

Agenda

Introduo a Erros

Mudana de Base

Erros de representao

Erro de arredondamento

Erro de absoluto

Erro relativo

Erro de truncamento

Propagao do Erro

prof. Daniel Oliveira

Erros

Fase da modelagem do modelo matemtico

Fase de resoluo do modelo matemtico

Modelo exato (erros inerentes dos equipamentos de clculo)

Modelo aproximado (alm dos erros dos equipamentos, erro da aproximao do modelo)

prof. Daniel Oliveira

Erros

prof. Daniel Oliveira

Problema Real

Erros

Fase de Modelagem

Modelo Matemtico

Erros

Fase de Resoluo

Soluo para o modelo

matemtico

Mudana de base

Mudana de base

Representao interna de nmeros pelos computadores

Mudana de base pode gerar erros devido a limitao da representao numrica do equipamento

prof. Daniel Oliveira

Mudana de base

Dados um nmero real N sempre possvel represent-lo em qualquer base b:

prof. Daniel Oliveira

mi

b i

i n

N a b

{0,1,2,3,..., ( 1)},

,

ia b

n m I

Mudana de base

Base binria

prof. Daniel Oliveira

2 , {0,1}m

i

b i i

i n

N a a

Mudana de base

Exemplo / Base Binria

prof. Daniel Oliveira

0 1 2 3

2 10

2 1 0 1 2

2 10

(1011) 1 2 1 2 0 2 1 2 (11)

(111.01) 1 2 0 2 1 2 1 2 1 2 (7,25)

Mudana de base

Exemplo / Base Decimal

prof. Daniel Oliveira

0 1 2

10

2 1 0 1 2

2

(231) 1 10 3 10 2 10

(231.35) 5 10 3 10 1 10 3 10 2 10

Mudana de base

Converso de Decimal para binrio

Dividir o nmero na base decimal sucessivamente por 2

Armazenar o algoritmo de resto (r), at que o quociente da diviso seja igual a 1

O binrio formado pelo quociente 1 e pelos coeficientes do resto da diviso, a partir do mais significativo (rn-1) para o menos significativo (rn)

prof. Daniel Oliveira

Mudana de base

Exemplo

prof. Daniel Oliveira

0 1 2 3 4

10 2(25) 1 2 0 2 0 2 1 2 1 2 (11001)

25/2 = 12 resto = 1

12/2 = 06 resto = 0

06/2 = 03 resto = 0

03/2 = 01 resto = 1

1/2 = 00 resto = 1

11001

Mudana de base

Exemplo

prof. Daniel Oliveira

Qual seria a representao do nmero 11 em binrio ?

Mudana de base

Base decimal fracionrio para binrio

a) Multiplica-se o nmero fracionrio por 2

b) Do resultado do passo a, a parte inteira o primeiro digito binrio

c) Do resultado do passo b, a parte fracionria multiplicada novamente por 2

d) O processo continua at que a parte fracionria seja nula

prof. Daniel Oliveira

Mudana de base

Exemplo

prof. Daniel Oliveira

1 2 3 4

10 2 103(0.1875) (0.0011) 0 2 0 2 1 2 1 2 ( )16

0.1875 x 2 = 0.375 Parte Inteira = 0 e parte fracionria = 0.375

0.375 x 2 = 0.750 Parte Inteira = 0 e parte fracionria = 0.75

0.75 x 2 = 1.5 Parte Inteira = 1 e parte fracionria = 0.5

0.5 x 2 = 1.0 Parte Inteira = 1 e parte fracionria = 0

0.0011

Mudana de base

Exemplo

prof. Daniel Oliveira

10 10 10 2 2 2(13.25) (13) (0.25) (1101) (0.01) (1101.01)

10(0.2) 10 2(0.2) (0.001100110011...)

0.2 uma dizima peridica de perodo (0.0011).Este nmero no pode ser representado de formaexata em binrio. Apenas possvel umarepresentao aproximada, ou seja, temos ERRO

Erros de representao

Os computadores armazenam os nmeros com uma quantidade limitada de algarismos

Os nmeros so armazenados com um indicador de sinal e um nmero fixo e limitado de dgitos significativos.

prof. Daniel Oliveira

Erros de representaoSistema de Ponto Flutuante Normalizado

Nmero nesse sistema caracterizado por:

Um nmero caracterizado por um base b

Um nmero de dgitos significativos n

Um expoente exp

prof. Daniel Oliveira

expn m b

m a mantissa do nmero, b 2 base e exp o expoente da base

Erros de representaoSistema de Ponto Flutuante Normalizado

Condies para este sistema:

m = 0.d1,d2,d3,..,dn n o nmero mximo de dgitos da mantissa.

d1,d2,d3,..,dn so os dgitos significativos da mantissa

1d1 (b-1)

1di (b-1); i=2,3,...,n

expmin exp expmax

prof. Daniel Oliveira

Erros de representaoSistema de Ponto Flutuante Normalizado

A unio de todos os nmeros de pontos flutuante, juntamente com a representao do zero constitui o sistema de ponto flutuante normalizado SPF(b,n,expmin,expmax)

Representao do zero:

prof. Daniel Oliveira

minexp: 0.000...0zero b

N vezes

Erros de representaoSistema de Ponto Flutuante Normalizado

O menor nmero positivo representado

prof. Daniel Oliveira

minexp(0.100...0)menor bN-1 vezes

Erros de representaoSistema de Ponto Flutuante Normalizado

O nmero mximo de mantissas possveis:

prof. Daniel Oliveira

1( 1) nmantissas b b

Erros de representaoSistema de Ponto Flutuante Normalizado

O nmero mximo de expoentes possveis:

prof. Daniel Oliveira

max minexp exp exp 1possiveis

Erros de representaoSistema de Ponto Flutuante Normalizado

O nmero de elementos positivos representveis:

prof. Daniel Oliveira

exppossiveisNR mantissas

Erros de representaoSistema de Ponto Flutuante Normalizado

O nmero de elementos representveis:

prof. Daniel Oliveira

2 1tNR NR

Erros de representaoSistema de Ponto Flutuante Normalizado

Exemplo seja o sistema de ponto flutuante SPF(3,2,-1,2):

prof. Daniel Oliveira

1 10.10 39

Menor inteiro representado

20.22 3 8 Maior inteiro representado

2 1(3 1)3 6 Mximo de mantissas positivas possveis

2 ( 1) 1 4 Mximo de expoentes possveis

6 4 24 Nmero mximo de reais positivos representados

Erros de representaoSistema de Ponto Flutuante Normalizado

Se x pertence a um SPF ento (-x) tambm pertencer

Considerando o zero tem sua prpria representao em um SPF, ento:

prof. Daniel Oliveira

1 1; [ ,8] [ 8, ] {0}

9 9R x x

Qualquer nmero real que no pertence a R no poder ser representado nesse SPF

Erros de representaoSistema de Ponto Flutuante Normalizado

Erro de underflow ocorre quando tentamos representar um nmero muito pequeno para o SPF

Erro de overflow ocorre quando tentamos representar um nmero muito grande para o SPF

prof. Daniel Oliveira

1 1; [ ,0] [0, ]

9 9Under x x

; [ , 8] [8, ]Over x x

Erro de arredondamento

Quando no for possvel representar de forma exata um nmero em um SPF o mesmo aproximado (nra)

Esta aproximao o arredondamento do real nr

prof. Daniel Oliveira

Erro de arredondamento

Um nmero real arredondado na posio k se todos os dgitos de ordem maior do k do forem descartados de acordo com os critrios:

O dgito k somado com um se o de ordem (k+1) for maior que a metade da base. Caso contrrio, o nmero nr representado com os k dgitos iniciais.

Se o dgito de ordem (k+1) for igual a metade da base e o de ordem k par, ento o nmero nr representado com k dgitos, e se o dgito de ordem k impar, ento o de ordem k acrescido de uma unidade.

O arredondamento por corte considera que, para obter um nmero com k dgitos, simplesmente trunca-se na posio k. prof. Daniel Oliveira

Erro absoluto

Definido como:

prof. Daniel Oliveira

abs ex aproxE a a

Sendo aex o valor exato da grandeza e aaprox o valor aproximado da grandeza.

Erro absoluto

O valor exato da grandeza muitas vezes desconhecidos

Assim, trabalha-se com limitante para o erro :

prof. Daniel Oliveira

abs ex aprox

ex aprox

E a a

a a

Erro Relativo

Definido como:

prof. Daniel Oliveira

ex aprox

rel

ex ex

a aEE

a a

Sendo aex o valor exato da grandeza e aaprox o valor aproximado da grandeza.

Erro relativo

Como na maioria das vezes no temos o valor exato, utilizamos um limitante superior para o erro relativo

prof. Daniel Oliveira

aproxa

Aonde um limitante conhecido

Erro relativo

No erro absoluto no levado em conta a grandeza dos nmeros envolvidos

No erro relativo a grandeza do nmero considerada

prof. Daniel Oliveira

Erro relativo

Qual valor mais preciso?

Seja o valor exato aex = 2345.713 e o valor aproximado aaprox = 2345.000 ento temos:Eabs = 0.713 e Erel = 0.00030396

Seja o valor exato aex = 1.713 e o valor aproximado aaprox = 1.000 ento temos:Eabs = 0.713 e Erel = 0.416229

prof. Daniel Oliveira

Erro de truncamento

Como foi visto, os sistema computacionais tem uma limitao para a representao de nmeros.

Se considerarmos apenas um nmero finito de termos, dizemos que estamos cometendo um erro de truncamento

prof. Daniel Oliveira

Erro de truncamento

Seja a representao de ex:

prof. Daniel Oliveira

2 3

12! 3! !

nx x x xe x

n

Supondo que podemos representar apenas os 4 primeiros

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