FASE

INTERACTIVA TECNICA

DRECCION GENERAL DE EDUCACION TECNOLOGICA INDUSTRIAL y DE SERVICIOS No. 100

DIRECCION

Subdireccin de Extensin Educativa

CENTRO DE EDTUDIOS TECNOLOGICOS Industrial y de Servicios No 100 FORMATO PARA SECUENCIAS DIDACTICASNOMBRE DEL MAESTRO: Ing. Vctor Manuel Mata Compean MATERIA: Clculo Diferencial. SEMESTRE: Cuarto Semestre. CONCEPTO FUNDAMENTAL: CONCEPTO SUBSIDIARIO PRIMARIO: CONCEPTO SUBSIDIARIO SECUNDARIO: ESPECIALIDAD: GRUPOS: Construccin e H ; I ; J y K Informtica

Lmites y Continuidad Conceptos de Lmites y de Continuidad Elementos, ideas y puntos de vista sobre el concepto de lmite y continuidad de una funcin de variable real. No. de sesiones Estimadas: 3 hrs.

CONTENIDO TEMATICO:

Manejar y aplicar los diferente conceptos e ideas sobre los distintos tipos de lmites de una funcin F(x), aplicando las diversas reglas que para ello se especifican. Ciencia y Tecnologa

TEMA INTEGRADOR: VALORES Y ACTITUDES:

Responsabilidad, Honestidad, Limpieza, Organizacin, Solidaridad, Trabajo. CONTENIDOS PROCEDIMENTALES: Investigar, Clasificar, Debatir, Ordenar, Representar, Estimar, Predecir, Trazar, Graficar, comprobar.

ACTIVIDADES

DE

APRENDIZAJE

ACTIVIDAD 1 F A S E D E A P E R T U R A El docente expondr al grupo sobre la idea intuitiva de lmite de una funcin, por lo que ayudado de diferentes bosquejos, y en el pizarrn, las ilustrar induciendo al alumno sobre los conocimientos que debe adquirir sobre ste tema para posteriores aplicaciones.

ACTIVIDAD 2 Con el concepto de lmite presentado anteriormente, el docente conducir y har saber al alumno la importancia de definir y generar nuevos conceptos e ideas previos al de la derivada, que tengan que ver con una propiedad geomtrica de la grfica de la funcin, ( llamado continuidad ). Con stos nuevos conceptos e ideas se lograr tener una gran divisin de las funciones en : ( Funciones Continuas y Funciones Discontinuas ), por lo que a grandes rasgos, se expondr y se presentar un panorama amplio de lo que se quiere que el alumno conozca sobre ste tema.

ACTIVIDADES

DE

APRENDIZAJE

F A S E

Tambin el docente mencionar que el concepto intuitivo de continuidad de una funcin en un determinado punto, est muy relacionado con el aspecto grfico de la funcin en los alrededores de dicho punto Se mencionar de manera provisional, una definicin de continuidad, se analizarn todos sus aspectos , para posteriormente precisarlos en trminos matemticos, con una definicin ms exacta.

D E

A P E R T U R A

ACTIVIDADES

DE

APRENDIZAJE

ACTIVIDAD 1 L I M I T E S El docente ilustrar de una forma sencilla y fcil, y en el pizarrn, la idea intuitiva de lmite de una funcin, posteriormente se definir y se marcarn los parmetros y las condiciones necesarias para poder calcular y analizar dichos lmites. NOCION INTUITIVA DE LIMITE : El concepto de lmite de una funcin es el concepto sobre el cul descansan los dos pilares ms importantes del clculo : ( LA DERIVADA Y LA INTEGRAL DE UNA FUNCIN f(x) ). En el estudio del clculo, el conocimiento elemental de LIMITE es fundamental, por lo que a menudo nos hacemos la siguiente pregunta. que se entiende por lmite . En la mayora de los casos hablamos de lmite , cmo si estuviramos cantando una cancin en un idioma desconocido, esto es ( sin analizar la extensin de la palabra ). Comnmente hablamos del lmite de velocidad, del lmite entre dos naciones, del lmite de peso de los atletas, del lmite de paciencia, del lmite de tensin, del lmite de crdito, etc., etc.. Todo lo anterior nos hace comprender que un lmite es una especie de cota meta que en algunos casos puede que no se alcance, en otros que se alcance y en otros que se supere. D E S A R R O L L O S L ( que se leer s tiende a L ) cundo W 25 ( que se leer w tiende a 25 ) siendo W < 25 , establecindose que L es el Lmite de la longitud s . Supongamos que el resorte soporta 25 kg., antes de romperse, nuestro experimento consiste en ir aumentando el peso suspendido del resorte y registrar sus cambios de longitud sucesivamente. Cundo el peso se aproxima a 25 kg., es necesario que los incrementos tomados sean cada vez ms y ms pequeos para no llegar al peso mximo ( 25 kg. ). Tomando en cuenta las medidas hechas del resorte, podramos determinar el valor de L al que se aproxima s conforme el peso w se acerca a 25 kg., simblicamente esto se expresa as. EJEMPLO 1 : ( Aspecto fsica de Lmite ) Se quiere estudiar cul es la relacin entre la fuerza aplicada ( peso ) a un resorte de extensin y su cambio de longitud, es decir, observar cunto se deflexina el resorte sin llegar a romperse al aplicarle el peso.

F A S E

D E

ACTIVIDADES

DE

APRENDIZAJE

F A S E

D E

EJEMPLO 2 : ( Aspecto geomtrico de Lmite ) En geometra plana la recta ( L ) tangente a un punto ( p ), sobre un circulo, se define simplemente cmo la recta con un punto comn con el circulo. Fig. ( i ). Pero para definir la recta tangente ( L ) en un punto ( P ) sobre la grfica de una ecuacin, es suficiente con dar la pendiente de la recta ( L ) en dicho punto, ya que sta ( pendiente ) determina completamente a la recta. De acuerdo a la siguiente figura ( ii )

D E S A R R O L L O

Para obtener la pendiente ( m ), se escoge cualquier otro punto ( Q ) en la grfica, Fig. ( i ), considerndose la recta secante que pasa por los puntos ( P ) y ( Q ). Estudindose la variacin de sta secante cundo ( Q ) se acerca cada vez ms a ( P ), notndose que si ( Q ) est cerca de ( P ), la pendiente de la secante ( m PQ ) se acerca a la pendiente de la recta ( L ); Por sta razn si ( m PQ ), tiene un valor lmite de ( m ) cundo ( Q ) se aproxima a ( P ); Entonces se define la pendiente de la recta ( L ) cmo la pendiente de la recta secante ( PQ ) en el punto ( P ), esto es ( m ), de aqu que:

ACTIVIDADES

DE

APRENDIZAJE

F A S E Si entonces de aqu que D E DEFINICIN : Sea ( f ) una funcin que est definida en todos los nmeros de algn intervalo abierto ( I ), que contenga al nmero ( a ), excepto, posiblemente, en el mismo nmero ( a ). Y sea ( L ) un nmero real, entonces se dice que el lmite de la funcin ( f (x) ) cundo ( x ) tiende al valor de ( a ), es igual a ( L ). Esto es : ( Q ) tiende a ( P ) ( x ) tiende a ( a ) ( m PQ ) tiende a ( m )

por consiguiente

lim( m PQ ) x a

= m(l )

D E S A R R O L L O (*)

lim( f ( x)) =L x aEl cul se lee: El lmite de la funcin f (x) cundo ( x ) tiende al valor de ( a ), es igual a ( L ) Si para cualquier nmero ( > 0 ) independientemente de lo pequeo que ste sea, existe siempre un nmero ( > 0 ) tal que : 0 < x a < siempre que f (x) L < (*)

esta parte de la ecuacin se puede enunciar con intervalos abiertos como sigue.

Si ( x ) se encuentra en el intervalo abierto ( a - , a + ) para x a Entonces f (x) se encuentra en el intervalo abierto ( L - , L + ).

PARA DEMOSTRAR QUE Lim f(x) = L x a Primer paso : para todo

se sigue: , L + ), esto es :

> 0 considere el intervalo abierto (L -

ACTIVIDADES

DE

APRENDIZAJE

en donde: F A S E

D E Segundo paso : para todo dominio de ( f ) tal que : > 0, se probar que existe un intervalo abierto ( a - , a + ) en el

D E S A R R O L L O

Si ( x ) se encuentra en el intervalo abierto ( a - , a + ) para x a Entonces se cumple que f (x) se encuentra en el intervalo abierto ( L - , L + ) , esto es :

En donde :

Por lo que, grficamente el concepto de lmite Lim f(x) = L x a se muestra en sta figura.

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DE

APRENDIZAJE

EJEMPLO 1 : Se sabe que Lim ( 2x 4) = 2. dado un x3 tal que se satisfaga la definicin de lmite. SOLUCION : F A S E La expresin un Lim ( 2x 4) = 2. significa que dado un x3 > 0 tal que : 0 < x 3 < siempre que

> 0, obtenga un

>0

> 0, existe

( 2x 4 ) 2 0 tal que : entonces (x) 5 < 0.01 f entonces 4 3 < 0.01 x entonces x 3 0 indicado, determine una correspondencia > 0 tal que se cumpla la

f (x) L < .

lim ( x 1) = 3 ; = 0.2 x 4 lim ( x + 2) = 5 ; = 0.02 x 3 lim (2 x + 4) = 10 ; = 0.01 x 3 lim (3 x 1) = 5 ; = 0.1 x 2 lim ( x + 4) = 2 ; = 0.2 x 2 lim (3 x + 1) = 4 ; = 0.02 x 1 lim ( 2 x + 3) = 1 ; = 0.03 x 1

8) 9) 10) 11) 12)

lim ( 4 5 x) = 4 ; = 0.1 x 0 lim (5 x 3) = 2 ; = 0.05 x 1 lim ( 4 x 5) = 3 ; = 0.001 x 2 lim (3 4 x ) = 7 ; = 0.02 x 1 lim (2 + 5 x ) = 8 ; = 0.002 x 2

ACTIVIDADES

DE

APRENDIZAJE

ACTIVIDAD 2 TEOREMAS SOBRE LIMITES

F A S E

Sera una labor agotadora resolver cada problema sobre lmites empleando la definicin general. Nuestro siguiente propsito ser el de presentar algunas reglas que puedan usarse para la simplificacin del proceso de resolucin de lmites. Estas reglas se enuncian por medio de t e o r e m a s . Para la demostracin de stos teoremas, es necesario aplicar la definicin general de lmite. Sin embargo, una vez establecidos ( los teoremas ), ser posible determinar muchos lmites sin tener que haces referencia a los nmeros ( ) ( ).

TEOREMA I : Si f (x) = c ( una funcin constante ), y ( a ) es un nmero real cualquiera, entonces lmite de f (x) cuando ( x ) tiende a ( a ) es ( c ). Es decir.

lim lim f ( x) = (c ) = c x a x aD E TEOREMA II : Si f (x) = x ( la funcin identidad ), y ( a ) es un nmero real cualquiera, entonces lmite de f (x) cuando ( x ) tiende a ( a ) es ( a ). Es decir.

lim lim f ( x) = ( x) = a x a x aD E S A R R O L L O TEOREMA IV : Si f (x) y TEOREMA III : Si f (x) = ( m(x) + b ), y ( a , b y m ) son nmeros reales cualesquiera, entonces lmite de f (x) cuando ( x ) tiende a ( a ) es ( ma + b ). Es decir.

lim lim f ( x) = ( mx + b) = ma + b x a x ag (x) son dos funciones para las cules los lmites

lim g ( x ) = M , entonces el lmite de las funciones con respecto a las cuatro operaciones bsicas ser: x a lim( f g )( x) lim f ( x) lim g ( x) = = LM x a x a x a lim( f * g )( x) lim f ( x) lim g ( x) = * = L*M x a x a x a lim( f g )( x ) lim f ( x) lim g ( x) = = L M M 0 x a x a x aTEOREMA V : Sea f (x) una funcin polinomial, y (a ) es un punto del dominio de la funcin, entonces:

lim f ( x ) =L x a

y

lim f ( x ) = f (a ) x a

ACTIVIDADES

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APRENDIZAJE

TEOREMA VI :

a) Si f (x) es una funcin tal que

si ( L 0 ) y ( n ) es un nmero entero impar positivo( + ), entonces :

lim f ( x ) = L , y si ( L > 0 ) y ( n ) es un nmero entero positivo( + ) x a

F A S E

lim n f ( x) = n L x a

b) Si f (x) es una funcin tal queenteros positivos( + ), entonces :

lim f ( x) = L , y si ( L > 0 ) y adems ( n ) y ( m ) son nmeros x a

lim x aD E

(

n

f ( x)

)

m

lim n = f ( x) = x a

m

( L)n

m

c) Si f (x) es una funcin tal que

lim f ( x ) = L , y si ( n ) es un nmero entero positivo( + ), entonces : x a

D E S A R R O L L O

lim n lim f ( x) = n f ( x) = n L x a x a

L>0

ACTIVIDADES

DE

APRENDIZAJE

TEXTO : Pita Ruz

APLICACIONESLIMITES DETERMINADOS ( FINITOS )INSTRUCCIONES : Para los siguientes ejercicios, calcule el lmite indicado. Adems escriba el significado del valor calculado en cada caso.

F A S E

1)

lim 2 3x 2 x 2 x 3 lim x x 0 1+ x23 lim 2 3x x 1 x 1

(

)

2)

lim x 2 + x + 1 x 1 2x + 5 lim ( x 2) 2 x 24 lim 2 + 2 x 2 + 3x + 1 x 0

3)

4)

5)D E

(

)

6)

(

)

7)

lim ( x 3).( x 2).( x 1) x 1 ( x + 3).( x + 2).( x + 1) lim x 3 x +6 3 x

8)

lim (1 + x).(1 + 2 x).(1 + 3 x).(1 + 4 x) x 0 (1 x).(1 2 x).(1 3 x).(1 4 x) lim 1+ 1 2 1+ x x0 lim 4 1 + 2 + 3 + ( 4 + x ) x0

C I E R R E

9)

10)

11)

lim ( x 2 1).( x 2 2).( x 2 3).( x 2 4) x 2 ( x 2 + 1).( x 2 + 2).( x 2 + 3).( x 2 + 4) lim (1 + x).( 2 + x).(3 + x).( 4 + x) 14) x 0 (1 x).(1 x 2 ).(1 x 3 ).(1 x 4 ) 3+ 4 5 4+ 3+ 2 5 2 x 1 x

12

(

(

)) 3 2

13)

lim (1 + x) + (2 + x) + (3 + x) + ( 4 + x) x 0 (1 x) + (1 x 2 ) + (1 x 3 ) + (1 x 4 )

15)

lim x 1

1+

2+

16

lim 2x +1 2 x 1 x 3 x + 4

5+

17 )

lim 3 x 3 + 2 x 2 4 x + 5 x 3 2 x 5 + 3 x 3 9 x 10 lim (3 x + 2).( x + 1) + ( x 2 + 2).( 2 x + 3) x 1 ( x 1).( x 2).( x 3)ACTIVIDADES DE

18)

lim x 2 2 x .( x + 4 ) x 1

[(

)

]

19)

20)

lim 5 x + 2 + x 2 + 5 x 2 3 x 2 1 3 3x 3 + 3

APRENDIZAJE

ACTIVIDAD 3 : CALCULO DE LIMITES DE ALGUNAS FUNCIONES DE LA FORMA INDETERMINADA

(00)

.

Al desarrollar el lmite de una funcin racional, esto es, una funcin en forma de cociente. Cuando los valores tanto del denominador como del denominador son iguales a cero, se tiene la forma F A S E indeterminada

0

0,

la cul, en algunos casos puede evitarse por medio de manipulaciones

algebraicas. Esto es : Por.

a) Factorizacin b) Racionalizacin c) Divisin SintticaI APLICACIONES POR FACTORIZACIN

D E

EJEMPLOS : Aplicando el mtodo correcto de factorizacin, resuelve los siguientes lmites de la forma indeterminada ( 0 / 0 ).

a) Factorizacin por factor comn.D E S A R R O L L O

lim 8 x 2 2 x x 0 2x

b) Factorizacin por agrupacin de trminos.lim 2 x 2 + 6 y 3 xy 4 x x 2 x2 = lim (2 x 2 3xy ) (4 x 6 y ) x 2 ( x 2)

c) Factorizacin por diferencia de cuadrados.lim x 2 4 x 2 x2

d) Factorizacin ( trinomio cuadrado de la forma ( x 2 bx c ).lim r 2 + 2r 3 r 3 r 2 + 7 r + 12

e) Factorizacin ( trinomio cuadrado de la forma (ax 2 bx c ).lim 3 x 2 13 x 10 r 5 2 x 2 7 x 15

ACTIVIDADES

DE

APRENDIZAJE

f) Factorizacin ( suma o diferencia de cubos perfectos ( a 3 b 3 ).a 3 + b 3 = (a + b)( a 2 a.b + b 2 ) a 3 b 3 = (a b)( a 2 + a.b + b 2 )

REGLA :

F A S E

lim h 3 + 8 h 2 h + 2

lim h 2 4 h 2 h3 8

D E II APLICACIONES POR RACIONALIZACIN.

D E S A R R O L L O

Racionalizar el numerador o el denominador de una fraccin cuyos trminos son irracionales, es convertir dicha fraccin, a una cuyos trminos sean racionales. Cundo se racionaliza cualquier trmino ( numerador denominador ) de una fraccin irracional, desaparece todo signo de radical de la parte de la fraccin donde se racionaliz. REGLA: Para racionalizar el numerador denominador de una fraccin irracional, se multiplican ambos trminos de la fraccin irracional por el binomio conjugado del termino irracional de la fraccin y se simplifica el resultado. Esto es: EJEMPLOS : Aplicando el mtodo racionalizacin, resuelve los siguientes lmites de la forma indeterminada ( 0 / 0 ). 1)

lim h +3 2 h 1 h 1

2)

lim 25 x 2 x 5 3 x 2 16lim x2 +3 2 x 1 10 x 3

3)

ACTIVIDADES

DE

APRENDIZAJE

III REGLA :

APLICACIONES POR DIVISIN SINTETICA.

F A S E

1. El cociente de un polinomio en ( x ), es un grado menor que el grado del dividendo. 2. El coeficiente del primer trmino del cociente, es igual al coeficiente del primer trmino del dividendo. 3. El coeficiente de un trmino cualquiera del cociente, se obtiene multiplicando el coeficiente del trmino anterior por el segundo trmino del binomio divisor cambiado de signo, y sumando ste producto con el coeficiente del trmino que ocupa el mismo lugar en el dividendo. 4. El residuo se obtiene, multiplicando el coeficiente del ltimo trmino del cociente por el segundo trmino del divisor cambiado de signo y sumando ste producto con el trmino independiente del dividendo. NOTA : Nuestro objetivo al aplicar el mtodo de la divisin sinttica, a los polinomios que intervienen en la resolucin de lmites. Es el de factorizar por ste mtodo dichos polinomios, esto es, el de encontrar las races para las cules la divisin sea exacta, esto es, que el residuo sea igual a cero.

D EJEMPLOS : E

lim 2 x 3 3 x 2 + 2 x 1 x 1 x 4 + 3x 2 + x 5D E S A R R O L L O X4 + 3 x2 + x 5 1 0 1 1 X4 + 3 x2 + x 5 = 1 3 1 4 1 4 5 -5 5 0 1 dividendo divisor cociente 2.x3 3.x2 + 2.x 1 = ( x 1 ) ( 2 x2 x + 1 ) 2

lim 2 x 3 3 x 2 + 2 x 1 2(1) 3 3(1) 2 + 2(1) 1 2 3 + 2 1 0 = = = = INDETERMIN ADO x 1 x 4 + 3x 2 + x 5 1 + 3 +1 5 0 (1) 4 + 3(1) 2 + (1) 5Aplicando divisin sinttica para factorizar ambos polinomios. Tenemos : 2.x3 3.x2 + 2.x 1 2 -3 2 -1 2 -1 1 -1 1 0 1 dividendo divisor cociente

( x 1 ) ( x3 + x2 + 4x + 5 )

ACTIVIDADES

DE

APRENDIZAJE

lim 2 x 3 3 x 2 + 2 x 1 lim ( x 1).( 2 x 2 x + 1) = = x 1 x 4 + 3 x 2 + x 5 x 1 ( x 1).( x 3 + x 2 + 4 x + 5) lim 2 x 2 x +1 2(1) 2 (1) + 1 2 1 + 1 2 = 3 = = x 1 x 3 + x 2 + 4 x + 5 (1) + (1) 2 + 4(1) + 5 1 + 1 + 4 + 5 11F A S E

D E

D E S A R R O L L O

ACTIVIDADES

DE

APRENDIZAJE

E J E R C I C I O S

( Lmites indeterminados )

Evaluar los siguientes lmites si stos existen, si no existen, esto es, si son de la forma indeterminada (

0

0

), elimine la indeterminacin ( por los diferentes mtodos de factorizacin existentes ), y obtenga su

resultado. F A S E 2)1)-

Lim ( 2 x 2 + 5 x 3) 2 x 1 ( 6 x 7 x + 2) 2

12)-

Lim x 2 81 x 9 3 x

( x + 3) Lim x 3 1 + 1 x 31

13)-

( ) ( )

Lim x 8 x 8 3 x 22 Lim ( 2 + h ) 2 2 h 0 h

14)-

D E

3)-

Lim ( 9 + h ) 9 1 h0 h

15)-

4)-

Lim x 2 x 2 x3 8Lim x 2 x 2 x 2 ( x 2) 2Lim x 16 x 16 x 4

Lim x 2 x 2 x2 4

5)C I E R R E 8)7)6)-

Lim 16)x 3

4x 2 9 2x + 3 2

17)-

Lim x 3 + 8 x 2 x 4 16Lim x 2 1 x 1 x 1 x 1 Lim 4 16 + h h 0 h

Lim 3x 1 2 x 1 9x 1 3Lim x 2 + 5 x + 6 x 3 x 2 x 12 Lim 2 3t 2t 2 t 2 16 + 6t t 2

18)-

19)-

9)-

10)-

Lim 1 1 1 h 0 h 1 + h

Lim 3s 2 8s 16 20)s 4 2s 2 9s + 4 21)-

11)-

Lim ( x 1) x 1 x5 1

5

Lim 3 x 2 17 x + 20 x 4 4 x 2 25 x + 36 Lim y 3 + 8 y 2 y + 2

22)-

ACTIVIDADES

DE

APRENDIZAJE

23)-

Lim y 3

y2 9 2y2 + 7y + 3

01)-

Lim x 2 9 x 3 x 3 Lim x 2 x 2 x 2 x2

Lim 24)t 3F A S E

2

8t 3 27 4t 2 9

02)-

25)-

Lim 3 x x 9 9 x

Lim x 2 9 x + 8 03)x 1 x 2 1

26)-

Lim 2 4 t t 0 t x+2 2 x

04)-

Lim x2 4 x 2 x 2 + 3 x 10 Lim x 2 1 x 1 x 2 + 3 x + 2 Lim x 2 + 3 x + 2 x 2 x 2 2 x 8 Lim x 2 + 10 x 11 x 1 x 2 + 3x 4 Lim x 3 1 x 1 x 4 1 Lim x 4 1 x 1 x 3 + 1 Lim x 3 + x 2 x 1 x 1 x2 1 Lim x 3 2 x 4 x 2 x3 8 Lim x 3 + 4 x 2 3 x 2 x 1 x 2 + 13 x 14 Lim x 3 5 x 2 3x + 3 x 1 3 x 3 6 x 2 9 x

Lim 27)x 0D E

05)-

Lim 3 x 1 28)x 1 x 1 Lim 29)h 03

06)-

h +1 1 h

07)-

C I E R R E

Lin x 3 x 2 2 x + 8 30)x 2 x 2 + 3 x + 2 Lim 2x 2 x 3 31)x 1 x 3 + 2 x 2 + 6 x + 5Lim 2 y 2 11 y 2 + 10 y + 8 32)y 4 3 y 3 17 y 2 + 16 y + 16

08)-

09)-

10)-

Lim 2 x 2 5 x 2 2 x 3 33)x 3 4 x 3 13 x 2 + 4 x 3

11)-

12)-

14)-

ACTIVIDADES

DE

APRENDIZAJE

15)-

Lim x 3 2 x 21 x 3 x 4 27 x Lim x 4 + 3x 3 + 7 x 2 5 x 6 x 1 x 4 + 2x 34 2

31)-

Lim 15 + x 17 x x 1 3+ x 2

16)F A S E

32)-

Lim 25 x x 2 + x + 25 x0 x 2 + 2xx 2 + x + 7 2 x 2 + 10 x 3 x 2 + 1 3x 2 1

Lim ( x 4 ) + ( x 4) + x 2 16 17)x4 x 3 64

Lim 33)x 1

18)-

Lim x 5 + 3x 4 4 x 3 + 8 x 2 2 x 6 x 1 x 4 + 5x 3 2 x 2 2 x 2

34)-

Lim 13 + x 10 + 2 x x 3 19 + 2 x 5

D E

19)Lim x6 x5 + x4 x3 + x2 x x 1 3x 7 + 4 x 6 7 x 5 + 5 x 4 2 x 3 2 x 1 26)Lim x 0 x +9 3 x

35)-

Lim 3 x 1 x 1 x 1 Lim 3 x + 27 3 x0 xLim 3 x 1 x 1 4 1

36)-

Lim 27)x0C I E R R E

x 2 + 16 4 x2

37)-

Lim x 2 + 3x 4 x 1 x + 3 2 Lim x+2 6x 29x 2 x 2

28)-

30)-

Lim 10 x 8 + x x 1 x3 1

ACTIVIDADES

DE

APRENDIZAJE

LIMITES AL INFINITO Consideremos la funcin f (x) = ( 1 / x ). Para la cul estamos interesados en el comportamiento de sus imgenes f (x) cundo ( x ) toma valores muy grandes, ya sea en sentido positivo, como en sentido negativo. Este hecho lo referimos diciendo, que si, ( x ) tiende al infinito, entonces la funcin f (x) = ( 1 / x ) tiende a ( cero ), y lo escribimos como: F A S E Con un poco ms de precisin se tiene la siguiente definicin. DEFINICION: como La funcin f (x) tiende al lmite ( L ) cundo ( x ) tiende a infinito, lo cul se escribe

lim 1 =0 x x

queramos, tomando a ( x ) suficientemente grande (suficientemente lejos de cero). Esto es: D E

lim f ( x ) = L , si podemos tener las imgenes f (x) tan cerca de ( L ) como nosotros x

D E S A R R O L L O Caso I : Para ste caso, la variable de mayor potencia ( x 3 ) aparece en el numerador de la funcin racional, se divide toda la funcin por sta variable y en seguida se resuelve aplicando los teoremas. EJEMPLIFICAREMOS : El tema con stos tres casos sencillos. Veamos ahora cmo calcular algunos lmites al infinito para algunas funciones racionales. El truco ms popular empleado en stos lmites consiste en dividir tanto el numerador, como el denominador ( que son ambos funciones Polinomiales ), entre la variable de mayor potencia que se encuentre en cualquiera de los dos trminos de la funcin racional f(x), para posteriormente aplicar cualquier teorema sobre lmites.

lim 2 x 3 + 7 x 2 11x + 12 = .= x x 2 + 4x + 8

ACTIVIDADES

DE

APRENDIZAJE

Caso II : Para ste caso, la variable de mayor potencia ( x6 ) aparece en el denominador de la funcin racional, se divide toda la funcin por sta variable y en seguida se resuelve aplicando los teoremas.

F A S E

lim x 4 + x3 x + 9 == 0 x 5 x 6 + 4 x 3 + 3x 2Caso III : Para ste caso, la variable de mayor potencia ( x 3 ) aparece tanto en el denominador como en el numerador de la funcin racional, se divide toda la funcin por sta variable y en seguida se resuelve aplicando los teoremas.

2 lim 2 x 3 + 23 x 2 + 3 x 12 =..= 3 7 x 7 x 8 x + 17D E En resumen, para los resultados del clculo de lmites al infinito de funciones racionales se aplica la siguiente regla :

D E S A R R O L L O

lim a n x n + a n 1 x n 1 + ........ + a1 x + a 0 = x bm x m + bm 1 x m 1 + ......... + b1 x + b0

si 0

n>m si n