BAB I

9. ∫𝑥+1

𝑥2 −4𝑥+8 =

1

2∫

2(𝑥+1)

𝑥2−4𝑥+8𝑑𝑥 =

1

2 ∫

2𝑥+2

𝑥2−4𝑥 +8𝑑𝑥 =

1

2∫

(2𝑥−4)+6

𝑥2 −4𝑥+8𝑑𝑥

= 1

2∫

2𝑋−4

𝑥2−4𝑋 +8𝑑𝑥 +

1

2 ∫

6

𝑥2 −4𝑥+8𝑑𝑥

= 1

2 ln (𝑥 2 − 4𝑥 + 8) +

1

2 . 6∫

𝑑𝑥

𝑥2−4𝑥+8

= 1

2 ln (𝑥 2 − 4𝑥 + 8) +3∫

𝑑𝑥

(𝑥−2)2+(√4)2

= 1

2 ln (𝑥 2 − 4𝑥 + 8) + 3.

1

2𝑎𝑟𝑐 tan

𝑥−2

2+ 𝑐

13. ∫(5−4𝑥)𝑑𝑥

√12𝑥 −4𝑥2−8 =

1

2∫

2 (5−4𝑥) 𝑑𝑥

√12𝑥 −4𝑥2−8𝑑𝑥 =

1

2∫

10 −8𝑥

√12𝑥 −4𝑥2 −8𝑑𝑥

= 1

2∫

−2𝑥+(12−8𝑥 )

√12𝑥 −4𝑥2−8𝑑𝑥

= 1

2∫

−2

√12𝑥 −4𝑥2−8𝑑𝑥 +

1

2∫

12−8𝑥

√12𝑥 −4𝑥2−8𝑑𝑥

= 1

2∫

−2𝑑𝑥

√(1)2−(2𝑥 −3)2+ √12𝑥 − 4𝑥2 − 8 + 𝑐

= 1

2. −1 ∫

2𝑑𝑥

√(1)2−(2𝑥 −3)2+ √12𝑥 − 4𝑥2 − 8 + 𝑐

= −1

2 𝑎𝑟𝑐 sin

2𝑥 −3

1+ √12𝑥 − 4𝑥 2 − 8 + 𝑐

15. ∫(𝑥−1)𝑑𝑥

3𝑥2−4𝑥 +3 =

1

6∫

6(𝑥−1)𝑑𝑥

3𝑥2−4𝑥 +3=

1

6∫

6𝑥−6

3𝑥2 −4𝑥+3𝑑𝑥 =

1

6∫

(6𝑥−4)−2

3𝑥2−4𝑥 +3𝑑𝑥

= 1

6∫

6𝑥 −4

3𝑥2−4𝑥 +3𝑑𝑥 +

1

6∫

−2

3𝑥2−4𝑥 +3𝑑𝑥 =

1

6ln(3𝑥2 − 4𝑥 +

3) +1

6. −2 ∫

𝑑𝑥

3𝑥2−4𝑥+3

= 1

6ln(3𝑥2 − 4𝑥 + 3) −

1

3∫

𝑑𝑥

(√5)2

−(3𝑥−2)2

= 1

6ln(3𝑥2 − 4𝑥 + 3) −

1

3.

1

√5 𝑎𝑟𝑐 tan

3𝑥 −2

√5+ 𝑐

BAB II

7. ∫ 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑎𝑟𝑐tan 𝑥 − ln √1 + 𝑥2 + 𝑐

∫ 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 𝑑𝑥 = uv− ∫ 𝑣𝑑𝑢

U= arc tan x dv = dx du = 1

1+𝑥2 𝑑𝑥 v = x

∫ 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥. 𝑥 − ∫ 𝑥.1

1+𝑥2 𝑑𝑥

= 𝑥 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 − 1

2∫

2𝑥

1+𝑥2 𝑑𝑥

= 𝑥 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 −1

2ln|1 + 𝑥2| + 𝑐

= 𝑥 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 − 𝑙𝑛 √1 + 𝑥2 + 𝑐

9.∫ 𝑐𝑜𝑠𝑚 𝑢𝑑𝑢 =𝑐𝑜𝑠𝑚−1𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑢

𝑚+

𝑚−1

𝑚∫ 𝑐𝑜𝑠𝑚−2𝑢𝑑𝑢

∫ 𝑐𝑜𝑠𝑚𝑢𝑑𝑢 = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑚−1+1𝑢𝑑𝑢 = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑚−1 𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑢𝑑𝑢

𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑚−1𝑢

𝑑𝑦 = 𝑚 − 1𝑐𝑜𝑠𝑚−2𝑢 − sin 𝑢 = −(𝑚 − 1).𝑐𝑜𝑠𝑚−2 sin 𝑢 𝑑𝑢

dx= cos u du

x= sin u

→ ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑚𝑢𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑚−1 𝑢 sin 𝑢 − ∫ sin 𝑢. −𝑚 − 1. 𝑐𝑜𝑠𝑚−1

= 𝑐𝑜𝑠𝑚−1 sin 𝑢 + 𝑚 − 1 ∫ 𝑠𝑖𝑛2 𝑢. 𝑐𝑜𝑠𝑚−2𝑑𝑢

= 𝑐𝑜𝑠𝑚−1 sin 𝑢 + 𝑚 − 1 ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑢).𝑐𝑜𝑠𝑚−2 𝑢 𝑑𝑢

= 𝑐𝑜𝑠𝑚−1 sin 𝑢 + 𝑚 − 1 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑚−2 − 𝑐𝑜𝑠𝑚𝑢 𝑑𝑢

= 𝑐𝑜𝑠𝑚−1 sin 𝑢 + 𝑚 − 1 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑚−2 − (𝑚 − 1) ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑚 𝑢 𝑑𝑢

= 𝑐𝑜𝑠𝑚−1 sin 𝑢 + 𝑚 − 1 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑚−2 − 𝑚 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑚𝑢 𝑑𝑢 + ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑚𝑢 𝑑𝑢

∫ 𝑐𝑜𝑠𝑚𝑢 𝑑𝑢 + 𝑚 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑚𝑢 𝑑𝑢 − ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑚 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑚−1 sin 𝑢 + 𝑚 −

1 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑚−2𝑑𝑢

m∫ 𝑐𝑜𝑠𝑚 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑚−1 sin 𝑢 + 𝑚 − 1 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑚−2𝑑𝑢

∫ 𝑐𝑜𝑠𝑚𝑢 𝑑𝑢 =𝑐𝑜𝑠𝑚−1 sin 𝑢

𝑚+

𝑚−1

𝑚∫ 𝑐𝑜𝑠𝑚−2𝑢 𝑑𝑢

REDUKSI

1. ∫𝑑𝑥

(1−𝑥2)3 = 1

12 {𝑥

(2.3−2)(12−𝑥2)3−1 +2.3−3

2.3−2∫

𝑑𝑥

(1−𝑥2)3−2

=𝑥

4(12−𝑥2)2 +3

4∫

𝑑𝑥

(1−𝑥2 )2

=𝑥

4(12−𝑥2)2 +3

4{

𝑥

(2.2−2) (1−𝑥2)+

2.2−3

2.2−2∫

𝑑𝑥

(1−𝑥2)

=𝑥

4(12−𝑥2)2 +3

4{

𝑥

2(1−𝑥2)+

1

2.

1

2ln |

1+𝑥

1−𝑥| + 𝑐

=𝑥

4(12−𝑥2)2 +3𝑥

8(1−𝑥2)+

3

16ln |

1+𝑥

1−𝑥| + 𝑐

=2𝑥

8(1−𝑥2)2 +3𝑥(1−𝑥2)

8(1−𝑥2)2 +3

16ln |

1+𝑥

1−𝑥| = 𝑐

=5𝑥 −3𝑥3

8(1−𝑥2)2 +3

16ln |

1+𝑥

1−𝑥| + 𝑐

=𝑥(5−3𝑥2)

8(1−𝑥2)2 +3

16ln |

1+𝑥

1−𝑥| + 𝑐

3. ∫ 𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑑𝑥 = 1

5(3𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 4𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 8)𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐

Rumus reduksi 7 → 𝑐𝑜𝑠𝑚𝑥 𝑑𝑥 =𝑐𝑜𝑠𝑚−1𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑚+

𝑚−1

𝑚∫ 𝑐𝑜𝑠𝑚−2 𝑥 𝑑𝑥

∫ 𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠5 −1𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥

5+

5−1

5∫ 𝑐𝑜𝑠5−2 𝑥 𝑑𝑥

∫ 𝑦𝑑𝑥 = 𝑦𝑥 − ∫ 𝑥𝑑𝑦

=𝑐𝑜𝑠5−1𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥

5+

4

5∫ 𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑑𝑥

=𝑐𝑜𝑠4 𝑠𝑖𝑛𝑥

5+

4

5{

𝑐𝑜𝑠2 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥

3+

2

3∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥}

=𝑐𝑜𝑠4 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥

5+

4𝑐𝑜𝑠2 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥

15

8

15𝑠𝑖𝑛𝑥

=1

15{3𝑐𝑜𝑠4𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 + 4𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 + 8𝑠𝑖𝑛𝑥} + 𝑐

=1

15{3𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 4𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 8}𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐

5. ∫ 𝑒2𝑥 (2 sin 4𝑥 − 5 𝑐𝑜𝑠 4𝑥)𝑑𝑥 =1

25𝑒2𝑥(−14 sin 4𝑥 − 23 cos 4𝑥) + 𝑐

𝑒2𝑥 (𝐴 cos 4𝑥 + 𝐵 sin 4𝑥) → 𝑚𝑎𝑘𝑎:

𝑒3𝑥 (2 sin 4𝑥 − 5 cos 4𝑥) = 𝑒3𝑥 (3𝐴 + 4𝐵)𝐶𝑂𝑆 4𝑋 + 𝑒3𝑥 (3𝐵 −

4𝐴) sin 4𝑥

Maka:

3A+4B=-5 x3 9A+12B=-15 -4A+3B=2 x4 -16A=12B=8 _

25A= -23 A= -23/25

3𝐵 = 2 + 4𝐴 = 2 −92

25=

−42

25↔ 𝐵 =

−14

25

↔ 𝐸2𝑋(2 sin 4𝑥 − 5 cos 4𝑥)𝑑𝑥

= 𝑒2𝑥 (−23

25𝑐𝑜𝑠4𝑥 −

14

25sin 4𝑥) + 𝑐

= −1

25𝑒2𝑥 (23 cos 4𝑥 + 14 sin 4𝑥) + 𝑐

=1

25𝑒2𝑥 (−14 sin 4𝑥 − 23 𝑐𝑜𝑠 4𝑥) + 𝑐

BAB III

10. ∫ (sec 𝑥

tan 𝑥)

4

𝑑𝑥 =1

3 𝑡𝑎𝑛3 𝑥−

1

tan 𝑥+ 𝑐

= ∫ (1

𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥

)

4

𝑑𝑥 = ∫ (1

𝑐𝑜𝑠𝑥.

𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑥)

4

𝑑𝑥 = ∫ (1

𝑠𝑖𝑛𝑥)

4

𝑑𝑥

= ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐4𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 (1 + 𝑐𝑜𝑡2 𝑥)𝑑𝑥

= ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑐𝑜𝑡2 𝑥 𝑑𝑥

= −𝑐𝑜𝑡𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑡2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥

= −𝑐𝑜𝑡𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑡2𝑥 𝑑(−𝑐𝑜𝑡𝑥)

= −𝑐𝑜𝑡𝑥 + −1

3𝑐𝑜𝑡3𝑥 + 𝑐

= −1

3𝑡𝑎𝑛3 𝑥−

1

𝑡𝑎𝑛𝑥+ 𝑐

13.

15. ∫𝑐𝑜𝑡3 𝑥 𝑑𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 = ∫

𝑐𝑜𝑡2 𝑥.𝑐𝑜𝑡𝑥 𝑑𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 = ∫

(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝑥−1).cot 𝑥 𝑑𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥

= ∫𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝑥.cot 𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥𝑑𝑥 − ∫

cot𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥𝑑𝑥

= ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥. cot𝑥 𝑑𝑥 − ∫ cos 𝑑𝑥

= -cosec x – sin x+c = -sin x- cosec x +c

BAB IV

9. ∫√25 −𝑥2

𝑋= 5 ln |

5−√25 −𝑥2

𝑥| + √25 − 𝑥2 + 𝑐

a=5 b=1 u= x 𝑢 =𝑎

𝑏sin 𝑧 𝑥 =

5 𝑠𝑖𝑛𝑧

dx= 5 cos z sin 𝑧 =𝑥

5

√25 − 𝑥2 = 𝑎 cos 𝑧 = 5 cos 𝑧

∫√25 −𝑥2

𝑋𝑑𝑥 = ∫

(5 cos 𝑧)(5 cos 𝑧)

5 sin 𝑧 = ∫

25 𝑐𝑜𝑠 2𝑧

5 sin 𝑧𝑑𝑧

= 5 ∫𝑐𝑜𝑠2 𝑧

sin 𝑧𝑑𝑧 = 5 ∫

(1−𝑠𝑖𝑛2 𝑧)

sin 𝑧𝑑𝑧

= 5(∫1

𝑠𝑖𝑛𝑧𝑑𝑧 − ∫ sin 𝑧 𝑑𝑧

= 5 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑧 𝑑𝑧 − 5 ∫ sin 𝑧 𝑑𝑧

= 5|𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑧 − cot𝑧| + 5 cos 𝑧 + 𝑐

= 5|5

𝑥−

√25−𝑥2

𝑥| + 5.

√25−𝑥2

𝑥+ 𝑐

= 5 |5−√25−𝑥2

𝑥| + √25 − 𝑥2 + 𝑐

13.

BAB V

12. ∫𝑥2+3𝑥−4

𝑥2−2𝑥−8𝑑𝑥 = 𝑥 + ln|(𝑥 + 2)(𝑥 − 4)4| + 𝑐

→ 𝑥 2 − 2𝑥 − 81

√𝑥2+3𝑥 −4𝑥2−2𝑥 −8

5𝑥 +4−

→ ∫ 1 +5𝑥 +4

𝑥2−2𝑥−8𝑑𝑥

→𝑥 2 − 2𝑥 − 8 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 4)

5𝑥 +4

𝑥2 −2𝑥−8=

𝐴

𝑥+2+

𝐵

𝑥−4 dikali (x+2)(x-4)

5x+4 = A(x-4)+B(x+2) = (A+B)x-4A+2B

A=1,B=4

→∫ 1 +5𝑥 +4

𝑥2 −2𝑥−8𝑑𝑥 = ∫ 1𝑑𝑥 + ∫

𝐴 𝑑𝑥

(𝑥+2)+ ∫

𝐵 𝑑𝑥

(𝑥−4)

= 𝑥 + ∫𝑑𝑥

(𝑥+2)+ 4 ∫

𝑑𝑥

𝑥−4

= 𝑥 + ln(𝑥 + 2) + 4 ln(𝑥 − 4) + 𝑐

= 𝑥 + ln|(𝑥 + 2)(𝑥 − 4)4| + 𝑐