abs - 1.kumelersoyut matematik (utku g urdal) 4 son guncelleme: 11.06.2019 09:15 0 !0 1!sembolu ters...

1. KÜMELERKümenin matematiksel tanımı oldukça karmaşık olduğu için bu aşamada verilmeyecektir.

Şimdilik bir küme, ne oldukları tam olarak belirlenmiş nesnelerin oluşturduğu bir toplulukolarak düşünülebilir. [1] [2] [3]

Ödev 1.1 “Zermelo-Fraenkel Aksiyomları” ne demektir?, bunlar genel olarak ne işe yarar?Kısaca araştırın.

2. ELEMAN

Bir kümenin içerisinde oldukları varsayılan “şey”lere, o kümenin elemanları denir. [4]

x bir A kümesinin elemanı ise x ∈ A yazılır.

Eğer x, A’nın elemanı değilse x /∈ A yazılır.

3. VENN DİYAGRAMIVenn diyagramı (veya Venn şeması), formal yapıda olmamakla birlikte, kümelerin eleman-

larını göstermek için sıklıkla kullanılan pratik bir araçtır. [5] [6]

Bir kümeyi Venn diyagramıyla göstermek için o kümeyi temsilen bir kapalı alan çizilir veelemanlar, yanlarına birer nokta konarak bu alanın içine yazılır.

Örnek 3.1 Aşağıdaki Venn diyagramı A ve B gibi iki kümeyi göstermek için çizilmiştir. Budiyagrama bakıldığında, a ve c’nin A’nın elemanları, b, c ve d’nin B’nin elemanları olduğuanlaşılmaktadır. c her iki kümenin de elemanıdır. e ise bu iki kümeden hiçbirinin elemanıdeğildir.

[1] Kümeleri 1874 yılında Georg Cantor tanımladı.[2] Bazı kaynaklarda küme yerine cümle sözcüğü kullanılır.[3] Günümüzde küme, belki de en önemli matematiksel kavramdır. Karşımıza çıkabilecek hemen hemen

her matematiksel nesne özel bir küme olarak düşünülebilir. Örneğin sayılar, bağıntılar, fonksiyonlar, işlemler,sıralı ikililer, diziler, matrisler, türev operatörü, bir fonksiyonun grafiği, hatta küme teorisi gereği bir kümeninelemanları dahi aslında birer kümeye karşılık gelmektedir. Küme cinsinden olmayan kavramlara ise oldukça azrastlanır, bunların tipik örnekleri matematiksel mantığa ilişkin bazı temel kavramlar, eşittir (=) ve elemanıdır(∈) gibi kümenin tanımlanmasında kullanılan temel semboller ve kategori gibi kümelerin erişemeyeceğibüyüklükteki yapılardır.

[4] Eleman yerine öğe ya da öge de denmektedir.[5] Venn diyagramının formal bir araç olmadığı ifadesi, Venn diyagramının matematiksel mantığın ilkeleri

kullanılarak teorik anlamda kesin ve net sınırlarla tanımlanmadığı, başka bir deyişle sezgisel bir araç olduğuanlamına gelmektedir.

[6] Venn diyagramını ilk olarak 1880 yılında John Venn kullandı.

Soyut Matematik (utku gürdal) 1 Son güncelleme: 11.06.2019 09:15

4. { } (KÜME PARANTEZLERİ)Kümeler, elemanlarıyla birlikte açık şekilde yazılmak istendiğinde, elemanlar { ve } paran-

tezlerinin arasına yazılır ve (normal şartlarda) virgül ile ayrılırlar.

Örnek 4.1 Yukarıda Venn şeması ile verilen A kümesi

A = {a, c}

şeklinde yazılabilir. Kümeyi yazarken elemanların sırası önemli değildir. Bu yüzden

A = {c, a}

yazımı da doğrudur. Yine aynı şema esas alındığında

B = {b, c, d}

yazılabileceği görülmektedir.

Kümeler yazılırken her elemanın yalnızca birer kez yazılması yeterlidir. Buna göre {a, a, c}şeklinde yazılan küme {a, c} kümesi ile aynıdır. Ancak bir kümeyi {a, a, c, c, a} gibi elemanlarıtekrarlı olarak yazmanın herhangi bir pratik yararı olmadığından, hatta bu tarz bir yazımkarışıklığa neden olabileceğinden tekrarlı eleman yazımından kaçınılmalı, yani kümenin herbir elemanı yalnızca birer kez yazılmalıdır.

Uyarı 4.2 Bir kümenin elemanları listelenirken başka parantezlerin değil, küme parantezle-rinin kullanılması son derece önemlidir. Örneğin, yukarıdaki A kümesini {a, c} yerine (a, c)şeklinde yazmak hiçbir zaman yapılmaması gereken aşırı derecede ciddi bir notasyon (göste-rim) hatasıdır.

5. ÖNERMELERBir önerme ya doğru ya da yanlış olan, ancak aynı anda hem yanlış hem de doğru olmayan,

kesin ve nesnel bir ifadedir.

6. DOĞRULUK DEĞERİp bir önerme olsun.

p doğru ise p’nin doğruluk değeri 1 olur ve p ≡ 1 yazılır.


p yanlış ise p’nin doğruluk değeri 0 olur ve p ≡ 0 yazılır. [7]

Örnek 6.1 Venn diyagramı ile aşağıdaki kümelerin verildiğini kabul edelim.

Bu durumdap : a ∈ A

q : b ∈ B

r : B /∈ A

şeklinde p, q ve r önermeleri ifade edilebilir.

Burada p, q ve r’den sonraki : (iki nokta) bir tanımlama yapıldığını göstermektedir.

a ∈ A olduğu için p önermesi doğrudur. Böylece p ≡ 1 olur.

b /∈ A olduğundan, yani b ∈ A ifadesi doğru olmadığından q önermesi doğru değildir, yaniq’nun doğruluk değeri yanlıştır ve q ≡ 0 olur.

B, A’nın bir elemanı olmadığından B /∈ A ifadesi doğrudur. (Büyük-küçük harf ayrımınınönemli olduğuna, B ile b’nin ayrı anlamlara geldiğine dikkat edelim). Bu nedenle r önermesidoğru, yani r ≡ 1 olur.

7. N (DOĞAL SAYILAR KÜMESİ)Matematiksel tanımı şimdilik verilmeyecek olmakla birlikte, doğal sayılar kümesini sezgisel

olarak 0, 1, 2, 3, 4, . . . gibi sayıları içeren küme olarak düşünüebiliriz. [8] [9]

[7] Bazı kaynaklarda 1 (doğru) doğruluk değeri D veya T ile gösterilir. 0 (yanlış) doğruluk değeri ise Yveya F ile gösterilir.

[8] Doğal sayılar kümesini tanımlamak için bazı gelişmiş araçlar kullanmak gerekir. Bu nedenle bu kümeninmatematiksel tanımı şimdilik verilemeyecek olsa da, ileride daha somut örnekler verebilmek için doğal sayılarkümesi ve daha sonra diğer sayı kümeleri sezgisel olarak tanıtılacaktır.

[9] 0’ın bir doğal sayı olup olmadığıyla ilgili genel bir uzlaşma yoktur. Bazı kaynaklarda 0, N kümesininelemanı iken, bazılarında değildir. İstisnaları çok olmakla birlikte, ABD’de yazılmış veya analiz, uygulamalımatematik gibi alanlarla ilgili kaynaklar 0’ı doğal sayı saymama eğilimindeyken, Avrupa’da yazılmış veyamatematiğin temelleriyle ilgili olan kitaplarda 0 genelde bir doğal sayı olarak kabul edilmektedir. 2009yılında yayınlanan ISO 80000-2 standardı 0 ∈ N olduğunu kabul etmiştir.


Doğal sayılar kümesi kendine özgü olan N veya N çift çizgili sembolleriyle gösterilir. Buküme asla düz N harfiyle gösterilmemelidir. [10]

N kümesi bütün doğal sayıları içerdiğinden tüm elemanlarını liste hâlinde yazmak mümkündeğildir. Ancak bazen bu kümeyi ifade etmek için kısaca

N = {0, 1, 2, 3, . . .}

yazılmaktadır. [11]

Doğal sayılar üzerinden örnekler verebilmek için önceki bilgilere dayalı olarak doğalsayılarda sıralama, yani < (küçüktür), > (büyüktür), ≤ (küçük veya eşittir, kısaca küçük-eşittir) ve ≥ (büyük-eşittir) simgelerinin anlamlarını, doğal sayılar üzerindeki dört işlemi, yanitoplama, çıkarma, çarpma ve bölmeyi, doğal sayılar için üstel ifadeleri (kare, küp, 4. kuv-vet, . . . ) ve köklü ifadeleri (karekök, küpkök, 4. dereceden kök, . . . ) ve asal sayı kavramınıtemel düzeyde bildiğimizi varsayıyoruz. [12]

8. DENK ÖNERMELERp ve q önermelerinin aldığı değerler aynı ise bu önermelerin birbirine denk oldukları söylenir

vep ≡ q

yazılır.

9. → (İSE) BAĞLACIİki önermeyi kullanarak yeni bir önerme oluşturan sembollere bağlaç denir. Bu şekilde

oluşturulan önermelere de birleşik önerme denir.

p ve q birer önerme ise p→ q birleşik önermesi “p ise q” şeklinde okunur.

p ve q önermelerinin aldığı doğruluk değerlerine göre p→ q önermesinin alacağı doğrulukdeğeri aşağıdaki şekilde tanımlanır:

1→ 1 ≡ 11→ 0 ≡ 00→ 1 ≡ 1

[10] Doğal sayılar kümesi kitaplarda geleneksel olarak NN (kalın N) simgesiyle gösterilmekteydi. Benzer durumbazı diğer sayı kümeleri için de geçerliydi. Ancak el ile kalın harf yazmak zor olduğundan pratik bir çözümolarak kalın harfler tahtada çift çizgili olarak yazılıyordu. 1965 yılından sonra bu çift çizgili harfler kitaplarada geçti.[11] N = {0, 1, 2, 3, . . .} formal bir gösterim değildir ancak pratik ve anlaşılır olduğu için oldukça sık kul-

lanılmaktadır. Buradaki . . . (üç nokta) elbette kümenin bir elemanı değildir, listenin 4, 5, 6, . . . gibi sayılarlabenzer şekilde sürekli olarak devam ettiğini gösteren bir semboldür. Bu gösterim N = {0, 1, 2, 3, 4, . . .} veyaN = {0, 1, 2, . . .} gibi daha çok ya da daha az sayı kullanılarak başlatılabilir. Ancak sondaki noktalar mutlakatam olarak 3 tane olmalıdır.[12] Eğer doğal sayılarda , ≤ ve ≥ sembollerinin anlamı, dört işlem, temel düzeyde üslü ve köklü ifadeler

ve asal sayılar hakkında eksikleriniz olduğunu düşünüyorsanız bunları acilen tamamlamanız gerekir.


0→ 0 ≡ 1

→ sembolü ters yönlü de yazılabilir. Bu durumda okun hangi önermeden çıkıp hangiönermeyi gösterdiği önemlidir, yani p→ q yazmak ile q ← p yazmak aynı sonucu verecektir.Bu denkliği

p→ q ≡ q ← p

şeklinde ifade edebiliriz. Böylece [13]

1← 1 ≡ 11← 0 ≡ 10← 1 ≡ 00← 0 ≡ 1

olacağına dikkat edelim.

10. ⇒ (GEREKTİRME)Eğer p→ q önermesi doğru ise, bu durum

p⇒ q

şeklinde gösterilir. Buna göre, p⇒ q olması demek aslında p→ q ≡ 1 olması demektir. [14]

p⇒ q ifadesi “p, q’yu gerektirir” diye okunur.⇒ (gerektirme) simgesinin anlamı→ (ise)bağlacından farklı olsa da, p⇒ q ifadesi bazen kısaca “p ise q” şeklinde de okunmaktadır.

Örnek 10.1√

2 ∈ N → 3 ∈ N birleşik önermesini ele alalım.√

2 doğal sayı olmadığından√2 ∈ N önermesi doğru değildir. Buradan

√2 ∈ N ≡ 0 yazabiliriz. 3 bir doğal sayı

olduğundan 3 ∈ N önermesi doğrudur ve 3 ∈ N ≡ 1 yazabiliriz. Böylece,√

2 ∈ N→ 3 ∈ N ≡ 0→ 1 ≡ 1

olur. Sonuç olarak√

2 ∈ N→ 3 ∈ N ≡ 1 olduğundan√

2 ∈ N⇒ 3 ∈ N

yazabiliriz. [15]

[13] ≡ simgesi önermelerle ilgili genel bir özdeşliği ifade ettiğinden→ (ise) bağlacına ve daha sonra bahsedi-lecek olan diğer bağlaçlarla işleme girmez. Diğer bir deyişle, p→ q ≡ q ← p gibi bir ifadeyle karşılaştığımızda,buradan p → q önermesi ile q ← p önermesinin denk (≡) olduğunu anlarız, yani bu ifadeyi parantezlerledaha anlaşılır olarak göstermek istersek (p → q) ≡ (q ← p) yazarız. Bu ifadeyi asla p → (q ≡ q) ← pşeklinde düşünmeyiz. ≡ simgesinin her zaman solundaki bütün ifadelerin tamamı ile, sağındaki ifadelerintamamının denk olduğunu gösterir.[14]→ (ise), iki önermeyi birbirine bağlayarak yeni bir önerme oluşturan bir bağlaçtır. Ancak⇒ (gerektirme)

bir bağlaç değildir, aynen ≡ gibi önermeler arasındaki ilişkiyi ifade eden bir simgedir.[15] ≡ ve ⇒ simgelerinin mantıksal ifadelerdeki ağırlıklarını unutmayalım. Örneğin burada, 3 ∈ N ≡ 1

ifadesini asla 3 ∈ (N ≡ 1) şeklinde yorumlayamayız (ki bu tamamen anlamsızdır). 3 ∈ N ≡ 1 yazarkenanlatılmak istenen (3 ∈ N) ≡ 1 olduğudur. Benzer şekilde

√2 ∈ N⇒ 3 ∈ N yazılmasıyla anlatılmak istenen

şey (√2 ∈ N)⇒ (3 ∈ N) olduğudur.


11. AÇIK ÖNERMEA bir küme olsun. Eğer herhangi bir x ∈ A elemanı verildiğinde, bu elemana bağlı olarak

p(x) ile gösterilen bir önerme varsa p’ye A için bir açık önerme denir.

Buna göre bir açık önerme, bir kümenin her elemanına uygulanarak o elemana özgü birönerme veren hazır bir ifade kalıbıdır.

Örnek 11.1 A = {a, b, c, d, e} olsun. A kümesi için

p(x) : x bir sesli harftir

şeklinde bir p açık önermesi verilebilir. p(x) gösterimi “x bir sesli harftir” ifadesindeki x’indeğişmeye açık olduğunu gösterir. p açık önermesi ve A kümesindeki 5 eleman kullanılarak5 ayrı önerme elde edilebilir:

p(a) : a bir sesli harftir

p(b) : b bir sesli harftir

p(c) : c bir sesli harftir

p(d) : d bir sesli harftir

p(e) : e bir sesli harftir

Bu önermelerden p(a) ve p(e) doğrudur. p(b), p(c) ve p(d) ise yanlıştır. Buna göre bir açıkönermenin doğruluk değeri, önermenin uygulandığı elemana göre değişiklik gösterebilir.

Örnek 11.2 N kümesi üzerinde

p(x) : x 1’den büyüktür

açık önermesini ele alalım. İstersek bu açık önermeyi > (büyüktür) simgesini kullanarak

p(x) : x > 1

şeklinde daha sembolik olarak da yazabiliriz. p, N üzerinde bir açık önerme olduğundan herdoğal sayı için birer önerme verilmiş olmaktadır:

p(0) : 0 > 1

p(1) : 1 > 1

p(2) : 2 > 1

p(3) : 3 > 1

...

Bu önermelerin doğruluk değerleri incelendiğinde p(0) ≡ 0, p(1) ≡ 0, p(2) ≡ 1, p(3) ≡ 1,p(4) ≡ 1, . . . olduğu görülmektedir.

Bir A kümesi için verilen p ve q açık önermelerinin denk olması, A kümesindeki bütünelemanlar için yani her x ∈ A için p(x) ≡ q(x) olması demektir. Bu durumda yine p ≡ qyazılır.


Örnek 11.3 A = {2, 3, 4} olsun. A kümesi için

p(x) : x < 4

q(x) : x asal sayıdır

r(x) : x çift sayıdır

ile verilen p, q ve r açık önermelerini ele alalım. Burada

p(2) ≡ 1 p(3) ≡ 1 p(4) ≡ 0q(2) ≡ 1 q(3) ≡ 1 q(4) ≡ 0r(2) ≡ 1 r(3) ≡ 0 r(4) ≡ 1

olduğunu görmekteyiz. Buna göre, A’daki bütün x elemanları için p(x) ≡ q(x) olduğundanp ile q denk açık önermeler olur ve p ≡ q yazabiliriz. Ancak, p(2) ≡ r(2) olmasına rağmenA’nın diğer elemanları için p(x) ile r(x) denk olmadığından p ile r denk açık önermelerdeğildir. [16]

Açık önermeler için → (ise) bağlacı ve ⇒ (gerektirme) durumu da önermelerdekikarşılıkları üzerinden tanımlanır.

p ile q bir A kümesi için açık önermeler ise p→ q açık önermesinin doğruluk değeri A’dakiher x için p(x) → q(x) önermesine eşit olacak şekilde tanımlanır. Bu ilgiyi (p → q)(x) :p(x)→ q(x) şeklinde ifade edebiliriz. p⇒ q olması ise A’daki her x için p(x)→ q(x) ≡ 1olması demektir.

Örnek 11.4 X = {0, 1, 2, 3} kümesi için

p(x) : x ≤ 1q(x) : x2 = 3x

ile verilen p ve q açık önermelerini ele alalım. Bu durumda p → q açık önermesi şu şekildeverilebilir:

(p→ q)(x) : x ≤ 1→ x2 = 3x

Bu açık önermenin X kümesinin elemanları için doğruluk değerlerini bulalım.

(p→ q)(0) : 0 ≤ 1 → 02 = 3 · 0 ≡ 1 → 1 ≡ 1(p→ q)(1) : 1 ≤ 1 → 12 = 3 · 1 ≡ 1 → 0 ≡ 0(p→ q)(2) : 2 ≤ 1 → 22 = 3 · 2 ≡ 0 → 0 ≡ 1(p→ q)(3) : 3 ≤ 1 → 32 = 3 · 3 ≡ 0 → 1 ≡ 1

Görüldüğü gibi p→ q açık önermesi, 0, 2, 3 ∈ X elemanları için 1 doğruluk değerini almasınarağmen, 1 ∈ X için 0 doğruluk değerini almaktadır. p→ q açık önermesini yanlış yapan birx ∈ X var olduğundan p⇒ q yazamayız.[16] A = {2, 3, 4} kümesi için p, q ve r açık önermelerinin verildiği örnekte, p ve r açık önermeleri denk

değildir, ama 2 elemanı için p(2) önermesi ile q(2) önermesi denktir. Buna göre, p ve r gibi iki açık önermenindenk olmaması, p(x) ile q(x)’in bütün x’ler için farklı oldukları anlamına gelmez, denkliğin sağlanmadığıyalnızca bir tane x bulunması bile yeterlidir. p ≡ q olmaması durumu bazen p 6≡ q şeklinde de gösterilir.


12. AÇIK ÖNERMEYLE KÜME TANIMLAMAp, A kümesi için bir açık önerme ise, A kümesinin p(x) önermesini doğru yapan bütün

elemanlarıyla yeni bir küme yazılabilir. Bu küme

{x ∈ A | p(x)}

ya da ortada | yerine : ile{x ∈ A : p(x)}

şeklinde gösterilir. A kümesi üzerinde çalışıldığı belli iken, karışıklığa neden olmayacaksa“∈ A” kısmı düşürülerek [17]

{x | p(x)}ya da

{x : p(x)}yazım tarzları da kullanılır. [18]

Örnek 12.1 A = {a, b, c, d, e} kümesi üzerinde daha önce incelediğimiz

p(x) : x bir sesli harftir

açık önermesini ele alalım. Bir açık önermenin ürettiği küme

{x ∈ A | p(x)}

şeklinde yazılıyordu. Öyleyse burada p(x)’i yerine koyarak bu kümeyi

{x ∈ A | x bir sesli harftir}

şeklinde yazabiliriz. Oluşan bu küme, açık önermeyi doğru yapan bütün değerlerin kümesidir.p(a) ≡ 1, p(b) ≡ 0, p(c) ≡ 0, p(d) ≡ 0 ve p(e) ≡ 1 olduğunu biliyoruz. Böylece Akümesinde “x bir sesli harftir” önermesini doğru yapan elemanlar a ve e olur. Bu durumdaelde edeceğimiz küme

{a, e}kümesidir, yani A = {a, b, c, d, e} için

{x ∈ A | x bir sesli harftir} = {a, e}

yazabiliriz.

Örnek 12.2 Daha önce N kümesi üzerinde incelediğimiz

p(x) : x > 1

[17] {x ∈ A | p(x)} ve {x ∈ A : p(x)} şeklinde yazılan kümeler genelde “x eleman A’lardan oluşuyor öyleki p(x)” diye okunur.[18] Küme gösteriminde kullanılan | ve : işaretleri tamamen aynı anlama gelir ve hemen hemen eşit sıklıkta

kullanılır. Karışıklığa neden olabilecek durumlarda bir gösterim diğerine tercih edilebilir. Örneğin | simgesininaynı zamanda bölünebilme ile ilgili de bir anlamı vardır, bu yüzden “3 | x” (şimdilik anlamı önemli değil)açık önermesine karşılık gelen kümeyi {x | 3 | x} ile göstermektense, {x : 3 | x} ile göstermek daha iyidurmaktadır. : simgesi ise aynı zamanda tanımlama yaparken ve fonksiyon yazarken kullanılır ve bu nedenle“x : N→ N bir fonksiyondur” açık önermesinin belirttiği kümeyi {x | x : N→ N bir fonksiyondur} şeklindeyazmak, {x : x : N→ N bir fonksiyondur} şeklinde yazmaktan daha iyi gözükmektedir.


açık önermesinin ürettiği kümeyi, yani

{x ∈ N | x > 1}

kümesini bulalım. Burada p(0) ≡ p(1) ≡ 0 ve geriye kalan bütün doğal sayılar için p(2) ≡p(3) ≡ · · · ≡ 1 olduğunu görmüştük. Öyleyse

{x ∈ N | x > 1} = {2, 3, 4, 5, . . .}

yazabiliriz ve bu kümeyi “1’den büyük olan doğal sayıların kümesi” şeklinde adlandırabiliriz.

Örnek 12.3 {x ∈ N | x ≤ 11} kümesini bulmayı deneyelim. Burada p(x) : x ≤ 11 açıkönermesi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ve 11 doğal sayıları için doğru; 12, 13, 14, . . . gibigeriye kalan bütün doğal sayılar için yanlıştır. Böylece

{x ∈ N | x ≤ 11} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

olur. Bu tarz bir kümeyi daha pratik olarak {0, 1, 2, . . . , 11} şeklinde de gösterebiliriz ve bukümeyi “11’den küçük-eşit olan doğal sayılar kümesi” diye adlandırabiliriz.

Örnek 12.4 {x ∈ N | 4 + x = 11} kümesini yazmak istiyoruz. p(x) : 4 + x = 11 açıkönermesini ele alırsak p(0) : 4 + 0 = 11, p(1) : 4 + 1 = 11, . . . gibi önermeler elde ederiz.Burada p(0) ≡ p(1) ≡ · · · ≡ p(6) ≡ 0 ancak p(7) ≡ 1 ve yine p(8) ≡ p(9) ≡ · · · ≡ 0olduğunu görmekteyiz. Böylece

{x ∈ N | 4 + x = 11} = {7}

olur, yani 4 ile toplamı 11’e eşit olan doğal sayıların kümesi yalnızca bir tek elemandan oluşan{7} kümesidir. [19]

Örnek 12.5 Karesi kendisine eşit olan doğal sayıların kümesini sembolik olarak göstermekistersek bu kümeyi {x ∈ N | x2 = x} ile gösterebiliriz. x2 = x önermesini doğru yapan xdoğal sayılarının sadece 0 ve 1 olduğunu biliyorsak

{x ∈ N | x2 = x} = {0, 1}

buluruz.

Örnek 12.6 Yarısı da bir doğal sayı olan doğal sayıların kümesini yazmak istersek, bir xsayısının yarısı x

2olduğundan bu kümeyi{

x ∈ N | x2∈ N

}şeklinde yazabiliriz. x

2∈ N açık önermesini doğru yapan x sayılarının 0, 2, 4, 6, . . . olduğuna

dikkat edelim. Böylece {x ∈ N | x

2∈ N

}= {0, 2, 4, 6, 8, . . .}

olur. Bu küme, ikiye bölünebilen doğal sayıların, yani çift doğal sayıların kümesidir.

[19] {7} kümesi gibi, sadece tek bir elemandan oluşan bir kümeye tek nokta kümesi denir.


Not 12.7 Yukarıdaki örnekte elde edilen çift doğal sayılar kümesi için özel bir gösterim devardır. Bu küme 2N şeklinde gösterilir. Buna göre,

2N = {0, 2, 4, 6, 8, . . .}

yazılabilir. Benzer şekilde, 2’den büyük olan her n doğal sayısı için de

nN = {0, n, 2n, 3n, 4n, . . .}

gösterimi kullanılır. Örneğin n = 3 için

3N = {0, 3, 6, 9, . . .}

3’e tam bölünen doğal sayıların kümesi iken, n = 4, 5, . . . için

4N = {0, 4, 8, 12, . . .}5N = {0, 5, 10, 15, . . .}

...

kümeleri de yazılabilir.

Ödev 12.8 {x ∈ N | x2 < 10} kümesinin elemanlarını belirleyin. Bu kümeyi sözel olaraknasıl ifade ederiz? [20]

Ödev 12.9{x ∈ N | x

2/∈ N}

kümesini sözel olarak ifade ederek elemanlarını belirleyin.

Ödev 12.10 Üç katı (3 ile çarpımı) kendisine eşit olan doğal sayıların kümesini sembolikolarak gösterin ve bu kümeyi bulun.

Ödev 12.11 3 eksiği bir doğal sayı olmayan doğal sayıların kümesini sembolik olarak göste-rerek bu kümeyi bulun.

Önerme ile küme tanımlamanın biraz dolaylı ancak çok pratik bir yolu da şu şekildedir:f(x), x’e bağlı olarak belirlenen bir elemanı göstersin (burada f bir önerme değildir, birelemanı alıp yeni bir eleman veren bir kuraldır). Bu durumda

{f(x) | x ∈ A}

veya{f(x) : x ∈ A}

ile gösterilen küme, A’daki her bir x elemanı için f(x) elemanı yeni kümeye eklenerekbulunur. [21] [22]

[20] Kümeyi sözel olarak ifade etmek x gibi bir değişkene atıfta bulunmadan o kümeden bahsetmektir, “üçetam bölünen doğal sayıların kümesi”, “asal sayıların kümesi”, “kendisiyle karesinin toplamı 100’den küçükolan doğal sayıların kümesi” gibi. . .[21] “f(x), x’e bağlı olarak belirlenen bir elemanı göstersin” ifadesindeki f aslında bir fonksiyondur. Ancak

fonksiyon kavramı henüz verilmediği ve bu şekilde verilen kümeyi bulurken fonksiyon kavramını ileri düzeydebilmek şart olmadığı için f bu şekilde nitelendirildi. İleride bu kümeye f ’in görüntü kümesi adını vereceğiz.[22] {f(x) | x ∈ A} kümesi de aslında {x | p(x)} tarzında bir kümedir. Buradaki p(x) önermesi p(x) : ∃y ∈A, y = f(x) şeklinde verilebilir ancak henüz ∃ niceleyicisi tanıtılmadığından şimdilik bu bilgi ihmâl edildi.


Örnek 12.12 {5x | x ∈ N} kümesini bulurken, bütün x ∈ N elemanları yani bütün x doğalsayıları için 5x sayısını alarak, oluşacak yeni kümeye ekleriz. Buradan [23]

0 ∈ N =⇒ 5 · 0 = 0 ∈ {5x | x ∈ N}1 ∈ N =⇒ 5 · 1 = 5 ∈ {5x | x ∈ N}2 ∈ N =⇒ 5 · 2 = 10 ∈ {5x | x ∈ N}3 ∈ N =⇒ 5 · 3 = 15 ∈ {5x | x ∈ N}

...

olması gerektiği görülür. Başka bir deyişle, 0, 5, 10, 15, . . . sayıları tek tek {2x | x ∈ N}kümesinin içine düşerler. Buradan

{5x | x ∈ N} = {0, 5, 10, 15, 20, . . .}

elde edilir. Bu kümenin 5N şeklinde gösterildiğini daha önce söylemiştik. Dolayısıyla

{5x | x ∈ N} = 5N

yazabiliriz.

Örnek 12.13 {x + 3 | x ∈ N} kümesini bulmak istersek, her x ∈ N için x + 3 sayısınıbulup bunları yeni bir kümeye yazarız. x = 0, 1, 2, 3, . . . için x + 3’ü sırasıyla 3, 4, 5, 6, . . .şeklinde buluruz, böylece

{x+ 3 | x ∈ N} = {3, 4, 5, 6, 7, . . .}

olur.

Örnek 12.14 {x2 | x ∈ N} kümesini bulalım. N kümesinden alınan x = 0, 1, 2, 3, . . .sayıları için x2 değerleri 0, 1, 4, 9, . . . şeklindedir. Buradan

{x2 | x ∈ N} = {0, 1, 4, 9, 16, . . .}

elde edilir.

Örnek 12.15 {x + 1 | x ∈ 2N} kümesini inceleyelim. Burada dikkat edilmesi gerekennokta, önceki örneklerin aksine x’in N’den değil, 2N = {0, 2, 4, 6, . . .} kümesinden seçilmişolmasıdır. {x + 1 | x ∈ 2N} kümesini oluşturmak için, 2N kümesinden aldığımız x =0, 2, 4, 6, . . . elemanlarına karşılık olarak x + 1 değerlerini yazarsak 1, 3, 5, 7, . . . sayılarınıelde ederiz. Böylece

{x+ 1 | x ∈ 2N} = {1, 3, 5, 7, 9, . . .}bulunur.

Not 12.16 1’den büyük n doğal sayıları için

nN = {0, n, 2n, 3n, . . .}[23] 0 ∈ N =⇒ 5 · 0 = 0 ∈ {5x | x ∈ N} ifadesinde ⇒ (gerektirme) simgesinin kullanım amacı, solundaki

bilgiden sağındaki bilginin elde edilebildiğini, yani bir adımdan diğer bir adıma geçişin mümkün olduğunugöstermektir. Matematiksel çıkarımlarda bir adımdan başka bir adıma geçildiğini göstermek için, genelde buiki adım arasına bir gerektirme işareti (⇒) yazılır.


gösterimini tanıtmıştık. Ayrıca m, 0’dan büyük bir doğal sayı ise

N+m = {m, 1 +m, 2 +m, 3 +m, . . .}

venN+m = {m,n+m, 2n+m, 3n+m, . . .}

gösterimleri de kullanılır. Buna göre örneğin

N+ 3 = {3, 4, 5, 6, 7, . . .}2N+ 1 = {1, 3, 5, 7, 9, . . .}

10N+ 9 = {9, 19, 29, 39, . . .}

kümelerini yazabiliriz. Ancak {0, 1, 4, 9, 16, . . .} kümesi asla N2 şeklinde yazılmaz, çünkü N2gösteriminin küme teorisinde başka bir anlamı vardır. Tam kareler kümesi olarak bilinen bu{0, 1, 4, 9, . . .} kümesi için herhangi bir standart gösterim tarzı yoktur.

Ödev 12.17 15N+ 10 kümesini açık şekilde yazın. [24]

Ödev 12.18 {x+ 1 | x ∈ N} kümesini açık şekilde yazın.

Ödev 12.19 {x2 | x ∈ 2N} kümesini bulun.

Ödev 12.20 {x2−x2| x ∈ N} kümesini yazın. (Aynı elemanın aynı kümeye birden fazla kez

yazılmasına gerek olmadığına dikkat edin.)

13. TANIMBilinen matematiksel kavramlardan yola çıkarak yeni bir kavram türeten bir ifadeye bir

matematiksel tanım denir. [25]

Örnek 13.1 Doğal sayılarda karekök kavramını bilen bir matematikçiTanım:

√n ∈ N ise n’e bir tam kare denir.

şeklinde bir tanım verebilir. Bu tanım verildikten sonra tam karenin ne demek olduğu artıkbilindiğinden bu kavram yeni sonuçların elde edilmesinde ya da daha sonraki tanımlarıniçerisinde kullanılabilir.

14. TEOREMp ve q birer önerme olmak üzere p ⇒ q şeklinde yazılabilen bir matematiksel hükme

teorem adı verilir. Başka bir deyişle, matematiksel bir gerektirmeye bir teorem denir. [26]

[24] Ödevlerdeki ”bir kümeyi yazmak, açık şekilde yazmak, bulmak” ifadeleri, kümeyi birkaç elemanınılisteyerek yazmak, yani örneğin {0, 1, 4, 9, 16, . . .} şeklinde yazmak anlamında kullanılmıştır.[25] Teknik olarak hiç yeni tanım yapmadan da aynı matematiksel sonuçları elde etmek mümkündür. Ancak

tanım yapmak kavramların daha kolay anlaşılmasını sağlar ve elde edilen çok derin sonuçların bile veciz birşekilde ifade edilmesine olanak tanır.[26] Genelde kolay elde edilen küçük teoremlere önerme de denir. Daha önceden bilinen teoremlerin bir araya

getirilmesiyle hemen ifade edilebilen teoremlere sonuç denir. Doğruluğunun gösterilmesi zor ve uğraştırıcı


Örnek 14.1 Tam kare tanımı verildikten sonra, örneğin aşağıdaki gibi bir teorem verilebilir:Teorem: x bir tam kare ise 4x de bir tam karedir.

Bu örnekte p açık önermesi “p(x) : x bir tam karedir”, q açık önermesi de “q(x) : 4x birtam karedir” alınarak, teoremin p⇒ q şeklindeki yapısı görülebilir.

15. İSPATBir teoremin doğruluğunun tartışmasız, net ve en genel şekilde gösterilmesine “ispat” veya

“kanıt” denir.

Bir teorem ispatlanırken sadece önceki tanım ve teoremlerden yola çıkılarak sonucaulaşılmaya çalışılır. Bu açıdan bakıldığında matematik, belirli kabuller altında doğruluğutartışmasız, değişmez ve kesin olan sonuçları araştıran bilim dalıdır. [27]

Teoremleri ispatlamak için kullanılan ve mantıksal ilkelere dayanan çeşitli kanıt yöntemleribulunur. Bunların bazıları daha sonra tanıtılacaktır.

16. Z (TAM SAYILAR KÜMESİ)Şimdilik tam sayılar kümesinin, doğal sayılar kümesine -1, -2, -3, -4, . . . gibi negatif

sayıların da eklenmesiyle oluştuğunu düşünebiliriz.

Tam sayılar kümesi Z simgesiyle gösterilir ve bu kümeyi gösterirken pratik olarak

Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}

yazım tarzı kullanılabilir.

İleride vereceğimiz örneklerde, tam sayılar üzerinde temel cebirsel işlemlerin bilindiğinikabul edeceğiz. Ayrıca tam sayılar kümesinin toplamaya, çıkarmaya, çarpmaya ve doğal sayıkuvvetlere göre “kapalı” olduğu, yani k, ` ∈ Z ise k + ` ∈ Z, k − ` ∈ Z, k` ∈ Z ve n ∈ Niken kn ∈ Z olduğu bilgisini de kullanacağız.

Yine örneklerde kullanmak amacıyla aşağıdaki iki tanımı verelim.

Tanım 16.1 Eğer k ∈ Z olmak üzere x = 2k yazılabiliyorsa x’e bir çift tam sayı denir.

Tanım 16.2 Eğer k ∈ Z olmak üzere x = 2k+1 yazılabiliyorsa x’e bir tek tam sayı denir.

Not 16.3 n,m ∈ N, n ≥ 2 ve 1 ≤ m ≤ n− 1 olmak üzere N kümesine benzer şekilde nZve nZ+m gösterimleri kullanılır. Böylece,

nZ = {nk | k ∈ Z}

olan, kendi başına çok önemliymiş gibi durmasa da yeni teoremleri elde etmekte kullanışlı olan teoremlere delemma denir. Lemmayı yardımcı teorem olarak adlandıran ve teorem kelimesinin yerine sav sözcüğünü kul-lanan kaynaklar da bulunmaktadır.[27] Aslında matematiğin bilim olup olmadığı tartışmalı bir konudur. Bunun nedeni ise “bilim” kavramının

tanımı ve sınırlarının tartışmalı olmasıdır. Matematiğin bilim olduğunu kabul edenler, öncelikli olarak deneyve gözlemlere dayalı olmadığından matematiği bir doğa biliminden ziyade, rasyonel bilim ya da formal bilimdiye nitelendirirler.


nZ+m = {nk +m | k ∈ Z}

ya da daha açık yazmak istersek

nZ = {. . . ,−2n,−n, 0, n, 2n, . . .}nZ+m = {. . . ,−2n+m,−n+m,m, n+m, 2n+m, . . .}

olur. Örnek olarak

3Z = {. . . ,−9,−6,−3, 0, 3, 6, 9, . . .}2Z+ 1 = {. . . ,−5,−3,−1, 1, 3, 5, 7, . . .}

10Z+ 9 = {. . . ,−21,−11,−1, 9, 19, 29, 39, . . .}

kümelerini yazabiliriz.

Ödev 16.4 Yukarıdaki notun başında neden 1 ≤ m ≤ n− 1 olma şartı konmuş olabilir?

17. DOĞRUDAN KANIT YÖNTEMİBilinenlerden ve verilenlerden yola çıkılıp, istenenin direkt adımlarla ilerlenerek elde edildiği

ispat yöntemi, doğrudan kanıt yöntemi adıyla bilinir.

Örnek 17.1 Teorem: 7 tek tam sayıdır. [28]

Yukarıdaki teoremi kanıtlamak istediğimizi varsayalım. Bunu yapmak için öncelikle tektam sayı tanımını hatırlamamız gerekir. Önceki bölümde tek tam sayıyı, “k ∈ Z olmak üzerex = 2k + 1 şeklinde yazılabilen bir x sayısı” şeklinde tanımlamıştık. Burada 7 sayısının tekolduğunu göstermek istediğimize göre, 7 = 2k + 1 olacak şekilde bir k ∈ Z bulmalıyız. Budurumda bu teoremin ispatı aşağıdaki gibi yapılabilir.

İspat: 3 ∈ Z ve 7 = 2 · 3 + 1 olduğundan 7 tek tam sayıdır. [29] �

Örnek 17.2 Teorem: Bir tek tam sayının karesi tek tam sayıdır. [30]

Yukarıdaki teoremi ispatlamak, yani bir tek tam sayının karesinin de tek olduğunu göster-mek istiyoruz. Öncelikle, bir örnek vermenin yeterli olmadığını belirtelim. Mesela, “5 bir tektam sayıdır ve karesi 5 2 = 25 de bir tek tam sayıdır, öyleyse bir tek tam sayının karesi debir tek tam sayıdır” şeklindeki bir ifade bir ispat değil, sıradan bir örnektir. Tek bir örneğindoğru olması, teoremin doğru olduğunu kanıtlamaz. Bütün tek tam sayıların karelerini alıp

[28] Daha önce teoremin, p ve q birer önerme olmak üzere p ⇒ q şeklinde yazılabilen bir matematikselhüküm olduğunu söylemiştik. Burada verilen “7 tek tam sayıdır” ifadesi ilk bakışta p⇒ q şeklinde, yani birteorem formatında değilmiş gibi görünse de, “p(x) : x = 7”, “q(x) = x tek tam sayıdır” ile tanımlanan pve q açık önermeleri için p⇒ q gerektirmesi, “7 tek tam sayıdır” ifadesiyle aynı anlama gelmektedir.[29] İspatın sonundaki � (halmos) simgesi ispatın bittiğini belirten bir işarettir ve ilk kez Paul Halmos

tarafından kullanılmıştır. Bazen içi boş olarak � şeklinde de kullanılır. Ayrıca geleneksel olarak bu işaretyerine ispatların sonuna bazen Q.E.D. veya QED de yazılmaktadır ve bu harfler Latincede duruma göreya quod erat demonstrandum (gösterilecek olandı), ya da quae erant dēmonstranda (gösterilecek olanlardı)yan cümlelerinden birinin kısaltması olarak anlaşılır.[30] Örnek teoremde geçen “bir tek tam sayının karesi tek tam sayıdır” ifadesi genel bir ifadedir, yani “her

tek tam sayının karesi tek tam sayıdır” anlamındadır. Teoremlerde bu tarzda kullanılan “bir” sözcüğü genelde“her bir” anlamında anlaşılır.


sonuçları tek tek kontrol etme şansımız da olmadığından, bu teoremi ispatlamak için dahagenel bir bakış açısına gerek vardır.

Bir tek tam sayının karesinin de bir tek tam sayı olduğunu göstereceğiz. Öncelikle üze-rinde çalışmak için bir adet model tek tam sayı alıp buna bir ad vermeliyiz. Bu model teksayıya x diyelim. Eğer x2’nin de tek olduğunu gösterebilirsek ispatı tamamlamış oluruz. [31]

Tek tam sayıyı, k ∈ Z o.ü. 2k + 1 şeklinde yazılabilen sayı olarak tanımlamıştık. x’e tektam sayı dediğimizden x = 2k + 1 o.ş. k ∈ Z vardır. Bu durumda x2 = 4k2 + 4k + 1 ola-caktır. Bu sayıyı 2(2k2 + 2k) + 1 şeklinde yazabiliriz. Z kümesi toplama, çarpma ve doğalsayı kuvvetler altında kapalı olduğundan 2k2 +2k ∈ Z olur ve x2 = 2(2k2 +2k)+1 şeklindeyazmak x2’nin tam sayı olduğu ispatlar. Bu durumu daha net görmek istersek, K = 2k2+2kdiyerek K ∈ Z ve x2 = 2K + 1 olduğunu, yani x2’nin bize verilen tek tam sayı tamımınauyduğunu görebiliriz. Şimdi, burada elde ettiklerimizi kullanarak bu teorem için geçerli birispat yazalım.

İspat: x bir tek tam sayı olsun. Bu durumda bir k ∈ Z için x = 2k + 1’dir. Buradan

x2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1

olur. 2k2 + 2k ∈ Z olduğundan, x2 de bir tek tam sayıdır. �

Örnek 17.3 Teorem: İki tek tam sayının çarpımı da bir tek tam sayıdır.İki tek tam sayının çarpımının tek olduğunu ispatlamak için öncelikle ispatta, iki tek tam

sayıyı temsilen kullanmak için iki adet model alalım. Bu modellere x ve y adlarını verelim.Amacımız x ile y’nin çarpımının, yani xy’nin tek tam sayı olduğunu göstermek.x tek tam sayı olduğundan, x = 2k + 1 o.ş. k ∈ Z vardır. y de tek tam sayı olduğundan

` ∈ Z o.ü y = 2`+ 1 yazabiliriz (k’yi x için kullandığımızdan, y için başka bir değişken (`)kullandık, y için de k harfini kullansaydık, x = 2k+1 = y olmasından yanlışlıkla x = y almışolurduk). Çarpma yaparsak xy = 4k`+ 2k+ 2`+ 1 olur. Bu eşitlik xy = 2(2k`+ k+ `) + 1şeklinde yazılabileceğinden ve 2k` + k + ` de bir tam sayı olacağından xy’nin tek tam sayıolduğu gösterilmiş olur. Şimdi bu teoremi yukarıda anlatılan şekilde ispatlayalım.

İspat: x ve y tek tam sayı olsun. Bu durumda x = 2k + 1, y = 2` + 1 o.ş. k, ` ∈ Zvardır. Buradan

xy = (2k + 1)(2`+ 1) = 4k`+ 2k + 2`+ 1 = 2(2k`+ k + `) + 1

ve 2k`+ k + ` ∈ Z olduğundan xy tek tam sayıdır. �

Örnek 17.4 Teorem: İki tek tam sayının toplamı bir çift tam sayıdır.Bize verilen tanıma göre çift tam sayılar, k ∈ Z o.ü. x = 2k şeklinde yazılabilen sayılardı.

Bunu hatırlayarak, bu teoremi öncekilere benzer şekilde kanıtlayabiliriz.İspat: x ve y iki tek tam sayı olsun. Bu durumda x = 2k+ 1 ve y = 2`+ 1 o.ş. k, ` ∈ Z

vardır.x+ y = 2k + 1 + 2`+ 1 = 2k + 2`+ 2 = 2(k + `+ 1)

ve k + `+ 1 ∈ Z olduğundan x+ y bir çift tam sayıdır. �

Ödev 17.5 Teorem: İki tek tam sayının farkı bir çift tam sayıdır.teoremini ispatlayın.[31] “Olacak şekilde” ifadesi için o.ş. kısaltması, “olmak üzere” için de o.ü. kısaltması kullanılır.


Ödev 17.6 Teorem: Bir çift tam sayı ile bir tek tam sayının toplamı bir tek tam sayıdır.teoremini ispatlayın.

Ödev 17.7 Teorem: Bir tam sayı ile bir çift tam sayının çarpımı bir çift tam sayıdır.teoremini ispatlayın.

18. İSPATI DURUMLARA AYIRMABazı teoremleri ispatlarken tek seferde en genel şekilde çalışmak mümkün olmayabilir.

Böyle durumlarda teoremin kanıtı, açıkta hiçbir ihtimal kalmayacak şekilde birbirini tamam-layan durumlara bölünebilir.

Bir teoremi ispatlamanın birçok farklı yolu olabilir. Tek parça hâlinde kanıtlanabilen te-oremler de eğer daha kolay olacağı öngörülüyorsa durumlara bölünerek ispatlanabilir.

Örnek 18.1 Teorem: x ∈ Z ise x2 − x çift tam sayıdır.Yukarıdaki teoremi kanıtlamak istediğimizi varsayalım. Öncelikle, bu teoremi bize verilen

çift tam sayı tanımını kullanarak tek parçada ispatlamanın pek mümkün görünmediğinedikkat edelim.

Eğer her tam sayının ya tek tam sayı ya da çift tam tamsayı olduğunu biliyorsak, buteoremin ispatını tek ve çift tam sayılar için ayrı ayrı ele alabiliriz.

1. durumda x’i tek tam sayı kabul ederiz ve x2 − x’in çift olduğunu elde ederiz.2. durumda x’i çift tam sayı kabul ederiz ve x2 − x’in yine çift olduğunu gösteririz.Her tam sayı ya tek ya da çift olduğundan, bu iki durumu ele almakla ispatı bütün tam

sayılar için gerçekleştirmiş oluruz.İspat: İki durumu ele alalım.

1. Durum: x bir tek tam sayı iseBu durumda x = 2k + 1 o.ş. k ∈ Z vardır. Burada

x2 − x = (2k + 1)2 − (2k + 1) = 4k2 + 4k + 1− 2k − 1 = 4k2 + 2k = 2(2k2 + k)

ve 2k2 + k ∈ Z olduğundan x2 − x bir çift tam sayıdır.2. Durum: x bir çift tam sayı ise

Bu durumda x = 2k o.ş. k ∈ Z vardır. Buradan [32]

x2 − x = (2k)2 − 2k = 4k2 − 2k = 2(2k2 − k)

ve 2k2 − k ∈ Z olup x2 − x yine bir çift tam sayıdır.Her durumda x2 − x’in bir çift tam sayı olduğu görüldüğünden ispat tamamdır. �

[32] “x ∈ Z ise x2−x çift tam sayıdır” teoreminin ispatında, 1. durumda x’in tek tam sayı olduğunu kabulederek x = 2k+1 yazdık. 2. durumda ise x’in çift tam sayı olduğunu kabul ederek x = 2k yazdık. Esasen 1.ve 2. durumun kanıtlanması ayrı ayrı ispatlar gibi düşünüldüğünden, 1. durumun ispatı bittiğinde k harfininoradaki işlevi tamamlanmış ve böylece 2. durumda k harfine farklı bir anlam yüklenebilmiştir. Ancak elbetteistenirse 2. durum için farklı bir harf de kullanılabilir, örneğin x = 2`, ` ∈ Z de denebilirdi.


Örnek 18.2 Teorem: p bir önerme ise p⇒ 1’dir. [33]Bu teoremi ispatlamak için de yine iki ayrı durumu ele alacağız. Bu kez her önermenin ya

doğru ya da yanlış olması özelliğini p önermesi üzerinde kullanarak iki durum inceleyip heriki durumda da aynı sonuca ulaşmaya çalışacağız.

İspat: p bir önerme olduğundan ya doğru ya da yanlıştır, yani ya p ≡ 1 ya da p ≡ 0’dır.İki durumu ayrı ayrı ele alalım.

1. Durum: p ≡ 1 iseBu durumda → bağlacı tanımından p → 1 ≡ 1 → 1 ≡ 1’dir. Böylece gerektirme

tanımından p⇒ 1 olur.2. Durum: p ≡ 0 ise

Bu durumda p→ 1 ≡ 0→ 1 ≡ 1’dir. Buradan yine p⇒ 1 olur.Böylece p⇒ 1 ifadesi her durumda doğrudur. �

Örnek 18.3 Teorem: p bir önerme ise 0⇒ p’dir. [34]teoremini kanıtlayalım.

İspat: p önerme olduğundan ya p ≡ 1 ya da p ≡ 0’dır. Bu iki durumu ele alalım.1. Durum: p ≡ 1 ise

Bu durumda 0→ p ≡ 0→ 1 ≡ 1’dir. Böylece 0⇒ p olur.2. Durum: p ≡ 0 ise

Bu durumda 0→ p ≡ 0→ 0 ≡ 1 olup buradan yine 0⇒ p elde edilir.Sonuç olarak her durumda 0⇒ p’dir. �

Örnek 18.4 Teorem: p, q ve r birer önerme olmak üzere eğer aynı anda hem p⇒ q hemde q ⇒ r ise bu durumda p⇒ r olur. [35]teoremini kanıtlayalım.

Bu teorem çok çeşitli yollarla ve buradakinden farklı durumlara ayırmalar yapılarak daispatlanabilir. Burada sadece bir örnek olarak bu teoremi q üzerinden durumlara ayırmaylakanıtlayacağız.

İspat: p⇒ q ve q ⇒ r olsun. Bu durumda p→ q ≡ 1 ve q → r ≡ 1 olur.q bir önerme olduğundan ya q ≡ 1 ya da q ≡ 0’dır.

1. Durum: q ≡ 1 ise→ bağlacının tanımı gereği, q ≡ 1 iken q → r ≡ 1 olmasının tek yolu r ≡ 1 olmasıdır.

Bu durumdap→ r ≡ p→ 1 ≡ 1 [36]

[33] Önermelerle ilgili p ⇒ 1 olması gibi ifadeler, doğruluk tablosu ya da doğruluk çizelgesi olarak bilinentablolar kullanılarak da kanıtlanabilmektedir. Aynı teoremin doğruluk tablosu yardımıyla ispatı daha sonraverilecektir.[34] 0⇒ p, yani 0→ p ≡ 1 kuralının sonucundaki 1 doğruluk değeriyle ortaya çıkan doğruya matematiksel

mantıkta anlamsız doğru ya da boş doğru denir. Bu kuralı “herhangi bir yanlıştan yola çıkılırsa her şeydoğrudur” şeklinde anlamak mümkündür. Her ne kadar bu şekilde bakıldığında işe yaramaz bir çıkarımgibi gözükse de, anlamsız doğru kuralı boş kümenin bazı özelliklerini elde etmek gibi çeşitli matematikseldoğrulara ulaşmada oldukça kullanışlıdır.[35] p⇒ q ve q ⇒ r iken p⇒ r olması özelliğine ⇒ simgesi için geçişme özelliği denir.


olacağından p⇒ r’dir.2. Durum: q ≡ 0 ise

q ≡ 0 iken p→ q ≡ 1 olmasının tek yolu p ≡ 0 olmasıdır. Böylece

p→ r ≡ 0→ r ≡ 1 [37]

olup yine p⇒ r’dir. �

Ödev 18.5 Teorem: p bir önerme ise p⇒ p’dir.teoremini ispatlayın.

Ödev 18.6 Teorem: p bir önerme ise 1→ p ≡ p’dir.teoremini ispatlayın.

19. ∅ (BOŞ KÜME)Tanım: Her x için 0(x) ≡ 0 doğruluk değerini alan 0 açık önermesinin tanımladığı kümeyeboş küme denir ve ∅ ya da ∅ ile gösterilir. [38]

Yukarıdaki tanıma göre∅ = {x | 0(x) ≡ 1}

ya da 0(x) ≡ 0 olduğundan∅ = {x | 0 ≡ 1}

yazabiliriz. Bu mantıkla bakıldığında, yanlış olan bir şey hiçbir zaman doğru olmadığındanyani hiçbir durumda 0 ≡ 1 olmadığından, ∅ kümesinin içine hiçbir x elemanı düşmez. Bunagöre tanımın anlatmak istediği, hiçbir x’in boş kümeye ait olmadığı, yani her x için x /∈ ∅olduğu, ya da başka bir deyişle x ∈ ∅ önermesinin daima yanlış olduğudur. Gerçekten de,boş kümenin en çok kullanılan özelliklerinden biri x ne olursa olsun

x ∈ ∅ ≡ 0

yazılabilmesidir.

Boş kümenin hiçbir elemanı yoktur ve bu nedenle küme parantezleri ile gösterilmek is-tendiğinde ∅ = {} şeklinde gösterilir.

20. ALT KÜMETanım 20.1 A ve B birer küme olmak üzere, eğer bütün x’ler için

x ∈ A =⇒ x ∈ B [39]

[36] p→ 1 ≡ 1, yani p⇒ 1 olduğunu Örnek 18.2’deki örnek teoremde ispatlamıştık.[37] Örnek 18.3’teki örnek teoremde 0⇒ p olduğunu ispatlamıştık. Bu ifadeyi r önermesine uyarladığımızda

0⇒ r, yani 0→ r ≡ 1 olduğunu görmüş oluruz.[38] Bazı kaynaklarda boş küme ∅ = {x | x 6= x}, yani kendi kendine eşit olmayan x’lerin kümesi şeklinde

de tanımlanır.


oluyorsa A’ya B’nin bir alt kümesi denir ve A ⊆ B veya A ⊂ B yazılır. [40] Ayrıca, budurum B, A’yı kapsar şeklinde de ifade edililir ve B’ye de A’nın bir üst kümesi denir vebu bakış açısıyla B ⊇ A veya B ⊃ A gösterimi de kullanılabilir. [41]

x /∈ A olan x’ler için x ∈ A ⇒ x ∈ B olup olmadığını kontrol etmeye gerek yoktur.Çünkü x /∈ A ise, x ∈ A önermesi yanlıştır ve Örnek 18.3’te gösterildiği üzere 0 → pşeklindeki bir önerme her durumda doğru olduğundan

x ∈ A→ x ∈ B ≡ 0→ x ∈ B ≡ 1

olup x ∈ A ⇒ x ∈ B olması bu durumda zaten kendiliğinden sağlanır. Öyleyse yalnızcaA’daki x elemanları için x ∈ A⇒ x ∈ B olup olmadığına bakmak yeterlidir.

Buna göre A ⊆ B olduğunu göstermek için yapılması gereken şey, x ∈ A ifadesindenx ∈ B ifadesinin bütün x’ler için elde edilebildiğini göstermektir.

Örnek 20.2 A = {a, b, c}, B = {a, b, c, d, e} olsun.

a ∈ A =⇒ a ∈ Bb ∈ A =⇒ b ∈ Bc ∈ A =⇒ c ∈ B

olduğuna dikkat edelim. Böylelikle A’daki bütün x elemanları için x ∈ A ⇒ x ∈ B olmasısağlanır ve alt küme tanımı gereği A ⊆ B olur.

Örnek 20.3 A = {1, 3, 5}, B = {0, 1, 2, 3, 4} diyelim. Bu durumda A ⊆ B değildir, çünkü

1 ∈ A =⇒ 1 ∈ B3 ∈ A =⇒ 3 ∈ B

olmasına rağmen5 ∈ A =⇒ 5 ∈ B

olması sağlanmaz. Bu nedenle A ⊆ B olamaz.

A ⊆ B olmaması durumu A * B şeklinde yazılabilir. Buna göre, A * B olduğunugöstermek için, x ∈ A ama x /∈ B olacak şekilde yalnızca bir tek x elemanı bulmak bileyeterlidir.

Örnek 20.4 6Z+ 5 ⊆ 2Z+ 1 olduğunu göstermeye çalışalım. Öncelikle

6Z+ 5 = {6k + 5 | k ∈ Z} = {. . . ,−13,−7,−1, 5, 11, 17, . . .}[39] A ⊆ B olmasının x ∈ A ⇒ x ∈ B gerektirmesiyle tanımlandığını bilmek son derece önemlidir. Bu

tanım her alandaki matematiksel ispatlarda bir şekilde karşımıza çıkar.[40] Çok az sayıdaki istisnâı kaynaklar haricinde genel olarak matematikçiler ⊆ ve ⊂ sembolleri arasında

anlam ayrımı yapmamaktadır.[41] Sembolik olarak A ⊂ B, A ⊆ B, B ⊃ A ve B ⊇ A gösterimlerinin hepsi aynı anlama gelir. Sözel

olarak da “A B’nin alt kümesidir”, “B A’nın üst kümesidir”, “B A’yı kapsar”, “A B tarafından kapsanır”ifadeleri aynı anlama gelmektedir.


ve2Z+ 1 = {2k + 1 | k ∈ Z} = {. . . ,−7,−5,−3,−1, 1, 3, 5, 7, 9, 11, . . .}

olduğunu biliyoruz ve burada dikkat edilirse 6Z+5 kümesindeki her elemanın, aynı zamanda2Z+ 1 kümesinde bulunacağı gözükmektedir. Ancak bunu net olarak göstermek, yani 6Z+5 ⊆ 2Z+ 1 olduğunu ispatlamak gerekir.A ⊆ B olması x ∈ A ⇒ x ∈ B olmasıyla tanımlanıyordu. Öyleyse, 6Z + 5 ⊆ 2Z + 1

olduğunu göstereceksekx ∈ 6Z+ 5 =⇒ x ∈ 2Z+ 1

olduğunu göstermemiz gerekir. Bunu göstermek içinse, x ∈ 6Z + 5 adımından yola çıkarızve bir şekilde x ∈ 2Z+ 1 sonucuna ulaşmaya çalışırız. Şimdi bunu gösterelim:x ∈ 6Z+ 5 olsun. Bu durumda k ∈ Z o.ü. x = 6k + 5 yazılabilir. Burada aynı zamanda

x = 2(3k + 2) + 1, 3k + 2 ∈ Z

yazılabileceğinden x ∈ 2Z+ 1’dir.x ∈ 6Z + 5’ten x ∈ 2Z + 1’e ulaşabildiğimizden, yani x ∈ 6Z + 5 ⇒ x ∈ 2Z + 1 elde

ettiğimizden 6Z+ 5 ⊆ 2Z+ 1 olduğunu göstermiş olduk.

Örnek 20.5 12Z ⊆ 4Z olduğunu gösterelim.x ∈ 12Z ise k ∈ Z o.ü. x = 12k olur. Burada x = 4(3k) ve 3k ∈ Z yazılabileceğinden

x ∈ 4Z’dir. Sonuç olarak 12Z ⊆ 4Z elde edilir.

Ödev 20.6 9Z+ 6 ⊆ 3Z olduğunu gösterin.

Her kümenin kendi kendisinin bir alt kümesi olması ve boş kümenin her kümenin altkümesi olması alt kümelerle ilgili iyi bilinen özellikler olsa da, matematiksel anlamda bun-ların doğruluğundan söz edebilmek için bu özelliklerin alt küme tanımından yola çıkılarakispatlanması gerekir.

Teorem 20.7 Her küme kendisinin bir alt kümesidir. [42]

İspat: A bir küme olsun. Bu durumda

x ∈ A =⇒ x ∈ A

olduğundan A ⊆ A’dır. [43]

Teorem 20.8 A bir küme ise ∅ ⊆ A’dır.

İspat: Her x için x ∈ ∅ önermesi yanlış olduğundan

x ∈ ∅→ x ∈ A ≡ 0→ x ∈ A ≡ 1 [44]

[42] Her A kümesi için A ⊆ A olması, ⊆ için yansıma özelliği olarak bilinir.[43] x ∈ A bilgisi verildiğinde x ∈ A olduğuna (yani aynı şeye) ulaşabildiğimizden x ∈ A ⇒ x ∈ A

yazabiliriz. Alternatif olarak bunu, her p önermesi için p → p ≡ 1, yani p ⇒ p olmasının sonucu olarak dagörebiliriz.


olup buradanx ∈ ∅ =⇒ x ∈ A

yazabiliriz. Böylece ∅ ⊆ A’dır.

Teorem 20.9 Boş kümenin kendisinden başka alt kümesi yoktur.

İspat: A ⊆ ∅ olduğunu kabul edelim. Bu durumda her x için x ∈ A ⇒ x ∈ ∅, yanix ∈ A ⇒ 0 olur. Bu gerektirmenin doğru olması için x ∈ A ≡ 0 olmalıdır. Bu ise herx için x /∈ A olması demektir ve boş kümenin tanımı gereği buradan A = ∅ elde edilir.Böylece boş kümenin her alt kümesinin boş kümeye eşit olduğu görüldüğünden boş kümeninkendisinden başka alt kümesi yoktur. �

Teorem 20.10 A, B ve C kümeler olmak üzere A ⊆ B ve B ⊆ C ise A ⊆ C’dir. [45]

İspat: Verilenlere göre A ⊆ B olduğundan

x ∈ A =⇒ x ∈ B

olduğunu ve B ⊆ C olduğundan

x ∈ B =⇒ x ∈ C

olduğunu biliyoruz. Buradan

x ∈ A =⇒ x ∈ B =⇒ x ∈ C

yazılabileceğindenx ∈ A =⇒ x ∈ C [46]

yani A ⊆ C olur.

21. ↔ (ANCAK VE ANCAK) BAĞLACIp ve q önermeleri verildiğinde p ↔ q ifadesi “p ancak ve ancak q” şeklinde okunur ve

aşağıdaki doğruluk değerlerini alacak şekilde tanımlanır.

1↔ 1 ≡ 11↔ 0 ≡ 00↔ 1 ≡ 00↔ 0 ≡ 1

Buna göre p↔ q önermesi, p ve q önermelerinin doğruluk değerleri birbiriyle aynı olduğundadoğru, birbirinden farklı olduğunda ise yanlıştır. [47]

[44] Her p önermesi için 0→ p ≡ 1 olduğunu Örnek 18.3’ten biliyoruz.[45] A ⊆ B ve B ⊆ C iken A ⊆ C olması, ⊆ için geçişme özelliği olarak bilinir.[46] Örnek 18.4’ten anlaşılacağı üzere, p ⇒ q ⇒ r olmasından p ⇒ r olduğu sonucuna ulaşılabilir. Bu

nedenle x ∈ A⇒ x ∈ B ⇒ x ∈ C ifadesinden x ∈ A⇒ x ∈ C yazılabildi.[47] ↔ bağlacı, açık önermeler için kullanıldığında bekleneceği üzere (p ↔ q)(x) : p(x) ↔ q(x) şeklinde

anlaşılır.


22. ⇔ (ÇİFT YÖNLÜ GEREKTİRME)Eğer p ve q önermeleri için

p↔ q ≡ 1

oluyorsa bu durump ⇐⇒ q

şeklinde gösterilir ve bu ifade “p olması için gerek ve yeter şart q olmasıdır” veya “p olmasıiçin gerek ve yeter koşul q olmasıdır” ya da bazen de kısaca “p ancak ve ancak q” şeklindeokunur.

p⇔ q olması, p ≡ q olmasıyla aynı anlama gelir, çünkü her ikisi de p ve q önermelerinindoğruluk değerlerinin aynı olduğunu belirtmektedir. [48]

Teorem 22.1 p ve q önermeleri için, eğer p⇔ q ise hem p⇒ q hem de q ⇒ p olur.

İspat: p⇔ q ise p↔ q ≡ 1’dir. Böylece p ve q’nun doğruluk değerleri aynıdır. İki durumuele alalım.

1. Durum: p ≡ 1 isep ve q’nun doğruluk değerleri aynı olduğundan, p ≡ 1 ise q ≡ 1’dir. Buradan

p→ q ≡ 1→ 1 ≡ 1

olup p⇒ q’dur. Benzer şekilde

p→ q ≡ 1← 1 ≡ 1

olduğundan q ⇒ p olur.2. Durum: p ≡ 0 ise

Bu durumda aynı zamanda q ≡ 0’dır. Burada

p→ q ≡ 0→ 0 ≡ 1

olduğundan p⇒ q olur. Benzer şekilde

q → p ≡ 0→ 0 ≡ 1

olduğundan q ⇒ p’dir. �

Teorem 22.2 p ve q önermeleri için, eğer hem p⇒ q hem de q ⇒ p ise p⇔ q olur.

İspat: p⇒ q ve q ⇒ p olduğunu kabul edelim. Bu durumda p→ q ≡ 1 ve q → p ≡ 1’dir.İki durumu ele alalım.

1. Durum: p ≡ 1 isep ≡ 1 iken p→ q ≡ 1 olmasının tek yolu q ≡ 1 olması olduğundan bu durumda p ile q aynıdoğruluk değerlerini alır ve böylece p⇔ q olur.

2. Durum: p ≡ 0 ise[48] ⇔ ve ≡ simgeleri aynı anlama gelmekle birlikte, ⇔ çok daha fazla kullanılır. ≡ (denktir) simgesi

genelde önermelerle ilgili olarak kullanılırken, ⇔ (çift yönlü gerektirme) simgesi matematiğin her alanında,teoremleri ifade ederken ve tanımlama yaparken sıklıkla kullanılır.


Bu durumda ise, p ≡ 0 iken q → p ≡ 1 olmasının tek yolu q ≡ 0 olmasıdır. Burada yine pile q aynı doğruluk değerini aldıklarından p⇔ q olur. �

Teorem 22.1 ve 22.2’den anlaşıldığı üzere p ⇔ q olması, aynı anda hem p ⇒ q hem deq ⇒ p, yani p ⇐ q olması anlamına gelir. Böylece p ⇔ q şeklinde bir teorem verildiğindeaslında p ⇒ q ve p ⇐ q şeklinde iki ayrı teorem bir arada verilmiştir. Bu tarz bir teoremispatlanırken p⇒ q gerektirmesine “gerek şart” denir ve ispatın bu kısmına (⇒) : şeklindebaşlanır, p⇐ q gerektirmesine ise “yeter şart” denir ve bu kısma da (⇐) : şeklinde başlanır.[49]

Örnek 22.3 Teorem: x tek tam sayıdır ⇔ x+ 1 çift tam sayıdır.teoremini ispatlayalım.

Bu teorem çift yönlü gerektirme tarzında verildiğinden iki ayrı teorem ifadesininbirleştirilmiş hâli olarak düşünülebilir:

Gerek şart: x tek tam sayı ise x+ 1 çift tam sayıdır.Yeter şart: x+ 1 çift tam sayı ise x tek tam sayıdır.Buna göre bu teoremi kanıtlamak için hem (⇒) : ile gösterilen gerek şartı, hem de (⇐) :

ile gösterilen yeter şartı ispatlamalıyız.İspat: (=⇒) : x tek tam sayı ise x = 2k + 1, k ∈ Z yazılabilir. Buradan

x+ 1 = (2k + 1) + 1 = 2k + 2 = 2(k + 1)

olur ve k + 1 ∈ Z olduğundan x bir çift tam sayıdır.(⇐=) : x + 1 bir çift tam sayı olsun. Bu durumda x + 1 = 2k o.ş. k ∈ Z bulunabilir.

Buradanx = (x+ 1)− 1 = 2k − 1 = 2k − 2 + 1 = 2(k − 1) + 1 [50]

olur ve k − 1 ∈ Z olduğundan x bir tek tam sayıdır. �

23. İKİ KÜMENİN EŞİTLİĞİElemanları aynı olan iki kümeye eşit kümeler deneceği ortadadır, ancak bu kavramın ma-

tematiksel olarak da tanımlanması gereklidir.

Tanım 23.1 A ve B iki küme olmak üzere, eğer her x için

x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B

oluyorsa A ve B kümelerinin eşit olduğu söylenir ve A = B yazılır.

[49] p⇒ q gerektirmesine “gerek şart” denmesinin mantığı şudur: p⇒ q, p→ q önermesinin doğru olmasıdemektir ve p → q ≡ 1 iken eğer q yanlışsa p doğru olamaz, öyleyse p’nin doğru olması için q’nun doğruolması “gereklidir”. Benzer mantıkla, p⇐ q gerektirmesine “yeter şart” denmesinin nedeni de şudur: p⇐ q,p ← q önermesinin, yani q → p önermesinin doğru olması demektir ve q → p ≡ 1 iken eğer q doğru ise pde mutlaka doğru olur, öyleyse p’nin doğru olması için q’nun doğru olması “yeterlidir”.[50] Bu adımda x, tek tam sayı tanımına uygun düşmesi için 2K+1 tarzında ifade edilmeye çalışılmaktadır.x = 2(k − 1) + 1 olması dışındaki ara adımların bu kadar açık yazılması şart değildir.


Aşağıdaki teorem, iki kümenin eşit olduğunu göstermede oldukça sık kullanılan çok önemlibir karakterizasyon vermektedir. [51]

Teorem 23.2 A ve B iki küme olmak üzere A = B olması için gerek ve yeter şart aynıanda hem A ⊆ B hem de B ⊆ A olmasıdır. [52] [53]

İspat: (=⇒) : A = B olsun. Bu durumda tanımdan [54]

x ∈ A⇐⇒ x ∈ B

olur ve buradanx ∈ A =⇒ x ∈ B ve x ∈ B =⇒ x ∈ A

elde edilir. [55]

x ∈ A⇒ x ∈ B olduğundan A ⊆ B ve x ∈ B ⇒ x ∈ A olduğundan B ⊆ A’dır. [56](⇐=) : Hem A ⊆ B, hem de B ⊆ A olduğunu kabul edelim.A ⊆ B olduğundan x ∈ A ⇒ x ∈ B’dir ve B ⊆ A olduğundan x ∈ B ⇒ x ∈ A’dır.

Böylece x ∈ A⇔ x ∈ B elde edilir. [57] Bu ise A = B olduğu anlamına gelir.

Örnek 23.3 Aşağıdaki A ve B kümelerini ele alalım:

A = {n2 + n | n ∈ N}B = {n2 − n | n ∈ N}

[51] Bir tanımın karakterizasyonu, o tanıma denk olan bir teoremdir. Örneğin, Tanım 16.1’de çift tamsayıları tanımlamıştık. Hemen ardından da tek tam sayıları Tanım 16.2’de tanımladık. Daha sonra Örnek22.3’te verdiğimiz örnek teoremde, bir sayının tek olması için gerek ve yeter şartın, o sayının 1 fazlasının çiftolması olduğunu ifade ettik. Bu durumda bu örnek teorem, tek tam sayıları karakterize etmiş olur, çünkü birsayının tek tam sayı olduğunu Tanım 16.2’yi kullanarak göstermek yerine istersek Örnek 22.3’teki teoremikullanarak gösterebiliriz. Bu bakımdan örnekteki teorem, tek tam sayıların tanımına denk olmuş olur ve bunedenle o teoremdeki özelliğin tek tam sayıları karakterize ettiği söylenir.[52] Teoremde geçen “olması için gerek ve yeter şart” ifadesinin sembolik olarak ⇔ şeklinde gösterildiğini

hatırlayalım. Öyleyse bu teoremde bir çift yönlü gerektirme vardır ve bu yüzden ispatı gerek şart (⇒) veyeter şart (⇐) olarak ikiye böleceğiz. Gerek şart

A = B =⇒ A ⊆ B ve B ⊆ A

şeklinde olacaktır. Bu nedenle ispatın bu kısmına A = B olduğunu kabul ederek başlayıp hem A ⊆ B hemde B ⊆ A olduğunu göstereceğiz. Yeter şart ise

A ⊆ B ve B ⊆ A =⇒ A = B

şeklinde olduğundan orada hem A ⊆ B hem de B ⊆ A olduğu bilgisini bir arada kullanarak A = B olduğunaulaşmaya çalışacağız. Elbette tüm bunları yaparken hazır bilgi kaynağı olarak daha önceden bildiğimiz tanımve teoremleri esas alacağız.[53] A ⊆ B ve B ⊆ A iken A = B eşitliğine ulaşılabilmesi, ⊆ için ters simetri özelliği olarak bilinir.[54] Tanım 23.1[55] x ∈ A⇔ x ∈ B olmasından x ∈ A⇒ x ∈ B ve x ∈ B ⇒ x ∈ A olduğunu Teorem 22.1’i kullanarak

elde ettik.[56] Buradaki geçişte Tanım 20.1’i kullandık.[57] x ∈ A ⇒ x ∈ B ve x ∈ B ⇒ x ∈ A olmasını kullanarak x ∈ A ⇔ x ∈ B ifadesini Teorem 22.2

sayesinde yazdık.


A kümesinin elemanlarını incelersek, 02 + 0 = 0, 12 + 1 = 2, 22 + 2 = 6, 32 + 3 = 12,42 + 4 = 20, 52 + 5 = 30, . . . olduğundan

A = {0, 2, 6, 12, 20, 30, . . .}

bulunur. Diğer taraftan B kümesinin elemanları da 02 − 0 = 0, 12 − 1 = 0, 22 − 2 = 2,32 − 3 = 6, 42 − 4 = 12, 52 − 5 = 20, 62 − 6 = 30, . . . olduğundan

B = {0, 2, 6, 12, 20, 30, . . .}

yazabiliriz.Elde edilen ilk birkaç elemana bakınca A = B olduğunu tahmin edebiliriz, ancak buna

emin olmabilmek için mutlaka bu eşitliğin varlığını matematiksel olarak kanıtlamamız gerekir.[58]

Şimdi A = B olduğunu göstermek için Teorem 23.2’yi kullanalım, yani A ⊆ B ve B ⊆ Aolduğunu ayrı ayrı göstererek A = B sonucuna ulaşalım:x ∈ A olsun. [59] Bu durumda

x = n2 + n n ∈ N

yazabiliriz. Burada

(n+ 1)2 − (n+ 1) = n2 + 2n+ 1− n− 1 = n2 + n = x [60]

[58] Yalnızca belli sayıdaki elemanlarına bakarak bir küme hakkında, ya da sadece birkaç örneğe baka-rak bir matematiksel gereçek hakkında kesin bir hüküm sahibi olmak mümkün değildir. Örneğin n =0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . , 40248 değerleri için (ifadenin anlamı önemli değil)

∞∫0

n∏k=0

2k+1x sin(

x2k+1 )dx−

∞∑m=1

n∏k=0

2k+1m sin(

m2k+1 ) =

12

eşitliği sağlanmaktadır, ancak n = 40249’a gelindiğinde soldaki ifadenin sonucunun 12 ’den küçük çıktığı veböylece eşitliğin bozulduğu görülmüştür. Bu ve benzeri olasılıklar göz önünde bulundurularak, bir matema-tiksel gerçeğin mutlaka mantıksal yollarla kanıtı istenir. Gösterilmesi gereken özelliği sağlayan özel örneklervermek, teoremi ispatlamış olmak için yeterli değildir.[59] A ⊆ B olduğunu göstermek için, x ∈ A ⇒ x ∈ B olduğu gösterilmelidir. Bu nedenle bir x ∈ A

elemanı alarak buradan x ∈ B olduğunu gösterme amacıyla yola çıktık.


olduğuna dikkat edersek,

x = (n+ 1)2 − (n+ 1), n+ 1 ∈ N

yazabildiğimizden x ∈ B olur.Şu hâlde x ∈ A⇒ x ∈ B olduğu elde edildiğinden, A ⊆ B’dir.Diğer taraftan, eğer x ∈ B ise [61]

x = n2 − n, n ∈ N

yazılabilir. İki durumu ele alalım. [62]

Eğer n 6= 0 ise n− 1 ∈ N’dir ve

(n− 1)2 + (n− 1) = n2 − 2n+ 1 + n− 1 = n2 − n = x

olduğundan x ∈ A’dır.Eğer n = 0 ise

x = 02 − 0 = 0 = 02 + 0

yazabileceğimizden yine x ∈ A olur.Böylece her iki durumda da x ∈ B ⇒ x ∈ A olup buradan B ⊆ A elde edilir.Hem A ⊆ B hem de B ⊆ A olduğundan A = B’dir.

[60] Bir ispatı düzgün bir şekilde ifade etmek için bazı zamanlar bir ön çalışma gerekebilir. Burada,(n+ 1)2 − (n+ 1) = n2 + 2n+ 1− n− 1 = n2 + n = x

ifadesi düz bir şekilde ilerlenerek yazılmamıştır; bir ön çalışmanın sonucudur. Şöyle ki; buradaki amacımızx = n2 + n sayısının B = {n2 − n | n ∈ N} kümesine ait olduğunu göstermek olduğundan

x = m2 −m, m ∈ Nyazabileceğimiz bir m bulmalıyız (n’ye zaten anlam yüklediğimiz için bu sayıya m dedik). Buradan

n2 + n = x = m2 −molması gerektiğini görürüz, yani

n(n+ 1) = (m− 1)molmalıdır. Bu eşitliğin birden çok çözümü olabilir ama eğer m yerine n + 1 yazarsak istediğimiz gibi x =m2 −m olmasını sağlayan bir m sayısı bulmuş oluruz. Üstelik n ∈ N olduğundan 1 fazlası olan m = n+ 1de bir doğal sayıdır. Böylece

x = (n+ 1)2 − (n+ 1), n+ 1 ∈ Nolur. İspattaki

(n+ 1)2 − (n+ 1) = n2 + 2n+ 1− n− 1 = n2 + n = xifadesi bütün bu ön hazırlıklardan yararlanılarak sonradan yazılmıştır.[61] Şimdi de B ⊆ A olduğunu göstereceğimiz için, x ∈ B ⇒ x ∈ A gerektirmesini elde etmek adına

bir x ∈ B elemanı aldık (önceki paragrafta aldığımız x ile işimiz bittiğinden başka bir harf seçmeye gerekduymadık).[62] İki durumu ele alacağımızı yine bir ön çalışma sonucunda anladık. x ∈ B olmasından

x = n2 − n, n ∈ Nolduğunu biliyoruz ve x’in A = {n2 + n | n ∈ N} kümesinde olduğunu gösterebilmek için

x = m2 +m, m ∈ Nyazabileceğimiz bir m bulmalıyız. Bu kez

n2 − n = m2 +m =⇒ n(n− 1) = (m+ 1)molduğunu düşünerek m = n−1 diyebiliriz. Ancak burada küçük bir sorun vardır. 0’dan farklı n doğal sayılarıiçin n− 1 seçimi uygun olsa da, n = 0 iken n− 1 = −1 /∈ N olmaktadır. Öyleyse n 6= 0 için n− 1 sayısınıkullanmak, n = 0 olduğu durum içinse ayrı bir çözüm düşünmek gerekir. İspatın bu kısmı bu yüzden iki ayrıduruma ayrılmıştır.


Örnek 23.4 A = {2k − 1 | k ∈ Z} ve B = {3 − 2k | k ∈ Z} kümelerinin eşit olduklarınıgösterelim. [63]

A = B olduğunu görmek için A ⊆ B ve B ⊆ A olduğunu göstermeliyiz.x ∈ A olsun. Bu durumda

x = 2k − 1, k ∈ Z

yazabiliriz ve3− 2(2− k) = 3− 4 + 2k = 2k − 1 = x, 2− k ∈ Z [64]

olduğundan buradan x ∈ B elde edilir.x ∈ A⇒ x ∈ B olduğundan A ⊆ B’dir.Şimdi de x ∈ B olsun. Bu durumda

x = 3− 2k, k ∈ Z

olur. Buradan

2(2− k)− 1 = 4− 2k − 1 = 3− 2k = x, 2− k ∈ Z [65]

olup x ∈ A bulunur.x ∈ B ⇒ x ∈ A olmasından B ⊆ A’dır.Sonuç olarak, A ⊆ B ve B ⊆ A olduğundan A = B’dir.

Ödev 23.5 Z−0 = {−n | n ∈ N}, A = {k2 | k ∈ Z−0 } ve B = {k2 | k ∈ N} olmak üzereA = B olduğunu gösterin.

Ödev 23.6 A = {2k+1 | k ∈ 3Z} ve B = {6k+1 | k ∈ Z} olmak üzere A = B olduğunugösterin.

Bazı durumlarda A = B olduğunu göstermek için Teorem 23.2’yi kullanmak yerine direktolarak Tanım 23.1’i kullanmak daha kolay olabilir.

Örnek 23.7 A = {x ∈ Z | x − 5 ≤ 0} ve B = {x ∈ Z | 0 ≤ 10 − 2x} kümelerinin eşitolduğunu gösterelim.

1. Yol: Teorem 23.2’yi kullanarak:

x ∈ A =⇒ x− 5 ≤ 0=⇒ 2x− 10 ≤ 0 [66]

=⇒ 2x ≤ 10 [67]

=⇒ 0 ≤ 10− 2x [68]

=⇒ x ∈ B

[63] İstersek öncelikle bu kümelerin elemanlarını inceleyerek A = {. . . ,−7,−5,−3,−1, 1, 3, 5, . . .} ve B ={. . . , 9, 7, 5, 3, 1,−1,−3, . . .} olduğunu görebiliriz.[64] Bu yazım yine bir ön hazırlığın sonucudur. x = 2k − 1 sayısının B = {3 − 2k | k ∈ Z} kümesine ait

olduğunu göstermek istiyoruz yani x = 3−2` olacak şekilde ` ∈ Z bulmalıyız. 2k−1 = 3−2` denkleminden` = 2− k elde ederiz ve bu da bir tam sayı olduğundan bu bulduğumuz değeri ispatta kullanabiliriz.[65] Burada yine, x ∈ A olması için x = 2` − 1 olması gerektiğinden 3 − 2k = 2` − 1 olmalıdır. Buradan` = 2− k olması gerektiği görülür.


olduğundan A ⊆ B’dir.Diğer taraftan,

x ∈ B =⇒ 0 ≤ 10− 2x=⇒ 2x ≤ 10=⇒ 2x− 10 ≤ 0=⇒ x− 5 ≤ 0=⇒ x ∈ A

olduğundan B ⊆ A’dır.A ⊆ B ve B ⊆ A olmasından A = B elde edilir.2. Yol: Tanım 23.1’i kullanarak:Her x için

x ∈ A ⇐⇒ x− 5 ≤ 0 [69]

⇐⇒ 2x− 10 ≤ 0⇐⇒ 2x ≤ 10⇐⇒ 0 ≤ 10− 2x⇐⇒ x ∈ B

olduğundan A = B’dir.

Ödev 23.8 A = {x ∈ Z | x + 1 ≤ 3x − 5} ve B = {x ∈ Z | x ≥ 3} kümelerinin eşitolduğunu gösterin.

24. DOĞRULUK TABLOSUYLA KANIT

Önermelerle ilgili bazı özellikleri ispatlamanın pratik yollarından biri doğruluk tablosu ya dadoğruluk çizelgesi olarak bilinen tabloları kullanmaktır. Doğruluk tablosu, verilen önermelerleilgili bütün durumların bir arada incelendiği bir tablodur. Genel bir kural olarak eğer n tanebilinmeyen birbirinden farklı bağımsız önerme varsa, bu tabloda bu n önermeyle ilgili bütünolası durumları listeleyen 2n tane alt satır bulunur.

Örnek 24.1 Daha önce Örnek 18.2’de ispatlananTeorem: p bir önerme ise p⇒ 1’dir.

[66] Her iki taraf 2 ile çarpıldı.[67] Her iki tarafa 10 eklendi.[68] Her iki taraftan 2x çıkarıldı.[69] Burada⇒ yerine⇔ kullanıp kullanamayacağımızı mutlaka her adımda kontrol etmemiz gerekmektedir.

Örneğin x ∈ A ise A’nın tanımından x− 5 ≤ 0 olmakta ve böylece x ∈ A⇒ x− 5 ≤ 0 yazılabilmektedir.Ancak x ∈ A ⇔ x − 5 ≤ 0 yazabilmemiz için aynı zamanda x − 5 ≤ 0 ⇒ x ∈ A tarafı da doğruolmalıdır (ki burada doğrudur). Benzer şekilde sonraki adımda hem x − 5 ≤ 0 ⇒ 2x − 10 ≤ 0 hem de2x−10 ≤ 0⇒ x−5 ≤ 0 olduğu kontrol edildikten sonra x−5 ≤ 0⇔ 2x−10 ≤ 0 yazılabilmiştir. Halbuki,mesela bir yerde x = 1 ⇒ x2 = 1 gibi bir adım olsaydı, x2 = 1 iken x = 1 olmak zorunda olmadığından(x = −1 de olabilir), x2 = 1 ⇒ x = 1 gerektirmesi doğru olmazdı, bu nedenle bu ispatı x = 1 ⇔ x2 = 1şeklinde çift yönlü gerektirmelerle kısaltmak mümkün olmayacaktı.


önermesini doğruluk tablosu ile kanıtlayalım:

p p → 11 1→ 1 ≡ 10 0→ 1 ≡ 1

Yukarıdaki tablo incelendiğinde, p’nin doğruluk değeri ne olursa olsun p → 1 ≡ 1 olduğugörülür. Buradan p⇒ 1 elde edilir.

Örnek 24.2 Her p ve q önermesi için p → (q → p) ≡ 1 olduğunu aşağıdaki doğruluktablosundan görmekteyiz.

p q p → (q → p)1 1 1→ 1 ≡ 11 0 1→ 1 ≡ 10 1 0→ 0 ≡ 10 0 0→ 1 ≡ 1

Alternatif olarak, yardımcı ara adımlarla bu tabloyu aşağıdaki gibi de yazabiliriz.

p q q → p p → (q → p)1 1 1 11 0 1 10 1 0 10 0 1 1

Örnek 24.3 Herhangi p, q ve r önermeleri için, (p→ q)→ r ve p→ (q → r) önermelerininbirbirine denk olmasının gerekmediğini görelim.

p q r (p → q) → r p → (q → r)1 1 1 1→ 1 ≡ 1 1→ 1 ≡ 11 1 0 1→ 0 ≡ 0 1→ 0 ≡ 01 0 1 0→ 1 ≡ 1 1→ 1 ≡ 11 0 0 0→ 0 ≡ 1 1→ 1 ≡ 10 1 1 1→ 1 ≡ 1 0→ 1 ≡ 10 1 0 1→ 0 ≡ 0 0→ 0 ≡ 10 0 1 1→ 1 ≡ 1 0→ 1 ≡ 10 0 0 1→ 0 ≡ 0 0→ 1 ≡ 1

Yukarıdaki tablo incelenirse, p ≡ 0, q ≡ 1, r ≡ 1 olduğu ve p ≡ q ≡ r ≡ 0 olduğudurumlarda (p → q) → r ve p → (q → r) önermelerinin farklı doğruluk değerleri aldıklarıgörülmektedir.

25. Q (RASYONEL SAYILAR KÜMESİ)k ve ` gibi iki tam sayı verildiğinde k = `x olacak şekilde bir x ∈ Z bulmak bazen mümkün

değildir. Tam sayılar kümesindeki bu “açık” rasyonel sayılar yardımıyla kapatılır.a, b ∈ Z ve b 6= 0 olmak üzere a = bx denkleminin çözümü x = a

bile gösterilir ve

a, b, c, d ∈ Z, b, d 6= 0 için ad = bc ise ab

= cd

olduğu kabul edilir. Bu şartlar altında rasyonel


sayılar kümesiQ =

{ab| a, b ∈ Z, b 6= 0

}şeklinde verilir. [70] [71]

26. ∧ (VE) BAĞLACIp ve q birer önerme ise p∧ q birleşik önermesi “p ve q” şeklinde okunur ve bu önermenin

doğruluk değerleri şu şekilde tanımlanır:

1 ∧ 1 ≡ 11 ∧ 0 ≡ 00 ∧ 1 ≡ 00 ∧ 0 ≡ 0

Buna göre p ∧ q önermesinin doğru olması için mutlaka hem p hem de q önermesi doğruolmalıdır. [72]

Teorem 26.1 p, q ve r birer önerme olmak üzere aşağıdaki denklikler sağlanır:a) p ∧ p ≡ p [73]b) p ∧ q ≡ q ∧ p [74]c) (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) [75]

İspat: a) Aşağıdaki doğruluk tablosundan görülür.

p p∧ p1 10 0

[70] Burada verilen, rasyonel sayılar kümesinin matematiksel bir tanımı değildir. Rasyonel sayılar kümesininteknik tanımı, daha sonra görülecek olan çarpım kümesi, denklik bağıntısı ve bölüm kümesi kavramlarıyardımıyla yapılabilmektedir. Buradaki amaç sadece ileride daha somut örnekler verebilmek için yeri geldikçesayı kümelerini kısaca tanıtmaktır.[71] Rasyonel sayılar üzerindeki temel işlem ve özelliklerin bilindiği varsayılacaktır.[72] Ayrıca eğer p ve q, bir A kümesi üzerinde açık önermelerse p ∧ q açık önermesi de öncekilere benzer

şekilde (p ∧ q)(x) : p(x) ∧ q(x) ile tanımlanır.[73] p ∧ p ≡ p olma özelliğine ∧ bağlacı için idempotentlik denir.[74] p ∧ q ≡ q ∧ p olmasına ∧ bağlacı için değişme özelliği denir.[75] (p∧q)∧r ≡ p∧ (p∧r) olmasına ∧ bağlacı için birleşme özelliği denir. Benzer özelliğin→ bağlacı için

sağlanmadığı Örnek 24.3’ten görülmektedir. Birleşme özelliği son derece kullanışlı bir özelliktir. ∧ bağlacınınbu özelliğine göre için (p∧ q)∧ r ile p∧ (q ∧ r) aynı anlama gelmektedir, yani parantezler ifadenin anlamınıdeğiştirmez. Böylece parantezleri kaldırmamız durumunda anlam karışıklığı oluşmaz ve bu yüzden bu ifadeyip∧q∧r şeklinde parantezsiz olarak yazabiliriz. Önermelerin sayısı arttıkça, örneğin→ bağlacı için (p→ (q →r))→ (s→ t) gibi parantezlerin çok olduğu ifadeler yazarken, ∧ bağlacı için benzer ifadeyi p∧ q ∧ r ∧ s∧ tgibi sade bir şekilde yazabiliriz.


b) Doğruluk tablosundan görülür:

p q p∧ q q ∧ p1 1 1 11 0 0 00 1 0 00 0 0 0

c) Denklik aşağıdaki doğruluk tablosundan görülür.

p q r (p ∧ q)∧ r p∧ (q ∧ r)1 1 1 1 ∧ 1 ≡ 1 1 ∧ 1 ≡ 11 1 0 1 ∧ 0 ≡ 0 1 ∧ 0 ≡ 01 0 1 0 ∧ 1 ≡ 0 1 ∧ 0 ≡ 01 0 0 0 ∧ 0 ≡ 0 1 ∧ 0 ≡ 00 1 1 0 ∧ 1 ≡ 0 0 ∧ 1 ≡ 00 1 0 0 ∧ 0 ≡ 0 0 ∧ 0 ≡ 00 0 1 0 ∧ 1 ≡ 0 0 ∧ 0 ≡ 00 0 0 0 ∧ 0 ≡ 0 0 ∧ 0 ≡ 0

�

Teorem 26.2 p ve q önermeler ise p ∧ q ⇒ p’dir.

İspat: Aşağıdaki tabloyu inceleyelim.

p q (p ∧ q) → p1 1 1→ 1 ≡ 11 0 0→ 1 ≡ 10 1 0→ 0 ≡ 10 0 0→ 0 ≡ 1

Bu tabloya göre her durumda (p ∧ q)→ p’dir. Dolayısıyla (p ∧ q)⇒ p yazılabilir. �

Teorem 26.3 p ve q önermeler olmak üzere

p↔ q ≡ (p→ q) ∧ (q → p)

denkliği vardır.

İspat: Aşağıdaki doğruluk tablosundan görülür.

p q p ↔ q (p → q)∧ (q → p)1 1 1 1 ∧ 1 ≡ 11 0 0 0 ∧ 1 ≡ 00 1 0 1 ∧ 0 ≡ 00 0 1 1 ∧ 1 ≡ 1

�


Teorem 26.4 p, q, r ve s önermeler olmak üzere, eğer p⇒ q ve r ⇒ s ise p∧r ⇒ q∧s’dir.[76]

27. KESİŞİM (ARAKESİT)Tanım 27.1 A ve B birer küme olmak üzere

A ∩B := {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}

kümesine A ile B’nin kesişimi veya A ile B’nin arakesiti denir. [77]

İki kümenin kesişimi ∧ bağlacı yardımıyla tanımlandığından ∩ (kesişim) işleminin özellikleri∧ bağlacının özellikleriyle benzerlik gösterir. [78]

Teorem 27.2 A, B ve C birer küme olmak üzere aşağıdaki eşitlikler vardır:a) A ∩ A = A [79]b) A ∩B = B ∩ A [80]c) (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) [81]

İspat: a) Her x için

x ∈ A ∩ A ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ A⇐⇒ x ∈ A [82]

olduğundan A ∩ A = A’dır.

b) Her x için

x ∈ A ∩B ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B⇐⇒ x ∈ B ∧ x ∈ A [83]

⇐⇒ x ∈ B ∩ A[76] Bu teoremin ispatı büyük bir doğruluk tablosu kullanılarak şu anda yapılabilir. Ancak daha başka bir

teknik kullanarak bu ispatı oldukça kısaltmak mümkün olduğundan bu teoremin ispatı şimdilik yapılmamış,gerekli teknik verildikten sonra Örnek 33.3 içerisinde ispatlanmıştır.[77] A∩B := {x | x ∈ A∧x ∈ B} ifadesinde = (eşittir) işaretinin solundaki : (iki nokta), yeni bir tanımlama

yapıldığını gösterir. Yani iki nokta kullanarak A ∩B := {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} yazmak “A ∩B gösteriminiyeni tanıtıyoruz” anlamına gelir ve ilk kez böyle yazıldıktan sonra bu eşitlik daha sonraları kullanıldığında ikinoktasız olarak yazılır. Tanımlarda bu iki noktanın kullanılması şart değildir.[78] ∩ simgesini kesişim işlemi ile özdeşleştirmiş olsak da henüz “işlem” tanımını vermedik. Şimdilik “işlem”

kelimesini aynen “bağlaç” gibi altında herhangi başka bir anlam taşımayan bir adlandırma olarak düşünmemizyeterli olacaktır.[79] A ∩A = A olmasına ∩ işleminin idempotentlik özelliği denir.[80] A ∩B = B ∩A olması ∩ işlemi için değişme özelliğidir.[81] (A ∩B) ∩C = A ∩ (B ∩C) eşitliği ∩ işlemi için birleşme özelliği olarak bilinir. Birleşme kelimesinin

buradaki kullanımının, kümeler için yakında tanımlanacak olan “birleşim” işlemiyle anlamsal bir bağı yoktur,bu iki sözcük karıştırılmamalıdır.[82] x ∈ A∧ x ∈ A⇔ x ∈ A olmasını Teorem 26.1 (a)’dan, yani her p önermesi için p∧ p ≡ p olmasından

yazdık. ≡ simgesiyle ⇔ simgesinin önermeler için aynı anlama geldiklerini hatırlayalım.


olduğundan A ∩B = B ∩ A’dır.

c) Her x için

x ∈ (A ∩B) ∩ C ⇐⇒ (x ∈ A ∩B) ∧ x ∈ C⇐⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ x ∈ C⇐⇒ x ∈ A ∧ (x ∈ B ∧ x ∈ C) [84]

⇐⇒ x ∈ A ∧ (x ∈ B ∩ C)⇐⇒ x ∈ A ∩ (B ∩ C)

olduğundan (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)’dir.

Teorem 27.3 A ve B kümeler olmak üzere A ∩B ⊆ A’dır.

İspat: Her x içinx ∈ A ∩B =⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B =⇒ x ∈ A [85]

olduğundan A ∩B ⊆ A’dır. �

Teorem ?? ve Teorem 27.2 (b)’nin bir araya getirilmesiyle aşağıdaki sonuç hemen eldeedilir.

Sonuç 27.4 A ve B kümeler olmak üzere A ∩B ⊆ B’dir.

Teorem 27.5 A, B, C ve D kümeler olmak üzere, A ⊆ B ve C ⊆ D ise A∩C ⊆ B∩D’dir.

İspat: A ⊆ B ve C ⊆ D olduğundan her x için

x ∈ A =⇒ x ∈ B ve x ∈ C =⇒ x ∈ D

olması sağlanır. Buradan,

x ∈ A ∩ C =⇒ x ∈ A ∧ x ∈ C=⇒ x ∈ B ∧ x ∈ D [86]

=⇒ x ∈ B ∩D

olduğundan A ∩ C ⊆ B ∩D’dir. �

Yukarıda elde edilen teoremde A, B, C ve D kümeleri yerine sırasıyla A, B, yine A ve Cyazılırsa A ∩ A = A olduğunun da hesaba katılmasıyla aşağıdaki sonuç elde edilir.

Sonuç 27.6 A, B ve C kümeler olmak üzere eğer A ⊆ B ve A ⊆ C ise A ⊆ B ∩ C’dir.

Teorem 27.7 A ve B kümeler olmak üzere A ⊆ B ⇐⇒ A ∩B = A’dır.[83] Teorem 26.1 (b)’den[84] Teorem 26.1 (c)’den[85] Teorem 26.2’den[86] Teorem 26.4’ten


İspat: (=⇒) : A ⊆ B olsun. Bu durumda, A ⊆ A ve A ⊆ B olmasından A ∩ A ⊆ A ∩ B,yani A ⊆ A∩B elde edilir. Ayrıca her zaman A∩B ⊆ A olduğundan A∩B = A eşitliğineulaşılır.

(⇐=) : A ∩ B = A olsun. Bu durumda her zaman A ∩ B ⊆ B olduğundan A ⊆ Byazılabilir. �

28. ∨ (VEYA) BAĞLACIp ve q önermeler olmak üzere p ∨ q (p veya q) birleşik önermesi aşağıdaki doğruluk

değerleriyle tanımlanır:

1 ∨ 1 ≡ 11 ∨ 0 ≡ 10 ∨ 1 ≡ 10 ∨ 0 ≡ 0

Bu tanıma göre p∨ q önermesinin doğru olması demek, p ve q önermelerinden en az birinindoğru olması demektir. [87]

Teorem 28.1 p, q ve r birer önerme olmak üzere aşağıdaki denklikler vardır: [88]

a) p ∨ p ≡ p [89]b) p ∨ q ≡ q ∨ p [90]c) (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) [91]

Teorem 28.2 p, q ve r önermeler olmak üzere,a) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) [92]b) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) [93]

denklikleri vardır.

[87] p ve q açık önermelerse p ∨ q açık önermesi (p ∨ q)(x) : p(x) ∨ q(x) şeklinde tanımlanır.[88] Teorem 26.1’in ispatına benzer olduğundan ispat ödev olarak bırakılmıştır.[89] ∨ bağlacı için idempotentlik[90] ∨ bağlacı için değişme özelliği[91] ∨ bağlacı için birleşme özelliği[92] ∧ bağlacının ∨ bağlacı üzerinde soldan dağılma özelliği[93] ∨ bağlacının ∧ bağlacı üzerinde soldan dağılma özelliği


İspat: a) Aşağıdaki doğruluk tablosundan görülür.

p q r p∧ (q ∨ r) (p ∧ q)∨ (p ∧ r)1 1 1 1 ∧ 1 ≡ 1 1 ∨ 1 ≡ 11 1 0 1 ∧ 1 ≡ 1 1 ∨ 0 ≡ 11 0 1 1 ∧ 1 ≡ 1 0 ∨ 1 ≡ 11 0 0 1 ∧ 0 ≡ 0 0 ∨ 0 ≡ 00 1 1 0 ∧ 1 ≡ 0 0 ∨ 0 ≡ 00 1 0 0 ∧ 1 ≡ 0 0 ∨ 0 ≡ 00 0 1 0 ∧ 1 ≡ 0 0 ∨ 0 ≡ 00 0 0 0 ∧ 0 ≡ 0 0 ∨ 0 ≡ 0

b) (a)’dakine benzer şekilde ispatlanır. �

Teorem 26.1 (b) ve Teorem 28.1 (b) gereği ∧ ve ∨ bağlacının değişme özelliği vardır. Budeğişme özellikleri Teorem 28.2’deki denkliklere uyarlanırsa aşağıdaki sonuçlar elde edilir.

Sonuç 28.3 p, q ve r önermeler olmak üzere aşağıdaki denklikler vardır:a) (p ∨ q) ∧ r ≡ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r) [94]b) (p ∧ q) ∨ r ≡ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r) [95]

Teorem 28.4 p ve q önermeler ise p⇒ p ∨ q’dur. [96]

Teorem 28.5 p, q, r ve s önermeler olmak üzere, eğer p⇒ q ve r ⇒ s ise p∨r ⇒ q∨s’dir.[97]

29. BİRLEŞİMTanım 29.1 A ve B kümeler olmak üzere

A ∪B := {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}

kümesine A ve B kümelerinin birleşimi denir.

Teorem 29.2 A, B ve C kümeler olmak üzere aşağıdaki özellikler sağlanır:a) A ∪ A = A [98]b) A ∪B = B ∪ A [99]c) (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) [100]

[94] ∧ bağlacının ∨ bağlacı üzerinde sağdan dağılma özelliği[95] ∨ bağlacının ∧ bağlacı üzerinde sağdan dağılma özelliği[96] İspatı ödev olarak bırakılmıştır.[97] Teoremin ispatı büyük bir doğruluk tablosuyla yapılabilir ama ileride Örnek 33.4 içerisinde daha kısa

bir ispatı verileceğinden şimdilik ispat atlanmıştır.[98] ∪ işleminin idempotentlik özelliği[99] ∪ işleminin değişme özelliği

[100] ∪ işleminin birleşme özelliği


İspat: [101] c) Her x için

x ∈ (A ∪B) ∪ C ⇐⇒ (x ∈ A ∪B) ∨ x ∈ C⇐⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∨ x ∈ C⇐⇒ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∨ x ∈ C)⇐⇒ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∪ C)⇐⇒ x ∈ A ∪ (B ∪ C)

olduğundan (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)’dir.

Teorem 29.3 A, B ve C kümeler olmak üzere,a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) [102]b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) [103]

eşitlikleri vardır.

İspat: a) Her x için

x ∈ A ∩ (B ∪ C) ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B ∪ C⇐⇒ x ∈ A ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C)⇐⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C)⇐⇒ (x ∈ A ∩B) ∨ (x ∈ A ∩ C)⇐⇒ x ∈ (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

olduğundan A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)’dir.b) (a)’dakine benzer şekilde gösterilebilir. �

Birleşim ve kesişimin değişme özellikleri, soldan dağılma özelliklerine uygulanarak aşağıdakisağdan dağılma özellikleri elde edilir.

Sonuç 29.4 A, B ve C kümeler olmak üzere aşağıdaki eşitlikler vardır:a) (A ∪B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) [104]b) (A ∩B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) [105]

Teorem 29.5 A ve B kümeler olmak üzere A ⊆ A ∪B’dir.

İspat: Her x için

x ∈ A =⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B=⇒ x ∈ A ∪B

olduğundan A ⊆ A ∪B’dir. �[101] Kesişim için yapılanlara benzer olduğundan, yalnızca örnek olarak (c) ispatlamış, (a) ve (b) ödev olarakbırakılmıştır.[102] ∩ işleminin ∪ üzerine soldan dağılma özelliği[103] ∪ işleminin ∩ üzerine soldan dağılma özelliği[104] ∩ işleminin ∪ üzerine sağdan dağılma özelliği[105] ∪ işleminin ∩ üzerine sağdan dağılma özelliği


Birleşim için değişme özelliğini kullanarak aşağıdaki sonucu yazabiliriz.

Sonuç 29.6 A ve B kümeler olmak üzere B ⊆ A ∪B’dir.

Teorem 29.7 A, B, C ve D kümeler olmak üzere, A ⊆ B ve C ⊆ D ise A∪C ⊆ B∪D’dir.

İspat: A ⊆ B ve C ⊆ D olduğundan her x için

x ∈ A =⇒ x ∈ B ve x ∈ C =⇒ x ∈ D

olur. Buradan,

x ∈ A ∪ C =⇒ x ∈ A ∨ x ∈ C=⇒ x ∈ B ∨ x ∈ D=⇒ x ∈ B ∪D

olduğundan A ∪ C ⊆ B ∪D’dir. �

Yukarıdaki teoremde A, B, C ve D kümeleri yerine sırasıyla A, C, B ve C yazılırsaC ∪ C = C olmasından aşağıdaki sonuç elde edilir.

Sonuç 29.8 A, B ve C kümeler olmak üzere eğer A ⊆ C ve B ⊆ C ise A ∪B ⊆ C’dir.

Teorem 29.9 A ve B kümeler olmak üzere A ⊆ B ⇐⇒ A ∪B = B’dir.

İspat: (=⇒) : A ⊆ B olsun. Bu durumda, A ⊆ B ve B ⊆ B olmasından A ∪B ⊆ B ∪B,yani A ∪B ⊆ B elde edilir. [106] Ayrıca B ⊆ A ∪B olduğundan [107] A ∪B = B’dir.

(⇐=) : A ∪B = B olsun. Bu durumda, A ⊆ A ∪B olduğu da bilindiğinden [108] A ⊆ Byazılabilir. �

30. İNDİS GÖSTERİMİMatematiksel ifadelerde kullanılabilen semboller sınırlı sayıdadır. Bazı durumlarda alfa-

bedeki harfler bir matematiksel ifadeyi belirtmekte yetersiz kalabilir veya rastgele harflerkullanmak bir ifadenin kötü veya düzensiz gözükmesine neden olabilir. Buna bir çözüm ola-rak indisli ya da diğer adıyla damgalı harfler kullanılmaktadır. İndis gösteriminde, a, b, c, . . .gibi değişik harfler kullanmak yerine a0, a1, a2, . . . şeklinde aynı harfin sağ alt tarafına farklışeyler (genellikle sayılar) yazılarak sınırsız sayıda değişken kullanmak mümkün olur.

Örneğin, hakkında hiçbir bilgi bulunmayan bir polinom yazılırken genelde bu polinom

anxn + an−1x

n−1 + · · · a2x2 + a1x+ a0şeklinde gösterilir ve burada a0, a1, a2, . . . , an−1 ve an’in özel bir

abs - 1.kumelersoyut matematik (utku g urdal) 4 son guncelleme: 11.06.2019 09:15 0 !0 1!sembolu ters...

Documents