resnick halliday walker - podstawy fizyki 2

7/23/2019 Resnick Halliday Walker - Podstawy Fizyki 2

http://slidepdf.com/reader/full/resnick-halliday-walker-podstawy-fizyki-2 1/329

W Y D A W N I C T W O N A U K O W E P W



Wybrane właściwości fizyczne (wartości zaokrąglone)

Po wie t rze ( suche , w temp. 20°C i pod c iśn. 1 a tm)

gęstość

c iepło właśc iwe pod s ta łym c iśnieniem

stosunek c iepe ł właśc iwych

c

p

/c

v

pr ę dkość dź w ię ku

na tężenie pola e lekt rycznego przebic ia

e f e k tyw na ma sa molow a

Wo da

gęstość

pr ę dkość dź w ię ku

c iepło właśc iwe pod s ta łym c iśnieniem

ciepło topnienia (w temp. 0°C)

c iepło parowania (w temp. 100°C)

w spó łc z ynn ik z a ł a ma nia (X = 589 nm)

ma sa molow a

1,21 kg/m

3

1010 J / (kg • K )

1,40

343 m/s

3 • 1 0

6

V/m

0,0289

kg /mol

1000 kg /m

3

1460 m/s

4 1 9 0

J/(kg-K)

333 kJ /kg

2260 kJ /kg

1,33

0,0180 kg /moi

Ziemia

ma sa

średni promień

przyspieszenie grawi tacyjne na powierzchni Z iemi

s tandardowe c iśnienie a tmosferyczne

okres ruchu sa te l i ty na orbic ie odległe j od Ziemi o 100 km

promień orbi ty geostac jonarne j

prędkość uc ieczki

d ipo low y mome nt ma gne tyc z ny

średnie pole e lekt ryczne na powierzchni Z iemi

Odległośc i od Ziemi

do Księżyca

do S łońc a

do na jbl iższe j gwiazdy

do środka nasze j Galaktyki

do ga l a k tyk i A ndr ome dy

do g r a n i c y obse r w ow a lne go Wsz e c hśw ia t a

5,98 • 1 0

2 4

k g

6,37 • 1 0

6

m

9 ,8 m/ s

2

1,01

•

1 0

5

P a

86,3 min

4 2 2 0 0 k m

11,2 km/s

8,0

•

1 0

2 2

A

•

m

2

150 V/m, skie rowane w dół

3,82

•

1 0

8

m

1,50

•

1 0

1 1

m

4,04

•

1 0

1 6

m

2 ,2 • 1 0

2 0

m

2,1 • 10

2 2

m

~ 1 0

2 6

m

Nazwy przedrostków jednostek SI

Cz ynnik

Przedrostek

Symbol

Czynnik

Przedrostek Symbol

1 0

2 4

jo t ta Y

i o -

1

decy d

1 0

2 1

zetta

Z 1 0 ^

2

centy c

1 0

1 8

eksa

E

i o -

3

mili m

1 0

1 5

peta P i o -

6

mikro

|X

1 0

1 2

tera T

I O "

9

nano n

i o

9

giga

G

1 0 ~

1 2

piko

P

1 0

6

me ga

M i o -

1 5

femto

f

1 0

3

kilo k

J 0 - 1 8

atto

a



Dav id R ob ert Jearl

Halliday Resnick Walker

IZYKI

Z j ę z y k a a n g i e l s k i e g o t ł u m a c z y l i

Mirosław Łukaszewski, Włodzimierz Komar i Rafał Bożek

W A R S Z A W A 2 0 0 6

W Y D A W N I C T W O N A U K O W E P W N



Dane oryginału:

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker

FU N D A M E N T A L S OF PH Y SICS , PA RT 2

John Wiley & Sons, Inc.

Authorized translation from English langua ge edition published by John Wiley & S ons, Inc.

Copyright © 2001by John Wiley & Sons, Inc.

Ali Rights Reserved

Projekt okładki i stron tytułowych Joanna Sobieraj

Przekład z języka angielskiego Mirosław Łukaszewski (rozdziały 13-15)

| Włodzimierz Kom ar | (rozdziały 16-18)

Rafał Bożek (rozdziały 19-21)

Redaktor naukowy Jan Mostowski

Mirosław Łukaszewski

Redaktor

Anna Bogdanienko

Korekta Małgorzata Kopczyńska

Copyright © for the Polish edition

by Wydawnictwo Naukowe PWN SA

Warszawa 2003

Wydawnic two Naukowe PWN SA

00-251 W arszawa, ul . Miodowa 10

tel. 022 69 54 321

faks 022 69 54 031

e-mail: [email protected] l

www.pwn.pl

ISBN-13: 978-83-01-14107-3 t . 2 ISBN -13: 978-83-01-13997-1 t . 1-5

ISBN-10: 83-01-14107-7 ISBN -10: 83-01-13997-8

Wydawnic two Naukowe PWN SA

Wydanie pierwsze, 2 dodruk

Arkuszy drukarskich 41,5

Skład i łamanie: ArtGraph, Warszawa

Druk ukończono w październiku 2006 r.

Druk i oprawa: GRAFM AR Sp. z o .o .

36-100 Kolbuszowa Dolna, ul. Wiejska 43

mailto:[email protected]

http://www.pwn.pl/

http://www.pwn.pl/




SPIS ZAWARTOŚCI

WSZYSTKICH TOMÓW

Rozdzia ł 1 . Pom iar

Rozdz ia ł 2 . Ruch prostol in iow y

Rozdzia ł 3 . We ktor y

Rozdz ia ł 4 . Ruch w dw óch i t rzech wym iara ch

Roz dział 5. Si ła i ruch I

Roz dział 6. Si ła i ruch II

Rozdz ia ł 7 . Energ ia k inetyczna i praca

R oz dz i a ł 8 . Ene rg i a po t e nc j a l na i z a c h ow a ni e e ne rg i i

Rozdz ia ł 9 . Uk ład y cząstek

R oz dz i a ł 1 0 . Zde rz e n i a

R oz dz i a ł 1 1 . O bro t y

Rozdz ia ł 12 . Toczenie s ię c ia ł , moment s i ły i moment pędu

Rozdzia ł 13 . Równowaga i sprężystość

R oz dz i a ł 1 4 . G ra w i t a c j a

Rozdz ia ł 15 . P łyny

R oz dz i a ł 1 6 . D rga n i a

Rozdz ia ł 1 7. Fale I

Rozdział 18. Fale I I

R oz dz ia ł 1 9 . Te m pe ra t ura , c i e p ł o

i p i e rw s z a z a s a da t e rmody na mi k i

Rozdz ia ł 20 . K inetyczna teor ia gazów

R oz dz ia ł 2 1 . Ent rop i a i d ruga z a s a d a t e rmo dy n a mi k i

Rozdz ia ł 22 . Ładunek e lekt ryczny

Rozdzia ł 23 . Pole e lek t ryczne

R oz dz i a ł 2 4 . P ra w o G a us s a

Rozdzia ł 25 . Potenc ja ł e lek t ryczny

Rozdzia ł 26 . Pojemność e lekt ryczna

Rozdzia ł 27 . Prąd e lek t ryczny i op ór e lek t ryczny

R oz dz i a ł 2 8 . O bw ody e l e k t ry c z ne

R oz dz i a ł 2 9 . Po l e ma gne t y c z ne

R oz dz i a ł 3 0 . Po l e ma gne t y c z ne w y w oł a ne prz e p ł y w e m

prą du

Rozdzia ł 3 1 . Z jawis ko indukc j i i indukcy jność

R o z d z i a ł 3 2 . M a g n e t y z m m a t e r i i ; r ó w n a n i e M a x w e l l a

R oz dz ia ł 3 3 . D rg a n i a e l e k t rom a gne t y c z ne i p rą d z m i e nn y

R oz dz i a ł 3 4 . Fa l e e l e k t roma gne t y c z ne

R oz dz i a ł 3 5 . O bra z y

Rozdz ia ł 36 . Interferenc ja

Rozdz ia ł 37 . Dyf rakc ja

Rozdz ia ł 38 . Teor ia względnośc i

Rozdz ia ł 39 . Fotony i fa le mate r i i

Rozdz ia ł 40 . Jeszcze o fa lach mater i i

R oz dz ia ł 4 1 . W s z y s tk o o a t om a c h

Rozdzia ł 42 . Przewodnic two e lekt ryczne c ia ł s ta łych

Rozdzia ł 43 . F izyka jądrowa

R oz dz i a ł 4 4 . Ene rg i a j ą drow a

R oz dz ia ł 4 5 . K w a r k i , le p t ony i W i e l k i W y b uc h

D oda t k i

O d p o w i e d z i d o s p r a w d z i a n ó w o r a z p y t a ń i z a d a ń

o nume ra c h n i e pa rz y s t y c h

Sk orow i dz



1 3 . 1 .

N iek tó re cechy sprężyste wybran ych mate r ia łó w p rzydatnych w techn ice 16

1 4 . 1 . Z m i a n a a

g

z wysokością 3 3

14.2. Prędkość ucieczki z ki lku ciał niebie skich 4 1

1 4 . 3 .

T rzec ie p raw o Kep lera d la p lanet Uk ładu S łoneczne go 4 4

15 .1 . W ybr ane gęstośc i 62

1 5 . 2 . W yb ran e war tośc i c iśn ien ia 64

1 7 . 1 . Różnice faz i cha rakte r in ter ferencj i 13 9

1 8 . 1 . Prędkość dźw ięku 15 6

1 8 . 2 . G łośnośc i wybran ych dźw iękó w 16 6

19 .1 .

W yb ran e tem pera tu ry w ska l i Ce ls jusza i Fahre nhei ta 19 2

19 .2 .

Wartości wsp ółczynn ika rozszerzalności l in iow ej wyb rany ch substancj i 19 5

19 .3 .

War tośc i c iep ła w łaśc iweg o wyb ranych substancj i w tem pera tu rze pok o jowe j 1

1 9 . 4 . War tośc i c iep ła p rzem iany wybran ych substanc j i 2 0 0

19 .5 .

P ierwsza zasad a term od yna mik i : cz tery p rzypadk i szczegó lne 2 0 6

19 .6 .

War tośc i p rzewodnośc i c iep lne j w łaśc iwej wybrany ch substanc j i 2 0 9

2 0 . 1 .

Przyk ładowe p rędkośc i cząsteczek w tem per atu rz e poko jow ej (T = 3 0 0 K) 23 2

2 0 . 2 . M o lo we c iep ła w łaśc iwe p rzy s ta łe j ob ję tośc i 24 1

2 0 . 3 .

L iczba stopni swo bod y d la różnych cząsteczek 2 4 6

2 0 . 4 .

Cz tery szczegó lne p rzem iany 25 1

2 1 . 1 . Sześć cząsteczek w zbiorn iku 2 7 7



w n o w a g a i s p r ęż y st o ść

1

kominie skalnym?

R ó w n o w a g a 2

W a r u n k i r ó w n o w a g i 3

Środ ek c iężkości 5

.4 . K i lka p rzyk ład ów rów now ag i s ta tyczne j 7

U k ł a d y n i e o z n a c z o n e 1 2

Sprężystość 14

Płyny 60

Dlaczego początkujący nurkowie czasem tracą życie?

1 5 . 1 . P łyny w otac zają cym nas świecie 61

1 5 . 2 . C o to jest płyn? 61

1 5 . 3 .

Gęstość i c iśnienie 61

15 .4 . P łyny w spoczynku 64

1 5 . 5 .

Jak s ię mie rzy c iśnienie? 6 7

1 5 . 6 . Praw o Pascala 69

1 5 . 7 .

P raw o A rch im edesa 71

1 5 . 8 . R uch p łynów doskona łych 75

1 5 . 9 .

R ów n an ie c iąg łośc i 76

1 5 . 1 0 . R ów n an ie B ernou l l iego 79

P o d s u m o w a n i e 8 3

Pytania 84

Z a d a n i a 8 5

ROZDZIAŁ 14

?

S i ła g raw i tacy jna w e Wszechśw iec ie 2 8

P raw o pow s zechne go c iążen ia 28

G raw i tac ja a zasa da superpozyc ji 30

.4 . G raw i tac ja w pob l iżu pow ierzchn i Z iem i 32

G r a w i t a c j a w e w n ą t r z Z i e m i 3 6

G r a w i t a c y j n a e n e r g i a p o t e n c j a l n a 3 7

Planety i sate l i ty: pr aw a Kep lera 42

Satel i ty: orbity i en erg ia 4 6

G raw i tac ja w ed ług E ins te ina 4 8

I B

D r g a n i a 9 3

Dlaczego budynki Mexico City zawaliły się pod wpływe

bardzo odległego trzęsienia ziemi?

1 6 . 1 .

D r g a n i a 9 4

1 6 . 2 .

R uch harm on iczn y 94

1 6 . 3 . S i ła w ruchu harm on iczn ym 98

1 6 . 4 . E n e r g ia w r u c h u h a r m o n i c z n y m 1 0 0

1 6 . 5 . W a h a d ł o t o rs y jn e 1 0 2

1 6 . 6 .

W a h a d ł a 1 0 3

1 6 . 7 . Ruch harmoniczny a ruch jednostajny po okręgu 10

1 6 . 8 .

R uc h h a r m o n i c z n y t ł u m i o n y 1 1 0

1 6 . 9 .

D r g a n i a w y m u s z o n e i r e z o n a n s 1 1 2

P o d s u m o w a n i e 1 1 3

P ytan ia 114

Z a d a n i a 1 1 6



F a l e 1 2 2

Jak skorpion wykrywa obecność chrząszcza,

nie widząc go ani nie słysząc?

1 7 . 1 . Fale i cząstki 12 3

1 7 . 2 .

Rodza je f a l 12 3

1 7 . 3 . F a l e p o p r z e c z n e i p o d ł u ż n e 1 2 4

17 .4 . D ługość f a l i i częst ość 12 5

1 7 . 5 . Pr ędkość f a l i b i egn ące j 12 8

1 7 . 6 . Prędkość fal i w na pię tej l inie 13 1

1 7 . 7 . Ener g ia i moc f a l i b i egn ącej w l in ie 13 4

1 7 . 8 . Zas ad a super pozyc j i f a l 13 6

1 7 . 9 . I n t er f er encja f a l 13 7

1 7 . 1 0 .

W s k a z y 1 4 0

1 7 . 1 1 . Fa le s t o jące 14 2

1 7 . 1 2 .

Fa le s t o jące i r ezon ans 14 4


Pyt an ia 148

Z a d a n i a 1 4 9

ROZDZIAŁ

F a l e II 1 5 4

Jak nietoperz odnajduje ćm ę w całkowitej ciemności?

1 8 . 1 .

F a l e d ź w i ę k o w e 1 5 5

1 8 . 2 . Pr ędkość dźw ięku 15 5

1 8 . 3 . B i e g n ą c e f a l e d ź w i ę k o w e 1 5 9

1 8 . 4 . I n t e rf e r e n c j a 1 6 2

1 8 . 5 .

N a t ę ż e n i e i g ł oś n o ś ć d ź w i ę k u

1

6 4

1 8 . 6 . Ź r ó d ł a d ź w i ę k ó w w m u z y c e 1 6 8

1 8 . 7 .

D u d n i e n i a 1 7 1

1 8 . 8 . Z j a w i s k o D o p p l e r a 1 7 3

1 8 . 9 .

P r ęd k o śc i n a d d ź w i ę k o w e ; f a l e u d e r z e n i o w e 1 7 8


P y t a n i a 1 8 0

Z a d a n i a 1 8 2

T e m p e r a t u r a

uda

t e r m o d y n a m i k i 1 8 7

Jak pszczoły wykorzystują ciepło do obrony przed

szerszeniami?

1 9 . 1 .

T e r m o d y n a m i k a 1 8 8

1 9 . 2 . Z e r o w a z a s a d a t e r m o d y n a m i k i 1 8 8

1 9 . 3 . P o m i a r y t e m p e r a t u r y 1 8 9

19 .4 . Ska le Cels jusza i Fah r enh ei t a 19 2

1 9 . 5 .

Rozszer za lność c iep lna 19 4

1 9 . 6 . T e m p e r a t u r a i c i e p ło 1 9 7

1 9 . 7 .

Poch łan ian ie c iep ła pr zez c ia ła s t a łe i c i ecze

1 9 . 8 . Bl iższe spo jrzenie na ciepło i prac ę 2 0 2

1 9 . 9 .

P i e rw s z a z a s a d a t e r m o d y n a m i k i 2 0 5

1 9 . 1 0 .

N iekt ór e szczególne pr zypadki p ier wsze j zas

t e r m o d y n a m i k i 2 0 6

1 9 . 1 1 . M e c h a n i z m y p r z e k a z y w a n i a c i e p ła 2 0 9


Pyt an ia 216

Z a d a n i a 2 1 7

ROZDZIA

S

K i n e t y cz n a t e o r i a g a z ó w 2 2 4

Dlaczego przy otwarciu butelki z zimnym napojem

gazowanym tworzy się mgiełka?

2 0 . 1 .

N o w e s p o j r z e n ie n a g a z y 2 2 5

2 0 . 2 . L ic zb a A v o g a d r a 2 2 5

2 0 . 3 . G a z y d o s k o n a ł e 2 2 6

2 0 . 4 . C i ś n i e n i e , t e m p e r a t u r a i p r ę d k o ś ć ś r e d n i a

t o w a 2 3 0

2 0 . 5 . E n e r g ia k i n et y c zn a r u c h u p o s t ę p o w e g o 2 3

2 0 . 6 .

Ś r e d n i a d r o g a s w o b o d n a 2 3 3

2 0 . 7 . Rozk ład pr ędkości cząst eczek 2 3 6

2 0 . 8 . M o l o w e c i e pł a w ł a ś c iw e g a z u d o s k o n a ł e g o

2 0 . 9 . S t o p n ie s w o b o d y a m o l o w e c i e p ł a w ł a ś c i w e

2 0 . 1 0 .

N i e c o f iz y k i k w a n t o w e j 2 4 6

2 0 . 1 1 . R o z p r ę ż a n i e a d i a b a t y c z n e g a z u d o s k o n a ł e g o


Pyt an ia 253

Z a d a n i a 2 5 4

VIII Spis treści



i d r u g a z a s a d a t e r m o d y n a m i k i 2 5 9

wyznacza kierunek czasu?

K i lk a p r z e m i a n n i e o d w r a c a l n y c h 2 6 0

Z m i a n a e n t r o p ii 2 6 1

D r u g a z a s a d a t e r m o d y n a m i k i 2 6 6

.4 . En t rop ia w świec ie rzeczywis tym: s i ln ik i 2 6 7

Entropia w świecie rzeczyw istym: chłod ziarki

Spraw ność si ln ików rzeczywistych 2 7 5

S ta tys tyczne spo j rzen ie na en t ro p ię 2 7 6

DODATK

A. M ię dzy na rod ow y Uk ład Jednostek (SI ) A l

B. N iek t óre pod staw owe s ta łe f i zyczne A3

C . N i e k t ó r e d a n e a s t r o n o m i c z n e A 5

D. Wspó łczynn ik i zam ian y jednostek A7

E . W z o r y m a t e m a t y c z n e A l 1

F. Właśc iwośc i p ie rw ias tków A l 4

G .

U k ł a d o k r e s o w y p i e r w i a s t k ó w A l 7

BI

Odpowiedzi do sprc

oraz pytań i zadań

o numerach niepar;



Podstaw fizyki jest znaczn i e zmie

nopisu w ydania szóstego , a także z wyników

lub do Jearla Walkera

ty , Cleveland , O H 4411 5, US A; faks: (USA) (216)

phys i c s@w i l ey . com). Nie

się pewn ie odpowiedz ieć na każdy l i s t, a le wszyst

m a t e r i a ł u

Bardziej przejrzysty układ tekstu. Poprzednie wy

Potoczyste przedstawienie materiału. W szys tk im

nikom zarzuca s ię zwykle , że zawiera ją zbyt w ie le

1 . Ma teria ł do tyczący szczególnej teori i wzg lędności

2 .

W książce pozostawion o ty lko na jważnie jsze przy

Zbioru za

dań uzupełniających,

który jest opisany w dalszej czę

p rzedmow y .

Zapis wektorów. Wektory są obecnie zapisywane j

symbol ze strzałką nad l i terą (np. F), a n ie za pom

czcionki pó łgrubej ( jak F) .

^ Użycie jednostek metrycznych. W pod ręczn iku s to

wane są n iemal wyłącznie jednostk i met ryczne . Jedyn

wyją tk iem jes t rozdzia ł 1 , w k tórym przedstawione

różne układy jednostek .

Układ i kolejność zadań. Zeb rane w pod ręczn

zadania , p rzeznaczone do rozwiązania w ramach pr

domow ej ,

są podzie lone na grupy odnoszące s ię do ko

nych paragrafów tekstu g łównego, a w ramach tych g

są ułożone w kolejności wzrastającej t rudności . Wiele

dań z wydania p ią tego przesunię to jednak do Zbioru

dań uzupełniających, przy czy m nie porządkow ano

ani pod względem t rudności , an i tematyki w ramach r

dz ia łu ( łączna l iczba zadań w podręczniku i w

Zbio

zadań uzupełniających jes t więks za od l iczby zadań

wydaniu p ią tym).

^ Rozwiązania zadań. Rozwiązania częśc i zadań o

me rach n ieparzystych są dostępne w postac i e lek t roniczn

W ty m przypad ku na końcu treśc i zadania umies zczona j

ikonka informująca s tudenta i wykładowcę, gdzie m

w raz ie pot rzeby znaleźć rozwiązanie . Informacja o z

czeniu poszczególnych ikonek jes t zawarta na począ

każdego zestawu zadań domowych. Ma ona postać :

w w w

Rozw iązanie jest dostęp ne na stronie internetowej po

ręcznika: http://www.wiley.com/college/hrw

ii w

Rozw iązanie jest dostępn e w postaci interaktyw ne

wykorzystującej oprogramowanie lnteractive Learnin

Ware (na tej samej stronic)

Materia ły te są opisane w dalsze j częśc i przedmowy.

http://www.wiley.com/college/hrw








Z m i a n y n a t u r y d y d a k t y c z n e j

Rozumowan ie a proste ćwiczenia.

G ł ó w n y m c e

lem podręcznika jes t nauczenie s tudenta rozumowania —

od podstawowych zasad do rozwiązania zagadnienia —

przez s tawianie go wobec kole jnych wyzwań. W związku

z tym w większośc i zadań nac isk położony jes t właśnie

na umie ję tność rozumowania . Niemnie j jednak niektóre

zadania są pros tymi ćwiczeniami, wymagającymi jedynie

podstawienia danych do wzoru.

Stwierdzenia kluczowe.

Rozwiązania wszystkich 360

przykładów w podręczniku i

Zbiorze zadań uzupełnia

jących zos ta ły z redago wane od nowa, tak by zaczyn ały

s ię od jednego lub więce j s twierdzeń kluczowych dla

rozwiązania zadania (oznaczonych w tekśc ie rozwiąza

nia za pomocą ikonki klucza —

O—

•*), wykorzystujących

pods tawowe prawa wprowadzone w g łównym toku wy

kładu.

^ Obszern iejsze rozwiązania przykładów . Rozwiązania

większośc i przykładów (czyl i zadań rozwiązanych w pod

ręczniku) są te raz bardz ie j szczegółowe niż w poprzed

nim wydaniu, gdyż postępują krok po kroku od poda

nych na począ tku rozwiązania s twierdzeń kluczowych aż

do końcowej odpowiedzi , przy czym częs to przytoczone

są obszerne f ragmenty rozumowania przedstawionego w

tekśc ie głównym.

Zadan ia z zastosowań fizyki.

W wie lu mie jscach —

w treśc i przykładów lub zadań domowych — przedsta

wione są zagadnienia z zakresu zastosowań fizyki, oparte

na opubl ikowanych wynikach badań; porównaj np. przy

kład 11.6, zadanie 64 z rozdzia łu 4 i zadanie 56 z roz

dz ia łu 10. Przyk ładem zadań dom owych tworzących ser ię

zadań na ten sam temat są zadania 4, 32 i 48 z roz

działu 6.

Z m ia n y w t r e ś c i p o d rę c z n i k a

Rozdział 5 o sile i ruchu zawiera teraz bardziej szcze

gółowe om ówien ie s i ły c iężkośc i , c iężaru i s i ły no rmaln e j .

^ Rozdział 7 o energii kinetycznej i pracy

zaczyna s ię

od bardzo ogólnych uwag na temat energi i . Następnie de

finiuje się energię kinetyczną i pracę oraz omawia się

związek między nimi w taki sposób, by bardz ie j niż w

wydaniu pią tym nawiązać do drugie j zasady dy

Newtona, nie tracąc jednak spójności tych definicj

j ę c iami t e rmodynamicznymi .

^ Rozdział 8 o zachowaniu energii

nie zawier

krytykowanej definicji pracy wykonanej przez siłę

chowawczą — zas tąpiono ją omówieniem zmian

pod wpływem s i ły niezachowawczej (użyte s form

nia nie uniemożl iwia ją jednak wykładowcy wpro

nia pojęc ia pracy wykonanej przez s i łę niezachow

Rozdział 10 o zderzeniach

zawiera teraz n

omówienie ogólnego przypadku zderzeń niesprę

w jednym wymiarze , a dopiero późnie j przypadku

gólnego zderzeń sprężystych w jednym wymiarze

Rozdziały 16, 17 i 18 o ruchu harmonicznym

lach zos ta ły napisane na nowo, tak by uła twić s tu

przyswojenie sobie tych t rudnych zagadnień.

Rozdział 21 o entropii

zawiera obecnie om

si lnika Carnota jako idea lnego s i lnika c ieplnego

większe j sprawnośc i .

E le m e n ty t o w a rz y s z ą c e t e k s to w i

g ł ó w n e m u p o d r ę c z n i k a

Ciekawostki. Każd y rozdzia ł zaczyna s ię od

ciekawego z jawiska lub doświadczenia , które zos ta

nie j szczegółowo wyjaśnione w którymś mie jsc

rozdzia łu. Ma to za zadanie zachęcenie czyte ln

uważnego przeczytania ca łego rozdzia łu.

^ Sprawdziany pojawiają się w miejsca ch, w

czyte lnik powinien przerwać na chwilę lekturę i

wać odpowiedzieć na pytanie : „czy potraf isz — w

stując informacje zawarte w przeczytanym właśni

graf ie lub przykładzie — dać sobie radę z tym k

zadaniem, nie wymagającym obl iczeń, lecz tylko

namysłu?" Jeś l i nie , to na leży jeszcze raz przes tu

ten materiał przed dalszą

lekturą;

porównaj np.

dz ian 3 w rozdzia le 5 oraz sprawdzian 1 w rozdz

Odpowiedzi do wszys tk ich sprawdzianów pod

na końcu ks iążk i .

Przykłady,

czyl i zadania rozwiązan e w podrę

mają pomóc czyte lnikowi w utrwaleniu pojęć w

dzonych w głównym tekśc ie oraz w s topniowym

XI I Przedmowa



(O—w), a następnie prowadzą krok

Fragmenty za ty tu łowane Sztuka rozwiązywania za

ń

zawierają porady praktyczne, u ła twiające początku

Na końcu tekstu głównego każdego rozdziału

znaj

Podsumowanie, w którym zebrane są podsta

zastą

są podo bne do sprawdzianów — uzy skanie

Odpowiedz i na py

Zadania

są zeb rane w grupy dotycząc e kolejnych pa

Odpowiedz i do za

Rozwiązania części zadań o numerach nieparzy

W niektórych rozdziałach na samym końcu zestawu

zadania dodatkowe. Nie są one przypi

i ó r z a d a ń u z u p e ł n i a j ą c y c h

Zbiór zadań uzupeł

ten będzie zawierał inny zestaw pytań i

owyc h oraz więcej przykładów. Oto jeg o cechy:

Przykłady uzupełniające

są częściowo przeniesio

podręczn ika g łównego , częśc iowo ca łk iem nowe. Wsz

kie zaczynają s ię od stwierdzeń kluczowyc h dla rozw i

nia zadania (oznaczonych ikonką O — r) i prowadzą

po kroku aż do końcowej odpowiedzi .

Pytania są trzech rodzajów:

1.

pytania typu sprawdzianów , jak w głównej cz

podręcznika;

2.

pytania porządkujące, wym agające zebrania

nań potrzebnych w określonej sytuacji , mające chara

rozgrzewki przed jednym z dalszych zadań;

3. pytania do dyskusji, p rzywrócone z wydań cz

tego i wcześniejszych na żądanie czytelników.

Zadania uzupełniają zestawy zadań przytoczon

głównej części książki ; n iektóre zostały przesunięte

zbioru z podręcznika głównego. Ich kolejność nie

związana ani z ich trudnością, ani z kolejnością para

fów czy pojęć w danym rozdziale . Niektóre nowe zad

dotyczą zagadn ień z zakresu zastosowań f izyki . W nie

rych rozdziałach końcowe zadania tworzą

zestawy z

dotyczących podobnych zagadnień. W innych rozdzia

na końcu podano zadania z rozwiązaniam i.

W e r s | e p o d r ę c z n i k a

Szós te wydan ie Podstaw fizyki w angielskiej wersji j

kowej jest dostępne w kilku wersjach, tak by zaspo

różne potrzeby wykładowców i s tudentów. Wydanie p

stawowe zawiera rozdziały 1-38 ( ISBN 0-471-32000

Wydanie rozszerzone zawiera ponadto siedem doda

wych rozdziałów o fizyce kwantowej i kosmologii , c

łącznie 45 rozdziałów ( ISBN 0-471-33236-4) . Każd

tych wydań jest dostępne w postaci jednego tomu w tw

dej oprawie lub w następujących częściach:

^ t om 1 — rozdz ia ły 1 - 21 ( mechan ika i t ermody

mika ) , oprawa t warda , 0 - 471 - 33235 - 6 ;

tom 2 — rozdziały 22—45 (e lektryczność i

gnet yzm oraz f i zyka wspó łczesna ) , oprawa t war

0 - 4 7 1 - 3 6 0 3 7 - 6 ;

) •

część 1 — rozdz ia ły 1 - 1 2 , oprawa mięk

0 - 4 7 1 - 3 3 2 3 4 - 8 ;

Przedmowa



część 2 — rozdzia ły 1 3 - 2 1 , o p r a w a m i ę k k a ,

0 - 4 7 1 - 3 6 0 4 1 - 4 ;

^ c z ę ść 3 — r o z d z ia ł y 2 2 - 3 3 , o p r a w a m i ę k k a ,

0 - 4 7 1 - 3 6 0 4 0 - 6 ;

) • c z ę ść 4 — r o z d z i a ł y 3 4 - 3 8 , o p r a w a m i ę k k a ,

0 - 4 7 1 - 3 6 0 3 9 - 2 ;

część 5 — rozdzia ły 39-45 , oprawa miękka ,

0 - 4 7 1 - 3 6 0 3 8 - 4 .

Wydanie polskie powstało na podstawie tych pięciu części

podręczn ika .

M a t e r i a ł y d o d a t k o w e

Szós temu wydan iu Podstaw fizyki towarzyszy w orygi

nale obszerny zestaw starannie przygotowanych mater ia

łów uzupełniających, mających za zadanie ułatwić wy

kładowcom i s tudentom korzystanie z podręcznika.

Materiały dla wykładowców

^ Instructor's Manuał

{Poradnik wykładowcy,

autor: J.

Richard Chr i s tman , U .S . Coas t Guard Academy) . Porad

nik ten zawiera wyjaśnienia najważniejszych zagadnień

z każdego rozdz ia łu , pokazy doświadczeń , p ro jek ty do

świad czalne i kom puterow e, opis fi lmów i kaset wideo, od

powiedzi do wszystkich pytań, zadań i sprawdzianów oraz

przewodnik do zadań z poprzedn ich wydań podręczn ika .

Instructor's Solutions Manuał {Zbiór rozwiązań dla

wykładowcy,

autor : Jam es W hitenton , Southe rn Polytech-

nic Universi ty) . W zbiorze tym podano szczegółowe roz

wiązania wszystkich zadań zebranych na końcu poszcze

gólnych rozdziałów oraz w

Zbiorze zadań uzupełniają

cych. Ten zbiór mogą ot rzymać tylko wykładowcy.

^ Test Bank

{Bank testów,

autor : J . Richard Chr istman,

U .S.

Coas t Guard Academy) zawie ra j ący ponad 2200 py

tań testowych wielokrotnego wyboru. Są one także do

stępne w komputerowym banku testów (pat rz niżej ) .

lnstructor's Resource CD (CD z mater ia łami dla

wykładowcy) . Jes t t o CD-ROM zawiera j ący :

• pełny tekst

Zbioru rozwiązań dla wykładowcy

w p o

staci p l ików JiTgX-owych oraz w formacie PDF,

• kom puterow y bank testów, w wersjach dla kom

IBM oraz Macintosh, z możl iwością edycj i tek

by wykładowca miał pełną swobodę tworzeni

wów pytań testowych,

• wszystkie rysunki z pod ręcznik a (poza fotog

przygotowane do przedstawienia na wykładz

wydrukowania .

Przezrocza (transparencje). Ponad 200 ko l

i lust racj i z podręcznika w postaci fol i i do rzutni

zroczy.

On-line Course Management

( In t e r ak tywn

dzanie zajęciami) .

• P rogramy in t e rak tywne WebA ss ign , CAPA or

Tes t , umożl iwia j ące wykładowcom wyznaczan

ocenianie zadań i testów za pośrednictwem In

• Wy kładowcy mogą również uzyskać dos tęp do

łów edukacyjnych w systemie WebCT. Jest to o

oprogramow anie in t e rne towe , umożl iwia j ące o

wanie zajęć in ternetowych zawierających sesje

syjne, tabl ice ogłoszeń, testy , ocenę postępów

tów i tp . Dalsze informacje można uzyskać u p

wicieli f irmy Wiley.

Materiały dla studentów

• A Student Com panion

{Poradnik studenta,

a

Richard Chr i s tman , U .S . Coas t Guard Academy) .

nik dla s tudentów składający się z t radycyjnych

łów drukowanych oraz studenckiej s t rony intern

stanowiących łącznie bogate środowisko interakty

nauki i zdobywania dodatkowych informacj i . Na s

kiej s t ronie in ternetowej dostępne są quizy, sym

wskazówki do zadań domowych , oprogramowan

r a k t y w n e

Interactive LearningW are

(patrz niżej) o

nośnik i do innych st ron internetowych, zawierający

teriały edukacyjne z f izyki.

• Student Solutions Manuał

{Zbiór rozwiązań

denta,

autorzy: J . Richard Chr istman, U.S. Coas

Acad emy i Edward D er r ingh , Wentwor th Ins t i t u te

szczegółowych rozwiązań 30% zadań zebranych

cowych częściach rozdziałów podręcznika.

Interactive LearningWare.

Jest to oprog ram

umożl iwiające studentowi rozwiązanie 200 zadań

ręcznika. Odbywa się to in teraktywnie, tzn . w ko



em, są oznac zone ikonką n\v .

CD-ROM stanowiący e lektroniczną

Podstaw fizyki. Zawiera pe łny

Poradnik stu

oprogramowanie In-

Take Notę (Zapisz to ) . Nota tnik w twardej oprawie

na dużych , c za rno-b ia łych wydrukach rysunków z

ręcznika . Zawiera wszystkie i lus trac je z zes tawu prz

czy. Użycie tego nota tnika oszczędza s tudentowi

cza su zużywanego norma ln ie na prze rysowywanie r

ków na wykładzie .

Physics Web Site,

s t rona inte rne towa podręcznik

s tępna pod adresem ht tp: / /www.wi ley . com/co l lege

s ta rannie zaprojektowana z myślą o użytkownikach

stego wydania Podstaw fizyki, zapewnia jąca s tud

pomoc w s tudiowaniu f izyki oraz udostępnia jąc

wie le mater ia łów dodatkowych. Zawiera także ro

zania wie lu zadań z podręcznika , oznaczonych i

w w w .

W wydawnic twie John Wi ley mie l i śmy wie lk ie

Ellen Ford koordynowała wstępne prace redakcyjne

próby druku wie loba rwnego. Sue Lyons z dz ia łu m

tingu była niezmordowana w pracy nad sukcesem

wydania . Joan Kalkut s tworzyła znakomity zes taw

r ia łów pomocniczych . Thomas Hemps tead doskona ł

rządza ł procesem recenzj i maszynopisu podręcznika

l icznymi pracami adminis t racyjnymi.

Luci l le Buonocore , kie rownik produkcj i ks iąż

Moniąue Cale l lo, redaktor ds . produkcj i , znakomici

radz i ły sobie z dopasowaniem do s iebie różnych e le

tów podręcznika i pomogły doprowadz ić z sukcese

końca z łożony proces produkcj i ks iążki , za co im ser

nie dz iękujemy. Dziękujemy również Maddy Lesu

projekt graficzny książki, Helen Walden za redakcję

s tu, Edwardowi Starrowi i Annie Melhorn za kiero

przygotowaniem rysunków, Georg i i Kanwosoul i s M

rer , Katr inie Avery i Li l ian Brady za korektę składu, a

wszys tk im pozos ta łym cz łonkom zespołu produkcyj

Hilary New man oraz je j zespół za jmujący s i

borem fotograf i i do podręcznika z zapałem wyszuk

ciekawe i niezwykłe zdjęc ia , znakomicie uwidaczn

prawa f izyki . Mamy również wie lki dług wdzięcz

wobec nieżyjącego już Johna Balba l isa , którego

graf iczny i z rozumienie f izyki można odnaleźć w

dym z rysunków.

Szczególne podz iękowania j e s te śmy winni E

dowi Mi l lmanowi za pomoc w nadaniu t eks towi





ręcznika jego os ta tecznej pos tac i . Przeczyta ł on z nami

ca ły podręcznik, każde jego s łowo, zadając nam wie le

pytań kierowanych z punktu widzenia korzysta jącego z

ks iążki s tudenta . Wie le z tych pytań i zasugerowanych

przez niego zmian przyczyni ło s ię wydatnie do zwięk

szenia j a snośc i wyk ładu .

Szczególn ie w ie lk i d ług wdz ięcznośc i mamy wo

bec wie lu s tudentów korzysta jących z poprzednich wydań

Podstaw fizyki,

którzy zadal i sobie t rud podzie lenia s ię

z nami swoimi uwagami. Studenci są dla nas niezwykle

ważni , gdyż to oni są os ta tecznymi „konsumentami" pod

ręcznika . Dzie ląc s ię z nami swoimi uwagami, po

nam s ta le doskonal ić oferowaną przez nas ks iążkę

czemu p ien iądze w ydane na j e j z akup mo żna uw

coraz lepszą inwestyc ję . Nadal zachęcamy użytko

te j ks iążki do informowania nas o swoich uwaga

f leks jach przy je j lekturze , co powinno nam po

dalszym ulepszaniu podręcznika w nas tępnych la

Na zakończenie chcemy podkre ś l i ć , ż e dysp

l i śmy znakomi tym zespołem opin iodawców, i p ra

wyraz ić wdz ięczność i podz iękowanie każdemu

Oto oni :

Edward Ade lson

Hec tor J imenez

Timothy M. Rit te r

Ohio State University

University of Puerto Rico

University of North Carolina

Mark Arne t t

Sudhaka r B . Josh i

at Pembroke

Kirkwood Community College

York University

Gera rdo A . Rodr iguez

Arun Bans i l

Leona rd M. Kahn

Skidmore College

Northeastern University

University of Rhode Island

John Rosendahl

J . Richard Chris tman

Yiuchi Kubota

University of California at Irvin

U.S<

Coast Guard Academy

Cornell University

Michael Schatz

Rober t N. Davie , J r .

Pr isc i l la Laws

Georgia Institute of Technology

St. Petersburg Junior College

Dickinson College

Michael G. Strauss

Cheryl K. Del la i

Glendale Community College

Edbe to Lea l

University of Oklahoma

Cheryl K. Del la i

Glendale Community College

Polytechnic University of Puerto

Rico

Dale Long

Dan Styer

Erie R. Die tz

Polytechnic University of Puerto

Rico

Dale Long

Oberlin College

California State University at Chico

Virginia Tech

Marsha l l Thomsen

N .

John DiNardo

Andreas Mande l i s

Eastern Michigan University

University of Toronto

Paul Marąua rd

Fred F. Tomblin

a ro ld B . Ha r t

University of Toronto

Paul Marąua rd

New Jersey Institute of Technolo

Western Illinois University

Caspar College

B.R. Weinberger

James Napol i t ano

Trinity College

Rensselear Polytechnic Institute

Wil l i am M. Whe lan

Des Penny

Ryerson Polytechnic University

Southern Utah University

Wil l i am Zimmerman, J r .

haw n Jackson Joe Redish

Unhersity of Minnesota.

University of Tulsa

University of Maryland

Wesleyan University

Alber t Bar t le t t

University of Colorado

Michae l E . Browne

University of Idaho

Timothy J . Burns

Leeward Community College

Joseph Bushi

Manhattan College



Newp ort C ollege

Coast Guard Academy

South Florida

ty of Hawaii at Manoa

College of M ineral

of Cincinnati

Paul Espos i to

of Cincinnati

Jose State University

State University

Missouri State University

Jose State University

State University

John Hubisz

North Carolina State University

Joey Huston

Michigan State University

Dar re l l Huwe

Ohio University

Claude Kacser

University of Maryland

Leonard Kle inman

University of Texas at Austin

Earl Rol ler

Stevens Institute of Technology

Arthur Z. Kovacs

Rochester Institute of Technology

Kenneth Krane

Oregon State University

Sol Krasner

University of Illinois at Chicago

Peter Loly

University of Manitoba

Rober t R. Marchini

Memphis State University

David Markovi tz

University of Conne cticut

Howard C. McAll is ter

University of Hawaii at Manoa

W Scot t M c Cul lough

Oklahoma State University

James H. McGui re

Tulane University

David M. McKins t ry

Eastern Wash ington University

Joe P. Meyer

Georgia Institute of Technology

Roy Middleton

University of Pennsylvania

I rvin A. Mil ler

Drexel University

Eugene Mosca

United States Naval Academy

M i c h a e l O Shea

Kansas State University

Patr ick Papin

San Diego State University

George Parker

North Carolina State University

Rober t Pelcovi ts

Brown University

Oren P. Quist

South Dako ta State University

Jonathan Reichar t

SUNY-Buffalo

Manuel Schwar tz

University of Louisville

Darrel l Seeley

Milwaukee School of Engineering

Bruce Arne Sherwood

Carneg ie Mellon University

John Spangler

St. Norbert College

Ross L. Spencer

Brigham Young University

Harold Stokes

Brigham Young University

Jay D. Str ieb

Villanova University

David Toot

Alfred University

J .S .

Turner

University of Texas at Austin

T.S. Venkataraman

Drexel University

Gianfranco Vidal i

Syracuse University

Fred Wang

Prairie View A M

Rober t C . Webb

Texas A M University

George Wi l l i ams

University of Utah

David Wolfe

University of New Mexico.

Przedmowa



1 3 R ó w n o w a g a

i sprężystość

Wspinaczka skalna może się okazać najtrudniejszym egzaminem z f izyki. Niepowodzenie m

oznaczać śmierć, a nawet „częściowy sukces" może się wiązać z poważnymi obrażeniami cia

Jeśli na przykład wspinasz się w długim

kominie skalnym, mając plecy

dociśnięte do jednej ściany szerokiego,

pionowego pęknięcia skalnego, a stopy

— do przeciwległej ściany, to od czasu

do czasu musisz trochę odpocząć,

by nie spaść z wyczerpania. Egzamin

składa się tu z jednego pytania:

o ile możesz zmniejszyć nacisk na

ściany, by odpocząć, lecz nie odpaść

od nich? Planując odpoczynek bez

znajomości praw fizyki, możesz nie

utrzymać się w kominie.

J a k a je st p r a w i d ł o w a o d p o w i e d ź

n a j e d y n e p y t a n i e n a t y m e g z a m i n i e ,

k t ó r e g o w y n i k o z n a c z a ż y c ie l u b

Odpowiedź znajdziesz w tym rozdzia le .

I



Rys. 1 3 . 1 . Blo k skalny spoczywający na

innym, mniejszym, w pozycj i , która wy

daje się bardzo niepewna, lecz w rzeczy

wis tości jes t s tanem równowagi s ta tycz

nej .

Zdjęcie wykonano w pobliżu parku

narodowego w Ar izonie noszącego na

zwę Petrif ied Forest National Park (Park

Narodowy „Skamienia ły Las")

Rys. 13.2.

a) Kostka domina us tawiona

na jednej z krawędzi tak, że jej środek

ciężkości znajduje się dokładnie nad tą

krawędzią. D ziałająca na kostkę siła cięż

kości F

g

skierowana jes t wzdłu ż pro

s te j przechodzącej przez punkt s tyczno

ści kostki z podłożem, b) Jeśli kostka

obróci s ię choćby nieznacznie od po

łożenia z rysunku a , to moment s i ły F

g

spowoduje dalszy obrót kostki, c) Kostka

us tawiona pros to na jednej z węższych

ścian jes t w równowadze bardzie j t rwa

łej niż kostka z rysunku a. d) Jeszcze

bardzie j t rwała jes t równowaga sześcien

nego klocka

1 3 . 1 . R ó w n o w a g a

Roz waż my cz tery ciała: 1) książkę leżącą na stole, 2) krążek ho kejowy śl

się bez tarcia po lodzie ze stałą prędkością, 3) wirujące łopatki wentylat

4) koło roweru jadącego ze s tałą prędkością po pros tym torze. Dla każdeg o

1 .

Pęd ś rodka masy P jest stały.

2. M o m e n t p ę d u L względem środka masy ( lub dowolnego innego pun

jest stały.

Mówimy, że ciała te są w rów n ow ad ze . Warunki równowagi ciała s

następujące:

P — cons t oraz L = const.

W tym rozdziale będziemy s ię in teresować sytuacjami, w których

równaniu (13.1) są równe zeru, tzn. przypadkami ciał n ie poruszających

ani ruchem pos tępowym, ani obrotowym — w układzie odnies ienia , w

je obserwujemy. Ciała takie znajdują się w

rów n ow ad ze s ta tyczn ej .

Z

ciał , k tóre wym ieni l iśmy na początku paragrafu, ty lko jedn o — ks iążka

na s tole — pozos taje w równowadze s tatycznej .

Blok skalny z rysunku 13.1 jes t innym przyk ładem ciała znajdującego

choć pewnie nie na zawsze — w równowadze s tatycznej . Właściwość tę

nieprzebrana mnogość innych ciał , takich jak katedry, domy, biurka czy

z gazetami, k tóre nie zmieniają swego położenia z upływem czasu.

Jak wiemy z paragrafu 8 .5 , jeś l i c iało wytrącone ze s tanu równow

tycznej w wyniku działania na nie s i ły powraca potem do tego s tanu rów

to mówimy, że ciało jes t w s tanie trwałej równowagi s tatycznej . W takim

znajduje s ię na przykład ku lka kam ienna n a dnie półkul is tej misy. Jeś l i na

nawet niewielka s i ła może na s tałe wyprowadzić ciało ze s tanu równow

mówimy, że jest to stan nietrwałej równow agi s tatycznej .

Wyobraź sobie na przykład, że udało ci s ię us tawić kos tkę domina

jej środek ciężkości znajduje się dokładnie nad krawędzią, którą kostka s

z podłożem, jak na rysunku 13.2a. Moment s i ły względem punktu s ty

z podłożem, pochodzący od s i ły ciężkości F

g

, działającej na kostkę, jes

zeru, ponieważ s i ła działa wzdłuż pros tej przechodzącej przez ten punkt .

znajduje s ię zatem w równowadze. Oczywiście najmniejsza nawet s i ła ,

pocho dzić od jakieg okolw iek przypadk owego za burzen ia , wytrąci kos tkę

-krawędź styczności

kos tki z podłożem

a) b) c)

d )

2 13 . Rów now aga i sprężystość



g

przesunie s ię względem

spowoduje obró t kostk i. Stan równowagi z rysunku 13 .2a jes t za tem stanem

Ustawienie kostk i domina z rysunku 13 .2c jes t znacznie mnie j n ie t rwałe .

położenia z rysunku 13 .2a , w k tóry m środek ma sy znajduje

dalej.

Sześcienny k locek z rysunku 12 .3d (np . k locek z dz iec innej uk ładanki ) jes t

Badanie warunków równowagi s ta tycznej ma wie lk ie znaczenie w technice .

, j ak ie m ogą d zia łać na pro jek towaną konst rukcję , a następnie przez w łaśc iwy

y budować m osty , k tóre n ie zarwą s ię an i pod wpływ em ruchu

pod w pływ em wiejących w ia t rów, lub o to , aby podwozie samolotu

Rys. 13.3.

Robotnik budowlany stoj

na belce stalowej wysoko nad centr

Nowego Jorku jest w równowadze s

tycznej , która jest bardziej trwała w k

runku wzdłuż belki niż w kierunku

nie j prostopadłym

W a r u n k i r ó w n o w a g i

dP

F w y p _

dt

(13.2)

P jest

to dP/dt = 0, a zatem

^ w yp —

0

(równowaga sił). (13.3)

Do opisu ruchu obro towego c ia ła wykorzystamy z kole i d rugą zasadę dyna

wielkościach kątowych, czyli równanie (12.39) mające postać

dL

wyp

dt

(13.4)

13 .2 . Warunk i rów now ag i



Jeś l i c ia ło jes t w równowadze ze względu na ruch obro towy, tzn . je ś l i

stałe,

to AL/At = 0, a zatem

M

w y p

= 0 (równowaga momentów sił). (

Tak więc dwa warunki równowagi c ia ła są następujące:

1 . Sum a wektorowa wszystkich działających na ciało sił zewnętrznych m usi być

zeru.

2 .

Suma wektorowa wszystkich działających na ciało zewnętrznych momentó

mierzonych względem dowolnego punktu odniesienia, musi być równa zeru.

Warunki te są oczywiście spełnione, gdy cia ło znajduje s ię w równ

statycznej. Obow iązują one jed nak równ ież w bardziej ogólnej sytuacji, g

tory

P

i L są s ta łe , choć niekoniecznie równe zeru.

Równania (13.3) i (13.5) dotyczą wielkości wektorowych, a zatem są

ważne t r zem n ieza leżnym równaniom d la sk ładowych wzdłuż każde j z os i

współrzędnych:

równowaga sił równowaga mom entów sił

Pwyp,x

= 0, = 0,

= 0,

M

W

yp ,

y

= 0,

= 0,

= 0.

Uprościmy sobie sytuację i przyjmiemy, że wszystkie s i ły działa ją n

w p łaszczyźnie xy . Oz nacza to , że mo me nty w szys tk ich dz ia ła jących n

s i ł mogą powodować obró t c ia ła jedynie wokół os i równoleg łe j do os i z.

tego z zes tawu równań (13 .6) wypada nam jedno równanie d la sk ładowy

i dwa równania dla składowych momentu s iły; zostają tylko równania:

Fwyp,x = 0 (równowaga sił), (

Fwyp,y = 0 (równowaga sił), (

^ w y p . z = 0 (równowaga momentów sił), (

p rzy czym M

w y P i Z

j e s t wy p a d k o wy m z e wn ę t r z n y m mo me n te m s i ły , p o wo d

obrót c ia ła wokół osi z lub wokół dowolnej osi do niej rów nole głej .

Dla krążka hokejowego ś lizgającego s ię po lodzie ze s ta łą prędkością

nia (13.7) , (13.8) i (13.9) są spełnione, a zatem znajduje s ię on w równo

lecz nie jest to równowaga statyczna. Ab y krążek znajdował s ię w s tan

nowagi s ta tyczne j , jego pęd

P

musi być nie tylko s ta ły, lecz także równ

— krążek mus i pozos tawać na lodz ie w spoczynku. Mamy za tem jeszcze

warunek, który jes t spełniony wtedy, gdy cia ło znajduje s ię w s tanie rów

statycznej.



1

Na rysunku przedstawiono — w sześc iu przyp adkach — widziany

z góry jednorodny prę t , na który działa kilka sił — dwie lub więcej — w kierunkach do

niego prostopadłych. W których przypadkach można tak dobrać wartośc i sił (przy czym

każda

z

nich musi być różna

od

zera),

by

pręt znajdował

się w

równ owad ze statycznej?

L

I li i I

a) b) c)

U t tt

d)

e) f)

1 3 . 3 .

Ś rodek c iężkośc i

Siła ciężkości działająca

na

c ia ło rozciągłe jest sumą wektorową

sił

działają

cych

na

poszcz ególne elem enty (a tomy) cia ła . Zam iast rozważać

te

p o jedyncze

sk ładowe, możemy powiedz ieć ,

że:

Siła ciężkości F

g

działająca na ciało jest efektywnie przyłożo na w punkcie, który

nazywamy środkiem c iężkości (ŚC) tego ciała.

Słowo „efektywnie" oznacza, że s i ła wypadkowa o raz wyp adkowy mom ent

i ły (względem dowolnego punktu) działa jące na to c ia ło nie uległyby zmian ie ,

w

jakiś sposób potraf il i „w yłączy ć" s i ły działa jące

na

poszczegó lne

a

„włączyć" s i łę c iężkości

F

g

w

środku ciężkości c ia ła .

Dotychczas zawsze przyjmowal iśmy,

że

s i ła c iężkości jest przyłożona

do

w

j ego ś rodku masy (SM) . Jes t

to

równoważne za łożen iu ,

że

środek cięż

i

j ego ś rodek masy

są tym

samym punk tem . P rzypomni j sob ie ,

że

F

g

działająca na c ia ło o m a s i e M j e s t r ówna Mg, gdz ie g jest

z j ak im c ia ło spada swobodn ie pod wp ływ em si ły c iężkości .

za chwi lę , że:

Jeśli

dla

wszystkich eleme ntów c iała przyspieszenie g jest jednakow e,

to

środek cięż

kości ciała

i

jeg o środek masy znajdują

się w

tym samym punkcie .

Stwierdzenie to jest w przybl iżeniu prawdziwe dla c ia ł , z j ak im i spo tykamy

ię na co dzień, gdyż przyspiesze nie g zmienia s ię bardzo niewiele wzdłuż po

ze wzros t em wysokośc i nad Z ie

że

si ła

do

n ich p rzy łożona

w ich

środku masy.

W

da l szym rozważan iach

to

zak ładać ,

a

teraz przedstawimy dowód słuszności tego założenia .



o

I .. kierune k

f dzia łania siły

—

:

-- d

x

m

tamie

m

K

a)

ramię siły

[

kierunek

J/iałania siły

b)

Rys.

1 3 . 4 .

a) Element m asy m, ciała

rozciągłego. Działająca na ten element

siła ciężkości F

gi

ma ramię x

t

wzglę

dem początku układu współrzędnych O.

b) Si ła c iężkości F

g

działająca na całe

ciało jes t przyłożona w środku ciężkości

ciała (SC). Ma ona ramię

x§

c

względem

początku układu współrzędnych O

Dowód

Rozważmy na jpierw poszczególne e lementy c ia ła . Na rysunku 13.4a p

wiono c ia ło rozc iągłe o masie M oraz jed en z jeg o e lementów o masie

c iężkośc i F

gi

dz ia ła jąca na każdy z takich e lementów jes t równ a

nik przy gt oznacza , że jes t to przyspieszenie grawitacyjne w miejscu, w

znajduje się ten element (w przypa dku ogó lnym moż e ono być różne dla

e lementów c ia ła ) .

W sytuacji z rysunku 13.4a z siłą F

g

- dz ia ła jącą na odpowiedni e leme

związany jes t moment s i ły M, względem punktu O, przy czym ramię

wyn osi Korzysta jąc z równ ania (11.33) (M = r±F), moment M,-

zapisać jako

Mi = *

Wypadkowy moment s i ł dz ia ła jących na wszystkie e lementy c ia ła jes t wię

wyp

A teraz rozpatrzmy c ia ło jako ca łość . Na rysunku 13.4b przedstawio

ciężkośc i przyłożoną do środka c iężkośc i c ia ła . Ma ona ramię x^

c

wz

punktu

O,

a za tem je j moment

M

możemy zapisać , korzysta jąc znów z r

(11.33) , jako

M = x

ś c

F

g

.

Siła ciężkości F

g

działająca na całe ciało jest równa sumie sił ciężkości F

ła jących na poszczególne jego e lementy, za tem w równaniu (13.12) podst

F

g

t zamias t F

g

i ot rzymujemy

M

X

Ś C X ^ 8 '

•

Przypomnijmy sobie te raz , że moment s i ły związany z s i łą F

g

przyłoż

c ia ła w jeg o środku c iężkośc i jes t równy wyp adko wem u mom entow i s i ły

dzącemu od s i ł F

g

i dz ia ła jących na wszystkie e lementy c ia ła ( tak właśn

f iniowaliśmy środek c iężkośc i) . Wobec tego moment s i ły M z równania

jes t równy M

w y p

z równania (13.11) . Przyrównując do s iebie prawe s t ro

równań, dos ta jemy

x

ś c X ^g '

=

lii

x

'

F g i

'

Podstawiając

migi

zamias t F

g

, - , ot rzymujemy

x

ś c J 2

m i 8 i =

Y l

X i T n i 8 i

-

A teraz rzecz na jważnie jsza : jeś l i przyspieszenie g, jes t jednakowe w mi

za jmowanych przez poszczególne e lementy c ia ła , to g, w tym równaniu

się i mamy

HcYl

mi =

^2

x

>

m

>-

S u m a ] T m- mas wszystkich e lementów jes t ca łkowitą masą c ia ła M . Ró

(13.14) możemy więc zapisać w postac i

X;OT;.

M

/

—

1



x§

M

środka masy ciała (patrz

* Ś C = * Ś M - (13.16)

: Wyob raź sob ie ,

że

chcesz nadziać jabłko

na

cienki pręt, lecz

nie

ci się trafić prętem w środek ciężkości jabłka . Jakie położenie końcow e zajmie środek

tak by

j ab łko mogło się swobodnie

K i l k a p r z y k ł a d ó w r ó w n o w a g i s t a t y c z n e j

tym paragrafie rozważymy kilka przykładów dotyczących równowagi statycz

W każdym z nich wybierzemy układ zawierający jedno lub więcej

dla którego wykorzystamy warunki równowagi (tzn. wzory (13.7), (13.8)

We wszystkich przypadkach siły będą działać w płaszczyźnie xy, a za

z nimi momenty sił będą równoległe do osi z. Wobec tego, ko

z równania (13.9), czyli warunku równowagi momentów sił, będziemy

sił

względem

os i

równoległej

do osi z.

Choć równanie (13.9)

dla dowolnej takiej osi, to — jak się przekonasz — właściwy wybór

13.1

na rysunk u 13.5a, jedno rodn a belka o długości L

m = 1,8 kg

znajduje

się w

spoczynku,

a oba jej

końce

na

wagach.

Na

be lce l eży n ie ruchomo jednorodny

o masie M = 2,7 kg , tak że jego środek jes t o dległy

o L/4. Jakie są wskazania obu wag?

do rozwiązania każdego zada

się

rozważać ,

i

sporządzenie

dla

tego u kładu dia

sił zawierającego wszy stkie siły działające na ten układ.

ten

będz ie się składał z be lk i i klocka.

sił

działających

na ten

układ przeds tawiono

na

rysunku

wy

— patrz sztuka rozwiązywan ia zadań : porada 1 na końcu

Na belkę działają z e s t rony wag s i ły norm alne:

Ą na

lewy ko

i F

p

na je j prawy k oniec. Szukan e przez nas wskazania

ag są równe warto ściom bez względ nym tych s ił .

Na

belkę działa

g

,

b

, która jes t do niej przyło żona

w

środku masy

i jes t równa mg. Podobnie na klocek działa s i ła c iężkości

g

,k przyłożona w środku masy klocka i r ów na Mg.

Dla

uprosz

na n im jako kropkę znaj

dującą się w obrębie belki , a koniec wektora F

g i k

prze

do tej kropki . Moż na tak zrobić , ponieważ pionowe przes

wektora F

g > k

wzdłuż kierunku działania tej siły nie zmieni

zanego

z nią

mo men tu s i ły względem dowolnej

os i

pros t

do płaszczyzny rysunku.

Rozwiązanie zadania opiera się na s twierdzeniu, ż

skoro układ znajduje

się w

s tanie równowagi s tatycznej ,

nione są dla n iego warunki równowagi sił, tzn. równani

i (13.8), oraz równowagi momentów sił, tzn. równan ie (13

nieważ działające

na

układ s i ły

nie

mają składow ych wzd

x, więc równanie (13.7)

(F

vr?x

= 0) nie zawiera w sob

nych informacji. Z równania dla składowych y (równanie

F

w y p o

, = 0)

o t rzymujemy

w

naszym przypadku:

F

]

+ F

p

-Mg-mg = 0.

Równanie

to

zawie ra dwie n iewiadom e:

F\

i

F

p

,

będz

nam również pot rzebny warunek równowagi momentów s

równan ie (13.9). Mo żem y je zapisać

dladowolnej

os i obrotu

padłej do p łaszczyzny rysunku 13.5 . Wybie rzmy oś przech

przez lewy koniec belki . Musimy oczywiście pamiętać o r

wyznaczania znaków momentów

sił:

jeś l i mom ent s i ły po

obrót ciała, znajdującego się początkowo w spoczynku,

runku zgodnym z ruchem wskazówek zegara , to mom ent

ujemny,

a

jeś l i powoduje obrót

w

k ie runku przec iwnym

d

wskazówek zegara, to jes t dodatni . Wartości bezwzględne m

tów zapiszemy

w

postaci r^F.

W

naszym przypadku ram



układ ciał -

= i ( 2 , 7 kg ) ( 9 , 8 m / s

2

) + i ( l , 8 k g ) ( 9 , 8 m / s

= 15,4 4 N ss 15 N .

(od

Iklocck

BELKA

y

i i ?

a)

A F,,

klocek -

belka

: M g

B )

Rozwiązując następnie równanie (13.17) względem

F\

wiając do niego powyższy wynik, dostajemy

Fi = (M + m)g - F

p

= (2,7 kg + 1,8 kg) (9,8 m /s

2

) - 15,44 N

= 28,66 N

R S

29 N.

(od

P rzykład 13.1. a) Belk a o masie m podtrzymuje klocek

M. b) Diagram sił działa jących na układ belka + klocek

mg oraz L

Warunek równowagi momentów s i l (M

w y p z

= 0 ) jest

( 0 ) (F , ) - ( L / 4 ) ( M g) - ( L /2 ) ( m g ) + ( L ) ( F

P

) = 0,

F? = \Mg + \mg

Uwaga na temat metody rozwiązania: Zapisując

równowagi si ł , otrzymaliśmy równanie z dwiema niewi

Warunek równowagi momentów s ił względem dowolnej

nam również równanie z dwiema niewiadomymi. Aby uł

bie pracę, wybraliśmy jednak oś obrotu tak, by przechodz

punkt przyłożenia jednej z nieznanych sił , w tym przy

dzięki czemu siła ta nie wystąpiła w równaniu dla ró

momentów sił . Taki wybór osi obrotu umożliwił nam o

równan ia z jedną niewiadomą, z którego ła two było w

wartość nieznanej siły F

p

. Podstawiając otrzymany wyn

runku równowagi si ł , obliczyliśmy następnie wartość dr

znanej siły.

^ S P R A W D Z I A N 3 : Na rysu nku przedstawiono w

z góry jednorodny pręt znajdujący się w równowadze s

nej, a) Czy możesz wyznaczyć wartości nieznanych si

Fi z warunku równow agi si ł? b) Gdzie powiniene ś umie

obrotu, aby otrzymać równanie , w którym jedyną niewi

jest wartość siły F

2

? c) Okazuje się, ż(

równa 65 N. I le wynosi wartość si ły F\

20 N

13.6a, drabina o długości L = 12 m

m = 45 kg opiera się o gładką ścianę (między ścianą

h = 9,3 m nad podłożem, o które opiera

= 72 kg znajduje się w pewnej chwili na takiej wysokości, że

środek masy jest odległy od dolnego końca drabiny o L /2 . I le

R O Z W I Ą Z A N I E :

Przede wszystkim decydujemy, że rozważany układ cia ł

składał ze strażaka oraz drabiny, i sporządzamy diagram

łających na ten układ, przedstawiony na rysunku. 13.6b

diagramie strażaka przedstawiliśmy za pomocą kropki

nie,

zakładając, że jeg o środek m asy znajduje się blisko

a działającą na niego siłę ciężkości zapisaliśmy jako M

Jedyną siłą działającą na drabinę ze strony ściany

zioma siła Fi (gdyż między drabiną a ścianą nie dzia

Siła działająca na drabinę ze strony podłoża F

p

ma skła

ziomą F

p j

, którą jest siła tarcia statycznego, oraz skła

nową F

P i

), , którą jest siła normalna.



brak tarcia

1 3 . 6 .

Przykład 13.2. a) Strażak wspinający się po drabi

O w y

p

(na rysunku pokazano składowe tej s i ły F

px

i F

py

)

Korzystamy ze spostrzeżenia, że O T skoro układ znajduje

my najpierw z równania (13.9) ( M

w y p z

= 0) . Aby wybrać oś ob

F§ i F

p

, działające na dwa końce

p

, to musimy umieścić oś obrotu (prostopadłą

O. Punkt ten wybieramy również jako początek układu

x,y. Mom enty s i ł wzg lędem punktu O m o żem y

(M = r±F).

Aby wyznaczyć ramię s i ły F& , rysujemy prostą, na której

r±

jest to odległość punktu

O

od tej prostej . Jak widać z rysunku 13.6b, odmierzamy ją

osi y i otrzymujemy h. Podobnie postępujemy z s i łami M

rysujemy proste, wzdłuż których one działają, i spostrzeg

ich ramiona musimy mierzyć wzdłuż osi

x.

Korzystając

wadzonej na rysunku 13.6a odległości a, s twierdzamy, że

tych si ł wynoszą odpowiednio a/2 (s trażak jest w połow i

kości drabiny) i a/3 (środek masy drabiny znajduje s ię w

trzeciej jej długości , l icząc od dolnego końca) . Ramiona

i F

P i J

są równe zeru.

Warunek równowagi momentów si ł M

w y P i i :

= 0, zap

pomocą wyrażeń typu r±F, przybiera zatem postać

+ (a/2)(Mg) + ( a / 3 ) ( m g ) + ( 0 ) ( F

p

, J + ( 0 ) ( F

(przy czym skorzystal iśmy ze znanej już nam reguły, mów

mom enty s i ł są dodatnie, jeśl i powodują obroty w kierunk

ciwnym do ruchu wskazówek zegara, a ujemne — jeśl i po

obroty w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara

Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy, że

a = JL

2

- h

2

= 7,58 m.

Wobec tego z równania (13.18) dostajemy

ga(M/2 + m/3)

Fi =

h

( 9 ,8 m / s

2

) ( 7 ,5 8 m ) ( 7 2 / 2 k g + 4 5 / 3 k g )

~~ 9,3 m

= 407 N 410 N. (odp

\

Następnie skorzystamy z warunku równowagi s i ł . Ró

^wyp,* = 0 daje

Fi-F

p

,

x

=0,

skąd wynika, że

F

p t X

= Fi = 410 N. (odp

Równanie

F

w y p i y

= 0 ma w naszym przypadku postać

F

P

,

y

-Mg-mg = 0,

skąd dostajemy ostatecznie

F

p

, , = (M + m)g = (72 kg + 45 kg) (9 ,8 m /s

2

)

= 1146,6 N « 1100 N . (odp

M = 430 kg

a = 1,9 mi b =

ścianą.

Jednorodna be lka ma m asę

m

równą

Ile wynosi napręż enie l iny 7j? Innymi s łowy, ile wynosi war tość

jaką l ina działa na belkę?


Rozw ażanym układe m ciał jest tu sama belka; diagram si ł

jących na belkę przedstawiono na rysunku 13.7b. Ze s tro

działa na belkę siła 7J. Siła ciężkości działa na belkę w jej

masy (czyli w jej środku geometrycznym ) i jest równa

mg

dową pionową si ły , jaką działa na belkę zawias, oznaczon

F

p i o n

, a składową poziom ą tej s i ły — przez F

p o z

. Ze strony p

mującego szafę pancerną sznura działa na belkę s i ła T

sz

. Po

belka, sznur i szafa pozostają w spoczynku, war tość s i ły



lina

Przykład 13.3.

na

wysięgniku złożo

m z poziomej liny stalowej i

s i ł

na belkę

T

sz

= Mg. Początek O układu współrzęd

x, y umieszczono w punkcie, w którym znajduje się zawias.

Zauważmy, że

O — r

skoro układ znajduje się

w

równowadze

to spełnione są warunki równow agi s ił i momentów si ł.

z

równania (13.9) (M wy

Pj Z

=

0). Zwróćmy

sił

F

p o z

i

F

p

i

0

n działających

na

belkę

ze

strony

w punkcie O. Wobec t ego © ~ " r oś

sił,

warto

równaniu nie występowały s i ły F

p o z

p i o n

,

czyl i wybrać oś prostopadłą do płaszczyzny rysunku w punk

e O. Ra miona s i ł Fpo

Z

i F

p

i

0 n

względem punktu O są równ e ze ru.

Tj, r

sz

i mg,

zaznaczono

na

za pomocą l inii przerywanych. Ram iona tych sił

O

wynoszą odpowiednio

a, b i b/2.

Zapisując momenty

sil w

postaci

r±F i

korzystając

ze

zna

sił

M

w y P i Z

= 0 w

postaci

(a) (7 i ) -

(b)(T

sz

)

- (\b)(mg) = 0.

Mg zamiast T

sz

i

rozwiązując otrzymane równanie

gb(M

+ \m)

Fpoz -

r, = 0,

Ti

=

( 9 , 8 m/ s

2

) ( 2 , 5 m) ( 4 3 0 k g + 85 /2 kg)

i

6100 N.

1,9

m

skąd otrzymujemy

Fpoz = Ti= 6093 N.

Równanie dla składowych pionowych F

w y p )

, = 0 ma po

Fpion - mg- T

s z

= 0.

Podstawiając

Mg

zamiast

T

s z

i

rozwiązując otrzymane

względem

F

p i o n

,

dostajemy

F

p i o n

= (m + M)g = (85 kg + 4 3 0 k g ) ( 9 , 8 m / s

2

) =

Wartość s i ły wypadkowej obl iczamy

z

twierdzenia Pi ta

V

poz

1

pion

= 6093

N

(odpowiedź)

F siły wypadkowej działającej na belkę ze

F

p o z

i F

p i o n

, by na tej podsta

F.

Zauważmy, że O *" * ponieważ znamy już wartość

, więc możem y teraz skorzystać z warunku równowagi sił działa

F

w y p x

= 0

w naszym przypadku postać

= 7(6093 N)

2

+ (5047 N)

2

f» 7

(od

Zauważ,

że

otrzymana wartość

F

jes t wyraźnie większa

od sumy ciężarów szafy pancernej

i

belki , wynoszące

ja k

i od

naprę żenia poziom ej liny, równego 610 0

N.

•SPRAWDZIAN

4

Na rysunk u przeds tawion o pozo

w spoczynku pręt

AC o

masie

5 kg,

utrzymyw any

w

zanym położeniu za pom ocą sznura oraz dzięk i tarciu

pującemu między prętem

a ścianą.

Pręt jes t jednorod

długość równą 1 m, a kąt 9 = 30° . a) W którym z p

zaznaczonych

na

rysunku powinieneś um ieścić

oś

obro

otrzymać równanie umożl iwiające wyznaczenie

z

nieg

tości siły

T,

jaką sznur działa

na

pręt? Załóż,

że

mo

si ł wyznaczamy względem osi wybranej

w

punkcie (a),

stając

z

reguły mówiącej ,

że

moment siły jest dodatn

powoduje obrót

w

kierunku przeciwnym

do

ruchu wsk

zegara. Jaki jest znak h) momentu

siły

M

g

związanego

z

siłą ciężko

ści działającą na pręt oraz c) m o

mentu s i ły

M

s z

związanego

z

silą

działającą na pręt ze strony sznura?

d)

Czy

wartość

M

s z

jest większa,

mniejsza, czy taka sama jak war

tość M„?



m = 55 kg chce na chwilę

1 E

Jej środek masy znajduje się w odległości

0,2 m od ściany, o którą opiera się ona ramionami. Współ

j = 1,1, a międ zy ścianą a jej ramio nam i — \ii = 0,7. Aby

siłą, co odpowiada sytuacji , w której jej stopy

iona są na granicy ze ślizgnięcia się wz dłuż ściany.

d r a ń

N

h

F

g

= mgi'

1 3 . 8 . Przykład 13.4. Siły działające na alpinistkę odpoczy

N oraz sił tarcia statycznego _/j i f

2

jest przedstawio ny na rysun ku 13.8.

N, przy

i f

2

są skierowa ne piono wo w górę. Siła ciężkości F

g

= mg

Skorzystamy z faktu, że

O R R

skoro układ jest w stanie rów

F

w y p t X

= 0 wynika , że dwie

N tych sił , będącą jednocześnie wartością siły,

Z warunku równowagi F

w y p >

, = 0 otrzymujemy

Chcemy, aby zarówno stopy, jak i ramiona alpinistki były na skr

ześlizgnięcia się wzdłuż ściany, co oznacza, że działające w t

miejscach siły tarcia statycznego powinny mieć swe wartości m

symalne . Jak wyn ika z równania (6.1) ( /

s

,

ma

x = faN), te warto

maksymalne wynoszą

/ i = M i W oraz f

2

= n

2

N. (13.

Podstawiając te wartości do równania (13.21) i rozwiązując

względem N, ot rzymujemy

N =

mg

(55 kg) (9 ,8 m / s

2

)

fil+/i2 1,1+0,7

= 299 N R S 300 N . (odpowie

Alpinistka musi zatem odpychać się od ścian siłą o wartości r

nej co najmniej około 300 N.

b) I le powinna wynosić odległość w pionie między stopami i

mionami a lpinistki h, aby jej położenie było stabilne? Przyjm

że działa ona na ściany siłą obliczoną w punkcie (a).


Przyjmijmy, że O T poło żenie alpinistki jest stabilne, jeśli sp

niony jest dla nie j także warunek równowagi momentów

( M

w y p z

= 0). Oz nacz a to, że w wy niku działających na nią

nie powsta je wypadkowy moment si ł względem

dowolnej

osi

rotu. Warto też wykorzystać fakt, że O T mamy swobodę wyb

osi obrotu, co może nam umożl iwić uproszczenie obl iczeń. M

menty si ły wyrazimy w postac i r j_F, w które j r± jest ramien

si ły F. Wybierzmy oś obrotu prostopadłą do płaszczyzny rysun

w punkcie zetknięcia się ramion alpinistki ze ścianą (patrz ry

nek 13.8). Ramiona sił działających w tym punkcie (N i /

2

)

za tem równe zeru. Ramiona si ły tarc ia f

u

si ły normalnej N dz

łającej na stopy alpinistki oraz działającej na nią siły ciężko

JF

g

= mg wynoszą odpowiednio w, h oraz d.

Wykorzystując regułę dotyczącą znaku momentu siły, w

żącą go z kierunkiem obrotu ciała, jaki powoduje ten mom

si ły, możemy w naszym przypadku zapisać warunek M

w y P i Z

=

jako

- ( « » ) ( / i ) + (h)(N) + (d)(mg) + ( 0 ) ( /

2

) + (0)(AT) = 0 (13 .

(zauważ, że przez właśc iwy wybór osi obrotu wyel iminowal iś

z obliczeń f

2

) . Rozwiązując równanie (13.23) względem h, a

stępnie podstawiając do ot rzymanego wyrażenia f\ = fi

t

N w

tość N = 299 N oraz wartości l iczbowe pozostałych wielko

danych, otrzymujemy

fiw — mgd niNw — mgd

N

= ( U ) ( 1 m )

N

mgd

(55 kg) (9 ,8 m/ s

2

) ( 0 , 2 m )

299 N

f\ + fi-mg = 0. (13.21) = 0,739 m 0,74 m. (odpowie

13.4. Ki lka przykładów równowagi statycznej



Taką samą wartość

h

otrzymalibyśmy, zapisując warunek równo

wagi momentów s i ł względem każdej innej os i obrotu prostopa

dłej do płaszczyzny rysunku, na przykład względem osi przecho

dzącej przez punkt s tyczności s tóp alpinis tki ze

ścianą.

Jeś l i wartość

h

będzie większa

lub

mniejsza niż 0,74 m, to

alpinis tka będzie musiała działać na ściany s i łami większymi niż

299 N , aby jej położen ie było s tabi lne. Wid ać z tego, że znajomość

fizyki może s ię przydać także podczas wspinaczki skalnej wzdłuż

komina. Gdy w trakcie takiej wspinaczki musisz odpocząć

znajomości f izyki możesz uniknąć błędu początkujących

czy, którzy umieszczają swe s topy zbyt wysoko lub zb

w s tosunku do ramion, co w końcowym rachunku może

wet fatalne w skutkach. W iesz już teraz, że is tnieje pew na

sza" odległość w pionie między s topami a ramionami, prz

możesz działać na ściany s tosunkowo najmniejszą siłą

możliwie dobrze wypocząć przed dalszą wspinaczką.

S z t u k a r o z w i ą z y w a n i a z a d a ń

Porada

1 : Zadania dotyczące równow agi statycznej

Oto spis czynności , które powinieneś kolejno wykonać,

rozwią

zując zada nia związ ane z równ owa gą statyczną.

1.

Sporządź

szkic

sytuacj i , której dotyczy zadanie.

2.

Wybie rz

układ

ciał, którego równowagę będziesz anal izo

wał . Na swoim rysunku otocz ten układ l inią zamkniętą , abyś

nie zapomnia ł, co j e s t badanym układem . Czasem m oże n im

być jedno ciało — to, które ma s ię znajdować w równowa

dze (na przykład alpinis tka z przykładu 13.4). W pewnych

przypadkach m ożesz włączać do badanego układu t akże inne

ciała . Warto tak postępować, gdy prowadzi to do uproszcze

nia obl iczeń. Wyobraź sobie na przykład, że w przykładzie

13.2 zdecydowałeś s ię uważać za badany układ samą dra

binę. Musiałbyś wtedy uwzględnić na rysunku 13.6b s i ły,

jakimi działają na drabinę stopy i ręce strażaka, a sił tych

nie znasz, co komplikuje anal izę zagadnienia . W wybranym

przez nas układzie , zawierającym oprócz drabiny także s t ra

żaka (rys. 13.6), siły, jakimi strażak działa na drabinę, są

s i lami wewnętrznymi, których znajomość nie jes t potrzebna

do zbadania równowagi układu i rozwiązania przykładu 13.2.

3. Narysuj

diagram sił

działających na badany układ. Umieść na

nim wszystkie s i ły działające na układ, oznacz je i upewnij

się,

czy dobrze zaznaczyłeś punkty przyłożenia i kierunki

działania tych sił .

. Narysuj osie układu współrzędnych x iy. Wy bierz je tak, aby

przynajmniej jedna z os i była równoległa do jednej lub ki lku

nieznanych s i ł . Rozłóż na składowe s i ły, które nie

noległe do os i układu współrzędnych. We wszystkic

trzonych w tym paragrafie przykładach rozsądny by

osi x jako os i poziomej , a os i y jako os i pionowej .

5.

Wy pisz dwa równa nia s tanowiące

warunek równow

Używaj symboli , a nie podstawiaj wartości l iczbowy

6. Wy bierz jedną lub więcej os i obrotu, pros topadłych d

czyzny rysunku, i zapisz

warunek równow agi momen

względem tych os i . Jeś l i wybierzesz oś obrotu zgodn

runkiem działania jednej z nieznanych s i ł , to otrzym

nania pros tsze niż w przypadku ogólnym, gdyż nie b

zawierać tej wyróżnionej siły.

7. Rozwiąż otrzymane równania algebraicznie. Niektó

denc i czują się pewn iej, jeśli już w tej fazie rozw

zadania podstawiają do równań l iczby i jedno stki , zw

gdy przekształcenia algebraiczne są dość złożone. Os

dziej doświadczone w rozwiązywaniu zadań wolą jed

dejście algebraiczne, gdyż lepiej uwidacznia ono za

otrzymywanego rozwiązania od różnych zmiennych.

8. Na koniec

podstaw wartości liczbowe danych

— wra

jednostkami — do otrzymanych wyrażeń algebra

i wyznacz wartości l iczbowe wielkości szukanych.

9. Przyjrzyj s ię otrzymanej odpowiedzi . Czy jes t ona ro

Czy nie jes t przypadkiem wyraźnie zbyt duża lub zby

Czy ma prawidłowy znak? Czy jednostki są popraw

1 3 . 5 . U k ł a d y n i e o z n a c z o n e

Rozwiązując zadania w tym rozdzia le , korzystamy z t rzech nieza leżnych r

k tórymi są zwykle dw a warunki równowagi s i ł i j eden warunek równowa

mentów s i ł względem wybranej os i obrotu. Gdyby zadanie zawiera ło wię

trzy niewiadome, nie moglibyśmy go rozwiązać .

A o takie zagadnienia wcale nie jes t t rudno. Wyobraźmy sobie , że w p

dzie 13.2, w którym zakładal iśmy brak ta rc ia między drabiną a

ścianą,

za

tego nie będziemy mogli z robić . Pojawi s ię za tem jeszcze jedna s i ła — s i ła

dz ia ła jąca pionowo w punkcie oparc ia drabiny o śc ianę — i w sumie będ



Jako inny przykład rozważmy samochód, k tóry j e s t n ie równomie rn ie obcią

Niemnie j jednak takie zagadnienia nieoznaczone mają rozwiązania w świec ie

is tym. Jeś l i us tawisz samochó d tak, że każd e z jeg o kół będzie w spar te na

Rzecz w tym, że ca ły czas zakłada l iśmy — choć może nie podkreś la l iśmy

Każdy z nas ze tknął s ię z kiwającym s ię s tol ikiem w res taurac j i — zwykle

ten prob lem, podkładając pod jedną z jeg o nóg z łożoną kar tk ę

Aby móc ana l i zować tak ie uk łady n ieoznaczone , mus imy — oprócz wa run

teorii sprężystości,

i .SM

Rys.

1 3 . 9 .

Stół o czterech no

jes t przykładem układu nieoznaczo

Siły działające na poszczególne

mają różne wartości , których nie m

wyznaczyć, korzystając wyłącznie z

runków równowagi s tatycznej

5 :

Jedno

o pod sufi tem

F\ i F

2

- Na rysunkach

1

a)

10

N

1

c)

10

N

1

b)

3 L

1

d )

10

N

L i

10

N



1 3 . 6 . Sprężystość

Rys. 13 .10 .

Atomy metalicznego ciała

stałego

są

regularnie ułożone

w trójwy

miarowej

sieci.

Sprężynki symbolizują

siły działające między atomami

Rys.

1 3 . 1 1

. a)

Walec poddany napręże

niu

rozciągającemu wydłuża

się o AL.

b)

Walec poddany naprężeniu ścinają

cemu odkształca

s ię o Ax,

podobnie

d o

zginanej talii kart

lu b książki, c)

Ciało

stale

w

kształcie kuli jest poddane

na

prężeniu objętościowemu

ze

strony

c ie

czy,

przy czym zmniejsza

sw ą

objętość

o AV .

Wielkość wszystkich tych

od

kształceń jest

na

rysunku znacznie

prze

sadzona

Gdy duża liczba atomów znajduje się bardzo blisko siebie, tworząc me

cia ło s ta łe , na przykład że lazny gwóźdź , a tomy za jmują położenia rów

w trójwymiarowej sieci, tzn. regularnym układzie powtarza jących s ię

w których każdy a tom ma dobrze okreś loną odległość od swych na jbl iższ

siadów. Atomy znajdują się blisko siebie dzięki występującym między nim

międ zyatom owy m. Dzia łają one tak, jak gdyby a tomy połączone były

sprężynkami, jak na rysunku 13.10. Sieć jes t niezwykle sz tywna, co o

że te „międzyatomowe sprężynki" są bardzo mocne . Właśnie dla tego od

wrażenie , że różne spotykane na co dz ień przedmioty, jak meta lowe d

s toły czy łyżki są doskonale sz tywne. Oczywiśc ie znamy też przedmiot

jak węże ogrodowe czy gumowe rękawiczki , które bynajmnie j nie wydają

sz tywne. Atomy, z których z łożone są te przedmioty,

nie tworzą

bowiem

nej sieci, jak na rysunku 13.10, lecz układają się w długie, elastyczne ł

cząsteczek, a każdy z tych łańcuchów jest dość luźno związany z sąsied

Wszystkie rzeczywis te c ia ła „sz tywne" są w jakimś s topniu spręż

oznacza, że można nieznacznie zmienić ich rozmiary, rozciągając je , ś

lub skręca jąc . Pewne pojęc ie o wie lkośc i tych z jawisk możesz uzyskać , r

jąc taki przykład. Wyobraź sobie , że masz s ta lowy prę t o długośc i 1 m i ś

1 cm. Jeś l i zawies isz na końcu tego prę ta niewie lki samochód, to prę t

c iągnie , a le tylko o około 0,5 mm, czyl i 0,05% swej długośc i . Co więc

powróci do swej pierwotne j długośc i , gdy samochód usuniesz .

Gdy jednak zawies isz na tym pręc ie dwa samochody, zos tanie on o

cony t rwale , to znaczy nie przyjmie swej pierwotne j długośc i po usunięc iu

żenia. Jeśli zaś zawiesisz na nim trzy samochody, to pręt się przerwie. Tu

zerwaniem prę t będzie rozc iągnię ty, lecz tylko o nieca łe 0,2%. Odksz ta łc

możesz uznać za niezbyt wie lkie , lecz jes t ono bardzo ważne w zas toso

technicznych (zgodzisz s ię , że jes t ważne , by skrzydło samolotu nie oderw

od kadłuba pod obciążeniem).

Na rysunk u 13.11 przedstawiono t rzy sposoby, w j akie c ia ło s tałe moż

niać swoje rozm iary pod w pły we m dzia ła jących na nie s i ł . Na rysunku 13

lec jes t rozc iągany. Na rysun ku 13.1 lb walec jes t odksz ta łcany s i łą pros top

jego os i , podobnie jak możemy zginać ta l ię kar t lub ks iążkę . Na rysunku

a)

L + AL L

F

b )

/ 1 \

c)



i je s t śc i skane równo

W spólną cechą tych przypadkó w jest to , że w zględn e

ie c ia ła zależy od war tości s i ły odkształcającej c ia ło , jak a przypad a

n a p r ę ż e n i e m

( termin

jes t odnos ić tę si łę do pola powie rzchn i, na jaką on a działa) . Rysune k 13.11

naprężenie rozciągające, b ) naprężenie ścinające i

naprężenie objętościowe (hydrostatyczne) .

W t rzech przypadkach przedstawionych na rysunku 13.11 naprężenia i od

tać , lecz w każd ym z nich naprężenie i odkształcen ie są

proporcjonalne — przynajmniej w zakresie ich przydatności w technice.

modu łem sprężyst ośc i ,

naprężenie = (moduł sprężystości ) • (odkształcen ie) . (13.24)

W trakcie rutynowych badań wytrzymałości mater ia łów na rozciąganie do

jak na rysun ku 13.12) przyk łada się naprężenie rozciągające,

13.13.

W znacznym zakres i e p r zy łożonego naprę

granicy sprężystości

mater ia łu , próbka ulega odkształceniu t rwa

naprężen ia

przypad ku, gdy cia ło jest rozciągane lub ściskane, naprężen ie

F/S, gdzie F jest wartością si ły przyłożonej do ciała w

m ie j

AL/L, czyli

Moduł sprężystości związany z odkształceniem przy rozciąganiu lub ściska

m o d u ł e m Y o u n g a i oznacza zwykle symbolem E. Równan ie

Rys. 13.12. Walec testowy, używan

wyznaczania za leżności odkszta łc

od naprężenia , które j przykład pr

stawiono na rysunku 13.13. Mierzy

zmianę długości AL pewnego odc

o długości początkowej L

naprężenie

niszczące

granica

sprężystości

pęknięci

próbki

zakres odkształceń

trwałych

zakres sprężystości

(proporcjonalności)

F

~S

AL

(13.25)

0 odkształcen ie (AL/L)

Rys. 13.13. Zależność odkszta łcenia

naprężenia dla próbki ze stali o ksz

cie jak na rysunku 13.12. Próbka u

odkszta łceniu t rwałemu po przekro

niu przez naprężenie granicy spręży

śc i mater ia łu. Próbka pęka po osiąg

ciu przez naprężenie wartośc i odpow

dającej naprężeniu niszczącemu dla

danego mater ia łu

13.6 .

Sprężystość



Rys.

1 3 . 1 4 .

Tensometr o wymiarach

zewnętrznych 9,8 x 4,6 mm. Czujnik

przykleja s ię do przedmiotu, którego

odkształcenie ma być badane, dzięki

czemu odkształca s ię on tak samo jak

badany przedmiot . W wyniku odkształ

cenia zmienia s ię opór elektryczny

czuj

nika, co umożl iwia pomiar odkształceń

nawet do 3%

Odksz ta ł cen ie p róbk i AL/L mierzy s i ę częs to ba rdzo wygodn ie

tens

(rys. 13.14). Jest to prosty i użyteczny czujnik, który przykleja się wp

badanego p rzedmio tu ; dz i a ł a on w t en sposób , że pod wpływem odksz t

zmien ia s ię j edna z j ego właśc iwośc i e l e k t r yc zn yc h

Moduł Younga ma zwykle dla danego mater ia łu prawie taką samą

przy rozciąganiu i śc iskaniu, naprężenie niszczące może natomiast być z

różne dla tych dwóch rodzajów naprężenia . Na przykład beton jest bar

porny na ściskanie , a bardzo kruchy przy rozciąganiu, w związku z czym

nigdy nie używa się go w warunkach, gdy może być narażony na rozc

Wartości modułu Younga i innych cech sprężystych ki lku mater ia łów przy

w technice podano w tabel i 13.1 .

Niektóre cechy sprężyste wybranych materiałów przydatnych w techn

Gęstość p

[kg/cm

3

]

Moduł Naprężenie

Gran

Materiał

Gęstość p

[kg/cm

3

]

Younga

E [ 1 0

9

N / m

2

]

niszczące

[1 0

6

N / m

2

]

spręży

[1 0

6

N

Sta l

a

7860 200

400 25

Aluminium 2710 70 110 9

Szkło 2190

65

5 0

b

—

B e t on

0

2320

30 4 0

b

—

D r e w n o

d

525

13

50" —

Kość

1900

9" 1 7 0

b

—

Polistyren 1050

3 48

—

a

Stal konstrukcyjna (ASTM -A36).

b

Przy ściskaniu.

c

O dużej wytrzymałości .

d

Da

Naprężenie ścinające

W przypadku odksz ta ł cen ia poprzecznego (mówi s i ę wtedy o śc inan iu ) n

nie mierzy się także za pomocą si ły na jednostkę pola powierzchni , a le s i ł

teraz nie prostopadle do te j powierzchni , lecz równolegle do

niej .

Odksz

wyraża bezwymiarowy paramet r Ax/L , p r zy czym występu jące w n im

ści zdef iniowane są na rysunku 13.1 lb . Odpow iedni mo duł sprężystośc

w technice oznacza się zwykle l i terą G, nazywa się modułem śc inania .

nie (13.24) dla ścinania zapisuje się w postaci

Naprężenia ścinające są odpowiedzialne za skrzywienia wałów obrac

się w warunkach dużego obciążenia oraz za z łamania kości przy ich wyg

Naprężenie objętościowe

Na rysunku 13. l ic naprężeniem jest c iśnienie c ieczy na c ia ło , k tóre —

dowiesz w rozdziale 15 — jest równe si le działa jącej na jednostkowe p

wierzchni . Miarą odkształcenia jest w tym przypadku stosunek AV/V,

jest p ierwotną objętością próbki , a AV — war tością bezwzględną zmian

tości . Odpowiedni moduł sprężystości , oznaczany l i terą K, nazywa s i ę m



czyli modułem ściśliwości materiału. Mówi się, że

ściskaniu w całej objętości, a zat em ciśnienie

naprężeniem objętościowym. Równanie (13.24) przybiera w tej

P = K ~ - (13.27)

Moduł ściśliwości wynosi 2,2 • 10

9

N/ m

2

dla wody, a 16 • 1 0

1 0

N/ m

2

dla

m, panuje ciśnienie 4,0 • 10

7

N/ m

2

. Związana z tym ciśnieniem względna

AV/V wynosi 1,8%. Objętość ciała ze stali zmienia się

ciśnieniem jedynie o około 0 ,025%. Ciała stałe — o sztywnej sieci

13.5

ze stali konstrukcyjnej ma promień R równy 9,5 mm oraz

L równą 81 cm. Pręt jest rozciągany wzdłuż swej osi

F o wartości 62 kN. Ile wynosi naprę

i

odkształcenie?

że —ja k wynika z drugiego zdania

— O —mo że my przyjąć, iż jeden koniec pręta

za pomocą imadła. Siła jest zatem przy

do drugiego końca pręta, równolegle do jego osi, a więc

do jego podstawy. Mamy wobec tego sytuację jak na

13.1

la.

Ponadto O T możemy założyć, że siła działa równomiernie

ma pole powierzchni

S

=

nR

2

.

F F

naprężenie -

6,2- 10

4

N

S tiR

2

( J T ) (9 ,5

• 10 -

3

m)

2

: 2 , 2 - 1 0

8

N/ m

2

. (odpowiedź)

Ponieważ granica sprężystości wynosi dla stali konstrukcy

2,5 • 10

8

N/ m

2

, naprężenie naszego pręta jest ju ż niebezpi

nie bliskie tej granicy.

Zauważmy następnie, że

O T

wydłużenie pręta zależy

naprężenia, długości początkowej oraz rodzaju materiału. Ro

materiału jest charakteryzowany przez wartość modułu Young

(którą możemy znaleźć w tabeli 13.1). Biorąc z tej tabeli war

E

dla

stali, otrzymujemy

na

podstawie równania (13.25)

AZ,

=

(F/S)L (2,2

•

10

8

N/ m

2

)(0 ,81

m)

E 2,0

•

1 0

u

N/ m

2

= 8,9-IO"

4

m = 0,89 mm.

(odpowie

I wreszcie przypomnijmy sobie, że O T odkształcenie

zdefiniowane jako stosunek zmiany długości

do

długości pierw

nej. Wobec tego jes t ono równe

AL

j , 9

•

10" m

0,81 m

1,1 • 10 "

J

= 0 , 1 1 % . (odpowie

13.6

1 m, a czwarta jest od nich dłuższa

= 0,5 mm, tak że stół się nieznacznie kiwa. Gdy na tym stole

o masie M = 290 kg (znacznie

od masy stołu), wszystkie nogi uległy ściśnięciu i stół

5 = 1 cm

2

. Moduł Younga E dla

1,3 • 1 0

1 0

N/ m

2

. Przyjmij, że blat stołu pozostał

nie

wygięły się,

i

wyznacz wartości sił, jakie

ze strony podłogi na poszczególne nogi.

się ze stołu i walca stalowego.

do przedstawionej na rysunku 13.9,

z tą różnicą, że na stole znajduje się tym razem stalowy wa

Zauważmy, że O - " * skoro blat stołu pozostał poziomy, to n

musiały zostać odkształcone tak, że każda z krótszych nóg ule

jednakowemu skróceniu (które oznaczymy przez AL3), a za

działają na nie siły o jednakowej wartości F$, natomiast n

dłuższa musiała ulec większemu skróceniu

AL

4

, a

więc działa

nią siła o większej wartości Fą. Inaczej mówiąc, jeśl i stół pozo

poziomy, to zachodzi związek

ALą

= AL3 + d. (13

Zauważmy następnie, że

O T

z równania (13.25) wyn

związek między zmianą długości a powodującą ją siłą AL

FL/SE,

przy czym L jest pierwotną długością nogi. Zwią

ten możemy wykorzystać w równaniu (13.28) dla ALą i

13.6. Sprężystość



+ d.

(13.29)

tym, że wszystkie nogi miały początkowo jed

akową

w

przybliżeniu długość L . Otrzymujemy zatem

Fą L

=

F

3

L

SE SE

ównanie

to nie

wystarcza jeszcze

do

rozwiązania zadania, gdyż

ystępują

w nim

dwie n iewiadome:

F

4

i F 3 .

Drugie równanie zawierające Fą i

F 3

o t r zymamy z warunku

ównowagi

sił

działających wzdłuż pionowej

osi y ( F

w y p > )

, = 0).

a

ono

postać

3 F

3

+ F

4

- Mg = 0,

(13.30)

rzy czym

Mg

jes t

to

warto ść siły cięż kości działającej

na

nasz

układ ciał (w równaniu tym uwzględnil iśmy też fakt, że na trzy

ogi działa jednakowa si ła

F

3

) . Aby

rozwiązać układ równań

(13.29)

i

(13.30) względem

—

powiedzmy

— F

3

,

zapiszemy

ajpierw równanie (13.30) jako

Fą = Mg

— 3F

3

. Podstawiając

o wyrażenie

do

równania (13.29) , otrzymujemy

po

niew ielkich

rzekształceniach:

Mg

dSE

_ ( 2 9 0 k g ) ( 9 , 8

m/ s

2

)

(5 •

10 ~

4

m ) ( 1 0 -

4

m

2

) ( l , 3 •

10

1 0

N/ m

2

)

(4)(1

m)

= 548 N 550 N.

(odpowiedź)

Z równania (13.30) mamy następnie

F V = Mg - 3F

3

= (290 kg) (9 ,8

m/ s

2

) -

3(548

N) ^

1200

N.

(odp

Możesz łatwo obliczyć,

że

teraz trzy krótsze nogi

są

o

0,42 mm, a

noga dłuższa

— o 0,92 mm.

•SPRAWDZIAN 6 : Na

rysunku przedstawiono poz

klocek zawieszony

na

dwóch l inkach

A i B.

Linki

te

ma

raz jednakową długość, lecz przed zawieszeniem

na

nich k

miały długość

różną.

Środek masy klocka znajduje się

linki

B niż A. a)

Rozważ m omenty

sił

względem środka

klocka

i

odpowiedz,

czy

war tość mo mentu s i ły , jaka dzia

klocek ze strony linki

A,

jest

większa, mniejsza,

czy

taka

sama ja k war tość mom entu

siły, jak a dz iała

na

klocek

ze -

strony linki B. b) Która z l i

nek działa

na

klocek więk

szą siłą?

c)

Która

z

linek

była krótsza przed zaw iesze

niem

na

nich klocka ?

i .

• S M -

"ST-

Si

Gdy

ciało sztyw ne pozo staje

w

spo

czynku, mówimy,

że

jest

ono w

stanie

równowagi statycznej.

Gdy ciało znajduje się w tym s tanie, suma wektorowa wszystkich

działających

na

nie

sił

zewnętrznych jest równa zeru, tzn.

F

W

yp = 0 (równowaga sił) . (13.3)

eśli wszystkie

te

siły działają

w

płaszczyźnie

xy, to

powyższe

ównanie wektorowe jest równoważne dwóm równaniom

dla

skła

dowych:

F

w y p x

= 0

oraz

F

w y p o

, = 0

( równowaga

sił).

(13 .7 , 13.8)

W równowadze statycznej równa zeru jest także suma wektorowa

działających na ciało zewnętrznych momentów sił wzg lędem do

wolnego punktu, tzn.

M

w y p

= 0 ( równowaga mom entów si ł) . (13.5)

Jeśli siły działają w płaszczyźnie xy, to wektory w szystkich mo

mentów

sił są

równoległe

do osi z, tak że

równanie (13.5) jest

równoważne jednemu równaniu

dla

składowych:

M

w y p z

= 0

( równowaga mom entów si ł) . (13.9)

Środek ciężkości

Siła ciężkości działa

z

osobna

na

ka

ment ciała. Na ciało jako całość dz iała s i ła ciężkości F

g

wypadkową

sił

działających

na

poszczególne elementy.

przyłożona

do

ciała

w

punkcie, który nazywa

się środki

kości ciała. Jeśli przyspieszenie grawitacyjne

£

j es t tak

dl a wszystkich elementów ciała,

to

środek ciężkości pok

ze środkiem masy ciała.

Moduły sprężystości

W łaściw ości sprężyste ciał, czyl

i wielkość ich odkształcenia pod wpływ em działających

sił, opisuje

się za

pomocą trzech

modułów sprężystości

współczynnikami proporcjonalności między przyłożonym

naprężeniem (określonym jako si ła działająca na jednostko

powierzchni)

a

odkształceniem ciała (określonym jako w

zmiana jego rozmiarów), zgodnie

z

ogólnym równaniem

naprężenie

=

(moduł sprężystości)

•

(odkształcenie) .

Rozciąganie i ściskanie

Gdy ciało jest rozciągane

lub

ś

równanie (13.24) zapisuje się w postaci



AL/L jest odk ształcen iem ciała przy rozciąganiu lub ści

F — wartością siły F powodującej to odkształcenie, S

F (prosto

, jak na rysunku 13.1 la) , a E nazywa się

m o d u ł e m

m ater ia łu, z którego w ykonane jest c ia ło. Naprężenie jest

F/S.

Gdy c ia ło jest podda ne naprężeniu śc ina

(13.26)

Ax/L jest odk ształcen iem ciała przy ścinaniu, Ax — prze

F

(jak na rysunku

13.1

l b ) , a G nazywa się modułem śc inania

ter ia łu, z którego w ykonane jest c ia ło. Naprężenie jest równe

Naprężenie objętościowe Gdy c ia ło podlega ściskaniu w c

objętości

pod wpływem naprężenia działającego na nie ze st

otaczającej je cieczy, równanie (13.24) zapisuje się w postaci

AV

P = K ~ , (13

gdz ie p jest ciśnieniem (naprężeniem objętościowym)

dzia

cym na ciało ze strony cieczy, AV/V (odkszta łcenie) — wa

ścią bezwzględną względnej zmiany obję tośc i c ia ła pod wpływ

tego ciśnienia, a K nazywa się

m odułem śc iś l iwośc i

materiał

którego wykonane jest c ia ło.

Pytania

Na rysunku 13.15 pokazano widziany z góry jednorodn y ki j , na

O, obl iczyl iśmy momenty si ł względem

osi i stwierdziliśmy, że wypa dkow y mo me nt sił jest rów ny

A, b) punkt B, c) punkt C też jest równy zeru?

jest różny od zera. Czy »C

- t

O

$ B

Rys. 13.15.

Pytanie 1

Na rysunku 13.16 przedstawiono sz tywną belkę przymocow aną

małą,

lecz ciężką szafkę pancerną, kolejno

A, od siły powodującej największe ściśnięcie słupka do

ze stron y szafki na "™*

B. Rys. 1 3 . 1 6 . Pytanie 2

a rysunku 13.17 pokazano cz tery w idziane z góry jednorod ne

F,

lu b 3F , które są przyłożone na obrzeżu krążka , w jego środku

1 2

N -

3 4 5 6

» T T

J L _

2F 2F

F F

I >

c)

«J)

Rys. 13.17. Pytanie 3

4 .

Na rysunku 13.18 przed

stawiono dwa widziane z gó

ry e lementy konst rukcyjne .

Na każdy z nich działają trzy

si ły o kierunkach wskaza

nych na rysunku. Dla którego

z tych elementów można tak

dobrać wartości sił (różne od

zera),

aby znajdował się on

w równowadze sta tycznej?

T

™ 0 Ą

I

a) b)

Rys. 13.18.

Pytanie 4

5 .

Na rysunku 13.19 przedstawiono zawieszoną u suf i tu rucho

rzeźbę (tzw. mobil), złożoną z czterech metalowych pingwin

połączonych listewkami i l inkami. Wszystkie l istewki są poziom

mają znikomo małą m asę , a l inki są do nich przymocowan e w j

nej czwartej ich długości, l icząc od lewego końca. Pingwin 1

masę m\ = 48 kg. I le wynoszą masy pozosta łych pingwinów?


Pytania



6. Drabina opiera się o ścianę, po której jej koniec mógłby się

śl izgać bez tarcia. Drabina nie porusza s ię jednak, gdyż na jej

drugi koniec działa siła tarcia ze strony podłogi. Wyobraź sobie, że

przysunąłeś ten dolny koniec drabiny bliżej ściany. Czy wartości:

a) siły normalnej działającej na drabinę ze strony podłogi, b) siły

działającej na drabinę ze strony ściany, c) siły tarcia statycznego

działającej na drabinę ze strony podłogi, d) maksymalnej siły

tarcia statycznego /

s m a x

, wzrosły przy tym, zmalały, czy pozostały

bez zmiany?

7 .

Trzy drewniane koniki zawieszone są w bezruchu na ki lku

krążkach i l inkach, jak pokazano na rysunku 13.20. Jedna długa

linka biegnie od sufitu po prawej strome rysunku do dolnego

krążka po lewej stronie, a kilka krótszych linek łączy krążki z sufi

tem oraz koniki z krążkami.

Na rysunku podano ciężary

dwóch koników (w niuto-

nach) .

a) I le wynosi cię

żar t rzeciego konika? Wska

zówka: Gdy linka styka się

z krążkiem wzdłuż połowy

jego obwodu, działająca na

krążek si ła wypadkowa jest

dwa razy większa od naprę

żenia linki, b) Ile wynosi na

prężenie krótkiej linki ozna

czonej literą Tl

Rys.

1 3 . 2 0 .

Pytanie 7

8 .

a) Przypomnij sobie sprawdzian 4. a) Czy w wyrażeniu

wiążą

cym ze sobą M

s z

i T występuje sin 6 , czy cos#? Wyobraź sobie,

że zmniejszamy kąt 6 ( tzn. skracamy sznur , utrzymuj

pręt w położeniu poziomym), b) Czy moment s i ły M

s z >

n

do zachowania równowagi układu, rośnie przy tym, ma

pozostaje bez zmiany? c) A czy wartość siły T rośnie

maleje, czy pozostaje bez zmiany?

9 .

W tabeli podano pola

trzech powierzchni oraz war

tość siły działającej równo

miernie na te powierzchnie

prostopadle do nich. Usze

reguj te powierzchnie zgod

nie z ich naprężeniem, od

największego do najmniej

szego.

Pole

powierzchnia A

powierzchnia B

powierzchnia C

0,5 S

2 S

3 S

1 0 . Cztery walcowe pręty są rozciągane jak na rysunk

W tabeli podano war tości działających na nie s i ł , pola po

podstaw, wydłużenia oraz początkowe długości prętów. U

te pręty w zależności od ich modułów Younga, od najw

do najmniejszego.

Pręt

1

2

3

4

Siła

F

2F

F

2F

Pole

powierzchni

S

2S

2S

S

Wydłużen ie

A L

2 A L

2 A L

A L

Dł

pocz

a d a n i a

Rozwiązanie jest dostępne na s tronic intcrneto\u- | pod

ręcznika: ht tp: / /www.wiley.com/college/hrw

Rozwiązanie jest dostępne w postaci interaktywnej,

wykorzystującej oprogramowanie Interact ive Learning


1 3 . 4 K il k a p r z y k ł a d ó w

r ó w n o w a g i s t a t y c z n e j

1. Jak pokazano na rysunku 13.21, rodzina pewnego f izyka s ie

dzi na huśtawce, przy czym huśtaw ka znajduje s ię w równowadze.

Ciężary poszczególnych członków rodziny (w niutonach) zazna

czono na rysunku. Od której z osób (podaj jej numer) pochodzi

największy mom ent s i ły względ em osi obrotu przechodzącej przez

ostrze O, na którym wsparta jest ta huśtawka, skierowany a) przed

kar tkę, b) za kar tkę?

220 330 440 560

i i l i

560 440 330 220

l l l l

4 3 2 1

Rys.

1 3 . 2 1 .

Zadanie 1

4

2 .

Krzywa Wieża w Pizie ma wysokość 55 m i średn

Szczyt wieży jest odchylony od pionu o 4,5 m. Załóż,

można traktować jako jednorodny walec, a) O i le należał

cze odchylić od pionu wierzchołek wieży, by doprowadz

upadku? b) Jaki kąt tworzyłaby oś wieży z pionem w p

w którym wieża zaczęłaby się przewracać?





. Na cząstkę działają dwie siły równe w niutonach

F\ =

lOi —4j

F

2

= 17i + 2j. a) Wyznacz siłę

F%,

która je równoważy,

F 3 względem osi .v?

Cięciwa łuku jest naciągnięta w połowie swej długości tak, że

. Linę o znikomo małej masie rozpięto poziomo między dwoma

Pozioma platforma o masie 60 kg i długości 5 m jest zawieszona

mie w odległości 1,5 m od jednego z jej końców. Ile wynosi

Jak pokazano na rysun

m i promieniu r jest

L. Załóż,

że między

napręże

M

Rys. 13.22. Zadanie 7

Samochód o masie 1360 kg ma osie kół przednich i tylnych

łe od siebie o 3,05 m. Środek ciężkości pojazdu znajduje

odległości 1,78 m od osi przedniej. Samochód stoi na po

4,5 m -

Skoczek do wody, które

13.23). Trampolina jest

erunek siły działającej na

. Na rysunku 13.24 pokazano, jak pewien kierowca stara się

mochód z błota, w którym ugrzązł na poboczu

a, a drugi przymocował do słupa telegraficznego odległego

|*1,5 m«|

Rys. 13 .23 . Zadanie 9

od samochodu o 18 m. Gdy następnie ciągnie on linę w środ

jej długości, działając na nią siłą 550 N, przy czym środek l

odchyla się od swego położenia początkowego o 0,30 m, sam

chód ledwie rusza z miejsca. Ile wynosi wartość siły, którą l

działa na samochód? Zwróć uwagę, że lina nieco się rozciąga

Rys. 1

3

. 2 4 . Zadanie 10

1 1 . Metrowy pręt mierniczy jest poziomy i znajduje się w r

nowadze, gdy jest podparty na ostrzu znajdującym się przy kre

oznaczającej 50 cm. Gdy w punkcie oznaczającym 12 cm po

żono na pręcie dwie monety o masie 5 g każda, do zachowa

równowagi pręta trzeba było przesunąć ostrze do kreski oznac

jącej 45,5 cm. Ile wynosi masa tego pręta?

1 2 .

Jednorodna skrzynia o ciężarze 500 N oraz kształcie s

ścianu o krawędzi 0,75 m spoczywa na podłodze tak, że jedna

krawędź jest oparta o niewielką sztywną fałdę podłoża. Na jak

co najmniej wysokości nad podłogą trzeba działać poziomo na

skrzynię siłą o wartości 350 N, aby ją przewrócić?

13. Przy myciu okien robotnik o masie 75 kg korzysta z drab

0 masie 10 kg i długości 5 m. Ustawia on dolny koniec drab

w odległości 2,5 m od ściany, opiera górny koniec o popęka

szybę okienną i zaczyna się wspinać po drabinie. Po przeby

przez niego 3 m wzdłuż drabiny, szyba okienna rozpada się

kawałki. Pomiń tarcie między drabiną a szybą oraz załóż, że d

bina nie ślizga się po podłożu, i oblicz: a) wartość siły, jaką dzi

drabina na szybę tuż przez rozpadnięciem się szyby, b) wart

1 kierunek siły, jaką działa podłoże na drabinę tuż przez rozp

nięciem się szyby.

14. Na rysunku 13.25

przedstawiono budowę ana

tomiczną podudzia i stopy.

Gdy stajesz „na palusz

kach", tak że pięta unie

siona jest nad podłogę, stopa

efektywnie styka się z pod

łogą w jednym punkcie

oznaczonym na rysunku li

terą P. Oblicz siły działa

jące wówczas na stopę ze

strony a) mięśnia brzucha

tego łydki (przyłożoną do

stopy w punkcie

A),

b) ko

ści podudzia (przyłożoną do

stopy w punkcie B), wyra

żając je w jednostkach cię

żaru człowieka. Przyjmij, że

o = 5 cm, a b = 15 cm.

mięsień brzuch

łydki

kości podudz

U-

Rys. 13 .25 . Zadanie 14

Z a d a n i a



L

Rys. 13.26.

Zadanie 15

5 . Jak pokazano na ry

O

łączy się

B

B i c) liny C. (Wska

Aby uniknąć roz

i , wybierz układ współ

6 . Układ z rysunku 13.27

T\ , b) T2

/3 oraz d) kąt 0.

7 . Jak pokazano na ry

F utrzy

T gór

(Wskazówka: Gdy

Hw

8 . Do podniesienia klocka

13.29. Ra

ę ze strony a) mięś nia

trój-

i b) kości ramieniowej? Przedram ię i dłoń mają m asę 2 kg,

jaką m ięsień trójgłowy d ziała w górę na przedramię, jest przy

Rys. 13.27.

Zadanie 16


m i ę s i e ń -v

trójgłmw-**

ramieniow a

Rys. 13.29.

Zadanie 18

1 9 . Na element konstrukcyjny pokazany w rzucie z gó

sunku 13.30 działają trzy siły: F\, FI i

F 3 .

Chcemy

ten element w równowadze, przykładając do niego w p

czwartą si łę o składowych F

X

\F

Y

. W i em y , ż e a = 2 m , i

c = 1 m, F

X

= 20 N, F

2

= 10 N, a F

3

= 5 N. Wyznac

b) /•',. oraz c) d. j>v

o

a

I

Rys. 13.30.

Zadanie 19

2 0 . Na rysunku 13.31

przedstawiono jednorod ną ta

blicę o masie 50 kg umo

cowaną na poziomym pręcie ,

który ma długość 3 m i zni

komo małą masę. Tablica ma

kształt kwadratu o boku 2 m.

Koniec pręta jest połączony

liną z hakiem w ścianie od

ległym o 4 m od zawiasu,

który łączy ze ścianą drugi

kon iec pręta, a) Ile wynos i na

prężenie liny? Jakie są war

tości i kierunki składowych:

b) poziom ej i c) pion owe j, siły

działającej na pręt ze strony

ściany?

Rys.

1 3 . 3 1 . Zadanie



.

Na rysunku 13.32przed-

F.

co najmniej musi wy

hl

Rys. 13.32.

Zadanie 21

T

Pionowa szczelina skalna jes t tak wąska, że wspinacz nie mieści

n ie j .

Aby się wspiąć, przyjmuje on zatem pozycję pokazaną

13.33, odpychając się stopami od jednej ściany szcze

w =

0,2 m,

pinacza wynosi 55 kg, a jego środek masy znajduje się

d

= 0,4 m od brzegu szczeliny. Współczynnik tarcia

\i\

= 0,4,

fi

2

= 1 »2. a) Jaką co najmniej siłą

łać wspinacz na każdą ze ścian szczeliny („przyciąga

jedną i „odpychając" drugą), aby nie ześlizgnąć się wzdłuż

między jego dłoniami

ania się wspinacza

iejsca, w k tórym

i /j.2 są mniejsze od po

Na rysunku 13.34 po

ano jednorodną belkę

• SM

Jillllllll**ł

SsIPllls

^lillll

Si

Rys. 13.33.

Zadanie 22

Rys. 13.34.

Zadanie 23

mmmmmm.

Zadanie 24

2 4 .

Cztery jednakowe, jednorodne cegły o długości

L

ustawio

jedną na drugiej na skraju stołu tak, że część każdej z nich w

staje poza cegłę, na której jest położona (rys. 13.35). Wyzna

w jednostkach

L

maksymalne długości odcinków: a)

a\,

b)

c) a

3

, d) a

4

i e) /i, dla których stos cegieł się nie przewraca.

2 5 .

Układ przedstawiony

na rysunku 13.36 znajduje

się w równowadze. Blok

betonowy o masie 225 kg

jest podtrzymywany za po

mocą jednorodnej podpory

o masie 45 kg. Wyznacz:

a) naprężenie liny

T

oraz

b) poziomą i c) pionową

składową siły, jaką zawias

działa na podporę, ilw

-

zawias

Rys. 13.36.

Zadanie 25

2 6 .

Drzwi o masie 27 kg mają wysokość 2,1 m i szerokość 0

m. Są one zawieszone na dwóch zawiasach umieszczonych w od

głości 0,30 m od górnej i dolnej ich krawędzi. Przyjmij, że każd

zawias podtrzymuje połowę masy drzwi oraz że środek ciężk

ści drzwi znajduje się w ich środku geometrycznym, i wyznac

a) poziomą i b) pionową składową siły, jaką działa na drzwi każ

2 7 . Niejednorodny pręt jest zawieszony na dwóch linach o z

komo małej masie jak na rysunku 13.37. Pręt znajduje

w równowadze, gdy jest po

ziomy. Kąty tworzone wów

czas z poziomem przez liny

wynoszą 9 = 36,9° i <p =

53,1°. Długość pręta

L

jest

równa 6,1 m. Wyznacz od

ległość

x

środka masy pręta

od jego lewego końca.

Rys. 13.37.

Zadanie 27

2 8 .

Jak pokazano na ry

sunku 13.38, cienka belka

pozioma AB o długości L

i znikomo małej masie jest

przymocowana do ściany za

pomocą zawiasu na końcu

A, a jej koniec B jest pod

trzymywany na cienkiej li

nie

BC

tworzącej z po

ziomem kąt

6.

Przedmiot

o ciężarze W można umie

ścić w dowolnym miejscu

na belce i określić jego po- ^

1 3 3 8

"

Z a d a n i a

2 8 1 3 0

łożenie, podając odległość

x

środka masy przedmiotu od ścian

Potraktuj

x

jako zmienną niezależną i wyznacz jako funkcję

a) naprężenie liny oraz b) poziomą i c) pionową składową sił

jaką działa zawias na belkę w punkcie

A.

Z a d a n i a

2



2 9 .

Na rysunku 13.39 przedstawiono jednorodną deskę o długości

L równej 6,10 m i ciężarze 445 N wspartą na podłodze oraz na

olce umieszczonej w gór

nym skraju ścianki o wyso

ości h = 3,05 m. Między

eską a rolką nie wystę

9

9 < 70°. Wy

Rys. 13.39.

Zadanie 29

13.41. Wyznacz składowe x i y sił działających: a) na b

strony jej zawiasu, b) na belkę A ze strony nitu, c) na b

strony jej zawiasu, d) na belkę B ze strony nitu.

3 3 . Sześcienne pudło wypełnione piaskiem ma cięża

Chcemy przewrócić to pudło, tak by jego podstawą stała

ze ścian początkowo pionowych, przykładając do niego

siłę na jednej z górnych krawędzi, a) Ile co najmniej musi

wartość tej siły? b) Ile co najmniej musi wynosić wsp

tarcia statycznego między pudłem a podłogą? c) Czy mo

przewrócenie tego pudła mniejszą siłą? Jeśli tak , to jaka

mniejsza wartość siły — przykładanej wprost do pudła —

liwiająca jego przewrócenie? (Wskazówka: Zastanów

jest przyłożona siła normalna, gdy pudło zaczyna się u

0 .

Załóż, że jednorodna belka z rysunku 13.38 ma długość L

3 m, a jej ciężar wynosi 200 N. Przyjmij też, że stojący na

dmiot ma ciężar W = 300 N, a kąt 9 = 30°. Maksymalne

x od ściany możesz ustawić przedmiot , jeśli

A, gdy

CE o długości 2,44 m każda, po-

1 . Drabina malarska przedstawiona na rysunku 13.40 składa

AC

C i linką

D o długości 0,762 m,

jących na drabinę ze

A i c) E. (Wskazówka:


2 . Dwie jednorodne belki

i B przymocowane są

r

1,8 m

-2,4 m-

. A ' '

54 kg

-nit

"68 kg

*—L—

-h

3 4 . Cztery jednakowe, jednorodne cegły o długości

wiono na skraju stołu na dwa sposoby, przedstawion

sunku 13.42 (por. z zadaniem 24). Chcemy, by stos cegi

wał jak najdalej poza kra

wędź stołu, tzn. aby h było

w każdej z tych konfiguracji

jak największe. Wyznacz .. . ,

długości odcinków a\, aą,

b\ i ź>2 odpowiadające naj

większej wartości h oraz te

a

)

największe wartości h dla , ^

obu układów cegieł (w ru

bryce „The Amateur Scien-

tist" w Scientific American,

czerwiec 1985, s. 133-134, ^ _

omówione są jeszcze lepsze

konfiguracje układu cegieł

z rysunku 13.42b).

Rys.

1 3 . 4 2 .

Zadanie 3

b)

Rys.

1 3 . 4 1

. Zadanie 32

3 5 . Skrzynia w kształcie sześcianu o krawędzi 1,2 m

pewne urządzenie mechaniczne. Środek masy skrzy ni

wartości jest położony o 0,30 m nad środkiem geome

sześcianu. Skrzynia stoi na pochylni tworzącej z pozio

9. Wyobraź sobie, że kąt ten jest początkowo równy ze

tem stopniowo go zwiększamy. Wcześniej czy później os

przy tym taką jego wartość, że skrzynia albo zacznie s

giwać wzdłuż pochylni, albo przewróci się na sąsiedni

a) Które z tych zdarzeń nastąpi, jeśli współczynnik tarcia

nego między skrzynią a pochylnią wynosi 0,6? b) A

równy 0,7? W każdym z przypadków wyznacz wartość

której skrzynia zaczyna się poruszać. (Wskazówka: Zasta

gdzie jest przyłożona siła normalna, gdy skrzynia zac

unosić) . • «-

13.6 Sprężystość

3 6 .

Na rysunku 13.43 przedstawiono zależność odkształ

naprężenia dla kwarcytu. Wyznacz a) moduł Younga i b)

żoną wartość granicy sprężystości dla tego materiału.



300

250

200

150

100

50

0,

1

j . /

i

*

i

0 0,001 0,002 0,003 0,004

odkształcenie


Poziomy pręt aluminiowy o średnicy 4,8 cm wystaje ze ściany

1200 kg. Moduł śc inania wynosi dla a luminium 3,0 •

0

N /m

2

. Pomiń masę pręta i wyznacz: a) naprężenie ścinające

ące na pręt oraz b) odkształcen ie pionow e końca pręta, i Iw

Na rysunku 13.44 przedstawiono cegłę ołowianą leżącą po

A i B. Pola powierzchni podstaw walców

S

A

= 2S

B

, a mod uły Younga

E

A

= 2E g . Przed położeniem na

i d

A

i d

B

i

i i i

d

A

(dla

A) i d

B

(dla walca

c) Ile wyn osi stosunek

B

l

S M

cegły

A B


Na rysunku 13.45 przedstawiono jednorodny pień o masie

A i B, z któ-

każda ma promień 1,2 mm. Przed zawieszeniem na nich

A miała długość

i by ł a o 2 mm kró t

B. Pień wisi po

A i b) liny

c) Ile wynosi stosunek

B

l w *

lina A l i n a S

Rys. 13.45.

Zadanie 39

Na głębokości 60 m pod powierzchnią z iemi ma być zbudo

płaskim sklepieniu oraz długości 150 m, w ysoko

2

. Gęstość

3

, a) Ile wynosi całkowita masa gruntu,

który muszą podtrzymać kolumny? b) I lu kolumn t rzeba uż

jeśli wymaga się, aby naprężenie ściskające każdą kolumnę

przekroczyło połowy je j naprężenia mszczącego?

U 150 m J

60 m

Z a d a n i a d o d a t k o w e

4 1 . Wyobraź sobie , że musisz przesunąć c iężki pień drze

w puszczy zwrotnikowej , a nie masz żadnych narzędzi . Oto co p

winieneś zrobić. Znajdź młode drzewo znajdujące się mniej wię

w kierunku, w którym masz przesunąć pień. Wyszukaj l ianę zw

sającą ze szczytu drzewa aż do powierzchni ziemi. Przyciągnij

l ianę do pnia i owiń ją wokół jakiejś odnogi na pniu. Następ

naciągnij mocno lianę, tak by drzewo się zgięło i wzmocnij w

zeł na odnodze. Powtórz tę operację dla kilku dalszych drze

a w końcu si ła wypadkowa wywierana na pień przez ki lka l

ruszy go z miejsca . Jest to metoda dość żmudna, lecz umoż

wiała ona pracownikom leśnym przemieszczanie c iężkich pni

długo przed powstaniem nowoczesnych urządzeń mechaniczny

Na rysunku 13.47 przedstawiono schemat działania tej meto

Pokazano jedną l ianę przywiązaną do gałęz i na jednym z ko

ców jednorodnego pnia o masie M. Współczynnik tarc ia s

tycznego między pniem a gruntem wynosi 0 ,8. Wyznacz: a) k

9 oraz b) wartość T siły,

jaką działa l iana na pień,

gdy pień zaczyna się śli

zgać, tzn. gdy jego lewy ko

niec jest nieznacznie unie

siony przez lianę.

liana

9,

Y

^ p i e n

- . - ,—

Rys. 13.47.

Zadanie 41

4 2 . Wyobraź sobie , że powierzono c i zadanie usypania duże

kopca z piasku na placu zabaw znajdującym się wewnątrz b

dynku. Musisz za tem zadbać o to , aby naprężenie podłogi p

górą piasku nie przekroczyło dopuszczalnej wartości. Studiu

literaturę przedmiotu, stwierdziłeś ze zdziwieniem, że napręże

podłoża jest na jwiększe nie pod szczytem kopca , lecz w pun

tach odległych o r

m

od tego punk tu środkowego (rys. 13.48

Podejrzewa się , że to przesunięc ie obszaru maksymalnego

cisku na podłoże od środka kopca na zewnątrz jest związa

z tworzeniem łuków przez z iarna piasku w kopcu. Na rysun

Zadania



13.48b przedstawiono zależność naprężenia

a

od odległości

r

od

punktu położonego wprost pod szczytem kopca dla kopca o wy

s o ko ś ci H = 3 m i k ąc ie 0 = 33° , usypanego z piasku o gęstości

p = 1800 kg / m

3

; na tym rysunku <x

0

= 40 000 N /m

2

, a

m

= 40 024

N / m

2

, a r

m

= 1,82 m.

a) Oblicz objętość piasku zawartego w części kopca o r ^

r

m

/ 2 . {Wskazówka: Objętość tej bryły jest równa sum ie objętości

pionowego walca i s tożka nad tym walcem; objętość s tożka wy

nosi

7 t

J?

2

/ i / 3 ,

gdzie R jest promieniem podstawy stożka, a h jego

wysokością) , b) I le wynosi ciężar piasku zawartego w tej objęto

ści? c) Na podstawie wykresu z rysunku 13.48b napisz wyrażenie

na działające na podłogę naprężenie a jako funkcję r dla r ^ r

m

.

d) I le wynosi pole powierzchni dS cienkiego pierścienia podłogi

o promieniu

r

i środku pod szczytem kopca oraz szerokości ra

dialnej dr? e) I le wynosi war tość dF siły działającej na ten pier

ścień ze strony piasku? f) Ile wynosi wartość F s i ły wypadkowej

działającej na podłogę ze

strony całego piasku zawar

tego w bryle o r ^ r

m

/ 2 .

(Wskazówka: Scałkuj wyra

żenie otrzymane w punkcie

(e) od r = 0 do r = r

m

/ 2 ) .

Zauważ, że wynik jest za

skakujący: war tość F siły

działającej na podłogę jest

mniejsza od ciężaru W pia

sku znajdującego się nad tą

częścią podłogi , który obli

czyłeś w punkcie (b) . g) I le

wynosi war tość względna

różnicy F i W, tzn. wiel

kość (F — W)/W?

Rys. 13.48. Zadanie



Grawi tac ja

w tym nasze Słońce z Układem Słonecznym. Wszystkie te obiekty związane są ze so

t a k j e s t ,

w j a k i s p o s ó b



1 4 . 1

. S i ł a g r a w i t a c y j n a w e W s z e c h ś w i e c i e

Rozdzia ł ten o twiera zd jęc ie naszej Galaktyki — Drogi Mlecznej . My

jem y s ię w pobl iżu skra ju dysku, k tórego kszta ł t m a Galak tyka, ok oło 26

świetlnych (2,5 • 10

2 0

m) od je j ś rodka, k tóry leży w gwiazdozbiorze S

Nasza Galaktyka należy do Lokalnej Grupy Galaktyk , k tóra zawiera także

M gław icę w A ndrom edzie ( rys . 14 .1) , od ległą od nas o 2 ,3 • 10

6

lat św

oraz k i lka b l iższych nas galak tyk , jak widoczny na p ierwszym zdjęciu

Ob łok Mage l l ana .

Lokalna Grupa Galaktyk jes t częścią większego zbiorowiska gala

Supergromady Lokalnej . Pomiary wykonane w czas ie os ta tn ich dwudzies

la t wskazują na to , że Supergromada Lokalna , a także supergromada

z gromad w Hydrze i w Centaurze , poruszają s ię w k ierunku n iezwykle

obszaru Wszechświata , zwanego Wielk im Atraktorem. Wydaje s ię , że ten

znajduje s ię w odległości około 300 milionów lat świetlnych od nas, po

s t ronie Galaktyki , za gromadami w Hydrze i w Centaurze .

S i ła , k tóra wiąże ze sobą te coraz większe s t ruktury mater i i — od

przez galak tyki po ich supergromady — i k tóra być może przyciąga je w

do W ielk iego Atraktora , to s i ła grawitac j i (c iężkości) . Jak widzisz , ta s i ła n

przyciąga c ię do Ziemi , lecz także s ięga daleko w przes t rzeń międzygalak

Rys. 1 4 . 1 .

Wie lka Mgławica w Andr o

medzie . Jes t to galaktyka odległa od

nas o 2,3 • 10

6

lat świetlnych, bardzo

podobna do naszej Galaktyki — Drogi

Mlecznej .

Jes t ona ledwie widoczna go

łym ok iem

1 4 . 2 . P r a w o p o w s z e c h n e g o c i ą ż e n i a

Fizykom sprawia wielką przyjemność , gdy dos ta tecznie szczegółowe bada

wisk na pozór ca łkowicie ze sobą n ie związanych

wykażą,

że is tn ie je jedn

dzy n imi pewien związek . Tego rodzaju poszukiwania unif ikacj i różnych

mają t radycję wręcz wielowiekową. W roku 1665 23- le tn i Izaac Newton

wielk iego odkrycia w f izyce , wykazując , że s i ła u t rzymująca Ks iężyc na

to ta sama s i ła , k tóra sprawia , że jab łko spada z drzewa na z iemię . D

to d la nas tak oczywis te , że t rudno nam pojąć , iż w s tarożytności uważ

ruch ciał na Ziemi i ruch ciał na niebie są zupełnie różnego rodzaju i rz

innymi p r awami .

New ton s tw ierdzi ł , że n ie ty lko Ziemia przyciąga jab łko i Ks iężyc, lec

cia ło we Wszechświecie przyciąga każde inne . Tę sk łonność c ia ł do zb l iż

do s ieb ie nazwał c iążen iem (graw i tac ją ) . W nios ek New tona n ie j e s t t ak

oczywis ty na p ierwszy rzu t oka , gdyż dobrze wszys tk im znane przyciągan

Ziemię c ia ł z naszego o toczenia jes t tak s i lne , że u t rudnia nam dos trzeż

te inne c ia ła też s ię wzajemnie przyciągają . Na przykład Ziemia przyciąg

siłą o wartości około 0,8 N; ty też przyciągasz jabłko (a ono przyciąga

lecz ta s i ła przyciągania ma war tość mniejszą od c iężaru z iarnka kurzu .

Przyciąganie c ia ł op isu je i lośc iowo prawo wprowadzone przez New

z y w a n e p raw em p ow s zech n ego c iążen ia , k tóre mów i, że każd a cząs tka p

każdą inną cząstkę s i łą c iężkości (s i łą grawitacyjną) o war tości

,m,\mi

(prawo powszechnego c iążenia) .

(

28 14 . Grawitac ja



m\ i mi to masy cząstek, r — ich odległość, a G

— s t a ła

której przyjęta dziś war tość wynosi

G = 6 , 6 7 • K T

1 1

N • m

2

/ k g

2

= 6 , 6 7 - 1 C T

11

m

3

/ ( k g - s

2

) .

(14.2)

o na rysunku 14.2 , cząstka ni2 przyciąga cząstkę m \ si łą grawitacyjną

rm , a cząstka ni \ przyciąga cząstkę mi si łą grawitacyjną

skierowaną do cząstki m\. Siły F i — F s tanowią parę akcja-reakcja ,

zwią

ja k i w głęb i kosm osu. C o więc ej, si ły te nie zmieniają się, gdy w pob liżu

To,

ja k du ża jest si ła ciężko ści, tzn. ja k silnie przyciągają się cząstki o d anej

dyby ta war tość s ta ła s ię nagle — w jakiś cudow ny spo sób — dziesięcio

Prawo powszechnego ciążenia Newtona obowiązuje ściśle dla cząstek, lecz

e być także stosowane do cia ł rzeczywistych, o i le ty lko ich rozm iary są m ałe

Newton rozwiązał to zagadnienie jabłka i Z iemi , wprowadzając ważne twier

Rys.

1 4 . 2 .

Dw ie cząstki o m asach

i m

2

, odległe od siebie o r, przyciąg

się wzajemnie zgodnie z prawem

wszechnego c iążenia (równanie (14.1

Si ły F i — F, jakimi każda z nich dz

na

drugą,

mają taką samą wartość b

względną i przeciwny kierunek

Ciało w kształcie jedn orod nej pow łoki kulistej przyciąga cząstkę znajdującą się na

łoki tak, jak gdyb y cała masa powłoki była sku pion a w jej środk u.

Ziem ię możn a sobie wyobrazić jak o wiele takich powłok znajdujących się

istotnie

jak cząstka, k tóra znajduje s ię w środku Ziem i i ma m asę Z iemi .

Przyjmijmy, że Ziemia przyciąga jabłko siłą 0,8 N skierowaną w dół na ry

14.3 . Jabłko m usi zatem także przyciągać Zie mię si łą o war tości 0 ,8 N,

działają, są bardzo od siebie różne. Gdy pozwo

2

, czyl i z dobrze nam już znanym przy

ziemsk im, z jak im sp ada na Ziemię cia ło znajdujące się w pob l iżu

Rys. 14.3. Jabłko przyciąga Ziemię s

o te j samej wartośc i i przeciwnym k

runku co siła, jaką Ziemia przycią

jabłko



je j powierzchni . Przyspieszenie Ziemi, mierzone w układzie odnies ien

zanym ze ś rodk iem masy u k ładu j ab łko -Z iem ia , wyn ies ie na tomias t z

oko ło 1 • 1 0 "

2 5

m / s

2

.

^SPRAWDZIAN

1

: Wyobraź sobie , że pewną cząstkę umieszczam y ko lejno

wnątrz czterech ciał, z których każde ma m a sę m: 1) dużej jednorod nej kuli , 2

jednorodnej powłoki kuliste j ,

3)

małej jednorodne j k uli oraz

4)

ma łe j jednorodn

włoki kuliste j . W każdym z tych przypadków odległość cząstki od środka cia ła je

sama i w ynos i d. Uszereguj te c ia ła w zależności od warto ści siły grawitac yjne

wywierają one

na

cząstkę,

od

największej

do

najmniejszej.

1 4 . 3 .

G r a w i t a c j a

a

z as a da s up e rpo z y c j i

G d y m a m y

do

czynienia

z

grupą cząstek, możemy wyznaczyć wypadk

grawitacyjną, jak ą działają na jed ną z cząstek w szystkie inne , korzystając z

superpozycj i . Jest to zasada ogólna, znajdująca zastosowanie w wielu sy

mówiąca , że dzia łanie łączne (wypa dkow e) pewneg o czynnika jes t sum

czynków

od

poszczególnych jego źródeł .

W

naszym przypadku wynik

że musimy najpierw wyznaczyć s i ły grawitacyjne , jakimi dzia ła ją na

cząstkę wszystkie pozosta łe , a po tem — j ak zwykle — dodać wek to row

do s iebie , co da w wy niku s i łę w ypadkową.

D la n oddzia łujących

ze

sobą cząstek zasada sup erpozycj i

dla sił

cyjnych ma za tem postać:

A , w y

P

= F

n

+ F

13

+ F

4

+ F

15

+ --- + F

n

.

We wz o r z e tym

/ \

W

y

P

to s i ła wypadkowa dzia ła jąca na cząstkę 1, a

k ład F 1 3

to

siła, jak ą

na

cząstkę

1

dzia ła cząstka 3 . Rów nanie

to

mo żna

w bardzie j zwarte j postac i jako sumę wektorową

n

£,wyp = X ^ « -

i=2

A

co

zrobić, jeś li chcem y obliczyć siłę grawitacyjną, jaką działa na

rzeczywiste c ia ło rozciągłe? Si łę wypadkową możemy wtedy obl iczyć, dz

cia ło na części , k tóre są tak m a łe , że m o ż e m y je u wa ż a ć za cząstki, a n

s tosując równanie (14.4) ,

aby

wyznaczyć sumę wek to rową

sił

pochodz

wszystkich części c ia ła . W przypadku granicznym dzie l imy c ia ło rozc

n ieskończen ie ma łe e lemen ty masy dm, z których każdy dzia ła na czą

dF . S u m a

w

równaniu (14.4) przechodzi wtedy

w

ca łkę

i

otrzymujemy

przy czym całkowanie należy przeprowadzić po całej objętości cia ła ro z

(dla prostoty zapisu opuści l iśmy wskaźnik „wyp") . Jeś l i c ia ło jes t jed

kulą lub jednorodną powłoką kulistą,

to nie

mu simy obl iczać ca łki

w

r

(14.5), gdyż możemy za łożyć , że ca ła masa c ia ła jes t skupiona w jeg o

masy , i skorzystać z równania (14.1) .



14.1

na rysun ku 14.4a. Cząstka 1

m\ = 6 k g , a cząstki « 2 i ni

3

mają masy m

2

= nt3 = 4

Odleg łość a = 2 cm. W yznacz w ypadkową si łę grawitacyjną

jaka dzia ła na cząstkę 1 ze strony innych cząstek.

y

l m

2

a

m

3

Za

*13

1

a)

b)

1 4 . 4 . Przykład 14.1. a) Układ trzech cząstek, b) Siły dzia

na cząstkę o mas i e m\ ze strony pozos tałych cząstek

że 0 - ~ T m a m y do czynienia z cząstkami , a za tem

na cząstkę 1 każda z p o

(F = Gm\tn

2

i'r

2

).

F

2

, jaką działa cząstka 2 na cząstkę 1, jest wob ec

Gm

x

m

2

a

2

-

(6 ,67 • 1 0 " " m

3

/ ( k g • s

2

))(6 kg)(4 kg)

( 0 , 0 2 m )

2

= 4 • 10"" N.

F i 3

v.

stronę cząstki, która jest źródłem

tej

siły. Siła F\

2

ma

za

dodatni kierunek osi y (patrz rysunek 14.4b) i ma tylko skład

y,

równą F\

2

. Podobnie si ła F

1 3

ma kierunek ujemny osi x i

tylko składową x, równą — F13 .

W celu wyznaczenia działającej na cząstkę 1 si ły w yp

kowej F i

w y

p zauważmy, że O T siły nie są skierowane wzd

jednej proste j , a za tem si ła wypadkowa nie jest po prostu rów

sumie lub różnicy ich wartości (czy składo wych ) — siły te

simy dodać wektorowo.

Zauważmy j ednak , że —F 13 i F

I 2

są niczym innym,

sk ł adowymi x i y siły

F\

>wyp

.

Wartość i kierunek si ły F i

możemy za t em wyznaczyć

z

równania (3.6) ,

co

daje

Fi.wyp =

JiFn)

2

+ ( - F 3 )

1

= 7 (4 - 1 0 "

6

N )

2

+ ( - l • 1 0 "

6

N )

2

= 4 , 1 1 0 "

6

N (odpowie

F 1 2 4

6 = a rc tg — — = arctg

1 0 "

6

N

- 1 • 1 0 -

6

N

= - 7 6 ° .

alogicznie , wartość siły F13, jaką działa cząstka

3 na

cząstkę

Gm\m

3

Czy ten kierunek jest zgodny z warunkami zadania? Nie — k

runek siły F i ,

w y p

musi być pośredni między kierunkami sił

i — F13. Przypomnij sobie z rozdzia łu 3 (porada 3) , że kalk

tor podaje tylko jedną

z

moż liwych w artości funkcji arctg. Dr

z tych wartości otrzymujemy, dodając 180°

do

pierwszej ,

c

naszym przypadku daje

- 7 6 ° + 180° = 104°. (odpowie

Ta wartość wyznacza kierunek zgodny z warunkami zadania .

I/SPRAWDZIAN

2

.Na rysunku przedstawiono cz tery usta

wienia trzech cząstek

o

jednakowej masie ,

a)

Uszereguj

je z

względu na warto ść siły wyp adkow ej działającej na cząstkę

oznaczoną jako m, od największej do najmniejszej, b) Cz

w ustawieniu 2 kierunek si ły wypadkowej jest bl iższy kierunk u

odcinka d, czy odcinka Dl

( 2 a )

2

(6 ,67 • 1 0 - " m

3

/ ( k g •

s

2

))(6

kg)(4 kg)

( 0 , 0 4 m )

2

F1 2 i F

J 3

, skorzystamy ze spost rzeże

O T

każda

z

sił działających na cząstkę 1 jest skierowana

-D

D

D

m u

(1)

(2) (3) (4)

14.2

14.5 przedstawiono układ pięc iu cząstek, których

m\ = 8 kg , m

2

= m

3

= niĄ = ms = 2 kg,

na rysunku wielko

a = 2

cm

i 0 =

30°. Wyznacz wypadkową si łę grawitacyjną

P

,

jaką działają

na

cząstkę

1

wszystkie pozostałe cząstki.


Skorzystamy C H z tego sam ego spost rzeżenia , którego użyl iś

w przykładzie 14.1. Rozwiązanie zadania znacznie się upro

gdy zwrócimy uwagę na symetr ię układu.

Aby wyznaczyć wartośc i sił działających na cząstkę 1,

uważmy najpierw, że cząstki 2 i 4 mają jednakowe masy o

znajdują się w takiej samej o dległo ści r = 2a od cząstki 1

14.3 . Gr awi t ac ja a zasada superpozycj i



równania (14.1) otrzymujemy zatem

Gm\mi

(2fl)2

(14.6)

Podobnie, cząstki 3 i 5 mają jednakowe masy oraz znajdują się w

takiej samej odległości r = a od cząstki 1, wobec czego

Gm\tn-s

Fn =

Fi 5 =

(14.7)

Zrobimy jednak inaczej, korzystając jeszcze raz z w

ści symetrii układu. Po pierwsze, zauważymy, że siły

mają taką samą wartość, lecz przeciwny kierunek, wob

ich wypadkowa jest równa zeru (siły te równoważą się

nie).

Z rysunku 14.5b i wzoru (14.7) wynika ponadto, że

x sił

F 1 3

i F15 także się równoważą, a ich składowe y

nakową wartość i taki sam kierunek — obie działają w

kierunku osi y. Wobec tego siła Fi ,

w y p

ma właśnie ten

a jej wartość jest równa podwojonej wartości składow

F 1 3 , tzn.

Gmim

z— cos

0

(6,67 • 10 -

1 1

m

3

/ (kg • s

2

))(8 kg)(2 kg)

= 2 —— z c

(0,02 m)

2

= 4,6 • 10~

6

N.

b)

Rys. 14.5.

Przykład 14.2. a) Układ pięciu cząstek, b) Siły dzia

łające na cząstkę o masie m.\ ze strony pozostałych cząstek

Moglibyśmy teraz podstawić do tych dwóch wzorów dane

liczbowe i wyznaczyć wartości sił. Następnie zaznaczylibyśmy

kierunki sił na diagramie, takim jak na rysunku 14.5b, i wyzna

czyli siłę wypadkową. W tym celu rozłożylibyśmy wektory sił na

składowe x i v , znaleźli wypadkowe składowe x i y, a wreszcie

na tej podstawie wyznaczyli wektor siły wypadkowej.

(od

Zauważ, że obecność cząstki 5 między cząstką 1 i 4 nie

nego wpływu na wartość siły grawitacyjnej działającej n

1 ze strony cząstki 4.

•SPRAWDZIAN 3:

Na rysunku przedstawiono ukła

ciu cząstek. Cztery z nich mają

jednakową masę m i znajdują y

się na osi x w położeniach sy

metrycznych względem osi y.

Jaki jest kierunek wypadkowej

siły grawitacyjnej, jaka działa

na cząstkę o masie n\\ ze strony

pozostałych cząstek?

m m

Sztuka rozwiązywania zadań

Porada 1:

Jak rysować wektor siły grawitacyjnej?

Gdy masz do czynienia z układem cząstek, jak na rysunku 14.4a,

i masz obliczyć siłę grawitacyjną działającą na jedną z nich, bę

dziesz musiał zwykle narysować diagram sił. Powinieneś wtedy

narysować na nim tylko tę jedną cząstkę i siły działające na nią,

tak jak to zrobiono na rysunku 14.4b. Jeśli wolisz umieścić wek

tory sił na rysunku, na którym są wszystkie cząstki, to pamiętaj,

aby umieścić początki lub końce (lepiej początki) tych wekto

rów w punkcie, w którym znajduje się cząstka, na którą działa

odpowiednia siła. Rysując wektory gdzie indziej, łatwo możesz

pomylić ze sobą różne siły, a już na pewno je pomylisz, rysując

wektory sił w punktach, w których znajdują się cząstki, k

siłami działają.

Porada 2:

Wykorzystuj właściwości symetrii układu

W przykładzie 14.2 wykorzystaliśmy właściwości symet

ciał. Zauważyliśmy, że cząstki 2 i 4 są położone sym

względem cząstki 1, a więc siły F

] 2

i Fu się równoważ

czego nie musimy obliczać ich wartości. Stwierdziliśmy n

że składowe x sił Fn i F 1 5 także się równoważą, a ich

y są takie same co do wartości i kierunku, co zaoszczęd

jeszcze trochę pracy.

14 .4 .

Grawi tacja w

p o b l i ż u

powie rzchn i Ziemi

Załóżmy, że Ziemia jest jednorodną kulą o masie M. Z równania (14.1)

że wartość siły grawitacyjne j , jaką Ziemia działa na cząstkę o masie m, zn

si ę poza Ziemią w odległości r od jej środka, wynosi

Mm

F — G—r-.

32

14. Grawitacja



przysp ieszen iem grawi t acy j nym

(lub

z i e m s k i m ) a

g

.

F

i

a

%

jes t dany przez drugą zasadę dynamiki

F = ma

g

.

(14 .9)

a jąc do tego równan ia wartość

F

ze wzoru (14 .8) i rozwiązując je wzglę

m

a

g

,

o t rzymujemy

a

g

= ^ . (14 .10)

a

g

obl iczone d la różnej wysokości nad powierzch

Zmiana a

g

z wysokością

Wysokość [km]

a

g

[ m / s

2

]

0 (powierzc hnia Ziem i)

9,83

8,8 (szczyt Mt. Everestu)

9,80

36,6 (największa wysokość za łogowego lotu balonem) 9,71

400 (waha dłowiec kosmiczn y na orbicie) 8,70

35 700 (sateli ta telekomu nikacyjny) 0,225

Począwszy od paragrafu 5 .6 , p rzy jmowal iśmy, że układ związany z Ziemią

g,

z jak im c ia ło spada swobod nie na

) . Zakładal i śmy ponadto , że wszędzie na powierzchni Ziemi

g

ma taką samą

2

. Gdybyśmy jednak dokładnie zmierzyl i wartość

g,

to

g

jes t różne od

a

g

,

to mierzony przez nas

mg

nie jest równy wa rtości działającej na ciało si ły g rawitac yjnej ,

Ziemia nie jest jednorodna.

Gęstość Ziem i ( tzn . mas a je j jednostkowej obję

tośc i ) zmienia s ię wzdłuż je j p romienia , jak pokazano na rysunku 14 .6 , a do

tego gęstość skorupy ziemskiej (czyli jej najbardziej zewnętrznej części) jest

różna w różnych mie jscach na powierzchni Ziemi . Wobec tego w różnych

miejscach na powierzchni Ziemi wartość

g

jest nieco inna.

Ziemia nie jest kulista. Ziem ia m a w przybl iżeniu ksz ta ł t e l ipso idy obro to

wej ,

sp łaszczonej przy b iegunach , a grubszej w okol icy równika . Promień

Ziemi na równiku jes t o 21 km większy od je j p romienia na b iegunie . Gdy

ciało znajduje się na biegunie, jest ono zatem bliżej gęstego jądra Ziemi niż

wtedy, gdy znajduje się na równiku. Jest to jeden z powodów, dla którego

przyspieszenie swobodnego spadku c ia ła rośn ie w miarę przemieszczania go

— na poziomie morza — z równika na b iegun.

ł

fi

O

j ą d r o |

" T I

1 i

wewn.p*-

... ta

iio"'

%l <

f T ]

M

zęwn

ętrzr

n r

1

" ~

ej ;

;

1

1 i

^

l

1

: i

i

„.... LL....

1 płasz

cz *•

i ;

LL 1 .

i * rZtefiii

0 1 2 3 4 5 6

odległość od środka Ziemi [10

6

Rys. 1 4 . 6 . Gęsto ść Ziem i jako fun

odległości od jej środka. Na rysu

zaznaczono granice jądra wewn ętrzn

(sta łego) , jądra zew nętrznego (głów

ciekłego) i s ta łego płaszcza Ziem i . G

bość skorupy ziemskiej jest zbyt m

aby można ją przedstawić na tym

sunku

14 .4. Graw i tacja w pobl iżu powierzchni Ziem i



biegun

północny

a)

AT

r

skrzynia-

1 «

b)

Rys. 14.7. a) Skrzynia na wadze znajdu

jącej s ię na równiku widziana z punktu

na os i obrotu Ziemi nad biegunem pół

nocnym, b) Diagram s i ł działających na

skrzynię . Oś r jes t skierowana wzdłuż

promienia Ziemi od jej ś rodka na ze

wnątrz . Si łę grawitacyjną przedstawiono

za pomocą równego j e j wektora ma

g

.

Siłę normalną działającą na skrzynię ze

s trony wagi oznaczono przez N. Z p o

wodu ruchu obrotowego Ziemi skrzynia

porusza s ię z przyspieszeniem dośrod-

kow ym a skierowanym do środka Ziemi

3 .

Ziemia obraca się. Oś obrotu Ziemi przechodzi przez je j bieguny:

i południowy. Cia ło umieszczone na powierzchni Ziemi gdziekolw

biegunami wykonuje za tem ruch po okręgu wokół te j os i , przy czym

przyspieszenie dośrodkowe skierowane do środka tego okręgu. Źródł

przyspieszenia musi być s i ła dośrodkowa, skierowana także do teg

okręgu.

Aby s ię przekonać , d laczego w wyniku ruchu obro towego Ziemi

się od fl

g

, rozważmy pros te doświadczenie polega jące na umieszczeniu s

mas ie m na wadze zna jdujące j s ię na równiku. Na rysunku 14.7a przed

tę sytuac ję , tak ja k ją w idać z punk tu w przes trzeni wok ółz iemskie j zna j

s ię wpros t nad b iegunem północnym.

Na rysunku 14.7b przedstawiono diagram s i ł dz ia ła jących na skrz

którym pokazano dwie s i ły dz ia ła jące wzdłuż os i r przechodzące j prze

Ziemi i skierowanej na zewnątrz . Si ła normalna N, działająca na skr

s t rony wagi , jes t skierowan a na zewnątrz , a więc w dod atnim kieru nk

Siła grawitacyjna , przedstawiona na rysunku za pomocą równego je j

ma

s

, jes t skierowana do środka Ziem i. Gd y Ziem ia s ię obraca , skrzynia

s ię wraz z nią , a za tem ma przyspieszenie dośrodkowe

a

skierowane do

Ziemi. Wiemy z równania (11.23) , że przyspieszenie to jes t równe u>

c z y m co jes t prędkośc ią ką tową Ziem i, a R — promieniem okręgu , po

porusza s ię skrzynia ( równym w przybl iżeniu promieniowi Ziemi) . Druga

dynamiki Newtona , zapisana dla składowych wzdłuż os i r (/^yyp.r = m

postać

N ma

g

— m(—coR).

Wartość s i ły normalne j N jes t równa wskazanemu przez wagę c iężarowi

mg. Podstawia jąc w równ aniu (14.11) mg zamias t N, otrzymujemy

mg = ma

g

— m(a> R),

co oznacza , ze

/zm ierz on y \ / wartość s i ły \

\ c i ęża r / \gra wi ta cyjn e j /

/masa razy przyspieszenieN

V dośrodkowe /

Jak widać , c iężar wskazany przez wagę jes t rzeczywiśc ie mnie jszy od

dz ia ła jącej na skrzyn ię s i ły grawitacyjne j , a przyczyną tego jes t ruch o

Ziemi .

Skracając m w równaniu (14.20) , otrzymujemy związek g z a

g

:

co

2

R,

który oznacza , że

/ przyspieszenie \ / przyspieszenie \ / przyspieszenie \

\ spad ku ciała / \ grawitacy jne / \ dośro dko we /

Jak widać , mierzone przyspieszenie jes t rzeczywiśc ie mnie jsze od przysp

grawitacyjnego, a przyczyną tego jes t ruch obrotowy Ziemi.

Różnica przyspieszeń g i a

g

j e s t równa co

2

R i jes t na jwiększa na

(ponieważ promień toru skrzyni jes t w tym mie jscu na jwiększy) . Aby o

34 14. Grawitacja



(co — A6/At) i warto ści

R = 6 ,37 • 10

6

m. Dla jednego obrotu Ziemi wokół je j osi 9

2TT rad, a okres obrotu At wynosi około 24 h. Korzystając z tych

g j e s t mnie j

a

s

za l edwie o oko ło 0 ,034 m /s

2

(w stosunku do 9 ,8 m/s

2

) . Z tego

g i a

g

jest często

Astronautka o wzroście 1,70 m lewituje „stopami w dół" na

6,77 • 10

6

m od środka Ziemi . Wyznacz różnicę przyspiesze

grawitacy jnego w miejscu, w k tórym znajdują się jej stopy,

znajduje się jej g łowa.

T Ziemię możemy potrak

w przybl iżeniu jako jednorodną kulę o masie M

z

. Zgodnie

r

od środka Ziemi jest równe

G M

Z

«,= -pr . (14.14)

6,77 • 10

6

m oraz r = 6,77 • 1 0

6

m + 1,70 m, aby obliczyć

ieszenie grawitacyjne w miejscu, w któ rym znajdują się

w miejscu, w k tórym znajduje się jej g łowa.

j

a zatem zerową wartość szukanej różnicy, gdyż h jest nie

r. Musimy więc postąpić inaczej.

T skoro mam y do czynie

r, to możemy w przybl iżeniu

ją za różniczkę dr . Różniczkując równan ie (14.14) st ronami

r, ot rzymujemy

GM

Z

-dr , (14.15)

g

jest różniczkową zmianą przyspieszenia grawita

r. Dla

h oraz r = 6,77 • 10

6

m. Podsta

(6 ,67

•

I O "

1 1

m

3

/ ( k g

•

s

2

) ) ( 5 , 9 8

•

1 0

2 4

kg)

- 2 . — — ( 1 , 7 0 m )a„

(6,77 • 1 0

6

m )

3

- 4 , 3 7 • 1 0 '

6

m / s

2

. (odpowiedź)

nie grawitacyjne w miejscu, w któr ym znajdują się

stopy astronautki, jest nieznacznie większe niż w miejscu, w

rym znajduje się jej głowa. Sku tkiem różnicy sił grawitacyj

jest rozciąganie ciała astronautki, lecz ta różnica jest tak niewi

że jest ono ca łkowicie nieodczuwalne .

b) Wyobraźmy sobie teraz, że astronautka znajduje się z

„stopami w dół" na orbic ie o takim samym promieniu r,

nym 6,77 • 10

6

m, lecz tym razem nad czarną dziurą o m

Mcz.dz. = 1.99 • 1 0

3 1

kg (czyli 10 razy większej od masy

szego Słońca) . I le wynosi w tym przypadku różnica przys

szenia grawitacyjnego w miejscu, w którym znajdują się s

astrona utki, i w miejscu, w któ rym znajduje się jej głow a

granicę czarnej dz iury przyjmuje się powierzchnię kul i o

mieniu R

cz

.dz. = 2,9 5 • 10

4

m, nazywaną też horyzontem

rzeń. Z powierzchni tej , a także z wnętrza kuli , nie może

uciec, nawet światło. Zauważ, że astronautka znajduje się (ba

rozsądnie) dostatecznie daleko od tej powierzchni (w odleg

r = 2 2 9 / ?

c z d z

. od środka czarnej dz iury) .

ROZWIĄZANIE:

Podobnie jak w części (a) zadania , h jest bardzo małe w po

naniu z r, wobec czego możemy przybl iżyć przyrost r różni

tej wielkości, tzn. skorzystać z równania (14.15). Tym razem

stawimy jednak do niego nie M

z

, lecz M

c z

.

d z

. = 1,99 • 1 0

3 1

Otrzymamy zatem

da , = - 2

(6 ,67 • I O "

1 1

m

3

/ ( k g • s

2

) ) ( l , 9 9 • 1 0

3 1

kg)

(6 ,77 • 1 0

6

m )

3

(1 ,70

= - 1 4 , 5 m / s

2

.

(odpowi

Okazuje się, że wynikające z przyciągania przez czarną dz

przyspieszenie grawitacyjne w miejscu, w którym znajdują

stopy astronautki, jest znacznie większe niż w miejscu, w któ

znajduje się jej głowa . Skutkiem r óżnicy sił grawitacyjnych

rozciąganie c ia ła ast ronautki , które jest dość bolesne , lecz m

l iwe do wytrzymania . Gdyby jednak ast ronautka przybl iżyła

bardziej do czarnej dziury, rozciąganie jej ciała wzrosłoby dr

tycznie.

14 .4. Graw i tacja w pobl iżu powierzchni Ziem i



1 4 . 5 .

Grawitacja wewnątrz Ziemi

Twierdzenie Newtona o powłoce obowiązuje również w przypadku, gdy

znajduje się wewnątrz jednorodnej powłoki. W tej sytuacji mówi ono, ż

Wypadkowa

siła grawitacyjna, jaką ciało

w

kształcie jednorodnej powłoki k

działa

na

cząstkę znajdującą

się

wewnątrz powłoki, jest równa zeru.

Uwaga: twierdzenie to nie mówi, że siły grawitacyjne działające na cz

strony różnych elementów powłoki w jakiś magiczny sposób znikają. Mó

tylko tyle, że suma wektorowa sił działających na cząstkę ze strony wsz

elementów powłoki jest równa zeru.

Gdyby gęstość Ziemi była wszędzie taka sama, działająca na cząs

grawitacyjna byłaby największa na powierzchni Ziemi i malałaby przy od

się

cząstki od tej powierzchni na zewnątrz. Gdyby natomiast cząstka przy

się do środka Ziemi, na przykład była opuszczana w głąb szybu kopalni,

jąca na nią siła grawitacyjna zmieniałaby się z dwóch powodów. Z jednej

cząstka znajdowałaby się coraz bliżej środka Ziemi, co prowadziłoby do

tej siły. Z drugiej strony, rosłaby grubość warstwy Ziemi odległej od jej

bardziej niż cząstka, co prowadziłoby do zmniejszania się tej siły, gdyż z

tej warstwy nie działa na cząstkę siła grawitacyjna.

Gdyby Ziemia była jednorodna, przeważałby ten drugi czynnik i si

łająca na cząstkę malałaby przez cały czas zbliżania się jej do środka

Ziemia nie jest jednak jednorodna i — jak się okazuje — siła działa

cząstkę przy je j przemieszczaniu od powierzchni do środka Ziemi pocz

rośn ie .

Na pewnej głębokości jest największa, a dopiero potem maleje.

14.4

z pierwszych książek, które można zaliczyć do gatunku

Pole

to

Pole, czyli Z bieguna

George Griflith opisuje podjętą przez trzech badaczy

— specjalnym pojazdem — z bieguna południo

na północny naturalnym (oczywiście fikcyjnym) tunelem

ającym wprost przez środek Ziemi (rys. 14.8). Według

tej

opowieści, gdy pojazd zbliża

się do

środka Ziemi, dzia

na podróżników siła grawitacyjna niepokojąco rośnie, a po

— dokładnie w środku Ziemi - staje się nagle całkiem równa

na chwilę. Potem pojazd przebywa drugą połowę

i dociera do bieguna północnego.

Sprawdź, czy opis Griffitha jest zgodny z prawami fizyki,

na pojazd o masie m

od

jego odległości

r od

środka Ziemi. Załóż,

że

o gęstości (tzn. masie jednostkowej

p.


Wykorzystamy trzy wnioski z twierdzenia Newtona o po

O—•» 1 .

Gdy pojazd znajduje się w odległości

r

od środk

wypadkowa siła grawitacyjna działająca na niego ze s

części Ziemi, która jest zawarta

na

zewnątrz kuli

o

prom

jest równa zeru.

O—•» 2.

Wypadkowa siła grawitacyjna działająca

na

po

strony tej części Ziemi, która jest zawarta wewnątrz kul

mieniu r, nie jest równa zeru.

O—* 3. Siłę tę możemy obliczyć, przyjmując, że masa M

części Ziemi, która jest zawarta wewnątrz kuli o promien

skupiona w środku Ziemi.

Z wniosków tych wynika, że wartość działającej na poj

grawitacyjnej jest — zgodnie ze wzorem (14.1) — równ

Aby wyznaczyć masę M

w e W

n w zależności od r, zau

że objętość V

w e w n

zajmowana przez tę masę jest równa | j

że gęstość tej (podobnie jak każdej innej) części Ziemi w



A/\vewn — P

^wewn

— P

4 j i r

3

(14.17)

A TT fZ M n

(odpowiedź) (14 .18)

itGmp

F — r.

byłby środek Ziemi. Po s tarcie z b ieguna południowego poja

spadałby do środka Ziemi, następnie docierał do b ieguna p

nocnego (tak, jak to opisał Griffith), potem przebywał tę dr

w przeciwnym kierunku i tak dalej.

F jes t proporcjonalna

r.

Oznacza to , że gdy

F

również maleje — przeciwnie n iż to opisał

środku Ziemi. Tak więc przynajmniej w tym punkcie Griffith

Równanie (14 .18) możemy także zapisać w postaci wekto

przyjmując oś

r

sk ierowaną wzdłuż średnicy Ziemi. Jeśl i

K,

to równanie

F = -KT, (14.19)

F

i wektor

przyjętych przez nas warunkach idealnych pojazd poruszałby

A C

— i j - -

m

Rys. 14.8. Przykład 14.4 . Pojazd o masie

m

spada z prędkoś

początkową równą zeru w tunelu łączącym bieguny Ziemi, po

dniowy i północny. W pewnej chwili pojazd znajduje się w od

głości

r

od środka Ziemi. M asę tej części Ziemi, k tóra jes t zawa

wewnątrz kuli o promieniu

r,

oznaczono przez M

w e w n

G r a w i t a c y j n a e n e r g i a

potencja lna

paragrafie 8.3 rozważaliśmy grawitacyjną energię potencjalną układu cząst-

i , aby można b yło uważać , że s i ła grawi tacyjna jes t s ta ła .

Przyj

której cząstka znajduje się na powierzchni Ziemi. Przy tym założeniu, gdy

Obecnie rozważymy to zagadnienie n ieco bardzie j ogóln ie . Będziemy s ię

E

p

dwóch cząstek o masach m i M,

r. Jak poprzednio, przyjmiemy, że pewnej konfiguracji

E

p

równa zeru . Aby o t rzymać proste równania , przyj

r jest tak duża,

nieskończoną. W tych warunka ch grawi tacyjna

E

p

— 0 dla r = oo, energ ia potenc jalna jest ujemn a dla każdej skończon ej

i cząstek i jest „tym b ardziej ujem na", im bliżej sieb ie znajdują się te

Jak wykażemy w następnym punkcie , g rawi tacyjną energ ię potencja lną

1 4 . 6 . Grawitacyjna energia potencja lna



Rys.

14.9. Układ trzech cząstek (od

ległość każdej pary cząstek oznaczono

przez

r

z dwucyfrowym wskaźnikiem

dolnym, zawierającym numery czą

stek).

Grawitacyjna energia potencjalna

układu jest równa sumie grawitacyjnych

energii potencjalnych wszystkich trzech

pa r

cząstek

GMm

(grawitacyjna energia

potencjalna).

(

Zauważ, że funkcja

E

p

(r)

dąży do zera, gdy r dąży do nieskończonośc

dowolnej skończonej wartości r wartość E

p

(r) jest ujemna.

Energia potencjalna dana wzorem (14.20) odnosi się do układu dw

stek, a nie do którejkolwiek z nich z osobna. Nie można jej podzielić i po

że jakąś jej część ma jedna cząstka, a jakąś inną — druga. Jeśli jednak

na przykład gdy układ składa się z Ziemi (o masie M) i piłki tenisowej

m),

to często mówi się o „energii potencjalnej piłki". Jest to usprawie

tym, że gdy ruch piłki odbywa się w pobliżu powierzchni Ziemi, zmian

potencjalnej układu piłka-Ziemia są równe niemal w całości zmianom

kinetycznej piłki, gdyż zmiany energii kinetycznej Ziemi są tak małe, ż

się ich zmierzyć. Podobnie, w paragrafie 14.8 będziemy mówić o „en

tencjalnej sztucznego satelity" na orbicie wokół Ziemi, ponieważ mas

jest bardzo mała w porównaniu z masą Ziemi. Gdy jednak mamy do

nia z energią potencjalną układu ciał o zbliżonej masie, musimy pami

zawsze traktować je jako układ ciał.

Gdy badany układ składa się z więcej niż dwóch cząstek, rozważam

parę cząstek po kolei, obliczając grawitacyjną energię potencjalną tej pa

nania (14.20), jak gdyby innych cząstek nie było, po czym dodajemy d

otrzymane wyniki. Na przykład dla układu trzech cząstek z rysunku 1

znaczając energię potencjalną każdej ich pary z równania (14.20), otrz

energię potencjalną układu równą

dr

/ Gmim.2 Gmim.3

Gni2mi\

7-13 f"23

/

•o

M

Rys. 14.10.

Piłka wystrzelona

pio

nowo w górę z powierzchni Ziemi po

torze przechodzącym przez punkt

P.

Na

rysunku przestawiono także działa

jącą na piłkę siłę grawitacyjną F oraz

wektor różniczkowego przemieszczenia

piłki dr. Oba te wektory są skierowane

wzdłuż osi

r

mającej kierunek promie

nia

Ziemi

Wyprowadzenie

wzoru (14.20)

Wystrzelmy piłkę z powierzchni Ziemi pionowo w górę, po torze pokaz

rysunku 14.10. Chcemy znaleźć wyrażenie na grawitacyjną energię po

piłki E

p

w punkcie P, leżącym na jej torze w odległości R od środk

W tym celu wyznaczymy najpierw pracę

W

wykonaną nad piłką przez

witacyjną przy przemieszczeniu piłki z punktu P na bardzo dużą (niesk

odległość od Ziemi. Siła grawitacyjna F(r) jest siłą zmienną (jej warto

od r) , a zatem do obliczenia pracy musimy wykorzystać metody z parag

W zapisie wektorowym mamy

W

-I

F(r)

•

dr.

Powyższa całka zawiera iloczyn skalarny siły F(r) i wektora różnic

przemieszczenia piłki dr wzdłuż jej toru. Iloczyn skalarny możemy wyr

F(r) • dr — F(r)drcos<p,

przy czym

<p

jest kątem tworzonym przez kierunki wektorów F(r) i dr.

tego podstawiamy

4>

= 180° oraz prawą stronę równania (14.1) zamias

3 8 14. Grawitacja



F(r)

•

dr =

GMm

-dr ,

M

jes t masą Ziemi, a

m

— masą pi łki .

Podstawia jąc to wyrażenie do równania (14.22) i obl icza jąc ca łkę , otrzymu

W =

-GMm

I

— d r =

GMm

= 0 -

GMm

GMm

(14.24)

W jes t pracą potrzebną do przenies ienia pi łki z punktu

R od środka Ziemi) do nieskończonośc i . Z

(A E

V

=

—

W) wynika , że pracę tę możemy też zapisać jako

J

p , o o

-w.

E

Pt0O

jes t równ a zeru, a

E

v

jest energią

P. Podstawia jąc do powyższego wzoru W z równania

otrzymujemy za tem

GMm

E

V

= W =

R

R na r , ot rzymujemy s tąd równanie (14.20) , które zamierza l iśmy

A do punktu G po dro

14.11.

Chcemy obl iczyć ca łkowitą

W

wykonaną nad piłką przez działającą na nią ze strony Ziemi siłę grawita

F przy przenies ieniu pi łki z A do G. Praca wyko nana przy przemieszczaniu

F jes t pros topadła do

F wykonuje za tem pracę tylko przy prze

W jes t równa

Wyobraźmy sobie nas tępnie , że w myśl i skracamy wszystkie łuki do zera ,

A do G po pros tym torze radia lnym. Czy

Wl

Nie — praca wy kon ana przy przesunięc iu pi łki wzdłuż

A d o B, jes t te raz wyraźnie inny niż

F jes t taka sama.

Rozważal iśmy już to zagadnienie w sposób ogólny w paragraf ie 8.2. Is tota

nana przez tę s iłę nad cząs tką przy je j przenies ieniu z pewn ego punk tu

zmiana grawitacyjne j energi i potenc ja lne j

AE

V

przy przenies ieniu cząs tki

Ziemia

Rys. 1 4 . 1 1 . Przemieszczamy

w pobl iżu powierzchni Ziemi z pu

A do punktu G po drodze złożonej

c inków radialnych oraz łuków okrę

1 4 . 6 .

Grawitacyjna energia potencja lna



z punktu począ tkowego do punktu końcowego wynosi

= - W.

Z tego, że praca W wykonana przez si lę zachowawczą nie zależy od d

której porusza się cząstka, wynika, że towarzysząca temu zmiana grawi

energi i potencjalnej AE

V

również nie zależy od tej drogi.

Energia potencjalna a siła

Gdy wyprowadza l i śmy równanie (14 .20) , wyznaczyl i śmy energ ię po te

E

v

(r ) jako funkcję r na podstawie zależności s i ły F(r) od r. Powinni śm

też postąpić na odwrót , tzn. obl iczyć si łę na podstawie znajomości energi

cjalnej.

Korzystając z równania (8.20), możemy napisać

Równanie to j es t n i czym innym, j ak prawem powszechnego c i ążenia N

(14.1).

Znak minus wskazuje na to, że si ła działająca na ciało o masie

skierowana w st ronę ciała o masie M.

Prędkość ucieczki

Gdy wyst rzel imy pocisk pionowo w górę, będzie się on zwykle porusza

wolniej ,

aż do osiągnięcia prędkości równej zeru, po czym powróci na

Jeśl i jednak nadamy mu dostatecznie dużą prędkość początkową, to będ

poruszał w górę bez końca, zat rzymując się teoretycznie dopiero w niesko

odleg łośc i od Ziemi . Minimalną prędkość , j aka j es t do t ego pot rzebna ,

się prędkością ucieczki (w tym przypadku z Z iemi ) .

Rozważmy poc i sk o masie m opuszczający powierzchnię planety ( lu

goś innego ciała lub układu niebieskiego) z prędkością ucieczki v. Ma on

kine tyczną równą |m i )

2

oraz energię potencjalną E

p

daną wzorem (1

przy czym M jest masą planety, a R — je j p romieniem.

Poci sk ma s i ę za t rzymać w n ieskończonośc i , a za t em ma t am mieć

kinetyczną równą zeru. Jego energia potencjalna będzie wówczas także

zeru, gdyż tak właśnie wybral iśmy konfigurację ciał odpowiadającą zerow

gi i potencjalnej . Całkowita energia pocisku jest zatem w nieskończonośc

zeru. Z zasady zachowania energi i wynika, że jej całkowita energia m

równa zeru t akże na powierzchni p l ane ty , wobec czego

GMm

R

Otrzymujemy stąd



Prędkość ucieczki v nie zależy od kierunku, w jakim pocisk opuszcza pla

km/h w kierunku wschodnim.

Z równania (14.27) można wyznaczyć prędkość ucieczki pocisku z dowol

M i promień R tego ciała.

tabeli 14.2 zebrano wartości prędkości ucieczki z kilku ciał niebieskich.

o * - Prędkość ucieczki

z

ki lku ciał niebieskich

Masa Promień

Prędkość ucieczki

[kg] [m] [km/s]

1,17 • 10

2 1

3, 8

•

10

5

0,64

7,36 • 10

2 2

1,74 • 10

6

2,38

5,98

• 10

2 4

6,37

• 10

6

11,2

1,90

•

10

2 7

7,15

•

10

7

59,5

1,99 • 10

3 0

6,96 • 10

8

618

B

b

2 • 10

3 0

1 • 10

7

5200

0

2

• 10

3 0

1

• 10

4

2 - 10

5

(gwiazda w j e dnym z końcowych etapów ewolucj i ) tworzący układ z bardzo

—

Syr iuszem.

w

wyniku zapadania grawitacyj

4

:

Odsuwasz p i łkę

o

masie

m od

kul i

o

mas ie

M. a) Czy

grawi

tym, czy maleje? b) Czy siła

i

kulą wykonuje pracę dodatnią,

czy

ujemną?

14.5

się wzdłuż prostej przechodzącej prze z środek

Jej

prędkość względem Ziemi wynos i

12 km/s, gdy jej

od

środka Ziemi jes t równa

10

promieniom Ziemi .

Po

i obl icz prędkość planetoidy

je j

dotarcia

do

powierzchni Ziemi.

O T skoro mamy pominąć wpływ atmosfery ziem

na

ruch planetoidy,

to

możemy przyjąć ,

że

energia

me

w chwil i końcowej (tzn. gdy p lane

do

powierzchni Ziemi) jes t równa jego energi i

me

w

chwili początkowej (której dotyczą dane zadania).

to zapisać jako

^k.końc "f" Fpfcońc — F k,pocz "ł Ep

t

p

OCZ

(1

przy czym

E±

jest energią kinetyczną,

a £

p

—

grawitacyjną

gią potencjalną.

Drugie ważne spostrzeżenie mówi, że O — f jeś l i m

uważać układ

za

izolowany,

to w

czas ie ruchu planetoidy z

wany jes t także

pęd

układu. W obec tego zmiana pędu pl

id y

i

zmiana pędu Ziemi mają taką samą wartość,

a

prze

kierunek. Masa Ziemi jes t jednak znacznie większa od mas

netoidy, co oznacza , że zmian ę prędkości Ziemi moż na po

w porównaniu ze zmianą prędkości planetoidy. A s tąd wyni

pominąć można również zmianę energi i kinetycznej Ziemi

i

jąć , że

energia kinetyczna

w

równaniu (14.28)

to

tylko e

kinetyczna planetoidy.

Oznaczmy masę p lane to idy przez m, a masę Ziemi (

1 0

2 4

kg) przez M. Odległość planetoidy od środka Ziemi w

w chwil i początkowej 10/?

z

,

a w

chwil i końcowej

— R

z

,



Rz oznaczyliśmy promień Ziemi (6,37-10

6

m). Podstawiając

E

r

oraz

\m v

2

zamias t Ą , o t rzymujemy

1

2

GMm _ 1

2

GMm

2

m V k o ń c

~ ~RT

=

2

m

>

c z

" lORj-

2 G M (

J_\

"końc "pocz ^ ft

z

y

JO

J

= (12 • 1 0

3

m / s )

2

2 ( 6 ,6 7 • 1 0 - '

1

m

3

/ ( k g

•

s

2

) ) ( 5 ,9 8 • 1 0

2 4

kg)

+

6 ,37

•

1 0

6

m '

= 2 ,567

•

1 0

8

m

2

/ s

2

,

a stąd

u

k o ń c

= 1,60

•

1 0

4

m /s = 16 km /s . (od

Mając taką prędkość, nawet niezbyt wielka planetoida

spowodować znaczne zniszczenia na powierzchni Ziemi.

kład przy uderzeniu w Ziemię planetoidy o średnicy 5 m

li łaby się energia równa energii wybuchu jądrowego n

szimą. Niepokojące jest , że w pobliżu orbity Ziemi krą

500 mil ionów plane toid o tej wielkości . W roku 1994 jedn

najprawdopodobniej weszła w atmosferę ziemską i wyb

wysokości 20 km nad odległą wysepką na południu Oce

kojnego (wyzwalając w sześciu satelitach wojskowych

ostrzegawcze o eksplozji jądrowej) . Uderzenie w Ziemi

toidy o średnicy 500 m (których jest może i mil ion w

orbity Ziemi) mogłoby położyć kres całej współczesnej c

cj i i n iemal zniszczyć cały gatunek ludzki na Ziemi.

Tor ruchu Marsa na

1 4 . 7 . P l ane t y i s a t e l i ty : p r a w a K e p l e r a

Ruch planet obserwowany na t le gwiaździs tego nieba był d la ludzi zaga

niepamiętnych czasów. Szczególnie zadziwiająca wydawała s ię pęt la toru

pokazana na rysunku 14.12. Prawa empiryczne opisujące ruch planet po

hannes Kepler (1571-1630) po badaniach, k tóre zaję ły mu całe życie . Na

wie obszernych danych obserwacyjnych, k tóre zebrał Tycho Brahe (1546

osta tni z wielkich astronomów dokonujących obserwacji n ieba bez uży

leskopu, Kep ler sformułował t rzy prawa ruchu planet noszące dz iś jeg

Newton (1642 -172 7) w ykaza ł późn ie j , że p rawa Kep le ra wyn ika ją z jego

powszechnego c iążenia .

W tym paragrafie omówimy po kolei wszystkie prawa Keplera . Ch

dziemy ich używać do badania ruchu planet wokół Słońca, s tosują s ię o

samo do ruchu sate l i tów — naturalnych i sz tucznych — Ziemi lub każdego

ciała o dużej masie .

1 .

P ierwsze p rawo Keplera:

Wszystkie planety poruszają się po orbitach w ksz

elipsy, w której ognisku znajduje się Słońce.

Planetę o masie m poruszającą s ię po takie j orbic ie wokół Słońca o

M p rzeds tawiono na rysunku

14 .13 .

Zakłada my, że M OT, tak że środe

układu planeta-Słońce znajduje s ię w przybliżeniu w środku Słońca.

W ielkość orbi ty przedstawionej na rysunku 14.13 jes t wyzna czon a

wartość je j pó łos i wie lk ie j a i m i m o ś r o d u e, zdefiniowanego tak, że

odległością każdego z ognisk e l ipsy F i F' od je j środka. Mimośród równ

odpowiada okręgowi, będącemu p rzypadk iem szczegó lnym e l ipsy , w k tó r

ogniska są jednym punktem. Mimośrody orbi t p lanet n ie są zbyt wielkie ,

orbi ty te — narysowane na kartce — wyglądają jak okręgi . Mimośród



jest

2. Drugie prawo Keplera: Linia łącząca planetę ze Słońcem zakreśla w jednakow ych

odstępach czasu jednakowe pola powierzchni w płaszczyźnie orbi ty; inaczej

mówiąc , wie lkość dS/dt, przy czym S jest polem pow ierzchni zakreślonej przez tę

linię, jest stała.

Jakościowo rzecz biorąc, z prawa tego wynika, że planeta porusza się po

Pole powierzchni zacieniowanego kl ina na rysunku 14.14a jest dobrym przy

At przez l inię łączącą planetę

r. Pole powierzchni tego kl ina AS jest

rA O i wysokości r. Pole trójkąta

AS & ~r

2

A9. To

AS jest tym bardziej dokładne, im bardziej At (a zatem i

A9)

jest

dS 1 odO 1 ,

(14.29)

dt

-r — = -r co,

2 dt 2

O J jest prędkośc ią kątową obrotu l inii łączącej pla netę ze Sło ńce m.

Na rysunku 14.14b pokazano pęd planety p oraz jego składowe: radialną

r. Z równania (12.20) (L = rp±) wynika , że war tość mom entu

Z

jest równa i loczynowi r i p± , czyli składowej

r.

Dla planety o masie

m

mamy za tem

L — rp± = (r)(mv±) = (r)(mcor)

mr

2

oj,

(14.30)

v± wstawil iśmy — na podstawie równania (11.18) — wielkość

El iminując r

2

co z równań (14.29) i (14.30) , o t rzymujemy

dS L

-r = 7T- (14.31)

dt 2m

dS/dt ma być sta łe , jak mó wi drugie prawo Kep lera , to z równ ania (14.31)

L, a to znaczy, że moment pędu musi być za-

Rys. 1 4 . 1 3 . Planeta o masie m p

sza się wokół Słońca po orbicie

tycznej . Słońce o masie M znajduj

w jednym z ognisk e l ipsy F. D

ognisko tej elipsy F' jest tylko p

tem w przest rzeni kosmicznej . K

z ognisk jest odległe od środka e

o ea, przy czym e j e s t mimośro

el ipsy. Na rysunku zaznaczono rów

półoś wielką elipsy a oraz odległoś

Słońca peryhel ium (punktu orbi ty

bl iższego Słońca)

R

v

i aphel ium (pu

orbi ty najdalszego od Słońca) R„

M

a)

M

b )

Rys. 1 4 . 1 4 . a) W przedzia le czasu

linia łącząca planetę ze Słońcem o

si e M (mająca w danej chwili długoś

zatacza kąt Ad , zakreślając przy tym

szar (zacieniowany) o polu powierzc

A S. b) Pęd planety p i jego składo

14.7.

Planety i satel i ty: pra wa Keplera



chowany. Wykazal iśmy zatem,

że

drugie praw o Keplera jes t rzeczywiś

noważne zasadz ie zachowania momentu pędu .

3. Trzecie prawo Keplera:

Kwadrat okresu ruchu każdej planety

na

orbicie

Słońca jest proporcjonalny

do

sześcianu pó łosi w ielkiej

tej

orbity.

1 4 . 1 5 .

Planeta o masie

m

poru

r

A by

się o tym

przekon ać, rozw ażm y o rbi tę kołową

z

rysunku 14

rej promień jes t równy

r

(promień okręgu jes t odpowiednikiem półosi

el ipsy).

Zapisując drugą zasadę dynamiki (F = ma) dla p lanety na orbic

w ej

z

rysunku 14.15, dosta jemy

GMm

= (m)(co

r).

Skorzysta l iśmy z t ego , że wartość s i ły F j e s t dana równan iem (14 .1 ) ,

sp ie szen ie doś rodkowe wyn os i

—

zgodn ie

z

równan iem (11 .23)

—

co

2

r.

ze wzorem (11 .20) możemy

do

powy ższego rów nan ia ws tawić lit/T za

przy czym

T

j e s t ok resem ruchu

po

o rb ic ie . Ot rzymamy

w ten

sposó

prawo Keplera :

( trzecie prawo Keplera) . (

Wi e l k o ś ć

w

nawiasie jes t

stałą,

które j wartość za leży ty lko

od

ma s y

wokół k tórego krąży planeta .

Równanie (14.33) obowiązuje także

dla

orbi t e l ip tycznych, przy c

mi a s t

r

należy podstawić

a —

półoś wielką elipsy.

Z

p rawa tego wy

stosunek

T

2

/a

3

powin ien być stały dla wszystkich orbi t p lane t krążąc

kół tego samego c ia ła

o

dużej masie .

W

tabel i 14.3 przedstawiono,

ja

spełniona jes t

ta

reguła d la orbi t p lanet

w

Układz ie S łonecznym .

Trzecie prawo Keplera dla planet Układu Słonecznego

Planeta

Półoś

wielka a

O kr e s

T

Planeta

[ 1 0

1 0

m ]

[a]

[ 1 0 "

3 4

a

Merkury

5,79

0 ,241 2 ,99

Wenus

10,8

0 ,615 3 ,00

Ziemia 15,0

1 ,00

2,96

Mars

22,8

1 ,88 2,98

Jowisz 77,8

11 ,9 3 ,01

Saturn 143

29,5 2,98

Uran

287 84 ,0

2,98

Neptun 450

165 2,99

Pluton 590 24 8

2,99

•SPRAWDZIAN 5 :

Satelita 1 krąży w okół planety po pew nej orbicie kołowej, a

2

po

innej

—

większej

—

orbicie kołowej, Który

z

tych satelitów ma:

a)

większy

obiegu planety, b) większą prędkość?



peryhelium,

tzn. punk t najwięk

R

v

• 1 0

1 0

m . Jak wy nika z tabeli 14.3, punk t ten znajduje

R

a

,

odpo

aphelium

orbity?

-e Z równania (14 .13) wynika, że R

a

+ R

p

= 2a , gdzie a jes t

R

R

, jeś l i przedtem znajdziemy war tość a. Zauważmy

tym celu, że O—•» a jes t związane z okresem obiegu za po

r podstawimy półoś wielką a. Postępując tak i rozwiązu

a, dostajemy

_ (GMT

T

2

\

\

1/3

Podstawiając do tego wzoru ma sę Słońc a M , równą 1,99 •

kg , oraz okres obiegu komety

T,

równ y 76 lat, czyli 2,4 • 10

otrzymujemy

a =

2 ,7 • 1 0

1 2

m. Wobec tego

= 2a

-

R„

= (2)(2 ,7 • 1 0

1 2

m) - 8,9 • 1 0

1 0

m

: 5 , 3 • 1 0

1 2

m .

(odpowie

(14.34)

Jak widać z tabeli 14.3, jest to nieco mniej niż półoś w ielka o r

Plutona. Kometa Halleya n ie znajduje s ię zatem nigdy tak dal

od Słońca jak Plu ton.

b) I le wynosi mimośród

e

orbity komety Halleya?


Zauważmy, że O — » związek m iędzy wielkościami

e, a i R

p

n ika z rysunku 14.13. Widzimy na n im, że

ea = a — R

v

,

czy

e

_

a

~

_

[

a a

8 , 9 - 1 0

0

m

=

1

- o -,

1 A

i 2

= ° '

9 7

' (odpowie

2 ,7 • 1 0

1 2

m

Orbita tej komety m a mim ośród b lisk i jedności , a więc jes t el

bardzo długą i spłaszczoną.

Obserwacje światła wysyłanego

iazdę wskazują na to , że jes t ona sk ładnikiem

porusza s ię po orbicie z prędkością

v =

270 km/s , ma okres

T

= 1,7 doby i ma sę równą w przybliże niu

m\

= 6Ms ,

Ms

jest masą Słońca, równą 1,99

•

1 0

3 0

kg . Załóż, że

m

2

tego składnika „ciemnego" .

" ~ s

1 . Dw ie rozważa ne gw iazdy poruszają s ię po orbitach ko

jedn a wokół drugie j , a obie wokół środka m asy

R R

2. Podob nie jak dla układu dw óch cząstek z paragrafu 9 .2,

ek masy tego układu leży na odcinku łączącym środki gwiazd,

O

na rysunku 14.16. Gwiazda, k tórą widać, poru

ę po orbicie o promieniu n , a gwiazda ciemn a — po orbicie

r

2

.

w

3 .

Ruch gwiazd wokół ich środka masy n ie może być nawet

okół Słońca) . Trzecie

prawo Keplera ( równanie (14 .33))

nie stosuje się

zatem w

sytuacji , a więc n ie możemy go wykorzystać do wyznacze

masy

m

2

.

O

t

4 .

Ruch gwiazd po okręgach odbywa s ię pod wpływ

siły dośrodkowej, którą jest siła ich wzajemnego przyciąga

grawitacyjnego. Wartość tej siły wynosi Gniimi/r

2

, gdzie r

odległością środków gwiazd.

O T

5 . Z równania (4 .32) wynika, że przyspieszenie dośrodk

gwiazdy widocznej

a

jes t równe

v

2

/r\.

Wszystko to razem prowadzi nas do zapisania drugiej zas

dynamik i (F = ma) d la gwiazdy widocznej w postaci

Gm\m

2

r

z

r\

Równanie to zawiera szukaną przez nas masę

m

2

,

lecz ab

wyznaczyć, musimy najp ierw znaleźć wyrażenia na

r

i

r\

(zau

natomiast , że

m\

skraca s ię w tym równaniu) .

Rys.

1 4 . 1 6 . Przykład 14.7.

Gwiazda widoczna o mas ie i

m\

i n iewidoczna („ciem- T

r

i

O

r

2

na") gwiazda o masie

m

2

\

krążą po orbitach wokół

środka masy układu po

dwójnego, czyli punktu

O

1 4

. 7 .

Planety i satelity: praw a Keple ra



Zacznijmy od wyznaczenia położenia środka masy wzglę

do czego wykorzystamy równanie (9.1) .

się w odległości równej zeru od sie

w

odległości

ri od

środka masy

i w

odległości

r od

środka

Z

równania (9.2) otrzymujemy zatem

m i ( 0 ) + m

2

r

n =

nii +

ni2

r = n -

m\ + ni2

m

2

(14.36)

(14.37)

W celu znalezienia wyrażenia

na ri

zauważmy,

że

gwiazda

się po okręgu o promieniu r\ z prędkością

i ma okres obiegu T. Z równania (4.33) wynika zatem, że

= 2nri/T,

czyli

r\

=

vT

2K'

(14.38)

to

wyrażen ie

na r\ do

wzoru (14.37) , otrzymujemy

vT

m\ +

m.2

2n

m

2

(14.39)

Wróćmy teraz do wzoru (14.35) i pods tawmy do niego wy

na r z

równania (14.39)

i na r\ z

równania (14.38) oraz

m\,

tzn. 6Ms. Przekształcając następnie

to

równanie

(2,7 • 10

5

m / s )

3

( l , 7 d ) ( 8 6 4 0 0 s/d)

( 6 M

S

+ m

2

)

2

2nG (2ix)(6,67 •

IO"

1 1

m

3

/ ( k g •

s

2

))

= 6,90 •

1 0

3 0

kg,

czyli

( 6 M

S

+

m

2

y

= 3 ,4 7 M

S

.

Jest

to

równanie trzeciego stopnia,

do

rozwiązania któr

żemy wykorzystać proste programy komputerowe. Intere

jednak tylko rozwiązanie dość przybliżone, możemy zat

stawiać po prostu do tego równania kolejno war tości m

całkowitym wielokrotnościom M i sprawdzać, dla któryc

równanie (14.40) jest możliwie dobrze spełnione. Stwi

w

ten

sposób,

że

najlepiej spełnia

to

równanie war tość

m

2

9 M

S

.

(odp

Dane tego zadania odpowiadają

w

przybliżeniu układ

dwójnemu LMC X-3 w Wielkim Obłoku Magellana (któr

na zdjęciu otwierającym ten rozdział) . Z innych pomiar

d o m o ,

że

składnik ciemny jest bardzo zwarty, skąd wyn ik

to zapewne gwiazda, która

w

wyniku kurczenia

się pod

w

własnej siły ciążenia

(tzw.

zapadania grawitacyjnego)

gwiazdą neutronową lub czarną

dziurą.

Gwiazda neutron

może jednak mieć masy większe j niż około 2M$, a zat

wynik — m.2 9Ms — wskazuje na to, że ciemny

rozważanego układu podwójnego jest czarną

dziurą.

Widzimy więc ,

że

obecność czarnej dziury

da się

jeśl i jest

ona

składnikiem uk ładu podw ójnego,

a

druga

tego układu jest widoczna, można zatem zmierzyć jej mas

kość orbitalną

i

okres obiegu.

1 4 . 8 .

Sa te l i t y : o rb i t y

i

e n e r g i a

Gdy satelita obiega Ziemię po orbicie eliptycznej, okresowo zmienia się z

jego prędkość, od której zależy jego energia kinetyczna E\_, jak i jeg o odleg

środka Ziemi, od której zależy jego energia potencjalna E

v

. Energia mech

satelity E pozostaje jednak stała (przy założeniu, żzE

v

iE układu sate lita -

możemy przypisać samemu satelicie, co jest uzasadnione, gdyż masa satel

bardzo mała w porównaniu z masą Ziemi).

Energia potencjalna układu jest dana równaniem (14.20) i wynosi

GMm

E

v

=

r

(przyjmujemy, że E

v

= 0 dla nieskończenie odleg łych ciał) . W równaniu

jest promieniem orbity, którą będziemy chwilowo uważać za kołową, a M

masami Ziemi i satelity.

W celu wyznaczenia energii kinetycznej satelity na orbicie kołowej za

drugą zasadę dynamiki ( F = ma) w postaci

V

—— = m —,

r

2

r

6 14.



v

2

/r

jest przyspieszen iem dośrodkow ym sateli ty.

Z

tego równania wynika,

1

,

GMm

E

k

= -mv

1

= — — ,

(14.42)

2 2r

że dla

sateli ty

na

orbicie kołowej

E

k

= —

(orbi ta kołowa). (14.43)

na

orbicie jest zatem równa

GMm

GMm

E

= Ek + E

p

=

GMm

2r

2r

(orbi ta kołowa).

(14.44)

to, że

całkowita energia E satelity

na

orbicie kołowej jest równa jego

kinetycz nej wziętej

z

p rzec iwnym znak iem,

tzn.

E = - £

k

orbita kołowa . 14.45

na

orbicie eliptycznej

o

półosi wielkiej a otrzy

do

równania (14.44) a zamias t r. Daje

to

E =

GMm

2a

(orbita eliptyczna).

(14.46)

Z równania (14.46) wynika,

że

całkowita energia sateli ty

na

orbicie

zależy

od

półosi wielkiej orbity,

a nie od jej

m i m o ś r od u e.

Na

przykład określony

E

na

każdej

na

rysunku 14.17, gdyż mają

one

wszystkie taką

wielką.

Na

rysunku 14.18 przedstaw iono zależn ość

Ą ,

E

v

i

E

od

r

po

orbicie kołowe j wo kół ciała

o

bardzo dużej masie .

energia

e = 0

E(r)

Cztery orbity wokół ciała o

M.

Wszystkie

te

orbity mają taką

a, a

za tem od powiada

E. Przy każdej orbicie

je j mimośród

E = Ei + E„

Rys. 14.18.

Zależność energii kinetycznej

£ie> energii potencjalnej E

p

i energi i całko-

witej

E od

promienia

r dla

satelity

na

orbi-

ci e kołowej .

Dla każdej wartośc i r wartośc i

E

p

i E są u j emne , a wartość £

k

jest dodat

nia, przy czym

E = —E^. Gdy r co,

każda z tych energii dąży do zera

7 lutego 1984 roku B ruce McC and

wyszedł

w

przest rzeń kosmiczną

z

jazdu poruszającego

się z

prędko

29 000 km/h, znajdującego

się

wów

na wysokości 102 km nad Hawaj

N ie był p rzymocowany do wahadło

liną, a zatem stał się p i e rwszym c

wiekiem sateli tą Ziemi

14.8 .

Satel i ty: orbity

i

ener g ia



l

/SPRAWDZIAN 6

: W ahadłow iec kosmiczny

okrąża początkowo Ziem ię po orbicie kołowej o pro

mieniu r , jak pokazano na rysunku. W chwili , gdy

pojazd znajduje się w punkcie P, pilot włącza na

chwilę silnik hamujący, aby zmniejszyć energię ki

netyczną Ą i energię mechan iczną E wahadłowca,

a) Po której z orbit eliptycznych, oznaczonych na

rysunku linią przerywaną, będzie się następnie po

ruszał pojazd? b) Czy okres obiegu orbity T (czyli

czas powrotu do punktu

P)

tego wahadłowca bę

dzie większy, mniejszy, czy taki sam, jak wtedy,

gdy krążył on po orbicie kołowej?

h równej 350 km

Ziemią,

gdy astronauta żar towniś wyrzuca z niego na orbitę

m

= 7,2 kg.

E tej kuli na jej orbicie.

O —

» energię E będziemy mogli obliczyć ze wzoru

(E = —GMm/2r), jeśli znajdziemy najpierw promień

r. Jego wartość wynosi

r = R + h = 6370 km + 350 km = 6 ,72 • 10

6

m ,

R

jest promieniem Ziemi. Z równania (14.44) otrzymujemy

GMm

E =

-^r

(6,67 •

I O "

1 1

m

3

/ ( k g • s

2

) ) ( 5 , 9 8 • 1 0

2 4

kg) (7 ,2 kg)

(2) (6,72 • 1 0

6

m )

= - 2 , 1 4 • 1 0

8

J = - 2 1 4 MJ. (odpowiedź)

A £ energii mechan icznej

podróży z wyrzutni na orbitę .


Musimy pamię tać , że

O T

na wyrzutni kula nie znajduj

orbicie , a więc nie stosuje się do niej wzór (14.44) . Za

zatem po prostu, że E

0

= Eko + E

P

o> przy czym E

k

o jest

kinetyczną kuli, a Epo — grawitacyjną energią potencjalną

kula-Ziemia. W celu wyznaczenia Epo skorzystamy ze

(14.20), co daje

GMm

£

P

o = —

F

-

_ 6,67 I O

1 1

m

3

/ k g s

2

) ) 5 , 9 8 1 0

2 4

kg) 7 ,2

6,37 1 0

6

m

= - 4 , 5 1

1 0

8

J = - 4 5 1 M J .

Energia kinetyczna kuli Eko jest związana z ruchem kuli

ruchu obrotowego Ziemi. Możesz wykazać, że jest ona m

niż 1 MJ, a więc jest znikomo mała w porównaniu z w

bezwzględną E

p 0

. Wobec tego energia mechaniczna kuli

rzutni wynosi

E

0

=

£

M

+ £

p

o ~ 0 — 4 5 1 M J = - 4 5 1 M J .

(od

Wzrost energii mechanicznej kuli podczas je j podróż

rzutni na orbitę wynosi

A £ = £ - E

0

= - 2 14 M J) - - 4 5 1 M J) = 237 M

(odp

Tyle energii możesz kupić od zakładu energetycznego za

ście z łotych. Jest zatem oczywiste , że wysoki koszt umies

ciała na orbicie okołoziemskiej nie jest związany z ener

chaniczną, której trzeba mu w tym celu dostarczyć.

1 4 . 9 .

G r a w i t a c j a w e d ł u g E i n s t e i n a

Zasada równoważności

Alber t E ins t e in powiedz ia ł k i edyś : „Siedz ia ł em ( . . . ) w urzędz ie pa t en

w Be rn ie , gdy nagle przysz ł a mi do g łowy t aka myśl : gdy cz łowiek spada sw

nie ,

nie może czuć swego ciężaru. Byłem wstrząśnięty. Ta prosta myśl w

na mnie wielkie wrażenie. To ona skierowała mnie w st ronę teori i grawi t



Tak Einstein wspomina początek swej pracy nad stworzeniem

ogólnej teori i

Podstawowym postulatem tej teori i grawi tacj i (czyl i wzajemnego

zasada równoważności ,

która mówi , że skutki gra

i i ruch u przyspiesz oneg o są sobie rów now ażne. Gdyb y fizyka zam knąć

pojemniku , j ak na rysunku 14 .19 , n i e mógłby on s twierdz ić , czy po

nik spo czyw a na Zie mi (znajdując się jedy nie pod działaniem z iemskiej s i ły

jak n a rysunku 14.19a, czy też por usza się w przest rzeni ko smic z

2

(znajdując się jedy nie pod wp ływ em

czasoprze

czterowymiarowej przest rzeni , w której znajduje się nasz wszechświat ) .

W yt łumaczen ie , j ak przes t rzeń (na przykład próżnia) moż e być zakrzyw iona ,

jest ła twe. Spróbujmy p osłużyć się następującą analogią. Wyo braź sob ie, że

i l i s tartu łodzie są od siebie odległe o 20 km i obie kierują się

połu dnie , jak na rysun ku 14.20a. Z punktu w idzenia żeglarzy ich łod zie

jed na k do siebie, aż w pobl iżu biegu na połud niow ego w padają n a siebie.

jest po prostu konsekw encją k rzyw izny pow ierzchni Zie mi . W idzim y to,

Na rysunku 14 .20b przeds t awiono podobny „wyśc ig" . Dwa j ab łk a pu szczamy

że jab łka spadają po torach równ oległych , lecz

rzeczywistości zbl iżają się do siebie, gdyż oba kierują się ku środkowi Ziemi .

żemy j ednak zobrazować t ę krzywiznę , t ak j ak na rysunku 14 .20c. Jab łka będą

Gdy świat ło przebiega w pobl iżu Ziemi , jego tor nieco się zakrzywia ze

Rys. 14.19.

a) Fizyk zamknię

jemniku spoczywającym na Z

serwuje melon spadający z prz

niem a = 9 ,8 m/s

2

, b) Jeśl

nik porusza się daleko w przest

smicznej z przyspieszeniem rów

m / s

2

, to przyspieszenie melon

dem fizyka jest takie sam o jak n

Fizyk nie może stwierdzić na

wie żadnych doświadczeń wy

w pojemniku, w której z tych d

tuacji się znajduje. Na przykład

której f izyk stoi , ma w obu prz

takie same wskazania



Ś c) ^ Z i e m i a

Rys.

1 4 . 2 0 .

a) Dwa

c ia ła poruszające

się

wzdłuż południków

ku

b iegunowi połudn

zbliżają

się do

siebie

ze

względu

na

krzywiznę powie rzchni Ziemi ,

b) Dwa

ciała s

swobodnie w pobliżu Ziem i poruszają się po torach, które zbiegają się ku środkowi Z

względu

na

zakrzywienie przestrzeni

w

pobliżu Ziemi,

c)

Da leko

od

Ziemi

(i

inny

przestrzeń jest płaska

i

tory równolegle pozostają takimi

w

czasie ruchu cia ł .

W

Ziemi tory te zaczynają się zbiegać, gdyż przestrzeń jest tu zakrzywiona na skutek ob

masy Ziemi

ogniskowaniem (soczewkowaniem) grawitacyjnym. Przy przejściu w pobliż

o jeszcze większej masie, na przykład galaktyki lub czarnej dziury o dużej

tor wiązki zagina się odpowiednio silniej. Wyobraźmy sobie, że takie ciało

żej masie znajduje się między nami a kwazarem, czyli niezwykle silnym i

odległym źródłem światła. Światło biegnące do nas z kwazara ulegnie z

wieniu w pobliżu teg o ciała o dużej masie, ja k pokaza no na rysunku

tory św iatła

z kwazara

Cs

pozorne kierunki

położenia kwazara

galaktyka lub duża

czarna dziura

tory światła

docierającego

do Ziemi

na Ziemi

Rys. 14.21 a) Św ia t ło z odległego kwazara biegnie po torach, które zakrzywiają się

laktyce lub dużej czarnej dziurze, ponieważ masa tej galaktyki lub czarnej dziury za

przestrzeń

w jej

otoczeniu. Światło obserwowane

z

Ziemi zdaje

się

przychodzić

z

kie

wyznaczonych przez przedłużenia promieni docierających

do

Ziemi (oznaczone l iniam

rywanymi) , b) Pierścień Einste ina, znany jako obiekt MG1131+0456, na ekranie ko

połączonego

z

te leskopem. Źródło światła

(w

istocie

fal

radiowych, będących

— ja

t ło

—

promieniowaniem elektromagnetycznym) znajduje

się

daleko

za dużą,

niew

galaktyką, której obecność jest przyczyną powstania pierścienia; część źródła jest w

w postaci dwóch jasnych punktów na pierścieniu



pierścieniem Einsteina (rys. 14.21b ).

Czy powinniśmy wiązać ciążenie z krzywizną przest rzeni w otoczeniu mas,

grawitonem, której istnienie postuluje

powszechnego ciążenia Każd e c ia ło we wszechśw iecie

s i łą c iężkości (s i łą grawitacyjną) o

m i

» i 2

F = G

—-— (prawo powszech nego c iążenia) . (14.1)

r

l

równaniu tym

m\

i

m

2

to mas y ciał ,

r

— ich odległość , a

G

•

1 0 ~

u

N

•

m

2

/ k g

2

) —

s tała grawitacyjna.

jednorodnego c ia ła kul istego o masie M, wartość dzia ła jąc

cząstkę siły ciążenia jest dana wzorem (14.1). Z drugiej z

dynamiki wynika za tem, że

F = ma

g

,

(

a stąd

Rów

kowania . Jeśl i jedna k k tóreś z c ia ł ma kszta ł t jedn orodne j

zewnętrzne

względem niego, może

Si ła c iężkości podlega

zasadzie superpo

co oznacza, że jeśli oddziałuje ze sobą

n

cząstek, to siła

F\

>wyp

działająca na cząstkę oznacz oną jak o 1 jest

czą

n

n

Y

F

~

u

<

(14

-

4)

i = 2

Fu ,

działające na cząstkę 1 ze strony cząstek 2,

3 , . . . , n.

F\

działającą na cząstkę ze

AF ,

i na drodze całkowania znaleźć ich

(14.5)

Przyspieszenie spadku swobodnego i ciężar

Przyspieszen

z jakim c ia ło spada swobodnie w pobl iżu powierzchni Z

różni się nieco od przyspieszenia grawitacyjnego

a

g

,

a ciężar

( równy

mg)

jest nieco różny od wartości działającej na to

siły ciążenia, danej wzorem (14.1), ponieważ Ziemia nie jes

jednorodna, ani kulista, a do tego obraca się wokół swej osi

Ciążenie wewnątrz powłoki kulistej Wypadk owa si ła c ią

działająca ze strony ciała w kształcie jednorodnej powłoki ku

na cząstkę znajdującą się wewnątrz pow łoki jest równa zeru.

nika stąd, że jeśli cząstkę umieścimy wewnątrz ciała w kszt

jednorodnej kuli w odległości r od jej środka, to działając

cząstkę siła ciążenia pochodzi jedynie od tej części masy

Mwewn. która jest zawarta wewnątrz kul i o promieniu

r.

Ma

jest równa

4 w

3

M

w e w

„ = p - ^ — , ( 1

gdzie

p

jest gęstością ciała.

G rawitacyjna energia potencjalna Grawitacyjna energia

tencjalna

£

p

r uk ł adu dwóch

cząstek o masach

M

i

m

zna

cych się w odległości r od siebie jest równa wziętej z przeciw

znakiem pracy wykonanej przez siłę ciążenia, działającą ze s

dowolnej z tych cząstek na drugą z nich, przy zmianie odleg

cząstek od nieskończonej (bardzo dużej ) do

r.

Wynosi ona

GMm

E

p

= (grawitacyjna energia poten cjalna). (1

Przyspieszenie grawitacyjne a

g

r

od środka

Energia potencjalna układu cząstek

Jeśli układ składa

więcej niż dwóch cząstek, to całkowita grawitacyjna energia

tencjalna tego układu

E

v

jest równa sumie energii potencja

Podsumowanie



wszystkich par cząs tek. Na przykład dla t rzech cząs tek o masach

m i ,

ni2 i mi

Gm\mi Gniim

3

Gmitn-ł\

+ + .

r\i r

n

r

2 3

/

(14.21)

Prędkość ucieczki Cząstka mo że s ię uwolnić od działania przy

ciągania grawitacyjnego ciała niebieskiego o masie M i promieniu

R ( tzn. może s ię od niego nieskończenie oddal ić) , jeś l i nada s ię

jej w pobl iżu powierzchni tego ciała prędkość równą co najmniej

prędkości ucieczki , wynoszącej

2GM

R

(14.27)

Prawa Keplera Ciała Układ u Słonecznego, a także sateli ty

Ziemi, naturalne i sztuczne, wiążą ze sobą siły przyciągania gra

witacyjnego. Wzajemny ruch tych ciał jes t rządzony przez t rzy

prawa Keplera wynikające z prawa powszechnego ciążenia i za

sad dynamiki Newtona:

1 .

Pierwsze prawo Keplera.

Wszystkie planety poruszają się

po orbitach w kształcie elipsy, w której ognisku znajduje się

Słońce.

2 . Drugie prawo Keplera .

Linia łącząca planetę ze Słońcem

zakreś la w jednakowych odstępach czasu jednakowe pola po

wierzchni w płaszczyźnie orbi ty (s twierdzenie to jes t równo

ważne zasadzie zachowania momentu pędu).

3 . Trzecie prawo Keplera.

Kwadrat okresu T ruchu każdej

planety na orbicie wokół Słońca jes t proporcjonalny do sze

ścianu półos i wielkiej a tej orbity. Dla orbit kołowych o

promieniu

r

półoś wielka

a

jes t równa promieniowi

i prawo to przybiera postać

•> ( 4 n

2

'

X

GM )

( t rzecie prawo Keplera) ,

przy czym M jes t masą ciała , wokół którego krąży

czyl i Słońca w przypadku Układu Słonecznego. Rów

stosuje się również do orbit eliptycznych, przy czym

promienia r należy podstawić półoś wielką a.

Energia w ruchu po orbicie Energia potencjalna E

p

tyczna E^ planety lub satelity o masie m w ruchu po

kołowej o promieniu r wynosi

GMm

oraz E

k

GMm

r 2r

Energia mechaniczna E = E^ + E

p

jes t zatem równa

GMm

E =

•

(14.20

2 r

Dla orbity eliptycznej o półosi wielkiej równej a

GMm

E =

2a

G rawitacja według Einsteina Einste in stwierdził, że sk

żenia (grawitacj i ) i ruchu przyspieszonego są sobie równ

Sformułowana w ten sposób

zasada równoważnośc i

d

dziła go do stworzenia teorii grawitacji

(ogólnej teori i

ności ) ,

która t łumaczy zjawiska grawitacyjne za pomocą

wienia przes trzeni .

1 . Jak pokazano na rysunku 1 4 .22, dwie cząs tki o masach m

i 2m znajdują się w pewnych punktach na osi. a) Gdzie na tej osi

(w skończonej odległości od danych cząs tek) należy umieścić t rze

cią cząstkę o masie 3m, tak by wypadkowa siła ciążenia działająca

na nią ze s trony cząs tek danych była równa zeru — na lewo od o bu

cząstek, na prawo od nich, między cząstkami i bliżej lżejszej z nich

czy między cząs tkami i bliżej c ięższej z nich? b) Czy odp owiedź na

to pytanie zmieni s ię , jeś l i t rzecia cząs tka będzie m iała masę 16m?

c) Czy istnieje taki punkt

poz a

osią,

w który m s i ła wy- •

padkowa działająca na trze

cią cząstkę jest równa zeru?

Rys. 1 4 . 2 2 .

Pytanie

1

2m

2.

Na rysunku 14.23 przedstawiono pewną cząs tkę, otoczoną

dwoma kołowymi pierścieniami cząs tek. Promienie tych pierścieni

wynoszą r i R, przy czym R > r, a wszystkie cząstki mają masę

m. Wyznacz wartość i kierunek wypadkowej s i ły grawitacyjnej

działającej na środkową cząstkę ze strony cząstek tworzących pier-

\ i y

/ • \

/ i \

i

Rys.

1 4 . 2 3 .

Pytanie 2

Rys. 1 4 . 2 4 .

Pytanie 3

3 . Jak pokazano na rysunku 14.24, pewna cząs tka o m

znajduje s ię w środku kwadratu, wzdłuż boków którego

czone są inne cząs tki , odległe od s iebie wzdłuż obwodu k

o d lu b d/2. Wy znacz wartość i kierune k wypadk owej

witacyjnej działającej na środkową cząstkę ze strony poz

cząstek.

5 2 1 4 . Grawitacja



rysunku 14.25 przedstawiono cztery układy ciał złożone

m oraz jednego lub więcej jednorodnych prętów

M i długości L, odległych od cząstki o d. Uszereguj te

łady w zależności od wartości wypadkowej siły grawitacyjnej

ej na cząstkę ze strony prętów, od największej do naj

a)

b)

Rys.

1 4 . 2 5 .

Pytanie 4

I

d)

rysunku 14.26 przedstawiono dla czterech planet zależność

a

g

na tej planecie od odległości

oczynając od powierzchni planety (czyli

Ri, R

2

, R

3

i RĄ). Krzywe 1 i 2 nakładają się na

r R

2

, a krzywe 3 i 4 nakładają się na siebie dla r > RĄ.

zych do najmniejszych wartości tych wielkości.

Pytanie 5

rysunku 14.27 przedstawiono trzy jednorodne planety

g w tych punktach, od największej

Rys.

1 4 . 2 7 .

Pytanie 6

7 .

Znajdujesz się w przestrzeni kosmicznej w inercjalnym

dzie odniesienia i obserwujesz dwie jednakowe, jednorodne

poruszające się ku sobie pod wpływem siły wzajemnego pr

gania grawitacyjnego. Przyjmij, że w chwili początkowej obi

miały prędkość równą zeru, a energia potencjalna układu ku

nosiła

Sp.pocz-

Wyznacz energię kinetyczną każdej kuli w c

gdy ich odległość wynosi połowę ich odległości początkow

8 .

Uszereguj cztery układy cząstek o jednakowej masie ze s

dzianu 2 w zależności od wartości bezwzględnej grawitac

energii potencjalnej układu, od największej do najmniejszej

9 . Na rysunku 14.28 przedstawiono sześć torów, po któryc

kieta znajdująca się na orbicie wokół księżyca może prz

ścić się z punktu

a

do punktu

b.

Uszereguj te tory w zależ

od odpowiadającej ruchowi

po nich: a) zmiany grawi

tacyjnej energii potencjal

nej układu rakieta-księżyc,

b) pracy wykonanej nad ra

kietą przez siłę grawitacyjną

działającą na nią ze strony

księżyca, od największych

do najmniejszych.

Rys. 14.28.

Pytanie 9

1 0 .

Jak pokazano na rysunku 14.29, dwie cząstki o masa

i

2m

są unieruchomione w pewnych punktach na osi. T

cząstka (nie pokazana na rysunku), o masie m, ma być pr

siona z nieskończonej odległości w jedno z położeń: a, b

Uszereguj te położenia w zależności od pracy, jaką musi wyk

nad trzecią cząstką wypadkowa siła grawitacyjna działająca n

ze strony cząstek nieruchomych, od największej do najmnie

a 2m b m

Rys. 14.29.

Pytanie

10

1 1

. Jak pokazano na rysunku 14 .30, cząstka o masie m

duje się początkowo w punkcie A, odległym o d od środka

nej jednorodnej kuli oraz o Ad od środka innej jednorodnej

z których obie mają masę M

3>

m. Cząstka zostaje nast

przeniesiona z punktu A do punktu D. Odpowiedz, czy p

sze wielkości są przy tym dodatnie, ujemne, czy równe

a) zmiana grawitacyjnej energii potencjalnej cząstki, b) praca

konana przez działającą na cząstkę wypadkową siłę grawitac

Pytania



praca wykonan a przez s i łę powodującą przemiesz czenie cząstki .

B do punktu C?

D

M

Pytanie 11

M

2 .

Na rysunku 14.31 przedstawiono trzy pary gwiazd

tworzą

oraz podano ich masy i odległości , a) Gdzie

pary gwiazd w zależności od war tości przyspieszenia d

wego gwiazd, od największej do najmniejszej .

(1)

2 L -

(2)

2L-

(3)

Rys.

1 4 . 3 1 .

Pytanie 12

I m

- @ 2 M

•

Rozwiązanie jest dostępne na s tronie internetowej pod



wykorzystującej oprogramowanie Interact ive Learning-

Ware (na tej samej stronie)

2 P r a w o p o w s z e c h n e g o c i ą ż e n i a

. W jakiej odległości od s iebie muszą znajdować się dwie cząstki

masach 5,2 kg oraz 2,4 kg, aby siła ich przyciągania grawita

• 1 0 ~

1 2

N ?

.

Niektórzy wierzą w to, że położe nie planet w chwili urodzin ma

ążenia, jaką działa na dziecko lekarz przyjmujący poród,

t większ a od siły, jak ą działają na nie planety. Aby spraw dzić,

k jes t w istocie, oblicz i porówn aj ze sobą wartoś ci siły

jaką działa na noworodka o masie 3 kg: a) lekarz o

sie 70 kg znajdujący się w odległo ści 1 m od dziec ka (przyjmij,

m = 2

•

1 0

2 7

kg, gdy

• 1 0

1 1

m od

oraz c) Jowisz, gdy znajduje się on najdalej od Ziemi, tzn.

• 1 0

1 1

m od niej . d) Czy wspomniani prześmiewcy

. Jeden z satelitów z serii Echo ma postać kulis tego balonu alu

. Na Księżyc działa s i ła ciążenia ze s trony zarówno Słońca, jak

F/F (średnia odległość

5.

Pewne ciało o masie M dziel i s ię na dwie części o ma

M — m, które następnie oddalają s ię od s iebie. Dla jakiej

s tosunku m/M wa rtość siły grawitacy jnej działającej mię

częściami jest największa?

1 4 . 3

G r a w i t a c j a

a

z a s a d a s u p e r p o z y c j i

6. Statek kosmiczny leci wzdłuż linii prostej łączącej

Księżyc. W jakiej odległości od Ziemi wypadkowa si ła

działająca na statek jest równa zeru?

7 .

W jakiej odległości od Ziemi musi znajdować się so

smiczna na prostej łączącej Ziem ię i Słońce, aby siły przy

grawitacyjnego działające na nią ze s trony Ziemi i Słońc

ważyły s ię?

8 . Trzy kule o masie 5 kg

znajdują się na płaszczyź

n ie x y w miejscach pokaza

nych na rysunku 14.32. I le

wynosi war tość wypadko

wej siły grawitacyjnej dzia

łającej na kulę umieszczoną

w początku układu współ

rzędnych ze strony pozosta

łych kul?

y

W

0,3 m

0,4 m

-

Rys. 14.32.

Zadanie 8

9 .

Jak pokazano na rysunku 14.33a, cztery kule znajdu

wierzchołkach kwadratu o boku 2 cm. Wyznacz war tość

nek wypadkowej s i ły grawitacyjnej , jaką działają te kule

o mas ie

ms

= 250 kg umieszczoną w środku kwadratu.

10. Jak pokazano na rysunku 14.33b, t rzy kule, dwie

m i jedną o masie M , umieszczono w wierzchołkach

równobocznego, a czwartą kulę, o masie ma, — w śro

trójkąta. Wypadkowa siła grawitacyjna działająca na ku

kową ze strony trzech pozostałych jest równa zeru. a) Il





w jednos tkach ml b) I le wynies ie wartość wypadkowej s i ły

działającej na środkową kulę , jeśli jej ma sa będ zie

2mąl

d-

0

kg 500 kg

1 4 . 3 3 .

Zadania 9 i 10

. Masy i współrzędne t rzech kul wynoszą: 20 kg, x = 0,5 m,

1 m; 40 kg, x = — 1 m, y = — 1 m; 60 kg, x = 0 m,

kule na ku lę o ma sie 20 kg znajdującą się w początku ukła du

iSw

.

Cztery jednorodne kule o masach m\ = 400 kg , m

B

= 350

. m

c

= 200 0 kg i m

D

= 500 kg znajdują się w punktach

(x, y) równych odpowiednio (0 ,50 cm) , (0 ,0) ,

0 cm, 0) i (40 cm , 0). I le wynosi w ypadkowa s i ła grawitacyjna

B

ze strony pozostałych kul?

.

Na rysunku 14.34 przedstawiono kulę ołowianą o promieniu

ym wydrążeniem rozciągającym s ię od środka kul i do je j

M.

ta wydrążona kula oło- ^

m, leżącą na prostej

przez środek " ,„

wydrą- *

w odległości d od

Rys.

1 4 . 3 4 . Zadanie 13

i

G r a w i t a c j a w p o b l i ż u p o w i e r z c h n i Z i e m i

. Wyobraź sobie , że s toisz na wadze na chodniku przed wie

. N a jakiej w ysokości nad powierzchnią Ziemi przyspieszenie

2

?

.

a) I le będzie ważyło na powierzchni Księżyca ciało, które na

100 N? b) W jakiej odległości od środk a

jednostkach promien ia Ziemi, należałoby

umieścić to ciało, aby jego ciężar był równy jego ciężarow

Księżycu?

1 7.

Największa możl iwa prędkość kątowa ruchu obrotowego

nety odpowiada sytuacji, w której siła ciążenia działająca na

na równiku ledwie wystarcza, by zapewnić s i łę dośrodkową

trzebną do obrotu z taką prędkością (dlaczego?), a) Wyka

odpowiadający tej sytuacji najkrótszy okres obrotu planety wy

gdzie p jest gęstością jednorodnej planety kulistej, b) Oblic

okres obrotu, zakładając, że gęstość planety wynosi 3 g/cm

3

, co

wielkością typową dla wielu planet, satelitów i planetoid. N

nie obserwowano, aby jakiekolwiek ciało niebieskie obracał

z okresem krótszym niż wyznaczony w tym zadaniu.

18 . Model pewnej planety zakłada, że składa s ię ona z jąd

promieniu R i masie M oraz wars twy zewnętrznej o prom

wewnęt rznym równym R i zewnętrznym równym 2R oraz m

AM .

Przyjmij, że

M

= 4,1 • 10

2 4

kg, a

R =

6 • 10

6

m i o

przyspieszenie grawitacyjne cząstki znajdującej się w odleg

a) R oraz b) 3R od środka planety.

19.

Ciało jes t zawieszone na wadze sprężynowej na s tatku

nącym wzdłuż równika z prędkością v. a) Wykaż, że wskaz

wagi jes t niemal równe W

0

(l ± 2cov/g), gdzie co jest prędko

kątową Ziemi, aW o — wskazaniem wagi na nieruchomym st

b) Wyjaśnij, skąd bierze się znak ± .

2 0 . Promień Ri

z

i masa M

Az

czarnej dziury są ze sobą

z

zane zależnością R

iz

= 2GM

iz

/c

2

, przy czym c jes t prędko

światła. Przyjmij, że przyspieszenie grawitacyjne a

g

ciała zn

jącego s ię w odległości

r

c

=

l,001if

dz

od środka czarnej d

jes t dane wz orem (14.10) (co jes t prawdą dla dużych czar

dziur) ,

a) Wyznacz zależność a

t

(w punkcie odległym od śr

czarnej dziury o r

c

) od M&

z

. b) Czy a

g

(w tym punkcie) ro

czy maleje ze wzrostem M& 1 c) Ile wynosi a

g

(w tym pun

dla bardzo du żej czarnej dz iury o masie rów nej 1,55 • 1 0

1 2

Słońca (masa Słońca wy nosi 1,99 • 1 0

3 0

kg )? d) Wyobraź sobi

as tronautka z przykładu 14.3 znajduje s ię w punkcie odległy

r

c

od środka tej czarnej dziury, mając stopy zwrócone w stron

środka. Oblicz różnicę przyspieszenia grawitacyjnego w mie

w któr ym znajduje się jej głowa , i w miejscu, w który m zna

się jej stopy, e) Czy rozciągan ie ciała astronau tki będzie gr

dla je j zdrowia?

2 1

.

Podejrzewa s ię , że niektóre gwiazdy neutronowe (gwi

o olbrzym iej gęstości) wirują z prędko ścią 1 obrotu na sek u

Przyjmij,

że taka gwiazda ma promień 20 km, i obl icz, jak

najmniej musi być jej masa, by materia na jej powierzchni

odrywała s ię od gwiazdy przy tak szybkim jej obrocie .

i '\ /

1 4 . 5 G r a w i t a c j a w e w n ą t r z Z i e m i

2 2 .

Na rysunku 14.35 przedstawiono dwie wspó łśrodk

powłoki kuliste o stałej gęstości i masach M\ i M

2

.

Z a d a n i a



umieszczoną: a) w punk

A

odległym od środka o

=

a,

b) w punkcie

B

od

r = b,

C

odległym

r = c (r

jest

Rys.

1 4 . 3 5 . Zadanie 22

3 .

Kula o stałej gęstości ma masę 1 • 10

4

kg i promień 1 m.

m

umieszczoną w odległości a) 1,5 m oraz b) 0,5 m od

r

1 m, od

r.

4 .

Przyspieszenie grawitacyjne ciał znajdujących się na po

R

jest równe

a

g

.

Wyznacz

g

/ 3.

Wskazówka:

Rozważ odległości

5 .

Na rysunku 14.36 przedstawiono schematyczny (nie w skali)

skorupy, płaszcza

oraz

jądra.

Wymiary tych warstw i ich masy podano na

2 4

kg i promień

kulą,

i pomiń jej ruch obro

a

g

na powierzchni Ziemi, b) Wy

a

g

25 km

jądro,

1,93

•

10

2 4

kg

płaszcz, 4,01 • 10

2 4

kg

skorupa, 3,94

•

10

2 2

kg

na dnie takiego szybu, c) Przyjmij z kolei, że Ziemia jes

rodną kulą o takiej samej, jak podano powyżej, całkowit

i takim samym promieniu. Ile wynosi teraz

a

g

na głębokoś

(dokładne pomiary

a

t

są źródłem informacji o wewnętr

dowie Ziemi, choć ich wyniki są nieraz zaburzone przez

zmiany gęstości gruntu)?

14. 6 Grawi tacyj na ene rg ia pote ncj alna

2 6 .

a) Ile wynosi grawitacyjna energia potencjalna układ

cząstek z zadania 1? Wyobraź sobie, że odległość tych

zwiększono trzykrotnie. Jaka praca została przy tym w

przez: b) działającą między cząstkami siłę grawitacyjną,

powodującą zwiększenie odległości cząstek?

2 7 .

Rozważ jeszcze raz sytuację z zadania 12. a) Us

A

i oblicz grawitacyjną energię potencjalną układu poz

trzech kul. b) Wyobraź sobie, że ponownie umieszczasz

w jej poprzednim miejscu. Czy energia potencjalna po

w ten sposób układu czterech kul będzie większa, czy m

od energii z punktu (a)? c) Czy praca, jaką musiałeś w

w punkcie (a), aby usunąć kulę

A,

jest dodatnia czy

d) Czy praca, jaką musiałeś wykonać w punkcie (b), aby p

dołączyć do układu kulę

A,

jest dodatnia, czy ujemna?

2 8 .

Rozważ jeszcze raz sytuację z zadania 5. Dla jakie

ści stosunku

m/M

grawitacyjna energia potencjalna ukł

najmniejsza?

2 9 .

Średnica Marsa wynosi w przybliżeniu 6,9 • 10

3

km

nica Ziemi — 1,3 • 10

4

km. Masa Marsa stanowi 0,1

Ziemi, a) Ile wynosi stosunek średnich gęstości Marsa i

b) Ile wynosi przyspieszenie grawitacyjne na Marsie? c)

nosi prędkość ucieczki z Marsa?

3 0 .

Oblicz energię potrzebną do ucieczki ciała a) z Księż

b) z Jowisza, wyrażając ją w jednostkach energii potrze

ucieczki z Ziemi.

3 1 .

Trzy kule przedstawione na rysunku 14.37 mają mas

800 g,

m

B

= 100 g i

m

c

=

200 g, a ich środki ustawio

jednej prostej, przy czym

L

= 12 cm, a

d

= 4 cm. Prze

kulę

B

wzdłuż linii łączącej środki kul do położenia, w

odległość środków kul

B

i

C

wynosi

d

= 4 cm. Jak

zostaje przy tym wykonana nad kulą

B

przez: a) siłę u

przesunięcia kuli

B,

b) wypadkową siłę grawitacyjną d

na kulę

B

ze strony kul

A

i

Cl

- -3l

l

JHkm

Rys. 1 4 . 3 6 .

Zadanie 25

Rys.

1 4 . 3 7 . Zadanie 31



.

Hipotetyczna planeta Zero ma masę równą 5

•

1 0

2 3

kg , pro

• 10

6

m i jes t pozbaw iona atmosfery. Z je j po

1 0

6

m od środka planety, jeśli jej energia początkowa w chwili

• 1 0

7

J. b) Jaką początkową energię ki

• 1 0

6

m ?

.

Rakiecie nadano w pobl iżu powierzchni Ziemi prędkość

= 2^/gR

z

(R z — promień Ziemi), po czym pozwolono jej

v = ^J2gRz-

. Planeta Roton o masie 7 • 1 0

2 4

kg i promieniu 1600 km przy

siłą grawitacyjną m eteoro id znajdujący się początkow o w

tak daleko od planety, że jego odległość od planety

. a) Oblicz prędkość ucieczki z kul is tej planetoidy o promieniu

2

, b) Jak daleko odbiegnie od powierzchni te j planetoidy

w w

.

Rakieta o masie 150 kg oddala s ię radialnie od Ziemi. W

gdy znajduje s ię ona w odległości 20 0 km od powierzchni

/s, jej silnik zostaje wyłączony,

.

Każda z dwóch gwiazd neutronowych odległych od s iebie

1 0

1 0

m ma masę 10

3 0

kg i promień 10

5

m. W chwil i po

»•">•.•-•

.

Daleko w przestrzeni kosmicznej znajdują się dwie kule. Kula

0 kg i jes t umieszczona w początku os i x, a kula

a masę 10 kg i jes t umieszczona w punkcie o współrzędnej

A j e s t unie ruchomiona , a kul i Bpozwalamy

B po przebyciu przez

.

Pocisk zostaje wystrzelony pionowo z powierzchni Ziemi

i wyznacz maksymalną wysokość, na jaką wznies ie s ię ten po

nad powierzchnię Ziemi, t iw

1 4 . 7 P l a n e t y i s a t e l it y : p r a w a K e p l e r a

4 0 .

Średnia odległość Marsa od Słoń ca jes t 1,52 razy większa

średnia odległość Ziemi od Słońca. Korzystając z trzeciego p

Keplera, oblicz, ile lat zajmuje Marsowi jedno okrążenie Sło

Porównaj otrzymany wynik z wartością podaną w dodatku C

4 1 . Satel ita Marsa Phobos obiega planetę po orbicie niemal k

wej.

Znając promień tej orbity, równy 9,4

•

10

6

m, i okres obi

wynoszący 7 godzin i 39 minut , wyznacz masę Marsa.

4 2 .

Wyznacz masę Ziemi, wiedząc, że promień orbi ty Księ

r jes t równy 3,82 • 1 0

5

km, a okres obiegu T wynosi 27,3 d

Przyjmij,

że środkiem orbity Księżyca jest środek Ziemi, a

ś rodek masy układu Ziemia -Ks iężyc .

4 3 .

S łońce , k tórego masa wynos i 2-10

3 0

kg, obiega środek D

Mleczne j ,

odległy od nas o 2,2 • 1 0

2 0

m, przy czym okres

ruchu wynosi 2,5

•

10

8

lat. Przyjmij, że wszystkie gwiazdy w

laktyce mają masę równą masie Słońca, że są one rozłożone

nomiernie w kul i o ś rodku w centrum Galaktyki oraz że Sł

znajduje się na skraju tej kuli, i oszacuj liczbę gwiazd w na

Galaktyce.

4 4 . Satel i ta został umieszczony na okołoziemskiej orbicie k

wej o promieniu równym połowie promienia orbi ty Księżyca.

licz okres ruchu tego satelity w miesiącach księżycowych (mie

księżycowy jes t to okres obiegu Księżyca wokół Ziemi).

4 5 . a) Ile wynosi prędkość liniowa satelity Ziemi na orbicie

łowej odległej od powierzchni Ziemi o 160 km? b) I le wy

okres obiegu Ziemi przez tego satel i tę?

4 6 .

Środek Słońca znajduje s ię w jednym z ognisk orbi ty Zi

I le wynosi odległość drugiego ogniska te j orbi ty od Słońca, w

żona: a) w metrach, b) w jednostkach promienia Słońca, równ

6,96 • 1 0

8

m ? Mimo śród orbi ty Ziemi wynosi 0,0167 , a je j p

wielka jest równa 1,5

•

1 0

1 1

m .

4 7 .

Satelita poruszający się wokół Ziemi po orbicie eliptyc

znajduje się na wysokości 360 km nad powierzchnią Ziemi,

jest najdalej od Ziemi, a na wysokości 180 km, gdy jest najb

Ziemi. Oblicz: a) półoś wielką i b) mimośród jego orbi ty (W

zówka: Patrz przykład 14.6).

4 8 .

Pewien satelita znajduje się przez cały czas nad określo

miejscem na równiku Ziemi (która obraca się wokół swej osi)

jakiej wysokości nad powierzchnią Ziemi znajduje się ten sat

( jego orbi tę nazywamy geostacjonarną)

4 9 .

Pewna kometa, zaobserwowana przez as tronomów chińs

w kwietniu 574 roku, została ponownie zauważona na ni

w maju 1994 roku. Przyjmij czas, który upłynął między



ąc te wielkości w jednostk ach średniego prom ie

Rp.

0 . W roku 1993 sonda kosmiczna Gali leo przesłała na Ziemię

(rys. 14.38) . Na tym obrazie księżyc o średnicy 1,5 km

m. Ksz tał t orbi ty księżyca nie jest zbyt dobrze znany;

z sondy Gali leo, wynosi 14 100 km

3

. Ile

Zadanie 50. Obraz z sondy kosmicznej Gali leo, na

1

.

W 1610 roku Gali leusz odkrył za pomocą swego teleskopu

oraz okresy ich obiegu

T

podano w poniższej tabelce.

Nazwa

Io

Europa

Ganimedes

Callisto

a [ 1 0

8

m ] T [doby]

4,22

6,71

10,7

18,8

1,77

3,55

7,16

16,7

wykres log a (oś y) jako funkcji log T (o ś x) i wy

prostą, b) Wyznacz nachylenie tej pro

y.

2 . Satelita o ma sie 20 kg znajduje się na orbicie kołowej o

iu 8 • 10

6

m wokół planety o nieznanej masie. Okres

2

. Ile wynosi promień tej

5 3. Gwiazdy będące składnikami układu podwójnego m

równe masie Słońca i krążą wokół swego środka masy. I

głość jest równa odległości Ziemi od Słońca. Wyznacz o

ruchu w latach.

54. Pewien potrójny układ

gwiazd składa s ię z dwóch

gwiazd o masie m ob ie

gających gwiazdę środkową

o mas ie M po tej samej

orbicie kołowej o promie

n iu r (rys. 14.39), znaj

dując się w każdej chwili

na końcach średnicy orbity.

Wyprowadź wzór na okres

obiegu tych gwiazd.

M

Rys. 14.39.

Zadanie

5 5 * . Trzy jednakowe gwiazdy o mas ie M położone są

chołkach trójkąta równobocznego o boku L. Pod wpływ

łających między nimi sił grawitacyjnych poruszają się po

kołowej stanowiącej okrąg opisany na tym trójkącie, pr

ich względne położenia nie ulegają zmianie ( tzn. przez c

tworzą trójkąt równoboczny) . I le wynosi prędkość l iniow

poruszają się te gwiazdy po orbicie?

14 .8 Sa te l i t y : orb i ty i energ ia

5 6 . Dwa satel i ty A i B, mające jednakową masę m, p

się po tej samej orbicie kołowej o promieniu

r

wokó

której masa wynosi M

z

. Ich ruch zachodzi w przeciwnych

kach (patrz rysunek 14.40) , tak że dochodzi do ich zderz

Wyznacz: całkowitą energię mechaniczną E

A

+ E

B

układ

nego z tych satel itów i Ziemi przed zderze niem, wyrażając

G , Mz, m i r. b )

Przyj

mij, że zderzenie satel i tów

jest całkowicie niespręży-

ste, tzn. że po zderzeniu

tworzą one jedną bryłę (o

masie równej 2m), i oblicz

jej całkowitą energię me

chaniczną tuż po zderzeniu,

c) Opisz ruch tej bryły po

zderzeniu.

Ziemia

Rys. 14.40. Zadan i

5 7 . Planetoida o mas ie s tanowiącej 2 • 1 0 "

4

masy Ziem

Słońce po orbicie kołowej o promieniu dwa razy więks

odległości Ziemi od Słońca, a) Wyznacz okres ruchu pl

w latach, b) Ile wynosi stosunek energii kinetycznej tej pl

do energii kinetycznej Ziemi?

5 8 . Dwa satel i ty Ziemi A i B o jednakowej masie m m

umieszczone na orbitach kołowych o środku w środku

Orbita satelity A ma się znajdować na wysokości 6370

Ziemią, a orbita satelity B — na wysokości 19 110 km .

Z iemi Rz jest równy 6370 km. a) I le wynosi s tosunek

potencjalnej satelity

B

do energii potencjalnej satelity

A



B

do

A

na ich orbi tach? c) Który z nich ma

. Ciało znajduje s ię na orbicie el iptycznej wokół planety o ma

M.

Półoś wielka te j orbi ty wynosi

a.

Wykaż, że odległość

r i jego prędkość

v

są ze sobą związane

"

2=c

"(H)-

Skorzystaj z zasady zachowania energi i mec hanicz

.

Skorzystaj z wyniku zadania 59 oraz danych z przykładu

v

p

komety Hal leya w peryhel ium jej

a

w aphelium tej orbity, c) Wykorzystaj

R

p

i aphel ium

R

a

orbi ty

p

i i>

a

.

. a) Czy wynies ienie satel i ty na wysokość 1500 km nad po

6 2 .

Jednym ze sposobów zaatakowania satel i ty na orbicie

łoziemskiej jest umieszczenie na tej orbicie roju ziarenek

poruszających s ię po te j orbicie w kierunku przeciwnym n

telita. Załóżmy, że satelita znajduje się na orbicie kołowej n

sokości 500 km nad powierzchnią Ziemi i zderza s ię z z iar

śrutu o masie 4 g. a) I le wynosi tuż przed zderzeniem en

kinetyczna ziarnka śrutu w układzie odnies ienia związanym

tel i tą? b) I le wynosi s tosunek tej energi i kinetycznej do e

kinetycznej pocisku o masie 4 g mającego u wylotu z lufy

czesnego karabinu wojskowego prędkość 950 m/s?

6 3 .

Wyznacz a) prędkość, b) okres obiegu satel i ty o masie 2

na niemal kołowej orbicie na wysokości 640 km nad powierz

Ziemi. Przyjmij , że satel i ta t raci energię mechaniczną ze śr

szybkością 1,4-10

5

J na jeden obieg orbi ty. Załóż, co jes t ca

rozsądnym przybl iżeniem, że orbi ta satel i ty jes t przy tym „

giem o powoli zmniejszającym s ię promieniu" i obl icz: c)

kość, d) prędkość i e) okres ruchu satel i ty na końcu jego

obiegu orbity, f) Ile wynosi wartość średniej siły działając

satel i tę , która powoduje spowolnienie jego ruchu? Czy zasad

chowania momentu pędu względem ś rodka Ziemi j e s t spe ł

dla g) satel i ty, h) układu satel i ta-Ziemia?

1 4 . 9 G r a w i t a c j a

w e d ł u g

E i n s t e i n a

6 4 .

Waga, na której stoi na rysunku 14.19b fizyk o masie 6

wskazuje 220 N. Fizyk wypuszcza z ręki melon. Po jakim c

melon spadnie na podłogę odległą od ręki f izyka o 2,1 m?



1 5 Płyny

S i ł a , j a k ą d z i a ł a w o d a n a c i a ł o o p u s z c z a j ą c e g o s ię w g ł ą b n u r k a , m o ż e b y ć d l a n i e g o

g r o ź n a n a w e t p r z y t a k n i e w i e l k i m z a n u r z e n i u , j a k n a d n o b a s e n u p ł y w a c k i e g o . A j e d n a k

w 1 9 7 5 r o k u W i l l i a m R h o d e s , w y p o s a ż o n y w s p e c j a l n y s p r z ę t d o n u r k o w a n i a , w t y m

o d p o w i e d n i ą m i e s z a n k ę g a z ó w

d o o d d y c h a n i a , w y s z e d ł z k o m o r y

o p u s z c z o n e j w Z a t o c e M e k s y k a ń s k i e j

n a g ł ę b o k o ś ć 3 0 0 m , p o c z y m

z a n u r z y ł s ię n a r e k o r d o w ą g ł ę b o k o ś ć

3 5 0 m . M o ż e c i s ię t o w y d a ć

d z i w n e , l ec z p o c z ą t k u j ą c y n u r e k ,

w y k o n u j ą c y ć w i c z e n i a w b a s e n i e

p ł y w a c k i m , m o ż e b y ć b a r d z i e j

n a r a ż o n y n a n i e b e z p i e c z e ń s t w o

z e s t r o n y s i ły , j a k ą d z i a ł a n a n i e g o

w o d a , n i ż R h o d e s w c z a s i e s w e g o

w y c z y n u . P o c z ą t k u j ą c y m n u r k o m

z d a r z a j ą s ię n a w e t w y p a d k i ś m i e r t e l n e ,

g d y z a p o m n ą , j a k n a l e ż y z a c h o w y w a ć

s i ę p o d

wo d ą .

i

Od p o wie d ź z n a jd z ie s z w t y m ro z d z ia l e .



P ły ny w o t ac z a j ą c y m nas ś w i ec i e

— pod tą nazwą rozumiemy ciecze i gazy — grają kluczową rolę w naszym

W samochodzie mamy płyny w oponach, w zbiorniku z pal iwem, w chłod

(hydrauliczny oznacza właśn ie dzia ła jący przy

Dzięki energii k inetycznej poruszającego s ię p łynu działa ją wiatraki , a dzięki

płyny wyrzeźbiły nasz krajobraz . Nieraz jeździmy bardzo daleko, by móc

Co to jes t p łyn?

— w odróżnieniu od c ia ła s ta łego — to substancja zdolna do przepływu.

płyn n ie może s ię przeciwstaw ić s i le s tycznej do jeg o powierzch ni

, k tóra płynie , gdyż nie jes t w s tanie przeciwstawić s ię naprężeniu śc inającemu;

że jedn ak dzia łać s i łą prostopadłą do swej powierzch ni) . Niek tóre m ateria ły ,

Możesz s ię t rochę dziwić , d laczego łączymy ze sobą c iecze oraz gazy i na

Gęs tość i c i śn ien ie

masa

i

siła.

Mówil i śmy na



W przypadku p łynów mamy w znaczn ie większym s topn iu do c

z rozciągłością substancji , a zatem będziemy stosować do ich opisu w

które mogą mieć różną wartość w różnych punktach c ia ła . Zamiast mówić

i sile, będziemy częściej korzystać z

gęstośc i

i

c iśnienia .

Aby wyznaczyć gęstość płynu p w pewnym jego punkc ie , wydz ie lam

element obję tości AV w otoczeniu tego punk tu i mierz ym y ma sę Am

zawartego w te j obję tości .

Gęs tość

płynu jes t równa

Ściś le rzecz biorąc , gęstość płynu w danym punkcie jes t równa granicy

razu, gdy objętość A

V

staje się coraz mniejsza i niniejsza. W praktyce za

zwy kle , że badan a próbka c ieczy jes t większa niż rozmia ry a tom ów i j

tura jes t „gładka" ( tzn . o s ta łe j gęstości) , a n ie z łożona z „ziaren" a tom

Założenie to umożliwia nam zapisanie równania (15.1) w postaci

Gęstość

Am

m

(stała gęstość),

przy czym m i V — to masa i obję tość próbki .

Wybrane gęstości

Substancja lub ciało

Gęs tość [kg /m

3

]

Przestrzeń międzygwiazdowa

Najlepsza próżnia w laborator ium

Powietrze (20°C, 1 atm)

Powietrze (20°C, 50 atm)

Styropian

Lód

Woda (20°C, 1 atm)

Woda (20°C, 50 atm)

Woda morska (20°C, 1 atm)

Krew

Żelazo

Rtęć

Ziemia (średnio)

Ziemia (jądro)

Ziemia (skorupa ziemska)

Słońce (średnio)

Słońce (jądro)

Gwiazda w fazie białego karła (jądro)

Jądro uranu

Gwiazda neutronowa ( jądro)

Czarna dziura (o masie równej masie Słońca)

i o -

2 0

1 0 ~

1 7

1,21

60,5

1 • 1 0

2

0,917

•

1 0

3

0,998 • 1 0

3

1,000

•

1 0

3

1,024 • 1 0

3

1,060 • 1 0

3

7,9 • 1 0

3

13,6 • 1 0

3

5,5

•

1 0

3

9.5 • 1 0

3

2, 8 • 1 0

3

1,4-10

3

1.6 • 1 0

5

1 0

1 0

3

•

1 0

1 7

1 0

1 8

1 0

1 9



Gęstość jest wielkością skalarną; je j jednostką w układzie SI jest k i logram

powiet rza w te j tabeli ) bardzo si ln ie zależy od ciśnienia , a gęstość c ieczy (np.

ściśliwe,

że w naczyn iu w ype łn ionym p łyn em um ieszczono n iewie lk i p r zy

skazań um ożl iwia wy znaczen ie d ługośc i , o j aką sp rężyna j e s t śc i skana

na t łok. Długość ta jest miarą w ar tości s i ły AF , jaką

C iśn ien ie , jakie go doznaje t łok ze s t rony płynu, def iniujemy

A F

A S '

(15.3)

P =

l

(równomierny nacisk, płaska powierzchnia) ,

(15.4)

F

jest war tością s i ły normalnej działa jącej na powierzchnię S (mó

Można p rzekonać s i ę doświadcza ln ie , że w każdym punkc ie p łynu pozos ta

o w spoczyn ku ciśnienie zdef iniowane równa niem (15.3) jest takie samo

wartość

tej si ły, która jes t ska larem .

Jednostką c iśnienia w układ zie SI jest n iuton na metr kwadratowy , czyl i

1 atm = 1,01 • 10

5

Pa = 760 T r = 14 ,7 fun t / in

2

.

(a tm) jest to — jak wskazuje sam a nazw a — przyb l iżona w ar tość

To r

(Tr) , nazwany tak na

milimetrem słupa rtęci (mm Hg) . W odniesieniu do funta

pound per sąuare inch).

b)

Rys. 1 5 . 1 .

a) W naczyniu z pły

umieszczono niewielki czujnik ciś

nia , pokazany w powiększeniu w c

ci (b) . Miarą ciśnienia jes t względ ne

łożenie ruchomego t łoka



Tabe ia 1o.2. Wybrane war tości ciśnienia

Ciśnienie

[Pa]

Środek Słońca

2 • 1 0

1 6

Środek Ziemi

4 -

1 0

1 1

Największe ciśnienie uzyskane trwale w laborator ium 1,5 • 1 0

1 0

Dno największej głębi oceanicznej

1,1 • 10

8

Obcas buta

na

szpilce

1 •

10

6

Opona samochodowa

3

2 -

10

5

Ciśnienie atmosferyczne

na

poziomie morza

1,0-

10

5

Normalne c i śn ien ie k rwi

a , b

1,6 • 10

4

Najlepsza próżnia

w

laborator ium

I O "

1 2

a

N a d w y ż k a

w

s tosunku

do

c i śnienia atm osferyczneg o .

b

Ciśnienie skurczowe, odpowiadające wskazaniu aparatu

do

pomiaru ci ś

nienia równemu 120 mm Hg.

15.1

ma

wymiary

3,5 m x 4,2 m, a

wysokość

2,4 m.

Ile

wynosi ciężar powietrza zawartego

w tym

pokoju, jeśli

1

a tm?

z

dwóch spostrzeżeń:

T

1

. Cięż ar pow ietrza jest równy

m g,

przy czym

m

jest masą

T

2.

M as a

m

jest związana

z

gęstością powietrza

p

i

jego

V

równaniem (15.2)

p = m/V).

Korzystając

z

tych

i

przyjmując wartość gęstości powietrza

pod

ciśnie

1 atm z

tabeli 15.1, otrzymujemy

mg = pV)g

= (1 ,21 kg /m

3

) ( 3 , 5

m

•

4,2 m

•

2 ,4

m ) ( 9 , 8

m/ s

2

)

= 418 N s; 420 N. (odpowiedź)

to

ciężar około

110

puszek coca-coli .

b) Wyznacz war tość s i ły , jaką działa atmosfera ziem ska

łogę tego pokoju.


Zauważ,

że O —

* atmosfera ziemska działa

na

podłogę

siłą

o

war tości

F,

wywierając równomierny nacisk

na

powierzchnię. Wobec tego ciśnienie powietrza na podł

związane z

F

i po lem

S

płaskiej powierzchnią podłogi rów

(15.4)

p = F/S),

skąd otrzymujemy

F = pS

/ 1 , 0 1 • 10

5

N/ m

2

\

=

(1 atm) • — ) (3,5

m ) ( 4 , 2

m)

\

1 atm /

= 1,5 10

6

N. (odp

Ta olbrzymia s i ła jest równa ciężarowi s łupa powietrza o w

ści równej całej wysokości atmosfery ziemskiej i polu p

równemu polu powierzchni podłogi .

15.4 . P łyny w spoczynku

Na rysunku 15.2a przedstaw iono zbiornik z wodą — lub inną cieczą - kt

góry ma bezpośredni kontakt z atmosferą. Jak wie każdy nurek , ciśnienie

ze wzrostem głębokości pod powierzchnią wody. Wskaźniki głębokości, uż

przez nurków, to w istocie rzeczy czujniki ciśnienia, działające bardzo po

do tego z rysunku 15.Ib. Jak wie z kolei każdy miłośnik wędrówek po g

ciśnienie maleje ze wzros tem wysokości, na jaką wznosimy się w atmosfer

śnienie, którego zmiany odczuwa nurek i taternik, nazywa się zwykle ciś

hydrostatycznym, gdyż pochodzi ono od płynu sta tycznego, tzn. pozosta



Rozważm y na jp ierw wzros t c i śn ien ia ze wzros t em g łębokośc i pod pow ierzch

y

tak, by je j początek znajdował s ię na gran icy

a je j k ierunek dodatni był k ierunkie m d o góry. W ybierzm y

S.

O z n a c z m y p r z e z

y\

i

Y2

głębokości , na

ujemne).

Na rysunku 15.2b przedstawiono diagram si ł działa jących na wodę w rozwa

alcu. Woda ta znajduje s ię w

równow adze statycznej,

to znacz y pozostaje

Fi-

Na wodę działa też s i ła c iężkości

p rzy czym

m

jest masą wody zawar tej w objętości wybranego walca. Si ły

F

2

= F

1

+mg.

(15.5)

Przekształc imy równanie (15.5) tak , aby zawierało c iśnienia . Z równania

Fi = piS

oraz

F

2

=

P 2 S .

(15.6)

przy czym objętość walca

V

możemy wyraz ić j ako i loczyn po la j ego

S

i wysokości walca

y\

—

y

2

.

Wobec t ego

m

j e s t r ówne

pS(yi

—

y

2

).

p

2

S = piS + pSg(yi -y

2

),

y=0

wybrana- '

objętość

ipoziom l

,P

I

-poziom

2

a)

A

wybrana

objętość

'mg

"FI

b)

Rys. 15.2. a) Naczynie wypełnione

wodą.

Rozważamy pewną jej obję

ograniczoną powierzchnią walca o

poziomej podstawy równym S. Na g

podstawę tego w alca działa s i ła F\,

jego dolną podstawę — si ła F

2

-

ciężkości działająca na wodę zaw

w tym walcu wynosi mg. b) Diagra

działających na wybraną objętość w

PL

= PI + PGIYI -YI).

(15.7)

Równan ie to możemy wykorzys tać za równo do wyznaczen ia c i śn ien ia w

ci) , ja k i w atmosferze (w zależności od w yso

p

h

pod powierzchnią c ieczy. Wybieramy wtedy naszą próbkę tak,

poz iom 1 był poziom em po wierzch ni c ieczy, a poz iom 2 znajdował s ię na

h pod tą powierzchnią . Oznaczając przez po c iśnienie a tmosferyczne

y\ = 0 ,

pi= po

oraz

y

2

= -h, p

2

= p,

P — PO + P8

N

(ciśnienie na głębokości H). (15.8)

1 5 . 4 .

Płyny w spoczynku



powietrze

Po

p

'

poziom 1

y =

0

poziom

2

Rys. 15.3.

Ciśnienie

p

rośnie

ze

w z r o

s tem głębokości h pod powierzchnią cie

czy zgodnie

ze

wzo rem (15.8)

• Ciśnienie

w

pewnym punkc ie

w

płynie znajdującym

się w

równow adze s tat

zależy od głębokości tego punktu p od powierzchnią p łynu, a nie zależy od pozio

rozmiarów płynu ani zbiornika,

w

którym płyn jes t zawarty.

Równanie (15.8) jes t za tem spe łnione nieza leżnie

od

ksz ta ł tu zb iornik

dno zbiornika zna jduje się

na

g łębokośc i

h

pod powie rzchnią p łynu ,

to

c

p ł y n u na dno zb iorn ika p j e s t dane wzorem (15 .8) .

Ciśnienie

p

we wzorze (15 .8) nazywa się pe łnym ( lub bezwzględn

śnien iem

na

p o z i o m i e 2 . M ó w i m y : p eł n y m , g d y ż — j a k w i d a ć

z

rysunku

na c iśnienie p na p o z i o m i e 2 składają się

dwa

przyczynki : 1) c iśnieni

feryczne

po,

związane

z

nac i sk iem powie t rza

na

c iecz , o raz

2)

c iśnienie

położone j powyże j poz iomu 2, r ó w n e pgh, związane z nac i sk iem tej c i

c iecz

na

p o z i o m i e 2. Różnicę między c i śn ien iem bezwzg lędnym

a

c i śn ien

mosferycznym nazywa s ię nieraz nadciśnieniem lub c i śn ien iem względn ym

rządy

do

pom iaru c iśnienia wskazują częs to właśn ie nadciśnienie) .

W

przeds tawione j na rysun ku 15.3 nadciśnienie jes t równ e pgh.

Rów nanie (15.7) s tosuje s ię także

w

obsz arze nad powierzchnią c ieczy

mujemy wtedy c iśnienie a tmosferyczne na pewne j wysokośc i nad p o z i o

w za leżnośc i

od

c iśnienia

p\ na

p o z i o m i e

1

(przy za łożeniu,

że

gęs tość

fery jest stała w rozważanym zakre s ie wysokośc i ) . Na przykład ,

aby

wyz

ciśnienie a tmosferyczne na wysokośc i

d

n a d p o z i o m e m 1 na rysunku 15

stawiamy

yi = 0 , pi = po oraz y

2

=d, p

2

= p.

Oznaczając gęs tość powie trza przez p

po w

, otrzymujem y s tąd

P = Po - Ppowgd.

•SPRAWDZIAN

1 : Na

rysunku przedstawiono cztery naczynia zawierające olej

wek. Uszereguj

te

naczynia

ze

względu

na

wartość ciśnienia

na

głębokości

h,

od

na

szej

do

najmniejszej.

- 1

l - — \ \

i \

h

\

V) \

\

- t f - - -

a) b)

Przykład 15.2

W czasie ćwiczeń

w

basenie pływackim początkujący płetwonu

re k na głębokości L nabiera w płuca pełno powietrza, po czym

porzuca aparat t lenowy

i

w yp ł yw a

na

powierzchn ię. Zapominając

o wskazówkach ins truktora,

nie

wypuszcza przy

tym

powietrza

z płuc. Gdy nurek dociera

do

powierzchni wody, różnica między

ciśnieniem działającym na n iego z zewnątrz a ciśnieniem powie

trza w jeg o płucach jes t równa 9,3 kPa. Na jakiej głębokości nurek

porzuci ł aparat t lenowy?

Na

jakie śmiertelne niebezpie

się naraził,

nie

pamiętając o wskazów kach ins truktora?


Zauważmy,

że

O

—f w

chwil i ,

gdy

nurek nabrał p

w płuca, działające

na

niego ciśnienie zew nętrzne (ró

śnieniu powietrza w płucach) było większe od ciśnieni

wierzchni

i

wynos i ło , jak wynika

z

równania (15.8)

6 6

15.

Płyny



p = Po + pgL, skąd otrzymujemy

po

jes t ciśnieniem atmosferycznym, a

p

— gęstością wody

3

— patrz tabela 15.1). Gdy nurek wznosi się ku

na niego ciśnienie zewnętrzne ma

aż do wartości równej ciśnieniu atmosferycznemu po, którą

na powierzchni . Tak samo, tzn. aż do ciśnienia atmosfe

W związku z tym, że nie

on powietrza z płuc, ciśnienie w płucach ma nadal

jak na głębokości L. Na powierzchni różnica

w

płucach nurka (które jes t większe)

i

ciśnienia

działają

na jeg o klatkę piersiową (które jest mn iejsze) wynosi

Ap = p - p

0

= pgL,

Ap

_

9300

Pa

pg ~ (998

k g / m

3

) ( 9 , 8

m/ s

2

)

= 0,95 m. (od

To całkiem niewielka głębokość Jednak nadciśnienie r

kPa

(co

stanowi około

9%

ciśnienia atm osferycznego ) je

tecznie duże

na

to ,

by

rozerwać płuca nurka,

w

wyniku c

wietrze

z

płuc wdziera

się do

krwiobiegu nurka, dociera

i powoduje jego śmierć. Gdyby nurek s tosował

się do

w

instruktora

i

s topniowo wypuszczał powietrze

z

płuc

wznoszenia

się ku

powierzchni , umożl iwiłby wyrównyw

ciśnienia

w

płucach

i

ciśnienia zewnętrznego,

a

zatem

tragicznych skutków nadciśnienia.

15.3

w

kształcie li tery

U,

przedstawiona

na

rysunku

15.4, za

w

równowadze s tatycznej .

W

prawym ramieniu

się

woda

o

gęstości

p

w

(= 998 kg/m

3

), a w

l ewym

o

nieznanej gęstości

p

x

.

Pomiar wykaza ł ,

że / = 135 mm,

d =

12,3

mm. Ile

wynosi gęstość oleju?

że O r r

ciśnienie

p

i

,

działające

na

powierzchnię

w

lewym ramieniu rurki , zależy

od

gęsto

p

x

i

wysokości słupa oleju

nad tą

powierzchnią. Zauważmy

że

O—"t woda

w

prawym ramieniu rurki musi mieć

na

takie sam o ciśnienie

p

m

.

Jest

tak

dlatego,

się w

równowadze s tatycznej ,

to

ciśnienie

się na

takim samym poziomie musi

być

gdy

punkty

te

znajdują

się w

różnych

ze

sobą) ramionach rurki .

W prawym ramieniu powierzchnia wody znajduje się na wy

/ nad poziom em powierzchni granicznej cieczy. Z równa

p

P g

= po +

Pwgl

(prawe ramię).

oleju znajduje

się na

wysoko

/ + d nad

powierzchnią graniczną cieczy.

Z

równania (15.8)

Ppg

=

Po

+ Pxg(l + d)

( lewe ramię ).

o l e j ^

d

Rys.

15.4.

Przykład 15.3. Olej

w

lewym ramieniu rurk

si ę

na

większą wysokość

niż

woda

w

prawym ramieniu,

gęstość oleju jest mniejsza

niż

gęstość wody. Słupy

ob

wywierają takie samo ciśnienie

p

pg

na poziomie powierz

nicznej cieczy

Przyrównując do siebie prawe strony tych wyrażeń i roz

otrzymane równanie względem nieznanej gęstości , o t rzy

•l +

d

= (998 k g / m

3

)

13 5 mm

= 9 1 5 k g / m

3

.

135 mm + 12,3 m

(odp

Zauważ,

że

odpowiedź

nie

zależy

od

ciśnienia atmosfe

Po

ani od

przyspieszenia ziemskiego

g.

J ak s i ę m i e r z y c i ś n i en i e?

rysunku 15.5a przedstawiono najprostszy barometr rtęciowy, czyli przyrząd

o d w ró c o n a

do

góry zam knię tym końce m, a j e j koniec o twar ty um ieszczon o



w płask im naczyniu z

rtęcią,

j ak pokazano na rysunku. W górne j częśc i r

nad słupem rtęci — zawarta jest tylko para r tęci , której ciśnienie jest ta

że w temperaturze niewiele różnej od pokojowej można je pominąć.

Korzystając z równania (15.7), możemy ot rzymać związek ciśnienia

ferycznego po z wysokością słupa rtęci h. W ybierzmy j ako poz iom 1 z

15 .2 poz iom powierzchni gran iczne j r t ęć -pow ie t rze , a j ako poz iom 2 —

poziom s łupa r t ęc i w rurce , j ak pokazano na rysunku 15 .5a . Możemy

podstawić do równania (15.7) wartości :

przy czym p jest gęstością rtęci .

Dla danego c i śn i en ia wysokość s łupa r t ęc i h nie zależy od pola pr

poprzecznego p ionowej rurk i . Baromet r r t ęc iowy z rysunku 15 .5b , o n i e

wymyślnym kształcie , wskazuje takie samo ciśnienie jak prosty baromet

sunku 15.5a — w obu przypadkach ot rzymuje się taką samą pionową od

poziomów rtęci w rurze i w zbiorniku otwartym.

Z równania (15.9) wynika, że dla ustalonego ciśnienia wysokość słup

zależy od wartości g w miejscu, w którym znajduje się barometr , oraz od

rtęci , która zmienia się wraz ze zmianą temperatury. Wysokość słupa r

mi l imetrach) jest zatem równa l iczbowo ciśnieniu (w torach)

tylko wted

barometr znajduje się w miejscu, w którym g ma wartość standardową,

9 , 8 0 6 6 5 m / s

2

, a temperatura r tęci wynosi 0°C. Gdy warunki te nie są sp

(a najczęściej nie są) , wyznaczenie ciśnienia na podstawie pomiaru wy

słupa r t ęc i wymaga zas tosowania n i ewie lk i ch poprawek.

Manometr otwar ły

Manometr otwarty (rys. 15.6) służy do pom iaru ciśnienia gazu p

g a z

, a do

różnicy ciśnienia gazu i c iśnienia atmosferycznego. Stanowi go rura w

y i = 0 , pi= po oraz y

2

= h, p

2

= 0 ,

co daje:

Po = Pgh,

Po

a)

Rys.

1 5 . 6 . Manometr otwarty, przeznaczony do pomiaru

gazu w zbiorniku , z którym po łączone jest jeg o lewe ram

ramię rury w kształc ie l i tery U jest otwarte do atmosfer

1 5 . 5 .

a) Barometr r tęciowy, b) Inny b arome tr r tęciowy. O d

h jest taka sama w obu przypadkach



cieczą.

Jeden koniec rury jes t połączony z naczyniem,

h, możemy wyznaczyć z równania (15 .7) .

ybierzmy po ziom y 1 i 2 jak na rysunku 15.6. Podstawia jąc do równania (1 5.7) :

yi = 0 , pi = p

0

oraz y

2

= -h , p

2

= p,

Pgaz =

P - Po = Pgh,

(15.10)

p

jes t gęs tośc ią c ieczy w rurze manometru. Jak widać , nadciśnienie gazu

az jest wp rost pro porc jon alne do

h.

Nadciśnienie to może być dodatnie lub ujemne, za leżnie od tego, czy p > po,

y te ż p < />o- W na pom pow anej op onie lub krwio biegu cz łowieka pe łne c iśnie

jes t większe od c iśnienia a tmosferycznego , a za tem nadciśn ienie jes t d odat

Gdy na tomias t pi jesz napój ze szklanki przez s łomkę, wytwarzasz w płucach

Prawo Pascala

prawo Pasca la .

W

zamkniętej objętości nieściśliwego płynu zmiana ciśnienia jest przenoszona

bez

zmiany wartości

do

każdego miejsca

w

płynie

i do

ścian zbiornika.

15.7. Cyl ind er jes t od góry zamknię ty t łokiem , na którym um ieszczo no

siłą,

jaką dz ia ła na t łok śrut i zbiornik, w k tórym s ię

Z

ewn- C iśni enie p w dowolnym

P

wynosi wobec tego

P ~

Pzewn

+ Pgh.

(15.11)

p

zem

wzras ta o Ap

zewn

. Wie lkośc i p, g i h w równaniu

śrut

Rys.

1 5 . 7 .

Na

zawartą

w

cylindrze

ściśliwą ciecz wywieramy ciśnieni

wnętrzne p

z e m

, ustawiając

na

zam

jącym ciecz tłoku naczynie

ze

śr

(czyli małymi ołowianymi kulk

G dy

zwiększamy

p

z e W

n , dosypują

naczynia nieco śrutu, ciśnienie

w

d y m

punkcie cieczy wzrasta

o

taką

wartość



wyjście

w e j ś c i e I P •

1

1

wej

^ e j

olei

Rys. 15.8. Prasa hydraul iczna , czyl i

urządzenie służące do działania na

przedmiot silą większą od przyłożonej

do układu. Praca , jaką wykonuje każda

z tych sił — wejściowa i wyjściowa —

jest taka sama

(15.11) nie u legają przy tym zmianie , a zatem zmiana c iśnienia w punkci

równa

Ap-Ap

z&Nn

.

Ten przyrost c iśnienia nie zależy od h, a więc musi być taki sam w

punkcie c ieczy, co właśnie s twierdza prawo Pascala .

Prawo Pascala i prasa hydrauliczna

Na rysunku 15.8 pokazano, jak prawo Pascala można wykorzystać do

podnośnika hydraulicznego. Wyobraź sobie , że na t łok zamykający lew

der (możemy go nazwać wejściowym) dzia łamy pionowo w dół s i łą zew

o war tośc i

F

w e

j ,

a pole powierzchni t łoka wynosi

S

w e

j .

Dzięki temu, że c

nieściś l iwa, na t łok zamykający prawy cylinder (wyjściowy), o polu pow

r ó w n y m

S

W

yj,

dzia ła wted y pionowo w górę s i ła o wartoś ci

F

w y

j .

Aby u

zostawał w równowadze, na ten t łok musi również dzia łać skierowana

w dół siła o takiej samej wartości

F

w y

j .

Siła ta pochodzi od c iężaru podno

przedmiotu (którego nie pokazano na rysunku). Si łę zewnętrzną

F

w e

j ,

d

w dół na lewy tłok, i siłę

F

w y

j ,

dzia ła jącą w górę na podnoszony pr

możemy powiązać ze

sobą,

zapisując zmianę c iśnienia c ieczy Ap równą

Ap =

wej

J

wej

wyj

->wyj

skąd otrzymujemy

•Fwyj — fwej

--wyj

J

wej

Z równania (15.13) wynika, że dzia ła jąca na podnoszony przedmiot s

śc iowa

F

w y

j

jes t większa od s i ły wejściowej

F

w e

j ,

gdy S

^j > S

w e

j ,

tak ja

tuacj i przedstawionej na rysunku 15.8 .

Jeśl i przesuniemy t łok wejściowy w dół o odcinek

d

w e

j ,

to t łok wy

przesunie s ię w górę o odcinek

d

w y

j ,

który możemy wyznaczyć, wied

ciecz jes t n ieściś l iwa, a zatem przy obu t łokach przemieszczą s ię takie

obję tości

V.

Wobec tego

V = S

We

jĆ?

We

j

=

5

\v

y

j<i

W

yj,

co możemy też zapisać w postaci

ć^wyi —

d\

wej

J

wej

J

wyj

Wynika s tąd, że gdy

S

wy

j

>

S

we

j

( jak na rysunku 15.8) , przemieszczen

wyjściowego jest mniejsze niż przemieszczenie t łoka wejściowego.

Na podstawie równań (15.13) i (15.14) możemy zapisać pracę w

przez s i łę wyjściową jako:

W — Fw

y

jć^wyj —

->wyj

wej

J

w ej

*wej

— F

wej

wej •

J

wej / \

J

wyj

y

Stwierdzi l iśmy w ten sposób, że praca

W

w y k o n a n a

na d

t łok iem wej

przez s i łę zewnętrzną jes t równa pracy W wykonane j przez t łok wyjścio

podnoszen iu p rzedmio tu .



Przydatność prasy hydraul icznej polega na tym, że :

Prasa hydrau liczna umożliwia działanie mniejszą siłą na dłuższe j drodz e zamiast

działania większą siłą na krótszej drodze.

I loczyn s i ły i przemieszczenia jes t przy tym s ta ły, tak że wykonywana jes t

d

m

j nie za

Rys. 1 5 . 9 .

Woda w cienkości

worku plast ikowym, zanurzonym

senie, znajduje się w równowadz

tycznej.

Działająca na nią siła cię

musi być zatem równoważona prze

działającą na nią od dołu ze strony

otaczającej worek

Prawo Arch imedesa

F

s

,

dz ia łająca w dół na wod ę

Ta skierowana w górę s i ła nos i nazwę s i ły wyporu F

w

. Jes t ona skutkiem

jes t więks ze niż w mie jscu, gd z ie zna jduje s ię jeg o część górna . W

F

w

,

skierowaną piono wo

w

pokazano z prawej s t rony basenu) .

Worek z wodą zna jduje s ię w równowadze s ta tycznej , a za tem wartość s i ły

jes t równ a wartośc i si ły c iężkośc i F

g

działającej na wodę w worku, tzn.

= m

p

g (wskaźnik p oznacza płyn, k tórym w naszym przypadku je s t woda ) .

1 5 . 1 0 . a) Woda otaczająca pewien obszar w jej wnętrzu działa na ciało, które w tym

a)

b)



Na rysunku 15.10b przedstawiono sytuację, w której worek z wodą

pi l i śmy kamieniem dokładnie wypełn ia j ącym pus ty obszar z rysunku 1

Mówimy, że kamień

wypiera

wodę, to znaczy zajmuje obszar, w który

jego n i eobecność zna jdowała s i ę woda . Ksz ta ł t rozważanego obszaru n i e

ni ł s ię , a zatem si ły działające na jego powierzchnię muszą być takie sa

wtedy, gdy znajdował się tam worek z

wodą.

Inaczej mówiąc, na kamień

taka sama s i ł a wyporu , jaka dz i a ł a ł a poprzednio na w orek z

wodą,

to znac

tość s i ł y wyporu wynosi

m

v

g,

czyl i jest rów na ciężarow i wod y wy parte

kamień .

W odróżnien iu od worka z

wodą,

kamień nie znajduje się w równ

statycznej . Działająca na niego w dół si ła ciężkości

F

g

ma war tość więk

wartości działającej na niego od dołu si ły wyporu, co pokazano na dia

si ł z prawej st rony basenu na rysunku 15.10b. Kamień porusza się więc

przyspieszonym w dół i opada na dno basenu .

Wyobraźmy sobie następnie, że pusty obszar z rysunku 15.10a do

wypełn i l i śmy k lockiem z l ekkiego drewna , j ak na rysunku 15 .10c . Jak po

nio, obszar zajmowany przez ciało w wodzie nie zmieni ł s ię , a więc si ła

ma nada l war tość

F

w

równą m

p

g, czy l i c i ężarowi wypar t e j wody Podob

kamień, klocek nie znajduje się w równowadze statycznej . Si ła ciężkości

j ednak t e raz war tość mnie j szą od war tośc i s i ł y wyporu , j ak pokazano

sunku z prawej s t rony basenu , a za t em drewniany k locek porusza s i ę r

przysp ieszonym do góry i wypływa na powierzchnię wody w basenie .

Wnioski , do których doszl iśmy, anal izując worek z

wodą,

kamień i d re

k locek , s tosu ją s i ę do wszys tk i ch p łynów. Możemy j e podsumować, mów

Późnym popołudniem 21 s ierpnia 1986 roku wstrząs nieznanego pochodzenia (by

wulkaniczny) wzburzył wodę w jeziorze Nyos w Kamerunie, które zawiera bardzo d

puszczonego w wodzie dwutlenku węgla. Wstrząs ten spowodował tworzenie s ię w

pęcherzyków dwutlenku węgla, które — jako lżejsze od otaczającego je płynu (w

unosi ły s ię na powierzchnię jeziora, gdzie dwutlenek węgla przechodzi ł do powietrz

tlenek węgla jest gazem cięższym od powietrza, a zatem — znajdując się teraz w l

płynie — pozostawał przy powierzchni ziem i i spływał ze zbocz a góry jak rzeka, po

śmierć przez uduszenie 1700 osób oraz bardzo wielu zwierząt, co widać na zdjęciu z



Na ciato całkowicie lub częściowo zanurzone w płynie działa ze strony płynu siła

wyporu F

w

. Jest ona skierowana pionowo do góry, a jej wartość jest równa ciężarowi

m

v

g płynu wy partego przez, to ciało.

Stwierdzenie to s tanowi t reść prawa Archimedesa . Si ła wyporu, jaka dz ia ła

F

w

=m

p

g (siła wyporu), (15 .16 )

m

p

jes t masą płynu wypar tego przez c ia ło.

F

w

działającej na nieg o w gór ę siły wy

w

s tanie s ię równa wartośc i

g

i klocek przes tanie s ię poruszać .

Zna j

pływał w wod zie . M ówiąc

Gdy ciało pływa w płynie, wartość działającej na nie siły wyporu A'

w

jest równa

wartości działającej na nie siły ciężkości F

g

.

F

w

= F

g

(pływanie ciał). (1 5. 17 )

w

= m

p

g. Mo żemy więc powiedz ieć , ż e :

Gdy ciało pływa w płynie, wartość działającej na nie siły ciężkości F

8

jest równa

ciężarowi płynu wypartego przez to ciało tn

v

g.

F

g

= m

p

g (pływanie ciał). (1 5. 18 )

c ia ło pływające w płyn ie wypiera płyn o c iężarze równym swojemu

umieśc isz kam ień na wadze wy skalowanej w jedno stkach c iężaru, to na

s i ła wyporu dz ia ła jąca na kamień spowodowałaby zmnie jszenie odczyty

1 5 . 7 .

Prawo Archimedesa



cięża r \ / ciężar \ / w arto ść \

p o z o r n y / \ r z e c z y w i s t y / \ s i ł y w y p o r u / '

co można zapisać w postaci równania :

c i ę ż a r

p o z

= c iężar

— F

w

(ciężar pozorny). (1

Gdybyś w ramach j ak iegoś osob l iwego t e s tu sp rawnośc iowego mus i

nieść c iężki kamień , to w wodzie byłoby c i ła twiej tego dokonać niż w p ow

Musia łbyś bowiem wówczas dzia łać na niego s i łą o wartości n ieco więk

pozornego c ięża ru kamien ia , a n ie od j ego c ięża ru rzeczywis tego , wię

niż pozorny. Można powiedzieć , że dzia ła jąca na kamień w górę s i ła

„pomogłaby" c i un ieść kamień .

Wartość s i ły wyporu dzia ła jącej na c ia ło , k tóre p ływa w płynie , jes

c iężarowi c ia ła . Z równania (15.19) wynika za tem, że c iężar pozorny

c ia ła jes t równy zeru — gdybyśmy umieści l i je na wadze, to je j wsk

pokazałaby zero (w t rakcie przygotowań do t rudnych zadań, jakie mają w

w przestrzeni kosm iczne j , as t ronauci odbywają t reningi , p ływając w w odzi

ich c iężar pozorny jes t wtedy równy zeru — jak w przestrzeni kosmiczn

I/SPRAWDZIAN 2 Pingwin pływa najpierw w płynie o gęstości po , potem w

o gęstości 0,95po, a jeszcze później w płynie o gęstości 1,1 po- a) Uszereguj te g

w zależności od wartości siły wyporu działającej na pingwina, od największej d

mniejszej,

b) Uszereguj je w zależności od ilości płynu wypartego przez pingwin

największej do najmniejszej.

V

c

.

wodą, a więc jej objętość

V

p

płynu (wody morskiej ) wypartego przez

Szukamy wobec tego ułamka (oznaczonego przez u):

= 1

(15.20)

skoro góra lodowa pływa, to spełnione jest równanie (15.18)

= m

p

g) . Równanie to możem y zapisać w postaci :

m

c

g = m

p

g,

skąd widzimy, że m

c

= m

p

. Tak więc masa góry jes t rów

wypartego przez nią płynu (wody morskiej ) . Wprawdzie

też nie znamy, lecz możemy wyrazić je przez gęstości lod

morskie j ,

pod ane w tabeli 15 .1, korzystając z równ an

(p — m/V). Wiemy, że m

c

= m

p

, mamy więc:

czyli

PcV

c

=

P

P

V

V

,

Yi

=

Ei

Vc Pp'

Wstawiając ten stosunek oraz wartości l iczbowe gęstości

nania (15.20), ot rzymujemy

u = 1

PP

9 1 7 k g / m

3

1024 kg /m

3

= 0,10, czyl i 10%. (odp

R równym

m. Powłoka, l iny i gondo la balon u mają łączną ma sę m = 196

Wyznacz maksymalną masę M ładunku, jaki może unieść ten

balon, gdy znajduje się na wysokości, na której gęstość

jes t równa 0,16 kg/m

3

, a gęstość powietrza p

p o w

wyn

k g / m

3

. Przyjmij, że objętość powietrza wypartego przez

l iny i gondolę można pominąć.



O —

» powło ka, l iny, gondola, ładune k oraz hel,

ełniona jest pow łoka, są łącznie ciałem pływającym

Ma sa tego ciała wynosi m + M + m

He

, przy czym

jest masą helu w powłoce. Skoro ciało to pływa, to wartość

jącej na nie siły ciężkości jest równa ciężarowi wyp artego

nie płynu (czyli powietrza). O znaczm y m asę powietrza wy

p o w

. Z równan ia (15.18) ( F

g

= m

v

g)

(m + M +

m

H e

) g

= Wpowg,

M = m

p o w

- m

H e

- m. (15.21)

Nie znamy wprawdzie me

e

ani m

p o w

, lecz znamy gęstości tyc

gazów, możemy więc zastosować równanie (15.2) (p = m/V

aby wyrazić masy gazów w równaniu (15.21) przez ich gęstośc

Zauw ażmy przy tym, że poniew aż ładunek , l iny i gondo la wy

pierają powietrze o znikom o małej objętości, objętość powietrz

wypartego przez nasze ciało możemy przyjąć za równą objęto

ści kulistej powłoki z helem V ( = | n / ?

3

) . Z równania (15.2

otrzymujemy za tem

M

= p

p o w

V - p^y -m =

( f

T i i?

3

) ( p p o

W

- pHe) -

m

= ( f n ) ( 1 2 m )

3

( l , 2 5 k g / m

3

- 0 , 1 6 0 k g / m

3

) - 196 kg

= 7694 kg « 769 0 kg. (odpow ied

R u c h p ł y n ó w d o s k o n a ł y c h

płynów rzeczywistych jes t bardzo z łożony i c iąg le jeszcz e n ie um iemy go

płynu doskonałego, k tórego opis ma

przepływem p łynu , k tóre muszą być spełn ione , abyśmy

nazwać doskona łym.

Przepływ ustalony.

Przep ływ j e s t ustalony (nazywany też laminarnym), gdy

prędkość poruszającego s ię p łynu w każdym wybranym punkcie n ie zmienia

s ię w upływem czasu , zarówno co do wartośc i , j ak i co do k ierunku. Ła

godny przepływ wody w środkowej częśc i p łynącego powol i s t rumienia jes t

usta lony; gdy s t rumień napotyka szereg progów, jego przepływ nie jes t już

usta lony . Na rysunku 15 .11 pokazano przepływ dymu unoszącego s ię z pa

p ierosa , p rzy czym zachodzi prze jśc ie od przepływu usta lonego do nieustalo

nego ( inaczej : turbulentnego). Gdy cząstk i dym u wznoszą s ię , i ch prędkość

rośnie i począwszy od pewnej prędkości kry tycznej przepływ zmienia s ię

z usta lonego w nieustalony ( tzn . z lamina rnego w nielaminarny).

Przepływ nieściśliwy. Będz iemy zakładać , podo bnie jak to już robi li śmy d la

płynów w spoczynku, że nasz doskonały płyn jest nieściśl iwy, to znaczy, że

jego gęstość jest stała.

Z grubsza rzecz b iorąc , lepkość p łynu jes t miarą oporu ,

jak i s tawia p łyn jego przepływowi . Na przykład gęsty miód s tawia prze

p ływowi większy opór n iż woda, a za tem mówimy, że miód jes t bardzie j

lepki n iż woda. Lepkość jes t z jawisk iem analogicznym do tarc ia między c ia

łami s ta łymi — w obu przypad kach e nerg ia k ine tyczna poruszających s ię c ia ł

u lega zamianie w energ ię te rmiczną . Pod n ieobecność ta rc ia k locek ś l izgałby

się po poziomej p łaszczyźnie ze s ta łą prędkością . Podobnie , c ia ło porusza

jące s ię w p łynie n ie lepkim nie doznawałoby dzia łan ia siły oporu lepkiego,

tzn. si ły oporu pochodzącej od lepkości płynu, i poruszałoby się w płynie ze

stałą prędkością. Jak swego czasu zauważył uczony angielski lord Rayleigh,

w płynie doskonałym śruba statku nie mogłaby spełniać swej funkcji , lecz

Rys. 1 5 . 1 1 . Przepływ wznoszącego si

dym u z papierosa i rozgrza nego gaz

zmienia się w pewnym miejscu z usta

lonego w turbulentny

1 5 . 8 . Ruch płynów doskonałych 75



Rys. 15.12. Przepływ ustalony płynu wokół walcowej prze- Rys. 1 5 . 1 3 . Linie prądu w strumieniu powietrza opływające

szkody, uwidoczniony za pomocą wskaźnika — b arwnika chód w tunelu aerodynam icznym, uwidoczn ione dzięki wpro

wprowadz onego do strumienia płynu przed przeszkodą dymu do strumienia powietrza

linia prądu

-e lement

płynu

Rys. 15.14.

Element płynu porusza

się wzdłuż linii prądu. Wektor prędko

ści tego elementu jest w każdej chwili

styczny do linii prądu

— z drugie j s t rony — nie byłaby ona wcale potrzebna , bo wprawiony

s ta tek n ie wymaga łby już żadnego napędu

4 . Przepływ bezwirowy. Cho ć nie będz ie nam to tuta j spec ja lnie potrze b

żymy rów nież , ż e przepływ je s t

bezwirowy.

Aby przeko nać s ię , czy p

je s t bezwi rowy, możemy umieśc ić w p łynie m a łe z ia rnko pyłu . Przep

bezwirowy, gdy takie z ia rnko nie obraca s ię wokół os i przechodząc

swój ś rodek masy, nieza leżnie od tego, czy porusza s ię po torze k

czy nie . Stosując dość da leką ana logię , moglibyśmy powiedzieć ,

diabe lskiego młyna jes t wirowy, a le ruch jego pasażerów jes t bezw

W celu uwidocznienia charakteru przepływu płynu dodaje s ię nie raz

j ak i ś wskaźnik. M oże n im być ba rwn ik wprowadzany do c ieczy w wie

tach w poprzek s t rumienia ( jak na rysunku 15.12) lub cząs tki dymu umie

w przepływającym gazie ( jak na rysunkach 15.11 i 15.13) . Cząs tki w

porusza ją s ię wzdłuż

linii prądu,

które są torami cząs tek płynu przy je

pływie . Przypomnij sobie z rozdzia łu 2, że prędkość cząs tki jes t zawsze

do je j toru. Tak więc prędkość e lementów (cząs tek) płynu v jest styczna

prądu ( rysunek 15.14) . Z tego względu l inie prądu nigd y s ię nie przec ina ją

bowiem tak było, cząs tka dociera jąca do punktu przec ięc ia l ini i prądu

j ednocześnie dwie różne prędkośc i , co j e s t n iemoż l iwe .

15 .9 .

Ró w nan ie ciągłości

Być może zauważyłe ś już k iedyś , ż e można zwiększyć prędkość wody w

jące j z węża ogrodowego, zas łania jąc pa lcem część otworu wylotowego.

raźnie j prędkość wody v zależy od pola przekro ju poprzecznego S, prz

ona przepływa .

Chcemy te raz wyprowadz ić za leżność między

v

i

S

przy us ta lony

pływie p łynu doskona łego przez rurę o zmiennym przekro ju poprzeczn



b) w chwili

t+ At

Rys. 15.15.

Płyn przepływa jedn

nie z lewa na prawo przez odcinek

o długości L. Prędkość płynu jest

vi na lewym, a v

2

na prawym

rury. Pole przekroju poprzecznego

wynosi S\ na jej lewym końcu, a

jej końcu prawym. Od chwili t (r

do chwil i t + At (rys. b) z lewej s

wpływa do rury płyn zaznaczony n

letowo, a na prawym końcu wyp

z niej taka sam a i lość płynu, zaznac

na zielono

Prędkość p łynu na lewym końcu rury oznaczamy przez v\ , a na prawym końcu

v

2

. Podobnie , po le przekro ju poprzecznego rury wynos i S\ na j e j l ewym

52 na je j końcu prawym. Załóżmy, że w przedzia le czasu At d o

wpływ a z lewej s t rony płyn o obję tośc i A V (obję tość tę na rysu nku 15.15a

iono na f iole towo). Płyn jes t nieśc iś l iwy, a za tem na praw ym ko ńcu rury

V (zabarwionej

To, że obie obję tośc i A V są takie same, umożl iwi nam wyznaczenie związku

z po lem przekroju popr zeczn ego . W tym ce lu przeanal izujemy na jpierw

sta

przekroju (o polu S) . Na rysunku 15.16a e lement płynu e dociera do linii

At e lement ten przebywa wzdłuż rury odcinek

Ax ~ vAt. W obec tego w przedz ia le czasu At przez l inię przerywaną

V równej

AV =SAx = SvAt.

(15.22)

Zapisując równanie (15.22) dla lewego i prawego końca odcinka rury z ry

AV = SiViAt — S

2

v

2

At,

SiVy =

S

2

V

2

(równan ie ciągłoś ci).

(15.23)

równaniem

d la przepływu p łynu doskona łego . Wynika z n iego , ż e prędkość prze

a ( tak właśn ie jes t , gdy zas łaniasz pa lce m część otworu wy jśc iowego węża

a) w chwili t

Ax-

b) w chwili t + At

Rys. 15.16.

Płyn przepływa przez

ze stałą prędkością v. a) W chwili t

ment płynu e dociera do linii przer

nej,

b) W chwili t + At e lement e

duje się w odległości

Ax = vAt

o

linii



1 5 . 1 7 .

Struga prądu jest wyzna

jej

być

taka sama

we

wszyst

(o różnych polach

Równanie (15.23) s tosuje się nie ty lko do przepły wu płynu przez pra

rurę , lecz także

do

tak zwanej strugi prądu, czyli um owne j rury ograniczon

linie prądu. Taka rura dzia ła

tak

s a m o

jak

prawd ziwa, gdyż żaden e lemen

nie może przepłynąć przez l in ię prądu, wobec czego cały płyn zawarty

w

prądu pozosta je

w

nie j przez cały czas .

Na

rysunku

15.17

przedstaw iono

prądu, k tórej pole przekroju poprzecznego rośnie od war tośc i S\ do w ar

wzd łuż k ie runku p rzep ływu.

Z

równania (15.23) wiemy,

że gdy

pole p

poprzecznego wzras ta , p rędkość p rzep ływu mus i się zm nie jszać. Jak w id

sunku 15.17, przejawem tego jes t zwiększenie

się

wzajemnych odległo

prądu (w prawej części tego rysunku). Wiedząc to , moż emy odczy tać z

15.12, że

prędko ść przepły wu pły nu jes t największa

tuż nad i tuż pod

w

Równan ie (15 .23) możemy również zap isać

w

postaci

R

v

= Sv = const (s trumień objętościowy, równan ie ciągłości) , (1

przy czym

R

v

je s t

szybkośc ią przepływu obję tośc i

p łynu

( s trumieniem

ś c i o w y m ) ,

czyli obję tością płynu przepływającego przez pewien przewód

nostkowym czasie . Jednostką

tej

wielkości

w

uk ładz ie

SI

jes t m etr sześci

sekundę (m

3

/ s ) .

Gdy

gęstość pły nu

p

jes t s ta ła , możemy pomnożyć s trona

nanie (15.24) przez gęstość

i

wyznaczyć

s z y bko ś ć pr z e p ł y w u m a s y ( s t

m a s y ) R

m

, czyli ma sę płyn u przepływającego przez przewó d w jednos

czasie . Otrzymujemy

R

m

= pRy = pSv

— co ns t (strumień masy). (1

Jednostką s trumienia masy

w

układzie SI jes t k i logram

na

sekundę (kg/s)

nania (15.25) wynika,

że

masa p łynu , k tó ry wp ływa

w

jednos tce czasu

do

ru ry

z

rysunku (15.15) , jes t równa masie płynu wypływającego

z

tego

w jednostce czasu.

|/SPRAWDZIAN 3 :

Na rysunku przedstawiono odcinek rury

o

wielu wlotach

i

tach. Podano również wartość strumienia objętościowego

(w

cm

3

/ s )

i

kierunek prze

płynu dla wszystkich otworów z wyjątkiem jednego. I le wynosi dla tego otworu str

objętościowy

i

jaki

jest

kierunek przepływu?

15.6

So aor ty (wychodzącej z serca tęt

u normalnego cz łowieka

3 cm

2

. Krew przepływ a

przez aor tę z prędkością równą 30 cm/s. Typowe naczy

sowate (kapilarne) , o średnicy około 6 |xm, ma pole

poprzecznego S równe 3 • 1 0

- 7

cm

2

, a krew przepływa

z prędkością v wynoszącą 0,05 cm/s. Ile takich naczyń

tych ma człowiek?



że

O — * cała krew przepływająca przez naczy

się z serca przez aor tę.

w

aorcie musi zatem

być

równy sumie

że wszystkie te naczynia są jednakowe, o polu przekroju

S i

prędkości przepływu

v

podanych

w

treści zada

Z równania (15.25) otrzymujemy wobec te go

SQVQ = nSv,

gdzie n jest l iczbą nacz yń w łosowatych. Rozwiązując

to

ró

względem n, dostajemy:

_ S

0

v

0

_ (3 c m

2

) ( 3 0 cm/s)

"

~

~~Sv~

~ (3

•

10 ~

7

c m

2

) ( 0 , 0 5

cm/s)

=

6

•

10

9

,

czyli

6

mil iardów. (odpo

Możesz ła two wykazać ,

że

łączne pole przekroju poprze

tych wszystkich naczyń włosowatych jest około

600

razy w

od pola przekroju poprzecznego aor ty.

15.7

na rysunku 15.18, struga wody wypływającej

się ku

do łowi . Zaznaczone

na

rysunku przekroje

od

siebie

w

pionie

o

h

= 45

mm, mają

SQ = 1,2 cm

2

i S = 0,35 cm

2

. Ile wynosi s trumień

z

k ranu?

h

. 15 .1 8 . Przyk ład 15 .7.

W

s trudze wody wypływającej

z

kranu

w

miarę spadania wody. Wartość s trumienia

o b

nie m o że się zmieniać, wobec czego struga musi się

ku

dołowi


Niet rudno zauważyć , że

O T

s trumień objętościowy wod

być taki sam we wszystkich m iejscach strugi , a więc ta

dwóch miejscach zaznaczonych

na

rysunku.

Z

równania (

otrzymujemy zatem

S

0

v

0

= Sv, (

gdzie vo

i

v

są

p rędkośc iami wody

na

poziom ach odpowiada

przekrojom

o

polach So

i S.

Woda spada swobodnie

z

przys

n iem z iemsk im g, a za tem zgodnie z równaniem (2.16) prę

te związane

są ze

sobą wzorem

v

2

= v

2

+2gh. (

Eliminując

v z

równań (15.26)

i

(15.27) ,

a

następnie rozw

ot rzymane równanie wzg lędem v

0

, dostajemy

/ 2ghS

z

/ ( 2 ) ( 9 , 8 m / s

2

) ( 0 , 0 4 5 m ) ( 0 , 3 5 c m

V

° ~ Y S

2

-S

2

~ V

(1,2

c m

2

)

2

- ( 0 , 3 5 c m

2

)

2

= 0 ,286

m/s = 28,6 cm/s.

Strumień objętościowy

R

v

w y zn aczam y

z

równania (15.24

R

v

= S

o

v

0

= (1, 2 c m

2

) ( 2 8 , 6 cm/s ) = 34 c m

3

/ s . ( odpow

R ó w n a n i e B e r n o u ł l i e g o

AV (oznaczonej na rysunku 15.19a na

a z prawej (na wyjściu) wypływa z niej płyn o takiej samej objętości

naczonej na rysunku 15.19b na zielono). Objętość płynu wypływającego z rury

taka sama jak objętość płynu wpływającego do

niej,

gdyż płyn jest

p.

Oznaczmy przez

y\, vi

i

p\

poziom, prędkość i ciśnienie płynu wchodzącego

y

2

, i>2 i Pi — odpowiednie wielkości odnoszące się



b )

P łyn przepływa jednosta j

L,

od wej

t + At (rysunek b) do

zachowania energi i dla tego płynu wynika następujący związek międz

wielk ościam i: , , .

2

Pi + \pv{ + pgy\ = P2 + \pv

2

+ Pgyi-

Równanie to możemy t eż zap i sać w pos t ac i

p + \pv

2

+ pg y = co ns t ( równanie Bernoul l iego) .

(1

Równania (15 .28) i (15 .29) są równoważnymi sobie pos t ac i ami ró

Bernoul l i ego , nazwanego t ak d l a upamię tn i en ia Danie l a Bernoul l i ego , k t

d a ł p rz e p ł y w y p ł y n ó w w X V I I I w i e k u

1

. Podobnie jak równanie ciągłości

równan ie Bernoul l i ego n i e j es t nowy m prawem f i zycznym, l ecz s formuło

znanych już zasad , zap i sanym w pos t ac i wygodnej z punktu widzenia

niki płynów. Aby się o tym przekonać, zastosujmy równanie Bernoul l

płynu w spoczynku, podstawiając do równania (15.28) v\ = v

2

= 0. W

ot rzymujemy

P2

=

Pi + Pgiyi - yi),

czyl i równanie (15.7), choć występujące w nim symbole mają nieco inne

nie.

Najważnie j szy wniosek , j ak i wynika z równania Bernoul l i ego , o t rz

zakładając, że

y

jest s tałe (możemy dla wygody przyjąć, że

y =

0), tak

n i e zmienia w t rakc ie przepływu swego położenia w p ionie . Z równania

o t rzymujemy wtedy

i + \pv\ = P2 + \pv\,

co oznacza, ze:

• Jeśli przy przepływ ie wzdłu ż poziom ej linii prądu prędkość e lementu płynu w

to ciśnienie płynu maleje i na odwrót.

Innymi słowy, w miejscach, w których l inie prądu są ułożone stos

bl isko siebie ( tzn. w miejscach, w których prędkość przepływu jest s tos

duża), c iśnienie płynu jest s tosunkowo małe i na odwrót .

Związek zmiany prędkośc i ze zmianą c i śn i en ia możesz z rozumieć ,

t rując zachowanie się elementu płynu. Gdy element ten zbl iża się do w

miejsca w rurze, panujące za nim duże ciśnienie powoduje przyspieszen

ruchu , w związku z czym w wąskim mie j scu rury prędkość przepływu j e

Gdy natomiast element zbl iża się do szerokiego odcinka rury, panujące pr

duże ciśnienie powoduje zwolnienie jego ruchu, a zatem w szerokim miejs

prędkość przepływu j es t mała .

Rów nanie Bern oul l i ego s tosu je s ię śc i śl e j edyn ie d l a p łynu doskon ałe

występują si ły lepkości , nie wolno nam pominąć zmian energi i termiczne

'Dla przepływu, który jest bezwirowy (co przez cały czas zakładamy), sta ła w

(15.29) ma taką samą wartość dla wszystkich punktów w strudze prądu; punkty te n

leżeć na jednej l inii prądu. Podobnie , punkty 1 i 2 w równaniu (15.28) są dwo ma do

punktami w strudze prądu.



L, nie zmienia w t rakcie przepływu swych

ości , wobe c czeg o moż emy zajmować się jedy nie wielkościami odnoszą

Zapiszemy zasadę zachowania energi i w postaci związku pracy ze zmianą

W = AE

k

, (15.31)

AE

k

= \Amv\ - \ Amv\ = jpAV(vj - v\), (15.32)

Am (= pAV) j es t masą p łynu , k tóry wpływa do rury na końcu

At.

Praca wykonana nad układem ma dwa źródła . Po p i e rwsze , s i ł a c i ężkośc i

wyko nuje pracę W

g

nad p łynem o masie

Am,

wznosząc go z poz iomu

W

g

=

-Amg(y

2

- yi) = -pgAV(y

2

- yi).

(15.33)

go w górę) i si ły ciężk ości (skiero wan ej w dół).

Po drugie , p raca j es t t eż wykonywana nad układem (na wej śc iowym końcu

gdy płyn jest wt łaczany do rury, oraz przez układ (na wyjściow ym końcu

F, działającą na próbkę płynu o polu

S, przy przemieszczeniu p łynu na odleg łość Ax, jest

FAx = (pS)(Ax) = p(SAx) = pAV.

piAV, a praca wyko nana przez

p

2

AV. Ich sum a W

p

jest równa:

W

p

= -p

2

AV + piAV =

-(

P2

-

Pl

)AV.

(15.34)

W = W

g

+ W

p

= AE

k

.

-pgAV(y

2

-

y i

) - AV(p

2

-

P l

) = \pAV(v\ - vj).



Po

niewielkich przekształceniach otrzymujemy stąd równanie (15 .28) , k

mierzaliśmy

wyprowadzić.

|/SPRAWDZIAN

4

Woda prze

pływa jednostajnie przez rurę przedsta

wioną na rysunku, przy czym zmienia

swój poziom. Uszereguj cztery odcinki

rury, oznaczone na rysunku cyframi,

w zależności

od

odpowiadających

i m

wartości: a) strumieni objętościowych

Ry,

b) prędkości przepływu D oraz

c) ciśnienia wody p, od największych

do najmniejszych.

i

1

i

i 2

i

kierunek pr/epl\wu

15 .8

o gęstości p = 791 kg/m

3

przepływa jednostajnie przez

się

na

rysunku 15.15)

od

wartości

Si = 1,2

•

10 "

3

m

2

do S

2

=

12 . Różnica ciśnień na wąskim i szerokim końcu rury wynosi

Pa. Wyznacz strumień objętościowy etanolu Ry.

że O T cały płyn przepływający przez

jej

odcinek

a

zatem strumień objętościowy R

v

musi być taki sam

na

Z równania (15.24) mamy więc

Ry = V\S\ = v

2

S

2

(15.35)

nie możemy jednak wyznaczyć Ry, gdyż nie

z

występujących

w

nim prędkości.

Weźmy zatem pod uwagę, że O—ir skoro przepływ płynu

to możemy zastosować do niego równanie Ber

Z równania (15.28) otrzymujemy:

Pi + -

2

pv\ + pgy = pi + \pv\ + pgy,

(15.36)

i

2 odnoszą się odpowiednio do szerokiego

a y jest ich jednakowym poziomem.

oka

równanie

to nie

wydaje

się

szczególnie

do naszego celu, gdyż nie zawiera szukanego strumienia

Ry, lecz zawiera nieznane prędkości v\ i v

2

.

Niemniej jednak właśnie to równanie umożliwi nam roz

je wykorzystamy. Najpierw, na

podstawie równania (15.35) stwierdzimy, że

Ry

vi =

Ry

2Ry

S\

S

2

Si

przy czym skorzystaliśmy dodatkowo

z

tego,

że S

2

= S

stępnie podstawimy te wyrażenia do równania (15.36

czemu wyeliminujemy z niego nieznane prędkości, a j

śnie wprowadzimy szukany strumień objętościowy. Roz

otrzymane równanie względem R

v

, otrzymamy

Ry = Si

2(Pi - Pi)

3p

Pozostaje jeszcze jedna kwestia do rozstrzygnięcia

że różnica ciśnień na końcach rury wynosi 4120 Pa, lecz

podstawić za p\ — p

2

: 4120 Pa czy —4120 Pa? Można

że powinniśmy skorzystać

z tej

pierwszej wartości, gd

stawiając drugą, otrzymalibyśmy pod pierwiastkiem w

(15.38) liczbę ujemną. Zamiast zgadywać, spróbujmy je

myśleć. Z równania (15.35) wynika, że prędkość v

2

w

odcinku rury (małe S2) jest większa niż prędkość v\

w

j

kim odcinku (małe S

2

). Przypomnij sobie, że gdy prędko

wzrasta

w

trakcie przepływu

w

poziomym przewodzie (j

szym zadaniu), ciśnienie płynu maleje. Tak więc p\ jest

niż

p

2

,

wobec czego

p

l

—

p

2

=

4120 Pa. Podstawiając

tę

i inne wartości dane do równania (15.38), otrzymujemy

R

v

=

1,2- IO

- 3

m

2

(2)(4120

Pa)

(3)(791 kg/m

3

)

= 2,24

•

10~

3

m

3

/s . (odp

15.9

na Dzikim Zachodzie kula trafia w ściankę

od góry zbiornika

z

wodą (rys. 15.20), tworząc

w

niej

w odległości h od powierzchni wody. Wyznacz prędkość,

ten

otwór.


Zauważ przede wszystkim, że O—ł w istocie mamy d

nia z przepływem wody w dół z prędkością VQ przez sze

(zbiornik) o polu przekroju poprzecznego S oraz z jej prz

w poziomie

z

prędkością

v

przez wąską rurę (otwór)

o

p



s. Ponadto O—"* woda przepływająca przez

R

v

musi być taki sam w obu „rurach" . Wo bec tego

R

v

= sv = Sv

0

,

s

<K

S, a zatem vo < ».

Ważne jes t t eż to , że O" -* v jest związane z v0 (oraz z

a związek ten wyraża równanie Bernoull iego, czyli równa

u z otworu po kuli jest równe ciśnieniu atmosferycznemu

po + \pv\ + pgh = po + \pv

2

+ pg(0). (15.39)

v. Zanim jednak je rozwiążemy, za

D o <SC v.

D

Q

jest bardzo małe, to

\pv\ jest znikomo mały w porównaniu

z innymi wyrazami w równaniu (15.39) , a więc możemy g

ścić .

Rozwiązując otrzymane w ten sposób równanie wz

v, otrzymujemy

Zwróć uwagę, że taką samą prędkość ma przedmiot spa

swobodnie z wysokości h z prędkością początkową równą

Rys. 15.20.

Przykład 15.9. Woda wypływa ze zbiornika

otwór znajdujący się w odległości h od powierzchni wod

śnienie na powierzchni wody oraz u wylotu z otworu jest

ciśnieniu atmosferycznemu po

Gęs tość

p

dowolnej substancji definiujemy jako masę

Am

P =

AV'

(15.1)

P =

(15.2)

Pły n jest to substancja zdolna do przepływ u;

a on kształ t naczynia, gdyż nie jest w stanie przeciwstawić

p:

AF

P

= -

s

, (15.3)

czym A F jest s i łą działającą na element powierzchni o polu

.

Jeśl i ta s i ła powoduje jednakowy nacisk w każdym punkcie

płaskiej powierzchni , to równanie (15.3) możemy zapisać

staci

P = f •

Siła pochodząca od ciśnienia płynu ma w każdym punkcie

taką samą war tość we wszystkich kierunkach. Różnicę m

bezwzględnym (pełnym) ciśnieniem w danym punkcie a

niem atmosferycznym nazywa się nieraz nadciśnieniem.

Zmiana ciśnienia ze zmianą wysokości i głębokości w

ni e

Ciśnienie w płynie, znajdującym się w spoczynku,

od współrzędnej pionowej y punktu pomiaru. Gdy oś y jes

rowana w górę,

P2

= pi + pg(y\ - n)-

Ciśnienie w płynie jest takie samo we wszystkich punkta

żących na jednym poziomie. Jeśl i przez h oznaczymy głę

próbki płynu mierzoną w dół od pewnego poziomu odnies



p

0

,

to z równa nia (15.7) wyn ika, że:

p = p

0

+ pgh, (15.8)

p jest ciśnieniem w wybranej próbce płynu.

Prawo Pascala,

które można wyprowadzić ze

Na ciało całkowicie lub częściowo zanu

w

. Siła ta jest skierowana w górę, a jej war tość jest dana w zorem

Fv = m

p

g, (15.16)

m

p

jest masą płynu wypar tego przez ciało.

Gdy ciało pływa w płynie, war tość F

w

działającej na nie

g

działającej na nie

ru, jest związany z jego rzeczy wistym c iężarem zależnością

ciężar = cięża r - F

w

. (15.19)

Przepływ płynów doskonałych Płyn doskonały jest ni

i nielepki , a jeg o przep ływ jest ustalony i bezwirowy.

Lin

nazywamy tor pojedynczej cząstki płynu. Wiązkę l ini i p

zywamy strugą prądu. Przepływ każdej s trugi prądu speł

nanie ciągłości:

R

v

= Sv = cons t,

przy czym Ry jest

szybkośc ią przepływu objętośc i

p ły

mieniem objętośc iowym) ,

S — polem przekroju popr

strugi w danym jej punkcie, a u — prędkością płynu w ty

cie (zakładamy, że prędkość jest s tała w obszarze prze

Szybkość przepływu masy ( s trumień masy ) R

m

wyno

R

m

=

P

R

V

z=

pSv = cons t.

Równanie Bernoułliego

Z zasady zachowania energi

nicznej ,

zastosowanej do przepływu płynu doskonałego

równanie Bernouł l i ego

p + \pv

2

+ pgy = const

w każdym miejscu s trugi prądu.

b-

1 .

Na rysunku 15.21 przed

tawiono zbiornik z wodą

skomplikowanym kształ

zawierającym między

L,

lu b 3L . Uszereguj te

cianki w zależności od war

naj

. Efekt czajniczka. Gdy po

czaj

iczka przez jego dziobek,

e s trumień wody zawraca

ób całkiem długą drogę, za

podnią powierzchnią dziobka, jest ciśnienie atmosferyczne) . Sy

Rys.

1 5 . 2 1 .

Pytanie 1

-dziobek

sk

c

kierunek

przepływu wody

Rys. 15.22.

Py tan ie

2

cztery punkty w strumieniu wody: a i b — na górze i

s trumienia w dziobku, oraz c id — na górze i na dole s

pod dziobkiem. Uszereguj te punkty w zależności od pa

w nich nadciśnienia wody, od największego (dodatniego

mniejszego (ujemnego) .

3 .

Na rysunku 15.23 przedstawiono cztery sposoby umi

w rurce w kształcie l i tery U dwóch cieczy: czerwonej

W jednym z tych przypadków ciecze nie mogą znajdo

w równowadze statycznej , a) Który to przypadek? b) W

łych przypadkach załóż, że ciecze są w równowadze st

W każdym z tych przypadków określ , czy gęstość cieczy

nej jest większa, mniejsza, czy równa gęstości cieczy sz

I I I

(1) (2)


(3)

4 .

Trzy podnośniki hydrauliczne, takie jak przedstawion

sunku 15.8, s tosujemy do podn iesienia takich samych ładu



.

Zanurzamy całkowicie blok z pewnego mater iału, o nieregu

miejscu? b) Jak zachowa się ten blok, gdy następnie

.

Na rysunku 15.24 przedstawiono cztery ciała s tałe pływające

a) b)


c )

8 .

Klocek pływa w wiadrze s tojącym na podłodze nieru

windy. Czy klocek ten zanurzy się w wodzie głębiej , p łyc

pozostanie zanurzony tak samo, gdy kabina windy będzi

szać się: a) w górę ze stałą prędkością, b) w dół ze stałą

ścią, c) z przyspieszeniem skierowanym w górę, d) z przy

niem skierowanym w dół , o war tości mniejszej od g?

9 . Lódź pływ a w basenie, którego szerokość jest tylko niec

sza od szerokości łodzi , a jej kotwica leży na pokładzi

poziom wody w basenie podniesie s ię, opuści , czy poz

nie zmieniony, gdy kotwicę: a) wrzucimy do wody, b)

cimy na brzeg basenu? c) Czy poziom wody w basenie po

się, opuści , czy pozostanie nie zmieniony, gdy zamiast

wyrzucimy z łodzi do wody korek, który będzie pływał

dzie?

(1 ) ( 2 ) (3) (4)

1 5 . 2 4 .

Pytanie 6

Na rysunku 15.25 przedstawiono trzy jednakowe, otwar te od

wodą.

W dwóch z nich

iornika wraz z jeg o zawar

od największego do najmniejszego.

1 0 .

Na rysunku 15.26 przedstawiono trzy proste rury, prze

płynie woda. Na rysunku podano prędkość przepływu wod

każdą rurę oraz pole przekroju poprzecznego każdej z nich

reguj te rury w zależności od objętości wody, która prz

przez przekrój poprzeczny każdej z nich w ciągu jednej

od największej do najmniejszej.

35

2v.

a)

Rys. 15.26.

Pytanie 10

b )

1 2 5

c)

Rozwiązanie jest dostępne na s trome internetowej pod

ręcznika, ht tp //ww w wiley com/college/hrw


wykorzystujące] oprogramowanie Interact ivc Learning


Oblicz zmianę ciśnienia płynu w strzykawce, gdy pielęgniarka

2 . Do cylindrycznego zbiornika wlano trzy nie mieszające

sobą ciec ze. Ich objętości i gęstości wynoszą : 0,5 1 i 2,6

0 ,25 1 i 1 g/cm

3

oraz 0,4 1 i 0,8 g/c m

3

. Wyznacz siłę dzi

ze strony tych cieczy na dn o zbiorn ika. Pam iętaj, że 1 1

c m

3

: pomiń wpływ atmosfery.

3 . Okno w biurze ma wymiary 3,4 m x 2,1 E Po pr

burzy ciśnienie powietrza za oknem spada do war tości 0 ,9

lecz wewnątrz budynku nadal panuje ciśnienie 1 atm. I le

całkowita s i ła działająca wówczas na okno?

4 . Napompowałeś przednie koła samochodu do ciśnienia

(patrz s . 63) . Następnie zmierzyłeś sobie ciśnienie krwi,



mując wynik 120/80, przy czym wskazania są wyrażone w mm

Hg . W krajach, w których obowiązuje układ jednostek SI, czyli

niemal na całym świecie, ciśnienie podaje się zwykle w kilopa-

skalach (kPa). Wyraź w kilopaskalach: a) ciśnienie w oponach

twojego samochodu, b) zmierzone przez ciebie ciśnienie krwi.

5. Ryby sterują głębokością swego zanurzenia w wodzie, zmie

niając zawartość powietrza w porowatych kościach lub pęcherzach

pławnych, tak aby ich średnia gęstość była równa gęstości wody

na danej głębokości. Przyjmij, że gdy całe powietrze jest usu

nięte z pęcherzy pławnych, ryba ma średnią gęstość równą 1,08

g/cm

3

. Jaką część całkowitej objętości ryby musi stanowić powie

trze w pęcherzach pławnych, aby jej gęstość zmniejszyła się do

wartości odpowiadającej zwykłej gęstości wody?

6 . Hermetyczny pojemnik, którego wieczko ma znikomo małą

masę oraz pole powierzchni równe 77 cm

2

, jest częściowo opróż

niony z powietrza. Gdy ciśnienie atmosferyczne wynosi 1 • 10

5

Pa,

do zdjęcia wieczka potrzebna jest siła o wartości 480 N. Ile wynosi

ciśnienie powietrza w pojemniku (przed zdjęciem wieczka)?

7 .

W roku 1654 Otto von Guericke, wynalazca pompy próżnio

wej, wykonał na oczach dostojników Świętego Cesarstwa Rzym

skiego doświadczenie, w którym dwa ośmiokonne zaprzęgi nie

były w stanie rozerwać dwóch złączonych półkul mosiężnych (na

zwanych później półkulami magdeburskimi), spomiędzy których

odpompowano powietrze, a) Załóż, że półkule miały ścianki do

statecznie cienkie na to, aby R na rysunku 15.27 mogło oznaczać

zarówno ich promień zewnętrzny, jak i wewnętrzny, i wykaż, że

siła

F

potrzebna do rozerwania półkul ma wartość

F = Tt R

2

Ap,

przy czym Ap jest różnicą ciśnień na zewnątrz i wewnątrz kuli.

b) Przyjmij, że R było równe 30 cm, ciśnienie wewnątrz kuli

wynosiło 0,1 atm, a ciśnienie zewnętrzne było równe 1 atm,

i oblicz wartość siły, jaką

musiałyby działać dwa ze

społy koni, aby rozdzielić // ' jl f * *'

półkule, c) Uzasadnij, że do

świadczenie dałoby taki sam

wynik, gdyby zastosować

1

tylko jeden zaprzęg koni, „. -

v

a półkule przymocować do

sztywnej ściany. Rys. 1 5 . 2 7 . Zadanie 7

15.4

Płyny

w

spoczynku

8. Oblicz różnicę ciśnienia hydrostatycznego krwi w krwiobiegu

człowieka w jego mózgu i w jego stopie. Przyjmij, że wzrost czło

wieka wynosi 1,83 m, a gęstość krwi jest równa 1,06 • 10

3

kg/m

3

.

9 .

Odpływ ścieków z domu zbudowanego na zboczu znajduje się

o 8,2 m niżej niż poziom ulicy. Kanał ściekowy znajduje się na

tomiast o 2,1 m niżej niż poziom ulicy. Oblicz minimalną różnicę

ciśnień, jaką musi wytworzyć pompa do ścieków, aby umożliwić

odprowadzenie z odpływu do kanału ściekowego ścieków o śred

niej gęstości wynoszącej 900 kg/m

3

.

o

'3

1 0 . Na rysunku 15.28 przedstawiono

wykres fazowy

d

pokazujący, w jakich zakre

sach temperatury i ciśnie

nia w wyniku krystalizacji diament

węgla otrzymuje się bądź ; .»•

diament, bądź grafit. Na ja

kiej minimalnej głębokości

może tworzyć się diament,

jeśli temperatura na tej głę

bokości jest równa 1000°C,

a masa skalna ma gęstość 3,1

g/cm

3

? Przyjmij, że — po

dobnie jak w płynie — ci

śnienie na danej głębokości

pochodzi od siły ciężkości

działającej na materia le

żący powyżej tego poziomu.

g

1000 2000

temperatura [

Rys. 15.28.

Zadanie

1 1 . Basen kąpielowy ma wymiary 24 m x 9,0 m x

jest całkowicie wypełniony wodą. Oblicz siłę (pochodz

od wody), działającą na: a) dno basenu, b) jego krótsz

oraz c) jego dłuższą ścianę, d) Czy gdyby istniała możl

betonowe ściany lub dno basenu mogą być bliskie załam

powinieneś uwzględnić także ciśnienie atmosferyczne?

tak uważasz?

1 2 .

a) Oblicz całkowity ciężar wody znajdującej się n

tem podwodnym o napędzie jądrowym, którego zanurz

nosi 200 m, a pole poziomego przekroju jego kadłuba je

3000 m

2

. Gęstość wody morskiej wynosi 1,03 g/cm

3

, b)

ciśnienie wody działające na znajdującego się na takiej

ści nurka i wyraź je w atmosferach. Czy sądzisz, że cz

załogi okrętu podwodnego, który uległby uszkodzeniu

głębokości, mogliby się z niego wydostać bez specjalny

binezonów?

1 3 . Członkowie załogi ok

rętu podwodnego, który

uległ uszkodzeniu na głębo

kości 100 m pod powierzch

nią wody, starają się z niego

wydostać. Ile wynosi war

tość siły, która trzeba dzia

łać na pokrywę luku awa

ryjnego o wymiarach 1,2 m

x 0,6 m, aby ją otworzyć

na tej głębokości? Przyjmij,

że gęstość wody w oceanie

wynosi 1025 kg/m

3

.

14 .

Cylindryczna beczka

zakończona jest u góry

cienką rurą, jak pokazano

na rysunku 15.29, na któ

rym są też podane wymiary

4,6 cm

2

1,8 m

Rys. 15.29. Zadanie



.

Dwa jednakowe naczynia cyl indryczne, o podstawach znaj

p. Podstawy obu naczyń mają pole równe S, lecz wy

s łupa cieczy w jedny m z nich jes t równa ft] ,aw drugim

Oblicz pracę, jaką wyk ona s i ła grawitacyjna, gdy po połą

naczyń doprowadzi do zrównania poziomu

. W badaniach niektórych s t ruktur geologicznych zakłada s ię

poziomu kompensacyjnego , g łęboko we

3

, a gęstość

3

.

D. (Wskazówka: Sko-

a i b jes t

y

. Na rysunku 15.31 przed

h,

korzy

v,-w-.-.-

skał kontynentalnych wrośnię-

gora

<> kin

kontynent •> •

; 2,9gem-' '•>"

• • - . • i >

płiim"/

/.iemi

3 ,3

e/cm-

K O R W I T I

i . ,

a

p i i / i o m k o m p e n s a c y j n y


ocean kontynent

. Otwarty od góry zbior

wodą.

jaką woda

A,

B, wiedząc, że

5m.

1

l ig

L in

J G J B J L J J

12 km

i h h |

o t V

Ł U S

1

, li

skorupa

/ienv=k<t

2 , S g u n

,

płasziz

Z iemi

3 ,3 g /c in

3

liii

20 km

m i

2d

3d

W

d łi

I

D

Id



Rys.

1 5 . 3 1 . Zadanie 17

1 9 .

Głębokość zbiornika wodnego u tworzonego za tamą,

ściana s tykająca s ię z wodą jes t pionowa, jak na rysunku 1

wynos i

D.

Szerokość tamy jes t równa

W.

Wyznacz: a) całk

s i łę , jaką działa pozio mo woda na tamę dzięki swemu nadci

niu, b) wypadkowy moment te j s i ły względem osi przechod

przez punkt O i równoległej do szerokości tamy, c) ramię

z punktu (a) względem osi z punktu (b).

1 5 . 5 J a k s i ę m i e r z y c i ś n i e n i e ?

2 0 . I le wynosi minimalne podciśnienie (wyrażone w atm

rach), jakie musisz wytworzyć w płucach, aby napić s ię

s łomkę lemoniady o gęs tości równej 1000 kg/m

3

, jeś l i mu sisz

tym podnieść poz iom lemoniady w s łomce na wysokość ró

maksymalnie 4 cm?

2

1 .

I le wynosi łaby wysokość atmosfery, gdyby gęstość pow

w

n iej :

a) była s tała , b) malała l iniowo aż do zera ze wzro

wysokości? Przyjmij , że ciśnienie powietrza na poziomie m

wynosi 1 atm, a gęs tość powietrza jes t równa 1,3 kg/m

3

.

1 5 . 6

Prawo

P a s c a l a

2 2 . Prasa hydraul iczna zawiera t łok o małym polu powierz

równym s, za pom ocą którego działamy na ciecz niewielką s

Ciecz łączy ten t łok z większym t łokiem o polu powierzchni

nym S (rys . 15.34). a) I le musi wynosić wartość F siły dział

na większy t łok, aby pozo

s tał on w spoczynku? b) I le

wynosi wartość s i ły działa

jącej na mniejszy tłok, która

równoważy s i łę o wartości

20 kN, działającą na więk

szy t łok? Średnica małego

t łoka wynosi 3,8 cm, a ś red

nica dużego — 53 cm.

2 3 . Rozważ prasę hydraul iczną z zadania 22. O jaki od

trzeba przesunąć duży t łok, aby mały t łok podniósł s ię o 0,8

1 5 . 7 P r a w o A r c h i m e d e s a

2 4 . Łódź pływająca w s łodkiej wodzie wypiera wodę o cięż

równym 35,6 kN. a) I le wynosi łby ciężar wody wypartej p

Rys. 15.34. Zadania 22 i



tę łódź, gdyby pływała ona w s łonej wodzie o gęs tości równej

1,1 • 10

3

k g / m

3

? b) Czy objętość wypieranej przez łódź wody

zmieniłaby się przy tym? Jeśli tak, to o ile?

25 . Kotwica wyko nana z żelaza o gęs tości 7870 kg /m

3

wydaje się

w w odzie lżejsza o 20 0 N niż w powietrzu, a) I le wyn osi objętość

tej kotwicy? b) I le wynosi je j c iężar w powietrzu?

26 . Na rysunku 15.35 przedstawiono ciało o masie 450 kg, ma

jące kształ t sześcianu o krawędzi L = 0,6 m, zawieszone na l i

nie i całkowicie zanurzone w otwartym zbiorniku z cieczą o gę

s tości 1030 kg/m

3

, a) Oblicz wartość wypadkowej s i ły działają

cej w dół na górną ścianę sześcianu ze strony cieczy i powie

trza, zakładając, że ciśnienie atmosferyczne jest równe 1 atm.

b) Oblicz wartość wypadko

wej siły działającej od dołu

na dolną ścianę sześcianu.

c) Oblicz naprężenie liny.

d) Wyznacz z prawa Archi-

medesa wartość działającej

na ciało s i ły wyporu. Jaki

jes t związek między wszyst

k imi wyznaczonymi w tym

zadaniu wielkościami?


27. Gdy drewniany klocek pływa w s łodkiej wodzie, nad wodą

znajduje s ię jed na t rzecia jeg o objętości . Klocek ten m oże rów

nież pływać w oleju, lecz wtedy nad cieczą znajduje się 0,1 jego

objętości . Wyznacz gęs tość: a) drewna, b) oleju.

28 . Ma ły s terowiec płynie powoli w powietrzu na niewielkiej wy

sokośc i , wype łn iony — jak zwykle — he lem. Jego maksymalna

ładowność, odnosząca s ię do załogi i przewożonego towaru, wy

nosi 1280 kg. Objętość komory z helem wynosi 5000 m

3

. Gęstość

helu jes t równa 0,16 kg/m

3

, a gęs tość wodoru wynosi 0,081 kg/m

3

.

O i le więcej towaru mógłby unieść ten s terowiec, gdyby zamiast

helu wypełniony był wodorem? Dlaczego lepiej tego nie robić?

29 . Pusta w środku kula o promieniu wewnętrznym 8 cm i pro

mieniu zewnętrznym 9 cm pływa w cieczy o gęs tości 800 kg/m

3

,

przy czym jes t zanurzona do połowy, a) I le wynosi masa kul i?

b) I le wynosi gęs tość materiału, z którego jes t ona wykonana?

30 .

Mniej więcej jedna t rzecia ciała osoby pływającej w Mo

rzu Martwym znajduje s ię nad

wodą.

Przyjmij, że gęstość ciała

ludzkiego jes t równa 0,98 g/cm

3

, i obl icz gęs tość wody w Morzu

Martwym. Jak myśl isz , dlaczego jes t ona tak znacznie większa od

wartości 1,0 g/cm

3

?

3 1 . Kulis ta powłoka z żelaza pływa w wodzie, będąc w niej nie

mal całkowicie zanurzona. Jej ś rednica zewnętrzna wynosi 60 cm,

a gęs tość żelaza jes t równa 7,87 g/cm

3

. Wyznacz średnicę we

wnętrzną powłoki , i Iw

32 . Drewniany klocek ma masę 3,67 kg i gęs tość równą 600

k g / m

3

. Chcemy, aby 0,9 objętości klocka znajdowało się pod

wodą, gdy będzie on w niej pływał , wobec czego zam

obciążyć go ołowiem. I le musi wynosić masa potrzeb

tego celu obciążnika ołowianego, jeś l i umocujemy go: a

nej ścianki klocka, b) do dolnej ścianki klocka? Gęstoś

wy nosi 1,13 • 10

4

k g / m

3

.

3 3 .

Odlew z żelaza, zawierający pewną l iczbę zamknię

mór, ma w powietrzu ciężar równy 6000 N, a jego ci

zorny w wodzie wynosi 4000 N. I le wynosi całkowita

zamkniętych komór w tym odlewie? Gęstość żelaza ( tzn

nie zawierającej komór wewnętrznych) wynosi 7,87 g/c

34. Jaki błąd względny (wyrażony w procentach) po

przy ważen iu ciała o masie m i gęs tości p n a wadze szalk

na rysunku 5.6, pomijając s i łę wyporu , jaka działa na cia

wietrzu? Gęstość mosiądzu, z którego wykonane są od

wynosi 8,0 g/cm

3

, a gęs tość powietrza jes t równa 0,001

35. a) Ile co najmniej m usi wyn osić pole powierzc hni

o grubości 0,3 m, pływającej w słodkiej wodzie, aby nie

po postawieniu na niej samochodu o masie 1100 kg? b)

znaczenie, w którym miejscu postawimy na tafl i samoch

36.

Troje dzieci , każde o ciężarze równy m 356 N, buduj

wiążąc ze sobą pnie drewniane o średnicy 0,3 m i długoś

I le takich pni muszą ze sobą połączyć, aby t ratwa utrzym

trójkę na s łodkiej wodzie? Przyjmij , że gęs tość drewna

800 kg / m

3

.

3 7 . Pręt metalowy o długości 80 cm i masie 1,6 kg

przekrój o polu równym 6 cm

2

. Gęstość pręta nie jest

związku z czym jego środek masy znajduje s ię w odleg

cm od jednego z jego końców. Pręt jes t zawieszony

w wodzie na l inach zamocowanych na jego końcach (pa

nek 15.36). a) Ile wynosi na

prężenie l iny bl iższej ś rodka

ciężkości pręta? b) I le wy

nosi naprężenie liny dalszej

od środka ciężkości pręta?

(Wskazówka: Si ła wyp oru

działa na pręt w taki sposób,

j akby była do n iego przyło

żona w jego ś rodku geome

trycznym).

Rys. 15.36.

Zadanie 3

3 8 . Całkowita masa samochodu wynosi 1800 kg. Obję

wietrza zawartego w kabinie dla pasażerów jes t równa

Objętość s i lnika i przednich kół wynosi 0,75 m

3

, a obję

nych kół , baku i bagażnika jes t równa 0,80 m

3

. Samo

stał zaparkowany na zboczu wznies ienia i gdy w pewn

pęka l inka hamulca ręcznego, samochód s tacza s ię ze

i wpada do s tawu (patrz rysunek 15.37). a) Początkowo w

dla pasażerów nie ma wody i samochód pływa. I le wyno

objętość (w metrach sześciennych) te j części samochod

znajduje s ię w wodzie? b) Z upływem czasu woda powo

do kabiny i samochód zanurza s ię coraz bardziej . I le met

ściennych wody znajduje s ię w kabinie , gdy samochód z



0 " ni

Rys. 1 5 . 3 7 . Zadanie 38

. 9 R ó w n a n i e c i ą g ł o ś c i

. Wąż ogrodowy o średnicy wewnętrznej równej 1,9 cm jes t

dkością 0,91 m /s . Ile wyn osi prędko ść, z jaką woda wyp ływa

. N a rysunku 15.38 poka zano, jak dw a s t rumienie łączą s ię ze

tworząc rzekę. Jeden ze s t rumieni ma szerokość równą 8,2

szerokość równą 10,5 m, a woda płynie w niej z prędkością

74

1 5 . 3 8 . Zadanie 40

Z zalanej piwnicy wypompowujemy wodę przez wąż o pro

1 cm, a woda płynie w nim z prędkością równą

4 2 .

Woda, płynąca początkowo w rurze o średnicy wew

nej równej 1,9 cm, wypływa następnie przez t rzy rury o śre

równej 1,3 cm. a) Wiedząc, że s t rumienie objętościowe w t

węższych rurach wynoszą 26, 19 i 11 l /min, obl icz s t rumie

jętościowy w szerszej rurze, b) Oblicz s tosunek prędkości

w szerszej rurze i w tej rurze węższej , przez którą przepływ

li t rów wody na minutę.

1 5 . 1 0 R ó w n a n i e B e r n o u l l i e g o

4 3 .

Woda płynie początkowo z prędkością równą 5 m/s w

rze,

której przekrój ma pole równe 4 cm

2

. Następnie poziom

którym znajduje się rura, obniża się stopniowo o 10 m, a pol

przekroju poprzecznego zwiększa s ię przy tym do wartości 8

a) I le wynosi prędkość wody na szerszym końcu rury? b) I le

nosi c iśnienie wody na szerszym końcu rury, jeś l i na je j węż

końcu jes t ono równ e 1,5 • 10

5

Pa?

4 4 . Modele torped tes tuje s ię czasem w poziomej rurze z

nącą wodą, podobnie jak modele samolotów bada s ię w t

aerodynamicznym. Wyobraź sobie , że w kołowej rurze o śre

wewnętrznej równej 25 cm umieszczamy wzdłuż os i rury m

torpedy o średnicy równej 5 cm. Model ten ma być badany w

runkach, gdy woda przepływa wokół niego z prędkością 2,5

a) I le musi wobec tego wynosić prędkość wody w tej części

w której nie ma torpedy? b) I le wynosi różnica ciśnień w tej

ści rury, w której znajduje się model torpedy, i w tej jej cz

w której go nie ma?

4 5 . Woda jes t doprowad zana do piwnicy budyn ku rurą o śre

wewnętrznej równej 2,5 cm i płynie w niej z prędkością 0,9

Ciśnienie w rurze wynosi 170 kPa. Następnie woda dociera

o mniejszej średnicy, równej 1,2 cm, na drugie piętro, czy

poziom wyższy o 7,6 m od poziomu piwnicy. Oblicz: a) pręd

oraz b) c iśnienie wody na d rugim piętrze, i iw

4 6 . Wlot rury, doprowadzającej wodę ze zbiornika elektr

wodnej pompowej (rys . 15.39) do budynku generatora, ma

przekroju poprzecznego równe 0,74 m

2

, a woda wpływ

niego z prędkością 0,4 m/s . Wylot rury w budynku gener

jes t położony o 180 m ni

żej od wlotu. Rura ma tu

mniejszy przekrój i woda

wypływa z niej z prędko

ścią równą 9,5 m/s. Ile wy

nosi różnica ciśnień wody u

wlotu do rury i u wylotu

z niej , wyrażona w megapa-

skalach? Rys.

1 5 . 3 9 .

Zadanie 46

4 7 .

Zbiornik o dużej powierzchni dna jes t napełniony

wodą

że g łębokość wody wynos i

D =

0,3 m. Woda wypływa ze z

nika przez otwór w dnie o polu powierzchni równym S =

c m

2

, a) Oblicz s t rumień objętościowy wody wypływającej p

ten otwór i wyraź go w metrach sześciennych na sekundę, b

zbiornik

bud

gene

_."



8 .

Powietrze opływa górną powierzchnię skrzydła samolotu,

S, z prędkością v

g

, a jego dolną powierzchnię, o takim

Vi. Wykaż, że w tej uproszczonej

ji z równania Bernoulliego wynika, że wartość L skierowa

do góry siły nośnej, działającej na skrzydło samolotu, wynosi

L = \

P

S(v

2

g

p jest gęstością powietrza.

9 . Prędkość przepływu powietrza wzdłuż dolnej powierzchni

rzydła samolotu wynosi 110 m/s, a różnica ciśnień działających

jmij, że gęstość powietrza wynosi 1,3 • 10~

3

g/cm

3

, oraz za

. Dwa zbiorniki, 1 i 2, o dużych otworach w górnych ścianach,

h względem poziomu cie

Strumień masy cieczy wypływającej z każdego zbiornika jest

pi/' p

2

l b) Ile

tosunek strumieni objętościowych cieczy wypływających

ienie objętościowe cieczy wypływającej z obu zbiorników były

. Jak pokazano na rysunku 15.40, woda przepływa w prawo

ówną 15 m/s. Średnice rury na lewym i prawym jej końcu

v

2

i c) nadciśnienie wody?

t> = 15 m/s

Rys. 15 .40 .

Zadanie 51

. Beczułka zawiera napój o gęstości 1 g/ cm

3

. W odległości 50

od poziomu cieczy, w ściance beczułki znajduje się kurek, któ

2

. Ile wynosi pręd

z jaką wypływa z beczułki napój po otwarciu kurka, jeśli

. Tama zamyka zbiornik słodkiej wody o głębokości równej

15 .41, w tamie wydrążony jest

iomy kanał o średnicy 4 cm, znajdujący się na głębokości

6 m pod powierzchnią wody.

Z drugiej strony tamy kanał

jest zaczopowany. a) Wy

znacz wartość siły tarcia

działającej między czopem

a ściankami kanału. Wy

obraź sobie, że w pewnej

chwili usuwamy czop zamy

kający kanał, b) Ile wynosi

objętość wody, która wypły

nie przez kanał z ciągu 3 go

dzin od jego otwarcia?

6 m

15

m

ms

Rys.

1 5 . 4 1 .

Zadanie 5

54. Zbiornik napełniono wodą do wysokości H, a

z jego ścianek wywiercono otwór na głębokości h pod po

nią wody (patrz rysunek 15.42). a) Wykaż, że odległo

podstawy zbiornika do punktu, w którym spada na ziem

mień wody wypływającej przez otwór, jest dana wy

x = 2y/h(H — h). b) Czy jest możliwe, aby strumień w

pływającej z otworu wywierconego na innej głębokości

wierzchnią wody miał taki

sam poziomy zasięg lotu?

Jeśli tak, to ile wynosi ta

głębokość? c) Na jakiej głę

bokości należałoby wywier

cić otwór w ścianie zbior

nika, aby strumień wypły

wającej przezeń wody spa

dał na ziemię w najwięk

szej odległości od podstawy

zbiornika?

H

Rys. 15.42.

Zadanie 5

55. Zwężka Venturiego służy do pomiaru prędkości p

płynu w przewodzie. Jak pokazano na rysunku

15 .43,

zw

czy się z przewodem tak, aby stanowiła jego odcinek.

wejściowy i wyjściowy urządzenia mają taki sam prze

przewód, o polu równym S. Na obu końcach urządzenia

przepływu płynu jest równa V, a w jego zwężonej czę

kowej, o polu przekroju poprzecznego równym s, wyno

Urządzenie zawiera manometr, którego jedno ramię jest d

do przewodu na jego szerokim odcinku, a drugie — w

zwężenia. Zmianie prędkości przepływu towarzyszy zm

śnienia w płynie

Ap,

której miarą jest różnica

h

poziom

czy w obu ramionach manometru (Ap jest tu różnicą

w miejscu zwężenia i w szerokiej części przewodu), a)

równanie Bernoulliego i równanie ciągłości w punktach

rysunku

15 .43,

aby wykazać, że

V =

2s

2

Ap

p(s

2

-S

2

)'

gdzie p jest gęstością płynu, b) Przyjmij, że płynem je

woda, pole przekroju poprzecznego przewodu wynosi

w jego szerokiej części oraz 32 cm

2

w miejscu zwężen

śnienie jest równe 55 kPa w szerokim odcinku przewo



. Wyobraź sobie, że zwężka Ventur iego z zadania 55 i rysunku

S jest równe 5s , a ci

pi w szerokiej części przewodu wynosi 2 atm. Wyznacz

V — w szerokim odcinku przewodu oraz b) v —

p

2

w miejscu zwężenia jest

pi jest bliskie zera, nazywa się kawitacją. W wodzie

zwężka Ventur iego

wejście r ? wyjście

- > 5 r ^

Rys.

1 5 . 4 3 . Zadania 55 i 56

Rurka Pitota (przedstawiona na rysunku 15.44) może słu

otworów B (na rysunku widać cztery z nich) , przez które

z ramion rurki w kształcie l i tery U. Przedłużenie drugiego

A znajdujący się z przodu

d u i zwrócony w k ierunku lo tu samolo tu . W punkcie A powie

VA

= 0. Prędkość prze pływu

B można natomiast przyjąć za równą prędkości sa

v. a) Wykaż na podstawie równania

v

fi powietrze

gdzie p p o w jest gęstością powietrza, p — gęstością cieczy w

w kształcie litery U, a h — różnicą poziomów cieczy w tej

b) Załóż, że rurka zawiera alkohol , a różnica jego poziom

wynosi 26 cm. I le wynosi prędkość samolotu względem p

trza? Gęstość powietrza jest równa 1,03 kg /m

3

, a gęstość alk

wynos i 810 kg /m

3

.

5 8 .

Rurka Pitota (patrz zadanie 57) , w którą wyposażon

samolot, wskazuje na dużej wysokości lotu różnicę ciśnień o

tości 180 Pa. I le wynosi prędkość samolotu względem powi

jeśl i gęstość powietrza jest równa 0,031 kg/m

3

?

Z a d a n i a d o d a t k o w e

5 9 . Dinozaur o nazwie diplodok był olbrzymim zwierz

0 długiej szyi i d ługim ogonie, a jego m asa była tak wiel

jego tylne kończyny były bardzo obciążone. Według pewnej

tezy diplodok miał brodzić w wodzie, zanurzony w niej być

aż po łeb, tak że s i ła wyporu równoważyła częściowo si łę

kości i zmniejszała obciążenie kończyn. W celu sprawdzenia

tak mogło być, przyjmij , że gęstość ciała diplodoka wynosi

gęstości wody, a jego masa była równa 1,85-10

4

kg (zgodnie

opublikowanym oszacowaniem), a) Oblicz ciężar diplodoka

licz jeg o ciężar pozorny przy założeniu, że pod wodą znajd

się:

b) 0,5, c) 0,8, d) 0,9 jego objętości. Gdyby dinozaur był n

całkowicie zanurzony, tzn. gdyby nad wodę wystawał tylko

łeb, płuca zwierzęcia znajdowałyby się na głębokości około

pod powierzchnią wody. e) Oblicz, i le wynosiłaby wówczas

nica ciśnienia wody, działającego z zewnątrz na jego płuca,

ciśnienia powietrza w płucach zwierzęcia. Aby diplodok móg

brać powietrza w płuca, jego mięśnie oddechowe musiałyby

zwiększaniu objętości płuc pokonać tę różnicę ciśnień. Zap

nie udałoby mu się to , gdyby ta różnica ciśnień była większ

8 kPa. f ) Czy hipoteza, że diplodok brodził w wodzie, wyd

się uzasadniona?

6 0 .

Gdy kaszlesz, wypuszczasz powietrze z dużą prędk

przez tchawicę i dochodzące do niej oskrzela, przy czym

wany jest nadmiar ś luzu zalegającego w drogach oddechow

Robisz to tak: bierzesz głęboki wdech, zatrzymujesz pow

w płucach, zamykając głośnię (mały otwór w kr tani) , po

zwiększasz ciśnienie powietrza, ściskając płuca, przy czym

ściowo zatykasz tchawicę i oskrzela, aby zwęzić drogi odd ech

1 wreszcie wypu szczasz pow ietrze, otwierając gwałtownie gł

Przyjmij, że s trumień objętościowy powietrza w czasie wy

wynosi 7 • 10~

3

m

3

/s . Wyznacz prędkość przepływu pow

przez tchawicę, gdy jej średnica wynosi a) 14 mm, jak przy

malnym oddychaniu, oraz b) 5 ,2 mm, jak przy kasłaniu. W

wynik w jednostkach prędkości dźwięku u

d ź w

= 343 m/s.

6 1 . Załóż, że gęstość twego ciała jest stała i wynosi 0,95 gę

wody. a) Jaka część objętości twego ciała znajduje się nad w

gdy pływasz w basenie kąpielowym?



Tak zwany ciekły piasek to płyn tworzący s ię , gdy woda

przechodzi pod ciśnieniem przez piasek, przy czym odpycha ona

ziarnka piasku od siebie, tak że przestają być ze sobą związane za

pośrednictwem występującego między nimi tarcia . Ciekłe piaski

tworzą s ię na przykład wtedy, gdy woda przepływa pod ziemią

ze wzgórza w dol inę przez złoża piasku, b) Jaka część objętości

twego ciała znalazłaby s ię nad powierzchnią płynu, gdybyś wpadł

do dużego zbiornika z ciekłym piaskiem, którego gęs tość jes t 1,6

razy większa od gęs tości wody? c) Czy byłbyś przy tym zanurzony

tak głęboko, że nie mógłbyś oddychać? Lepkość ciekłego piasku

znacznie s ię zwiększa, gdy płyn znajduje s ię w ruchu (płyn o te j

właściwości nosi nazwę płynu tiksotropowego). Tak więc, im bar

dziej gwałtownie s tarasz s ię z niego wydostać, tym większy opór

s tawia płyn twoim ruchom, d) Jak mógłbyś s ię z niego wydostać

bez pomocy innych osób?

62. Odkręć kran z wodą nad zlewem z płaskim dnem, tak by na

dno pada ł jednostajny ( laminarny) s t rumień cieczy. Przekonasz

się,

że woda rozpływa s ię od punktu spadku na dno w postaci

cienkiej wars twy, po czym w pewnej odległości r

s

od teg

grubość wars twy wody nagle s ię zwiększa. Ta zmiana

wars twy, zwana skokiem hydraulicznym, daje doskon ale w

okrąg o środku w punkcie spadku s t rumienia wody na dno

Wewnątrz tego okręgu prędkość przepływu wody v\ je

równa prędkości s t rugi tuż przed spadkiem na dno.

W pewnym doświadczeniu s twierdzono, że promie

wody tuż przed spadkiem na dno wynosi 1,3 mm, objęt

s t rumień wody Ry jes t równy 7,9 cm

3

/ s , promień r

s

wyno

a grubość wars twy wody tuż za skokiem hydraul icznym je

2 mm. a) Oblicz prędkość wody vi . b) Wyznacz grubość

w ody d w zależności od odległości radialnej r od punktu

strugi na dno dla r < r

s

. c) Czy grubość wars twy wody

czy maleje ze wzrostem r? d) I le wynosi ta grubość tu

skokiem hydraul icznym? e) I le wynosi prędkość wody

v

skokiem? I le wynosi gęs tość energi i kinetycznej wody f) t

i g) tuż za skokiem hydrau l icznym? h) I le wyn osi zm iana c

wody na dno zlewu związana ze skokiem? i ) Czy dla l in

w obszarze skoku obowiązuje równanie Bernoul l iego?



1 6 Drgan ia

B y ł 1 9 w r z e ś n i a 1 9 8 5 r o k u . F a l e s e j s m i c z n e w y w o ł a n e p r z e z t r z ę s i e n i e z i e m i n a z a c h o d n i m

w y b r z e ż u M e k s y k u s p o w o d o w a ł y o g r o m n e z n i s z c z e n i a w s t o l i c y k r a j u — m i e ś c i e M e k s y k —

w o d l e g ł o ś c i o k o ł o 4 0 0 k m o d m i e j s c a ,

g d z i e p o w s t a ł y .

Dlaczego fale sejsmiczne spowodowały

tak rozleg łe zniszczen ia w stolicy,

natomiast stosunkowo niewielkie

po drodze?

Od p o wie d ź z n a jd z ie s z w t y m ro z d z ia l e .



1 6 . V. Drg a n i a

Na każdym kroku spotykamy się z drganiami , czyl i powtarzającymi się r

Zetknąłeś się z pewnością z wahającym się żyrandolem, z kołyszącymi si

twiczonymi łodziami , z poruszającymi się tam i z powrotem t łokami w si

samochodowych, z drga jącymi s t runami g i t a r , bębnami , dzwonami , memb

w słuchawkach telefonicznych i głośnikach, drgającymi kryształami kwarc

garkach. Nieco mniej oczywiste są drgania cząsteczek powiet rza, które są

dźwięków, oscylacje atomów w ciele stałym, które są związane z temp

a także przenoszące informacje drgania elekt ronów w antenach nadajni

diowych i telewizyjnych.

Drgania, jakie występują w realnym świecie, zwykle są tłumione —

stopniowo zanika, a na skutek działania si ł tarcia energia mechaniczna z

się w energię termiczną. Mimo iż nie możemy całkowicie wyel imino

kich st rat energi i mechanicznej , możemy ją uzupełniać kosztem jakiegoś

Na przykład , j ak wiadomo, dz i ęk i odpowiednim ruchom nóg i t u łowia

rozbujać huśtawkę, podtrzymując lub wzmacniając jej wahania. W ten

przekształcasz energię swych mięśni w mechaniczną energię układu drga

1 6 . 2 . R u c h h a r m o n i c z n y

N a ry su n k u 16. la przed stawiono serię „migaw kow ych zdjęć " prostego

drgającego, a mianowicie cząstki poruszającej s ię tam i z powrotem wz

początku osi x. W tym paragrafie ograniczymy się do opisu tego ruchu.

zastanowimy się , w jaki sposób można taki ruch uzyskać.

Jedną z ważnych własności opisujących ruch drgający jest jego c

(częstot l iwość), czyl i l iczba pełnych drgań (cykl i ) wykonywanych w cią

dej sekundy. Częstość oznaczamy symbolem v; jej jednostką w układzie

= -T/4

= 0

= m

3T/4

= T

- # H > -

I

- @ — > h

0

a )

/ \

I

-\-

X

y

y

b)

c

Rys. 16.1. a) Szereg „zdjęć migawkowych" (wykonanych w

wych odstępach czasu) przedstawiających położenia ciała p

cego się tam i z powrotem ruchem drgającym wzdłuż osi x w

początku, w przedziale od + x

m

do — x

m

. Dług ości strzałek

ciedlają prędkość ciała. Ciało ma największą prędkość w poc

x, a w punktach

±x

m

prędkość równą zeru. Jeżeli początek

czasu

(t

= 0) przyjmiemy w chwili, gdy ciało znajduje się w

+x

m

, to powróci ono do tego punktu w chwili

t

= T, gdz

okresem ruchu. Ruch jest zatem powtarzalny, b) Wykres za

położenia x od czasu dla ruchu przedstawionego na rysunku



(w skrócie Hz) :

1 herc = 1 Hz = 1 pełne drganie na sekundę = 1

s"*"

1

.

(16.1)

Z częs tością związany jes t

okres ruchu

T,

czy l i czas , w jak im wykonyw ane

T =

1

(16.2)

Każdy ruch powtarzający s ię w regularnych ods tępach czasu nazywamy

ru

Tutaj in teresować nas będzie ruch powtarzający s ię w pewien

a mian owicie tak, ja k na rysun ku 16.1 . W takim ruchu

x ciała względem początku układu współrzędnych od

przemieszczenie

w chwili t

faza -

X{t) = X

m

COS((Ot +

0)

amplituda / czas

częstość faza

kołowa początkowa

Rys.

16 .2 . Zestawienie wielkości wys

pujących we wzorze (16.3) opisując

ruch harmoniczny

x(t) = x

m

cos(ojt + <p)

(przemieszczenie) ,

(16.3)

j c

m

, O J

, < j

— stałe . Taki ruch nazywamy

ruchem harmoni cznym

— j e s t t o

16 .

Ib . (Moż esz otrzym ać ten wykres , obracając rysun ek 16 . la o 90° prze

Poszczególne wielkości okreś lające kształ t wykresu oraz ich nazwy przed

Wie lkość x

m

n a z y w a m y

ampl i tudą

drgań. Jest to dodatnia stała, której war

gdyż am pl i tuda j es t war tośc ią bezwzględną m aksym alnego p rze

ę w g ran icach ± 1 , za tem przem ieszczen ie x(t) zm ien ia s ię w p rzedz ia le ± x

m

.

a )

16.3 . W każdym z przypadków niebieską krzywą otrzymano

<p = 0. a) Czerwona krzywa różni się od nie

jedynie tym, że jej ampli tuda x'

m

jes t większa (maksima dla

jedynie tym, że

T' = T/2 (minima i maksim a krzywej czerwonej są

jedynie tym, że jej faza początkowa wyno si

= —

K/ 4 , a nie zero (ujemna wartość

<j>

powoduje przesuniecie czer

b )

c )

1 6 . 2 .

Ruch harmoniczny



Zależna,

od czasu wielkość (o)t 4> we wzorze (16.3) nosi nazwę f

przy czym stała

(p

nazywana jest

fazą początkową.

Wartość

(p

zależy o

żenia i prędkości ciała w chwili t = 0. Dla przemieszczenia x(t) wykre

na rysunku 16.3a faza początkowa

(p

równa jest zeru.

Aby poznać znaczenie stałej

(o,

nazywanej częstością kołową (kątow

chu, zauważmy, że przemieszczenie

x(t)

musi osiągnąć swą początkową w

po czasie równym jednemu okresowi drgań

T;

tak więc

x(t)

musi być

x(t + T)

dla każdego

t.

Dla uproszczenia rozważań podstawmy

(p

= 0 do

(16.3). Możemy wówczas zapisać

x

m

cos&>f = x

m

c o s & > ( r +

T).

Wartości funkcji cosinus będą ponownie takie same, gdy jej argument

wzrośnie o

In

radianów, zatem z równania (16.4) otrzymujemy

oj(t + T) = cot + 2%,

czyli

coT =

2TT.

Tak więc, korzystając z wyrażenia (16.2), otrzymaliśmy wzór na częstość

2TX

w =

— = 2ry>, (

Jednostką częstości kołowej w układzie SI jest radian na sekundę. (

musi być oczywiście też mierzona w radianach). Na rysunku 16.3 poró

dwa ruchy harmoniczne różniące się kolejno amplitudą, okresem (czyli r

częstością i częstością kołową) oraz fazą początkową.

l/SPRAWDZIAN

1

:

Ciało wykonujące drgania harmoniczne o okresie T (taki

drgania na rysunku 16.1) w chwili t = 0 znajduje się w punkcie — x

m

. Gdzie znajd

to ciało kolejno w chwilach: a) t = 2T, b) t = 3,5T i c) t = 5,25T — w punkcie

w punkcie +x

m

, w punkcie x — 0, w przedziale od — x

m

do 0 czy też w przedzial

do

+x

m

1

Prędkość

w ruchu harmonicznym

Różniczkując wzór (16.3), otrzymujemy wyrażenie na prędkość ciała wy

cego ruch harmoniczny:

czyli

djc(f) d

v(t)

= —— = —[x

m

C 0 S ( 0) f

+

</>)],

d r

dr

v(t) =

—

cox

m

sm((ot + (p)

(prędkość). (1

a) Przemieszczenie x(t) ciała

drgania harmoniczne z

początkową <p równą zeru. Jeden

cykl drgań wykonywany jest w

okresu

T.

b) Prędkość ciała

v(t).

Przyspieszenie ciała a(r)

Na rysunku 16.4a przedstawiono zależność (16.3) dla

(p —

0, a na r

16.4b — zależność (16.6) również dla <p

—

0. Analogicznie do ampli

w wyrażeniu (16.3) dodatnia wielkość

(ox

m

w wyrażeniu (16.6) ma zn

amplitudy zmian prędkości

v

m

.

Jak widać z rysunku 16.4b, prędkość drg

ciała zmienia się w zakresie

±v

m

= ±cox

m

.

Zauważmy również, że krzyw



x(t)

o ćwierć okresu; w chwil i

x(t) = x

m

), war toś ć prędkości jest

v(t) — 0) , gdy zaś war tość prze mies zczen ia jest najmniejsza

(v

m

= ±cox

m

).

v(t) w ruchu harmonicznym i wykonu jąc powtórn ie różn icz

dv(t) d

a(t) = —— = — [-tox

m

sm(cot +

<b)],

at at

a(t) — — co

2

x

m

cos(<wr + 0 ) (przyspieszenie). (1 6. 7)

cb = 0 . D odatn ia

co

2

x

m

w wyrażen iu (16.7) m a znacz enie amp l i tudy zmia n przyspieszen ia

; jak widać na rysunku 16.4c, przyspieszenie drgającego cia ła zmienia s ię

±a

m

= ±co

2

x

m

. Zauw ażmy również , że k rzywa a(t) jest przesunięta

v(t).

Łącząc wyrażenia (16.3) i (16.7) , o t rzymujemy równanie ruchu harmonicz

a{t) = ~co

2

x{t). (16.8)

Wynika z niego, że

W ruchu harmonicznym przyspieszenie jes t proporcjonalne do przemieszczenia, ale

ma przeciw ny znak, przy czym łączący obie wielkości współczy nnik proporcjon alności

równy jest kwadratowi częstości kołowej.

Tak więc, jak w idać z rysun ku 16.4 , w chwil i gdy przem ieszcze nie ma

zpro.

S z t uk a r o z w i ą z y w a n i a z a d a ń

1 :

Faza początkowa

y wpły w fazy początkowej </> na postać w ykresu x(t).

0

= 0 , wykres zależności x(t), podobnie jak na rysunku

(j> powoduje przesuwanie

t. Zmniejszenie fazy

<f>

spowoduje

>= — n / 4 .

O dwóch przedstawionych na wykresach ruchach harmonicz

mających różne fazy początkowe, m ówimy , że jede n jest

w fazie względe m dru giego lub nie jest zgodny w fa-

zie z drugim. Na przykład dla krzywych przedstawionych n

sunku 16.3c przesunięcie fazowe wynosi 7 t/4 radianów.

Ponieważ ruch harmoniczny powtarza s ię po każdym

si e T, a funkcja cosinus — po każdych 2n radianów, k

okres T odpowiada przesunięciu fazowemu o 2n radianów

rysunku 16.4 wielkość

x(t)

jes t przesunięta w fazie w zgl

v(t) o ćwie rć okresu w prawo , tj. o

—

7t

/2

radianów, a wzgl

a(t) o pół okresu w prawo, czyli o — n radianów. Przesunięc

zowe o 2

JT

radianów powoduje, że krzywa ruchu harmon icz

pokrywa s ię ze sobą, czyli wygląda n a nie zmienioną.

16.2 . Ruch har moniczny



1 6 . 3 . S i ła w r u c h u h a r m o n i c z n y m

Skoro już znam y zależność przysp ieszenia c ia ła od czasu, może my — korz

z drugiej zasady dynamiki Newtona — zbadać, jaka s i ła musi dzia łać na to

aby nadać mu takie przyspieszenie . Podstawiając wyrażenie (16.8) do

zasady dynamik i , o t rzymujemy

F = ma = -(mco

2

)x .

Z taką zależnością — gd zie s i ła jes t proporcjon alna do przem ieszcze nia ,

przeciwny znak — już s ię spotkal iśmy. Taką postać ma prawo Hooke 'a

F = -kx,

p rzy czym k jes t s ta łą sprężystości , wobec tego

k = mco

2

.

W is tocie możemy przyjąć równanie (16.10) jako inną definic ję ruchu

n icznego . Mówi ona , że :

Ruch harmoniczny jest to ruch, jaki wykonuje c ia ło o masie m, na które dział

proporcjonalna do przemieszczenia , a le o przeciwnym znaku.

Przedstawiony na rysunku 16.5 układ klocek-sprężyna tworzy l in iowy

lator harmoniczny (w skrócie oscyla tor l in iowy), przy czym słowo „l i

wskazuje , iż s i ła F jes t proporcjonalna do x, a n ie do jakie jś innej po

Z równania (16.11) , wiążącego częstość kołową

co

ruchu ha rmonicznego

z jego masą m i stałą sprężystości k, o t rzymujemy

co =

(częstość kołowa).

(16

Podstawiając wzór (16.12) do (16.5) , o trzymujemy wyrażenie na okres

oscylatora l in iowego przedstawionego na rysunku 16.5

T

x = 0

+x„

1 6 . 5 .

Liniowy oscylator harm o

odcią

2n (okres) .

(16

Z równań (16.12) i (16.13) widzimy, że duża częstość kołowa (czyli mały

występuje w przypadku sztywnej sprężyny (duże

k)

i lekkiego klocka (m

Każdy układ drgający, czy to oscyla tor l in iowy z rysunku 16.5 , t ram

czy też s truna skrzypiec , ma pewną „sprężystość" oraz pewną „bezwład

czyli masę, dzięki czemu przypomina oscyla tor l in iowy. W oscylatorze

wym, który przedstawiono na rysunku 16.5 , za te dwie cechy odpowiedzia

inne części układu. Sprężystość jes t cechą sprężyny, o której zakładamy,

pozbawiona masy , a bezwładność — k locka , o k tó rym z ko le i zak ładamy,

sz tywny. Natomiast w przypadku s truny skrzypiec te dwie cechy, jak zoba

w rozdzia le 17, występują w samej s trunie .



SPRAWDZIAN Ł'. Która z poniższych zależności między działającą na ciało siłą

F

a

położeniem x ciała opisuje ruch harmoniczny: a) F = —5x, b) F = —400x

2

, c) F = 10x,

d) F = 3x

2

7

Przykład 16.1

Klocek o masie m = 680 g umocowany jest na sprężynie o sta

łej sprężystości k — 65 N/m i znajduje się na powierzchni, po

której może się poruszać bez tarcia. Klocek odciągnięto na od

ległość x = 11 cm od jego położenia równowagi, znajdującego

się w punkcie x = 0, a następnie puszczono swobodnie w chwili

r = 0.

a) Wyznacz częstość kołową, częstość i okres drgań klocka.

ROZWIĄZANIE:

•

Układ klocek-sprężyna tworzy oscylator liniowy, w którym

klocek wykonuje drgania harmoniczne. Zatem częstość kołowa

dana jest wzorem (16.12)

65 N/m

V

m y

° >

6 8

k

S

Częstość dana jest równaniem (16.5), zatem

co 9,78 rad/s

= 9,78 rad/s 9,8 rad/s. (odpowiedź)

= 1,56 Hz =s 1,6 Hz. (odpowiedź)

2jr

2TC

rad

Z kolei okres drgań spełnia zależność (16.2), zatem

1

v 1,56 Hz

= 0,64 s = 640 ms. (odpowiedź)

b) Ile wynosi amplituda drgań?

ROZWIĄZANIE:

W przypadku braku tarcia energia mechaniczna układu

klocek-sprężyna pozostaje zachowana. Klocek został puszczony

swobodnie w odległości 11 cm od swojego położenia równowagi

przy zerowej energii kinetycznej oraz maksymalnej energii po

tencjalnej sprężystości układu. Zatem klocek będzie miał energię

kinetyczną równą zeru ilekroć znajdzie się w odległości 11 cm

od położenia równowagi, co oznacza, iż nigdy nie znajdzie się

w większej odległości niż 11 cm od tego położenia. Maksymalne

przemieszczenie klocka równe jest 11 cm,

x

m

= 11 cm.

(odpowiedź)

c) Wyznacz maksymalną prędkość drgającego klocka i określ,

w którym punkcie zostaje osiągnięta.

ROZWIĄZANIE:

O T Maksymalna prędkość v

m

jest równa cox

m

w wyrażeniu

(16.6), czyli

v

m

= cox

m

= (9,78 ra d/s )( 0, ll m) = 1,1 m/s. (odpowiedź)

Maksymalna prędkość zostaje osiągnięta, gdy klocek przech

przez położenie równowagi. Porównując rysunki 16.4a i 1

zobaczymy, że prędkość osiąga maksimum ilekroć x = 0.

d) Ile wynosi maksymalna wartość przyspieszenia klocka a

m

ROZWIĄZANIE:

O T Maksymalna wartość a

m

równa jest co

2

x

m

w wyraż

(16.7), czyli

a

m

= co

2

x

m

= (9,78 ra d/s )

2

(0 , ll m) 11 m/s

2

, (odpowi

Przyspieszenie osiąga maksimum, gdy klocek znajduje się na

cach swojego toru. W tych punktach siła działająca na kl

ma największą wartość. Porównując rysunki 16.4a i 16.4c,

baczymy, że wartości przemieszczenia i przyspieszenia osią

maksima jednocześnie.

e) Wyznacz fazę początkową 0 dla rozważanych drgań.

ROZWIĄZANIE:

O — r Wyrażenie (16.3) opisuje zależność położenia klock

czasu. Jak wiemy, w chwili t = 0 klocek znajduje się w pun

x = x

m

. Podstawiając te warunki początkowe do równania (1

i dzieląc przez x

m

, otrzymujemy

l =co s 0 . (16

Biorąc funkcję arccos od jedności, otrzymujemy

0 = 0 rad. (odpowi

(Każdy kąt będący całkowitą wielokrotnością 2TT rad rów

spełnia równanie (16.14); tutaj wybraliśmy najmniejszą warto

f) Wyznacz zależność przemieszczenia

x(t)

od czasu w ukła

klocek-sprężyna.

ROZWIĄZANIE:

O

—nr

W ogólnej postaci x(t) dane jest wzorem (16.3). Po

wiając znane wielkości do tego równania, otrzymujemy

x(t) = x

m

cos(cot + 4>)

= (0,11 m) cos[(9,8 rad/s)/ + 0

= 0,11 cos(9 ,8 0, (odpowi

gdzie x wyrażone jest w metrach, at — w sekundach.

1 6 . 3 .

Siła w ruchu harmonicznym



Przykład 16 .2

b) Wyznacz fazę początkową <> i ampl i tudę x

m

W chwil i

t

= 0 położenie x(0) klocka w oscyla torze l inio

wym z rysunku 16.5 wynosi —8,5 cm. (Symbol x(0) czytamy

„x w chwil i zero") . Prędkość klocka u(0) w tym momencie wy

nosi —0,92 m/s, a jego przyspieszenie a(0 ) jest równe + 47 m /s

2

.

a ) Wyznacz częstość kołową co drgań tego oscylatora.


O—

w Położenie , prędkość i przyspieszenie klocka poruszającego

się ruchem harmonicznym opisane są odpowiednio wyrażeniami

(16.3), (16,6) i (16.7), przy czym każde z nich zawiera co . Pod

stawmy do wszystkich równań t = 0, aby sprawdzić, czy któreś

z nich będzie można rozwiązać ze względu na

co.

Otrzymujemy

x(0) = x

m

c o s < ^ ,

u(0) = — co x

m

s i n 0

a(0) = —

co

2

x

m

co s

<j>.

(16.15)

(16.16)

(16.17)

W równaniu (16.15) częstość kołowa co nie występuje . W równa

niach (16.16) i (16.17) znamy wartości lewych stron, ale wartości

x

m

i 0 są nieznane. Jednakże dzie ląc st ronami równania (16.15)

i (16.17), eliminujemy obie wielkości i otrzymujemy rozwiązanie

a ( 0 )

~x(0)

4 7 m / s

2

- 0 , 0 8 5 m

= 23,5 rad/s. (odpowiedź)


Analogicznie jak w punkcie (a) skorzystamy z równań

(16.17) . Znamy już wartość co , a poszukujemy 4> i x

podzie l imy st ronami równanie (16.16) przez (16.15) , ot r

u(0) — n>x

m

sin<

m

=

= -(o tg <

Zatem

tg P =

v(0)

X

M

C O S

(/>

- 0 , 9 2 m / s

=

- 0 ,

cox(0) ( 2 3 ,5 r a d / s ) ( - 0 , 0 8 5 m )

To równanie ma dwa rozwiązania :

0 = - 2 5 ° o r az

c f > =

180° + (- 25 °) = 15

(Kalkula tor podaje jedynie pierwsze rozwiązanie) .

O—ff Wyboru prawidłow ego rozwiązania dokonujemy, o

dla obu wartości 4> amplitudę x

m

. Dla cj> = —25°

(16.15) ot rzymujemy

x ( 0 ) _ - 0 , 0 8 5 m

c o s 0 cos(—25°)

= - 0 , 0 9 4 .

D la

<p =

155° natom iast otrzymu jemy x

m

= 0 ,094 m

waż amplituda w ruchu harmonicznym musi być stałą d

poprawne wartości fazy początkowej i amplitudy to

p = 155°

= 0,094 m = 9,4 cm . (odp


Porada 2 : Jak wykryć ruch harmoniczny

W liniowym ruchu harmonicznym przyspieszenie a i przemiesz

czenie x układu wiąże ze sobą zależność typu

a = —(dodatnia stała)

•

x ,

która mówi, że przyspieszenie jest proporc jonalne do odchylenia

od położenia równowagi , a le ma przeciwny znak. Gdy tylko znaj

dziesz taką zależność dla układu drgającego, możesz natychmiast

na podstawie w yrażenia (16.8) utożsamić dodatnią sta łą z wie lko

ścią co

2

i w ten sposób szybko uzyskać wzór na częstość kołową

ruchu. Korzystając ze wzoru (16.5), możesz następnie określić

okres T i częstość v.

W niektórych zadaniach otrzymasz wyrażenie opisu

leżność siły F od przesunięc ia x. Gdy mamy do czynienia

wym ruchem harmonicznym, si łę i przemieszczenie układ

ze sobą zależność typu

F = —(dodatnia stała) • x,

która mówi, że siła jest proporcjonalna do przemieszczenia

przeciwny znak. Gdy tylko znajdziesz taką zależność dla

drgającego, możesz natychmiast porównać ją ze wzorem

i utożsamić dodatnią stałą z wielkością k. Jeżeli znasz ma

nym układzie , możesz — posługując się wzoram i (16.12)

i (16.5) — wyznaczyć częstość kołową

co,

okres T i czę

16 .4 . Energ ia w ruchu harmonicznym

Jak wiemy z rozdziału 8 , energia oscylatora l in iowego zmienia s ię wciąż

gi i k inetycznej w potencjalną i z powrotem, podczas gdy ich suma —

mechan iczna E oscylatora — pozostaje stała. Zanalizujemy to i lościowo.

1 0 0

16 . Dr gania



Energia potencja lna oscyla tora przedstawionego

na

rysunku

16.5 w

ca ło

ze

sprężyną.

Jej

wartość za leży

od

s topnia rozciągnięcia

lub

—

czyl i

od

x ( t ) . Korzystając

z

za leżności (8 .11)

i

(16.3) ,

E

p

(t) = \kx

2

— \kx^ co s

2

(cot + cb). (16.18)

że

funkcja zapisana

(jak w

p o wy ż s z y m wz o r z e )

w

pos tac i cos

2

A

(cos A )

2

i

nie j e s t tym samym

co

zapis cos A

2

, k tó ry oznacza cos (A

2

) .

Energia k inetyczna układu

z

rysunk u 16.5

w

ca łości związana jes t

z

k loc

od

tego, jak szybko po rusza s ię k locek

—

czyli

od

v ( t ) .

z

za leżności (16.6) , o t rzymujemy

£

k

( f )

=

\mv

=

\mco

2

x

2

n

ńn

2

(cot + cb).

(16.19)

z za leżności (16.12) i pods tawimy k/m zamias t

co

2

,

równanie

E

k

(t) = \mv

2

= \kx

2

ri

s i n

2

\ c o t + cb).

(16.20)

Sumując wyrażenia (16.18)

i

(16.20) , o t rzymujemy energię mechaniczną

E — Ep

+ £

k

\kx^

co s

2

c o ł

cb

\kx\

s in

2

w ?

+

cb

2

I

\kx^

L

cos c> cb

ńn

2

(cot + cb)].

a

c o s

2

a s i n

2

a = 1.

w nawiasach kwadra towych równe j e s t j ednośc i

E — Ep -f £ — 2 ^ * ^ m

16.21)

E

p

(t)+E

k

(t)

a)

r

E

9

(x) +

/

1

I

a

°

\E

k

(x

b)

Rys.

1 6 . 6 .

a) Energia potencjaln

energia kinetyczna

E

k

t)

oraz

mechaniczna E l iniowego os

harmonicznego jako funkcja czas

uważmy, że wszystkie rodzaje en

dodatnie , przy czym energia pote

i energia kinetyczna mają dw

sima w c iągu każdego okresu, b

gia potencjalna

E

v

(x),

energi

tyczna E

k

(x)

oraz

energia mech

E l iniowego oscylatora harmon

o amplitudzie x

m

jako funkcja p

x.

D la x

= 0

m a m y

do

czynien

z energią kinetyczną, a d la x =

tylko

z

energią potencjalną

Energia mechaniczna oscyla tora l in iowego rzeczywiście jes t s ta ła

i nie za

od

czasu.

Na

rysunk u 16.6a przedstaw iono zależności energi i potencja lnej

od

czasu t,

a na

rysunku 16.6b

— od

x .

Rozumiemy teraz , jaka jes t ro la sprężystości

i

bezwładnośc i uk ładu drgają

Ze

sprężystością zw iązana jes t energia potencja lna układu,

a z

b e z wł a d n o

3

Gdy k locek

w

układzie przedstawionym

na

rysun ku 16.5 znajduje

w punkc ie x = 2 cm, jego energia kinetyczna wynosi 3 J, a energia potencjalna

2

J. a) Wyznacz energię kinetyczną klocka

w

punkc ie x =

znacz energię potencjalną sprężystości układ u, gdy klocek znajduje się b) w punkcie

—2

cm

oraz

c) w

punkc ie

x =

—

x

m

.



Przyk ład 16 .3

a) Wyznacz energię mechaniczną E oscylatora l iniowego z przy

kładu 16.1 (warunki początkowe: położenie klocka x = 11 cm,

prędkość v = 0; stała sprężystości k równa jest 65 N/m).


O —

»

Energia mechaniczna E (suma energii kinetycznej E

k

=

mv

2

/2 klocka i energii potencjalnej E

p

= kx

2

/2 sprężyny) jest

stała podczas ruchu oscylatora. Zatem energię E możemy wyzna

czyć w dowolnym punkcie . Ponieważ mamy dane warunki począt

kowe dla oscylatora: x = 11 cm i v = 0, wyznaczmy dla nich

energię

E.

Otrzymujemy

E = E

k

+ E

p

= \mv

2

+ \kx

2

= 0 + ^ ( 6 5 N / m )( 0 ,1 1 m )

2

= 0,39 3 J ss 0,39 J. (odpow iedź)

b) Wyznacz energię potencjalną E

p

i energię kinetyczną E

k

oscy

latora, gdy klocek znajduje się w punkcie x = x

m

/2 oraz gdy

znajduje się w punkcie x = —x

m

/2.

nieruchomy koniec

drut

linia o dniesienia

Rys.

1 6 . 7 .

Wah adło torsyjne to ką

towy odpowiednik l iniowego oscyla tora

harmonicznego z rysunku 16.5. Krążek

oscyluje w płaszczyźnie poziomej, l inia

odniesienia wykonuje drgania z ampl i

tudą zmian kąta 9

m

. Skręcen ie drutu jest

źródłem energii potencjalnej — analo

gicznie do rozciągania sprężyny — i po

woduje powstanie momentu si ły dążą

cego do przywrócenia stanu początko

wego


O T Znając położenie klocka , możem y ła two wyznaczy

potencjalną sprężyny E

p

= kx

2

/2 . D la x = x

m

/2 mamy

F p —

2

kx~ — ^ ( ^ m ) —

-2

^Ą^kx

m

-

Możemy podstawić do tego wzoru wartośc i k i x

m

lu b

O

rzystać z tego, że całkowita energia mechaniczna, którą

liśmy w części (a), wynosi

fac

2

/2 . Otrzymujemy w ten

= \E =

±(0,393 J) = 0,098 J. (od

Podobnie jak w części (a) skorzystamy ze wzoru E =

i ot rzymamy

E

k

= E - E

p

= 0,39 3 J - 0,098 J « 0,3 J. (od

Powtarzając te obliczenia dla x = —x

m

/2 , otrzym amy

wynik — zgodnie z symetr ią rysunku 16.6b względem

x

= 0.

17

T = 2%+— (wahadło torsyjne) . (1

V K

1 6 . 5 . Wahadło torsyjne

Na rysunku 16 .7 przedstawiono wahad ło t orsy j ne (skrętne). Jest to też

tor harmoniczny, w k tórym jednak sprężystość n ie jes t związana ze śc is

i rozc iąganiem sprężyny, lecz ze skręcaniem zamocow anego na j ednym

cienkiego prę ta .

Jeżeli obrócimy zawieszony na drucie krążek z rysunku 16.7 o pew

9 w s tosunku do położenia spoczynkowego (w k tórym l in ia odnies ien ia

ł ożen i e 9 — 0) i puśc im y sw obodn ie , zacznie on drgać wokół położ en

czynkowego, wykonując ruch harmoniczny . Obrót krążka o ką t 9 w do

kierunku powoduje powstanie momentu s i ły przywracającego s tan rów

danego w zo rem

M = -K

9.

S y m b o l e m K (grecka l i te ra kappa) oznaczono

stałą,

nazyw aną m o m

kieruj ącym, k tóra za leży od d ługo ści , ś rednicy i mater ia łu , z jak ie go

nano dru t .

Porównanie wzorów (16 .22) i (16 .10) prowadzi do wniosku , że wy

(16 .22) jes t analogiczne do prawa Hooke 'a . W konsekwencj i możemy prz

c ić wzór (16 .13) na okres drgań w l in iowym ruchu harmonicznym na w

okres drgań wahadła torsy jnego. W tym celu s ta łą sprężystośc i k we

(16 .13) na leży zastąp ić je j odpowiednik iem — sta łą K ze wzoru (16 .22

dobn ie masę m we wzorze (16 .13) — je j odpowiednik iem, czyl i mo

bezwładności / d rgającego krążka . Ot rzymujemy w ten sposób poprawn

na okres drgań wahadła torsy jnego

102 16 . Dr gania



3 :

Po czym poznać harmoniczne drgania torsyjne

a i przemieszczenie kątowe 9 układu wiąże ze

a = —(dodatnia stała)

•

9 .

(a = — co

2

x). P o

a jest propor

6 od położenia równowagi, ale

, a następnie wyznaczyć

co ,

v i T.

Harmoniczne drgania torsyjne możesz również zidentyfi

wać po wyrażeniu wiążącym moment si ły M z przemieszc

niem kątowym, o i le ma ono postać analogiczną do wzoru (16.

(M = —

K9),

czyli

M = - (doda tn i a s t a ł a )

•

9 .

Jest to kątowy odpowiednik równania (16.10) (F = —

kx).

rażenie to mówi, że moment siły M jest proporcjonalny do p

mieszczenia kątowego 9, ale powoduje obrót układu w przec

nym kierunku. Mając zależność o takiej postaci, możesz ut

samić dodatnią stałą z momentem kierującym K układu. Je

znasz moment bezwładności

I

układu, możesz — posługując

równaniem (16.23) — wyznaczyć okres T.

L równej

m równej 135 g zawieszony w środku na długim

T

a

drgań torsyjnych pręta wynosi 2,53 s.

X (rys. 16.8b), i zmierzono

Tt , — w ynosi on 4,76 s . Wyznacz mom ent bezwładności

X względem osi, wokół której zachodzą drgania.

drut

d_3 dt3

P

r

C t

a)

ciało

X

b )

1 6 . 8 . Przy kład 16.4. Dw a wahad ła torsyjne złożo ne:

z drutu i pręta oraz b) z takiego samego drutu i ciała o niere


O — t

Związek momentów bezwładności prę ta i c ia ła X ze zm

rzonymi okresami opisuje zależność (16.23). Zgodnie z tab

11.2e moment bezwładności c ienkiego prę ta względem osi pr

chodzącej przez jego środek jest równy mL

2

/12. Zatem dla pr

przedstawionego na rysunku 16.8a mamy

±m L

2

: ( ^ ) ( 0 , 1 3 5 k g ) ( 0 , 1 2 4 m )

2

= 1,73

•

1 0 ~

4

kg

•

Zapiszmy teraz wyrażenie (16.23) osobno dla pręta i dla ciała

otrzymujemy dwa równania

T

a

=

2

H . /

—

V

K

oraz

l i

K

h

= 2:t ,

Stała K, będąca właściwością drutu, jest w obu wzorach taka sa

różnią się one jedynie okresami i momentami bezwładności.

Podnosimy obydwa równania do kwadratu, dz ie l imy dru

przez pierwsze, a następnie rozwiązujemy uzyskane w ten spo

równanie ze względu na

Ib -

Otrzymujemy

h

T

2

1

b

a

^ =

( 1 , 7 3 -

1 0

- 4

k g - m

2

)

kg

•

m

2

.

' T2

a

: 6 , 1 2 - 1 0 ~

4

(4 ,76 s )

2

(2 ,53 s )

2

(odpowie

W a h a d ł a

1 6 . 6 . W a h a d ł a

1



Wahadło matematyczne

1 6 . 9 . a) W ahad ło matematyczne ,

g

T. Składowa styczna

g

si n 6 powoduje powrót

Jeżel i zawiesisz jabłko na końcu długiej n ic i umocowanej na górnym koń

czniesz nim kołysać tam i z powrotem z niewielką ampli tudą, to z ła two

obserw ujesz , że jabłk o wykonuje ru ch okresowy. Czy jes t to ruch ha rmo

A jeżel i tak , to i le wynosi jego okres Tl Aby odpowied zieć na te pytan

ważmy wahad ło ma tematyczne ; ma ono pos tać c ia ła (c ięża rka ) o mas i

wieszonego na jednym końcu nierozciągliwej l inki , o znikomo małej ma

d ługośc i L, której drugi koniec jes t umocowany (rys . 16.9a) . Ciężarek

s ię swobodnie tam i z powrotem w płaszczyźnie rysunku, w lewo i w pr

pionowej l in i i przechodzącej przez punkt zawieszenia wahadła .

Jak pokazano na rysunku 16.9b, na którym l inka odchylona jes t o k

pionu, na c iężarek dzia ła ją naprężenie l inki T i siła ciężko ści F

g

. Rozk

siłę F

g

na składową rad ialną Fg cos 9 i składową styczną do toru zakre

przez c iężarek F

g

s in# . Sk ładowa s tyczna powoduje powstan ie p rzywrac

s tan równowagi momentu s i ły wzg lędem punk tu zawieszen ia wahad ła , g

wsze dzia ła przeciwnie do wychylenia c iężarka i wymusza jego powrót do

nego po łożen ia . Nazywamy je położeniem równowagi (9 = 0), gdyż n ie r

wahad ło pozos tawa łoby w n im w spoczynku .

Korzysta jąc ze wzoru (11.33) (M = r±F), może my zap isać mom

w postaci

M = — F ( F

g

s in #) ,

gdzie znak minus oznacza, że moment s i ły powoduje zmniejszenie kąta

9,

ram ieniem składowej s tycznej s iły F„ s in

9

wzg lędem punk tu zawieszen i

dła . Podstawiając wyrażenie (16.24) do wzoru (11.36) (M = la ) oraz za

wartość s i ły c iężkości wyrażeniem mg, o t rzymujemy

-L(mgsh \9) = la,

gdz ie / j e s t momentem bezwładnośc i wahad ła wzg lędem punk tu zawie

aa — przysp ieszen iem ką towym względem tego punk tu .

Możemy uprościć wzór (16.25) , zakładając , że kąt

9

jes t mały; w

funkcję sin

9

można przybliżyć przez

9

(kąt

9

musi być wyrażony w radi

(Na przykład, jeżel i

9=5° =

0,0873 rad, to sin6> = 0,0872, różnica jes

0,1%). Korzysta jąc z tego przybliżenia i wykonując przekszta łcenia , o trzym

mgL

a = | —

9 .

Ot rzymal i śmy wzór , k tó ry je s t ką towym odpowiedn ik iem równan ia d la

ha rmonicznego (16 .8 ) . Mówi on , że p rzysp ieszen ie ką towe a wahad ła je

porc jona lne do jego p rzemieszczen ia ką towego 9, a le ma przeciwny zna

więc ,

gdy c iężarek w ahadła porus za s ię , powiedzm y, w prawo , jak na rys

jego przyspieszenie skierowane w lewo wzrasta , dopóki c iężarek nie za

się i nie zacznie poruszać się w lewo. Gdy następnie znajduje się on

s trony, jego przyspieszenie skierowane jes t w prawo i powoduje powrót na

stronę, i tak da le j , jak w ruchu ha rmonicznym. Mówiąc śc i ś le , ruch w

matematycznego poruszającego się w zakresie odpowiednio małych kątów

przybliżeniu harmoniczny. To ograniczenie do małych kątów możemy w



9

m

(maksymalny ką t odchy

Porównując wyrażenia (16.26) i (16.8), widzimy, że częstość kołowa wahadła

mgL

I

co do wzoru (16 .5) co = 2 j t / T ) ,

2T T

mgL

(16.27)

a tycznego skupiona j es t w c i ężarku o masie m znajdu

L od punktu zawieszenia. Korzystając ze wzoru (11.26)

2

), możem y zapi sać mom ent bezwładno śc i wahadła w pos t ac i I = mL

2

.

r =

2 7 r . / -

(wahadło matematyczne, mała amplituda) .

(16.28)

wahad ło , nazyw ane zwykle w ah ad łem f izycznym, moż e mieć skom

Na rysunku 16.10 przedstawiono pewne wahadło f izyczne odchylone w jedną

6. Si ła ciężkości F

g

dz i a ł a na j ego ś rodek masy C znajdujący się

h

od punktu zawieszenia

O.

Pomimo różnicy ksz t a ł tów porównanie

16.10 i 16.9b ujawnia tylko jedną i stotną różnicę międ zy dow olnym

F

g

sin 0 ma ramię o d ługośc i h

L. Tak więc

9

m

)

doszl ibyśmy do wnio sku, że ruch jest w przyb l iżeniu

Jeżel i we wzorze (16.27) zastąpimy

L

przez

h,

o t rzymamy nas t ępujące wy

nie na okre s ruch u wa had ła fizycznego

: 2 71.

mgh

(wahadło f izyczne, mała amplituda) . (16.29)

O,

I

„

s ine -

-F .

Rys.

1 6 . 1 0 . Wahadło fizyczne.

wracający równowagę moment si

nosi hF

g

ńnd. G dy 9 = 0, środe

C znajduje się bezpośrednio pod

tem zawieszenia wahadła O



Podobnie j ak w wahadle ma tema tycznym, / j e s t momen tem bezwładn oś

hadła względem punktu O. Jednakże w tym przypadku moment / n ie

s ię pros tym wzorem

mL

2

(mom ent bezw ładno śc i za leży od ksz ta ł tu w

fizycznego), ale nadal jes t propo rcjonaln y d o mas y

m.

Wahadło f izyczne nie będzie drgać , gdy jego punkt zawieszenia będ

znajdował w środku masy. Formalnie taka sytuac ja odpowiada podstawien

0 do wyrażenia (16.29) . Mamy wtedy

T

oo , co oznacza , że takie w

nigdy n ie wykona j ednego pe łnego cyklu drgań .

Każdemu wahadłu f izycznemu, drga jącemu wokół danego punktu za

nia O z okresem T odpowiada wahadło ma tema tyczne o d ługośc i LQ d

z tym samym okre sem T. Wie lkość LQ, nazywaną długością zredukowan

hadła fizycznego, mo żemy w yznaczy ć ze wzoru (16 .28) . Pun kt zna jduj

w odległośc i LQ od punk tu zawieszenia O nazywamy środkiem wahań w

fizycznego dla daneg o punk tu zawieszenia .

Pomiar przyspieszenia ziemskiego g

Wahadło f izyczne możemy wykorzystać do pomiaru przyspieszenia z iem

g

w poszczególnych punktach na powierzchni Ziemi. (W ramach badań

zycznych takich pomiarów wykonano niez l iczenie wie le) .

Rozważmy pros ty przypadek. Weźmy wahadło w postac i jednorodneg

o długo śc i L, unieru chom ioneg o na jedn ym koń cu. Dla takiego wahadła od

od punktu zawieszenia do środka masy — czyl i wie lkość h we wzorze (16

wynos i L /2 . Zgodnie z t abe lą 11 .2e moment bezwładnośc i t ego wahadła

dem pros topadłe j os i przechodzące j przez ś rodek masy jes t równy mL

2

/12.

rzys ta jąc z danego równaniem (11.29) twierdzenia Ste inera (I = /§

M

+

otrzymujemy moment bezwładnośc i prę ta względem osi przechodzące j pr

den z jeg o końcó w i pros topadłe j do prę ta

/ = 7

Ś M

+

mh

2

= ±mL

2

+ m (\L)

2

= \mL

2

.

Jeże l i do równania (16.29) podstawimy h = L/2 i I — mL

2

/3 , a na

rozwiążemy je względem g, to o t rzymamy

Sn

2

L

(

3 T

2 '

Za tem zmie rzywszy d ługość L i okres

T,

możemy wyznaczyć war tość

spieszenia z iemskiego g w mie jscu, gdz ie zna jduje s ię wahadło. (W prz

gdy potrzebne są precyzyjne pomiary, niezbędne s ta je s ię wprowadzenie s

udoskonaleń, jak na przykład umieszczenie wahadła w komorze próżniow

Przyk ład 16 .5

Przymiar metrowy wykonuje drgania wokół punktu zawieszenia,

znajdującego s ię na jedny m z jeg o końców, w odległości h od

środka m asy (rys . 16.1 la) .

a) Wyznacz okres T drgań przymiaru.

ROZWIĄZANIE:

O — P r z y m i a r n ie j e s t w a ha d łe m m a t em a t ycz nym , gd

masa nie jes t skupiona na końcu przeciwnym do punktu za

nia — tak więc przymiar jes t wahadłem fizycznym. Zatem



w którym występuje moment

/ przymiaru względem jego punktu zawieszenia.

że przymiar jest jednorodnym prętem o długo

i L i masie m. Wówczas ze wzoru (16.30) mamy I = mL

2

/3,

h w e

wzorze (16.29) równa jest

L/2.

Podstawiając

te

do równania (16.29), otrzymujemy

T = 2u

= 27t

/

= 2TT

\m L

2

, =2nl— (16.32)

mgh y mg(\L) y

3

#

(2)(1

m)

(3)(9,8 m/s

2

)

1,64 s.

(odpowiedź)

że wynik nie zależy od masy m wahadła.

L

0

od punktu zawieszenia O przymiaru do

—

w

Chcemy wyznaczyć długość LQ wahadła matematycznego

na rysunku 16.1 lb) , mającego taki sa m okres

ja k wahadło fizyczne (przymiar) z rysunku

16.1

la . Z po

i (16.32) otrzymujemy

L

0

=

\L

= (|)(100 cm) = 66,7 cm.

(odpowiedź)

Rys.

1 6 . 1 1

.

Przykład 16.5. a) Przymiar metrowy zawieszo

jeden koniec jako wahadło fizyczne, b) Wahadło matematyc

długości L

0

dobranej w taki sposób, by okresy drgań obu wa

były jednakowe. Punkt P na wahadle przedstawionym w

(a) rysunku wskazuje jego środek wahań

Punkt

P na

rysunku 16.1

la

znajduje

się

właśnie

w

takiej

głości od punktu zawieszenia O. Zatem punkt P stanowi ś

wahań przymiaru

dla

danego punktu zawieszenia.

•/SPRAWDZIAN 4 : Dane są trzy wahadła fizyczne o m

sach mo, 2mo i 3mo, mające takie same kształty i wymi

zawieszone w takich samych punktach. Uszereguj wahadła

dług okresów

ich

drgań, zaczynając

od

największego.

16.6

a rysunku 16.12 przedstawiono pingwina (oczywiście wprawio

w

sportach wodnych) skaczącego do wody

z

trampoliny ma

na zawiasie, a prawy jest oparty na sprężynie. Deska ma

L = 2 m i masę m = 12 kg ; stała sprężystości k wy

do wody, deska i sprężyna

o małej amplitudzie. Zakładamy,

eska jest wystarczająco sztywna, by się nie uginać. Wyznacz

T drgań.

1 6 . 1 2 . Przykład 16.6. Pingwin skaczący do wody wzbudza

i sprężyny; z lewej strony deska zamocowana jest


Wobec tego, że w układzie znajduje się sprężyna, możemy

puszczać, że drgania układu są harmoniczne, ale nie m

tego założyć. Posłużymy

się

więc następującym rozumowa

O — f

Gdy deska wykonuje drgania harmoniczne, przyspie

i przemieszczenie drgającego końca deski powinna wiąza

leżność mająca taką postać ja k wyrażenie (16.8) {a = —

Jeżeli tak jest, to na podstawie tej zależności będziemy mog

znaczyć częstość kołową co ,

a

następnie poszukiwaną warto

Znajdźmy zatem zależność między przyspieszeniem a przem

czeniem prawego końca deski.

Gdy koniec deski wykonuje drgania, deska jako całoś

raca się na zawiasie, skupimy się zatem na działającym na

momencie siły

M

względem osi zawiasu. Ten moment siły

zany jest

z

siłą

F,

jaką sprężyna działa

na

deskę. Poniewa

F zmienia się w czasie, zatem i moment siły

M

musi ró

ulegać zmianom. Dla dowolnej chwili możemy jednak, po

jąc się wzorem (11.31) (M = rFsin</>), powiązać wartoś

i F. W naszym przypadku mamy

M = LF sin 90° , (1

gdzie L jest ramieniem siły F, a 90° to kąt między rami

siły a kierunkiem je j działania. Z zależności (16.33) i (

16.6. W a h a d ł a



= la),

otrzymujemy

LF

= la,

(16.34)

I jest momentem bezwładności deski względem zawiasu,

a — jej przyspieszeniem kątowym względem tego samego

ja k c ienki, podwieszony na jednym

—zgodnie ze wzorem (16.30) — jej mo

I wynosi mL

2

fi.

Wyobraźmy sobie pionową oś x przechodzącą przez drgający

i skierowaną w górę . Wówczas si ła wywierana przez

na

prawy koniec deski jest równa

F =

— kx, gdzie

x

Podstawiając wyrażenia na / i F do wzoru (16.34) , otrzy

mL

2

a

-Lkx

= ~^—.

(16.35)

x

przyspieszeniem kątowym a względem zawiasu. Korzystając

(a

s

, =

cor)

na przyspieszenie styczne, możemy

a we

wzorze (16.35) przez przy

a

wzdłuż

osi x. W

naszym przypadku przy

a, natomiast odległość pingwina od

osi obrotu

r

jest równa

L, tak

więc

a = a/L. Po

podstaw

do równania (16.35) przybiera

ono

postać

mL

2

a

-Lkx

=

3L

skąd otrzymujemy

3k

a

= x.

m

Wyrażenie (16.36)

ma w

istocie taką samą postać

jak

w

(16.8)

(a =

— co

2

x). Zatem deska rzeczywiście porusza

chem harmonicznym, przy czym

z

porównania zależności

i (16.8) mamy

, 3k

o)

— —,

m

co daje

Korzystając

ze

wzoru (16.5) (a>

= 2n/T),

wyznaczam y

I

m

I

12

kg

T

= 2jt,/ — =

2 i t ,

/ = 0,35 s.

(odp

V

3k

Y 3(1300 N/m)

v v

M oż e to cię zaskoczy, ale okres drgań nie zależy od dłu

deski.

1 6 . 7 . R u c h h a r m o n i c z n y

a r u c h j e d n o s t a j n y po o k r ę g u

W roku 1610 Galileusz, posługując się skonstruowanym przez siebie teles

odkrył cztery główne księżyce Jowisza. Po tygodniach obserwacji stwierd

wydaje się, że każdy księżyc porusza się tam i z powrotem względem p

w sposób, który obecnie nazwalibyśmy ruchem harmonicznym; dysk plan

centralnym punktem ruchu. Wykonane własnoręcznie przez Galileusza

z obserwacji wciąż są dostępne. A.P. French z MIT na podstawie danyc

lileusza wyznaczył położenia księżyca Callisto względem Jowisza. Na r

16.13 kółkami oznaczono obserwacje Galileusza, a linią ciągłą — krzywą

piej dopasowaną do danych. Kształt krzywej zdecydowanie pasuje do zale

1 6 . 1 3 . Widz iana

z

Ziemi odle

a

jego

z 1610 roku. Li

do

na

ruch ha rmo

Dla

średniej odległości

od

Ziemi

łuk o rozpiętości 10 minut

2 • 10

6

km.

A.P.

French, Newtonian

W.W.

Nor ton

& Co., New

s. 288)

3

e

15 .

10

j

5 \

0

- 5 [

- 10

- 1 5

1—

[zachód

10 20 30-

d o b y

40 ~

Iwschód



W rzeczywistośc i Cal l i s to porusza s ię z n iemal s ta łą prędkością po prawie

Ruch harmoniczny jest ruchem rzutu punktu poruszającego si ę ruchem jednostajnym

o okręgu na średnicę okręgu, po którym ten ruch si ę odbywa.

Zi lust rowano to na rysunku 16 .14a . Przedstawiono na n im cząstkę P' p o r u

O J . Promień

cot

+ cp, gdzie

cp

— położen ie ką towe w chwi l i

Rzutem położenia cząstk i P ' na oś x j e s t punk t P, k tórego ruch będziemy

P' na oś x da je współ rzędną x{t)

P. Ot rzymujemy za t em

x(t)

= x

m

cos(<yf + cp),

P porusza

Na rysunku 16 .14b przedstawiono prędkość

v

cząstki

P'.

Zgodn ie ze w zo rem

(v = cor) d ługość wektora prędkości wynosi

cox

m

,

a jeg o rzut na oś x

v(t)

= —

cox

m

sin(&>? +

<p),

P

x.

Na rysunku 16 .14c przedstawiono przyspieszenie dośrodkowe a cząstki P'.

(a

r

=

co

2

r) d ługość wektora przyspieszenia dośrod

co

2

x

m

, a jeg o rzu t na oś x opisu je wyrażenie

a(t) = —co

2

x

m

cos(&>f + cp),

a) Cząstka P' poruszająca si ę ruchem jednostajnym p o okręgu o promieniu x

m

.

je j położenia P na oś x wykonuje ruch

harmoniczny,

b) Rzut prędkości v cząstki

harmonicznego,

c) Rzut przyspieszenia dośrodkowego a cząstki jest

a )

^~ l

^\-COt

+</>

t

1

\ p -

/ COt+lj)

i / i \

y

i \

1 O

v(t

)Pj

c )

16 .7 .

Ruch harmoniczny a ruch jednostajny po okręgu 10



1 6 . 8 . R uc h h a r m o n i c z n y t ł u m i o n y

x sztywne

zawieszenie

< — łopatka

i stała tłumienia b

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

Rys.

1 6 . 1 5 .

Prosty oscylator tłumiony.

Zanurzona w cieczy łopatka działa ha

mująco na klocek drgający wzdłuż osi x

Wahadło zanurzone w wodzie będzie drgać krótko, gdyż woda stawia mu

powoduje szybkie zanikanie ruchu. W powiet rzu wahadło porusza się ła tw

i tak w końcu jego ruch zamiera , gdyż powiet rze także stawia opór (znacz

również tarcie w punkcie zawieszenia wahadła) , zmniejszając energię w

Jeżel i ruch oscylatora s łabnie na skutek działania s i ł zewnętrznych,

oscy la to r nazywamy

oscy latorem t łumionym,

a j ego d rgan ia nazywam

m i o n y m i . Na rysunku 16.15 przedstawiono prosty oscylator t łumiony, w

klocek o mas ie m drga w pionie zawieszony na sprężynie o s ta łe j sprężys

Do klocka przyczepiony jest pręt zakończony łopatką (zakładamy, że oba

menty mają znikomą masę) zanurzoną w cieczy. Gdy łopatka porusza się

i w dół, ciecz wywiera na nią ( i w konsekwencji na cały układ drgają

oporu . Z up ływem czasu energ ia mechan iczna uk ładu k locek- sp rężyna

— przekształca s ię w energię termiczną cieczy i łopatki .

Za łóżmy nas t ępn ie , że s i ła oporu F

0

, jaką. działa c iecz, jest propor

do war tości prędkości v łopatki i k locka ( takie założenie jest popraw

łopatka porusza się powol i ) . Dla składowej wzdłuż kierunku x na rysunk

mamy za tem

F

0

= -bv,

gdz ie b j e s t s ta łą t łumien ia , która zależy od właściwości łopatki i c ie

układzie SI s ta łą t łumienia mierzymy w ki logramach na sekundę) . Znak

wskazuje , że s i ła

F

0

p rzec iwdz ia ł a ruchowi .

Sprężyna działa na klocek si łą F

s

= —kx. Zakładamy, że s i ła c

działa jąca na klocek jest znikomo mała w porównaniu z s i łami F

0

i F

s

. W

drugą zasadę Newtona dla składowej wzdłuż osi x (F

x

= ma

x

) zap

w postaci

— bv — kx = ma.

Po podstawieniu dx/dt = v i d

2

x/dt

2

= a ot rzymujemy równanie różni

d

2

x dx

m—r+b—+ kx = 0.

dt

z

dt

Rozwiązanie tego równania ma postać

x(t) =

x

m

e-

bt/2m

cos(co't + 4> , (1

gdzie x

m

jest amplitudą, a co ' — częstością kołową o scylatora t łumion eg

w z o r e m

(1

G dy b = 0 (brak t łumienia) , wyrażenie (16.41) sprowadza się do wzoru

na częstość kołową oscylatora niet łumionego (co = *Jk/m), a wy rażenie

— do wzoru (16.3) na przemieszczenie oscylatora niet łumionego. Jeże

t łumienia jest mała , a le nie równa zeru (czyl i b <g, \fk~m), to co ' «s co.



Jak widać z rysunku 16.16, wyrażenie (16.40) przedstawia drgania sinuso

x

m

t

~

bt

l

lm

)

stopniowo maleje z upływem czasu.

E = \kx^

a

. W przypadku oscylatora tłumionego energia me

E(t), zastępując w wyrażeniu (16.21) wielkość x

m

przez am

x

m

e~

ht

^

2m

. Otrzymujemy w ten sposób zależność

E{t) \kxlp-

b

m

, (16.42)

której wynika, że energ ia — podobnie jak a mplituda — maleje wykładniczo

5 Mamy trzy zestawy wartości parametrów (stała sprężystości, stała

na rysunku 16.15. Uszereguj je

by energia mechaniczna zmalała do jednej czwartej

od najdłuższego do najkrótszego.

zastaw 1

2k

0

bo

m

0

zastaw 2

ko

6b

0

zestaw

3

3k

0

3b

0

mo

16.7

na rysunku 16.15 ma następu

m

= 250 g,

k

= 85 N/m oraz

b

= 70 g/s.

Ponieważ b <C ~Jkm = 4,6 kg/s, okres drgań jest w przybli

jak w przypadku oscylatora nietłumionego. Zatem

m

0,25 kg

:

2 j c , /— = 2jt ./ = 0,34 s.

V k

V

85 N

/m

(odpowiedź)

-bttlm

---m

Jl.

1 L__

r

. 2

3 • 4

t[s]

-btOm

16.16. Zależność x(t) dla oscylatora tłumionego z rysunku

którego parametry określono w przykładzie 16.7. Ampli

x

m

e~

bt/2m

,

maleje wykładniczo z czasem

b) Wyznacz czas, po jakim amplituda drgań tłumionych zm

do połowy swojej wartości początkowej.


O—nr Jak wynika ze wzoru (16.40), amplituda w chwili

równa

x

m

e~

h,/2m

.

Dla t = 0 jest ona równa x

m

. Tak więc mu

znaleźć taką wartość czasu t, dla której zachodzi

-btjlm _ 1

Po podzieleniu obu stron równania przez x

m

i zlogarytmow

ich prawa strona równania jest równa ln(l/2), a lewa

ln(e~

f a / 2 m

) = -bt/2m.

Zatem

t =

-2m\n(\)

b

-(2)(0,25 kg) ln(i )

:

5 s. (odpow

0,07 kg/s

v

Ponieważ

T

=0 ,34

s,

wyznaczony czas jest równy

w

przybliż

15 okresom drgań.

c) Wyznacz czas,

po

jakim energia mechaniczna układu zm

do połowy swojej wartości początkowej.


O—"t Jak wynika ze wzoru (16.42), energia mechaniczna w c

/ równa jest

)jkx r

b

'

lm

.

Dla t = 0 jest ona równa \kx . Mu

1 6 . 8 .

Ruch harmoniczny tłumiony



zatem znaleźć taką war tość czasu t, dla której zachodzi

-k x

2

e

2

m

-btjm

Dzieląc obie strony równania przez \kx^, a nastę pnie rozw iązując

— tak jak poprzednio — względem t, o trzymujemy

- m l n ( i )

- ( 0 , 2 5 k g ) l n ( | )

0,07 kg/s

: 2,5 s. (odp

Jest to dokładnie połowa czasu , jak i o trzymaliśmy w pun

równa w przybliżeniu 7,5 okresom drgań. Rysunek 16.16

ilustrację do tego przykładu.

1

6 .9 . Drgan ia wymuszone i rezonans

Cz łowie k bujający się na huśtawce, k tórej n ikt n ie popycha, to przyk ład

swobodnych.

Jeże l i j ednak k toś okresowo popycha huś tawkę , wykonu je on

nia wymuszone.

Z uk łade m wykonu jącym drgan ia wym uszone związane

częstości kołowe: 1) własna częstość kołowa co układ u, czyl i czę stość

z jaką układ w ykony wałby drga nia swobo dne, gdyby został w nie wpr

w wyniku nagłego zaburzenia , oraz 2) częstość kołowa w

W

ym

zewnętrzn

powodujące j d rgan ia wymuszone .

Do p rzeds tawien ia d rgań wymuszonych oscy la to ra ha rmonicznego m

posłużyć się ponownie rysunkiem 16.15, o i le zawieszenie nie będzie s

lecz będzie s ię poruszać w górę i w dół z częstością kołową <w

w y m

. Taki o

wymuszony drga z częstością kołową w

w y m

s i ły wym uszającej , a jeg o prz

czen ie

x(t)

dane j e s t wzorem

x(t) = x

m

c o s ( a >

w y m

r + </>),

gdz ie

x

m

jest amp l i tudą drgań.

Wartość ampl i tudy drgań

x

m

w skomplikow any sposób zależy od

ści

& >

w y m

i

co .

Łatwiej opisać am pl i tudę zm ian prędkośc i drgań

v

m

— j

na jwiększa , gdy spe łn iony j es t warunek r ezonansu

<Wwym

=

<w

(rezonans). (1

Wyrażenie (16.44) jest również

przybliżonym

wa runk iem na to , aby am

drgań

x

m

była największa. Tak więc, jeżel i będziem y popychać huśtawk

własną częstością kołową, ampl i tuda drgań i ampl i tuda zmian prędkośc

bardzo duże — jest to fakt , k tórego dzieci bardzo szybko się uczą metod

i b łędów. Jeżel i będziemy popychać huśtawkę z inną częstością kołową, m

lub większą, ampl i tudy drgań i zmian prędkości będą mniejsze.

Na rysunku 16.17 przedstawiono zależność ampl i tudy oscylatora od cz

ft>

wyra

s i ły wym uszającej d la t rzech war tośc i s ta łe j t łumien ia

b.

Zauważ

wszystkie t rzy ampl i tudy są największe, gdy

co

wym

/o j

= 1, tzn. gdy sp

jest warunek rezonansu dany wzorem (16.44) . Z krzywych przedstawion

rysunku 16.17 widać, że im mniejsze t łumienie , tym wyższe i węższe ma

rezonansowe.

Wszystkie konst rukcje mechaniczne mają jedną lub więcej własnych

ści kołowych; jeżel i na tę konst rukcję działa duża si ła zewnętrzna zmie

się z częstością pasującą do jednej z tych częstości, powstające drgania

112 16. Drgania



Rys. 1 6 . 1 7 . Ampl i tuda x

m

os

wymuszonego zmien ia s ię wraz

stością & )

w y m

s i ły wymuszające

pli tuda jest w przybliżeniu najw

gdy spełniony jest warunek rez

W w y m

/ i w = 1. Przedstawione krzy

powiadają trzem wartościom sta

<

y

w y m

/ t y

mien ia b

ni, że żadna z własnych częstości kołow ych, z jakim i mogą drgać skrzy

Trzęsienie z iemi w Meksyku we wrześniu 1985 roku było s i lne (8 ,1 s topni

0,2g, a drgania o często

Częstość v ruchu okresowego lub drgającego — to

1 herc = 1 Hz = 1 pełne drganie na sekundę = 1 s

- 1

. (16.1)

Okres T to czas , w jak im wykonywane jes t j edno pe łne

1

T = - . ( 16 .2 )

v

Ruch harmoniczny W ruchu harmonicznym p rzemies

x( t) c ia ła wzg lędem jego po łożen ia równowagi op isane jes

r em

x = x

m

cos(cot + (j>) (przemiesz czenie) ,

gdzie x

m

jes t ampl i tudą drgań, wielkość (cot + cf>) — fa

a

<f>

— fazą początkową. Częstość kołową co wiąże z

i częstością zależność

2 3 1

co = — = 2n v (częstość kołowa) .



Różniczkując wzór (16.3), otrzymujemy wyrażenia na prędkość

i przyspieszenie w zależności od czasu dla ciała wykonującego

ruch harmoniczny:

v = —cox

m

sin(o>f + cj>) (prędkość) (16.6)

oraz

a = —co

2

x

m

cos(ft)? +

(f>)

(przyspieszenie). (16.7)

Dodatnia wielkość cox

m

w wyrażeniu (16.6) to amplituda zmian

prędkości v

m

ruchu. Dodatnia wielkość &>

2

x

m

w wyrażeniu (16.7)

to

amplituda zmian przyspieszenia

a

m

ruchu.

Oscylator liniowy

Pod wpływem siły zwrotnej opisanej prawem

Hooke'a F = —kx ciało o masie m porusza się ruchem harmo

nicznym. Częstość kołowa i okres dane są wzorami:

: 2 j t .

(częstość kołowa)

(okres).

(16.12)

Taki układ nazywamy liniowym oscylatorem harmonicznym.

Energia Ciało wykonujące ruch harmoniczny ma w każdej

chwili energię kinetyczną E

k

= mv

2

/2 oraz energię potencjalną

E

p

= kx

2

/2. Jeżeli nie występuje tarcie, to całkowita energia me

chaniczna E = E

k

+ E

p

pozostaje stała, mimo że energie E

k

i E

p

się zmieniają.

Ruch harmoniczny a ruch jednostajny po okręgu Rzu

poruszającego się ruchem jednostajnym po okręgu na

okręgu, po którym ten ruch się odbywa, porusza się ruch

monicznym. Na rysunku 16.14 pokazano, że położenie,

i przyspieszenie tego rzutu spełniają równania ruchu ha

nego.

Ruch harmoniczny tłumiony Energia mechaniczna E

czywistym układzie drgającym maleje podczas drgań, g

zewnętrzne, jak na przykład siły oporu, hamują drgan

wodują przekształcanie się energii mechanicznej w ene

miczną. W związku z tym o rzeczywistym oscylatorz

ruchu mówimy, że są tłumione. Jeżeli siła oporu opi

wzorem F

0

= —bv, gdzie v jest prędkością oscylatora

stałą tłumienia,

to przemieszczenie oscylatora dane jest

-btllm

cos (<w';

-

(12 13) gdzie co' — częstość kołowa oscylatora tłumionego dana

b

2

Am

2

'

Jeżeli stała tłumienia jest mała (b <SC y/km), to co' «s

co

jest częstością kołową oscylatora nietłumionego. Dla m

energia mechaniczna

E

oscylatora dana jest wzorem

E(t) \kx

2

m

e-

h

m

-

Wahadła Przykładami urządzeń wykonujących ruch harmo

niczny są wahadło torsyjne (rys. 16.7), wahadło matematyczne

(rys.

16.9) oraz wahadło fizyczne (rys. 16.10). Okresy małych

drgań tych wahadeł wynoszą odpowiednio

(16.23)

(16.28)

(16.29)

Drgania wymuszone i rezonans Jeżeli zewnętrzna sił

szająca o częstości kołowej <w

wym

działa na układ drgając

snej częstości kołowej co, układ drga z częstością kołow

Amplituda zmian prędkości v

m

układu jest największa, g

niony jest warunek

rezonansu

ft>wvm

=

CO.

Również amplituda drgań x

nl

układu jest wtedy (w przy

największa.

1 . Która z poniższych zależności między przyspiesze

niem a i przemieszczeniem x cząstki związana jest z ruchem

harmonicznym: a) a — 0,5x, b) a = 400x

2

, c) a =

—

20x, d)

a - - 3 x

2

?

2 . Mamy ruch harmoniczny opisany wzorem

x =

(2 m)cos(50-

Jeżeli chcemy wyznaczyć prędkość w chwili t — 2 s, to powin

niśmy podstawić wartość t, a następnie zróżniczkować względem

czasu, czy też odwrotnie?

3 . Na rysunku 16.18 wykreślono przyspieszenie a(i) ciała wyko

nującego ruch harmoniczny, a) Który z zaznaczonych punktów od

powiada ciału znajdujące

mu się punkcie —x

m

? b) Ja

ka prędkość ciała odpowia

da punktowi 4: dodatnia,

ujemna, czy równa zeru?

c) Jakie położenie ciała od

powiada punktowi 5: w pun

kcie —

x

m

,

w punkcie

+x

m

,

w punkcie zero, w przedzia

le od —x

m

do zera, w prze

dziale od zera do +x

m

?

. 3

5» *7

6

Rys.

1 6 . 1 8 . Pytanie 3

1 1 4

16. Drgania



<p odpowiada ruchowi har

TT < <p

<

b) jt < <f> < 3J I / 2 , c) - 3 T I / 2 <4>< - j t ?

a)

Pytania 4 i 5

b)

Na rysunku 16.19b wykreślono prędkość v(t) ciała wykonują

A i b) punkt B na wykre

— x

m

, czy też porusza się w kierunku

x

m

? Gdzie znajduje się ciało, gdy jego prędkość ma wartość

A i d) z punktu B na wykresie: w punkcie —

x

m

,

+x

m

,

w punkcie 0, w przedziale od

— x

m

do zera, czy

m

? W jaki sposób zmienia się pręd

A ii) z punktu B na wykresie

rośnie czy maleje?

Na rysunku 16.20 przedstawiono — dla trzech przypadków —

x(t)

dla dwóch identycznych

(A i B), różniących się jedynie fazą

o jaki należy przesunąć krzywą A, aby nałożyła się na

B. Z wielu możliwych odpowiedzi wybierz przesunięcie

ajmniejszej wartości bezwzględnej.

Pytanie 6

Na rysunku 16.21a i b przedstawiono chwilowe położenia (w

rów przedstawionych a) na rysunku 16.21a oraz b) na

x x

m

x +x

n

a)

Rys.

1 6 . 2 1 .

Pytanie 7

x = 0

b )

8 . a) Która z krzywych na rysunku 16.22a przedstawia zale

przyspieszenia a(t) od przemieszczenia x(t) dla ruchu h

nicznego? b) Która z krzywych na rysunku 16.22b przed

zależność prędkości v(t) od przemieszczenia x(t) dla ruch

monicznego?

a(0

v(t)

t

1

-x(t)

'

l

2, . - - '

,

l

.*»•*

a)

Rys . 16 .22 . Pytanie 8

b)

9 . Na rysunku 16.23 przedstawiono mały klocek A umiesz

na dużym klocku B, przy czym między klockami występuje

statyczne. Klocek B, leżący na powierzchni, po której moż

ruszać się bez tarcia, znajduje się początkowo w punkcie

x

odpowiadającym długości nieodkształconej sprężyny. Odcią

klocek na odległość d w prawo i puszczamy swobodnie.

układ klocek-sprężyna wykonuje drgania harmoniczne o am

dzie x

m

, klocek A jest na granicy poślizgu względem B. a

przyspieszenie klocka A jest stałe, czy zmienne? b) Czy

tość siły tarcia przyspieszającej klocek A jest stała, czy zmi

c) Czy poślizg klocka A jest bardziej prawdopodobny w pu

x = 0, czy też w punktach x = ± x

m

? d) Gdyby ruch harmon

rozpoczął się przy początkowym przemieszczeniu większym

d, to czy poślizg byłby bardziej, czy też mniej prawdopod

(Rozgrzewka przed zadaniem 16).

brak tarcia


Pytania



1 0 .

Przedstawiony na rysunku 16.24 układ klocek-sprężyna dwu

krotnie wprawiono w ruch harmoniczny. Za pierwszym razem klo

cek odciągnięto z położenia równowagi na odległość d\ i pusz

czono swobodnie. Za drugim razem klocek odciągnięto z poło

żenia równowagi na większą odległość d

2

i również puszczon o

swobodnie. Czy w drugim

przypadku: a) ampli tuda, b)

okres, c) częstość, d) mak

symalna energia kinetyczna

oraz e) maksymalna energia

potencjalna były większe,

czy mniejsze niż w pierw

szym?

•mmi

—d

2

-

Rys. 16.24.

Pytanie 10

1 1

.

Na rysunku 16.25 przedstawiono trzy wahadła f izyczne

zbudowane z jednakowych jednorodnych kul o takich sa

ych masach połączonych

sztywno identycznymi prę- O •

tami o znikomo małej ma

sie. Każde wahadło wisi

ionowo i może drgać

względem punktu zawieszę- ^ , .

% s

ia

O.

Uszeregu j wahad ła \ #

*Jt

kolejności okresów ich

a

) b) c)

rgań, poczynając od naj

i ększego . Rys. 1 6 . 2 5 . Pytanie 11

fi O

1 2

. Uzupełnienie do zadania 36. Gdyby prędkość poc

większa, to czy: a) ampli tuda, b) okres i c) maksyma

gia potencjalna, charakteryzujące otrzymany ruch harm

byłyby większe, mniejsze, czy też takie same?

1 3 . Masz zbudować przedstawione na rysunku 16.26

nie do przekazywania drgań. Składa s ię ono z dwóch

sprężyna-klocek zawieszonych na giętkim pręcie. Po ro

ciu i puszczeniu swobodnie sprężyny w układz ie 1 powsta

harmoniczne tego układu o częstości v\ wywołują drga

Z kolei pręt jest źród łem siły wym uszającej działające

samą częstością v\ na układ 2. Mamy do wyboru cztery

0 stałych sprężystości k równych 1600 N/m, 1500 N/m, 1

1 1200 N/m oraz cztery klocki o masach 800 kg, 500

kg i 200 kg. Zastanów się, które sprężyny i które kloc

wykorzystać w obu układach, aby uzyskać maksymalną a

drgań układu 2. Podaj odpowiedź bez wykonywania obl

pręt

układ 1

Rys. 16.26.

Pytanie

13

układ 2

v / v

Rozwiązanie jest dostępne na s tronie internetowej pod


U Rozwiązanie jest dostępne w postaci interaktywnej,

wykorzystującej oprogramowanie lntcract ive Learning-


1 6 . 3 S i ł a w

r u c h u

h a r m o n i c z n y m

1 . Ciało drgające ruchem harmonicznym potrzebuje 0 ,25 s na

.

Drgający układ klocek-sprężyna po upływie 0,75 s rozpoczyna

ruchu. Wyz nacz: a) okres, b) częstość w her

.

Oscylator ma postać klocka o masie 0 ,5 kg umocowanego na

kołową, d) stałą sprężystości, e) maksymalną pręd

) war tość maksym alnej s i ły , jaką spręży na wy wiera na

4 .

Wyznacz maksymalne przyspieszenie platformy

z amplitudą 2,2 cm i częstością 6,6 Hz.

5 . Głośnik wytwarza dźwięk za pomocą drgającej m

Amplituda drgań jest nie większa niż 1 • 1 0 ~

3

mm. Dla ja

stości war tość przyspieszenia membrany przekracza war

6 . Skala wagi sprężynowej o zakresie pomiarowym od 0

ma 12 cm długości . Stwierdzono, że paczka zawieszona

drga z częstością 2 Hz. a) Wyznacz stałą sprężystości, b

i le waży paczka.

7 .

C ząstka o m asie 1 • 10 ~

2 0

kg drga ruchem harmon

okresem 1 • 10~

5

s i maksym alną prędkością 1 • 10

3

m/

a) częstość kołową oraz b) maksymalne przemieszczenie

8 .

Małe ciało o masie 0 ,12 kg drga ruchem harmoniczny

pli tudzie 8 ,5 cm i okresie 0 ,2 s . a) Wyznacz war tość mak

siły działającej na ciało, b) Zakładając, że drgania wyw

przez sprężynę, oblicz jej stałą sprężystości.

9. Ostrze golarki elektrycznej porusza s ię tam i z p

ruchem harmonicznym z częstością 120 Hz, pokonując

2 mm. Znajdź: a) ampli tudę, b) maksymalną prędkość os

c) war tość maksymalnego przyspieszenia ostrza.





0. Membrana głośnika wykonuje drgania harmoniczne o często

kołową,

b) maksymalną prędkość oraz c) wartość mak

1 . Gdy rozważamy drgania pionowe samochodu, możemy przy

że samochód stoi na czterech identycznych sprężynach.

jest równ o rozłożo na na wszystkie sprężyny, b) Ob licz, jak a

ie j masie 73 kg. (Ponownie zakładamy rów nomierny rozkład

2 . Cia ło drga ruchem harmonicznym opisanym wzorem

x = (6 m)cos[ (3 i t r ad / s ) r + n /3 rad] .

t = 2 s wy znacz : a) przem ieszczen ie, b) prędko ść,

3 .

Skok tłoka (równy dwóm amplitudom) w cylindrach silnika

4 . Na rysunku 16.27 przedstawiono astronautę na stanowisku do

body-mass measuring device,

w skrócie

BMMD to po prostu fotel zawieszony na sprężynach

M jest masą astronauty, a m

Zadanie 14

drgania, wykaż, iż

M

(k/4it

2

)T

2

-m,

gdzie T — okres drgań, k — stała sprężystości, b) W urzą

niu BMMD zainstalowanym na stacji kosmicznej Skylab (Sk

Mission Two) stała sprężystości wynosiła k = 605,6 N/m; o

drgań samego fotela był równy 0,90149 s. Oblicz efektywną

fotela, c) Po zajęciu fotela przez astronautę okres drgań sta

równy 2,08832 s. Wyznacz masę astronauty.

1

5 .

W pewnym porc ie powierzchnia oceanu na skutek pły

podnosi się i opada ruchem harmonicznym o okresie 12,

odległość między najwyższym a najniższym poziomem wy

d. Ile czasu potrzeba, by woda opadła do poziomu leżącego

poniżej maksimum?

1 6 . U kład złożony z dwóc h klocków (m = 1 kg i M = 10

i sprężyny (k — 200 N/m) ustawiono na poziomej powierz

po której może poruszać się bez tarcia (rys. 16.28). Współczy

tarcia statycznego między klockami wynosi 0.4. Wyznacz am

tudę ruchu harmonicznego układu, przy które j mnie jszy kl

znajdzie się na granicy poślizgu po powierzchni dużego kloc

m

k JML

Y

0 0 O O O O O O O

X

^ ^ | / brak tarcia


1

7 .

Klocek znajduje się na poziomej powierzchni, która po

się poziomo tam i z powrotem ruchem harmonicznym o czę

ści 2 Hz. Współczynnik tarcia statycznego między klockie

podłożem wynosi 0 ,5. Wyznacz największą ampl i tudę ruchu

monicznego, przy której klocek nie będzie się ślizgał po pod

1 8 . Na t łoku poruszającym się pionowo ruchem harmonicz

umieszczono klocek, a) Zakładając, że okres drgań harmonicz

wynosi 1 s, oblicz, przy jakiej ich amplitudzie klocek i t łok

dzielą się. b) Zakładając, że amplituda drgań tłoka wynosi 5

wyznacz maksymalną częstość, przy której klocek i t łok będą

czas się stykać.

1 9 . Oscyla tor ma postać klocka umocowanego na spręż

(k = 400 N/m). W pewnej chwil i t położenie klocka (mier

względem położenia równowagi układu) , jego prędkość i p

spieszenie wynoszą odpowiednio x = 0 ,1 m, v = —13,6

a = —123 m/s

2

. Oblicz: a) częstość drgań, b) masę klocka

c) amplitudę drgań.

20. Oscyla tor harmoniczny ma postać klocka o masie 2 kg u

cowanego na sprężynie o stałej sprężystości 100 N/m. W ch

t = 1 s położenie i prędkość klocka wynoszą odpow ie

x = 0,129 m. v = 3,415 m/s. a ) Wyznacz ampl i tudę dr

Oblicz: b) położenie i c) prędkość klocka w chwili 1 = 0 s.

Zadan ia



2 1 .

Z sufitu zwisa sprężyna o znikomo małej masie, na której za

wieszono małe ciało. Początkowo ciało utrzymywane jest w spo

czynku w takim położeniu

y

poC

z,

aby długość sprężyny była równa

długości sprężyny nieodkształconej . Następnie ciało zostaje uwol

nione z położenia y

p o c z

i zaczyna drgać w górę i w dół , przy czym

y

p o c z

. a) Wy

nacz częstość drgań, b) Wyznacz prędkość ciała, gdy znajduje

ię ono 8 cm poniżej położenia początkowego, c) Do pierwszego

y

p o C

z )

w sytuacji , gdy do sprężyny doczepione

ą obydwa ciała.

2 . Dwie cząstki wykonują ruch harmoniczny o takich samych

A. Okres drgań każdej

A)

k u m o co

m oraz do sztywnych podpór (rys. 16.29).

1 [2k

Rys. 1 6 . 2 9 .

Zadania 24 i 25

k\ i k

2

. Udowodnij , że częstość

V i v

2

— częstości , z jakim i by drgał klocek, gdyby był

epiony tylko do sprężyn y 1 lub tylko do sprężyny 2.

. Koniec jedn ego z ramion kam ertonu wykonuje drgania har

m znajdującego się na gładkiej powierzchni, po której

jednakowe stałe sprężysto

śc i

k.

Wykaż, że częstość

drgań klocka dana jest wzo

rem

i

nr

V

~

2TT

V 2 m '

Rys. 1 6 . 3 0 . Zadanie 2

2 8 . Kloc ek o cięża rze 14 N ślizgający się bez t

równi pochyłej nachylonej pod kątem 40° umocowano

nego końca równi za po

mocą sprężyny o znikomo

małej masie i stałej spręży

stości 120 N/m , która w sta-

nie nieodkształcon ym ma

długość 0,45 m (rys. 16.31). k

a) W jakiej odległości od

>:.;'

:

0- '

górnego końca równi klo

cek pozostaje w spoczynk u?

b) Klocek został lekko po

ciągnięty w dół wzdłuż rów

ni , a następnie puszczony

swobodnie. Wyznacz okres

powstałych drgań.

Ml-

Rys.

1 6 . 3 1 .

Zadanie 28

29. Jednorodną sprężynę o s tałej sprężystości k, która

nieodkształconym ma długość L, przecięto na dwie częś

gościach

L\

i

L

2

,

przy czym

L\ = nL

2

.

Wyz nacz s tałe s

ści a) k\ oraz b) k

2

obu otrzymanych w ten sposób sprę

funkcje n i k. Klocek przyczepiony do pierwotnej spręż

jak na rysunku 16.5, drga z częstością v. Jeżel i spręży

pimy jednym z jej kawałków o długości L\ lub L

2

, to

drgań będzie odpowiednio równa V\ i v

2

. Wyznacz z

częstości

c )

r- i d) r> od r.

30. Na rysunku 16.32 przedstawiono trzy wózki kopa

masach 10 000 kg utrzymywane w spoczynku w na

pod kątem 30° do poziomu

sztolni za pomocą liny (rów

noległej do sztolni). Lina

jest rozciągnięta o 15 cm.

W pewnej chwil i połączenie

dwóch ostatnich wózków

pęka i uwalnia ostatni wó

zek. Zakładając, że l ina pod

lega prawu Hooke'a, wy

znacz a) częstość i b) am

plitudę pojawiających się

w tej sytuacji drgań dwóch

pozostałych wózków.

odczepiony

wózek

Rys. 1 6 . 3 2 . Zadanie 30

1 6 . 4 E n e r g ia w r u c h u h a r m o n i c z n y m ,

31 . Wyznacz energ ię mechan iczną uk ładu k locek-spręży

dząc, że stała sprężystości wynosi 1,3 N/cm, a amplitud

2,4 cm.



. W drgającym układzie klocek-sprężyna energia mechaniczna

i 1 J, amp lituda 10 cm , a ma ksym alna prędk ość 1,2 m/s.

.

Znajdujące się na poziomej idealnie gładkiej powierzchni

odleg łość 50 cm i nada no mu prędko ść początkową 10 m/s

i r v

. Wyobraź sobie, że zbudowano gigantyczną katapultę w celu

.

Pionowa sprężyna rozciągnęła s ię o 9 ,6 cm po zawieszeniu

Następnie klocek został przemieszczony o dalsze 5 cm w dół

.

Klocek o masie M spoczywający na poziomym idealnie

k. W klocek uderza

m i pręd

v, jak przedstawiono

M

Rys.

16 .33 . Zadanie 36

.

Określ, jaka część całkowitej energii ma postać a) energii

a jaka b) energii potencjalnej , gdy przemieszcze

x

m

.

c)

.

Cząstka o masie 10 g wykonuje drgania harmoniczne o am

3

m i maksymalnej war tości przyspieszenia 8

•

1 0

3

s

2

.

Faza początkowa w ynosi — n / 3 rad. a) Podaj wzór p rzed

Klocek o masie 4 kg zawieszono na sprężynie o s tałej sprę

m/s uderza pocisk o masie 50 g i grzęźnie w nim. a) W

ampli tudę powstałych drgań harmonicznych, b) Oblicz, jaka

początkowej energii kinetycznej pocisku zamienia się w e

mechaniczną oscylatora harmonicznego. «wv

1 6 . 5

Wahadło

to rsy jne

4 0 .

Płaski jednorodny krążek o masie 3 kg i promieniu

zawieszono w płaszczyźnie poziomej na umocowanym w

środku pionowym drucie. Krążek obrócono o kąt 2 ,5 rad

pionowej osi; do utrzymania tej orientacji krążka potrzebn

moment s i ły 0 ,06 N • m. Oblicz: a) moment bezwładności

względem drutu, b) moment kierujący oraz c) częstość k

drgań, jakie można wzbudzić w tym wahadle torsyjnym.

4 1 .

Balans w zegarku drga z amplitudą zmian kąta równą

i okresem 0,5 s . Wyznacz: a) maksymalną prędkość kąto

lansu, b) prędkość kątową balansu w chwili , gdy jego prze

czenie równe jest j t /2 rad, oraz c) war tość przyspieszenia

wego balansu w chwili , gdy przemieszczenie równe jest

7

1 6 . 6 W a h a d ł a

4 2 .

Kula burząca o masie 2500 kg zwisa z końca ramienia

(rys .

16.34). Długość wahającego się odcinka liny wynosi

a) Wyznacz okres wahań, zakładając, iż cały układ można

za wahadło matematyczne, b) Czy okres wahań zależy od

kuli?

• H M

Rys.

16 .34 . Zadanie 42

4 3 .

Jaka jest długość wahadła sekundow ego, które wyk

pełne wahnięcie z lewa na prawo i z powrotem w ciągu 2 s

4 4 . Akrobata s iedzący na trapezie wykonuje wahania tam i

wrotem z okresem 8,85 s. Jeżeli wstanie, to środek masy u

trapez-akrobata podniesie s ię o 35 cm. Jaki będzie wówczas

drgań układu? Potraktuj układ trapez-akrobata jako wahadł

tematyczne.



4 5 . Wahadło fizyczne ma postać metrowej linijki zawieszonej na

osi umieszczonej w małym otworku wywierconym w odległości

d od kreski oznaczającej 50 cm. Okres drgań wynosi 2,5 s. Wy

znacz d.

4 6 . Wahadło fizyczne ma

postać jednorodnego krążka

(o masie M i promieniu R)

zawieszonego w płaszczyź

nie pionowej w taki sposób,

że oś obrotu znajduje się

w odległości d od środka

krążka (rys. 16.35).

Krą

żek odchylono o niewielki

kąt i puszczono swobod

nie.

Znajdź wyrażenie na

okres powstałych drgań har

monicznych.

obiolu

R


4 7 .

Wahadło ma postać długiego, cienkiego pręta o długości L

i masie m, zawieszonego w punkcie znajdującym się w odległości

d

powyżej środka pręta, a) Zakładając wahania o małej ampli tu

dzie,

wyraź okres drgań wahadła za pomocą wielkości

d, L im.

Jak zmieni s ię okres, gdy: b) zmniejszymy

d,

c) zwiększymy

L

lub d) zwiększymy m?

4 8 .

Jednorodny krążek o promieniu

R

równym 12,5 cm zawie

szono za punkt na jego brzegu, tworząc w ten sposób wahadło

fizyczne, a) Wyznacz okres drgań, b) W jakiej odległości r < R

od środka krążka znajduje się punkt zawieszenia dający taki sam

okres?

4 9 .

Wahadło składa s ię

z jednorodnego krążka, o

promieniu 10 cm i masie

500 g, i jednorod nego pręta

o długości 500 mm i masie

270 g (rys. 16.36). a) Oblicz

moment bezwładności wa

hadła względem punktu za

wieszenia, b) Wyznacz od

ległość miedzy punktem za

wieszenia a środkiem masy

wahadła, c) Oblicz okres

drgań wahadła.

500

mm

'1 0

cm

Rys. 16.36.

Zadanie 49

5 0 .

a) Jaki będzie okres drgań wahadła z przykładu 16.5, jeżel i

PI b) Czy ten okres drgań

ędzie większy, mniejszy, czy też równy poprzedniemu?

5 1 . W przykładzie 16.5 pokazaliśmy, że środek wahań rozważa

ego tam wahadła fizycznego znajduje się w odległości 2L/3 od

unktu zawieszenia. Udowodnij , że dla wahadła f izycznego o do

wolnym kształcie odległość punktu zawieszenia od środka wahań

I/mh, gdzie symbole I i h mają to samo znaczenie co

w wyrażeniu (16.29) , a m jest masą wahadła.

5 2

. Wahadło fizyczne w po

staci linijki o długośc i

L

ob

raca s ię względem punktu

zawieszenia O (rys. 16.37).

a) Wyprowadź w yrażenie na

okres drgań wahadła jako

funkcji długości

L

oraz od

ległości x punktu podwie

szenia od środka masy wa

hadła, b) Dla jakiej war

tości stosunku x/L okres

drgań osiąga minimum? c)

Wykaż, że dla

L

= 1 m

i g = 9 ,8 m/s

2

minimalny

okres wynosi 1,53 s.


53. Długi jednorodny pręt o długości L i mas ie m moż

racać w płaszczyźnie poziomej wokół pionowej osi przec

przez jeg o środek ( rysunek 16.38 przedstawia widok z gó r

żynę o stałej sprężystości k umieszczono poziomo między

pręta a nieruchomą

ścianą.

W stanie równowagi pręt jest

gły do ściany. Wyznacz okres małych drgań, jakie powst

pręt nieco obrócimy, a następnie puścimy swobodnie.

oś obrotu

Rys. 16.38.

Zadanie 53

5 4 . Wahadło matematyczne o długości L i masie m za

w samo chodzie poruszającym się ze s tałą prędkością v p

o promieniu R. Zakładając, że wahadło wykonuje małe

w kierunku radialnym względem położenia równowagi,

częstość tych drgań.

5 5 . Wyznacz częstość wahadła matematycznego o długo

a) w pokoju, b) w windzie jadącej do góry z przyspi

2 m / s

2

, c) podczas swobodnego spadania.

5 6 .

Dla wahadła matematycznego wyznacz ampli tudę zm

9

m

, dla której rzecz ywisty m om ent siły różni się o 1%

mentu s i ły , dla którego ruch wahadła można uznać za

niczny. (Patrz rozwinięcia funkcji w szeregi potęgowe

datku E).

5 7 .

Ciężarek wahadła matematycznego o długości R

się po łuku okręgu, a) Przyjmując, że przyspieszenie doś

ciężarka w chwili , gdy przechodzi on przez położenie rów

jest takie jak w ruchu jednostajnym po okręgu, tzn. v

2

/R ,

że naprężenie nici w tym położeniu jest równe

mg(l +

i le ampli tuda zmian kąta 6

m

jest mała. (Patrz rozwinięci

w szeregi potęgowe w dodatku E) . b) Jakie jest napręże

gdy ciężarek znajduje s ię w innym położeniu — w iększe,

czy takie samo?



.

Koło może s ię obracać wokół swojej sztywno umocowanej

m i pro

R, wyznacz czę

m, R,

r = R i c)

= 0?

Rys. 1 6 . 3 9 .

Zadanie 58

6 . 8 R u ch h a r m o n i c z n y t ł u m i o n y

. Dla układu opisanego w przykładzie 16.7 wyznacz s tosunek

.

Ampli tuda s łabo t łumionego oscylatora maleje w każdym

. W układzie przedstawionym na rysunku 16.15 masa klocka

nosi 1,5 kg, a stała sprężysto ści 8 N/m . Siłę tłumiącą opisuje

b(dx/dt), gdzie b = 230 g/s . Załóż, że początkowo

jedn ej trzeciej wartości początkow ej, b) Ile okresó w d rgań

6 2 .

Wyobraź sobie , że badamy właściwości oscylacyjne u

zawieszenia w samochodzie o masie 2000 kg. Zawieszeni

ciążone całym samochodem „siada" o 10 cm, a ampli tuda

zmniejsza s ię o 50% w ciągu jednego cyklu. Wyznacz: a)

sprężystości resorów k i b) stałą tłumienia amortyzatorów

jednego koła , zakładając że na każde koło przypada 500 kg

samochodu.

1 6 . 9 D r g a n i a w y m u s z o n e i r e z o n a n s

63. Załóż, że ampli tuda drgań x

m

w wyrażeniu (16.43) dan

wzorem

gdzie

F

m

jest (stałą) amplitudą zewnętrznej siły działając

sprężynę poprzez je j sztywne zawieszenie (rys . 16.15). Wyz

a) ampli tudę drgań i b) ampli tudę zmian prędkości drgaj

ciała w rezonansie .

64. Po nierównej wybois tej drodze typu „tarka", której p

dowania odległe są od s iebie o 4 m, jedzie — podskakuj

resorach — samochód o masie 1000 kg wiozący cztery o

o masach 82 kg każda. Samochód podskakuje z największą

pl i tudą przy prędkości 16 km/h . Następnie samoch ód zatrzy

się i cztery osoby wysiadają. O ile samochód podniesie s

swym zawieszeniu na skutek zmniejszenia masy?



1 7 Fale I

G d y c h r z ą s z c z i d ą c y p o p i a s k u z n a j d z i e s i ę w o d l e g ł o ś c i k i l k u d z i e s i ę c i u c e n t y m e t r ó w

o d s k o r p i o n a , t e n n a t y c h m i a s t o d w r a c a s i ę w k i e r u n k u c h rz ą s z c z a i r z u c a s i ę n a n i e g o

( a b y g o z j eś ć ) . S k o r p i o n m o ż e t o z r o b i ć ,

a n i n i e w i d z ą c ( j es t z w i e r z ę c i e m n o c n y m ) ,

a n i n i e s ł y s z ą c c h r z ą s z c z a .

W jaki sposób skorpion jest w stanie

tak precyzyjnie zlokalizować swoją ofiarę?

O dpow i edź z na j dz i es z w t y m r oz dz i a l e .



.

Fale i cząstk i

Pierwszy sposób ( l is t) polega na wykorzystaniu jakichś

cząstek

— obiektów

ą s ię z jedn ego pu nktu d o drugiego , n iosąc ze sobą

Drug i sposób ( te le fon) po lega na wykorzys tan iu^ / , k tó re będą tematem tego

z jedn ego pu nktu do drugieg o, mim o iż żaden obiekt ma teria lny takie j po dróży

Cząstka i fala to dwa ważne pojęcia w f izyce klasycznej — wydaje s ię , że

cząstką,

a lbo

falą.

cząstka oznacza malutkie

Słowo fala oznacza coś wręcz

7 . 2 . Rodza je f a l

Fale mechaniczne. Jest to najbardziej znany rodzaj fal, pon iew aż nap otyk am y

je prawie zawsze — typowe przykłady to fa le na wodzie , fa le dźwiękowe lub

fale se jsmiczne. Wszystkie te fa le mają pewne wspólne cechy, a mianowicie

podlegają zasadom Newtona i mogą is tn ieć wyłącznie w jakimś ośrodku

materia lnym: w wodzie , w powietrzu, w skale .

Fale elektromagnetyczne.

Te fale są mn iej znane, mi m o iż stale się nim i

posługujemy. Zaliczamy do nich świat ło widzia lne i nadfiole towe, fa le ra

diowe i te lewizyjne, mikrofale , promieniowanie rentgenowskie oraz fa le ra

darowe. Fale te n ie potrzebują żadnego ośrodka materia lnego. Na przykład

fale świet lne emitowane przez gwiazdy dociera ją do nas przez próżnię ko

smiczną. Wsz ystkie fa le e lektrom agnetyczn e poruszają s ię w próżni z tą sam ą

prędkością c równą

c = 29 9 792 45 8 m / s (prędkość światła). (17 .1)



impuls

a)

fala

sinusoidalna

b )

Rys.

1 7 . 1 .

a) Wzdłuż naciągniętej liny

zostaje wysłany pojedynczy impuls. Ty

powy element liny (oznaczony kropką)

w chwili, gdy mija go impuls, wyko

nuje jeden ruch w górę, a następnie w

dół. Ruch elementu liny jest prostopadły

do kierunku ruchu fali, tak więc impuls

jest falą poprzeczną, b) Wzd łuż l iny zo

staje wysłana fala sinusoidalna. Podczas

przechodzenia fali typowy element liny

porusza się w sposób ciągły w górę i w

dół. Ta fala również jest falą poprzeczną

powietrze

Rys. 1 7 . 2 .

W rurze wypełnionej po

wietrzem wzbudzono falę dźwiękową

za pomocą tłoka poruszającego się

tam i z powrotem. Ponieważ drgania

cząsteczki powietrza (reprezentowanej

przez czarną kropkę) są równoległe do

kierunku, w jakim porusza s ię fala , falę

nazywamy podłużną

3 .

Fale materii.

Pom imo że te fale są powsz echnie wykorzy s tywane we w

czesnej technice, są one ci prawdopodobnie nieznane. Są to fale zwią

z elektronami, protonami i innymi cząs tkami elementarnymi, a nawet z

mami i cząs teczkami. Ponieważ te obiekty uważamy na ogół za skład

mater i i , fa le te nazywamy falami mater i i .

Większość mater iału omawianego w tym rozdziale dotyczy wszys tkich

dzajów fal . Jednakże w przykładach będziemy odnosić s ię do fal mechaniczn

1 7 . 3 . F a l e p o p r z e c z n e i p o d ł u ż n e

Fala wysłana w zdłuż rozpiętej naprężon ej l iny jes t najpros tszą falą mecha ni

Jeżel i jeden koniec napiętej l iny jednokrotnie szarpniesz pionowo w górę

dół , pojawi s ię biegnąca wzdłuż l iny fala w pos taci pojedynczego

impulsu,

na rysunku 17. la . Taki impuls i jeg o ruch mogą p ojawić s ię dzięki temu, że

jes t napięta . Gdy szarpniesz swój koniec l iny w górę, pociągnie on za sob

górę sąs iedni f ragment l iny, a to dzięki s i łom działającym między poszcze

nymi f ragmentami l iny. Z kolei ten f ragment , poruszając s ię w górę, pocią

za sobą następny i tak dalej. Tymczasem zaczynasz ciągnąć swój koniec l i

dół. W efekcie kolejne poruszające się do góry fragmenty liny zaczynają być

gnięte w dół przez sąs iednie f ragmenty, k tóre już s ię poruszają w tym kieru

Ostatecznie zaburzenie kształ tu l iny ( impuls) porusza s ię wzdłuż niej z pe

prędkością v.

Jeżel i poruszasz ręką w górę i w dół w sposób ciągły ruchem harmonicz

to wzdłuż l iny z prędkością

v

biegnie fala ciągła . Ponieważ ruch ręki opisany

s inusoidalną funkcją czasu, w dowolnej chwil i fa la — jak widać z rysunku 1

— będzie miała kształ t s inusoidalny; oznacza to , iż fala ma kształ t s inusoidy

cos inusoidy.

Rozważamy tu wyłącznie „idealną" l inę, w której n ie działają żadne

tarcia powodujące zanikanie fal i podczas je j ruchu wzdłuż l iny. Dodatkowo

kładamy, że l ina jes t odpowiednio długa i n ie musimy zajmować s ię falą od

od jej drugiego końca.

Jednym ze sposobów b adania fal przeds tawionyc h na rysunku 17.1 jes t o

wac ja i ch ksz ta ł tu podczas ruchu w prawo. Możem y również za jąć s ię wyb ra

elementem l iny i obserwować jego drgania w górę i w dół , podczas ruchu

Zauważmy, że — jak przeds tawiono na rysunku 17.1 — przemieszczenie

dego drgającego w taki sposób elementu l iny jes t prostopadłe do kierun ku r

fali , czyl i poprz eczn e. W tym przyp adku falę nazyw amy falą po prz ec zn ą.

Na rysunku 17.2 przeds tawiono sposób, w jaki za pomocą t łoka można

tworzyć falę dźwiękową w długiej wypełnionej powietrzem rurze. Jeżel i gwał

nie przesuniesz t łok w prawo, a nas tępnie w lewo, wzdłuż rury zos tanie wys

impuls dźwiękowy. Ruch t łoka w prawo powoduje ruch w tym samym kieru

sąs iadujących z nim cząs teczek powietrza i w konsekwencj i zmianę ciśnien

jeg o pobliżu. Wzros t c iśnienia popycha z kolei cząs teczki powietrza znajd

s ię nieco dalej wzdłuż rury. Ruch t łoka w lewo zmniejsza ciśnienie w jego

bliżu. Najpierw najbl iższe przesunięte w prawo cząs teczki powietrza, a p

124 17 . Fale I



Jeże l i będz ie sz porusza ł t łok iem tam i z powrotem ruchem ha rmonicznym,

równoległy do k ie runku ruchu

Fa le za równo poprzeczne , j ak i podłużne nazywamy fa lami b iegnącymi ,

ja k na rysunk u 17.2) . Zauw ażmy, że to fa la poru sza s ię od jed neg o końca

Skorpion przedstawiony na fotografii otwierającej ten rozdział do lokalizacji

jeg o powierzchni ( rys . 17.3) w postac i impulsó w podłuż nych, biegnących z

D

p o

d ł

= 150 m/s , o raz impulsów poprzecznych , b iegnących z prędko

Dpoprz = 5 0 m / s .

Skorp ion ze swoimi ośmioma odnóżami roz s tawionymi w przybl iżen iu na

jak im znajduje s ię chrząszcz — jes t to kierun ek wskaz y

At między p ie rwszym

d od chrząszcza . Od ległość ta dana jes t w zorem

d d

At =

"po prz fpo d ł

d

= (75 m/s)Af.

Na przykład d la At = 4 ms mamy d = 30 cm, co da je skorpionowi możl i

Rys. 17.3. Ruch chrząszcza po

powstanie szybkich impulsów p

nych i wolniejszych impulsów po

nych biegnących po pow ierzchni

Skorpion najpierw odbiera impul

dłużne; na rysunku impulsy wycz

są najpierw przez położone najb

z tyłu prawe odnóże

D ługość fa l i i częs tość

y = h(x,t), opi su jąca poprzeczne przemieszczenie y e lementu l iny jako

h zależną od czasu t i po łożenia x tego e lementu l iny. W ogólnośc i

a li z rysunk u 17.I b może być opisany za pom ocą funkcji

o s inus , jak i cos inu s; obie funkcje dają taki sam ogólny ksz ta ł t . W tym

Wyobraźmy sobie fa lę s inusoida lną , taką jak na rysunku 17.Ib, biegnącą w

x. W m iarę jak fala dociera do kole jnych e lemen tów ( t j .



y(x, t) = v

m

s i n f f c r

- a t )

at)

i

c z a s

l

c z ę s t o ś ć

kołowa

l i c z b a fa iowa-

po lożen ie -

Rys.

1

7. 4. Nazw y wielkośc i występują

cych w wyrażeniu (17.2) dla poprzecz

nej fali sinusoidalnej

y i

f

\x

f \

t \

1 / \

V /

/

\

a )

i \

A A

/ \

bardzo krótkich odcinków) l iny, elementy te drgają równolegle do osi y. W

t p rzemieszczen ie y e lem entu znajdującego się w punkcie x dan e jest w

y(x, t) = y

m

sin(kx — cot).

(

b )

Ponieważ wyrażenie to zawiera zależność od po łożen ia x, może być w

stane do wyznaczenia położeń wszystkich elementów l iny w zależności od

Tak więc wynika z niego informacja zarówno o kształcie fali w danej chw

i o zm ianac h kształtu podc zas ruch u fali wz dłuż l iny. Poniżej zdefiniujemy

kości występujące w wyrażeniu (17.2) ; nazwy tych wielkości przedstawi

rysunku 17.4.

Zanim jednak zaczniemy je anal izować, przyjrzyjmy się rysunkowi 17

którym przedstawiono pięć „zdjęć migawkowych" fa l i s inusoidalnej b iegn

dodatnim kierunku osi x . Ruch fal i reprezentowany jest przez przesuwanie

prawo małej s t rzałki wskazującej najwyższy punkt fa l i . Przechodząc od j

„zdjęcia" do drugiego, widzimy, że mała strzałka przesuwa się wraz z

prawo, natomiast l ina porusza się

wyłącznie

równ olegle do osi

y.

Aby to

czyć ,

prześledźm y ruch zabarw ioneg o na czerw ono f ragmentu l iny znajd

się w punkcie x = 0 . Na pierwszym zdjęciu ( rys. 17.5a) przemieszczenie

Na następnym mamy maksymalne przemieszczenie w dół , gdyż właśnie

nasz e lement przechodzi dolina fali (czyli jej najniższy pu nkt) , po czym

element powraca w górę do y = 0 . Na czwar tym zdjęciu mamy maksy

przemieszczenie w górę, gdyż właśnie przez ten element przechodzi grzb

(czyl i je j najwyższy punkt) . Na piątym zdjęciu ponownie przemieszczenie

a zatem nasz e lement wykonał pełny cykl drgań.

/ \ /

V /

c)

y #

-i-x

d)

e )

Rys. 17.5. Pięć „zdjęć migawkowych"

fali biegnącej w linie w dodatnim kie

runku osi

x.

Zaznaczono ampl i tudę

y

m

oraz długość fali mierzoną względem

wybranego punk tu x\

Amplituda i faza

A m p l i t u d ą f a l i y

m

, jak poka zano na rysunku 1 7.5 , nazywa my bezwzględn

tość maksymalnego p rzemieszczen ia e l ementu — przy p rzechodzen iu p

fal i — względem jego położenia równowagi . ( Indeks m oznacza maksi

Wie lkość y

m

jako war tość bezwzg lędna jest zawsze dodatnia , nawet wtedy

byśmy na rysunku 17.5a mierzyl i ją w dół względem położenia równowagi

w górę, jak zostało narysowane.

Fazą fa l i nazywamy argument kx — cot funkcji sin us w wyraże niu

Gdy fala przechodzi przez pewien element l iny znajdujący się w punk

faza zmienia s ię l in iowo wraz z czasem t. Oznacza to, że wartość funkcj

również się zmienia , oscylując między +1 a

— 1 .

Maksymalna war tość

nia (+1) odpowiada grzbietowi fa l i przechodzącej przez dany element ; wó

przemieszczen ie y e lementu znajdującego się w punkcie x przyjmuje war to

Maksymalna war tość ujemna (—1) odpowiada dol inie fa l i przechodzącej

dany element , co oznacza, że przemieszczenie 3? w punkcie x przyjmuje w

—y

m

.

Tak więc funkcja sinus oraz zależn a od czasu faza fali odpowiadają

niom elem entu l iny, przy czym ampl i tuda fa li określa największe przem iesz

elementu.

126 17 . Fale I



fali i liczba falowa

X nazywamy odległość (mierzoną równolegle do kierunku roz

znaczono na rysunku 17.5a, przedstawiającym migawkowe zdjęcie fali w chwili

= 0. Z wyrażenia (17.2) otrzymujemy opis kształtu fali w tej chwili

y(x,0) = y

m

śmkx. (17.3)

Przemieszczenie y z definicji musi być takie samo na obu końcach odcinka

owiadającego długości fali, czyli w punktach

x = x\ oraz x = X\ + X.

Zatem

y

m

sinłxi = y

m

sink(x\ + X) = y

m

sin(łxi +

kX).

(17.4)

artości funkcji sinus zaczynają się powtarzać, gdy jej argument wzrośnie o

tc

rad, tak więc z wyrażenia (17.4) mamy kX = 2jt, czyli

k = — (liczba falowa). (17.5)

k nazywamy liczbą falową; jednostką liczby falowej w układzie SI jest

k nie oznacza — w odróżnieniu od

Zauważmy, iż kolejne zdjęcia migawkowe na rysunku 17.5 przedstawiają

X/4. Tak więc piąte zdjęcie przedstawia falę

IX.

częsłość kołowa i częstość

a rysunku 17.6 przedstawiono wykres zależności przemieszczenia y od czasu

wg wzoru (17.2)) w pewnym punkcie wzdłuż liny, dla którego przyjmujemy

= 0. Obserwując linę, możesz zauważyć, że jej pojedynczy, znajdujący się

punkcie, element porusza się w górę i w dół ruchem harmonicznym,

x = 0:

y ( 0 ,

t) = y

m

sin(-cot) = — y

m

sincot (x = 0). (17.6)

a spełniona jest zależność

a) = —si na. Na rysunku 17.6 przedstawiono wykres wyrażenia (17.6)

ten wykres nie przedstawia kształtu fali.

Okres

T fali definiujemy jako czas, w ciągu którego dowolny element liny

na jedno pełne drganie. Okres zaznaczono na rysunku 17.6. Stosując wy

7.6) do obu końców tego przedziału czasu i przyrównując wartości,

—y

m

sincoti = —y

m

smco(t\ + T) = —

y

m

sin(<wfi + coT). (17.7)

coT = 2ix,

czyli gdy

2

jt

I O = — (częstość kołowa). (^7.8)

1

yJ\/\\

/

\

. T »

Rys. 17.6. Wykres zależności

mieszczenia elementu liny, znajduj

się w x = 0, od czasu t podczas

chodzenia fali sinusoidalnej z rys

17.5 przez ten element. Zaznaczono

plitudę y

m

oraz okres T mierzon

wybranej chwili t\



Wielkość

co

nazywam y częs tośc i ą kołową, jej jedno stką w układ zie SI jes

na sekundę.

P o w ró ć m y

do

pięciu zdjęć fali biegn ącej p rzeds tawion ych

na

rysunk

Odstęp czasu między kolejnymi zdjęciami wynosi

T/4.

Tak więc na

zdjęciu każdy element l iny wykonał jedno pełne drganie.

Czę s tość fa li v definiujemy jako 1/ T i jest ona z wiązana z częstością

co zależnością

1

co

V = — = —

(częstość).

(

T 2

jt

Podobnie jak częs tość ruchu harm onicznego w rozdz ia l e 16, częs tość v

l i czba drgań wykonyw anych w ciągu jednostki czasu — chodzi tu o l iczb

elemen tu l iny, przez który prz echod zi fala. Tak jak w rozdziale 16, częstoś

m i e rz y m y

w

hercach lub

w

jednos tkach wie lokro tnych ,

na

przyk ład ki loh

•/SPRAWDZIAN 1 : Na rysunku nałożono trzy

zdjęcia migawkowe, przedstawiające fale biegnące

wzdłuż pewnej l iny. Fazy fal opisane są za leżno

ściami:

a) 2x —

4 r,

b)

4x

-

8r,

c)

8x

—

16t . Dopasuj

wykresy

do

tych wyrażeń.

1 7 . 5 .

P rędkość f a l i b i eg ną ce j

Na rysunku 17.7 przes t awiono dwa zdjęcia migaw kowe fal i opisanej w

(17.2) , w y k o n a n e

w

niewielkim odstępie czasu

At.

Fala porusza się

w

do

kierunku

osi

x (na rysunku 17.7

w

p ra w o ) ;

w

czasie At cały wykres fal

suwa się w tym k ierunku na od leg łość A x. I l oraz różnicowy Ax/At (w

pochodna dx/dr) j es t p rędkośc ią fa l i

v.

W j ak i sposób mo żemy wyznac

war tość?

Badając ruch fal i przedstawionej na rysunku 17 .7 , możem y in t e resow

punktami l iny lub punktami , w których jest taka sama faza drgań. Wychy

ciągle się zmien ia, natomiast punktow i

o

ustalonej fazie od pow iada co ch wi

punkt l iny. Z równania (17.2) ot rzymujemy jako warunek stałości fazy wy

kx

—

cot

=

const .

Z a u w a ż m y ,

że

chociaż faza jako całość pozostaje stała ,

to

zarówno prze

czenie x, jak i czas

t

się zmieniają. W i s tocie, gdy wzras t a

t,

musi rów

aby faza pozostała stała — wzras t ać x, stąd więc wynika, iż cały „kszta

p rz e su w a

się w

dodatn im k ie runku os i

x.

Aby wyznaczyć prędkość fal i v, weźmy pochodną wyrażenia (17.10)

dx

k co = 0,

dt

y

AX

X

17.7. Dwa zdjęcia migawkowe fal i

17.5 wykonane w chwilach

= 0 i t = At. Ponieważ fala porusza

ę w prawo z prędkością v, cała krzywa

się na

odległość

Ax w

cza

e

Af.

Punkt odpowiadający maksimum

z falą, ale

element

się

tylko

w

górę

i w dół



dx co

- = , = - . ( H . l l )

Korzystając ze wzorów (17.5) (k = 2TZ/X) oraz (17.8) (co = 2n/T), m o ż e m y

co X

V

= - = - = Xv (prędkość fali). (1 7. 12 )

k

T

v = X / T wy nika , że pręd koś ć fali jes t rów na ilorazowi długości fali

Wzór (17.2) opisuje fa lę biegnącą w dodatnim kierunku os i x. Falę biegnącą

t w (17.2) przez —t. Odpowiada to wa runkowi

kx + cot = const , (17.13)

zmniejszanie się x wraz ze wzrostem czasu (porównaj z

x opisana jes t równa

y(x,t) = y

m

sin(kx + cot). (17.14)

Jeże l i zana l izujemy fa lę opisaną wzorem (17.14) , podobnie jak zrobi l iśmy

z falą (17.2 ), znajdziemy wy rażen ie na jej pręd kość

dx co

-*7 = -T-

( 1 7

-

1 5 )

dr k

x,

co uzasadnia dokonaną przez nas zmianę

t.

Rozważmy te raz fa lę o pewnym dowolnym ksz ta łc ie opisanym wzorem

y(x,t)=h(kx±cot),

(17.16)

h reprezentuje dowolną funkcję (jedną z możliwości jest funkcja sinus).

i t występują w postac i kombinac j i kx ± cot, są fa lami biegnącymi. Co wię

wszystkie fa le biegnące muszą mieć postać zgodną ze wzorem (17.16) . Tak

y(x, t) = ~Jax + bt opisuje możliwą (chociaż być może z fizycz

2

— bt ) nie opisuje fali biegnącej.

17 .5. Prędkość fali biegn ącej



Przykład 17.1

Fala biegnąca wzdłuż l iny opisana jes t wzorem

y(x, t) = 0 , 00327 s i n ( 72 , l x - 2 , 7 20 ,

(17.17)

w którym wszystkie s tałe numeryczne wyrażone są w jednostkach

układu SI (0,00327 m, 72,1 rad/m oraz 2,72 rad/s) .

a) Znajdź amplitudę fali .


O T Wy rażenie (17.17) ma taką samą postać jak (17.2)

y = y

m

s in £x — cot), 17.18)

ta k więc mamy do czynienia z falą s inusoidalną. Z porównania

tych wyrażeń otrzymujemy ampli tudę

y

m

= 0 ,00327 m = 3 ,27 mm . (odpowiedź)

b) Wyznacz długość fal i , je j okres i częs tość.


Porównując wyraże nia (17.17) i (17.18), widzimy, że l iczba falowa

i częs tość kołowa wynoszą odpowiednio

k = 72 ,1 rad /m oraz co = 2 ,72 rad / s .

Korzystając ze wzoru (17.5), wyrażamy długość fal i X przez k

2TI 2it rad

—

k

—

72 ,1 rad/m

= 0,087 1 m = 8,71 cm . (odpowiedź)

wyrażamy okres T

2 ii rad

Następnie, korzystając ze wzoru (17

przez co

2IR

2

TT rad

= 2 , 3 1 s

po czym ze wzoru (17.9) otrzymujemy

v = - = — — - 0 ,433 Hz .

T 2,31 s

c) Wyznacz prędkość fal i .


Prędkość fal i dana jes t wzorem (17.12)

(odp

2,72 rad/s

= 0,0377 m/s

T

_

2

_

~~ co ~ 2,72 rad/s

(odpowiedź)

k 72 ,1 rad/m

= 3,77 cm/s . (odp

Ponieważ faza w wyrażeniu (17.17) zawiera zmienną x o

położenie, fa la porusza s ię wzdłuż os i x. Ponieważ wyraż

taką samą postać jak (17.2), znak minus przez wyrazem

zuje,

iż fala biegnie w dodatnim kierunku os i x. (Zauwa

wielkości obl iczone w punktach (b) i (c) nie zależą od am

fali).

d) Wyznacz przemieszczenie dla punktu x = 22,5 cm w

t = 18,9 s.


O T Wyraż enie (17.17) opisuje przem ieszczenie w za

od położenia x i czasu t. Podstawiając podane wartości

wyrażenia, otrzymujemy

y = 0 ,00327 s in(72, l

•

0,225 - 2,72

•

18,9)

= ( 0 , 00327 m ) s i n ( - 3 5 , 1 855 r a d )

= (0 ,00327 m)(0 ,588)

= 0,001 92 m = 1,92 mm . (odp

Tak więc przemieszczenie jes t dodatnie . (Przed obl iczeni

tości funkcji sinus należy się upewnić, że aktualną miar

w kalkulatorze są radiany).

Przyk ład 17 .2

W przykładzie 17.Id pokazal iśmy, że w chwil i

t

= 18,9 s fala,

dana wzorem (17.17), wywołuje poprzeczne przemieszczenie y

elementu liny znajdującego się w punkcie x = 0 ,255 m, równe

1,92 mm.

a) Wyznacz poprzeczną prędkość u tego elementu l iny w podanej

chwil i . (Chodzi o prędkość związaną z poprzecznymi drganiami

elementu l iny w kierunku os i y; nie należy jej mylić z prędkością

v — stałą prędkością, z jaką kształt fali przemieszcza s ię wzdłuż

osi x).

ROZWIĄZANIE:

O T Poprzeczna prędko ść u jes t szybkością zmian przemiesz

czenia y elementu l iny. Przemieszczenie dane jes t wzorem

y(x, t) = y

m

sm(kx — cot). (17.19)

Szybkość zmian przemieszczenia

y

dla elementu znajdują

w pewnym punkc ie x znajdujemy, biorąc pochodną wy

(17.19) względem t przy założeniu, że x jes t s ta łe . Pocho

znaczaną przy założeniu, że jedną ( lub więcej) ze zmienny

tujemy jako stałą, nazywamy pochodną cząstkową i ozn

symbolem 3/3 1 , a n ie d /df . W naszym przypadku mamy

dy

u = — = — ary

m

cos(fcx

—

cot).

dt

Podstawiając nas tępnie dane l iczbowe z przykładu 17.1, o

jemy

u = ( - 2 , 72 r a d /s ) (3 , 27 m m ) c os ( - 35 , 18 55 r a d )

= 7,2 mm /s . (odp

Tak więc w chwil i t = 18,9 s elem ent liny znajdujący

punkc ie x = 22,5 cm porusza s ię w dodatnim kierun

prędkością 7,2 mm/s .



a

y

tego elementu

w

poda

T Poprzeczne przyspieszenie

a

y

jest szybkością zmian po

Ze

wzoru (17.20),

iż x

jest stałe,

a t

moż e s ię zmieniać, otrzy

d u

a

y

= —- = —coy

m

sin(kx — cot).

ot

porównania z wyrażeniem (17.19) widać, że w yrażenie to m o

w

postaci

a

y

= — c o

2

y.

Widzimy,

że

przyspieszenie poprzeczn e drgającego element

jes t proporcjonalne do j ego poprzecznego przemieszczeni

z przeciwnym znakiem. Jes t

to w

pełni zgodne

z

zachow

się tego elementu

—

porusza

się on w tym

kierunku ru

harmonicznym. Podstawienie danych l iczbowych daje

y =

- ( 2 , 7 2 r a d / s )

2

( l , 92 m m )

= —14,2 m m /s

2

. (odpow

Tak więc w chwili

t =

18,9

s

elem ent liny, znajdujący się w

cie

x =

22,5 cm, jes t odchylony

od

swojego położenia równ

o 1,92 mm w dodatnim kierunku os i y i ma przyspieszenie

tości 14,2 mm/s

2

skierowane

w

ujemnym kierunku

osi y.

2.'.

Dane

są

rów nania o pisujące trzy fale:

y(x, t) = 2 s i n ( 4 x - 2 / ) , 2) y(x,t) = s i n ( 3 x - 4 / ) , 3) y(x,t) = 2 s i n ( 3 x - 3 0 -

je

według:

a)

prędkości rozchodzenia

się

fali oraz

b)

maksym alnej prędkości

zaczynając

od

największych.

S z t u k a r o z w i ą z y w a n i a z a d c

1:

Wyznaczanie dużych

faz

jak w przykładach 17.Id

i

17.2, pojawia się kąt znacznie

2jt rad (lub jej odjęcie) nie zmien ia wartośc i żadne j z

W

przykładz ie 17.Id wystąpi ł

do niego (6)(2i t rad), otrzymujemy

- 3 5 , 1 8 5 5 r a d

+

(6) (2n rad)

=

2 ,51361

rad,

kąt mniejszy niż

2n

rad, dla którego wartości funkcji trygo

są

takie same

jak dla

kąta —35,1855

rad (rys.

Na

przy kład wartość funkcji sinus

dla

obydwu kątów

rad i

—35,1855

rad

wyno si 0,588. Kalkulatory automa

Uwaga:

Nie

należy zaokrąglać dużych kątów, jeżel i mam y

i

cosinusów. Przy obliczaniu

i obliczamy wartość funkcji dla pozostałej części.

na

przykład zaokrągl il i

kąt

-3 5 , 18 55 rad do war tości

—35 rad (a przecież zmiana o 0,5% wydaje się uzasadni

krokiem), spowodowałoby

to

zm ianę wartośc i funkcji sinus

kąta

o

27%. Również przy zamianie s topni

na

radiany mu

się upewnić, że posługujemy się wzorem dokładnym (np. 1

TT

rad) ,

a

nie przybl iżonym (np. 57,3°

ss

1 rad).

y

y

-35,1855 rad +2,51361 rad

Rys.

1 7 . 8 .

Te dwa

kąty

są

różne ,

ale

wartości wszystkic

funkcj i t rygonometrycznych

są

identyczne

7 .6 .

P rędkość fa l i

w

n a p i ę t e j l i n i e

z

długością fali

i

częs tośc ią wiąże za leżność (17.12) ,

okre

jest przez właściw ości ośrodka. Fa la porusza jąca

się w

tak im oś rodku, j ak

Aby było to mo żl iwe, ośrodek m usi mieć zarów no mas ę (aby gdzieś

1

7.6. Prędkość fal i

w

napiętej l inie



Rys. 1 7 . 9 . Symetryczny impuls wi

dziany w układzie odniesienia, w któ

rym impuls jest stacjonarny, a lina po

rusza się z prawa na lewo z prędko

ścią

v.

Wyznaczamy p rędkość

v

poprzez

zastosowanie drugiej zasady dynamiki

do znajdującego się na szczycie impu lsu

elementu l iny o d ługości

Al

mogła gromadzić s ię energia kine tyczna) , jak i sprężystość (aby gdzieś

gromadzić s ię energia potenc ja lna) . Tak więc to masa i właśc iwośc i sp

ośrodka okreś la ją , jak szybko fa la może s ię w nim poruszać . Inacze j m

powinna is tnieć możl iwość obl iczania prędkośc i fa l i w ośrodku w za leżn

tych jeg o właśc iw ośc i . Za jmiemy s ię te raz — na dwa sposoby — ty m za

niem dla napiętej l iny.

Anal iza wymiarowa

Ana l iza wymia rowa polega na szczegółowym badaniu wymia rów wsz

wielkości fizycznych, mających znaczenie w danej sytuacji , w celu def

n ia w ie lkośc i , j ak ie możemy na i ch pods tawie uzyskać . W naszym prz

zbadamy masę i sprężystość , aby wyznaczyć prędkość v, które j wymiar

gość podzie lon a przez czas , czyl i L T

- 1

.

Jako masę do naszych rozważań wykorzystamy masę e lementu l iny

masę l iny m podzie loną przez je j długość / . Taki i loraz nazywamy g

liniową n, l iny. Tak więc wymiar wie lkośc i /i = m/l to masa pod zie lon

długość , c zy li M L

- 1

.

Nie m ożn a wysłać fa li wzd łuż l iny, jeże l i nie zos ta ła ona naprężo

oznacza, iż musi być rozciągnięta i napięta przez siły działające na oba jej

Naprężenie T liny jest równe wspólnej wartości obu tych sił . Gdy fala

wzd łuż l iny, je j e lementy przemieszcza ją s ię , powod ując d odatkow e rozc

c ie — w wyniku naprężenia sąs iednie e lementy l iny rozc iąga ją s ię wza

M ożem y za tem powiązać n aprężenie l iny z je j sprężystośc ią. N aprężen ie

dobnie j ak s i ły przy łożone do obu końców — m a wymia r ML T ~

2

(zgo

w z o r e m F = ma).

Naszym ce lem jes t uzyskanie takie j kombinac j i wie lkośc i pu (o wy

ML"

1

) oraz T ( o w y m i a r z e M L T

- 2

) , która dawałaby wie lkość v o wy

L T

- 1

. Metodą prób i błędów możemy dość szybko otrzymać

gdz ie C j e s t bezwymia rową stałą, które j nie można wyznaczyć na drodze

wymiarowej . Poniże j wyznaczymy prędkość fa l i w inny sposób — pokaże

wzór (17.21) rzeczywiśc ie jes t poprawny oraz że s ta ła C wynosi 1.

Wyprowadzenie wzoru na prędkość

z drugiej zasady dynamiki Newtona

Zam ias t fal i s inusoida lne j z rysun ku 17.I b rozwa żmy pojedyn czy syme

impuls , taki jak na rysunku 17.9, biegnący wzdłuż l iny z lewa na prawo

kością

v.

Dla wygody wybieramy układ odnies ienia , w którym impuls je

c jonarny, czyl i poruszamy s ię razem z impulsem w taki sposób, by jego

był niezmienny. W takim układzie odnies ienia l ina przesuwa s ię względ

z prawa na lewo (rys .

ll

.Sf)

z

prędkośc ią

v.

Rozważmy znajdujący s ię wewnątrz impulsu mały odcinek l iny o d

Al, tworzący łuk okręgu o prom ieniu R, obejmujący ką t 20 wokół ś rodk



okręgu. Rozważany odcinek l iny rozciągany jest s tycznie na obu jego końcach

przez siły równe co do wartości naprężeniu l iny T. Poziome składowe tych si ł

znoszą się wzajemnie, natomiast suma składowych pionowych daje radialną silę

F o wartości

Al

F = 2(T

sin

( 9) « T(29) = T— (siła). (17 .22 )

R

W tym wyrażeniu przybl iżyl iśmy sin# przez 0, co jest słus zne dla małych ką

tó w

0.

Skorzystal iśmy również ze związku

20 — Al/R.

Masa elementu l iny dana jest wzorem

Am = [lAl

(masa), (17 .23)

gdzie fi jest liniową gęstością liny.

W chwil i przedstawionej na rysunku 17.9 e lement

Al

l iny porusza się po

łuku okręgu. Zatem ma on przyspieszenie dośrodkowe skierowane do środka tego

okręgu, dane wzorem

v

2

a = — (przyspieszenie). (1 7. 24 )

R

Wyrażenia (17.22), (17.23) i (17.24) opisują wielkości występujące w drugiej

zasadzie dynamiki Newtona. Łącząc je zgodnie z tym prawem w postaci

si ła = masa • przyspieszenie ,

mamy

TAI , v

2

-T = *

•

Rozwiązując to równanie ze względu na prędkość v, ot rzymujemy

V = J- (prędkość), (17 .25 )

co jest w pełni zg odne z w yrażen iem (17.21) , o ile przyjmiemy, że s ta ła C równa

jedno ści . Wyrażen ie (17.25) opisuje prędkość impulsu przedstaw ionego na

ysunku 17.9, a także prędkość dowolnej innej fali w takiej samej l inie przy takim

samym jej naprężeniu.

Z wyrażenia (17.25) wynika, że

Prędkość fali w idealnej napiętej linie zależy jedyn ie od naprężenia i gęstości liniowej

liny, nie zależy natomiast od częstości fali.

Częstość fali usta lona jest całkowicie przez to , co ją w ytwarza (na przykład

rzez człowieka na rys.

17 .

I b ) . Długość fali jest określona zależnością (17.12)

(k = v/v).

3 Wytwarzamy falę biegnącą wzdłuż pewnej liny, wprawiając jeden

17 .6 . Prędkość fa l i w napięte j l in ie



Przykład 17.3

Na rysunku 17.10 przedstawiono dwie liny połączone razem za

pomocą węzła i naciągnięte między dwoma sztywnymi wspor

nikami. Liniowe gęstości lin wynoszą odpowiednio

fi\

= 1,4 •

1 0

- 4

kg/m oraz fi

2

— 2,8 • 10~

4

kg/m, a ich długości L

x

= 3 m

oraz

L

2

= 2 m.

Naprężenie liny

1

wynosi

400 N. W obu li

nach równocześnie wytworzono impulsy biegnące od sztywnych

wsporników

w

kierunku węzła. Który impuls najpierw dotrze

do

węzła?

Rys. 17.10. Przykład

17.3.

Dwie liny

o

długościach

L\ i L

2

połączone razem za pomocą węzła i naciągnięte między dwoma

sztywnymi wspornikami


Skorzystamy

z

kilku wskazówek:

O T 1. Czas t, w jakim impuls pokona odległość L, jest równy

t = L/u, gdzie

v

jest stałą prędkością impulsu.

O — f 2. Prędkość impulsu w naciągniętej linie zależy o

prężenia

T i

gęstości liniowej

fi;

jest

ona

dana wzorem

(v = JTfc)-

O T

3. Ponieważ obie liny były rozciągnięte razem, mus

takie same naprężenia

T (= 400 N).

Łącząc

to

razem

i

podstawiając odpowiednie dane, otrzy

czas, po jakim impuls w pierwszej linie dotrze do węzła

i , fiZT

,

/ 1 ,4 - I O -

4

kg/m

h

= — =

ŁI,

— = (3 m),/

vi V

T

V 400 N

=

1,77

• 10 ~

3

s.

Podobnie, biorąc dane dla impulsu w linie 2, mamy

h = L

— = 1,67 • 10 ~

3

s.

V r

Tak więc

do

węzła dotrze najpierw impuls

w

linie

2.

Powróćmy teraz

do

punktu

2.

Gęstość liniowa lin

większa niż liny 1, tak więc impuls w linie 2 musi być w

niż

w

linie

1. Czy

moglibyśmy odgadnąć odpowiedź, ko

tylko z tego faktu? Nie, gdyż z punktu 1 widać, że ist

również odległość pokonywana przez impulsy.

1 7 . 7 . Energia

i

moc fali biegnącej

w

linie

Rys. 1 7 . 1 1 . Migawkowe zdjęcie fali

biegnącej w linie w chwili t = 0.

Przemieszczenie elementu

a

liny

wy

nosi y = y

m

, a elementu b wynosi

y

= 0.

Energia kinetyczna każdego ele

mentu liny zależy od jego prędkości po

przecznej.

Energia potencjalna elementu

zależy od stopnia naprężenia elementu

liny w danej chwili

Gdy wytwarzamy falę w naciągniętej linie, musimy dostarczyć energii n

nej do ruchu liny. Fala biegnąca przenosi tę energię w postaci energii z

kinetycznej, jak i potencjalnej. Przeanalizujmy kolejno obie postacie ene

Energia kinetyczna

Fragment liny o masie dra, wykonujący poprzeczne drgania harmoniczne

tek przechodzenia przezeń fali, ma energię kinetyczną związaną z jego p

ścią poprzeczną w. Gdy ten fragment w swoim ruchu przechodzi przez po

y = 0 (fragment b na rysunku 17.11), jego prędkość poprzeczna — i rów

śnie energ ia kinetyczna —je s t największa. Gdy zaś rozważany fragment z

się w skrajnym położeniu y = y

m

(tak ja k element a na rysunku), jego pr

poprzeczna (i energia kinetyczna) jest równa zeru.

Energia potencjalna sprężystości

I

Fala sinusoidalna, wysyłana wzdłuż początkowo prostej liny, musi ją roz

Skoro fragment liny o długości dx wykonuje drgania poprzeczne, jego d

musi okresowo rosnąć i maleć, w miarę jak dopasowuje się on do sinusoid

kształtu fali. Energia potencjalna związana jest z tymi właśnie zmianami dł

analogicznie jak w przypadku sprężyny.

134

1 7 .

Fale I



Gd y fragment l iny jes t wychylony do położe nia y = y

m

(fragment a na

17 .11), j ego d ługość m a normalną n iezaburzoną w ar tość dx , a więc jego

stości równa jest zeru . Nato miast gdy ten fragment

y = 0 , zosta je maksymalnie rozciągnięty , a jego

y = 0 drgający e lement l iny uzyskuje zatem maksymalną energię

Załóżmy, że w l in ie naciągnięte j wzdłuż poziomej osi x wytworzyliśmy fa lę ,

x, ma ener

przenosi energię wz dłuż l iny.

dE

k

, jaką ma element l iny o ma sie dm , dana je s t w zorem

dE

k

= \dmu

2

, (17.26)

u

jes t prędkością poprzeczną drgającego e lementu l iny. Aby znaleźć

u,

x:

dy

u = — = — coy

m

cos(kx

—

cot). (17.27)

dt

dm = pidx, p rzeksz ta łcamy wzór

d £

k

= j(/xdx)(-coy

m

)

2

co s

2

(kx - cot). 17.28)

Dzieląc wyrażenie (17.28) przez dt , otrzymujemy szybkość zmian energii

tu l iny, czyli szybko ść, z jaką energia kinetyczna przen oszo na

dx/dt, jak i pojawia s ię po prawej s tronie nowej postaci

ru (17 .28) , jes t prędkością fa li

v,

tak więc mamy

dE 1

~ = -p,vw

2

y^ cos

2

(kx - cot). (17.29)

z jaką p rzenoszo na je s t ene rg ia k ine tyczna , w ynos i

= -fjbvco

2

y

2

a

[cos

2

(kx -

cot)]śr

= ~-p.vco

2

y

2

m

. (17.30)

śr ^



Wzię l i śmy tu średnią po całkow itej l iczbie dług ości fali , wyk orzystując

średnia war tość kwadratu funkcj i cosinus wzięta

po

całkowitej l iczbie o

równa j es t 1 / 2 .

Energia potencjalna sprężystości również jest przenoszona przez fa lę

samą średnią szybkością , daną wzorem (17.30) .

Co

p rawda

nie

poda m

ścisłego dowodu,

ale

pewnie pamię tasz ,

że w

układz ie drgającym, tak

w a h a d ł o lub układ sprężyna-klocek, średnia energia kinetyczna i średnia

potencjalna is to tnie są sobie równe.

Średn ia moc , czy l i ś r edn ia szybkość ,

z

jaką

oba

rodzaje energi i

są

szone przez fa lę , wynosi

czyl i , uwzględniając zależność (17.30) , ot rzymujemy

Ą

r

= j/j.yco^y ( m o c średnia). (1

Czynnik i \x oraz v

w

tych wyrażeniach zależą,

od

m ate r i a łu

i

naprężen

Z kolei czynniki co oraz

y

m

— od

sposobu powstaw ania fa li . Zależn ość

mocy fali

od

kwadra tu

jej

ampl i tudy oraz

od

kwa dratu częstości koło

charakter ogólny, jest

ona

s łuszna

dla

wszystkich rodzajów

fal.

Przykład 17.4

Z wyrażenia (17.25) otrzymujemy

Rozciągnięta lina o gęstości liniowej /x = 525 g/m została n aprę

żona siłą T = 45 N. Wy twarzam y falę sinusoidalną o częstości

v = 120 Hz i ampli tudzie y

m

= 8,5 mm, biegnącą wzdłuż liny

od j ednego

z

je j końców. Wyznacz średnią szybkość przenoszenia

energii przez falę.

ROZWIĄZANIE:

O — f Średn ia szybko ść przen oszen ia energii równ a jest średniej

mocy P

r

danej wzorem (17 .32). Aby jednak skorzystać z tego wy

rażenia, najpierw musimy obliczyć częstość kołową co i prędkość

v fali.

Ze

wzoru (17.9) mam y

45

N

0,525 kg/m

: 9,26 m/s .

: 2JTV = (2n)(120 Hz) = 754 rad/s.

Zatem wzór (17.32) daje

P

S r

=

\ixvco

2

yl

i

= ( f ) (0 ,525 kg /m)(9 ,26 m/s ) (754 rad/ s )

2

( 0 , 0085

« 100 W. (odp

^ S P R A W D Z I A N 4 :

W

powyższym przykładz ie mo

modyfikować trzy parametry: naprężenie liny, częstość fal

ampli tudę. Czy średnia szybkość, z jaką energia jes t p r

szona wzdłuż liny przez falę, wzrośnie, zmniejszy się, c

pozostanie stała, gdy zwiększymy: a) naprężenie, b) cz

lu b c) ampli tudę?

1 7 . 8 .

Z a s a d a s u p e r p o z y c j i

fal

Częs to się zdarza , że dwie lub więce j fal przechodzi rów nocze śnie pr

sam obszar . Gdy na p rzyk ład s łuchamy koncer tu , do naszych uszu wpada

nocześnie fa le dźwiękowe

z

wielu inst rumentów. Elektrony

w

antenach n

odbiorników radiowych i te lewizyjnych wprawiane są w ruch przez wspól

padkowy efekt działania wielu fal e lekt romagn etycznych pochodzących

1 3 6 1 7 .

Fale

I



w

porcie może być wzburzona przez

od

wielu lodzi .

Za łóżmy, że dw ie fa le biegną rów nocze śnie wz dłuż tej samej napiętej l iny.

yi(x, t) i y

2

(x, t) będą p rzemieszczen iami tej l iny spowodow anymi przez

z fal

osobno. Przemieszczenie l iny

w

sytuacji ,

gdy

fale nakładają

się,

ich

sumą algebraiczną

y'(x,t) = y

x

(x,t) + y

2

(x,t). (17.33)

że

Nakładające

się

fale dodają

się

a lgebra icznie , tworząc

falę wypadkową.

to

j e szcze j eden p rzyk ład

zasady superpozycj i ,

k tó ra mówi ,

że gdy

rów

się

kilka efektów,

ich

wyp adkow y skutek jest sumą skutków

Na rysunku 17.12 przedstawiono sekwencję zdjęć migawkowych dwóch im

się w p rzec iwnych k ie runkach wzd łuż tej samej napiętej

Gdy

impulsy nakładają

się,

wypadkow y impul s s t anowi

ich

s u m ę .

Co

wię

każdy impuls przechodzi przez drugi w taki sposób, ja k gdyby tego drugiego

Nakładające

się

fale

w

żaden sposób

nie

wpływają

na

siebie wzajemnie .

Rys. 17 .12 . Se r i a zd j ęć migawko

przestawiających dwa impulsy

szające

się w

przeciwnych kierun

wzdłuż napiętej l iny.

Gdy

impulsy

kładają

się na

siebie, stosujemy z

superpozycji

I n t e r f e r e n c j a

fal

że wysyłam y dw ie fale s inusoidalne o takiej samej długości fali i am

w tym

samy m kieru nku wzd łuż napięte j l iny. Zastosujmy

do

w l inie?

Wypadkowa fala zależy

od

t ego , j aka j e s t wzg lędna faza

obu fal,

czyl i

od

o ile

jedn a fa la jest przesun ięta wz ględem drugiej .

Gdy

fale

są

dok ładn ie

w

fazie

(to

znaczy,

gdy

grzbiety

i

dol iny jednej fa l i dokładnie pokrywają

z

g rzb ie t ami

i

dol inami drugiej ) , przemieszczenie wypadkowe jest dwukrotnie

niż

dla każdej

z fal

osob no. Jeżel i mają one fazy mak sym alnie n iezgo dne

y jednej fal i dokładn ie pokrywają się z dol inami drugiej ) , pochodzące od

się w każdym punkc ie i l ina pozostaje wyprosto

To z jawisko nazyw amy interferencją , a o samych falach mówimy, że

ze

sobą.

(Pojęcie

to

do tyczy j edyn ie dodawania

się

p rzemieszczeń ,

a

ie ma w p ł y w u na ruch fal).

Zakładamy, że j edna z fal biegnących wz dłuż napięte j l iny opisana jest w zo

yi(x, t) = y

m

s i n ( ł x — cot), (17.34)

w f az i e wzg lędem p ie rwsze j , wzorem

y

2

(x, t) = y

m

sin(kx — cot Ą- cp). (17.35)

1 7 . 9 .

Interferencja

fal



Obie fale mają takie same częstości kołowe co ( i w konsekw encj i taki

częs tośc i v) , takie same l iczby falowe k (czyli również takie same długo

A.) oraz takie same amplitudy y

m

. Ob ie b i egną w dodatn im k ie runku os i x

samą prędkością, daną w zore m (17 .25). Różnią się jedy nie w fazie o st

cp, k t ó ry n a z y w a m y p rz e su n i ę c i e m fa z o w y m . M ó w i m y , że różnica faz t

w y n o s i cp lub że jed na fala jest przesunięta w fazie o kąt cp względem d

Zgodnie z zasadą superpozycj i , wyrażoną wzorem (17.33), fala wy

wa stanowi sumę algebraiczną dwóc h interferujących fal, a jej przem ies

wynosi

y'(x, t) = y\(x, t) + y2 (x, t) = y

m

s i n ( ł x — cot) + y

m

sin(kx —cot + cp).

W dodatku E znajdujemy zależność, zgodnie z którą sumę sinusów dwóch

a i P można przedstawić w postaci

s ina + s in

8

= 2 s i n

\ {a + f i )

c o s

\ ( a

-

6) .

Korzystając z tego związku, przekształcamy wyrażenie (17.36) do postac

y'(x, t) = [2 y

m

cos \(p] ńn(kx - cot + \cp). (1

Jak w idać z tego wzoru (pat rz także rys. 17.13), fala wy padk owa ró wnież j

. s inusoidalną biegnącą w doda tnim kierunk u osi x. Jest to w istocie jedy

= [2v

m

cos\<p] sm(kx-a>ł +j$) jaką moż esz zaobse rwow ać w l inie (nie mo żesz zobacz yć dw u interferując

opisanych wzorami (17.34) i (17.35).

17 .13 .

Wypadkow a fala, opisana Gdy dwie fale sinusoida lne o takich samych amplitudach i długościach fali bie

tym samym

kierunku wzdłuż naprężonej liny, interferują ze sobą, dając wypadkow

erencji dwu sinusoidalnych fal po- sinusoidalną biegnącą w tym samym kierunku,

falą

Fala wypadkowa różni się od fal interferujących pod dwoma względami:

przesunięcie fazowe równe jest (p/2, a 2) jej amp l i tuda opisana jest c

zawar tym w nawiasach kwadra towych w wyrażeniu (17 .38)

y'

m

=

2y

m

cos \cj> (amplituda).

D la

cp

= 0 rad (czyli 0°) obie interferujące fale są dokładnie w zgodn

jak na rysunku 17.14a. Wyrażenie (17.38) sprowadza się wówczas do po

y'(x,t)

= 2y

m

ńn(kx-cot)

(0

= 0) .

Taką falę wypadkową przedstawiono na rysunku 17.14d. Zauważmy — z

na tym rysunku, jak i we wzorze (17.40) — że ampl i tuda fal i wypadkow

dwukrotnie większa od ampl i tudy każdej z interferujących fal . Jest to

malna ampl i tuda fal i wypadkowej , jaką możemy uzyskać, gdyż człon zawi

cosinus we wzorach (17.38) i (17.39) osiąga największą wartość (równą

ści) dla

0

= 0. Interferencję, która daje największą możliwą wartość am

n a z y w a m y interferencją całkowicie konstruktyw ną.

D la cp

= Tt

rad (czyli 180°) obie interferujące fale mają fazy ma ksy

niezgodne , j ak na rysunku 17 .14b . Wówczas czynnik

cos(0/2)



y

1

(x,t) y

2

(x,t)

-y'(x,t)

- y'(x, t)

Rys.

1 7 . 1 4 .

Dwie

tyczne fale sinusoi

yi(x,t) i y

2

(x,t)

gną wzdłuż l iny w

datnim kierunku os

W wyniku ich in

rencji powstaje fala

padkowa y'(x, t). Je

ta fa la wypadkowa

być zaobserwowana.

nice faz

4>

między i

rującymi falami są n

pujące: a) 0 rad, czy

b)

7 t

rad, czyli 180°,

c) 2Tt/3 rad, czyli

Odpowiednie fa le w

kowe przedstawiono n

sunkach (d), (e) i (f)

d )

e )

f )

x

i

t

mamy w ów czas

y'(x,

? ) = 0 {cb = n rad) . (17 .41)

całkowicie destruktywną.

Ponieważ fa la s inusoidalna powtarza swój ksz ta ł t co 2

H

rad, róż nica faz

=

2 T T rad (czyl i 360°) odpowiada przesunięc iu jednej fa l i względem drugie j

W tabel i 17 .1 podano k i lka innych przykładów różnicy faz oraz odpowia

.

Różnice faz i charakter interferencji"

Różnica faz

wyrażona

Amplituda fali

Charakter interferencji

stopniach w radianach za pom ocą wypad kowej

Charakter interferencji

długości fali

0 0 0

2 y

m

całkowicie konst ruktywna

120

2 j t / 3

0,33

y

m

pośrednia

180 Tt 0,5

0 ca łkowicie dest ruktywna

240

4 TT /3

0,67

pośrednia

360 2it 1

2y

m

całkowicie konst ruktywna

865 15,1 2,4

0 , 6y

m

pośrednia

Różnica faz dotycz y dwóch identyczny ch fal o amplitudach y

m

poruszających s ię w tym samym kierunku.

1 7 . 9 .

Interferencja fal



całkowicie destruktywna, ani całkowicie konstruktywna, nazywamy ją in

cją pośrednią. W takim przypadku amplituda fali wypadkowej przyjmuje

wartość z przedziału od 0 do 2 y

m

. Na przykład, ja k widać z tabeli 1

różnica faz między interferującymi falami równa jest 120°

(cb

= 2 j t /3

odpowiada 0,33 długości fali), amplituda fali wypadkowej równa jest amp

fal interferujących (patrz rys.17.14c i f).

Dwie fale o takich samych długościach są w zgodnej fazie, jeżeli róż

między nimi równa jest zeru lu b odpowiada dowolnej całkowitej liczbie

fali.

Tak

więc

z

różnicy

faz

wyrażonej przez długość fali zawsze możemy

część całkowitą. Na przykład różnica faz odpowiadająca 0,4 długości

równoważna różnicy faz odpowiadającej 2,4 długości fali — a do obliczeń

użyć prostszej z obydwu tych liczb.

Przykład 17.5


Dwie identyczne fale sinusoidalne, poruszające

się w tym

samym

kierunku wzdłuż napiętej liny, interferują ze sobą. Ampl i tuda y

m

każdej

z fal

równa jes t

9,8 mm, a

różnica

faz <p

między nimi

wynos i 100°.

a) Wyznacz ampli tudę

y'

m

fali wypadkowej, powstającej w wyniku

interferencji

obu fal, i

określ charakter interferencji.


O — r M a m y do czynienia z dwiem a identycznymi falami s inu

soidalnymi biegnącymi wzdłuż l iny

w tym

samym kierunku,

za

te m w wyniku ich interferencji rów nież powstaje sinuso idalna fala

biegnąca. Ponieważ obie fale

są

identyczne, mają takie same

am

plitudy. Zatem ampli tuda

y'

m

fal i wypadkowej dana jes t wzorem

(17.39)

y'

m

=

2 y

m

c o s

\<j>

=

(2) (9 ,8 mm) cos (100° /2)

=

13 mm.

(odpowiedź)

M a m y

tu do

czynienia

z

interferencją

pośrednią, co

możemy

stwierdzić

na dwa

sposoby. Różnica

faz

mieści

się w

przedziale

od 0 do 180°, a ampli tuda y'

m

— w przedziale od 0 do 2y

m

( =

19,6 mm).

b) Wyznacz różnicę

faz (w

radianach

i za

pom ocą długości fali ) ,

przy której amplituda fali wypadkowej jest równa 4,9 mm.

O — F Zaczynamy

od

tego samego wzoru

co w

punkcie

czym tym razem znamy ampli tudę

y'

m

,

a poszukujem

wzoru (17.39)

y'

m

= 2y

m

cos \4>

m a m y

4 ,9

mm =

(2) (9 ,8 mm ) cos \<j>,

co daje

nam

(musimy przełączyć kalkulator

w

t ryb w

kątów w radianach)

4 ,9 mm

4>

=

2a r c c os

„

n n

=

± 2 , 6 3 6

rad ±2 ,6

(2)(9,8

mm)

(od

M a m y

dwa

rozwiązania, gdyż

ten sam

wynik m ożemy

przyjmując, że pierws za fala wy przed za (bieg nie prze

albo

też

pozostaje

za nią z

tyłu

o 2,6 rad. W

przel ic

długość fali

X

różnica

faz

wynosi

± 2 , 6 3 6

rad

(od

2

J C

rad/A

2

TT rad/A

= ±0 , 42A .

•SPRAWDZIAN

i) :

Mam y cztery inne moż l iwe w

różnicy

faz

między dwiem a falami

w

powyższym przykł

wyrażone przez długość fal i ,

a

m ianowic ie :

0,2X, 0,A5X

oraz

0,8X.

Uszereguj

je w

kolejności amplitud

fal

wyp

wych, zaczynając od największej.

1 7 . 1 0 . W s k a z y

Falę w linie (lub dowolny inny rodzaj fali) możemy przedstawić wektor

pomocą wskazów. Wskaż jest wektorem o długości równej amplitudzie fa

obraca się wokół początku układu współrzędnych; prędkość kątowa wsk

równa częstości kołowej co fali. Na przykład falę

y

x

(x ,

t) = y

m l

sin(£x - cot)

1 4 0

17.

Fale

I

http://rys.17.14c/

http://rys.17.14c/

http://rys.17.14c/



a) Falę s inusoidalną reprezentuje wskaż o długości y

mi

obracający się wok ół

co . Rzut y\ wskazu na oś pionową

co , ale długość y

m

2, i obracający się, tworząc z pierwszym stały

t

cp ,

reprezen tuje drugą falę przesunię tą w fazie o

cf>.

c) Fala wypadkowa reprezentowana

y'

m

tych dwóch wskazów. Rzut y' na oś pionową reprezentuje

y

m

\. Ponieważ wskaż obraca s ię wokół począ tku układu

co ,

j ego rzu t y\ na pionową oś zmienia się

y

m

i poprzez ze ro do minim um — y

m

\ i z

y

m

\. Te zmiany odpowiadają sinusoida lny m zm iano m przemiesz

y\ dowolnego punktu l iny, gdy przechodzi przezeń fa la .

Gdy dwie fa le biegną wzdłuż te j samej l iny w tym samym kierunku, możemy

diagramie wskazów. Wskazy na

y

2

(x,

t) = y

m2

sin(kx -cot + cp).

(17.43)

a fa la przesunię ta jes t w faz ie wzglę dem pierwszej o ką t

cp .

Ponieważ wskazy

co , ką t między nimi zaw sze równy

<p.

Jeże l i

cp

jes t w ie lkośc ią

dodatnią,

to pod czas obro tu wsk aż fali 2 pozostaje

za wskazem fa l i 1, tak jak na rysunku 17.15b. Gdy na tomias t cp jest

ujemną, wówczas wskaż fali 2 wyprzedza ws każ fali 1.

Fa le y\ i y

2

mają takie same liczby falowe k i częs tośc i kołowe

co ,

za tem —

y'(x,

t) = y'

m

s in £x - cot + fi), 17.44)

y'

m

j es t ampli tudą fa l i wypadkowej , a fi — jej fazą początkową. Aby wy

y'

m

i fi, musim y zsumować obie interferujące fa le , pod obn ie jak

Aby zrobić to samo graf icznie , dodajemy wektorowo dwa wskazy w dowol

2 zos ta ł przesunię ty na koniec wskazu y

m

\. Długość o t rzymanego wektora

y'

m

w wyrażeniu (17.44) . Kąt między tym wektorem a

y\ jes t równy s ta łe j fi w tym wyrażeniu.

Zauważmy, że w przec iwieństwie do metody opisanej w paragraf ie 17.9:

a)

-

y

m

2

> m l

b)

y\

yna

V

/ m l

C )

Mo żemy posług iwać s ię wskaz ami do dodawa nia fal nawet wtedy, gdy mają one różne

ampli tudy.

^

1

7 .6

yi(x, t) i y

2

(x,t) mają takie same dłu

y

m l

=

4 mm i y

m2

= 3 mm , a ich fazy

początkowe są równe odpowiednio 0 i T t / 3 rad. Wyznacz

pl i tudę y'

m

i fazy początkowe fi fali wypadkowej. Przedstaw

wypadkową w postaci wzoru (17.44).

1 7 . 1 0 .

Wskazy



T 1

. Obie fale mają szereg właściwości wspólnych. Poniew aż

tej

samej l iny, muszą mieć taką samą prędkość,

i liniową gęstość liny, zgodnie ze w zo

k = 2jc/k.

Skoro

zaś

mają takie sam e

k i

prędkości

v,

muszą mieć takie same częstości

co —

kv.

T

2.

Obie fale (nazwijmy

je

falą

1 i

falą

2)

mogą

być re

się z tą samą prędkością

co wokół początku układu współrzędnych. Ponieważ faza

2

jest

większa od

fazy fali

1 o

TC

/3,

wskaż

2 —

obracając

się

z

kierunkiem ruchu wskazówek zegara

—

musi pozosta

ać

w

tyle

o kąt TC/3 rad za

wskazem 1,

jak to

przedstawiono

na

w

wyniku inter

fal 1 i 2,

m o że

być

zatem reprezentow ana przez wskaż

1 i 2.

fc

y

\

ym i / m l

a)

b)

Przyk ład

17.6. a) Dwa

wskazy

o

długościach

y

m

i

m

2

i

różnicy

faz TC

/3.

b)

Sumowanie wektorowe tych wskazów

ich obrotów daje długość y'

m

wskazu

Dla uproszczenia sumowania wektorowego wskazy

rysunku 17.16a zostały narysowane w chwil i , gdy wsk

równoległy do osi poziomej . Opóźn iony wskaż 2 nachy

wówczas do osi poziomej pod dodatnim kątem n/ 3 rad

sunku 17.16b wskaż 2 został przesunięty w taki sposób

początek znalazł się na końcu wskazu 1. Moż emy teraz n

wskaż

y'

m

fal i wypadkowej, łącząc początek wskazu

1 z

wskazu

2.

Faza początkowa

fi

jest równa kątowi, jaki tw

ze wskazem

1.

Aby wyznaczyć war tości

y'

m

i fi,

możemy zsumować

metodą dodawania składowych.

Dla

składowych poziomyc

) 4 p o z =

ymi cos 0 + y

m

2 COS(TC/3)

=

4 mm + (3

m m ) c o s ( n / 3 )

= 5,5 mm.

Dla składowych pionowych mamy

>mpion = ym i s i n

0+y

m 2

s i n( j t /3) = 0 +( 3 mm) s i n ( T t / 3 ) =

Tak więc fala wypadkowa ma ampli tudę

y'

m

= V

( 5 . 5

mm)

2

+ ( 2,6

m m )

2

= 6,1 mm

(od

oraz przesunięcie fazowe

fi = arctg ^

1 1 1 1 1 1

_ ĄĄ

a (

j (odp

5,5 mm

Z rysunku 17.16b widać, że faza początkowa

fi

odpowiad

niemu kątowi względem wskazu 1. Zatem fala wypadkow

staje w tyle za falą 1; jes t opóź nion a o fi = +0,44 rad. Ko

ze wzoru (17.44), zapisujemy falę wypadkową w postaci

y'(x,

t) = (6,1

m m ) sin(kx — cot

+

0,44 rad) . (od

1 7 . 1 1 .

Fa le s to jące

W poprzednich dwóch paragrafach rozważaliśmy dwie fale sinusoidalne o

samych długościach fali i amplitudach, biegnące w tym samym kierunku

napiętej liny. A co będzie w sytuacji, gdy fale biegną w przeciwnych kieru

W takim przypadku również możemy znaleźć falę wypadkową, korzys

zasady superpozycji.

Na rysunku 17.17 zilustrowano taką sytuację w sposób graficzny.

stawiono na nim dwie interferujące fale, z których jedna biegnie w lew

17.17a), a druga — w prawo (rys. 17.17b). Z kolei na rysunku 17.17c

stawiono ich sumę, otrzymaną dzięki graficznemu zastosowaniu zasady s

zycji. Wyróżniającą cechą fali wypadkowej jest fakt, iż na linie są mie

nazywane węzłami — w których nie wykonuje ona żadnego ruchu. Na r

17.17c widoczne są cztery takie węzły, oznaczone kropkami. W połowie

sąsiednimi węzłami znajdują się strzałk i — miejsca, w których ampli tu

wypadkowej jest największa. Fale tego rodzaju jak na rysunku 17.17c naz

falami stojącymi, gdyż „kształt" fali nie przemieszcza się tu ani w lewo

prawo — położenia maksimów i minimów nie ulegają zmianie .



)

)

>

KJ

i " \

\J

\ i

V

t = 0

\ ł? \

t = -T

1

4

1

t = -T

1

2

1

t

= -T

t

=

T

• Gdy dwie fale sinusoid alne o takich samych amp litudach i długo ściach fali biegną w

przeciwn ych kierunk ach wzd łuż napiętej liny, w wyn iku ich interferencji powstaje fala

stojąca.

W celu analizy fali stojącej weźmy dwie interferujące fale opisane wzorami

y i ( x , t) = y

m

s in £x

—

cot)

( 1 7 . 4 5 )

( 1 7 . 4 6 )

2

(x,t) =y

m

sin(kx + cot).

y'(x, t) = yi(x, t) + y

2

(x, t) = y

m

śm(kx

—

cot) + y

m

sin(łx + cot).

( 1 7 . 3 7 ) , o t rzymujemy za l eżność

y'(x, t) = [2 y

m

sin £:x j cosft>r,

( 1 7 . 4 7 )

1 7 . 1 8 .

Wyrażenie to nie opisuje fal i biegną

gdyż ma inną postać niż ( 1 7 . 1 6 ) . Opisuje ono falę stojącą.

Wie lkość 2y

m

sin kx w nawiasach kwadra towych we wzorze

( 1 7 . 4 7 )

m o ż e m y

ać za ampl i tudę drgań elementu l iny znajdującego się w punkcie x. Jednakże

s i n £ x może mieć

2y

m

sin kx.

W przypadku biegnącej fal i s inusoidalnej ampl i tuda fal i jest taka sama dla

entów l iny. Stwierdzenie to nie jest praw dziw e dla fali s tojącej,

amplituda zmienia się, wraz z położeniem.

Na prz yk ład dla fali stojącej

( 1 7 . 4 7 )

mamy zerową ampl i tudę dla takich wartości kx , dla

kx =

0 .

Są to wartości spełniające warunek

kx=mt, gdz ie n = 0 , 1 , 2 , . . . ( 1 7 . 4 8 )

k =

2 j t / A

. i przekształcając je , ot rzymujemy

a mianowic ie

X

x=n-, gdz ie n=0, 1 , 2 , . . . (węzły) . ( 1 7 . 4 9 )

k/2,

t j . o po łow ę dłu go ści fal i.

Rys.

17 .1

7 . a) Pięć zdjęć miga

fali biegnącej w lewo, wykon

chwilach t opisanych pod częśc

sunku (T jes t okresem drgań)

zdjęć migawkowych fali identy

w części (a) , a le biegnącej w

wykonanych w tych samych ch

c) Odp owiedn ie zdjęcia migaw

superpozycji obu fal w tej samej

chwilach t = 0, t = T/2, t =

interferencję całkowicie konstr

gdyż grzbiety pokrywają s ię

tami, a dol iny z dol inami. W

t = T/4 i t = 3 7 /4 mam y in t

całkowicie destruktywną, gdyż

pokrywają s ię z dol inami. W

punktach (są to węzły — zazna

rysunku kropkami) drgania ni

dzą, a w innych punktach (są to

drgania są najsilniejsze

y'(x

,t )

= [2 y

m

s in** ] cos

Rys. 17.18. Fa la wypadkowa d

rem (17.47) jest falą stojącą,

w wyniku interferencji dwu fa

idalnych o takich samych ampl

długościach, biegnących w prze

kierunkach



/ " V .

a) b)

Rys. 17.19. a) Impuls padający z pra

wej

strony odbija się od lewego końca

liny

umocowanej do ściany. Zauważmy,

że

impuls odbity jest odwrócony wzglę

dem

impulsu padającego,

b)

Na tym ry

sunku

lewy koniec liny jest umocowany

do

pierścienia, który może się ślizgać

bez

tarcia

w

górę

i w

dół wzdłuż pręta.

W

tym przypadku impuls nie ulega od

wróceniu

przy odbiciu

Amplituda fali stojącej (17.47) osiąga maksimum — równe 2y

m

—

kich wartości kx, dla których zachodzi |sin

A:jc |

= 1. Są to wartości sp

warunek

kx

= i t /2 , 3 t t / 2 , 5

j i

/ 2 , . . . = (« +

1/2)

tt

, gdzie

n = 0, 1,

2 , . . .

Podstawiając

do

tego wyrażenia

k = 2n/X i

przekształcając

je ,

otrzy

położenia punktów

o

maksymalnej amplitudzie

—

strzałek

— dla

fali

wzorem (17.47), a mianowicie

1 \

A

2 / 2 '

Strzałki oddalone są o A/2 i znajdują się w połowie odległości między

węzłów.

H )

gdzie

n = 0,

1,2, . . .

(strzałki).

Odbicie od granicy

Możemy wytworzyć falę stojącą

w

napiętej linie, pozwalając,

by

fala b

odbiła

się od

oddalonego końca liny

i

poruszała

się z

powrotem.

W

interferencji fali padającej (początkowej) i fali odbitej, opisanych odpo

wzorami (17.45) i (17.46), powstaje fala stojąca.

Na rysunku 17.19 posłużyliśmy się pojedynczym impulsem

do

zilustr

w jaki sposób zachodzi takie odbicie.

Na

rysunku 17.19a lina jest umo

na lewym końcu.

Gdy

impuls dociera

do

tego końca liny, wywiera skie

w górę siłę na jej zamocowanie (na ścianę). Zgodnie z trzecią zasadą dy

ściana wywiera

na

linę przeciwnie skierowaną siłę

o

takiej samej wartoś

ta generuje impuls, który biegnie

z

powrotem wzdłuż liny

— w

przeciwn

runku

niż

impuls padający.

W

przypadku „twardego" odbicia, przy ścian

znajdować się węzeł, gdyż lina jest tu sztywno umocowana. Impulsy pad

odbity muszą mieć przeciwne znaki,

tak by się

wzajemnie kompensowały

punkcie.

Na rysunku 17.19b lewy koniec liny umocowany jest do lekkiego pier

który ślizga się swobodnie bez tarcia wzdłuż pręta. Gdy pojawia się impul

jący, pierścień przesuwa

się w

górę pręta. Przesuwający

się

pierścień ciąg

rozciągając

ją i

wytwarzając odbity impuls

o

takim samym znaku

i

amplitu

impuls padający. Zatem przy takim „miękkim" odbiciu impulsy padający

wzmacniają się wzajemnie, tworząc strzałkę na końcu liny. Maksymalne

nięcie pierścienia jest dwukrotnie większe

od

amplitudy każdego

z

tych im

•SPRAWDZIAN 6 :

Dwie fale o takich samych amplitudach i długościach inter

w

trzech różnych sytuacjach, tworząc fale wypadkowe opisane wzorami:

1)

y'(x, t) = 4sin(5x - 4r);

2)

y'(x, t) =

4si n(5x)

cos(4r);

3)

y'(x, t) = 4sin(5x + 4f).

Określ ,

w którym przypadku fale interferujące poruszają się: a) w dodatnim kie

os i

x, b) w ujemnym kierunku osi x, c) w przeciwnych kierunkach.

1 7.12. Fale stojące i rezonans

Rozważmy strunę, taką jak w gitarze, rozpiętą między dwoma zaciskam

łóżmy, że wytwarzamy ciągłą falę sinusoidalną o pewnej częstości b

14 4 17. Fale I



le nakład ających się na siebie fal, któ re ze sobą interferują.

Przy pewnych częstościach w wyniku interferencji powstaje fala stojąca o

rezónuje przy pew

Załóżmy, że s t runa rozpię ta jes t między dwo ma zac iskam i zna jdującymi s ię

L od s iebie . Aby znaleźć wzór na częs tośc i rezonansowe

ylenia struny (zazn aczo ne linią ciągłą i l inią przeryw aną) tworzące p oje

„pę tlę". Mam y tu tylko jedn ą strzałkę , znajdującą się w środku struny.

L. Tak więc w

X/2 = L. Warunek ten oznacza, iż aby fale biegnące w lewo i w

stojącą, muszą mieć długość

2L.

Drugą prostą falę stojącą spełniającą żądanie, by na końcach struny znajdo

X = L. Trzeci z kolei sche

X =

2 L / 3 . M o ż e m y k o n t y n u o w a ć

ny elemen t ciągu pow inien m ieć o jed en w ęzeł i jedn ą strzałkę w ięcej niż

L

s t runy powinna mieśc ić s ię kole jna połowa

Tak więc fala stojąca w strunie o długości L może być utworzona przez fa le

RYS. 1 7 . 2 0 . STROBOSKOPOWE FOTO

PRZESTAWIAJĄCE (NIEDOSKONAŁĄ) FAL

JĄCĄ W STRUNIE WPRAWIANEJ W DRGA

POMOCĄ WIBRATORA ZNAJDUJĄCEGO

JEJ LEWYM KOŃCU. TAKA FALA POJAW

TYLKO PRZY PEWNYCH CZĘSTOŚCIACH D

B)

1

X =

2L

gdzie

n =

1, 2, 3, (17.5 2)

1X1X1

C)

RYS. 1 7 . 2 1 . STRUNA NAPIĘTA M

DWOMA UCHWYTAMI I WPRAWIONA W

NIA W POSTACI FALI STOJĄCEJ A) NAJ

SZY MOŻLIWY KSZTAŁT ZAWIERA JEDNĄ

TLĘ" UTWORZONĄ PRZEZ POŁĄCZENIE K

TÓW LINY PRZY JEJ MAKSYMALNYCH W

LENIACH (LINIA CIĄGŁA I LINIA PRZERY

B)

DRUGI W KOLEJNOŚCI NAJPROSTSZY

MAT ZAWIERA DWIE PĘTLE, C) KOLEJNY

MAT ZAWIERA TRZY PĘTLE



*3j Częstości rezonansowe odpowiadające tym długościom fali, zgodnie ze

(17.12), wynoszą

Rys. 17.22. J e dna z wie lu moż l i

wych

fal

stojących

w

m e m br a n ie

ko

t ła , uwidoczniona dzięki posypaniu

membrany c iemnym proszkiem. Gdy

w membranie wzbudzane są drgania

o jednej częs tości za pom oc ą me

chanicznego wibra tora widocznego

w

lewym górnym rogu fotografi i , pro

szek zbiera się w węzłach, które

w

tym

dwuw ymiarowym przykładz ie

mają postać okręgów i linii prostych

v

21

gdzie n = 1, 2 , 3 , . . .

(17

gdzie v jest prędkością fali biegnącej w strunie.

Z wyrażenia (17.53) wynika, że częstości rezonansowe są całkowity

lokrotnościami najniższej częstości rezonansowej,

v = v/2L,

odpowi

n = 1. Drganie własne o najniższej częstości rezonansowej nazywamy d

(modem) podstawowym lu b pierwszą harmoniczną. Druga harmoniczna

drgań przy

n =2.

Trzecia harmoniczna — przy

n.

= 3 itd. Częstości zwi

tymi modami oznaczane są często symbolami v\, v

2

, v i tak dalej. Zbiór

kich możliwych drgań własnych nazywamy

szeregiem harmonicznym, a

n nazywamy

liczbą harmoniczną

dla n-tej harmonicznej.

Zjawisko rezonansu występuje we wszystkich układach drgających

występować również w dwóch lub trzech wymiarach. Na przykład na r

17.22 przedstawiono dwuwymiarową falę stojącą w drgającej membranie

•SPRAWDZIAN / W poniższ ym szeregu częs tości rezonansow ych brakuje jedne

stości (mniejszej

niż 400 Hz): 150 Hz, 255 Hz, 300 Hz, 375 Hz. a)

Podaj brak

częstość, b) Wy znacz częs tość siódmej h arm onicz nej .

Przykład

17.7

St runę umocowaną do s inusoidalnego wibratora P i przerzuconą

przez wspornik Q obciążono klockiem o mas ie m (rys. 17.23).

Odległość L między punktami P i Q w ynos i 1,2 m, liniowa

gęstość s t runy równa jes t

1,6 g/m, a

częs tość wibratora

v

jes t

stała i wynos i 120 Hz . Am pl i tuda ruchu w punkc ie P j e s t na tyle

mała , że możemy ten punkt potraktować jak węzeł . Węzeł również

znajduje

się w

punkc ie

Q.

a) Przy jakiej masie m k locka wibra tor może wzbudz ić w linie

czwar tą ha rmoniczną?


O — * 1 . Struna będzie rezonow ać jedy nie przy pew nych czę s to

ściach okreś lonych przez prędkość v fali w strunie i d ługość L

s truny. Zgodnie

ze

wzore m (17 .53) częs tości rezonansowe

wy

noszą

V = n

2~L' gdz ie n = 1 , 2 , 3 , . . . ( 17 .5 4 )

Do wzbudzenia czwar te j ha rmoniczne j (n = 4) m us i m y tak do

rać prawą s t ronę tego równania

po

podstawieniu n

= 4, aby

lewa

strona była równa częs tości wibratora (120 Hz).

Wielkość

L we

wzorze (17.54) jes t us talona

i nie

m oż e m y

-NR 2. Jednakże m ożemy zmienić prędkość

v,

gdyż zależy

ona

jak dużą masę m zawies imy na końcu s t runy. Zgod nie ze

wzorem (17.25) prędkość fal i jes t równa

v =

y/T//i.

W naszym przypadku naprężenie T s t runy jes t równe c

klocka mg, zatem

v

_ T_ _ [mg

y

u-

V

m

Podstawiając v

ze

wzoru (17.55)

do

(17.54), przyjmując dl

te j harmonicznej n = 4 oraz rozwiązując otrzymane rów

względu na m, otrzymujemy

4L

2

v

2

fi

( 4 ) ( 1 , 2 m )

2

( 1 2 0 H z )

2

( 0 , 0016 kg / m )

( 4 )

2

( 9 , 8 m/s

2

)

= 0 ,846

kg w 0,85 kg.

(odp

b) Przyjmij masę klocka

m = 1 kg .

Jaka fala stojąca

w z budz ona w s t runie?

wibrator

—

Rys. 17.23. Przykład 17.7. Naprężona s t runa przyłączona

wibratora. Przy ustalonej częstości wibratora fale stojące po

się jedynie dla pewnych wartości naprężenia s t runy



n, otrzymamy wartość n = 3,7.

O T

Liczba n musi być całkowita, tak więc nie jest m

wartość n = 3,7. Zatem przy obciążeniu struny klockiem

sie 1 kg wibrator nie może w niej wzbudzić żadnej fali st

wszelkie drgania będą małe, być może nawet niezauważaln


2: Harmoniczne w strunie

L, zacznij od narysowania

armonicznej (jak na rysunku 17.21). Jeżeli badasz na przy

reprezentującymi sztywne wsporniki. Oznacza to, że

k/2,

powinno wypełniać długość

L

struny. Tak więc 5(A/2) = L, skąd k = 2L/5. Korzysta

wzoru (17.12) (y = v/k), możemy wyznaczyć częstość

nicznej.

Pamiętaj, że dla harmonicznej długość fali zależy j

od długości struny L, podczas gdy jej częstość zależy ró

od prędkości v fali, która z kolei jest określona przez napr

struny i jej gęstość liniową zgodnie ze wzorem (17.25).

Podsumowań

« L L IL L L »« AI IA

poprzeczne i podłużne

Fale mechaniczne mogą występo

jedynie w ośrodku materialnym i podlegają zasadom dyna

Poprzeczne fale

mechaniczne, takie jak fale w

rgają równolegle do kierunku rozchodzenia się fali, to

Fala sinusoidalna biegnąca w dodatnim kie

x ma matematyczną postać

y(x, t) = y

m

sin

(FAC

—

cot), (17.2)

y

m

jest amplitudą fali, k — liczbą falową, co — częstością

a wyrażenie kx — cot jest jej

fazą. Długość fali

k i liczbę

k wiąże zależność

T i gęstości liniowej /z wynosi

k =

2n

k '

(17.5)

T i

częstość

v fali są związane z jej częstością kołową co

co 1

x - = v = - . (17.9)

2ir T

prędkość fali v jest związana z pozostałymi parame

co k

v = -

= -=kv. (17.12)

Każda funkcja postaci

y(x, t) =h(kx±cot) (17.16)

prezentować

falę biegnącą,

której prędkość dana jest wzo

h.

x, a

inus — falę biegnącą w dodatnim kierunku osi x.

i w napiętej linie Prędkość fali w napiętej linie

(

Moc Średnia moc, czyli średnia szybkość, z jaką fala s

idalna w napiętej linie przenosi energię, dana jest wzorem

P

ir

= lnvco

2

y

2

m

.

(

Superpozycja fal

Gdy dwie lub więcej fal porusza się

samym ośrodku, przemieszczenie każdej cząstki ośrodka st

sumę przemieszczeń, jakie byłyby wywoływane przez każd

z osobna.

Interferencja fal Dwie fale sinusoidalne w tej samej lin

kazują interferencję, wzmacniając się lub osłabiając zgod

zasadą superpozycji. Jeżeli obie biegną w tym samym kie

i mają takie same amplitudy y

m

i częstości (a w konsekwe

długości fali), różnią się zaś jedynie w fazie o kąt

</>,

to w r

cie otrzymujemy falę wypadkową o takiej samej częstości op

wzorem, , ,

y(x, t) = [2y

m

cos j<f>] sm(kx - cot + \cj>).

Jeżeli 4> = 0, to fale są dokładnie w zgodnej fazie i ich

rencja jest całkowicie konstruktywna; gdy zaś cf> = jt , fa

dokładnie przeciwne fazy i ich interferencja jest całkowic

struktywna.

Wskazy

Fala y(x, t) może być przedstawiona za po

wskazu. Jest to wektor o długości równej amplitudzie y

m

obracający się wokół początku układu współrzędnych z pr

ścią kątową równą częstości kołowej

co

fali. Rzut obracaj

się wskazu na oś pionową daje przemieszczenie y punktu,

który przechodzi fala.



W wyn iku interferencji dwóc h identycz nych fal

fala stojąca.

Dla l iny z umocowa nym i końcam i fala s tojąca

y\x, t) = [2y

m

s infct]cos(y f . (17.47)

węz łami ,

s trza łkami .

Fale s tojące w l inie moż na wzbu dzić poprzez odbi

umocowany, to musi w nim być węzeł . Narzuca to wa

częstości , przy których w danej l inie może być wzbudz

stojąca. Każdą możliwą częstość nazywamy częstością

sową, a odpowiadającą jej falę stojącą — drgan iem wła

przypadku napiętej l iny o długości L, mającej umocowan

częstości rezonansowe dane są wzorem

v = - = n ~ , gdzie n = 1 , 2 , 3 , . . .

X 2L

Drganie własne odpowiadające n = 1 nazywamy drgan

dem) podstawowym lu b pierwszą harmoniczną; mod od

jący n = 2 to druga harmoniczna i tak dalej.

Pytania

.

I le wynosi długość (dziwnej) fal i przedstawionej na rysunku

dl

h -

\ d

Rys.

1 7 . 2 4 . Pytanie 1

.

Na rysunku 17.25a przedstawiono migawkowe zdjęcie fal i bie

x.

(Wskazówka: Wyob raź sobie, w jaki spo

Na rysunku 17.25b przedstawiono zależność przemieszcze

x = 0. Czy w poszczególnych chwilach, oznaczonych

y

a) b)

1 7 . 2 5 . Pytanie 2

. Na rysunku 17.26 przedstawiono migawkowe zdjęcie fal i s inu

x = 0 mamy zerowe prze

— w punkcie x = 0 znajdzie się e) grzbiet fali oraz f) następny

y

Rys. 1 7 . 2 6 . Pytanie 3

punkt o zerowym przemieszczeniu? Załóż, że fala przes

w prawo.

4. Poniższe cztery fale biegną wzdłuż czterech l in o

wych gęstościach l iniowych (x jest wyrażone w metrach

w sekundach) . Uszereguj fale według ich: a) prędkości

naprężeń l in , po których biegną, zaczynając od najwięks

1) yi = (3 mm ) sin(x — 3t), 3) y

3

= (1 mm ) sin(4x

2) yi = (6 mm) sin(2x — t) , 4) y

4

= (2 mm) sin(x

5 . Na rysunku 17.27 fala 1 skład a się z prosto kątne go

o wysokości 4 jednostek i szerokości d oraz prostokątne

o głębokości 2 jednostek i szerokości d. Fala 1 biegnie

wzd łuż os i x. Fale 2 , 3 i 4 o podobnym kształcie, o takich

wysokościach, głębokościach i szerokościach biegną wzdł

w lewo naprzeciw fali 1. Która z tych fal, interferując z

utworzy w pewnym momencie: a) najgłębszą dolinę, b

l inię oraz c) jednopoziomowy grzbiet o szerokości 2dl

(1) (2)

(3) (4)

Rys.

1 7 . 2 7 . Pytanie 5



Początkowo mamy dwie fale sinusoidalne o takich samych

Amplitudy i przesunięcia fazowe czterech par fal o jednako

długościach wynoszą: a) 2 mm, 6 mm i jr rad; b) 3 mm,

Jt rad; c) 7 mm, 9 mm i Jt rad; d) 2 mm, 2 mm i

al wypadkowych, zaczynając od największej. (Wskazówka:

W linie wzbudzono siódmą harmoniczną. Określ: a) ile jest

z b) co znajduje się w środku liny — węzeł, strzałka

jakiś stan pośredni. Następnie wzbudzono szóstą harmoniczną.

Liny A i B mają jednakowe długości i gęstości liniowe, ale lina

A.

Na rysunku 17.28 przedsta

drgały z tą samą częstością rezonansową?

.

a) Dana jest fala stojąca w linie opisana wzorem

y'(t) = (3 mm) sin(5x) cos(4/ ).

x = 0 znajduje się węzeł, czy strzałka

y'(t) = (3 mm) sin(5x

+ j t

/ 2 ) cos(4f).

Określ, czy w punkcie

x

= 0 znajduje się węzeł, czy str

drgań liny.

1 1 . Przeanalizujmy przedstawiony na rysunku 17.23 układ z

kładu 17.7. a) Jeżeli będziemy stopniowo zwiększać masę k

(nie zmieniając częstości wibratora), pojawią się nowe dr

własne. Określ, czy liczby harmoniczne nowych drgań włas

stają się coraz większe, czy coraz mniejsze, b) Określ, czy

ście od jednego drgania własnego do następnego zachodzi

nie,

czy też jedno drganie własne zanika znacznie wcześnie

pojawia się następne.

l i n a ^ lina B

Rys.

1 7 . 2 8 .

Pytanie 9

mim

Rozwiązanie jest dostępne na stronie internetowej pod

ręcznika: http://www.wiley.com/collcge/hrw


wykorzystującej oprogramowanie lnteractive Learning-


foli b ie gn ąc ej

częstość kołową 110 rad/s i długość fali 1,8 m. Oblicz

alową i b) prędkość fali.

al elektromagnetycznych (obejmujących światło wi

8

m/s. a) Światło widzialne obejmuje zakres fal

ultrakrótkich fal radiowych (obejmujących m.in. zakres FM

300 MHz. Określ odpowiadający im przedział długości fali.

c) Długości fali promieniowania rentgenowskiego leżą w

dziale od 5 nm do 1 • 10~

2

nm. Podaj zakres częstości dla

promieniowania.

3 . Sinusoidalna fala biegnie wzdłuż liny. Czas, w jak im pos

gólne punkty przechodzą od swojego maksymalnego wychy

do zera, wynosi 0,17 s. Wyznacz a) okres i b) częstość. Dłu

fali jest równa 1,4 m; c) wyznacz prędkość fali.

4. Napisz wzór przestawiający falę sinusoidalną biegnącą w u

nym kierunku wzdłuż osi x, mającą amplitudę 0,01 m, czę

550 Hz i prędkość 330 m/s.

5 . Udowodnij, że wyrażenia

y

=

y

m

sink(x - vt), y = y

m

s i n 2 j t ^ -

vt^j,

y = y

m

ńnco(^--t^, y = y

m

sin27t (j-

-

Cj ,

są równoważne wyrażeniu

y = y

m

sin(kx — cot).

Z a d a n i a

http://www.wiley.com/collcge/hrw

http://www.wiley.com/collcge/hrw



6 .

Równanie fal i poprzecznej biegnącej wzdłuż bardzo długiej

liny ma postać y = 6 s i n ( 0 ,0 2 j t x + 4 j t r ) , g d z i e x i t wyrażone są

odpowiednio w centym etrach i sekundach. Wyz nacz: a) ampli tudę,

b) długość fali, c) częstość, d) prędkość, e) kierunek rozchodze

nia się oraz f) maksymalną poprzeczną prędkość cząsteczek liny.

g) Podaj poprzeczne przemieszczenie w punkcie

x

= 3,5 cm

w chwili t = 0,26 s.

7 .

a) Zapisz równanie opisujące sinusoidalną falę poprzeczną o

długości fali 10 cm, częstości 400 Hz i amplitudzie 2 cm biegnącą

wzdłuż sznura w kierunku

+x .

b) Podaj maksymalną prędkość

punktów sznura, c) Wyznacz prędkość fal i .

8 . Poprzeczna fala sinusoidalna o długości fali 20 cm poru

sza s ię wzdłuż l iny w dodatnim kierunku osi x. Na rysunku

17.29 przedstawiono zależność poprzecznego przemieszczenia

elementu liny, znajdującego się w punkcie x = 0, od czasu,

a) Naszkicuj w przybliżeniu obszar obejmujący jedną długość

fali (od x = 0 do x =

20 cm) w chwili t = 0. b)

Określ prędkość fali. c) Za

pisz równanie fali zawiera

stałe,

d) Podaj poprzeczną

prędkość elementu l iny w

punkcie x = 0 i w chwili

t = 5 s.

y [cm]

\

1

/

\

\ ,

.

Jt

j

f [ s ]

Rys. ł 7 . 2 9 .

Zadanie 8

9 .

Fala s inusoidalna o częstości 500 Hz ma prędkość 350 m/s.

a) Podaj odległość między punktami, dla których różnica faz wy

nosi

T t / 3

rad. b) Podaj różnicę faz dla dwóch przemieszczeń pew

nego punktu w chwilach różniących się o 1 ms. ii v

1

7 . 6

P r ę d k o ś ć

fa l i w na p ię te j l in ie

1 0 . Najgrubsza i najcieńsza struna w pewnych skrzypcach mają

gęstości liniowe równe odpowiednio 3 g/m i 0,29 g/m. Podaj

stosunek średnic obu strun (grubszej do cieńszej) przy założeniu,

że obie wykonane są z tego samego mater iału.

1 1

.

Podaj prędkość fal poprzecznych w sznurze o długości 2 m i

asie 60 g poddanym naprężeniu 500 N.

1 2

. Naprężenie w drucie zamocowanym na obu końcach podwo

nie zmieniając znacząco długości drutu pomiędzy zaciskam i.

odaj stosunek prędkości fal poprzecznych w tym drucie przed i

o tej zmianie.

1 3 .

Liniowa gęstość liny wynosi 1,6

•

10 ~

4

kg/m. Fala poprzeczna

l inie opisana jest wzorem

y = (0,021 m) s in[(2 m

_ 1

)x + (30 s

- 1

) f ] .

odaj: a) prędkość fali i b) naprężenie liny.

1 4 .

Dane jest równanie fal i poprzecznej w l inie

y = (2

mm) sin[(20

m~

l

)x

- (600 s"

1

) ?] .

Naprężenie liny jest równe 15 N. a) Podaj prędkość fali. b

liniową gęstość liny (w gramach na metr).

1 5 .

M asa przypadająca na jednostkę długości napiętej lin

5 g/cm, a jej nap rężen ie 10 N. W linie wzb udz ono falę

idalną o amplitudzie 0,12 mm i częstości 100 Hz, bie

kierunku ujemnych war tości x. Zapisz równanie tej fali.

1 6 .

Jaką najszybszą falę poprzeczną można wye

wzdłuż s talowego drutu? Dla zachowania bezpieczeństw

symalne naprężenie, jakiemu można poddać s talowy drut

7 • 1 0

8

N / m

2

. Gęstość s tal i jest równa 7800 kg/m

3

. Pokaż

powiedź nie zależy od średnicy drutu.

1 7 .

Sinusoidalna fala poprzeczna o ampli tudzie y

m

i dłu g

X biegn ie wzdłuż napiętej liny. a) Znajdź stos unek mak

prędkoś ci cząstek liny (prędkości, z jaką poje dync za cz ą

porusza się poprzecznie względem fali) do prędkości fali

powyższy stosunek prędkości zależy od mater iału, z jaki

konana jest lina, na przykład z drutu lub nylonu?

1 8 .

Fala sinusoidalna biegnie wzdłuż liny z prędkością

Stwierdzono, że przemieszczenie cząstek l iny w punkc

10 cm zmienia się w czasie zgodnie z zależnością

y = (5 cm) sin[ l - (4 s" ' ) f ] .

Liniowa gęstość liny jest równa 4 g/cm. Podaj: a) częstość

gość fali. c) Podaj ogólny wzór opisujący zależność poprz

przemieszczenia cząstek l iny od położenia i czasu, d) Ob

prężenie liny.

1 9 .

Sinusoidalna fala poprzeczna biegnie wzdłuż l iny w u

kierunku osi x. Na rysunku 17.30 przedstawiono wykre

ności przemieszczenia od położenia w chwili

t

= 0; w

x = 0 przemieszcz enie jest równe 4 cm. Naprężenie l

nosi 3,6 N, a jej gęstość liniowa 25 g/m. W yzna cz: a) am

b) długość fali, c) jej prędkość i d) okres, e) Znajdź mak

poprzeczną prędkość cząstek liny. f) Zapisz równanie o

falę biegnącą.

V - - > -

6

4

a

2

o

- 2

- 4

- 6

10 20 30 40 50 60 70 80

x [cm]

Rys.

1

7 . 3 0 .

Zadan ie

19



. Na rysunku 17.31a

= 500 g. Obl icz pręd

(Wskazówka:

krą

M

2

(Mi + M

2

=

) , a ca łe urządzenie prze

17.3

l b . Wyznacz

Mi

) M

2

, przy których pręd

lina 1

lina 1

lina

2 -

b )

Rys.

1 7 . 3 1 .

Zadanie 20

. Drut o długości 10 m i masie 100 g naciągnięto siłą 250 N.

iiw

. Gumowa taśma, jaka używana jest do wypełniania niektórych

m. Po przyłożeniu si ły F taśma rozciąga

Al . a) Wyznacz zależność prędkości fal

Al i stałej

k. b) Korzystając z odpowiedzi do części (a), wykaż,

1 /

V A T

, gdy Al <SC / , oraz

Al 5> l.

Jednorodna l ina o masie m i długości L zwisa z sufitu.

W ykaż , że prędk ość fal poprze cznych w linie jest funkcją od

y od dolnego końca l iny i dana jest wzorem v = *fgy.

jakieg o fa la poprzeczn a potrzebuje n a przeby

t = 2^/L/g.

. 7 E n e r g i a i m o c f a l i b i e g n ą c e j w l i n i e

.

Lina , po które j może biec fa la , ma długość 2,7 m i masę

ej o am pl i tudzie 7,7 mm, aby je j średnia moc b yła równa

. Poprzeczna fa la sinusoidalna wytworzona jest na jednym

górę i w dół na odcinku 1 cm. Ruch pręta jest ciągły i powtarz

regularnie 120 razy na sekundę. Lina ma gęstość l iniową 120

i jest napię ta si łą 90 N. Wyznacz maksymalne wartośc i : a ) p

kości poprzecznej u oraz b) poprzecznej składowej naprężeni

(Wskazówka: Składowa poprzeczna równa jest Tsm9, gdz

jest ką tem, jaki l ina tworzy z poziomem. Należy powiązać k

z wie lkością dy/dx) . c ) Udowodni j , że obie wyznaczone w

maksymalne wartości występują dla tych samych wartości

fa l i . Wyznacz poprzeczne przemieszczenie y liny dla tych

d) Wyznacz maksymalną szybkość przenoszenia energi i wz

liny. e) Podaj poprzeczne przemieszczenie y w chwil i , gdy to p

noszenie jest na jwiększe , f) Wyzn acz minimalną szybkość prz

szenia energii wzdłuż liny. g) Podaj poprzeczne przemieszcz

y w chwil i , gdy to przenoszenie osiąga minimum.

1 7 .9 In te r fe renc ja fa l

2 6 . Jaka jest różnica faz między dwiema identycznymi fa

biegnącymi w tym samym kierunku wzdłuż napię te j l iny, je

ich wypadkowa ma amplitudę 1,5 razy większą niż ampli

każdej fali składowej? Odpowiedź wyraź: a) w stopniach, b

radianach oraz c) za pomocą długości fali .

2 7 . Dwie identyczne fa le biegnące w tym samym kierunku

przesunięte w fazie o Tt/2 rad. Znajdź am plitudę fali wyp adko

i wyraź ją za pomocą ampl i tudy

y

m

fal składow ych.

2 8 .

Dwie identyczne — z wyją tkiem fazy — fa le sinusoid

biegną w tym samym kierunku wzdłuż liny i interferują. W

zultacie powstaje fala opisana wzorem

y'(x, t)

= (3 mm) sin(20x -

4 t +

0,82 rad) ,

gdzie x i t wyrażone są odpowiednio w metrach i sekund

Wyznacz: a) długość fa l i X obu fal składowych, b) różnicę

między nimi oraz c) ich ampl i tudę y

m

.

1 7 . 1 0 W s k a z y

2 9 . Określ ampl i tudę fa l i wypadkowej , powsta łe j w wyniku

żenia dwóch fal sinusoidalnych o takich samych częstościach,

gnących w tym samym kierunku w zdłuż te j samej l iny, jeże l i

amplitudy są równe 3 cm i 4 cm, a ich fazy początkowe wyno

odpowiednio 0 i T t/2 rad.

3 0 . Dwie fale sinusoidalne o takich samych okresach, ma

ampl i tudy 5 mm i 7 mm, biegną w tym samym kierunku wzd

napiętej l iny; w wyniku ich złożenia powstaje fala o amplitud

9 mm. Faza początkowa fa l i o ampl i tudzie 5 mm wynosi 0 .

znacz fazę początkową fali o amplitudzie 7 mm.

3 1

. Trzy fale sinusoidalne o takich samych częstościach bie

wzdłuż l iny w dodatnim kierunku osi x. Ich ampl i tudy wyno

j i , yi/2 i y i / 3 , a fazy początkowe równe są odpow iednio

Tt /2 oraz j t . Wyznacz: a) amplitudę i b) fazę początkową

wypadkowej, c) Narysuj kształt fali wypadkowej w chwili t

i zanal izuj jego zmiany w miarę upływu czasu t. w *

Zadania



17

.12

Fale stojące

i

rezonans

3 2 . Lina naprężona siłą

T

pocz

drga z trzecią harmoniczną o czę

stości V 3 przy czym fala wzbudzona wlinie ma długość fali

A.3.

Jeżeli naprężenie liny zwiększymy do wartości

T

końc:

= 4r

p0C

z

i ponownie wzbudzimy trzecią harmoniczną, to jaka będzie: a

częstość drgań wyrażona przez częstość 1

)3

oraz b długość fali

wyrażona przez

A.3?

3 3 .

Nylonowa struna

w

gitarze

ma

gęstość liniową

7,2

g/m

i

jest naciągnięta siłą 150 N. Stałe punkty podparcia oddalone są

od siebie o 90 cm. Wstrunie wzbudzono falę stojącą przed

stawioną na rysunku 17.32.

Oblicz: a) prędkość, b) dłu

gość fali oraz c) częstość fal

biegnących, tworzących w

wyniku złożenia daną falę

stojącą,

i

Iw

-

90

cm

Rys. 17 .32 .

Zadanie 33

3 4 .

Dwie fale sinusoidalne o identycznych długościach i amplitu

dach biegną w przeciwnych kierunkach wzdłuż liny z prędkością

10 cm/s. Wyznacz ich długości fali, jeżeli odstęp czasu między

chwilami, gdy lina jest płaska, wynosi 0,5 s.

3 5 .

Zamocowana na obu końcach lina ma długość 8,4 m i masę

0,12 kg. Lina została naciągnięta siłą 96 N i wprawiona w drgania,

a) Określ prędkość fal wlinie, b Wyznacz największą możliwą

długość fali stojącej, c) Podaj częstość tej fali.

3 6 . Lina o długości 125 cm i masie 2 g została naciągnięta siłą

7 Nmiędzy dwoma sztywnymi wspornikami, a) Określ prędkość

fali w linie, b) Podaj najmniejszą częstość rezonansową dla tej liny.

3 7 .

Podaj trzy najmniejsze częstości

fal

stojących

w

drucie

o

długości 10 m i masie 100 g, którego naprężenie wynosi 250 N.

3 8 .

Lina

A

jest rozciągnięta między dwoma zaciskami znajdu

jącymi się wodległości

L.

Lina

B

— o takiej samej gęstości

liniowej i poddana takiemu samemu naprężeniu, co lina

A —

rozciągnięta jest między dwoma zaciskami znajdującymi się w

odległości AL. Rozważ osiem pierwszych harmonicznych liny

B.

Które z nich, o ile takie są, mają częstości rezonansowe pokrywa

jące się z częstościami rezonansowymi liny A?

3 9 .

Lina rozpięta między dwoma sztywnymi wspornikami,

znaj

dującymi się w odległości 75 cm od siebie, ma częstości rezonan

sowe 420 Hz i 315 Hz, przy czym żadna pośrednia częstość nie

jest rezonansowa. Określ: a najmniejszą częstość rezonansową

oraz b) prędkość fali.

A

w

4 0 . Na rysunku 17.33

przedstawiono dwa impulsy

biegnące wzdłuż liny

w przeciwnych kierunkach.

Prędkość fali

v

wynosi

2 m/s. W chwili / = 0 odle

głość między impulsami jest

—

6cm

Rys. 17.33.

Zadanie 33

równa 6 cm. a) Naszkicuj kształt liny dla

t

równego 5 m

15 ms, 20 ms i 25 ms. b Jaką postać ma energia imp

chwili

t

= 15 ms?

4 1 .

Lina drga zgodnie z wyrażeniem

y'

= (0,5 cm) sin j cm" ' j xj cos [(40it s~')

t

Podaj: a) amplitudę i b) prędkość dwóch fal (identycznych

kiem kierunku rozchodzenia się), których superpozycja d

drgania,

c

Określ odległość między węzłami, d) Wyzna

kość cząstek liny wpunkcie

x =

1,5 cm wchwili

t

= 9

4 2 .

Fala stojąca powstaje w wyniku złożenia dwóch poprz

fal biegnących, opisanych wzorami

yi = 0,05

c o s ( t u : —

Ant) oraz

y

2

=

0,05

cos(ttjc

+

gdzie wielkości

x, y\

i

y%

wyrażone są wmetrach, a l

kundach, a) Podaj najmniejszą dodatnią wartość

x

odpow

węzłowi, b Określ chwilę wprzedziale czasu 0

t

^

której cząstka znajdująca się w punkcie j = 0ma prędko

zeru.

4 3 . Wlinie o długości 3 mwzbudzono falę stojącą „

pętlach", mającą amplitudę równą 1 cm. Prędkość fali

100 m/s. a Podaj częstość fali. b Zapisz równania dw

które wwyniku interferencji dają tę falę stojącą.

4 4 .

W doświadczeniu z falami stojącymi strunę o długoś

przymocowano do jednego z ramion wzbudzanego elek

kamertonu, drgającego prostopadle do osi struny z c

60 Hz. Masa struny wynosi 0,044 kg. Jaką siłą należy n

strunę (za pomocą ciężarka przyczepionego do drugiego

aby powstały drgania „o czterech pętlach"?

4 5 .

Drgania kamertonu o częstości 600 Hz wzbudzają fal

w strunie umocowanej na obu końcach. Prędkość fali w

wynosi 400 m/s. Fala stojąca ma „cztery pętle" oraz am

równą 2 mm. a Wyznacz długość struny, b Zapisz w

opisujące zależność przemieszczenia struny od położenia

4 6 .

Sznur naciągnięty siłą 200 N i zamocowany na o

cach wykonuje drgania odpowiadające drugiej harmonic

stojącej.

Przemieszczenie sznura opisane jest wzorem

y = (0,1

m

) ( s i n T t j

: / 2 ) s i n

12nf,

gdzie

x

= 0 odpowiada jednemu końcowi sznura, a wie

i

t

wyrażone

są

odpowiednio

w

metrach

i

sekundach. W

a) długość sznura, b) prędkość fali w sznurze oraz c) masę

d) Określ częstość drgań sznura odpowiadających trzeciej

nicznej fali stojącej.

4 7 .

Generator znajdujący się na jednym końcu bardzo dłu

wytwarza falę opisaną wzorem

y = (6 cm)cos ^[(2 m"

1

) * + (8 s

_ 1

)f],

a generator na drugim końcu — falę

y = (6 cm)cos ^[(2

m~)x

- (8 s"')r].



. Fala stojąca w linie opisana jes t wzorem

y(x,t)

= 0,04 sin

5TW

COS

40TT£

wielkości x i t wyrażone są odpowiednio w metrach i

^ x < 0 ,4 m. b) Podaj okres ruchu drgającego dowolnego

dwóch fal biegnących, dających w wyniku interferencji taką

stojącą, e) Określ, w jakich chwilach z przedziału czasu

«; t < 0,05 s wszystkie punkty liny będą miały prędkość po

. Wykaż, że maksimum energii kinetycznej w każdej z pętli

2

/

u,y

2

1

vu.

.

Dla pewnej fali stojącej w długiej linie mamy strzałkę w punk

x = 0 i węzeł w punkcie x = 0,1 m. Na rysunku 17.34 przed

y(t)

elementu liny znajdującego się w

x = 0. Określ dla chwili ( =0 , 5 s przemieszczenie ele

ących

x =

x = 0,3 m.

x =

0.2 m wy

t = 0,5 s i d) t = 1 s.

t — 0,5 s w obszarze

x = 0 do x = 0.4 m.

0,04

& 0

0,5 1,0 1,5 2j0

/ f s ]

-0,04 -

Rys.

17 . 3 4 . Zadanie 50

.

Drut aluminiowy o długości L\ = 60 cm, polu przekroju po

I • 10~

2

cm

2

i gęstości 2,6 g/cm

3

połączono z drutem

3

i takim samym przekroju poprzecz

10 kg, umocowano w taki sposób, by odległość L

2

od punktu

ne; przy krążku znajduje się węzeł fali. a) Wyznacz

Podaj,

3 —

L,

L

2— -

-|

aluminium stal

Rys. 1 7 . 3 5 .

Zadanie 51

.

Kamizelka kuloodporna. Gdy pocisk o dużej prędkości (kula

zelkę kuloodporną, tkanina, z jakiej jest wykonana kamiz

zatrzymuje pocisk i uniemożliwia penetrację poprzez szybki

proszenie jego energii na dużym obszarze. To rozproszenie z

dzi dzięki podłużnym i poprzecznym impulsom falowym

szającym się promieniście od punktu uderzenia, w którym p

wypycha tkaninę, tworząc stożkowe wgniecenie. Impuls podł

biegnący wzdłuż włókien tkaniny z prędkością v

va

a, wypr

wgniecenie, powodując, iż tkanina staje się cieńsza i naprę

przez materiał poruszający się promieniście w kierunku w

cenia. Jedno z takich radialnych włókien przedstawiono n

sunku 17.36a. Część energii pocisku zużyta zostaje na taki

i związane z nim naprężenie. Impuls poprzeczny, poruszając

z mniejszą prędkością t>

p o p r z

, wywołany jest przez wgniec

W miarę jak pocisk powoduje zwiększenie głębokości wgn

nia, zwiększa się również jego promień, w wyniku czego m

riał włókien porusza się w tym samym kierunku co pocis

prostopadle do kierunku ruchu impulsów poprzecznych). P

stała część energii pocisku zużywana jest na ten właśnie

Cała energia — oprócz części powodującej trwałą deform

włókien — w ostatecznym rachunku przekształca się w en

termiczną.

Na rysunku 17.36b przedstawiono zależność prędkoś

od czasu / dla pocisku o masie 10,2 g wystrzelonego z

wolweru

.38 Special

wprost w kamizelkę kuloodporną. Prz

U p n d t = 2000 m/s oraz załóż, że połowa kąta rozwarcia stożko

wgniecenia (kąt 0) wynosi 60 \ Wyznacz a) promień obsza

mniejszej grubości oraz b) promień wgniecenia pod koniec

rzenia (zakładamy, że osoba chroniona przez kamizelkę pozo

w spoczynku).

promień osiągnięty , . v

i . /

przez impuls podłużny J I / /

T^N^LJ

j

p r z e z

i m p u l s

P ° P

*>podi I ^ P O P K I I ^poprz I

-'poprz

a)

300

200

100

10

20

t[ps\

b)

30 40

Rys.

1 7 . 3 6 . Zadanie 52

Zadania



8 Fale II

T e n n i e t o p e r z p o d k o w i e c n i e t y l k o m o ż e z l o k a l i z o w a ć ć m ę l a t a j ą c ą w z u p e ł n e j c i e m n o

a l e m o ż e r ó w n i e ż o k r e ś l i ć w z g l ę d n ą p r ę d k o ś ć ć m y , b y s k i e r o w a ć si ę d o o w a d a .

W jaki sposób działa

system detekcji

u nietoperza?

W jaki sposób ćma

może „zagłuszyć" ten

system lub zmniejszyć

jego efektywność?

O d p o w ie d ź z n a jd z i e s z w t y m

rozdz ia le .

ilu



. F a l e d ź w i ę k o w e

fale poprzeczn e, w których drgania zachodzą prostopadle do kierun ku

fale podłużne, w których drgania są równ olegle do

W tej książce fa lą dźwiękową będziemy nazywać dowolną fa lę podłużną. Ze

urzą

Na rysunku 18.2 z i lust rowano ki lka pojęć, k tórymi będziemy się posługiwać

S r ep rezen tu je małe ź ród ło dźwięku — nazy

źródłem punktowym — wysyłające fa le dźwięk owe we wszystkich kierun

czoła fali i promienie.

W pobl iżu źródła punktowego ( rys. 18.2) czoła fa l i są sferyczne i rozprze

sferyczną.

W miarę

rosną, a zakrzywien ie ma

W dużej odległości od źródła czoła fa l i przybl iżamy przez płaszczyzny (na

falą płaską.

Prędkość dźwięku

jeg o właściwości sprężystych (gromadzą cych energię potencjalną) . Mo żem y

IT

miara sprężystości

mia ra bezwładnośc i '

(18.1)

T

jest naprężeniem l iny, a /J , — jej gę

liniową. Jeżel i ośrodkiem jest powiet rze , a fa la jest podłużna, to można

Rys. 1 8 .1 . Obraz p łodu poszukuj

kciuka do ssania; obraz otrzyman

pomocą ul t radźwięków mających

stości większe od dźwięków słysza

przez ludzkie ucho

czoła

promień

Rys.

18.2. Fala dźwiękowa rozch

się z punktow ego źródła S w trójwy

rowym ośrodku. Czoła fali są sfera

środkach w punkcie S; promienie

chodzą radialnie z punktu

S.

Krótki

dwójne strzałki wskazują, że elem

ośrodka drgają równolegle do prom

1 8 . 2 .

Prędkość dźwięku



s ię domyśl ić , iż miarą bezwładnośc i (odpowiednik gęs tośc i l iniowej L I j e

s tość (obję tośc iowa) powie trza p. A jaką wie lkość pow inniśm y przyjąć za

sprężystośc i?

W napię te j l inie energia potenc ja lna związana jes t z okre sowym roz

niem e lementów l iny w wyniku przechodzenia przez nie fali. Gdy w pow

rozchodz i się fala dźwiękow a, energia potenc ja lna związana jes t z o k r e

sprężaniem i rozprę żaniem m ałych obję tośc i pow ie trza . Właśc iw ośc ią o

jącą, w jak im s topniu e lem ent ośrodk a zmienia swoją obję tość na skutek

w y w i e r a n e g o

nań

c iśnienia (s i ły

na

j ednos tkę pow ie rzchni ), j e s t mo du ł ś c

śc i B zdefiniowany — z g o d n i e ze w z o r e m ( 1 3 .2 7 ) — j a k o

Ap

B =

(moduł ściś l iwości) ,

AV/V

gdzie wie lkość AV / V jes t wzg lędną zmianą obję tośc i wywo ływan ą przez

c iśnienia Ap. Jak w i e m y z paragrafu 15.3, jednostk ą c iśnienia w układz ie

niu ton na me t r kwadra towy; j ednos tce tej n a d a n o n a z w ę paskal i s y m b o l

wzoru (18.2) widz imy, że j ednos tką mod ułu B również jes t paska l . Prz

Ap i AV zawsze mają przec iwne znaki : gdy wz ra s ta c i śn ien ie wy wie ra

pewien e lement

(Ap

doda tn ie ) , j ego obję tość

się

zmnie jsza

(AV

jes t u

i na odwrót . We wzorze (18 .2) wprowadz i l iśmy znak m inus , tak w i ę c m o

zawsze jes t wie lkośc ią dodatnią . Zas tępując we wzo rze (18.1) wie lko ść T

B, a wie lkość

LI

przez p, otrzymujemy wyrażenie opisujące prędkość d

w oś rodku o module śc iś l iwośc i B i gęs tośc i p

(prędkość dźwięku) . (1

Prędkość dźwięku"

(0°C)

(0°C)

b

Prędkość [m/s]

331

343

965

1284

1402

1482

1522

6420

5941

6000

W temperaturze 0°C i pod c i ś n i en i em 1 atm, o

e

nie

podano inaczej .

W

temperaturze 20°C

i

przy zasoleniu 3 ,5%.

Niże j wykażemy, że j e s t to r zeczywiśc ie poprawne wyrażenie . W tabe l

podano prędkośc i dźwięku

w

różnych ośrodkach.

Gęstość wody jes t prawie 1000 r azy większa od gęs tośc i powie trza .

to była jedyna wie lkość mająca znaczenie dla rozważaneg o zagadnien ia,

podstawie wzoru (18.3) oczekiwal ibyśmy, że prędkość dźwięku w wodz

w i n n a być znacznie mnie jsza od prędkośc i dźwięku w powie t rzu . J edn

tabel i 18.1 widz imy, że jes t odw rotnie . Wn ioskujem y s tąd (znowu korzysta

wzoru (18 .3) ) , iż moduł śc iś l iwośc i wody musi być ponad 1000 razy więks

ana logiczna wie lkość dla powie t rza . Rzeczywiśc ie tak jes t . W oda jes t zn

mnie j śc iś l iwa niż pow ie trze , czyl i innym i s łowy (porównaj ze wzorem

je j moduł śc iś l iwośc i jes t znacznie większy.

Wyprowadzenie wzoru (18.3)

Wyprowadzimy te raz wzór (18.3) , korzysta jąc bezpośrednio z zasad dy

Newtona . Weźmy pojedynczy impuls , w którym nas tępuje zagęszczenie

pres ja ) ośrodka , biegnący (z prawa na l ewo) z prędkośc ią v w powie t rzu

nia jącym długą rurę , tak jak na rysun ku 17.2. Za łóżm y, że p o r u s z a m y się

z tym i m p u l s e m z taką samą prędkością, tak by w na szym układz ie odnie

impuls pozos tawa ł w s p o c z y n k u . Na rysunku 18.3a przeds tawiono tę s



przepływające powietrze

(element płynu)

j— p +Ap, v + A v

J -AAx\^

impuls

a )

P,v

b )

Rys. 1 8 . 3 . Impuls zagęszczenia zosta ł wysłany wzdłuż długie j

wypełnionej powiet rzem. Układ odniesienia na rysunku wybra

taki sposób, by impuls pozostawał w spoczynku, a powiet rze

pływ ało z lewa na prawo, a) Warstwa pow iet rza o grubo ści

Ax

sza się w kierunku impulsu z prędkością

v.

b) Powierzchnia czo

warstwy dociera do impulsu. Przedstawiono si ły (związane z c i

niem powietrza) działające na powierzchnię czołową i powierz

tylną warstwy

v z lewa na prawo.

Niech ciśnienie niezaburzonego powiet rza będzie równe p, a ciśnienie w

p + Ap, gdz ie Ap jest wielkością dodatnią za względu

Ax

S, poruszającą się w kierunku impulsu z prędkością v. Gdy

gdz ie Av jest wielkością

ujemną.

To spowolnienie jest pełne, gdy tylna

Ax

At = — . ( 1 8 .4 )

v

Zastosujmy teraz do rozważanej warstwy powiet rza drugą zasadę dynamiki

pS i jest skierow ana w praw o, a średnia si ła działająca n a czołow ą po

wy wynos i (p + Ap)S i jest skierowana w lewo ( rys. 18.3b) . Za

F ~ pS — (p + Ap)S = —ApS (siła wypadkowa). (18.5)

SAx, za t em — ko

Am = pSAx = pSvAt

(masa).

(18.6)

At wynos i

A d

a — (przyspieszenie). (18.7)

A r

Z drugiej zasady dynamiki Newtona (F = ma) oraz ze wzorów (18.5) ,

At;

-ApS = (pSv

A O — ,



co możemy zapisać w postac i

pv

1

= —p?-.

Av/v

Powie trze , które na zewnątrz impulsu za jmowało obję tość

V(= SvAt),

w

impulsu zos ta je śc iśnię te o

AV(= SAvAt).

Za tem

AV _ S Av At _ Av

~V~ ~ Sv At ~ v'

Podstawia jąc kole jno (18.9) i (18.2) do (18.8) , dochodzimy do równania

A d / d

AV/V

Rozwiązując to równanie względem

v,

otrzymujemy wzór (18.3) na pr

powie trza przepływającego w prawo na rysunku 18.3, czyl i na prędkość i

b iegnącego w lewo.

At

między dotarciem dźwięku do ucha bl iższego źródła

D.

At od odległości D i kąta 9

O — r

Opóźn ien ie At związane jest z dodat

d, jaką każde czoło fali musi przebyć, aby dotrzeć do

(L), po tym, jak m inie prawe (P). Z rysunk u 18.4

d Z) s in

6

At = - =

v v

(odpowiedź) , (18.10)

1 8 . 4 .

Przykład 18.1 . Czo ło fali docierające do lewego (L)

d

=

D

sin

9 )

niż czoło fali

(P ) ucha

gdzie v jest prędkością dźwięku w powietrzu. Opierając

doświadczeniu, nasz mózg wiąże obserwowaną war tość

zera do war tości maksymalnej) z war tością kąta 9 (od

90°) określającego kierunek źródła dźwięku.

b) Załóż, że jesteś zanurzony w wodzie o temperaturze

a czoło fali dociera do twojego prawego ucha wprost z

strony. Rozważając opóźnienie czoła fali, znajdź kąt

9

(w

kierunku do przodu) , pod jakim pozornie znajduje s ię źró


O — ł

Tym razem za prędkość dźwięku przyjmujemy p

dźwięku w wodzie v

w

, zatem zastępując we wzorze (1

przez y

w

i podstawiając

9

= 90° , otrzymujemy

Os i n 9 0 ° D

At„

Ponieważ v

w

jest około czterokrotnie większe od v, opó

A f

w

s tanowi około jednej czwartej maksym alnego opóźn

powietrzu. Opierając s ię na doświadczen iu, móz g przetwor

tość opóźnienia w w odzie, jak gdyby powstało ono w

trzu. Zatem będzie ci s ię wydawało, że źródło dźwięk

duje się pod kątem

9,

mniejszym niż 90° . Aby znaleźć

do wzoru (18.10) zamiast At podstawiamy opóźnienie D

wzoru (18.11) i otrzymujemy

D D si n 9

— = .

fw

v

Aby rozwiązać to równanie względem 8, podstawiam

343 m/s oraz v

w

= 1482 m/s (z tabeli 18.1) i dostajemy

. „ v 343 m/s

1482 m/s

=

0 ,231 ,

skąd 9 =

(odpo



B i e g n ą c e f a l e d ź w i ę k o w e

inam y z rozdziału 17, taką fa lę może my w ytworzy ć, poruszając s inusoidalnie

się na lewym końcu rury ( jak na rysunk u 17.2) . Przesun ięcie

prawo i w lewo oraz zmiany jeg o ciśnienia przemieszczają s ię wzd łuż ru ry

Rozważmy cienką warstwę powiet rza o grubości Ax, której położenie wy

x, mierząc wzdłuż rury. Przy ruchu fal i ta warstwa powiet rza porusza się

18.5b) . Tak więc drgania każdej warstwy powiet rza , spowodowane przez

podłużne, a

poprzeczne. Poniew aż elemen t l iny drga równ olegle do osi y, m o ż e m y j e g o

y(x, t). Podobnie , warstwa powiet rza drga

x,

zatem jej przem ieszcze nie mogl ibyśm y zapisać w postaci

Jednakże będziemy unikać te j n iezręcznej notacj i i posłużymy się zapi

m six, t).

Aby przedstawić sinusoidalną zależność przemieszczenia s(x,t) od x i t,

emy p osłużyć się funkcją zarów no sinus, jak i cosinus . W tym rozdziale

to ampl i tuda przemieszczen ia , czy l i maksymalne p rzemieszczen ie war s twy

zagęszczenie

—>

_ , I

six, t) = s

m

cos(fcc — cot). (18.13)

-X

Rys. 1 8 . 5 . a) Fala dźwiękowa biegnąca w długiej wyp ełnionej po

trzem rurze z prędkością v ma postać przemieszczającego s ię

sowego układu obszarów zagęszczenia i rozrzedzenia powietrza

rysunku przedstawiono falę w pewnym dowolnie wybranym mo

cie, b) Rozciągnięty poziomo widok krótkiego odcinka rury. Pod

ruchu fali warstwa płynu o grubości

Ax

drga harm onicznie w l

w prawo wokół swojego położenia równowagi . Na rysunku prze

wiono moment , gdy rozważana wars twa przemieszczona jes t w p

na odległość s od położenia równowagi . Maksymalne przemies

nie wars twy, zarówno w lewo, jak i w prawo, wynosi s

m



me — różnią się o pewną wielkość As. Zatem zmianę objętości możemy

AV = SAs.

(18.18)

Podstawiając wyrażenia (18.17) i (18.18) do (18.16), a następnie przechodząc

granicy, otrzymujemy

A J

ds

Ap = - B -

r

= - B -

r

.

(18.19)

Ax óx

jest pochodną cząstkową,

s wraz z x w ustalonej chwili t. Jeżeli zatem

t jako stałą, ze wzoru (18.13) dostaniemy

ds d

— = —[s

m

cos(kx — cot)] = —ks

m

sin(A:x — cot).

dx dx

Ap = Bks

m

sin(£x

—

cot).

Ap

m

= Bks

m

otrzymujemy

wyrażenie (18.14),

Korzystając ze wzoru (18 .3) , możemy zapisać

Ap

m

= (Bk)s

m

= (v

2

pk)s

m

.

co/v zamiast k natychmiast

18.2

Ap

m

, jaką ludzkie ucho

w

postaci głośnego dźwięku , jest równa oko ło

28

ona

znacznie mniejsza

od

normalneg o ciśnienia powietrza

10

5

Pa).

Znajdź am plitudę przemieszczenia

s

m

dla

w

powietrzu

o

gęstości

p = 1,21

k g / m

3

, przy

1000 Hz i

prędkości

343 m/s.

t Amp litudę przemieszczenia

s

m

fali dźwiękow ej oraz ampli

Ap

m

wiąże równ anie (18.15 ). Rozwiązując

ze

względu

na s

m

,

otrzymujemy

m

vpco vp(2itv)

Podstawienie wartości liczbowych daje

28

Pa

S m

~~ (343

m / s ) ( l , 21 kg /m

3

) ( 2 j r ) ( 1000

Hz)

= 1,1 • IO

- 5

m = 11 p.m. (odpo

Otrzymana wartość jest równa mniej więcej jednej siódme

bości

tej

kartki .

Jak

widać, amplituda przemieszczenia

dla

najgłośniejszego dźwięku, jaki m oże znieść ludzkie ucho, je

dzo mała .

Amplituda zmian ciśnienia Ap

m

dla

najsłabszego s

nego dźwięku o częstości 1000 Hz wynosi 2,8 • 10~

5

P

wtarzając powyższe obliczenia, dla tej wartości otrzym

j

m

= 1,1 • 10^"

m

= 11 pm.

Ucho rzeczywiście jest c

detektorem fali dźwiękowej.



. 1 8 . 8 . Dwa źródła punktowe S I i 5 2

P

1 8 . 4 .

I n t e r f e r enc j a

Podobnie jak fa le poprzeczne, również fa le dźwiękowe ulegają in terferenc

ważmy w szczególności in terferencję dwóch identycznych fa l dźwiękowy

gnących w tym samym kierunku. Na rysunku 18.8 przedstawiono takie f

chodzące z dwóch źródeł punktowych

S i

i S

2

emitujących będące w

fazie fa le dźwiękowe o jednakow ej dłu gości fa l i X. Źródła emitują fale w

nej fazie , a zatem związane z tymi fa lami przemieszczenia na wyjściu ze

są zawsze takie same. Zajmiemy się fa lami przechodzącymi przez zaznacz

rysunku 18.8 punkt

P.

Załóżmy, że odległość do punktu

P

jes t znacznie

od odległości między źródłami, tak więc możemy w przybliżeniu przyjąć ,

w punkc ie P poruszają s ię w tym samym kierunku.

Gdyby fa le , aby dotrzeć do punktu P, przebywały drogi o identyczny

gościach, byłyby w tym punkcie w zgodnej fazie . Podobnie jak w prz

fal poprzecznych, oznacza to , że powinna tu nastąpić całkowicie konstru

interferencja . Jednakże na rysunku 18.8 droga L

2

, jaką przebywa fa la ze

5 2

jes t d łuższa od drogi L\ przebytej przez falę ze źródła

5 i .

W ys tęp

te j różnicy dróg oznacza, że fa le w punkcie P nie mogą być w zgod

z ie .

Innymi słowy, różnica faz obu fal

cb

w punkc ie P za leży od różn i

A L = | L

2

- L , | .

Aby powiązać różnicę faz cb z różnicą dróg AL, przypomnijmy (pat

graf 17.4), że różnica faz równa 2n rad odpowiada jednej d ługości fa l i . M

zatem zapisać proporcję .

A

,

0 A L

2it X

skąd

cb

AL

- 2 TT.

(18

Całkowicie konstruktywna interferencja następuje wówczas, gdy różnica

równa jest 0 , 2

T T

lub całkowite j wielokrotności 2

T T

. Możemy ten warunek

w postaci

cb

= m(2n), gdz ie m — 0, 1, 2, . . . (interferencja całkowicie konstruk

Zgodnie ze wzorem (18.21) jes t tak wtedy, gdy s tosunek AL/A spełnia w

A L

= 0 ,

1,2,. . .

X

(interferencja całkowicie konstruktywna). (1

Na przykład, jeżel i różnica dróg L = |L

2

— L\ \ na rysunku 18.8 równa

to AL/A = 2 i fa le u legają całkowicie konstruktywnej in terferencji w punk

W tej sytuacj i in terferencja jes t ca łkowicie konstruktywna, gdyż fa la ze źr

jes t przesunięta względem fal i ze źródła S\ o 2X , tak więc obie fale są d

Zgodne w fazie

w punkc ie

P.

Z kolei ca łkowicie destruktywna interferencja występuje wówczas, g

nica faz

cb

jes t równa nieparzyste j wielokrotności n — ten warunek



= (2m +

1

)71, gdzie m = 0,1,2, . . . (interferencja całkowicie destruktywna).

(18.24)

AL/k spełnia warunek

AL

=0

, 5 ,

1

,5,

2

,5,

. . . (interferencja całkowicie destruktywna). (1 8.25)

k

AL = | L

2

— L\\ na rysunku 18.8 równa jest 2,5A.,

AL/k = 2

,5

i fale ulegają całkowicie destruktywnej interferencji w punkcie P.

jest przesunięta względem fali ze źródła S\ o 2

,5

długości fali, tak więc obie

P są mają fazy maksymalnie niezgodne.

Oczywiście fale mogą ulegać również pośrednim formom interferencji, gdy —

AL/k =

1,2. Ta sytuacja powinna być bliższa interferencji całko

(AL/k = 1,0) niż całkowicie destruk tywnej (AL/k = 1,5).

18.3

18.9a

przedstawiono

dwa

źródła punktowe

S

t

i S

2

,

się w

odległości

D = l,5k od

siebie. Źródła

te

emitują

o

długości

k.

ze źródeł

Si

i

S

2

P

leżącym w płaszczyźnie symetrii odcinka

S}S

2

,

niż

D

od źródeł. Jaki rodzaj interferencji

Aby dotrzeć do punktu

P

u

obie fale pokonują takie same

ich różnica dróg wynosi

AL

= 0.

(odpowiedź)

iż

fale

w

punkcie

P\

ulegają całkowicie

dla punktu P

2

na

—t Fala ze źródła S\, aby dotrzeć do punktu P

2

, przebywa

(w stosunku do fali ze źródła S

2

) drogę D = 1,5A.

AL

= 1,5A.

(odpowiedź)

iż

fale

w

punkcie

P

2

mają fazy maksy

i ulegają całkowicie destruktywnej interferencji.

Na

rysunku 18.9b przedstawiono okrąg

o

promieniu znacznie

niż odległość D, umieszczony w taki sposób, by jego

D/2

D/2

Pi

* 2

i , o v "

OLFC

1,0AX,

a)

1,5A

1,0/1

T

AM

Rys. 18.9.

Przykład 18.3.

a) Dwa

źródła punktowe

S

t

i S

dujące

się w

odległości

D,

emitują

w

zgodnej fazie kuli

dźwiękowe. Aby dotrzeć do punktu Pi, fale pokonują jed

odległości. Punkt P

2

znajduje się na przedłużeniu odcinka

cego źródła Si i S

2

. b) Różnica dróg (wyrażona w dług

fali) między falami pochodzącymi ze źródeł

Si

i

S

2

dla

punktów

na

dużym okręgu wokół źródeł

środek znajdował

się

pośrodku miedzy źródłami

5] i S

2

.

W

liczbę N punktów na okręgu, w których zachodzi całkowic

struktywna interferencja.



że wychodzimy z punktu a i zgodnie z kierun

do

d.

T

1

. Gdy przesuwamy się do punktu d, różnica dróg AL

i w konsekwencji zmienia się typ interferencji. Z części

że w punkc ie a różnica dróg wynosi AL = Ok. Z

z

części

(b)

wiemy,

że w

punkc ie

d

m a m y

AL = 1,5A.

na okręgu pomiędzy punktami a i d musi znajdować się

w k tórym AL = X — patrz rysunek 18.9b. Ze wzoru —

że w tym pu nkcie następuje interferencja całko

że pomiędzy punktami a

i d

nie ma

żadnego innego punktu ,

w

którym mogłaby

terferencja konstruktywna, gdyż

w

przedziale

od 0 do 1,

innej liczby całkowitej

niż 1.

0^™» 2 . Do znalezienia punktów całkowicie konstruktywn

ferencji

w

pozostałe j części okręgu korzystamy

z

symetr i

Symetr ia względem linii

cd

daje punkt

b, w

k tórym

A

W podobny sposób otrzymujemy ponadto trzy inne punk

A L = X. W sumie mamy

N

= 6.

(odp

•SPRAWDZIAN

2

: Powróćmy do powy ższego przy

-Gdyby odległość D między ź ródłami Si i 52 była rów na

jaka byłaby różnica dróg i jak i rodzaj interferencji zachod

a) w punkc ie Pi i b) w punkc ie

P2?

1 8 . 5 .

N a t ę ż e n i e i głośność d ź w i ę k u

Każdy,

kto

próbow ał zasnąć , po dczas

gdy

sąs i ad pu szcza ł g łośną muz y

świadomość, że dźwięk ma nie tylko częstość, długość fal i i prędkość . M a r

n a t ę ż e n i e . N a t ę ż e n i e

/

fal i dźwiękowej

na

pewnej powierzchni j es t

to

szybkość

w

prze li czeniu na j ednos tkę powierzchn i ,

z

jaką fala do starcza

d o tej powierzchni ( lub przenos i p rzez nią energ ię ) . Możem y tę definicję

w postaci

/

= | ,

gdz ie

P

jest szybkością przenoszenia energi i (czyl i mocą) fal i dźwiękow

— polem pow ierzchni odbiera jące j dźw ięk . Jak pokażem y

niżej,

na t ężenie

ampl i tudę przemieszczenia

s

m

fal i dźwiękowej wiąże zależność

/ = \pvco

2

s

2

m

.

(1

Zależność natężenia od odległości

Punktowe źródło 5 emi

we

o promieniu r i środku w

5

S p o só b ,

w jak i na t ężen ie za l eży

od

od leg łośc i od rzeczyw is t ego ź ródła d

często jest skompl ikowany. Niektóre rzeczywiste źródła (np. głośniki ) mo

tować dźwięk j edyn ie w pewnych k i e runkach , z ko le i o toczenie zwykle w

echa (odbi te fale dźwiękowe), które nakładają się

na

fale dź więko we doc

b e z p o ś re d n i o

do

odbiorn ika . Jed nakże

w

pewnych sy tuac jach mo żem y p

e c h a

i

za łożyć ,

że

ź ródło fal i j es t ź ródłem punk towym , emi tu jącym dźw

tropowo, t zn . z j e d n a k o w y m n a t ę ż e n ie m we wszys tk i ch k i e run kach . Na r

18 .10 przeds t awiono czoła fa l i rozchodzące

się z

t ak iego i zo t ropowego

p u n k t o w e g o

S.

Załóżmy,

że

gdy fale dźw iękow e rozchod zą się

ze

ź ródła , i ch energ ia

niczna zostaje zachowana. Wyobraźmy sobie sferę

o

promieniu

r,

której

znajduje

się w

ź ródle

—

pa t rz rysunek 18 .10 . Cała energ ia emi towan

źródło musi p rze j ść przez powierzchnię tej sfery. Zatem szybkość, z ja

dźwiękowa przenos i energ ię przez

tę

powierzchnię , musi

być

równa sz



P±

r

ź ród ła ) . Ze wzo ru (18.26) w idać, że

/ na rozwa żanej sferze m usi być rów ne

/ =

Au r

2

(18.28)

2

jes t polem powierzchni sfery . Równanie (18.28) mówi, że natężenie

z izo t ropowego ź ród ła punk towego je s t odwro tn ie p roporc jona lne do

od

źródła .

Rysunek przedstawia t rzy małe ob

2 i 3 leżące na dwóch pow ierzchniach sferycznych,

S. Szybkośc i , z jakim i fale dźw iękowe prz e

te obszary, są jednak owe . Uszereguj te

a)

według natężen ia dźwięku oraz

b)

według

ich

od największych.

w p rzyk ładz ie 18 .2 , ampl i tuda p rzem ieszczen ia w ludzk im uchu

5

m

dla najgłośnie jszego to lerowalnego dźwięku

o k o ło 1 0

- 1 1

m dla najs łabszego s łyszalnego dźw ięku; s tosunek tych amp li tud

6

. Zgodnie ze wzorem (18.27) natężenie dźwięku jes t proporcjonalne do

ampl i tudy p rzemieszczen ia , tak więc w przypa dku ludzk iego narząd u

1 2

. Ludzie mogą s łyszeć

Z tak ogrom nym zakresem w ar tośc i uporamy się za pomocą logary tmów .

y

=

l o g x ,

x i y

— zmienne . Równan ie to ma następującą właśc iwo ść: jeżel i pomno

x przez 10, to y wzrośn ie o 1. Zap isu jemy to w postaci

y = l o g ( l O ^ ) = log 10 + l o g x = 1 +

y.

g d y p o m n o ż y m y x p rzez 10

1 2

, wówczas y wzrośn ie o 12.

Tak więc zamiast mówić o na tężen iu / fa l i dźwiękowej, znacznie wygodniej

o g ło ś n o ś c i d ź w ię k u

B,

zdefiniowanej jak o

( l O d B ) l o g - . (18.29)

dB

oznacza jednos tkę g łośnośc i

—

d e c y b e l ( = 0 , 1 b e l a)

—

której

na

w uznan iu p rac Alexandra G rahama B e l la . Wie lkość I

0

we wzorze

to

s tandardowe natężenie odniesienia (IQ

=

1 0 ~

1 2

W / m

2

) , w y b r a n e

w

by było bl iskie dolnej granicy s łyszalności ludzkiego uc ha. Dla

= IQ ze

wzoru (18 .29) o t rzymujemy

fi =

l O l o g l

= 0, a

więc nasz s tandar

Za k a ż d y m r a z e m , gdy



Głośności wybranych

dźwięków [dB]

próg słyszalności

szum liści

rozmowa

koncer t rockowy

granica bólu

silnik odrzutowy

0

10

60

110

120

130

natężenie dźwięku wzras ta o rząd wie lkośc i (o czynnik 10) , głośność fi zw

się o 10 dB. Zatem f3 = 40 dB odpowiada 10

4

r azy większemu na tęże

s tanda rdowego poz iomu odnie s ien ia . W tabe l i 18 .2 podano g łośnośc i wyb

dźwięków.

Wyprowadzenie wzoru (18 .27)

Rozw ażmy (rys . 18.5 a ) c ienką w ars twę pow ie trza o grubo śc i

dx ,

powie rz

i masie dm, drga jącą w przód i w tył w wyniku przechodzenia fa l i dźwi

opisane j wzorem (18 .13) . Ene rg ia k ine tyczna d /Ą wars twy powie t rza wy

1

dm

v..

(

W tym wzorze wie lkość v

s

nie jes t prędkośc ią fa l i, a le prędkośc ią drgań e l

powie trza , którą otrzymujemy ze wzoru (18.13)

3 5

• TIR

— = —

co s

m

s t n ( K x

dt

cot).

Korzystając z tej zależności i podstawiając dm = pSdx, przeksz ta łcamy ró

(18.30) do postac i

dE

k

= UpSdx)(-cos

m

) sin (kx - cot).

(

Dzie ląc wyraż enie (18.31 ) przez dr , otrzymujemy szybko ść , z jaką fala pr

energię kine tyczną . Jak widz ie l iśmy w rozdzia le 17, dla fa l poprzecznych

jes t prędkośc ią

v

fali , mamy zatem

dE k 1 ? ? z

= -pSvco

s

m

s i n

(kx

—

cot).

dt 2

Średnia

szybkość przenoszenia ene rg i i wynos i

'dL\

dt

1

O O O

1

0 0

= -pSvco

s

m

[sin

(kx

—

cot)]j

t

= -pSvco s

m

.

(

(

Wykorzysta l iśmy tu fakt , że ś rednia wartość kwadra tu funkcj i s inus ( lub co

wzię ta po jednym pełnym okres ie drgań, równa jes t 1/2.

Zakładamy, że energia

potencjalna

przen oszo na jes t przez falę z tak

średnią prędkośc ią . Za tem ze wzoru (18.33) wynika , że na tężenie

I

fali ,

ś rednie j szybkośc i w prze l iczeniu n a jedn ostkę p owierzch ni , z jaką fa la pr

obydwa rodzaje energi i , jes t równe

I =

2 d £

k

/ d 0

ś

1

S 2

W ten sposób wyprowadz i l i śmy wzór (18 .27) .

pvco

2

s

2

m

.

L =

liniowym źródłem

P±

= 1,6

•

1 0

4

W .

a) Wyznacz natężenie / dźwięku w odległości r = 12 m o


Wyobraźm y sobie walec o promieniu r = 12 m i d

L = 10 m otaczający współosiowo iskrę, tak jak pokaz

rysunku

18.11.



- iskra

1 8 . 1 1 . Przykład 18.4. Iskra

r i długo

L,

usytuowany współosiowo

1 . Natężenie / na powierzchni walca jest równe stosunkowi

P energii dźwiękowej przez powierzchnię

S tej powierzchni.

2.

Zakładamy, że zasada zachowania energii stosuje się

P,

P±

T

, z jaką źródło emituje energię. Łącząc

S = 2izrL,

(18.34)

P __ P

r

S 2nrL

kwadratu odległości r, jak w przypadku źródła punktowego

podstawieniu podanych w zadaniu wartości otrzymujemy

1,6 • 10

4

W

2JT (1 2

m)(10 m)

= 21,2 W/m

2

m 21 W/m

2

, (odpow

b) Wyznacz szybkość odbioru energii Ą przez detektor

styczny o polu powierzchni S

d

= 2 cm

2

, umieszczony w

głości r = 12 m od iskry.


Powracamy do rozwiązania części (a). O—r Natężenie dź

docierającego do detektora równe jest ilorazowi mocy Ą p

cej na detektor do jego powierzchni Ą:

I =

Pi

Si'

(1

Wyobraźmy sobie, że detektor leży na analogicznej powier

walcowej jak w części (a). Wówczas natężenie dźwięku doc

jącego do detektora jest równe natężeniu dźwięku na powierz

walca, tj. / = 21,2 W/m

2

. Rozwiązując równanie (18.35) w

dem Pi, otrzymujemy

Pi =

(21,2 W/m

2

)(2

•

1( T

4

m

2

) = 4,2 mW. (odpow

18.5

głośność w odległości 46 m od głośników wynosiła

fi

2

=

I

2

, generowanego

1\ młota

Pi = 92 dB.

» W przypadku zarówno zespołu The Who, jak i młota pneu

f3 i natężenie / dźwięku wiąże ze sobą de

H

p\ = (10 dB)l og

/O

zapisujemy wyrażenie (18.36) w postaci

Pi-p\ = (1 0dB) lo gf .

' i

(1

Po przekształceniu i podstawieniu wartości danych w zad

otrzymujemy

,

H H-Pi

1 2 0 d B - 9 2 d B

log — =

< f >

M

=

TTTT^

=

2,8.

h 10 dB

10 dB

Biorąc antylogarytm skrajnej lewej i skrajnej prawej części

wyrażenia (na klawiaturze kalkulatora antylogarytm oznac

jest prawdopodobnie symbolem 10*), otrzymujemy

~ = log-'(2,8)

h

630.

(odpow

ft = (10dB)>g-i .

/O

0 2 - / 8 , =(10dB) ( log Y- log

I

-

\ 'o h

a

log - - log -

ad

(18.36)

Tak więc zespół The Who grał naprawdę bardzo głośno.

Chwilowe narażenie się na dźwięk o takim natężeniu

hałas młota pneumatycznego lub koncert zespołu The W

1976 roku, może wywołać czasowe osłabienie słuchu. Powt

jące się lub przedłużone narażenie na taki dźwięk może

wodować trwałą utratę słuchu. Utrata słuchu stanowi ocz

ste ryzyko dla każdego, kto stale słucha, powiedzmy, zesp

heavy-metalowych „na cały regulator", szczególnie przez

chawki.

1 8 . 5 .

Natężenie

i

głośność dźwięku



18 .6 . Ź ród ła dźwięków w muzyce

h

L

H

X = 2L

b )

a) Najprostsza fala sto

(S)

W)

w środku. (Podłużne przemiesz cze

Dźwięki muzyczne mogą być wytwarzane przez drga jące s t runy (gi ta ra ,

pian, skrzypce) , membrany (kocioł , werbe l) , s łupy powie trza ( f le t , obój , o

drewniane klocki lub s ta lowe płytki (marimba, ksylofon) oraz wie le innyc

jących c ia ł . W iększo ść ins trumentó w zaw iera więce j niż jede n e lemen t dr

Na przykład w skrzypcach w generowaniu dźwięku biorą udzia ł zarówno

jak i pud ło ins trum entu. \

J ak pamię tamy z rozdz ia łu I 7 \ w naprężone j i umocow ane j na obu k

strunie mogą powstawać fale stojące, gdy fale biegnące wzdłuż struny odbij

od je j końców. Jeże l i długość tych fa l jeą t odpowiednio dopasowana do dł

s t runy, to nakłada jące s ię na s iebie fa le biegnące w przec iwnych kierunka

twarza ją fa lę s tojącą (mod drgań) . Wymagana do tego długość fa l i odpowia

stości rezonansowej struny. Korzyść z wy twarzan ia fal s tojących polega na

s t runa drga wówczas z dużą i niezanikającą ampli tudą , popychając tam i z

tem otacza jące ją powie trze i wytwarza jąc w ten sposób fa lę dźwiękową o

nym natężeniu i o te j samej częs tośc i co drgania s t runy. Taki sposób wytw

dźwięku ma z oczywis tych powodów duże znaczenie na przykład dla gi ta

W podobny sposób możemy wytworzyć fa lę s tojącą w wypełnionej

t rzem rurze . Fa le dźwiękowe biegnące w powie trzu wypełnia jącym rurę o

s ię na każdym je j końcu i biegną z powrotem. (Odbic ie nas tępuje nawet

gdy koniec rury jes t otwarty, przy czym wówczas odbic ie nie jes t ca łk

jak w przypadku końca zamknię tego) . Jeże l i długość fa l i dźwiękowej jes t

wiednio dopasowana do długośc i rury, to nakłada jące s ię na s iebie fa le bi

przez rurę w przec iwnych kierunkach wytwarza ją fa lę stojącą. W y m a g a

tego długość fa l i dźwiękowej odpowiada częs tośc i rezonansowej rury. Kor

wytwarzania takich fa l s tojących polega na tym, że powie trze w rurze drga

i niezanika jącą ampli tudą , emitując na każdym otwartym końcu fa lę dźw

o takie j samej częs tośc i co drgania w rurze . Taki sposób wytwarzania d

ma z oczywis tych powodów duże znaczenie na przykład dla organis ty.

Stojące fa le dźwiękowe w rurze pod wie loma względami są podobne

s tojących w s trunie . Zamknię ty koniec rury, podobnie jak umocowany

s t runy, to mie jsce , w którym musi być węzeł (zerowe przemieszczenie) ;

gie j s t rony, otwarty koniec rury, ana logicznie do końca s t runy połączon

swobodnie porusza jącym s ię pierśc ieniem, jak na rysunku 17.19b, to m

w którym musi być s t rza łka . (W is toc ie s t rza łka przy otwartym końcu ru

kal izowana jes t nieco poza je j końcem, a le tuta j nie będziemy rozważać

szczegółów).

Najprostszą falę

stojącą,

j aką można wytworzyć w rurze z dwoma o tw

końcami , p rzeds tawiono na rysunku 18 .12a . Zgodnie z oczekiwaniem, n

dym otwar tym końcu rury mamy s t r za łkę . Mamy również węze ł w ś rodku

Prostszy sposób przedstawienia s tojące j podłużnej fa l i dźwiękowej pokaz

rysunku 18.12b — można ją zaznaczyć jako ana logiczną do nie j poprzeczn

stojącą w strunie.

Fa lę s tojącą przedstawioną na rysunku 18.12a nazywamy

modem po

wym

lub

pierwszą harmoniczną.

Aby wytw orzyć taką fa lę

stojącą,

fa le dźw



L muszą mieć d ługość określoną równaniem L = k/2, czyli

Kilka innych stojących fal dźwiękowych w rurze o obu końcach otwar

odpow iada fa lom o d ługości k = L, trzecia harmo niczna —

X = 2L/3 itd.

Mówiąc ogóln ie , częstośc i rezonansowe d la rury o d ługości L, mającej oby

2L

k = —,

n

gdzie n = 1,2,3, (18 .38)

n — liczba harmoniczna. Zate m częstośc i rezonansow e d la rury o dwóc h

v nv

v = — = — , g d zi e n = 1 ,2 ,3 , . . . ( ru ra o dw óch końcach o tw ar tych ) ,

k 2L

(18 .39)

v jes t p rędkością dźwięku.

Na rysunku 18.13b przedstawiono — posługując się analogią do fal w strunie

ących fal dźwiękowych , jak ie m ożna w zbudzić w rur ze mającej ty lko

L = k/4, za tem k = AL. D ługość

L = 3A./4, zatem w yno si

= AL/3.

Mówiąc ogólnie, częstości rezonansowe dla rury o długości L, mającej tylko

AL

— , g d zi e n = 1,3,5,

n

n

= 2

n

= 3

n = 4

n = 1

n = 3

n = 5[:

n = 7 1

a )

X

= 2L/2

X

= 2L/3

X

= 2L/4

X = 4L

X = 4L/3

X = 4L/5

A = 4L/7

b )

Rys. 18.13.

Fale stojące w strunie

rysowane na tle rur przedstawiają

jące fale dźwiękowe w rurach, a)

ob a końce rury są otwarte, możliwe

wzbudzenie każdej harmonicznej (p

także rysunek 18.12) . b) Gdy otw

jest jedynie jeden koniec rury, wzbu

możn a jedynie nieparzyste harmo nic

(18 .40)

1 •;

Tl p

i *

dksolon h<tr\lonow\

* saksolon

I

I

WY

•tkspfon sopranowy

i

FGB C E

FO^ PGB

C E F B f ^ B C ę F / B t E F^^^

Rys. 18.14.

Rodziny saksofonów i inst rumentów smyczkowych

kazują związek między rozmiarami inst rumentu a zakresem

stośc i . Zakres częstośc i każdego inst rumentu przedstawiony je

postac i poziomego paska wzdłuż skal i częstośc i na klawiaturze

rysowanej u dołu rysunku; częstość rośnie od lewej do prawej

18.6 .

Źródła dźwięk ów w muzyce



w którym l i c zba ha rmoniczna n musi być nieparzysta. Zatem częs tośc i re

sowe dane

są

wzorem

v

nv

v = — = —, gdz ie n

=

1 , 3, 5 , . . . (r u ra

o

j edny m końcu o twar tym

Podkreś lmy jeszcze raz ,

że w

rurze

o

j edny m końcu o tw ar tym mogą wys t

jedyn ie n iepa rzys te ha rmoniczne . Na przykład

w

takie j rurze nie możn a wz

drugie j harmonicznej , dla które j n = 2. Zauważm y również ,

że w

przypad

tego rodza ju l iczebnik

w

wyrażen iu typu „ trzec ia harm on iczna " odno si s ię

do l iczby harmonicznej n (nie chodzi

tu o

trzecią

z

kole i możl iwą do w zbu

ha rmoniczną ) .

Rozmiary ins trumentu muzycznego odzwierc iedla ją zakres częs tośc i ,

kiego dany ins trument zos ta ł zaprojektowany; mnie jsze rozmiary oznacza ją

sze częs tośc i . Na rysunku 18.14 przes tawiono jako przykład rodziny sakso

i ins trumentów smyczkowych oraz ich zakresy częs tośc i odnies ione do klaw

for tepianu. Zauważmy,

że

zakresy częs tośc i wszystkich ins trum entów na

się

na

siebie.

W każdym układzie drga jącym, wytwarza jącym dźwięki muzyczne ,

w strunie skrzypiec ,

czy też w

pow ie trzu wypełnia jącym piszcza łkę org

zwyk le j ednocześnie gene rowane

są

mo d podstawow y oraz jed na lub więce

szych ha rmonicznych .

W

konsekw encj i s łyszym y

je

razem jako fa lę wypa

powstającą

w

wyniku

ich

nakładania

się na

s iebie . Gdy

na

różnych ins t

tach muzycznych gramy

tę

samą nutę , wytwarzamy

tę

samą częs tość podst

oraz różniące s ię na tężeniami wyższe harmoniczne . Na przykład czwarta

n iczna ś rodkowego

C w

j edny m ins t rumenc ie może być s tosunkowo g łośn

innym

—

s tosunkowo c icha lub nawet może nie występować. Ponieważ ró

s trumenty wytwarza ją różne fa le wypadkowe, brzmią one

w

różny sposób

wówczas ,

gdy

gramy

na

nich

tę

samą nu tę . Taką sytuac ję m amy

dla

pr

wionych

na

rysun ku 18.15 t rzech

fal

wyp adkow ych wytw arzanych przez

ins trumenty gra jące

tę

samą nutę .

'SPRAWDZIAN

4: Mamy dwie rury, każda

o obu

końcach otwartych

—

rurę

długości

L

oraz rurę

B o

długości

2L.

Która harmoniczna rury

B ma

taką samą czę

jak mod podstawowy rury

A?

Rys. 1 8 . 1 5 . Fale generowane przez

a)

flet,

b)

obój

i c)

saksofon, gdy gram y

na

nich

nutę; tzn. pierwsze harmoniczne mają taką samą częstość

X AL

(18



18.6

w

pokoju wzbudza drganie podstawowe

w

kartonowej

o długości L = 67 cm, mającej obydwa końce otwarte.

że

prędkość dźwięku

w

powietrzu wewnątrz rury wynosi

o

jakiej częstości wydobywa

się z

rury?

N I E :

T

W przypadku rury otwartej z obu stron mamy symetryczną

w której fala stojąca ma strzałki na obu końcach rury.

w strunie jest taki jak na ry

18.12b. Częstość modu podstawowego określona jest rów

dla n = 1, a mianowicie

nv (1)(343 m/s)

= 256 Hz. (odpowiedź)

2L 2(0,67 m)

na przykład

256 Hz.

b) Dźwięk

o

jakiej częstości podstawowej usłyszymy

z

rury

do jednego z jej końców przyciśniemy ucho?


O T Gdy ucho skutecznie zamknie jeden koniec rury, sy

staje

się

asymetryczna

—

przy otwartym końcu rury wys

strzałka,

a

przy drugim (zamkniętym) końcu węzeł. Powsta

stojąca, taka

jak w

najwyższej części rysunku 18.13b. Cz

modu podstawowego określona jest przez równanie (18.4

n = 1, a

mianowicie

nv

AL

(1)(343 m/s)

4(0,67 m)

= 128 Hz.

(odpow

Jeżeli szum wzbudza jakieś wyższe harmoniczne, będą one

rzystymi wielokrotnościami 128 Hz. Tak więc na przykład d

o częstości 256 Hz (będącej parzystą wielokrotnością) nie

zostać wzbudzony.

Dudnienia

średniej arytmetycznej częstości obu

dudnienia

— powtarza jące się z częstością 12 Hz, równą różnicy częstości

oddziałujących fal. Zjawisko dudnień przedstawiono na rysunku 18.16.

Przyjmijmy, że zależność od czasu przemieszczeń związanych z dwiema

s\ = s

m

cos to\t oraz s

2

= s

m

cos tojt,

(18.42)

co\ > toi.

Dla uproszczenia założyliśmy, że fale mają takie same

.v — .S| + S

= s

m

(cos&>ir +

c o s a

> 2 ? ) .

cosa + cos f3 — 2cos \(a — 6) cos ~(a + fi),

a)

czas

b)

Rys.

18.16.

a, b) Zmiany ciś

Ap wywołane przez dwie fale d

kowe słyszane osobno. Częstośc

fal są prawie jednakowe, c) Wypa

zmiany ciśnienia w przypadku, gd

fale słyszane są równocześnie

A

1

c)



możemy zap isać wypadkowe p rzemieszczen ie jako

s = 2s

m

cos \ (a>\ — co

2

)t cos \{co\ + co

2

)t.

Wprowadza jąc oznaczen ia

co'

= \(co\ —

coz) o raz co

=

\(a>\

+

coi),

możemy zap isać wyrażen ie (18 .43)

w

postaci

s(t)

=

[2*

m

cosft) ' f ]cosft)f . (18

Za łóżmy te raz , że częstości kołowe co \ i c o

2

obu oddzia łujących fal są

j enakowe ,

co

oznacza ,

iż w

wyrażen iu (18 .44) mam y co ^> co'. Możemy w

uważać wzór (18 .45) za funkcję cosinus o częstości kołowej co i o amp

(która nie jest stała i z m ie n i a się z częstością kołową co') op isanej wyra

w nawiasach kwadra towych .

Maksymalna ampl i tuda wys tępu je za k a ż d y m r a z e m , gdy cz łon cos

wzorze (18.45) przyjmuje wartość

+1 lub

— 1 ,

co

zachodz i dw ukro tn ie

dym cyklu funkcji cosinus. Ponieważ człon cos co't zawiera częstość koło

częs tość ko łowa

tt>dudn

dudn ień wynos i

&>dudn

=

^ •

Zatem, korzysta jąc

z

(

możemy zap isać

W dudn =

2co' = ( 2 ) ( i ) ( a > i - coi) =co

x

- co

2

.

Ponieważ co

= 2J T V ,

możemy powyższe równan ie p rzeksz ta łc ić

do

postac

Vdudn = V\ — v

2

(częstość

dudn ień) .

(18

Muzycy wykorzystują z jawisko dudnień do s trojenia swoich instrum ent

że li in s t rument b rzm i n iezgodn ie

z

częstością wzorcową (na przykład

z

w

w y m to n e m

A

pierwszego oboju) , należy s troić

go aż do

zaniknięcia d

a wówczas będzie dostrojony do wzorca . W tak muzycznym mieśc ie ja

deń wzorcowy

ton A

(440

Hz)

dostępny jest

dla

wielu mieszkających

mieśc ie muzyków — zarówno profesjonalis tów, jak i amato rów — jako

telefoniczna.

rzykład 18.7

A3

for tepianu do jego poprawn ej częstości

1 .

Obie częstości

są

zbyt od ległe

od

siebie, aby generow ać

2 .

Jednakże struna fortepianu może drgać nie tylko

w

m o

Hz po

dostrojeniu),

ale

również

z

drugą

harmoniczną

(440 Hz po

dostrojeniu).

Tak

więc

w

pr

nieco rozstrojonej struny jej druga harmoniczna będzi

dudnienia

z

drganiem widełek strojowych

o

częstości

Aby nastroić strunę, należy słuchać tych dudnień, naciąga

nocześnie lub luzując strunę tak, aby częstość dudnień m

do

ich

całkowitego zaniku.

•SPRAWDZIAN 5 . W

powyższym przykładzie

w

w

naciągnięcia struny częstość dudnień zwiększyła się w stos

do początkowej wartości

6

H z.

Czy w

celu na strojenia s

należy bardziej

ją

naciągnąć, czy

też

należy

ją

poluzowa



8 . 8 . Z jawisko Dopplera

w kierunku radiowozu z prędkośc ią 120 km /h, s łyszysz dźw ięk o częs tośc i

równej 1096 Hz ( t j . o 96 Hz większej). Gdy z kole i oddalasz się od

mniejszej).

Te zmiany czę s tośc i związane z ruchem są przykładami z jawiska Dopple ra .

Zjawisko Dopplera dotyczy nie tylko fa l dźwiękowych, a le również fa l e lek

S fa l dźwiękowych oraz ich de tektora D względem

(Będziem y na jczęśc ie j przyjmowa ć, że pow ie trze jes t nie ruc hom e

S i de tektor D zbliżają się do siebie lub oddalają od siebie

Jeże l i de tektor lub źródło ( lub de tektor i ź ródło jednocześnie) porusza ją s ię ,

v' wiąże za leżność

v ± x>r>

V

=v (zjawisko Dopplera), (1 8. 47 )v^v

s

v jes t prędkośc ią dźwięku w powie trzu, u

D

— prędkośc ią de tektora wzglę

vs — prędkośc ią ź ródła względem powie trza . Znaki plus lub

regułą:

Jeżeli detektor lub źródło zbliżają się do siebie, znaki ich prędkości należy wybrać

w taki sposób, by uzyskać wzrost częstości. Jeżeli zaś detektor lub źródło oddalają się

od siebie, znaki ich prędkości należy wybrać w taki sposób, by uzyskać zmniejszenie

częstości.

do siebie oznacza wzrost częstości, a od siebie oznacza zmniej

częs tośc i .

Podamy te raz ki lka przykładów zas tosowania te j reguły. Jeże l i de tektor po

D

. Jeże l i ź ródło porusza



wyrażenia (18.47) postawić znak minus. Jeżel i źródło oddala s ię od de

to aby uzyskać zmniejszenie częstości , s tawiamy w mianowniku znak pl

zaś jest ono nieruchome, podstawiamy war tość zero za v

s

.

Wyprowadzimy teraz wzory opisujące z jawisko Dopplera dla dwóc

padków szczególnych, a następnie wyprowadzimy ogólny wzór (18.47) .

przypadki :

1 . Gdy detektor porusza się wzg lędem powiet rza , a źródło jest n ierucho m

powoduje zmianę częstości , z jaką detektor napotyka czoła fa l i , i w

kwencji zmianę rejestrowanej częstości fali dźwiękowej.

2. Gdy źródło porus za się wzg lędem pow iet rza , a detektor pozostaje

czynku, ruch powoduje zmianę długości fa l i dźwiękowej i w konse

zmianę re jest rowanej częstości ( jak pamiętamy, częstość związana jes

gością fali).

Ruchomy detektor, nieruchome źródło

Na rysunku 18.17 detektor D — symbol izowany przez ucho — porusza

prędkością

Vr>

w k ie runku n ie ruchomego ź ród ła

S,

wysyłającego falę k

długości fali X i częstości v, rozchodzącą się w powietrzu z prędkością dźwi

Na rysunku p rzedstaw iono kolejne czoła fal i odległe od siebie o jedną d

fali.

R ejest rowana częstość jest to szybkość, z jaką detektor D napo ty

lejne czoła fali (odle głe od siebie o jedn ą dłu gośc i fali) . Gd yby de tekt

nieruchomy, szybkość byłaby równa częstości v, a le ponieważ porusza

naprzeciw czołom fal i , szybkość ich napotykania jest większe i , co za tym

rejest rowana częstość v' jest większa niż v.

Rys. 18.18.

Czoła fali z rysunku 18.17

(zakładamy, że są płaskie) a) docierają

do nieruchomego detektora D i b) mi

jają go; w przedziale czasu t czoła fali

pokonują odległość vt

t \ = 0

D

Rys. 18.17. Nieruchome

dźwięku S emituje fale o

nych czołach (przedstawion

rysunku co jedną długość fa

chodząc e się z prędkością v.

l izowany przez ucho detektor

ku D porusza się z prędko

w kierunku źródła . Ze wzg

swój ruch detektor rejestru

o większej częstości

Rozpatrzmy na początek sytuację , gdy detektor jest n ieruchomy ( rys. 1

W czas i e t czoła fali przesuną się w prawo na odległość vt . Liczba długoś

mieszczących się w odcinku vt równa jest l iczbie czół fali napotykanych

detektor w przedziale czasu t i wynos i vt/X. Szybkoś ć, z jaką detektor na

kolejne czoła fali , czyli rejestrowana częstość v dana jest wzorem

vt/X v

v

~ T~ ~ x

(

W takim przypadku, t j . gdy detektor jest n ieruchomy, z jawisko Dopple

zachodzi — częstość fa l i re jest rowana przez detektor D jest równa często

wysyłanej przez źródło S.

174

18.

Fale II



Powróćmy teraz do sytuacji, gdy detektor

D

porusza się w kierunku czół

W

czasie

t

czoła fali przesuną się — jak

vt,

natomiast detektor przesunie się w

a odległość i^r . Tak więc w czasie / czoła fali przesuną się względem

vt

+ ypt.

Liczba długości fali mieszczących się w

vt + Vr

>t

równa jest liczbie czół fali napotykanych

D w czasie t i wynosi {vt-\-vot)/k. Szybkość, z jaką w tej sytuacji

v'

danej wzorem

(vt + v

D

t)/k v + v

D

(18.49)

t k

k = v/v. Zatem wyrażenie (18.49) możemy zapisać w

V

+ Vn V +

V n

D

(18.50)

V

+ V

D

v/v

v'

musi być większa niż

v,

chyba

vr> =

0 (co odpowiada nieruchomemu detektorowi).

Podobnie możemy wyznaczyć częstość obserwowaną przez detektor D od

ę od źródła.

W

tej sytuacji w czasie t czoła fali pokonują względem

vi — vot,

a częstość

v'

dana jest wzorem

v - v

D

v

(18.51)

v'

musi być mniejsza niż v, chyba

v

D

=

0.

Możemy połączyć wzory (18.50) i (18.51) i otrzymać

,

v ± v

D

Rys. 18.19. Czo ła

fali:

a) docier

detektora D, poruszającego się i

przeciw, i b) mijają go; w czasie t

fali pokonują odległość vt w pra

detektor

D —

odległość

vot w

le

( ruchomy detektor , nieruchome źródło) .

(18.52)

źródło, nieruchomy detektor

D

będzie nieruchomy względem ośrodka i niech źródło

S

porusza

D z prędkością vs (rys. 18.20). Ruch źródła S powo

D.

Skąd bierze się ta zmiana? Niech

T = 1 jv

będzie czasem pomiędzy emisją

Wj

i

W2. W

czasie

T

czoło fali

W\

pokonuje

vT,

a

źródło

przebywa drogę

vsT.

Pod koniec przedziału czasu

T

W

2

. W

tym kierunku, w którym porusza się

S,

odstęp między

Wj

i

W

2

— równy długości fali A/ fal biegnących w

vT — vsT.

Detektor

D

odbierający te fale zarejestruje

v' daną wzorem

.

V V V V

v'= — = = = v . (18.53)

A.'

vT

—

v$T v/v

—

vs/v v

—

vs

1/

musi być większa niż

v,

chyba

vs =

0.



Rys.

1 8 . 2 0 .

Detektor D jest nieruchomy, a źródło 5 porusza się

v

s

. Czoło fali Wi odpowiada chwili,

dy źródło znajdowało się w punkcie Si, a czoło fali W

1

— chwili,

dy źródło było w p unkcie Sj. W chwili przedstawionej na rysunku

S. Detektor odbiera większą częstość,

dyż poruszające się źródło, goniąc czoła wysyłanych przez siebie

al, wysyła w kierunku swojego ruchu fale o mniejszej długości (k')

\

L

i

v

W kie runku przec iwnym do ruchu ź ródła S długość fa l k' w y n o s i vT

Detektor D odbierający te fale zarejestruje częstość v' daną wzorem

v' = v — ^ — .

v + v

s

W tym przypadku czę s tość v' musi być mnie jsza niż v, chyba że v$ = 0

Możemy połączyć wzory (18.53) i (18.54) :

V

= v

(ruchome źródło, nieruchomy detektor).

Ogólny wzór dla zjawiska Dopplera

Wyprowadzimy te raz ogólny wzór dla z jawiska Dopplera , zas tępując c

źródła v we wzorze (18.55) związaną z ruchem detektora częs tośc ią v' ze

(18.52) . W rezul tac ie otrzymujemy ogólny wzór dla z jawiska Dopplera (

Ogólny wzór s tosuje s ię nie tylko wtedy, gdy zarówno de tektor , jak i

są w ruchu, a le także w obu omówionych wyżej przypadkach szczególn

przypadku gdy de tektor jes t w ruchu, a ź ródło w spoczynku, podstawienie

sprowadza wzór (18.47) do wyprowadzonego wyżej wzoru (18.52) . Z kol

źródło jes t w ruchu, a de tektor w spoczynku, podstawienie

VD

= 0 spr

wzór (18.47) do wyprowadzonego wyżej wzoru (18.55) . Tak więc wzór

wart jes t zapamię tania .

Nawigacja nietoperza

Nietoperze or ientują s ię w przes trzeni i polują, wysyła jąc , a nas tępnie o

jąc odbi te fa le ul t radźwiękowe. Są to fa le o częs tośc iach wyższych niż d

s łysza lne przez cz łowieka . Na przykład nie toperz podkowiec emituje fa le

s tośc i 83 kHz, czyl i znacznie wyższe j od granicy s łysza lnośc i ludzkiego

wynoszące j około 20 kHz .

Fala wyemitowana przez nozdrza nie toperza może odbić s ię od ćmy,

s tępnie powrócić do ucha nie toperza . Ruch nie toperza i ćmy względem

trza powoduje , że częs tość s łyszana przez nie toperza różni s ię o ki lka ki lo



on

emituje. Nietoperz automatycznie przetwarza

te

różnicę

na

ćmy

względem niego samego

i

dzięki temu może nakierować

się na ćmę.

Niektóre

ćmy

unikają złapania, odlatując

w bok od

kierunku,

z

którego słyszą

a

słyszaną przez nietoperza,

w

wyniku czego nietoperz może

nie

Z

kolei niektóre inne

ćmy

unikają złapania, generując własne

i

zakłócając

w ten

sposób system detekcyjny nietoperza.

( O

ćmy i nietoperze robią to, nie ukończywszy wcześniej studiów na fizyce).

Na rysunku przedstawiono kierunki ruchu źródła dźwięku i detek

w nieruchomym powiet rzu w sześciu różnych przypadkach.

Dla

każdego przypadku

czy zarejestrowana częstość jest więks za, czy mnie jsza od częstości emitowanej,

y też m o ż e do odpowiedzi na to pytanie po trzeba w ięcej informacji o prędkościach?

źródło detektor źródło detektor

a)

•

prędkość

d)

zerowa

b)

•

prędkość

e)

zerowa

c )

• f)

18.8

z

prędkością

242 m/s w

kierunku nieruchomeg o

(w nieruch om ym pow ietrzu), emitując fale dźwiękow e o

v =

1250 Hz.

Wyznacz częstość v' zarejestrowaną przez detektor u moco wany

v' posłużymy się ogólnym wzorem dla

O T Skoro źród ło dźwięku (rakieta)

się w pow iet rzu w kierunku nieruchomego detektora na

v

s

Wtaki sposób,

by

częstość dźwięku. Zatem w mianown iku wyrażenia

v

D

= 0 dla prędko ści detektora, v

s

= 242 m/s dla

v = 343 m/s dla

prędkości dźwięku

(z

tabeli

v = 125A H z dla emitowanej cz ęstości. Otrzym ujemy

'

v +

" °

n u n i ^ 343 m/s

+ 0

v

=

y—•

* =

a 2 5 0 Hz) ;

v

- v

s

343 m/s

-

242

m/s

= 4245

Hz

Rs 425,0

Hz ,

(odpowiedź)

od

częstości emitow anej.

do masztu odbija się

i

powraca do

v tego echa zarejestruje detektor

w

rakiecie?


©*"-* 1

. W

tym

przypadku źródłem dźwięku jest maszt (gdyż

on źródłem echa) , a detektorem — detektor w rakiecie (gdy

on odbiera echo).

O — w 2. Częstość dźw ięku emitow anego przez źródło (m

równa jest częstośc i v' dźwięku docierającego do masztu

i

prz

odbijanego.

Dla częstości źródła v' i częstości rejestrowanej v wzór (18

przybiera postać

„ ,v±v

D

v =F vs

(18

O — f

3.

Skoro detektor

(w

rakiec ie) porusz a

się w

pow iet rz

kierunku nieruchomego źródła , musimy wybrać znak prędk

vp

w taki sposób, aby otrzym ać większą częs tość dźwięk u. Za

w l iczniku wyrażenia (18.56) stawiamy znak plus. Podstawi

następnie v

D

= 242 m/s , v

s

= 0, v = 343

m/s

oraz v' = 4245

Otrzymujemy

343 m/s

+

242 m/s

.

v"

=

(4245 Hz)

=

7 2 4 0 Hz, (odpowi

343 m/s

— 0

czyli wartość częstości większą

od

częstośc i dźwięku odbi teg

masztu.

•SPRAWDZIAN 7

Jeżel i powiet rze

w

powyższym prz

kładzie porusza się w kierunku masztu z prędkością 20

m

to

a)

jakiej w artości prędkośc i źródła v

s

należy użyć,

aby

ro

wiązać część

(a)

przykładu, oraz

b)

jakiej w artości prędko ś

detektora v

D

należy użyć,

aby

rozwiązać część (b) przykładu

1 8 . 8 .

Zjawisko Dopplera



1 8 . 9 . P r ę d k o ś c i n a d d ź w i ę k o w e ; f a l e u d e r z e n i o w

Rys. 1 8 . 2 1 .

a) Źródło dźwięku S poru

sza się z prędkością v

s

równą prędkości

dźwięku, czyli z taką samą

prędkością,

j ak generowana przezeń fala. b) Źró

d ło dźwięku S porusza się z prędkością

v

s

większą

od

prędkości dźwięku, czyli

szybciej niż czoła fali. Gdy źródło znaj

dowało się w punkcie Si , wygenerowało

falę o czole W\, a w położeniu Sc —

falę o czole We- Wszystkie fale rozcho

dzą się z prędkością u, a ich sferyczne

czoła skupiają się na powierzchni stoż

kowej zwanej stożkiem Macha, tworząc

falę

uderzeniową.

Powierzchnia stożka

jest styczna do wszystkich czół fali, a

ką t rozwarcia tego stożka wynosi 26

Gdy źródło porusza się w kierunku nieruchomego detektora z prędkością

prędkości dźwięku — tzn. gdy vs = v — z równań (18.47) i (18.55) w

że obse rwowana częs tość v' będzie nieskończenie wielka. Oznacza to , iż

porusza się tak szybko, że dotrzymuje kroku sferycznym czołom fal i wysy

przez siebie — rysunek 18.21a. Co się s tanie , gdy prędkość źródła prz

prędkość dźwięku?

Przy takich prędkościach naddźwiękowych równ ania (18.47) i (18.5

nie s tosują . Na rysunku 18.21b przedstawiono sferyczne czoła fa l wysyłan

źródła znajdującego się w różnych punktach. Promień każdego czoła fa l i n

rysunku wynos i vt , gdz ie v jest prędkością dźwięku, a t — czajsem, jaki u

od chw il i , gdy źródło wys łało fa lę reprezentow aną przez d ane <pzoło. Zauw

iż w rzucie na płaszczyznę pokazanym na rysunku 18.21b czoła wszystki

skupiają s ię wzdłuż obwiedni w kształc ie l i tery V. W rzeczywistości czo

rozciągają s ię na t rzy wymiary, a ich rzeczywiste skupienie tworzy stożek

stożkiem Macha. Mówimy, że na powierzchni tego stożka występuje fala

rzeniowa,

gdyż sk upienie czół fa li powod uje nagły skok lub spadek ci

powiet rza , gdy powierzchnia s tożka przechodzi przez jakiś punkt . Z ry

18.2lb widzimy, że kąt 6 ( równy połowie kąta wierzchołkowego stożka) ,

kątem Macha,

dany jest wzore m

vt v

sinf? = — = — (kąt Macha). (

v

s

t v

s

I loraz vs/v n a z y w a m y liczbą Macha. Jeżel i usłyszymy, że jakiś s

leciał z prędkością 2 ,3 M (czyl i l iczba Macha wynosi ła 2 ,3) , oznacza

podczas lo tu jego prędkość była 2 ,3-razy większa od prędkości dźwięku

wiet rzu. Fala uderzeniowa generowana przez samolot naddźwiękowy lub

(rys.

18.22) wytwarza si lny impuls dźwiękowy, zwany gromem dźwiękowy

którym ciśnienie powiet rza gwał townie rośnie , a następnie gwał townie spa

n iże j normalne j war tośc i , po czym powraca do normalnego poz iomu. D

słyszany podczas wystrzału z broni palnej częściowo pochodzi z gromu

kowego generowanego p rzez poc i sk . Grom dźwiękowy można również us

powierzchnia

stożka Macha

a)

17 8 18 . Fale I I



Rys. 1 8.2 2. Fala uderzeniowa wytwarza

na przez skrzydła odrzutowca Navy FA

18.

Jest

ona

widoczna, gdyż gwałtowny

spadek ciśnienia powietrza w fali uderze

niowej powoduje kondensację cząsteczek

wody w powietrzu i powstanie mgły

z bata ; w końcowej fazie tej sztuczki koniec bata porusza się

niż

dźwięk

i

wytwarza niewielki grom dźwiękowy

—

strzał

z bata.

Podsumowanie

Fale dźwiękowe to podłużne fale mechaniczne

w

ciałach stałych, cieczach

lub

gazach. Prędkość

v

w ośrodku mającym moduł ściśliwości B oraz gęstość

ana jest wzorem

v = — (prędkość dźwięku).

V P

(18.3)

20"'C

prędkość dźwięku

w

powietrzu wynosi

m/s.

Fala dźwiękowa wywołuje podłużne przemieszczenie

s

ele

s =

s

m

co$(kx

—

c o t . (18.13)

s

m

jest amplitudą przemieszczenia (czyli maksymalnym

k = 2tt/k

o) = 2tiv, przy czym > i u są odpowiednio długością fali

i jej

częstością. Fala dźwiękowa wywołuje również

Ap ośrodka względem ciśnienia równowago

Ap = Ap

m

sinU\v

-

cot). (18.14)

Apm = (vpC0)S

m

.

(18.15)

Interferencja dwóch

fal

dźwiękowych

o

jednako

ten sam punkt zależy od

faz cp w tym

punkcie. Jeżeli fale dźwiękowe zostały

w zgodnej fazie i biegną w przybliżeniu w tym

cp dana jest wzorem

=

2

K.

A

(18.21)

gdzie AL jest różnicą dróg (tzn. różnicą odległości pokon

przez fale.

aby

dotrzeć

do

wspólnego punktu). Całkowici

struktywna interferencja zachodzi wówczas, gdy różnica

równa jest całkowitej wielokrotności 2

TI

,

tj. gdy

= m(27i). sdzie/n =0 . 1 . 2 , . .. (

lub, co jest równoważne, różnicę AL i długość fali > wiąż

runek

AZ.

= 0 . 1 . 2 . . . . (

Całkowicie destruktywna interferencja zachodzi wówczas

różnica

faz

cp równa jesi nieparzystej wielokrotności

rc

tp

= (2m

+\)Tt.

gdzie

m =

0.1 .2. . (

lub, co jest równoważne, różnicę AL i długość fali /. wiąż

runek

AL

= 0.5.

1.5. 2 . 5 . . . .

(

Należenie dŹ M-ięku Natężenie / fali dźwiękowej na p

powierzchni jest to średnia szybkość w przeliczeniu na jed

pola powierzchni,

z

jaką fala dostarcza energię

do tej

powie

(lub przenosi przez

nią).

Możemy

tę

definicję zapisać

w

p

S

(

gdzie P jest to szybkość przenoszenia energii (czyli mo

dźwiękowej, a S jest polem powierzchni odbierającej d

Natężenie / oraz amplitudę przemieszczenia s

m

fali dźwię

wiąże zależność

/ = \pvorsl (1

Natężenie w odległości r od źródła punktowego, emitująceg

dźwiękową

o

mocy P^. wynosi

Pu

I =

4*r

2

(1

Podsumowanie

http://pvorsl/

http://pvorsl/

http://pvorsl/



Głośność dźwięku B wyrażona w decybelach

B

= ( 1 0 d B ) l o g — , ( 18 .29 )

0

= 1 0 ~

1 2

W / m

2

to natężenie odniesienia, z którym

w rurach

W rurach moż na wzbud zić fale s tojące.

v nv

v=- = —, n = 1 , 2 , 3 , . . . , ( 1 8.3 9)

A. 2L

v jest prędkością dźwięku w pow ietrzu wypełniającym rurę.

jedn ym końcu za mknię tym, a drugim otwar tym , czę

v nv

v = - = — , « = 1,3,5, . . . (18.41)

A 4L

Dudnienia powstają wtedy, gdy dwie fale o nieco

v

2

rejestrowane są razem. Częstość dud

nień wynosi

Vdudn = vi - v

2

.

Zjawisko Dopplera Zjawisko Dopplera polega na zm

jestrowanej częstości fali, gdy źródło lub detektor poru

względem ośrodka, w którym rozchodzą s ię fale (np. po

W przypadku dźwięku rejestrowaną częstość v ' i częstoś

v wiąże zależność

v ' = v-—— (zjawisko Dopple ra) ,

v T v

s

gdzie v

D

jest prędkością detektora względem ośrodka, v

s

kością źródła, a u — prędkością dźwięku w ośrodku. Z

bieramy w taki sposób, by częstó*ść u' była większa w p

zbliżenia się do siebie detektora i źródła, oraz mniejsza

padku oddalania s ię ich od siebie.

Fale uderzeniowe

Jeżel i prędkość źródła względ em

przewyższa prędkość dźwięku w tym ośrodku, równanie

przestaje być s łuszne. W takim przypadku powstaje fala

niowa. Kąt 9 ( równy połowie kąta wierzchołkowego sto

cha),

zwany kątem Macha, dany jest wzorem

sin<9 = — (kąt M ach a).

vs

i n

1

U H

. Na rysunku 18.23 przedstawiono tory dwóch impulsów

że tor

t o r l

tor 2

'-t

V

L

gorące powietrze

Rys.

1 8 . 2 3 .

Pytanie 1

. Fala dźwiękowa o długości X i ampli tudzie s

m

zaczyna roz

my ją „an tydźw iękiem ") , wygaszającą pierwszą falę, w wy

ść fali oraz c) jaką m usi mieć am pli tudę, aby mogło na

pić takie wygaszenie, d) Jaka mu si być różnica faz między tymi

. Przedstawione na rysunku 18.24 dwa źródła punktowe Si i S

2

zgodnej fazie. I lu długościom fal i odpowiada różnica faz

tymi falami w punkcie P dla: a) L] = 38 m i L

2

oraz b) Lj = 39 m i L

2

= 36 m? c) Zakładając,

g ł o ś ć m i ęd z^ ź r ó d ł am i j e s t

znacznie mniejsza niż Li i

L

2

, określ, jak i rodzaj inter

ferencji zachodzi w punkcie

P w przypadku (a) oraz w

przypadku (b) .

Rys.

1 8 . 2 4 .

Pytanie 3

4. Na rysunku 18.25 przedstawiono fale dźwiękowe o

fali X, emitowane przez punktowe źródło 5 i biegnące

tektora

D

be zpośredn io wzdłuż toru 1 oraz z odbiciem

wzdłuż toru 2. Początkowo płyta znajduje się prawie na

i fale docierające do detektora D wzdłuż obu torów s

zgodne w fazie. Następnie, jak pokazano na rysunku, p

staje odsunięta się od toru 1

aż do położenia, w którym j

fale docierające do dętek- płyta -\ i

tora D będą maksymaln ie

1

niezgodne w fazie. Jaka bę

dzie wówczas różnica dróg

AL wzdłuż obu torów?

-tor

M o r i

Rys. 18.25.

Pytanie 4

5. Przedstawione na rysunku 18.26 dwa źródła punktow

emitują w zgodnej fazie identyczne fale dźwiękowe o dłu



P zaś jest jednakowo oddalony od obu źródeł. Następnie źró

52

przesunięto, zwiększając jego odległość od punktu

P o A / 4 .

P będą zgodne w fazie, maksymalnie

5i zostanie

rzesunięte o A

/4

w

P

oraz b)

5i zostanie od

P o 3A/4.

12 . Na rysunku 18.27 przedstawiono naprężoną strunę o dł

L oraz piszczałki a, b, c i d o długościach odpowiednio

L/2

oraz L/2. Naprężenie struny zostało dobrane w taki s

by prędkość fal w strunie była równa prędkości dźwięku

wietrzu. Następnie w strunie wzbudzono podstawowy mod

W której piszczałce dźwięk emitowany przez strunę wyw

zonans i który mod drgań zostanie wzbudzony?

Rys. 18 .26 .

Pytanie 5

Pi

5j i 5

2

fali są

5] i 52

P\ w

Pj, na przecięciu syme

łączącej

źródła

5]

i

5 2 .

a) Czy fale docierające do

ktu Ą są dokładnie zgodne w fazie, maksymalnie niezgodne

odległość między źródłami zwiększymy do 1,7A?

n

tej fali stojącej.

rurze wzbudzono szóstą harmoniczną, a) Ile otwartych koń

a ta piszczałka (ma co najmniej jeden)? b) Co znajduje

. W pewnej rurze można wzbudzić sześć częstości harmonicz

, 750 Hz i 900 Hz. Jakich dwu częstości brakuje

. Piszczałka A ma długość L i jeden koniec otwarty. Piszczałka

2L oraz obydwa końce otwarte. Które harmoniczne

B mają częstości równe częstości rezonansowej pisz

Rys. 18 .27 .

Pytanie 12

1

3.

Fale dźwiękowe o częstości y są odbijane przez płyn p

wający przez cienką rurę umieszczoną wzdłuż osi

x

(rys. 1

Wewnętrzna średnica rury zmienia się wraz ze współrzęd

Przesunięcie częstości Ay, związane ze zjawiskiem Dop

również się zmienia wraz ze współrzędną

x,

tak jak przedsta

na rysunku 18.28b. Uszereguj pięć zaznaczonych obszarów

leżności od wewnętrznej średnicy rury, zaczynając od najwię

(Wskazówka:

Patrz paragraf 15.10).

Av

a)

Rys. 18 .28 .

Pytanie 13

x

b)

1 4 .

Twój kolega jeździ kolejno na trzech różnych karuz

mając ze sobą źródło emitujące izotropowo dźwięk o pewne

stości. Stojąc z dala od karuzeli, podczas jej obrotów sły

zmiany częstości emitowanego dźwięku. Trzy krzywe na ry

18.29 przestawiają zmiany

częstości dla trzech karu

zeli. Uszereguj te krzywe

według: a) prędkości li

niowej

v źródła

dźwięku,

b) prędkości kątowej

O

ka

ruzeli oraz c) promienia r

karuzeli, zaczynając od

naj

większych.

Rys. 18 .29 .

Pytanie 14




ręcznika: ht tp: / /www.wiley.com/col lege/hrw

Rozwiązanie jest dostępne w postac i interaktywnej ,

wykorzystującej oprogramowanie Interac t ive Learning


O ile nie zaznaczono inaczej, w poniższych zadaniach wykorzy

stujemy następujące wartości:

prędkość dźwięku w powiet rzu = 343 m/s

gęs tość powie t rza =1 ,21 kg /m

3

.

1 2 3 4

czas [min]

Rys. 18.30.

Zadanie 5

1 8 . 2 P r ę d k o ś ć d ź w i ę k u

1 . Podaj regułę na wyznaczanie odległośc i (w ki lometrach) od

błyskawicy metodą odl iczania sekund upływających od zobacze

nia błysku do usłyszenia grzmotu. Zakładamy, że dźwięk biegnie

do nas po linii prostej .

2 . Znajdujesz się na wie lkim koncerc ie na świeżym powiet rzu

i siedzisz w odległości 300 m od głośników. Koncert t ransmi

towany jest również na żywo przez sateli tę (z prędkością świa

tła 3 • 10

8

m/s) . Pewien słuchacz słucha t ransmisj i w odległości

5000 km. Kto i o i le wcześniej usłyszy muzykę, ty czy ten słu

chacz?

3 .

Dwóch kibiców piłki nożnej na stadionie Montjuic widzi, a

chwilę później słyszy, kopnięcie piłki na płycie boiska. Dla jed

nego kibica opóźnienie wynosi 0,23 s, a dla drugiego 0,12 s. Linie

poprowadzone od kibiców do pi łkarza przecinają się pod kątem

90° . a) Podaj odległość od każdego kibica do piłkarza, b) Podaj

odległość między kibicami .

4 . Kolumna żołnierzy maszeruje z prędkością 120 kroków na mi

nutę zgodnie z tempem p odawa nym przez dobosza znajdującego

się na czele kolumny. Obserwujemy, że żołnierze maszerujący na

końcu kolumny wyrzucają naprzód lewą nogę, w chwili gdy do

bosz —

prawą.

Określ przybl iżoną długość kolumny.

5. Trzęsienia ziemi wywołują fale dźwiękowe we wnętrzu Ziemi.

Inaczej niż w gazie w skorupie ziemskiej mogą występować za

równo po przeczne (S) , jak i podłużn e (P) fa le dźwiękow e. W

typowym przypadku prędkość fa l S wynosi około 4,5 km/s, a

prędkość fal P — 8,0 km/s. Sejsmograf rejestruje fale P i S z

pewnego trzęsienia ziemi. Początek fali P został zarejestrowany

o 3 min wcześniej niż początek fali S (rys. 18.30). Zakładając, że

fale biegną po liniach prostych, określ, w jakiej odległości

nastą

piło trzęsienie ziemi,

i iv

6 . Prędkość dźwięku w pewnym meta lu wynosi V. Ude

jeden koniec wykonanej z tego meta lu rury o długości L.

znajdujący się na jej drugim końcu słys zy dwa dźw ięk

pochodzący od fali biegnącej wzdłuż rury, a drugi —

biegnącej przez powiet rze , a ) Zakładając , że prędkość dź

powiet rzu równ a jest v, określ odstęp czasu t, jaki upływa

obydwoma dźwiękami , b) Przyjmując

t

= 1 s i zakła d

naszym meta lem jest s ta l , wyznacz długość

L. ,

7. Wrzucono kamień do studni . Po upływie 3 s usłyszan

Podaj głębokość studni.

1

8 . 3 B i e g n ą c e f a l e

d ź w i ę k o w e

8 .

W przypadku normalnego słuchu zakres częstośc i s ły

rozciąga się od około 20 Hz do 20 kHz. Jakie długości fa

kowych odpowiadają tym częstośc iom?

9 .

Diagnostyka ul t radźwiękowa (USG) przy częstośc i 4

wykorzystywana jest do badania nowotworów w miękki

kach, a) Jaka jest długość takiej fali dźwiękowej w po

b) Jaka jest długość fali w tkance, jeżeli jej prędkość w

wynosi 1500 m/s?

1 0 . a) Wzdłuż bardzo długiej spiralnej sprężyny jes

łana ciągła sinusoidalna fala podłużna wytwarzana prze

mocowane do niej drgające źródło. Częstość drgań źró

nosi 25 Hz, przy czym w każdej chwil i odległość mię

le jnymi punktami maksymalnego rozciągnięc ia sprężyn

jest 24 cm. Wyznacz prędkość fali . b) Zapisz równanie

przypadku, gdy maksymalne podłużne przemieszczenie s

sprężyny równe jest 0 ,3 cm, a fa la biegnie w ujemnym k

osi x. Przyjmij, że oś x zaczyna się w źródle (x = 0) or

chwil i t = 0 przemieszczenie jest tam równe zeru.

1 1

. Ciśnienie w biegnącej fali dźwiękowej dane jest wz

A p = ( 1 , 5 P a ) s i n n [ ( 0 , 9 m

- 1

) * - (315 s~ ' ) f ] .

182 18 . Fale I I





2 8 . Punktowe źródło wysyła izotropowo falę dźwiękową o mocy

30 W. Mały mikrofon o powierzchni 0,75 cm

2

zbiera dźwięk w

odległości 200 m od źródła . Oblicz: a) natężenie fal i dźwiękowej

w tym miejscu oraz b) moc odbieraną przez mikrofon.

2 9 * . Na rysunku 18.33 j —

przedstawiono wypełniony

powietrzem interferometr

akustyczny, wykorzystywa-

1

|

ny do pokazu interferencj i

fal dźwiękowych. Źródłem

dźwięku

S

jes t drgająca '

}

m e m br a na ;

D

jest detek

torem dźwięku , takim jak fy

s

- 1 8 . 3 3 . Zadanie 29

ucho lub mikrofon. Drogę

SB D

mo żna zmieniać, natom iast droga

SA D

jest ustalona.

W punkc ie D fala dźwiękow a przychodząca drogą SB D interferuje

z falą przychodzącą drogą

SAD.

W pewnym pokaz ie na tężenie

dźwięku w punkc ie

D

ma minimalną wartość równą 100 jednostek

przy pewnym położeniu ruchomego ramienia i w sposób ciągły

wzras ta do maksymalnej wartości równej 900 jednostek, gdy ru

chome ramię zostaje przesunięte na odległość 1,65 cm. Znajdź:

a) częs tość dźwięku wysyłanego przez źródło oraz b) s tosunek

ampli tud fal i

SA D

i fali

SB D

w punkc ie

D.

c) Jak to się dzieje,

że te fale mają różne ampli tudy, mimo iż pochodzą z tego samego

źródła?

1 8 . 6 Ź r ó d ł a d ź w i ę k ó w w m u z y c e

30. Umocowana na obu końcach s t runa skrzypcowa o d ługośc i

15 cm drga w swoim modzie o

n

= 1. Prędkość dźwięku w s trunie

równa jes t 250 m/s , a prędkość dźwięku w powietrzu 348 m/s .

Wyznacz: a) częs tość i b) długość wysyłanej fal i dźwiękowej .

3 1 . Otwar ta na obydwu końcach p i szcza łka organowa

A

ma czę

s tość podstawową 300 Hz. Trzecia harmoniczna piszczałki orga

nowej B, mającej jeden koniec otwarty, ma taką samą częs tość jak

druga harmoniczna p i szcza łk i

A.

Wyznacz: a) długość piszczałki

A

oraz b) długość piszczałki

B.

3 2 . Poziom wody w pionowej szklanej rurze o długości 1 m

można umieścić na dowolnej wysokości . Tuż przy otwartym gór

nym końcu rury umieszczono drgające z częs tością 686 Hz wi

dełki s t rojowe, aby w jej górnej — wypełnionej powietrzem —

części wzbudzić s tojącą falą dźwiękową. (Ta wypełniona powie

t rzem część działa jak rura z jedn ym ko ńcem z amk niętym, a dru

gim otwar tym) . Dla j ak iego położenia poz iomu s łupa wody wy

s tąpi rezonans?

3 3 . a) Wyznacz prędkość fal w s t runie skrzypcowej o masie

800 mg i długości 22 cm, wiedząc, że częs tość podstawowa wy

nosi 920 Hz. b) Podaj naprężenie s t runy. Dla częs tości podsta

wowej wyznacz: c) długość fali w strunie oraz d) długość fali

dźwiękowej emitowanej przez s t runę, ii w

3 4 . Pewna s t runa skrzypcowa ma długość 30 cm pomięd

tami zamocowania oraz masę 2 g. Nie przytrzymywan

struna wydaje dźwięk A (440 Hz), (a) W którym miejsc

należy umieścić palec, aby zagrać dźwięk C (523 Hz)?

jes t s tosunek długości fal i fa l w s t runie potrzebnych do

dźwięku A i dźwięku C? c) Jaki jes t s tosunek długośc

dźwiękowych odpowiadających dźwiękowi A i dźwiękow

3 5 .

Na rysunku 18.34 symbolem

S

oznaczono mały g łośn

czony do generatora akustycznego i wzm acniacza, s t rojon

kres ie częs tości od 1000 Hz do 2000 Hz. Cyl indryczna ru

konana jes t z blachy, ma długość 45,7 cm i obydwa końce

a) Zakładając, że w pewnej temperaturze prędkość

w powietrzu wynosi 344 m/s , wy

znacz częs tości , przy których w ' I

rurze pojawia s ię rezonans , gdy '^Ą

częstość emitowaną przez głośnik

zmieniam y w zakres ie od 1000 Hz i j

do 20 00 Hz . b) Dla każd ej czę - ',

stości rezon ansow ej naszkicu j falę •

s tojącą (w podobny sposób jak na

rysunku 18.12b) . www

Rys.

1 8 . 3 4 .

Za

3 6 . Struna wiolonczel i ma długość

L,

której odpowiada

podstawow a v. a) O jaką d ługość / należy skrócić s t run

skając ją palcem, aby zmienić częs tość podstawową do

rv? b) Oblicz wartość / dla

L

= 0,8 m i

r

= 1,2. c) Dla

obl icz s tosunek zmienionej długości fal i dźwiękowej em

przez s t runę do długości fal i emitowanej przed skróceni

3 7 . Studnia o pionowych ścianach z wodą na dnie

przy częs tości 7 Hz i nie rezonuje przy niższych częs

(Wypełniona powietrzem część s tudni działa jak rura o

końcu zamkniętym, a drugim otwartym). Powietrze w s

gęstość 1,1 kg/m

3

i mod uł ściśliwo ści 1,33 • 10

5

Pa.

głębokości znajduje s ię lus tro wody?

3 8 . Rura o długości 1,20 m jes t zamknięta na jedny

W pobl iżu je j otwartego końca umieszczono naciągni

Dług ość drutu w ynosi 0,33 m, a masa 9,6 g. Drut jes t zam

na obu końcach i drga w swoim modzie podstawowym.

pow ietrza w rurze wzbudzają s ię w rezonan sie drgania o

równej częs tości podstawowej dla tego s łupa. Wyznac

częstość oraz b) naprężenie drutu.

3 9 . Okres pulsacj i (drgań) gwiazdy zmiennej można os

zakładając, że gwiazd a wykonuje

radialne

drgania podłużn

stawowym modzie fal i s tojącej ; to znaczy że promień

zmienia s ię okresowo z czasem, przy czym s trzałka pr

czenia znajduje s ię na powierzchni gwiazdy, a) Czeg

oczekiwać w środku gwiazdy — węzła czy s t rzałki przem

nia? b) Przez analogię do piszczałki o jednym końcu

udowodnij ,

że okres drgań

T

dany jes t wzorem

4R

T = —,

v



1 9 Temperatura, ciepło

i pierwsza zasada

termodynamiki

z

g a t u n k u

Vespa mandarinia japonica

ż y w i ą

s ię

j a p o ń s k i m i p s z c z o ł a m i .

j e d n a k j e d e n

z

s z e r s z e n i p r ó b u j e d o s t a ć

s ię d o

w n ę t r z a

u l a ,

n a t y c h m i a s t z w a r t ą w a r s t

g o

k i l k a s e t p s z c z ó ł .

Po

m n i e j w i ę c e j

2 0

m i n u t a c h s z e r s z e ń je s t

j u ż

m a r t w y , m i m o

ż e

n i e

ż ą d l ą

go , n i e

g r y z ą ,

n i e

z g n i a t a j ą

an i n ie

d u s z ą .



1 9 . 1 .

T e r m o d y n a m ik a

i o

3 9

1 0

8

1 0

6

1 0

4

1 0

2

10° -

IO "

2

-

10- '

-wszechświat tuż

po p owstaniu

najwyższa temperatura

uzyskana w lab oratorium

-jądro Słońca

- powierzchnia Słońca

- topnienie wolframu

- krzepnięcie wody

-wszechświat dziś

-wrzenie helu-3

-najniższa uzyskana

tempera tura

Rys.

1 9 . 1 . Wybrane war tośc i t empe

ratury w skal i Kelvina. Temperatura

T = 0 odpowiada punktowi 10~°° i dla

tego nie może być przedstawiona na

skal i logarytmicznej

Ten i dwa nas tępne rozdzia ły poświęc imy t e r m o d y n a m i c e — działowi

który zajmuje się energią termiczną (częs to nazywan ą też energią wewn

układu. Podstawowym pojęc iem termodynamiki jes t tempera tura . Słowo t

tykamy tak częs to, że większość z nas , kie rując s ię własnym wrażeniem

i z imna, nie zawsze używa go poprawnie . Nasz zmysł „odczuwania tempe

nie zawsze jes t wiarygodny. W mroźny, z imowy dz ień s ta lowa sz taba wyd

chłodnie jsza niż sz tachety drewnianego ogrodzenia , mimo że w rzeczyw

obydwa te przedmioty mają taką samą tempera turę . Myli nas to, że s ta l zn

szybcie j niż drewno pobiera energię z naszych pa lców. Dla tego postara

te raz od podstaw rozwinąć pojęc ie tempera tury, nie odwołując s ię przy t

naszych zmysłów.

Tempera tura jes t jedną z s iedmiu podstawowych wie lkośc i układu SI .

mierzą temperaturę, korzystając ze

ska l i Kehdna ,

w jednostkach nazyw

kelwinami. (W języ ku polskim najczęśc iej mo żna spotkać nazw ę

b e z w z

skala t emperatury . Tempera tura wyrażona w te j ska l i to t e m p e r a t u r

w z g l ę d n a ) . Chociaż wydaje s ię oczywis te , że tempera tura c ia ła nie ma ż

ograniczeń od góry, to jedn ak jes t ona ograniczon a od do łu. Przyjmujemy, ż

na ska l i KeMna odpowiada dolnemu ograniczeniu t empera tury . Tempera tu

kojowa to około 290 ke lwinów, czyl i — jak piszemy — 290 K powyże

bezwzględnego. Na rysun ku 19.1 przedstawio no szeroki zakres różnych w

tempera tury, które możemy mierzyć lub wyznaczać pośrednio.

Kiedy Wszechświa t powstawał jakieś 10 czy 20 mil ia rdów la t temu

tempera tura wynos i ł a około 10

3 9

K. Wszechświat rozszerzając się, staw

coraz chłodnie jszy, aż wreszc ie os iągnął obecną średnią tempera turę zbl iż

3 K. Na Ziemi jes t nieco c ieple j tylko dla tego, że mamy szczęśc ie żyć w p

gwiazdy. Gdyby nie nasze Słońce , też mie l ibyśmy na Ziemi tempera turę 3

oznacza, że my nie istnielibyśmy.

1 9 . 2 .

Z e r o w a

zasadat e r m o d y n a m i k i

i

n i

~i

~i nu

element termoczuły

Rys.

1 9 . 2 . Termo skop. Liczba na w y

wiet laczu rośnie , kiedy przyrząd jes t

Właściwości wie lu c ia ł zmienia ją s ię wraz ich tempera turą . Ła two to z

żyć,

kiedy wyjmujemy jakiś produkt z zamraża lnika i wkładamy go do n

nego piekarnika . Oto ki lka innych przykładów: wraz ze wzros tem tempe

zwiększa s ię obję tość c ieczy i długość meta lowego prę ta , rośnie opór e lekt

przewodów oraz c iśnienie gazu zamknię tego w zbiorniku. Każde z tych z

możemy wykorzystać do budowy przyrządu, który pozwoli nam uśc iś l ić p

tempera tury.

Taki przyrząd przedstawiono na rysunku 19.2. Mógłby go zaprojek

i wykonać każdy pomysłowy inżynier , wykorzystując właśc iwośc i c ia ł ,

wym ieni l iśmy. Nasz przyrząd w ypo sażon o w odczyt cyfrowy, a jeg o zacho

można opisać tak: w wyniku ogrzewania go (na przykład za pomocą p

Bunsena) l iczba na wyświe t laczu zwiększa s ię ; po umieszczeniu przyrządu

dówce jeg o wskazan ie male je . Przyrząd nie zos ta ł w żaden sposób wykal ibr



zbiornik

te rmomet ru

gazowego

Rys. 1 9 . 4 . Kom ora punktu potrójnego,

w której stały lód, ciekła woda i para

wodna współistnieją ze sobą w stanie

równowagi t e rmodynamiczne j . Zgodnie

z międzynarodową umową p unktowi po

trójnemu wody odpowiada temperatura

273,16 K. Na rysunku przedstawiono

także umieszczony we wnętrzu komory

termometr gazowy o s tałej objętości

Punkt potrójny wody

Aby zdef iniować skalę temperatury, t rzeba wybrać jakieś powtarzalne, zale

temperatury zjawisko i przypisać mu — całkowicie dowolnie — pewną

t empera tu ry bezwzględne j . W ten sposób wybie ramy

stały punkt stand

k tó remu przyp i su jemy

temperaturę

s ta łego punktu standardow ego. Mo g

na przykład wykorzystać z jawisko zamarzania lub wrzenia wody, a le z r

p rzyczyn t echn icznych wybie ramy punkt potrójny wody .

Trzy postacie wody — ciecz, c ia ło s ta łe ( lód) i gaz (para) — mogą w

nieć ze sobą w równ owa dze termo dyna mic znej ty lko dla jedne j war tości c i

i temperatury. Na rysunku 19.4 przedstawiono naczynie , w którym możn

bora to r ium wytworzyć warunk i punk tu po t ró jnego . Zawiera j ąc międzyna

porozumien ia , us t a lono , że punk towi po t ró jnemu wody odpowiada t emp

stałego punktu standardowego równa 273,16 K. Tę war tość wykorzystuje

kal ibracj i termometrów. Mamy więc

7/3 = 273,16 K (punkt potrójny wody ).

Indeks „3" wskazuje , że chodzi nam właśnie o punkt potrójny. Przyjęte

mien ie us t a la t akże war tość ke lwina j ako

1/273,16

różnicy pomiędzy temp

punk tu po t ró jnego wody a ze rem bezwzględnym.

Zwróćcie uwagę, że podając temperaturę w kelwinach, n ie korzystamy

bolu s topn ia . P i szemy więc 300 K (n ie 300°K) , co czy tamy „300 ke l

(nie „300 stopni kelwina") . W razie potrzeby stosujemy standardowe przed

jak w p rzypadku innych j ednos tek uk ładu S I . Możemy więc wyraz ić 0 ,0

jako 3 ,5 mK. Nie wprowadzamy też żadnych rozróżnień, podając war tości

ra tur i ich różnice. Mówimy więc: „ temperatura wrzenia s iarki wynosi 71

oraz „ temperaturę łaźni zwiększono o 8 ,5 K".

zbiornik

z gazem

Rys.

1 9 . 5 .

Termo metr gazowy o s tałej

objętości . Zbiornik zanurzono w cieczy,

której temperatura T jes t mierzona

Termometr gazowy o stałej objętości

Wzorcowy t e rmomet r , wzg lędem k tó rego ka l ib ru je s i ę wszys tk ie inne

metry , wykorzystuje zmiany ciśnienia gazu zamkniętego w zbiorniku o

objętości . Na rysunku 19.5 przedstawiono budowę takiego t e r m o m e t r u

wego o s tałej objętości . Pods tawowym jego e l ementem j es t wype łn iony

zbiornik połączony rurką z manometrem r tęciowym. Podnosząc lub opus

zbiorniczek z r tęcią

R,

można us t awić poz iom r t ęc i w l ewym ramien iu

metru tak, aby pokrywał s ię z zerem pionowej skal i . W ten sposób zapew

stałą objętość gazu (zmiany objętości mają wpływ na pomiary temperatu

Temperaturę dowolnego cia ła znajdującego się w kontakcie term

z wypełnionym gazem zbiornikiem (na przykład cieczy na rysunku 19

finiuje się jako

T = Cp,

gdz ie

p

oznacza ciśnienie gazu, a

C

j e s t pewną

stałą.

Z równania (15.10)

że c iśnienie

p

jest równe

p = po - pgh,



po oznacza ciśnienie a tmosferyczne, p — gęstość r tęci w manometrze,

h — różn icę poz iomów r t ęc i w obydwu r amionach manomet ru .

1

Jeżel i umieścimy teraz zbiornik z gazem w naczyniu, w który m współ is tnie ją

T

3

= Cp

3

, (19.4)

p3

oznacza tym razem ciśnienie gazu odpowiadające punktowi po

C z równań (19.2) i (19.4) , o t rzymamy war tość tem

T =

T

^yj =

(273 ,16

K

)(^yj

( tymczasowo).

(19.5)

Musimy rozwiązać jeszcze jeden problem, który napotkamy, posługując s ię

jednej war tości , n iezależnej od rodzaju użyteg o gazu. Wykres z rysunku 19.6

Rys.

1 9 . 6 .

Wyniki pomiaru temperatury uzyskane za pomocą

mom etru gazowego o stałe j obję tośc i , którego zbiornik zanurz

w naczyniu z wrzącą

wodą.

Ciśnienie

pi

potrzebne do obl icz

temperatury z równania (19.5) zmierzono dla punktu potrójn

wody. Trzy różne gazy, których użyto do wy pełnienia termom e

dają na ogół różne temperatury dla tej samej wartości ciśnie

Jeżeli jednak zmniejsza się i lość gazu w termometrze (przy cz

male je wartość

pi),

wszy stkie trzy krzyw e zbiegają do wart

373,125 K

Przepis pozwalający mierzyć temperaturę termometrem gazowym można

T = (273,1 6 K )( lim — ) . (19.6)

y

i lość gazu—>0

pi J

ięc , jak m amy postępow ać, mierząc nieznaną temp eraturę T: W y

jakiegokolwiek gazu (na przykład azotu)

p3

dla punktu potrójnego wody oraz

p

d l a t empe

p

/p3-

Następnie wielokrotnie pow tarzamy te czynno ści , uży

p/p 3 do l iczby, którą uzy

ibyśmy, gdyby zbiornik termo metru p raktycznie nie zawierał gazu. O bl iczamy

'Ciśnienie będziemy podaw ać w jednostkach w prowadzonych w paragrafie 15.3. W u kła

jedno stką ciśnienia jest niuton na metr kwadratowy, nazy wan y paskalem (Pa). Paskal

nnymi częs to używan ymi jednostk am i zależnoś ciami 1 atm = 1,01 • 10

5

Pa

373,20

373,125 K

_ i

;

1

:-H

2

i

~ ; ; J

H e ;

0 20 40 60 8 0 100 120

P3 [kPa]

1 9 . 3 . Pomiary temperatury

1



t empera turę T, podstawiając ekst rapolowaną wartość stosunku

p/p^Ao

ró

(19.6).

(Uzyskaną t empera turę nazywamy

temperaturą gazu doskonałego

1 9 . 1 . Wybrane tempera tury

°C °F

3

100 212

temperatura c ia ła

ludzkiego 37,0 98,6

temperatura

otoczenia 20 68

a

0 32

Fahren heita ^ —18 0

o b yd w u s ka l - 4 0 - 4 0

emperatura wrzenia wod y w skal i

1 9 . 4 .

Skale Celsjusza

i

Fahrenheita

Do t e j pory mówi l i śmy j edynie o ska l i KeMna, używanej w badaniach

wych. W większości krajów świata w zastosowaniach codziennych, a czę

i w naukowych do pom iaru t empera tury w ykorzys tu je s i ę ska l ę Cel s jusza .

raturę w skal i Celsjusza podaje się w stopn iach, które swą wielkością odpow

kelwinom. Jednakże zero na ska l i Ce l s jusza j es t p rzesunię t e do war tośc i

niejszej niż zero bezwzględne. Jeżel i symbol

T

c

oznacza t empera turę w

Celsjusza, a T t empera turę w ska l i KeMna, za l eżność między n imi możn

sać w postaci

F

rc = ( r

- 2 7 3 , 1 5 ) ° C .

Podając temperaturę w skal i Celsjusza, korzystamy z symbolu „stopnia" . W

padku ska l i Ce l s jusza p i szemy więc 20°C, a l e w ska l i KeMna 293 ,15 K.

W przypa dku ska li Fahrenhei t a , używanej w Stanach Zjednoczonych ,

są mniejsze, a zero skal i jest przesunięte względem zera skal i Celsjusza.

na t e rmomet r , na k tórym zaznaczono obydwie t e ska l e , z ł a twośc ią dos t rz

różnice między nimi . Skalę Celsjusza i Fahrenhei ta łączy relacja

r

F

= ( § r

c

+ 32) °F ,

gdz ie

Tp

oznacz a t empera turę w ska li Fahrenhei t a . M ożn a z ł a twośc ią prz

temperaturę z jednej skal i na drugą, j eże l i zapamię tamy war tośc i t emp

odpowiada jące k i lku charak terys tycznym punktom, t ak im j ak t empera tura

nięcia i wrzenia wody (tabela 19.1). Na rysunku 19.7 porównano ze sob

KeMna, Cel s jusza i Fahrenhei t a .

Aby rozróżnić stopnie Celsjusza i Fahrenhei ta , posługujemy się oznacz

C i F. Piszemy więc

*

v

0°C odpow iada 32°F ,

co oznacza, że 0° w skal i Celsjusza to 32° w skal i Fahrenhei ta . Natomiast

t empera tury 5 s topni Cel s jusza j es t równoważna różnicy t empera tury 9

Fahrenhei ta (pat rz wzór (19.8)) .

punkt i

potrójin t

wodv i

i

I 2 7 3 . 1 6 K -00rC

/ C I O

l x v -

u / i d c t l i i '

i

b e z - ' - -u K

2 7 3 . 1 5 C

L

- 4 5 9 . d 7 i

32,

Rys. 19.7.

Porównanie skali KeMna, Celsjusza i Fahrenheita



Przykład

19.1

Wyobraź sobie, że w twoje ręce wpadły jakieś stare zapiski na

ukowe odwołujące się do pomiarów w pewnej skali tempera

tury Z. W skali tej woda wrze w temperaturze 65°Z, a krzepnie

w —

14°Z.

Jakiej wartości w skali Fahrenheita odpowiada tempe

ratura Tz = —98°Z? Załóż, że skala Z jes t liniowa, to znaczy

wielkość stopnia w skali Z jest taka sama w każdym jej punkcie.


Zauważmy, że O T temperaturę

Tz

można powiązać z

dowolną

z dwóch charakterystycznych temperatur na skali Z. Ponieważ

wartość Tz = —98°Z jest bliższa temperatury krzepnięcia wody

Tzkrzep = —

14°Z,

nasze obliczenia będziemy wykonywać wzglę

dem tego punktu. Łatwo się przekonać, że temperatura T

z

jest

niższa od temperatury krzepnięcia wody o A7z = r

zk rZ

ep — Tz =

-14° Z - (- 98 °Z) = 84°Z (rys. 19.8).

65,0-Z-r- -

79,0°Z

-14,0°Z -4- -

84,0°Z

T = -98,0°Z -

•krzepnięcie

212°F

180°F

32°F

T= ?

z obydwu charakterystycznych punktów na skali Z i odpo

nich punktów na skali Fahrenheita. Według skali Z różnica

dzy temperaturą wrzenia.

Tzwrz 3

temperaturą krzepnięcia.

T

wody jest równa

ATŻwrz-krzep

= 65°Z - (-14°Z) = 79°Z. O

wiednia wartość w skali Fahrenheita jest równa A7F

W

r

Z

_krze

212°F - 32°F = 180°F. Widzimy więc, że różnica tem

tur A7

*

Zw

rz-krzep

= 79°Z w skali Z jest równoważna ró

ATFwrz-krzep

= 180°F w skali Fahrenheita (rys. 19.8) i dlatego

raz A

7p

wr z

_

krzep/A

Tzwrz—

krzep

=

(180°F)/(79°Z) jest współc

nikiem przeliczania obydwu skal.

Ponieważ temperatura T

z

jest o A7z = 84 Z° niższa od

peratury krzepnięcia wody, w skali Fahrenheita różnica ta wy

A7p =

A r z

A r

F * r z ~ k r z e p

= ( 8 4

< =

z ) =

1 9 1

°

F

.

A7z

wr z

-krzep 79°Z

Ponieważ temperatura krzepnięcia wody w skali Fahrenheita

równa 32°F, więc

?F — ^Fkrzep

•SPRAWDZIAN 1:

AT

P

= 32°F - 191°F

=

-159°F.

(odpow

Rys. 19.8.

Przykład 19.1. Nieznana skala temperatury w zesta

wieniu ze skalą Fahrenheita

Zauważmy też, że O T możemy wyznaczyć współczyn

nik umożliwiający przeliczenie obliczonej różnicy temperatur

w skali Z na skalę Fahrenheita. W tym celu musimy skorzystać

Na zamieszczonym niżej rysun

przedstawiono trzy skale temperatury z zaznaczonymi na nic

punktami krzepnięcia i wrzenia wody. a) Uszereguj stopnie n

skali według ich wielkości, zaczynając od największej, b) Usz

reguj od najwyższej do najniższej następujące wartości temp

ratury: 50°X, 50°W i 50°Y.

70°X-

-20°X-

-120°W-

30° W

90° Y

0°Y

temperatura

wrzenia

temperatura

krzepnięcia


Porada

1: Zmiany temperatury

Różnica między temperaturą wrzenia i krzepnięcia wody jes t

równa 100 kelwinów i 100 stopni Celsjusza. Zmiana tempera

tury o 1 kelwin odpowiada zmianie o 1 stopień Celsjusza. Z tego

faktu lub z równania (19.7) wynika, że zmiana temperatury wy

raża się taką samą liczbą niezależnie, czy obliczenia wykonujemy

w kelwinach, czy w stopniach Celsjusza. Na przykład zmiana

temperatury o 10 K jest dokładnie równoważna zmianie tempera

tury o 10°C.

W skali Fahrenheita różnica między temperaturą wrzenia

krzepnięcia wody wynosi 180 stopni. Widzimy więc, że 180°F

odpowiada 100 K, a więc zmiana temperatury o stopień Fahrenhe

ita odpowiada zmianie temperatury o 100/180, czyli 5/9 kelwina.

tego faktu, tzn. z równania (19.8) wynika, że dowolna zmiana

temperatury wyrażona w stopniach Fahrenheita musi być |

większa niż ta sama zmiana temperatury w kelwinach lub s

niach Celsjusza. Tak więc w skali Fahrenheita zmiana temper

o 10 K jest równa (9/5)(10 K), czyli 18°F.

Trzeba uważać, aby nie pomylić temperatury z jej zm

lub różnicą. Temperatura 10 K z pewnością nie jest tym sa

co 10°C lub 18°F, ale zmiana temperatury równa 10 K oznac

samo co zmiana temperatury równa 10°C lub 18°F. Rozróżn

to jest kluczowe w równaniach, w których występuje tem

tura r, a nie różnica lub przyrost temperatury, jak na przy

T

2

— T\. Temperatura T powinna być na ogół wyrażana w k

nach, a nie w stopniach Celsjusza lub Fahrenheita. Mówiąc kr

zachowajcie szczególną ostrożność, jeżeli widzicie symbol T

żadnego wskaźnika.




i współczynnik rozszerzalności l in iowej łączy zależność

6 = 3a.

(19

Najczęściej sp otykan a ciecz — wo da — nie zachowuje się tak jak inne c

Powyże j 4°C woda zgodn ie z oczek iwan iami rozsze rza s i ę wraz ze wzr

temperatury. Jednakże w przedziale od 0 do 4°C woda

się kurczy,

choc iaż

ra tura rośnie . Mniej więcej w temperaturze 4°C woda osiąga największą gę

Dla każdej innej temperatury gęstość wody jest mniejsza.

To właśnie dzięki temu zbiorniki wodne zamarzają od powierzchni w

a nie od dna w górę. Gdy woda na powierzchni ochładza się na przykład od

jej gęstość początkowo wzrasta i d la tego opada ona w kierunku dna. Jed

kiedy temperatura spadnie poniżej 4°C, dalsze ochładzanie spowoduje

szanie się

gęstości wody i je j wypły wa nie na pow ierzchn ię , gdzie pozo

aż do zamarznięcia . Dlatego właśnie powierzchnia zamarza, a w głębi z

ciecz. Jeżel i zbiorniki wodne zamarzałyby od dna, powstały tam lód nie t

s ię la tem, gdyż izolowałaby go powierzchniowa warstwa wody. Po ki lku

znaczna część zbiorników wodnych w umiarkowanych st refach kl imatyczny

marzłab y całkow icie , a lód w nich nie topi łby się przez cały rok. W zam arzn

zbiornikach nie mogłoby is tnieć życie w znanej nam postaci .

l

/SPRAWDZIAN 2

Na zamieszczonym

obok rysunku przedstawiono cztery prosto

kątne płytki metalowe, których boki mają

1

długości : L, 2L lub 3Z,. Wszystkie wyko

nano z tego samego materiału, a ich tempera

turę zwiększono o taką samą wartość. Usze

reguj płytki według przewidywanej zmiany

a) rozmiaru pionowego i b) pola powierzchni .

W obydwu przypadkach zaczni j od wartości

największej. (1) (2) (3) (4)

Przykład 19.2

Las Vegas pewneg o up alnego dn ia wlano do cysterny 37 000 1

leju napędowego. Kiedy cysterna dotarła do Peyson w s tanie

Las Vegas . I le l i t rów pal iwa przywiozła cysterna? Współ

zynnik rozszerzalności objętościowej oleju napędowego wynosi

, 5 - 1 0

_ 4

/°C, a współczynnik rozszerzalności l iniowej s tal i , z któ

ano zb iornik, jes t równy 11 • 10 ~

6

/ ° C .


portowanego pal iwa zmalała . Równanie (19.10) pozwala

czyć zmianę objętości

AV = VflAT

= (37 000 1)(9,5 • 1 0 ~

4

/ ° C ) ( - 2 3 K ) = - 8 0 8 1

Objętość dostarczonego oleju napędowego wynosi więc

V

d o s t

= V + A V = 37 000 1 - 808 1

= 36 190 1. (odpo

Zwróć uwagę, że rozszerzalność cieplna zbiornika nie ma

czenia. Pozostaje pytanie: Kto zapłacił za „brakujący" ole

dowy?

196 19. Tem peratura, c iepło i p ierwsza zasada termod ynam iki



kawą,

Uogólnia jąc tę sytuac ję , możemy powiedzieć , że cola lub kawa to pewien

(o tempera turze 7u) , a kuchnia to

otoczenie

(o tempera tu rze

To).

Nasze

ią nam , że jeże l i tempera tura układ u Tu jes t różna od temp era tury

To , to tempera tura układu T

v

będzie się zmieniać (T o też może ulec

Obserwowana zmiana tempera tury jes t wynikiem przepływu energi i te rmicz

pom iędzy uk ładem a jeg o otoczeniem. (Energia termiczna to energia we

Q. C iepło uważamy za dodatnie,

Taki przepływ energi i z i lus trowano na rysunku 19.12. W sytuac j i z rysunku

> To, energia jes t przekazywana z układu do otoczenia , a więc

Q ma wartość ujemną. W przypadku rysunku 19.12b, kiedy T\j = To,

Q jes t równe zeru, a więc nie obserwujemy ani

Tu < To

jes t przekazyw ana z otoczenia do układu i dla tego Q ma wartość dodatnią .

W ten sposób dochodzimy do następującej definicji ciepła:

Ciepło jes t energią przekazyw aną między układem a jego o toczeniem na skutek is t

niejącej między nimi różnicy temperatury.

Pamięta jc ie , że energia może być także przekazywana pomiędzy układem

pracy W, za pośrednictwem siły działającej na

Zanim uczeni z rozumie l i , że c iepło to przekazywana energia , jego wie l

do 15 ,5°C W brytyjskim układ zie miar jednostką c iepła była tzw. brytyj

jedno stka c ieplna (Bri t ish thermal uni t — B tu) , zdef iniowana jako i lość c iepła

a do podnies ienia temp era tury 1 lb (1 funta) wo dy od 63°F do 64°F.

o t o c z e n i e l'

n

u k ł a d

* Ic

•/;>•/„ o<i>

a)

( H u c z e n i e ' n

u k ł a d

/,•=•/;, o

= o

b)

o t o c / e n i c I

n

u k ł a d

* t

<•/,, o >

u

c)

Rys. 19.12.

Jeżel i temperatura u

jes t większa niż temperatura jego

czenia (a) , układ oddaje do otoc

ciepło Q aż do chwil i , kiedy

gnięta zostanie równowaga termod

miczna (b). c) Jeżel i temperatura uk

jes t niższa niż temperatura otocz

układ pochłania ciepło do chwil i

gnięcia równowagi termodynamicz



W roku 1948 społeczność naukowa zdecydowała , że ponieważ c iep

jak praca) jes t formą prz ekazy wan ia energi i , jeg o jednostką w układzie

winn a być jedn ostka e nergi i , a więc dżu l . Ob ecnie def iniuje s ię wartość

jako równą dokładnie 4,1860 J , nie odwołując s ię przy tym do ogrzewani

(„Kalor ie" używane do okreś lania wartośc i energe tycznej żywności pisa

sami z duże j l i te ry — Kalor ie (Cal) — odpowiadają w rzeczywis tośc i k

r iom) .

Różn e jedno stki c iepła wiąże ze sobą za leżn ość

1 ca l = 3,969 • 1 0 "

3

Btu = 4,1 86 0 J .

1 9 . 7 . Poch łan ian ie c iep ła p rzez c ia ła s ta łe i c iec

Pojemność cieplna

P o j e m n o ś ć c i e p l n a C pew neg o c ia ła jes t s tałą propo rc jonalnośc i pom ięd

płem <2 pobie ranym lub oddawany m przez to c ia ło , a spowodowaną tym p

zmianą tempera tury AT. Ma my więc

Q = CAT = C(T

końc

-T

pocz

), (1

gdz ie

r

p o c z

i 7końc oznaczają odpowiednio temperaturę początkową i k

c ia ła . Jednostką pojemności c ieplne j C jes t jednostka energi i na s topień

kelwin. I tak pojemność c ieplna płyty ceramicznej używanej w opiekacza

nosi 179 ca l /°C, co można też zapisać jako 179 ca l /K lub 749 J /K.

Używane w tym kontekśc ie s łowo „pojemność" może wprowadzać

ponieważ sugeruje ana logię do pojemności wiadra , które można wypełnia

Ta analog ia jest ca łkowicie fałszywa i nie pow inniśc ie nigdy wyo brażać

że c ia ło „zawiera" c iepło a lbo coś ogranicza jego zdolność do pobierania

Przepływ energi i w postac i c iepła może s ię odbywać bez żadnych ogr

tak długo, jak długo występuje różnica tempera tury. Oczywiśc ie jes t możl

w wyniku tego procesu c ia ło s topi s ię lub wyparuje .

Ciepło właściwe

Pojemności c ieplne dwóch c ia ł wykonanych z tego samego mater ia łu

wiedzmy z marmuru — są proporc jonalne do ich mas . Wygodnie jes t wi

f iniować „pojem ność c ieplną na jedno stkę masy ", czyl i c iep ło właśc iw e

nie jes t związane z kon kre tnym c ia łem, lecz z jednostk ą masy substanc j i ,

jes t ono zbudowane. Równanie (19.13) można więc zapisać w postac i

Q = cmAT = cm(T

końc

- T

pocz

). (1

Wykonując odpowiednie pomiary, przekonamy s ię , że chociaż pojemność

pewnej płytki marmurowej wynosi 179 ca l /C° (czyl i 749 J /K) , to c iepło w

marm uru (z k tórego wy konano tę p ły tkę lub j ak ikolwiek inny przedmiot )

0,21 ca l / (g

•

°C) (czyli 880 J/(kg

•

K) ) .

19 8 19. Tem peratura, c iepło i p ierwsza zasada termod ynam iki



Z pierwotnej definic j i kalori i i brytyjskie j jednostki c ieplnej wynika, że c ie

c =

1 c a l / ( g

•

°C) = 1 B t u / ( lb

•

°F) = 4190 J / (kg

•

K ) . (19 .15)

Dostarczając pewną i lość ciepła Q, ogrzewa my 1 g substancji A

3 ° C , a l g s u bs tan cj i B o 4°C. Która z substancji ma większe ciepło właściwe?

1 mol = 6 ,02 • 1 0

2 3

jednos tek e lemen ta rnych

substancji . W idzim y więc , że 1 mo l gl inu to 6 ,02 • 1 0

2 3

a tomów g l inu

I O

2 3

cząsteczek t lenku gl inu (ponieważ e lementarną jednostką związku jes t

Jeżel i i lość substancji podajemy w molach, c iepło właściwe musi odnosić

ę do jedn ego m ola (a n ie jednos tkowej m asy) . W tak im przypa dku mów imy

c iep le właśc iw ym. W tabe li 19 .3 podano w yznaczone w tempera tu rze

ałych i c ieczy zw ykle zakładam y, że znajdują s ię one pod s ta łym ciśnie

mówią,

fazę

Materia może występować w trzech powszechnie spotykanych s tanach

stanie stałym cząs teczk i dz ięk i wza jemnym oddz ia ływan iom tworzą

Wartości ciepła

wego wybranych substancji w t

turze niewiele różnej od pokojo

M

Ciep ło

Substancja właściwe

w

ł

cal T

g~ l £ k g - K m

Pierwiastki w stanie stałym

Ołów 0,0305 12 8

Wolfram 0 ,0321

134

Srebro 0,0564

2 36

Mied ź 0,0923 386

Glin 0,215 900

Inne ciała stałe

Mosiądz 0,092

380

Granit 0 ,19 790

Szkło 0,20 840

Lód ( -1 0° C) 0 ,530 2220

Ciecze

Rtęć

0,033

140

Alkohol

etylowy 0,58

2430

Wod a morska 0,93 3900

Woda 1,00

4190



dość sz tywną s t rukturę . W stanie ciekłym cząsteczki mają nieco więcej

i pewną swobodę ruchu. Mogą one też tworzyć niewie lkie zespoły cząs

( tzw. klas te ry) , a le próbka jako ca łość nie ma sz tywnej s t ruktury i może

lub dopasowywać s ię do ksz ta ł tu zbiornika , w którym s ię zna jduje . W

gazowym

cząs teczki mają jeszcz e większą energię i swob odę ruchu. Dla teg o

wypełnić ca łą obję tość zbiornika .

Stopienie

c ia ła s ta łego oznacza zm ianę jeg o s tanu ze s ta łego na c iekł

ces ten wymaga dostarczenia energi i , ponieważ cząs teczki c ia ła s ta łego

wyzwolić z ich sz tywnej s t ruktury. Dobrze znanym c i przykładem takie

miany jes t topnienie kos tki lodu. Krzepnięcie (zestalanie) c ieczy jes t pro

odwrotnym do topnienia i wymaga odebrania od c ieczy energi i , tak aby czą

mogły utworzyć sz tywną s t rukturę .

Parowanie c ieczy oznacza zmianę s tanu z c iekłego na gazowy. R

ten proces , podobnie j ak topnien ie , wymaga dos ta rczenia ene rg i i , poniewa

steczki muszą oderwać s ię od klas te rów, które tworzyły. Przykładem je

prowadzenie do wrzenia wody w ce lu zamiany je j w parę . Skraplanie (k

sacja) gazu do stanu c iekłego jes t proce sem od wrotn ym do parowania ; e

t rzeba odebrać od gazu tak, aby jego cząs teczki mogły zgromadzić s ię w kl

a nie porusza ły s ię nieza leżnie od s iebie .

I lość energi i , którą w postac i c iepła t rzeba przekazać jednostkowej

substanc j i , aby uległa ona przemianie fazowej , jes t nazywana c iepłem

m i a ny

C p r z e m -

Jeże l i więc próbka o masie

m

ulega w ca łośc i przemianie fa

na leży dostarczyć do nie j c iepło równe

Q =

C p r z e m ? " .

(19

Jeże l i przemiana fazowa zachodzi między c ieczą a gazem (w takim przy

próbka mus i pochłan iać c iep ło) , c i ep ło przemiany je s t nazywane

c iepłem

w a ni a Cpar- W przypadku wody wrzące j pod c i śn ien iem norma lnym

c

p a r

= 539 ca l /g = 40 ,7 kJ /m ol = 2256 kJ /kg . (

W przypadku przemiany zachodzące j między c ia łem s ta łym a c ieczą (

pochłania c iepło) lub między c ieczą a c ia łem s ta łym (próbka oddaje c iepło)

przemiany fazowej nazywamy c iepłem topnienia c

t o p

. Dla wody krzepnąc

Ta bel a 19.4. Wartości c iepła przemiany wybrany ch substancj i

Topnienie Wrzenie

Substancja

Tem peratura Ciepło topnienia Temperatura Ciepło par

topnienia [K] c

t o p

[kJ/kg]

wrzenia [K]

c

p a r

[kJ

Wodór

14,0 58,0

20,3

455

Tlen

54,8

13,9

90,2

213

Rtęć 234 11,4

630 296

Woda

273

333

373 2256

Ołów 601

23,2

2017 858

Srebro 1235 105 2323 2336

Miedź 1356

207

2868 4730



c

t o p

= 79 ,5 ca l /g = 6 ,01 kJ /mol = 333 kJ /kg . (19

m = 720 g i temperatu

e

—

10°C, aby zamieni ł s ię w wodę o tem peraturze 15°C?

O T

proces ogrzewania zachodzi

1 . O T

Lód nie może ulec s topieniu w temperaturze niższej

od temperatury topnienia , a więc początkowo cała energia

dostarczana w postaci c iepła będzie zużywana na zwiększe

nie temperatury lodu. Ciepło

2 i

potrzebne do ogrzania lodu

od temperatury początkowej

7p o

CZ

= — 10°C do temperatury

końcowej

r

końc

= 0°C (w której topnieje lód) dane jest rów

naniem (19.14) (Q =

cmAT).

Podstawiając warto ść ciepła

właściwego lodu

cm

podaną w tabel i 19.3, otrzymamy

2 i = c

m

m T

kc

POCZ)

= (2220 J / (k g • K ) ) ( 0 , 72 kg )[ 0° C - ( - 1 0° C ) ]

= 15 984 J « 15,98 kj .

2 .

Zauważmy z kolei , że

O T

temperatura nie może wzro

snąć powyżej 0°C, aż cały lód nie zostanie stopiony —

a więc całe ciepło dostarczane do lodu jes t zużywane na

jego s topienie . I lość ciepła Q

2

niezbędną do s topienia ca

łego lodu wyraża równanie (19.16)

(Q = c

vrlem

m).

Symbol

CPRZEM oznacza tu ciepło topnienia

c

t o p

,

którego wartość po

dano w równaniu (19.18) i w tabel i 19.4. Możemy obl iczyć,

że ciepło Q

2

jes t równe

Q

2

= c

top

m

= (333 kJ /k g) (0 ,72 kg) 239,8 kJ .

3

. Mam y już ciekłą wodę o temperaturze 0°C .

O T

Dlatego

ciepło dostarczane teraz do wody w całości będzie s łużyć

zwiększeniu temperatury cieczy. Ciepło 23 niezbędne do

ogrzania wody od temperatury początkowej

ocz

= 0°C do

temperatury końcowej

r

kolic

= 15°C jes t dane równan iem

(19.14) (zamiast c iepła właściwego podstawiamy wa

dla wody w s tanie ciekłym c

c

j

eC

z):

2 3

=

CCIECZ^

7końc

Tpocz)

= (4190 J / (kg • K)) (0 ,72 kg) (15°C - 0°C)

= 4 5 2 5 2 J ^ B 45 ,25 kJ .

Całkowite ciepło jes t sumą wartości obl iczonych dla

k

nych trzech etapów:

2catk = 2 i + Qi + Gs

= 15,98 kJ + 23 9,8 kj + 45,2 5 kJ

300 kJ . (odpow

Zauw ażcie , że i lość ciepła potrzebna do s topienia lodu jes t o w

większa niż i lości c iepła niezbędne do ogrzania lodu i wody

b) Jak wyglądałby s tan końcowy i jaka byłaby temperatura w

gdyby do lodu dostarczyć (w postaci c iepła) 210 kJ energi i?


Z obl iczeń dla etapu 1 w ynika, że do ogrzania lodu do tem per

topnienia wystarczy 15,98 kJ ciepła. Pozostała część ciepła

jest więc rów na 210 kJ - 15,98 kJ, czyli około 194 k j. Z

czeń dla etapu 2 widzimy, że ciepło to nie wystarcza do stop

całego lodu. Możemy więc zauważyć, że

O T

lód nie ul

całkowitemu s topieniu i w s tanie końcowym otrzymamy mie

ninę wody i lodu, o temperaturze równej temperaturze krzepni

czyli 0°C.

Znając ilość dostępnego ciepła

2poz,

możemy za pom

równania (19.16) obl iczyć masę lodu m, który ulegnie s topie

2

P

194 kJ

c

t o p

333 k J / kg

= 0,583 kg ss 580 g.

Pozostały lód ma więc masę 720 g

—

580 g, czyli 140 g. Dla

w s tanie końcowym będziemy mieć

580 g wody i 140 g lodu o temperaturze 0°C. (odpowi

M C I

= 75 g ogrzano w piecyku do

T —

312°C . Następnie wrzucono g o do szklanej

z

że krążek, z lewka i woda tworzą układ izolowany oraz że m

zaniedbać parowanie wody.


Zauważmy najpierw, że ©

T W

układzie izolowanym energia

wnętrzna przepływa tylko pomiędzy różnymi częściami ukł

Możemy wskazać t rzy procesy, w których energia jes t przek

19 .7 .

P ochłanianie ciepła przez ciała stałe i ciecze



wana jako ciepło. Krążek oddaje ciepło, woda i zlewka je pobie

rają.

Zauważmy też, że

O T

wspomnianym przepływom ener

gii wpostaci c iepła nie towarzyszą przemiany fazowe, a j edy

nie zmiany temperatury. Aby powiązać ze sobą i lość przekazywa

nego ciepła i zmianę temperatury, skorzystamy z równań

(1913)

i (1914)

dla wody: Gw = c„ m

w

( r

k o ń c

- r

pocz

); (1919)

dla zlewki:

Gz

= C

z

( 7 /

k o ń c

- r

pocz

); (1920)

dla miedzi : G CU =C

CU

MC U ( 7końc

~~

T

-

(1921)

Musimy też zauważyć, że O — ł u kład jes t izolowany, a więc

jego całkowita energia s ię nie zmienia. Oznacza to, że dodając

zmiany energi i różnych jego części , musimy otrzymać zero:

Gw

+

Gz

+ Gcu

=

0.

(1922)

Podstawiając równ ania od (1919)do (1921)do równania (1922)

ot rzymamy

CWW*W(7końc

7 p

o c z

) -}-

C^Tkońc

7 p

o c z

)

+CCUW*CU(^końc ^ ) — ^ .

(1923)

W równaniu

(1923)

temperatury występują jedynie w postaci róż

nic. W takim przypadku nie ma znaczenia, czy będziemy posługi

wać się skalą Celsjusza, czy Kelvina

i

możem y dowolnie w ybrać

jedną z nich. Rozwiązując równanie względem r

końc

, o t r

~ CC U^ CU ^ ~Ł~ C

z

Tp

o c z

-\- c

v/

in

VJ

Tp

OCZ

c

w

m

w

+ C

z

+

c c u » J c u

Wybierając skalę Celsjusza i korzystając z wartości ciepła

wego miedz i c

C u

i wody c

w

, możem y obl iczyć wartość l

licznika

(0 ,0923 ca l / (g • K)) (75 g) (312°C) + (45 ca l /K) (12°C )

+ ( 1 c a l / ( g • K ) ) ( 220 g ) ( 12°C ) = 53

oraz mianownika

(1 ca l / (g

•

K ) ) ( 220 g )

+

45 ca l /K

+ ( 0 , 0 9 2 3 c a l / ( g

•

K)) (75 g)

=

271,9

Dzieląc przez siebie obydwie liczby, otrzymujemy

Tkońc =

5 3 3 9

'

8

°

a l

= 19 ,6°C K» 20°C . (odp

c

271,9 ca l / °C

Możemy też obl iczyć i lości c iepła przekazywanego w p

gólnych procesach

G „ ~ 1670 cal, Gz 342 cal , Gcu - 2020

Z dokładnością do błędów wynikających z zaokrą gleń l

zgodnie

z

równaniem (19.22) dają w wy niku zero.

1 9 . 8 . B l iższe sp o j r z en ie na c ie p ło

p r a c ę

- izolacja

Rys. 19.13.

Gaz zamknięty w cyl indrze

z ruchomym t łokiem. C iepło można do

s tarczać do gazu lub odbierać od niego,

zmieniając temperaturę T regulowanego

zbiornika cieplnego. Praca W j e s t wyko

nywana dzięki podnoszeniu lub opusz

czeniu tłoka

Przyjrzymy się teraz nieco dokładniej , jak energia w postaci pracy

i

c i ep ł

być wy mie niana mię dzy ukła dem a jeg o otoczeniem . Przyjmijmy, że nasz

to gaz zamknię ty w cy l indrze wyposażon ym w ruchom y t łok , tak j ak na r

19.13 . S kierowana d o góry si ła działa jąca na t łok, k tóra jest sku tkiem

nia gazu, równoważy ciężar ołowianego śrutu w pojemniku nad t łokiem.

cyl indra wykonano z mater ia łu izolującego, k tóry całkowicie uniemożl iwi

pływ ciepła . Od spodu cyl inder znajduje s ię w kontakcie ze

zbiornikiem c

(może nim być na przykład gorąca płyta) o regulowanej temperaturze.

Układ (gaz) znajduje s ię w

stanie początkowym

o param etrach: c i

P p o c z .

objętość

V

p o c z

i

t empera tu ra r

p o c z

. Ce lem j es t p r zeprowadzen ie uk ł

stanu końcowego

wyzn aczonego p rzez c i śn ien ie P k o ń o objętość V k

0

ń

c

i

ra turę

7koi ic-

Działania , k tóre umożl iwią nam przeprowadzenie układu od

począ tkowego do końcowego , nazywamy

przemianą termodynam iczną (p

termodynamicznym). W jej t rakcie energia mo że być przek azyw ana do

ze zbiornika c ieplnego (ciepło dodatnie) lub odwrotnie (c iepło ujemne) .

może także wykonywać pracę, podnosząc t łok (praca dodatnia) lub opus

go (praca ujemna) . Założymy, że wszystkie te procesy zachodzą bardzo

dzięki czemu układ jest zawsze (w przybl iżeniu)

w

stanie równowagi

dynamicznej ( to znaczy każda część układu jest zawsze wstanie rów

te rmodynamiczne j

z

innymi j ego częśc iami ) .



Wyobraźmy sobie , że zabieramy ki lka z ia renek śrutu z pojemnika obciąża

F, przesunął t łok

ds . Ponieważ przemieszczenie

F jest w jego trakcie stała. Siła F m a

pS , gdzie p oznacza c iśnienie gazu w cyl indrze , a S — powie rzchnię

dW

wyk onana przez gaz w wyniku tego przem ieszczenia jes t równa

dW = F • ds = p(Sds)

= pdV, (19.24)

dV

oznacza zmianę obję tości gazu związaną z przem ieszczeniem t łoka .

0 C Z

d o Vkońc>

a

ca łkowita praca wykonana przez gaz będzie równa

W

:

Vkoń

f

dw

'f

pdV.

(19.25)

zmien ia s ię obję tość gazu, może rów nież zm ienić s ię jeg o c iśnienie i tem

P

pi/emiana

l ł " > u i

objętość

a)

objętość

d )

W > l i

•K

objętość

b )

H

< (I

objętość

e)

P

t

It > U

objętość

c)

r

^ w y p > 0

kK

objętość

f)

a) Zacieniowany obszar oznacza pracę W, którą wykonuje układ, przechodząc

P do s tanu końcowego K. Praca W jes t dodatnia .ponieważ objętość

W jes t dodatnia , a le tym razem ma większą wartość, c) Praca W

W może mieć mniejszą

lub większą (PGHK) wartość, e) Układ przechodz i od s tanu K do P. Gaz jest

W wykonana przez układ jes t

w y p

wykonaną przez układ w trakcie

1 9 . 8 . Bliższe spojrzenie na ciepło i pracę



ciśnienie zależy od objętości w procesie przeprowadzającym układ ze s tan

czątkowego do s tanu końcowego.

W praktyce jes t wiele różnych sposobów przeprowadzenia gazu od

począ tkowego P do s tanu końcowego K. Jedną z możliwości z i lustrowa

wykresie z rysunku 19.14a, przedstawiającym zależność c iśnienia gazu od

objętości ( tak zwany wykres p-V). Krzy wa z wyk resu 19.14a pokazu je ,

śnienie maleje wraz ze wzrostem objętości . Wartość całki (19.25) (a więc

wyko nana p rzez gaz ) je s t równa po lu zac ien iowanego obsza ru pod k rzywą

dzy punk tami P i K. Niezależnie od tego, co robimy, aby zreal izować prze

opisaną tą

krzywą,

widzimy, że wykon ana praca jes t w iększa od zera , pon

gaz zwiększył swą objętość , przesuwając t łok w górę .

Inną możliwość przejścia od s tanu P do s tanu K p rzeds tawiono na wy

z rysunku 19.14b. Proces zachodzi w dwóch etapach — najpierw od s tanu

stanu A, a potem od s tanu A d o K. P r z e m ia n a PA zachodzi przy s ta łym

niu , co znaczy, że nie zmieniamy l iczby z iarenek śrutu obciążającego t łok

19.13) . Zmianę objętości gazu (od V

pocz

d o Vkońc) osiągamy, kręcąc wolno

latorem temperatury, dzięki czemu gaz ogrzewa s ię do temperatury

T

A

.

(Z

szenie temperatury powoduje wzrost s i ły wywieranej przez gaz na t łok,

dzięki temu przesuwa s ię w górę) . W procesie tym rozszerzający s ię gaz

nuje dodatnią pracę (podnosi obciążony t łok) , a układ pobiera c iepło ze zbi

c ieplnego (reaguje na dowolnie małe różnice temperatury, wywoływane z

szaniem temperatury zbiornika) . Ciepło ma wartość dodatnią , ponieważ zw

energię układu.

P r z e m ia n a

AK

z rysun ku 19.14b zachod zi przy s ta łe j obję tości , co oz

że trzeba zablokować t łok, aby nie mógł s ię dale j poruszać. Następnie , kor

jąc z regulatora temperatury, można zmniejszyć c iśnienie gazu od wartoś

d o pkońc- W procesie tym układ oddaje c iepło do zbiornika.

W ca łej p rzemian ie PAK uk ład wykonu je p racę W ty lko w procesie PA

ona wartość dodatnią , k tóra odpowiada polu zacieniowanego obszaru pod

wą . Ciep ło je s t wym ien iane w oby dwu p rocesach PA i AK, a jego wypa

ilość jes t równa Q.

Krzy wa z wykresu 19.14c opisuje proces składający s ię z tych samych e

co poprzednio, lecz przeprowadzonych w odwrotnej kole jności . Praca

w tym przypadku mniejszą wartość niż w przemianie z rysunku 19.14b. Mn

jest również i lość c iepła pochłoniętego przez układ. Z rysunku 19.14d w

że wartość wykonywanej pracy można dowolnie zmniejszyć (poruszając s

k rzywej PCDK) a lbo też zwięk szyć (wybierając śc ieżkę PGHK).

Podsumowując: układ można przeprowadzić od s tanu początkowego do

końcowego, wybierając jeden z nieskończenie wielu możliwych procesów. C

może być dostarczane do układu lub nie , a każdemu z możliwych procesó

powiadają różne wartości wykonywanej pracy W i poch łon ię tego c iep ła Q.

i c iepło są wielk ościam i zależącymi od sposobu, w jaki dokonuje s ię przem

Na rysunku 19.14e przedstawiono przykład procesu, w którym praca

konywana przez układ jes t u jemna, ponieważ pewna zewnętrzna s i ła śc iska

zmniejszając jego objętość . Wartość bezwzględna wykonywanej pracy jes

da l równa po lu powie rzchn i pod

krzywą,

lecz jes t u jemna, ponieważ ga

sprężany.



Na rysunku 19 .14f przeds tawiono

cykl termodynamiczny,

k tóry polega na

od s tanu począ tkowego P do st anu końcow ego A\ a na

z powrotem do s tanu P. Wypadkowa praca wykonana przez układ w trak

dodatniej

pracy w t rakc ie rozprężania i

ujemnej

pracy pod

W cyklu przeds tawionym na rysunku 19 .14f wypadkow a praca

pod krzywą opisującą rozprę żanie (od

do

K)

ma

większą wartość

niż pod

krzywą opisującą sprężan ie

(od

K

do

P).

:

Zamieszczony obok wy

p-V przedstawia sześć krzywych (po

gaz.

Którą

9 . 9 .

P ie rw s za z a s a d a t e r m o d y n a m i k i

się

wła śn ie ,

że w

przypadk u u kładu , k tóry j e s t poddawany p rze

od s tanu począ tkowego do st anu końcowego, i lośc i wykonyw ane j pracy W

Q

zależą

od rodza ju przemian y. Wy konując dośw iadczen ia ,

się, że

różnica

Q

—

W

jest

Jej wa r tość za leży j edynie od s tanu począ t

i s t anu końcowego, ale nie za leży od sposobu przeprowadzenia uk ładu

ze zmiennych Q i W,

tym

także same w ie lkośc i Q

i

W oraz

na

przykład Q + W

i

Q

—

2W, zależą

Q

—

W j e s t od tego nieza leżna .

W idz imy więc , ż e różnica

Q —

W mus i odpowiadać zm ianie pewne j w ie lkośc i

tę

n a z y w a m y

energią wewnętrzną

E

w

i

zapisujemy

A / ±

w

=

^w.końc ^w.pocz — Q W (pierwsza zasada termodynamiki).

(19.26)

w p o s t a c i

2

d / ł

w

= d<2 — dW (pierwsza zasada termodynamiki). (1 9. 27 )

Energia wewnętrzna układu

£

w

wzrasta,

jeżeli układ pobiera energię w postaci cie

pła Q, i maleje, kiedy wykonuje on pracę W.

2

W i e l k o ś c i dQ i dW, w przeciwieństwie do dE

w

, nie oznaczają prawdziwych różniczek,

nie istnieją funkcje Q(p, V) i W(p, V), których war tość zależy tylko od stanu

że dQ i dW nie są różniczkami zupełnymi podkreśla się zwykle, używając do

dQ

oraz

dW.

W naszym przypadku będziemy przyjmować, że

dQ

i

dW



W rozdzia l e 8 omawia l i śmy zasadę zachowania energ i i d l a uk ładó

lowanych, czyli takich, które nie pobierają ani nie oddają energii na ze

Pierwsza zasada t e rmodynamiki j es t rozszerzeniem t e j zasady na układy

nie

są i zo lowane . W tak ich przypadkach energ ia może być przekazywan

dowi lub zabierana z układu w postaci ciepła Q i pracy W. W n a sz y m , p o

właśnie sformułowaniu pierwszej zasady termodynamiki przyjęl i śmy, że

jako całość nie zmienia swojej energi i kinetycznej ani potencjalnej , to

A £

k

= A £

p

= 0.

Aż do t ego rozdz ia łu te rminu praca i symbolu W używal iśmy na ogół

gdy praca by ła wykonywana

nad

uk ładem. Począwszy od równania

przez dwa nas t ępne rozdz ia ły poświęcone t e rmodynamice będz iemy za j

s ię przede wszys tk im pracą wy konywaną przez uk ład , j ak w przyp adku z

wanym na rysunku 19.13.

P ra c a w y k o n y w a n a na d uk ładem ma zawsze war tość przec iwną n i ż

w y k o n y w a n a przez ukła d i dlatego wstawiając do równa nia (19.26) pra

układem, musimy napi sać

A £

w

= Q +

W„ad

W y n i k a

stąd, że energia wew

układu rośn ie , j eże l i pobiera on c i ep ło lub j es t wykonywana

nad

n im d

praca. Odwrotnie, energia wewnętrzna maleje, jeżel i układ oddaje ciep

p ra c a w y k o n a n a na d nim jest u jemna.

•SPRAWDZIAN

5 Zamieszczony obok

wykres we współrzędnych p- V przedstawia

cztery krzywe opisujące możliwe przemiany

gazu od stanu P do stanu K. Uszereguj

krzyw e według odpowiadającej im: a) zmiany

energii wewnętrznej AE

W

, b) warto ści pracy

W wykonanej przez gaz i c) wartości c ie

p ła

Q

przekazanego do układu. W każdym

przypadku zacznij od wartości największej.

1 9 . 1 0 . N i e k t ó r e s z c z e g ó l n e p r z y p a d k i

p i e r w s z e j z a s a d y t e r m o d y n a m i k i

Przyj rzymy s i ę t e raz cz t e rem różnym procesom t e rmodynamicznym, w k

na układ na łożono pew ne ograniczenia . Nas t ępnie przekonam y s i ę , j ak i e w

wynika ją z zas tosowania do opi su tych procesów p ierwsze j zasady t e rm

miki . Uzyskane wyniki s t reszcza tabela 19.5.

Pierwsza zasada termodynamiki: cztery przypadki

szczególne

I zasada termodynamiki:

A £

w

= Q — W równanie 19 .26

Przemiana

Adiabatyczna

Stała objętość

Cykl zamknięty

Rozprężanie swobodne

Warunek

2 = 0

W = 0

A £

w

= 0

2 = W = 0

Wynik

A £

w

= —W

A £

w

= 2

2 = w

AE „ 0



Ile

wynosi zmiana energii wewnętrznej układu

w

rozważanym

że

O—

•»

zmiana energii wewnętrznej układu jest

zwią

z pobranym ciepłem (w tym przypadku energia jest przeka

do

układu)

i

wykonaną pracą

(w tym

przypadku energia

od układu) za pomocą pierwszej zasady termody

A £

w

= Q - W - 2256 kj - 169 kJ

« 2090 kJ = 2,09 MJ. (odpow

Obliczona wartość jest dodatnia , co oznacza, że energi

wnętrzna wody wzrasta

w

wyniku

jej

parowania . Energia

zwala oddzielić od siebie cząsteczki H 2 O , które w stanie ci

m oc no

ze

sobą oddziałują. Widzimy,

że

kiedy woda zamien

w parę, mniej więcej

7,5% (= 169

kJ /2260

kJ)

dostarczanej

gii jest zużywane na „odepchnięcie" atmosfery. Pozostała

ciepła zostaje zużyta

na

zwiększenie energii wewnętrznej u

.

Mechanizmy przekazywania ciep ła

czeniem, ale nie zastanawialiśmy się jeszcze, jak się ona dokonuje. Można

cieplne

jego rączka stanie się gorąca. Energia będzie przekazywana od znajdującego

pogrzebaczu. Amplituda drgań atomów i elektronów w metalu włożonym

ogień jest znaczna ze względu na wysoką temperaturę. Zwiększona amplituda

ń i związana z tym energia jest następnie przekazywana wzdłuż pogrzebacza

zeniom sąsiednich atomów. W ten sposób obszar zwiększonej tempe

Zastanówmy się teraz, jak opisać przewodnictwo płytki o grubości L, której

S są utrzymywane w temperaturze od

TG i Tz przez dwa zbiorniki cieplne — gorący i zimny (rys. 19.18).

Q oznacza energię przenoszoną w postaci ciepła przez płytkę od po

t. Doświadczenie pokazuje, że strumień

Pprzew (ilość energii przepływającej w jednostce czasu) wynosi

Q T

c

-T

z

P — — k ?

*

przew — —

r

'

I i-i

(19.32)

k nosi nazwę przewodności cieplnej właściwej materiału,

Dobrymi przewodnikami ciepła nazywamy materiały,

e łatwo na drodze przewodnictwa przedostaje się energia; ich wartość k

tórych często spotykanych metali, gazów i materiałów budowlanych.

cieplny

zbiornik

gorący o

temperaturze

zbiornifc

zimny o

temperatur

T

G

>Tz

Rys.

1 9 . 1 8 .

Przewodnictwo ci

Energia przepływa w postaci c iep

zbiornika

o

temperaturze Ta

do

niejszego zbiornika o temperatur

przez przewodzącą ciepło płytkę

bości

L i

przewodności cieplnej w

wej

k

Wartości przewodn

cieplnej właściwej wybranych

stancji

Substancja

k [W/(m

Metale

Stal nierdzewna

Ołów

Aluminium

Miedź

Srebro

Gazy

Powietrze (suche)

Hel

Wodór

Materiały budowlane

Pianka poliuretanowa

Wełna mineralna

Wata szklana

Drewno sosnowe

Szkło okienne

14

35

235

401

428

0

0

0

0

0

0

0

1

1 9 . 1 1 . Mechanizmy przekazywania ciepła



a nie dobrymi przewodnikami c iepła . Właśnie dla tego użyteczne jes t

oporu cieplnego R. Wartość oporu c ieplnego

R

dla płytki

o

g rubośc i

L

powie rzchn i

S

definiujemy jako

_

L

~~

kS'

Im ninie jsza jes t wartość przewodności c ieplnej właściwej materia łu ,

z

wykonano płytkę , tym większy jes t opór c ieplny płytki . Mówiąc inaczej ,

ma duży opór cieplny, jest złym przewodnikiem ciepła, a więc dobrym izo

cieplnym.

Zwróćcie uwagę, że wartość

R

jes t związana — przez je j grubość

wierzchnię — z konkretną płytką, a n ie ty lko materia łem , z k tórego ją wyk

Jednostką oporu c ieplnego jes t kelwin/wat .

<hu>inik

gorący o

łt -mtH .i.ifui/e

zbiornik

zimny o

temperaturze

R ys . 19 .19 . Stacjonarny strumień cie

p ła przez wielowarstwową płytkę

wyko

naną z dwóch różnych materiałów o róż

nych grubościach i różnych wartościach

przewodności cieplnej. W stanie

stacjo

narnym temperatura na granicy obydwu

materiałów m a wartość T

x

Przewodzenie ciepła przez płytkę wielowarstwową

Na rysunku 19.19 przedstawiono płytkę z łożoną

z

dwóch warstw mat

o grubościach L\ i L

2

oraz różnych wartościach przewodn ości c ieplnej wł

k\

i k

2

.

Temperatury zewnętrznych powierzchni p łytk i są odpowied nio

T

i

Tz . Pole powierzchni p łytki jes t równe S. Wyprowadzimy teraz ró

pozwalające obliczyć s trumień c iepła przez taką płytkę w procesie stacjo

czyli takim, w którym rozkład temperatury i wartość s trumienia nie zm ie

w czasie .

W warunkach s tacjonarnych s trumienie c iepła przez obydwie warstwy

być sobie równe. Mówiąc inaczej , energia , k tóra przepływa w pewnym c

przez jedną warstwę materia łu , musi w takim samym czasie przepłynąć

drugą warstwę. Gdyby tak nie było , temperatura we wnętrzu płytki u le

zm ianom i s tan nie byłby s tacjonarny. Załóżmy, że temperatura na g ranicy

obydwu materia łów jest równa Tx - Korzystając z równan ia (19.32) , m

napisać

. M kz« _ MOpia.

( 1

Rozwiązanie równania (19.34) względem Tx jes t s tosunkowo prostym za

z a lgebry; o trzymujemy

T

X

=

fr rz

+ M-IFT

k\L

2

+ k

2

L\

Podstawiając uzyskaną wartość Tx do jedn ego z członów równa nia (19.34)

m a m y

KiTn

T^

(

S(T

G

- T

z

)

L,/k

x

+L

2

/k

2

Równanie (19.36) możemy uogólnić na płytkę zawierającą dowolną l i

warstw:

S(T

G

-

Tz)

przew

(

(Li/ki)

Znak sumowania występujący w mianowniku oznacza, że musimy dodać do

war tośc i L/k dla wszystkich warstw płytki .

21 0 19 . Tem peratura, c iepło i p ierwsza zasada termody namiki



7 :

Płytka jes t z łożona

z

czterech warstw

o

jednakowej grubości ,

ale

z

różnych materiałów. Na rysunku podan o wartości temperatury zm ierzone dla

i na

d jej największej

25° C -

lllllllj

5.0 r

-10' V -

lllllllll

w

płom ień św iecy lub zapałki , mo żemy zauważy ć , że ener

w górę dz ięki konwekcji . Taki transport energii

w kontak

ie

z

c ia łem

o

wyższe j tempera turze . Ta część płynu, która bezpośrednio przylega

się i — w

większośc i p rzypadków

—

zwiększa swą

co

powod uje spadek gęs tośc i . Ponieważ jes t ona te raz lże jsza

niż

ota

ją

chłodnie jsze wars twy, zaczyna s ię poruszać

w

górę dz ięki s i le w ypo ru.

z

otoczenia zajmuje teraz miejsce

w

pobl iżu

i

proces t rwa

dalej .

Konwekcję częs to obserwujemy w przyro dzie . Konwekcja zach odząca w at

dla k l ima tu na Z i e m i i codziennych zmian pogody.

i

ptaki szukają w znoszących prądów termicznych (konw ekcyj

im

kontyn uow ać lot . Taki

za

procesy w ymian y olbrzym ie j energi i

w

oceanie .

z

pieca jądrowego, jakim jes t jądro Słońca , jes t przenoszona

w

obręb ie olbrzymich g ranul ,

w

których gorący

w

cent rum

i po

oddan iu c iepła op ada po śc ianach.

w

postac i c iepła między c ia łem a jeg o o tocze

fal

e lektromagnety cznych (przykład em takich fa l jes t św ia

Ten sposób przekazywania sygnałów energi i jes t częs to nazywany promie

aby

odróżnić

go od

przekazywania sygnałów

za

pomocą

w

radio

i

telewizji)

i od

p romieniowania

i cząs tek emitowanych przez jądra) . („Promieniować" znaczy

co wys yłać) . Kiedy s toimy obok du żego ogn iska , czujemy c iepło, pon ieważ

od

ognia . Ozn acza to ,

że na

a

male je energia te rmiczna ognia .

Nie

trzeba

za

poś rednic twem promieniowania

—

się

on o

w

próżni ,

na

przykład pom iędzy S łońcem

a

Ziemią.

Moc promieniowania P

p r

om

emitowanego przez c ia ło w postac i fa l e lektroma

S c ia ła

i

t empera tury j ego pow ie rzchni T

w ke lwinach. Wie lkośc i te łączy za leżność

P

p r o m

= asST

4

. (19.38)

1 9 . 1 1 . Mechanizmy przekazywania ciepła



Rys. 19.20. Termogram uwidacznia za pomocą umownie przyjętych kolorów moc w

mieniowywaną przez domy stojące wzdłuż ulicy. Kolory: biały czerwony, różowy, nieb

i

czarny odpowiadają kolejno mocy promieniowania od wartości największej do najm

szej. Na tej podstawie można stwierdzić, gdzie w ścianach domów umieszczono izo

w których oknach wiszą grube zasłony oraz w których domach na piętrze pod sufitem

cieplejsze powietrze

W podanym równaniu o — 5.6703 • 10~

8

W/(m

2

-K

4

) oznacza stałą

Stefana

tzmanna

nazwaną tak dla uczczenia Josefa Stefana (który w 1879 r. odkry

drodze doświadczalnej prawo zapisane w równaniu) oraz Ludwiga Boltzm

(który wkrótce potem wyprowadził je teoretycznie). Symbol F wyraża zdo

emisyjną powierzchni ciała, która może przyjmować wartości z przedziału

0 do 1. zależnie od rodzaju powierzchni. Ciało, na którego powierzchni

ność emisyjna przyjmuje maksymalną wartość 1. nazywamy ciałem dosk

czarnym. Jest to jednak przypadek graniczny, który nie występuje w prz

dzie. Zwróćcie uwagę, że temperatura występująca w równaniu (19.38) musi

wyrażona w kelwinach, tak aby zero bezwzględne oznaczało całkowity brak

mieniowania. Zauważcie też. że każde ciało, którego temperatura jest wy

niż 0 K — takie i ty — emituje promieniowanie cieplne (patrz rysunek 19

Moc absorbowana

P

a

b

S

przez ciało z otoczenia w wyniku promieniow

cieplnego zależy od (jak zakładamy — stałej) temperatury otoczenia R

ot

oc z

rażonej w kelwinach

Zdolność emisyjna

s

występująca w równaniu (19.39) jest tą samą wielkośc

w równaniu (19.38). Ciało doskonale czarne o zdolności emisyjnej E równej

chłania całą energię padającego nań promieniowania (nie odbija ani nie rozpr

padającego promieniowania).

Ponieważ ciało pochłaniające promieniowanie docierające z otoczenia

zarazem jego źródłem, wypadkowa moc P^

v

charakteryzująca wymianę z

czeniem energii w postaci promieniowania cieplnego jest równa

Moc / \ y

P

jest dodatnia, jeżeli ciało pochłania energię na drodze promieniow

a ujemna, jeżeli ciało traci energię.

P

as

=

°eST*

(19.3

(19.4



Ciep ło

Q

to energia wymieniana pom iędzy u kładem

na skutek różnicy temperatury między nimi.

w dżulach (J), kaloriach (cal), kilokaloriach

1

cal = 3 , 9 6 9

• 1 0

- 3

Btu =

4 , 1 8 6 0

J.

( 1 9 . 1 2 )

i

ciepło właściwe Jeżel i pewne ciało po

Q,

zmiana jego temperatury —

R

P O C Z

będzie

z

wartością

Q

równan iem

Q

= C(T

koAc

-

R

P O C Z

) , ( 1 9 . 1 3 )

C oznacza pojemność c ieplną ciała. Jeżeli ciało ma

m, to

zależność

tę

możemy zapisać

w

postaci

Q = cm

( R

K O Ń C

-

R

P O C Z

) , ( 1 9 . 1 4 )

c

oznacza

ciepło właściwe

substancji,

z

której zbudowane

Molowe c iepło właśc iwe

substancji definiujemy jako

tej

substancji, czyli

6 0 2 • 1 0

2 3

Gdy

substancja pochłonie ciepło, m oże

nić się jej stan skupie nia, na przykład ciało s tałe mo że stać

cieczą,

a ciecz — gazem. I lość ciepła niezbędna do zmiany

jednostkow ej m asy substancji (bez zmiany przy tym jej tem

c iepłem przemiany c

p r z e m

. Mamy więc

G =

c

p r z e m

m .

( 1 9 . 1 6 )

c

p a r

to

ilość energii na jednostkę masy, która

Ciepłem topnienia c

l o p

substancji nazywamy ilość

tej

substancji

jej

masy

w

postaci cieczy,

aby

spowodować

jej

ze

zmianą objętości Gaz może wym ieniać

ze swoim otoczeniem , wykonując prac ę. Pracę w ykonaną

lub zmniejsza swą objętość od V

p o c z

można obliczyć za pomocą równania

v

b>ńc

W

=

J dW = j pdV. ( 1 9 . 2 5 )

^pocz

w

procesie

się

wraz

ze

zmianą objętośc i.

Zasada zachowania energii

p ierwszej za

którą można zależnie od potrzeb zapisać

za pomocą jednego z równań

A £

w

— w.końc ^w.pocz

=

Q W

(pierwsza zasada termodynamiki)

(

lub

d £

w

=

d<2 —

dW

pierwsza zasada termodyna mik

( 1

gdzie

£

w

oznacza

energię wewnętrzną substancji zależną j

od stanu substancji ( temperatury, ciśnienia

i

objętości).

Q

cza energię wymienianą między układem

a

otoczeniem

staci ciepła;

Q ma

wartość dod atnią, jeżeli ukła d pobiera c

i

ujemną,

jeżel i układ oddaje ciepło. W oznacza pracę wy

waną przez układ; W ma wartość dodatnią, jeżeli układ zw

swą objętość, działając przeciw pewnej sile zewnętrznej, a w

ujemną,

jeżel i układ zmniejsza swą objętość z powodu dz

si ły z ewnętrznej . Wartości ciepła Q i pracy W zależą od sp

przeprowadzenia przemiany,

a

wartość A £

w

nie.

Zastosowania pierwszej zasady termodynam iki Pierws

sada termodynamiki przybiera w niektórych procesach

szcz

postać:

przemiana adiabatyczna:

2

=

0 , A £

w

=

W

przemiana przy stałej objętości:

W = 0 , AE

W

= Q

proces cykliczny :

AE

V

=

0 , Q = W

rozprężanie swobodne

: Q = W = AE

V

=

Przewodnictwo, konwekcja

i

promieniowanie Strumie

p ła

/-przew

przenikającego przez płytkę, której powierzchn

u t r zymywane

w

temperaturze

7Q i

Tz , jest równy

Q T

G

— T

z

przew

=

~ — kS —

,

( 1

gdzie

S i L

oznaczają odpowiednio pole powierzchni

i

gr

płytki ,

a k

jest przewodnością cieplną właściwą mater iału.

Konwekcją

nazywamy przepływ energii związany

z

ru

spowodowanym różnicą temperatury

w

p łyn ie .

Promienio

to przepływ energii

w

wyniku promieniow ania elektrom

tycznego. Moc promieniowania cieplnego ciała jest dana r

n iem

Pprom

=

TSST\

( 1

gdzie

a

( =

5 , 6 7 0 3

• 1 0

8

W / ( m

2

• K

4

) ) jest s tałą Stefana-

manna,

e —

zdolnością em isyjną powie rzchni ciała,

polem powierzchni ciała,

a T —

jeg o temperaturą

względną.

Moc

absorbowana

P^

s

z

otoczenia

o

stałej tem

turze

r

otocz

(w kelwinach) dzięki promieniowaniu cieplnem

równa

Ąb =

A S S 7 L

C Z

. ( 1



1 .

Na rysunku 19.23 przedstawiono trzy l iniowe skale tempera

tury. Na każdej z nich zaznaczono temperaturę krzepnięcia i wrze

nia wody. Uszereguj od największej do najmniejszej wartości

zmiany temperatury: 25°R, 25°S i 25°U.

20°R

-80°R

120°S

50°S

300°U

-225°U

tempera tu ra

wrzenia

tempera tu ra

krzepnięcia

Rys.

1 9 . 2 3 .

Pytanie 1

2 . W tabeli podano początkową długość L, zmianę tempera

tury AT i zmianę długości AL czterech prętów. Uszereguj pręty

według ich współczynn ika rozszerzalności cieplnej , zaczynając od

jego największej wartości.

Pręt

L

[m]

A T [°C] AL [m]

a 2 10

4 • I O "

4

b

1

20

4 • 1 0 ~

4

c

2 10 8

•

1 0 ~

4

d 4 5 4 • I O "

4

3 .

W izolowanym cieplnie zbiorniku umieszczono obok siebie

próbkę substancji A o mas ie m oraz próbkę substancji B o tej

samej masie m, lecz wyższej temperaturze. Gdy ustalił się stan

równowagi termodynamicznej , s twierdzono, że temperatura sub

stancji A i B zmieniła s ię odpowiednio o AT

A

i A T

S

. Następnie

powtórzono to samo doświadczenie, zestawiając próbkę substan

cj i A z próbkami innych mater iałów o tej samej masie m. Wyniki

umieszczono w tabeli . Uszereguj cztery substancje użyte w do

świadczeniu według ich ciepła właściwego, zaczynając od jego

największej wartości.

Doświadczenie

Zmiana temperatury

1

A Ti = +5 0°C

A T g = - 5 0 ° C

2 A T

A

= + 1 0 ° C

A T

C

=

- 2 0 ° C

3

A T

A

= + 2 ° C AT o = - 4 0 ° C

4 .

Każda z substancji A, B i C znajduje się w swojej temperaturze

topnienia. Stopienie 4 kg substancji

A

wymaga dostarczenia 200 J ,

5 kg substancji B 300 J, a 6 kg substancji C również 300 J.

Uszereguj te substancje według ich ciepła topnienia, zaczynając

od wartości największej.

5 .

Na rysunku 19.24 przedstawiono wykonane we współrzędnych

p-V wykresy dwóch procesów cyklicznych gazu. Trzy odcinki

krzyw ych składających się na Cykl 1 mają d okład nie te sam e

kształ ty i długości , jak dla cyklu 2. W jakim kierunku

czy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) należy przepr

te cykle, aby: a) całkowita praca W wykonana przez g

wartość dodatnią i b) całkowite ciepło

Q

oddane do o

przez gaz było dodatnie?

6 .

Który z cykli przedstawionych na rysunku 19.24 pr

dzony w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zega

się z: a) wykonaniem większej pracy W i b) oddaniem w

ciepła

g ?

-V

(1) (2)

Rys. 19.24.

Pytania 5 i 6

7 . Na rysunku 19.25 przedstawiono płytkę złożoną

warstw o jednakowej grubości , ale wykonanych z różn

ter iałów

a, b

i

c

o przewodności cieplnej właściwe

k

a

> k

c

. Załóżmy, że przez

płytkę przenika różny od

zera, stacjonarny strumień

ciepła. Uszereguj poszcze

gólne warstwy według róż

nicy temperatury AT na

ich ściankach, zaczynając

od wartości największej.

• M M I I

I j l j j ^

B

W

Rys. 19.25.

Pytanie 7

8 .

Podczas wzrostu sopla lodu jego zewnętrzna powierzc

pokryta cienką warstwą wody, która stopniowo spływa

i zbiera się w postaci pojedynczych kropelek na czubk

(rys. 19.26). Każ da kropla znajduje się na końc u cienk ie

l ika z wodą biegnącego w górę w kierunku nasady sopla

nie do samego końca) . Pod

czas s topniowego krzepnię

cia wody w górnym od-

cinku kanalika wydzielana

jest energia. Czy energia ta

jest przewodzona przez lód

w kierunku radialnym na

zewnątrz sopla, w dół przez

wodę w kierunku kropli ,

czy w górę w kierunku na

sady sopla? (Załóż, że tem

peratura powietrza jest niż

sza niż 0°C). Rys.

1 9 . 2 6 .

Pytanie 8

9 .

Sześcian o krawędzi r , kula o promieniu

r

i półkula o

ni u

r

wykonane z tego samego mater iału są utrzymywane



.

Trzy próbki różnych substancji o jednakowej masie są

T od czasu t dla wspomnianych trzech sub

, a) Czy w przypad ku substancji 1 ciepło właśc iwe

Rys. 19.27.

Pytanie 10

.

Próbkę A wody i próbkę B lodu o jednakowej masie umiesz

ąc im osiągnąć

T próbek od czasu t. a) Czy w stanie

i

a)

b)

c)

d )

Rys. 19.28.

Pytania

1 1

i 12

e)

0

1 2 . C iąg dalszy pytania 11 . Na rysunku 19.28 znajduje się

kresów zależności temperatury T od czasu t. Przynajmniej

nie może odpowiadać sytuacji rzeczywistej , a) Który to w

i dlaczego? b) Określ , czy na wykresach opisujących sytua

alne temperatura równowagi jest wyższa, niższa, czy równa t

raturze krzepnięcia wody. c) Czy w przyp adkach realnych w

równowagi próbka wody jest częściowo zamarznięta, całk

zamarznięta, czy całkowicie ciekła? Czy w przypadkach re

w stanie równowagi próbka lodu stopiła s ię częściowo, całko

czy w ogóle się nie stopiła?

Z a d a






P o m i a r y t e m p e r a t u r y

Zbudowano dwa termometry gazowe o s tałej objętości . Jeden

3

wynosi 80 kPa. Jaka będzie różnica ciśnień w oby

(Wskazówka:

Załóżmy, że temperatura gazu w punkcie wrzenia wody jest

trójnego wody? (Przyjmij założenie, że w obydwu tempera

gaz zajmuje identyczną objętość).

3 .

Pewien termo metr gazowy jest zbudowany z dwóch zbior

zanurzonych w łaźniach wodnych, jak na rysunku 19.29. R

ciśnień w obydwu zbiornikach jest mierzona manometrem

ciowym w sposób pokazany na rysunku. Dodatkowe, nie

sowane zbiorniczki zapewniają zachowanie stałej objętośc

w obydwu zbiornikach głównych. Kiedy obydwa zbiornik

dują się temperaturze punktu potrójnego wody, nie wys

w nich różnica ciśnień. Jeżel i jeden zbiornik ma tempe

punktu potrójnego wody, a drugi temperaturę wrzenia wody

nica ciśnień wynosi 120 to

rów. Kiedy jeden zbiornik

jest w temperaturze punktu

potrójnego, a drugi w nie

znanej , mierzonej tempera

turze, różnica ciśnień jest

równa 90 torów. I le wynosi

ta temperatura?

A

%j

ys. 19.29.

Zadanie 3

Z a d a n i a





40

30

10

0

C

~,0—

(J

W \L„

A-

li-

C-

•li

-C

1 2 3 4

objętość [m

3

]

a)

Zadanie 50

b)

40

E

30

•a 20

3

20

10

0

c

A

B

•

1

2 3 4

objętość [m

3

]


B

1 .

Gaz w zamknię te j ko

p-V

2 . Gaz zamknię ty w ko

Oblicz, i le ciepła od

CA,

AB

e BC energia nie była wy

3 . W przypadku gdy pe

P do stanu koń

K

wzdłuż krzy

ej PA K widocznej na

p- V

z rysunku

ciepło Q ma wartość

W 20 cal.

PBK, to Q = 36 cal.

W wykona układ w przemianie PBKlb) Jaka była

0 objętość


0

objętość


wartość c iepła Q, jeże l i w procesie odwrotnym KP układ w

nał pracę W = —13 cal? c) Załóż, że energia wewnętrzna uk

w stanie początkowym £

W

P 0

C Z

jest równa 10 cal . Ile wynosi

gia wewnętrzna układu IIW.KOŃC w stanie końcowym? d) Załó

energia wewnętrzna układu

£

w

s w punkcie B wynosi 22 cal

k ie są wartośc i c iepła dostarczonego do układu w procesach

i BK7

1 9 . 1 1 M e c h a n i z m y p r z e k a z y w a n i a c i e p ł a

5 4 .

Na obszarze Ameryki Północnej średnia szybkość prz

szenia energii z wnętrza na powierzchnię Ziemi na drodze p

wodnic twa c ieplnego jest równa 54 mW/m

2

. Średnia przewod

cieplna właśc iwa przypowierzchniowej warstwy skorupy z

skiej wynosi 2,5 W/(m

•

K). O bl icz , jaka temperatura panuj

głębokości 35 km (czyli w pobliżu dna skorupy ziemskiej), j

temperatura na powierzchni wynosi 10°C. Zaniedbaj c iepło

twarzane na skutek rozpadu pierwiastków promieniotwórczy

5 5 .

Opór c ieplny

R

metra kwadratowego pokrycia dachu do

jednorodzinnego w chłodnej strefie klimatycznej powinien

zbliżony do 30 K/W. Jak gruba musi być odpowiednia war

izolacyjna wykonana z: a) pianki poliuretanowej i b) srebra?

5 6 .

a) Oblicz strumień ciepła uciekającego z organizmu narc

przez jego ubranie, jeżeli przyjmie się następujące dane:

powierzchni ciała 1,8 m

2

; grubość ubrania 1 cm, tempera

skóry 33°C; temperatura powiet rza 1°C i przewodność c ie

właśc iwa u brania 0,04 W /(m • K). b) Jak zm ieni łby się w

uzyskany w punkcie (a) , jeże l i w wy niku upadku kombin

narciarza nasiąkłby

wodą,

której przewodność cieplna właś

wynosi 0 ,6 W/(m • K)?

5 7 .

Rozważmy płytkę przedstawioną na rysunku 19.18. Załóż

że wykonano ją z miedzi oraz że je j grubość L = 25 cm, a

powierzchni S = 90 cm

2

. Przyjmijmy ponadto, że Tq = 12

Tz = 10°C i osiągnięty zos tał stan stacjonarny. Ob licz, i le wy

strumień ciepła przenikającego przez płytkę.

5 8 . Wyobraź sobie, że miałbyś odbyć krótki spacer w przestr

kosmicznej ,

w dużej odległośc i od Słońca , bez odpowiedn

kombinezonu. Odczułbyś wtedy chłód kosmiczny — twoje c

wypromieniowywałoby energię, nie pochłaniając prawie ża

z otoczenia, a) Z jaką szybkością traciłbyś energię? b) Ile ene

straciłbyś w ciągu 30 s? Przyjmij, że zdolność emisyjna ciała

równa 0,9 i oszacuj wartości pozostałych wielkości niezbędn

do obliczeń.

5 9 . Walcowy pręt miedziany o długości 1,2 m i polu p

kroju poprzecznego 4,8 cm

2

jest starannie izolowany, aby ci

nie uciekało przez boczne śc ianki . Końce prę ta umieszczono

powiednio w mieszaninie wody z lodem i w parze nad wrz

wodą, dzięki czemu ut rzymywana jest między nimi sta ła

nica temperatury 100°C. a) Oblicz strumień ciepła wzdłuż pr

b) Oblicz, w jakim tempie będzie topić się lód w pobliżu zimn

końca pręta, i iw



• mm

a)

b)

6 0 . W celu wykonania

pokrywy do prostokątnego

otworu o polu powierzchni

2S masz do dyspozycji

cztery kwadratowe kawałki

izolacji o tej samej grubo

ści i polu powierzchni S

z dwóch różnych materia

łów. Pokrywę można wyko

nać na dwa różne sposoby

przedstawione na rysunku 19.39. Który z układów (a) czy (b) da

mniejszy przepływ energii przy założeniu, że k

2

fci?

6 1 .

Dwa identyczne pręty o przekroju prostokątnym, połączone

ze sobą jak na rysunku 19.40a, przewodzą w stanie stacjonarnym

w czasie 2 min 10 J ciepła. W jakim czasie przepłynie 10 J ciepła,

jeżeli pręty zostaną połączone tak, jak na rysunku 19.40b?


0°C

100°C 0°C -

100°C

a)

b)

65. Woda w zbiorniku po

kryła się w czasie mroź

nej pogody warstwą lodu

o grubości 5 cm (rys. 19.42).

Powietrze nad lodem ma

temperaturę

— 10°C.

Oblicz

szybkość przyrastania gru

bości lodu (w centymetrach

na godzinę). Przyjmij, że

przewodność cieplna i gę

stość lodu są odpowiednio

równe 0,004 cal/(s

•

cm

•

°C)

oraz 0,92 g/cm

3

. Przyjmij

założenie, że nie ma prze

pływu ciepła przez ścianki

boczne ani podstawę zbior

nika.

x>wietrze

Rys. 19.42.

Zadanie 6

Rys. 1

9 . 4 0 . Zadanie 61

6 6 .

Powierzchnię płytkiego stawu pokryła warstwa lo

mień ciepła przez tę warstwę ma wartość stacjonarną. P

nad lodem ma temperaturę —5°C, a woda na dnie sta

Jak gruba jest warstwa lodu, jeżeli całkowita grubość uk

+ woda wynosi 1,4 m? (Przyjmij, że lód i woda mają prze

cieplną odpowiednio 0,4 i 0,12 cal/(s

•

cm

•

°C)).

6 2 . Kulę o promieniu 0,5 m, temperaturze 27°C i zdolności

emisyjnej 0,85 umieszczono w otoczeniu o temperaturze 77°C.

Z jaką szybkością kula: a) emituje i b) pochłania promieniowanie

cieplne? c) Jaka jest wypadkowa szybkość wymiany energii przez

kulę?

6 3 .

Z jaką szybkością (w watach na metr kwadratowy) ucieka

energia przez szklaną szybę o grubości 3 mm, jeżeli temperatura

na zewnątrz wynosi —20°F, a wewnątrz +72°F? b) Jaka będzie

szybkość strat energii, jeżeli równolegle do pierwszej szyby, w od

ległości 7,5 cm od niej zostanie umieszczona druga taka sama

szyba? Przyjmij, że przewodnictwo jest jedynym istotnym mecha

nizmem odpowiadającym za straty energii.

> W

6 4 .

Na rysunku 19.41 przedstawiono przekrój ściany składają

cej się z czterech warstw. Znane są wartości przewodności ciepl

nej właściwej: k\ = 0,06 W/(m • K) , k

3

= 0,04 W/(m • K)

i fct = 0,12 W/(m

•

K) (wartość k

2

nie jes t znana). Warstwy

mają grubości: L\ = 1,5 cm,

L3

= 2 ,8 cm i L

4

= 3,5 cm

(grubość L

2

nie jest znana). Strumień ciepła przez ścianę

osią

gnął wartość stacjonarną. Ile wynosi temperatura T na oznaczonej

granicy warstw?

r* Lj *\* L>2 Z.4

Rys. 1 9 . 4 1 .

Zadanie 64

Zadania do datk ow e

6 7 . Do na wpół tajnego klubu „300 F" działającego

Amundsena i Scotta na biegunie południowym można p

tylko wtedy, kiedy temperatura na zewnątrz spada poniżej

Aby to uczynić, trzeba najpierw przebywać w gorącej

a następnie odbyć bieg na zewnątrz budynku, mając

jedynie buty. (Jest to wprawdzie bardzo niebezpieczne,

jest szczytny — chodzi o protest przeciwko mrozom na

południowym).

Przyjmij założenie, że bezpośrednio po opuszczeni

temperatura twojej skóry wynosi 102°F, a ściany, sufit

łoga sauny mają temperaturę 30°C. Oszacuj powierzchn

jego ciała i przyjmij, że ma ono zdolność emisyjną 0,8.

jest przybliżona szybkość strat energii z twojego ciała we

pomieszczenia? Załóżmy teraz, że kiedy wybiegasz na z

połowa twojego ciała wymienia energię z niebem o tem

rze —25°C, a druga połowa ze śniegiem i lodem o tem

rze —80°C. Ile wynosi przybliżona moc strat twojej en

rzecz b) nieba i c) śniegu i lodu?

6 8 . Pingwiny cesarskie, których wygląd kojarzy się z ang

kamerdynerami, wychowują potomstwo nawet podczas

antarktycznej zimy. Po złożeniu przez samicę jaja samie

muje je na stopach, aby zapobiec jego wychłodzeniu.

robić bez przerwy przez okres aż do wylęgu, co trwa

do 115 dni, nie mogąc w tym czasie jeść, gdyż jego poka

duje się w wodzie. Tak długi okres bez pożywienia pingw

przetrwać tylko wtedy, gdy zdoła znacznie ograniczyć sw

potrzebowanie na energię. Jeżeli przebywa sam, utrzyman



Załóżmy, że pingwin jes t walcem o polu podstawy

a,

w y

h,

t empera turze powierzchni

T

i zdolności emisyjnej

s.

P

u

z którą pojedyn czy sa

boczną.

Jeżel i

N

samców znajdowałoby s ię w dużych odległościach

NPi.

Wy obraźm y sobie teraz, że skupiają się one ści

śle,

tworząc walec

o polu pods tawy

Na

i wysoko ści

h.

b)

równanie pozwalające obl iczyć moc

P

g

s t rat energi i grup

gwinów w wyniku promieniowania .

c) Przyjmując wartości

a

= 0 ,34 m

2

i

h

= 1,1 m

korzystając z wyprowadzonych równań na

P\

i

P

g

,

wykonaj w

przedstawiający zależność

P

g

/NP{

od

N.

Oczywiśc ie p in

nie wiedzą nic na temat algebry i wykresów, ale ins tynkt nak

im zb ierać s ię w grupy, aby z jak n ajwiększej l iczby jaj m

wykluć s ię pisklęta . Na podstawie wykresów (prawdopod

musisz wykonać ki lka wers j i ) odpowiedz, i le pingwinów

zebrać s ię w grupę, aby s tosunek

P

g

/NPi

zma lał do: d) 0,5,

f) 0,3, g) 0,2 i h) 0,15. i) I le wynosi dla przyjętych wartości

granica s tosunku

Pg/NP^



• • • 2 0 K inetyczna

teo r i a gazów

W o k ó ł w y l o t u o t w i e r a n e j b u te l k i z e s c h ł o d z o n y m s z a m p a n e m , w o d ą s o d o w ą lu b i n n y m

n a p o j e m g a z o w a n y m t w o r z y s ię d e l i k a t n a m g i e ł k a , a c zę ść c ie c zy w y p ł y w a n a z e w n ą t r z

( N a z d j ę c i u m g i e ł k a je st w i d o c z n a

w p o s t ac i b i a ł e j c h m u r k i o t a c z a j ą c e j

k o r e k , p o p r z e c i n a n e j s t r u g a m i c i e cz y ) .

Co powoduje powstawanie mgiełki?

Odpowiedź zna jdz iesz w tym rozdz ia le .



Nowe spo j rzen ie na gazy

L i c z b a A v o g a d r a

Mol to jed na z siedmiu

Jeden mol to l iczba atomów w próbce węgla-12 o masie 12 g.

Nasuwa się oczywiście pytanie: „I le atomów lub cząsteczek stanowi jeden

Odpowiedź można uzyskać na drodze doświadcza lne j . Jak wiesz z roz

N

A

= 6 ,02 • 1 0

2 3

m o l "

1

( l iczba Avogadra) , (20.1)

1

oznacza odwrotność mola , co wypowiadamy „na mol" . L iczba

A

^ A

6-1 85 6), który pierw szy zasugerow ał , że wszystkie gazy zajmujące

Liczba mol i n w próbce dowolnej substancj i jest równa i lorazowi l iczby

N w tej próbce i liczby cząsteczek w 1 molu A ^ :

N

n = — . ( 2 0. 2)

Trzy symbole występujące w tym równaniu łatwo ze sobą pomyl ić i dla

N).

L iczbę mol i

n

w próbce możem y wyzn aczyć , zna jąc masę

p r

i jej masę molową M (masę 1 mola) lub masę cząsteczkową m (masę

M

or

M

m

n = — ^ = (20 .3)

M mN

A



Zapisując równanie (20.3) , skorzysta l iśmy z faktu , że masa jednego mola

i loczynem masy jedne j cząs teczk i m i l iczby cząsteczek N

A

w 1 molu:

M = mN

A

.


1 : Liczba Awga dra — czego to jest liczba?

1

, będących odwrotnością mola, czyli l /mol. Równie dobrze

nej sytuacji . Na przykład, jeżel i rozważanymi elementam

atomy, moglibyśmy napisać A/

A

= 6,02

•

IO

2 3

atomów/mo

elementami byłyby cząsteczki , napisal ibyśmy NA = 6 ,

cząsteczek/mol.

2 0 . 3 .

G azy doskona ł e

Celem, który postawil iśmy sobie w tym rozdzia le , jes t opisanie makrosko

właściwości gazu — takich jak c iśnienie i temperatura — na podstawie

wania s ię tworzących go cząsteczek. N asuw a się jed nak py tanie : jaki wł

gaz mamy opisywać? Czy ma to być wodór, t len , metan, a może sześcio

uranu? Z pewnością są to różne gazy. Na drodze doświadczalnej można s ię

przekonać, że jeżel i weźmiemy próbki o wielkości 1 mola każdego z tych

zamkniemy je w zbiornikach o jednakowej obję tości , k tóre umieścimy w

samej temperaturze , to zmierzone c iśnienia będą niemal — chociaż nie do

— identyczne. Jeżel i będziemy powtarzać te same pomiary dla gazów o

mniejszej gęstości , n iewielkie różnice c iśnienia jeszcze bardzie j zmale

świadczenie pokazuje , że wszystkie gazy rzeczywiste przy dosta tecznie

gęs tośc i można op isać jednym równan iem

pV = nRT ( równanie s tanu gazu doskon ałego) ,

(

gdz ie p oznacza bezwzg lędną war tość c i śn ien ia , n — liczbę moli gazu w

aT — tempera tu rę bezwzg lędną gazu . Symbol R oznacza pewną s ta łą na

stałą gazową, która ma tę samą wartość dla wszystkich gazów

R = S,3l J / ( m o l - K ) .

Równan ie (20 .5 ) nazywamy równaniem s tanu gazu doskonałego . Jeżeli

jes t dosta tecznie mała , obowiązuje ono zarówno dla gazu jednoskładnik

jak i d la mieszaniny gazów. (W przypadku mieszaniny n oznacza całkowitą

mol i w mieszan in ie ) .

Równanie (20.5) przepiszemy teraz w innej postaci , wprowadzając do

B o l t z ma n n a k, zdefiniowaną jako

R_

=

8 ,3 1 J / ( m o l • K) _ ,

q q i n

_

2 3

N

A

6 ,02 • 1 0

2 3

m o l "

Dz ięk i temu możemy nap isać

R = kN

A

-

Z równ ania (20.2)

(n = N / N A

nika, że

nR = Nk.

k =

— = ^ - = 1 ,38

•

10 J / K .



pV = NkT

(równanie gazu doskonałego). (2 0. 9)

Zwróćc ie uwagę na różnicę między obydwiema pos tac iami równania

n,

a w rów

A0-

Z pewnością korc i was , aby zapytać : „Co to takiego jes t

gaz doskonały

i co

wszystkie gazy

o i le ich gęs tość jes t dos ta tecznie mała — to znaczy cząs teczki znaj

V

p o c z

do obję tośc i końcowej

V k o ń

0

T.

Taki proces

stałej temperaturze

n a z y w a m y

rozprężaniem izo termicz -

m (przemiana odwrotna to sprężanie i zo termiczne ) .

Na wykre s ie we współ rzędnych

p-V izoterma

jes t krzywą łączącą punkty

T.

n

mol i gazu doskona łego i zo te rma je s t op i sana równaniem

p = nRT^ =

(pewna s ta ła ) • ^ . ( 2 0 . 10 )

T.

(Zwróćc ie uwagę , ż e t empera tura

T

dla izoterm wzras ta ,

V p

0 C Z

do y^ońc w t e m p e

Aby obl iczyć pracę wykonywaną przez gaz doskonały w proces ie rozprężania

W= j pdV.

(20.11)

^pocz

V

X . " " T =

\ ^ K

7

=

/' =

Rys.

2 0 . 1 .

Trzy izotermy we

rzędnych p-V. Od cinek na śro

izotermie opisuje izotermiczne r

żanie gazu od stanu początkowego

stanu końcowego K. Odcinek izo

od stanu K do P opisywałby proc

wrotny, tj . izoterm iczne sprężanie



2 0 .4 . C iś n ie n ie , t e m p e r a t u r a

i prędkość średnia kwadratowa

Zajmiemy s ię te raz naszym pierwszym zagadnieniem w ramach teor i i kin

nej .

Wyobraźmy sobie , ż e

n

moli gazu doskonałego zamknię to w sześc i

zbiorniku o obję tośc i

V

(rys. 20.3). Ściany zbiornika mają stałą temperat

W jaki sposób c iśnienie p wywierane przez gaz na śc ianki zbiornika za l

prędkośc i jego cząs teczek?

Cząsteczki gazu zamknię te w zbiorniku porusza ją s ię we wszystkich k

kach z różnymi prędkościami, zderzając się ze sobą nawzajem i odbijając

śc ianek, niczym pi łeczka podczas gry w squasha . Zapomnijmy (na raz ie)

rzeniach zachodzących między cząs teczkami i za jmijmy s ię tylko ich spręży

zderzeniami ze śc iankami,

I

Na rysunku 20.3 pokazano cząs teczkę o masie m i prędkośc i v, kt

chwilę zderzy s ię z zac ieniowaną śc ianką zbiornika . Ponieważ zakładam

wszystkie zderzenia cząs teczek ze śc iankami są sprężyste , w wyniku zde

z tą śc ianką zmienia s ię tylko składowa prędkośc i w kierunku os i x, która

muje wartość przec iwną. W idzimy, że tym sam ym zm ienia s ię jedy nie skł

pędu cząs teczki w kierunku os i x. Zm iana ta jes t równ a

Ap

x

= (~mv

x

) - (-mv

x

) = -2mv

x

.

Widzimy więc , że pęd, który otrzymuje śc iana w wyniku zderzenia , jes t

+2mv

x

.

(Ponieważ w naszym podręczniku używam y symbolu

p

za rów

oznaczenia pędu, jak i c iśnienia , musimy pamię tać , że w tym przypadku p

cza pęd i jes t w ie lkośc ią wektorową) .

Cząsteczka z rysunku 20.3 regularnie zderza s ię z zac ieniowaną ścian

między kole jnymi zderzeniami upływa czas Af potrzebny cząs teczce porusz

się z prędkością v

x

na przebycie drogi do przec iwnej śc iany i z pow rotem

Czas Ar jes t więc równy 2L/v

x

. (Zwró ć uwag ę , że wy nik ten jes t pop

nawet wtedy, kiedy cząsteczka odbija się po drodze od innej ścianki. Pon

śc ianka taka jes t równoległa do os i x, zderzenie z nią nie zmienia skła

v

x

prędkośc i cząs teczki) . Średnia szybko ść , z jaką rozw ażana cząs tka prze

pęd zac ieniowanej śc iance , jes t więc równa

Ap

x

2mv

x

mvt\

At ~ 2L/v

x

~ L

Z drugie j zasady dynamiki Newtona (F = dp/dt) wiemy, że szybkość

kazywania pędu ścianie to po prostu siła działająca na ścianę. Aby ob

wypadkową s i łę dz ia ła jącą na śc ianę , musimy zsumować wkłady pochodzą

wszystkich uderza jących w nią cząs teczek, dopuszcza jąc możl iwość , że

z nich ma inną prędkość . Dzie ląc wartość s i ły wypadkowej F

x

przez po

wierzchni ściany (= Lr), otrzymujemy c iśnienie p wywierane na tę śc ianę

te j chwil i , aż do końca prowadzonych rozważań symbol p będzie oznacz

śnienie) . Korzysta jąc z uzyskanego wcześnie j wyrażenia na Ap

x

/At, m

wyraz ić c iśnienie za pomocą nas tępującego równania :

m

Q

y/L

-

normalna

do zacie

niowanej

ściany

-x

20 .3 . Zbiornik w ksz ta łc ie s ze

L zawiera n moli

e

m

i prędkości

v

za chwilę zderzy się

eniowaną ścianą o powierzchni

L

2

.



F

x

_ mv

2

xl

/L + mv

2

2

/L + ... + mv

2

xN

/L

_ _ _

«i+vt[

2

+ ... + v

2

xN

), (20.18)

N

oznacza l iczbę cząsteczek w zbiorniku.

Pon ieważ N = nN

A

, drugi z nawiasów w równan iu (20.18) zawiera nN

A

nN

A

(v

2

)$

t

, gdz ie (v

2

)-

sr

jes t średnim

x dla wszystkich cząsteczek. W ten

nmN

A

2

mN

A

to masa molow a M gazu (masa jed neg o mola gazu) . Ponadto

to nic innego, jak obję tość zbiornika, za tem

nM(v

2

)s

r

p =

y

-*^. (20.19)

Dla dowolnej cząsteczki mamy v

2

= u

2

+ u

2

+ v\. Ponieważ l iczba

czą

(V

2

)ŚT = f ( u

2

) śr -

W ten sposób równanie (20.19) przybiera postać

P =

H

-^ -

(20-20)

Pierwiastek kwadratowy z wyrażenia

( u

2

) ś r

jest pewną średnią prędkością,

p rędk ośc ią ś red n ią kw ad ra to w ą cząs teczek i oznaczoną symbolem

Nazwa doskonale t łumaczy, jak obliczyć je j wartość . Podnosimy wszystkie

do kwadratu, obliczamy ich średnią, a na koniec bierzem y pierwiastek

obliczonej wartości . Korzysta jąc z oznacze nia

y/(v

2

)^

=

t

>śr.kw.> m o

nM v

2

r t

„ ,

P =

3

^

k w

- . (20 .21)

Odwróćmy sytuację i za pomocą równania (20.21) obliczmy wartość Uśr.kw.-

(pV = nRT), otrzy

3RT

"śr.kw. = - i / - ^ - - (20 .22)

czą

Na powierzchni Słońca, gdzie temperatura jes t b l iska 2

•

1 0

6

K, prędkość



Tabelo 2 0 , 1 . Przykładowe prędkości cząs teczek w temperaturze poko

jowej <T = 300 K )

a

Gaz

Masa molowa

Vśrkw. [m/s]

[10

3

kg/mol]

W odór ( H

2

)

Hel (He)

Para wodna (H

2

0 )

Akot (N

2

)

Tlipn (0

2

)

Dwut lenek węgla (C0

2

)

Dwut lenek s i a rk i (S0

2

)

2,02

4,0

18,0

28,0

32,0

44,0

64,1

1920

1370

645

517

483

412

342

a

Dla wygod y częs to przyjmujemy, że temperatura pokojowa = 3 00 K, chociaż 27° C

w pokoju odczuwal ibyśmy jako gorąco .

średnia kwadra towa cząs teczek wodoru byłaby 82 razy większa niż w te

turze pokojowej , gdyby nie to, że cząs teczki wcześnie j rozpadają s ię w

zderzeń między nimi. Music ie pamię tać , że prędkość ś rednia kwadra towa t

pewna prędkość ś rednia ; niektóre z cząs teczek porusza ją s ię wyraźnie sz

a inne znacznie wolnie j .

Z prędkośc ią ś rednią kwadra tową cząs teczek jes t śc iś le związana pr

dźwięku w gaz ie . W fa l i dźwiękowej zaburzenie jes t przekazywane od czą

do cząs teczki dz ięki ich zderzeniom. Fa la nie może więc rozchodzić s ię

c ie j niż „przec ię tna" prędkość cząs teczek. Wydaje s ię oczywis te , że prędko

musi być nieco mnie jsza niż prędkość ś rednia cząs teczek, ponieważ nie ws

cząs teczki porusza ją s ię w tym samym kierunku co fa la . Na przykład w

ra turze pokojowej prędkośc i ś rednie kwadra towe cząs teczek wodoru i az

odpowiednio równe 1920 m/s i 517 m/s . W podanej tempera turze prę

dźwięku w obydwu tych gazach wynoszą odpowiednio 1350 m/s i 350 m

Nasuwa s ię pytanie : „Skoro cząs teczki gazów porusza ją s ię tak szyb

dlaczego musi upłynąć minuta , nim poczujemy zapach, gdy ktoś w drugim

pokoju otworzy f lakonik perfum?" Jes t tak, ponieważ na skutek nieus t

zderzeń z innymi cząs teczkami cząs teczki perfum nie porusza ją s ię bezpo

w poprzek pokoju. Wyjaśnimy to dokładnie j w paragraf ie 20.6.

Przyk ład 20 .3 R O Z W I Ą Z A N I E :

to pięć l iczb: 5, 11, 32, 67 i 89.

Wynik obl iczamy na podstawie wzoru

) Ile wy nosi średnia tych liczb?

(odp

O Z W I Ą Z A N I E :

Średnia kwadratowa jes t większa niż ś rednia arytme

ponieważ — dzięki podnies ieniu do kwadratu — więce

w niej duże liczby. Aby się o tym przekonać, zastąpmy li

l iczbą 300. Średnia nowej piątki l iczb jes t 2 razy większa

przednio. Jednakże wartość średnia kwadratowa wzras ta 2

5 + 11 + 3 2 + 6 7 + 8 9

= 40 , 8 .

(odpowiedź)

«śr kw. tych samych l iczb?



m m

a)

b )

Rys. 2 0.5 . a) Zderzenie zachodzi, gdy

środki dwóch cząsteczek znajdują się

w odległości

d

mniejszej lub równej

średnicy cząsteczki, b) Równoważne,

chociaż wygodnie jsze rozumowanie po

lega na wyo brażeniu sobie, że jed na czą

steczka ma

promień d,

a pozosta łe czą

steczki są punktami. Nie zmienia to kry

terium zderzenia

Rys. 2 0.6 . W czasie At poruszająca się

cząsteczka „przemiata" walec o wysoko

śc i

vA t

i prom ieniu

d

swoimi kole jnymi zderzeniami. Spodziewamy się , że wartość

X

powinna

ze wzrostem l iczby cząsteczek w jednostce obję tości N/ V (koncentracji

czek) .

Im większy i loraz N/V, tym częstsz e są zderz enia i tym krótszą

przebywa cząsteczka w dzie lącym je czasie . Spodziewamy się też , że

droga swobodna X powinna maleć ze wzrostem rozmiarów cząsteczek, n

kład ich średnicy d. (Jeżeliby cząsteczki były punktowe, nigdy nie zderzał

ze

sobą,

a ich średnia droga swobodna byłaby nieskończona) . Im większe

s teczki , tym krótsza ich droga swobodna. Możemy się spodziewać, że X p

być odwrotnie proporcjonalne do kwadratu średnicy cząsteczki d, ponie

pole przekroju cząsteczki , a n ie je j średnica , wyznacza je j wymiar jako ta

Jak s ię okazuje , średnia droga swobodna cząsteczki jes t opisana wzo

1

X

= —— (średnia droga swo bodn a).

(20

V2nd

2

N/V

Aby zrozumieć, skąd s ię b ierze równanie (20.25) , skupmy uwagę na

dynczej cząsteczce i za łóżmy — zgodnie z tym, co sugeruje rysunek 20.4

nasza cząsteczka porusza się ze stałą prędkością v oraz że wszystkie po

cząsteczki spoczywają. Później zrezygnujemy z tego założenia.

Przyjmiemy ponad to, że cząsteczki są kulam i o średnicy d. Zderzenie

więc ,

jeżel i odległość pomiędzy środkami dwóch cząsteczek będzie ró

( rys . 20.5a) . Wygodniej jednak założyć, że jedna poruszająca s ię cząstec

promień d,

a wszystkie pozosta łe cząsteczki są punktami (rys . 20.5b) . Nie z

to przyję tego przez nas kryter ium zderzenia .

Nasza cząsteczka, poruszając s ię zygzakiem przez gaz, „zamiata" m

kolejnymi zderzeniami walec o polu przekroju ud

2

. Jeżel i będziemy obser

cząsteczkę przez czas Af, okaże się, że przebędzie drogę vAt, gdz ie v ozna

prędkość. Jeżel i poskładamy wszystkie krótkie walce wycięte przez cząs

w czasie Ar, uzyskamy jeden walec o wysokości vA t i objętości (n

(rys.

20.6). Liczba zderzeń cząsteczki, które nastąpiły w czasie

At,

jes t

liczbie punktowych cząsteczek, które znalazły się wewnątrz walca.

Ponieważ N / V oznacza l iczbę cząsteczek w jednostce obję tości , l iczb

steczek we wnętrzu walca jes t równa i loczynowi

N/V

i objętości walca

(N/V)(nd

2

)(vAt). Jest to także liczba zderze ń w czasie Af. Średn ia

swobodna cząsteczki jes t i lorazem przebytej przez nią drogi (wysokości

i liczby cząsteczek mieszczących się w walcu:

droga cząsteczki w czasie At vAt

X

l iczba zderzeń w czasie Ar

nd

2

vAtN/V

1

nd

2

N/V'

(

Rów nanie to jes t ty lko przybliżeniem, ponieważ założyliśmy, że w szystk

steczki — po za jedną — spoczywają . W rzeczyw istości wszystkie cząstecz

ruszają się. Jeżeli uwzględnilibyśmy ten fakt, otrzymalibyśmy równanie (

Zauważmy, że różni s ię ono od wyprowadzonego przez nas przybliżoneg

nan ia (20.26) tylko obecno ścią czyn nika 1 /

V2.



musimy skorzys tać z warunku

dP/dv =

0 (pochodna funkcji w je j m ak

ma war tość 0 ) i rozwiązać o t rzymane w ten sposób równan ie wzg lędem

wynik o t rzymujemy

Jest najbardzie j prawdopodobne, że cząsteczka będzie miała właśnie prędko

Jednakże wiele cząsteczek będzie poruszać s ię z prędkościami wielokrotnie

kraczającymi vp . Tworzą one na wykresie , takim jak ten z rysunku 20.7a,

cząsteczek o dużej prędkości . Powinniśmy się c ieszyć, że takie cząstec

obec ne, poniew aż to dzięki n im mam y zarówn o deszcz, ja k i świat ło s ło

(bez których nie moglibyśmy is tn ieć) . Wytłumaczymy teraz , d laczego t

dzieje.

Deszcz: Rozkład prędkości cząsteczek wody w stawie w gorący le tni dzień

opisać za pomocą rozkładu przypominającego ten z rysunku 20.7a. Wię

cząsteczek ma zbyt małą energię kinetyczną, by móc uciec ze zbiornika

dosta jąc s ię przez powierzchnię . Mamy jednak niewielką l iczbą cząsteczek

szających s ię z prędkościami z ogona rozkładu, k tóre są zdolne do uciecz

właśnie te cząsteczki parują i dzięki n im tworzą s ię chmury i pada deszcz

Kiedy bardzo prędkie cząsteczki wody uciekają z powierzchni , unos

sobą energię , temperatura pozosta łe j część wody może pozostać s ta ła dzię

mianie c iepła z o toczeniem. W ten sposób — w wyniku zderzeń •— k

cząsteczki uzyskują szybko duże prędkości , zastępując te , k tóre uciekły . R

prędkości s ię n ie zmienia .

Świa t ło s łoneczne : Rozk ład z rysunku 20 .7a op isu je też p rędkośc i p ro

w jądrze Słońca. Energia powstaje tam dzięki reakcji syntezy jądrowej,

p ie rwszym e tapem jes t po łączen ie s ię dwóch p ro tonów. Jak wiadomo, p

są cząstkami naładowanymi e lektrycznie i d la tego s ię odpychają . Protony

szające s ię ze średnimi prędkościami nie mogą zbliżyć s ię do s iebie na ty

się połączy ć. Jest to jedn ak m ożliw e w przy padk u bardzo prędkich pro

z ogona rozkładu. Dlatego Słońce świeci .

(prędkość najbardziej prawdopodobna) .

(20

© " " » 2 . Ułam ek w szystkich cząsteczek poruszających się

kościami mieszczącymi s ię w przedziale o szerokości

równy P(v)dv.

O * - * 3 . W przypadku przedziału o większej szerokośc

wiedni ułamek obliczamy, wykonując całkowanie w tym

dziale.

- f

1

. Prędkości cząsteczek mieszczą s ię w szerokim zakresie

P(v) jest opisany równaniem (20.27) .

O T 4 . Zwróćmy jednak uwagę, że szerokość interesując

przedziału A

D =

2 m/s jest mała w porównan iu z prę

wyznaczającą jego środek v = 600 m/s.



M \

3 / 2

) v

2

e-

Mv2/2RT

Av.

2nRT )

P(v) przedstawiono na wykres ie z rysunku 20.7a. Cał

Aby obl iczyć szukaną wartość, zapiszemy nasz ułamek w po

u ł a m e k = 4 j t ( A ) ( i ;

2

) ( e

B

) (Ai ; ) . (20 .36)

a m e tr y A i B w t ym r ów nan i u są r ów ne

_ / M \

3 / 2

_ / 0 ,032 kg /mo l \

3 / 2

~ \2nRT) ~ V ( 2 j t ) ( 8 , 31 J / ( m o l • K)) (300 K) /

= 2 ,92 • 1 0 "

9

s

3

/ m

3

oraz

B

_ Mv

2

_

( 0 ,0 3 2 k g / m o l ) ( 6 0 0 m / s )

2

_

~~ ~2RT ~ ~ ( 2 ) ( 8 , 3 1 J/ ( m o l • K)) (3 00 K) ~ ~ '

Podstawiając wartości A i B do równania (20.36), otrzymuj

ułamek =

(4 K

) ( A ) ( u

2

) ( e

B

) ( A i ; )

= (4 j t ) (2 ,92

•

1 0 "

9

s

3

/ m

3

) ( 6 0 0 m / s )

2

( e "

2

'

3 1

) ( 2 m

= 2 ,62

•

1 0 "

3

. (odpow

Widzimy, że w temperaturze pokojowej 0,262% wszystkich

steczek porusza s ię z prędkościami zawierającymi s ię w wą

przedziale od 599 m/s do 601 m/s . Jeżel i z łoty pasek na rys

20.7a miel ibyśmy przedstawić w rzeczywis tej skal i , byłby o

prawdę bardzo wąziutki .

M t lenu wynosi 0,032 kg/mol .

= 300 K?

O—

» chcąc obl iczyć prędkość

średnią,

mus imy

v pomnożyć przez funkcję rozkładu P(v) daną równa

SRT

8( 8 , 31 J / ( m o l • K)) (300 K)

H

(0 , 032 kg / m o l )

= 445 m / s .

(odpowiedź)

U ś r . k w .

w tem

0 ~ - »

w celu o bl iczenia prędkości ś redniej kwa

( u

2

)śr»

v

2

przez funkcję rozkładu i całkując otrzymane wyraże

do wzoru (20.34)

^ ś r . k w . —

3RT

M

3( 8 , 31 J / ( m o l

•

K)) (300 K)

0 , 032 kg / m o l

= 483 m/s . (odpow

Wynik przedstawiono na rysunku 20.7a. Uzyskana wartość

większa niż prędkość średnia u

ś r

, ponieważ duże prędkości

większy wkład do całki z i loczynu v

2

i funkcji rozkła du n

całki z i loczynu

v

i funkcji rozkładu.

c) I le wynosi prędkość najbardziej prawdopodobna w tempe

rze T = 300 K?


Zauważmy, że

0—•?

prędkość najbardziej prawdopodobna

wiada maksimum funkcj i rozkładu P(v), k tóre możemy w

czyć,

przyrównując do zera pochodną dP/dv i rozwiązując o

mane równanie względem v. Doprowadzi nas to do wzoru (2

Dp :

2RT

M

2( 8 , 31 J / ( m o l - K ) ) ( 300 K )

0 , 032 kg / m o l

Wynik ten także zaznaczono na rysunku 20.7a.

= 395 m /s . (odpow

M o l o w e c i e p ła w ł a ś c i w e g a z u d o s k o n a ł e g o

E

w

gazu doskona łego . Innymi

jak p rzypadkow y ruch a tom ów lub cząs t eczek two-

2 0 . 8 .

Mo low e c iep ła w łaśc iwe gazu doskonałego

http://2nrt/

http://2nrt/



rżących gaz przekłada się na energię gazu. Uzyskane wyrażenie posłuż

w dalszej kolejności do wyznaczenia wartości molowego ciepła właściwe

doskonałego.

Energia wewnętrzna E

w

3

i

a)

1

20 .8 .

a) Gaz doskonały w zbior

o stałej objętości jest ogrzew any od

T do T + AT. Ciepło jes t

do układu, który nie

w yko

pracy,

b) Wykres

p-V

dla tej prze

Załóżmy na początek, że rozważamy jednoatomowy gaz doskonały (tw

pojedyncze atomy, a nie cząsteczki). Przykładem takiego gazu jest he

lub argon. Załóżmy ponadto, że energia wewnętrzna gazu doskonałego

prostu sumą energii kinetycznych związanych z ruchem postępowym two

go atomów. (Zgodnie z fizyką kwantową pojedyncze atomy nie mają

kinetycznej związanej z ruchem obrotowym).

Średnia energia kinetyczna ruchu postępowego pojedynczego atomu

tylko od temperatury gazu i zgodnie z równaniem (20.24) wynosi

£k

śr

Próbka n moli gazu zawiera nN

A

atomów. Energ ia wewnętrzna E

w

pró

więc równa

£

w

= (nN

A

)E

k

śr =

(nN

A

)±kT.

Korzystając z równania (20.7) (k —

R/N

A

),

możemy przepisać ten wzór w

E

w

= \nRT

( jednoatomowy gaz doskonały) . (2

Widzimy więc, że

T + AT

Energia wewnętrzna £

w

gazu doskona łego zależy tylko od temperatury

gazu;

leży ona od żadnej innej wielkości opisującej jego

stan.

Uzbrojeni w oręż, jakim jest równanie (20.38), możemy już wypro

wyrażenie na molowe ciepło właściwe gazu doskonałego. W rzeczywisto

prowadzimy dwa wyrażenia. Jedno będzie odpowiadać przypadkowi, w

objętość gazu się nie zmienia, kiedy gaz otrzymuje lub oddaje energię w

ciepła. Drugie będzie opisywać sytuację, w której stałe jest ciśnienie ga

mieniającego z otoczeniem energię w postaci ciepła. Obydwa te ciepła

oznaczane są odpowiednio symbolami C

v

i C

p

. (Przyjęto, że obydwa te c

oznaczane wielką literą C, chociaż

C

v

i

C

p

to ciepła właściwe, a nie poj

cieplne).

Molowe ciepło właściwe przy stałej objętości

Na rysunku 20.8a przedstawiono cylinder o stałej objętości

V

zawierający

gazu doskonałego pod ciśnieniem p i w temperaturze T. Stan początkowy

zaznaczono na wykresie p-V przedstawionym na rysunku 20.8b. Wyo

sobie teraz, że do gazu dostarczamy niewielką porcję energii w post

pła Q. W tym celu zwiększamy powoli temperaturę zbiornika cieplneg

jest w kontakcie z gazem. Temperatura i ciśnienie gazu rosną nieco, o

odpowiednio wartości T + AT oraz p + Ap. Wartości te opisują stan końc



Wykonując takie doświadczenia , przekonalibyśmy się , że dostarczone c iepło

Q - nC

v

AT (stała objętość), (20.39)

C

v

oznacza molowe c iep ło właśc iwe gazu przy s ta łe j obję tośc i . Pods ta

Q do równania (19.26) (A E

W

= Q — W)

A £

w

= nC

v

AT - W. 20.40)

W = 0 i przekszta łcając równanie (20.40) ,

Cv = - r ^ . (20.41)

nAT

( równan ie (20 .38) ) , ene rg ia wewnę t rzna

£

w

gazu jednoa tom oweg o

InRT, a

więc zmiana energii musi być równa

A £

w

=

\nRAT.

20.42)

C

v

= \R = 1 2 ,5 J / ( m o l • K ) (gaz jednoatom owy). (20.43)

dwuato-

i wieloatomowych gazów doskonałych (których cząsteczki są zbudowane

Możemy teraz uogólnić równanie (20.38) tak , aby wyrażało ono energię

E

w

= nCyT (dowolny gaz doskonały). (20.44)

Molowe ciepła właściwe przy s tałej objętości

Cząs teczka Gaz

C

v

[J /(mol

•

K)]

Jednoatomowa doskonały | R = 12,5

rzeczyw iste: He 12,5

Ar 12,6

Dwu atomo wa doskonały | /? = 20,8

rzeczywiste: N

2

20,7

0

2

20,8

Wieloa tomowa doskonały 3R = 24 ,9

rzeczywis te : NH

4

29,0

C 0

2

29,7

http://nrat/

http://nrat/



Rów nanie to jest praw dziw e nie ty lko dla jedn oatom ow ego gazu dosko n

lecz także dla dwuatomowych i wieloatomowych gazów doskonałych, o i le

podstawimy właściwą war tość Cv- Tak jak w przypadku równania (20.38

dzimy, że energia wew nętrzna gazu dosk onałeg o zależy od jeg o temperatu

nie zależy od ciśnienia ani gęstości.

Zmiana energi i wewnętrznej gazu doskonałego zamkniętego w zbio

związana ze zmianą jego temperatury o AT, jest konsekwencją rów nania (

lub (20.44) i wynosi

objętość

Rys. 20 . 9 . Trzy wykresy dla trzech

różnych procesów, które przeprowadzają

gaz doskonały ze stanu początkowego

P

o temperaturze T do stanu końco

wego K o temperaturze T + AT. We

wszystkich tych przemianach zmiana

energii wewnętrznej AE

V

gazu ma tę

samą wartość, podobnie jak w każdym

innym procesie, który powoduje taką

samą zmianę temperatury

A £

w

= nC

v

AT

Z równania tego wynika, że

(gaz doskonały, dowolny proces).

(20

• Zmiana energii wewnętrznej gazu doskonałego zamkniętego w zbiorniku zależy

od zmiany temperatury gazu, nie

zależy

natomiast od typu procesu, w wyniku któ

nastąpiła zmiana temperatury.

Jako przykład przeanal izujmy t rzy ścieżki łączące dwie izotermy na wy

p-V

z rysunk u 20.9 . Ścieżka 1 opisuje przemian ę przy sta łe j objętości . Ści

opisuje przemianę przy sta łym ciśnieniu (wkrótce zajmiemy się nią dokład

Ścieżka 3 opisuje proces, w którym układ nie wymienia c iepła z otocz

(omówimy go w paragraf ie 20.11) . Chociaż war tości c iepła Q i pracy W w

z tych przemian są różne, podobnie jak c iśnienie />k

0

ńc i objętość V

k o ń c

w

końcowym, zmiany energ i i wewnęt r zne j AE

W

we wszystkich t rzech przypa

są t ak ie same , pon ieważ za każdym razem zmiana t empera tu ry wynos i

Zmianę energi i wewnętrznej określa równanie (20.45) . Nie ma więc znac

jak zreal izujemy przemianę powodującą zmianę temperatury od war tości

T + AT. Mo żem y zawsze przyjąć, że jest to przem iana 1 , co pozw ol i nam

obl iczyć zmianę energi i wewnętrznej AE

W

.

Molowe ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu

W yobraźm y sobie teraz , że tak jak poprz ednio zw iększam y temp eraturę

doskonałego o niewielką war tość AT, a le tym razem dostarczamy energię

p ło

Q),

ut rzymując sta łe c iśnienie gazu. Odpowiedni układ doświadczalny

zano na rysunku 20.10a; wykres p-V dla takiego procesu przedstaw ia ry

20.1

Ob.

Z doświadczenia wynika, że dostarczane ciepło wiąże ze zmianą

ratury relacja

Q=nC

p

AT (stałe ciśnienie), (

gdz ie C

p

oznacza molowe c iep ło właśc iwe przy s ta łym c i śn ien iu . War to

jes t większa niż war tość molowego ciepła właściwego przy sta łe j objętośc

ponieważ w tym przypadku dostarczana energia nie ty lko powoduje wzros

peratury gazu, a le jest także wyko rzystywa na w celu wyko nania pracy prze

— podniesienia obciążonego t łoka ( rysunek 20.10a) .

2 4 2

2 0 .

Kinetyczna teor ia gazów



SlllilillllB

B i l l

M M

WMWslt

'"o. -

"jlojfC"' *.

l i i

/ b j o i n i k c i e p l n y

a)

1111111111

•Billi

• ł

mmim

iii

H T

r+AT

Rys. 2 0 . 1 0 . a) Gaz

doskon

ogrzewany

pod

sta łym ciśnien

temperatury 7/

do T +

AT. C ie

dostarczane do

układu, który w

pracę ,

podno sząc obciążony t łok

kres

p-V tej

przemiany. Praca

p

równa

polu zacieniowanego pr

na

wykresie

A by znaleźć związek molow ego c iepła właśc iw ego przy s ta łym c iśnieniu

C

p

molowym ciepłem właśc iwym przy s ta łe j obję tośc i CV, skorzystamy

z

pierwszej

AE

W

= Q

—

W, (20.47)

z

występujących

w

równ aniu wie lkośc i zas tąpimy odp owied

AE

W

j e s t okre ś lona równaniem

Q pods tawiamy wyrażenie (20 .46) . Aby zastąpić od

W,

t rzeba na jpierw zauważyć ,

że

c iśnienie gazu

Z

równania (20 .16) wynika więc ,

że

pracę mo żna wyraz ić

w po

W = pAV. Korzysta jąc nas tępn ie z równ ania s tanu gazu d osko nałego

V

= nRT), możemy napisać

W —

pAV

—

nRAT.

(20.48)

te

wyrażenia pods tawimy

do

równania (20 .48) ,

a

na s tępnie

po

nAT, przekonamy s ię , że

Cv

=

C„ — R,

C

p

—

Cy

+

R-

z

teor i i kine tycznej dobrze

się

zgadza

z

wynikami

nie tylko dla gazów jednoa tomowych, ale dla

o ile ich

gęs tośc i

są

dosta tecznie małe ,

by

m o ż n a

za gazy doskona łe .

4 .*

Zam ieszczony obok wykres przeds tawia

we

współ

p-V

pięć możliwych przemian gazu. Uszereguj

je

według zmiany

im

gazu, zaczynając

od

w ar tości naj



AT = 20°C , przy czym ciśnienie jest cały czas

W rezultacie pęcherzyk zwiększa swą objętość. Hel jest

O — ł

ciepło Q dostarczane do gazu za

C

p

oraz z równania (20.46) :

Q = nC

p

AT. (20.50)

C

p

, s ięgamy do równan ia (20.49) , z któ

C

p

= C

v

+ R •

gazu jednoatomo-

(jakim jest hel) C

v

= \R- Równanie (20.50) prowadzi nas

Q = n(C

v

+ R)AT = n(^R + R^AT = n ( § RJAT

= (5 mol ) (2 ,5 ) (8 ,31 J / (mol • K) ) (20 K)

= 2077 ,5 J « 2080 J . (odpowiedź)

A £

w

wewnętrzna ogrzewanego helu?

O—•*

AE

W

gazu jest taki sam, jaki byłby

AT . Zmianę

A £

w

w procesie zachodzącym przy

stałej objętości możemy z łatwością obliczyć za

równania (20.45) :

A £

w

= nC

v

AT = n[\R^AT

= 5 mol ) 1 ,5 ) 8 ,31 J / mo l K)) 20 K)

= 1246,5 J ~ 1250 J. (od

c) Jaką pracę wykonuje rozszerzający się gaz przeciwk

otaczającej go wody?


Zauważmy, że O—* praca wykony wana przez jakikolwiek

rzający się gaz przeciwko parciu otoczenia jest dana ró

(20.11) , które każe nam obliczyć całkę z wyrażenia

pdV

ciśnienie jest s tałe, sytuacja s ię upraszcza i mamy

W =

Jeżeli gaz jest gazem doskonałym ( jak w naszym prz

możemy posłużyć s ię równaniem stanu gazu doskonałeg

nanie (20.5)), aby napisać pAV =

nRAT.

Prowadzi n

wyniku

W=nRAT

= (5 mol ) (8 ,31 J / (mol • K) ) (20 K)

= 831 J. (odp

Ponieważ tak s ię składa, że znamy zarówno ciepło

starczone do gazu, jak i zmianę jego ene rgii wewnętrzn

możemy dojść do odpowiedzi w inny sposób. Zauważmy,

wym iana energii gazu z otoczeniem jest opisana za pomoc

szej zasady termodynamiki:

W = Q - AE

W

=

2077,5 J - 1246,5 J

= 831 J. (odp

Zauw aż, że w omówion ym procesie tylko część (1250 J) c

starczonego do helu (2080 J) zwiększa jego energię wew

a tym samym temperaturę. Pozostałą część (831 J) hel o

zewnątrz w postaci pracy wykonanej podczas rozszerzania

żeli woda byłaby zamarznięta, rozszerzanie gazu nie było

liwe. W takim przypadku identyczna zmiana temperatury

wymagałaby dostarczenia jedynie 1250 J ciepła, poniewa

wany hel nie wykonywałby pracy.

2 0 . 9 . S t o p n i e s w o b o d y a m o l o w e c ie p ł a w ł a ś c i w

Z tabeli 20.2 wynika, że przewidywana przez teorię k inetyczną wartość

właściwego przy s ta łe j obję tości Cv = \ R zgadza s ię z wynikami pomia

gazów jednoa tomow ych , a le n ie je s t p rawdz iwa w p rzypadku gazów dwu

wych lub wie loa tomowych .

Na rysunku 20.11 przedstawiono modele helu (cząsteczka jednoatomo

pojedynczy a tom), t lenu (cząsteczka dwuatomowa — zbudowa na z dwó



wieloatomowa). Pa trząc na te mo dele , widz imy, że

z lewej strony w prawą lub z góry w dół) i w ruchu o bro tow ym (wirując

ł os i jak bąk) . Dod atkowo w przypad ku cząs teczek dwuatom owy ch lub wie-

omó w tak, jakby łączyły je sprężyn ki . Aby opisać , jak energia jes t prze cho

Każdy rodzaj cząs teczek charakteryzuje pewna l iczba stopni swobody / , które dają

cząs teczce niezależne sposoby przechowywania energi i . Na każdy s topień swobody

przypada — średnio — energia równa ^kT na cząsteczk ę (lub jR T w przel iczeniu

na mol ) .

Zastosujmy te raz zasadę ekwipar tyc j i energi i do ruchu postępowego i obroto

20 .11 . (Ruchem drga jącym za jmiemy s ię w nas tępnym

x, y, z- Na ogół cząs teczki mają składowe prędkośc i wzdłuż wszystkich

3(^kT).

Przechodząc do ruchu obrotowego, za łożymy, że począ tek układu odnies ie

a x, y, z znajduje się w środku każdej cząsteczki z rysunku 20 .11 . Wydawać

3(^kT). Jednakże

pom iary wykazują, że jes t to prawdą tylko

ym (pojedynczy a tom nie mo że wirować jak bąk) . Cząs teczka dw uatom owa

że obracać s ię jedy nie wo kół os i pros topad łych d o l ini i łączącej a tomy, które

aczono je na rysunk u 2 0.1 lb ) , a le nie wokół w spom nianej l i

Dla tego cząs teczka dwuatomowa ma tylko dwa s topnie swobody związane

2{^kT) na cząs teczkę .

Aby uogólnić nasze rozważania dotyczące wartośc i molowego c iepła właśc i

(C

p

i Cv — p a ragraf 20 .8) na przypadek dwu- i w ie loa tomowych gazów d o

zas tąpimy równanie (20.38)

£

w

= ^nRT) r ó w n a n i e m E

w

=

f/2)nRT,

/ oznacza

l iczbę s topni swobody podaną w tabe l i 20.3. Prowadzi nas to

C

v

= = 4 , 1 6 / J / (m o l • K ) , (20 .51)

oa to mo weg o ( / = 3) . Z tabe l i 20.2 wynika , że przewid ywan ie to jes t także

o

H e

a) He

l

i

c ) C H

4

Rys.

2 0 . 1 1 . Modele cząs teczek

pujących w teorii kinetycznej: a

— przykład cząs teczki jednoatom

b) t len — przykład cząs teczki dw

mowej i c) metan — przykład cząs

wieloatomowej . Kule oznaczają a

a l inie między nimi — wiązania

cząsteczki t lenu zaznaczono dwie

obrotu

2 0 . 9 .

Stopnie swobody

a

molowe ciepła właściwe



Liczba s topni swobody

dla

różnych cząs teczek

Cząsteczka

Jednoa tomowa

D w ua t om ow a

Wie loa tomowa

Przykład

H e

o

2

C H

4

Liczba s topni swobody

Ruch

postępowy

3

3

3

Ruch

obrotowy

0

2

3

Łącznie ( / )

3

5

6

Przewidywane molow

ciepła właściwe

Cy (równ.

(20.51))

R

2

i*

3R

IR

4R

Przykład 20 .8

Powietrze zawarte

w

pokoju

o

objętości V

ma

temperaturę

po

czątkową Ti (przyjmijmy,

że

powie t rze j e s t dwua tomow ym gazem

doskona łym) .

Po

włączeniu kominka pom ieszczenie og rzewa

się

do temperatury T

2

.

Jak

zmieni

się

energia wewnętrzna A £

w

po

wietrza

w

pokoju?


W wyniku ogrzewania pokoju ciśnienie wypełniającego

go po

wietrza

nie

wzras ta , lecz pozostaje ró wne ciśnieniu

na

zewnątrz.

Dzieje

się tak,

ponieważ pokój nie jes t idealnie szczelny

i

powie

t rze może wypływać

na

zewnątrz (nie jes t zam knięte

w

zbiorniku).

Podczas ogrzewania cząs teczki powietrza mogą wydostawać

się na

zewnątrz różnymi szparami i dlatego l iczba moli powietrza w po

koju się zmniejsza. Widzim y w ięc, że O T nie m oż na w tym

przypadku obl iczyć zmiany energi i wewnętrznej

A£

w

gazu

w po-

koju, posługując się równaniem (20.45)

( A £

w

=

nCy T), które

można s tosować

pod

warunkiem,

że

l iczba moli

n

gazu jest stała.

Zauważmy jednak,

że O T

dzięki równaniu (20.44) ( £

w

=

nCyT)

potrafimy

powiązać zmianę energi i wewnętrznej A £

w

gazu

ze zmianą jego l iczby moli n

i

t empera tury T. M oż e m y

napisać

A £

w

= A(nC

v

T) = C

v

A(nT).

Następnie, korzystając

z

równania s tanu gazu doskonałeg

nanie (20.5) pV = nRT), zas tępujemy i loczyn nT przez

co prowadzi

nas do

równania

Ponieważ wielkości p, V

i

R

są

stałe,

z

równania (20.

n ika ,

że

AE„ = 0,

(odp

chociaż temperatura w pomieszczeniu rośnie .

Dlaczego więc wol imy przebywać

w

pokoju,

w

któ

ciepło? Można podać przynajmniej dwie przyczyny: 1) N

wymiana promieniowania elektromagnetycznego (promien

cieplnego) między twoim ciałem a ścianami pokoju i 2) z

wymiana energi i między tobą a cząs teczkami powietrza

niku zderzeń. Dzięki ogrzaniu pomieszczenia rośnie

1)

n

promieniowania emitowanego przez ściany i pochłanianeg

ciebie oraz

2)

energia przekazywana tobie przez cząs tec

wietrza podczas zderzeń.

2 0 . 1 0 . N i e c o f iz y k i k w a n t o w e j

Zgodność kinetycznej teorii gazów z wynikami doświadczalnymi możemy

poprawić, uwzględniając drgania atomów w cząsteczkach dwu- lub wielo

wych. Na przykład dwa atomy tworzące cząsteczkę tlenu

O2

przedstawi

rysu nku 20.1 l b mogą zbliżać się i oddalać od siebie, a wiązanie między n

chowuje się jak sprężyna. Jednakże doświadczenia wykazują, że tak ie os

zachodzą jedynie w stosunkowo wysokich temperaturach gazu — ruch tak

wia się dopiero wtedy, kiedy energie cząsteczek są dostatecznie duże. Po

efekt obserwujemy także w przypadku ruchu obrotowego, chociaż zacho

w niższych temperaturach.



a) Objętość

(Q =

0) .

p-V

P do stanu K

linia naz yw ana adiabatą a)

adiabatą (Q = 0)

objętość

b)

iz

w którym nie zachodz i wymiana c iep ła

(Q

= 0) , nazywam y

przemianą

tyczną.

Warunek braku przepływu c iep ła można spe łn ić , p rzeprowadza jąc

bardzo szybko ( jak w przypadku fa l dźwiękowych) lub w dobrze izolo

zbiorniku (szybkość nie ma wtedy znaczenia) . Zobaczmy, co o przemiani

ba tycznej ma do powiedzenia teor ia kine tyczna .

Na rysunku 20 .13a przeds tawiono nasz odizo lowany i wype łn iony

doskonałym cyl inder , który tym razem umieszczono na izolujące j pod

Zdejmując z t łoka obciążenie , pozwalamy, aby gaz rozpręża ł s ię adiaba t

Ze wzros tem obję tośc i zmn ie jsza s ię jedn ocze śnie c iśnienie i temp era tura

Wykażemy, że c iśnienie i obję tość gazu poddawanego przemianie adiaba

wiąże za leżność

pV

Y

= co ns t (przemiana adiabatyczna), (2

gdz ie wykładnik y = C

p

/Cy wyraża s tosunek war tośc i molow ych c iepe ł

wych gazu przy s ta łym c iśnieniu i przy s ta łe j obję tośc i . Na wykres ie

p-V

20.13b) przemianę adiaba tyczną reprezentuje l inia (zwana

adiabatą)

opisan

naniem

p =

c o n s t /

V

Y

.

Poniew aż gaz ulega przem ianie od s tanu począ tkow

do s tanu końcowego K, zgodnie z równan iem (20 .53) możem y napisać

/

,

p o c z V ^

c z

= P k o ń c ^ t o ń c (przemiana adiabatyczna).

Rówjianie przemiany adiaba tycznej możemy także zapisać , przyjmują

zmienne t empera turę

T

i obję tość

V.

W tym ce lu mus imy odwołać s ię d

nania s tanu gazu doskonałego

(pV

=

nRT)

i korzysta jąc z niego , wy el im

z równania (20.53) c iśnienie p. O t r z y m a m y

= const .

Ponieważ za równo

n

jak i

R

są s ta łymi, możemy uzyskane równanie pr

w innej pos tac i

T.

V

7 - 1

= co ns t (przemiana adiabatyczna), (2



czym stała ma inną wartość niż w równaniu (20.53). Dla gazu ulegającego

P do stanu końcowego K możemy napisać

Tpocz^pocz

1

= T k o ń c ^ J (przemiana adiabatyczna) . (20.56)

Jesteśmy teraz gotowi, aby odpowiedzieć na pytanie postawione na początku

znaj

oznacza, że wykonuje on pracę przeciwko ciśnieniu atmosferycznemu. Po

ż dzieje się to bardzo szybko, przemianę można uznać za adiabatyczną,

V

k o ń c

V p

0C

z>

więc temperatura końcowa 7k

0

ń

C

musi

r

p 0

c z ) .

równania (20.53)

yobraźmy sobie, że zabieramy część śrutu obciążającego tłok zamykający cy

swą objętość o

dV.

Ponieważ zmiana objętości jest bardzo

p gazu w cylindrze jest stałe. Założenie to

dW wykonana przez rozprężający się gaz jest

pdV. Korzystając z równania (19.27), możemy zapisać pierwszą zasadę

d £

w

= Q - pdV. (20.57)

jest izolowany cieplnie (rozprężanie jest adiabatyczne), przyjmu

Q

jest równe 0. Następnie, odwołując się do równania (20.45),

w

wyrażeniem nCydT. Po dokonaniu podstawień i drobnych prze

ndT = -(j^-^JdV. (20.58)

(pV = nRT), dostajemy

pdV + Vdp =

nRdT.

(20.59)

R różnicą C

p

— Cy, mamy

pdV+ Vdp

ndT = — — . (20.60)

Cp —

Cy

ując ze sobą prawe strony równań (20.58) i (20.60) oraz dokonując nie

dp

t

(C

p

\dV

7

+

^ j 7 = ' '

y

i scałku-



j emy równanie ( ca łka 5 z doda tku E) , to o t rzymamy

ln p + y ln V = const .

Lewą s t ronę tego równania możemy zapisać w postac i \n(pV

y

), a więc

antylogarytm tego równania , dos ta jemy

pV

y

= const ,

co mie l iśmy wykazać .

Rozprężanie swobodne

Jak widz ie l iśmy w paragraf ie 19.10, rozprężan ie swob odne jes t przemianą

tyczną, w które j gaz nie wykonu je żadnej pracy, ani żadna praca nie jes t w

wana nad gazem. Dla tego nie zmienia się energia wew nętrzna gazu . Roz p

swobodne j e s t w ięc całkowic ie odmiennym procesem niż przemiana ad iab

opisana równaniami od (20 .53) do (20 .61) , w które j gaz wykonuje pracę ,

zmienia

swą

ene rg ię wewnę t rzną. Wsp om niane równania nie mają więc z

wania w odnies ieniu do rozpręża nia swo bodn ego, chociaż jes t ono ro zprę

adiaba tycznym.

Przypomni jmy, że w t rakc ie rozpręża nia sw obod nego g az znajduje s ię

nowadze t e rmodynamiczne j ty lko w s tanie począ tkowy m i końcowym. Na

sie p-V możemy więc przedstawić tylko te dwa pun kty , ale nie m o ż e m y

ślić łączącej ich linii . Co więce j , ponieważ nie zmienia się energia wew

A £

w

= 0 , tempera tu ra w stanie końcowym mus i być równa tempera turze

nie począ tkowym. Dla tego na wykre s ie p-V s tan począ tkowy i końcowy

znajdować

się na tej

samej izotermie . Zamias t równan ia (20.56) mamy w

Tpocz

=

2

"końc

( rozprężanie swob odne) .

Jeże l i z a łożymy ponadto , że gaz jes t doskonały (a więc pV = nRT)

względu

na

s tałą temp era turę m amy

też

s tałą wartość i loczynu

pV.

W i d z

w przypadku rozprężania swobodnego równanie (20.53) na leży zas tąpić p

/?

P

oczVpocz = Pkoń c Vkońc ( rozprężanie swobo dne) .

Przykład

20 .9

W przykładzie 20.2 rozpatrywaliśmy zachodzące w temperaturze

310

K

rozprężenie izotermiczne 1 mola t lenu

od

objętości począt

kowej

12

1

do

obję tości końcowej

19 1.

(Założyl iśmy,

że

tlen jest

gazem doskonałym) .

a) Ile wynosi łaby temperatura ko ńcowa gazu, gdyby rozprężał się

on

do tej

samej objętości

w

proces ie adiabatycznym ? Tlen

( O 2 )

i

jego cząs teczki uczes tniczą

w

r uchu

-

obrotowym, lecz nie u czes tniczą w ruchu drgającym.


auważm y, że:

—w 1. Rozprężający się gaz wykonuje pracę przeciwko s i le

na

niego otoczenie .

© T

2. W

proces ie adiabatycznym

(nie ma

wym iany

z otoczeniem)

gaz

wykonuje pracę kosztem swojej ene

w n ę t r z n e j

O—*» 3 .

Ponieważ zmniejsza

się

energia wew nętrzna gazu

też jego temperatura

T.

Początkowe

i

końcowe war tości temp eratury

i

objętoś

m ożna powiązać

ze

sobą

za

pomo cą rów nania (20.56) :

T p o c z ^ "

1

=

T

końc

V

y

-

c

\

Ponieważ cząs teczki

są

dwua tom owe

i

uczestniczą

w

ruch

towym , ale nie

drgają,

możem y wziąć war tości molow ych

właśc iwych podane

w

tabel i 20.3. Otrzymamy

w ten

spos



y

y = — = 4—

= 1,4.

c

v

I

R

7 ] ^ i

podstawiając

y - 1

.pocz^pocz

_ (310 K)( 12

l )

1

-

4

-

1

końc

-1

(19 1

)1 ,4 -1

0 , 4

\ _

( 3 1 0 K ) ( | | )

258

K.

(odpowiedź)

b) Jaka byłaby końcowa war tość temperatury

i

ciśnienia

gaz rozprężał

się

swobodnie

do

podan ej objętości? Przy

że początkowe ciśnienie jest równe

2 Pa.


Zauważmy,

że

O — r

w

procesie rozprężania swobodnego

ratura gazu

nie

ulega zmianie:

Tpocz = Ticońc

= 310 K. (odp

Końcową war tość ciśnienia obliczamy

ze

wzoru (20.63)

_ łopocz

_ ,

0 d

^

12 1

Pkońc — P p o c z ~ — (

z

——

''końc

ty

=

1,3 Pa.

(odpo

S z t u ka r o z w i ą z y w a n i a z a d a ń

2 :

Przedstawienie graficzne czterech rodzajów

tym omówiliśmy cztery szczególne przemiany, któ

być

poddawany

gaz

doskonały. Przykładową l inię opi

z

procesów przedstawiono

na

wykresie p-V

z ry

W tabeli

20.4

podaną krótką cha rakterystykę każdej

z

prze

z ich

nazwami ( izobaryczna, izochoryczna) , których

tej

książce

nie

używamy, c hociaż często moż na je spotkać

w in

700 K

500 K

300 K

objętość

20 .14 . Cztery różne p rzemiany gazu doskonałego

na wy

p-V. Szczegóły procesów podano

w

tabeli

20.4

Cztery szczególne przemiany

A £

w

= Q - W =

nC

v

AT)

Przemiana Wielkość

na rys.

20.14

stała

1

P

Nazwa

przemiany

izobaryczna

izotermiczna

Równani

Q = nCp

W = pA

Q = W

= nRT]n

A £

w

= 0

pV

y

TV

y

~

l

adiabatyczna Q = 0; W =

izochoryczna Q = AE

nC

v

A

W = 0

• SPRAWDZ IAN :

Uszereguj zaznaczone na wykr

rys. 20 .14 przemiany 1, 2 i 3 według

i lości ciepła prz

zywanego

do

gazu. Zacznij

od

największej warto ści.

Kinetyczna teoria gazów wiąże wła

makroskopowe

gazu (na przykład ciśnienie

i

temperaturę)

łaśc iwościami mikroskopowymi cząsteczek gazu

(na

przykład

i

energią kinetyczną).

Jeden

mol

substancji zawiera

N

A

(liczba Avo-

jej

elementarnych jednostek (zwykle atomów

lub

cząste

czek) . Na

drodze doświadczalnej można stwierdzić,

że

N

A

•

6,02

•

10

2 3

mol

(liczba Avogadra).

Masę molową M substancji definiujemy jako m asę jedn ego

tej substancji. Jest

ona

związana

z

masą m cząsteczek

tej

s

cj i

za

pomocą równania

M = mN

A

.



Próbka substancji o masie M

p r

, złożona z

N

cząsteczek zawiera

n

moli

tej

substancji

N

iv7

M,

—EL

M

mA

^A

(20.2,

20.3)

Gaz

doskonały

Gaz

doskonały

to gaz,

którego ciśnienie

p,

objętość V i temperaturę T

wiąże

zależność

pV

= nRT (równanie stanu gazu doskonałego). (20.5)

równaniu tym n oznacza liczbę moli gazu, a R stałą gazową

(8,31 J/(mol

•

K)). Równanie stanu gazu doskonałego można także

apisać w postaci

pV

= NkT, (20.9)

dzie k oznacza

stałą Boltzmanna

R

k

= — = 1,38 • 1 0 " " J/K.

NA

'

(20.7)

w przemianie izotermiczne] Praca wykonywana przez

w

wyniku

izotermicznego

(przy stałej temperatu

od objętości V

p o c z

do Vkońc jest określona równa

W

=

nRTin

^

k o n c

(gaz doskonały, przemiana izotermiczna).

*pocz

(20.14)

i prędkość cząsteczek Ciśnienie

wy

n moli gazu doskonałego jest związane z prędkością

P

=

3V

'

(20.21)

i>śr.kw.

=

V t f

2

) ś r oznacza prędkość średnią kwadratową

można podać jej wartość w postaci

U śr .k w . =

3RT

M

(20.22)

i energia kinetyczna

Średnia energia kine

Ekśr ruchu postępowego przypadająca na jedną cząsteczkę

(20.24)

Średnia droga swobodna k cząsteczki

to przeciętna odległość pokonywana przez cząsteczkę pomię

ona

1

k

= —= (średnia droga swobodna), (20.25)

V2nd

2

N/V

B

N/V oznacza liczbę cząsteczek przypadających na jed

ad

— średnicę cząsteczki.

Rozkład prędkości Maxwełla Iloczyn P( i i ) d i ; funkcji

cej

rozkład prędkości Maxwella

P(v)

i szerokości wąskie

działu prędkości

dv

pozwala obliczyć, jaki

ułamek

cząste

rusza się z prędkościami z przedziału dv o środku w pu

P(v)

= 4TT

M

\

3 / 2

(

m

|

V

2

p

-M v

i

/2RT

\2%RT)

2nRT

/

Trzy używane miary prędkości cząsteczek gazu to

SRT

(prędkość średnia),

I2RT

vp

=

A

/ (prędkość najbardziej prawdopodobna)

oraz prędkość średnia kwadratowa zdefiniowana za pom

nania (20.22).

Molowe ciepła właściwe Molowe ciepło właściwe g

stałej objętości Cv jest zdefiniowane jako

1 Q 1

A£

w

C

v

=

20.39

n

AT n AT

gdzie Q oznacza ciepło potrzebne

do

ogrzania próbki z

cej

n

moli gazu doskonałego,

AT

— zmianę temperatu

a A £

w

— zmianę energii wewnętrznej gazu. Dla jednoato

gazu doskonałego

C

V

= \R =

12,5 J/( mol • K) .

Molowe ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu C

p

jest z

wane jako

1 n

P

= ^ ,

n AT

gdzie

Q, n i AT

mają takie samo znaczenie

jak w

defin

Molowe ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu

C

p

jest tak

równaniem

C

p

= C

v

+ R.

Dla

n

moli gazu doskonałego

E

w

=nC

v

T

(gaz doskonały).

Jeżeli temperatura n moli zamkniętego w naczyniu gaz

nałego wzrasta w wyniku

dowolnego

procesu o AT, to

energii wewnętrznej gazu jest dana równaniem

AE

W

=

nC

v

AT

(gaz doskonały, dowolny proces).

W równaniu

tym

trzeba podstawić wartość

Cv

właściwą

nego rodzaju gazu doskonałego.

Stopnie swobody i wartość

C

v

Wartość ciepła wła

przy stałej objętości C

v

można określić na podstawie

ekwipartycji energii, która mówi, że każdemu stopnio

body cząsteczki (niezależnemu rodzajowi ruchu) można

sać średnią energię \kT w przeliczeniu na cząsteczkę (

mol gazu). Jeżeli przez

/

oznaczymy liczbę stopni swo

energia wewnętrzna oraz ciepło właściwe przy stałej obję



£

w

= (f/2)nRT

/f = 4 , 1 6 / J / m o l - K ) . 2 0 .5 1 )

gazu jednoa tomo weg o / = 3 t rzy s topnie swobody w ru

u postępowym ). Dla gazu dwuatomow ego / = 5 ( trzy s topnie

Przemiana adiabatyczna

Jeżel i gaz doskonały jes t pod

powolnemu, adiabatycznemu

(Q

= 0) sprężaniu lub rozpręż

jego ciśnienie i objętość są związane zależnością

pV

y

= const (przemiana adiabatyczna), (2

gdz ie Y ( = C

p

/C

v

) jes t s tosunkiem molowych ciepeł właści

dla danego gazu. Dla rozprężania swobodnego mamy p V = c

p o c z

do

14oiic ,

zreal izowane w różnych

f 2

^pocz ^końc

a)

Pytanie 2

AK AV AV

b)

Na wykres ie

p- V

z rysunku 20.15b przedstawiono t rzy prze

objętość o A V . Uszereguj te przemiany wed ług: d) pracy wy

Za każd ym raz em zacznij

bjętość i liczba cząs teczek gazu w czterech różnych uk ładach

No , b) 3V

0

i 3iVo, c) 8Vb i 4No

9No. Uszereguj te układy według długości drogi swo

nej cząsteczek gazu, zaczynając od jej największej w artośc i.

Rys. 20.16.

Pytanie 5

5 . Na wykres ie z rysunku

20.16 zaznaczono s tan po

czątkowy gazu wraz z izo

termą, na której on leży.

Które z procesów zazna

czonych na wykres ie powo

dują ochłodzenie gazu?

6. W tabelce podano warto

ści c iepła przekazanego do

układu i pracy wykonanej

przez gaz lub nad gazem

w czterech różnych prze

mianach. Uszereguj te prze

miany według zmiany tem

peratury gazu, zaczynając

od największej w artości do

datniej,

a kończąc na najmniejszej wartości ujemnej.

7 .

Ogrzanie pewnej i lości gazu doskonałego o A7i w s tałej

tości wymaga dostarczenia 30 J c iepła . Taka sama zmiana te

ratury gazu przy s tałym ciśnieniu wymaga dostarczenia 50 J

pła . I le wynosi praca wykonana przez gaz w drugim przypa

8 . Dwuatomowy gaz doskonały, którego cząs teczki uczestn

w ruchu obrotowym, ale nie uczestniczą w ruchu drgającym

daje ciepło Q. Czy energia wewnętrzna gazu zmniejszy s ię

dziej, kiedy przemiana będzie zachodzić przy s tałej objętości

przy s tałym ciśnieniu?

W,

Q

W

nad gazem

- 5 0

- 5 0

+ 3 5

+ 3 5

- 5 0

- 4 0

9.

1 mol j ednoa tomowego

gazu doskonałego otrzy

muje pewną energię a) przy

stałym ciśnieniu i b) przy

stałej objętości. Taką samą

energię otrzymuje 1 mol

dwuatomowego gazu do

skonałego c) przy s tałym

ciśnieniu i d) przy stałej ob

jętości . Na wykres ie p- V z rysunku 20.17 zaznaczo no w

mniane cztery procesy, które zaczynają s ię w tym samym st


Pytania



początkowym i kończą w czterech różnych s tanach końcowych.

Przyporządkuj l inie poszczególnym procesom, e) Czy cząs teczki

gazu dwuatomowego uczes tn iczą w ruchu obrotowym?

1 0 . Czy w następujących procesach temperatura gazu doskonałego

wzrośnie , zmniejszy s ię , czy nie ulegnie zmianie: a) rozprężanie

izotermiczne, b) rozprężanie przy s tałym ciśnieniu, c) rozprężanie

adiabatyczne i d) zwiększanie ciśnienia przy s tałej objętości?

1 1 . a) Uszereguj cztery procesy z rysunku 20.14 według pracy

wykon anej przez gaz, zaczynając od jej największej wartości ,

) Uszereguj przemiany 1, 2 i 3 według zmiany energi i wewnętrz

nej gazu, zaczynając od największej wartości dodatniej.

1 2 . W przemianie i zo-

termicznej ab przedstawio

nej na wykres ie p- V (rys.

20.18) gaz wykonuje pracę

5 J , a w przemianie adia

batycznej bc pracę 4 J.

I le wynosi zmiana ener

gi i wewnętrznej gazu, jeżel i

jes t on poddany przemia

nie , którą reprezentuje pro

s ty odcinek łączący punkty

• b

Rys. 20.18.

Pytanie 12

Z a d a n i a

v Rozwiązanie jes t dostępne na s t ronie internetowej pod

ręcznika: ht tp: / /www.wiley.com/col lege/hrw

Rozwiązanie jes t dostępne w postaci interaktywnej ,



1

.

Oblicz masę (w ki logramach) 7,5

•

1 0

2 4

atomów arsenu. Masa

. Masa mo lowa złota wynosi 197 g/mol . a) Ile moli złota zawiera

.

W yobraź sobie , że cząs teczki znajdujące s ię w 1 g wody z o

2

?

. Pewien wybitny naukowiec napisał : „Atrament zużyty do na

czą

i żyje 5 • 10

9

ludzi , a l iczba gwiazd w Galaktyce jes t

1 1

.

G a z y d o s k o n a ł e

. W yznacz : a) l iczbę moli i b) liczbę cząs teczek w 1 cm

3

gazu

. Najwyższa próżnia uzyskana w laboratorium odpowiada ciśnie

•

1 0 ~

1 8

atm, czyli 1,01

•

1 0 ~

1 3

Pa. I le cząs teczek gazu mieści

s ię w centymetrze sześciennym przy takim ciśnieniu w t

turze 293 K?

7. Gazowy t len, który w temperaturze 40°C pod ciś

1,01

•

1 0

5

Pa zajmuje objętość 1000 cm

3

, rozpręża s ię do 1

Jednocz eśnie ciśnienie os iąga wartość 1,06 • 10

5

Pa.

a) l iczbę moli t lenu i b) temperaturę końcową próbki .

8 . Opona samochodu o objętości

1,64-10"

2

m

3

zawiera po

pod ciśnieniem 165 kPa mierzonym względem ciśnienia

ferycznego w temperaturze 0°C. I le wynosi c iśnienie w

mierzone względem ciśnienia atmosferycznego, jeżel i je j

ratura wzrośnie do 27°C, a objętość do 1,67

•

10 ~

2

m

3

? P

że ciśnienie atmosferyczne jes t rów ne 1,01 • 10

5

Pa.

9 . Pewna i lość gazu doskonałego o temperaturze 10°C

śnieniem 100 kPa zajmuje objętość 2,5 m

3

. a) Ile moli za

i lość gazu? b) Wyobraź sobie , że ciśnienie wzras ta do 3

a temperatura do 30°C. Jaką objętość zajmuje teraz gaz?

że nie ma żadnych nieszczelności .

1 0 . Oblicz pracę wykonaną przez s i łę zewnętrzną podcz

termiczn ego sprężania 1 mo la t lenu do objętości końcowej

jeżel i w s tanie początkowym w temperaturze 0°C i pod ciś

1 atm zajmuje on objętość 22,4 1.

1 1 . Ciśnienie p, objętość V i temperaturę T dla pewnej su

wiąże zależność

AT

—

BT

2

P

= V '

gdz ie A i B są s tałymi. Znajdź równanie, które opisuj

wykonaną przez tę substancję , gdy jej temperatura przy

ciśnieniu zmienia s ię od T\ do 7 i .

1 2 . W zbiorniku znajduje s ię mieszanina dwóch gazów

nałych, która zawiera 2 mole gazu o masie molowej M

0,5 mola gazu o masie molowej M

2

= 3Mi . J aki u łam

kowitego ciśnienia wywieranego przez gaz na ścianki zb





sobą: Całkowite

gazów w zbiorniku jest równe sumie ciśnień,

niezależnie od siebie wywierałyby poszczególne jej składniki,

z nich zajmował całą objętość zbiornika).

. Powietrze, które w stanie początkowym pod ciśnieniem

zaj

3

, u lega rozprężeniu izotermicznemu. Koń

W V A V

. Próbkę gazu dosko

abca

przedsta

na rysunku 20.19.

a

temperatura

= 200 K. a) Ile

b,

c) tem

c

J 7,5

2,5

1,0 3,0

objętość [m

3

]


. Pęcherzyk powietrza o objętości 20 cm

3

znajduje się na dnie

mijmy, że temperatura pow ietrza w pęche

. O twartą z jedn ej strony

h znajdzie się wtedy

L/2

L/2

powietrze

Rys. 20.20.

Zadanie 16

połączony za pomocą cienkiej rurki przez zamknięty zaw

zbiornikiem B o objętości cztery razy większej niż zbior

W zbiorniku B znajduje się taki sam gaz doskonały p

śnieniem 1 • 10

5

Pa i o temperaturze 400 K. W pewnej

otwieramy zawór , umożliwiając wyrównanie s ię ciśnień w

dwu zbiornikach, które jednak cały czas są utrzymywane w

peraturach początkowych. I le wyniesie ciśnienie w połąc

zbiornikach?

.

Zbiornik A z rysunku 20.21 wypełnia gaz doskonały pod

5

Pa i o temperaturze 300 K. Zbiornik ten jest

Rys.

2 0 . 2 1 .

Zadanie 17

2 0 . 4 C i ś n i e n i e , t e m p e r a t u r a

i p r ę d k o ś ć ś r e d n i a k w a d r a t o w a

1

8 .

Oblicz prędkość średnią kwadratową atomów w helu

peraturze 1000 K. Potrzebną masę molową helu znajdziesz

datku F.

1

9 .

Najmniejsza możliwa temperatura w przestrzeni kosm

wynosi 2 ,7 K. I le wynosi prędkość średnia kwadratowa a

wodoru w tej temperaturze? (Masę molową cząsteczek w

( H

2

) podano w tabeli 20.1).

2 0 . Wyznacz prędkość średnią kwadratową atomów

w temperaturze 313 K. Masę molową argonu znajdziesz

datku F.

2

1 .

Temperatura i ciśnienie w atmosferze Słońca są odpow

równe 2

•

1 0

6

K i 0,03 Pa. Oblicz prędkość średnią kwad

elektronów swobodnych (masa elektronu 9,11 • 1 0 "

3 1

kg) ,

dając,

że tworzą one gaz doskonały.

2 2 . a) Oblicz prędkość średnią kwadratową cząsteczek

w temperaturze 20°C. Masę molową cząsteczek azotu (N

dano w tabeli 20. 1. W jakiej temperaturze prędkość średnia

dratowa będzie b) dwa razy mniejsza i c) dwa razy większ

2 3 .

Wiązka cząsteczek wodoru ( H 2 ) uderza w ścianę p

tem 55° względem normalnej . Każda cząsteczka w wiąz

masę 3 ,3

•

1 0 ~

2 4

g i porusza s ię z prędkością 1 km/s. Cząs

uderzają w ścianę o powierzchni 2 cm

2

z częstością 1 0

Jakie ciśnienie wywiera wiązka na ścianę?

2 4 . Gęstość pewnego gazu o temperaturze 273 K, pod ciśn

1 • 10~~

2

atm, wynosi 1,24-10~

5

g / cm

3

, a) Oblicz prędkość

kwadratową

i

>ś

r

.kw. cząsteczek tego gazu. b) Oblicz masę m

gazu i zidentyfikuj go. (W skazówka: Gaz ten wym ieniono w

20.1).



2 0 . 5

E n e r g i a

k i n e t y c z n a

r u c h u p o s t ę p o w e g o

2 5 .

Ile wyn osi ś rednia energia kinetyczna ruchu p ostępowego

cząsteczek azotu w temperatu rze 1600 K?

2 6 . Wyznacz średnią energię kinetyczną ruchu postępowego

czą

s teczek gazu doskonałego w temperaturze a) 0°C i b) 100°C . Ile

wynosi energia kinetyczna ruchu postępowego mola cząs teczek

gazu doskona łego w t empera turze c) 0 °C i d) 1 00

Ł

C ?

2 7 .

W oda o temperaturze 32°C paruje , ponieważ ucieka część

cząsteczek znajdujących się na powierzchn i . Ciepło parow ania

(539 cal /g) jes t w przybl iżeniu równe en, gdz ie e oznacza średnią

energię uciekających cząsteczek, a n jest liczbą cząsteczek na gram.

a) Oblicz wartość e. b) Ile wyno si s tosunek wartości e do średniej

energi i kinetycznej cząs teczek H

2

0 , przy za łożeniu , że zależy ona

od temperatury tak s a m o , jak w przypadku gazów? • •>

2 8 .

Wykaż , że równan ie s tanu gazu doskonałeg o (20.5) m ożna

zapisać w al ternatywnej postaci p = pRT/M, gdzie p jest gęsto

ścią (masą jednostkowej objętości) gazu, a M jego m asą molową.

2 9 . Prawo Avogadra m ów i , że w tych samych warunkach tempe

ratury

i

ciśnienia jednakowe objętości gazu zawierają taką samą

liczbę cząs teczek.

Czy

prawo

to

jes t równow ażne równ aniu s tanu

gazu doskonałego? Uzasadni j swoją odpowiedź.

2 0 . 6 Ś r e d n i a d r o g a s w o b o d n a

3 0 . Średnia droga swobodna cząs teczek wodoru

w

temperatu

rze 0°C pod ciśnieniem 1 atm wynosi 0,8

•

1 0 ~

5

cm. Koncentracja

cząsteczek

w

tych warunkach jes t równa 2,7

•

1 0

1 9

c m

- 3

. Jaka jest

średnica cząsteczki?

3

1 .

Na wysokości 2500 km nad powierzchnią Ziemi koncentra

cja cząsteczek w atmosferze wy nosi w przybl iżeniu 1 c m

- 3

, a) Ile

ynosi ś rednia droga swobodna obl iczona na podstaw ie równ a

i b) jaki sens ma ta wielkość w podanych warun

W

obl iczeniach przyjmij ,

że

średnica cząs teczki wyno si

•

1 0 ~

8

cm.

2 . Przy jakiej częstości długość fali dźwiękowej

w

powietrzu

w pod

1 atm i w

temperaturze 0°C? Przyjmij ,

że

średnica

3 •

1 0 ~

8

cm.

3 .

Ile

wyn osi ś rednia droga swobo dna

15

kul is tych cukierków

1 1,

1 cm.

(Uwzględni j tylko zderzenia m iędzy

a nie

między cukierkami

i

torbą).

4 .

W

temperaturze 20°C

i pod

ciśnieniem

750

torów wartości

w

argonie

(Ar) i

azocie

(N

2

) są

odpo

A

= 9,9 • 10 ~

6

cm i X

Nl

= 27,5 • 10~

6

cm.

i

azotu.

wyn osi ś rednia droga swobodn a w argonie b) dla 20°C

i

150 to

c)

—40°C

i 750

torów?

3 5 . W pewnym akceleratorze cząs tek protony biegną po t

łowym o średnicy 23 m wewnątrz odpomp owanej kom ory

rej wnętrzu panuje ciśnienie 1 • 1 0

- 6

tora i temperatura

a) Oblicz, ile cząsteczek znajduje się w centymetrze sześ

gazu pod tym ciśnieniem, b) Ile wynosi ś rednia droga sw

cząsteczek gazu, jeżel i ich średnićagest równa 2

•

10 ~

8

c

2 0 . 7 R o z k ł a d p r ę d k o ś c i c z ą s te c z e k

3 6 . Tabela zawiera l iczbę N cząstek o prędkości u, dl

22 cząstek.

Ni

2 4 6 8 2

i>i [cm/s] 1 2 3 4 5

a) Oblicz prędkość średnią

v

cząstek,

b)

Oblicz prędkość

kwadratową v§

r

.k

W

. cząstek,

c)

Która

z

pięciu podanych pr

jest prędkością najbardziej prawdopodobną tip?

3 7 .

P rędkości 10 cząs tek są r ów ne 2 , 3 , 4 , . . . , 1 1 k m /s . a)

nosi prędkość średnia cząs tek?

b) Ile

wynosi ich prędkość

kwadratowa?

3 8 .

a) Dzies ięć cząs tek porusza się z nas tępującymi

ściami: cztery z prędkością 200 m/s, dwie z 500 m/s

z 600 m /s . Obl icz ich prędkość średnią i prędkość średnią

tową.

Czy u

ś rk w

> u

ś r

? b) Wym yśl swój własny rozkład pr

dla

10

cząstek i udowodnij, że także dla tego rozkładu Vf

ir

k

c) Pod jakim warun kiem (jeżel i to możl iwe) zacho dzi r

^śr.kw.

=

^śr?

3 9 . Oblicz temperaturę,

w

której prędkość średnia kwa

a) wodoru cząs teczkowego

i b)

t lenu cząs teczkowego jes

prędkości ucieczki

z

powierzchni Ziemi,

c)

Powtórz

te

sa

l iczenia dla prędkości ucieczki z powierzchni Księżyca, z

j ą c ,

że przyspieszenie grawitacyjne na Księżycu jes t równ e

d) Temperatura w wysokich wars twach atmosfery jes t

1000 K. Czy m oż na się tam spodziewać d użych i lości w

Dużych i lości t lenu? Uzasadni j swoją odpowiedź.

4 0 .

M oż na się przekonać , że prędkość najbardziej pra

dobna w gazie , który ma ( jednorodną) temperaturę T

2

je

sama, jak prędkość średnia kwadratowa w tym samym

0 ( jednorodnej) temperaturze T\. Oblicz s tosunek T

2

/T\.

4 1 . Cząsteczka wodoru (średnica 1 • 10~

8

cm) poruszaj

z prędkością ś rednią kwadratową opuszcza piecyk

( r =

4

1 dostaje się do wnętrza ko mo ry zawierającej a tomy zimn

gonu (średnica 3 • 1 0

- 8

cm) o koncentracj i 4 • 10

1 9

c m ~

3

wynosi prędkość cząs teczki wodoru? b) Jaka jest najmniej

ległość między środkiem cząsteczki wodoru i atomu argon

czas ich zderzenia przy założeniu, że oby dw ie cząsteczk

kształ t kul is ty? c) Jaka jes t początkowa częs tość zderzeń

kundę ) , w którycji uczes tniczy cząs teczka wo doru? (Wsk

Załóż , że a tomy z imnego a rgonu są n ie ruchome. W takim

padku średnia droga swobodna cząs teczki wodoru będzie

ś lona równaniem (20.26), a nie (20.25)) .



prędkość

Rys.

2 0 . 2 2 . Zadanie 43

p\ ,

masie cząsteczkowej

mi

i prędko

U ś r . k w . i - Drugi zbiornik zawiera gaz o c i

2pi, mas ie cząsteczkowej m

2

i prędkości średniej U ś

r

.

2

=

.i- Wyznacz s tosunek mas cząs teczkowych m] /m

2

.

P(v)

= 0 dla

> 2w

0

). a) Wyraź wartość

a w zależności od

VQ . d) Oblicz U ś r . k w . .

. 8 M o l o w e c ie p ła w ł a ś c i w e

g a z u d o s k o n a ł e g o

. I le wyn osi energia wewnętrzna 1 mola jednoato mow ego g azu

T

= 273 K?

le c iepła dostarczono do gazu?

(Wskazówka:

Skorzystaj

3

do 100 cm

3

. Ciśnienie

•

1 0

- 3

mola gazu.

n\ moli gazu o molowym cieple właściwym przy

C\ i td. Wyznacz molowe ciepło właściwe przy

a

20 .23 . a) Ile wynosi

a

c wzdłuż l inii abcl

6

5

i

n

i

2

'o

2 4

objętość [m

3

]

Rys.

2 0 . 2 3 .

Zadanie 48

49. Masę cząsteczki gazu można obliczyć na podstaw

ciepła właściwego przy stałej objętości

c

v

•

Przyjmij, że dl

cy = 0,075 cal/(g

•

°C) i oblicz a) masę ato mu argonu i

molową argonu. Ilw

2 0 . 9

S t o p n i e s w o b o d y

a m o l o w e c i e p ł a w ł a ś

50. Do gazu dwuatomowego rozprężającego się przy sta

śnieniu dostarczono 70 J energii w postaci ciepła. Cz

uczestniczą w ruchu obrotowym, ale nie wykonują ruch

jącego. O ile wzrośnie energia wewnętrzna gazu?

51. Jeden mol t lenu (0

2

) o temperaturze początkowej 0°C

wamy przy stałym ciśnieniu. Ile ciepła trzeba dostarczyć d

aby podwoiła się jego objętość? (Cząsteczki uczestniczą w

obro tow ym , ale nie wykonują ruch u drgającego), ilw

52. Załóżmy, że próbkę 12 g t lenu (0

2

) ogrzewamy od

ratury 25°C do 125°C pod sta łym ciśnieniem atmosfery

a) I le moli gazu zawiera próbka? (Masę molową znajdzies

beli 20.1). b) Ile ciepła trzeba dostarczyć do tlenu? (Cz

uczestniczą w ruchu obrotowym, ale nie wykonują ruchu

cego) , c) Jaka część dostarczonego ciepła zwiększa ener

wnętrzną t lenu?

53. Załóżmy, że 4 mole dwuatomowego gazu doskonałeg

rego cząsteczki uczestniczą w ruchu obrotowym, ale nie

niczą w ruchu drgającym, ogrzano o 60 K przy stałym ci

a) I le c iepła dostarczono do gazu? b) O ile wzrosła ener

wnętrzna gazu? c) Jaką pracę wykonał gaz? d) O ile

energia kinetyczna ruchu postępowego cząsteczek gazu?

2 0 . 1 1 R o z p r ę ż a n ie a d i a b a t y c z n e

g a z u d o s k o n a ł e g o

54. a) Jeden l i tr gazu, dla którego parametr y jest rów

ma w stanie początkowym temperaturę 273 K i c iśnienie

Gaz sprężono do połowy początkowej objętości . Oblicz:

nie i temperaturę gazu na końcu tej przemiany, b) Następ

przy sta łym ciśnieniu ochłodzono do jego początkowej te

tury 273 K. Jaką objętość zajmuje gaz w stanie końcowym

55. Pewien gaz pod ciśnieniem 1,2 a tm i w temperaturze

zajmował o bjętość 4,3 1. Nas tępn ie sprężono go adiab atyc

objętości 0 , 761 . O blicz a) c iśnienie końcowe i b) temperatu

cową,

przyjmując, że jest to gaz doskonały, dla którego p

y = 1-4.

56. Wiadomo, że dla przemiany adiabatycznej pV

y

=

Oblicz wartość sta łe j dla przemiany adiabatycznej, podcza

2 mole gazu mają w pew nej chwili c iśnienie p = 1 a tm i te

turę T = 300 K. Przyjmijmy, że jest to gaz dwuatomow y,

cząsteczki uczestniczą w ruchu obrotowym, ale nie ucze

w ruchu drgającym.

5 7 . Wyobraźmy sobie , że n moli gazu doskonałego p

przemianie adiabatycznej, w której temperatura początko

http://2wsr.kw.i-/

http://2wsr.kw.i-/

http://2wsr.kw.i-/

http://2wsr.kw.i-/



równa T\, a końcowa T

2

. Wyka ż, że praca wyko nana przez gaz jes t

równa nC

v

(7 i

—

T

2

), gdzie Cy jes t molowym ciepłem właściwym

przy stałej objętości.

(Wskazówka:

Skorzystaj z pierwsze j zasady

te rmodynamiki ) .

5 8 . Wykaż, że dla przemiany adiabatycznej gazu doskonałego

a) moduł ściś l iwości jes t dany wzorem

B = -

V

^ = yp,

dV

y

i b) prędkość dźwięku w gazie jes t równa

p

Skorzystaj z równań (18.2) i (18.3).

5 9 .

Powietrze w temperaturze 0°C i pod ciśnieniem 1 atm ma

gęstość 1,29 • 1 0 ~

3

g / c m

3

. Prędkość dźwięku w powietrzu w tej

temperaturze wynosi 331 m/s. Korzystając z tych danych, oblicz

s tosunek

y

wartości molowego ciepła właściwego przy s tałym

ciśnieniu i przy stałej objętości dla powietrza. (Wskazówka: Patrz

zadanie 58).

60. a) Gaz doskonały o początkowym ciśnieniu po rozpręża się

swobodnie do objętości 3 razy większej od objętości początkowej.

I le wynosi c iśnienie końcowe gazu? b) Następnie gaz jes t

sprężany adiabatycznie do objętości początkowej. Ciśnien

po zakończeniu te j przemiany jes t równe

3

1/3

po -

Czy roz

gaz jes t jedno- , dwu- , czy wieloatomowy? c) Jak zmie

średnia energia kinetyczna przypadająca na cząs teczkę w

końcowym w porównaniu ze s tanem początkowym?

6 1 . Jeden mol jednoatomowego gazu doskonałego jes t

cykl icznej przemianie przedstawionej na rysunku 20.24

miana 1—»-2 zachodzi przy stałej objętości, przemiana 2

adiabatyczna, a przemiana

3—> 1 zachodzi przy s tałym

ciśnieniu, a) Oblicz cie

p ło Q, zmianę energi i we

wnętrznej AE

W

i pracę W

dla każdej z tych prz e- o

mian osobno oraz dla ca- S

łego cyklu, b) Ciśnienie po- °

czątkowe w punkcie 1 wy

nosi 1 atm. Oblicz ciśnie

nie i objętość w punktach 2

i 3. Przyjmij, że 1 atm =

1,013 • 10

5

Pa oraz R =

8,314 J / (mol • K).

T

2

= 600 K

2

1

adiabat

1 1 _ .

T

t

= 300 K

=

objętość

Rys.

2 0 . 2 4 .

Zadanie



Entropia

i druga zasada

te rmodynamik i

o n i m o w e g r a f f i t i n a ś c i a n i e P e c a n S t r e e t C a f e w A u s t i n w T e k s a s ie g ł o s i : „ C z a s t o n a r z ę d

, k t ó r e u n i e m o ż l i w i a , b y w s z y s t k o d z i a ł o s ię j e d n o c z e ś n i e " . C z a s m a t a k ż e k i e r u n e k

i e k t ó r e z d a r z e n i a z a c h o d z ą w o k r e ś l o n e j k o l e j n o ś c i i n i g d y n i e m o g ą n a s t ę p o w a ć

w r o t n y m p o r z ą d k u . N a p r z y k ł a d j a j k o , k t ó r e p r z y p a d k o w o w y ś l i z g n ę ł o s i ę r ę k i i w p a d ł

k i e l i s z k a — r o z b i j a s i ę . P r o c e s

w r o t n y , w k t ó r y m r o z b i t e j a j k o

ł o b y s ię c a ł e i z p o w r o t e m z a j ę ł o

j s c e w d ł o n i , n i g d y n i e n a s t ą p i

m z s i e b i e . D l a c z e g o t a k j es t ?

a c z e g o p r o c e s t e n n i e m o ż e z a j ś ć

n y m k i e r u n k u , j a k t a ś m a

d e o o d t w a r z a n a w s t e c z ?



2 1 . 1 . K i lk a p r z e m i a n n i e o d w r a c a l n y c h

Wyobraź sobie , że wracasz do domu w mroźny dz ień i chcąc rozgrzać zmar

ręce, trzymasz w nich kubek z gorącym kakao. Twoje ręce stają się ciepl

a kubek chłodnie jszy. Nigdy jednak nie obserwujesz przec iwnego z jawiska :

ręce nie marzną jeszcze bardz ie j , a kubek s ię nie rozgrzewa.

Układ, który tworzą twoje dłonie i kubek, jes t

układem zamkniętym,

odizo lowanym od o toczenia . Oto k i lka innych przykładów procesów jedn

runkowych w układach zamknię tych: 1. Skrzynia , która ś l izga s ię po pod

w końcu za trzyma s ię , a le nikt nie widz ia ł , by spoczywająca skrzynia samo

nie zaczę ła s ię poruszać . 2. Jeś l i upuszczasz kulkę ulepioną z ki tu, ta upa

podłogę . N ie ruchoma kulka k i tu n ie podskoczy j ednak spontan icznie w

3 . Jeże l i w pokoju przedziurawisz ba lon wypełniony he lem, gaz rozpłynie s

pom ieszczen iu. Atomy he lu nie zbiorą s ię jed na k same z pow rotem w po

ba lonu . Te i inne przemiany jednokie runkowe nazywamy n ieodwraca lnym

znaczy, że nie można odwrócić ich kierunku za pomocą niewie lkich zmian w

czeniu.

Nieodwraca lność wymienionych przemian j e s t t ak wyraźna , ż e uważa

za coś oczywis tego. Gdyby procesy zachodzi ły spontanicznie (bez udzia ł

wnę t rznych czynników) w „z łym " k ie runku, by libyśmy zdu mieni .

Jednakże

z takich przebiegających w złym kierunku procesów nie łamałby zasady zac

nia energii. Nie s twierdz i l ibyśmy żadnej sprzecznośc i , gdyby energia w p

c iepła przepływała z dłoni do kubka . Energia byłaby zachowana, gdyby s

nia lub kulka ki tu nagle zamieni ły część swoje j energi i te rmicznej na en

kine tyczną i zaczę ły s ię poruszać . Tak samo byłoby, gdyby a tomy he lu,

wydosta ły s ię z dz iurawego ba lonu, z powrotem zebra ły s ię razem.

Widz imy więc , ż e to n ie ene rg ia wyznacza k ie runek procesów nieodw

nych przebiega jących w układzie zamknię tym. Decyduje o nim zmiana inne j

kości, którą zajmiemy się w tym rozdziale — zmiana entropii AS układu . Z

entropi i układu zdef iniujemy w nas tępnym paragraf ie , a te raz ograniczymy s

sformułowania je j głównej właśc iwośc i , która czasami jes t nazywana postu

entropii:

Przemiana nieodwracalna w układzie zamkniętym powoduje zawsze wzrost entr

S

układu — nigdy jej spadek.

Entropia różni s ię od energi i tym, że nie ma zasady je j zachowania . E

układu zamknię tego jes t zachowana — zawsze pozosta je s ta ła . W przemi

nieodwraca lnych entropia układu zam knię teg o zawsze rośnie . Ze względu

właśc iwość zmianę entropi i czasami nazywamy „s trza łką czasu". Na prz

rozbija jące s ię ja jko, które widz imy na zdjęc iu otw iera jącym rozdzia ł , wią

z czasem płynącym do przodu i wzros tem entropi i . Czas biegnący wstecz

na taśmie wideo puszczonej w odwrotnym kierunku) oznacza łby, że rozbi t

ko z powrotem s tanie s ię ca łym ja jkiem i unies ie s ię w górę . Taki odw

proces byłby związany ze zmnie jszeniem s ię entropi i i dla tego nigdy g

obserwujemy.



Mamy dwa równoważne sposoby defin iowania zmiany en t ropi i uk ładu:

Z m i a n a e n t r o p i i

zmianę entropii, odwołując się do przemiany, którą opi

20 .11 ,

czyl i do rozprężania swobodnego

łego . Na rysunku 21 .1 a przedstawiono gaz w p oczątkowym stan ie

P, zamknię ty za pomocą zaworu w lewej częśc i izo lowanego c iep l

K jak na rysunku 2 1 . Ib .

W ykres p-V dla tego procesu (rys. 21.2) przed stawia ciśnienie i objętość

P

i końcow ym

K.

Ciśnienie i objętość

S Ą parame

— zależą tylko od stanu gazu i nie zależą od tego, w jak i spo sób

— 5

p o c z

dla przemiany, która przeprowadza układ od stanu

P

do s tanu końcowego

K,

zdefiniujemy za pom ocą rów nania

końc

AS ••

Jkońc

J

pocz

(definicja zmiany entropii) .

(21.1)

pocz

oznacza energię pobieraną lub oddawaną w postaci ciepła przez układ w trakcie

T — tempera turę układu w kelwinach . Widzimy więc , że zmiana

przem iana zachodzi . Ponieważ tem pera tura T jes t zawsze

Q.

Z równania (21 .1)

Zastosowanie równania (21 .1) do rozprężania swobodnego napotyka pewną

P

a stanem

u k U l

W

p

i zawór zamkn ię

p i o / n i a

izolacja ciep lna

a) stan początkowy P

ł

przemiana

nieodwracal

> zawór otwar

S ł S f

l l l s s w j i ł a s

iMmma

b) stan końcowy K

Rys. 2 1 . 1 .

Rozprężanie swobodne g

doskonałego, a) Gaz jes t zamkn

w lewej części izo lowanego ci

nie zbiornika, b) Po otwarciu zaw

gaz gwałtownie wypełnia całą obję

zbiornika. Przemiana ta jes t n ieodw

calna. Oznacz a to , że gaz n ie zbierze

samorzutnie w lewej części zbiornik

o

'a

CD

2 1 . 2 .

Wykres p-V, na k tórym zaznaczono s tan g

P i końcowy K d la procesu rozprężania '3

2 1 . 1 .

Stany pośrednie przyjmo

być przedstawione na wykresie objętość

2 1 . 2 .

Zm iana en t ropi i



' ',;

sri

" •'r i

i i lo\ \ i ;mv •

A

U :\

z b i o r n i k c i e p l n \ /

r e g t t l j c j a t e m p e r a t u r y

a) stan początkowy

P

przemiana

^ ^ • ^ o dw r ac al na

śrut

o ł o w i a n y '

b) stan końcowy

k o ń c o w y m K nie ma ciągu pośrednich stanów równo wagi , opisanych przez

określone parametry . Nie możemy więc w przypadku rozprężania swobo

podążać wzdłuż pewnej l in i i wykresie p-V (rys. 21.2) opisującej zależn o

śnienia od objętości . Co gorsza, n ie da s ię wyznaczyć zależności Q o d T,

pozwalałaby obl iczyć całkę w równaniu (21.1) .

Jeżel i jedn ak entropia jest prawdziw ą właściwością s tanu, to je j różni

między s t anami P i K zależy tylko od tych stanów, a nie od przemiany,

przeprowadzi ła układ od jednego stanu do drugiego. Załóżmy więc, że za

jemy przemianę nieodwracalną, jaką jest rozprężanie swobodne przedstawi

rysunku 21 .1 , przemian ą odwracalną m iędzy stanami P i K. W przypadku

miany odwracalnej możemy śledzić zależność ciśnienia od objętości na wy

p-V i wyz naczyć związek łączący ciepło z temperaturą , co pozwo l i sko

z równania (21.1) do obl iczenia zmiany entropi i .

W paragraf ie 20.11 przekonal iśmy się , że temperatura gazu doskonałe

zmien ia s i ę w wyniku rozprężan ia swobodnego :

r

pocz

= 7k

0

ńc = T. Wi

w ięc ,

że s tan początkowy P i końcowy K na wykresie p-V ( rys. 21.2

szą leżeć na te j samej izotermie. Wygodnie będzie więc zastąpić rozpr

swobodne odwraca lnym rozprężan iem i zo te rmicznym między s t anem P

n e m K, które na wykresie reprezentuje izoterma. Ponieważ w t rakcie rozpr

izotermicznego temperatura jest s ta ła , obl iczenie całki (21.1) nie sprawia

ności .

Na rysunku 21 .3 pokazano , j ak m ożna p rzeprowadz ić odwraca lne roz

nie izotermiczne. Wyobraźmy sobie , że gaz znajduje s ię w cyl indrze, o

wanych ściankach, k tórego podstawa jest w kontakcie ze zbiornikiem cie

utrzymywanym w sta łe j temperaturze T. Na początek obciążamy t łok zamy

cylinder taką i lością śrutu ołowianego, aby ciśnienie i objętość gazu były

jak w stanie początkowym P z rysunku 21. la . Następnie powol i zabieram

(ziarnko po ziarnku) , aż do chwil i , k iedy objętość i c iśnienie gazu będą

same, j ak w s t an ie końcowym K z rysunku

2 1 .

I b .

Temperatura gazu nie

nia s ię , ponieważ podczas całego procesu gaz jest w kontakcie ze zbiorn

cieplnym.

Odwracalne rozprężanie izotermiczne przedstawione na rysunku 21.

względem f izycznym jest całkowicie różne od rozprężania swobodnego z ry

21 .1 .

Jednakże obydwie przemiany mają taki sam stan początkowy i ko

i d la tego muszą p owod ować taką samą zm ianę entropi i . Ponieważ śrut obcią

t łok zabieral iśmy powol i , pośrednie s tany gazu są s tanami równowagi i d

możemy przeds tawić j e na wykres i e

p- V

(rys. 21.4 ).

ys. 21

.3 .

Przeprowadzane w sposób

odwracalny rozprężanie izotermiczne

gazu doskonałego. Gaz ma taki sam stan

początkowy P i taki sam stan końcowy

A", jak w przyp adku rozprężania swo

bodnego z rysunków 21.1 i 21.2

izoterma

K

objętość

Rys. 21

.4 .

Wykres p- V dla procesu odwracalne

kim jest izotermiczne rozprężanie gazu z rysunk

Zaznaczono stany pośrednie , które tym razem

nami równowagi

2 6 2

2 1 .

Entropia i druga zasad a term odyn amik i



Stosując równanie (21.1) do rozprężania izotermicznego, możemy wyciągnąć

T

przed znak ca łki

końc

_

1 f

AS

— >Skońc "Spocz — ~ I d<2.

pocz

f dQ = Q,

gdz ie

Q

oznac za ca łkowitą energię przekazaną pod czas

w postac i c iepła , m amy

A S

= Skońc

—

Spocz

=

'P

(zmiana entropii w przemianie izotermicznej). (2 1. 2)

z rysunku 21.3 zachować s ta łą tempe

ze

zb iorn ika c iep lnego

do

gazu dostarczyć energię

w

postac i

Q. W idz imy więc , ż e

Q

ma wartość do datnią , a więc w wyniku rozprężania

i rozprężania swobodnego z rysunku 21.1 entropia gazu rośnie.

M o ż e m y p o d s u m o w a ć

to

tak:

Aby wyznaczyć zmianę entropii w przemianie nieodwracalnej zachodzącej w układzie

zamkniętym, należy zastąpić tę przemianę dowolną przemianą odwracalną, która ma

taki sam stan początkowy i końcowy. Zmianę entropii dla tej przemiany odwracalnej

obliczamy, korzystając z równania (21.1).

Jeże l i zmiana tempera tury układu jes t mała w porównaniu z jego tempera turą

na

począ tku

i

końcu przemiany,

to

przybl iżoną zmianę entropi i

z równ ania

Q

AS — >Skońc Ą>ocz — rw, > (21-3)

Ti

T

ozna cza średnią temp era turę bezwzględ ną uk ładu

w

rozważanym pro

1 :

Woda jes t ogrzewana

za

pomocą kuchenki. U szereguj

od

najwięk

do najmniejszej zmia ny entropii wody w następujących przed ziałach temp eratury:

)

od

20°C

do

30°C ,

b) od

30°C

do

35°C

i c) od

80°C

do

85°C.

lewej części zbiornik a na rysunk u 21.1 a znajduje się jede n mol

Po otwarciu zawo ru objętość zajmowa na przez

w

opisanej przemianie

że

azot jes t gazem doskonałym.

T 1

.

Zm ianę entropii

w

przemianie n ieodwracalnej możem y

tę

T

2.

Temperatura gazu nie zmienia się w wyniku rozpręża

swob odneg o. Przem ianą odwracalną, którą moż em y zastąpić

rozprężanie swobodne, jes t więc rozprężanie izotermiczne

rys. 21.3 i 21.4).

Z tabeli 20.4 wynika, że energia Q dostarczona do

w postaci ciepła podczas izotermicznego rozprężania od obj

początkowej do objętości końcowej t

^ońc

w temperatu

jest równa

„

e

n rr , 'końc

= nRTla ,

V

'pocz

gdzie n oznacza l iczbę moli gazu, k tóry u lega przemianie. Z

entropii w odwracalnej przemianie izotermicznej jes t dana

naniem (21.2)

^pocz)

~T ~ T

S™

: nR ln -



Podstawiając wartości liczbowe n — 1 mol ORAZ V oric / ^pocz — 2,

STWIERDZAMY, ŻE

A5odwr

= nR

ln

końc

= (1 mol)( 8,31 J/ (mol

•

K)) (ln2)

'pocz

= +5,76 J/K.

Widzimy więc, że zmiana entropii w wyniku rozprężania swo

bodnego (i każdej innej przemiany zachodzącej między

początkowym i końcowym zaznaczonym na rysunku 2

równa

ASnieodwr = A S

o d w r

= +5,76 J/ K. (odp

Wartość

A

5 jest dodatnia, a więc entropia wzrasta zgodn

stulatem sformułowanym w paragrafie 21.1.

2:

Gaz doskonały w stanie początkowym

P

zaznaczonym na

zamieszczonym obok wykresie p-V ma temperaturę 7\. W stanach końcowych

A i B, które gaz może osiągnąć w wyniku przemian zaznaczonych na wykresie,

jego temperatura T

2

jest większa niż w stanie początkowym. Czy zmiana entropii

w przemianie prowadzącej do stanu A jest większa, taka sama, czy mniejsza niż

w przemianie prowadzącej do stanu B7

B

2

objętość

Przykład

21.2

Na rysunku 21.5a przedstawiono dwa identyczne bloki miedzi

o masie m = 1,5 kg. Blok L ma temperaturę początkową 7p

0 c z i

=

60°C. Blok P ma temperaturę początkową r

p o c z

p

= 20°C. Oby

dwa bloki umieszczono w izolowanym cieplnie pojemniku i roz

dzielono izolującą przegrodą. Po usunięciu przegrody obydwa

bloki osiągają po pewnym czasie wspólną temperaturę końcową

Tjiońc = 40°C (rys. 21.5b). Ile wynosi zmiana entropii układu

dwóch bloków w opisanej przemianie nieodwracalnej? Ciepło

właściwe miedzi jest równe 386 J/(kg • K).

przemiana

nieodwracalna

A) b)

Rys.

21.5.

Przykład 21.2. a) W stanie początkowym dwa mie

dziane bloki L i

P,

które różnią się tylko temperaturą, umiesz

czono w dwóch, rozdzielonych izolującą przegrodą, częściach od

izolowanego pojemnika, b) Po usunięciu przegrody bloki wymie

niają energię w postaci ciepła i po pewnym czasie osiągają stan

równowagi termodynamicznej o jednakowej temperaturze T

^ońc

ROZWIĄZANIE:

Zauważmy, że O T W celu obliczenia zmiany entropii układu

musimy znaleźć przemianę odwracalną, którą przeprowadzi układ

od stanu początkowego (rys. 21.5a) do stanu końcowego (rys.

21.5b).

Dzięki temu będziemy mogli wyznaczyć za pomocą rów

nania (21.1) zmianę entropii A5

0

a

W

r

w

przemianie odwracalnej

i zmianę entropii w przemianie nieodwracalnej, która jest równa

A S

0 ( i w r

. Aby przeprowadzić przemianę odwracalną, musim

zbiornik cieplny, którego temperaturę można powoli zmien

przykład kręcąc jakąś gałką). Następnie poddamy blok

sowi, który będzie składać się z dwóch etapów przedstaw

na rysunku 21.6.

izolacja cieplna

y .» 9«sał»>«a

P

t

r

zbiornik cieplny

a) etap 1 b) etap 2

Rys. 2 1 . 6 . Bloki z rysunku 21.5 można przeprowadzić w

calny sposób od stanu początkowego do stanu końcowego

rzystując zbiornik o regulowanej temperaturze, aby a) odw

odebrać ciepło od bloku L i b) odwracalnie dostarczyć ci

bloku P

Etap 1

. Ustawiamy temperaturę zbiornika tak, aby była

60°C i stykamy z nim blok L. (Ponieważ zbiornik i bl

taką samą temperaturę, znajdują się w stanie równow

modynamicznej). Następnie powoli zmniejszamy temp

zbiornika i bloku do 40°C. Podczas każdej zmiany te

tury o dr z bloku do zbiornika przepływa w postac

energia dQ. Korzystając z równania (19.14), możemy

ilość przekazywanej energii dQ = mcdT, gdzie c

ciepło właściwe miedzi. Zgodnie z równaniem (21.1)

entropii A Si bloku L w całej przemianie od temperat

czątkowej

Tpoczz.

(= 60°C = 333 K) do temperatury k

Ikońc

(40°C = 313 K) jes t równa

końc TTOŃC

T

KO

,

f

dQ _

r

mcdT _

J

T ~ J T ~

pocz T

P O C Z I

T

voczL

Tkońc

AS,

'końc

/

dr

~T

•• mc ln

Ł

poczL

2 6 4



Podstawiając dane liczbowe, otrzymujemy

AS

L

= (1,5

k g ) ( 3 8 6 J / ( k g • K ))

ln

|Ił|

=

- 3 5 , 8 6

J/K.

2. Ustawiamy teraz temperaturę zbiornika c ieplnego

tak,

aby była

ona

równa 20° C

i

stykamy

z nim

blok

P.

Następnie

powol i zwiększamy temperaturę zbiornika i b loku , aż osią

gnie

ona

40 °C. Pow tarzając

to

samo rozumowanie ,

co w

przy

padku obl iczania A S ^ , można wykazać ,

że

zmiana ent ropi i

AS p

b loku

P w

przedstawionej przemianie jest równa

AS

P

=

(1 ,5 kg) (386 J / (kg

•

K)) ln

j £ = + 3 8 , 2 3 J/K.

Łącznu

zmiana ent ropi i A S

o d w r

obydwu bloków

w

dwue t

wej odwracalnej przemianie wyrównywania

ich

tempera

jest równa

A S

o d w r

=

AS

L

+ AS

P

= - 3 5 , 8 6

J / K +

3 8 , 2 3

J/K

=

2,4 J/K.

Łączna zmiana ent ropi i układu dwóch bloków

w

rzeczyw

przemianie nieodwracalnej wynosi więc

ASrjeodwr

=

A S

o d W

r

= 2,4 J/ K . (odpowi

Wynik jest dodatni zgodnie

z

postula tem sformułowa

w paragraf ie 21.1.

że

ent ropia , podobnie

ja k

c iśnienie , energia

czy

t e m p e

nie

zależy

od

sposobu osiągnięcia

To, że

ent ropia jest

w

r zeczywis tości funkcją stanu

(tzn.

zależy

od

na

d rodze doświadcza lne j . Jednak

dla

ale ba rdzo w ażnego p rzypadku , j ak im j es t gaz doskona ły podda

możem y udowodnić , że entrop ia jes t funkcją stanu.

Aby zapewnić odwracalność przemiany, przeprowadza się ją ba rdzo wolno

tak że gaz na końcu k ażdej z nich znajduje się w stanie

W k a ż d y m z tych małych kroków energia dostar

do gazu lub odebrana od n i ego w postaci c iepła jest równa dQ, praca

gaz jest równa dW, a zmian a energi i wewnętrznej gaz u dE

w

.

te wiąże ze sobą p ie rwsza zasada t e rmodynamik i w postaci różnicz

dE

w

= dQ- dW.

są

odwraca lne ,

a gaz

znajduje

się w

sta

z

równania (19.24)

i za

dW

p rzez

pdV, a

także posłużyć

się

równan iem (20 .45)

i

zastąpić

w

przez nCydT.

Rozwiązu jąc o t rzymane równan ie wzg lędem

dQ,

dostajemy

dQ = pdV + nC

v

dT.

z

równania s tanu gazu doskonałego, możemy

w

tym równan iu zastą

p

p rzez

nRT/V.

Dzieląc następnie całe równ anie przez

T,

o t r zymamy

—

= nR \-nLy —.

T

V T

P

K

końc końc końc

f dQ

f

dV

f

dT

I

= / nR h /

nCy——.

J

T J V

J

T

pocz pocz pocz

z lewej strony równania to zmiana entropi i AS (= S^ońc

—

5

p o c z

) zde-

2 1 . 2 .

Zmiana ent r op i i 2

http://-nly/

http://-nly/



finiowana za pomocą równania (21.1). Korzystając z tej definicji i wyk

całkowanie po prawej s t ronie równania , otrzymujemy

A S — Sfernc - s

t

pocz

= nRln

+ nCy ln

pocz

(2

Zwróć uwagę , że ca łkując , nie musie l iśmy odwoływać s ię do żadnej szcze

przemiany odwraca lne j . Dla tego otrzymany wynik ma zas tosowanie do

przemiany odwraca lne j , która przeprowadza gaz od s tanu P do s tanu K.

tego zmiana entropi i AS pomiędzy s tanem począ tkowym a s tanem koń

gazu doskonałego za leży tylko od właśc iwośc i s tanu począ tkowego

( V p

0 C

z

oraz właśc iwośc i s tanu końcowego (Vkońc i Tkońc)- Zmiana en t ropi i A S nie

od tego, jak zach odzi ła przem iana międ zy tymi s tanam i.

2 1 . 3 . D r u g a z a s a d a t e r m o d y n a m i k i

A oto zagadka . W przy kładz ie 21.1 s twierdz i liśmy, że jeże l i przeprow a

przemianę odwraca lną od s tanu (a) do s tanu (b) ( rys . 21.3) , to zmiana e

gazu, który s tanowi nasz układ, jes t dodatnia . Ale nasza przemiana jes t o

ca lna , więc można przeprowadzić ją w odwrotnym kierunku, od s tanu (b) d

dorzucając stopniowo ziarenka śrutu obciążające tłok (rys. 21.3b) aż do

kiedy obję tość gazu zmnie jszy s ię do wartośc i począ tkowej . W takie j odw

przemianie energia w postac i c iepła musi być odbierana

od gazu,

aby za

wzrostowi jego tempera tury. Ciepło Q ma war tość ujemną, a więc entrop

rażona równaniem (21 .2) mus i ma leć .

Czy takie zmnie jszanie s ię entropi i gazu nie narusza postula tu s form

neg o w paragrafie 2 1.1 , który s twierdza , że entropia zawsze rośnie? Nie , po

postula t ten dotyczy tylko przemian nieodwracalnych w układ ach zamkn

Opisany proces nie spe łnia tych za łożeń.

Nie jest

bowiem przemianą n ie

ca lną i układ, który obejmuje tylko gaz , nie jest zamknię ty (ponieważ e

przepływa w postac i c iepła od gazu do zbiornika c ieplnego) .

Jeże l i jednak uznamy, że zbiornik c ieplny i gaz są częśc iami jednego u

będz iemy mieć do czynien ia z uk ładem zamknię tym . Sprawdźmy te raz , j ak

nia s ię entropia układu gaz + zbiornik w wyn iku przemiany, która przepro

gaz od s tanu (b) do (a ) ( rys . 21.3) . W trakc ie te j odwraca lne j przemiany e

w postac i c iepła przep ływ a z gazu do zbiornika — czyl i z jednej częśc i ukł

innej .

Niech \Q \ oznacza wartość bezwzględną przepływającego c iepła .

równaniu (21.2) możemy osobno obl iczyć zmianę entropi i gazu (który

c iep ło | ) 2 | ) oraz zbiorn ika (który c iepło \Q \ pobie ra ) . Mamy więc

Zmiana entropi i układu zamknię tego jes t sumą obydwu wie lkośc i , a wi

równa zeru.

oraz

A S

z

b i o r = + ~ZT-



Wiedząc o tym, możemy rozszerzyć postula t z paragrafu 21 .1 , aby obejmował

Entropia układu

zamkniętego

wzrasta w przemianach nieodwracalnych i nie zmienia

się w przemianach odwracalnych. Entropia nigdy nic maleje.

ie zmn ie jsza s ię . Stwierd zenie to jes t jed ny m ze s formułow ań

którą można zapisać w postac i

AS

> 0 (druga zasada termodynamiki), (2 1. 5)

W rzeczywis tym świec ie wszystkie przemiany są w zasadzie nieodwraca lne

En t rop ia w św iec ie r zeczyw is t ym: s i l n i k i

lub w skróc ie

silnik

to urządzenie , które ze swego otoczenia po

substancja robocza.

W s i ln iku pa rowym sub

nc ją ro boczą jes t wod a , zarówn o w postac i pary, jak i c ieczy. W s i lniku s am o

cyklu,

w k tórym subs tanc ja robocza j e s t podd ana zamknię temu

suwami.

Zobaczmy te raz , co

nal iśmy s ię już , że wie le informacj i o gazach rzeczywis tych m ożem y uzy

pV = nRT.

s i lnika idealnego .

W

silniku idealnym wszystkie przebiegające procesy są odwracalne i nie ma strat

związanych z niepożądanymi przemianami energii spowodowanymi tarciem lub turbu

lencjami.



CA

Ifiz

r

j

1

Rys. 21.7. Schemat s i lnika. Dwie

czarne strzałki

na

pętli

w

środkowej czę

ści rysunku wskazują, że substancja ro

ocza jest poddana przemianie cyklicz

nej,

podobnie

jak na

wykresie

p-V. Ze

zbiornika o wysokiej temperaturze

TQ

do substancji roboczej przepływa ener

gi a

w

postaci ciepła

\QG\.

Substancja

obocza oddaje

do

zbiornika

o

niskiej

temperaturze

Tz

energię

w

postaci cie

p ła \Qz\- Silnik (a ściśle mówiąc sub

stancja robocza) wykonuje nad pewnym

elementem otoczenia pracę

W

0

objętość

Rys. 21.8. Cykl przemian substancji ro

boczej silnika Carnota

z

rysunku

21.7

rzedstawiony

we

współrzędnych

p-V.

Cykl składa się z dwóch izoterm

(ab

i

cd)

oraz dwóch adiabat

(bc i da).

Pole

zacieniowanego obszaru ograniczonego

wykresem jest równe pracy

W

wyko

nywanej przez silnik Carnota

w

trakcie

Skoncentrujemy uwagę na szczególnym silniku idealnym nazwanym

kiem Carnota dla uczczenia francuskiego naukowca i inżyniera N.L. Sa

Carnota, który pierwszy w 1824 roku wysunął ideę takiego silnika. Silnik

nota to taki silnik idealny, który osiąga największą sprawność w zamianie

na użyteczną pracę. Co ciekawe, Carnot zdołał przeanalizować działanie t

silnika, zanim jeszcze sformułowano pierwszą zasadę termodynamiki i wp

dzono pojęcie entropii.

Na rysunku 21.7 zilustrowano zasadę działania silnika Carnota. W

każdego cyklu substancja robocza pobiera ze zbiornika cieplnego o stałej t

raturze TQ — grzejnika — energię (w postaci ciepła) |

<2

G

I

i oddaje do zb

cieplnego o

s tałej ,

niższej temperaturze

Tz

— chłodnicy — energię (w

ciepła) \Q

Z

\.

Wykres

p-V

z rysunku 21.8 przedstawia procesy składające się na

cyk

nota — cykl, któremu poddawana jest substancja robocza. Jak pokazują st

cykl jest realizowany w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.

obraźmy sobie, że substancją roboczą jest gaz umieszczony w cylindrze o

wanych ściankach bocznych, zamkniętym izolowanym, obciążonym i ruch

tłokiem. Cylinder można umieszczać na jednym z dwóch zbiorników ciep

(jak na rysunku 21.3) lub na izolującej podstawie. Z rysunku 21.8 wyni

kiedy cylinder jest w kontakcie ze zbiornikiem o temperaturze TQ, substan

bocza pobiera z tego zbiornika ciepło |

Q Q

| i ulega rozprężaniu izotermic

od objętości V

a

do objętości VJ,. Podobnie, kiedy substancja robocza jest w

takcie ze zbiornikiem cieplnym o temperaturze Tz, oddaje ona ciepło |<

zbiornika o niskiej temperaturze i jednocześnie ulega izotermicznemu sp

od objętości

V

c

do objętości

V

d

.

Zakładamy, że w silniku przedstawionym na rysunku 21.7 wymiana

między jednym ze zbiorników a substancją roboczą zachodzi

tylko

podcza

termicznych przemian ab i cd (rys. 21.8). Dlatego przemiany bc i da, któ

wspomnianym wykresie łączą dwie izotermy dla temperatur TQ i Tz, mus

(odwracalnymi) przemianami adiabatycznymi, czyli takimi, w których ciep

jest wymieniane z otoczeniem. W tym celu w trakcie tych procesów cy

stawiamy na izolującej podstawie.

W następujących po sobie przemianach ab i bc (rys. 21.8) substancja ro

zwiększa swą objętość, a więc wykonuje dodatnią pracę, podnosząc obc

tłok. Wykonana praca odpowiada na wykresie z rysunku 21.8 polu powie

pod krzywą abc. W następujących po sobie dwóch przemianach cd i d

stancja robocza jest sprężana, co oznacza, że wykonuje ona pracę ujemn

otoczeniem lub — co jest temu równoważne — otoczenie wykonuje na

pracę, gdy obciążony tłok się obniża. Wielkość tej pracy odpowiada pol

krzywą cda. Łączna praca wykonana podczas jednego cyklu, oznaczona

sunkach 21.7 i 21.8 symbolem W, odpowiada różnicy obydwu pól, ma w

dodatnią i jes t równa polu powierzchni obszaru ograniczonego krzywymi s

jącymi się na cykl

abcda

na rysunku 21.8. Praca ta jes t wykonywana nad pe

zewnętrznym ciałem, na przykład ciężarkiem, który ma być podniesiony.

Z równania (21.1) (AS = f dQ/T) wynika, że każdy przekaz

w postaci ciepła wiąże się ze zmianą entropii. Aby przedstawić zmian

2 6 8 21 . Entropia i druga zasada termodynamiki

http://qz/-

http://qz/-

http://qz/-



(T-S) — rysunek 21.9. Punkty a, b, c i d na tym rysunku

ają punktom oznaczonym tymi samymi literami na rysunku 21.8. Dwie

ab jest rozprężaniem izotermicznym.

TQ,

S G U jej entropia wzrasta. Podobnie w wyniku

cd, substancja robocza w stałej temperaturze Tz oddaje

\Qz\, a jej entropia maleje .

Dwie pionowe linie na rysunku 21.9 reprezentują dwie przemiany adiaba

ywu energii w postaci ciepła, nie zmienia się też entropia substancji

Praca: Aby obliczyć wypadkową pracę wykonaną przez silnik Carnota w cza

całego cyklu, zastosujmy do substancji roboczej równanie (19.26) wyrażające

(AE

W

= Q — W). Substancja ta w kolejnych cy

X

być spełniony warunek A Z = 0 . W szczególności dla pełnego cyklu prze

AE

W

= 0. Pamiętając, że w równaniu (19.26) Q

wypadkowe ciepło dostarczone do układu w trakcie całego cyklu, a W

pracę wykonaną przez układ w tym samym czasie , możemy napisać

GG

a | b

1

entropia

S

Rys.

21.9. Cykl Carnota z ry

21.8

przedstawiony we współrzę

temperatura-entropia. W przemi

ab i cd temperatura jest

stała.

W

mianach bc i da entropia jest stał

W = \Q

G

\-\Qz\

(21.6)

Zmiana entropii: W silniku Carnota mamy dwie (i tylko dwie) przemiany

TQ i drugim w temperaturze T

Z

I G G I

\QZ\

AS = AS

G

+ ASz = ~ ^ ~

]

- ~ . (21.7)

ASQ jest dodatnia, ponieważ energia | QQ\ jest dostarczana do substancji

ASz jes t ujemna, ponieważ energia \Q

Z

\

odbierana w postaci ciepła od substancji roboczej (entropia maleje). Ponieważ

nkcją stanu, dla pełnego cyklu musi być spełniony warunek AS =

I C G I Ifizl

2 L 8 )

T

G

T

Z

TG > Tz, więc musi zachodzić nierówność \QG\ > IGzI

c o



Skorzystamy teraz z równań (21.6) i (21.8), aby wyprowadzić wzór na

ność silnika Carnota.

Sprawność silnika Carnota

Celem dowolnego silnika jest zamiana na pracę jak największej części p

energii \QG\- Miarą tego, na ile nam się to udało, jest tak zwana sp

cieplna silnika n, zdefiniowana jako stosunek pracy wykonanej przez siln

czas cyklu („energii, którą otrzymujemy ) do energii dostarczonej do

w postaci ciepła w tym samym cyklu („energii, za którą płacimy ):

energia uzyskana

energia dostarczona | QQ \

(sprawność dowolnego silnika). (

W przypadku silnika Carnota pracę W występującą w definicji (21.9)

zastąpić wartością wyznaczoną z równania (21.6). W ten sposób otrzym

IGol-IGz]

= 1

_

IGzI

IGo I G G I

Korzystając z równania (21.8), możemy uzyskany wynik zapisać w post

Vc

T

G

(sprawność silnika Carnota), (2

U.

I

CA,

Qa)

. 2 1 . 1 0 . Schemat silnika doskona

który ze sprawnością 1 0 0 zamie

<2G pobrane z grzejnika na

W

gdzie temperatury Tz i 7o są wyrażone w kelwinach. Ponieważ Tz <

silnik Carnota ma sprawność cieplną mniejszą od jedności, czyli od 100

struje to rysunek 21.7, na którym zaznaczono, że tylko część energii pob

zbiornika cieplnego o wyższej temperaturze jest zużywana na wykonanie

Pozostała część jes t oddawana do zbiornika o niższej temperaturze. W pa

21.6 wykażemy, że żaden silnik rzeczywisty nie może mieć większej spr

c ieplne j , niż obliczona na podstawie równania (21.11).

Konstruktorzy nieustannie usiłują zwiększyć sprawność silników, zm

jąc energię \Qz\, która jest „tracona podczas każdego cyklu. Marzeni

nalazców jest zbudowanie

silnika doskonałego,

przedstawionego schem

na rysunku 21.10, w którym energię \ Qz\ zmniejszono by do zera, a w

energia | Q

G

| uległaby przemianie w użyteczną pracę. Taki silnik zains

na przykład w statku transoceanicznym czerpałby ciepło z wody i wykorz

je do poruszania śrub napędowych, bez potrzeby ponoszenia kosztów zwi

z zakupem paliwa. Samochód wyposażony w taki silnik czerpałby energi

czającego go powietrza, a więc jeździłby bez potrzeby płacenia za paliw

stety, silnik doskonały jes t tylko marzeniem. Przyglądając się równaniu

zauważymy, że sprawność byłaby równa 100% (n = 1) tylko wtedy, kiedy

lub TQ —> co, czego nie można osiągnąć. Gromadzone latami doświadcz

żynierów doprowadziło do innego sformułowania drugiej zasady termody

http://qg/-

http://qg/-

http://qg/-



Rys.

2 1 . 1 1 .

Elektrownia jądrow

Anna w pobliżu Charlottesville

Wirginia (USA), która dostarc

gię elektryczną o mocy 900 M

cując, odprowadza ona do prze

cej w pobliżu rzeki energię z

ścią 2100 MW. Ta i wszystkie

dobne elektrownie oddają do o

więcej energii niż jest przetwa

użyteczną pracę. Tak wygląda w

wistości silnik idealny z rysunk

• Nie jes t możliwy żaden ciąg przemian, k tórego jedynym skutkiem byłoby pobranie

ciepła i całkowita zamiana go na pracę.

Mówiąc kró tko , nie istnieją silniki dosko nałe.

Podsumujmy to następująco: Sprawność cieplna dana równaniem (21.11)

stosuje się jedynie do si lnika Carnota. Silniki rzeczywiste, w których na cykl

pracy składają się procesy nieodwracalne, mają mniejsze sprawności . Jeżeli twój

samochód byłby napędzany si lnikiem Carnota, jego sprawność obliczona na pod

stawie równania (21.11) byłaby równa około 55%: w rzeczywistości jej wartość

jest bl iska 25%. Elektrownia jądrowa (rys. 21.11), wzięta jako całość, również

jest si lnikiem. Pobiera ona energią w postaci ciepła z rdzenia reaktora, wykonuje

prace, napędzając turbiny, i odprowadza pozostałą energię w postaci ciepła do

rzeki . Jeżeli elektrownia działałaby jak si lnik Carnota, jej sprawność sięgałaby

około 40%; rzeczywista sprawność jest zbliżona do 30%. Projektując jakikol

wiek typ silników, nie da się w żaden sposób pokon ać ogranicz enia wynikająceg o

z równania (21.11).

S i l n i k S t i r l i n g a

Równanie (21.11) nie stosuje się do wszystkich si lników idealnych (odwracal

nych),

lecz tylko do takich silników-, których działanie opisuje wykres z rysunku

21.8 — czyli si lników Carnota. Na przykład wykres z rysunku 21.12 przedstawia

cykl Stirl inga dla si lnika idealnego. Porównując jego działanie z cyklem Carnota

przedstawionym na rysunku 21.8. widzimy, że w obydwu si lnikach wymiana

ciepła z otoczeniem zachodzi w przemianach izotermicznych w temperaturze

7

G

i Tz - Jednakże w przeciwieństwie do si lnika Carnota, w którym izotermy

były połączone adiabatami. w si lniku Stirl inga łączą je izochory — linie opisu

jące przemianę przy stałej objętości (rys. 21.12). Aby w odwracalnym procesie

w stałej objętości zwiększyć temperaturę od Tz do TQ (odcinek da na rysunku

21.12) , trzeba pobrać energię w postaci ciepła ze zbiornika cieplnego, którego

temperaturę można zmieniać w sposób ciągły między skrajnymi temperaturami

cyklu. Przepływ ciepła w drugą stronę następuje w procesie bc . Widzimy więc,

\

[ \F

G

dl

V w \

b

objętość

Rys. 21 .12 . Wykonany we ws

nych p- V wykres cyklu substa

boczej idealnego silnika Stirlin

uproszczenia przyjęto, że substa

boczą jest gaz doskonały

21 .4. Entropia w świecie rzeczywistym: silniki



że odwracalne przepływy ciepła (i związane z tym zmiany entropii) zac

we wszystkich czterech przemianach składających się na cykl Stirlinga,

w dwóch jak w przypadku silnika Carnota. Dlatego wyprowadzenia, które

wadziło nas do równania (21.11), nie można powtórzyć w przypadku ide

silnika Stirlinga. Wydajność idealnego silnika Stirlinga jest mniejsza niż w

padku silnika Carnota pracującego ze zbiornikami o tych samych tempera

Rzeczywiste silniki Sti rlinga mają jeszcze niniejsze wydajności.

Silnik Stirlinga został opracowany

w 1816

roku przez Roberta Stirling

nik ten, przez długi czas niedoceniany, jest obecnie adaptowany do napędu

chodów i statków kosmicznych. Udało się już zbudować silnik Stirlinga o

5000 KM (czyli 3,7 MW).

•SPRAWDZIAN 3 : Trzy silniki Carnota współpracują ze zbiornikami cieplnymi o

peraturach: a) 400 i 500 K, b) 600 i 800 K oraz c) 400 i 600 K. Uszereguj te silniki w

ich sprawności, zaczynając od jej największej wartości.

21.3

ze zbiornikami cieplnymi

T

G

=

850

K

oraz

T

Z

=

300 K.

W

każdym cyklu,

0,25 s,

silnik wykonuje pracę równą 1200

J.

Ile

wynosi sprawność tego silnika?

że O T

sprawność

n

silnika Carnota zależy tylko

od

T

Z

/Tq ( W

kelwinach) zbiorników cieplnych

Z równania (21.11) mamy więc

T

Z

300 K

n = 1 - — = 1 = 0,647 :

T

G

850

K

i 65%. (odpowiedź)

Ile

wynosi średnia moc tego silnika?

że

O T

średnia moc P silnika jest równa stosunkowi

w trakcie cyklu do czasu trwania

Dla rozważanego silnika Carnota mamy

W 1200 J

P = — = = 4800 W = 4,8 kW. (odpowiedź)

t

0,25 s

Ile ciepła

| Q

G I jest pobierane w każdym cyklu ze zbiornika

że

O T

dla każdego silnika — w tym także dla

— sprawność n jest zdefiniowana jako stosu

w trakcie cyklu do energii

\Q

0

\

po

w

postaci ciepła

ze

zbiornika

o

wyższej temperaturze

n = W/\Q

q\). Mamy więc

W 1200 J

n 0,647

(odpowiedź)

d) Jaka energia | Qz\ jest odprowadzana w każdym cyklu d

nika

o

niższej temperaturze?

ROZWIĄZANIE:

Zauważmy, że O T dla silnika Carnota praca W wykon

w trakcie cyklu jest równa różnicy energii pobieranej i odd

w postaci ciepła: \Qq\ — \ Qz\ (równanie (21.6)). Dlatego

IGz

\Qo\-W =

1855 J -1 2 00 J

=

655

J.

(odpo

e) Ile wynosi zmiana entropii substancji roboczej związan

braniem przez nią energii w postaci ciepła ze zbiornika o w

temperaturze? Ile wynosi zmiana entropii wynikająca z o

w postaci ciepła energii

do

zbiornika

o

niższej temperatur


Zauważmy, że

O T

zmiana entropii A S podczas przepływ

gii Q w postaci ciepła w stałej temperaturze T wyraża się

niem (21.2) (AS

= Q/T).

Dlatego

w

przypadku dopływu

Qq ze

zbiornika

o

temperaturze

Tq

entropia substancji ro

zmienia się o

Go 1855 J

ASo =

T

G

850

K

:

+2,18

J/K .

(odpo

Podobnie

w

przypadku odpływu energii

<2z do

zbiornika

nego

o

temperaturze

T

z

mamy

A S

Z

=

Oz

Tz

-655 J

300

K

= -2,18 J/K. (odpo

Zwróć uwagę, że wypadkowa zmiana entropii substancji ro

w trakcie jednego cyklu jest równa zeru,

o

czym wspomin

już ,

wyprowadzając równanie (21.8).

http://qo/-W

http://qo/-W

http://qo/-W



21.4

że zbudował silnik, który, współpra

ze zbiornikami cieplnymi o temperaturze wrzenia i krzep

Czy

jest

to

możl iwe?

że ©-nr

sprawność s i lnika rzeczywis tego

(w

k tórym

i następują straty energii) musi

być mniejsza niż sprawność silnika Carnota korzystające

zbiorników cieplnych

o

takich samych temperaturach.

Z

ró

(21.11) wynika,

że

sprawność silnika Carnota działające

zbiornikami o temperaturze wrzenia i krzepnięcia wody w

T

G

=

1

(0

+

273)

K

(100

+

273)

K

= 0 ,268

«

27%

Dlatego silnik współpracujący

ze

zbiornikami

o

podane j

raturze nie mo że os iągnąć sprawności 75% .


1: Język termodynamiki

i technicznych poświęconych termody

się

bogatego , chociaż czasem wprowadzającego

na przykład znaleźć s twierdzenia, że cie

od

a t akże , że przepływa ono od j e dne go do

wy

że

ciała

mają

ciepło ( jakby ciepło można było mieć

lub że ciepło rośnie , wzras ta , maleje lub spada.

co

m a m y

na

myśl i , kiedy

ko

z terminu ciepło:

Ciepło

to

energia przekazywana przez jedno ciało dru

giemu

w

wyniku różnicy temperatur między tymi ciałam i.

że

jak ieś ciało jest częścią nasz ego układ u,

Q

do układu uznajemy za ciepło

a

taki wypływ energi i

Q z

układu

za

ciepło ujemne.

Używanie terminu praca także wymaga zachowania

ności . Możecie bowiem przeczytać,

że

praca jes t wykon

generowana

lub

ciepło ulega przemianie

w

pracę. Oto

jak

rozumieć termin praca:

Praca to energia przekazywana przez jedno ciało dr

giemu

za

pośre dnictw em siły działającej międz y tymi ci

łami.

Kiedy s twierdzamy, że jakieś ciało jes t częścią rozważ

układu, dowolny tego rodzaju przepływ energi i poza układ

cza dodatnią pracę W wykonaną przez układ lub ujemną pr

wykonaną

nad

układem. Jakikolwiek tego typu przepływ

gii

do

układu ozn acza ujemną p racę

W

wykonaną przez

lub dodatnią pracę W wykonaną nad układem. (Musisz u

czy użyto przyimka przez

czy nad). Bez

wątpienia m oże

mylące

—

zawsze, kiedy spotkasz s łowo praca, musisz uw

przeczytać,

w

jakim kontekście zostało

ono

użyte .

Entropia w świecie rzeczywistym: chłodziarki

w energii od zbiornika o niższej tempera turze do zbiornika o wyższej tempera

rze , powtarzając w tym celu cykl procesów termodynamicznych. W domowych

Urządzenia kl imatyzacyjne i pompy cieplne to także chłodziarki . Różnica

trz budynku. Pompa cieplna służy natomiast do ogrzewania zamkniętego

ieszczenia; w tym przypadku pokój jest zbiornikiem o wyższej temperaturze,

którego ciepło przepływa z chłodniejszego otoczenia. Można więc ją nazwać

21.5. Entropia

w

świecie rzeczywistym: chłodziarki



t

CV

j

Schemat

chłodziarki .

Dwie

strzałki na pętli w środkowej czę

rysunku pokazują, że substancja ro

jest poddana przemianie cyklicz

podobnie jak na wykresie p-V.

robocza pobiera ze zbiornika

niższej tempera tu rze energię w postaci

Qz i oddaje energię w postaci cie

a

<2

G

do zbiornika o wyższej tempe

Pewne urządzenie znajdujące się

otoczeniu wykonuje nad chłodziarką

substancją roboczą) pracę

W

Zajmijmy się teraz chłodziarką idealną:

W

idealnej chłodziarce wszystkie procesy są odwracalne i

nie "ma

rozpraszania en

wynikającego na przykład z tarcia lub turbulencji.

Na rysunku 21.13 przedstawiono idealną chłodziarkę, która działa odwrotn

silnik Carnota z rysunku 21.7. Innymi słowy wszystkie przepływy ener

zarówno w postaci ciepła, jak i pracy — zachodzą w kierunkach przeciwny

w silniku Carnota. Taką idealną chłodziarkę nazywamy chłodzia rk ą Car

Zadaniem konstruktora chłodziarki jest pobranie jak największej energi

ze zbiornika cieplnego o niskiej temperaturze (energia odebrana), wyk

przy tym ja k najmniejszą pracę

\W\

(„energia, za którą płacimy"). Wyd

chłodziarki możemy zdefiniować następująco:

K

energia odebrana |Gz

energia dostarczona \W\

(współczynnik wydajności

dowolnej

chłodziarki),

(21

gdzie

K

oznacza

współczynnik wydajności.

Dla chłodziarki Carnota, odw

się do pierwszej zasady termodynamiki, możemy napisać \W\ = \QG\ —

gdzie |<2G I oznacza energię przekazaną w postaci ciepła do zbiornika o w

temperaturze. Równanie (21.12) przybiera wtedy postać

IGzI

K

c

=

(

\QG\-\QZ\

Ponieważ chłodziarka Carnota to silnik Carnota działający w odwrotnym

runku, możemy połączyć ze sobą równania (21.8) i (21.13). Po dokonaniu

nych przekształceń otrzymamy

Kr =

T

G

-Tz

(współczynnik

wydajności chłodziarki Carnota). (21

r

r

t

s. 21 .1 4. Schemat chłodziarki dosko

która pobiera energię w postaci

ze zbiornika chłodnego i oddaje

do zbiornika gorącego bez potrzeby

jakiejkolwiek pracy

Współczynnik wydajności

K

dla typowych klimatyzatorów pokojowy

wartość bliską 2,5. Dla lodówek domowych K « 5. Zauważ, że wart

jest tym większa, im mniej różni się temperatura obydwu zbiorników ciep

Właśnie dlatego pompy cieplne są bardziej efektywne w klimacie umiarkow

niż w takim, w którym zachodzą znaczne wahania temperatury.

Byłoby miło mieć chłodziarkę, która nie wymaga wykonywania żadnej

— nie trzeba by podłączać jej do kontaktu. Na rysunku 21.14 przedstawio

kie „marzenie konstruktorów", którym jest chłodziarka doskonała; pobie

ciepło Q ze zbiornika o niskiej temperaturze, oddaje do zbiornika o w

temperaturze i nie wymaga wykonywania pracy. Ponieważ urządzenia tego

pracują cyklicznie, entropia substancji roboczej nie ulega zmianie w trakc

nego cyklu. Jednakże entropia obydwu zbiorników cieplnych się zmienia. Z

entropii jest równa —\Q\/Tz dla zbiornika zimnego oraz +\Q\/TQ dla zb

gorącego. Łączna zmiana entropii całego układu jest więc równa

IGI IGI

T

Z

T

G

•

AS = --

http://qg/-/Qz/

http://qg/-/Qz/



T Q > T

Z

, prawa s t rona tego równania ma wartość ujemną i dochodz imy

że

wypadkow a zmiana en t ropi i uk ładu zam knię tego chłodziarka

w pe łn ym cyklu pracy jes t ujemna. Po nieważ zm nie jszanie

z drugą zasadą te rmodynamiki ( równanie (21.5)) , nie

ją do kontaktu) .

Ot rzymany wynik prowadz i nas do jeszcze jedn ego (równo ważneg o) s for

Nic można przeprowadzić ciągu procesów, których jedynym rezul tatem jes t oddanie

energi i

w

postaci ciepła przez ciało chłodniejsze ciału cieplejszem u.

chłodziarka doskonała

nie

istnieje.

4

Wyob raź sobie ,

że

chcesz zwiększyć współczyn nik wydajności

Czy

możesz

to

os iągnąć:

a)

podnosząc nieco temperaturę kom ory

b) obniżając nieco temperaturę kom ory chłodn iczej , c) przenosząc chłodziarkę

czy d)

przenosząc

ją do

chłodniejszego pom ieszczenia?

z

tych operacji wiąże się

z

taką samą bezwzględną zmianą temperatury.

te

operacje według w spółczynnika wydajności , zaczynając od jeg o największej

S p r a wn o ś ć s i l n i k ó w r z e c z y w i s t y c h

r]c

oznacza sp rawno ść s i lnika Carn ota wspó łpracującego

z

dwoma zbior

o us ta lonych tempera turach. W tym paragraf ie udow odnim y,

z tych samych zbiorników c ieplnych nie

niż n

c

.

Jeże l i s i lnik mia łby większą sprawność ,

to sprzeczne z drugą zasadą te rmodynamiki .

Za łóżmy, że pewien wyn alazca , pracując w swoim garażu, skonstruował s i l

ik

X,

k tóry

—

jak twierdz i

— ma

sprawność

r\x

większą niż

r/c:

Vx >

nc

( twierdzenie wyn alazcy). (21.15)

C o

G'z

r

T

r

,

silnik

'-'<•

I,

a)

t

chłodziarka

Carnota

t

t

chłodziarka

doskonalą

Q

r S

b)

Rys.

2 1 . 1 5 .

a)

Silnik

X

napędza

dziarkę Carnota,

b)

Jeżeli silnik

naprawdę większą sprawność

niż

Carnota,

ja k

twierdzi jego wyna

to układ

z

rysunku (a) jes t równo

przedstawionej tu chłodziarce dos

łej.

Narusza

to

drugą zasadę term

namiki , co pozwala wywnioskow

sprawność s i lnika

X nie

może być

sz a

od

sprawności s i lnika Carnota

2 1 . 6 .

Sprawność silników rzeczywistych



Połączmy teraz s i ln ik X z chłodziarką C arnota , tak jak poka zano na

21.15a. Dopasujemy suwy chłodziarki Carnota w taki sposób, aby pr

trzebna w ciągu jednego cyklu była dokładnie równa pracy dostarczan

silnik

X.

W ten sposób nasz układ

silnik + chłodziarka

(rys . 21.15a) n ie

żadnej pracy dostarczanej z zewnątrz .

Jeżel i n ierówność (21.15) jes t prawdziwa, to z definic j i sprawności (r

(21.9)) mamy

\W\ ^ \W\

I G

G

I

>

Ifiol'

gdzie symbol pr im odnosi s ię do s i ln ika X, a wyrażenie po prawej s tronie

ności jes t sprawnością chłodziarki Carnota wykorzystanej w rol i s i ln ika .

ta wymaga, aby była spełniona nierówność

I G G I > IGÓ

Ponieważ praca wykonywana przez s i ln ik X jes t równa pracy nad chło

Carno ta , z p ie rwsze j zasady te rmodynamik i ( równan ie (21 .6 ) ) wyn ika , ż

\Qa\-\Qz\ = \Q'Q\

-\Q'

Z

U

co możemy przep isać w pos tac i

\Qo\ -\Q'a\ = \Qz\ -\Q'

Z

\ = Q-

Ze względu na re lację (21.16) wartość Q w równaniu (21.17) musi być d

Porównując zależności (21.15) i (21.17) , widzimy, że efektem pracy

złożonego z s i ln ika X i chłodziarki Carnota jes t przepływ energii w postac

G od zb io rn ika z imnego do zb io rn ika gorącego , k tó ry n ie wymaga wyko

pracy. Oznacza to , że rozważany układ pracowałby jako doskonała chło

z rysunku 21.14, k tórej is tn ienie jes t jednak sprzeczne z drugą zasadą t

namik i .

Widzimy więc, że coś jes t n ie tak przynajmniej z jednym z naszych z

Prob lem może do tyczyć jedyn ie re lac j i (21 .15) . Możemy więc wywnio

że żaden silnik rzeczywisty nie może mieć sprawności większej niż siln

nota współpracujący ze zbiornikami cieplnymi o tych samych temperatura

na jwyżej sp rawność obydwu s i ln ików może być jednakow a . W tak im prz

silnik X jes t s i ln ikiem Carnota .

2 1 . 7 .

Statystyczne spojrzenie na entropię

W rozdz ia le 20 p rzekona l i śmy s ię , że makroskopowe właśc iwośc i gazów

opisać , odwołując s ię do z jawisk mikroskopowych, w których uczestnic

steczki . Przypomnij sobie , że c iśnienie wywierane przez gaz na śc ianki z

można było wyrazić przez pęd, k tóry przekazują śc iankom odbija jące s ię

cząsteczki gazu. Dziedziną f izyki , w której w ten sposób opisuje s ię właś

uk ładów cząs tek , nazywa s ię m ech an i ką s ta tys tyczn ą .

Skoncentrujemy teraz naszą uwagę na zagadnieniu rozkładu l iczby

gazu w dwóch połówkach izolowanego zbiornika. Problem ten, k tóry s tos

ła two przeanalizować, pozwala wykorzystać mechanikę s ta tystyczną do ob



ej samej war tości zmiany en tropi i , jak uzyskana z rozważań termod yna

Na rysunku 21.16 widzimy zbiornik zawierający sześć identycznych (a więc

lewej ,

a lbo w prawej połowie zbiornika. Ponieważ obję

połówe k zbiornika są takie same , jednak owe są także prawd opodo bieństw a

Sześć cząsteczek w zbiorniku

Konfiguracja

Oznaczenie n\ n

2

Wielokrotność

W

Obl iczenie

W

E n t ro p ia [ 1 0

- 2 3

J/K]

(liczba mikro stanów ) (równ anie (21.18)) (równ anie (21.19))

I

I I

III

IV

6 0

5 1

4 2

3 3

1

6

15

20

6 / (6 -0 ) = 1

6 / ( 5 - l ) = 6

6 / (4 -2 ) = 15

6 / ( 3 - 3 ) = 2 0

0

2,47

3,74

4,13

Łączna l iczba mikrostanów = 64

W tabel i 21.1 wymieniono cztery z s iedmiu możl iwych konfiguracji, które

(n

2

— 0). Trzy konfiguracje

ienion e w tabel i to : V — podzia ł (2 , 4) , VI — pod ział (1 , 5) oraz VII

mikrosta-

Przyjrzyjmy się teraz , jak mo żem y obl iczyć l iczbę mikrostanów odpow ia

Za łóżmy, że mamy N cząsteczek rozłożonych tak, że n\ cząsteczek znajduje

w lewej poło wie zb iornika , a n

2

w prawej (przy czym n\+n

2

— N). Wyobraźmy

eraz, że każdorazowo „ręcz nie" umieszcza my cząsteczki w jednej lub drugiej

N = 6 , to pierwszą cząsteczkę możemy wybrać na sześć

a p ie , c zy li 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - l = 7 2 0 . W m a t em a ty c e t ak i i lo c zy n k ole jn yc h l ic z b

= 720 i czytamy „sześć s i ln ia" . Być może twój kalkulator pozw ala

= 1. (Sprawdź ten wynik za pom ocą sw ojego kalkulatora) .

Ponieważ jednak cząsteczki są nierozróżnialne, n ie wszystkie spośród 72 0 ich

n\ — 4 i n

2

= 2 (konfiguracja III z tabeli

kolejność wkładania czterech cząsteczek do lewej połowy zbiornika nie

enia , ponieważ po d okonaniu wyb oru nie da się już określ ić , w jakiej

o cząsteczki . L iczba sposobów , w jaki mo żna ot rzym ać dany

terech cząsteczek, jest równa 4 , czyl i 24. Podobn ie l iczba sposobów

Q

- T

• r ; '

a ) ,

izola

ciep

b )

1

Rys. 21.16. Izolowany c ieplnie zbi

zawiera sześć cząsteczek gazu. K

cząs teczka z j ednakowym prawdop

bieństwem może się znaleźć w lewe

prawej połowie zbiornika . Układ z

sunku (a) odpowiada konfiguracj

z tabel i 21.1, a układ z rysunku (b

konfiguracji IV

2 1 . 7 . Statystyczne spojrzenie na entropię



umieszczenia dwóch cząs teczek w prawej połówce zbiornika jes t równa

po pros tu 2. Aby otrzymać l iczbę

różnych

układów cząs tek prowadzą

pod zia łu (4, 2) , jak w konfigurac ji I I I , musim y pod zie l ić 720 przez 2 4, a n

przez 2. Otrzy maną wartość , która okreś la l iczbę mikros tanó w odpowia

danej konf igurac j i , nazywamy wielokrotnością konfiguracji . Dl a konfigu

mamy więc

Wi

6

720

III

= 15.

4

•

2 2 4 - 2

Z tabe l i 21.1 wyn ika , że is tnie je 15 niezależnych mikros tan ów odpowia

konfiguracji III. Z tabeli 21.1 wynika też, że łączna liczba mikrostanó

cząs teczek w s iedmiu możl iwych konfigurac jach jes t równa 64.

Uogólnia jąc rozważania dla 6 cząs teczek na przypadek

N

cząs tecze

W =

« i • n

2

\

(wielokrotność konfiguracj i ) .

(2

Powinieneś sprawdzić , że równanie (21.18) da je poprawne

wszystkich konfigurac j i wymienionych w tabe l i 21.1.

Podstawowe za łożenie mechaniki s ta tys tycznej brzmi:

wie lok

Wszystkie mikrostany są tak samo prawdopodobne.

r

entralne

maks imum

konfiguracji

0 25 50 75 100%

procentowa zawartość cząsteczek

w lewej połowie zbiornika

Rys.

21 .17 . Wykres l i czby mikros tanów

w zależności od procentowej zawartości

cząs teczek w lewej połowie zbiornika

w przypadku wielkiej liczby cząsteczek

w zbiorniku. Niemal wszystkie mikro

s tany odpowiadają w przybl iżeniu rów

nemu rozkładowi l iczby cząs tek w oby

dwu połówkach zbiornika . Wspomniane

mikrostany dają na wykres ie maksimum

centralne. D la N ^ 1 0

2 2

cząs teczek sze

rokość maksimum jes t zbyt mała, by

możliwe było przedstawienie je j na tym

wykresie

Oz nacza to, że jeże l i wy konal ibyśm y bard zo dużo fotograf ii sześc iu

czek porusza jących s ię po zbiorn iku z rysunku 21.16 i pol iczyl i , ile razy

wowaliśmy dowolny z mikros tanów, okaza łoby s ię , że każdy z 64 mikr

występował równie częs to. Mówiąc jeszcze inacze j , s twierdz i l ibyśmy, ż

tyle samo czasu przebywał w każdym z 64 mikros tanów.

Poniew aż mikros tany są jedna kow o prawdo pod obn e , a le różny m ko

cjom odpowiadają różne l iczby mikros tanów, konfigurac je nie są równ

dopodobne . Z tabe l i 21.1 wynika , że konf igurac ję IV tworzy 20 mikr

i dla tego jes t to najbardziej prawdopodobna konfiguracja, o prawdop

stwie wystąpienia 20/64 = 0,313. Otrzymany wynik oznacza , że układ

3 1 , 3 % czasu w konfiguracji IV. Konfiguracje I i VII, w których wszyst

s teczki przebywają w jednej z połówek zbiornika , są na jmnie j prawdop

Prawdopodobieństwo wystąpienia każdej z nich to 1/64 = 0,016, czyl i 1,

powinno nas dz iwić , że na jbardz ie j prawdopodobna jes t ta konf igurac ja ,

cząs teczki rozkłada ją s ię po równo między dwiema połówkami zbiorn

nieważ właśnie tego spodziewamy s ię w s tanie równowagi te rmodyna

Dziwi jedn ak, że jes t niezerowe, choc iaż ma łe prawdopod obieńs two zgr

nia s ię wszystkich cząs tek w jednej z połówek zbiornika , podczas gd

połow a pozostaje pus ta . W przykład zie 21.5 wykażem y, że jes t tak, p

sześć cząs teczek to bardzo mało.

Dla wie lkich wartośc i

N

l iczby mikros tanó w są olbrzymie , a le prawie

kie mikros tany odpowiadają konf igurac jom, w których cząs teczki są rów

nie roz łożone między obydwie połówki zbiornika ( rys . 21.17) . Chociaż m

wartośc i c iśnienia i tempera tury są s ta łe , gaz w zbiorniku nieus tannie

27 8 2 1 . E n tr opi a i d r uga z a s a d a t e r m odyna m i k i



a jeg o cząs teczki z rów nym prawd opo dob ieństw em „odwiedzają" wszystkie

braźmy sobie, że w zbiorniku z rysunku 21 .16 znajduje 100

m

= 5 0 i n

2

= 5 0? A ile konfiguracji m = 100 i

n

2

= 0?

O T

wielokrotność

W

konfiguracj i nierozróżnial

(ni, n

2

)

= (50 , 50) mamy

_ N\ _

100 _ 9,33

•

1 0

1 5 7

~ n

x

\-n

2

\ ~

5 0

•

50 "~ (3,04

•

1 0

6 4

) ( 3 , 0 4

•

1 0

6 4

)

= 1,01 • 1 0

2 9

. (odpowiedź)

Podobnie dla konfiguracj i (100,0) mamy

n i • n

2

\

100

1 1

100 0 0 1

= 1.

(odpow

Widzimy, że prawdopodobieństwo wystąpienia konfig

(50,

50) jes t około 1

•

1 0

2 9

( l iczba, którą t rudno sobie wyo

razy w iększ e niż konfiguracji (1 00, 0) . Jeżeli potrafilibyś

czyć mikrostany z szybkością 1 na nanosek undę , obl iczenie

wszystkich mikrostanów odpowiadających konfiguracj i (5

zajęłoby około 3 • 1 0

1 2

lat, czyli z grubsza 750 razy dłuż

is tnieje Wszechświat . Jes t tak, chociaż 100 cząs teczek to

bardzo m ało. Postaraj s ię wyob razić sobie , jakie wyniki u zy

byśmy, rozważając mniej więcej mol cząs teczek (np.

N =

Nie musimy s ię więc obawiać, że wszystkie cząs teczki pow

w pokoju znajdą s ię nagle w jednym jego kącie

S i wie lo

W dla danej konf igurac j i . Za leżność ta ma postać

S = k

ln

W

(wzór Bol tzmanna na ent ropię ) . (21.19)

Jes t z rozumia łe , że entropia S powinna być związana z wie lokrotnośc ią

funkcją logarytmiczną . Całko wita entropia dwóch układów jes t sumą

iloczynowi nieza leżnych praw

Inab =

a +

ln

b ,

loga ry tm wyda je s i ę log icznym powiązaniem obydwu wymienionych

W tabel i 21.1 podano entropie różnych konfigurac j i układu sześc iu cząs te

Obl iczenie w ie lokro tnośc i W na pods tawie równania (21 .18) wymaga wy

21 .7 . S ta tys tyczne spoj rzenie na ent rop ię



dopodobniej zasygnalizuje błąd wynikający z przepełnienia. Na szczęści

bardzo dobre przybliżenie, zwane wzorem Stirlinga, które pozwala wy

war tość wprawdzie nie AM ale ln N\, czyli wie lkości, która występuje w r

(21.19). Wzór Stirlinga ma postać

ln N\ « A/(ln A/) - N (wzór Stirlinga).

Stirling — autor tego wzoru nie jest tą samą

osobą,

co pomysłodawc

Stirlinga.

•SPRAWDZIAN

5 :

Zbiornik zawiera jeden mol gazu. Rozważ dwie konfig

a) każda połowa zbiornika zawiera połowę cząsteczek i b) każda jedna trzecia zb

zawiera jedną trzecią cząsteczek. W której z konfiguracji jest więcej mikrostanów?

Przykład 21.6

W przyk ładzie 21.1 wykazaliśmy, że kiedy n moli gazu dosko

nałego

na

drodze rozprężania swobodnego dw ukrotnie zw iększa

zajmowaną objętość, wzrost entropii od s tanu początkowe go P do

stanu końcowego K jest równy Sg — Sp = nRln2. Wyprowadź

to równanie, korzystając

z

mechaniki s tatystycznej .


Zauważmy,

że:

—w 1

. Dzięki równaniu (21.19) (S =

k ln W)

możemy powiązać

ntropię S dowolnej konfiguracji cząsteczek gazu z wielokrotno

ścią

W tej

konfiguracji. Interesują nas dwie konfiguracje: końcowa

K (cząsteczki gazu zajmują pełną objętość zbiornika

—

rysunek

1 . I b )

i

początkowa

P

(cząsteczki zajmują lewą połowę zbior

ika) .

" ™ t

2 .

Ponieważ cząsteczki znajdują

się w

zamkniętym zbior

iku, możemy obliczyć wielokrotności mikrostanów, korzystając

równania (21.18) .

W n

molach gazu mamy

N

cząsteczek.

Po

się w lewej połowie zbior

a

więc

ich

konfigurację « i ) można zap isać jako (N,

0).

że wielokrotność jest równa

w

postaci

(N/2, N/2).

Równanie (21.18)

_

AM

W k o 6 c

~ ( W / 2 ) •

(N/2)\'

że entropia dla s tanu początkowego

ma odpowiednio war tości

S„ocz

=

k ln Wpc-cz

=

k ln 1 = 0

oraz

S

k o ń c

= *ln WW =

k\n(N\)

-

2fcln[( iV/2) ] .

Zapisując równanie (21.21) , skorzystal iśmy

z

tożsamośc

a

ln — = ln a

— 2

ln b.

b

Teraz, korzystając z przybliżenia (21.20) , przystępujemy

kształcenia równania (21.21)

S

M c

= * m

( A n ) - 2

* m

[ ( A 7 2 ) ]

= *[iV(ln N)~N\- 2k[(N/2) ln(N/2) - (N

= k[NQn

N) - N - N

\n(N/2)

+ N]

= k[N(lnN) - N(\nN-ln2)] = Mfcln2.

Z paragrafu 20.3 wiemy, że i loczyn Nk można zastąpić

gdzie

R

jest stałą gazową. Dzięki temu równanie (21.22)

postać

Skońc = nR\n2.

Zmiana entropii między stanem początkowym a końco

więc równa

•Skońc — Spocz

=

nRh\2

—

0 = nR\n2, (od

czyli dokładnie taka,

jak

chciel iśmy

to

wykazać .

W

dzie 21.1 wyznac zaliśmy przyrost entropii dla rozpręż

bodnego, szukając równoważnego procesu odwracalneg

czając zmianę entropii w tym procesie w zależności o

t empera tu ry i i lości przekazywanego ciepła. W obecn

k ładzie ,

w

ramach mechaniki s tatystycznej uzyskaliśmy

przyrost entropii, odwołując się do faktu, że układ s

z cząsteczek.



Przemiany

tej nie

możn a przepro

w odwrotnym kierunku, dokonując niewielkich zmian

AS

układu,

w

k tórym

ta

przemiana zachodzi.

a to, że entropia zależy tylko od stanu układu, a nie zależy

w

jaki sposób u kład osiągnął

ten

stan. Postulat entro

że: W wyniku przemiany nieodwra

w układzie zamkniętym entropia tego układu

Zm iana entropii AS będąca wy

od

P

do stanu końcowego

K,

jest dokładnie

AS w dowolnej przemianie odwracalnej,

stanu do drugiego. Zmianę

w przem ianie odw racalnej mo żna obliczyć, korzystając

AS — Ąońc

—

^pt

Kom

" I

d g

T '

(21.1)

Q oznacza energię przekazywaną w postaci c iepła do lub

a T

jest temperaturą układu

w

trakcie przemiany,

wy

w kelwinach.

Dla odwracalnej przemiany izotermicznej równanie (21.1)

się do postaci

AS 5|a,ńc Sr QC7.

fi

(21.2)

w

wyniku prze

w porównaniu z temperaturą układu, przybliżoną

za pomocą równania

Q_

AS — Ąx>iic •Spc

(21.3)

T

ST

jest średnią temperaturą układu podczas przemiany.

Zmiana entropii AS gazu doskonałego poddanego odwra

od

stanu początkowego

P

( temperatura

r

pocz

p o c z

) do stanu końcow ego K (temperatura r

ko

ń

c

i ob

Vkod

c

) jest równa

AS — Sl

0

,;

c

—

S

n o c z

= nRln

Vko,

+ nC

v

ln - (21.4)

Zasada ta jest rozwinięciem po

Jeżeli przemiana zachodzi w układzie

to

entropia układu wzrasta

w

przypadku przemiany

i nie zmienia się w przypadku przemiany odwra

nie maleje. Drugą zasadę termodynamiki

w postaci nierówności

A S >0 .

(21.5)

Silniki

Silnik jest urządzeniem pracującym cyklicznie , k

biera energię w postaci ciepła

|

Q

G

|

ze zbiornika o wyżs

peraturze

i

wykonuje pewną pracę

\W\.

Sprawność

n

dow

silnika definiujemy jako

n •

energia uzyskana

I f i o l "

energia dostarczona

W si lniku idealnym wszystkie przemiany są odwracaln

występuje rozpraszanie energii w wyniku na przykład ta

turbulencji. Silnik Carnota jest silnikiem idealnym, któr

w cyklu przedstawionym na rysunku 21.8. Sprawność silni

nota jest równa

1c

1

I f iz l

I f io l

= 1

T

G

'

(21 .10

gdzie TQ

i Tz

oznaczają odpowiednio temperaturę gorąceg

nego zbiornika. Sprawność silników rzeczywistych jest

mniejsza niż obliczona na podstawie rów nania (21.11) .

ność silników idealnych, które

nie są

silnikami Carnota,

jest niniejsza niż określona równaniem (21.11).

Silnik doskonały jest pewnym abstrakcyjnym urząd

które całą energię pobraną w postaci ciepła zamienia n

Takie działanie naruszałoby jedna k drugą zasadę termody

której a lternatywne sformułowanie brzmi: Nie jest możliwy

ciąg procesów, którego jedynym wynikiem byłoby pobr

zbiornika energii w postaci ciepła i całkowita zamiana

pracę.

Chłodziarki Chłod ziarka jest urządzen iem, które pracu

klicznie, wykorzystuje wykonaną nad nim pracę W, a by z

nika chłodnego pobrać energię w postaci ciepła | f izl- Wsp

nik wydajności

K

chłodziarki definiujemy jako

energia odebrana | Q

z

I

W

K =

energia dostarczona

Chłodz iarka Carnota to silnik Carno ta pracujący w

nym cyklu. Dla chłodziarki Carno ta równ anie (21.12) pr

postać

I f i z l T

z

I f i o l - I f i z l

TG-TZ

(21 .13

Chłodziarka doskonała to

abstrakcyjne urządzenie, k

zbiornika chłodnego pobiera energię w postaci ciepła i w

oddaje ją także w postaci ciepła do zbiornika o wyższej t

turze, nie wymagając przy tym wykonywania jakiejkolwiek

Takie działanie naruszałoby drugą zasadę termodynamiki,

alternatywne sformułowanie brzmi: Nie ma takich przemia

rych jedynym rezulta tem jest przekazanie energii w postac

od ciała chłodniejszego do ciała cieplejszego.

Entropia

w

ujęciu statystycznym

Entropię układu moż n

niować, odwołując się do liczby możliwych rozkładów two



mikrostanem układu. Wszystkie

konfiguracją

wielo

W konfiguracji.

W przypadku układu zawierającego N cząs teczek, które

NI

W=—

- , (21.1 8)

n i • n

2

\

n\ oznacza l iczbę cząs teczek w jednej połow ie zbiornika,

2 — l iczbę cząs teczek w drugiej połowie zbiornika. Podsta

mechaniki statystycznej jes t jednako we praw

dopodobieństwo występowania wszystkich mikrostanów. D

konfiguracje układu o dużej wielokrotności występują cz

Kiedy N jes t bardzo dużą l iczbą (na przykład N = 1 0

więcej), cząsteczki prawie cały czas przebywają w konfig

w której n\ = n

2

.

Wielokrotność konfiguracj i W i entropia S układu dla

konfiguracj i są powiązane wzorem Boltzmanna

S = klnW, (

gdz ie k = 1,38

•

1 0 ~

2 3

J /K jes t s ta łą Bol tzmanna.

Jeżeli

W

jes t bardz o dużą l iczbą (co zw ykle jes t prawd

wartość ln /V mo żna obl iczyć za pom ocą

wzoru Stirlinga:

\nN\^N(lnN)~N. (

Pytania

•

połow y jeg o objętości . Czy w wyn iku tego procesu entropia

W czterech doświadczeniach dwa bloki A \ B o różnych tempe

Po pewny m czasie os iągają one jednakow ą tem peraturę koń

W załączonej tabel i podano zmiany entropi i we wspomnia

A i bloku B.

Blok

A

B

Punkt P na rysunku 21.18

T. Uwzględniając

owadzają gaz od

P

do stanu

A, B, C

i

D.

Wartości

5

T + AT

T-AT

objętość

Rys. 2 1 . 1 8 . Pytanie 3

Gaz doskonały znajdujący s ię w kontakcie cieplnym ze zbiorni

K za pomocą czterech odwracalnych przemian zazna

Rys.

2 1 . 1 9 . Pytanie 4

cieplny. Za każdym razem

zacznij od największej war

tości.

5 . Gaz ulega rozprężeniu

swobodnemu od objętości V

do 2V . Następnie gaz roz

pręża s ię swobod nie od obję

tości 2V do 3V. Czy łączna

zmiana entropi i w dwóch

kolejnych przemianach jes t

większa, mniejsza, czy taka

sama, jak w przypadku, gdyby gaz od razu uległ swobod

rozprężeniu od objętości V do 3V?

6 . Trzy s i lniki Carnota współpracują ze zbiornikami ciep

o temperaturach: a) 400 K i 500 K, b) 500 K i 600 K

c) 400 K i 600 K. Każdy s i lnik w ciągu jedn ego cyklu p

ze zbiornika gorącego taką samą ilość energii. Uszereguj

według pracy, jaką wykonują w trakcie jedn ego cyklu. Zacz

wartości największej .

7 .

Czy w trakcie jedn ego c yklu: a) s ilnika Carnota, b)

rzeczywis tego i c) s i lnika doskonałego (którego oczywiśc

można zbudować) entropia wzras ta , maleje , czy też poz

stała?

8 .

Wyobraź sobie , że pozostawiasz na ki lka godzin otwarte

lodówki . Czy temperatura w kuchni wzrośnie , zmaleje , cz

ulegnie zmianie? Przyjmij założenie, że kuchnia jes t pomie

niem zamknię tym i dobrze i zo lowanym.

9. Czy w trakcie jednego cyklu: a) chłodziarki Carnota, b)

dziarki rzeczywis tej i c) chłodziarki doskonałej (której o czyw

nie można zbudować) entropia wzras ta , maleje , czy też poz

stała?



0.

Zbiornik zawiera 100 atomów, które są rozłożone tak, że

iguracją z szybkością 100 miliardów na sekundę. Nie

ć takie liczenie — dzień, rok czy dłużej niż rok?

1

. Na rysunku 21.20 przedstawiono^wykonane w chwili t = 0

a i b umieszczonych w zbiorniku, takim jak

i v, a ich zderzenia ze sobą nawzajem i ze ściankami zbiornika

ste. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zdjęcia wykonane

t = 0,1 L/v i b) t = 10 L/v wykażą, że cząsteczka a

znajduje się w lewej części zbiornika, a cząsteczka b w częś

wej? c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pewnej późn

chwili cząsteczki znajdujące się w prawej części zbiornika

energią kinetyczną równą połowie całkowitej energii kinety

cząsteczek?

a |

Qb

i

R ys . 2 1 . 2 0 .

Pytanie 11 |—L-~|«-

L

H*

2 L


ręcznika: http://www.wiley.com/college/hrw


wykorzystującej oprogramowanie lnteractive Learning-


Zmiana entropii

Próbka gazu doskonałego o wielkości 2,5 mola jest poddana od

pia gazu? | v,-

Jaka ilość ciepła została dostarczona próbce gazu doskona

jeżeli jej entropia w wyniku odwracalnego rozprężenia izo

Cztery mole gazu doskonałego zostały poddane w temperatu

T = 400 K odwracalnemu rozprężaniu izotermicznemu od

Vi do objętości V

2

= 2V\. Oblicz: a) pracę wykonaną

z gaz i b) zmianę entropii gazu. c) He wyniesie zmiana en

Gaz doskonały ulega w temperaturze 77°C odwracalnemu roz

1,3 1 do 3,4 1. Zmiana entropii gazu wynosi 22 J/K. Ile moli

Oblicz: a) energię pobraną w postaci ciepła i b) zmianę entro

•

K). ilw

Jednoatomowy gaz doskonały o temperaturze początkowej

(

w

kelwinach) ulega rozprężeniu od objętości V

0

do objęto

i 2VQ w pięciu procesach przedstawionych na wykresie T-V

(rys.

21.21). Która z przemian jest rozprężaniem: a) izoter

nym, b) izobarycznym (stałe ciśnienie) i c) adiabatycznym?

sadnij swoje odpowiedzi, d) W której z przemian entropia

się zmniejsza?

2,5T

n

2,07/n

1,5T

7 o h —

0,637/0

i

i

Ąli

l

i

i

i

i

i

i

V

0

2V

0

objętość

Rys. 2 1 . 2 1 .

Zadanie 6

7.

a) Ile wynosi zmiana entropii kostki lodu o masie 12 g,

ulega całkowitemu stopieniu w wiadrze wody o temperaturz

nimalnie większej od temperatury topnienia lodu? b) Ile w

zmiana entropii łyżki wody o masie 5 g, która w całości wy

wuje po wylaniu jej na płytę o temperaturze minimalnie wi

od temperatury wrzenia wody?

8.

Próbka jednoatomowego

gazu doskonałego o wiel

kości 2 moli ulega odwra

calnej przemianie przedsta

wionej na wykresie z ry

sunku 21.22. a) Ile ener

gii w postaci ciepła pobiera

gaz? b) Ile wynosi zmiana

energii wewnętrznej gazu?

c) Jaką pracę wykonuje gaz

podczas tej przemiany?

S 400

a 200

e

5 10 15

entropia [J/K]

Rys. 21 .22 .

Zadanie 8

Z a d a n i a





. W pewnym doświadczeniu zmieszano w s tarannie izolowanym

•

K)) o tem

0 .

Przyjmij , że początkowe temperatury bloków L i P w nie

b) jego zbiornika cieplnego, c) bloku P, d) jego zbiornika

1 . Wykorzystaj układ z rysunku 21.6, aby wykazać, że w przy

2 . Dwuatomowy gaz do

21 .23 . Przyjmując

war tośc i p\, Vi,

i R, oblicz: a) p

2

, pi i T

3

W, ciepło Q,

E

W

i zmian ę entropi i A S

. izoterma

adiabata

Vi

3 K

Ł

objętość

Rys. 2 1 . 2 3 . Zadanie 12

3 . Blok miedzi o masie 50 g i temperaturze 400 K umiesz

4 .

Jeden mol j ednoa tomow ego gazu doskona łego przeprowa

p i objętość V) do stanu

2p i objętość 2V), poddając go dwóm róż

p-V.

p i V: b) ener

miany, c) pracę wykonaną przez gaz podczas każdego etapu

miany, d) zmianę energi i wewnętrznej gazu £

w

,końc — £w,p

e) zmianę entropi i gazu S

końc

- S

p 0 C

z -

1 5 . Kostkę lodu o masie 10 g i temperaturze — 10°C wr

do jeziora, którego temperatura jes t równa 15°C. Oblicz z

entropi i układu kostka lodu- jezioro do chwil i , kiedy lód os

równow agę termod ynam iczną z jeziorem . Ciepło właściwe

wyno si 2220 J / (kg K).

(Wskazówka:

Czy lód wpłyn ie na t

raturę jeziora?)

1 6 .

Kostkę lodu o masie 8 g i temperaturze — 10°C um ies

w termosie zawierającym 100 cm

3

wody o temperaturze

0 i le zmieni s ię entropia układu lód-woda do chwil i , kiedy

gnie on s tan równowagi termodynamicznej? Ciepło właściw

wynos i 2220 J / (kg-K) .

1 7 . Mieszanina 1773 g wody i 227 g lodu znajduje s ię p

kowo w s tanie równowagi termodynamicznej w temperaturz

Następnie w przemianie odwracalnej mieszanina jes t przep

dzana do innego s tanu równowagi , w którym w temperaturz

s tosunek wagowy wody i lodu wynosi 1:1. a) Oblicz zmian

tropi i układu w opisanym procesie . (Ciepło topnienia lod

nosi 333 kJ /kg.) b) Następnie w przemianie nieodwracaln

przykład za pomocą palnika Bunsena) zostaje przywrócony

początkowy układu. Oblicz zmianę entropi i układu w tym

cesie , c) Czy udzielone odpowiedzi są zgodne z drugą z

te rmodynamiki?

1 8 . Cylinder zawiera n m ol i j ednoa tomowego gazu doskon

Zmiana entropi i gazu w wyniku odwracalnego rozprężania i

micznego od objętości początkowej V

ocz

do objętości koń

Vkoiic opisanego krzywą I na wykres ie p- V z rysunku 21.2

nosi

A S =

ra-Klntyfejńc/^pocz)- (Patrz przykład 21.1). Rozw

teraz przemianę opisaną krzywą I I z rysunku 21.24, która p

na przeprowadzeniu gazu od s tanu początkowego P do s t

na drodze odwracalnego rozprężania adiabatycznego, a n

nie w odwracalnej przemianie izochorycznej (w s tałej obję

od stanu

x

do tego samego co poprzednio s tanu końcowe

a) Opisz, jak m ożna przeprowad zić obydwie przemiany op

krzywą I I . b) Wykaż, że w s tanie x temperatura gazu jes t r

7*

—

7 p

o c z

( V p

0cz

/

V

ko

ńc)

^ •

c) Ile ciepła Q\ jes t do

starczane w procesie I? Ile

ciepła <2n jest dostarc zane

w procesie I I? Czy oby

dwie uzyskane wartości są

sobie równe? d) I le wynosi

zmiana entropi i w proce

s ie I I? Czy zmiana entro

pii w procesie I jest taka

sama? e) Oblicz wartości /

T

x

, Q\, Qn i

A S ,

przyjmu

j ą c

n =

1 r

pocz

=

5 0 0 K

oraz Vkońc/Vpc.cz

=

2 .

izoterm

adiabata

objętość

Rys. 21 . 24 . Z a da n i e 18



9 .

Jeden mol jednoatomowego gazu doskonałego został poddany

a

c wzdłuż krzy

abcl Ile wynosi zmiana

b do c i c) w peł

objętości Vo i tempera

T

0

dla stanu a.

.2

2

Po

a

o

'o „

:S3

Po

objętość

Rys. 21 .2 5 . Zadanie 19

4K

n

0 .

Jeden mol jednoatomowego gazu doskonałego o ciśnieniu po

czątkowej V

p o c 2

= 1 m

3

do wartości koń

V

k0 I

j

c

= 2 m

3

. W trakcie tego procesu ciśnienie p i objętość

V są związane zależnością p = 5exp[(V

p 0 C Z

— V)/a], gdzie

jest wyrażone w kilopaskalach, V

p o c z

i V w metrach sześcien

a ma wartość 1 m

3

. Ile wynosi a) ciśnienie końcowe

b) temperatura końcowa gazu? c) Jaką pracę wykonuje gaz,

(Wskazówka: Wyznacz zmianę entropii, odwołując się

Entropia w świecie rzeczywistym: silniki

1 .

Silnik Carnota w każdym cyklu pobiera z grzejnika 52 kJ

2 .

Silnik Carnota, którego chłodnica ma temperaturę 17°C, wy

grzej

3 .

Silnik Carnota, współpracujący ze zbiornikami cieplnymi

• 10

4

J energii w postaci ciepła, a) Ile wynosi

4 .

W hipotetycznym reaktorze termojądrowym paliwem jest ga

o temperaturze około 7 • 10

8

K. Załóżmy, że taki

Tz = 100°C. Ile wynosiłaby sprawność takiego sil

Pb

oraz 60°C. Z jaką szybkością (w kilodżulach na sekundę)

a) pobiera i b) oddaje ciepło?

2 7 . Jeden mol jednoatomowego gazu doskonałego jest po

odwracalnej przemianie cyklicznej przedstawionej na rys

21 .26 .

Proces bc jest roz

prężaniem adiabatycznym.

W punkcie

b

mamy ciśnie

nie p

b

= 10 atm i ob

jętość V

b

= 1 • 10

3

m

3

.

Oblicz: a) energię pobraną

przez gaz w postaci cie

pła z grzejnika, b) ener

gię oddaną przez gaz w po

staci ciepła do chłodnicy,

c) wypadkową pracę wy

konywaną przez gaz i d)

sprawność cyklu, i w

W

i \

A

X. adiabatą

objętość


2 8 . Wykaż, że pole powierzchni ograniczone wykresem

Carnota we współrzędnych temperatura-entropia (rys. 21.9)

wiada wypadkowej energii przekazanej w postaci ciepła subs

roboczej w trakcie jednego cyklu.

2 9 . Jeden mol jednoatomowego gazu doskonałego został po

przemianie cyklicznej przedstawionej na rysunku 21.27.

mijmy, że p = 2po, V —

2V

0

, gdzie p

0

= 1,01 • 10

5

Pa oraz V

0

= 0,0225 m

3

.

Oblicz: a) pracę wykony

waną podczas cyklu, b) cie

pło dostarczane w procesie

abc i c) sprawność cyklu,

d) Ile wynosiłaby spraw

ność silnika Carnota pracu

jącego pomiędzy najwyższą

i najniższą temperaturą tego

cyklu? Jak ma się ta spraw

ność do wartości obliczonej

w punkcie (c)?

-

V

0

,p

0

h-

objętość


3 0 .

Pierwszy stopień dwustopniowego silnika Carnota po

z grzejnika o temperaturze T\ energię w postaci ciepła Q

konuje pracę W\ i oddaje do chłodnicy o temperaturze T

2

e

w postaci ciepła Q

2

. Drugi stopień pobiera energię Q

2

, wyk

pracę W

2

i oddaje do chłodnicy o jeszcze niższej temper

Ti energię Q3 Udowodnij, że sprawność dwustopniowego s

jest równa (T\

— TT,)/T.

5 . Silnik Carnota ma sprawność 22%. Różnica temperatury po

6 .

Silnik Carnota ma moc 500 W. Współpracuje on z dwoma

3 1 . Wyobraź sobie, że w skorupie ziemskiej w pobliżu je

z biegunów, gdzie temperatura na powierzchni wynosi —

wywiercono szyb sięgający głębokości, na której panuje tem

tura 800°C. a) Jaka jest największa teoretyczna sprawność s

pracującego między tymi temperaturami? b) Z jaką szybk

byłaby wytwarzana woda w postaci cieczy o temperaturze

Zadania



•

K); c iepło topnienia lodu wynosi 333 kJ /kg. (Zwróć uwagę,

. Jed en mol gazu doskonałego uży to jako substancji rob oczej

BC

DA reprezentują odw racalne przemiany adiabatyczne, a) Czy gaz

Po

Po/32

A

\

\

- Ą

_ l _

D

2V

n

8K

0

objętość

16K„

adiabata


3 .

Działanie benzynowego s i lnika spal inowego przedstawia cykl

4

= 4Vi ) .

p

2

=

a) Ob licz ciśnienie

w zależności od ci

pi , t empera tury T\

y war tośc i mo

3

Pl

a Pi

'a

adiabata

objętość


4K,

1 . 5 E n t r o p i a w ś w i e c i e r z e c z y w i s t y m : c h ł o d z i a r k i

4 .

Chłodziarka Carnota wymaga 200 J pracy, aby pobrać 600 J

jes t odprow adzane

5 . Klimatyzator pracujący w odwrotnym cyklu Carnota pobiera

zewnątrz , gdzie panuje temperatura 96°F. I le dżul i energi i

nej z pokoju przypada na jeden dżul energi i e lektrycznej d

czanej do kl imatyzatora?

3 6 . Si lnik elektryczny napędza pompę cieplną, która prze

ciepło z zewnątrz budynku, gdzie panuje temperatura —5

pomieszczenia, w którym jes t 17°C. Załóż, że pompa ciepln

pompą cieplną Carnota (pracuje w odwrotnym cyklu Carnot

dżul i c iepła doprowadzonego do pokoju przypada na każd

zużytej energii elektrycznej?

3 7 .

Pompa cieplna s łuży do ogrzewania budynku. Na ze

jes t —5°C, a wewnątrz należy utrzymywać temperaturę

Pompa w ciągu każdej godziny dostarcza do budynku 7,5

energi i w postaci c iepła , a je j w spółczynnik wydajnośc

równy 3,8. Przyjmijmy, że pompa pracuje w odwrotny

klu Carnota. Z jaką szybkością t rzeba wykonywać prac

pompą?

3 8 .

Jakiej pracy wymaga chłodziarka Carnota, aby przek

dżul energi i w postaci c iepła pomiędzy zbiornikami o temp

rach: a ) 7°C i 27°C , b) -73°C i 27°C , c ) -173°C i 27°C o

- 223° C i 27° C ?

3 9 .

Klimatyzator chłodzący pomieszczenie o temperaturze

oddaje ciepło w temperaturze 70°F i ma zdolność chłodzącą

Btu/h. Jego współczynnik wydajności jes t równy 27% wa

którą miałaby chłodziarka Carnota pracująca pomiędzy ty

mymi temperaturami. Jaka jes t moc s i lnika napędzającego

tyzator (w koniach mechanicznych)?

4 0 . Si lnik lodówki ma moc 200 W. He wynosi maksymalna

gia, którą lodówka może w ciągu 10 minut odprowadzić z k

chłodniczej , jeżel i panuje w niej temperatura 270 K, tempe

powietrza na zewnątrz wynosi 300 K, a współczynnik wyda

jes t taki sam jak w przypadku chłodziarki Carnota?

4

1 . Grzejnik i chłodnica s i lnika Carnota mają odpowiedni

peraturę T\ i T

2

. Si lnik napędza chłodziarkę Carnota, która

dzi komorę o temperaturze T$ i oddaje ciepło w temperatu

(rys.

21.30). Wyz nacz s tosunek

Qi/Q\

w zależności od w

temperatury T\, T

2

, T

3

i TĄ.

i

{ h

W

c h ł o d z i a r k a

silnik


2 1 .

En tropia i druga zasad a term ody nam iki



1 , 7 S t a t y s ty c z n e s p o j r z e n i e n a e n t r o p i ę

2 1 . 1 opisującą konfiguracje

N cząs teczek, jes t równa 2

N

. Sprawdź tę zależność dla

2 1 . 1 .

N cząs teczek gazu rozłożonych po równo

N = 5 0 . a) Ile wy

(Wskazówka: Patrz zadanie

3 .

c) Ile czasu (procentowo) spędza układ w konfiguracji cen

N =

100 .

e) Powtórz obl iczenia z punktów (a)- (c) dla przy

N = 2 0 0 .

f) Możesz s twierdzić , że wraz ze wzrostem

N

przebywa krócej (a nie dłużej) w konfiguracji środkowej.

śnij, dlaczego tak jes t .

45. Zbiornik zawiera TV cząs teczek gazu. Wyobraź sobie ,

on podzielony na t rzy równe części , a) Uogólnij rów nanie

(

aby wyrażało ono w ielokrotność dowolnej konfiguracji , b) R

dwie konfiguracje: konfigurację A — identyczna l iczba cząs

we wszystkich t rzech jednakowych częściach zbiornika i ko

rację

B

— identyczna l iczba cząs teczek w połowach zbio

I le wynosi s tosunek wielokrotności obydw u konfiguracj i W

A

/

c) Oblicz stosunek W

A

/W

B

d la N =

1 0 0 .

(Ponieważ l iczb

nie jes t podzielna przez 3 , w przy padku konfiguracji A u

w jednej z t rzech części zbiornika 3 4 cząs teczki , a w dwó

zostałych p o 3 3 cząs teczki) ,

www



» DODATEK A

M i ę d z y n a r o d o w y

Układ Jednostek (S I ) *

Wielkość

długość

natężenie prądu elektrycznego

temperatura termodynamiczna

ilość substancji

światłość

Nazwa

metr

kilogram

sekunda

amper

kelwin

mol

kandela

Symbol

kg

Definicja

K

mol

cd

„długość drogi przebytej przez światło w próżni w c

1/299792458 sekundy" (1983)

„ten prototyp [pewien walec z platyny i irydu] będzie o

uważany za jednostkę m asy" (1889)

„czas trwania 9192631770 okresów fali promieniow

odpowiadającego przejściu między dwoma poziomami

subtelnymi s tanu podstawowego atomu cezu-133" (1967

„natężenie s tałego prądu elektrycznego, k tóry — pł

w dwóch równoległych, n ieskończenie d ługich , prosto l

wych przewodach o znikomo małym, kołowym przekr

umieszczonych w p różni w odległości 1 metra od s iebi

wywołuje między tymi przewodami s i łę równą 2 • 1 0~

7

tona na każdy metr d ługości przewodu" (1946)

„1/273,16 część temperatury termodynamicznej punktu

tró jnego wody" (1967)

„ilość substancji układu zawierającego liczbę cząstek ró

liczbie atomów zawartych w 0 ,012 k ilograma węgla

(1971)

„światłość, jaką m a w danym kierunku źródło emitu jące

mieniowanie elektromagnetyczne o częstości 540 • 1 0

1 2

ców i k tórego natężenie promieniowania w tym kierunku

równe 1/683 wata na steradian" (1979)

* Na podstaw ie pracy „The Internation al System of Units (SI)", National B ureau of S tandards

Special Publication 330, 1972 edition. Przytoczone definicje zostały przyjęte przez Konfe

rencję Ogólną ds . Miar i Wag (ciało międzynarodowe) w podanych w tabeli la tach . Kandela

nie jest używana w niniejszej książce.



Wielkość

Symbol

pole powierzchni

metr kwadratowy m

2

objętość metr sześcienny m

3

częstość herc

Hz

s -

1

gęstość

ki logram na metr sześcienny

kg / m

3

prędkość metr na sekundę

m/s

prędkość kątowa radian na sekund ę rad/s

przyspieszenie

metr na sekundę kwadrat

m /s

2

przyspieszenie kątowe

radian na sekundę kwadrat

r a d / s

2

siła niuton

N

kg • m /s

2

ciśnienie

paskal Pa

N / m

2

praca, energia, ciepło dżul

J N - m

moc

wat W

J/s

ładunek elektryczny kulomb

c

A - s

napięcie elektryczne, różnica potencjałów,

s i ła e lektromotoryczna

wolt

V

W / A

natężenie pola elektrycznego wolt na metr ( lub niuton na kulomb ) V/m N/C

opór elektryczny

om n

V/A

pojem ność elektryczn a farad

F

A • s/V

strumień magnetyczny weber W b

V

•

s

indukcyjność

henr H

V- s/A

indukcja magnetyczna tes la

T

W b / m

2

natężenie pola magn etycznego amper na metr

A/m

entropia

dżul na kelwin

J/K

ciepło właściwe dżul na ki logram i kelwin

J/(kg • K)

przewodność cieplna

wat na metr i kelwin

W/(m • K )

natężenie promieniowania wat na steradian W/sr

Wielkość Nazwa jednostki Symbol

kąt płaski radian rad

kąt bryło wy steradian sr

A 2

Dodatek A. Międzynarodowy Układ Jednostek (SI )



Niek tó re pods tawowe

stałe f izyczne*

Stała

prędkość światła w próżni

ładunek elementarny

stała grawitacyjna

uniwersalna stała gazowa

stalą Avogadra

stała Boltzmanna

stała Stefana-Boltzmanna

obję tość molowa gazu doskonałego

0

stała elektryczna

stała magnetyczna

stała Plancka

masa elektronu"

1

m

e

9,11

•

1 0 ~

3 1

kg 9,1093 81 88

0,079

5,49 • 1 0 "

4

u

5,485 799 110

0,0021

masa p ro tonu

d

m

p

1,67

•

l f T

2 7

kg

1,67262158 0,079

1,0073 u

1,007 27 646 6 88 1,3- 1 0 -

4

stosunek masy protonu do masy elektronu

m

p

/m

e

1840

1836,152 667 5

0,0021

stosunek ładunku elektronu do masy elektronu

e/ m

e

1,76- 10

1 1

C/kg

1,758 820174 0,040

masa neutronu

d

m„

1,68 • 1 0 ~

2 7

kg

1,674927

16

0,079

1,0087 u

1,008 664915 78

5,4

•

1 0 ~

4

masa a tomu wodoru

d

Wl

1,0078 u 1,007 825 03 16

0,0005

masa a tomu deuteru

d

2,0141 u

2 , 0 1 4 1 0 1 7 7 7 9 0,0005

masa a tomu helu-4

d

4.0026 u

4 ,002603 2 0,067

Symbo l Wartość zaokrąglona

c 3,00

•

1 0

8

m/s

e 1,60- 10"

1 9

C

G

6,67

•

1 0 - " m

3

/ ( s

2

•

kg)

R 8 ,31 J / (mol -K)

NA

6.02

•

1 0

2 3

m o l "

1

k

1.38

•

1 0 "

2 3

J/K

a 5,67

•

1 0~

8

W / ( m

2

•

K

4

)

v

m

2,27 • 1 0 "

2

m

3

/mol

Bo

8,85 • 1 0 ~

1 2

F/m

Mo

1,26

•

1 0 -

6

H/m

h

6.63

•

1 0 ~

3 4

J

•

s

Wartość najbardziej

Niepewność

dokładna

2

(1998)

względna

6

2,997 924 58

(dokładnie)

1,602176462 0,039

6,673

1500

8,314472

1,7

6 , 0 2 2 1 4 1 9 9

0,079

1,380650

3 1,7

5.670400 7,0

2 ,271098 1

1,7

8,854187 817 62

(dokładnie)

1,256 637 06143

(dokładnie)

6,626068 76

0,078

* Wartości zebrane w tej tabeli wyb rano z wartości zalecanych przez CO DATA w 1998 r.

(patrz: www.physics.nist .gov) .

http://www.physics.nist.gov/

http://www.physics.nist.gov/



Niepewn

względn

masa mionu

m\i

1,88 • 1 ( T

2 8

kg

1,883 531 0 9

0,084

moment magnetyczny e lekt ronu

Me

9,28

•

1

( T

2 4

J/T

9,28 476 3 62 0,040

moment magnetyczny protonu

M

P

1,41 •

I O "

2 6

J/T

1,410 606 663 0,041

magneton Bohra

Mb

9,27 • 1 ( T

2 4

J/T 9,27 400 8 99 0,040

magneton jądrowy

MN

5,05 •

I O "

2 7

J/T

5,050 783 17 0,040

promień Bohra

a

B

5 , 2 9 - 1 0 "

1 1

m

5,291 772 083 0,0037

stała Rydberga

R 1,10- 10

7

n r

1

1,097 373 156 854 8 7,6 • 1

comptonowska długość fali elektronu

Ac

2,43 • 1 0 ~

1 2

m 2,426 310 215 0,0073

a

W ar tośc i w te j ko lum nie na l eży pomn ożyć p rze z t ę s amą po tęg ę l i czby 10 i j edn os tkę co odpowie dn ie wa r tośc i zao krąg lone ,

k W j e d n o s t k a c h 1 0

-

^ (mi l ionowych częśc i ach ca łośc i ) .

C

W warunkach no rmalnych t empera tu ry (0°C) i c i śn i en i a (1 ,0 a tm, czy l i 0 ,1 MPa) .

d

A t o m o w a j e d n o s t k a m a s y 1 u = 1,660538 7 3 • 1 0 ~

2 7

kg.

A 4 Do datek B. Niektóre pod staw ow e sta łe f izyczne



UDODAT E K C

Niek tó re dane

as t ronomiczne

W y b r a n e

odege

o d

10

8

m

1 0

1 1

m

do Księżyca

3

3,82 •

do Słońca

3

1,50 •

do najbliższej gwiazd y (Proxima Centau ri) 4,04 • 1 0

1 6

m

a

O d l e g ł o ś ć ś r e d n i a .

do środka naszej Galaktyki

do galaktyki Andromedy

do granicy obserwowalnego Wszechświata

2, 2 • 1 0

2 0

m

2,1 • 1 0

2 2

m

~ 1 0

2 6

m

Właściwość

Jednostka S łońce

Ziemia

Księżyc

masa

kg

1,99- 10

3 0

5,98 • 1 0

2 4

7,36 • 1 0

2 2

średni promień

m

6,96 • 1 0

8

6,37 • 1 0

6

1,74 • 1 0

6

średnia gęstość

k g / m

3

1410 5520 3340

przyspieszenie grawitacyjne na powierzchni m / s

2

274

9,81

1,67

prędkość ucieczki

km/s 618 11,2

2,38

okres obrotu"

37 d na biegunach

b

,

23 h 56 min

27,3 d

26 d na równiku

b

27,3 d

całkowita moc promieniowania

0

W 3,90 • 1 0

2 6

a

M i e r z o n y w z g l ę d e m o d l e g ł y c h g w i a z d .

b

S ł ońce — będ ące ku lą gazu — n ie ob r aca s ię j ak c ia ło sz tywn e.

c

Tuż nad a tmosf er ą Z iem i ener g ia s łoneczna docier a do pow ier zch n i p r os topad łe j do k ier un ku padan ia z szybkośc ią 1340 W /m

2

.



Merkury Wenus Ziemia M ars Jowisz

Saturn Uran

Neptun

Plu

średnia odległość od Słońca, 10

6

km 57,9

108

150

228

778

143ii

2870 4500 590

okres obiegu, lat

0,241

0,6 15 1.00 1,88

11.9 29,5 84,0 165 248

okres obrotu \ d

58,7

- 2 4 3

b

0,997

1.03

0,409.

0,426 - 0 , 4 5 l

b

. 0,658 6,3

prędkość na orbicie , km/s

47,9

35,0

29,8 24,1 13,1

9,64

6,81 5,43

4,7

. nachylenie os i względ em

płaszczyzny orbi ty < 28° % 3 °

23,4° 25,0° 3,08° 26,7°

97,9°

2 9 , 6

:

57,

nachylenie orbi ty względem

orbity Ziemi 7,00° 3,39°

1,85° 1,30° 2,49° 0,77° 1,77° 17

mimośród orbi ty

0,206 0,0068

0,0167 0,0934

0,0485

0,0556

0,0472

0,0086

0,2

średnica równika, km

4880

12100

12

800 6790

143

000 120000

5 1 8 0 0

49 500

230

masa (masa Ziemi = 1) 0.0558 0,815

1,000

0,107"

318 95,1 14,5

17,2

0,0

gęstość (gęstość wody = 1) 5,60 5,20

5,52 3,95

1,31

0,704

1,21 1,67 2,0

przyspieszenie grawitacyjne

na powierzchni

0

, m / s

2

3,78 8,60 9,78 3,72 22,9 9,05 7,77 11,0 0,5

prędkość ucieczki

0

, km /s 4,3 10.3 11,2 5,0 59.5 35.6

21,2

23,6

1.1

liczba znanych satelitów

0 0

1

2 16"

I 8

e

17

e

8

e

1

a

M i e rzo n y w zg l ęd em o d l eg ł y ch g w i azd .

b

Wenus i Uran obracają s i ę w k ierunku przeciwnym do ruchu po orb icie .

c

P rzyspieszenie grawi tacyjne j es t mierzone na równiku p lanety .

d

+ p ierścień .

e

+ p ierścien ie .

A 6 Doda tek C . Niektóre da ne as t ronomiczn e



DODATEK D

•

10 ~

3

obrotów,

•

2 ,778

•

1 0~

3

obrotów. Jednostki SI zapisano czcionką półgrubą. Tabele zostały przygotowane

Elements of Physics,

Prentice-Hall, Englewood Cliffs,

° rad ianó w obrotów

1 stopień = 1 60 3600 1,745 • 10 ~

2

2,778

•

1 0 ^

3

1 minuta = 1,667

•

1 0 "

2

1 60 2,909

•

1 0 ~

4

4 ,630

•

1 0 "

5

•

10~

4

1,667

•

I O "

2

1 4,848

•

1 0 ~

6

7,716

•

1 0 ~

7

1 rad ian = 57 ,30 3438 2 ,063 • IO

5

1 0,1592

1 obrót = 360 2,16

•

1 0

4

1,296

•

1 0

6

6,283 1

1 pełny kąt bryłowy = 4tc steradtanów = 12,57 steradianów

1 centymetr = 1

1 met r = 100

1 ki lometr = 10

5

1 cal (in) = 2,540

1 stopa (ft) = 30,48

miła (lądowa) = 1,609 • 1 0

5

-io

™

m e t r ów

I O "

2

1

1000

2,540

•

I O "

2

0,3048

1609

km

io-

5

I O "

3

1

2,540

•

1 0 ~

5

3,048

•

1 0 ~

4

1,609

fermi = 10

-15

1 rok świet lny = 9 ,460 • 10

1 :

1 parsek = 3 ,084 • 1 0

1 3

k m

cali

0,3937

39,37

3,937

•

1 0

4

1

12

6,336 • 1 0

4

stóp

3,281

3,281

3281

8,333

•

I O "

2

1

5280

mil

1 sążeń

6 stóp

1 p ro m i eń B o h ra = 5,292

•

1 0

- 1 1

m

6 , 214 - I O "

6,214

•

1 0 ~

0,6214

1,578

•

1 0 "

1,894

•

1 0 ~

1

1 jard = 3

1 n m = 1



crrr

ft

2

1 metr kwadratowy = 1

1 centymetr kwadratowy = 10~

4

1 stopa kwadratowa = 9,290

• ]

0 "

2

1 cal kwadratowy = 6,452 • 10 ~

4

1

mila kwadratowa = 2,788 • 10

7

ft

2

=

640 a krów

1 barn

=

1 CT

2 8

m

2

10,76

1,076 • 10-'

10

4

1

929,0 1

6,452 6,944 • 10~

3

1

akr =

43 560 ft

2

1

hektar = 10

4

m

2

=

2,471 akrów

1550

0,1550

144

1

1 metr sześcienny = 1

1 centymetr sześcienny = 10~

6

1 litr = 1,000

•

I0 "

3

1 stopa sześcienna = 2,832 • 10~

2

1 cal sześcienny = 1,639

•

10~

3

cm

10

6

1

1000

2,832 - 10

4

16,39

1 galon amerykański

- 4

kwarty

=

231 i n

3

1 galon angielski

=

277,4 irr

=

1,201 galo nów amerykański ch

1 (litrów)

1000

1,000-

ITR

3

1

28,32

1,639 • 1 0-

2

ft'

35,31

3,531 • 10-

5

3,531 • 10~

2

1

5,787 • 10~

4

6,102- 10

4

6,102

•

10~

2

61,02

1728

1

1 gram = 1

1 kilogram

=

1000

1 atomowa jednostka masy = 1,661 •

1 uncja handlowa (oz) = 28,35

1 funt handlowy (Ib) = 453,6

10-

kg

0,001

1

1,661 • 10

2,835 • 10'

0,4536

u

6,022

6,022

1

1,718

2,732

] 0

2 3

10

2 6

10

2 5

10

2 6

3,527

35,27

5,857

1

16

uncj

IO-

2

funtów

10

-26

2,205 • 10~

3

2,205

3,662 • 10~

2 7

6,250

•

10 ~

2

1

kg/m

3

1 kg/m

3

= 1

I g/cm

3

=

1000

l Ib/ft

3

= 16,02

1 lb/in

3

= 2,768 •

g/cm

3

10

4

0,001

1

J ,602 •

27,68

6,243

62,43

1

17,28

l b / f t

3

1Q-

2

lb/in

3

3.613

•

10~

3.613 • 10"

5,787 • 10-

1

1 rok = 1

1 doba = 2,738 •

I godzina = 1,141 •

1 minuta = 1,901 •

IO"

3

10 -

4

t o -

6

1 sekunda = 3,169 • 1 0 '

8

d

365,25

1

4,167- 10'

2

6.944 • 10~

4

1,157 - 1 0-

5

8,766- 10

3

24

1

1.667- IO"

2

2.778 • 10-

4

mn

5,259 • 10

5

1440

60

1

1,667 • 10-

2

3,156- 10

7

8,640

•

10

4

3600

60

1

Dodatek D. Współczynniki zamiany jednostek



km/h m/s

1 km/h = 1 0,2778

1 m/s = 3,6 1

1 cm/s = 3,6 • 10~

2

0,01

1 mila/h = 1,609 0,4470

1 stopa/s = 1,097 0,3048

mil a morska /h = 1,688 fl /ś

cm/s mil/h ft/s

27,78 0,6214 0,9113

100 2,237 3,281

1 2,237-IO

2

3 ,281-10-

44,70 1 1,467

30,48 0,6818 1

dyn N G kG funtów

dyna = 1 10~

5

1,020 • 10 ~

3

1,020 • 10 ~

6

2,248 • 10~

6

1 N = 10

5

1 102,0 0,1020 0,2248

1 G = 980,7 9,807 • 10~

3

1

0,00.1.

2.205 • 10~

3

1 kG = 9,807 • 10

5

9,807 1000 1 2,205

1 funt = 4,448 • IO

5

4,448 453,6 0,4536 1

gram-sila (G), kilogram-sila (kG) i funt (jednostka siły) są obecnie rzadko stosowane. Są one zdefiniowane na

1 gram-s iła jest to siła ciężkości działająca n a ciało o masie 1 g w standardowych warun kach ciążenia (tzn. gdy

9,80665 m /s

2

); analogicznie dla kilograma-siły i funta.

atm dyn/cm

2

cali wody cm Hg Pa funtów/in

2

funtów/f

1 atmosfera = 1

1,013-IO

6

406,8 76 1,013 - 10

5

14,70 2116

1 dyna/cm

2

= 9,869 • 10~

7

1 4,015 • 10~

4

7,501 • 10~

5

0,1 1,405 • 10

5

2,089 • 10

a

w temp. 4°C = 2,458 • 10~

3

2491 1 0,1868 249,1 3,613 - IO

2

5,202

a

w temp. 0°C =

1,316-

IO

2

1,333 • 10

4

5,353

1 133 3 0,193 4 27,85

1 paskal = 9,869 • IO

6

10 4,015 - IO

3

7,501 • 10~

4

1

1 ,450-10

- 4

2,089-IO

1 funt/in

2

= 6,805 • IO

2

6,895 • 10

4

27,68 5,17 1 6,895 • 10

3

1 144

1 funt/ft

2

= 4,725 • IO

4

478,8 0,1922 3,591 • 10~

2

47,88 6,944 • 10~

3

1

g = 9,80665 m/s

2

) .

6

dyn/cm

2

= 0,1 MPa 1 milibar = 10

3

dyn/cm

2

= 10

2

Pa 1 tor = 1 mm Hg



Dwie ostatnie jednostki nie są — ściśle rzecz biorąc — jednostkami energii , lecz zostały włączone do tabeli dla wygody. Odpowia

im wartości współczynników przeliczeniowych wynikają z relatywistycznej równoważności masy i energii ,

E — mc

2

,

i wyrażają e

wyzwalaną przy całkowitej zamianie na energię masy jednego kilograma lub atomowej jednostki masy u (dwa ostatnie wiersze)

masę, która po całkowitej zamianie na energię daje odpowiednią energię jednostkową (dwie ostatnie kolumny tabeli).

erg

J

cal kWh eV MeV kg

U

1 erg = 1

i o -

7

2,389 •

10~

8

2,778

10"

1 4

6,242

•

IO

11

6,242

10

5

1,113

I O -

- 2 4

670,2

1 d ż u l =

10

7

1 0.2389 2,778

10"

7

6,242 •

1 0

1 8

6.242

IO

1 2

1,113

I O -

- 1 7

6,702 •

1 kaloria = 4,186 10

7

4,186 1 1,163

10"

6

2,613

•

1 0

1 9

2,613 1 0

1 3

4.660

I O -

- 1 7

2,806

kilowatogodzina = 3,600 1 0

1 3

3,600 10

6

8,600

•

10

5

1 2,247 •

1 0

2 5

2,247 1 0

1 9

4,007

I O -

- 1 1

2,413

1 elektronowolt =

1,602

I O "

1 2

1,602

K T

1 9

3,827 •

I O "

2 0

4,450

10"

2 6

1

IO "

6

1.783

10-

- 3 6

1,074-

megaelektronowolt =

=

1.602

i o -

6

1,602

I O -

1 3

3.827 • I O -

1 4

4,450

10"

2 0

I O "

6

1

1,783

I O -

- 3 0

1,074-

1 kilogram = 8,987

1 0

2 3

8,987

1 0

1 6

2,146- 1 0 " 2,497

10'°

5,610

-

1 0

3 5

5,610

1 0

2 9

1

6,022

•

atomowa jednostka masy a

=

1,492 I O -

3

1,492

I O -

[ 0

3,564 • I O - "

4,146

10"

1 7

9,320-

10*

932,0 1,661

•

I O -

-27

1

K M

1 koń mechaniczny = 1

1 kaloria na sekundę = 5,615

•

1 0 "

3

1 ki lowat =1.341

1 wat = 1,341 • 10~

3

cal/s kW W

178,1 0,7457 745,7

1 4 , 1 8 6 - 1 0 "

3

4,186

238,9 1 1000

0,2389 0,001 1

Gs T mGs

1 gaus (Gs) = 1 iO -

4

1000

1 tesla (T) = 10

4

1 1 0

7

1 mil igaus (mGs) = 0,001 IO "

7

1

1 t es l a = 1 weber /m

2

makswel i weberów

1 makswel = 1 10 "

8

1 webe r = 10

8

1

A

1

0

Doda tek D. Współczynniki zam iany jednostek



^ DODATEK

E

r: obwód = 2 T i r ; pole powierzchni = m - .

r: pole powierzchni = 4 7 T r

2

; objętość = | i t r

3

.

r i wysokości h: pole

i t r

2

2nrh; objętość = Tt r

2

/?.

a i wysokości h: pole powierzchni = ^ah.

sin A sin B sin

C

a b c

c

2

= o

1

4

b

2

- 2abco$C.

Kąt zewnętrzny

D = A + C.

D

KWADRATOWE JEGO ROZWIĄZANIE

ax

2

+ bx + c = 0, to x

-b ± Vb

2

- Aac

2a

KĄTA o

f9

cos 6

osy

<9

= - ctg 0 = -

x y

9 =

—

cosec 9 = —

DZENIE PITAGORASA

2

+ b

2

= c

2

.

A, B, C.

a, b, c.

180\

SYMBOLE MATEMATYCZNE

= równa się

równa się w przybliżeniu

~ jest tego samego rzędu wielkości

7 ^ nie jest równe

= jest równe tożsamościowe jest zdefiniowane jako

> jest większe niż (;>> jest dużo większe niż)

< jest mniejsze niż (<g jest dużo mniejsze niż)

jest większe lub równe (czyli nie mniejsze niż)

jest mniejsze lub równe (czyli nie większe niż)

± plus albo minus

OC jest proporcjonalne do

suma

xi,

r

wartość średnia

x

TOŻSAMOŚCI TRYGONOMETRYCZNE

s i n ( 9 0

° - c 9 ) = cos6?

cos(90° - 9) = sint?

sin

9 /

cos

9

= tg

9

sin"

9 + cos" 9

= 1

sec

2

9 - tg

2

8 = 1



osec

2

9 — ctg

2

1

I L O C Z Y N Y W E K T O R Ó W

sin 29 = 2 sin 9 cos 9

cos 29 = cos

2

9 - sin

2

9 = 2 cos

2

0 - 1 = 1 - 2 sin

2

9

sin

(a i ± /J) = sin a cos

/S

± cos a sin

/S

os(a ± B) = cos a cos B q= sin a sin /J

g(a ± /?)

tg a it gj S

1 =f tg a tg 8

sin a ± sin B = 2 sin \ a ± B) cos ~ a B)

os a + cos

B

= 2 cos

|

(a + B) cos

|

(a — B)

cos a

—

cos B = — 2 sin ^ (a + j8) sin £ (a

—

B)

R O Z W I N I Ę C I A F U N K C J I W S Z ER E G I P O T Ę G O W E

nx n(n — l)x~

( x

2

< 1)

* =

1

•

x x

h

2

+

3i

(wzór dwumianowy)

n(l + x) = x -

9

3

in

9 = 9 •

3

9

2

os 9 = 1

2

2

x +

3

x

9

Ą

9

1

29

5

g

9=9

+ J +

~ -

(1*1

< D

(9 w radianach)

(9 w radianach)

(9 w radianach)

kład równań z dwiema niewiadomymi x i y

fljx +

b\y

= Ci oraz a

2

x + ź^ y = C2

y

=

C l

* 1

c

2

^ 2

C ] & 2

- c

2

b

x

O l

i i

a

x

b

2

-

a

2

b\

b

2

« 1

C l

a

2

C 2

a

y

c

2

—

a

2

C\

ai

* 1

a

x

b

2

- a

2

b

x

« 2

Ć>2

Niech i, j i k będą wektorami jednostkowymi kierunków x, y

Zachodzą związki:

i - i = j j = k- k = 1, i - j =j - k = k- i = 0,

i x i = j x j = k x k = 0.

i x j = k, j x k = i, k x i =

j .

Dowolny wektor

ci

o składowych wzdłuż osi x, y i z równych

a

y

i a

z

można przedstawić w postaci

a = a

x

i + a

v

j + «,k.

Niech a, b i c będą dowolnymi wektorami o długościach (mo

łach) a, b i c. Zachodzą związki:

a x (b + c) = (a x b) + (a x c ) ,

(sa) x b = a x (sb) = s(a x b) (s — skałar).

Niech 9 będzie mniejszym z kątów między wektorami ci

Zachodzą związki:

a • b = b • a = a

x

b

x

+ a

y

b

y

+ a

z

b, = ab cos 9,

a x b =

—

b x a =

i j k

O. -

Oj> Oj

/', b

y

h

a

x

a

z

b

x

b

z

+ k

a

x

a

y

b

x

b

x

= (a

y

b

z

- ftyflzji + (a

z

b

x

- b

z

a

x

)] + (a

x

b

y

-

b

x

a

y

)k

\a xb\ = ab sin 6,

a • (b xc) = b • (c x a) = c • (3 x b),

ci x (b

xc) = (3 •

c)b — (c i • b)Ć.

12 Dodatek E. Wzory matematyczne



POCHODNE CAŁKI

W poniższych wzorach u i v są dowolnymi funkcjami zmiennej

x, a a i m są stałymi. Do każdej z całek nieoznaczonych należy

dodać dowolną stałą całkowania. Obszerniejsze tablice zawiera

Handbook of Chemistry and Physics (CRC Press Inc.).

1 .

4.

3 .

dx

d

~(au)

ax

du

dx

d

T

x

{u +

du

dx

dx

: mx"'-

1

d

— lnx

dx

1

X

d

~—(u\>)

dx dx

i/-

d

— sin x

dx

= cosx

d

du

dx

9. — cosx :

dx

10 . — tgx = sec

2

x

dx

11 . — ctg x = — cosec x

dx

12.

— sec x = tg x sec x

dx

- ctg x cosec x

3. — cosec x = -

dx

1 4 . A*

=e

»

dx dx

d du

15 .

— sin u = cos u —

dx dx

d du

16 .

— cos u —

—

sin u

—

dx dx

udx

. j audx = a j

3.

j(u + v)dx =

j

udx +

J

f

d i J

f

6.

I

» — di = » r -

I

i)

X

m

d x :

m + l

vdx

(m # - 1 )

ln |x|

d»

— c

dx

sinxdx =

—

cosx

7.

y e

x

dx = e

c

9. J cosxdx = sinx

10 .

j

tg xdx = ln | se cx|

11 .

J

sin

2

;

12 . / e-" dx = —e "

13 .

/ xe-

M

dx =

14 .

/ r c d\

/

/

OC

0

•

;(ax + l)e"

Aa

2

x

2

+ 2ax + 2)e

e-

x

dx

16 .

/ x

2n

e~

ax

djc =

• 3 - 5 - . . . - ( 2 « -

1)

jn

2

+]

a V a

18.

19.

xdx

( x

2

+ a

2)3/2

( A

- 2

+ a

2 ) l / 2

dx x

17 . / ,

d X

= ln(x + sjx

2

+a

2

)

J

Jx

2

+ a

2

I

I

/

( x

2

+ a

2

)

3 / 2

a

1

(x

2

+a

2

yi

2

20.

21

' e -

a

^dx

2o"

(a

> 0)

xdx

x + <i

••

x

—

d

ln(x + <i)

Dodatek E. Wzory matematyczne



' D O D A T E K F

Właściwości pierwiastków

O ile nie podano inaczej , wszystkie dane odnoszą się do ciśnienia 1 atm.

Pierwiastek Symbol

Liczba

atomowa

Z

Masa molowa

[g/mol]

Gęstość [g/cm

3

]

w t e m p . 2 0 C

Temperatura

topnienia [°C]

Temperatura

wrzenia [°C]

Ciepło

wła

[J /(g

• °

aktyn Ac 89 (227) 10,06 1323

(3473)

0,092

ameryk

Am 95 (243) 13,67 1541

—

—

antymon Sb 51 121,75 6,691

630,5 1380 0,205

argon

Ar

18

39,948 1,6626- 1 0 -

3

-189,4 -185,8

0,523

arsen

As 33

74,9216

5,78

817 (28 atm) 613

0,331

astat

At 85 (210)

—

(302)

— —

azot

N 7 14,0067 1,1649- 1 0 ~

3

- 2 1 0 -195,8 1,03

bar

Ba 56 137,34

3,594

729 1640

0,205

berkel

Bk 97 (247) 14,79 — — —

beryl

B e

4 9,0122

1,848

1287

2770

1,83

bizmut

Bi 83 208.980 9,747 271.37

1560 0,122

bohr

Bh 107 262,12

— — — —

bor

B 5

10,811

2,34

2030

—

1,11

brom Br 35 79,909

3,12

(ciecz)

- 7 , 2 5 8

0,293

cer Ce 58

140,12

6,768

804

3470

0.188

cez

Cs 55 132,905 1,873 28,40

690

0,243

chlor

Cl

17

35,453 3,214-

1 0 -

3

( 0° C) - 1 0 1 - 3 4 , 7

0,486

chrom

Cr 24 51,996 7,19 1857 2665 0,448

cyna

Sn

50 118,69

7,2984 231.868 2270

0,226

cynk Zn 30 65,37 7,133 419,58

906

0,389

cyrkon

Zr 40 91,22

6,506

1852

3580 0,276

dubn

Db 105 262,114

— —

— —

dysproz Dy 66 162,50 8,55 1409

2330 0,172

einstein

Es 99

(254)

— — — —

erb Er 68

167,26

9,15 1522

2630

0,167

europ

Eu

63 151,96 5,243

817 1490 0,163

ferm

Fm

100

(237)

— — — —

fluor

F 9

18,9984

1,696- 1 0 ~

3

(0°C)

-219,6

-188,2 0.753

fosfor

P 15

30,9738

1,83

44,25

280 0,741

frans Fr 87 (223)

—

(27)

— —

gadolin Gd 64 157,25 7,90 1312

2730

0,234



Pierwiastek Symbol

Liczba

atomowa Z

Masa molowa

[g/mol]

Gęstość [g/cm

3

]

w temp. 20°C

gal Ga 31 69,72 5,907

german

Ge

32

72,59

5,323

glin Al 13

26,9815

2,699

hafn Hf 72 178,49 ' 13,31

has

Hs 108 (265)

—

hel He 2

4 ,0026 0 ,1664- 10^

3

holm Ho 67 164,930 8,79

ind In 49

114,82

7,31

iryd Ir 77 192,2 22,5

iterb Yb

70

173,04 6,965

itr Y

39

88,905 4,469

53 126,9044

4,93

kadm

Cd 48 112,40

8,65

kaliforn Cf 98

(251)

—

kiur Cm

96 (247)

13,3

kobalt Co 27

58,9332

8,85

krypton Kr 36 83,80

3,488

•

1 0 -

3

krzem Si 14 28,086 2,33

kseno n Xe 54 131,30 5,495 • 10~

3

lantan

La 57 138,91 6,189

lit Li 3 6,939

0,534

lorens Lr 103 (257)

—

lutet Lu

71

174,97 9,849

mag nez Mg 12 24,312 1,738

mangan Mn

25 54,9380

7,44

meitner Mt

109 (266)

~ -

mendelew

Md 101 (256) —

miedź Cu 29 63,54 8,96

mol ibden Mo 42 95,94

10,22

neodym

N d

60 144,24 7,007

neon Ne 10 20,183 0,8387 • 1 0 -

3

neptun Np 93 (237) 20,25

nikiel

Ni

28

58,71

8,902

niob

Nb 41 92,906 8,57

nob el No 102 (255) —

ołów Pb 82 207,19 11,35

osm Os 76

190,2 22,59

pallad Pd 46 106,4 12,02

platyna Pt 78 195,09

21,45

pluton Pu 94 (244) 19,8

polon Po

84

(210)

9,32

potas

K

19

39,102

0,862

prazeo dym Pr 59 140,907 6,773

promet

P m

61

. (145)

7,22

protaktyn Pa

91 (231)

15,37 (oszacował

Temperatura Temperatura Ciepło właśc

topnien ia [°C] wrzen ia [°C] [J/(g

•

°C)

29,75 2237 0,377

937,25 2830 0,322

660 2450 0,900

2227 5400 0,144

- 2 6 9 , 7 - 2 6 8 , 9 5 ,2 3

1470 2330 0,165

156,634 2000

0,233

2447 (5300) 0,130

824 1530 0,155

1526 3030 0,297

113,7 183 0,218

321,03 765 0,226

1495 2900

0,423

- 1 5 7 , 3 7 - 1 5 2

0,247

1412 2680 0,712

- 1 1 1 , 7 9 - 1 0 8 0 , 1 5 9

920 3470 0,195

180,55 1300 3,58

1663 1930 0,155

650 1107 1,03

1244 215 0 0,481

1083,40 2595

0,385

2617 5560 0,251

1016 3180 0,188

- 2 4 8 , 5 9 7 - 2 4 6 , 0 1 , 0 3

637 , — 1,26

1453 2730 0,444

2468 4927 0,264

327,45 1725 0,129

3027 5500 0,130

1552 3980

0,243

1769 453 0 0,134

640 3235 0,130

254 — —

63,20 760 0,758

931 3020 0,197

(1027) — —

(1230) — —

Dod atek F. Właściwości pierwias tków A



Pierwias tek Symbol

Liczba

atomowa Z

Masa m olowa

[g/mol]

Gęstość [g/cm

3

]

w temp. 20°C

Temperatura Temperatura Ciepło właściw

topnie nia [°C] wrze nia [°C] [J/(g • °C)]

rad

Ra 88 (226)

5,0

700

—

—

radon

Rn 86 (222) 9,96 • 1 0 "

3

(0°C)

( - 7 1 ) - 6 1 , 8

0,092

ren

Re 75 186,2 21,02

3180

5900

0,134

rod

Rh 45 102,905 12,41

1963 4500 0,243

r tęć

H g

80 200 ,59 13,55

- 3 8 , 8 7

357 0,138

rubid Rb 37 85,47 1,532 39,49 688

0,364

ruten

Ru 44 10 1,107 12,37

2250 4900

0,239

rutherford

Rf

104

261,11

— —

—

—

samar

Sm 62

150,35

7,52

1072 1630 0,197

seaborg

Sg

106

263,118

— — — —

selen Se

34

78,96 4,79

221 685 0,318

siarka

S 16 32,06 4 2,07 119,0

444,6 0,707

skand

Sc 21 44,956

2,99

1539 2730 0,569

sód

Na 11 22,9898

0,9712

97,85

892 1,23

srebro

Ag

47 107,870 10,49 960 ,8

2210

0,234

stront

Sr 38 87,62 2,54

768 1380

0,737

tal

Tl 81 204 ,37 11,85

304

1457 0,130

tantal

Ta 73 180,948 16,6

3014

5425 0,138

technet

Tc 43 (99) 11,46

2200

—

0,209

tellur Te

52

127,60 6,24

449,5 990 0,201

terb

Tb 65 158,924

8,229

1357

2530

0,180

tlen O 8 15,9994 1,3318 • 1 0 ~

3

- 2 1 8 , 8 0

- 1 8 3 , 0 0 , 9 1 3

tor

Th 90 (232) 11,72

1755

(3850) 0,117

tul

T m

69

168,934 9,32

1545

1720 0,159

tytan Ti

22

47,9

4,54

1670 3260

0,523

uran

U 92 (238)

18,95

1132 3818 0,117

wanad V 23 50,942 6,11 1902 3400

0,490

wapń Ca 20 40,08 1,55 838

1440

0,624

węgiel C

6

12,01115 2,26 3727

4830 0,691

wodór H

1

1,00797 0,08375

• 10~

3

- 2 5 9 , 1 9

-252 , 7 14 , 4

wolfram W

74

183,85 19,3

3380

5930 0,134

złoto

Au 79 196,967 19,32 1064,43

2970 0,131

żelazo Fe 2 6 55,847

7,874

1536,5

3000

0,447

ununnil

Uu n 110 (269)

— — — —

ununun

Uuu 111 (272)

— —

—

ununbi

Unb 112 (264)

— — —

ununtr i

Unt 113

— — — — —

ununkwad Unq 114 (285)

—

—

—

—

ununpent

Unp

115

— —

—

— —

ununheks Unh 116 (292) — — — —

Dla p ie rwias tków promienio twórczych w rubryce „masa molowa" podano w nawiasach war tośc i l ic zby masowe j izo topu o na jd łuższym czas ie życ ia .

Podane w nawiasach war tośc i tempera tury topnienia i wrzenia są n iepewne .

Dane d la gazów odnoszą s ię do ich norma lne j pos tac i cząs teczkowe j , jak H 2 H e , O 2 Ne i td . War tośc i c iep ła właśc iwego gazów odpowiada ją przemianie pod s ta

c iśn ien iem.

Ź r ó d ł o : J . E m s l e y , The Elements, wyd . I I I , C la ren don P ress , Oxford 1998. Is tn ie je t łum . polsk ie : Chemia. Przewodnik po pierwiastkach, W y d a w n i c t w o N a u k o w e P W

Warszaw a 1997. Informac je o na jnowszych danych i now oodkr ytych p ie rw ias tkach m ożn a zna leźć na s t ronie : w w w . w e b e l e m e n t s . c o m .

A 16

Do date k F. Właściwości pierwiastkó w

http://www.webelements.com/

http://www.webelements.com/



iATEK

G

Układ okresowy p ie rw ias tków

metale

alkaliczne

LA

I

I I

I metale

I

1pólmetale

gazy

szlachetne

0

i 2

1

H

IIA ULA

IVAVA

V I A

V

LA

H e

3 5

6 8

9 10

2

L i

B e

metale przejściowe

i

B

c

N O

F

N e

?

i i

N a

12

M g

IIIBIYB

VBVB

VIB

YIIB

A

IB

IIB

A l

14

S i P

16

s

17

C l

u

A r

IIIBIYB

VBVB

VIB IB

IIB

19 20

21 22 23

24

25 26

27

28

29

3 0 3 1 3 2 33 3 4 3 5 3 6

4

K Ca

Sc

T i

V

C r M n F e C o N i C u

Z n

G a G e

A s Se

B r K r

38 39 4 0

41

42 4 3 M

=

46

47

4 S

49

50

51 52

$3

54

5

R b S r Y Z r N b M o T c R u R h P d

A g

C d I n S n S b T e I Xe

55 56 57-71

72 73

"4

75

76

77 78 79

80 81 82

83 84

85 86

6

C s B a

*

H f

T a

W

R e O s I r P t A u

H g

T l P b B i P o A t R n

57

88 89-103 104 105 106

107

108

109 1 1 0 n i

112 113

1 1 4

1 1 5 116

117

11S

7

F r R a

t

R f D b

S g

B h H s

M t

57

58 59 60 61

62

63

64

65

66

67

68

69 70

lantanowcc *

L a

C e P r N d P m S m E u G d

T b D y H o

E r

T m Y b

89 90 91

92

93

94

95

96

97 98 99

100

101 102

A c T h P a U

N p

P u A m C m B k

C f

E s F m M d

N o

N azw y p ierwias tk ów o l i czb ie a tomo wej od 104 do 109 (rutherford . dubn . seaborg , bohr . has i mei tner ) zos ta ły us ta lone pr ze / M

n a r o d o w ą L n i e C h e m i i C z y s t e j i S t o s o w a n e j

1UPAC

w 1997 roku . Pie rw iast ki o li c/ bi e at om ow ej 110 111.

112

114 i 116 zo st

odkryte , l ecz n ie nadano im jeszcze nazw. Informacje o najnowszych danych i nowo odkrytych p ierwias tkach można znaleźć na s t

w w w . w e b e l c m c n t s . c o m .

http://www.webelcmcnts.com/

http://www.webelcmcnts.com/



O D P O W I E D Z I

o s p r a w d z i a n ó w o r a z p y t a ń i z a d a ń

n u m e r a c h n i e p a r z y s t y c h

3

2 .

wprost pod prętem (w tym położeniu moment s i ły

F

g

,

3 .

a) nie; b) w punkcie przyłożenia s i ły

F\,

4 . a) w punkcie

5.

d

B; c) B

3 . a i c (równoważą się siły i

5 . m

2

= 12 kg, m

3

= 3 kg , niĄ = 1 kg 7. a) 15 N

9 .

A, potem B i C

3 .

a) (-27i + 2j) N; b) 176° w kierunku przeciwnym

+x 5 .

7920 N

) ( m g / I ) V i

2

+ r

2

; b)

mgr/L 9 .

a) 1160 N, w dół; b) 1740 N,

1 1 . 74 g 1 3 . a) 280 N; b) 880 N,

1 5 . a) 8010 N; b) 3,65 kN; c) 5,66 kN

. 71,7 N 1 9 . a) 5 N; b) 30 N; c) 1,3 m 2 1 . mg^/lrh - h

2

/(r -

2 3 .

a) 192 N; b) 96,1 N; c) 55,5 N

2 5 .

a) 6630 N; b) 5740 N;

2 7 .

2,2 m

2 9 .

0,34

3 1 .

a) 211 N; b) 534 N; c) 320 N

. a) 445 N; b) 0,5; c) 315 N

3 5 .

a) ześlizguje się dla kąta 31°;

3 7 .

a) 6,5 • 10

6

N / m

2

; b) 1,1 • 10 ~

5

3 9 .

a) 867 N; b) 143 N; c) 0,165

4 1 .

a) 51°; b) 0,64Mg

1 4

2 . a) 1, potem 2 i 4 razem, potem 3; b) odcinka

3 .

kierunek ujemny osi y 4. a) rośnie; b) ujemną

5 .

a) 2;

1

6.

a) 1 (mniejsze, czyli bardziej ujemne

E

daje mniejsze

a),

a

daje mniejsze

T)

3 .

3 G M

2

/ d

2

, w

lewo

5.

a ) 1 i 2 razem, potem 3 i 4 razem; b) 1 , 2 , 3 , 4

7.

E

9.

a) wszystkie razem; b) wszystkie razem

1 1 .

a-d) równe

Z A D A N I A

1 . 1 9 m

3 .

2 9 p N

5 .

1 /2

7. 2 , 6

•

1 0

5

k m

9 . 0 , 0 1 7

N, w kie

kul i o masie

3 0 0

kg

1 1 .

3 , 2 • 1 0 ~

7

N

1 3 .

^ [ l -

8 ( 1

i g

1 5 .

2 , 6 • 1 0

6

m

1 7.

b) 1 ,9 h

2 1 .

4 , 7 • 1 0

2 4

kg

2 3 .

a)

1 0 ^

7

N / k g ) m , b ) ( 3 , 3 • 1 0 ~

7

N / k g ) m , c ) ( 6 , 7 • 1 0 ~

7

N /

m))mr 2 5 . a)

9 , 8 3

m / s

2

; b )

9 , 8 4

m / s

2

; c)

9 , 7 9

m / s

2

2 7 . a)

-

1 0 ^

4

J; b) mniejsza; c) dodatnia; d) ujemna 2 9 . a) 0 , 7 4 ; b

m / s

2

;

c)

5

km/s 3 1 . a)

5 •

l O ^

1 1

J; b)

- 5

•

1 0 ~

N

J 3 5 . a)

m/s; b)

2 5 0

km; c )

1 4 0 0

m /s 3 7 . a)

8 2

km/s ; b)

1, 8

•

1 0

4

3 9 .

2 , 5 • 1 0

4

km

4 1 .

6 , 5 • 1 0

2 3

kg

4 3 .

5 • 1 0

1 0

4 5 .

a) 7 , 8 2

b ) 8 7 , 5 m i n

4 7 .

a) 6 6 4 0 km; b) 0 , 0 1 3 6

4 9 .

a ) 1 , 9 1 0

1 3

m ; b )

5 3 .

0 , 7 1

la t

5 5 .

JGM/L

5 7 .

a ) 2 , 8 l at ; b ) M 0 ~

4

6 1 .

a

b) takiej samej ; c) tak

6 3 .

a ) 7 ,5 km/s ; b) 9 7 min; c ) 4 1 0

d) 7 ,7 km/s ; e ) 9 2 min; f) 3 ,2

•

1 0 "

3

N; g) ni e; h) tak, jeśli

satel i ta-Ziemia uznamy za izolowany

Rozdzia ł 15

S P R A WD ZIA N Y

1 . wszystkie razem 2 . a) wszystkie razem (działająca na ping

siła ciężkości jest taka sama); b) 0 , 9 5a j , Po, i,i PO 3 . 1 3 c

na zewnątrz rury

4 .

a) wszystkie razem; b) 1 , potem 2 i 3 ra

potem 4 ( im szersza rura, tym m niejsza prędkość); c) 4 , 3

(im szersza rura i mniejsza jej wysokość, tym większe ciśni

PYTANIA

1 .

e, potem bid razem, potem a i c razem

3 .

a )

2 ;

b) 1 - mn i

3

- równa, 4 - większa

5 .

a) opadnie na dno; b) opadnie na

7. wszystkie razem 9. a) opuści się; b) opuści się; c) pozos

nie zmieniony

Z A D A N I A

1 . 1,1 • IO

5

Pa,

czyli

1,1 atm 3 . 2 , 9 • 1 0

4

N 5 .

0 , 0 7 4

7. b ) 2

9. 5 , 4 - 1 0

4

Pa 1 1 . a) 5 , 3 - 1 0

6

N; b) 2 , 8 - 1 0

5

N; c) 7 , 4 - 1 0

5

N; d

1 3 . 7 , 2 - 1 0

5

N

1 5 .

^pgS(h

2

-hi)

2

1 7.

1,7 km

1 9 .

a) pgW

b) pgWD

3

/6 ; c) D/3

2 1 .

a ) 7 ,9 km; b) 1 6 km

2 3 .

4 , 4

25 .

a)

2 , 0 4

• 1 0 ~

2

m

3

; b )

1 5 7 0

N

2 7 .

a)

6 7 0

k g / m

3

; b)

7 4 0

k

29 .

a) 1,2 kg; b)

1 3 0 0

k g / m

3

3 1 .

5 7 , 3 cm

3 3 .

0 , 1 2 6 m

3

3 5 .

a

m

2

; b) tak, samochód należy postawić w pobliżu środka tafli ,

była ona pozioma 3 7 . a) 9 ,4 N ; b) 1,6 N 3 9 . 8 ,1 m/s 4 1



W

4 3 .

a) 2,5 m/s; b) 2,6 • 1 0

5

Pa

4 5 .

a) 3,9 m/s; b) 88 kPa

4 7. a) 1,6 • 1 0 "

3

m

3

/s; b) 0,90 m

4 9 .

116 m/s

5 1 .

a) 6,4 m

3

;

b) 5,4 m/s; c) 9,8 • 1 0

4

Pa

5 3 .

a) 74 N; b) 150 m

3

5 5 .

b) 2-10~

2

m

3

/ s

5 7 .

b) 63,3 m/s

59 .

a) 180 kN; b) 81 kN; c) 20 kN; d) O,

e) 78 kPa, f) nie 6 1 . a) 0,05; b) 0,41; c) nie; d) połóż się na

plecach, powoli wyciągnij nogi z płynu i przetocz się na brzeg

Rozdz ia ł

16

SPRAWDZIANY

1 . (naszkicuj zależność x od f). a) —

x

m

;

b ) + x

m

; c) x = 0

2 .

a

(F

musi mieć postać zgodną ze wzorem (6.10))

3 .

a) 5 J; b) 2 J;

c) 5 J

4 .

wszystkie okresy są jednakowe (we wzorze (16.29) m

jes t ukryte w / ) 5. 1, 2, 3 (istotny jest stosunek m/b, wartość k

nie ma znaczenia)

PYTANIA

1 .

c

3 .

a) 2; b) dodatnia; c) w przedziale od 0 do x

m

5.

a) w

kierunku — x

m

; b) w kierunku +x

m

; c) w przed ziale od — x

m

do

0; d) w przedziale od —

x

m

do 0; e) maleje; f) rośnie

7 .

a)

TC

rad;

b) T: rad; c) jt /2 rad

9.

a) zmienne; b) zmienna; c) x = ±x

m

;

d) bardziej prawdopodob ny 1 1 . b (okres nieskończenie długi, brak

drgań),

c, a 1 3 . jeden układ: k = 1500 N/m , m = 500 kg; drugi

układ: k = 1200 N/m, m = 400 kg; ten sam stosunek k/m = 3

daje rezonans obu układów

ZADANIA

I .

a) 0,5 s; b) 2 Hz; c) 18 cm

3 .

a) 0,5 s; b) 2 Hz; c) 12,6 rad/s;

d) 79 N/m; e) 4,4 m/s; f) 27,6 N 5. v > 500 Hz 7. a) 6,28 •

1 0

5

rad/s; b) 1,59 mm

9 .

a) 1 mm; b) 0,75 m/s ; c) 570 m/s

2

I I .

a)

1.29-10

5

N /m; b) 2,68 Hz

1 3 .

7,2 m/s

1 5 .

2,08 h

1 7.

3,1 cm

1 9.

a) 5,58 Hz; b) 0,325 kg; c) 0,4 m

2 1 .

a) 2,2 Hz; b) 56 cm/s;

c) 0,1 kg; d) 20 cm poniżej y

p o c z

2 3 .

a) 0,183A; b) w tym

samym kierunku 2 9 . a) (n + l)k/n; b) (n + \)k; c)

V (

+

l

) / « v ;

d) V n

~ + T v .

3 1 . 37 m j 3 3 . a) 2,25 Hz; b) 125 J; c) 250 J;

d) 86,6 cm

3 5 .

a) 130 N/m; b) 0,62 s; c) 1,6 Hz; d) 5 cm;

e) 0,51

m /s 3 7. a)

3/4;

b) 1/4;

c )

x

m

/V2 3 9. a)

16,7 cm;

b) 1,23%

4 1 .

a) 39,5 rad/s; b) 34,2 rad/s; c) 124 rad /s

2

4 3 .99 cm 4 5 . 5,6 cm

4 7 . a) 2k /

z

-

2

+

2

; b) w zrośnie dla d < L/*J\2, zmaleje dla

d > L/VT2; c) rośnie; d) nie zmieni s ię

4 9 .

a) 0,205 kg • m

2

;

b) 47,7 cm; c) 1,5 s 5 3 . 2n /mj3k 55. a) 0,35 Hz; b) 0,39 Hz;

c) 0

57 .

b) mniejsza

5 9 .

0 , 3 9

6 1 .

a) 14,3 s; b) 5,27

63 .

a ) F

m

/bco;

b) F

m

/b

Rozdz ia ł

1

7

SPRAWDZIANY

1 . a, 2; b, 3; c, 1 (porównaj z fazą w wyrażeniu (17.2), następ

nie patrz wzór (17.5))

2 .

a) 2, 3, 1 (patrz wzór (17.12)); b) 3,

nas tępnie 1 i 2 razem (znajdź ampli tudę wielkości dy/ dr ) 3 . a) po

zostanie taka sama (jest niezależna od v); b) zmaleje (X = v/v);

c) wzrośnie; d) wzrośnie

4 .

a) wzrośnie; b) wzrośnie; c) wzro

śnie

5.

0,2 i 0,8 razem, a następnie 0,6, 0,45

6.

a) 1; b) 3; c) 2

7.

a) 75 Hz; b) 525 Hz

PYTANIA

1 . 7 d

3 .

a) T T

/ 2

rad, czyli 0,25A; b)

TC

rad, czyli 0,5X; c ) 3 n /

czyli 0,75A; d) 2

T C

rad, czyli IX ; e ) 3T/4; f ) T/2.

5.

a) 4;

c) 3

7.

a i d razem, następnie b i c razem

9.

d

1 1 .

a)

mniejsze; b) zanika znacznie wcześniej

ZADANIA

1 . a) 3,49 nT

1

; b) 31,5 m/s

3 .

a) 0,68 s; b) 1,47 Hz; c) 2,0

7.

a) y(x,t) = 2s in2:rc(0, lx — 400f) , gdzie x i y jest

żone w cm, a / w s; b) 50 m/s; c) 40 m/s

9.

a) 11,7

b)

TC

ra d 1 1 . 129 m/s 1 3 . a) 15 m/s; b) 0,036 N 1 5 . y(x,

0,12s in(141x + 628?) , gdz ie

y

jes t wyrażone w mm,

i w

t w s

1 7.

a) 2ny

m

/X; b) nie

1 9.

a) 5 cm; b) 40 cm; c) 12

d) 0,033 s; e) 9,4 m/s; f) 5sin(16x + 190/ + 0,93), gdzie

wyrażone w m, y w cm, a / w s

2 1 .

2,63 m od tego końca

z którego wygenerowano późniejszy impuls

25 .

a) 3,77

b) 12,3 N; c) 0; d) 46,3 W; e) 0; 0 0 ; g) ±0 ,5 cm 2 7 .

29.

5 cm

3 1 .

a) 0,83yi ; b) 37°

3 3 .

a) 140 m/s; b) 60 cm; c) 2

3 5 .

a) 82 m/s; b) 16,8 m; c) 4,88 Hz

3 7 .

7,91 Hz, 15,

23,7 Hz

3 9 .

a) 105 Hz; b) 158 m/s

4 1 .

a) 0,25 cm; b) 120

c) 3 cm; d) 0

4 3 .

a) 50 Hz; b) y = 0 , 5 s i n[7 t ( x ± 1

gdzie

x

jes t wyrażone w m,

y

w cm, a / w s

4 5 .

a) 1

b) y = 0 ,002 s in(9 ,4x )cos (38 00/ ) , gdz ie x i y jes t wyr

w m, a / w s 4 7 . a) 2 Hz; b) 200 cm; c) 400 cm/s; d) 5

150 cm, 250 cm itd.; e) 0 cm, 100 cm, 200 cm itd

5 1 .

a) 32

b) osiem

Rozdz ia ł 18

SPRAWDZIANY

1 .

Zaczyna maleć (przykład: wyobraź sobie ruch krzywyc

rys. 18.7 na prawo przez punkt x = 42 cm)

2 .

a) 0, cał

cie konstruktywna; b) 4A., całkowicie konstruktywna

3 .

a)

razem, następnie 3 (patrz wzór (18.28)); b) 3, następnie 1 i

zem (patrz wzór (18.26)) 4 . druga (patrz wzory (18.39) i (1

5.

poluzować

6.

a) większa; b) mniejsza; c) nic nie możn

wiedzieć; d) nic nie można powiedzieć; e) większa; f) mn

7.

(prędkości należy mierzyć względem powietrza) a) 222

b) 222 m/s .

PYTANIA

1 . impuls wzdłuż drogi 2 3 . a) 2 długości fali; b) 1,5 dłu

fali;

c) całkowicie konstruktywna (a), całkowicie destruktywn

5.

a) maksymalnie niezgodne w fazie; b) maksymalnie niez

w fazie

7.

a) 1; b) 9

9 .

a) wzrosną; b) zmaleje

1 1 .

wsz

nieparzyste harmoniki

1 3 . d, e, b, c, a

ZADANIA

I .

należy podzielić liczbę sekund przez trzy

3 .

a) 79 m,

b) 89 m

5.

1900 km

7.

40,7 m

9.

a) 0,0762 mm; b) 0,33

I I .

a) 1,5 Pa; b) 158 Hz; c) 2,22 m; d) 350 m/s

1 3 .

a) 34

2m) Hz, gdzie m liczba całkowita z przedziału od 0 d

b) 686m Hz, gdzie m liczba całkowita z przedziału od 1

1 5 .

a) 143 Hz, 429 Hz, 715 Hz; b) 286 Hz, 572 Hz, 85

1 7. 15 mW 1 9. 36,8 nm 2 1 . a) 1000; b) 32 2 3 . a) 59,7; b)

1 0 "

4

2 5 .

b) 5,76 • 1 0 ~

1 7

J /m

3

27 .

b) (d ługość)

2

2 9 .

a) 520

B 2 Odpo wiedzi



amplituda^/io /amplituda^ B o = 2

31.

a) 57,2 cm; b) 42,9 cm

. a) 405 m/s; b) 596 N; c) 44 cm; d) 37,3 cm

35.

a) 1129, 1506 i

37.

12,4 m

39.

a) węzła;-c) 22 s

41.

45,3 N

43.

387 Hz

.

0,02 47. 17,5 kHz 49. a) 526 Hz; b) 555 Hz 51. a) 1,02 kHz;

53. 155 Hz 55. a) 485,8 Hz; b) 500 Hz; c) 486,2 Hz;

57. a) 598 Hz; b) 608 Hz; c) 589 Hz 59. a) 42°; b) 11 s

19

2. a) 2 i 3 równe,

1, na koniec 4; b) 3, 2, następnie 1 i 4 równe (na pod

3. A

(patrz rów

4.

c

i

e

(przy przejściu zgodnym z kierunkiem

(AE„

zależy tylko od stanów

P

i

K,

a nie od

lizacji przemiany); b) 4, 3, 2, 1 (porównaj powierzch

6.

a) 0

(W

ma wartość

ujemną;

patrz rów

7. b i d równe, następnie a, c (strumień

P

p r z e

w ma

3. A i fi równe, następnie

C, D

5. a) oby

l.c,a,b 9.

kula,

11. a) równa; b) całkowicie ciekła; c) częściowo

3. 348 K 5. a) - 40 ° ; b) 575°; c) skale Celsju

7. a) wymiar

9. -92 ,1°X 11. 960 u.m 13. 2,731 cm

29 cm

3

17.

0,26 cm

3

19.

360°C

23.

0,68 s/h, spieszy się

7,5 cm

27.

a) 523 J/(kg • K) ; b) 26,2 J/(mol • K) ; c) 0,6

29. 42,7 kj 31. 1,9 razy większa 33 . a) 33,9 Btu; b) 172°F

160 s 37. 2,8 dnia 39. 742 kJ 41. 82 cal 43. 33 g 45. a) 0°C;

47. 8,72 g 49.

A:

120 J, fi: 75 J, C: 30 J 51. -30 J

a) 6 cal; b) - 4 3 cal; c) 40 cal; d) 18 cal, 18 cal 55. a) 0,13 m;

57. 1660 J/s 59. a) 16 J/s; b) 0,048 g/s 61. 0,5 min

a) 17 kW/m

2

; b) 18 W/m

2

65.

0,4 cm/h

67.

a) 90 W;

2. a) wszystkie razem; b) 3, 2, 1 3. dla

A 4.

5 (największa zmiana

T),

następnie jednakowe zmiany

3 i najmniejsza dla 4

5.

1, 2, 3

(Q

3

=

0,

Q

2

powo

W

2

, ale <2t powoduje wykonanie większej

W

{

i wzrost temperatury gazu)

PYTANIA

1 . wzrasta mniej niż dwa razy

3.

największa w przypadku

następnie b, na koniec d 5. od 1 do 4 7. 20 J 9. a) 3; b) 1

d) 2; e) tak 11. a) 1, 2, 3, 4; b) 1, 2, 3

Z A D A N I A

1 . 0,933 kg

3.

6560

5.

a) 5,47 • 10~

8

mol; b) 3,29

7. a) 0,0388 mol; b) 220°C 9. a) 106; b) 0,892 m

3

11.

A

7",)

-

B(T

2

2

-

7,

2

)

13.

5600 J

15.

100 cm

3

17.

2 • 1

1 9. 180 m/s 21. 9,53 • 10

6

m/s 23. 1,9 kPa 25. 3,3 • 1

27 . a) 6,75 • 10 ~

2 0

J; b) 10,7 31. a) 6 • 10

9

km 33. 1

3 5 . a) 3,27 • 10

1 0

; b) 172 m

37.

a) 6,5 km/s; b) 7,1

3 9 . a) 1 • 10

4

K; b) 1,6 • 10

5

K; c) 440 K, 7000 K; d

doru — nie; tlenu — tak 41. a) 7 km/s; b) 2 • 1 0

-

c) 3,5 • 10

1 0

zderzeń/s 43. a) |u

0

; b)

N/3;

c) 122u

0

; d)

4 5 . / e r i n ( V

k o ń c

/ V

p o c z

)

47. ( md

+n

2

C

2

+ n

3

C

3

)/(n, +

4 9. a) 6,6 • 10 "

2 6

kg; b) 40 g/mol 51. 8000 J 53. a) 69

b) 4990 J; c) 1990 J; d) 2990 J 55. a) 14 atm; b) 620 K 59

61 . a) W dżulach, w kolejności

Q,

A£

w

, W: 1^2: 3740, 37

2 ^ 3 :

0, -1810, 1810; 3->-l: -3220, -1930, -1290;

520,

0, 520; b V

2

= 0,0246 m

3

, p

2

= 2 atm, V

3

= 0,037

p

= 1 atm

Rozdział

SPRAWDZ IANY

a, b, c mniejsza Q ma mniejszą wartość) 3. c, b, a

d, c, b 5. b

PYTANIA

I. nie zmienia się 3. b, a, c, d 5. taka sama 7. a) pozostaje

b) wzrasta; c) maleje 9. a) pozostaje stała; b) wzrasta; c) m

I I . a) 0; b) 0,25; c) 0,5

Z A D A N I A

1 .

14,4 J/K 3. a) 9220 J; b) 23 J/K; c) 0 5. a) 5,79 •

b) 173 J/K 7. a) 14,6 J/K; b) 30,2 J/K 9. a) 57°C; b)

J/K; c) +24,9 J/K; d) +2,8 J/K 13. a) 320 K; b) 0; c) +1,7

1 5. +0,75 J/K 17. a) -9 43 J/K; b) +943 J/K; c) tak 19. a)

b) A £

w

= 6RT

0

, AS = | i? l n2 ; c) obydwie wielkości nie u

zmianie

21.

a)

3 1 % ;

b) 16 kj

23.

a) 23,6%; b)

1,49-10

4

J

25

K i 341 K

27.

a) 1470 J; b) 554 J; c) 918 J; d) 62,4%

29.

a)

J; b) 14 800 J; c) 15,4%; d) 75%, większa 31. a) 78%; b) 81

3 3 .

a)

T

2

= 3T

U

T

3

=

3T

x

/Ąy-\ T

Ą

=

r ^

1

,

p

2

=

3p

u

3/>i/4>\

p

4

= p\/\

y

;

b) 1 - 35. 21 J 37. 440 W 39.

KM 4l

.[l-(T

2

/T

l

)]/[l-(T

Ą

/T

3

)]

45.a )

W

= N\/(

ni

\n

b) [(/V/2) (A'/2) ]/[(/V/3) (/V/3) (/V/3) ]; c) 4,2 • 10

1 6



O Z D Z I A Ł

1 3

Fred Hirschmann/Allstosk/© Tony Stone Images/New York,

Druk za zgodą: Micro-Measurements Division, Measurements

O Z D Z I A Ł

1 4

14.21 — Druk za zgodą: National Radio Astronomy Observatory.

15

1 6

R O Z D Z I A Ł 17

Strona 122 — John Visser/Bruce Coleman, Inc. Rys. 17

Richard Megna/© Fundamental Photographs. Rys. 17.22 —

za zgodą: T.D. Rossing, Northern Illinois University.

R O Z D Z I A Ł 1 8

Strona 154 — Stephen Dalton/ Animals Animals. Rys. 1

Howard Sochurak/The Stock Market. Rys. 18.22 — Zdjęc

Navy, wykonane przez: John Gay.

R O Z D Z I A Ł 19

Strona 187 — Druk za zgodą: dr Mosato Ono, Tamagaw

versity. Rys. 19.9 — AP/© Wide World Photos. Rys. 19

Druk za zgodą: Daedalus Enterprises, Inc. Rys. 19.22 — D

zgodą: dr Masato Ono, Tamagawa University.

R O Z D Z I A Ł 2 0

Strona 224 — Tom Branch.

R O Z D Z I A Ł 21

Strona 259 — Steven Dalton/© Photo Researchers. Rys. 21

Richard Ustinich/The Image Bank.



S K O R O W I D Z

A

amplituda 95, 113, 126, 147

— fali stojącej 144

wypadkowej 139

— przemieszczenia 159, 179

— zmian ciśnienia 160, 179

kąta 105

prędkości 114

przyspieszenia 114

B

, współczynnik wydajności

274

199 - 201 , 215

molowe 199 , 215 , 242-243 , 244 ,

252

gazu doskonałego 239-243

przy stałej objętości

2 4 0 - 2 4 2

przy stałym ciśnieniu

2 4 2 - 2 4 3

ciężar pozorny 73-74 ,

c i śn ien ie 61 , 63 , 64 , 66 , 67 -69 , 83 , 190 ,

230-232 , 252

— atmosferyczne 66, 67, 191

— hydrostatyczne 64

cykl 94, 267

— Carnota 268

— termodynamiczny 205

czarna dziura 27

czas 126

czasoprzestrzeń 49

cząsteczka 124

cząstka 123

— elementarna 124

częstość 94, 113, 127-128, 160

— dudnień 172

— fal i 125-128, 133, 147

— kołowa 96, 98, 105, 113, 114, 127-128,

147, 159

— rezonansowa 145, 148, 168

czoło fali 155

D

decybel 165, 180

detektor 174-176

długość fal i 125-128, 133, 147, 160

Doppler J .Ch. 173

drgan ia 94-114

— swobodne 112

— tłumione 94, 110

— wymuszone 112-113 , 114

droga 39-40

Droga Mleczna 27 , 28

dudnienie 171-172, 180

dżul 198

E

Einstein A. 48

ekwipar tycja energii 245

elektron 124

energia 46^17, 52, 114

— fal i biegnącej w l inie 134-13

— kinetyczna 46, 47, 134, 252

ruchu postępowego 233

— mechan iczna 46 , 47

— potencjalna 40, 46, 51

grawitacyjna 37-41

sprężystości 134-135

— termiczna 80, 188, 197

— wewnętrzna 205, 240

— w ruchu harmonicznym 100-

en t rop ia 259 , 265-266 , 273 , 281

F

fala 122-180

— biegnąca 125, 143, 147

— dźwiękowa 123, 155, 178

biegnąca 159-161

— elektromagnetyczna 123

— mater i i 124

— mechaniczna 123, 155

— podłużna 124-125 , 146 , 154

— poprzeczna 124-125, 146, 15

— radarowa 123

— radiowa 123

— sejsmiczna 123

— sferyczna 155

— sinusoidalna 124, 147

wypadkowa 138

— stojąca 142-146, 148, 180

— świetlna 123

— telewizyjna 123

— uderzen iowa 178-180

— wypadkowa 137, 143

faza 96, 126, 147

— początkowa 96, 113



j ednoa tomowy 240

, rozprężanie adiabatyczne 247-250

6 2 - 6 3 ,

83

4 8 - 5 1 ,

52

— falowa 126, 127, 160

— harmoniczna 146

— Macha 178

linie prądu 76, 84

Lokalna Grupa Galaktyk 28

M

manomet r o twar ty 68-69

— rtęciowy 190

Mars 42, 44

masa 61, 133, 157

— cząsteczkowa 225

— molowa 225

Maxwell J .C. 236, 245

mechanika s tatys tyczna 276

Merkury 44

metoda Heimlicha 69

mikrofale 123

mikrostan 282

mimośród 42

moc 212

— absorbowana 212

— fali biegnącej w linie 134-136, 147

moduł sprężystości 15, 18

— ścinania 16, 19

— ściśliwości 16-17, 19, 156, 179

— Younga 15, 16, 19

mol 225

moment kierujący 102

— pędu 2

N

nadciśnienie 66

naprężenie 15, 18

— niszczące 15, 16

— objętościowe 14, 15, 16-17, 19

— rozciągające 14, 15

— ścinające 14, 15, 16, 19

natężenie dźwięku 164-166, 179

Neptun 44

Newton I . 28, 42

O

odbicie od granicy 144

odkształcenie 15, 18

ogólna teoria względności 49, 52

ogniskowanie grawitacyjne 50

okres 95, 98, 105, 113, 114, 127-128,

147, 160

opór cieplny 209

orbi ta 46-47

— el iptyczna 47

— kołowa 47

oscylator harmoniczny 98, 114

kątowy 102

— t łumiony 110

P

parowanie 200

Pascal B. 69

paskal 191

pęd 2, 3, 4

plane ta 42-44

Pluton 44

płyny 60-84

— doskona łe 75-76, 80 , 84

— rzeczywis te 75

— w spoczynku 64-66

pływanie ciał 73

pochłanianie ciepła 198-201

pojemność cieplna 198, 215

położenie 126

półoś wielka 42

praca 39^10, 202-2 05, 206, 215. 227

252,

269

prasa hydraul iczna 70-71

prawo Archimedesa 71-74, 84

— Hooke 'a 98

— Keple ra 42-44, 52

— Pascala 6 9 - 7 1 , 84

— powszechnego ciążenia 28-30, 40

51

prędkość 133, 160

— cząsteczek 252

— dźwięku 155-158, 179

— fali 133, 147

biegnącej 128-129

w napiętej l inie 131-133, 147

— kątowa 43

— naddźwiękowa 178-179

— na jbardz ie j prawdopodobna 237-

— ś rednia 237-238

kwadra towa 230-232, 237-2

252

— światła 123

— ucieczki 4 0 - 4 1 , 52

— w ruchu harmonicznym 96-97, 1

proces cykl iczny 207, 215

promieniowanie 211-212, 215

— rentgenowskie 123

proton 124

przekazywanie c iepła 209-212

przemiana adiabatyczna 206-207, 2

248 , 253

— nieodwracalna 2 6 0 - 2 6 1 , 266, 281

— przy stałej objętości 207, 215

— te rmodynamiczna 202

przemieszczenie 95, 96, 113, 126, 12



przenoszenie energii 135

przepływ bezwirowy 76

— nielepki 75

— nieściś l iwy 75

— nieustalony (turbulentny) 75

— ustalony 75, 76

przestrzeń międzygalaktyczna 28

przesunięcie fazowe 138

przewodnictwo cieplne 209, 215

przewodzenie c iepła przez płytkę wielo

wars twową 210-211

przyspieszenie 133, 157

— dośrodkowe 44, 47

— grawitacyjne (ziemskie) 33, 51, 106

— w ruchu harmonicznym 97, 114

punkt potrójny wody 190

R

rezonans 112-113, 114, 144-146, 148

rozciąganie 15-16, 18

rozkład Maxwella 236, 252

— prędkości cząs teczek 236-238

rozprężanie izotermiczne 227

— swobodne 207, 215, 250

rozszerzalność cieplna 194—196, 214

— liniowa 195

, współczynnik 195, 214

— objętościowa 195-196

, współczynnik 195, 214

równanie Bernoułl iego 79-82, 84

— ciągłości 76-78, 80, 84

— stanu gazu doskonałego 226

równowaga 2-3

— momentów sił 4, 18

— sił 3, 4, 18

— statyczna 2, 7, 18, 65

nietrwała 2

trwała 2

— , warunki 3^ t

różnica faz 138, 139

ruch harmoniczny 94, 108-109, 113, 114

pros ty 94-97

t łumiony 1 1 0 - 1 1 1 , 114

— jednosta jny po okręgu 108-109, 114

— obrotowy 3

— okresowy 95

— postępowy 3

satelita 42^17

Saturn 44

s i lnik 267-272, 279

— Car no ta 267-270

, sprawność 270-271

— idealny 267, 281

— Stir l inga 271-272

siła 40, 61, 133

— ciężkości 5, 28, 51

wypadkowa 30, 36, 51

— lepkości 80

— normalna 34

— oporu 110

lepkiego 75

— tarcia 12

— w ruchu harmonicznym 98

— wypadkowa 157

— wyporu 71, 73, 74

skala Celsjusza 192, 214

— Fahrenheita 192, 214

— głośności 165-166, 180

— KeMna 188, 189. 214

skraplanie 200

Słońce 27, 41

sprawność cieplna silnika 270

— si lników rzeczywis tych 275-276

sprężanie izotermiczne 227

sprężystość 14—19, 98

stała Boltzmanna 226, 252

— gazowa 226, 252

— grawitacyjna 29, 51

— Stefana-Boltzmanna 212

— tłumienia 110

Stefan J. 212

s topnie swobody 244-246, 252

stożek Macha 177, 180

struga prądu 78, 84

strumień masy 78, 84

— objętościowy 78, 84

substancja robocza 267

Supergromada Lokalna 28

suw 267

Syriusz 41

szereg harmoniczny 146

szybkość przenoszenia energi i 135-136

— przepływu masy 78, 84

objętości 78, 84

ściskanie 15-16, 18

— objętościowe 17

średnia droga swobodna 233-235,

252

środek ciężkości 5-7, 18

— masy 5

światło nadfioletowe 123

— słoneczne 238

— widzialne 123

tem pera tu ra 187-215 , 230-2 32 , 252

— bezwzględna 188

— , pomiar 189-1 92

teoria grawitacji 48

— sprężystości 13

termodynamika 188

termometr 189, 214

— gazowy 190-192

termoskop 188, 189

U

Układ Słoneczny 27

układy nieoznaczone 12-13

Uran 44

W

wahadło 103-106, 114

— fizyczne 105-106, 114

— matematyczne 104-105, 114

— torsyjne 102, 114

Wenus 44

węzły 142, 148

Wielka Mgławica w Andromedzie 28

Wielki Atraktor 28

— Obłok Magellana 28

wskazy 1 4 0 - 1 4 1 , 147

Wszechświat 28

wzór Boltzmanna 277

— Stir linga 280

zapadanie grawitacyjne 27

zasada równoważności 48-49, 52

— superpozycji 30, 51

fal 136-137, 147

— zachowania momentu pędu 43, 44

zasady dynamiki Newtona 3, 29, 132-13

— te r m odynam ik i 187-215 , 259-282

zderzenie 234

zdolność emisyjna 212

zero bezwzględne 188

zerowa zasada termodynamiki 188-189

214

Ziemia 27, 41, 44

zjawisko Dopplera 173-177, 180

zmiana entropi i 261-263, 269, 281

źródło 174-176

— dźwięków 168-170

— punktowe 155



David Halliday

Robert Resnick earl

Walke

P O D S T A W Y F I Z Y K I , t. 1-5

h t t p : / / a n e k s y , p w n . p l / p o d s t a w y f i z y k i

Doskonałe uzupełnienie i rozszerzenie

materiału zawartego w podręczniku.

Dz ia ły aneksu

Pajęczyna fizyki - schemat pow iązań m iędzy r óżnymi dz ia łam i f i zyk i

Wyprowadzenia i dowody, których nie znajdziesz w ksiqżce

- n o w e , n i e k o n w e n c j o n a l n e w y p r o w a d z e n i a w z o r ó w i d o w o d ó w

Linki edukacyjne - li s ta różnych ad resó w c iekaw ych

st ron in te rne towych zw iązanych z tem atyką ks iążk i

Zadaniowy wypas - z a b a w n i e i c i e k a w ie s f o r m u ł o w a n e

z a d a n i a i p r o b l e m y do r ozw iązan ia

Dla wykładowców - do

wyko rzys tan ia

na

w y k ł a d a c h : r y s u n k i ,

zd jęc ia , t abe le , schematy i l us t r u jące zagadn ien ia z pod ręczn ika

Zapytaj Matrixa -

f o rum dyskusy jne

Słowniczek polsko-angielski - s łown ik po jęć i t e rm i

f izycznych u ła tw ia jący poruszan ie

się po

ang ie lsko języcz

st ronach in te rne towych

http://aneksy/

http://aneksy/



W y b r a n e s t a ł e f i z y c z n e *

prędkość świa t ła

c 3,00 • 1 0

8

m/s

stała grawitacyjna

G 6,67 • I O "

1 1

m

3

/(s<

stała Avogadra

N

A

6,02 • 1 0

2 3

m o r

1

uniwersa lna s ta ła gazowa R

8,31 J/(mol • K )

energe tyczny równoważnik masy

c

2

8,99

•

1 0

1 6

J/kg

931 ,5 M e V /u

stała elektryczna

B()

8,85 • 1 0 - '

2

F/m

sta ła magnetyczna

Mo

1,26

•

I O "

6

H /m

stała Plancka

h

6,63 • 1 0 ~

3 4

J- s

4 ,14

•

I O "

1 5

eV

•

s

s ta ła Bol tzmanna k

1,38

•

1 0 ~

2 3

J/K

8,62 • I O "

5

e V /K

ładunek e lementarny e

1,60- 10"

1 9

C

masa e lekt ronu

m

e

9 ,11 • i 0 ~

3 1

kg

masa protonu m

p

1,67 • I O "

2 7

kg

m asa neu tron u m„ 1,68 • I O "

2 7

kg

masa deute ronu m

d

3,34

•

I O "

2 7

kg

prornień Bohra

r

B

5,29 • 1 0 - " m

ma gne ton B ohr a

M B

9,27

•

I O "

2 4

J/T

5,79 • I O "

5

e V /T

sta ła Rydberga

R

0 , 0 1 0 9 7 n m - '

•kg)

* Obszern ie j szy sp is s ta łych f izycznych , zawiera jący także wartośc i na jbardzie j dokładne oraz

i c h n i e p e wn o śc i , p rz e d s t a wi o n y j e s t w d o d a t k u B .

W y b r a n e w s p ó ł c z y n n i k i z a m i a n y j e d n o s t e k *

Masa i gęstość

1 kg = 1000 g = 6,02 •

i u = 1,66 • I O "

2 7

kg

1 k g / m

3

= 10~

3

g / c m

3

1 0

2 6

Długość i objętość

1 m = 100 cm = 39,4 in = 3,28 f t

1 mila = 1,61 km = 5280 ft

1 in = 2,54 cm

1 nm = 10~

9

m = 10

A

1 p m = I O "

1 2

m = 1000 fm

1 rok świetlny (y) = 9,46

•

1 0

1 5

m

1 m

3

= 1000

1

= 35,3 f t

3

= 264 ga lony amerykańskie

C za s

1 d = 86 400 s

1 a

3 6 5 ^ d :

3 . 1 6 - 1 0

7

s

Miara łukowa kąta

Prędko ść

1 m/s = 3,28 ft/s = 2,24 mili/h

1 km/h = 0,621 mili /h = 0,278 m/s

Siła i ciśnienie

1 N = 10

5

dyn = 0,225 funta

1 Pa = 1 N/m

2

= 10 dyn /c m

2

1 atm = 1,01 • 10

5

Pa = 76 cm Hg

Energia i moc

1 J = 10

7

ergów = 0,239 cal

1 kWh = 3,6

•

1 0

6

J

1 cal = 4,19 J

1 eV = 1,60- 10~

1 9

J

1 K M = 746 W

M a g n e t y z m

1 T = 1 W b/ m

2

= 1 0

4

G s

resnick halliday walker - podstawy fizyki 2

Documents