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Halliday & Resnick

Mecânica

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Fundamentos de Física

Volume 1

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Energia Cinética e Trabalho

Capítulo 7

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Fundamentos de Física – Mecânica – Vol. 1

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7-1 Energia Cinética





7.01 Aplicar a relação entre a energia cinética, a massa e a velocidade de uma partícula.

7.02 Saber que a energia cinética é uma grandeza escalar.

Objetivos do Aprendizado





Para produzir qualquer tipo de movimento, é preciso energia

Energia:

o É uma grandeza escalar atribuída a um objeto ou a um sistema de objetos

o Pode ser convertida de uma forma para outra

o É conservada em um sistema fechado, ou seja, em um sistema fechado, a quantidade total de energia não varia

Neste capítulo será discutido um tipo de energia, a energia cinética

Será discutido também um método de transferir energia, o trabalho





Energia cinética:

o Quanto mais depressa um objeto se move, maior a sua energia cinética

o A energia cinética é zero para um objeto em repouso

Para um objeto com uma velocidade v muito menor que a velocidade da luz,

A unidade de energia cinética é o joule (J)

Eq. (7-1)

Eq. (7-2)





Exemplo Energia liberada na colisão de duas locomotivas de peso conhecido, dadas a distância inicial e a aceleração a partir do repouso

o Velocidade final das locomotivas:

o

o Massa das locomotivas:

o Energia cinética:




7-2 Trabalho e Energia Cinética





7.03 Conhecer a relação entre uma força e o trabalho realizado pela força sobre uma partícula quando a partícula sofre um deslocamento.

7.04 Obter o valor do trabalho calculando o produto escalar do vetor força pelo vetor deslocamento.

7.05 Calcular o trabalho total realizado por várias forças sobre uma partícula.

7.06 Usar o teorema do trabalho e energia cinética para relacionar o trabalho realizado por uma força (ou pela resultante de várias forças) à variação da energia cinética de uma partícula.






Variações de energia cinética são explicadas dizendo que uma força transferiu energia do objeto ou para o objeto

Em uma transferência de energia por meio de uma força, o trabalho é

o realizado por uma força sobre um objeto

Esse não é o sentido popular da palavra “trabalho”

o Para realizar trabalho, é preciso transferir energia

o Chutando uma bola, realizamos trabalho

o Empurrando uma parede sem deslocá-la, não realizamos trabalho




Partimos das equações da força e da velocidade:

Combinando as duas equações, obtemos

Como o lado esquerdo é a variação de energia, o trabalho é


Eq. (7-4)

Eq. (7-6)

Eq. (7-3)

Eq. (7-5)




Se a força e o deslocamento fazem um ângulo φ,

A mesma equação pode ser escrita como um produto escalar:

Nessas equações,

o a força é constante

o o objeto se comporta como uma partícula

o o trabalho pode ser positivo ou negativo


Eq. (7-8)

Eq. (7-7)





Figura 7-2

A unidade de trabalho do SI é o joule (J), a mesma da energia

No sistema inglês, a unidade é o pé-libra (ftlb)





No caso de duas ou mais forças, o trabalho total é a soma dos trabalhos realizados por todas as forças

O trabalho total pode ser calculado de duas formas:

Podemos calcular os trabalhos realizados individualmente pelas forças e somar os resultados

Podemos determinar a força resultante e calcular o trabalho realizado por essa força




De acordo com o teorema do trabalho e energia cinética,

(variação de energia cinética) = (trabalho total)

e também

(EC final) = (EC inicial) + (trabalho total)


Eq. (7-10)

Eq. (7-11)





O teorema do trabalho e energia cinética é válido para trabalhos positivos e para trabalhos negativos

Exemplo Se a energia cinética de uma partícula for 5 J

o e a partícula receber uma energia de 2 J (trabalho positivo)

• a energia cinética final será 7 J

o e a partícula fornecer uma energia de 2 J (trabalho negativo)

• a energia cinética final será 3 J





Respostas: (a) diminui (b) permanece a mesma

(c) é positivo (d) é nulo




7-3 Trabalho Realizado pela Força Gravitacional





7.07 Calcular o trabalho realizado pelo campo gravitacional quando um objeto é levantado ou abaixado.

7.08 Aplicar o teorema do trabalho e energia cinética a situações nas quais um objeto é levantado ou abaixado.






o Calculamos o trabalho como para qualquer outra força

A equação a ser usada é

Se o objeto está subindo,

Se o objeto está descendo,

Eq. (7-12)

Eq. (7-14)

Eq. (7-13)





Trabalho para levantar e baixar um objeto, aplicando uma força para cima:

No caso de um objeto que permanece em repouso:

o A energia cinética é zero

o Temos:

Assim, o trabalho para levantar e baixar um objeto é

O trabalho não depende da trajetória

Eq. (7-15)

Eq. (7-17)

Eq. (7-16)





A Fig. 7-7 mostra o sentido das forças e o trabalho correspondente em deslocamentos para cima e para baixo na presença de um campo gravitacional

Note que os trabalhos da força aplicada e da força gravitacional são iguais apenas se a energia cinética final é igual à energia cinética inicial

Se as energias cinéticas inicial e final são diferentes, não basta conhecer o deslocamento para calcular o trabalho total; é preciso conhecer também a diferença entre a energia cinética inicial e a energia cinética final

Figura 7-7





Figura 7-8

Exemplos

o Você está sendo puxado para cima em um trenó

• A força de tração da corda realiza um trabalho positivo e a força da gravidade realiza um trabalho negativo





Exemplos

o Você está descendo de elevador

• A força de tração da corda realiza um trabalho negativo e a força da gravidade realiza um trabalho positivo

Figura 7-9




7-4 Trabalho Realizado por uma Força Elástica





7.09 Aplicar a relação (lei de Hooke) entre a força que uma mola exerce sobre um objeto, o alongamento ou encurtamento da mola e a constante elástica.

7.10 Saber que a força elástica é uma força variável.

7.11 Calcular o trabalho realizado por uma força elástica integrando a força da posição inicial até a posição final do objeto.

7.12 Calcular o trabalho realizado por uma força elástica determinando a área sob a curva de um gráfico da força elástica em função da posição do objeto.

7.13 Aplicar o teorema do trabalho e energia cinética a situações nas quais o movimento do objeto é causado por uma força elástica.





Força elástica é a força variável exercida por uma mola

o A força elástica tem uma expressão matemática característica

o Muitas forças da natureza podem ser descritas pela mesma expressão


A figura (a) mostra a mola no estado relaxado: como a mola não está comprimida nem alongada, não exerce nenhuma força

Quando tentamos comprimir ou alongar uma mola, ela resiste à tentativa e exerce uma força restauradora que tenta fazer a mola voltar ao estado relaxado

Figura 7-10





A força elástica é dada pela lei de Hooke:

O sinal negativo mostra que a força se opõe ao deslocamento

A constante elástica k é uma medida da rigidez da mola

A força elástica é uma força variável, já que é proporcional à deformação da mola em relação ao estado relaxado

No caso de uma mola que coincide com o eixo x, temos:

Eq. (7-20)

Eq. (7-21)




Podemos determinar o trabalho por integração:

Substituindo Fx por kx, obtemos:

O trabalho

o pode ser positivo ou negativo

o depende da transferência total de energia


Eq. (7-23)

Eq. (7-25)





No caso em que a posição inicial é x = 0:

No caso em que a energia cinética inicial e a energia cinética final são nulas:

Eq. (7-26)

Eq. (7-28)





Respostas: (a) positivo

(b) negativo

(c) nulo




7-5 Trabalho Realizado por uma Força Variável





7.14 Dada uma força variável em função da posição, calcular o trabalho realizado pela força integrando a função da posição inicial até a posição final do objeto.

7.15 Dada uma curva da força aplicada em função da posição, calcular o trabalho realizado pela força calculando a área sob a curva entre a posição inicial e a posição final do objeto.

7.16 Converter um gráfico da aceleração em função da posição em um gráfico da força em função da posição.

7.17 Aplicar o teorema do trabalho e energia cinética a situações nas quais o objeto é submetido a uma força variável.






Vamos trabalhar com um exemplo unidimensional

Estamos interessados em integrar o trabalho (que normalmente não varia com a posição) no caso de uma força variável

Podemos iniciar o processo aproximando a área sob a curva por uma série de retângulos

Figura 7-12




O limite da soma das áreas para x 0 é

ou, em forma de integral,

Em três dimensões, podemos escrever, usando o princípio da superposição:

O teorema do trabalho e energia cinética continua válido!


Eq. (7-31)

Eq. (7-32)

Eq. (7-36)




7-6 Potência




7-6 Potência

7.18 Conhecer a relação entre a potência média desenvolvida por uma força, o trabalho realizado pela força e o intervalo de tempo durante o qual o trabalho foi realizado.

7.19 Calcular a potência instantânea desenvolvida por uma força a partir da variação, com o tempo, do trabalho desenvolvido pela força.

7.20 Determinar a potência instantânea calculando o produto vetorial da força pela velocidade de um objeto.





7-6 Potência

Potência é a taxa de variação, com o tempo, do trabalho desenvolvido por uma força

Se uma força realiza um trabalho W em um intervalo de tempo Δt, a potência média desenvolvida pela força é

A potência instantânea é dada por

A unidade de potência do SI é o watt (W): 1 W = 1 J/s

Isso significa que o trabalho e a energia podem ser calculados multiplicando a potência por um intervalo de tempo. Uma unidade de potência muito usada na prática, por exemplo, é o quilowatt-hora (kWh).

Eq. (7-42)

Eq. (7-43)




7-6 Potência

A potência instantânea pode ser calculada a partir da definição de trabalho:

ou

Eq. (7-47)

Eq. (7-48)

Resposta: nula (P = Fv cos ɸ, e ɸ = 90°)




7 Resumo




Trabalho e Energia Cinética

Energia Cinética

É a energia associada ao movimento

Trabalho

Energia transferida de um objeto ou para um objeto por uma força

Pode ser positivo ou negativo

7 Resumo

Eq. (7-1)

Eq. (7-7) Eq. (7-10)

Trabalho Realizado por uma Força Constante

O trabalho total é a soma dos trabalhos individuais

Eq. (7-11) Eq. (7-8)




Trabalho Realizado para Levantar ou Baixar um Objeto

Trabalho Realizado pela Força Gravitacional

Eq. (7-16)

Eq. (7-26)

7 Resumo

Eq. (7-12)

Força Elástica

No estado relaxado, a força é nula

A constante elástica k é uma medida da rigidez da mola

Eq. (7-20)

Força Elástica

Para uma posição inicial x = 0,




Potência

Taxa com a qual uma força realiza trabalho

Potência média:

Potência instantânea:

Para uma força agindo em um objeto em movimento:

Trabalho Realizado por uma Força Variável

É calculado integrando a equação do trabalho

7 Resumo

Eq. (7-32)

Eq. (7-43)

Eq. (7-47)

Eq. (7-42)

Eq. (7-48)




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