-347-

•

OSCILACIONES.

CAPITULO: 15 .

PROBLEIIAS

1.~ Un blQque de ~. O kg estira un resorte 1 6 CM • part i r de su

posici6n no detor.ada . S. quita el bloque y s e susplnde uv

cuerpo de 0.50 kg del _i.Mo resorte. Si entonces .e suel t.

el resorte. ¿eu'l es s u periodo de MoviMiento?

~: MI * ~ kg. Xl a 0.16 M. m z 0.5 ka.

Solyci6n: El periodo de Moví.iento de un resort~ 81:

T*;:211.!f. (1)

Po~ la ley de Hooke s .b.~o l que:

-348-

o,

p"ro (J)

De Jd~ ec ua c ion e s (2) y (3) obte neao s

lo:: .. "'1&/ 111 ~ " 11 9.8/0.16 ~ 2"S kg /a

luego d e la ecua c i 6 n ( 1 ) t ena.os:

T • 2 J o.s , .. " 0.2"8 seg.

•

T ~ 0.2"8 seg.

2.· Una masa de 2.0 kg . e .us pe nd e d e un re so rte. Un c uerpo de

300 " . u spendi do a bajo de l a ma sa , e stira e l resorte 2 .0

Si se quita e l cuer po de 300 g Y se pone a o sc ilar l a a asa , encontr a r el pe r iodo del ~ovi

.j ento.

Soluc i6n : [.1 periodo es:

Lo co nst ... nte k •• ob tien e de:

"...!!.&.-. " ( M • . ),

k • • • • • , ,,~ 2 . 000 • .80

k • "0/3

Reemplazando valores en (1):

,j 2000 11 T :: 2 2000 x 990 ,. l

T " 0. 73 s eg.

"0/3 o •

" 0.73 lIeg.

.-. _. -.. -.. -. --. r . . . , L.

-349-

3.- Un pequeno cuerpo de masa 0.10 kg está ejecu ta ndo ~n ~ovi

miento arm6nico simple de amplitu d 1.0 m y p~riodo 0.20 seg

(a) ¿Cuál es el valor máximo de la f uerza que obrat sobre

él? (h) Si las oscilaciones son producidas m o ~iante un re

sorte, ¿cuál es la c onstante de fuerza del r es orte?

Soluci6n:

. ) 1 • f

m.;;O.lkg.

... "X "1 m .h

T " 0.2 seg.

" ?

K " c te

f • T " 2lf ff ,

98.69 kg/seg

, = (98.69)(lm) kg/seg

rmáx

98.69N

,

h) S i las osci laciones son ~oducidas mediante un r esorte

r r

. K. dond e k

K. • kA mh • h

k r 99.69 A 1

N k " 9B.69 •

• o'"

, •

~.- Un cuerpo oscila con movimiento arm6nico simple d e acuerdo

con la eeuaci6n

x " 6.0 cos(3lft ~ ~ )m. 3

Calcular (a) la elon ga e i 6n , (b) la velocidad y ( e ) la a eel~

raci6n par a el ti e mpo t " 2 seg. Encontrar ta mb i é n (d) l a

fase, (e) la fr e cu encia v , y (f ) el periodo del movimiento.

Solución:

(a) l a ecuación d e la elongación en el movimiento arm6nico

simple e s:

x=Acos(oottÓ) (1)

En el problema para t " 2 seg. tenemos :

-)50-

ot .. 6 c os ( 3 JI t + ft 1 3) " 5 cos(3ft ot 2 • ft 1 3) " 3111

lb ) l. velocid oad ser.i ; d. •

• - ~ , • Jo se n( 3l1 t • 11/3) ~

" ~ [" serd611 + . ,,] ~ ~ g, J3 ... /seg.

Col " a c e lerac i ón serA;

d. d ' • • " ~ • " (3 11 ) C:0 5 (3JI't • 11 13 )

" " , , ~ ". . /seg

( d) Y (e) Ellnaulo de fase 6 y la frecuencia angular w se

obtie nen identifi c an do tlr.inos en lal ecuaciones (1) y

( 2 ); de donde;

6 " 11/3 rad., w " 3 11 rad /s eg .

(d) El periodo es ; T " 211/ w " 2 'lV311 " 0.1i6 le, .

Rpt ... : ( .) • ~ l. _ (d)

e b) • ~ - 9Ilfi./ug.

Co) 21. ,

. /sea • • (d) • • ./3 ud

( e) w "311 rad/.e,

(E) t z 0 . 66 .&, .

, ~ " • • d

5.- Una poart1euloa ejecuta un .ovi.iefl~o ar.6nieo l i na.l con res

pa c to al punto x " O; para t " O tie ne una alongoaeión ot "

0.37 c . y una .aloeidad caro . Si la freeu aDeia del lIIovi

. 'anto e. de 0.25/se" datar_i nar (a ) el pe riodo, (b) la

frecuencia anlular. (e) la a.plitvd. (d) la elo ngación para

u n ti e.po t (arbitrario). (e) la v-eloeidad para el tie . po

t (arbit rario), (f) la .eloeidad .1oti.a. (al l. aceleración

.¡oti.a. (h) la elon,aeión para t " 3.0 saa, e (i) la •• loci

dad para t " 3.0 seg .

So lución : f " 0.25 H2

.) T :: 1

• 1

0. 25

T .. sel.

. ,

b)

"

dl

. )

fl

hl

il

-351-

" , ,.

T • _. • • • T " • r ad /s e g. • • , , • , • , , eos( wt . , ) . c uando

• • , oo . ., par a , •

• • , , • )( ( t ) . ,

e o s (w t) 0 . 37 ( ,

" • • , • , • • , d. rr • • • ., " . .,

• • ., " . ., • )sen • • (0.3 7 )( , • • - 0 . 58 • ". , ,

• • , .h

• • 0. 58 ... c uand o tie ne f t) '"

. / , • • •

• • • •

• •

• •

• •

v ~ Aws e n wt

d v '" a '" Ay 2eos y t

" '" Ay

, • • ... • 0 . 37 • ( ,

0.9 1 c~ /s ,

• ... •

J

Ae os y t

0 . 37 eos [ ~ ( 3l] O

( O. S8 ) s en ( • , ) , - 0. 58 s e n( 3

, , 0 . 5 9 c _/ s

) ,

•

, . O l a e lon g aci 6 n

O

0. 3 7

• ,

• 0. 9 1

. / , J

-352-

~ - "o~ pdrticulas ejecutan ~ovi.ientos ar~6nicos simples de la

~i~m~ amplitud y fre c ~encia lobre la misma linea recta. Se

cru~an una con la otra cuando eatán moviéndos e en sentido o

puesto ca da ve~ que ~ elonga c i6n es la mitad de su ampli

tud. ¿cuAl es la dif~ren cia de fase ent re ellas?

Soluciono tn la figura se muestra la soluci6n gr~fica del

proble.a, P y Q son las dos partlculas y se en

(u entra que la dIferencia de fase es : Soluci6n

¡,[¡alít i ca s abellos que 11 y W son iguales.

p

• O O H

" • , 00' w< ------- ( D

" • , 0' ( w! • " (2)

pero " • " • ,/2 ( dato)

d. " ec uaci6n O, obten~mos

co s wt = 1 /2 , se n wt = JI ( 2):

, co& wt .,¡-;;;. de la e c ua c i 6 n

11 / 2 = A(cos li t co s 6 _ s e n wt sen6 ) , d e do nde:

, , • , 00' , - .fi """'2 s e n , .

O

Reso l viendo l a e c uac i 6 n d e se gu nd o g ra d o obte nem os:

Rpta :

,. - Un bl~que se e ncu e ntr a en una superfi cie hor izo nta l q u e se

está mo v ien do ho r izon t alme n te co n un mo v imien t o a rm ón i co

- JSJ-ar~5n¡co si~~ l e de fr~c uen ci a dos osc i laciones P?I' segundo.

El coefi c iente de roza. le nto est ~ tico enll'e el bl o que y el

plano es de 0.50 .

tud para que el bloque no deslice sobre l a s~perf~ciel

Dat o s: r ~ .... :.: ose/seg. u 0.5

Soluci5n: l.a sup e rficie hu~!

zo ntal s e mueve co n Dovimien

to armóni c~ ~imple . Como e l

bloque eltá en equ i librio re s

pecto a la sueprficie horizo~ ',--< < ' ' :..:;..;¡ , ....................... -,

tal, la fricción e n tre ista y el blo que ser ti i gual a .L;¡

fuerza restauradora.

r " umg % k x k " (umg)/x

La frecuencia será:

f •

de donde:

Rpta: A " 3.1 -,

11. 10 •.

8.- Un bloque se encuentra sobre un imbolo q ue se esti Moviend o

ver t i c alDente con un movimiento arm6nico ~ imple de periodo

1.0 seg. (a) ¿Para qué amplitud del moví.i e nto se separará n

el bloque y el émbolo? (b) Si el imbolo tiene una aDplitud

de 5 . 0 . nI, ¿cuil ser á la frecuencia • .1xi.4 para la cual el

bloque y el émbolo estarán en contacto continuamente?

Solución:

( a) Para uque se cUlllpla dicha condición la fuerza restaUI ·l

dora debe ser igual al peso del bloque. kx : mg _- __ - ____ (l)

de do nde k " mg/x por otro lado sabemos que el peri o do p •.

T • " jf ----------- (2)

T • , . .g;; mg/x • 2nJf

T' .' • ,. , d , d ond e : • :-4-" , • 0.2S m.

" '"

-354-

(b) Cu ~ nd o la a.pl i tud es ~ c m, l a f r ecuen c i a ser~:

f

Rpt., : ( . )

, '"

•

)98,0 = 1.'1 osc/se t .

(b) f = 1.12 osc/seg .

9. - Un relorte un iform e, c uy a longi t ud al no e s ta r d ef o r ma d o e s

1, tiene una const a nte de fuer z a k . El re sorte se co r ta en

do s partes, c u yas l o n~ i tud e s no d e formad as s on 11

y 11'

siend o 11 = n12

y n e s u n en te r o. ¿C u¡le s so n l a s co nstar.

tes de fue r za correspondientes k1

y k '] e n fu nc iÓn de n y dr

k7 Verificar el result a do para n = 1 Y n : ~.

SolyciÓn:

Si se toman ambo s r esortes como s i e st uvi e s e n oo nectados en

serie: , k

pero: 1 1 k'1

k, •

luego e n (a)

par a

, k

n = 1

• ,

• ,

k, k,

• " k , l,k1 l'1 k ']

, I

, • , ,

k,

"',

1 n t 1 k = ~

,

------

=~ "

r; = •

(' )

-

, "

k • ~ , "

indi c ¡nd o no s qu e el resor te ha sido cortado por la mi to d .

n = en : k(n+l)

"

-355-

", • , ", • "o • , I • " • m

f , , , ." • • • • ,

" " k m

, . , .uestr~ en l~ Fig. 1S-22. La s s uper fi c i e s c ar ec e n de ro za -

lIiento . Si los resor t e. t ie ne n re . pec t iy a ~ .n te co n St ~ n l es

ciÓn de • e s :

,

tI an'logo eléctrico de este si'tella es una conexiÓn de 40.

capacitore. en paralelo).

m

501uci6n: L~ fuerza r necesaria para estirar un re sorte e­

quivalente al ~ostrado en la fl1ura ser':

r • " -------- (1) d, don4e:

r • • k

pero • • " • " ---- --- DI

(ver fil. 2)

r , r

"

- 356-

r . ~

3 ~L ~m~s que la frecue n cia es:

f:2~jf

•

Rccmplaz~n d o k por su valor obtene mos el resul t ~do .

11. Los res ortes se fijan a hora a m y a so portes f i j os ~o

mo se ~up.st r a e n la rig. 15-23. De ~ os trar que la f r ecuen -

cia d, osc ila ción e n e s t e c as o es:

, ~ , j', .

.,..-; 111

(tI anilogo eléctrico de est e

~istema es und conex i ó n d e dos

~a pac'tore~ e n serie).

Solución;

La cons tante de un resorte estA dada po r:

k " r ,

m ; •. ,,"¡.:-; , :". , . .' ... ,- , . . ~~- ". :-:,':

k,

Las fuerzas necesa rias para comprimir l os resortes 1 y 2

serin; r, " k x , , y r, .

Para deformarse ambos resortes a la vez deber i aplicarse u­

na fuer:.a.

Co mo ambos resortes se deforaan igualmente.

" ~

" ~ ,

Luego: r ", k2lx • r , k, ,

~ • ~ • • , , Lo frecuencia será:

, Jf ~ , 1, • " f . " ,. •

12. Las frecuencias de vibraci6n de los ~tomos en los s61idoa ,

" a temperaturas normales, son del orden de 10 Iseg, l~ag!

nese que los ~tomos estuvieran co nectados entre s~ mediante

resortes. Supóngase que un solo átomo de plata vibra con esta fr~~~n"cia y que t o do s los otros ~to.os se encuentran

-357-

en reposo. Calcular entonces la const ant e de fUArta de un

solo resorte. Una 1101 de pl~td

con tiene 6.02 x 1 023

átomos.

tiene un a lIasa de 108 g Y

" ~! f" lO/ses.

N • Sol%i6n:

1011 gr

" 6.01 x

(peso molecular de la plata) 2J

10 átomo & ?or m~l

•

La frecuencia de vibraci6n de un át o mo de plata será:

f (1)

donde m es la masa

1 T, d. un át o mo de plata:

m • , N

o Ii . O 2 23

x 10 Atomos/mol

Reemplazando en (1) el valor de Ii y despejando k tenelios:

• , 2 "n f M

k" H o

" 110 lit/m

Rpt. : 10: " 710 III t / •.

13. [1 extrello de una de las r a.as de un di apa s6n que ejec uta

lIovi.iento armónic o s imp le de frecuencia 1000/ s e g tiene u -

na amplitud d e 0. 40 mm. No tomando en cu enta e l am orti gu~

.iento, encontra r (d ) la .¡xi.a dcele r a ción y la IIIAxi .ll a ve

l oc id ad de la punta de la rama, y ( b ) la velocidad y la a­

celeración de la punt a de la ra ma cua ndo tie ne una elo nga­

ción de 0.20 111111.

Solución:

(a) Como la nenergia me c' n i c a t ot a l se conserv a te ndr emos:

de dond e :

, 2' mv

d,

po r otro lado s a bemos q ue;

------ ( 1)

f " ~ • ./f ------- (2)

De la s e c ua cio nes (1) y ( 2 ) ob te nem os:

V : • 2n f J,,2_ x 2 ---- ( l ) . d o nde :

-358-

v = v • • h

cuando K = O

v = '+ 2' fA = t 211(1000)~ x 10 - ~ m~x •

'+ d 11 m/seg.;

Ld a c eleraci6n se rj :

• • d.

" d. d,

d, -- .. d'

- -- (Ij)

2 2

lb) Cuando x = 0.2

= ~ 1600 w m/ seg -2

mm. = 2 x 10 m, de las ecuacio nes

.Rpt.a: (. ) VIII~X = t 0.8 "m/seg .

2 III/Ies

, • • • 1 .600 • • h

(b) • • • 0.5611 • .. /." , , mIse,

, • • • BOO •

111. Un relorte de constante de fuer~a 19.6 nt/ m s e en cuentra

suspe ndid o verticalmente. De su extremo libre se suspende

un c uerpo de 0.20 kg de .asa y se suelta. Sup6 ngllse que el

r esorte estaba sin esti r ar ant .. s de q ue .. 1 c ue r po SI SOlta­

ra. y encuént rese qu é ca nt idad ba j ar¡ e l cu e rpo a pa rti r de

la poaici6n inicial. Ha l l a r tamb i é n l a frec u e nc ia y a.pli-

tud del movi.i e nco ar.6nico ai. p le r es u lt a n t e.

Solvci6n:

Como e l s istem a es co n s e -

vat iv o la ene r gla mec l ni ca

total ae cons er v a r!. luego:

1 2 '2 kx " .g x (1)

La am p l itud ser¡:

~ - c2,--,x,-,!0-¡"C,y,,-!,"",8C x ~ k - 19.6

la frecuencia es:

• 0.2 111.

• -359-

r • )1 9.6 " O. , 1., e.g.s •

Rpta: .. " 0.2 1ft. f " 1.6 C. g.,

15. Un bloque de 35 . 6 nt estA suspendido d e un resorte que tie-

ne una constante de fU OI I'l:.1I de 526 nt/m Se ~i,para co n tra

el bl oque , desde abajo, una b ala q ue pesa O. ~ ~5 nt con una

velocidad de 1 52 mlseg, la cua l queda ahogada en e l bloque.

(a) Encontrar la amplitud del movimiento arm6nie o s imple r~

!! \J lt"ot •. (b) ¿Qué fra cci6 n d, la e neril . cinética or igi -

nal d , la bala queda alma c enada en e l oscilador arm6 ni co? \

¿Se pierde energía en este pr oc eso? Explique su res puesta.

So luci6n:

K " 526 N/ ..

P " 35.6N

Pa " O.ijij5 N

v 1 52 mIs

a) Cantidad de lIovílllento

an te s del c hoque

IlISV B • • , • ., ' . • • , , , " • lIasa d. lo bala

• • lIIasa d.1 bl oque •

, . • •

" • v e locidad d. lo b a la

•

o IV Ca ri~\da d d , mov i miento des -

,pués del choque-

------ O,

inici a l

Ys

~ v.loc idad de l bloqu e inicia l

" . • ..

de h b , l a fin al

de l b loq ue fin a l

Y, '" O ( repas o)

Co~o des pu é s - el i ~ pa cto l a bala q u ed a in c res t .d a en e l b I o

que : y ' ~ v' , , e n (t); ma Ya = Y'(m S t m3 '

do n d e v' es t Olla d o j u sto el, la pos i c i 6 n d e e qu i l i b r i o l u e go

" .

-360-

" -eVe 8 ., " , , ., • m " ,

" • , -'-

• , m" Taltlbién:

donde w

• , , , w

donde:

• • (0.~IIS)( lS 2)

0 .1I~5 t 3S.6

1 . 9 mIs.

• , <-mh

, j~T

• hT:

v jP!/a

'T " • , bloq .

,

, , (1. 9) j 0.~1I5 9.' , , 0.16 •

.fj ,k

• 35.6

• 52 •

• , "

, 0.15e

b) ~a fracci6n de enera!a ci n~t ica: f[k

, 4k del oscilador

•

,

t:k

de la bala

1/2 kx 2 donde: x ~ a mplitud: A

•

,

1 , '2 II V k : con3tante d e l resor te

reempla~ando valores:

" (526)(0.16)2

0.1I ~ 5 x ( 1 52)2 9 . ,

f t:k

o r i gi na l ~ 1 .2 \

:: 0.0 1 2e

16. Po r lo que se r e fiere a l a s o s cilac i o n es v er tical e s puede

considerarse que un a utoll6vi l está mo n ta do sobr e un rc ~~r r~

Los muelles de un ci e r to au t o se aj us tan de t a l manera que

las vibraciones t ienen u na f recue ncia 3 por seg undo. ¿C uá l

es la constante de fuerza del re sorte s i el auto pe3a 3200 lb ? ¿Cuá l será la frecuen ci a de vibr a ci6n cuando viajan en

) b ?

I'lHO S r :ijQlyci6 r)!

- 36 1-

J c , p. s .•

(~l La [ ,'ecllencia » e e"pl'e ~ a p~ :' ),l <),.:u;,<;\ón

f , k d, dono e k

, , , f , " r "

, >. , • IOU.J/..t ' f J c . p. s ' , , J , 200 j to ,

auto

Sglución;

( a) LilI frecuenc i ill 5" ex p r esa por 1 .. e <: u"cl ó " :

k '

, . 10 T t

, 3 , 200/32 ~ 3 , 60 ;;) ~ l b/ p1g.

w, o',

(b) Cuando v a n en el auto 5 p d s aj ero»o cad~ un o co n un pes o

medi o de 1 60 lb , la ma s a tot a l que sobra e l res ort e ~e ·

rá ;

• M 3 , 200 5 ( 1 6 0 )

'" , , slug ,

32 ,. frecull ncia se1".1 :

1 f ,

'" Rpt 11 :

,Á, !... } . 6 0 0 x ,

, 2 1 25

(a) k " 3,600 n" lb/plg. i

(b) f " 2.61 c.p.s. I

2. 61 C • p. s

11. La esca la de una balan:r;a de 1"esorte t ie ne lo pl g. Y se le e

deOa32 lb. Se encuent1"ilI que un paquete colgado de la ba

la nza oscila vertic a lme nte con una fre c uen c ia de 2 oscila·

ci ones po r segundo, ¿Cuánto pesa el p" quete?

.IIll9..<' r 32 lb ( fuerza máxima)

" ,

" pl, (elongaoci6n lI¡¡xima)

f , , e . p. s .

So l .;" ..é.ll: El pes o

11 " mg

Ld f recue ncia es:

f " -.!. , ,

d,' paquete e s:

, . , 2T

4 ~ f

-36 2-

Lu e go: W ~ 111& " kg / (~,ff2l o btenellloa la const~n t e del re sor te

(2)

k ~ r/x ; 32/(~/12l lb/pie.

M ee~pl~~ando valores en (2) obte ne.os:

w = 32 x 1 2 x 32 19 ~ lb 2 1 2. 9 .. X 11 X 2

•

18. Partiendo d. la te. 15 - 17 para la co nse rva ci6n de la ene r gia , (con 1/2 kA t t) obtener la elongaciOn en funció n de l tie.

po .ediante inteer. ci 6n d e l~ te. 15 - 18. Co~p.ra r con la

t c. 15-18 . /

Sohci6 0 :

Sab eaos que

de donde ~

1 111., 2 t 1 10, 2 2 , ,

• • - - - - (1)

pode.os tOlllar v con si g no positivo o neJativo. La ecuaci ó n

(I) se con"ie" t c en:

y sabhnd o que

o lo q"e es l o lIi. ao:

JI " A co .( wt + 6)

19. Cu ando 1. elo na.ción e. la .itad d e le .~pljtud . ¿q ua frac­

ció n de t~ eoerat. t otal ee cin¡tica y qu' f re ce ión e. po -

tencial en el ao_t.tento ar.6nt co sj.ple7 ¿ P ~re qui elonga­

ción la e n e rat •••• ttad cintt ica y .i t .d potencia17

Sglyci6o: (a) La fracción de energta cin 'tica e.:

do nd e:

, t

• - )6)-

1 , 1"1 ,' ~ , x·' )

par" ; x = Al ? • r. kA

2¡2

ReemplaZIIL\do \/"loros en ( 1 ) o bt"n c mos:

, 31<,, 216 J J , "/ 5\ e _,-__ • Ju ego K • E K . do E. r kA n , "

L. e nel'g!1I pot"f'nci al se rá :

K , " • r - -- ---- ( ')

u = E - ~ : ~ _ JE/4 = [ / 4 6 U = 2 5\ de L.

(b) Sabeoo:; q u e :

U ,. , (J) , E , ,

kx 2 ) ( , ) U • • , , , I gu alan d o las ec uac iones (3) y (4 ) obt e nemos:

, k. ,

kA' AJ2 ,- • d. do nd e: • • ..,---• Kpt " : (. ) , • , 5\ U • 15' E

(b) • • " V2/2

20 . (al Oemostrar que en un m o Yi~i. nt o a rm 6 n ico s i~ p le l •• ne r­

gla potenc ial m.dia es i g ual. l a ene r g!a ciné t ica media

cuando el promedio .e t o ma co n respec t o al tiempo pa ra un

periad, del movimi ent o , y q ue c ada promedio es ig ual a ]

1/4 kA (v6as e la f i g . 15 - 9a) . (b) De mostrar q ue cu.nd o .1

promedio se to~a co n r es pe cto 1 la pos i c i 6n en e l trans c ur ­

so ce un ciclo, la e nergia potencial Media es igual 11

1/6 kA2

Y que la e nerg!a cinitica media .5 igual a 1/310,,2

(véase 1. fig. 15-9b). ( e) Explicar flsica me nte por qui

so n diferentes los dos resultados anteriores (a y b).

l .• '

.,

•

, ,

t o

~1.1!S..lkn :

" , , , ,

-)64-

--,..,- ~ , , , -,.--, ' Kt U ,. K~ - 1/2 kA

2 ., E

' , , "

, , , ,

, , , '. L'

,

T/2

, " , • , , , , t ,

\~ \ ~}> ¡\+&

\

" -.

I ,

",,' • u • U"'" wt

" • JI: ,. Km,1x ,

, , "'" w' , . , , , , ,

, K m.1x " U m1x _1/ 2 kA • E

~I ", / • \ / ~ , f i ,i"> \

;-,* / \

~"" / x

o

(a) Cuand 'J el prollledio se toma con respecto al tiempo e n el

trans~urso de un periodo del mo v i_ient o , ~e pide demos-

tr ar. u ~ K :! kA 2 donde : . . ~ . u'" . 5 .1 valor medio de U, y Km es el valor lIIe­

dio de le

p.,,. Jflfinici6n e l ... alor medio eS :

"

U ••

, coo wt, • U

.h [, .

pero

'" , 1....!!.!. ]

-]65-

u • 1 r ~ [,

" T t IIIAx O

" ~~('] .. - " :;"" : ... . ) , .,

U. Por otro l¡¡do:

pero K • mU

; .!. kA'] ,

, '"

, m

.---- tl)

de las ecuaciones (1) y ( 2 ) ohlene~os:

U ;.!. k A l m ,

1"

lb) Cuando ., promedio ,. t o .. a 10m ,:, ~<;ree to

~ toda 00 " ¡ " 1 ,~ , .. pide demo!>' o _ _

U 1 kA :< 1 kA 2 , ., • 6 ID

1 f A

A

U ~ , .21 !. ~ " . - , m , - (-A ) Ud x ? A A 2 o y.

- A

~ _ A J A K d X lIA 1

, , ~ m, ! ~ o • , - ']A 1\ '] -A

• ~ ! },; (A2 - . ' )

2!).: 1 ~ " ' IC.' ) "j , ., • -• I

•

• ,. po,iei6!1

( e ) Los r e su lt a d o s de ( a ~ j ¡ le r e ntes p Ol' que ,, 110

e s el ea~ r bo de e n e r ei n ~." uAid a J ~ e ti e.po y el o t r o e s

e l camb i o de e n e r e I ~ ~~.' un l d~~ de l o n e i tu d .

-366-

21. (~) De mo~trar que l a . r e laci on es generalea para al periodo

y la frecuencia de cUalq u iar movi mi ento arm &n ico si~pl. son:

T = 211 V ~ • • y

• v •

(b) Demostrar que l a . r e l a ci on.s , a n e r a las para el periodo

y la frecuencia d. un lII ov i .i e nto a r món i co angular simple

c u~lqui e r~ s o n:

T • 2~ rf y v •

$01ucI6n:

(a) El periodo en un .ovl. i a nto ar.ónico ai.ple es:

Sabem o s también que: , x~Aco s (wt"'6) (2)

d 2 x 2 •• --,-" - AII COII (wt ... 6 )

" (3)

d e las ecua c ion e s (2) y (3) obtene~o.:

- a' .... 1uelo 101 -v--;;;

T" 2f1Jr. y

(b) Proce diendo en t orna anl1o l ~ qu e e n (a) y sabiendo que

Q z Q . .... coa ( wt ... 6 j ¡

• • " Dbtenalllos: T ,. 211¡-:-r

23. Un pindulo si .pl a da 1.00 111 d e lo ngi tud ha c e 100 oscilacio

Da s completas en 204 seg e n cierto lugar. ¿C uAl

lo r de la ~celeraci6n de la gravedad en es e punto?

Solución:

es el va

Encontrar e mo . el per iodo de un péndulo simple , l a co.po n e~

te tangencial es la f uerza re s tauradora que obra sob r e m y

-)67-

que tiende a regresarla a

.u posiciÓn de equlibrio.

Su valor es:

r~-lIIgsenQ ----- (t)

la ~longaci6n según el

arco es x : LQ y para in­

gulos pequenos es casi Uf'

~ovimiento rectilíneo.

~oniendo que sen Q T 9 So " , ,

" , .

, , .' ..t' .. ......

" <e r ~ - mg Q : - !1 x = _ kx ( c dr'act erl s ticd del lIIo vimient o

L armónico simple).

El perlodo es:

! = 2l! ~= Despej3ndo " g r3vedad,

,,_ 2 L , , .1 , • 120"1100) , Rpta:

-~-- - (2)

... lo ec uacion (1) obtenemos:

• 9."9 .. /lI eg ,

9."Q ./ .... , , • •

2". ¿Cull es la longitud de un péndulo simple cuyo periodo ea , exaCt3m .. nt e de 1 seg en un lugar en d o nde g = 9.8 1 m/se g ?

Sol !,!%i60:

S. sa be : , • "/. " 9. e 1 • l' 1 . -'-'-,- • .' "

, 1 : 0 . 21.18 m.

11 s 2 " .8 cm !

25. Demostrar que la mixima t e nsiÓn d e la cu erda de un péndulo

simple, cuando la a mp litud Qm es p e q u e na, es mg(1 t Q! l. ¿En qué posición del p é ndul o es mlx i ma la ten s i Ón?

Soluci6n:

Co ~o "1 ~iste.a es conservatorio 1 , energfa total s e c on se r

1 .,,' ~ • t mg L(t - cos 9) : _gL(t - c o s 9111

)

es decir: , , 2 mL w t meL( t - cos Q) & mg L(t - c o s Qm)

-)68-

de donde: ,

" : ~ (cos Q - cos , l • ------ )( 1)

Aplicando l~ segunda l e y de Newt on:

2 g : mw L -------- (2)

Reempla¡o;~ndo (1) en (2) tendremos:

T = mg (3 co" g

LiI posición en

dT 3 d9"= - m, I:en

2 cos g ) -------- ---- (3) m

la coal T es máxima se obtiene;

, " O , d, dond e , O

•

,2

T mgO .. 2 co", 'm l ; pero '0' , " 1 - (_m_l ... 2

" l m

"

m

,

26. (a) ¿Cuál es la f r ec ue ncia d e o n pé nd u l o si mple d e 2.0 m de

longit od? (b) S up o niend o p eq u e ~ a s a mpli t udes, ¿cu á l s eria

s u frecu en c ia en

rriba a ra¡o;6n de

en c aída libre?

Soluc i 6n:

un el e v"'dor q u e 2

2.0 mls eg ? (e)

fue ra a c e leran do hacia a

¿Cuá l sería s u f r ecu e nc i a

(a) La f re c uencia es :

.2. j.s '" 2

-1 = 0. 3 5 s e g

(b) Cua ndo el elevador a cel e ra ha c i a a r r iba la bo l a del p é~

dul o tiene u n pes o aparente (P) y es su co mponent e t a n­

.¡enc i a J la q u e or igina el mov imien t o arm6nico simple .

- 369-

El p e so apa r ent e será :

P - IIlg " ma, p = m(8 t a)

La f uerza re s taur a dora es : •

p , " " p • r , ". - , , r , . (, • a);.e/L , - k. ,. f re c uencia s erá:

1 2i f '

. ) . ) - - - - ( 1)

1 ) 9.8,+ 2 - 1 f = 2i = 0 . 39 s eg

Cua nd o e l pénd ulo es tA en c a lda libre a = - g .

P = m(g - g) " O, co mo no hay fu e rza restauradora no existi

rá en est e caso movimi e nt o armóni co simp l e, y la frecuenc i a

ser á nula.

Rpta : (. )

(b)

f " 0 .35 s e g- 1

- 1 f " ( .39 s e g f = O

28. ¿Cuál es el periodo de un péndulo formado a r ticulif'\oo un"

regla de 1 !!Iet ro dO' modo que puede gi ra r librement e alr'ede­

dar de un e j e hori zo ntal que pasa po r su e x tremo? ¿Por un e

je e n la mñrca 65 cm? ¿Por uno en la ,lIarca 60 cm?

Soluci6n:

El momen to restuur~dor

para una elongación a:~

gul a r 9 es (paril áng:.t­

los pequeilo s ).

, , M,d oo. , , - M,' ,

" donde k , ligd , "O '" di sta nci a d. 1.

articulaci6n .1 cen-;:ro

" masa Sabemos t alllb i"n ,. 01 problema 21 vj mo fc'

p

,

q ... e : Y , la

que:

t 2w J- ~: 2WJ-.i.:.(~~~~. = 2Wjf

T " 2 J M~d

-37 0 -

uando la regla estA a rticulada d e s u extremo:

• ~ 2 l;j~~:j~ k · 1 ,- .-a

1 . 6~ s eg .

l n el s e g u ndo c a so: d ~ 0.65 - 0 . 5 ~ O . l~ m.

El mome n to de ine r c i a resp e c t o a e s ta n ueva a rt ic u l a ci6n se

~b tiene aplicando el te o r em a de 5 t ei mer.

x Hd2

+ Icrn • HI O . 15 l2

+ HL2

/ 1 2 o . l OE- H.

T 2 n)' 1 ~ " gd

2 /; 0. 1 06 H n H x 9. 8 x 0 . 1 5 :. 1. 85seg .

En el te r c e r c a so: d. 0. 6 - 0. 5·0.1 rn .. 0.0935 H

,~ obtien e T • 2 , 3 2 seg.

RpTal IT • 1. 6~ s e g, 1 .85 seg , y 2.32 seg.1

29 . D"mostrar qu e si se mont a u na regl a u nifo rm e , d e l on g it ud

1 , de maner a que p ueda girar alre de dor de un e j e ho r i ~ontal

perp e ndicular a l a r e g l a a un a di stanc ia d del c en t r o de ma

s a, e l periodo tie n e un valor mínimo c uand o

d ~ 1/...¡12'. 0. 2891.

~oluciÓD:

El mom ento de in e rcia de la r egla respect o a un eje situado

~ u na distancia d e su centro de ma ,a e s:

¡:Icm+ Md2 " t Hd 2 •

Sa bemos que el p e rio do es:

" , 12 {L

..¡ 12 Sd

La condici6n para que T sea un mi nim o es que:

~:: O dd

y que: > O

dT dd 'H el! dee il:

-3 11 -

d

• l. '1 _ O. d :Lf Jli

[~12~'~'---,-~,~'~'J < O 1 'g d •

Al ohte ner d'1T/dd'1 , encontramos que e s una cantidad mayor

que ~ero , con lo que se demuestra que el ~prlodo es un mIni

'0. Otra manera de d e terminar que es un mI nim o es:

Pa ra d < [./ 112 dT Idd < O

d ;> [. / v"'i"2 dr/ad> O

lo que demuest r a que se produce un .¡ oimo:

3 1. Un aro c ircular de r a d io ., pie s y peso a lb s se c u elga en

un clavo horiton t al. Ca) ¿Cull es su frecuencia de osc ila-

c16n para un movimiento d e pequena amplit u d7 (b) ¿Cu'l es

la l o ngitud d.l péndulo si.pIe equivalent.?

Soluci6n: (a ) La frecuencia es:

f : "2 ~ I (1)

per o 1 • HR 2

MR2

3 2MR 1

1 f < '. -,

: 0.47 ,eg

, "

, "

(b) La l o ngitud del péndulo simple equivale nte se obtiene

igualando los periodos:

T • '1 n¡z¡;, y T • ,. JI/Mgd

donde: , I '1HR '1 d. <-- • --¡¡¡¡-Kd • 2R . , • , • , pies

Rpt a: , .) f : 0.4" seg- 1

'b) L 4 pies

32. Una es fera s61ida d e 2 . 0 kg de ~asa y O.JO ~ de di~metro e!

ta suspendida de un al ambre. Encontr~r el pe riodo de osei

'.

-312 -

laci6n angular para pequ@nos desplazamiento s si el momento

de rotaci6n que se r equiere para torcer el alambre es de -, 6.0 x 10 nt-m/rad i ! n .

~: 11 ~ :1 kg, D '" 0.3 DI.

k '" 6.0 x 1 0-3

n t -m / r a d i$n

Solud6n:

[1 ala~br e torcido e jerce sob r e

l a esf@ra $611da un mo_e nto re s

taurador. ,. - kO ( 1)

SabeDlos taDlb i i n qu e :

,. 1 • • " l-} "

-- (2 ' , ¿

Luego: - kO • ¡.E....! , • ,, ' " , -

•

M- 2k

0 - 0.3

k ( " 1

Por a ~~ l ogla co n e l mov imi e nto a rm6 n i co si mp le lin eal :

T :c 2" VIik ---- --- (3)

per o ¡ :: 2HR2/5,

T • !2~~,~.~(~O~.~'~/'~',-' T = 211 -:- x \5 x 6.0 x 10-3

Rpta: 11" 1 0.87 seg.1

= 1 0.87 seg

J3. [1 balancl n de un reloj ~·ib ra con una amplitud angular de

radia n es y un per iodo de 0 . 50 s eg. Enc ontra r (a) la m! xillla veloc·1dad angular del balancin. (b) la velocidad IIngu ­

lar del bala ncl n cuando su desplaza.iento es de ,,/2 radi a

nes, y ( e ) la aceleración a ngular del balanc!n cuando su

de spla zaDll e nt o es de "/~ r adi anes.

So},ución:

(al SabeDlos que g • " cos( ~ t • ~) • • o

(1)

v =~; - g w sen (w" ,1 -- -- - - ( 2 ) dt .. .1x o o

donde ~ o

de (2):

" 2n /T ~ 2 "/0 . 5" 12.56 rad /s eg.

w • ... x 12 . 56 " 39.~4 rad/seg.

lb) Cuand o g " 11/2,

• -)71

,,, • 11 COS (w , • " d, donde ," • " "" o , ~: O " o,. 'O' • - , 12 . " • V1/.

" " ... o ~ 3~. 1 1 rad/s eg .

(c) Cuando g Jlj ~ • 9 ~ g (.o~ 1 " t t 6) m4x o

11 / 4 =- 11': 0::;( 10< t + 16 ' ), o

, <;os( "tt6 ) o

,', , cos (w .) =~ ..: - O "

, •

" ... o o

31 rlld/seg ,

• -Rpt. : ,. ) " - 3 9.4" rad/seg.

.h

'b) " • 3 4 .12 rad/flOlg ,. ) a " r ad/se g ,

"

•

"

3~. Los electro nes en un o$cl loscop io s o n desv iado por la De

ci6n de dos camp os eléctrico. mutuame nte perpendiculares d ~

mane r ll tal , que en un tie mpo c ualqui era " el de~~ l azam i en­

to estA dad o por

j( ~ A ~os 10f t . y:: A cos( .. ( t a l.

(al Describir la trayec toria de 10$ el e ctr one~ y de t ermina r

s u t!cuaci6n cua ndo Cl =- O°. ( b) cuand o

d o :: 90° ,

501uc16n: ( a ) c uand o a =- 0° , X

Y =- A cos (Io< 1 t O)

A COS \l l

: ,&"C O $ 10/ 1

(e) Cuan-

(1)

(1)

La ec ua c i6n ~e l a t r ay ectori a se obt i ene e l i mina ndo t d e

la s ecu a ciones (1 ) Y (2) :

encon t ra ~ os x ~ y (ecuaci6n d e u na rec ta d e ~5 c de pend i e " ­

te) .

(b) cuand ., Q:: 30c , x :: " cos ( wt ' J) y :: A c o, (w t t 30 C )

~ "( c a ' wt C05 3 0 - se n wt s.n 30 )

y z ,\(J:JCOS wt - sen wt ) /2 '" ) de las " ~ u a c ¡ o n es ( 3) y ( ~ ) y s ab i en d o qu e :

, "y

se n wt ~ J"'í " x2 ob t enetaos :

, X'j t ~ x ,, 2 ~ O ( ec uaci ó n de u na elipse)

-3H-

(:':) CUdn!:-!) 290° , It '" A cos wt

y : A COS (wt ~ 90) '" A sen wt

la~ cC~dcio nes (5) y (6) obteflemos:

,O) ,O)

d, , , 2 , 2 + Y '" A (cos wt ~

2 2 se n wt) : A (ecu,ci6n

fer e ncí"l,

• de una circun-

~o , si la .'SS de un resorte .5 no es inslgnific,nte pero es p!

quefla compdrada con la M,sa • del objeto sus pendid o del re­

sor te, el periodo del movi$ient o es T '" 2 J( •• m /J)/k. De-o

.ost ra r este ¡'esultado. (Sugerencia: 1.., condici6n 111.11« m

es equiv,lente a la suposic i6n de que el resorte se e.tira

unifor.e.ente en la direcci6n de . u longitud. )

Sol uci6n: EJ period o del sistema serA:

donde" es la .esa oscila

t oria efectiva del Silte-

", . En cualqui er inst a nte c a ­

da elenento de la .as a •

del bloque tiene i g ual ve

locidad y por esta ra~6n

contribu )e total. e n t e a la

fIIasa Olcilator i , . f ect iv a v

del sist e.a, no a s l el r esort e porque en este en un ins ta n­

te cualqui era su veloc ida d e n c a da pa r te es d i f er e nte, va -

riando desd e c ero e n la pa r t e supe r ior, hasta un a ve locidad

v, igual a la q ue t i e ne el bl o q ue e n ese i n st a nt e.

Encontr.refllos l a co n t r i buc i6 n del reso r t e. l a nasa e f e cti-

va , analita ndo s u e nergía c i n ét ica.

pletane nte un i f orme t e ndr e mos: y ' '" cy diferenciand o obte-

v' '" c v , para u n e l e . ento de lo ngi tud dy ' , la ener -

BIa cinética es:

Sust ituyend o las do s ecuaciones anteriore3 e integrando:

- 375 -

1 , l u ego 1" ",as('l ef,, ~'t lV" del sistema .s er i :

H ~ .. t

m , ,-

•

•

Re e mpl a ~a n do M e n ( 1 ) o bt e n emu s que el p e rio d o e s:

j m t m 13 T • " --,- ''--k