contoh soal dan pembahasan kalkulus

iii

DDDDAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ......................................................................... i

DAFTAR ISI ....................................................................................... iii SOAL - SOAL ....................................................................................... 2

UTS Genap 2009/2010 ................................................................................ 3

UTS Ganjil 2009/2010................................................................................ 4

UTS Genap 2008/2009 ................................................................................ 5

UTS Pendek 2008/2009 ................................................................................ 6

UTS 2007/2008 ............................................................................................ 8

UTS 2006/2007 ............................................................................................ 9

UTS 2005/2006 .......................................................................................... 10

UTS 2004/2005 .......................................................................................... 11

UTS 2003/2004 .......................................................................................... 12

UTS 2002/2003 .......................................................................................... 13

UTS 2001/2002 .......................................................................................... 14

UTS 2000/2001 .......................................................................................... 15

UTS 1999/2000 .......................................................................................... 17

PEMBAHASAN .................................................................................. 19 UTS Genap 2009/2010 .............................................................................. 20

UTS Ganjil 2009/2010.............................................................................. 24

UTS Genap 2008/2009 .............................................................................. 27

UTS Pendek 2008/2009 .............................................................................. 32

UTS 2007/2008 .......................................................................................... 39

UTS 2006/2007 .......................................................................................... 43

UTS 2005/2006 .......................................................................................... 49

UTS 2004/2005 .......................................................................................... 56

UTS 2003/2004 .......................................................................................... 60

UTS 2002/2003 .......................................................................................... 65

UTS 2001/2002 .......................................................................................... 69

UTS 2000/2001 .......................................................................................... 71

UTS 1999/2000 .......................................................................................... 76

1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I

2

SOAL - SOAL


3

INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM

UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2009-2010

Mata Kuliah : Kalkulus 1 MA 1114

Jum’at, 9 April 2010

UTS Genap 2009/2010

1. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan

a. 14

2 2

+≤

−

x

xx

b. 25 ≥− xx

2. Diketahui ( ) xxf 2sin= dan ( ) 2−= xxg

a. Tentukan ggff RDRD dan,,,

b. Periksa apakah fg o dan gf o terdefinisi ?

c. Bila ya, tentukan fgDo

dan gfDo

3. Diketahui ( )

>−

≤<=

1,

10,

2 xxbx

xx

a

xf

Tentukan konstanta a dan b, agar ( )xf terdiferensialkan di 1=x .

4. Diketahui ( ) 53 35 xxxf −=

a. Tentukan selang kemonotonan

b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok (bila ada)

c. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya

d. Gambarkan grafiknya

No 1 2 3 4 Jumlah

Nilai Maks 10 7 8 10 35


4


UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2009-2010


Close Book dan tanpa kalkulator

UTS Ganjil 2009/2010

1. Tentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan 312 <−x

2. Tentukan nilai a agar fungsi

( )( )

≥+

<=

0,1

0,sin

xx

xx

ax

xf

mempunyai limit di 0=x

3. Periksa apakah fungsi

( )

≥+

<−

−

=

1,1

1,1

12

xx

xx

x

xf

kontinu di 1=x

4. Diketahui kurva 3222=++ yxxy

a. Tentukan rumus 'y

b. Tentukan persamaan garis singgung di titik (1,1)

5. Diketahui ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )4'hitung,,44',44,24',44 hxgfxhggff =====

6. Diketahui ( )1−

=x

xxf

a. Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi

b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok

c. Tentukan semua asimtot

d. Sketsa grafik ( )xf


5



Mata Kuliah : Kalkulus 1, MA 1114

Tanggal : Jum’at, 17 April 2009

UTS Genap 2008/2009

1. Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

2121 ≤−+− xx

2. Tentukan persamaan garis singgung dari 332 2=+− xxxy yang

tegak lurus dengan 01 =+− yx

3. Diberikan fungsi ( )1

32

−

+=

x

xxf . Tentukan :

a. Selang kemonotonan dan titik ekstrim (bila ada)

b. Selang kecekungan dan titik belok ( bila ada )

c. Asymtot

d. Grafik fungsi

4. Sebuah segiempat alasnya berimpit pada salah satu sisi sebuah

segitiga siku-siku dengan alas = 5 cm dan tinggi 6 cm, seperti

terlihat pada gambar di bawah. Berapa luas maksimal dari

segiempat tersebut.?

6 cm

5 cm


6


UJIAN TENGAH SEMESTER PENDEK 2008-2009


Tanggal : Senin 27 Juli 2009

UTS Pendek 2008/2009

1. Cari himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut

a. 2

3

1

1

−≥

+ xx

b. 41

23≤

+

−

x

x

2. Diketahui fungsi ( ) 2−= xxf dan ( ) xxg −= 3

a. Cari Df, Rf, Dg, Rg

b. Periksa apakah gof terdefinisi

c. Bila ya, cari Dgof

3. a. Hitung 86

53lim

−

+

+∞→ x

x

x

bila ada

b. Tentukan nilai k supaya

( )

≥+

<=

0,23

0,tan

2 xkx

xx

kx

xf

kontinu di x = 0

4. Diketahui ( )

>+

≤+

=4,

167

4,32

xx

xx

xf

Periksa apakah ( )xf

punya turunan di x = 4

5. Suatu kurva dinyatakan sebagai fungsi 1cossin =+ xy

a. Cari nilai 'y


7

b. Cari persamaan garis singgung dan garis normal kurva di titik

4,

2

ππ

6. Persamaan suatu kurva dinyatakan oleh ( ) 45 5xxxf +=

a. Cari selang kemonotonan dan nilai ekstrik

b. Cari selang kecekungan dan titik belok bila ada

c. Gambar grafik ( )xf


8



Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA1114

29 Oktober 2007

UTS 2007/2008

1. Tentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan :

a. 21

3

−≤

+

+

x

x

x

x

b. 121

>−x

2. Diketahui ,2)( 2xxf += 1)( =xg

a. Tentukan ��, ��, ��, ��

b. Periksa apakah gof terdefinisi, jika ya tentukan ( gof )(x)

c. Tentukan Dgof

3. Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x = 1

( )

=

≠

−−

=

1;1

1;1

1sin1

)(2

x

xx

xxf

4. Diketahui x

xxxf

96)(

2+−

=

a. Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi

b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok (jika ada)

c. Tentukan semua asimtotnya dan titik potong terhadap sumbu x

& y (bila ada)

d. Gambarkan grafik f(x)

Soal 1 2 3 4

Nilai 10 10 8 12


9

SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM

UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2006/2007

Mata Kuliah : Kalkulus 1/MA1114

Senin 13 November 2006

UTS 2006/2007

1. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ;

a. 512

11 <

−<−

x

b. 34

−≥ xx

2. Diketahui xxf =)( dan 21)( xxg −=

a. Periksa apakah fog ada ?

b. Jika fog ada, tentukan fog dan Dfog !

3. Tentukan nilai a agar 1379lim2 =+−−

−∞→

xaxxx

4. Diketahui 24

2)(

x

xxf

−= , tentukan :

a. Selang kemonotonan dan titik ekstrim serta jenisnya ( jika ada )

b. Selang kecekungan dan titik belok ( jika ada )

c. Asimtot ( jika ada )

d. Sketsa grafiknya

5. Sebuah persegi panjang dibuat dalam lingkaran dengan jari-jari 4

dengan keempat titik sudutnya terleta pada lingkaran.

a. Nyatakan luas persegi panjang sebagai fungsi suatu peubah !

b. Tentukan ukuran persegi panjang agar luasnya maksimum !

-o0o-

Selamat mengerjakan

-o0o-


10




Senin 17 Oktober 2005

UTS 2005/2006

1. Tentukan persamaan garis singgung di dua titik potong kurva

1622=+− yxyx dengan sumbu x.

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertaksamaan

( ) 4112 ≤+++ xxx

3. a. Tentukan a agar 3

1349lim

2 =+++−∞→

xaxxx

b. Tentukan a dan b sehingga 2)cos(

lim 20

−=+

→ x

bxa

x

4. Diketahui ⋅+

=1

)(2

x

xxf Tentukan :

a. Selang kemonotonan dan titik ekstrim serta jenisnya ( jika ada)

b. Selang kecekungan dan titik belok ( jika ada )

c. Asimtot ( jika ada )

d. Sketsakan grafiknya

5. Sebuah kotak tertutup dibuat dari selembar papan segi-empat

berukuran 5 meter kali 8 meter . Ini dilakukan dengan memotong

daerah yang diarsir dari gambar di bawah dan kemudian melipat

pada garis titik-titik . berapakah ukuran x, y , dan z yang

memaksimumkan volume kotak tertutup tersebut.

x y

z


11



Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA-1114

Tanggal : Senin 25 November 2004

UTS 2004/2005

1. Tentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan x

x4

3 <−

2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva

43)( 22=++ xxyCosy di titik potong kurva dengan sumbu x.

3. Hitung 222

1lim

3

1 −+

−

→ x

x

x

4. Diketahui 1

)(2 +

=x

xxf tentukan semua nilai ekstrim fungsi

beserta jenisnya pada selang [-½,2]

5. Tentukan luas maksimum dari segitiga yang terletak di dalam

parabola seperti gambar berikut ini


12




Tanggal : Senin 6 Oktober 2003

UTS 2003/2004

1. Tentukan daerah asal dari fungsi

a. 522)( −−−= xxxf

b. 3

6)(

23

+

−−=

x

xxxxf

2. Hitung

a. xx

x

x sin

cos1lim 2

+

→π

b. tentukan a agar 524lim2 =++

−∞→

xaxxx

3. Periksa apakah fungsi 1

1

,22

,32)(

2

2

<

≥

+−

+−=

x

x

xx

xxxf

terdiferensialkan di x = 1, jika ya tentukan f ‘(1)

4. Diketahui 1

1)(

2

−

−+=

x

xxxf

a. Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi beserta

jenisnya

b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok

c. Tentukan semua asimtot

d. Gambarkan grafik fungsi f(x)

5. Diketahui daerah D di kwadran pertama yang dibatasi oleh

,3,2 2xyxy −== dan sumbu y.

a. Hitung luas D

b. Hitung volume benda putar yang terjadi jika D diputar terhadap

y = -1


13



Mata kuliah : Kalkulus 1 / MA-1314

Tanggal : Senin/ 11 April 2003

UTS 2002/2003

Kerjakan dengan singkat dan jelas!

Jangan lupa berdoa, sebelum mengerjakan!

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:

a. xx

x<

+

−

1

1

b. 21

5 <−x

2. Diketahui fungsi 9

)(2 −

=x

xxf , tentukan :

a. Selang kemonotonan dan titik ekstrim

b. Selang kecekungan dan titik belok

c. Asimtot

d. Sketsa grafik f(x)

3. Diketahui fungsi implisit 65 22−=− yxxy

a. Tentukan y’

b. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di x = 1.

4. Diketahui daerah D dibatasi oleh .0,4, === yxxy tentukan :

a. Luas daerah D

b. Volume benda putar jika D diputae terhadap x = -1

-o0o-o0o-


14



Mata Kuliah : Kalkulus 1 /MA-1314

Waktu :120 Menit

UTS 2001/2002

Jangan lupa berdoa sebelum mengerjakan.

Kemudian kerjakan dengan da tepat !.

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut

a. 32

7<

x

b. 342 <−<− x

2. Diketahui

bxjika

bxjika

x

x

xf>

≤

−

+

=

123

7

)(

a. Tentukan b agar f(x) kontinu !

b. Periksa apakah f differensiabel (punya turunan ) pada x = b

yang diproleh di atas !

3. Tentukan persamaan garis singgung grafik xxf 431)( −+= yang

sejajar dengan garis 332 =− yx .

4. Diketahui suatu daerah D dibatasi oleh y = x, y = 2, dan sumbu y.

Hitung :

a. luas D

b. volume benda putar jika D diputar terhadap y = -1


15



Mata Kuliah : Kalkulus 1 (DA-1314)


UTS 2000/2001

1. Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan :

a. 5331 +≤− xx

b. x

x2

1<−

2. Diberikan fungsi 1

1

,

,)(

2

≥

<

+=

x

x

qpx

xxf

a. Tentukan hubungan antara p dan q agar fungsi f kontinu di

1=x

b. Tentukan nilai p dan q agar ( )1'f ada !

3. Diberikan persamaan kurva 232

32

=+ yx

a. Tentukan dx

dy di titik (1,-1)

b. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada

kurva tersebut yang melalui titik (1,-1).

4. Hitunglah

a. x

dttx

x

x sinlim

2

0

∫

→

b. ∫−

1

1

dxx

x


16

KERJAKANLAH SOAL NO 5 ATAU 6 (salah satu saja )

5. Diberikan fungsi 2

2

)1(

1)(

+

−=

x

xxf

a. Tetukan selang kemonotonan dan titik ekstrimnya (jika ada)

b. Tentukan selang kecekungan dan titik beloknya

c. Carilah semua asimtotnya

d. Sketsalah grafiknya

6. Misalkan R daerah yang dibatasi oleh kurva 2)4( −= xy , garis

4=y , sumbu x dan sumbu y.

a. Gambarkan (arsir) daerah R dan hitunglah luasnya

b. Hitunglah volume bennda putar bila R diputar mengelilingi

sumbu x.

Selamat Mengerjakan

Teriring do’a Kami Untuk Keberhasilan Anda


17



Mata Kuliah : Kalkulus 1 /DA-1314

Tanggal : Senin 1 November 1999

UTS 1999/2000

1. Tentukan himpunan jawab : 32

≤+x

x

2. a. Hitung 52

52lim

2

+

+−

−∞→ x

xx

x

b. Diketahui ,25103)( 2 +−≤− xxxg tentukan )(lim5

xgx→

3. Diketahui 1)( 2−= xxf dan xxg += 1)(

a. Buktikan gof terdefinisi !

b. Tentukan persamaan dan asal daerah fungsi gof !

4. Diketahui

≤+−

>−

−+

=

317

33

152

)(2

2

xxqx

xx

pxx

xf

tentukan konstanta p dan q supaya f(x) kontinu di x = 3

5. Diketahui kurva 2)3( 22=+− yx

a. Tentukan y’

b. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva, dimana garis

singgung tersebut tegak lurus pada garis y = x

6. f(x) adalah fungsi kontinu , dan f(0) = f(2) = 0. Jika grafik

( )xfy '= seperti gambar di bawah ini


18

a. Tentukan selang kemonotonan f(x)

b. Tentukan selang kecekungan f(x)

c. Buat sketsa grafik f(x)

Selamat Bekerja

Ebs-tza-jdn-mhd-rmi-wdt


19

PEMBAHASAN


20

PEMBAHASAN




UTS Genap 2009/2010 1. Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan

a. 14

22

+≤

−

x

xx

04

2

1

2

≥−

−+

x

x

x

( )( )( )

014

2142

≥+

−+−

x

xxx

( )( )

014

2422

≥+

−−−

x

xxx

( )0

14

232

≥+

++

x

xx

Karena 23 2 ++ xx definit positif, maka jelas bahwa

pertaksamaan terakhir akan terpenuhi jika dan hanya jika

01 >+x yaitu 1−>x . Jadi himpunan penyelesaian yang

dimaksud adalah { }1−>xx .

b. ( )ixx ....25 ≥−

Dengan menggunakan definisi dari nilai mutlak untuk 5−x , kita

peroleh untuk 5≥x pertaksamaan (i) secara berturut turut

diselesaikan sebagai berikut

( ) 25 ≥− xx

252 ≥− xx

( ) ( ) 22

252

25 ≥−−x

( )4332

25 ≥−x

3321

25 ≥−x

333321

25

21

25 −≤−≥− xataux


21

333321

25

21

25 −≤∪+≥ xx

yang memberikan penyelesaian

( ){ } { }.335333321

2

5

21

2

5

21

2

51 +≥=≥∩−≤∪+≥= xxxxxxHp

Sedangkan untuk ,5<x pertaksamaan (i) secara berturut turut

menjadi

( ) 25 ≥−− xx

252 ≥+− xx

252 −≤− xx

( ) ( ) 22

252

25 −≤−−x

( )4

172

25 ≤−x

1721

25 ≤−x

171721

25

21 ≤−≤− x

171721

25

21

25 +≤≤− x

yang memberikan penyelesaian

{ } { }1717517172

1

2

5

2

1

2

5

2

1

2

5

2

1

2

52 +≤≤−=<∩+≤≤−= xxxxxHp

Dengan demikian himpunan penyelesaian bagi (i) secara

keseluruhan adalah

21 HpHpHp ∪= ( ){ }33171721

25

21

25

21

25 +≥∪+≤≤−= xxx .

2. Diberikan ( ) xxf 2sin= dan ( ) 2−= xxg

a. Menentukan ggff RDRD dan,,,

),0[dan),,2[],1,1[, ∞=∞=−=ℜ= ggff RDRD

b. Memeriksa apakah fg o dan gf o terdefinisi

Harus kita selidiki masing masing secara berturut turut apakah

{ }≠∩ gf DR dan { }≠∩ fg DR .

Dengan menggunakan hasil pada poin sebelumnya diperoleh

{ }=∩ gf DR yang menunjukkan bahwa fg o tidak terdefinisi,

sedangkan { }≠∞=∩ ),0[fg DR yang menandakan bahwa

gf o terdefinisi.


22

c. Menetukan fgDo

dan gfDo

Karena fg o tidak terdefinisi, maka fgDo

tidak dapat

ditentukan. Selanjutnya menurut definisi diperoleh

( ){ }fggf DxgDxD ∈∈=o

{ }Rxx ∈−∞∈= 2),2[

{ }022 ≥−≥= xx { }2≥= xx

3. Diberikan ( )

>−

≤<=

1,

10,

2 xxbx

xx

a

xf

Syarat perlu agar f terdiferensialkan di x = 1 adalah f harus kontinu

di titik tersebut. Kekontinuan ini dijabarkan dan memberikan hasil

( ) ( ) ( )1limlim11

fxfxfxx

==+− →→

, yaitu 1−= ba atau ( )*1+= ab

Kemudian dengan mempertimbangkan syarat cukup agar f

terdiferensialkan di x = 1 dan dengan menggunakan (*), secara

berturut turut kita peroleh

( ) ( )11 ''+− = ff

( ) ( ) ( ) ( )1

1lim

1

1lim

11 −

−=

−

−

+− →→ x

fxf

x

fxf

xx

1lim

1lim

2

11 −

−−=

−

−

+− →→ x

axbx

x

a

x

xa

x

( )( )

( )1

1lim

1

1lim

2

11 −

−−+=

−

−

+− →→ x

axxa

xx

xa

xx

( )( )( )1

11limlim

11 −

−++=−

+− →→ x

xaxa

x

a

xx

( )( )axaax

++=−+→

1lim1

12 +=− aa

31−=a

Dengan demikian 32=b

Jadi agar f terdiferensialkan di x = 1 maka haruslah 31−=a dan

32=b


23

4. Diberikan ( ) 53 35 xxxf −=

a. Menentukan selang kemonotonan

( ) ( )( )xxxxxxf +−=−= 11151515' 242

- f monoton naik jika ( ) 0' >xf yaitu pada selang ( ) ( )1,00,1 ∪−

- f monoton turun jika ( ) 0' <xf yaitu pada ( ) ( )∞∪−∞− ,11,

b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok

( ) ( ) ( )( )xxxxxxxxf 21213021306030" 23 +−=−=−=

- f cekung ke atas jika ( ) 0" >xf yaitu pada ( ) ( )2

1

2

1 ,0, ∪−∞−

- f cekung ke bawah jika ( ) 0" <xf yaitu pada ( ) ( )0,0,2

1

2

1 ∪−

- karena pada pada 0dan,,2

1

2

1 =−== xxx terjadi

perubahan kecekungan serta ( ) ( ) ( )0dan,,2

1

2

1 fff − masing

masing ada, maka ketiga titik ( )24

7

2

1 , , ( )24

7

2

1 ,−− , dan

(0,0) adalah titik belok.

c. Menentukan nilai ekstrim

dan jenisnya

Titik (-1,-2) merupakan titik

minimum lokal karena

( ) 01' =−f dan ( ) 01" >−f ,

sedangkan titik (1,2)

merupakan titik maksimum

lokal karena ( ) 01' =f dan

( ) 01" <f

d. Grafik ( ) 53 35 xxxf −=

ditunjukkan pada gambar di

samping

0 11−

−−−−++++++−−−−

02

1

2

1−

−−−+++−−−++++• • •


24

PEMBAHASAN



UTS Ganjil 2009/2010

1. Menentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan .312 <−x

Pertaksamaan tersebut setara dengan 313 2 <−<− x . Kasus

312 −>−x disederhanakan menjadi 22 −>x yang akan selalu

terpenuhi untuk setiap ∈x ℝ. Sedangkan kasus 312 <−x secara

berturut turut diselesaikan sebagai berikut

312 <−x

42 <x

2<x

22 <<− x

Jadi himpunan penyelesaian bagi pertaksamaan di atas adalah

{ } { }2222 <<−=<<−∩ℜ∈ xxxxx

2. Diberikan ( )( )

≥+

<=

0,1

0,sin

xx

xx

ax

xf

Agar f memiliki limit di x = 0 maka haruslah ( ) ( )*limlim00

xfxfxx +− →→

=

Ekspresi pada ruas kiri (*) memberikan

( )( )x

axxf

xx

sinlimlim

00 −− →→

=( ) ( )

0;sin

limsin

lim00

≠===→→ −

aaax

axa

ax

axa

axx

,

sedangkan dari ruas kanan (*) diperoleh

( ) ( ) 11limlim00

=+=++ →→

xxfxx

.

Kesimpulannya a harus bernilai 1 agar f memiliki limit di x = 0.

3. Memeriksa apakah fungsi di bawah berikut kontinu di x = 1.

( )

≥+

<−

−

=

1,1

1,1

12

xx

xx

x

xf


25

Jangan terkecoh dengan kerumitan dari penampakan fungsi f.

Perhatikan bahwa untuk 1<x berlaku

( )( )1

1

11

1

12

+=−

+−=

−

−x

x

xx

x

x

(“pencoretan” 1−x pada langkah di atas adalah benar karena 1≠x ).

Dengan demikian sebenarnya kita telah menunjukkan bahwa

( ) 1+= xxf untuk setiap x, dan telah kita ketahui bersama bahwa

fungsi ini kontinu pada ℝ, khususnya pada x = 1.

4. Diketahui kurva 3222 =++ yxxy

a. Menentukan rumus 'y

Dengan menurunkan kedua ruas persamaan kurva yang diberikan

secara implisit terhadap x, kemudian menyelesaikannya untuk

,'y maka secara berturut turut diperoleh hasil berikut

0'22'22 =+++ yyxxyyy

22'2'2 yxyyxyy −−=+

( ) 22'22 yxyyxy −−=+

yxy

yxy

22

2'

2

+

+−=

b. Menentukan persamaan garis singgung di titik (1,1)

Dengan melakukan subtitusi pada hasil dari bagian sebelumnya

diperoleh kemiringan garis singgung di titik (1,1) yaitu 43− .

Sehingga persamaan garis singgungnya adalah ( )1143 −−=− xy

atau 47

43 +−= xy

5. Mengevaluasi ( )4'h jika diketahui ( ) ,44 =f ( ) ,24' =f ( ) ,44 =g

( ) ,44' =g ( ) ( )( )xgfxh =dan

Penerapan aturan rantai pada ( )xh menghasilkan ( ) ( )( ) ( ).''' xgxgfxh =

Dengan demikian ( ) ( )( ) ( )4'.4'4' ggfh = ( ) ( ) 84.24'.4' === gf

6. ( )( )

1;1

11

1

11

1≠

−+=

−

+−=

−= x

xx

x

x

xxf

a. Menentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi


26

( )( )2

1

1'

−−=

xxf

Karena ( ) 0' <xf untuk setiap 1≠x , maka f selalu turun pada

(-∞,∞)/{1}. Ini juga menegaskan bahwa f tidak memiliki nilai

ekstrim.


( )( )3

1

2"

−=

xxf

f cekung ke atas jika ( ) 0" >xf yaitu untuk 1>x , dan cekung ke

bawah jika ( ) 0" <xf yaitu untuk 1<x .f tidak memiliki titik belok.

c. Menentukan asimtot

- Asimtot datar/miring (berbentuk y = ax +b)

x

xfa

x

)(lim

∞→

= 01

11

1lim =

−+=

∞→ xxx

axxfbx

−=∞→

)(lim 11

11lim =

−+=

∞→ xx jadi f memiliki asimtot datar

yaitu 1=y

- Asimtot tegak (berbentuk x = c)

Karena ( ) ∞=→

xfxlim

1

maka x = 1 merupakan asimtot tegak.

d. Sketsa grafik ( )xf


27

PEMBAHASAN




UTS Genap 2008/2009 1. Menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

( )ixx ......2121 ≤−+−

Menurut definisinya

( )

<−−

≥−=−

1;1

1;11

xx

xxx

( )

<−−

≥−=−

21;12

21;1212

xx

xxx

Sehingga :

- untuk 21<x (i) menjadi

( ) ( ) 2121 ≤−−−− xx

03 ≤− x

0≥x Jadi untuk 21<x

pertidaksamaan (i) memiliki himpunan

penyelesaian ( ) ( ){ } { }2102101 <≤=<∩≥= xxxHp

- untuk 121 <≤ x (i) menjadi

( ) ( ) 2121 ≤−+−− xx

2≤x

( ) ( ){ } { }12112122 <≤=<≤∩≤= xxxHp

- untuk 1≥x (i) menjadi

( ) ( ) 2121 ≤−+− xx

43 ≤x

34≤x

( ) ( ){ } { }3411343 ≤≤=≥∩≤= xxxHp

Dengan demikian himpunan penyelesaian yang dimaksud adalah

{ }340321 ≤≤=∪∪= xHpHpHpHp (ans)


28

2. Menentukan persamaan garis singgung dari 332 2=+− xxxy yang

tegak lurus dengan garis x–y+1 = 0.

Kita tahu bahwa y’ merupakan gradient dari garis yang

menyinggung kurva. Karena garis singgung yang dimaksud tegak

lurus dengan garis 01 =+− yx yang memiliki kemiringan 1, maka

gradient garis singgung yang kita cari haruslah y’= -1/1 = -1.

Kemudian dengan menurunkan persamaan kurva yang diberikan

secara implisit terhadap x dan menyelesaikannya untuk y’ diperoleh

secara berturut turut hasil berikut

( ) ( )332 2xx DxxxyD =+−

034' =+−+ xxyy

34' −−= yxxy

x

yxy

34'

−−=

Karena garis singgung yang akan dicari memiliki kemiringan -1,

maka kita memperoleh

134

−=−−

x

yx

xyx −=−− 34

35 −= xy

Substitusikan ke persamaan kurva awal memberikan

332)35( 2=+−− xxxx

33 2 =x 1±=x

untuk 1=x diperoleh

2=y dan untuk 1−=x diperoleh 8−=y .

Jadi kita memiliki 2 buah titik singgung yakni (1,2) dan (-1,-8).

- Di titik (1,2) persamaan garis singgungnya adalah

( )12 −−=− xy atau 3+−= xy (ans)

- Di titik (-1,-8) persamaan garis singgungnya adalah

( )18 +−=+ xy atau 9−−= xy (ans)


29

( )xf "1o

++++++++−−−−−−−−−

3. Diberikan fungsi ( )1

32

−

+=

x

xxf .

a. Menentukan selang kemonotonan dan titik ekstrim (bila ada)

( )( ) ( )

( ) ( )

( )

( )( )

( )22

2

2

22

2

2

1

13

1

32

1

322

1

312'

−

+−=

−

−−=

−

−−−=

−

+−−=

x

xx

x

xx

x

xxx

x

xxxxf

- f(x) monoton naik jika ( ) 0' >xf yaitu pada (-∞,-1) dan (3,∞)

- f(x) monoton turun jika ( ) 0' <xf yaitu pada (-1,1) dan (1,3)

- Karena terjadi perubahan kemonotonan di x = -1 (+ � -) dan

f(-1) ada maka titik (-1,f(-1)) = ( -1,-2) merupakan titik

maksimum lokal. Selain itu terjadi pula perubahan

kemonotonan pada x = 3 (- � +) dan f(3) ada sehingga

(3,f(3)) = (3,6) merupakan titik minimum lokal.

b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok ( bila ada )

( )( )( ) ( )( )

( )4

22

1

3212122"

−

−−−−−−=

x

xxxxxxf

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )33

22

3

22

1

8

1

322122

1

32212

−=

−

−−−+−=

−

−−−−=

xx

xxxx

x

xxx

- f(x) cekung ke atas jika ( ) 0" >xf yaitu pada selang (1,∞)

- f(x) cekung ke bawah jika ( ) 0" <xf yaitu pada selang (-∞,1)

- f tidak memiliki titik belok. Walaupun terjadi perubahan

kecekungan di titik x = 1 , tetapi f(1) tidak ada, sehingga x =1

bukanlah titik belok..

o1− 1

( )xf '−−− +++o o

3

−−−+++


30

c. Menentukan Asimtot


x

xfa

x

)(lim

∞→

=xx

x

x )1(

3lim

2

−

+=

∞→ xx

x

x −

+=

∞→2

2 3lim

11

1

31

lim1

1

31

lim

2

2

2

2

=

−

+

=

−

+

=∞→∞→

x

x

xx

xx

xx

axxfbx

−=∞→

)(lim xx

x

x

−−

+=

∞→ 1

3lim

2 ( )1

13lim

2

−

−−+=

∞→ x

xxx

x

1

3lim

−

+=

∞→ x

x

x

11

41lim =

−+=

∞→ xx

jadi f memiliki asimtot miring ( )0≠a yaitu 1+= xy (ans)


Karena ( ) ∞=−

+=

→→ 1

3limlim

2

11 x

xxf

xx

maka x = 1 merupakan

asimtot tegak. (ans)

d. Grafik fungsi


31

6

5x

y

P

x

y

l

4. Menentukan luas maksimal segi empat seperti pada gambar di

samping.

perhatikan gambar di samping !

Titik P dapat bergerak sepanjang garis l .

persamaan garis l adalah

50

5

06

0

−

−=

−

− xy 6

5

6+−=⇒ xy

Luas segi empat yang diarsir adalah

( ) tinggialasxL .=

( ) 50;65

66

5

6. 2 ≤≤+−=

+−== xxxxxyxxL

Nilai maksimum ( )xL terletak pada titik kritisnya, yaitu pada titik

stasioner atau pada ujung interval domain ( )xL . Titik stasioner

terjadi ketika ( ) 0' =xL yakni

2

5

5

12 06 =⇒=+− xx

Jadi sekarang kita memiliki tiga buah titik kritis, yaitu 2

5=x yang

berasal dari titik stasioner dan x = 0, x = 5 yang berasal dari ujung

interval domain L(x) . untuk mengetahui nilai maksimum dari L(x),

kita evaluasi nilai L(x) pada titik - titik kritis tersebut, yakni

( )2

15

2

5 =L ,

( ) 00 =L ,

( ) 05 =L .

jadi L(x) mencapai nilai maksimum pada 2

5=x dengan luas 2

15 .


32

PEMBAHASAN

UJIAN TENGAH SEMESTER PENDEK 2008-2009


Tanggal : Senin 27 Juli 2009

UTS Pendek 2008/2009 1. Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan

a. 2

3

1

1

−≥

+ xx

02

3

1

1≥

−−

+ xx

0)2)(1(

)1(32≥

−+

+−−

xx

xx

0)2)(1(

52≥

−+

−−

xx

x

( )ans212

5

<<−∪−≤= xxxHp

b. ( )ix

x.................4

1

23≤

+

−

Alternatif -1 (Menggunakan definisi )

Menurut definisinya

<+

−

+

−−

≥+

−

+

−

=+

−

01

23;

1

23

01

23;

1

23

1

23

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

atau

>∪−<+

−−

≤<−+

−

=+

−

2

3

2

3

1;1

23

1;1

23

1

23

xxx

x

xx

x

x

x

• o o

25− 1− 2

++++++++ −−−− −−−−

•o

231−

++++++−−−−−x

x

+

−

1

23−−−−−


33

- Untuk 2

31 ≤<− x pertidaksamaan (i) di atas menjadi

41

23≤

+

−

x

x

041

23≤−

+

−

x

x

01

)1(423≤

+

+−−

x

xx

01

16≤

+

−−

x

x

pertidaksamaan terakhir ini terpenuhi jika 611 −≥∪−< xx ,

sehingga untuk 2

31 ≤<− x himpunan penyelesaian (i) adalah

( ) ( ){ }2

3

6

11 11 ≤<−∩−≥∪−<= xxxxHp { }

2

3

6

1 ≤≤−= xx .

- Untuk 2

31 >∪−< xx pertidaksamaan (i) menjadi

41

23≤

+

−−

x

x

041

23≤−

+

−−

x

x

01

)1(423≤

+

++−−

x

xx

01

72≥

+

+

x

x

pertidaksamaan terakhir ini terpenuhi jika

127 −>∪−≤ xx sehingga

( ) ( ){ }2

3

2

72 11 >∪−<∩−>∪−≤= xxxxxHp

{ }2

3

2

7 >∪−≤= xxx

Jadi himpunan penyelesaian dari (i) yang dimaksud adalah

21 HpHpHp ∪= { }( )ans

61

67 −≥∪−≤= xxx

•o

61−1−

++++++−−−−−x

x

+

−−

1

16−−−−−

• o

27− 1−

+++++

x

x

+

+

1

72−−−−−+++++


34

Aternatif -2 (Menggunakan sifat)

41

23≤

+

−

x

x

2

2

41

23≤

+

−

x

x

041

23 2

2

≤−

+

−

x

x

041

234

1

23≤

+

+

−

−

+

−

x

x

x

x

01

)1(423

1

)1(423≤

+

++−

+

+−−

x

xx

x

xx

0)1(

)72)(16(2

≤⋅+

+−−

x

xx

Jadi himpunan penyelesaian bagi (i) adalah

{ }( )ans61

27 −≥∪−≤= xxxHp

Alternative -3 (menggunakan sifat lain)

41

23≤

+

−

x

x

41

234 ≤

+

−≤−

x

x

pertaksamaan ini setara dengan

41

23−≥

+

−

x

x dan 4

1

23≤

+

−

x

x ………...(iii)

pertaksamaan sebelah kiri (iii) menjadi

041

23≥+

+

−

x

x

01

)1(423≥

+

++−

x

xx

• o

27−

1− 61−

++++++++−−−− −−−−•


35

01

72≥

+

+

x

x

{ }12

71 −>∪−≤= xxHp

Sedangkan pertaksamaan sebelah kanan (iii) menjadi

41

23≤

+

−

x

x

041

23≤−

+

−

x

x

01

)1(423≤

+

+−−

x

xx

01

16≤

+

−−

x

x

{ }61

2 1 −≥∪−<= xxHp

Jadi himpunan penyelesaian yang dimaksud adalah

21 HpHpHp ∩=

{ }( )ans6

1

2

7 −≥∪−≤= xx

2. Diberikan fungsi ( ) 2−= xxf dan ( ) xxg −= 3

a. Menentukan Df, Rf, Dg, Rg

),2[ ∞=fD , ),0[ ∞=fR

]3,(−∞=gD , ),0[ ∞=gR

b. Memeriksa apakah gof terdefinisi

Untuk mengetahuinya kita selidiki apakah { }≠∩ gf DR .

Berdasarkan hasil pada poin sebelumnya kita memiliki

{ }≠=−∞∩∞=∩ ]3,0[]3,(),0[gf DR yang menunjukkan

bahwa gof terdefinisi. (ans)

• o

27− 1−

+++++

x

x

+

+

1

72−−−−−+++++

•o

61−1−

++++++−−−−−x

x

+

−−

1

16−−−−−


36

c. Menentukan Dgof

Menurut definisinya

( ){ }gfgof DxfRxD ∈∈= { }]3,(2),0[ −∞∈−∞∈= xx

{ } { }920320 ≤−≥=≤−≥= xxxx

{ }110 ≤≥= xx

{ } ( )ans110 ≤≤= x

3. a. Menghitung 3

86

53lim

−

+

+∞→ x

x

x

3

86

53lim

−

+

+∞→ x

x

x

( )( )

38

5

6

3lim

x

x

x x

x

−

+=

+∞→

( )( )

38

5

6

3lim

x

x

x −

+=

+∞→

321= (ans)

b. Menentukan k agar ( )

≥+

<=

0;23

0;tan

2 xkx

xx

kx

xf kontinu di x = 0

Agar f kontinu di x = 0 maka harus berlaku

( ) ( ) ( )0limlim00

fxfxfxx

==−+−

→→

Kekontinuan kiri f di x = 0 dijabarkan sebagai berikut

( ) ( )0lim0

fxfx

=−→

2

0

2tan

lim kx

kx

x

=−→

22kk =

02 2 =− kk

( ) 012 =−kk

2

1atau0 == kk

Jadi agar f kontinu di x = 0 maka haruslah { }2

1,0∈k (ans)

4. Memeriksa apakah fungsi berikut memiliki turunan di x = 4

( )

>+

≤+

=4,

167

4,32

xx

xx

xf


37

Untuk mengetahuinya harus kita periksa apakah ( ) ( )44 ''+− = ff

.

Sekarang

( )( ) ( )

4

4lim4

4

'

−

−=

−→−

x

fxff

x

24

)4(2lim

4

82lim

4

1132lim

444

=−

−=

−

−=

−

−+=

−−− →→→ x

x

x

x

x

x

xxx Sedangkan

( )( ) ( )

4

4lim4

4

'

−

−=

+→+

x

fxff

x

4

416

lim4

416

lim4

1116

7

lim444 −

−

=−

−

=−

−+

=+++ →→→ x

x

x

x

x

x

x

xxx

( )

( )1

4

44lim

4

−=−

−−=

+→ xx

x

x

Karena ( ) ( )44 ''+− ≠ ff maka f tidak tidak memiliki turunan di x = 4

5. Suatu kurva dinyatakan sebagai fungsi 1cossin =+ xy

a. Menentukan nilai 'y

( ) ( )1cossin xx DxyD =+

0sincos' =− xyy

xyy sincos' =

( )anscos

sin'

y

xy =

b. Menentukan persamaan garis singgung dan garis normal kurva

di titik ( )42

, ππ

Di titik ( )42

, ππ 22

1'

21

==y

Sehingga persamaan garis singgung di titik ( )42

, ππ

adalah

( )24

2 ππ −=− xy atau ( )π2221

41 −+= xy . (ans)


38

Sedangkan persamaan garis normal di titik ( )42

, ππ

adalah

( )22

14

ππ −−=− xy atau ( )

π4

21

2

1 2+

+−= xy .(ans)

6. Persamaan suatu kurva dinyatakan oleh ( ) 45 5xxxf +=

a. Menentukan selang kemonotonan dan nilai ekstrim

( ) ( )45205' 334+=+= xxxxxf

- f(x) monoton naik jika ( ) 0' >xf yaitu pada selang (-∞,-4)

dan (0,∞)

- f(x) monoton turun jika ( ) 0' <xf yaitu pada selang (-4,0)

- karena terjadi perubahan kemonotonan di x = -4 (+ � -) dan

f(-4) ada maka titik (-4,f(-4)) = ( -4,256) merupakan titik

maksimum lokal. Selain itu terjadi pula perubahan

kemonotonan pada x = 0 (- � +) dan f(0) ada sehingga

(0,f(0)) = (0,0) merupakan titik minimum lokal.

b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok bila ada

( ) )3(206020" 223+=+= xxxxxf

- f(x) cekung ke atas jika ( ) 0" >xf

yaitu pada selang (-3,0) dan (0,∞)

- f(x) cekung ke bawah jika

( ) 0" <xf yaitu pada selang (-∞,3)

- Karena terjadi perubahan

kecekungan pada x = -3 dan f(-3)

ada maka titik (-3,f(-3))=(-3,162)

merupakan titik belok.

c. Grafik ( )xf diperagakan di samping

o4− 0

+++++( )xf '

−−−−−+++++o

o3− 0

+++++( )xf "

−−−−− +++++o


39

PEMBAHASAN


Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA1114

Tanggal : 29 Oktober 2007

UTS 2007/2008

1. Menentukan Himpunan Pertidaksamaan :

a. 21

3

−≤

+

+

x

x

x

x

021

3≤

−−

+

+

x

x

x

x

0)2)(1(

)1()2)(3(≤

−+

+−−+

xx

xxxx

0)2)(1(

632 22

≤−+

−−−+−

xx

xxxxx

0)2)(1(

6≤

−+

−

xx

{ }21 >∪−<= xxxHp

b. 121

>−x

2

2

121

>−x

0121 2

2

>−

−

x

0121

121

>

+−

−−

xx

011

31

>

−

−

xx

0)1)(31(

2>

−−

x

xx

{ }1)0()0(3

1 >∪<<∪<= xxxxHp

• • 1

+ + + + + + + - - - - - - - - + + +

3/1•

0

• • -1 2

- - - - - + + + + + + - - - -


40

2. Diketahui ,2)(2

xxf += 1)( =xg

a. Menentukan ��, ��, ��, ��

- )ans(RD f =

- Untuk setiap Rx ∈ berlaku

02 ≥x 22 2 ≥+ x

2)( ≥xf Sehingga [ ) )ans(,2 ∞=fR

- )ans(RDg =

- { } )ans(1=gR

b. Memeriksa apakah gof terdefinisi dan menentukan gof jika

terdefinisi.

Untuk mengetahuinya kita selidiki apakah { }≠∩ gf DR . Dari

hasil pada poin sebelumnya kita memiliki

[ ) [ ) { }≠∞=∩∞=∩ ,2,2 RDR gf yang menunjukkan bahwa

gof terdefinisi (ans).

Selanjutnya ))(()( xfgxfgo = )ans(,1)2( 2 =+= xg

c. Menentukan Dgof

Menurut definisinya,

{ }gfgof DxfDxxD ∈∈= )(, { }RxRxx ∈+∈= 2, 2

{ }RxRxx ∈∈= , { } )ans(Rxx ∈=

3. Memeriksa apakah ( )

=

≠

−−

=

1;1

1;1

1sin1

)(2

x

xx

xxf

kontinu di x = 1.

Untuk mengetahuinya harus diperiksa apakah )1()(lim1

fxfx

=→

.

Sekarang perhatikan bahwa untuk sembarang nilai x kecuali x =1

berlaku


41

• • 3

+ + + + - - - - - - - - - - - + + + + • 0 -3

11

1sin1 ≤

−≤−

x

( ) ( ) ( )2221

1

1sin11 −≤

−−≤−− x

xxx

( ) ( ) ( )2211 −≤≤−− xxfx

Selanjutnya ( ) 01lim2

1

=−−→

xx

dan ( ) 01lim2

1

=−→

xx

, sehingga

menurut teorema apit ( ) 0lim1

=→

xfx

. Jadi karena ( ),10)(lim1

fxfx

≠=→

maka f tidak kontinu di x = 1.

4. Diketahui x

xxxf

96)(

2+−

=

a. Menentukan selang keonotonan dan titik ekstrim

2

2 )96()62()('

x

xxxxxf

+−−−=

2

22)9662

x

xxxx −+−−=

2

2 9

x

x −=

2

)3)(3(

x

xx +−=

- f monoton naik jika ( )xf ' > 0, yaitu pada selang

( ) ( )∞∪−∞− ,33,

- f monoton turun jika ( )xf ' < 0, yaitu pada selang

( ) ( )3,00,3 ∪−

- Karena terjadi perubahan kemonotonan di x = -3(+ � -) dan

f(-3) ada , maka titik (-3,f(-3)) = (-3,-12) merupakan titik

maksimum lokal. Karena terjadi perubahan kemonotonan di

x =3 (+ � -), maka titik (3,f(3)) = (3,0) merupakan titik

minimum lokal.

b. Menentukan selang kecekungan

22

2 91

9)('

xx

xxf −=

−=

3

18)(''

xxf =


42

- f cekung ke atas jika ( ) 0" >xf , yaitu untuk 0>x

- f cekung ke bawah jika ( ) 0" <xf , yaitu pada selang ( )0,∞−

- f tidak memiliki titik belok.


- Asimtot datar / miring (berbentuk y = ax + b)

196

1lim96

lim)(

lim22

2

=

+−=

+−==

∞→∞→∞→ xxx

xx

x

xfa

xxx

x

xxxx

x

xxaxxfb

xxx

222 96lim

96lim)(lim

−+−=−

+−=−=

∞→∞→∞→

69

696

limlim −=+−=+−

=∞→∞→ xx

x

xx

Jadi f memiliki asimtot miring yaitu y = x – 6

- Asimtot tegak ( berbentuk x = c)

Karena ∞=+−

=→→

2

2

00

96lim)(lim

x

xxxf

xx

, maka 0=x

merupakan asimtot tegak dari f.

d. Grafik f(x)


43

PEMBAHASAN




UTS 2006/2007 1. Menentukan himpunan penyelesaian dari :

a. 512

11 <

−<−

x

Pertaksamaan ini setara dengan

112

1−>

−x dan 5

12

1<

−x……....(i)

pertidaksamaan sebelah kiri pada (i) menjadi

012

)12(1>

−

−+

x

x

012

2>

−x

x

{ }2/101 >∪<= xxxHp

pertidaksamaan sebelah kanan pada (i) menjadi

012

)12(51<

−

−−

x

x

012

106<

−

−

x

x

{ }5/32/12 >∪<= xxxHp

Jadi himpunan penyelesaian yang dimaksud adalah

21 HpHpHp ∩= { } )ans(5/30 >∪<= xxx

b. 34

−≥ xx

……………………………………………………..(ii)

Menurut definisinya

<−≥

=0;

0;xx

xxx

1/2 oo

0

+ + + + + - - - - - + + + +

3/5 oo

1/2

- - - - - + + + + + - - - - -


44

sehingga : - untuk 0≥x (ii) menjadi

34

−≥ xx

( )0

34≥

−−

x

xx

( )0

432

≥−−−

x

xx

( )( )0

14≤

+−

x

xx

Pertaksamaan terakhir ini terpenuhi untuk

401 ≤<∪−≤ xx , sehingga himpunan penyelesaian bagi (ii)

untuk 0≥x adalah

( ){ } ( ){ }4004011 ≤<=≥∩≤<∪−≤= xxxxxxHp

- untuk 0<x (ii) menjadi

34

−≥−

xx

( )0

34≥

−−−

x

xx

( )0

432

≤+−

x

xx

Karena 432 +− xx definit positif maka jelas pertaksamaan

terakhir akan terpenuhi jika 0<x . Sehingga himpunan

penyelesaian untuk (ii) adalah

{ } { }0002 <=<∩<= xxxxxHp

Dengan demikian himpunan penyelesaian akhir untuk (ii) adalah

{ }0;421 ≠≤=∪= xxxHpHpHp (ans)

2. Diberikan xxf =)( dan 21)( xxg −=

a. Memeriksa apakah fog terdefinisi

Untuk memeriksanya kita selidiki apakah { }.≠∩ fg DR

• ••

1− 0 4

+++−−−−−+++−−−


45

[ ) [ )∞=∞= ,0,,0 ff RD , RDg =

Sekarang perhatikan bahwa untuk setiap Rx ∈ berlaku

02 ≥x

02 ≤− x

11 2 ≤− x

,1)( ≤xg

Dengan demikian ( ]1,∞−=gR . Kemudian karena

( ] [ )∞∩∞−=∩ ,01,fg DR [ ] { }≠= 1,0 , maka fog terdefinisi/ada.

b. Menentukan fog dan Dfog

))(()( xgfxgfo =22

1)1( xxf −=−=

Menurut definisinya

{ }fgfog DxgDxRxD ∈∈∈= )(,

[ ){ }∞∈−∈∈= ,01, 2xRxRx

{ }01 2 ≥−∈= xRx

{ }12 ≤∈= xRx

{ }1≤∈= xRx

{ }11 ≤≤−∈= xRx

3. Menentukan a agar 1379 2lim =+−−

−∞→

xaxxx

1379lim2 =+−−

−∞→

xaxxx

1379

379379lim

2

22 =

−−−

−−−

+−−

−∞→ xaxx

xaxxxaxx

x

1379

979lim

2

22

=−−−

−−−

−∞→ xaxx

xaxx

x

1

37

9

7lim

2

=

−−−

−−

−∞→

xxx

ax

ax

x


46

1

37

9

7

lim

2

=

−−−−

−−

−∞→

xxx

ax

xax

x

1

37

9

7

lim

2

=

−−−−

−−

−∞→

xx

a

xa

x

139

=−−

− a 6=⇒ a

4. Diberikan 24

2)(

x

xxf

−=


22

2

)4(

2)2()4(2)('

x

xxxxf

−

−−−=

22

22

)4(

428

x

xx

−

+−=

22

2

)4(

82

x

x

−

+=

)(' xf selalu bernilai positif untuk setiap nilai x, (x ≠ ± 2). Ini

berarti f(x) selalu naik pada interval (-∞,∞)/{±2}. Fakta ini juga

menunjukkan bahwa f(x) tidak memiliki nilai ekstrim .


42

2222

)4(

)82)(2)(4(2)4(4)(''

x

xxxxxxf

−

+−−−−=

32

22

)4(

)82(4)4(4

x

xxxx

−

++−=

32

33

)4(

328416

x

xxxx

−

++−=

33

3

)2()2(

484

xx

xx

+−

+=

33

2

)2()2(

)12(4

xx

xx

+−

+=

- f(x) cekung ke atas jika 0)('' >xf , yaitu pada interval

2−<x dan 20 << x

+ + + + + - - - - - + + + + + - - - - -

-2 0 2

f “(x)


47

- f(x) cekung ke bawah jika 0)('' <xf , yaitu pada interval

02 <<− x dan 2>x

- Karena terjadi perubahan kecekungan pada x = 0 dan f(0) ada,

maka titik (0,f(0)) = (0,0) adalah titik belok.



0)4(

2lim

)4(

2lim

)(lim 22

=−

=−

==∞→∞→∞→ xxx

x

x

xfa

xxx

( )0

1

0

14

2

lim)4(

2lim)(lim

22

2

2=

−=

−

=−

=−=∞→∞→∞→

xx

xx

x

xaxxfb

xxx

Dengan demikian f(x) memiliki asimtot datar yaitu berupa

garis y = 0.

- Asimtot tegak ( berbentuk x = c )

Karena ∞=−

∞=− −→→

22

22 4

2limdan,

4

2lim

x

x

x

x

xx

maka f(x) memiliki

dua asimtot tegak yaitu x = 2 dan x = -2

d. Grafik f(x)

24

2)(grafik

x

xxf

−=

Q (x,y)

PO

R

4

P

R

4

Gambar 5


48

5. Perhatikan gambar 5 di atas !

a. Menyatakan luas persegi panjang sebagai suatu peubah.

Titik Q terletak pada lingkaran dengan persamaan

2221616 xyyx −=⇒=+

Sehingga luas persegi panjang = L(x) = 4× luas persegi panjang

OPQR.

PQOPxL ××= 4)(

40164

2≤≤−= xxx

b. Menentukan ukuran persegi panjang agar luasnya maksimum.

Nilai maksimum L(x) terletak pada titik kritisnya yaitu pada

titik stasioner atau pada ujung interval. Titik stasioner terjadi

ketika L’(x) = 0 yakni

0162

)2(.4164

2

2=

−

−+−

x

xxx

016

4164

2

22 =

−−−

x

xx

04164 22

2 =−

− xx

22 4464 xx =−

648 2 =x

8±=x

Karena 40 ≤≤ x maka x yang mememuhi adalah 8=x .

Sehingga sekarang kita memiliki 3 buah titik kritis yaitu 8=x

yang berasal dari titik stasioner dan x = 0 , x = 4 yang berasal

dari ujung interval domain L(x). Untuk mengetahui dimana L(x)

mencapai maksimum, kita cukup mengevaluasi nilai L(x) pada

titik-titik kritis tersebut yaitu 32)8( =L ,

0)0( =L ,

0)4( =L .

Karena 32)8( =L merupakan luas maksimum, maka ukuran

persegi panjang agar luasnya maksimum adalah

8282.2.2 ×=× PQOP ( )ans2424 ×= .


49

PEMBAHASAN


Mata Kuliah Kalkulus I (MA 1114)


UTS 2005/2006

1. Menentukan persamaan garis singgung di perpotongan kurva

( )iyxyx .........1622=+− dengan sumbu x.

Titik potong kurva dengan sumbu x berada pada y = 0. Sehingga

dari (i) diperoleh 162 =x atau 4±=x

Dengan demikian kita memiliki dua buah titik singgung yaitu

(4,0), dan (-4,0). Langkah selanjutnya adalah kita tentukan

kemiringan garis di tiap-tiap titik tersebut.

)16()( 22xx DyxyxD =+−

( ) 0'2'2 =++− yyxyyx

0'2'2 =+−− yyxyyx

0')2()2( =−−− yyxyx

')2()2( yyxyx −=−

yx

yxy

2

2'

−

−=

Di titik (4,0), 2'=y

Di titik (-4,0), 2' =y

Jadi persamaan garis singgung di titik(4,0) adalah ( )420 −=− xy

atau ( )ans82 −= xy , sedangkan Di titik (-4,0) persamaan garis

singgungnya adalah ( )( )420 −−=− xy atau ( ).ans82 += xy

2. Menentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan

( ) ( )iiixxx ..............4112 ≤+++

Menurut definisinya

−<+−

−≥+=+

1),1(

1,11

xx

xxx


50

Sehingga

- untuk x ≥ -1 (iii) menjadi

( ) ( ) 4112 ≤+++ xxx

422 2 ≤+++ xxx

232 ≤+ xx

( ) ( ) 22

232

23 ≤−+x

( )4

172

23 ≤+x

1721

23 ≤+x

171721

23

21 ≤+≤− x

23

21

23

21 1717 −≤≤−− x

]17,17[),1[2

3

21

2

3

21

1 −−−∩∞−=Hp

]17,1[23

21 −−=

- sedangkan untuk x < -1 (iii) menjadi

( ) ( ) 41)1(2 ≤+++− xxx

422 2 ≤++−− xxx

062 ≤−− xx

0)2)(3( ≤+− xx

( )!32 periksax ≤≤−

]3,2[]1,(2 −∩−−∞=Hp ]1,2[ −−=

Jadi himpunan penyelesaian yang dimaksud untuk (iii) adalah

21 HpHpHp ∪=

[ ] [ ]1,217,123

21 −−∪−−= [ ](ans)17,2

23

21 −−=

3. a. Menentukan a agar 3

1349lim

2 =+++−∞→

xaxxx

3

1

349

349.349lim

2

22

=−++

−+++++

−∞→ xaxx

xaxxxaxx

x

3

1

349

949lim

2

22

=−++

−++

−∞→ xaxx

xaxx

x


51

3

1

349

4lim

2=

−++

+

−∞→ xaxx

ax

x

3

1

34

9

4

lim

2

2

=

−++

+

−∞→

xxx

ax

xax

x

3

1

34

9

4

lim

2

=

−++

+

−∞→

xxx

ax

xax

x

3

1

34

9

4

lim

2

=

−++−

+

−∞→

xxx

ax

xax

x

3

1

34

9

4

lim

2

=

−++−

+

−∞→

xx

a

xa

x

3

1

39=

−−

a

)ans(2

3

1

6

−=

=−

a

a

b. Menentukan nilai a dan b jika 2)cos(

lim 20

−=+

→ x

bxa

x

)cos(lim0

bxax

+→

haruslah bernilai 0. Sebab jika hal ini tidak

terjadi (katakanlah 0)cos(lim0

≠=+→

cbxax

) akan berakibat

∞==+

→

→2

0

20 lim

)cos(lim

x

c

x

bxa

x

x


52

yang bertentangan dengan pernyataan 2)cos(

lim 20

−=+

→ x

bxa

x Tulis

0)cos(lim0

=+→

bxax

00cos =+a ( )ans1,01 −==+ aa

Kemudian karena sekarang 2

0

)cos(lim

x

bxa

x

+

→

berbentuk 00 maka

kita dapat menerapkan dalil L’Hospital

2)cos(

lim2

0

−=+

→ x

bxa

x

22

)sin(lim

0

−=−

→ x

bxb

x

22

)cos(lim

2

0

−=−

→

bxb

x

22

2

−=− b

42 =⇒ b ( )ans2±=⇒ b

4. Diberikan ⋅+

=1

)(2

x

xxf


( )( ) ( )

( )22

2

1

211'

+

−+=

x

xxxxf .

)1(

1

)1(

2122

2

22

22

+

−=

+

−+=

x

x

x

xx

- f(x) monoton naik jika ( )xf ' > 0, yaitu pada selang (-1,1).

- f(x) monoton tutun jika ( )xf ' < 0 , yaitu pada selang (-∞,-1)

dan (1,∞).

- Karena terjadi perubahan kemonotonan (- � + ) dititik x = -1

dan f(-1) ada, maka (-1,- ½) merupakan titik minimum lokal.

Selain itu pada 1=x terjadi perubahan kemonotonan ( +�-)

dan f(1) , maka titik (1,½ ) merupakan titik maksimum local.

-1 1

- - - - - - + + + + - - - - - - f ‘(x)


53


⋅+

−+−+−=

42

2222

)1(

)1)(2)(1(2)1(2)(''

x

xxxxxxf

32

22

)1(

)1)(2(2)1(2

+

−−+−=

x

xxxx

32

33

)1(

4422

+

+−−−=

x

xxxx32

3

)1(

62

+

−=

x

xx

32

2

)1(

)3(2

+

−=

x

xx32 )1(

)3)(3(2

+

+−=

x

xxx

- f cekung ke atas jika )('' xf >0, yaitu pada selang )0,3(− dan

),3( ∞

- f cekung ke bawah jika )('' xf <0, yaitu pada selang

)3,( −−∞ dan )3,0(

- Karena terjadi perubahan kecekungan di 3=x , 0=x dan

3−=x serta ),3(f ),0(f )3(−f masing masing ada,

maka ))3(,3( f , ))0(0( f , dan ))3(,3( −− f merupakan

titik belok.



x

xfa

x

)(lim

∞→

=xx

x

x )1(lim 2

+=

∞→

0)1(

1lim 2

=+

=∞→ xx

axxfbx

−=∞→

)(lim 0)1(

lim 2=

+=

∞→ x

x

x

jadi f memiliki asimtot datar yaitu y = 0.

- f tidak memiliki asimtot tegak

0 33−

- - - - + + + + - - - - + + + + f “(x)


54

⋅+

=1

)(grafik2

x

xxf

x

y

1,1/2

31.0,3

-1,-1/2

31.0,3 −−

0,0

•

•

•

•

•

x y

z 5m

8m

d. Sketsa grafik f(x)

5. Menentukan ukuran x,y,z agar volume kotak pada gambar di bawah

ini maksimum.

Terlebih dahulu kita tentukan fungí dari volume benda sebagai suatu

peubah..

xyyx −=⇒=+ 4,822

xzzx 25,52 −=⇒=+

xzyVVolume ××==

xxxxV )25)(4()( −−=

xxxx )25820( 2+−−=

xxx )21320( 2+−=

2532 0;21320 ≤≤+−= xxxx

⋅


55

Titik maksimum )(xV terletak pada titik kritisnya yaitu pada titik

stasioner atau pada ujung interval dari domain ).(xV Titik stasioner

terjadi ketika V ’(x) = 0 yakni

062620 2 =+− xx

062620 2 =+− xx

010133 2 =+− xx

0)1)(103( =−− xx

3101 =∪= xx

Kita tolak 3

10=x Karena tidak berada pada interval 250 ≤≤ x . Jadi

sekarang kita memiliki tiga buah titik kritis yaitu 1=x yang

berasal dari titik stasioner dan 25,0 == xx yang berasal dari

ujung interval domain )(xV . Untuk mengetahui dimana )(xV

mencapai nilai maksimum, kita evaluasi nilai )(xV pada titik-

titik kritis tersebut, yaitu 39)1( mV = , 30)0( mV = dan

.0)( 3

25 mV = 39)1( mV = merupakan volume maksimum,

sehingga ukuran kotak agar volumenya maksimum adalah x =

1 , y = 3, z = 3 . (ans)


56

PEMBAHASAN




UTS 2004/2005

1. Menetukan himpunan penyelesaian pertaksamaan ( )ixx......3 4<−

Menurut definisinya

<−−

≥−=−

3,)3(

3,33

xx

xxx

Sehingga :

- Untuk x ≥ 3 (i) menjadi

xx 43 <−

03 4 <−−x

x

04)3(

<−−

x

xx

0432

<−−

x

xx

0)1)(4(

<+−

x

xx

401 <<∪−< xx

{ 3)401(1 ≥∩<<∪−<= xxxxHp

{ }43 <≤= xx

- Sedangkan untuk x < 3 (i) menjadi

( )x

x 43 <−−

03 4 <−+−x

x

( )0

43<

−+−

x

xx

0432

>+−

x

xx

4 0 -1

- - - - - + + + - - - - - + + + +


57

Karena 432 +− xx definit positif, maka jelas pertaksamaan

terakhir akan terpenuhi jika dan hanya jika ,0>x sehingga

{ }302 <∩>= xxxHp { }30 <<= xx

Dengan demikian himpunan penyelesaian akhir bagi (i) adalah

21 HpHpHp ∪= { }40 <<= xx (ans)

2. Menentukan persamaan garis singgung pada kurva

( )iixxyCosy .....43)( 22=++ di titik potong kurva dengan sumbu x.

Letak titik potong kurva dengan sumbu x adalah y = 0, sehingga

dari (ii) diperoleh

430 2 =+ xCos

431 2 =+ x

12 =x

1±=x

Dengan demikian kita memiliki 2 titik singgung yang akan kita cari

persamaan garis singgungnya yaitu (1,0), dan (-1,0). Selanjutnya

kita tentukan gradien garis singgung pada kedua titik tersebut.

4)3)cos(( 22xx DxxyyD =++

06)'2).(sin(' 22=++− xxyyyxyy

06)sin('2)sin(' 222=+−− xxyxyyxyyy

xxyyxyxyyy 6)sin()sin('2' 222−=−

xxyyyxyxy 6)sin(')sin(21( 222−=−

)sin(21

6)sin('

2

22

xyxy

xxyyy

−

−=

Di titik (1,0) y’= -6 dan di titik (-1,0) y’= 6. Jadi persamaan garis

singgung di titik (1,0) adalah

)1(60 −−=− xy

( )ansxy 66 +−=

sedangkan di titik (-1,0) persamaan garis singgungnya adalah

))1((60 −−=− xy

( )ansxy 66 +=


58

3. Menghitung 222

1lim

3

1 −+

−

→ x

x

x

222

1lim

3

1 −+

−

→ x

x

x 222

222

222

1lim

3

1 ++

++⋅

−+

−=

→ x

x

x

x

x

422

)222)(1(lim

3

1 −+

++−=

→ x

xx

x

22

)222)(1(lim

3

1 −

++−=

→ x

xx

x

)1(2

)222)(1)(1(lim

2

1 −

++++−=

→ x

xxxx

x

62

)222)(1(lim

2

1

=++++

=→

xxx

x

4. Menentukan nilai ekstrim dari 1

)(2 +

=x

xxf pada selang [- ½ ,2].

22

2

)1(

)2()1()('

+

−+=

x

xxxxf

22

2

)1(

1

+

−=

x

x ( )( )22 )1(

11

+

+−=

x

xx

Pada selang [- ½ ,2] terdapat tiga buah titik kritis yaitu titik ujung

21−=x dan 2=x serta titik stasioner .1=x

Untuk 121 <<− x , ( ) 0' >xf sedangkan untuk 21 << x , ( ) .0' <xf

jadi ( )211 =f merupakan nilai maksimum f pada selang [-½ ,2].

Jika f memiliki nilai minimum, harus terjadi pada titik kritis yang

lainnya yaitu pada 21−=x atau 2=x . Sekarang ( )

52

21 −=−f dan

( ) 0' >xf untuk 021 <<− x . Kemudian ( ) 00 =f dan ( )

520 −>>xf

untuk 20 ≤< x , sehingga ( )52

21 −=−f adalah nilai minimum f

pada [- ½ ,2].

-1 1

- - - - - - + + + + + + + - - - - - f ‘(x)

2 -½ • •


59

5. Menentukan luas maksimum dari segitiga di bawah.

Titik p dapat bergerak sepanjang kurva xxy 42+−=

( periksa !)

Luas ∆ pqr = )(xL = 2.Luas ∆ prs

pppsrspsrsps

xL '..2

..2)( ===

)4)(2( 2xxx +−−=

xxxx 824 223 −++−=

42;86 23≤≤−+−= xxxx

Untuk menentukan nilai maksimum L(x), terlebih dahulu harus

ditentukan titik kritisnya. Titik stasioner diperoleh dengan

menyelesaikan 0)(' =xL

08123 2 =−+− xx

04382

=+− xx

04)2(382 =+−−x

342)2( =−x

342 ±=x

Kita tolak 342 −=x karena tidak berada dalam selang 42 ≤≤ x .

Jadi pada titik stasioner kita telah memiliki sebuah titik kritis,

sedangkan dari ujung interval kita memiliki dua buah titik kritis

yaitu x = 2 dan x = 4. Untuk mengetahui yang mana yang

merupakan titik maksimum, kita evaluasi L(x) pada titik kritis yang

kita miliki, yakni 3)2(3

1634 =+f ,

0)2( =f ,

0)4( =f . Jadi

Luas segitiga maksimum adalah )ans.(33

16


60

PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2003/2004



UTS 2003/2004

1. Menetukan daerah asal suatu fungsi:

a. 522)( −−−= xxxf

{ }RxfxD f ∈= )(

{ }Rxxx ∈−−−= 522

{ }0522 ≥−−−= xxx

Kita selesaikan pertidaksamaan ( )ixx ..0522 ≥−−−

Menurut definisinya

( )

<−−

≥−=−

2;2

2;22

xx

xxx

<−

≥=

0;

0;

xx

xxx

Sehingga :

- untuk 0≤x (i) menjadi

05)())2((2 ≥−−−−− xx

0542 ≥−++− xx

01 ≥−− x

1−≤x

{ }101 −≤∩≤= xxxHp { }1−≤= xx

- kemudian untuk 20 << x (i) menjadi

05))2((2 ≥−−−− xx

0542 ≥−−+− xx

013 ≥−− x

31−≤x

{ } { }=−≤∩<<=31

2 20 xxxHp


61

- sedangkan untuk 2≥x (i) menjadi

05)2(2 ≥−−− xx

0542 ≥−−− xx

9≥x

{ } { }9923 ≥=≥∩≥= xxxxxHp

Dengan demikian himpunan penyelesaian akhir bagi (i) adalah

{ }91321 ≥∪−≤=∪∪= xxxHpHpHpHp yang sekaligus

menjadi daerah asal f yaitu { }91 ≥∪−≤= xxxD f (ans)

b. 3

6)(

23

+

−−=

x

xxxxf

Menurut definisinya

{ }RxfxD f ∈= )(

{ }3;03

623

−≠≥+

−−= x

x

xxxx

Kita selesaikan pertidaksamaan ( )iix

xxx....................0

3

623

≥+

−−

03

)6( 2

≥+

−−

x

xxx

03

)2)(3(≥

+

+−

x

xxx

Dengan demikian himpunan penyelesaian bagi (ii) adalah

{ }3023 ≥∪≤≤−∪−< xxxx yang sekaligus menjadi daerah

asal f. (ans)

2. a. Menghitung xx

x

x sin

cos1lim 2

+

→π

Karena limit berbentuk 00 , maka kita dapat menerapkan

dalil L’Hopital.

xx

x

x sin

cos1lim 2

+

→π xxxx

x

x cossin2

sinlim 2+

−=

→π

( )ans00

02

=−

=π

+ + + + + - - - + + + + - - - - - - - - + + + +

-3 -2 0 3


62

b. Menentukan a agar 524lim2 =++

−∞→

xaxxx

524lim2 =++

−∞→

xaxxx

524

2424lim

2

22 =

−+

−+⋅++

−∞→ xaxx

xaxxxaxx

x

524

44lim

2

22

=−+

−+

−∞→ xaxx

xaxx

x

5

24

lim2

=

−+−∞→

xx

ax

ax

x

5

24

lim =

−+−∞→

xx

ax

ax

x

5

24

lim =

−+−−∞→

xx

ax

ax

x

5

24

lim =

−+−−∞→

x

a

a

x

524

=−−

a

( )ansa 20−=

3. Memeriksa apakah

+−

+−=

,22

,32)(

2

2

xx

xxxf

1

1

<

≥

x

x

diferensiabel di x = 1.

Jika kita perhatikan dengan baik, terlihat bahwa f tidak kontinu di

x = 1 karena ( ) ( )12lim1

fxfx

==+→

sedangkan ( ) 1lim1

=−→

xfx

. Ini

mengakibatkan f tidak diferensiabel di x = 1. (ans)


63

4. 1

1)(

2

−

−+=

x

xxxf

a. Menentukan selang kemotonan

2

2

)1(

)1(1)1)(12()('

−

−+−−+=

x

xxxxxf

22

2

)1(

)2(

)1(

2

−

−=

−

−=

x

xx

x

xx

- f(x) naik jika f ‘(x) > 0, yaitu pada selang (-∞,0) dan (2,∞).

- f(x) turun jika f ‘(x) < 0, yaitu pada selang (0,1) dan (1,2).

- Terjadi perubahan kemonotonan di x = 0 (+ � -), maka

(0,f(0)) = (0,0) adalah titik maksimum local. Terjadi

perubahan kemonotonan di x =2 (- � +), maka (2,f(2)) = (2,5)

merupakan titik minimum local.


4

22

)1(

)2)(1(2)1)(22()("

−

−−−−−=

x

xxxxxxf

3)1(

)2(2)1)(22(

−

−−−−=

x

xxxx

3

22

)1(

422222

−

+−+−−=

x

xxxxx3)1(

2

−=

x

- f(x) cekung ke atas jika )(" xf > 0, yaitu pada selang x > 1

- f(x) cekung ke bawah jika )(" xf < 0, yaitu pada selang x < 1

- f tidak memiliki titik belok, walaupun terjadi perubahan

kecekungan di x = 1 tetapi f(1) tidak ada.


• Asimtot miring/ datar (berbentuk y = ax + b)

+ + + + - - - - - - - - + + +

0 1 2

- - - - - - - - + + + + + + +

1


xx

xx

xx

xx

x

xfa

xxx −

−+=

−

−+==

∞→∞→∞→2

22 1lim

)1(

1lim

)(lim

−

−+

=∞→

xx

xxx

x 11

111

lim2

2

2

11

1

111

lim

2

=

−

−+

=∞→

x

xx

x

xx

xxaxxfb

xx

−−

−+=−=

∞→∞→ )1(

1lim)(lim

2

1

)1()1(lim

2

−

−−−+=

∞→ x

xxxx

x

21

12lim =

−

−=

∞→ x

x

x

Jadi f memiliki asimtot miring y = x + 2

• Asimtot tegak ( berbentuk x = c )

Karena ,)1(

1lim

2

1

∞=−

−+

→ x

xx

x

maka x = 1 merupakan asimtot

tegak dari f.

d. Grafik f(x)

5. Materi UAS


64

= 1 merupakan asimtot


65

PEMBAHASAN

UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2002/2003


Senin 11 April 2003

UTS 2002/2003 1. Menetukan himpunan penyelesaian dari

a. xx

x<

+

−

1

1

01

1<−

+

−x

x

x

01

)1(1<

+

+−−

x

xxx

01

1 2

<+

−−−

x

xxx

01

1 2

<+

−−

x

x

01

1 2

>+

+

x

x

Karena 21 x+ definit positif maka jelas pertaksamaan terakhir

terpenuhi jika dan hanya jika 1−>x . Jadi himpunan

penyelesaiannya adalah { }( )ansxx 1−>

b. 21

5 <−x

2

2

21

5 <−x

2

2

21

5 <

−

x

021

5 2

2

<−

−

x

021

521

5 <

+−

−−

xx


66

01

71

3 <

−

−

xx

01713

<

−

−

x

x

x

x

0)17)(13(

2<

−−

x

xx

{ }( )ansxxHp3

17

1 <<=

2. Diketahui 9

)(2 −

=x

xxf


22

2

)9(

).2()9.(1)('

−

−−=

x

xxxxf

22

22

)9(

29

−

−−=

x

xx22

2

)9(

)9(

−

+−=

x

x

Karena untuk setiap 3±=x ; 0)(' <xf maka f tidak selalu turun

pada (-∞,∞)/{±3}. Hal ini juga menunjukan bahwa f tidak

memiliki nilai ekstrim. (ans)


Selang kecekungan dapat ditentukan dari )(" xf

42

2222

)9(

))9()(2)(9(2)9)(2()("

−

+−−−−−=

x

xxxxxxf

32

22

)9(

))9()(2(2)9)(2(

−

+−−−−=

x

xxxx

32

33

)9(

364182

−

+++−=

x

xxxx32

3

)9(

542

−

+=

x

xx33

2

)3()3(

)27(2

+−

+=

xx

xx

- f(x) cekung ke atas jika )(" xf > 0, yaitu pada selang (-3,0) dan

(3,∞)

○ ○ ○ 0 1/7 1/3

+ + + + + + - - + + + + + +

○ ○ ○ -3 0 3

- - - - + + + - - - - + + + + f “(x)


67

- f(x) cekung ke bawah jika )(" xf < 0, yaitu pada selang (-∞,-3)

dan (0,3)

- Karena terjadi perubahan kecekungan di x = 0 dan f(0) ada,

maka titik (0,f(0)) = (0,0) merupakan titik belok.


- Asimtot datar/miring ( berbentuk y = ax + b )

0)9(

1lim

)9(lim

)(lim 22

=−

=−

==∞→∞→∞→ xxx

x

x

xfa

xxx

( )0

1

0

91

1

lim0)9(

lim)(lim

22

2

2==

−

=−−

=−=∞→∞→∞→

xx

xx

x

xaxxfb

xxx

Jadi memiliki asimtot datar yaitu y = 0

- Asimtot tegak ( berbentuk x = c )

Karena ,)9(

lim 23

∞=−→ x

x

x

dan ∞=−−→ )9(

lim 23 x

x

x

maka 3±=x

merupakan asimtot tegak dari f.

d. Grafik f(x)

9)(

2 −=

x

xxf


68

3. Diketahui ).(............................................................65 22iyxxy −=−

a. Menentukan y’

)6()5( 22−=− xx DyxxyD

)6()5()( 22−=− xxx DyxDxyD

0)5'..10()'.2.1( 22=+−+ xyyxxyyy

05'..10'.2 22=−−+ xyyxxyyy

22 105'.'.2 yxyxyxyy −=−

22 10')52( yxyyxyx −=−

)......(......................................................................52

10'

2

2

iixxy

yxyy

−

−=

b. Menentukan persamaan garis singgung dan garis normal di x = 1.

Ketika x = 1 , maka persamaan (i) memberikan

652−=− yy

0652=+− yy

0)2)(3( =−− yy

2atau,3 == yy

Dengan demikian kita memiliki dua titik singgung yaitu (1,3)

dan (1,2). Kemudian dengan menyulihkan kedua titik tersebut

pada (ii), maka diperoleh kemiringan garis singgung pada masing

masing titik secara beruturut-turut yaitu 21'=y dan 16' −=y .

Jadi :

- Persamaan garis singgung di titik (1,3) adalah

)1(213 −=− xy atau )(1821 ansxy −=

- Persamaan garis singgung di titik (1,2) adalah

)1(162 −−=− xy atau )(1816 ansxy +−=

- Persamaan garis normal di titik (1,3) adalah

)1(3211 −−=− xy atau )(06421 ansyx =−+

- Persamaan garis normal di titik (1,2) adalah

)1(2161 −−=−

−xy atau )(03116 ansyx =+−

4. Materi UAS


69

PEMBAHASAN



UTS 2001/2002

1. Menetukan himpunan penyelesaian dari :

a. 32

7<

x

032

7<−

x

02

)2(37<

−

x

x

02

67<

−

x

x

{ }670 >∪<= xxxHp

b. ( )ix .....342 <−<−

Pertaksamaan ini setara dengan dengan .3424 <−−>− xx dan

- 24 −>−x

adalah suatu pernyataan yang benar untuk

sembarang nilai x, jadi pertaksamaan ini dipenuhi oleh .Rx∈

- 34 <−x

343 <−<− x

71 << x

Jadi himpunan penyelesaian yang dimaksud untuk (i) adalah

{ }71 <<∩∈ xRxx { }71 <<= xx

2. Diberikan ( )

>−

≤+=

bxx

bxxxf

;12

;7)( 3

1

a. Menentukan nilai b agar f kontinu

Agar f kontinu dimana mana maka f harus kontinu di x = b, yaitu

harus dipenuhinya syarat )()(lim)(lim bfxfxfbxbx

==+− →→

7/6 0 ○ ○

- - - - - + + + + + + - - - - - -


70

)(lim)(lim xfxfbxbx

+− →→

=

( ) 12lim7lim 31 −=+

+− →→

xxbxbx

( ) 12731 −=+ bb

367 −=+ bb

2=b

b. Memeriksa apakah f diferensiabel di x = b = 2

Untuk mengetahui harus diselidiki apakah ).2()2( ''+− = ff

Tetapi karena

2

)2()(lim)2(

2

'

−

−=

−→−

x

fxff

x

( )

2

37lim

31

2 −

−+=

−→ x

x

x 3

1

2

)2(lim

31

2

=−

−=

−→ x

x

x

sedangkan

2

)2()(lim)2(

2

'

−

−=

+→+

x

fxff

x 2

3)12(lim

2 −

−−=

+→ x

x

x

,22

)2(2lim

2

=−

−=

+→ x

x

x

maka jelas kesimpulannya bahwa f tidak diferensiabel di x = 2.

3. Menentukan persamaan garis singgung kurva xxf 431)( −+=

yang sejajar dengan 332 =+ yx

)4()43()(' 21

21 −−=

−xxf

x43

2

−

−=

Karena garis singgung sejajar dengan garis 332 =+ yx yang

memiliki gradien -2/3, maka haruslah

3

2

43

2−=

−

−

x

343 =− x

943 =− x

23−=x

Subtitusi ke fungsi awal untuk mendapatkan ( ) 423 =−= fy . Jadi

persamaan garis singgung yang dimaksud adalah

))((423

32 −−−=− xy atau 3

32 +−= xy .

4. Materi UAS


71

PEMBAHASAN


Mata Kuliah : Kalkulus I (DA 1314)


UTS 2000/2001

1. Menetukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan

a. 5331 +≤− xx

225331 +≤− xx

( ) ( )225331 +≤− xx

( ) ( ) 0533122

≤+−− xx

( )( ) 0)53()31()53()31( ≤+−−++− xxxx

( ) 0646 ≤−− x

064 ≤−− x

32−≥x

{ }

32−≥= xxHp

b. ( )ix

x ......2

1 <−

Dengan menggunakan definisi nilai mutlak untuk x , maka

Untuk x ≥ 0, (i) menjadi

xx

21<−

02

1 <−−x

x

02)1(

<−−

x

xx

022

<−−

x

xx

0)1)(2(

<+−

x

xx

201 <<∪< xx

{ })201()0(1 <<∪<∩≥= xxxxHp { }20 <<= xx

- - - - + + + - - - - - - + + +

-1 0 2


72

Sedangkan untuk x < 0 (i) menjadi

xx

−<−

21

02

1 <+−x

x

02)1(

<+−

x

xx

022

<+−

x

xx

Karena 22 +− xx definit positif, maka jelas pertaksamaan

terakhir akan terpenuhi jika dan hanya jika 0<x , sehingga

{ }002 <∩<= xxxHp { }0<= xx

Jadi himpunan penyelesaian akhir bagi (i) adalah

21 HpHpHp ∪= { }020 <∪<<= xxx { }0;2 ≠<= xxx

2. Diketahui

≥+

<=

1,

1,)(

2

xqpx

xxxf

a. Menentukan hubungan antara p dan q agar f kontinu di x = 1.

Menurut hipotesisnya, kekontinuan kiri f pada x = 1 akan

menghasilkan

( ) ( )1lim1

fxfx

=−→

qpxx

+=−→

2

1lim

qp +=1

Sedangkan kekontinuan kanan f di x = 1menghasilkan hubungan

trivial ( qpqp +=+ ). Jadi hubungan antara p dan q agar f

kontinu di x = 1 adalah qp +=1

b. Menentukan nilai p dan q agar 1('f ) ada

agar 1('f ) ada maka )1()1( ''+− = ff yaitu

1

)1()(lim

1

)1()(lim

11 −

−=

−

−

+− →→ x

fxf

x

fxf

xx


73

1

)(lim

1

)(lim

1

2

1 −

+−+=

−

+−

+− →→ x

qpqpx

x

qpx

xx

1lim

1

1lim

1

2

1 −

−=

−

−

+− →→ x

ppx

x

x

xx

1

)1(lim

1

)1)(1(lim

11 −

−=

−

+−

+− →→ x

xp

x

xx

xx

pxx

=+−→

1lim1

( )ansp 2=

Dengan demikian kita peroleh ( )ansq 1−=

3. Diketahui kurva 232

32

=+ yx

a. Menentukan 'y di (1,-1)

)2()( 32

32

xx DyxD =+

0'.31

323

1

32 =+

−−yyx

31

31

32

31

32

'

−=

−=

−

−

x

y

y

xy

Di titik (1,-1) ( )ansy 1' =

b. Persamaan garis singgung dititik (1,-1) adalah ( ) ( )11 −=−− xy

atau ( )ansxy 2−= . Sedangkan persamaan garis normalnya

adalah ( ) ( )1111 −=−− − xy atau ( )ansxy −= .

4. Menghitung :

a. x

dttx

x

x sinlim

2

0

∫

→

Karena limit berbentuk 0/0 maka berlaku dalil L’Hopital.

Kemudian gunakan TDK II untuk mendapatkan hasil berikut

x

dttx

x

x sinlim

2

0

∫

→ ( )xD

dttD

x

x

xx

x sinlim

2

0

∫=

→

0cos

2lim

cos

2.lim

2

0

2

0

=−

=−

=→→ x

xx

x

xxx

xx


74

Alternative lain adalah dengan mengerjakan bagian yang

mengandung integral terlebih dahulu sebagai berikut

x

dttx

x

x sinlim

2

0

∫

→

x

t x

x

x sinlim

22

3

32

0→

=x

xx

x sinlim

3

322

3

32

0

−=

→

Selanjutnya karena limit terakhir berbentuk 0/0 maka

berlaku dalil L’Hopital yang memberikan hasil berikut

x

xx

x sinlim

3

322

3

32

0

−

→

( )ansx

xx

x

0cos

2lim

2

0

=−

=→

b. ∫−

1

1

dxx

x

Misalkan x

xxf =)( . Fakta bahwa )()( xf

x

x

x

xxf −=

−=

−

−=−

menunjukkan bahwa f fungsi ganjil yang berakibat 01

1

=∫−

dxx

x

5. Diberikan ( )( )

( )1;

1

21

1

1

1

11

)1(

1)(

22

2

−≠+

−=+

−=

+

+−=

+

−= x

xx

x

x

xx

x

xxf

a. Menentukan selang kemonotonan dan titik ekstrim

( )21

2)('

+=

xxf

f selalu naik pada (-∞,∞)/{-1} karena untuk setiap nilai x

kecuali x = -1, 0)(' >xf . Kenyataan ini juga menunjukkan

bahwa f tidak memiliki nilai ekstrim.


3)1(

4)("

+

−=

xxf

- f(x) cekung ke atas jika )(" xf > 0, yaitu pada selang (-∞,-1)

- f(x) cekung ke bawah jika )(" xf < 0, yaitu pada selang (-1,∞)

- f(x) tidak memiliki titik belok. Walaupun terjadi perubahan

kecekungan di x = -1, tetapi f(-1) tidak ada.


75


- Asimtot datar / miring (berbentuk y = ax + b)

==∞→ x

xfa

x

)(lim

( )0

1

21lim

1

1

21lim =

+−=

+−

∞→∞→ xxxxx xx

12

21lim)(lim =

+−=−=

∞→∞→ xaxxfb

xx

Jadi f memiliki asimtot datar yaitu y =1


karena ( ) ∞=−→

xfxlim

1

maka x = -1 asimtot tegak dari f.

d. Sketsa Grafik f(x)

2

2

)1(

1)(Grafik

+

−=

x

xxf


76

PEMBAHASAN


Mata Kuliah Kalkulus I (DA 1314)


UTS 1999/2000

1. 32

≤+x

x

2

2

32

≤+x

x

2

2

32

≤

+

xx

032 2

2

≤−

+

xx

032

32

≤

−+

++

xx

xx

02323 22

≤

+−

++

x

xx

x

xx

0)1)(2()1)(2(

≤

−−

++

x

xx

x

xx

0)1)(2)(1)(2(

2≤

−−++

x

xxxx

{ } ( )ansxxxHp 2112 ≤≤∪−≤≤−=

2. a. 52

52lim

2

+

+−

−∞→ x

xx

x

52

52lim

2

+

+−

−∞→ x

xx

x

+

+−

=−∞→

xx

xxx

x 52

521

lim2

2

+

+−

=−∞→

xx

xxx

x 52

521

lim2

-2 -1 0 2 1 ● ● ● ● ○

+ + + - - - + + + + + + - - - + + +


77

+

+−−

=−∞→

xx

xxx

x 52

521

lim2

+

+−−

=−∞→

x

xx

x 52

521

lim2

( )2

1−=

( )ans2

1−=

b. Menentukan )(lim5

xgx→

jika diketahui .25103)( 2+−≤− xxxg

,25103)( 2+−≤− xxxg

25103)()2510( 22+−≤−≤+−− xxxgxx

2810)(2210 22+−≤≤−+− xxxgxx

Karena 32210lim2

5

=−+−→

xxx

32810limdan 2

5

=+−→

xxx

, maka

menurut teorema apit ( )ansxgx

3)(lim5

=→

3. Diberikan 1)( 2−= xxf dan xxg += 1)(

a. Membuktikan bahwa gof terdefinisi

Akan ditunjukkan bahwa { }≠∩ gf DR

,ℜ=fD

berlaku,setiapUntuk ℜ∈x

02 ≥x

112 −≥−x

1)( −≥xf

[ ),,1demikiandengan ∞−=fR

[ )∞−= ,1gD

Kemudian [ ) { }≠∞−=∩ ,1gf DR , persis seperti yang ingin

ditunjukkan dan membuktikan bahwa gof terdefinisi∎

b. Menentukan gof dan daerah asalnya

))(()( xfgxfgo = )1( 2 −= xg )1(1 2 −+= x 2x= ( )ansx .=

Menurut definisinya

{ }gfgof DxfDxD ∈∈= )( [ ){ }∞−∈−∈= ,112xRx { }112 −≥−∈= xRx

{ }02 ≥∈= xRx { } ( )ansRx ∈=


78

4.

≤+−

>−

−+

=

3,17

3,3

152

)(2

2

xxqx

xx

pxx

xf

Agar f kontinu di x = 3, maka haruslah ).(lim)3()(lim33

xffxfxx

+− →→

==

Kekontinuan kiri f pada x = 3 menghasilkan hubungan trivial

( )209209 −=− qq . Sedangkan kekontinuan kanan f pada x = 3

dijabarkan sebagai berikut )3()(lim

3

fxfx

=+→

( )iqx

pxx

x

........2093

152lim

2

3

−=−

−+

+→

152lim2

3

−++→

pxxx

haruslah bernilai 0, sebab jika tidak (katakanlah

0152lim2

3

≠=−++→

cpxxx

) akan berakibat

( )∞=

−=

−

−+

+→

+→ x

c

x

pxx

x

x 3lim3

152lim

3

2

3

yang menyebabkan f gagal kontinu di x = 3.

Tulis

0152lim2

3

=−++→

pxxx

015318 =−+ p

1−=p

Dengan menyulihkan hasil ini pada (i) akan memberikan

2093

152lim

2

3

−=−

−−

+→

qx

xx

x

2093

)3)(52(lim

3

−=−

−+

+→

qx

xx

x

( ) 20952lim3

−=+−+→

qxx

20911 −=− q

1=q

Jadi Agar f kontinu di x = 3 maka haruslah p = -1 dan q = 1 (ans).


79

5. Diberikan 2)3( 22=+− yx

a. Menentukan y’

( ) )2()3( 22xx DyxD =+−

0'2)3(2 =+− yyx

)3(2'2 −−= xyy

y

xy

)3('

−−=

b. Menentukan garis singgung yang tegak lurus garis y = x.

Karena tegak lurus dengan garis y = x yang memiliki gradien 1,

maka gradient garis singgung yang dimaksud haruslah memiliki

gradient -1/1 = -1. Sehingga dengan melihat hasil pada poin

sebelumnya diperoleh

1)3(

−=−

−y

x

3−= xy

Subtitusi ke persamaan awal memberikan 222=+ yy atau .1±=y

- untuk y =1 menghasilkan x = 4, sehingga persamaan garis

singgungnya adalah ( )41 −−=− xy atau 5+−= xy

- untuk y = -1 menghasilkan x = 2, sehingga persamaan garis

singgungnya adalah ( ) ( )21 −−=−− xy atau 1+−= xy

6. Diketahui f(x) adalah fungsi kontinu dan f(0) = f(2) = 0, serta grafik

( )xf ' sbb.


80


Perhatikan grafik ( )xf ' !

- f(x) monoton naik jika ( )xf ' > 0, yaitu pada ( )1,0 dan ( )∞,3

- f(x) monoton turun jika ( )xf ' < 0, yaitu pada selang (-∞,-1),

(-1,0), (1,2), dan (2,3)


- f(x) cekung keatas jika ( )xf " > 0, atau dengan kata lain

jika ( )xf ' naik, yaitu pada selang (-∞,-1), dan (2,∞)

- f(x) cekung ke bawah jika ( )xf " < 0, atau dengan kata lain

jika ( )xf ' turun, yaitu pada selang (-1,0), dan (0,2)

c. Sketsa f(x)

contoh soal dan pembahasan kalkulus

Documents