ANALISA NUMERIK

1. Tinjauan Matematik Prasyarat yang diperlukan untuk mempelajari metode numerik adalah matematika. Matematika adalah ilmu dasar, jadi anda diharapkan sudah memiliki pengetahuan mengenai konsep fungsi, geometri, konsep kalkulus seperti turunan dan integral, dan sebagainya. Tidak paham terlalu dalam tidak apa, yang penting anda mengerti.a. Sistem Angka dan Kesalahan1) Sistem AngkaDalam keseharian, angka digunakan berdasarkan sistem desimal. Misalnya 369 dapat dinyatakan: 369 =3*100 + 6*10+9*1 = 3*102 + 5*101 +7*100 Angka 10 disebut basis sistem. Setiap angka bulat dapat dinyatakan sebagai suatu polinomial basis 10 dengan koefisien integral antara 0 dan 9.Komputer membaca angka berdasarkan impuls listrik mati-hidup (on dan off). Pada komputer impuls ini menyatakan angka berdasarkan sistem binari; yaitu sistem berbasis 2 dengan koefisien bilangan bulat 0 atau 1. Suatu bilangan bulat bukan negatif dalam sistem binari adalah: N =(anan-1 .... a0)2=an2n + an2n-1 + . . . . +a020 hal mana koefisien ak adalah 0 atau 1. N merupakan polinomial berbasis 2. Komputer menggunakan unit dasar bit menyimpan data pada memori. Bit adalah singkatan binary digit. Bit ini hanya bisa nyala (on) atau mati (off). Untuk mesin dengan 32 bit, kombinasi biner nyala (1) dan mati (0) disusun sebanyak 32 pada satu baris lokasi memori. Dengan demikian angka 369 dalam sistem binari.

2) Kesalahan (Error)Sumber Kesalahan adalah Bawaan data, Pembulatan (rounding), dan Pemotongan (chopping). Bawaan data Kekeliruan dalam memberikan data dan Kesalahan dalam asumsi terhadap data.

Pembulatan (rounding) Penentuan jumlah angka di belakang koma. Misal bilangan 0.6123467 -> sebanyak 7 digit Menjadi 0.612347 6 digit karena pembatasan alokasi digit bilangan Angka signifikan 1. Merupakan angka 1 s/d 9. 2. Angka 0 dibelakang koma sebelum ada angka 1 s/d 9 diabaikan

Contoh 0.0005813 ada 4 angka signifikan 0.700124 ada 6 angka signifikan

Pemotongan (chopping) Pada angka pecahan nilai diambil sebagai angka pecahan yang dinormalisir (mis. 543.8 menjadi 0.5438(103)

Contoh: pemotongan : X=2/3; maka jika x=0.67 merupakan pembulatan, jika x=0.66 merupakan pemotongan.

b. Deret Taylor Dalammatematika,deret Tayloradalah representasifungsi matematikasebagaijumlahan tak hinggadari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tersebut di suatu titik. Deret ini dapat dianggap sebagailimitpolinomial Taylor. Deret Taylor mendapat nama darimatematikawanInggris Brook Taylor. Bila deret tersebut terpusat di titik nol, deret tersebut dinamakan sebagaideret Maclaurin, dari nama matematikawanSkotlandiaColin Maclaurin.Deret Taylor dari sebuahfungsi riilataufungsi kompleksf(x) yangterdiferensialkan takhinggadalam sebuahpemetaansebuahbilangan riilataukompleksaadalahderet pangkat

yang dalam bentuk lebih ringkas dapat dituliskan sebagai

dengann! melambangkanfaktorialndanf(n)(a) melambangkan nilai dari turunan ke-ndarif pada titika. Turunan kenol dari f didefinisikan sebagai f itu sendiri, dan(xa)0dan 0! didefinisikan sebagai1.Dalam kasus khusus di manaa= 0, deret ini disebut juga sebagaiDeret Maclaurin.

2. Akar Persamaana. Metoda Tertutupa) Grafis

Pencarian akar persamaan nonlinier dengan menggunakan metode grafik merupakan cara paling sederhana dibandingkan dengan metode numerik yang ada. Untuk mendapatkan akar-akar persamaan ini cukup dilakukan pengeplotan fungsi yang akan dicari akar persamaannya dalam ranah tertentu. Sebagai contoh, misalnya diinginkan akar-akar persamaan dari fungsi . Kita dapat mengeplot secara sederhana fungsi tersebut dengan menggunakan salah satu paket software matematika dengan menggunakan Matlab.

Dengan menarik garis perpotongan antara grafik f (x) dengan sumbu -x, maka kita dapat memperkirakan akar-akar persamaan yang dimilikinya. Satu akar persamaan terletak kira-kira di x = 0,59 dan yang lain berkisar di x = 0,81. Hasil yang diperoleh tentunya relatif kasar jika dibandingkan dengan menggunakan metode numeric.

b) Bagi dua (Bisiction)

Metode bagi dua merupakan metode analisis numerik paling sederhana diantara metode-metode analisis lainnya. Metode ini termasuk metode yang robust atau tangguh. Artinya, meskipun metode ini idenya sangat sederhana namun selalu dapat menemukan akar persamaan yang dicari. Salah satu kekurangan yang dimiliki oleh metode ini adalah bahwa kita harus menentukan dua terkaan awal, yaitu dan yang mengurung sebuah akar persamaan yang di cari, sehingga apabila dan , maka akan dipenuhi .

c) Regulasi-FalseMetode posisi palsu mirip dengan metode bagi dua. Kemiripannya terletak dalam hal diperlukan dua harga taksiran awal pada awal pengurungan akar persamaan. Sedangkan, perbedaannya terletak pada proses pencarian pendekatan akar persamaan selanjutnya setelah pendekatan akar saat ini ditemukan.Algoritma Regulasi False dapat dinyatakan sebagai berikut :1)

Berikan terkaan awal dan yang mengurung akar persamaan.2) Untuk menguji bahwa terkaan awal mengurung akar persamaan maka ujilah apakah , jika ya maka terkaan kita sudah benar.3) Tentukan salah satu titik yang akan digunakan sebagai titik tolak interpolasi linier misalnya 4) Tentukan dengan cara :

5)

Update harga dengan dan dengan .6) Ulangi proses dari poin 4) hingga ditemukan harga yang sudah sangat dengan akar sebenarnya.Oleh karena pada setiap langkah akar persamaan selalu terkurung dalam suatu interval, maka konvergensi dapat dijamin seperti halnya pada metode bagi dua. Metode tersebut dapat memberikan harga eksak jika fungsi f linier.

b. Metoda Terbukaa) Iterasi Titik TetapMetode Titik Tetapadalah suatu metode pencarian akar suatu fungsif(x)secara sederhana dengan menggunakan satu titik awal. Perlu diketahui bahwa fungsif(x)yang ingin dicari hampiran akarnya harus konvergen. Misal x adalahFixed Point(Titik Tetap) fungsi f(x) bila g(x) = x dan f(x) = 0.

Teorema :Diketahui g(x) fungsi kontinu dan {Xn} adalah barisan yang terbetuk oleh Fixed Point Iteration, makaJikaXn= x maka x adalah Fixed Point fungsi g(x).

Prosedur Metode Titik TetapMisal f(x) adalah fungsi yang konvergen dengan f(x) = 0, maka untuk mencari nilai akarnya atau hampiran akarnya kita terlebih dahulu mengubah kedalam bentuk x = g(x). Kemudian tentukan nilai titik awal, misal x1. Setelah itu disubstitusikan titik awalnya ke persamaan g(x) sedemikian sehingga g(x1) = x2, setelah itu titik x2yang diperoleh substitusikan lagi ke g(x) sedemikian sehingga g(x2) = x3. Jadi apabila ditulis iterasinya akan menjadi

x1(penetuan titik awal)

x2= g(x1) (iterasi pertama)

x3= g(x2) (iterasi kedua)..xn= g(xn-1) (iterasi ke-n)

Iterasi ini akan berhenti jika x = g(x) dan f(x) = 0 atau sudah mencapai nilai error yang cukup kecil (|xn- xn-1|