soal dan solusi kalkulus
TRANSCRIPT
1001 Pembahasan UAS Kalkulus I
i
KATA PENGANTAR
Sebagaian besar mahasiswa menganggap bahwa Mata Kuliah yang
berhubungan dengan menghitung yang salah satunya Kalkulus adalah susah,
rumit dan memusingkan. Alhasil jalan keluar yang ditempuh untuk
mengatasinya adalah mahasiswa menghafal teknik (urutan cara) menjawab
soal, bukan memahami inti persoalan, materi, dan bagaimana mendapatkan
ide menyelesaikan soal.
Sebagian lagi menganggap pemahaman materi saja sudah cukup.
Pengalaman saya, mahasiswa yang baru memahami sebuah materi secara
intuitif tetap saja akan kesulitan ketika menjawab persoalan. Kesulitan bukan
karena tidak tahu jawabannya, tetapi kurang pandai bagaimana cara
mengungkapkannya. Kemampuan seseorang menuangkan apa yang
difahaminya ke dalam tulisan yang sistematis dan bisa dimengerti orang lain
juga penting, karena orang khususnya dosen ketika UAS menilai apa yang
kita tulis pada lembar jawaban bukan apa yang ada di dalam otak kita.
“1001 soal dan pembahasan “ ini dibuat bukan dengan tujuan agar
mahasiswa pembaca menghafal teknik menjawabnya, melainkan supaya
pembaca dapat lebih memahami materi, dan berlatih mengungkapkan apa
yang difahami. Tentunnya tulisan ini tidaklah cukup bagi pembaca, text
book dan penjelasan dari dosen tetaplah lebih utama, jadikan soal- soal yang
ada disini sebagai latihan, sekedar untuk melihat kebenaran jawaban anda
atau ketika anda merasa sudah mengalami kebuntuan, baru silahkan pembaca
menyimak pembahasannya.
1001 Pembahasan UAS Kalkulus I
ii
Semoga bermanfaat !
Penulis
Arip Paryadi
1001 Pembahasan UAS Kalkulus I
iii
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ...................................................................................... i
DAFTAR ISI ................................................................................................. iii
MATHEMATIC FORMULAE ....................................................................... v
SOAL SOAL ................................................................................................... 2
Uas 2009-2010 Kalkulus I MA1114 (SP).................................................... 3
Uas 2008-2009 Kalkulus I MA1114 ............................................................ 4
Uas 2007-2008 Kalkulus I MA1114 ............................................................ 5
Uas 2006-2007 Kalkulus I MA1114 ............................................................ 6
Uas 2005-2006 Kalkulus 1 MA1114 ........................................................... 7
Uas 2004-2005 Kalkulus I MA1114 ............................................................ 8
Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1122 ............................................................ 9
Uas 2003-2004 Kalkulus I PU1333 ........................................................... 10
Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1314 ......................................................... 11
Uas 2002-2003 Kalkulus I PU1333 ........................................................... 12
Uas 2002-2003 Kalkulus I MA1314 .......................................................... 13
Uas 2002-2003 Kalkukus I ........................................................................ 14
Uas 2001-2002 Kalkulus I DA1314 .......................................................... 15
Uas 2000-2001 Kalkulus I ......................................................................... 16
PEMBAHASAN ............................................................................................ 17
Uas 2009-2010 Kalkulus I MA1114 (SP).................................................. 18
Uas 2008-2009 Kalkulus I MA1114 .......................................................... 21
Uas 2007-2008 Kalkulus I MA1114 .......................................................... 25
Uas 2006-2007 Kalkulus I MA1114 .......................................................... 28
1001 Pembahasan UAS Kalkulus I
iv
Uas 2005-2006 Kalkulus I MA1114 .......................................................... 32
Uas 2004-2005 Kalkulus I MA1114 .......................................................... 36
Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1122 .......................................................... 40
Uas 2003-2004 Kalkulus I PU1333 ........................................................... 45
Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1314 .......................................................... 49
Uas 2002-2003 Kalkulus I PU1333 ........................................................... 52
Uas 2002-2003 Kalkulus I MA1314 .......................................................... 56
Uas 2002-2003 kalkulus I .......................................................................... 61
Uas 2001-2002 Kalkulus I DA1314 .......................................................... 66
Uas 2000-2001 Kalkulus I ......................................................................... 71
TRIGONOMETRY FORMULAE ................................................................ 76
1001 Pembahasan UAS Kalkulus I
v
MATHEMATIC FORMULAE
( ) uvvuuv ''' +=
2
'''
v
uvvu
v
u −=
dx
dy
dy
du
dx
du⋅=
( ) 1' −= nn nxx
( ) xx ee ='
( ) aaa xx ln'=
( ) xx cossin '=
( ) xx sincos'
−=
( ) xx2'
sectan =
( ) xx2'
csccot −=
( ) xxx tansecsec'=
( ) xxx cotcsccsc'
−=
( )x
x1
ln'=
( ) )(')(
1)(ln
'xf
xfxf =
( )2
'1
1
1sin
x
x
−=−
( )2
'1
1
1cos
x
x
−−=−
( )2
'1
1
1cot
xx
+−=−
∫−=∫ vduuvudv
∫ ++
=+
cn
xdxx
nn
1
1
cxdxx
+=∫ ln1
cea
dxeaxax +=∫
1
∫ +
=
−
− ca
x
xa
dx 1
22sin
∫ +−= cxxdx cossin
cxxdx +=∫ sincos
ca
x
ax
dx+∫
=
+
−1
22sinh
cxxdx +−=∫ coslntan
cxxdx +=∫ sinlncot
cxxxdx ++=∫ tanseclnsec
cxxxdx +−=∫ cotcsclncsc
ca
x
aax
dx+
=∫
+
−1
22tan
1
( )2
'1
1
1tan
xx
+=−
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 2
SOAL SOAL
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 3
UJIAN AKHIR SEMESTER PENDEK 2009/2010
KALKULUS I/MA1114
15 AGUSTUS 2009
TUTUP BUKU
Uas 2009-2010 Kalkulus I MA1114 (SP)
1. Diketahui daerah D dibatasi kurva xy = , garis 1=y , garis 4=x .
a. Gambarkan daerah D
b. Hitung luas daerah D
c. Hitung volume benda putar bila D diputar terhadap sumbu y.
2. a. Cari turunan dari xey
1sin−
=
b. Hitung ( ) xx
x
xe1
2lim +
−
∞→
bila ada
3. Hitung integral
a. ∫2
0
5cos
π
xdx
b. ∫+−
−dx
xx
x
106
3
2
4. Periksa kekonvergenan integral tak wajar ( )( )∫
−+
+∞
0 23
4dx
xx
x
No 1a 1b 1c 2a 2b 3a 3b 4
Nilai 2 4 7 4 7 7 7 7
Selamat Bekerja dengan Jujur !
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 4
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2008/2009
KALKULUS I MA1114
SELASA / 13 JANUARI 2009
TUTUP BUKU
Uas 2008-2009 Kalkulus I MA1114
1. Diketaui D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva 42 =+ yx dan garis
2+= xy
a. Gambarkan daerah D dan cari titik-titik potongnya
b. Hitung luas daerag D
c. Hitung volume benda putar, bila D diputar mengelilingi sumbu x
2. Bila ( )axxa
xf11 tantan
1)( −− += , a konstanta. Tentukan a sehingga
2)0(' =f
3. Hitung ( )x
x
xcotlim0+→
, bila ada.
4. Hitung integral
a. ∫−+− 342
xx
dx
b. dxxx∫ + 423
5. Periksa kekonvergenan integral tak wajar dxexx
∫∞
∞−
− 32
Soal 1 2 3 4 5
Nilai 8 8 8 8 8
Selamat Mengerjakan !
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 5
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2007-2008
KALKULUS I/MA1114
TUTUP BUKU
Uas 2007-2008 Kalkulus I MA1114
1. Diketahui suatu daerah D di kuadran I yang dibatasi oleh kurva 24 xy −= , garis xy 3= dan sumbu y.
a. Gambarkan daerah D dan hitung luasnya
b. Hitung volume benda putar, bila D diputar terhadap garis 4=x
2. Diketahui ( ) ( )
−
=2
1
sin
πx
xxf
a. Hitung ( )xfx
lim
2
+→π
b. Tentukan turunan pertama dari ( )xf
3. a. Hitung integral ∫−−
+dx
xxx
x
6
623
3
b. periksa kekonvergenan integral tak wajar ∫∞
−
0
dxxex
No 1 2 3
Nilai 12 14 14
Selamat mengerjakan denga jujur !
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 6
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2006/2007
KALKULUS I MA1114
SABTU / 13 JANUARI 2007
TUTUP BUKU
Uas 2006-2007 Kalkulus I MA1114
Berdoalah sebelum mulai mengerjakan!
Kerjakan dengan jujur dan teliti!
1. Diketaui daerah D dibatasi oleh grafik21 xy −= , garis x = 1, dan garis
y = 1
d. Hitung luas daerah D
e. Volume benda putar , jika daerah D diputar terhadap sumbu y.
2. a. Tentukan 'y ( untuk x > 0 dan y > 0) jikayx
xy =
b. Diketahui ∫ −=
3
0
).1(cos)(x
xxdttf π Tentukan nilai f(8).
3. Hitung ∫+
+dx
xx
x23
2 1
4. Selidiki kekonvergenan ∫+−
0
1 1dx
x
x
5. Diketahui 1
)(+
=x
xxf
a. Selidiki apakah f(x) mempunyai invers ?
b. Cari ( )11 −−f !
NOMOR 1 2a 2b 3 4 5
NILAI MAKS 8 4 4 8 8 8
PENGOREKSI FDA JDN ERW ZKA DMA SSI
-o0o- Semoga Kemudahan Senantiasa Menyertai Anda -o0o-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 7
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2005/2006
KALKULUS 1 MA1114
SENIN 2 JANUARI 2006
TUTUP BUKU
Uas 2005-2006 Kalkulus 1 MA1114
Berdoalah sebelum mulai mengerjakan!
Kerjakan dengan jujur dan teliti!
1. Diketahui daerah D dibatasi oleh grafik y = x2 dan y = x. Grafik fungsi
y = xm membagi luas daerah D menjadi dua bagian yang sama.
a. Gambarkan daerah D
b. Tentukan m
2. Tentukan panjang kurva y = x3/2 dari titik (0,0) ke (1,1).
3. Carilah
a. ∫ dxxx )(cos)(sin 34
b. ∫−
1
0
1 )(tan dxx
4. Selidiki kekonvergenan ∫−
3
0 29 x
dx
5. Diketahui f(x) = (x-π)tan x. Tentukan
a. ( )xf ' .
b. )(lim xfx
+→π
No 1 2 3 4 5 Jumlah
Nilai Max 8 8 8 8 8 40
Pengoreksi ERW BZL FDA SSI JDN
-o0o- Semoga Kemudahan Senantiasa Menyertai Anda -o0o-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 8
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2004/2005
MA-1114 KALKULUS I
SENIN 10 JANUARI 2005
TUTUP BUKU
Uas 2004-2005 Kalkulus I MA1114
1. Diketahui D dibatasi oleh 2xy = , x = 2 dan y = 1
a. Hitung luas D
b. Hitung volume benda putar yang terjadi jika D diputar terhadap garis
x = 3
2. Bila xxxxf )sin()( += , tentukan :
a. )(' xf
b. )(lim0
xfx
+→
3. Hitung ∫++
+
−
1
12 52
5dx
xx
x
4. Hitung ∫−
dx
x 23
2 )14(
1
5. Periksa kekonvergenan integral tak wajar ∫ −2
1
)1ln( dxx
-o0o- Semoga Kemudahan Senantiasa Menyertai Anda -o0o-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 9
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2003/2004
MA 1122 KALKULUS I
23 DESEMBER 2003
TUTUP BUKU
Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1122
1. Diketahui 1
)(2 +
=x
xxf
Tentukan :
a. Daerah dimana grafik f naik atau turun dan titik ekstrimnya beserta
jenisnya (bila ada)
b. Daerah dimana grafik f cekung atau cekung ke bawah dan titik
beloknya (bila ada)
c. Garis-garis Asimtot
d. Sketsa grafik f
2. Diketahui ∫+
=−4
2 4
3
,
1
)(x
x
dt
t
xxH tentukan H’(2)
3. Daerah D dibatasi oleh kurva-kurva y = x2 dan y = 4
a. Gambar daerah D dan hitung luas daerah tersebut
b. Hitung volume benda putar yang terjadi apabila daerah D diputar
terhadap garis y = -1
4. Diberikan ( ) xxxf
ln2 1)( += , tentuka f ‘(x)
5. Hitung integral-integral berikut
a. ∫ − dxex9 Dengan menggunakan subtitusi x
eu −= 9
b. ∫π
0
2cos xdxx
-o0o- Semoga Kemudahan Senantiasa Menyertai Anda -o0o-
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 10
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2003/2004
PU 1333 KALKULUS
SENIN 5 JANUARI 2004
TUTUP BUKU
Uas 2003-2004 Kalkulus I PU1333
1. Diketahui daerah tertutup D yang dibatasi oleh kurva xy = , garis
0=x dan garis y = 3
a. Hitung luas daerah D
b. Hitung volume benda putar jika D diputar terhadap garis y = -1
2. Diketahui ( ) ecxxxf
coscos)( =
a. Hitung : )(lim0
xfx→
b. Tentukan turunan pertama f(x)
3. Hitung integral berikut:
a. ∫+−
dxxx
x
52
22
b. ( )∫ + dxx2ln
4. Selidiki kekonvergenan integral tak wajar berikut:
a. ( )
∫+
+∞
0 23
32x
dx
b. ∫−−
−3
12 6
12dx
xx
x
Selamat Bekerja Dengan Jujur
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 11
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2003/2004
MA 1314 KALKULUS I
SENIN 5 JANUARI 2004
TUTUP BUKU
Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1314
1. Tentukan 'y dari bentuk emplisit 1=+ xyex
2. Hitung ∫ + dxx)2ln(
3. Diketahui ∫−−
−3
12 6
12dx
xx
x
a. Periksa apakah integral di atas adalah integral tak wajar ?
b. Jika integral tak wajar, periksa kekonvergenannya!
4. a. Tentukan selang kekonvergenan deret :
( )∑ +++=+∞
=0
2 ...3211n
n xxxn
b. Tentukan jumlah deret pada soal 4a dengan menggunakan :
xxxx
−=++++
1
1...1 32
5. Tentukan deret McLaurin dari fungsi x
xxf
+=
1)(
Selamat Bekerja Dengan Jujur
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 12
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2002/2003
KALKULUS / PU 1333
6 JANUARI 2003
TUTUP BUKU
Uas 2002-2003 Kalkulus I PU1333
Kerjakan dengan singkat dan jelas!
Jangan lupa berdo’a sebelum mengerjakan!
1. Diketaui ecxxxf
cos)1()( +=
a. Tentukan )(' xf
b. Hitung )(lim0
xfx
+→
2. Hitung integral berikut
a. ( )dxx 25ln +∫
b. ∫−
224 xx
dx
3. Selidiki kekonvergenan dari
a. ( )
∫+
+∞
023
1x
dx
b. ∫+∞−
0
21dx
e
ex
x
4. Diketahui daerah D dibatasi oleh xy = , x = 4 , sumbu x.
a. Tentukan luas D
b. Hitung volume benda putar jika D diputar terhadap sumbu y.
Selamat Bekerja Dengan Jujur
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 13
UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP 2002/ 2003
MA1314 KALKULUS I
JUMAT, 13 JUNI 2003
TUTUP BUKU
Uas 2002-2003 Kalkulus I MA1314
1. Hitung
a. ( ) ( )∫
+−
+−
41
64322
23
xx
xxx
b. ∫+
dx
xx 1
1
22
2. Tentukan kekonvergenan integral tak wajar( )
dx
x
x∫
+
+∞
1232 1
3. Diketaui ( )2
cot)(x
xxf =
Tentukan :
a. Turunan pertama dari f(x) !
b. )(lim0
xfx
+→
4. Tentukan selang kekonvergenan ( )
∑+∞
=+
1212
1
nn
n
n
x
Selamat Bekerja Dengan Jujur
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 14
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2002/2003
KALKULUS I
TUTUP BUKU
Uas 2002-2003 Kalkukus I
1. Hitunglah ( ) x
x
xsin
0
tanlim+→
2. Tentukan )(' xf dari 2
)sin2()( xxxf +=
3. Hitung integral berikut ∫−
dxx
x 142
4. Tentukan kekonvergenan integral tak wajar di bawah
a. dxe
ex
x
∫+
∞
∞−−
−
21
b. ∫∞
∞− xx
dx3ln
5. a. Periksa kekonvergenan deret ∑∞
=
+
1
1
!
3
n
n
n
b. Tentukan selang kekonvergenan deret ∑+
∞
=
−
02
1
)1(
2
n
nn
n
x
Selamat Bekerja Dengan Jujur
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 15
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2001/2002
DA 1314 KALKULUS I
SENIN 15 JANUARI 2001
TUTUP BUKU
Uas 2001-2002 Kalkulus I DA1314
1. Diberikan fungsi 1,22)( 2 −≤++= xxxxf . Tunjukkan bahwa fungsi
)(xf mempunyai invers kemudian carilah )(1xf
−
2. a. Carilah integral tak tentu ∫+
+dx
xx
x
4
43
b. Hitunglah ∫−3
12
29
dxx
x
3. selidiki kekonvergenan integral tak wajar berikut
a. dxx∫ +∞
0
)1ln(
b. ∫1
0
2
dxx
ex
4. Tentukan selang/himpunan kekonvergenan dari deret pangkat
∑+
−∞
=
+
0
1
32
)2(
n
nn
n
x
5. Perderetkan ke dalam deret Mac Laurin (minimal 4 suku pertama) untuk
fungsi 24
1)(
xxf
−=
Selamat Bekerja Dengan Jujur
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 16
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2000/2001
KALKULUS 1
SENIN / 24 NOVEMBER 2000
TUTUP BUKU
Uas 2000-2001 Kalkulus I
1. Diketahui xxxxf1
)42()( +=
a. Tentukan )(' xf
b. Hitunglah )(lim xfx ∞→
( jika ada )
2. Hitung
a. ( )( ){ }∫ −−5
3
21ln dxxx
b. ∫−
−dx
x
x
29
32
3. Hitung ∫++−
−−dx
xxx
xx
)22)(1(
322
2
4. Tentukan kekonvergenan integral tak wajar berikut :
a. ∫2
0
tan
π
θθd
b. ∫∞−
0 2
dxxex
5. Tentukan selang ( himpunan ) kekonvergenan deret ∑+
−∞
=
+
1
1
)1()1(
k
kk
kk
x
Selamat Bekerja Dengan Jujur
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 17
PEMBAHASAN
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 18
PEMBAHASAN
UJIAN AKHIR SEMESTER PENDEK 2009/2010
KALKULUS I/MA1114
15 AGUSTUS 2009
Uas 2009-2010 Kalkulus I MA1114 (SP)
1. Diketahui daerah D dibatasi kurva
xy = , garis 1=y , garis 4=x .
a. Gambar daerah D diperlihatkan pada
gambar di samping
b. Menghitung luas daerah D
luas salah satu partisi dari D adalah :
( ) yyA ∆−=∆ 24
apabila luas seluruh partisi dari D
dijumlahkan akan diperoleh luas daerah
D yaitu
( ) 2
1
3
31
2
1
2 44 yydyyA −=∫ −=
( ) ( )35
31
38 48 =−−−=
c. Menghitung volume benda putar bila
D diputar terhadap sumbu y.
Jika salah satu partisi dari D diputar
terhadap sumbu y maka akan diperoleh
sebuah cakram dengan jari-jari bagian
dalam 2y dan jari-jari bagian luar 4
serta tebal y∆ . Volume cakram
tersebut yaitu
( ) ( ) yytrrV dl ∆−=−=∆ 422 16ππ
Sehingga volume benda putar yang
dimaksud adalah
( ) ( ) πππ549
2
1
5
51
2
1
4 1616 =−=∫ −= yydyyV
1
xy =
40
D
Ddaerah
y∆
1 24 y−
40 1
2
y∆
•
2yrd =
4=lr
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 19
2. a. Mencari turunan dari xey
1sin
−
=
misalkan xu1sin−= maka
21
1
xdx
du
−
= , uey = dan u
edu
dy= .
Dengan menggunakan aturan rantai kita peroleh :
2
sin
211
11
x
e
x
edx
du
du
dy
dx
dy xu
−
=
−
==
−
b. Menghitung ( ) xx
x
xe1
2lim +
−
∞→
( ) xx
x
xe1
2lim +
−
∞→
( ) ( )21
2ln
1limexplnexplim xe
xxe
x
x
xx
x
+=+=−
∞→
−
∞→
( )**
2limexp*
lnlimexp
2
2
xe
xe
x
xex
x
x
x
x +
+−=
+=
−
−
∞→
−
∞→
( ) 10exp2
2limexp ==
+−
+=
−
−
∞→ xe
ex
x
x
Note : * dan ** limit berbentuk ∞/∞ sehingga L’H dapat diterapkan.
3. Menghitung integral
a. ∫2
0
5cos
π
xdx
∫ xdx5cos ( )∫= xdxx coscos
22 ( )∫ −= xdxx cossin122
( )∫ +−= xdxxx cossinsin21 42
( ) ( )∫ +−= xdxx sinsinsin21 42
cxxx ++−= 5
513
32 sinsinsin
∫2
0
5cos
π
xdx
( )
158
0
5
513
32 2
sinsinsin =+−=π
xxx
b. ∫+−
−dx
xx
x
106
3
2
∫+−
−dx
xx
x
106
3
2
( )∫
+−
+−=
106
106
2
2
21
xx
xxd cxx ++−= 1062
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 20
Alternative lain adalah dengan melihat kenyataan bahwa
∫+−
−dx
xx
x
106
3
2
( )∫
+−
−= dx
x
x
13
3
2 kemudian lakukan substitusi
tx tan3 =−
4. Memeriksa kekonvergenan integral tak wajar ( )( )∫
−+
+∞
0 23
4dx
xx
x
( )( )∫
−+
+∞
0 23
4dx
xx
x
( )( ) ( )( )∫
−+
++∫
−+
+=
+− →→
3
202 23
4lim
23
4lim
bb
a
a
dxxx
xdx
xx
x
( )( )( )*........
23
4lim
3
∫−+
++
∞→
c
c
dxxx
x
Misalkan ( )( ) ( ) ( )2323
4
−+
+=
−+
+
x
b
x
a
xx
x. Untuk mendapatkan nilai a dan b
kita kalikan kedua ruas dengan ( )( )23 −+ xx menjadi
( ) ( )324 ++−=+ xbxax
untuk 2=x diperoleh b56 = atau 56=b
untuk 3−=x diperoleh a51 −= atau 51−=a sehingga
( )( )∫
−+
+dx
xx
x
23
4
( ) ( )cxxdx
xx+−++−=∫
−+
+−= 2ln3ln
25
6
35
156
51 .
Sekarang kita selesaikan limit bagian pertama pada ruas kanan (*)
( )( )∫
−+
+
−→
a
a
dxxx
x
02 23
4lim ( )a
a
xx05
651
2
2ln3lnlim −++−=−→
( ) ( ) −∞=−+−−−++−=−→
2ln3ln2ln3lnlim 56
51
56
51
2
aaa
Ini menunjukkan bahwa ( )( )∫
−+
+
−→
a
a
dxxx
x
02 23
4lim divergen yang berakibat
( )( )∫
−+
+∞
0 23
4dx
xx
x juga divergen.
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 21
PEMBAHASAN
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2008/2009
KALKULUS I MA1114
SELASA / 13 JANUARI 2009
Uas 2008-2009 Kalkulus I MA1114
1. Diketaui D adalah daerah yang dibatasi oleh
kurva 42 =+ yx dan garis 2+= xy
a. Menggambar daerah D dan mencari
titik-titik potongnya
Titik potong kurva antara 42 =+ yx dan
2+= xy
42 =+ yx
422 =++ xx
022 =−+ xx
( )( ) 012 =−+ xx
2−=x atau 1=x
b. Menghitung luas daerah D
luas salah satu partisi dari D adalah :
( ) ( )( ) xxxA ∆+−+−=∆ 242
( ) xxx ∆+−−= 22
Jika luas semua partisi dari D kita
jumlahkan akan didapat luas daerah D
yaitu :
( )∫ +−−=−
1
2
2 2 dxxxA
1
2
23 22
1
3
1
−
+−−= xxx
2
942
3
82
2
1
3
1=
−−−
+−−=
2+= xy
42 +−= xy
2−
D
1
x∆
( ) ( )242
+−+− xx
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 22
c. Menghitung volume benda putar, bila
D diputar mengelilingi sumbu x.
Bila sebuah partisi dengan tinggi
22 +−− xx dan alas x∆ diputar terhadap
sumbu x maka akan diperoleh sebuah
cakram dengan jari – jari dalam 2+x
dan jari jari bagian luar 42 +− x serta
tebal x∆ . Luas volume cakram tersebut
adalah
( )trrV dl22 −=∆ π
( ) ( ) xxx ∆
+−+−=
222 24π
( ) ( )( ) xxxxx ∆++−+−= 44168 224π
( ) xxxx ∆+−−= 1249 24π
Sehingga volume benda putar yang dimaksud adalah :
( )∫ +−−=−
1
2
24 1249 dxxxxV π
1
2
235 12235
1
−
+−−= xxxxπ
−−+−−
+−−= 24824
5
321223
5
1π π
5
108=
2. Menentukan a sehingga 2)0(' =f jika ( )axxa
xf11 tantan
1)( −− +=
( )( )22
11
11'
ax
a
xaxf
++
+=
karena 2)0(' =f maka
aa
+=1
2
212 aa +=
0122 =+− aa
( ) 012
=−a ,
1=a
x∆
2+= xrd
42
+−= xrl
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 23
3. Menghitung ( )x
x
xcotlim0+→
( )x
x
xcotlim0+→
( ) ( )xxxx
x
x
cotlnlimexpcotlnexplim00 ++ →→
==
( )*
1
cotlnlimexp
0
=
+→
x
x
x
−
−
=+
→
2
2
0 1
cot
csc
limexp
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx coslim
sinlimexp
cos
sin
sinlimexp
002
2
0 +++ →→→
==
( ) 10.1exp ==
Note : *limit berbentuk ∞/∞ sehingga L’H bisa diterapkan.
4. Mengitung integral
a. ∫−+− 342
xx
dx
( )*
212
∫−−
=
x
dx ( ) cx +−= − 2sin 1
Note: * jika kurang faham lakukan substitusi tx sin2 =−
b. dxxx∫ + 423
misalkan : 42 += xu maka xdxdu 2= atau x
dudx
2=
sehingga
dxxx∫ + 423 ∫=x
duux
2
3
∫= duux2
2
1 ( )∫ −= duuu 4
2
1
∫
−= duuu 2
12
3
42
1cuu +
−= 2
32
5
3
8
5
2
2
1
( ) ( ) cxx ++−+= 23
225
24
3
44
5
1
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 24
5. Memeriksa kekonvergenan integral tak wajar dxexx
∫∞
∞−
− 32
dxexx
∫∞
∞−
− 32 ∫+∫= −
∞→
−
−∞→
bx
ba
x
a
dxexdxex0
20
2 33
limlim
misalkan 3xu −= maka dxxdu 23−= sehingga
∫−
dxexx
32 ∫−= dueu
3
1 ce
u +−=3
1 ce
x +−= − 3
3
1
dxexx
∫∞
∞−
− 32b
x
ba
x
a
ee0
033
3
1lim
3
1lim
−
∞→
−
−∞→
−+−=
∞=+−++−= −
∞→
−
−∞→ 3
1
3
1lim
3
1
3
1lim
33b
b
a
a
ee
Jadi dxexx
∫∞
∞−
− 32 divergen.
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 25
PEMBAHASAN
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2007-2008
KALKULUS I/MA1114
Uas 2007-2008 Kalkulus I MA1114
1. Diketahui suatu daerah D di kuadran I yang
dibatasi oleh kurva 24 xy −= , garis xy 3=
dan sumbu y.
a. Gambar daerah D luas daerahnya
Perhatikan gambar disamping !
Titik potong antara kurva 24 xy −= dan
xy 3= terjadi saat xx 34 2 =− yaitu
0432 =−+ xx
( )( ) 014 =−+ xx
4−=x (tidak memenuhi karena D pada
kwadran I) atau 1=x
Luas salah satu partisi dari D adalah :
( )( ) ( ) xxxxxxA ∆+−−=∆−−=∆ 4334 22
Jika kita jumlahkan luas seluruh partisi
dari D akan didapat luas daerah D yaitu
( )∫ +−−=1
0
2 43 dxxxA
613
1
0
2
233
31 4 =+−−= xxx satuan luas.
b. Menghitung volume benda putar, bila D
diputar terhadap garis 4=x
Apabila salah satu partisi dengan tinggi
432 +−−= xxt dan alas x∆ serta
berjarak x−4 dari garis 4=x diputar
terhadap garis 4=x akan diperoleh
sebuah kulit tabung dengan dengan
tinggi 432 +−−= xxt , jari-jari xr −= 4
serta tebal x∆ .
xy 3=1
( ) xx 342 −−
x∆
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 26
Volume kulit tabung tersebut adalah :
( )( ) xxxxrrtV ∆+−−−=∆=∆ 43422 2ππ ( ) xxxx ∆+−−−= 16162 23π
Apabila volume seluruh kulit tabung dijumlahkan akan diperoleh
volume benda putar yang dimaksud yaitu
( )∫ +−−−=1
0
23 16162 dxxxxV π ( ) ππ65
1
0
23
314
41 151682 =+−−−= xxxx
2. Diketahui ( ) ( ) ( )2
1
sinπ−= xxxf
a. Menghitung ( )xfx
lim
2
+→π
( ) ( ) ( )2
1
22
sinlnexplimlimπ
ππ
−
++→→
= xxxfxx
( ) ( )*
sinlnlimexp
sinlnexplim
22 22
ππππ −
=−
=++
→→ x
x
x
x
xx
( ) 10expsin
coslimexp
2
===+
→ x
x
x π
Note :*limit berbentuk 0/0 sehingga L’H dapat diterapkan.
b. Menentukan turunan pertama dari ( )xf
( ) ( )
−
= 2
1
sinπx
xxf
( ) ( )2
2
1
sinlnsinlnln
π
π
−==
−
x
xxxf
x
( )
−=
2
sinlnln
πx
xDxfD xx
( )( )
( )
( )2
2
2sincos sinln'
π
π
−
−−=
x
xx
xf
xf xx
( )( )
( )( )
( )
( )( )
−
−
−−=
−
−−= 2
1
2
2
2
2
2
2 sinsinlncotsinlncot
'π
π
π
π
πx
xx
xxxxf
x
xxxxf
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 27
3. a. Menghitung integral ( )( )
∫+−
+=∫
−−
+dx
xxx
xdx
xxx
x
23
6
6
6 3
23
3
misalkan ( )( ) 2323
63
++
−++=
+−
+
x
d
x
c
x
ba
xxx
x
untuk mendapatkan nilai a, b, c dan d kita kalikan kedua ruas dengan
( )( )23 +− xxx menghasilkan
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )*....................32232363 −++++−++−=+ xdxxcxxxbxxaxx
kemudian dengan menyulihkan nilai 0=x , 3=x , 2−=x dan 1−=x
ke dalam (*) secara berturut turut kita peroleh
b66 −= atau 1−=b
c1533 = atau 5
11=c
d102 =− atau 51−=d
dcba 4445 +−−= atau 1=a
Dengan demikian kita memiliki
( ) ( ) Cxxxx
dxxxx
dxxxx
x
++−−+−=
∫
+−
−+−=∫
−−
+
2ln3lnln
23
11
6
6
51
511
51
511
23
3
b. Memeriksa kekonvergenan integral tak wajar ∫∞
−
0
dxxex
Misalkan xu = dan dxedv x−= maka dxdu = dan xev −−= sehingga
∫−=∫=∫−
vduuvudvdxxex
cexedxexe
xxxx +−−=∫+−= −−−−
∫∞
−
0
dxxex
axx
a
ax
a
exedxxe00
limlim−−
∞→
−
∞→
−−=∫=
11
lim1**1
lim11lim =−
+=−−
+=+−−=∞→∞→
−−
∞→a
aa
a
aa
a ee
aeae
Jadi ∫∞
−
0
dxxe x konvergen ke 1.
Note :** limit berbentuk ∞/∞ sehingga L’H dapat diterapkan
1001 Soal & Pembahasan UAS
Arip Paryadi , IT Telkom
PEMBAHASAN
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2006/2007
KALKULUS I MA1114
SABTU / 13 JANUARI 2007
Uas 2006-2007 Kalkulus I MA1114
1. Diketaui daerah D dibatasi oleh grafik 21 xy −= , garis x = 1, dan garis y = 1.
a. Menghitung luas daerah D
Perhatikan gambar di samping !
Luas salah satu partisi dari D adalah
xxxxA ∆=∆−−=∆ 22 ))1(1( .
Sehingga luas daerah D adalah :
luassatuan3
1
3
1 1
0
31
0
2 ==∫= xdxxA
b. Menentukan volume benda putar , jika
daerah D diputar terhadap sumbu y.
Metode kulit tabung
Jika salah satu irisan dengan tinggi 22 )1(1 xx =−− dan alas x∆ serta
berjarak x dari sumbu y diputar
terhadap sumbu y akan diperoleh suatu
kulit tabung dengan tinggi 2x , jari jari
x dan tebal x∆ . Sehingga volume kulit
tabung tersebut adalah :
( ) xxxxxV ∆=∆=∆ 32 22 ππ
24
122
1
0
41
0
3 πππ =
=∫= xdxxV
1=y
1y −=
Pembahasan UAS Kalkulus I
28
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2006/2007
x
y
1=x2x−
Dx∆
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 29
2. a. Menentukan 'y jika yx
xy =
yxxy =
yxxy lnln =
xyyx lnln =
( ) ( )xyDyxD xx lnln =
yx
xyxyy
y1
ln''1
ln +=+
yx
yxyy
y
xlnln'' −=−
yx
yyx
y
xln'ln −=
−
xy
x
yx
y
y
ln
ln
'
−
−
=
b. Menentukan f(8) jika diketahui ( )*........).1(cos)(
3
0
∫ −=x
xxdttf π
Terlebih dahulu kita tentukan fungsi ekspilisit dari f(x) dengan
menerapkan teorema dasar kalkulus pada (*)
]).1(cos[)(
3
0∫ −=x
xx xxDdttfD π
πππ )sin()1(cos3)( 23xxxxxf −+−=
1sincos3)( 23 −−= xxxxxf πππ
2
3
3
1sincos)(
x
xxxxf
−−=
πππ
Dengan menyulihkan nilai x = 2 ke persamaan terkahir kita peroleh
2
3
2.3
12sin22cos)8()2(
−−==
πππff 0
12
101=
−−=
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 30
3. Menghitung ∫+
+dx
xx
x23
2 1
misalkan 1)1(
122
2
+++=
+
+
x
c
x
b
x
a
xx
xmaka :
)1(
)1()1(
)1(
12
2
2
2
+
++++=
+
+
xx
cxxbxax
xx
x
22 )1()1(1 cxxbxaxx ++++=+
untuk 0=x kita peroleh 1=b
untuk 1−=x kita peroleh 2=c
untuk 1=x kita peroleh cba ++= 222 atau 1−=a
sehingga :
∫+
+dx
xx
x23
2 1∫
+++−= dx
xxx 1
2112
Cxx
x +++−−= 1ln21
ln
4. Menyelidiki kekonvergenan ∫+−
0
1 1dx
x
x
∫+
=∫+ −→−
0
1
0
1 1lim
1 aa
dxx
xdx
x
x
∫+
−+=
−→
0
1 1
1)1(lim
aa
dxx
x
∫
+−+=
−→
0
1 1
11lim
aa
dxx
x
dxxxaa
+−+∫=
−
−→
21
210
1
)1()1(lim
02
12
3
1
)1(2)1(3
2lim
aa
xx
+−+=
−→
3
4)1(2)1(
3
22
3
2lim 2
12
3
1
−=
+−+−
−=
−→
aaa
Dengan demikian ∫+−
0
1 1dx
x
xkonvergen ke
3
4−
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 31
5. Diketahui 1
)(+
=x
xxf
a. Menyelidiki apakah )(xf mempunyai invers
Untuk menyelidikinya kita periksa apakah f monoton murni untuk
setiap selang pada R (sesuai dengan domainnya). Sekarang
perhatikan bahwa
Rxxx
xxxf ∈∀>
+=
+
−+= 0
)1(
1
)1(
)1()('
22
Ini menunjukkan bahwa f selalu naik yaitu f monoton murni
sehingga f memiliki invers.
b. Mencari )1(1 −−f
misalkan )(1yfx
−=
1)(
+=
x
xxf
1+=
x
xy
xxy =+ )1(
xyyx =+
yxyx −=−
yxy −=− )1(
y
y
y
yx
−=
−
−=
11
y
yyf
−=
−
1)(1
x
xxf
−=−
1)(1
2
1
)1(1
1)1(1
−=−−
−=−
−f
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 32
2xy =
xy =
mxy =
PEMBAHASAN
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2005/2006
KALKULUS 1 MA1114
SENIN 2 JANUARI 2006
Uas 2005-2006 Kalkulus I MA1114
1. Diketahui daerah D dibatasi oleh grafik y = x2 dan y = x. Grafik fungsi
y=xm membagi luas daerah D menjadi 2 bagian yang sama.
a. Menggambar daerah D
b. Menentukan nilai m
Karena Grafik fungsi y = xm membagi
luas daerah D menjadi 2 bagian yang
sama, maka luas daerah yang dibatasi
fungsi y = xm dan y = x adalah
setengah luas D. secara matematis dapat
dituliskan dalam :
∫ −=∫ −1
0
21
0
)(2
1)( dxxxdxxx
m
1
0
321
0
12
3
1
2
1
2
1
1
1
2
1
−=
+− +
xxxm
xm
−=
+−
3
1
2
1
2
1
1
1
2
1
m
12
1
1
1
2
1=
+−
m
12
5
12
1
2
1
1
1=−=
+m
5
7=⇒ m
2xy =
xy =
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 33
2. Menentukan l = panjang kurva y = x3/2 dari titik (0,0) ke (1,1).
∫
+=
1
0
2
1 dxdx
dyl ∫
+=
1
0
2
21
2
31 dxx
∫ +=1
0 4
91 dxx
1
0
23
9
4
4
91
3
2
+= x
−
= 1
4
13
27
8 23
3. Menentukan :
a. ∫ dxxx )(cos)(sin 34
∫ dxxx )(cos)(sin 34∫= dxxxx )cos()(cos)(sin 24
( )∫ −= dxxxx )cos()(sin1)(sin 24
( )∫ −= dxxxx )cos()(sin)(sin 64
( ) ( )∫ −= xdxx sin)(sin)(sin 64
( ) ( ) cxx +−= 75 sin7
1sin
5
1
b. ∫−
1
0
1 )(tan dxx
misalkan : )(tan 1xu
−= dan dxdv =
maka : dxx
du21
1
+= dan xv = sehingga
∫=∫−
udvdxx)(tan1
∫−= vduuv dxx
xxx ∫
+−= −
2
1
1)(tan
( )∫
+
+−= −
2
2
21
1
1
1)(tan
x
xdxx
Cxxx ++−= − 21 1ln2
1)(tan
dengan demikian ∫−
1
0
1 )(tan dxx1
0
21 1ln2
1)(tan
+−= −
xxx
−−
−= − 1ln
2
102ln
2
1)1(tan 1 2ln
2
1
4−=
π
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 34
4. Menyelidiki kekonvergenan ∫−
3
0 29 x
dx
∫−
3
0 29 x
dx∫
−
=−→
a
a x
dx
0 23 9lim
misalkan : θsin3=x maka θθddx cos3=
jika 0=x maka 0=θ
jika −→ 3x maka −
→2
πθ sehingga
∫−
−→
a
a x
dx
0 23 9lim ∫
−
=−
→
b
b
d
0 2
2sin99
cos3lim
θ
θθ
π
∫−
=−
→
b
b
d
0 2
2)sin1(9
cos3lim
θ
θθ
π∫=
−
→
b
b
d
0 2
2cos9
cos3lim
θ
θθ
π
∫=−
→
b
b
d
0
2
cos3
cos3lim
θ
θθ
π∫=
−
→
b
b
d0
2
lim θπ 2
lim
2
π
π
==−
→
b
b
Jadi ∫−
3
0 29 x
dx konvergen ke
2
π
Alternative lain
∫−
3
0 29 x
dx∫
−
=−
→
a
a x
dx
0 23 9lim
a
a
x
0
1
3 3sinlim
= −
→ −
23sinlim
1
3
π=
= −
→ −
a
a
yaitu ∫−
3
0 29 x
dx konvergen ke
2
π
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 35
5. Diketahui ( ) xxxf
tan)( π−=
a. Menentukan ( )xf '
xxy
tan)( π−=
xxy
tan)ln(ln π−=
)ln()tan(ln π−= xxy
( ) ( )[ ]π−= xxDyD xx lntanln
( ) ( )xx
xxyy
tan1
ln)(sec'1 2
ππ
−+−=
( ) ( ) ( ) yxx
xxy
−+−= tan
1lnsec' 2
ππ
( ) ( ) ( ) ( ) xxx
xxxy
tan2 tan1
lnsec' ππ
π −
−+−=
b. Menghitung )(lim xfx +→π
)(lim xfx
+→π
x
x
xtan
)(lim ππ
−=+→
−=
+→
x
x
x tan)ln(explim ππ
[ ])ln()tan(explim ππ
−=+→
xxx
[ ])ln()tan(limexp ππ
−=+→
xxx
( )*
)cot(
lnlimexp
−=
+→ x
x
x
π
π
−
−=
+→ )(csc
1
limexp2 x
x
x
π
π
*2)(sin
limexpππ −
−=+→ x
x
x 1
)cos()sin(2limexp
xx
x
−=+→π
( ) 10exp 0 === e
note : * limit bernilai 0/0 sehingga L’H dapat diterapkan
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 36
PEMBAHASAN
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2004/2005
MA-1114 KALKULUS I
SENIN 10 JANUARI 2005
Uas 2004-2005 Kalkulus I MA1114
1. Diketahui D dibatasi oleh 2xy = , x = 2 dan y
= 1
a. Menghitung luas D
Luas salah satu partisi pada D adalah
( ) xxA ∆−=∆ 12
sehingga luas daerah D adalah
( )∫ −=2
1
2 1 dxxA
2
1
3
3
1
−= xx
3
41
3
12
3
8=
−−
−=
b. Menghitung volume benda jika D diputar
terhadap garis x = 3
jika salah satu irisan dengan tinggi 12 −x
dan alas x∆ serta berjarak x−3 dari garis x
= 3 diputar terhadap garis 3=x akan
diperoleh suatu kulit tabung dengan tinggi
12 −x , jari jari x−3 dan tebal x∆ .
Sehingga volume kulit tabung tersebut
adalah :
( )( )( ) xxxx
xxxV
∆−++−=
∆−−=∆
332
132
23
2
π
π
( )∫ −++−=2
1
23 332 dxxxxV π
112
73
2
1
4
12
2
1
234 ==
−++−=
ππ xxxx
}x∆
2xy =
1=y
2=x1
4
x
y
} 12 −x
}x∆
30 x
x−3
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 37
2. Diketahui xxxxf )sin()( +=
a. Menentukan )(' xf
xxxy )sin( +=
xxxy )sinln(ln +=
xxxy )sinln(ln +=
( )( )xxxDyD xx sinln)(ln +=
( ) xxx
xxxy
y sin
cos1sinln'
1
+
+++=
( ) yxxx
xxxy
+
+++=
sin
cos1sinln'
( ) ( )xxxx
xx
xxxy sin
sin
cos1sinln' +
+
+++=
b. Menghitung )(lim0
xfx +→
)(lim0
xfx
+→
( )x
x
xx sinlim0
+=+→
( )x
x
xx sinlnexplim0
+=+→
( )[ ]xxxx
sinlnexplim0
+=+→
( )[ ]xxxx
sinlnlimexp0
+=+→
( )*
1
sinlnlimexp
0
+=
+→
x
xx
x
−
+
+
=+→
2
0 1
sin
cos1
limexp
x
xx
x
x
( )**
sin
cos1limexp
2
0
+
+−=
+→ xx
xx
x
( ) ( )
+
−++−=
+→ x
xxxx
x cos1
sincos12limexp
2
0
1)0exp(2
0exp 0 ===
= e
Note : * limit berbentuk ∞/∞ **(0/0) sehingga L’H dapat diterapkan.
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 38
3. Menghitung ∫++
+
−
1
12 52
5dx
xx
x
∫++
+
−
1
12 52
5dx
xx
x
( )∫
++
+=
−
1
122
21
5dx
x
x
misalkan : θtan21 =+x maka θθddx 2sec2=
jika 1−=x maka 0=θ
jika 1=x maka 4
πθ = sehingga
( )∫
++
+
−
1
122
21
5dx
x
x∫
+
+−=
4
0
2
2sec2
4tan4
5)1tan2(
π
θθθ
θd
∫+
+=
4
0
2
2sec2
)1(tan4
4tan2
π
θθθ
θd ∫
+=
4
0
2
2sec2
)(sec4
4tan2
π
θθθ
θd
( )∫ +=4
0
4tan22
1
π
θθ d [ ]4
0
4cosln22
1
π
θθ +−=
( )
−
+−= 02
2
1ln2
2
1π 2
2
1ln
2−=
π
4. Menghitung ∫−
dx
x 23
2 )14(
1
misalkan : θsec2
1=x maka θθθ dxd tansec
2
1= sehingga
∫−
dx
x 23
2 )14(
1
( )∫
−
= θθθ
θ
dtansec2
1
1sec
1
23
2
∫= θ
θ
θθd
23
2 )(tan
tansec
2
1∫= θ
θ
θθd
3tan
tansec
2
1∫= θ
θ
θd
2tan
sec
2
1
∫= θθθ
θd
cos
1
sin
cos
2
12
2
∫= θθθθ
dsin
cos
sin
1
2
1
∫= θθθ dcotcsc2
1C+−= θcsc
2
1Cx +−−= 2
412
1
θx2
1 241 x−
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 39
5. Memeriksa kekonvergenan integral tak wajar ∫ −2
1
)1ln( dxx
∫ −2
1
)1ln( dxx ∫ −=+→
2
1
)1ln(limaa
dxx
Misalkan )1ln( −= xu dan dxdv = maka 1−
=x
dxdu dan xv = sehingga
∫ ∫−=∫=− vduuvudvdxx )1ln(
∫−
−−= dxx
xxx
1)1ln(
∫−
+−−−= dx
x
xxx
1
1)1()1ln(
∫
−+−−= dx
xxx
1
11)1ln(
( ) Cxxxx +−+−−= )1ln()1ln(
Cxxxx +−−−−= )1ln()1ln(
Cxxx +−−−= )1ln()1( jadi
∫ −2
1
)1ln( dxx [ ]2
1
)1ln()1(limaa
xxx −−−=+→
( ) ( ) ( )( )[ ]aaaa
−−−−−=+→
1ln12lim1
)1ln()1(2lim1
−−−−=+→
aaaa
)1ln()1(lim)2(lim11
−−−−=++ →→
aaaaa
−
−−−=
+→
1
1
)1ln(lim1
1
a
a
a
−−
−−−=
+→
2
1
)1(
1
1
1
lim1
a
a
a
)(1)1(lim11
ansaa
−=−−−−=+→
1kekonvergen)1ln(2
1
−∫ −∴ dxx
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 40
PEMBAHASAN
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2003/2004
MA1122 KALKULUS I
23 DESEMBER 2003
Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1122
1. Diketahui 1
)(2 +
=x
xxf
a. Daerah kemonotonan f dan titik ekstrimnya beserta jenisnya
Kemonotonan dari f dapat ditentukan dari )(' xf
( ) ( )
( ) ( )( )( )
( )2222
2
22
2
1
11
1
1
1
21)('
+
+−=
+
−=
+
−+=
x
xx
x
x
x
xxxxf
• f monoton naik jika 0)(' >xf yaitu pada selang (-1,1)
• f monoton turun jika jika 0)(' <xf yaitu pada selang
),1()1,( ∞∪−−∞
• karena terjadi perubahan kemonotonan pada 1−=x (-- �++)
maka titik ( )( ) ( )21,11,1 −−=−− f merupakan titik minimum.
Begitu juga pada 1=x terjadi perubahan kemonotonan (++ �--)
maka titik ( )( ) ( )21,11,1 =f merupakan titik maksimum.
b. Daerah grafik f cekung atau cekung ke bawah dan titik beloknya
Daerah kecekungan dari f dapat ditentukan dari ( )xf "
( )( ) ( ) ( )( )42
2222
1
121212)("
+
−+−+−=
x
xxxxxxf
( )( ) ( )( )32
22
1
1412
+
−−+−=
x
xxxx
( )32
33
1
4422
+
+−−−=
x
xxxx
( )32
3
1
62
+
−=
x
xx ( )( )( )32 1
332
+
+−=
x
xxx
• •1− 1
+++++ −−−−−−−−−− ( )xf '
• •3− 3
+++−−− ( )xf "•0
+++ −−−
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 41
4
3,3
0,0
•
•
•
•
•
4
3,3 −−
2
1,1
2
1,1−−
( )1
grafik2 +
=x
xxf
• f cekung ke atas jika ( ) 0" >xf yaitu pada selang
),3()0,3( ∞∪−
• f cekung ke bawah jika ( ) 0" <xf yaitu pada selang
)3,0()3,( ∪−−∞
• Karena terjadi perubahan kecekungan pada 3±=x ,
0=x dan
( ) ( ) ( )0,3,3 fff − ada, maka titik ( )( ) ( )43,33,3 =f dan
( )( ) ( )43,33,3 −−=−− f serta ( )( ) ( )0,00,0 =f merupakan
titik belok.
c. Garis-garis Asimtot
• Asimtot datar/miring bebentuk baxy +=
( )0
1
1limlim
2=
+==
∞→∞→ xx
xfa
xx
( ) 01
limlim2
=+
=−=∞→∞→ x
xaxxfb
xx
Dengan demikian f hanya memiliki asistot datar yaitu y = 0.
• Asimtot tegak
f tidak memiliki asimtot tegak.
d. Sketsa grafik f
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 42
2. Menentukan )2('H jika diketahui ∫+
=−4
2 4
3
1
)(x
x
dt
t
xxH
Terlebih dahulu kita tentukan fungsi ekspisit dari H(x) dengan
menerapkan teorema dasar kalkulus.
∫
+∫ =
+
=−− 4
2 4
4
2 4
33
1
1
1
)('x
xx
x
xx dt
t
xDdt
t
xDxH
∫+
+∫+
=−− 4
2 4
4
2 4
33
1
1
1
1 x
xx
x
x
dt
t
xDdt
t
( ) ( )
+
−
−+
+∫+
=−
443
24
2 421
2
41
3
1
13
xx
xxdt
t
x
x
( )257
12
2561
2
2561
82
1
12'
4
4 4=
+−
++∫
+
= dt
t
H
3. Daerah D dibatasi oleh kurva-kurva y = x2
dan y = 4
a. Menggambar daerah D dan
menghitung luas daerahnya.
luas salah satu partisi dari D adalah :
( ) xxA ∆−=∆ 24 Apabila luas seluruh partisi kita
jumlahkan maka akan diperoleh luas
dari D yaitu :
( )2
2
32
2
2
3
144
−−
−=∫ −= xxdxxA
3
32
3
88
3
88 =
+−−
−=
22−
2xy =
4
D
x∆
24 x−
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 43
b. Menghitung volume benda putar yang
terjadi apabila daerah D diputar
terhadap garis y = -1
Apabila sebuah partisi diputar
terhadap garis y = -1 maka akan
diperoleh sebuah cakram dengan jari
jari luar 5=lr dan jari jari dalam
12 += xrd serta tebal xt ∆= . volume
dari cakram tersebut yaitu
( )trrV dl22 −=∆ π
( ) xx ∆
+−=
22 125π
( ) xxx ∆+−−= 242 24π
Sehingga volume benda putar yang
dimaksud adalah :
( )∫ +−−=−
2
2
24 242 dxxxV π
2
2
3524
3
2
5
1
−
+−−= xxxπ
−+−
+−−= 48
3
16
5
3248
3
16
5
32π π
15
1088=
4. Menentukan 'y jika ( ) xxy
ln2 1+=
( ) ( ) ( )1lnln1lnln 2ln2 +=+= xxxyx
( ) ( )( )1lnlnln 2 += xxDyD xx
( )1
ln21ln'2
2
++
+=
x
xx
x
x
y
y
( )y
x
xx
x
xy
++
+=
1
ln21ln'
2
2 ( ) ( ) xx
x
xx
x
x ln2
2
2
11
ln21ln+
++
+=
4x∆
5=lr
12
+= xrd
1−
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 44
5. Hitung integral-integral berikut
a. ∫ − dxex9
Misalkan xeu −= 9 maka
x
x
e
dxedu
−
−=
92atau
xx
x
e
udu
e
duedx
292−=
−−= sehingga
∫ − dxex9 ∫−=
xe
duu2
2 duu
u∫
−−=
2
2
92 du
u
u∫
−=
92
2
2
duu
∫−
+=9
912
2du
uu∫
+−
−+=
3
23
3
2312
( ) ( ) cuuu +
+−−+= 3ln
2
33ln
2
32
( ) ( ) cuuu ++−−+= 3ln33ln32
( )( )
cu
uu +
+
−+=
3
3ln32
c
e
ee
x
xx +
+−
−−+−=
39
39ln392
b. ∫π
0
2cos xdxx
( )∫
+=
π
0 2
2cos1dx
xx ( )∫ +=
π
0
2cos2
1dxxxx
∫+=ππ
00
2 *2cos2
1
2
1xdxxx
∫−+=ππ
π
00
2
2sin2
12sin
22
1
4xdxx
x
42cos
4
10
2
1
4
2
0
2 πππ
=
++= x
Note : *terapkan integrasi parsial dengan xu = dan xdxdv 2cos=
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 45
PEMBAHASAN
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2003/2004
PU 1333 KALKULUS
SENIN 5 JANUARI 2004
Uas 2003-2004 Kalkulus I PU1333
1. Diketahui daerah tertutup D yang dibatasi oleh kurva xy = , garis
0=x dan garis y = 3
a. Menghitung luas daerah D
Luas salah satu partisi pada D adalah
( ) xxA ∆−=∆ 3
sehingga luas daerah D adalah
( )9
0
2
39
0 3
233
−=∫ −= xxdxxA ( ) 909
3
227 2
3
=
−
−=
b. Menghitung volume benda putar jika D diputar terhadap garis
1−=y
jika salah satu irisan diputar terhadap garis 1−=y maka akan
diperoleh sebuah cakram dengan jari jari dalam ( ) 11 +=−− xx
dan jari jari luar 4 serta tebal x∆ . Sehingga volume cakram tersebut
adalah :
trtrV dl22 ππ −=∆
x∆
x−3
xy =
3
90
x∆
3
9
1+x4
1−
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 46
trr dl )( 22 −= π ( ) xx ∆+−= )14(22π
( ) xxx ∆++−= )1216(π
( ) xxx ∆+−−= 152π
( )∫ +−−= dxxxV 152π
9
0
2
3
2 153
2.2
2
1
+−−= xxxπ
9
0
2
3
2 153
4
2
1
+−−= xxxπ
( )
−
+−−= 013527.
3
481.
2
1π π
2
117=
2. Diketahui ( ) ecxxxf
coscos)( =
a. Menghitung : )(lim0
xfx→
)(lim0
xfx
+→
x
x
xcsc
0
)(coslim+→
=
( )( )x
x
xcsc
0
coslnexplim+→
=
( )( )x
x
xcsc
0
coslnlimexp+→
=
( )xxx
cosln.csclimexp0+→
=
.sin
)ln(coslimexp
*
0 x
x
x+→
=
x
x
x
x cos
cos
sin
limexp0
=+→
1)0exp( ==
Note : * limit berbentuk 0/0 , sehingga L’H bisa diterapkan.
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 47
b. Menentukan turunan pertama f(x)
( ) ecxxy
coscos=
xxy
csc)ln(cosln =
)ln(coscscln xxy =
[ ])ln(coscscln xxDyD xx =
x
xxxxxy
y cos
sin.csc)ln(coscot.csc'
1+−=
[ ] yxxxxy sec)ln(coscot.csc' +−=
[ ] xxxxxxy
csc)(cos.sec)ln(coscot.csc' +−=
3. Menghitung
a. ∫+−
dxxx
x
52
22
∫+−
dxxx
x
52
22 ( )
∫+−
= dxx
x
2221
2
misalkan θtan21 =−x maka θθddx2sec2=
sehingga :
( )∫
+−dx
x
x22
21
2∫
+
+= θθ
θ
θd
2
2sec2
4tan4
)1(tan2
∫+
+= θθ
θ
θd
2
2sec2
)1(tan4
2tan2
∫+
= θθθ
θd
2
2sec2
sec4
2tan2
∫+
= θθθ
θd
2
2sec2
sec4
2tan2
( ) c++−= θθ 2cosln22
1c+−= θθ cosln
c
xx
x+
+−
−
−= −
52
2ln
2
1tan
2
1
θ1−x
2
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 48
b. ( )∫ + dxx2ln
Misalkan )2ln( xu += dan dxdv = maka
dxx
du+
=2
1dan xv = sehingga
( )∫ + dxx2ln ∫= udv ∫−= vduuv
∫+
−+= dxx
xxx
2)2ln(
∫+
−+−+= dx
x
xxx
2
2)2()2ln(
∫
+−−+= dx
xxx
2
21)2ln(
cxxxx +−+++= )2ln(2)2ln(
cxxx +−++= )2ln()2(
4. Menyelidiki kekonvergenan integral tak wajar
a. ( )
∫+
+∞
0 23
32x
dx ∫
+
=+∞→
a
a x
dx
0 23
)32(lim
∫ +=−
+∞→
a
a
x0
23
)32(lima
a
x0
21
2
1.)32(2lim
−
+∞→
+−=
a
a x 032
1lim
+−=
+∞→ 3
1
32
1lim +
+−=
+∞→ aa 3
1=
( )∫
+
∴+∞
0 23
32x
dx konvergen ke
3
1
b. ∫−−
−3
12 6
12dx
xx
x ∫
−−
−=
−→
a
a
dxxx
x
12
3 6
12lim
( )∫
−−
−−=
−→
a
a
dxxx
xxd
12
2
3 6
6lim
a
a
xx1
2
3
6lnlim −−=−→
−∞=−−−=−→
6ln6lnlim2
3
aaa
Jadi integral di atas divergen.
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 49
PEMBAHASAN
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2003/2004
MA 1314 KALKULUS I
SENIN 5 JANUARI 2004
Uas 2003-2004 Kalkulus I MA1314
1. Menentukan 'y dari bentuk emplisit 1=+ xyex
( ) ( )1xxy
x DexD =+
( ) 0'1 =++ xyyexy
0'1 =++ xyxyexyye
xyxy yeexy −−= 1'
xy
xy
xe
yey
−−=
1'
2. Menghitung ∫ + dxx)2ln(
( Lihat Pembahasan Ujian Akhir Semester Ganjil 2003/2004 Pu 1333
Kalkulus I Senin 5 Januari 2004 No. 3b)
3. Diketahui ∫−−
−3
12 6
12dx
xx
x
a. Memeriksa apakah integral di atas adalah integral tak wajar
Benar , integral di atas merupakan integral tak wajar karena jika
subtitusikan x = 3 maka fungsi integran 6
122 −−
−
xx
xmenjadi tak
terdefinisi.
b. Memeriksa kekonvergenan integral di atas.
( Lihat Pembahasan Ujian Akhir Semester Ganjil 2003/2004 Pu
1333 Kalkulus I Senin 5 Januari 2004 No. 4b)
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 50
4. ( Untuk kurikulum baru soal ini termasuk dalam materi kalkulus tingkat
II)
a. Menentukan selang kekonvergenan deret :
( )∑ +++=+∞
=0
2 ...3211n
n xxxn
misalkan : ( ) nn xna 1+=
maka ( ) 11 2 +
+ += nn xna
n
n
n a
a 1lim
+
∞→
=ρ( )( ) n
n
n xn
xn
1
2lim
1
+
+=
+
∞→
( )( )
xn
n
n 1
2lim
+
+=
∞→
( )( )1
2lim
+
+=
∞→ n
nx
n
x=
• Agar deret konvergen maka haruslah ρ < 1yaitu 1<x atau
11 <<− x .
• Memeriksa kekonvergenan deret pada ujung selang
- untuk 1−=x deret menjadi ( )∑ −+∞
=0
)1.(1n
nn . Untuk menguji
kekonvergenannya kita lakukan uji deret ganti tanda.
11
11
1
21 >+
+=+
+=+
nn
n
a
a
n
n atau nn aa >+1
Karena nn aa >+1 maka menurut uji deret ganti tanda deret
tersebut divergen.
- Untuk 1=x deret menjadi ( )∑ +++=+∞
=0
....3211n
n . Deret ini
monoton naik dan tak terbatas di atas sehingga deret ini
divergen.
jadi ( )∑ +∞
=0
1n
nxn konvergen pada 11 <<− x
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 51
b. Menentukan jumlah deret pada soal 4a dengan menggunakan :
xxxx
−=++++
1
1...1 32
( )∑ ++++=+∞
=0
32...43211
n
nxxxxn
( )....1 32 ++++= xxxDx
( )21
1
1
1
xxDx
−=
−=
5. Menentukan deret McLaurin dari fungsi x
xxf
+=
1)(
( )
−−=
+=
+=
xx
xx
x
xxf
1
1
1
1
1)(
( ) ( ) ( )( )......132
+−+−+−+= xxxx
( ) ( ) ( ) 1
000
11+
∞
=
∞
=
∞
=
∑ −=∑ −=∑ −= n
n
nn
n
n
n
nxxxxx
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 52
PEMBAHASAN
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2002/2003
KALKULUS / PU 1333
6 JANUARI 2003
Uas 2002-2003 Kalkulus I PU1333
1. Diketaui ecx
xxfcos)1()( +=
a. Menentukan )(' xf
ecxxxf
cos)1ln()(ln +=
)1ln(cos)(ln += xecxxf
( ) ( ))1ln(cos)(ln += xecxDxfD xx
1
1.cos)1ln(cot.cos
)(
)('
+++−=
xecxxgxecx
xf
xf
[ ] )(1
1.cos)1ln(cot.cos)(' xf
xecxxgxecxxf
+++−=
[ ] ecxxecx
xxgxecxxf
cos)1ln(.cos
1
1)1ln(cot.cos)(' +
+++−=
b. Menghitung )(lim0
xfx
+→
)(lim0
xfx
+→
ecx
x
xcos
0
)1(lim +=+→
( )ecx
x
xcos
0
)1ln(explim +=+→
( )ecx
x
xcos
0
)1ln(limexp +=+→
)1ln(.coslimexp0
+=+→
xecxx
*sin
)1ln(limexp
0 x
x
x
+=
+→
x
x
x cos
1
1
limexp0
+=
+→
e== )1exp(
Note : *limit berbentuk 0/0, sehingga kita dapat menerapkan L’H
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 53
2. Menghitung integral
a. ( )dxx 25ln +∫
misalkan : )25ln( += xu dan dxdv =
maka dxx
du25
5
+= dan xv = sehingga
( ) ∫=+∫ udvdxx 25ln ∫−= vduuv
dxx
xxx ∫
+−+=
25
5).25ln(
dxx
xx ∫+
−−+= )25
21()25ln(
cxxxx +
+−−+= )25ln(
5
2)25ln(
cxxx +−+
+= )25ln(
5
2
b. ∫−
224 xx
dx
misalkan : tx sin2= maka tdtdx cos2=
sehingga
∫−
224 xx
dx ∫
−
=
tt
tdt
22sin44sin4
cos2
∫−
=)sin1(4sin4
cos2
22tt
tdt∫=
)(cos4sin4
cos2
22tt
tdt
∫=tt
tdt
cos2.sin4
cos22 ∫=
t
dt2sin4
∫= tdtec2cos4
1
cgt +−= cot4
1c
x
x+
−−=
24
4
1
tx
2
24 x−
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 54
3. Menyelidiki kekonvergenan dari
a. ( )
∫+
+∞
023
1x
dx
( ) ( )∫
+=∫
+ +∞→
+∞ a
a x
dx
x
dx
0 23
023
1lim
1
( )∫ +=−
+∞→
a
a
dxx0
23
1lim
a
a
x0
21
)1(2lim−
+∞→
+−=
211
12lim =
−
+−=
+∞→ aa
Ini menunjukkan bahwa ( )
∫+
+∞
023
1x
dx konvergen ke 2.
b. ∫+∞−
0
21dx
e
ex
x
∫+
=∫+ −∞→∞−
0
2
0
21
lim1 b
x
x
bx
x
e
dxedx
e
e
Misalkan : xeu = maka dxedux=
Jika −∞→x maka +→ 0u
Jika 0=x maka 1=u sehingga
∫+
=∫+ −∞→∞−
0
2
0
21
lim1 b
x
x
bx
x
e
dxedx
e
e
∫+
=+→
1
20 1
limcc u
du 11
0
)(tanlimcc
u−
→ +
=
4)(tan)1(tanlim
11
0
π=−= −−
→+
cc
Ini menunjukkan bahwa ∫+∞−
0
21dx
e
ex
x
konvergen ke 4
π.
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 55
4. Diketahui daerah D dibatasi oleh xy = ,
x = 4 , sumbu x.
a. Menentukan luas D
Luas salah satu partisi dari D adalah
xxA ∆=∆
dengan demikian luas seluruh daerah D
adalah
3
16
3
24
0
2
34
0
==∫= xdxxA
b. Menghitung volume benda putar jika D
diputar terhadap sumbu y.
Jika sebuah partisi dari D dengan tinggi
x dan alas x∆ serta berjarak x dari
sumbu y diputar terhadap sumbu y
maka aka diperoleh sebuah kulit tabung
dengan jari jari x, tebal x∆ dan tinggi
x . Sehingga volume kulit tabung
tersebut sebesar
xxxxxV ∆=∆=∆ 23
22 ππ
jadi volume benda yang dimaksud
adalah
πππ5
128
5
2.22
4
0
254
0
23
==∫= xdxxV
x∆ 4=x0
x
x∆
x
x
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 56
PEMBAHASAN
UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP 2002/ 2003
MA1314 KALKULUS I
JUMAT, 13 JUNI 2003
Uas 2002-2003 Kalkulus I MA1314
1. Menghitung
a. ( ) ( )∫
+−
+−
41
64322
23
xx
xxx
misalkan ( ) ( ) ( ) ( ) ( )41141
6432222
23
+
++
−+
−=
+−
+−
x
dcx
x
b
x
a
xx
xxx,
untuk mendapatkan nilai a, b, c, dan d kalikan kedua ruas dengan
( ) ( )41 22+− xx sehingga persamaan menjadi
( )( ) ( ) ( )( )*1441643 22223 −+++++−=+− xdcxxbxxaxxx,
kemudian dengan menyulihkan nilai 1=x , 1−=x , 0=x dan 2=x
secara berturut turut kita peroleh
b55 = atau 1=b
ba 51013 +−=− atau 5
9=a
dba −+−= 440 atau 5
16−=d
dcba 368820 +++= atau 5
6=c
sehingga
( ) ( )dx
xx
xxx∫
+−
+−
41
64322
23
( ) ( ) ( )dx
x
x
xx∫
+
−+
−+
−=
45
166
1
1
15
922
( ) ( ) ( )dx
xx
x
xx∫
+−
++
−+
−=
4
**1
5
16
4
*2
5
3
1
1
15
9222
( )( )
( ) cx
xx
x +
−++
−−−= −
2tan
5
84ln
5
3
1
11ln
5
9 12
Note : gunakan substitusi 42 += xu pada (*) dan tx tan2= pada (**)
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 57
b. ∫+
dx
xx 1
1
22
misalkan θtan=x maka θθddx2sec= sehingga
∫+
dx
xx 1
1
22∫
+
= θθθθ
d2
22sec
1tantan
1
∫= θθθθ
d2
22sec
sectan
1
∫= θθθ
dsectan
12 ∫= θ
θθ
θd
cos
1
sin
cos2
2
∫= θθθ
θd
sin
1
sin
cos∫= θθθ dcsccot
c+−= θcsc cx
x+
+−=
12
2. Menentukan kekonvergenan integral tak wajar ( )
dx
x
x∫
+
+∞
1232
1
( )dx
x
x∫
+
+∞
1232 1
( )∫
+
=+∞→
a
ax
x
1 23
2 1
lim
misalkan 12 += xu maka xdxdu 2=
jika 1=x maka 2=u
jika +∞→x maka +∞→u sehingga
( )∫
++∞→
a
ax
x
1 23
2 1
lim ∫=+∞→
b
bu
du
2 23
21
lim
b
b u 2
2.
2
1lim
−=
+∞→
2
1
2
11lim =+−=
+∞→ bb
Jadi ( )
dx
x
x∫
+
+∞
1232
1 konvergen ke
2
1
θ
12 +x
1
x
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 58
3. Diketaui ( )2
cot)(x
xxf =
a. Menentukan turunan pertama dari f(x)
( )2
cotlnlnx
xy =
( )xxy cotlnln 2=
( ) ( ))ln(cotln 2xxDyD xx =
( )x
xxxxxy
y cot
cot.csccotln2'
1 2 −+=
( ( ) )yxxxxy csccotln2' 2−=
( ( ) )( )2
cotcsccotln2' 2 xxxxxxy −=
b. Menghitung )(lim0
xfx +→
( )2
cotlim0
x
x
x+→
( )2
cotlnexplim0
x
x
x+→
=
( )xxx
cotlnexplim2
0+→
= ( )xxx
cotlnlimexp2
0+→
=
( )*
1
cotlnlimexp
2
0
=
+→
x
x
x
−
−
=+→
3
2
0 2
cot
csc
limexp
x
x
x
x
x
x
x
x
x cos
sin
sin
1
2limexp
2
3
0+→
=
=
++ →→ x
x
x
x
xx coslim
sinlim
2
1exp
2
00
10.1.2
1exp =
=
Note :
*limit berbentuk ∞/∞ sehingga kita dapat menerapkan L’H
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 59
4. Menentukan selang kekonvergenan ( )
∑+∞
=+
1212
1
nn
n
n
x
(untuk kurikulum baru materi ini termasuk dalam kalkulus tingkat II)
misalkan ( )
212
1
n
xa
n
n
n +
+=
maka ( )
22
1
1)1(2
1
+
+=
+
+
+n
xa
n
n
n
( ))12(2
122
1
++
+=
+
+
nn
xn
n
n
n
n a
a 1lim
+
∞→
=ρ( )( ) ( )n
n
n
n
n x
n
nn
x
1
2
122
1lim
21
22
1
+++
+=
+
+
+
∞→
( )
( ) ( )121
1
2
2lim 2
21
2
1
+++
+=
+
+
+
∞→ nn
n
x
xn
n
n
n
n
( )12)1(
2
1lim 2
2
+++=
∞→ nn
nx
n
++
+=
∞→2
2
2
121
lim2
1
nnn
nx
n 2
1+=
x
• Agar deret konvergen maka haruslah 1<ρ yaitu 12
1<
+xatau
21 <+x 212 <+<−⇒ x 13 <<−⇒ x
• Memeriksa kekonvergenan deret pada ujung selang
- untuk 3−=x deret menjadi
( )∑
−∞
=+
1212
2
nn
n
n
( )∑
−=
∞
=+
1212
21
nn
nn
n
( )∑
−=
∞
=12
1
2
1
n
n
n
Untuk memeriksa kekonvergenannya dapat dilakukan uji deret
ganti tanda.
misalkan 2
1
nan = maka
21)1(
1
+=+
nan sehingga
n
n
a
a 1+o
( )2
2
1+=
n
n1;1
1
11
1
22
≥<
+−=
+= n
nn
n
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 60
nn
alim∞→
o 01
lim 2==
∞→ nn
Karena 11 <+
n
n
a
adan 0lim =
∞→n
n
a maka menurut uji deret ganti
tanda ( )
∑−∞
=12
1
n
n
n konvergen yang berakibat
( )∑
−∞
=12
1
2
1
n
n
n juga
konvergen.
- untuk 1=x deret menjadi ( )
∑∞
=+
1212
2
nn
n
n∑=∞
=12
1
2
1
n nyang merupakan
deret p dengan p = 2 < 1 yang menunjukan bahwa deret ini
konvergen.
• Jadi deret ( )
∑+∞
=+
1212
1
nn
n
n
x konvergen pada 13 ≤≤− x
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 61
PEMBAHASAN
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2002/2003
KALKULUS I
Uas 2002-2003 kalkulus I
1. Menghitung ( ) x
x
xsin
0
tanlim+→
( ) x
x
xsin
0
tanlim+→
( ) x
x
xsin
0
tanlnexplim+→
= ( ) x
x
xsin
0
tanlnlimexp+→
=
( )xxx
tanlnsinlimexp0+→
=( )
*csc
tanlnlimexp
0 x
x
x+
→
=
xx
x
x
x cotcsc
tan
sec
limexp
2
0 −
=+→ x
x
x csc
seclimexp
2
0 −=
+→
x
x
x2
0 cos
sinlimexp −=
+→
1)0exp( 0 === e
Note : * limit berbentuk ∞/∞ sehingga kita dapat menerapkan L’H
2. Menentukan 'y dari 2
)sin2( xxy +=
2
)sin2( xxy +=
2
)sin2ln(ln xxy +=
)sin2ln(ln 2xxy +=
( ) ( )( )xxDyD xx sin2lnln 2 +=
( )x
xxxxy
y sin2
cossin2ln2'
1 2
+++=
( ) yx
xxxxy
+++=
sin2
cossin2ln2'
2
( ) ( )2
sin2sin2
cossin2ln2'
2x
xx
xxxxy +
+++=
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 62
3. Menghitung ∫−
dxx
x 14 2
misalkan : θsec2
1=x maka θθθ ddx tansec
2
1= sehingga
∫−
dxx
x 14 2
∫−
= θθθ
θ
θdtansec
2
1
sec2
1
1sec2
∫= θθθ dtantan2
∫= θθd2tan ∫ −= θθ d)1(sec2
c+−= θθtan ( ) cxx +−−= − 2sec14 12
4. Menentukan kekonvergenan
a. dxe
ex
x
∫+
∞
∞−−
−
21
dxe
ex
x
∫+
∞
∞−−
−
21 ∫
++∫
+=
−
−
∞→−
−
−∞→
b
x
x
bax
x
a
dxe
edx
e
e
02
0
21
lim1
lim
misalkan : xeu
−= maka dxedux−−= sehingga
dxe
ex
x
∫+ −
−
21∫
+
−=
21 u
ducu +−= −1tan ( ) ce
x +−= −−1tan
dxe
ex
x
∫+
∞
∞−−
−
21 ( ) ( )b
x
ba
x
a
ee0
10
1tanlimtanlim
−−
∞→
−−
−∞→
−+−=
( )
+−+
+−= −−
∞→
−−
−∞→ 4tanlimtan
4lim
11 ππ b
b
a
a
ee
240
24
ππππ=
++
+−=
Jadi dxe
ex
x
∫+
∞
∞−−
−
21 konvergen ke
2
π
θ14
2−x
1
x2
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 63
b. ∫∞
∞− xx
dx3ln
Karena domain dari ln x adalah x > 0 maka kita tidak dapat
melakukan pengintegralan untuk kasus ini.
5. a. Memeriksa kekonvergenan deret ∑∞
=
+
1
1
!
3
n
n
n
misalkan : !
3 1
na
n
n
+
= maka )!1(
3 2
1+
=+
+n
an
n
n
n
n a
a 1lim
+
∞→
=ρ( ) 1
2
3
!
!1
3lim +
+
∞→ +=
n
n
n
n
n ( )!1
!
3
3lim 1
2
+=
+
+
∞→ n
nn
n
n
( ) !1
!3lim
nn
n
n +=
∞→ ( )0
1
1lim3 =
+=
∞→ nn
karena ρ = 0 < 1 maka menurut uji hasil bagi deret ∑∞
=
+
1
1
!
3
n
n
n
konvergen.
b. Menentukan selang kekonvergenan deret ∑+
∞
=
−
02
1
)1(
2
n
nn
n
x
misalkan : ( )1
22
1
+=
−
n
xa
nn
n maka ( )( ) 22
2
11
22
1
2
1
1++
=++
=++
+nn
x
n
xa
nnnn
n
n
n
n a
a 1lim
+
∞→
=ρnn
nn
n x
n
nn
x1
2
2
1
2
1
22
2lim −
+
∞→
+
++=
22
1
2
2lim 2
21
1 ++
+=
+
−∞→ nn
n
x
xn
n
n
n
n 22
12lim 2
2
++
+=
∞→ nn
nx
n
22
1lim2
2
2
++
+=
∞→ nn
nx
n
++
+
=∞→
2
2
2
2
221
11
lim2
nnn
nn
xn
x2=
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 64
• Agar deret konvergen maka haruslah 1<ρ yaitu 12 <x atau
2
1
2
1121 <<−⇒<<− xx
• Memeriksa kekonvergenan deret pada ujung selang.
- untuk 2
1−=x deret menjadi
∑+
−
∞
=
−
02
1
)1(
2
12
n
nn
n
( )∑
+
−=
∞
=
−−
02
1
)1(
212
n
nnn
n
( )∑
+
−=
∞
=02 )1(
1
2
1
n
n
n
Untuk memeriksa kekonvergenannya dapat dilakukan uji
deret ganti tanda.
misalkan 1
12 +
=n
an maka 22
1
1)1(
1221
++=
++=+
nnnan
22
12
21
++
+=+
nn
n
a
a
n
no
( )22
12)12(12
2
++
+−+++=
nn
nnn
( )22
12222
2
++
+−++=
nn
nnn ( )0;1
22
121
2≥<
++
+−= n
nn
n
nn
alim∞→
o 01
1lim 2
=+
=∞→ nn
karena 11 <+
n
n
a
adan 0lim =
∞→n
n
a maka menurut uji deret ganti
tanda deret( )
∑+
−∞
=02 )1(
1
n
n
n konvergen yang berakibat
( )∑
+
−∞
=02
)1(
1
2
1
n
n
n juga konvergen.
- untuk 2
1=x deret menjadi
∑+
∞
=
−
02
1
)1(
2
12
n
nn
n∑
+=
∞
=
−−
02
1
)1(
22
n
nn
n∑
+=
∞
=02 )1(
1
2
1
n n
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 65
Sekarang perhatikan bahwa 22 1 nn >+ atau 22
1
1
1
nn<
+
untuk setiap nilai n. mengingat bahwa ∑∞
=02
1
n nmerupakan
deret yang konvergen (deret p dengan 12 >=p ) maka
menurut uji perbandingan deret ∑+
∞
=02 1
1
n nkonvergen yang
berakibat ∑+
∞
=02
)1(
1
2
1
n njuga konvergen.
• Dengan demikian deret ∑+
∞
=
−
02
1
)1(
2
n
nn
n
x konvergen pada
2
1
2
1≤≤− x
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 66
PEMBAHASAN
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2001/2002
DA 1314 KALKULUS I
SENIN 15 JANUARI 2001
Uas 2001-2002 Kalkulus I DA1314
1. Membuktikan bahwa 1,22)( 2 −≤++= xxxxf memiliki invers dan
menentukan )(1xf
−
Untuk membuktikan bahwa f memilik invers harus kita tunjukkan bahwa
f monoton murni pada domain yang diberikan. Sekarang perhatikan
bahwa untuk 1−<x kita memiliki 0)1(222)(' <+=+= xxxf yang
menunjukkan bahwa f selalu naik pada 1−<x atau f monoton murni
yaitu f memiliki invers.
misalkan ( )yfx1−=
1,222 −≤++= xxxy
( ) 112
++= xy
( ) 112
−=+ yx
( ) 11 −−=+ yx 1,01 −≤∀≤+ xxkarena
11 −−−= yx
11)(1 −−−=−yyf
1,11)(1 ≥−−−=−xxxf
2. a. mencari integral tak tentu ∫+
+dx
xx
x
4
43
misalkan : ( )4
42
+
+
xx
x
42 +
++=
x
cbx
x
a
dengan menyamakan penyebut pada ruas kanan diperoleh
( )4
42
+
+
xx
x
)4(
)()4(2
2
+
+++=
xx
xcbxxa
4+x xcbxxa )()4( 2 +++=
acxxbax 4)(4 2 +++=+
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 67
Dengan membandingkan koefisien suku yang sejenis di dapat
44 =a atau 1=a , 1=c , 0=+ ba atau 1−=b . sehingga
∫+
+dx
xx
x
4
43 ∫
+
+−+= dx
x
x
x 4
112 ∫
++
+
−+= dx
xx
x
x 4
1
4
122
( )∫ ∫
++
+
+∫ −=
44
4
2
1122
2
x
dx
x
xddx
x
( ) cx
xx +
++−= −
2tan
2
14ln
2
1ln 12
b. Menghitung ∫−3
12
29
dxx
x
misalkan : θsin3=x maka θθddx cos3=
jika 1=x maka 3
1sin
1−=θ
jika 3=x maka 2
πθ = sehingga
∫−3
12
29
dxx
x∫
−=
−
2
3
1sin
2
2
1
cos3sin9
sin99
π
θθθ
θd
∫−
=−
2
3
1sin
2
2
1
cos3sin9
)sin1(9π
θθθ
θd
∫=−
2
3
1sin
2
2
1
cos3sin9
cos9
π
θθθ
θd
∫=−
2
3
1sin
21
cos3sin9
cos3
π
θθθ
θd
∫=−
2
3
1sin
2
1
cot
π
θθd ∫ −=−
2
3
1sin
2
1
)1(csc
π
θθ d
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 68
( )2
3
1sin 1
cot
π
θθ−
−−=
−
−−
−= −−
3
1sin
3
1sincot
20 11π
3
1sin22
2
1−++−=π
3. Menyelidiki kekonvergenan integral tak wajar
a. dxx∫ +∞
0
)1ln(
dxx∫ +∞
0
)1ln( dxxa
a∫ +=
∞→ 0
)1ln(lim
Misalkan )1ln( += xu dan dxdv = maka dxx
du1
1
+= dan xv =
sehingga
dxx∫ + )1ln( ∫= udv ∫−= vduuv
∫+
−+= dxx
xxx
1)1ln(
∫+
−+−+= dx
x
xxx
1
1)1()1ln( dx
xxx ∫
+−−+=
1
11)1ln(
( ) cxxxx ++−−+= )1ln()1ln( cxxx +−++= )1ln()1(
dxx∫ +∞
0
)1ln( [ ]a
a
xxx0
)1ln()1(lim −++=∞→
[ ] ∞=−++=∞→
aaaa
)1ln()1(lim
Jadi dxx∫ +∞
0
)1ln( divergen.
4. Menentukan selang kekonvergenan dari deret pangkat ∑+
−∞
=
+
0
1
32
)2(
n
nn
n
x
misalkan ( )
32
21
+
−=
+
n
xa
nn
n maka ( )
52
2 12
1+
−=
++
+n
xa
nn
n
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 69
n
n
n a
a 1lim
+
∞→
=ρ( )
( ) nn
nn
n x
n
n
x1
12
2
)32(
)52(
2lim +
++
∞→ −
+
+
−=
( )52
322lim
+
+−=
∞→ n
nx
n 52
32lim2
+
+=
∞→ n
nx
nx2=
• Agar deret kongergen maka haruslah 1<ρ yaitu 12 <x atau
2
1<x
2
1
2
1<<−⇒ x
• Memeriksa kekonvergenan deret pada ujung selang .
- untuk 2
1−=x deret menjadi
∑+
−−
∞
=
+
0
1
32
2
1)2(
n
nn
n
( ) ( )∑
+
−−=
∞
=
−++
0
11
32
212)1(
n
nnnn
n∑
+−=
∞
=0 32
12
n n.
sekarang perhatikan bahwa untuk 0≥n berlaku
)2(24232 +=+<+ nnn atau )2(2
1
32
1
+>
+ nn. mengingat
bahwa ∑=∑+
∑ =+
∞
=
∞
=
∞
= 200
1
2
1
2
1
2
1
)2(2
1
knn knn merupakan kelipatan
dari deret harmonis yang divergen, maka menurut uji
perbandingan deret ∑+
∞
=0 32
1
n ndivergen yang berakibat
∑+
−∞
=0 32
12
n n juga divergen.
- untuk 2
1=x deret menjadi
∑+
−
∞
=
+
0
1
32
2
1)2(
n
nn
n
( ) ( )∑
+
−=
∞
=
−++
0
111
32
22)1(
n
nnn
n∑
+
−=
∞
=
+
0
1
32
)1(2
n
n
n
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 70
misalkan 32
1
+=
nan maka
( ) 52
1
312
11
+=
++=+
nnan sehingga
152
21
52
2)52(
52
321 <+
−=+
−+=
+
+=+
nn
n
n
n
a
a
n
no dan
032
1limlim =
+=
∞→∞→ na
nn
n
o
karena 11 <+
n
n
a
adan 0lim =
∞→n
n
a maka menurut uji deret ganti
tanda ∑+
−∞
=
+
0
1
32
)1(
n
n
nkonvergen yang berakibat ∑
+
−∞
=
+
0
1
32
)1(2
n
n
njuga
konvergen.
• jadi ∑+
−∞
=
+
0
1
32
)2(
n
nn
n
x konvergen pada interval
2
1
2
1≤<− x .
5. Perderetkan ke dalam deret Mac Laurin untuk fungsi 24
1)(
xxf
−=
24
1)(
xxf
−=
−
=2
4
11
1
4
1
x
12
;...4
1
4
1
4
11
4
13
22
22<
+
+
+
+=
xxxx
++++= ...
64
1
16
1
4
11
4
1 642xxx
++++= ...
256
1
64
1
16
1
4
1 642xxx 1
2; <
x
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 71
PEMBAHASAN
UJIAN AKHIR SEMESTER GANJIL 2000/2001
KALKULUS 1
SENIN / 24 NOVEMBER 2000
Uas 2000-2001 Kalkulus I
1. Diketahui xxxxf
1
)42()( +=
a. Menentukan )(' xf
xxxy
1
)42( +=
xxxy
1
)42ln(ln +=
)42ln(1
ln xx
xy +=
( ) ( )
+= xx
xxx
DyD 42ln1
ln
( )xx
yy xx
xxxx 1
42
4ln42ln242ln
1'
12 +
+++
−=
( )( )
yxx
yxx
xxxx
+
++
+−=
42
4ln42ln242ln'
2
( )( )
( ) xxx
xx
xxxx
xxy
1
242
42
4ln42ln242ln' +
+
++
+−=
b. menghitung )(lim xfx ∞→
)(lim xfx ∞→
( )xxx
x
1
42lim +=∞→
( )xxx
x
1
42lnexplim +=∞→
( )xxx
x
1
42lnlimexp +=∞→
( )xx
x x42ln
1limexp +=
∞→
( )*
42lnlimexp
x
xx
x
+=
∞→xx
xx
x 42
4ln42ln2limexp
+
+=
∞→
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 72
+
+
=∞→
14
24
4ln2ln4
24
limexpx
x
xx
x
+
+
=∞→
12
1
4ln2ln2
1
limexpx
x
x
( ) 44lnexp ==
Note : *limit berbentuk ∞/∞ sehingga dalil L’H dapat diterapkan
2. Menghitung
a. ( )( ){ }∫ −−5
3
21ln dxxx
( )( ){ } ( )∫ +−=∫ −−5
3
25
3
23ln21ln dxxxdxxx
misalkan : ( )23ln 2 +−= xxu dan dxdv = maka
dxxx
xdu
23
322 +−
−= dan xv = sehingga
( ) ∫−=∫=∫ +− vduuvudvdxxx 23ln 2
( ) dxxx
xxxxx ∫
+−
−−+−=
23
3223ln
2
22
( ) dxxx
xxx ∫
−+
−+−+−=
2
2
1
1223ln 2
( ) ( ) ( ) cxxxxxx +−−−−−+−= 2ln21ln223ln 2
( ) ( ) ( ) ( )[ ]5325
3
2 2ln21ln223ln23ln −−−−−+−=∫ +− xxxxxxdxxx
( )02ln62ln33ln24ln1012ln5 −−−−−−−=
62ln23ln24ln1012ln5 +−−−−=
42.3.4
12ln
22
5
−
= 4
34
12ln
22
5
−
= 412ln3 −=
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 73
• Untuk solusi yang lebih mudah gunakan hubungan
( )( ){ } ( ) ( )∫ −+∫ −=∫ −−5
3
5
3
5
3
2ln1ln21ln dxxdxxdxxx kemudian lakukan
lakukan integral parsial pada masing masing bagian pada ruas kanan.
b. ∫−
−dx
x
x
29
32
misalkan : θsin3=x maka θθddx cos3= sehingga
∫−
−dx
x
x
29
32∫
−
−= θθ
θ
θdcos3
sin99
3)sin3(2
2
∫−
−= θθ
θ
θdcos3
)sin1(9
3sin6
2
∫−
= θθθ
θdcos3
cos9
3sin6
2
( )∫ −= θθ d3sin6 c+−−= θθ 3cos6
cxx
+
−
−−= −
3sin3
3
96 1
2
cx
x +
−−−= −
3sin392 12
3. Menghitung ∫++−
−−dx
xxx
xx
)22)(1(
322
2
misalkan : 221)22)(1(
3222
2
++
++
−=
++−
−−
xx
cbx
x
a
xxx
xx
dengan mengalikan kedua ruas dengan )22)(1( 2 ++− xxx diperoleh
( ) ( )( )12232 22 −++++=−− xcbxxxaxx .
Dengan menyulihkan nilai 1=x , 0=x , dan 2=x kita peroleh
a54 =− atau 54−=a
ca −=− 23 atau 57=c
cba ++=− 2103 atau 59=b sehingga
θ
x3
29 x−
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 74
∫++−
−−dx
xxx
xx
)22)(1(
322
2
dxxx
x
x∫
++
++
−
−=
)22(5
79
)1(5
42
( ) ∫ ∫++
−++
++−−=
225
2
22
22
10
91ln
5
422
xx
dxdx
xx
xx
( )( )
( )∫
++−∫
++
+++−−=
115
2
22
22
10
91ln
5
422
2
x
dx
xx
xxdx
( ) ( ) ( ) cxxxx ++−+++−−=−
1tan5
222ln
10
91ln
5
4 12
4. Menentukan kekonvergenan integral tak wajar
a. ∫2
0
tan
π
θθd ∫=−
→
a
a
d0
2
tanlim θθπ
a
a
tt0
2
tanseclnlim +=−
→π
∞=+−+=−
→
oaa
a
tan0seclntanseclnlim
2
π
Ini menunjukkan bahwa ∫2
0
tan
π
θθd divergen.
b. ∫∞−
0 2
dxxex
dxxeb
x
b∫=
−∞→
0 2
lim
misalkan : 2xu = maka xdxdu 2=
jika 0=x maka 0=u
jika −∞→x maka +∞→u sehingga
dxxeb
x
b∫
−∞→
0 2
lim ∫=∞→
0
2
1lim
c
u
c
due ∫=∞→
0
lim2
1
c
u
c
due
0
lim2
1
c
u
c
e∞→
= −∞=−=∞→
c
c
ee0lim
2
1
Jadi ∫∞−
0 2
dxxex
divergen.
5. Menentukan selang kekonvergenan deret ∑+
−∞
=
+
1
1
)1()1(
k
kk
kk
x
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 75
misalkan : ( ))1(
11
+−=
+
kk
xa
kk
k maka ( ))2)(1(
11
21
++−=
++
+kk
xa
kk
k dan
k
k
k a
a 1lim
+
∞→
=ρ( )
( ) kk
kk
k x
kk
kk
x1
12
1
)1(
)2)(1(
1lim +
++
∞→ −
+
++
−=
( ))2(
.1lim
+
−=
∞→ k
xk
k
xk
kx
k
=+
=∞→ )2(
.lim
• Agar deret konvergen maka haruslah 1<ρ yaitu 1<x atau
11 <<− x
• Memeriksa kekonvergenan pada ujung selang.
- untuk 1−=x deret menjadi
( )( )
∑+
−−
∞
=
+
1
1
1
)1(1
k
kk
kk( )
( )∑
+−=
∞
=
+
1
12
1
11
k
k
kk∑
+−−=
∞
1 1
11
kk
Deret ini merupakan deret collaps yang konvergen.
- untuk 1=x deret menjadi :
( )( )
∑+
−∞
=
+
1
1
1
)1(1
k
kk
kk( )
( )∑
+−=
∞
=
+
1
1
1
11
k
k
kk
Untuk memeriksa kekonvergenannya kita lakukan uji deret ganti
tanda.
Misalkan )1(
1
+=
kkak maka
)2)(1(
11
++=+
kkak sehingga
( ))2)(1(
1* 1
++
+=+
kk
kk
a
a
k
k
2
2)2(
+
−+=
k
k1;1
2
21 ≥<
+−= k
k dan
0)1(
1limlim* =
+=
∞→∞→ kka
kk
k
Karena 11 ≥∀<+ kaa kkdan 0lim =
∞→k
k
a maka menurut uji
deret ganti tanda deret ( )( )
∑+
−∞
=
+
1
1
1
11
k
k
kk kovergen.
• Jadi ∑+
−∞
=
+
1
1
)1()1(
k
kk
kk
x konvergen pada selang 11 ≤≤− x
1001 Soal & Pembahasan UAS Kalkulus I
Arip Paryadi , IT Telkom 76
TRIGONOMETRY FORMULAE
1cossin 22 =+ xx
xx 22 tan1sec =−
( ) yxyxyx sincoscossinsin +=+ ( ) yxyxyx sincoscossinsin −=−
( ) yxyxyx sinsincoscoscos −=+ ( ) yxyxyx sinsincoscoscos +=−
( )yx
yxyx
tantan1
tantantan
−
+=+
( )
yx
yxyx
tantan1
tantantan
+
−=−
xxx cossin22sin =
xxx 22 sincos2cos −=
−=
−=
2cos
2cossin
ππxxx
+=
−=
2sin
2sincos
ππxxx
( ) xx sinsin =−π
( ) xx coscos −=−π
( )xx 2cos1cos212 +=
( )xx 2cos1sin
212 −=
( ) ( )[ ]yxyxyx −++−= coscossinsin
21
( ) ( )[ ]yxyxyx −++= coscoscoscos
21
( ) ( )[ ]yxyxyx −++= sinsincossin
21
2cos
2sin2sinsin
vuvuvu
−+=+
2cos
2cos2coscos
vuvuvu
−+=+
2sin
2sin2coscos
vuvuuv
−+=−
x
xx
cos
sintan =
x
xx
sin
coscot =
xx
cos
1sec =
xx
sin
1csc =