PENYELESAIAN SOAL ANALISA NUMERIK

1. Estimasi solusi persamaan linier berikut ini

0.02X1 – 3X2 + 7X3 = 16.1………………………………………………….. (1)5X1 + 2X2 - 5X3 = 14…….………………………………………………….. (2)4X1 – 5X2 - 8X3 = 27…….………………………………………………….. (3)

a. Metode Gauss Naïve Karena 0.02 terlalu kecil atau mendekati nol (0) maka dilakukan teknik pivoting dengan menukar baris 3 dengan baris 1, sehingga akan mendapatkan persamaan sebagai berikut

4X1 – 5X2 - 8X3 = 27…….………………………………………………….. (4)5X1 + 2X2 - 5X3 = 14…….………………………………………………….. (5)

0.02X1 – 3X2 + 7X3 = 16.1………………………………………………….. (6)

Langkah pertama adalah dengan mengenolkan koefisien X1 pada baris ke 5 dan ke 6 dengan menggunkan perhitungan seperti berikut

Baris 5 dikurangi dengan {54 X baris ke 4baris yangberkesesuaian} Baris 6 dikurangi dengan {0.024 xbaris ke 4baris yang berkesesuaian}

Maka akan diperoleh hasil persamaan sebagai berikut

4X1 – 5X2 - 8X3 = 27...….………………………………………………….. (7) 8.25X2 + 5X3 = -19.75……………………………………………….. (8) –2.975X2 + 7.043X3 = 15.965………………………………………….. (9)

Langkah selanjutnya adalah mengenolkan koefisien X2 pada baris ke 9 dengan menggunakan perhitungan seperti berikut

Baris 9 dikurangi dengan {−2.9758.25X baris ke 8baris yangberkesesuaian}

Maka akan diperoleh hasil persamaan sebagai berikut

4X1 – 5X2 - 8X3 = 27...….………………………………………………….. (10) 8.25X2 + 5X3 = -19.75……………………………………………….. (11) 8.843X3 = 8.843……..………………………………………….. (12)

Dari persamaan 12 maka diperoleh

X3 = 8.8438.843

=1

Back subtitutio untuk mendapatkan nilai X2, dilakukan dengan mensubtitusikan nilai X3 kedalam persamaan baris 11

Sehingga dapat diperoleh persamaan sebagai berikut

8.25X2 + 5X3 = -19.758.25X2 + 5.(1) = -19.75

X2 = (−19.75 )−58.25

X2 = -3

Selanjutnya back substitution untuk mendapatkan nilai X1, dilakukan dengan memasukan nilai X1 dan nilai X 2 kedalam persamaan baris 10

4X1 – 5X2 - 8X3 = 274X1 – 5.(-3) – 8.(1) = 27

X1 = 27+5. (−3 )+8.(1)

4X1 = 5

Presentase true error untuk X1, X2, dan X3

εX 1=(5 )−(5)

(5) x 100% = 0%

εX 2=(−3 )−(−3)

(−3) x 100% = 0%

εX 3=(1 )−(1)

(1) x 100% = 0%

b. Metode Gauss Jordan

Karena 0.02 terlalu kecil atau mendekati nol (0) maka dilakukan teknik pivoting dengan menukar baris 3 dengan baris 1, sehingga akan mendapatkan persamaan sebagai berikut

4X1 – 5X2 - 8X3 = 275X1 + 2X2 - 5X3 = 14

0.02X1 – 3X2 + 7X3 = 16.1

Dari persamaan diatas kita bisa menghasilkan matrik sebagai berikut

[ 4 −5 −85 2 −50.02 −3 7

271416.1]

Normalisaikan baris pertama dengan membaginya dengan 4 sehingga akan didapatkan matrik sebagai berikut

[ 1 −1.25 −25 2 −50.02 −3 7

6.751416.1]

Langkah selanjutnya membuat baris ke 2 kolom 1, dan juga baris ke 3 kolom 1 menjadi nol dengan cara

- Baris 2 dikurangi {51 X baris1 padakolom yangberkesesuaian}- Baris 3 dikurangi {0.021 X baris1 padakolom yangberkesesuaian}Sehingga didapatkan matrik sebagai berikut

[1 −1.25 −20 8.25 50 −2.975 7.04

6.75−19.7515.965 ]

Normalisasikan baris kedua dengan membaginya dengan 8.25 sehingga akan mendapatkan matrik sebagai berikut

[1 −1.25 −20 1 0.60610 −2.975 7.04

6.75−2.393915.965 ]

Langkah selanjutnya membuat baris ke 1 kolom 2, dan juga baris ke 3 kolom 2 menjadi nol dengan cara

- Baris 1 dikurangi {−1.251 X baris2 padakolom yang berkesesuaian}- Baris 3 dikurangi {−2.9751

X baris2 padakolom yang berkesesuaian}Sehingga didapatkan matrik sebagai berikut

[1 0 −1.24240 1 0.60610 0 8.8430

3.7576−2.39398.8430 ]

Normalisasikan baris ketiga dengan membaginya dengan 8.8430 sehingga akan mendapatkan matrik sebagai berikut

[1 0 −1.24240 1 0.60610 0 1

3.7576−2.3939

1 ]Langkah selanjutnya membuat baris ke 1 kolom 3, dan juga baris ke 2 kolom 3 menjadi nol dengan cara

- Baris 1 dikurangi {−1.24241X baris3 padakolom yangberkesesuaian}

- Baris 2 dikurangi {0.60611 X baris3 padakolom yang berkesesuaian}Sehingga didapatkan matrik sebagai berikut

[1 0 00 1 00 0 1

5−31 ]

Presentase true error untuk X1, X2, dan X3

εX 1=(5 )−(5)

(5) x 100% = 0%

εX 2=(−3 )−(−3)

(−3) x 100% = 0%

εX 3=(1 )−(1)

(1) x 100% = 0%

c. Dekomposisi [ L ] [U ]

Karena 0.02 terlalu kecil atau mendekati nol (0) maka dilakukan teknik pivoting dengan menukar baris 3 dengan baris 1, sehingga akan mendapatkan persamaan sebagai berikut

4X1 – 5X2 - 8X3 = 275X1 + 2X2 - 5X3 = 140.02X1 – 3X2 + 7X3 = 16.1

Dari persamaan diatas kita bisa menghasilkan matrik sebagai berikut :

Matrik [A ]=[ 4 −5 −85 2 −50.02 −3 7 ]

Matrik [U ]=[a11 a12 a130 a22 a230 0 a33]

[B ]=[ 271416.1]

Mencari matrik [ L ] dapat dilakukan dengan membuat baris ke 2 kolom 1, dan juga baris ke 3 kolom 1 menjadi nol dari matrik [A ]dengan cara

- Baris 2 dikurangi {54 X baris1 padakolom yangberkesesuaian}- Baris 3 dikurangi {0.024 X baris1 padakolom yangberkesesuaian}

Sehingga didapatkan matrik sebagai berikut

[a ' 11 a ' 12 a ' 13a ' 21 a' 22 a ' 23a ' 31 a' 32 a ' 33] = [4 −5 −8

0 8.25 50 −2.975 7.04]

[a ' ' 11 a ' ' 12 a ' ' 13a ' ' 21 a ' ' 22 a ' ' 23a ' ' 31 a ' ' 32 a ' ' 33 ] = [4 −5 −8

0 8.25 50 0 8.843]

Matrik [U ]=[4 −5 −80 8.25 50 0 8.843]

F21 = a21a11

= 54

= 1.25

F31 = a31a11

= 0.024

= 0.005

F32 = a ' 32a ' 22

= −2.9758.25

= -0.3606

Sehingga Matrik [ L ] menjadi seperti berikut

Matrik [ L ]=[ 1 0 0f 21 1 0f 31 f 32 1] = [ 1 0 0

1.25 1 00.005 −0.3606 1]

Mencari nilai [D ] dimana [ L ] [D ] = [B ]

[ 1 0 01.25 1 00.005 −0.3606 1] [

d 1d 2d3 ] = [ 271416.1]

Dengan menggunakan forward substitution didapatkan

- d1 = 27- 1.25 (27) + d2 = 14

d2 = 14 – 1.25(27) = -19.75- 0.005(27) – 0.3606(-19.75) + d3 = 16.1

d3 = 16.1 – 0.005(27) + 0.3606(-19.75) = 8.84315

Sehingga kita akan mendapatkan matrik [D ] seperti dibawah ini

[D ]=[ 27−19.758.84315]

Langkah selanjutnya adalah mencari [X ] dengan cara

[U ] [X ]=[D ] = [4 −5 −80 8.25 50 0 8.843] [

X1X2X3 ] = [ 27

−19.758.84315]

Dengan backward substitution didapat

- X3 = 8.843158.843

= 1

- X2 = −19.75−5(1)

8.25 = -3

- X3 = 27+5 (−3 )+8 (1)

4 = 5

Presentase true error untuk X1, X2, dan X3

εX 1=(5 )−(5)

(5) x 100% = 0%

εX 2=(−3 )−(−3)

(−3) x 100% = 0%

εX 3=(1 )−(1)

(1) x 100% = 0%

2. Menggunakan metode dekomposisi [ L ] [U ] dapatkan rumus invers matrik, dari matrik berikut ini

[0.2727273 0.3636364 −0.18181820.1818182 0.9090909 0.54545450.3181818 0.0909091 0.4545455 ]

Selanjutnya dilakukan forward elimination untuk membuat nol kolom 1 pada baris ke 2 dan baris ke 3 dengan cara

- Baris 2 dikurangi {0.18181820.2727273X baris1 padakolom yang berkesesuaian}

- Baris 3 dikurangi {0.31818180.2727273X baris1 padakolom yang berkesesuaian}

Sehingga akan deperoleh bentuk matrik sebagai berikut

[0.2727273 0.3636364 −0.18181820 0.6666666 0.66666660 −0.333333 0.6666667 ]

Upper matrik [U ] didapat dengan cara membuat nol kolom ke 2 baris ke 3 dengan cara

- Baris 3 dikurangi {−0.3333330.6666666X baris3 padakolom yangberkesesuaian}

Maka akan diperoleh bentuk matrik [U ]sebagai berikut

[0.2727273 0.3636364 −0.18181820 0.6666666 0.66666660 0 1 ]

Lower matrik [ L ] didapat dengan cara mengisi matrik segitiga bawah dengan diagonal [1.1.1 ] seperti dibawah ini

[ L ] = [ 1 0 0f 21 1 0f 31 f 32 1]

F21 = a21a11

= 0.18181820.2727273

= 0.6666667

F31 = a31a11

= 0.31818180.2727273

= 1.1666665

F32 = a ' 32a ' 22

= −0.3333330.6666666

= -0.5

Maka akan diperoleh bentuk matrik [ L ]sebagai berikut

[ 1 0 00.6666667 1 01.1666665 −0.5 1]

Kolom pertama

[ L ]. [d 11d 21d31] = [100][ 1 0 00.6666667 1 01.1666665 −0.5 1] [

d 11d 21d31] = [100]

Sehingga didapat

d11 = 1d21 = -0.6666667d31 = -1.1666665 + 0.5(-0.6666667) = -1.5

Mencari Xn1

[U ] [X 11X 21X 31] = [d 11d 21d31]

[0.2727273 0.3636364 −0.18181820 0.6666666 0.66666660 0 1 ][ X11X 21

X 31]=¿ [ 1−0.6666667

−1.5 ]Dengan back substitution didapatkan

X31 = -1.5

X21 = −0.6666667−0.6666666(−1.5)

0.6666666 = 0.5

X11 = 1−0.3636364 (0.5 )+0.1818182(−1.5)

0.2727273 = 2

Kolom kedua

[ L ]. [d12d 22d32] = [010][ 1 0 00.6666667 1 01.1666665 −0.5 1] [

d 11d 21d31] = [010]

Sehingga didapat :

d12 = 0d22 = 1 - 0.6666667(0) = 1d32 = -1.1666665(0) + 0.5(1) = 0.5

Mencari Xn2

[X 12X 22X 32] = [d12d 22d32]

[0.2727273 0.3636364 −0.18181820 0.6666666 0.66666660 0 1 ][X 12X 22

X 32]=¿ [ 010.5]Dengan back substitution didapatkan

X32 = 0.5

X22 = 1−0.6666666 (0.5)

0.6666666 = 1

X12 = -0.3636364(1) + 0.1818182(0.5) = -1

Kolom ketiga

[ L ]. [d13d 23d33 ] = [001][ 1 0 00.6666667 1 01.1666665 −0.5 1] [

d13d 23d33 ] = [001]

Sehingga didapatkan

d13 = 0d23= - 0.6666667(0) = 1d33 = 1 - 1.1666665(0) + 0.5(0) = 1

Mencari Xn3

[X 13X 23X 32] = [d13d 23d33 ]

[0.2727273 0.3636364 −0.18181820 0.6666666 0.66666660 0 1 ][X 13X 23

X 33]=¿ [011]Dengan back substitution didapatkan :

X33 = 1

X23 = −0.6666666(1)0.6666666

= -1

X13 = −0.3636364 (−1 )+0.1818182(1)

0.2727273 = 2

Jadi A-I

[X 11 X 12 X 13X 21 X 22 X 23X 31 X 32 X 33] = [ 2 −1 2

0.5 1 −1−1.5 0.5 1 ]

3. Menggunakan metode Gauss-Seidel, estimasi sistem persamaan linier berikut ini: 12 x 1 + 5 x 2 + 3 x 3 = 57 (1) 3 x 1 + 8 x 2 - 6 x 3 = 48 (2) -4 x 1 - 3 x 2 + 11 x 3 = -47 (3) Dengan ketelitian 10-4

hingga 5 kali iterasi jika diketahui true values x 1 = 4, x 2 = 3, dan x 3 = -2, Hitung persentase true error masing-masing x 1 , x 2 , dan x 3.

Persamaan (1) – (3) dapat ditulis ulang sebagai berikut:

X1 = 57−5 X 2−3 X3

12

X2 = 48−3 X1+6 X 3

8

X3 = −47+4 X 1+3 X 2

11