soal dan-solusi-uas-kalkulus-i-ittelkom
TRANSCRIPT
1001 Pembahasan UAS Kalkulus I
i
K A T A P E N G A N T A R
S ebagaian besar m ahasi sw a m engan ggap bahw a M ata K u l i ah y ang
berhubungan dengan m engh i tung y an g salah satun y a K a lku lu s adalah susah ,
rum i t d an m em usin gkan . A lh asi l j al an keluar y ang d i tem puh un tu k
m en gatasin y a adalah m ahasi sw a m enghaf al tekn ik ( u ru tan cara) m en j aw ab
so al , b u kan m em aham i in t i p erso al an , m ateri , d an bagaim ana m endapatkan
id e m eny elesaikan so al .
S eb ag ian l ag i m enganggap pem aham an m ateri saj a sudah cukup .
P engalam an say a, m ahasi sw a y ang baru m em aham i sebuah m ateri secara
in tu i t i f te tap saj a akan kesu l i tan ket i ka m en j aw ab perso alan . K esu l i tan bukan
karen a ti d ak tahu jaw abann y a, tetap i ku rang pandai b agaim ana cara
m en gungkapkann y a. K em am puan seseo rang m enuangkan apa y ang
d i f ah am in y a ke dalam tu l i san y ang si stem at i s d an b i sa d im engert i o rang lain
j u ga pen t i n g , karena o rang khu su sn y a do sen keti ka U A S m en i l a i ap a y ang
k i ta tu l is p ada lem bar j aw aban bukan apa y ang ada d i d al am o tak k i ta .
“ 1 0 0 1 so a l d a n pemba ha sa n “ in i d i bu at buka n dengan tu ju an agar
m ahasi sw a pem baca m en ghaf al tekn ik m en j aw abny a, m elain kan supay a
pem baca dapat leb ih m em aham i m ateri , d an berl at ih m en gungkapkan apa
y ang d i f ah am i . T en tu nn y a tu l isan in i t i dak l ah cukup bag i pem baca, tex t
b o o k dan pen jelasan dari do sen tetap lah leb ih u tam a, j ad ikan so al- so al y ang
ada d i si n i sebagai l at i h an , sekedar un tu k m el i h at keb enaran jaw aban anda
atau keti ka anda m erasa sudah m engalam i kebun tu an , b aru si l ah kan pem baca
m en y im ak pem bahasann y a.
1001 Pembahasan UAS Kalkulus I
ii
S em o ga berm an f aat !
P enu l i s
A r ip P a r y a d i
1001 Pembahasan UAS Kalkulus I
iii
D A F T A R I S I
K A T A P E N G A N T A R ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
D A F T A R I S I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i i i
M A T H E M A T I C F O R M U L A E .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
S O A L S O A L .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
U as 2 0 0 9 -2 0 1 0 K alku lu s I M A 1 1 1 4 (S P ) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
U as 2 0 0 8 -2 0 0 9 K alku lu s I M A 1 1 1 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
U as 2 0 0 7 -2 0 0 8 K alku lu s I M A 1 1 1 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
U as 2 0 0 6 -2 0 0 7 K alku lu s I M A 1 1 1 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
U as 2 0 0 5 -2 0 0 6 K alku lu s 1 M A 1 1 1 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
U as 2 0 0 4 -2 0 0 5 K alku lu s I M A 1 1 1 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
U as 2 0 0 3 -2 0 0 4 K alku lu s I M A 1 1 2 2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
U as 2 0 0 3 -2 0 0 4 K alku lu s I P U 1 3 3 3 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0
U as 2 0 0 3 -2 0 0 4 K alku lu s I M A 1 3 1 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1
U as 2 0 0 2 -2 0 0 3 K alku lu s I P U 1 3 3 3 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2
U as 2 0 0 2 -2 0 0 3 K alku lu s I M A 1 3 1 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3
U as 2 0 0 2 -2 0 0 3 K alkuku s I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4
U as 2 0 0 1 -2 0 0 2 K alku lu s I D A 1 3 1 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5
U as 2 0 0 0 -2 0 0 1 K alku lu s I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6
P E M B A H A S A N ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7
U as 2 0 0 9 -2 0 1 0 K alku lu s I M A 1 1 1 4 (S P ) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8
U as 2 0 0 8 -2 0 0 9 K alku lu s I M A 1 1 1 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1
U as 2 0 0 7 -2 0 0 8 K alku lu s I M A 1 1 1 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5
U as 2 0 0 6 -2 0 0 7 K alku lu s I M A 1 1 1 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8
1001 Pembahasan UAS Kalkulus I
iv
U as 2 0 0 5 -2 0 0 6 K alku lu s I M A 1 1 1 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2
U as 2 0 0 4 -2 0 0 5 K alku lu s I M A 1 1 1 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6
U as 2 0 0 3 -2 0 0 4 K alku lu s I M A 1 1 2 2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0
U as 2 0 0 3 -2 0 0 4 K alku lu s I P U 1 3 3 3 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5
U as 2 0 0 3 -2 0 0 4 K alku lu s I M A 1 3 1 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9
U as 2 0 0 2 -2 0 0 3 K alku lu s I P U 1 3 3 3 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2
U as 2 0 0 2 -2 0 0 3 K alku lu s I M A 1 3 1 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 6
U as 2 0 0 2 -2 0 0 3 kalku lu s I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1
U as 2 0 0 1 -2 0 0 2 K alku lu s I D A 1 3 1 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6
U as 2 0 0 0 -2 0 0 1 K alku lu s I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1
T R I G O N O M E T R Y F O R M U L A E .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 6
1001 Pembahasan UAS Kalkulus I
v
M A T H E M A T I C F O R M U L A E
( ) uvvuu v ''' +=
2
'''
v
uvvuvu −
=
d xd y
d yd u
d xd u
⋅=
( ) 1' −= nn n xx
( ) xx ee ='
( ) aaa xx l n'=
( ) xx co ssin '=
( ) xx sinco s ' −=
( ) xx 2' sectan =
( ) xx 2' cscco t −=
( ) xxx tansecsec ' =
( ) xxx co tcsccsc ' −=
( )x
x1
ln ' =
( ) )(')(
1)(l n ' xf
xfxf =
( )2
'1
1
1sin
xx
−=−
( )2
'1
1
1co s
xx
−−=−
( )2
'1
1
1co t
xx
+−=−
∫−=∫ vd uu vu d v
∫ ++
=+
cnx
d xxn
n
1
1
cxd xx
+=∫ l n1
cea
d xe a xa x +=∫1
∫ +
=
−
− cax
xa
d x 1
22sin
∫ +−= cxx d x co ssin
cxx d x +=∫ sinco s
cax
ax
d x+∫
=
+
−1
22sinh
cxx d x +−=∫ co slntan
cxx d x +=∫ sinl nco t
cxxx d x ++=∫ tanseclnsec
cxxx d x +−=∫ co tcsclncsc
cax
aax
d x+
=∫
+−1
22tan
1
( )2
'1
1
1tan
xx
+=−
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 2
S O A L S O A L
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 3
U J I A N A K H I R S E M E S T E R P E N D E K 2 0 0 9 /2 0 1 0K A L K U L U S I /M A 1 1 1 4
1 5 A G U S T U S 2 0 0 9T U T U P B U K U
U a s 2 0 0 9 -2 0 1 0 K a lk u lu s I M A 1 1 1 4 ( S P )
1 . D iketahu i d aerah D d ibatasi ku rv a xy = , g ari s 1=y , g ari s 4=x .
a . G am barkan daerah Db . H i tu ng lu as daerah Dc. H i tu ng v o lum e benda pu tar b i la D d ipu tar terhadap sum bu y .
2 . a . C ari tu ru nan dari xey1sin −
=
b . H i tu ng ( ) xx
xxe
12l im +−
∞→b i l a ad a
3 . H i tu n g in teg ral
a . ∫2
0
5co sπ
x d x
b . ∫+−
−d x
xx
x
1 06
32
4 . P eri ksa keko n v ergenan in teg ral tak w ajar ( )( )∫−+
+∞
0 234
d xxx
x
N o 1 a 1 b 1 c 2 a 2 b 3 a 3 b 4N i l ai 2 4 7 4 7 7 7 7
Selamat Bekerja dengan Jujur !
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 4
U J I A N A K H I R S E M E S T E R G A N J I L 2 0 0 8 /2 0 0 9K A L K U L U S I M A 1 1 1 4
S E L A S A / 1 3 JA N U A R I 2 0 0 9T U T U P B U K U
U a s 2 0 0 8 -2 0 0 9 K a lk u lu s I M A 1 1 1 4
1 . D iketau i D adalah daerah y ang d ib atasi o l eh ku rv a 42 =+ yx dan gari s2+= xy
a. G am barkan daerah D dan cari t i t i k -t i t i k p o to ngn y ab . H i tu ng lu as daerag Dc. H i tu ng v o lum e benda pu tar, b i la D d ip u tar m engel i l i n g i sum bu x
2 . B i l a ( )a xxa
xf 11 tantan1
)( −− += , a ko n stan ta. T en tu kan a seh in gga
2)0(' =f
3 . H i tu n g ( ) xx
xco tl im0 +→
, b i l a ada.
4 . H i tu ng in teg ral
a. ∫−+− 342 xx
d x
b . d xxx∫ + 423
5 . P eriksa keko nv ergenan in tegral tak w ajar d xex x∫∞
∞−
− 32
S o al 1 2 3 4 5N i l ai 8 8 8 8 8
Selamat Mengerjakan !
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 5
U J I A N A K H I R S E M E S T E R G A N J I L 2 0 0 7 -2 0 0 8K A L K U L U S I /M A 1 1 1 4
T U T U P B U K UU as 2 0 0 7 -2 0 0 8 K alku lu s I M A 1 1 1 4
1 . D iketahu i suatu daerah D d i kuadran I y an g d ibatasi o leh ku rv a24 xy −= , gari s xy 3= dan sum bu y .
a. G am barkan daerah D dan h i tung luasny ab . H i tu ng v o lum e benda pu tar, b i la D d ipu tar terhadap gari s 4=x
2 . D iketahu i ( ) ( )
−=
2
1
sin
πxxxf
a. H i tu ng ( )xfxl im
2
+→ π
b . T en tukan tu runan pertam a dari ( )xf
3 . a. H i tu ng in teg ral ∫−−
+d x
xxx
x
6
623
3
b . periksa keko nv ergenan in tegral tak w ajar ∫∞
−
0dxxe x
N o 1 2 3N i l ai 1 2 1 4 1 4
Selamat mengerjakan denga jujur !
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 6
U J I A N A K H I R S E M E S T E R G A N J I L 2 0 0 6 /2 0 0 7K A L K U L U S I M A 1 1 1 4
S A B T U / 1 3 JA N U A R I 2 0 0 7T U T U P B U K U
U a s 2 0 0 6 -2 0 0 7 K a lk u lu s I M A 1 1 1 4B erdo alah sebelum m u lai m engerj akan !K erj akan dengan j u ju r dan tel i t i !
1 . D iketau i d aerah D d ibatasi o l eh graf ik 21 xy −= , gari s x = 1 , dan garis
y = 1d . H i tu ng luas daerah De. V o lum e benda pu tar , j i ka daerah D d ipu tar terhadap sum bu y .
2 . a. T en tukan 'y ( u n tuk x > 0 dan y > 0 ) j i ka yx xy =
b . D iketahu i ∫ −=3
0) .1( co s)(
xxxd ttf π T en tukan n i l ai f( 8 ) .
3 . H i tu ng ∫++
d xxx
x23
2 1
4 . S el id ik i keko nv ergenan ∫+−
0
1 1d x
x
x
5 . D iketahu i1
)(+
=xx
xf
a. S el id ik i apakah f( x ) m em puny ai i n v ers ?b . C ari ( )11 −−f !
N O M O R 1 2 a 2 b 3 4 5N I L A I M A K S 8 4 4 8 8 8P E N G O R E K S I F D A JD N E R W Z K A D M A S S I
-o0o- Semoga Kemudahan Senantiasa Menyertai Anda -o0o-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 7
U J I A N A K H I R S E M E S T E R G A N J I L 2 0 0 5 /2 0 0 6K A L K U L U S 1 M A 1 1 1 4S E N IN 2 JA N U A R I 2 0 0 6
T U T U P B U K UU a s 2 0 0 5 -2 0 0 6 K a lk u lu s 1 M A 1 1 1 4
B erdo alah sebelum m u lai m engerj akan !K erj akan dengan j u ju r dan tel i t i !
1 . D iketahu i d aerah D d ibatasi o leh graf ik y = x 2 dan y = x . G raf i k f ungsiy = xm m em bag i lu as daerah D m en j ad i dua bag ian y ang sam a.a. G am barkan daerah Db . T en tukan m
2 . T en tukan pan j ang ku rv a y = x 3 /2 dari t i t i k ( 0 ,0 ) ke ( 1 ,1 ) .
3 . C ari l ah
a. ∫ d xxx )(co s)(si n 34
b . ∫ −1
0
1 )(tan d xx
4 . S el id ik i keko nv ergenan ∫−
3
0 29 x
d x
5 . D iketahu i f( x ) = ( x-π) tan x . T en tukana. ( )xf ' .
b . )(l im xfx +→ π
N o 1 2 3 4 5 Jum lahN i l ai M ax 8 8 8 8 8 4 0P engo reksi E R W B Z L F D A S S I JD N
-o0o- Semoga Kemudahan Senantiasa Menyertai Anda -o0o-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 8
U J I A N A K H I R S E M E S T E R G A N J I L 2 0 0 4 /2 0 0 5M A -1 1 1 4 K A L K U L U S I
S E N IN 1 0 JA N U A R I 2 0 0 5T U T U P B U K U
U a s 2 0 0 4 -2 0 0 5 K a lk u lu s I M A 1 1 1 4
1 . D iketahu i D d ibatasi o l eh 2xy = , x = 2 dan y = 1
a. H i tu ng lu as Db . H i tu ng v o lum e benda pu tar y ang terj ad i j i ka D d ipu tar terhadap gari s
x = 3
2 . B i l a xxxxf )si n()( += , ten tukan :
a. )(' xf
b . )(l im0
xfx +→
3 . H i tu ng ∫++
+
−
1
12 52
5d x
xx
x
4 . H i tu ng ∫−
d xx 2
32 )14(
1
5 . P eriksa keko nv ergenan in tegral tak w ajar ∫ −2
1)1ln ( d xx
-o0o- Semoga Kemudahan Senantiasa Menyertai Anda -o0o-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 9
U J I A N A K H I R S E M E S T E R G A N J I L 2 0 0 3 /2 0 0 4M A 1 1 2 2 K A L K U L U S I2 3 D E S E M B E R 2 0 0 3
T U T U P B U K UU a s 2 0 0 3 -2 0 0 4 K a lk u lu s I M A 1 1 2 2
1 . D iketahu i1
)(2 +
=x
xxf
T en tukan :a. D aerah d im ana graf ik f naik atau tu run dan t i t i k ekstrim ny a beserta
j en i sn y a ( b i la ada)b . D aerah d im ana graf ik f cekung atau cekung ke baw ah dan ti t i k
belo kny a ( b i l a ada)c. G ari s-gari s A sim to td . S ketsa graf ik f
2 . D iketahu i ∫+
=−4
2 4
3
,1
)(x
xd t
t
xxH ten tukan H ’ (2 )
3 . D aerah D d ibatasi o l eh ku rv a-ku rv a y = x 2 dan y = 4a. G am bar daerah D dan h i tung lu as daerah tersebu tb . H i tu ng v o lum e benda pu tar y ang terj ad i apab i la daerah D d ipu tar
terhadap gari s y = -1
4 . D ib erikan ( ) xxxf
ln2 1)( += , ten tuka f ‘ ( x )
5 . H i tu ng in teg ral-in teg ral b eriku t
a. ∫ − d xe x9 D engan m enggunakan sub ti tusi xeu −= 9
b . ∫π
0
2co s x d xx
-o0o- Semoga Kemudahan Senantiasa Menyertai Anda -o0o-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 10
U J I A N A K H I R S E M E S T E R G A N J I L 2 0 0 3 /2 0 0 4P U 1 3 3 3 K A L K U L U S
S E N IN 5 JA N U A R I 2 0 0 4T U T U P B U K U
U a s 2 0 0 3 -2 0 0 4 K a lk u lu s I P U 1 3 3 3
1 . D iketahu i daerah tertu tup D y an g d ibatasi o leh ku rv a xy = , gari s
0=x dan garis y = 3a. H i tu ng lu as daerah Db . H i tu ng v o lum e benda pu tar j i ka D d ipu tar terhadap gari s y = -1
2 . D iketahu i ( ) ecxxxf co sco s)( =
a. H i tu ng : )(l im0
xfx →
b . T en tukan tu runan pertam a f( x )
3 . H i tu ng in teg ral b eriku t :
a. ∫+−
d xxx
x
52
22
b . ( )∫ + d xx2ln
4 . S el id ik i keko nv ergenan in tegral tak w aj ar beriku t :
a.( )∫
+
+∞
0 23
32 x
d x
b . ∫−−
−3
12 6
12d x
xx
x
Selamat Bekerja Dengan Jujur
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 11
U J I A N A K H I R S E M E S T E R G A N J I L 2 0 0 3 /2 0 0 4M A 1 3 1 4 K A L K U L U S IS E N IN 5 JA N U A R I 2 0 0 4
T U T U P B U K UU a s 2 0 0 3 -2 0 0 4 K a lk u lu s I M A 1 3 1 4
1 . T en tukan 'y dari b en tuk em p l i si t 1=+ x yex
2 . H i tu ng ∫ + d xx )2ln (
3 . D iketahu i ∫−−
−3
12 6
12d x
xx
x
a. P eriksa apakah in tegral d i atas adalah in teg ral tak w aj ar ?b . Jika in teg ral tak w ajar, periksa keko n v ergenanny a!
4 . a. T en tukan selang keko n v ergenan deret :
( )∑ +++=+∞
=0
2 . . .3211n
n xxxn
b . T en tukan jum lah deret pada so al 4 a dengan m enggunakan :
xxxx
−=++++
11
. . .1 32
5 . T en tukan deret M cL aurin dari f u ngsix
xxf
+=
1)(
Selamat Bekerja Dengan Jujur
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 12
U J I A N A K H I R S E M E S T E R G A N J I L 2 0 0 2 /2 0 0 3K A L K U L U S / P U 1 3 3 3
6 JA N U A R I 2 0 0 3T U T U P B U K U
U a s 2 0 0 2 -2 0 0 3 K a lk u lu s I P U 1 3 3 3K erj akan dengan singkat dan j elas!Jangan lupa berdo ’ a sebelum m engerjakan !
1 . D iketau i ecxxxf co s)1()( +=
a. T en tukan )(' xf
b . H i tu ng )(l im0
xfx +→
2 . H i tu ng in teg ral b eriku ta. ( )d xx 25ln +∫
b . ∫− 22 4 xx
d x
3 . S el id ik i keko nv ergenan dari
a.( )∫
+
+∞
0231x
d x
b . ∫+∞−
0
21d x
e
ex
x
4 . D iketahu i d aerah D d ibatasi o leh xy = , x = 4 , sum bu x .
a . T en tukan luas Db . H i tu ng v o lum e benda pu tar j i ka D d ipu tar terhadap sum bu y .
Selamat Bekerja Dengan Jujur
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 13
U J I A N A K H I R S E M E S T E R G E N A P 2 0 0 2 / 2 0 0 3M A 1 3 1 4 K A L K U L U S IJU M A T , 1 3 JU N I 2 0 0 3
T U T U P B U K UU a s 2 0 0 2 -2 0 0 3 K a lk u lu s I M A 1 3 1 4
1 . H i tu ng
a.( ) ( )∫
+−
+−
41
64322
23
xx
xxx
b . ∫+
d xxx 1
122
2 . T en tukan keko nv ergenan in tegral tak w aj ar( )
d xx
x∫
+
+∞
1232 1
3 . D iketau i ( )2
co t)( xxxf =
T en tukan :a. T u runan pertam a dari f( x ) !b . )(l im
0xf
x +→
4 . T en tukan selang keko nv ergenan ( )∑
+∞
=+
1212
1
nn
n
n
x
Selamat Bekerja Dengan Jujur
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 14
U J I A N A K H I R S E M E S T E R G A N J I L 2 0 0 2 /2 0 0 3K A L K U L U S IT U T U P B U K U
U a s 2 0 0 2 -2 0 0 3 K a lk u k u s I
1 . H i tu ng lah ( ) x
xx sin
0tanl im
+→
2 . T en tukan )(' xf dari2
)si n2()( xxxf +=
3 . H i tu ng in teg ral b eriku t ∫−
d xxx 14 2
4 . T en tukan keko nv ergenan in tegral tak w aj ar d i b aw ah
a. d xe
ex
x
∫+
∞
∞−−
−
21
b . ∫∞
∞− xx
d x3l n
5 . a. P eriksa keko nv ergenan deret ∑∞
=
+
1
1
!3
n
n
n
b . T en tukan selang keko nv ergenan deret ∑+
∞
=
−
02
1
)1(
2
n
nn
n
x
Selamat Bekerja Dengan Jujur
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 15
U J I A N A K H I R S E M E S T E R G A N J I L 2 0 0 1 /2 0 0 2D A 1 3 1 4 K A L K U L U S I
S E N IN 1 5 JA N U A R I 2 0 0 1T U T U P B U K U
U a s 2 0 0 1 -2 0 0 2 K a lk u lu s I D A 1 3 1 4
1 . D ib erikan f ungsi 1,22)( 2 −≤++= xxxxf . T un jukkan bahw a f ungsi
)( xf m em pun y ai i n v ers kem ud ian cari lah )(1 xf −
2 . a. C ari lah in teg ral tak ten tu ∫+
+d x
xx
x
4
43
b . H i tu ng lah ∫−3
12
29d x
x
x
3 . sel i d ik i keko nv ergenan in tegral tak w ajar beriku t
a. d xx∫ +∞
0)1ln (
b . ∫1
0
2
d xx
e x
4 . T en tukan selang /h im punan keko nv ergenan dari d eret p angkat
∑+
−∞
=
+
0
1
32)2(
n
nn
nx
5 . P erderetkan ke dalam deret M ac L au rin (m in im al 4 suku pertam a) un tuk
f ungsi24
1)(
xxf
−=
Selamat Bekerja Dengan Jujur
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 16
U J I A N A K H I R S E M E S T E R G A N J I L 2 0 0 0 /2 0 0 1K A L K U L U S 1
S E N IN / 2 4 N O V E M B E R 2 0 0 0T U T U P B U K U
U a s 2 0 0 0 -2 0 0 1 K a lk u lu s I
1 . D iketahu i xxxxf1
)42()( +=
a. T en tukan )(' xf
b . H i tu ng lah )(l im xfx ∞→
( j i ka ada )
2 . H i tu ng
a. ( )( ){ }∫ −−5
321ln d xxx
b . ∫−
−d x
x
x29
32
3 . H i tu ng ∫++−
−−d x
xxx
xx
)22) (1(
322
2
4 . T en tukan keko nv ergenan in tegral tak w aj ar beriku t :
a. ∫2
0tan
π
θθ d
b . ∫∞−
0 2
d xx e x
5 . T en tukan selang ( h im punan ) keko nv ergenan deret ∑+
−∞
=
+
1
1
)1()1(
k
kk
kkx
Selamat Bekerja Dengan Jujur
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 17
P E M B A H A S A N
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 18
P E M B A H A S A NU JI A N A K H IR S E M E S T E R P E N D E K 2 0 0 9 /2 0 1 0
K A L K U L U S I /M A 1 1 1 41 5 A G U S T U S 2 0 0 9
U a s 2 0 0 9 -2 0 1 0 K a lk u lu s I M A 1 1 1 4 ( S P )1 . D iketahu i d aerah D d ibatasi ku rv a
xy = , gari s 1=y , gari s 4=x .
a . G am bar daerah D d iperl ih atkan padagam bar d i sam p ing
b . M engh i tung lu as daerah Dluas salah satu parti si d ari D adalah :
( ) yyA ∆−=∆ 24
apab i l a lu as selu ruh part i si d ari Dd i j um lahkan akan d ipero leh lu as daerahD y ai tu
( ) 2
1
331
2
1
2 44 yyd yyA −=∫ −=
( ) ( ) 35
31
38 48 =−−−=
c. M engh i tung v o lum e benda pu tar b i l aD d ipu tar terhadap sum bu y .
Jika salah satu parti si d ari D d ipu tarterhadap sum bu y m aka akan d ipero lehsebuah cakram dengan j ari-j ari b ag ian
dalam 2y dan jari-j ari b ag ian lu ar 4
serta tebal y∆ . V o lum e cakram
tersebu t y ai tu
( ) ( ) yytrrV dl ∆−=−=∆ 422 1 6ππ
S eh ingga v o lum e benda pu tar y angd im aksud adalah
( ) ( ) πππ 54 9
2
1
551
2
1
4 1 61 6 =−=∫ −= yyd yyV
1
xy =
40 Dd aerah
y∆
1 24 y−
40 1
2
y
2yrd =
4=lr
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 19
2 . a. M encari tu runan dari xey1si n −
=
m isalkan xu 1sin −= m aka21
1
xd xd u
−= , uey = dan ue
d ud y
= .
D engan m enggunakan atu ran ran tai k i ta pero leh :
2
sin
2 11
11
x
e
xe
d xdu
dud y
d xd y x
u
−=
−==
−
b . M engh i tung ( ) xx
xxe
12l im +−
∞→
( ) xx
xxe
12l im +−
∞→( ) ( )2
12 l n
1l imex plnex pl im xe
xxe x
x
xx
x+=+= −
∞→
−
∞→
( )**
2l imex p*
lnl imex p
2
2
xe
xex
xex
x
x
x
x +
+−=
+=
−
−
∞→
−
∞→
( ) 10ex p2
2l imex p ==
+−
+=
−
−
∞→ xe
ex
x
x
N o te : * dan * * l im i t b erben tuk ∞ /∞ seh ingga L ’ H dapat d i terapkan .
3 . M engh i tung in teg ral
a. ∫2
0
5co sπ
x d x
∫ x d x5co s ( )∫= x d xx co sco s22 ( )∫ −= x d xx co ssi n1
22
( )∫ +−= x d xxx co ssi nsi n21 42
( ) ( )∫ +−= xdxx si nsi nsi n21 42
cxxx ++−= 5513
32 sinsinsin
∫2
0
5co sπ
x d x ( ) 1 58
0
5513
32 2sinsinsin =+−=
π
xxx
b . ∫+−
−d x
xx
x
1 06
32
∫+−
−d x
xx
x
1 06
32
( )∫
+−
+−=
1 06
1 062
2
21
xx
xxdcxx ++−= 1 062
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 20
A l ternat i v e lain adalah dengan m el ih at keny ataan bahw a
∫+−
−d x
xx
x
1 06
32 ( )
∫+−
−= d x
x
x
13
32
kem ud ian lakukan subst i tu si
tx tan3 =−
4 . M em eriksa keko nv ergenan in tegral tak w aj ar ( )( )∫−+
+∞
0 234
d xxx
x
( )( )∫−+
+∞
0 234
d xxx
x( )( ) ( )( )∫
−++
+∫−+
+=
+− →→
3
202 234
l im23
4l im
bb
a
ad x
xxx
d xxx
x
( )( ) ( )*.. . . . . . .23
4l im
3∫
−++
+∞→
c
cd x
xxx
M isalkan ( )( ) ( ) ( )23234
−+
+=
−++
xb
xa
xxx . U n tuk m endapatkan n i l ai a dan b
k i ta kal i kan kedua ruas dengan ( )( )23 −+ xx m en j ad i
( ) ( )324 ++−=+ xbxax
un tuk 2=x d ipero leh b56 = atau 56=b
un tuk 3−=x d ipero leh a51 −= atau 51−=a seh ingga
( )( )∫−+
+d x
xxx
234
( ) ( ) cxxd xxx
+−++−=∫
−
++
−= 2ln3l n25
635
156
51 .
S ekarang k i ta selesaikan l im i t b ag ian pertam a pada ruas kanan ( * )
( )( )∫−+
+−→
a
ad x
xxx
02 234
l im ( ) aa
xx05
651
22ln3lnl im −++−=
−→
( ) ( ) −∞=−+−−−++−=−→
2ln3ln2ln3lnl im 56
51
56
51
2aa
a
I n i m enun jukkan bahw a ( )( )∫−+
+−→
a
ad x
xxx
02 234
l im d iv ergen y ang berak ib at
( )( )∫−+
+∞
0 234
d xxx
x j u ga d iv ergen .
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 21
P E M B A H A S A NU JI A N A K H IR S E M E S T E R G A N JI L 2 0 0 8 /2 0 0 9
K A L K U L U S I M A 1 1 1 4S E L A S A / 1 3 JA N U A R I 2 0 0 9
U a s 2 0 0 8 -2 0 0 9 K a lk u lu s I M A 1 1 1 41 . D iketau i D adalah daerah y ang d ibatasi o l eh
ku rv a 42 =+ yx dan gari s 2+= xy
a. M enggam bar daerah D dan m encarit i t i k-t i t i k po to ngny a
T i t i k po to ng ku rv a an tara 42 =+ yx dan2+= xy
42 =+ yx
422 =++ xx
022 =−+ xx( )( ) 012 =−+ xx
2−=x atau 1=x
b . M engh i tung lu as daerah Dluas salah satu parti si d ari D adalah :
( ) ( )( ) xxxA ∆+−+−=∆ 242
( ) xxx ∆+−−= 22
Jika lu as sem ua parti si d ari D k i tajum lahkan akan d idapat luas daerah Dy ai tu :
( )∫ +−−=−
1
2
2 2 d xxxA
1
2
23 221
31
−
+−−= xxx
29
4238
221
31
=
−−−
+−−=
2+= xy
42 +−= xy
2− 1
) ( )24 +− x
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 22
c. M engh i tung v o lum e bend a pu tar, b i laD d ipu tar m engel i l i n g i sum bu x .
B i l a sebuah part isi d engan t in gg i
22 +−− xx dan alas x∆ d ipu tar terhadapsum bu x m aka akan d ipero leh sebuahcakram dengan j ari – jari d alam 2+x
dan j ari j ari b ag ian lu ar 42 +− x sertatebal x∆ . L u as v o lum e cakram tersebu tadalah
( ) trrV dl22 −=∆ π
( ) ( ) xxx ∆
+−+−= 222 24π
( ) ( )( ) xxxxx ∆++−+−= 441 68 224π
( ) xxxx ∆+−−= 1 249 24π
S eh ingga v o lum e benda pu tar y ang d im aksud adalah :
( )∫ +−−=−
1
2
24 1 249 d xxxxV π1
2
235 1 22351
−
+−−= xxxxπ
−−+−−
+−−= 2 482 4
53 2
1 22351
π π5
1 0 8=
2 . M enen tukan a seh ingga 2)0(' =f j ika ( )a xxa
xf 11 tantan1
)( −− +=
( )( )22 11
11'
a x
axa
xf+
++
=
karena 2)0(' =f m aka
aa
+=1
2
212 aa +=
0122 =+− aa
( ) 01 2 =−a ,
1=a
= xrd
42 +
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 23
3 . M engh i tung ( ) x
xxco tl im
0 +→
( ) x
xxco tl im
0 +→( ) ( )xxx
x
x
xco tl nl imex pco tl nex pl im
00 ++ →→==
( )*
1co tln
l imex p0
=+→
x
x
x
−
−
=+→
2
2
0 1
co tcsc
l imex p
x
xx
x
xx
xx
xx
x
x
xxx co sl im
sinl imex p
co ssin
sinl imex p
002
2
0 +++ →→→==
( ) 10.1ex p ==
N o te : * l im i t b erben tuk ∞ /∞ seh ingga L ’ H b isa d i terapkan .
4 . M eng i tung in teg ral
a. ∫−+− 342 xx
d x
( )*
21 2∫
−−=
x
d x ( ) cx +−= − 2si n 1
N o te: * j i ka ku rang f aham lakukan subst i tu si tx sin2 =−
b . d xxx∫ + 423
m isalkan : 42 += xu m aka x d xdu 2= ataux
d ud x
2= seh ingga
d xxx∫ + 423∫=
xd uux
2
3
∫= duux 2
21 ( )∫ −= duuu 4
21
∫
−= duuu 2
12
34
21
cuu +
−= 2
32
5
38
52
21
( ) ( ) cxx ++−+= 23
225
2 434
451
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 24
5 . M em eriksa keko nv ergenan in tegral tak w aj ar d xex x∫∞
∞−
− 32
d xex x∫∞
∞−
− 32∫+∫= −
∞→
−
−∞→
bx
ba
x
ad xexd xex
0
20
2 33
l iml im
m isalkan 3xu −= m aka d xxdu 23−= seh ingga
∫ − d xex x 32 ∫−= d ue u
31
ce u +−=31
ce x +−= − 3
31
d xex x∫∞
∞−
− 32b
x
ba
x
aee
0
033
31
l im31
l im −
∞→
−
−∞→−+−=
∞=+−++−= −
∞→
−
−∞→ 31
31
l im31
31
l im33 b
b
a
aee
Jad i d xex x∫∞
∞−
− 32 d iv ergen .
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 25
P E M B A H A S A NU JI A N A K H IR S E M E S T E R G A N JI L 2 0 0 7 -2 0 0 8
K A L K U L U S I /M A 1 1 1 4U a s 2 0 0 7 -2 0 0 8 K a lk u lu s I M A 1 1 1 4
1 . D iketahu i suatu daerah D d i kuad ran I y ang
d ibatasi o l eh ku rv a 24 xy −= , gari s xy 3=
dan sum bu y .a. G am bar daerah D luas daerahny a
P erhat ikan gam bar d isam p ing !
T i t i k po to ng an tara ku rv a 24 xy −= dan
xy 3= terj ad i saat xx 34 2 =− y ai tu
0432 =−+ xx( )( ) 014 =−+ xx
4−=x ( t id ak m em enuh i karena D padakw ad ran I ) atau 1=xL uas salah satu part isi d ari D adalah :
( )( ) ( ) xxxxxxA ∆+−−=∆−−=∆ 4334 22
Jika k i ta j um lahkan luas selu ruh parti sid ari D akan d idapat lu as daerah D y ai tu
( )∫ +−−=1
0
2 43 d xxxA
61 3
1
0
2233
31 4 =+−−= xxx satuan lu as.
b . M engh i tung v o lum e benda pu tar, b i l a Dd ipu tar terhadap garis 4=x
A pab i la salah satu part i si d engan t in gg i432 +−−= xxt dan alas x∆ serta
berj arak x−4 dari garis 4=x d ipu tarterhadap gari s 4=x akan d ipero lehsebuah ku l i t ta bung dengan dengant in gg i 432 +−−= xxt , j ari -j ari xr −= 4
serta tebal x∆ .
xy 3= 1
( ) xx 34 2 −−
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 26
V o lum e ku l i t tabung tersebu t adalah :
( )( ) xxxxrr tV ∆+−−−=∆=∆ 43422 2ππ ( ) xxxx ∆+−−−= 1 61 62 23π
A pab i la v o lum e selu ruh ku l i t tabung d i j um lahkan akan d ipero lehv o lum e benda pu tar y ang d im aksud y ai tu
( )∫ +−−−=1
0
23 1 61 62 d xxxxV π ( ) ππ 65
1
0
23314
41 1 51 682 =+−−−= xxxx
2 . D iketahu i ( ) ( ) ( )2
1
sin π−= xxxf
a. M engh i tung ( )xfxl im
2
+→ π
( ) ( ) ( )2
1
22
sinlnex pl iml imπ
ππ
−
++→→
= xxxfxx
( ) ( )*
sinlnl imex p
sinlnex pl im
22 22
ππ ππ −=
−=
++→→ x
x
x
x
xx
( ) 10ex psinco s
l imex p2
===+
→ xx
x π
N o te :* l im i t b erben tuk 0 /0 seh ingga L ’ H dapat d i terapkan .
b . M enen tukan tu runan pertam a dari ( )xf
( ) ( )
−= 2
1
sinπxxxf
( ) ( )2
2
1sinln
sinlnlnπ
π
−==
−
xx
xxf x
( )
−=
2
sinlnln
πxx
DxfD xx
( )( )
( )( ) 22
2sinco s sinln'
π
π
−
−−=
x
xx
xfxf x
x
( )( )
( )( )
( )( )
( )
−
−
−−=
−
−−= 2
1
22
22
2
2 sinsinlnco tsi nl nco t
'π
π
π
π
πxx
x
xxxxf
x
xxxxf
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 27
3 . a. M engh i tung in teg ral ( )( )∫+−
+=∫
−−
+d x
xxxx
d xxxx
x23
6
6
6 3
23
3
m isalkan ( )( ) 232363
++
−++=
+−+
xd
xc
xb
axxx
x
un tuk m endapatkan n i lai a , b , c dan d k i ta kal i kan kedua ruas dengan( )( )23 +− xxx m enghasi l kan
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )*... . . . . . . .. . . . . . . . . .32232363 −++++−++−=+ xd xxcxxxbxxa xx
kem ud ian dengan m eny u l ih kan n i l ai 0=x , 3=x , 2−=x dan 1−=xke dalam ( * ) secara bertu ru t tu ru t k i ta pero leh
b66 −= atau 1−=b
c1 53 3 = atau 51 1=c
d1 02 =− atau 51−=d
dcba 4445 +−−= atau 1=aD engan dem ik ian k i ta m em i l i k i
( ) ( ) Cxxxx
d xxxx
d xxxx
x
++−−+−=
∫
+
−−
+−=∫−−
+
2ln3lnln
231
16
6
51
51 1
51
51 1
23
3
b . M em eriksa keko nv ergenan in tegral tak w aj ar ∫∞
−
0dxxe x
M isalkan xu = dan d xed v x−= m aka d xd u = dan xev −−= seh ingga
∫−=∫=∫ − vd uu vu d vd xx e x
cex ed xex e xxxx +−−=∫+−= −−−−
∫∞
−
0dxxe x axx
a
ax
aexedxxe
00l iml im −−
∞→
−
∞→−−=∫=
11
l im1**1
l im11l im =−
+=−−
+=+−−=∞→∞→
−−
∞→ aaaa
aa
a ee
aea e
Jad i ∫∞
−
0d xx e x ko nv ergen ke 1 .
N o te :* * l im i t b erben tuk ∞/∞ seh ingga L ’ H dapat d i terapkan
1001 Soal & Pembahasan UAS
Arip Paryadi , IT Telkom
P E M B A H A S A NU JI A N A K H I R S E M E S T E R G A N JI L 2 0 0 6 /2 0 0 7
K A L K U L U S I M A 1 1 1 4S A B T U / 1 3 JA N U A R I 2 0 0 7
U a s 2 0 0 6 -2 0 0 7 K a lk u lu s I M A 1 1 1 41 . D iketau i d aerah D d ib atasi o l eh g raf i k
21 xy −= , g ari s x = 1 , d an garis y = 1 .
a. M engh i tung lu as daerah DP erh at i kan gam bar d i sam p in g !L u as salah satu p art i si d ari D adalah
xxxxA ∆=∆−−=∆ 22 ) )1(1( .
S eh in gga lu as daerah D adalah :
l u assatuan31
31 1
0
31
0
2 ==∫= xd xxA
b . M enen tu kan v o lum e benda pu tar , j i k ad aerah D d ip u tar terh adap sum bu y .
M eto de ku l i t ta b u n gJika sal ah satu i ri san dengan t i n gg i
22 )1(1 xx =−− dan alas x∆ serta
b erj arak x dari sum bu y d ip u tar
terhadap sum bu y akan d ipero leh suatu
ku l i t ta bung dengan t i n gg i 2x , j ari j arix dan tebal x∆ . S eh in gga v o lum e ku l i ttab ung tersebu t ad alah :
( ) xxxxxV ∆=∆=∆ 32 22 ππ
241
221
0
41
0
3 πππ =
=∫= xd xxV
1=y
1y −=
Pembahasan UAS Kalkulus I
28
E S T E R G A N JI L 2 0 0 6 /2 0 0 7
x
y
1=x2x−
Dx∆
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 29
2 . a. M enen tukan 'y j i ka yx xy =yx xy =
yx xy l nl n =
xyyx l nln =
( ) ( )xyDyxD xx l nln =
yx
xyxyy
y1
ln''1
ln +=+
yxy
xyyyx
l nln'' −=−
yxy
yxyx
l n'ln −=
−
xyx
yxy
yl n
ln'
−
−=
b . M enen tukan f( 8 ) j i ka d iketahu i ( )*... . . . . .) .1( co s)(3
0∫ −=x
xxd ttf π
T erleb ih dahu lu k i ta ten tukan f ungsi eksp i l i si t dari f( x ) d enganm enerapkan teo rem a dasar kalku lu s pada ( * )
]) .1( co s[)(3
0∫ −=x
xx xxDd ttfD π
πππ )si n()1( co s3)( 23 xxxxxf −+−=
1sinco s3)( 23 −−= xxxxxf πππ
23
3
1sinco s)(
x
xxxxf
−−=
πππ
D engan m en y u l ih kan n i l ai x = 2 ke persam aan terkah ir k i ta pero leh
23
2.3
12sin22co s)8()2(
−−==
πππff 0
1 2101
=−−
=
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 30
3 . M engh i tung ∫+
+d x
xx
x23
2 1
m isalkan1)1(
122
2
+++=
+
+xc
x
bxa
xx
x m aka :
)1(
)1()1(
)1(
12
2
2
2
+
++++=
+
+
xx
cxxbxa x
xx
x
22 )1()1(1 cxxbxa xx ++++=+
un tuk 0=x k i ta pero leh 1=b
un tuk 1−=x k i ta pero leh 2=c
un tuk 1=x k i ta pero leh cba ++= 222 atau 1−=aseh ingga :
∫+
+d x
xx
x23
2 1∫
+++−= d x
xxx 1211
2Cx
xx +++−−= 1ln2
1ln
4 . M eny el id ik i keko nv ergenan ∫+−
0
1 1d x
x
x
∫+
=∫+ −→−
0
1
0
1 1l im
1 aad x
x
xd x
x
x
∫+
−+=
−→
0
1 1
1)1(l im
aad x
x
x
∫
+−+=
−→
0
1 1
11l im
aad x
xx
dxxxaa
+−+∫=
−
−→
21
210
1)1()1(l im
02
12
3
1)1(2)1(
32
l imaa
xx
+−+=
−→
34
)1(2)1(32
232
l im 21
23
1−=
+−+−
−=
−→aa
a
D engan dem ik ian ∫+−
0
1 1d x
x
x ko nv ergen ke34
−
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 31
5 . D iketahu i1
)(+
=xx
xf
a. M eny el id ik i apakah )( xf m em puny ai i n v ers
U n tuk m eny el i d ik in y a k i ta periksa apakah f m ono to n m urn i un tukseti ap selang pada R ( sesuai dengan dom ainny a) . S ekarangperhat ikan bahw a
Rxxx
xxxf ∈∀>
+=
+
−+= 0
)1(
1
)1(
)1()('
22
I n i m enun jukkan bahw a f selalu naik y ai tu f m ono to n m urn iseh ingga f m em i l i k i in v ers.
b . M encari )1(1 −−f
m isalkan )(1 yfx −=
1)(
+=
xx
xf
1+=
xx
y
xxy =+ )1(xyyx =+yxyx −=−
yxy −=− )1(
yy
yy
x−
=−
−=
11
yy
yf−
=−
1)(1
xx
xf−
=−
1)(1
21
)1(11
)1(1 −=−−
−=−−f
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 32
2xy =
xy =
mxy =
P E M B A H A S A NU JI A N A K H IR S E M E S T E R G A N JI L 2 0 0 5 /2 0 0 6
K A L K U L U S 1 M A 1 1 1 4S E N IN 2 JA N U A R I 2 0 0 6
U as 2 0 0 5 -2 0 0 6 K alku lu s I M A 1 1 1 41 . D iketahu i d aerah D d ibatasi o leh graf ik y = x 2 dan y = x . G raf i k f ungsi
y=xm m em bag i lu as daerah D m en j ad i 2 bag ian y ang sam a.a. M enggam bar daerah D
b . M enen tukan n i l ai mK arena G raf ik f ungsi y = xm m em bag ilu as daerah D m en j ad i 2 bag ian y angsam a, m aka luas daerah y ang d ibatasif ungsi y = xm dan y = x adalahsetengah luas D . secara m atem at is dapatd i tu l iskan dalam :
∫ −=∫ −1
0
21
0)(
21
)( dxxxd xxx m
1
0
321
0
12
31
21
21
11
21
−=
+− + xxx
mx m
−=
+−
31
21
21
11
21
m
1 21
11
21
=
+−
m
1 25
1 21
21
11
=−=+m 5
7=⇒ m
2xy =
xy =
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 33
2 . M enen tukan l = pan j ang ku rv a y = x 3 /2 dari t i t i k ( 0 ,0 ) ke ( 1 ,1 ) .
∫
+=
1
0
2
1 d xd xd y
l ∫
+=
1
0
22
1
23
1 d xx
∫ +=1
0 49
1 d xx1
0
23
94
49
132
+= x
−
= 1
41 3
2 78 2
3
3 . M enen tukan :
a. ∫ d xxx )(co s)(si n 34
∫ d xxx )(co s)(si n 34 ∫= d xxxx )co s()(co s)(si n 24
( )∫ −= d xxxx )co s()(si n1)(si n 24
( )∫ −= d xxxx )co s()(si n)(si n 64
( ) ( )∫ −= xdxx sin)(si n)(si n 64
( ) ( ) cxx +−= 75 sin71
sin51
b . ∫ −1
0
1 )(tan dxx
m isalkan : )(tan 1 xu −= dan d xd v =
m aka : d xx
d u21
1
+= dan xv = seh ingga
∫=∫ − u d vd xx )(tan 1∫−= vduu v d x
x
xxx ∫
+−= −
21
1)(tan
( )∫
+
+−= −
2
221
1
1
1)(tan
x
xdxx
Cxxx ++−= − 21 1ln21
)(tan
dengan dem ik ian ∫ −1
0
1 )(tan dxx1
0
21 1ln21
)(tan
+−= − xxx
−−
−= − 1ln
21
02ln21
)1(tan 1 2ln21
4−=
π
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 34
4 . M eny el id ik i keko nv ergenan ∫−
3
0 29 x
d x
∫−
3
0 29 x
d x∫
−=
−→
a
a x
d x
0 23 9l im
m isalkan : θsin3=x m aka θθ dd x co s3=
j i ka 0=x m aka 0=θ
j i ka −→ 3x m aka−
→2π
θ seh ingga
∫−−→
a
a x
d x
0 23 9l im ∫
−=
−
→
b
b
d
0 2
2sin99
co s3l im
θ
θθπ
∫−
=−
→
b
b
d
0 2
2)sin1(9
co s3l im
θ
θθπ
∫=−
→
b
b
d
0 2
2co s9
co s3l im
θ
θθπ
∫=−
→
b
b
d
02
co s3co s3
l imθθθ
π∫=
−
→
b
b
d0
2
l im θπ 2
l im
2
ππ
==−
→
bb
Jad i ∫−
3
0 29 x
d xko nv ergen ke
2π
A l ter n a ti ve l a i n
∫−
3
0 29 x
d x∫
−=
−→
a
a x
d x
0 23 9l im
a
a
x
0
1
3 3sinl im
= −
→ −
23sinl im 1
3
π=
= −
→ −
a
a
y ai tu ∫−
3
0 29 x
d xko nv ergen ke
2π
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 35
5 . D iketahu i ( ) xxxf tan)( π−=
a. M enen tukan ( )xf 'xxy tan)( π−=
xxy tan)l n (l n π−=
)ln ()tan (ln π−= xxy
( ) ( )[ ]π−= xxDyD xx l ntanln
( ) ( )xx
xxyy
tan1
ln)(sec'1 2
ππ
−+−=
( ) ( ) ( ) yxx
xxy
−+−= tan
1lnsec' 2
ππ
( ) ( ) ( ) ( ) xxxx
xxy tan2 tan1
lnsec' ππ
π −
−+−=
b . M engh i tung )(l im xfx +→ π
)(l im xfx +→ π
x
xx tan)(l im π
π−=
+→
−=
+→
x
xx tan)l n (ex pl im π
π
[ ])l n ()tan (ex pl im ππ
−=+→
xxx
[ ])l n ()tan (l imex p ππ
−=+→
xxx
( ) *
)co t(ln
l imex p
−=
+→ xx
x
ππ
−
−=
+→ )(csc
1
l imex p2 x
x
x
ππ
*2 )(sinl imex p
ππ −−=
+→ xx
x 1)co s()sin (2
l imex pxx
x−=
+→ π
( ) 10ex p 0 === e
no te : * l im i t b ern i l ai 0 /0 seh ingga L ’ H dapat d i terapkan
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 36
P E M B A H A S A NU JI A N A K H IR S E M E S T E R G A N JI L 2 0 0 4 /2 0 0 5
M A -1 1 1 4 K A L K U L U S IS E N IN 1 0 JA N U A R I 2 0 0 5
U a s 2 0 0 4 -2 0 0 5 K a lk u lu s I M A 1 1 1 4
1 . D iketahu i D d ibatasi o l eh 2xy = , x = 2 dan y
= 1a. M engh i tung lu as D
L uas salah satu parti si pada D adalah
( ) xxA ∆−=∆ 12
seh ingga luas daerah D adalah
( )∫ −=2
1
2 1 dxxA
2
1
3
31
−= xx
34
131
238
=
−−
−=
b . M engh i tung v o lum e benda j i ka D d ipu tarterhadap gari s x = 3j ika salah satu i ri san dengan t in gg i 12 −x
dan alas x∆ serta berj arak x−3 dari gari s x= 3 d ipu tar terhadap gari s 3=x akand ipero leh suatu ku l i t ta bung dengan t in gg i
12 −x , j ari j ari x−3 dan tebal x∆ .S eh ingga v o lum e ku l i t tabung tersebu tadalah :
( )( )( ) xxxx
xxxV
∆−++−=
∆−−=∆
332
13223
2
π
π
( )∫ −++−=2
1
23 332 dxxxxV π
1 127
321
41
22
1
234 ==
−++−=
ππ xxxx
}x∆
2y
1=y
2=x1
4
x
y
12 −
}x∆
30 x
x−3
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 37
2 . D iketahu i xxxxf )si n()( +=
a. M enen tukan )(' xfxxxy )si n( +=
xxxy )si nl n (l n +=xxxy )si nl n (l n +=
( )( )xxxDyD xx sinln)( ln +=
( ) xxxx
xxyy sin
co s1sinln'
1++
++=
( ) yxxxx
xxy
++
++=sinco s1
sinln'
( ) ( ) xxxxxxx
xxy sinsinco s1
sinln' +
++
++=
b . M engh i tung )(l im0
xfx +→
)(l im0
xfx +→
( ) xx
xx sinl im0
+=+→
( ) xx
xx sinlnex pl im0
+=+→
( )[ ]xxxx
sinlnex pl im0
+=+→
( )[ ]xxxx
sinlnl imex p0
+=+→
( )*
1sinln
l imex p0
+
=+→
x
xx
x
−
++
=+→
20 1
sinco s1
l imex p
x
xxx
x
( )**
sinco s1
l imex p2
0
++
−=+→ xx
xx
x
( ) ( )
+−++
−=+→ x
xxxx
x co s1sinco s12
l imex p2
0
1)0ex p (20
ex p 0 ===
= e
N o te : * l im i t b erb en tu k ∞ /∞ * * ( 0 /0 ) seh i n gga L ’ H d ap at d i terap kan .
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 38
3 . M engh i tung ∫++
+
−
1
12 52
5dx
xx
x
∫++
+
−
1
12 52
5dx
xx
x
( )∫++
+=
−
1
122 21
5d x
x
x
m isalkan : θtan21 =+x m aka θθ dd x 2sec2=
j i ka 1−=x m aka 0=θ
j i ka 1=x m aka4π
θ = seh ingga
( )∫++
+
−
1
122 21
5d x
x
x∫
+
+−=
4
0
22
sec24tan4
5)1tan2(π
θθθ
θd
∫+
+=
4
0
22
sec2)1( tan4
4tan2π
θθθ
θd ∫
+=
4
0
22
sec2)( sec4
4tan2π
θθθ
θd
( )∫ +=4
04tan2
21
π
θθ d [ ] 4
04co sln2
21
π
θθ +−=
( )
−
+−= 02
21
ln221
π 221
ln2
−=π
4 . M engh i tung ∫−
d xx 2
32 )14(
1
m isalkan : θsec21
=x m aka θθθ dxd tansec21
= seh ingga
∫−
dxx 2
32 )14(
1
( )∫
−= θθθ
θdtansec
21
1sec
1
23
2
∫= θθ
θθd
232 )( tan
tansec21
∫= θθ
θθd
3tan
tansec21
∫= θθ
θd
2tan
sec21
∫= θθθ
θd
co s1
sin
co s21
2
2
∫= θθθθ
dsinco s
sin1
21
∫= θθθ dco tcsc21
C+−= θcsc21
Cx +−−= 24121
θx2
1 241 x−
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 39
5 . M em eriksa keko nv ergenan in tegral tak w aj ar ∫ −2
1)1ln ( dxx
∫ −2
1)1ln ( dxx ∫ −=
+→
2
1)1ln (l im
aadxx
M isalkan )1ln ( −= xu dan d xd v = m aka1−
=xd x
d u dan xv = seh ingga
∫ ∫−=∫=− vduu vud vd xx )1ln (
∫−
−−= d xxx
xx1
)1ln (
∫−
+−−−= d x
xx
xx1
1)1()1ln (
∫
−+−−= d x
xxx
11
1)1ln (
( ) Cxxxx +−+−−= )1ln ()1ln (
Cxxxx +−−−−= )1ln ()1ln (
Cxxx +−−−= )1ln ()1( j ad i
∫ −2
1)1ln ( dxx [ ]
2
1)1ln ()1(l im
aaxxx −−−=
+→
( ) ( ) ( )( )[ ]aaaa
−−−−−=+→
1ln12l im1
)1ln ()1(2l im1
−−−−=+→
aaaa
)1ln ()1(l im)2(l im11
−−−−=++ →→
aaaaa
−
−−−=
+→
11
)1ln (l im1
1
a
a
a
−−
−−−=
+→
2
1
)1(1
11
l im1
a
a
a
)(1)1(l im11
a nsaa
−=−−−−=+→
1keko n v erg en)1ln (2
1−∫ −∴ d xx
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 40
P E M B A H A S A NU JI A N A K H IR S E M E S T E R G A N JI L 2 0 0 3 /2 0 0 4
M A 1 1 2 2 K A L K U L U S I2 3 D E S E M B E R 2 0 0 3
U a s 2 0 0 3 -2 0 0 4 K a lk u lu s I M A 1 1 2 2
1 . D iketahu i1
)(2 +
=x
xxf
a. D aerah kem o no to nan f dan t i t i k ekstrim ny a beserta j en i sn y aK em o no to nan dari f dapat d i ten tukan dari )(' xf
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )2222
2
22
2
1
11
1
1
1
21)('
+
+−=
+
−=
+
−+=
x
xx
x
x
x
xxxxf
• f m ono to n naik j i ka 0)(' >xf y ai tu pada selang ( -1 ,1 )
• f m ono to n tu run j i ka j i ka 0)(' <xf y ai tu pada selang),1()1,( ∞∪−−∞
• karena terj ad i p erubahan kem o no to nan pada 1−=x ( -- �++)m aka t i t i k ( )( ) ( )21,11,1 −−=−− f m erupakan t i t i k m in im um .
B eg i tu juga pada 1=x terj ad i p erubahan kem o no to nan (++�--)m aka t i t i k ( )( ) ( )21,11,1 =f m erupakan t i t i k m aksim um .
b . D aerah graf ik f cekung atau cekung ke baw ah dan ti t ik belo kny aD aerah kecekungan dari f dapat d i ten tukan dari ( )xf "
( )( ) ( ) ( )( )42
2222
1
121212)("
+
−+−+−=
x
xxxxxxf
( )( ) ( )( )32
22
1
1412
+
−−+−=
x
xxxx
( )32
33
1
4422
+
+−−−=
x
xxxx
( )32
3
1
62
+
−=
x
xx ( )( )( )32 1
332
+
+−=
x
xxx
• •1− 1
+++++ −−−−−−−−−− ( )xf '
• •3− 3
+++−−− ( )xf "•0
+++ −−−
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 41
43
,3
0,0
•
•
•
•
•
43
,3 −−
21
,1
21
,1 −−
( )1
graf ik2 +
=x
xxf
• f cekung ke atas j i ka ( ) 0" >xf y ai tu pada selang
),3()0,3( ∞∪−
• f cekung ke baw ah j ika ( ) 0" <xf y ai tu pada selang
)3,0()3,( ∪−−∞
• K arena terj ad i p erubahan kecekungan pada 3±=x , 0=x dan
( ) ( ) ( )0,3,3 fff − ada, m aka t i t i k ( )( ) ( )43,33,3 =f dan
( )( ) ( )43,33,3 −−=−− f serta ( )( ) ( )0,00,0 =f m erupakan
t i t i k belo k .
c. G ari s-gari s A sim to t• A sim to t d atar/m i rin g beben tuk ba xy +=
( )0
1
1l iml im 2
=+
==∞→∞→ xx
xfa
xx
( ) 01
l iml im 2=
+=−=
∞→∞→ x
xa xxfb
xx
D engan dem ik ian f hany a m em i l i k i asisto t d atar y ai tu y = 0 .
• A sim to t tegakf t i d ak m em i l i k i asim to t tegak .
d . S ketsa graf ik f
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 42
2 . M enen tukan )2('H j i ka d iketahu i ∫+
=−4
2 4
3
1)(
x
xd t
t
xxH
T erleb ih dahu lu k i ta ten tukan f ungsi eksp isi t d ari H ( x ) d enganm enerapkan teo rem a dasar kalku lu s.
∫
+∫ =
+=
−− 4
2 4
4
2 4
33
1
1
1)('
x
xx
x
xx d t
txDd t
t
xDxH
∫+
+∫+
=−− 4
2 4
4
2 4
33
1
1
1
1 x
xx
x
xd t
tx Dd t
t
( ) ( )
+−
−++∫
+=
−
443
24
2 4 21
2
41
3
1
13
xx
xxd t
t
x
x
( )2 5 7
1 2
2 5 61
2
2 5 61
82
1
12'
4
4 4=
+−
++∫
+= d t
tH
3 . D aerah D d ibatasi o leh ku rv a-ku rv a y = x 2
dan y = 4
a. M enggam bar daerah D danm engh i tung lu as daerahny a.
l u as salah satu parti si dari D adalah :( ) xxA ∆−=∆ 24
A pab i la lu as selu ruh parti si k i tajum lahkan m aka akan d ipero leh lu asdari D y ai tu :
( )2
2
32
2
2
31
44−−
−=∫ −= xxd xxA
33 2
38
838
8 =
+−−
−=
22−
2xy =4x∆
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 43
b . M engh i tung v o lum e benda pu tar y angterj ad i apab i l a daerah D d ipu tarterhadap gari s y = -1
A pab i la sebuah part isi d ipu tarterhadap garis y = -1 m aka akand ipero leh sebuah cakram dengan j arij ari l uar 5=lr dan jari j ari d alam
12 += xr d serta tebal xt ∆= . v o lum e
dari cakram tersebu t y ai tu( ) trrV dl
22 −=∆ π
( ) xx ∆
+−=
22 12 5π
( ) xxx ∆+−−= 2 42 24π
S eh ingga v o lum e benda pu tar y angd im aksud adalah :
( )∫ +−−=−
2
2
24 2 42 d xxxV π2
2
35 2 432
51
−
+−−= xxxπ
−+−
+−−= 4 8
31 6
53 2
4 831 6
53 2
π π1 5
1 0 8 8=
4 . M enen tukan 'y j i ka ( ) xxy
ln2 1+=
( ) ( ) ( )1lnln1lnln 2ln2 +=+= xxxyx
( ) ( )( )1lnlnln 2 += xxDyD xx
( )1
ln21ln'2
2
++
+=
x
xxx
xyy
( )y
x
xxx
xy
++
+=
1
ln21ln'
2
2 ( ) ( ) xx
x
xxx
x ln22
2
11
ln21ln+
++
+=
4x∆
5=lr
1−
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 44
5 . H i tu ng in teg ral-in teg ral b eriku t
a. ∫ − d xe x9
M isalkan xeu −= 9 m akax
x
e
d xed u
−
−=
92atau
xx
x
e
udu
e
dued x
292−=
−−= seh ingga
∫ − d xe x9 ∫−=xe
d uu 2
2 d uu
u∫
−−=
2
2
92 d u
u
u∫
−=
92
2
2
duu
∫−
+=9
912
2du
uu∫
+−
−+=
323
323
12
( ) ( ) cuuu +
+−−+= 3ln
23
3ln23
2
( ) ( ) cuuu ++−−+= 3ln33ln32
( )( ) cuu
u ++−
+=33
ln32
ce
ee
x
xx +
+−
−−+−=
39
39ln392
b . ∫π
0
2co s x d xx( )
∫+
=π
0 22co s1
d xx
x ( )∫ +=π
02co s
21
d xxxx
∫+=ππ
00
2 *2co s21
21
x d xxx
∫−+=πππ
00
2
2sin21
2sin22
14
x d xxx
42co s
41
021
4
2
0
2 ππ π
=
++= x
N o te : * terapkan in tegrasi parsial d engan xu = dan x d xd v 2co s=
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 45
P E M B A H A S A NU JI A N A K H IR S E M E S T E R G A N JI L 2 0 0 3 /2 0 0 4
P U 1 3 3 3 K A L K U L U SS E N IN 5 JA N U A R I 2 0 0 4
U a s 2 0 0 3 -2 0 0 4 K a lk u lu s I P U 1 3 3 3
1 . D iketahu i daerah tertu tup D y an g d ibatasi o leh ku rv a xy = , gari s
0=x dan garis y = 3a. M engh i tung lu as daerah D
L uas salah satu parti si pada D adalah
( ) xxA ∆−=∆ 3
seh ingga luas daerah D adalah
( )9
0
239
0 32
33
−=∫ −= xxd xxA ( ) 909
32
2 7 23
=
−
−=
b . M engh i tung v o lum e benda pu tar j i ka D d ipu tar terhadap gari s1−=y
j i ka salah satu i risan d ipu tar terhadap garis 1−=y m aka akan
d ipero leh sebuah cakram dengan jari j ari dalam ( ) 11 +=−− xx
dan j ari j ari l u ar 4 serta tebal x∆ . S eh ingga v o lum e cakram tersebu tadalah :
trtrV dl22 ππ −=∆
x∆ xy =
3
90
x∆3
9
4
1−
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 46
trr dl )( 22 −= π ( ) xx ∆+−= )14(22π
( ) xxx ∆++−= )121 6(π
( ) xxx ∆+−−= 1 52π
( )∫ +−−= d xxxV 1 52π
9
0
23
2 1 532
.221
+−−= xxxπ
9
0
23
2 1 534
21
+−−= xxxπ
( )
−
+−−= 01 3 52 7.
34
8 1.21
π π2
1 1 7=
2 . D iketahu i ( ) ecxxxf co sco s)( =
a. M engh i tung : )(l im0
xfx →
)(l im0
xfx +→
x
xx csc
0)( co sl im
+→=
( )( )x
xx csc
0co slnex pl im
+→=
( )( )x
xx csc
0co slnl imex p
+→=
( )xxx
co sln.cscl imex p0 +→
=
.si n
)l n ( co sl imex p
*
0 xx
x +→=
xxx
x co sco ssin
l imex p0
=+→
1)0ex p ( ==
N o te : * l im i t b erben tuk 0 /0 , seh ingga L ’ H b isa d i terapkan .
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 47
b . M enen tukan tu runan pertam a f( x )
( ) ecxxy co sco s=xxy csc)l n ( co sl n =
)l n ( co scscln xxy =
[ ])l n ( co scscln xxDyD xx =
xx
xxxxyy co s
sin.csc)ln ( co sco t.csc'
1+−=
[ ] yxxxxy sec)ln ( co sco t.csc' +−=
[ ] xxxxxxy csc)( co s.sec)l n ( co sco t.csc' +−=
3 . M engh i tung
a. ∫+−
dxxx
x
52
22
∫+−
d xxx
x
52
22 ( )∫
+−= d x
x
x22 21
2
m isalkan θtan21 =−x m aka θθ dd x 2sec2=seh ingga :
( )∫+−
d xx
x22 21
2∫
+
+= θθ
θθ
d22
sec24tan4
)1( tan2
∫+
+= θθ
θθ
d22
sec2)1( tan4
2tan2
∫+
= θθθ
θd2
2sec2
sec4
2tan2
∫+
= θθθ
θd2
2sec2
sec4
2tan2
( ) c++−= θθ 2co sln221 c+−= θθ co sl n
cxx
x+
+−−
−
= −
52
2ln
21
tan2
1
θ1−x
2
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 48
b . ( )∫ + d xx2ln
M isalkan )2ln ( xu += dan d xd v = m aka
d xx
d u+
=21
dan xv = seh ingga
( )∫ + d xx2ln ∫= udv ∫−= vduuv
∫+
−+= d xx
xxx
2)2ln (
∫+
−+−+= d x
xx
xx2
2)2()2ln (
∫
+−−+= d x
xxx
22
1)2ln (
cxxxx +−+++= )2ln (2)2ln (
cxxx +−++= )2ln ()2(
4 . M eny el id ik i keko nv ergenan in tegral tak w aj ar
a.( )∫
+
+∞
0 23
32 x
d x∫
+=
+∞→
a
a x
d x
0 23
)32(l im
∫ +=−
+∞→
a
ax
0
23
)32(l ima
ax
0
21
21
.)32(2l im−
+∞→+−=
a
a x 032
1l im
+−=
+∞→ 3
1
32
1l im +
+−=
+∞→ aa 3
1=
( )∫
+∴
+∞
0 23
32 x
d xko nv ergen ke
3
1
b . ∫−−
−3
12 6
12d x
xx
x∫
−−
−=
−→
a
ad x
xx
x
12
3 6
12l im
( )∫
−−
−−=
−→
a
ad x
xx
xxd
12
2
3 6
6l im
a
axx
1
2
36lnl im −−=
−→
−∞=−−−=−→
6ln6lnl im 2
3aa
a
Jad i i n teg ral d i atas d iv ergen .
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 49
P E M B A H A S A NU JI A N A K H IR S E M E S T E R G A N JI L 2 0 0 3 /2 0 0 4
M A 1 3 1 4 K A L K U L U S IS E N IN 5 JA N U A R I 2 0 0 4
U a s 2 0 0 3 -2 0 0 4 K a lk u lu s I M A 1 3 1 4
1 . M enen tukan 'y dari ben tuk em p l isi t 1=+ x yex
( ) ( )1xx y
x DexD =+
( ) 0'1 =++ x yye x y
0'1 =++ x yx y ex yyex yx y yeex y −−= 1'
x y
x y
x e
yey
−−=
1'
2 . M engh i tung ∫ + d xx )2ln (
( L ih at P em bahasan U j ian A kh i r S em ester G an j i l 2 0 0 3 /2 0 0 4 P u 1 3 3 3K alku lu s I S en in 5 Januari 2 0 0 4 N o . 3 b )
3 . D iketahu i ∫−−
−3
12 6
12d x
xx
x
a. M em eriksa apakah in tegral d i atas adalah in teg ral tak w aj arB enar , i n teg ral d i atas m erupakan in tegral tak w ajar karena j i ka
sub ti tusikan x = 3 m aka f ungsi i n teg ran6
122 −−
−xx
x m en j ad i tak
terdef in isi .
b . M em eriksa keko nv ergenan in tegral d i atas.( L ihat P em bahasan U j i an A kh i r S em ester G an j i l 2 0 0 3 /2 0 0 4 P u1 3 3 3 K alku lus I S en in 5 Januari 2 0 0 4 N o . 4 b )
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 50
4 . ( U n tuk ku riku lum baru so al in i term asuk dalam m ateri kalku lu s t in gkatI I )
a. M enen tukan selang keko nv ergenan deret :
( )∑ +++=+∞
=0
2 . . .3211n
n xxxn
m isalkan : ( ) nn xna 1+=
m aka ( ) 11 2 +
+ += nn xna
n
n
n aa 1l im +
∞→=ρ
( )( ) n
n
n xn
xn
1
2l im
1
+
+=
+
∞→
( )( ) xnn
n 12
l im++
=∞→
( )( )1
2l im
++
=∞→ n
nx
nx=
• A gar deret ko nv ergen m aka haruslah ρ < 1y ai tu 1<x atau
11 <<− x .• M em eriksa keko nv ergenan deret p ada u jung selang
- un tuk 1−=x deret m en j ad i ( )∑ −+∞
=0)1.(1
n
nn . U n tuk m engu j i
keko n v ergenanny a k i ta l akukan u j i deret gan ti tanda.
111
1121 >
++=
++
=+
nnn
aa
n
n atau nn aa >+1
K arena nn aa >+1 m aka m enu ru t u j i d eret gan t i tanda deret
tersebu t d i v ergen .
- U n tuk 1=x deret m en j ad i ( )∑ +++=+∞
=0. . . .3211
nn . D eret i n i
m o no to n naik dan ta k terba ta s d i a ta s seh ingga deret i n id i v ergen .
j ad i ( )∑ +∞
=01
n
nxn ko n v ergen pada 11 <<− x
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 51
b . M enen tukan jum lah deret p ada so al 4 a dengan m enggunakan :
xxxx
−=++++
11
...1 32
( )∑ ++++=+∞
=0
32 . . .43211n
n xxxxn
( ). . . .1 32 ++++= xxxD x
( )21
111
xxD x
−=
−=
5 . M enen tukan deret M cL au rin dari f ungsix
xxf
+=
1)(
( )
−−
=
+=
+=
xx
xx
xx
xf1
11
11
)(
( ) ( ) ( )( ). . . . . .1 32 +−+−+−+= xxxx
( ) ( ) ( ) 1
00011 +∞
=
∞
=
∞
=∑ −=∑ −=∑ −= n
n
nn
n
n
n
n xxxxx
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 52
P E M B A H A S A NU JI A N A K H IR S E M E S T E R G A N JI L 2 0 0 2 /2 0 0 3
K A L K U L U S / P U 1 3 3 36 JA N U A R I 2 0 0 3
U a s 2 0 0 2 -2 0 0 3 K a lk u lu s I P U 1 3 3 3
1 . D iketau i ecxxxf co s)1()( +=
a. M enen tukan )(' xfecxxxf co s)1l n ()(l n +=
)1ln (co s)(ln += xecxxf
( ) ( ))1ln (co s)(ln += xecxDxfD xx
11
.co s)1ln (co t.co s)()('
+++−=
xecxxg xecx
xfxf
[ ] )(1
1.co s)1ln (co t.co s)(' xfx
ecxxg xecxxf+
++−=
[ ] ecxxecxx
xg xecxxf co s)1ln (.co s1
1)1ln (co t.co s)(' +
+++−=
b . M engh i tung )(l im0
xfx +→
)(l im0
xfx +→
ecx
xx co s
0)1(l im +=
+→
( )ecx
xx co s
0)1ln (ex pl im +=
+→
( )ecx
xx co s
0)1ln (l imex p +=
+→
)1ln (.co sl imex p0
+=+→
xecxx
*sin
)1ln (l imex p
0 xx
x
+=
+→
xx
x co s1
1
l imex p0
+=
+→e== )1ex p (
N o te : * l im i t b erben tuk 0 /0 , seh ingga k i ta dapat m enerapkan L ’ H
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 53
2 . M engh i tung in teg rala. ( )dxx 25ln +∫
m isalkan : )25ln ( += xu dan d xd v =
m aka d xx
du25
5+
= dan xv = seh ingga
( ) ∫=+∫ udvd xx 25ln ∫−= vduuv
d xxx
xx ∫+
−+=25
5) .25ln (
d xx
xx ∫+
−−+= )25
21()25ln (
cxxxx +
+−−+= )25ln (
52
)25ln (
cxxx +−+
+= )25ln (
52
b . ∫− 22 4 xx
d x
m isalkan : tx sin2= m aka td td x co s2=seh ingga
∫− 22 4 xx
d x∫
−=
tt
td t22 sin44sin4
co s2
∫−
=)si n1(4sin4
co s222 tt
td t∫=
)( co s4sin4
co s222 tt
td t
∫=tt
td t
co s2.sin4
co s22 ∫=
t
d t2sin4
∫= td tec 2co s41
cg t +−= co t41
cxx
+−
−=24
41
tx
2
24 x−
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 54
3 . M eny el id ik i keko nv ergenan dari
a.( )∫
+
+∞
0231x
d x
( ) ( )∫
+=∫
+ +∞→
+∞ a
a x
d x
x
d x
0 23
023
1l im
1
( )∫ += −
+∞→
a
ad xx
0
23
1l im
a
ax
0
21
)1(2l im−
+∞→+−=
211
12l im =
−
+−=
+∞→ aa
I n i m enun j ukkan bahw a( )∫
+
+∞
0231x
d xko nv ergen ke 2 .
b . ∫+∞−
0
21d x
e
ex
x
∫+
=∫+ −∞→∞−
0
2
0
2 1l im
1 bx
x
bx
x
e
d xed x
e
e
M isalkan : xeu = m aka d xedu x=
Jika −∞→x m aka +→ 0u
Jika 0=x m aka 1=u seh ingga
∫+
=∫+ −∞→∞−
0
2
0
2 1l im
1 bx
x
bx
x
e
d xed x
e
e
∫+
=+→
1
20 1
l imcc u
du 11
0)(tanl imcc
u−
→ +=
4)(tan)1(tanl im 11
0
π=−= −−
→ +c
c
I n i m enun j ukkan bahw a ∫+∞−
0
21d x
e
ex
x
ko nv ergen ke4π.
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 55
4 . D iketahu i d aerah D d ibatasi o l eh xy = ,
x = 4 , sum bu x .a . M enen tukan luas D
L uas salah satu parti si d ari D adalah
xxA ∆=∆dengan dem ik ian luas selu ruh daerah Dadalah
31 6
32
4
0
234
0==∫= xd xxA
b . M engh i tung v o lum e benda pu tar j i ka Dd ipu tar terhadap sum bu y .Jika sebuah parti si d ari D dengan t in gg i
x dan alas x∆ serta berj arak x darisum bu y d ipu tar terhadap sum bu ym aka aka d ipero leh sebuah ku l i t tabungdengan j ari j ari x , tebal x∆ dan tin gg i
x . S eh ingga v o lum e ku l i t tabungtersebu t sebesar
xxxxxV ∆=∆=∆ 23
22 ππj ad i v o lum e benda y ang d im aksudadalah
πππ5
1 2 852
.224
0
254
0
23
==∫= xd xxV
x∆ 4=x0
x∆x
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 56
P E M B A H A S A NU JI A N A K H IR S E M E S T E R G E N A P 2 0 0 2 / 2 0 0 3
M A 1 3 1 4 K A L K U L U S IJU M A T , 1 3 JU N I 2 0 0 3
U a s 2 0 0 2 -2 0 0 3 K a lk u lu s I M A 1 3 1 41 . M engh i tung
a.( ) ( )∫
+−
+−
41
64322
23
xx
xxx
m isalkan( ) ( ) ( ) ( ) ( )41141
6432222
23
+
++
−+
−=
+−
+−
x
dcx
x
bxa
xx
xxx ,
u n tuk m endapatkan n i lai a, b , c, d an d kal i kan kedua ruas dengan
( ) ( )41 22 +− xx seh ingga persam aan m en j ad i
( )( ) ( ) ( )( )*1441643 22223 −+++++−=+− xdcxxbxxaxxx ,kem ud ian dengan m eny u l ih kan n i l ai 1=x , 1−=x , 0=x dan 2=xsecara bertu ru t tu ru t k i ta pero leh
b55 = atau 1=b
ba 51 01 3 +−=− atau 59=a
dba −+−= 440 atau 51 6−=d
dcba 36882 0 +++= atau 56=c
seh ingga
( ) ( ) d xxx
xxx∫
+−
+−
41
64322
23
( ) ( ) ( ) dxx
x
xx∫
+
−+
−+
−=
45
1 66
1
115
922
( ) ( ) ( ) dxxx
x
xx∫
+−
++
−+
−=
4
**151 6
4
*253
1
115
9222
( ) ( ) ( ) cx
xx
x +
−++
−−−= −
2tan
58
4ln53
11
1ln59 12
N o te : gunakan subst i tu si 42 += xu pada ( * ) dan tx tan2= pada ( * * )
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 57
b . ∫+
d xxx 1
122
m isalkan θtan=x m aka θθ dd x 2sec= seh ingga
∫+
d xxx 1
122
∫+
= θθθθ
d2
22sec
1tantan
1
∫= θθθθ
d2
22sec
sectan
1
∫= θθθ
dsectan
12 ∫= θ
θθθ
dco s
1
sin
co s2
2
∫= θθθ
θd
sin1
sinco s
∫= θθθ dcscco t
c+−= θcsc cx
x+
+−=
12
2 . M enen tukan keko nv ergenan in tegral tak w aj ar( )
d xx
x∫
+
+∞
1232 1
( )d x
x
x∫
+
+∞
1232 1 ( )
∫+
=+∞→
a
a x
x
1 23
2 1l im
m isalkan 12 += xu m aka x d xdu 2=j i ka 1=x m aka 2=uj i ka +∞→x m aka +∞→u seh ingga
( )∫
++∞→
a
a x
x
1 23
2 1l im ∫=
+∞→
b
b u
du
2 23
21
l imb
b u 2
2.
21
l im−
=+∞→
2
1
2
11l im =+−=
+∞→ bb
Jad i( )
d xx
x∫
+
+∞
1232 1
ko nv ergen ke2
1
θ
12 +x
1
x
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 58
3 . D iketau i ( ) 2
co t)( xxxf =
a. M enen tukan tu runan pertam a dari f( x )
( ) 2
co tl nln xxy =
( )xxy co tl nl n 2=
( ) ( ))l n ( co tl n 2 xxDyD xx =
( )x
xxxxxy
y co tco t.csc
co tln2'1 2 −
+=
( ( ) ) yxxxxy cscco tl n2' 2−=
( ( ) )( ) 2
co tcscco tln2' 2 xxxxxxy −=
b . M engh i tung )(l im0
xfx +→
( ) 2
co tl im0
x
xx
+→( ) 2
co tl nex pl im0
x
xx
+→=
( )xxx
co tlnex pl im 2
0 +→= ( )xx
xco tlnl imex p 2
0 +→=
( )*
1co tln
l imex p
2
0
=
+→
x
x
x
−
−
=+→
3
2
0 2
co tcsc
l imex p
x
xx
x
xx
x
x
x co ssin
sin
12
l imex p2
3
0 +→=
=
++ →→ xx
xx
xx co sl im
sinl im
21
ex p2
00
10.1.21
ex p =
=
N o te :* l im i t berben tuk ∞ /∞ seh ingga k i ta dapat m enerapkan L ’ H
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 59
4 . M enen tukan selang keko nv ergenan( )∑
+∞
=+
1212
1
nn
n
n
x
( u n tuk ku riku lum baru m ateri i n i term asuk dalam kalku lu s t i n gkat I I )
m isalkan( )
212
1
n
xa
n
n
n +
+=
m aka( )
22
1
1)1(2
1
+
+=
+
+
+n
xa
n
n
n( )
)12(2
122
1
++
+=
+
+
nn
xn
n
n
n
n a
a 1l im +
∞→=ρ ( )
( ) ( ) nn
n
n
n x
n
nn
x
1
2
122
1l im
21
22
1
+++
+=
+
+
+
∞→
( )( ) ( )121
1
2
2l im 2
21
2
1
+++
+=
+
+
+
∞→ nn
n
x
xn
n
n
n
n
( )12)1(
21
l im 2
2
+++=
∞→ nn
nx
n
++
+=
∞→2
2
2
121l im
21
nnn
nxn 2
1+=
x
• A gar deret ko nv ergen m aka haruslah 1<ρ y ai tu 121
<+x atau
21 <+x 212 <+<−⇒ x 13 <<−⇒ x
• M em eriksa keko nv ergenan deret p ada u jung selang- un tuk 3−=x deret m en j ad i
( )∑
−∞
=+
1212
2
nn
n
n
( )∑
−=
∞
=+
1212
21
nn
nn
n
( )∑
−=
∞
=12
121
n
n
nU n tuk m em eriksa keko nv ergenanny a dapat d i l akukan u j i d eretgan t i tanda.
m isalkan2
1
na n = m aka
21)1(
1
+=+
na n seh ingga
n
n
aa 1+o
( ) 22
1+=
n
n1;1
11
11
22
≥<
+−=
+= n
nnn
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 60
nn
al im∞→
o 01
l im 2==
∞→ nn
K arena 11 <+
n
n
aa
dan 0l im =∞→
nn
a m aka m enu ru t u j i d eret gan t i
tan d a( )∑
−∞
=1 2
1
n
n
nko n v ergen y an g berak ib at
( )∑
−∞
=1 2
121
n
n
nj u ga
ko n v ergen .
- un tu k 1=x deret m en j ad i( )
∑∞
=+
1212
2
nn
n
n∑=∞
=12
121
n ny ang m erupakan
deret p dengan p = 2 < 1 y ang m enun j u kan bahw a deret i n iko n v ergen .
• Jad i d eret( )∑
+∞
=+
1212
1
nn
n
n
xko n v ergen pada 13 ≤≤− x
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 61
P E M B A H A S A NU JI A N A K H I R S E M E S T E R G A N JI L 2 0 0 2 /2 0 0 3
K A L K U L U S IU a s 2 0 0 2 -2 0 0 3 k a lk u lu s I
1 . M engh i tu ng ( ) x
xx sin
0tanl im
+→
( ) x
xx sin
0tanl im
+→( ) x
xx sin
0tanlnex pl im
+→= ( ) x
xx sin
0tanlnl imex p
+→=
( )xxx
tanlnsinl imex p0 +→
=( )
*csctanln
l imex p0 x
x
x +→=
xx
xx
x co tcsc
tansec
l imex p
2
0 −
=+→ x
x
x cscsec
l imex p2
0 −=
+→
x
x
x2
0 co s
sinl imex p −=
+→1)0ex p ( 0 === e
N o te : * l im i t b erb en tu k ∞ /∞ seh in gga k i ta d apat m enerapkan L ’ H
2 . M enen tu kan 'y dari2
)sin2( xxy +=2
)sin2( xxy +=2
)sin2ln (l n xxy +=
)si n2ln (l n 2 xxy +=
( ) ( )( )xxDyD xx sin2lnln 2 +=
( )x
xxxxy
y sin2co s
sin2ln2'1 2
+++=
( ) yxxx
xxy
+++=
sin2co s
sin2ln2'2
( ) ( ) 2
sin2sin2co s
sin2ln2'2
xxxxx
xxy +
+++=
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 62
3 . M engh i tu ng ∫−
d xxx 14 2
m isalkan : θsec21
=x m aka θθθ ddx tansec21
= seh in gga
∫−
d xxx 14 2
∫−
= θθθθ
θdtansec
21
sec21
1sec 2
∫= θθθ dtantan 2
∫= θθ d2tan ∫ −= θθ d)1( sec2
c+−= θθtan ( ) cxx +−−= − 2sec14 12
4 . M enen tu kan keko n v ergenan
a. d xe
ex
x
∫+
∞
∞−−
−
21
d xe
ex
x
∫+
∞
∞−−
−
21∫
++∫
+=
−
−
∞→−
−
−∞→
b
x
x
bax
x
ad x
e
ed x
e
e
02
0
2 1l im
1l im
m isalkan : xeu −= m aka d xed u x−−= seh in gga
d xe
ex
x
∫+ −
−
21∫
+
−=
21 u
ducu +−= −1tan ( ) ce x +−= −−1tan
d xe
ex
x
∫+
∞
∞−−
−
21( ) ( ) bx
ba
x
aee
0
101 tanl imtanl im −−
∞→
−−
−∞→−+−=
( )
+−+
+−= −−
∞→
−−
−∞→ 4tanl imtan
4l im 11 ππ b
b
a
aee
240
24ππππ
=
++
+−=
Jad i d xe
ex
x
∫+
∞
∞−−
−
21ko n v ergen ke
2π
θ14 2 −x
1
x2
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 63
b . ∫∞
∞− xx
d x3l n
K arena dom ain d ari l n x adalah x > 0 m aka k i ta t i dak dapatm elaku kan peng in teg ral an un tu k kasu s in i .
5 . a . M em eriksa keko n v ergenan deret ∑∞
=
+
1
1
!3
n
n
n
m isalkan :!
3 1
na
n
n
+
= maka) !1(
3 2
1 +=
+
+ na
n
n
n
n
n aa 1l im +
∞→=ρ ( ) 1
2
3
!!1
3l im +
+
∞→ +=
n
n
n
nn ( )!1
!
3
3l im 1
2
+=
+
+
∞→ nn
n
n
n
( ) !1!
3l imnn
nn +
=∞→ ( ) 0
11
l im3 =+
=∞→ nn
karen a ρ = 0 < 1 m aka m enu ru t u j i h asi l bag i d eret ∑∞
=
+
1
1
!3
n
n
nko n v ergen .
b . M enen tu kan selang keko n v ergenan deret ∑+
∞
=
−
02
1
)1(
2
n
nn
n
x
m isalkan : ( )12
2
1
+=
−
n
xa
nn
n m aka( )( ) 22
2
11
22
1
2
1
1++
=++
=++
+nn
x
n
xa
nnnn
n
n
n
n aa 1l im +
∞→=ρ nn
nn
n x
n
nn
x1
2
2
1
2
1
22
2l im −
+
∞→
+
++=
22
1
2
2l im 2
21
1 ++
+=
+
−∞→ nn
n
x
xn
n
n
n
n 22
12l im 2
2
++
+=
∞→ nn
nx
n
22
1l im2
2
2
++
+=
∞→ nn
nx
n
++
+
=∞→
22
22
221
11
l im2
nnn
nn
xn
x2=
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 64
• A gar deret ko nv ergen m aka haruslah 1<ρ y ai tu 12 <x atau
21
21
121 <<−⇒<<− xx
• M em eriksa keko nv ergenan deret p ada u jung selang .
- un tuk21
−=x deret m en j ad i
∑+
−
∞
=
−
02
1
)1(
21
2
n
nn
n
( )∑
+
−=
∞
=
−−
0 2
1
)1(
212
n
nnn
n
( )∑
+
−=
∞
=0 2 )1(
121
n
n
n
U n tuk m em eriksa keko nv ergenanny a dapat d i lakukan u j id eret gan ti tanda.
m isalkan1
12 +
=n
a n m aka22
1
1)1(
1221
++=
++=+
nnna n
22
12
21
++
+=+
nn
na
a
n
no ( )22
12)12(12
2
++
+−+++=
nn
nnn
( )22
12222
2
++
+−++=
nn
nnn ( )0;1
22
121
2≥<
++
+−= n
nn
n
nn
al im∞→
o 01
1l im 2
=+
=∞→ nn
karena 11 <+
n
n
aa
dan 0l im =∞→
nn
a m aka m enu ru t u j i deret gan t i
tanda deret ( )∑
+
−∞
=02 )1(
1
n
n
nko nv ergen y ang berak ib at
( )∑
+
−∞
=02 )1(
121
n
n
nj u ga ko nv ergen .
- un tuk21
=x deret m en j ad i
∑+
∞
=
−
02
1
)1(
21
2
n
nn
n∑
+=
∞
=
−−
02
1
)1(
22
n
nn
n∑
+=
∞
=02 )1(
121
n n
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 65
S ekarang perhat ikan bahw a 22 1 nn >+ atau22
1
1
1
nn<
+
un tuk seti ap n i l ai n . m eng ingat bahw a ∑∞
=0 2
1
n nm erupakan
deret y ang ko nv ergen ( deret p dengan 12 >=p ) m aka
m enu ru t u j i p er ba nd inga n deret ∑+
∞
=0 2 1
1
n nko nv ergen y an g
berak ib at ∑+
∞
=0 2 )1(
121
n nj u ga ko nv ergen .
• D engan dem ik ian deret ∑+
∞
=
−
02
1
)1(
2
n
nn
n
xko nv ergen pada
21
21
≤≤− x
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 66
P E M B A H A S A NU JI A N A K H IR S E M E S T E R G A N JI L 2 0 0 1 /2 0 0 2
D A 1 3 1 4 K A L K U L U S IS E N IN 1 5 JA N U A R I 2 0 0 1
U a s 2 0 0 1 -2 0 0 2 K a lk u lu s I D A 1 3 1 4
1 . M em buk t ikan bahw a 1,22)( 2 −≤++= xxxxf m em i l i k i i n v ers dan
m enen tukan )(1 xf −
U n tuk m em buk t ikan bahw a f m em i l i k in v ers harus k i ta tun j ukkan bahw af m ono to n m urn i p ada dom ain y an g d iberikan . S ekarang perhatikanbahw a un tuk 1−<x k i ta m em i l i k i 0)1(222)(' <+=+= xxxf y an g
m enun j ukkan bahw a f selalu naik pada 1−<x atau f m ono to n m urn iy ai tu f m em i l i k i i n v ers.
m isalkan ( )yfx 1−=
1,222 −≤++= xxxy
( ) 11 2 ++= xy
( ) 11 2 −=+ yx
( ) 11 −−=+ yx 1,01 −≤∀≤+ xxka ren a
11 −−−= yx
11)(1 −−−=− yyf
1,11)(1 ≥−−−=− xxxf
2 . a. m encari i n teg ral tak ten tu ∫+
+d x
xx
x
4
43
m isalkan : ( )4
42 +
+
xx
x
42 +
++=
x
cbxxa
dengan m eny am akan peny ebu t pada ruas kanan d ipero leh
( )4
42 +
+
xx
x
)4(
)()4(2
2
+
+++=
xx
xcb xxa
4+x xcb xxa )()4( 2 +++=
acxxbax 4)(4 2 +++=+
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 67
D engan m em band ingkan ko ef isien suku y ang sej en i s d i d apat44 =a atau 1=a , 1=c , 0=+ ba atau 1−=b . seh ingga
∫+
+d x
xx
x
4
43 ∫
+
+−+= d x
x
xx 4
112 ∫
++
+
−+= d x
xx
xx 4
1
4
122
( )∫ ∫
++
+
+∫ −=
44
4211
22
2
x
d x
x
xdd x
x
( ) cx
xx +
++−= −
2tan
21
4ln21
ln 12
b . M engh i tung ∫−3
12
29d x
x
x
m isalkan : θsin3=x maka θθ dd x co s3=
j i ka 1=x m aka31
sin 1−=θ
j i ka 3=x m aka2π
θ = seh ingga
∫−3
12
29d x
x
x∫
−=
−
2
31
sin2
2
1
co s3sin9
sin99π
θθθ
θd
∫−
=−
2
31
sin2
2
1
co s3sin9
)si n1(9π
θθθ
θd
∫=−
2
31
sin2
2
1
co s3sin9
co s9π
θθθθ
d
∫=−
2
31
sin2
1
co s3sin9
co s3π
θθθθ
d
∫=−
2
31
sin
2
1
co t
π
θθ d ∫ −=−
2
31
sin
2
1
)1( csc
π
θθ d
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 68
( )2
31
sin 1
co t
π
θθ−
−−=
−
−−
−= −−
31
sin31
sinco t2
0 11π
31
sin222
1−++−=π
3 . M eny el id ik i keko nv ergenan in tegral tak w aj ar
a. d xx∫ +∞
0)1ln (
d xx∫ +∞
0)1ln ( dxx
a
a∫ +=
∞→ 0)1ln (l im
M isalkan )1ln ( += xu dan d xd v = m aka d xx
d u1
1+
= dan xv =
seh ingga
dxx∫ + )1ln ( ∫= udv ∫−= vduuv
∫+
−+= d xxx
xx1
)1ln (
∫+
−+−+= d x
xx
xx1
1)1()1ln ( d x
xxx ∫
+−−+=
11
1)1ln (
( ) cxxxx ++−−+= )1ln ()1ln ( cxxx +−++= )1ln ()1(
d xx∫ +∞
0)1ln ( [ ]
a
axxx
0)1ln ()1(l im −++=
∞→[ ] ∞=−++=
∞→aaa
a)1ln ()1(l im
Jad i dxx∫ +∞
0)1ln ( d iv ergen .
4 . M enen tukan selang keko nv ergenan dari d eret p angkat ∑+
−∞
=
+
0
1
32)2(
n
nn
nx
m isalkan ( )32
2 1
+−
=+
nx
ann
n m aka ( )52
2 12
1 +−
=++
+ nx
ann
n
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 69
n
n
n aa 1l im +
∞→=ρ
( )( ) nn
nn
n x
nn
x1
12
2
)32()52(
2l im +
++
∞→ −
++
−=
( )5232
2l im++
−=∞→ n
nx
n 5232
l im2++
=∞→ n
nx
nx2=
• A gar deret ko ngergen m aka haruslah 1<ρ y ai tu 12 <x atau
21
<x21
21
<<−⇒ x
• M em eriksa keko nv ergenan deret p ada u jung selang .
- un tuk21
−=x deret m en j ad i
∑+
−−
∞
=
+
0
1
3221
)2(
n
nn
n( ) ( )
∑+
−−=
∞
=
−++
0
11
32212)1(
n
nnnn
n∑
+−=
∞
=0 321
2n n
.
sekarang perhatikan bahw a un tuk 0≥n berlaku
)2(24232 +=+<+ nnn atau)2(2
132
1+
>+ nn
. m eng in gat
bahw a ∑=∑+
∑ =+
∞
=
∞
=
∞
= 200
121
21
21
)2(21
knn knnm erupakan kel i p atan
dari d eret harm o n is y ang d iv ergen , m aka m enu ru t u j i
p er ba nd inga n deret ∑+
∞
=0 321
n nd iv ergen y ang berak ib at
∑+
−∞
=0 321
2n n
j u ga d iv ergen .
- un tuk21
=x deret m en j ad i
∑+
−
∞
=
+
0
1
3221
)2(
n
nn
n( ) ( )
∑+
−=
∞
=
−++
0
111
3222)1(
n
nnn
n∑
+−
=∞
=
+
0
1
32)1(
2n
n
n
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 70
m isalkan32
1+
=n
a n maka ( ) 521
3121
1 +=
++=+ nn
a n seh ingga
152
21
522)52(
52321 <
+−=
+−+
=++
=+
nnn
nn
aa
n
no dan
032
1l iml im =
+=
∞→∞→ na
nn
no
karena 11 <+
n
n
aa
dan 0l im =∞→
nn
a m aka m enu ru t u j i d eret gan t i
tanda ∑+
−∞
=
+
0
1
32)1(
n
n
nko n v ergen y an g b erak ib at ∑
+−∞
=
+
0
1
32)1(
2n
n
nj u ga
ko nv ergen .
• j ad i ∑+
−∞
=
+
0
1
32)2(
n
nn
nx
ko n v ergen pada in terv al21
21
≤<− x .
5 . P erderetkan ke dalam deret M ac L au rin un tuk f ungsi24
1)(
xxf
−=
24
1)(
xxf
−=
−
=2
41
1
141
x
12
;. . .41
41
41
141 3
22
22 <
+
+
+
+=
xxxx
++++= . . .
6 41
1 61
41
141 642 xxx
++++= . . .
2 5 61
6 41
1 61
41 642 xxx 1
2; <x
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 71
P E M B A H A S A NU JI A N A K H IR S E M E S T E R G A N JI L 2 0 0 0 /2 0 0 1
K A L K U L U S 1S E N IN / 2 4 N O V E M B E R 2 0 0 0
U a s 2 0 0 0 -2 0 0 1 K a lk u lu s I
1 . D iketahu i xxxxf1
)42()( +=
a. M enen tukan )(' xf
xxxy1
)42( +=
xxxy1
)42ln (l n +=
)42ln (1
ln xx
xy +=
( ) ( )
+= xx
xx xDyD 42ln
1ln
( )xx
yy xx
xxxx 1
42
4ln42ln242ln
1'
12 +
+++
−=
( )( ) y
xxy
xx
xxxx
+
++
+−=
42
4ln42ln242ln'
2
( )( ) ( ) xxx
xx
xxxx
xxy
1
242
42
4ln42ln242ln' +
+
++
+−=
b . m engh i tung )(l im xfx ∞→
)(l im xfx ∞→
( ) xxx
x
1
42l im +=∞→
( ) xxx
x
1
42lnex pl im +=∞→
( ) xxx
x
1
42lnl imex p +=∞→
( )xx
x x42ln
1l imex p +=
∞→
( )*
42lnl imex p
x
xx
x
+=
∞→ xx
xx
x 42
4ln42ln2l imex p
+
+=
∞→
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 72
+
+
=∞→
142
4
4ln2ln42
4
l imex px
x
xx
x
+
+
=∞→
121
4ln2ln21
l imex px
x
x
( ) 44lnex p ==
N o te : * l im i t b erben tuk ∞ /∞ seh ingga dal i l L ’ H dapat d i terapkan
2 . M engh i tung
a. ( )( ){ }∫ −−5
321ln dxxx
( )( ){ } ( )∫ +−=∫ −−5
3
25
323ln21ln dxxxd xxx
m isalkan : ( )23ln 2 +−= xxu dan d xd v = m aka
dxxx
xdu
23
322 +−
−= dan xv = seh ingga
( ) ∫−=∫=∫ +− vd uu vu d vd xxx 23ln 2
( ) d xxx
xxxxx ∫
+−
−−+−=
23
3223ln
2
22
( ) d xxx
xxx ∫
−+
−+−+−=
22
11
223ln 2
( ) ( ) ( ) cxxxxxx +−−−−−+−= 2ln21ln223ln 2
( ) ( ) ( ) ( )[ ]5325
3
2 2ln21ln223ln23ln −−−−−+−=∫ +− xxxxxxd xxx
( )02ln62ln33ln24ln1 01 2ln5 −−−−−−−=
62ln23ln24ln1 01 2ln5 +−−−−=
42.3.4
1 2ln
22
5
−
= 4
34
1 2ln
22
5
−
= 41 2ln3 −=
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 73
• U n tu k so lu si y an g leb ih m ud ah gun akan h ub un gan
( )( ){ } ( ) ( )∫ −+∫ −=∫ −−5
3
5
3
5
32ln1ln21ln dxxd xxd xxx kem ud ian laku kan
laku kan in teg ral p arsial p ad a m asin g m asin g b ag ian p ad a ru as kan an .
b . ∫−
−d x
x
x29
32
m isalkan : θsin3=x maka θθ dd x co s3= sehingga
∫−
−d x
x
x29
32∫
−
−= θθ
θ
θdco s3
sin99
3)sin3(22
∫−
−= θθ
θ
θdco s3
)sin1(9
3sin62
∫−
= θθθ
θdco s3
co s9
3sin62
( )∫ −= θθ d3sin6 c+−−= θθ 3co s6
cxx
+
−
−−= −
3sin3
39
6 12
cx
x +
−−−= −
3sin392 12
3 . M engh i tung ∫++−
−−d x
xxx
xx
)22) (1(
322
2
m isalkan :221)22) (1(
3222
2
++
++
−=
++−
−−
xx
cb xxa
xxx
xx
dengan m engal ikan kedua ruas dengan )22) (1( 2 ++− xxx d ipero leh
( ) ( )( )12232 22 −++++=−− xcb xxxaxx .
D engan m en y u l ih kan n i l ai 1=x , 0=x , d an 2=x k i ta pero leha54 =− atau 54−=a
ca −=− 23 atau 57=c
cba ++=− 21 03 atau 59=b seh ingga
θ
x3
29 x−
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 74
∫++−
−−d x
xxx
xx
)22) (1(
322
2
dxxx
xx
∫
++
++
−−
=)22(5
79)1(5
42
( ) ∫ ∫++
−++
++−−=
2252
2222
1 09
1ln54
22 xx
d xd x
xx
xx
( ) ( )( )∫
++−∫
++
+++−−=
1152
22
221 09
1ln54
22
2
x
d x
xx
xxdx
( ) ( ) ( ) cxxxx ++−+++−−= − 1tan52
22ln1 09
1ln54 12
4 . M enen tukan keko nv ergenan in tegral tak w aj ar
a. ∫2
0tan
π
θθ d ∫=−
→
a
a
d0
2
tanl im θθπ
a
a
tt0
2
tanseclnl im +=−
→π
∞=+−+=−
→
oaaa
tan0seclntanseclnl im
2π
I n i m enun j ukkan bahw a ∫2
0tan
π
θθ d d iv ergen .
b . ∫∞−
0 2
dxx e x d xxeb
x
b∫=
−∞→
0 2
l im
m isalkan : 2xu = m aka x d xd u 2=
j i ka 0=x m aka 0=u
j i ka −∞→x m aka +∞→u seh ingga
d xxeb
x
b∫
−∞→
0 2
l im ∫=∞→
0
21
l imc
u
cdue ∫=
∞→
0
l im21
c
u
cdue
0
l im21
c
u
ce
∞→= −∞=−=
∞→
c
cee 0l im
21
Jad i ∫∞−
0 2
dxx e x d iv ergen .
5 . M enen tukan selang keko nv ergenan deret ∑+
−∞
=
+
1
1
)1()1(
k
kk
kkx
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 75
m isalkan : ( ))1(
1 1
+−= +
kkx
ak
kk m aka ( )
)2) (1(1
12
1 ++−=
++
+ kkx
ak
kk dan
k
k
k aa 1l im +
∞→=ρ
( )( ) kk
kk
k x
kkkkx
1
12
1
)1()2) (1(
1l im +
++
∞→ −
+++
−=
( ))2(.1
l im+
−=
∞→ kxk
kx
kk
xk
=+
=∞→ )2(
.l im
• A gar deret ko nv ergen m aka haruslah 1<ρ y ai tu 1<x atau
11 <<− x
• M em eriksa keko nv ergenan pada u jung selang .- un tuk 1−=x deret m en j ad i
( ) ( )∑+
−−
∞
=
+
1
1
1)1(
1k
kk
kk( ) ( )∑
+−=
∞
=
+
1
12
11
1k
k
kk∑
+−−=
∞
1 111
kk
D eret i n i m erupakan deret co l lap s y ang ko nv ergen .- un tuk 1=x deret m en j ad i :
( ) ( )∑+
−∞
=
+
1
1
1)1(
1k
kk
kk( ) ( )∑
+−=
∞
=
+
1
1
11
1k
k
kk
U n tuk m em eriksa keko n v ergenanny a k i ta lakukan u j i deret gan titanda.
M isalkan)1(
1+
=kk
a k m aka)2) (1(
11 ++
=+ kka k seh ingga
( ))2) (1(
1* 1
+++
=+
kkkk
aa
k
k
22)2(
+−+
=k
k1;1
22
1 ≥<+
−= kk
dan
0)1(
1l iml im* =
+=
∞→∞→ kka
kk
k
K arena 11 ≥∀<+ kaa kk dan 0l im =∞→
kk
a m aka m enu ru t u j i
d eret gan ti tanda deret ( ) ( )∑+
−∞
=
+
1
1
11
1k
k
kkko v ergen .
• Jad i ∑+
−∞
=
+
1
1
)1()1(
k
kk
kkx ko nv ergen pada selang 11 ≤≤− x
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 76
T R I G O N O M E T R Y F O R M U L A E
1co ssin 22 =+ xx
xx 22 tan1sec =−( ) yxyxyx sinco sco ssinsin +=+
( ) yxyxyx sinco sco ssinsin −=−
( ) yxyxyx sinsinco sco sco s −=+
( ) yxyxyx sinsinco sco sco s +=−
( )yxyx
yxtantan1tantan
tan−
+=+ ( )
yxyx
yxtantan1tantan
tan+
−=−
xxx co ssin22sin = xxx 22 sinco s2co s −=
−=
−=
2co s
2co ssin
ππxxx
+=
−=
2sin
2sinco s
ππxxx
( ) xx sinsin =−π ( ) xx co sco s −=−π
( )xx 2co s1co s 212 +=
( )xx 2co s1sin 212 −=
( ) ( )[ ]yxyxyx −++−= co sco ssinsi n 21
( ) ( )[ ]yxyxyx −++= co sco sco sco s 21
( ) ( )[ ]yxyxyx −++= sinsi nco ssin 21
2co s
2sin2sinsin
vuvuvu
−+=+
2co s
2co s2co sco s
vuvuvu
−+=+
2sin
2sin2co sco s
vuvuuv
−+=−
xx
xco ssin
tan =xx
xsinco s
co t =
xx
co s1
sec =x
xsin1
csc =