cap_10_cinematica de rotacion-ejercicios resueltos-resnick halliday

-283-

CINEMA Tl CA DE •

RO T ACION

C AP I TULO 1 1 .

P R O BL e MAS

l.· Un di sco de ton6¡rato e n una .ese ¡iratoria s e mueve a ra •

~6n d. 33 r ey/.in. Decir cu Al ' s la yeloci d.d line.l d e un

punto del di sco en el sitio dond e .stA la a guja (a) .1 co •

• enzar l. gr.bac i6n y (b) .1 ter_ín.r l. mi,... L.s d1sta~

ci. s d. l •• guja al eje de l •• es. gir~ori. son de 0.149

• Y 0.013 ., re'p.ctiy.~ente. en es.s do, ~osicio nes .

So luc i6 n :

v ~ 33 RP" = 33 ., rad/_in 2 66 rad/_in.

a) r1

= 0.149.

Si >1 Or 1

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~ ,, 1 r __ ,

, , , , , _ 0 .073.

" ,

r l'e lllpl ,l:r.aud o valoras

"

w.' , -28~-

"'66IxO.073 ; 1 S.13 (; 2 .. / /llio_ , .'.1 ,

l,a val oc idad anlu l¡¡r d el lIotor da un ol..:tom6vit se a umenta

dt. 1200 a 3000 rp. en 1 2 seg (a) tC uAl es su ac elaraci6 n an

guIar , supuniindol a unifor.e? (b) tCu l ntas revo l uciones e -

fe c túa eJ ~otor d uran t e est a tieMPo?

.!l.!.!.2.!. : "1 : 1200 rp. , " 2 '" 3000 rp., t~12. eg .

Soluc i6n: (a) CO IIO la aceler a ei60 angul ar es u nif o r .e serA

igua l a la aceleraci6n a n gul ar . adi a .

oc • ------- (l)

Las velocidades angulares serA n :

" 1,200 r~v x

"" 3000 X 211

" 2" 60

1 lIi n 60 seg

rad/seg

2_ red • 1 rey ~ 1 , 200

60 . "

Reempla:r.a nd o valores en ( 1 ) obteneMos:

" (3,000 - 1 , 200)2 , 12 x 60

, " S' _ IS.7 rad/seg



se intervalo de ~ seg es ;

pero " • o

• • o

• O

-286-

(1)

la velocidad a ng.¡jar '011

serT: -

i ~ "'l t t ~ o:: t:2 --- (2)

de donde: , " •

,. :2 11 1 20 _ ](<0)2 , . , ~ 2~ ' red /seg

Reemplazando va l ores e n la ecu~ci6n e l ) o bt e nemos:

" : 3: 8 seg.

Rpta : lt : 8 se g

1._ Un vola nte pesado que gira alrededo r de su aje va di sminu

yendo su velocidad debido al rozamiento sobr a sus chumace

rola. Al t er~inar el primer minuto, su v elocidad a ngular es

0.90 de la velocidad a ngular w que tenia al principi o . Su o

poniendo que la ~ fu~r%as d. roz.~i.nto so n cons tant •• , en -

contrar su velocidad angular al terminar el s eg undo minuto.

'010

' t z 60 seg ,

S9lución:

" : 0,9 ... o

Como las fu erzas de fri cci6n so n co nstante s , e l vol a nte ten

dri una ratardaci 6n angular constan te.

"':2 es la velocidad a ngular cu a ndo el tiem po e s t:2 : 1 :20 seg

Hallare~o s la desac el eraci6n a ngul a r:

• • • • ~ " ------ (2) , o

• • O. , • • 0. 1 • , o o o o ra d /a eg ~ • • • , , " " Re eaplazand o vil l ore s ., , . e cuac i 6 n ( 1 ) ;

. " , o O . , .. W K 1 2 0 ~ 0.8 w rad/seg .

o o

,



- 28 7-

B.- El ~ngulo que gir~ el vol~nte d e un gene r ado r durante Uf' in

tervalo de ti empo t

g ; a t

est,s dado por

, " b t e t

1 .. ecuaci6n:

• si en do a , b , y c co nstantes.

cel e raci6n ang ular ?

So lución:

LCu' l es la expre si6n ~ ~ R" a

La a c ele r aci6n angu l ar es:

d'. d. oc • -;-;r " ,

" • ., b' " .. :; l' t

, • • • •

" - "

"" , o,

'>l

,

Rpta: loe = 6 b t - 12 ct' J 9.- Un cuerpo se mueve en el plano x - y de t al manera q~e x=R

cos wt e y : R sen wt . En estas expresiones . x e I so n

tantes. (a) Elimine ~ t de esta~ ecu~cionec par ~ enr~n tr~r

la ecuaci6 n de la curva en la c ual se mu e ve el c u r r ~~. ¿Qué

c urv a es? ¿Qui signifJcH la constante w 1 (b) Deriva el' las

ecua cio nes de ~ y de 1 con respecto al tiempo p~l a ~1¡CO n

trar las com ponente~ 3 e Z Je la veloc idad de l c u~rrJ . Vx

y v. Co mbin e v y v para encontrar la magn i tu d y ji r ec-, " c i 6n de v. Describa e l movimien t o del cue rpo. ( e ) ~eri vp

v y v co n respecto al tiempo para ob t e n e r la lIl .. gni!ud y , , direcció n de la a c elera c ión resultante.

Solu c ión: ,. ) Elim i namos .!. d. , .. dos ec ua ciones:

, • , y • ,

, , :0\ ~ Y

, 00' ., , • " 0o, ,

" "O ., l ' • , 00

'1 2 2 '1 R ( eos wt t s en wt ) = R

, "' , .,

es ta e s la ec uac i 6n d e un a c i rc unferenci ~ .

\1 ,

( : 1

la v e l o c ida d ¡a ng u l a r ~ or q u e el e lol erpo s e; . u e v e el! 'J:," e i r



- 288-

c uufe l'encia.

(b) La ~agoitu d de la velocidad v se rá,

(3)

La di r ccción de ves : tag (ji : ...:t. ____ (14) v •

[o c ootremos l as co .. po oentes de la veloci dad

Il ws eowt v '" R"cos"t , J v'

, k , v • v • Rw se n wt) • (R " coswt) • ,

v Rw cos "t <os , • ...L • - c tg( " t ) v Rwsen"t •

•

,

'd L. mago i tud d. ,. ace lerac ión res ultante es:

J.; , (S) • • • - -- -- ---,

dv dv : --.lL.. ,. , ,

----'-. • - cos wt • • • • • • " , " 2 ,

• ,. s e n" t • • , r.' 2

, , , • • ( " x) • (-w y) • , .

lo direc c i6n d, lo "cele1'ac16n resul t ante se r' :

t "8 líI tag(-.. t )

• . e

O. Uoa "u e d a gira co n uoa aceleración angular (1 dada p o r

3 o .. "a t 2

Jbt •

siend o t el t ie mpu y a y b constantes. S i la rued~ l ie~e

un,) ·,e lol: id"d a n gul~r i n icial

de (a) la veloc i da4 a Olu l a r y

e ¡vn '.t u l t ie.po .

w • e s cri ba las e cua c ¡Qn e~ o

( b) e l Angu lo des c ri to e o f UIl



, ) dw dt

d w CI = dt

,

, lb'

-2!1<1-

3 , = (~¡¡It • 3bt )dt dw

in tegrando:

b) w •

" . "

r w

w o

o

d w

, . " dO : ( w ~ at~ _ bt 3 )d t

o

, int egrand°fa

o

dO

0·0 = w t ~ o o

•

,

ar: , o • O •

o w t -t- a

o - b :' 11

11. La 6rbita de la Tierra en torno del So l , aunque e l lptica,

es casi un círculo. (a) Calc ualr l a velocjdad angular de

l a Tierra (considerada co.o par t í cula ) en torno del Sol y

~u vnlocidad lineal med i a en su 6rbita. ( b ) ¿Cu&l es la a-

celeración cen tripeta de l a Tierra co n respecto al So l ?

So l uci6n: (a) La velocidad angular será:

W : O/ t ---- - (1) donde T·ad .



-290-

t ~ 365 x 86~OO se&11 dla )

• • ,,,,;'!',,,,,,,, 3foS • 86400 " 10-8

rad/s e g .

La ve locidad medIa en su 6rbi ta es su velocida d tangencial.

v"' v R (2)

Jonde R ~ 14g • 109 m

íbl

-8 v : ( ... 3" • )( 10 )

Como lupo nemos .,. lo

Sol .. caai ,. circulo

se r -' : • • v 2/ R o

Rp t a: ( . ) • • 6.3'+.

3 10 !II / seg

6rbita ,. lo Ti erra '" torno ,.1 luego lo ace l e rac J 6n eentr1peta

-8 , " r ad /sea

• • 9. Sn , lO' 111/.1&

(b) • o • , . "

!? Id ) ¿Cull as la velocidad angu l ar d i un pun t o di la super f!

c íe de la Tie r ra a una latitud de 45° N e n torno del eje de

l os polo,? ¿C u!l es la velocidad line a l? (b) ¿Cblllo son e

s~s valores ca. parados c on 101 valo res li _ l1ares par a u n

punto colocado en e l ecuador?

501uc i6n:

~a) COIIIO l. Tie rr a 15 un cu erpo rt¡1do y supo n i endo que ee

• •

lIIueve alreded o r del eje y v ~

dad anl\,llar es:

• , , . 16,400

La ve l ocida d line.l d, un pu~

to P en su luperficie a la la

titud Ioso N .erl:

v ~ vd = rWT

COI 45°

donde Rt : 6.37 x 10" .(radio

d e la Tierra).

• p • '0 l ueg o la veloci-



- 29 1-

• • .,. x 6.31& x 1 0 " J2

86)100 x ¿)C ~ 321.6L ",/seg

(b) ra ~a u n pu n to ~n e l ecuador.

I .ld/sce· -, , ., \1 2 \lRr ~ 1.29 x 1 0 . )( 6.316 x 10 11611.2 m/s~g

1~. ,Cual es la a ce leracion centr!pet~ d ~ un punto d. la pe r i f~

rle de un di s c o de 30 cm qu e gira I 3) ! ) re.,/~in?

S91ue16n: lOO '" ~ " • • J " •

r • ,. J • 2 20 0s ,

" • ' . • • r • ( ) . , ( 0.3) 18'

3 . 66 ./s eg 2 • • '. ,

donde : • eee leraei 6n eentrIpeta ,

'. • acele raei 6n r adial

de di.lllletro. (~ ) ¿Cull es la velocida d en¡u l ar d. l as rue-

das alr.dedor del e je ? (b) Si l iS rueda s . e detienen uní -

tor •••• nt. en 30 v uel ta . , ¿Cull .s la a cel. r aci6n angular?

(e) L Ouf distancia recorre el autom6v,i l d urante •• t ll pe -

r Lodo de frena do?

v = 60 .i /h e 88 pies/ s e¡

2R t 30 pl¡ : ,.S pie.

Salud6n :

( a ) La velocidad angular es:

• .. . - " • •

(b) L, sacel.r le j,!,n

2 2 2~ • ", • " • o

••• ~"70 . ..

anaull r es:

------ (1)

rad/se,

pero: ", • O • • JO , ,. rad / sea



oc

(o) " es pacio

mi.ento es: , ,

" • , , )O

Rpta:

" o r

- 292 -

,". rec o rre dur.soto: ."

• -.-.---- (2 )

'" • 1 . 2~ • 23' pi " s

w ~ 70.~ rad/seg (. )

(b) oc

(e-) s

2 ~ -l J.l ra d /seg

= 236 pies

1 3. 1 2

r ad /seg •

pe rí odo de fI"I!Il "' -

l b . ( a) Si l a héli c e de un avión tiene un r adio de ~ pies y gira

a 2 , 000 rp. y el avi6n lleva una veloc i dad con respe c t o al

su el o de 100 !IIi/h, ¿Cuál es la v e locida d de un pun to de la

punta de la hélice? ( b ) ¿Qué clase de trayectoria desc ribe

ese puntol

Snluc i6n: (a) Sea R un

punto .. lo ¡.>"ut .. d. R V lo hil ice. lo veloe id.sd , A

." R será: --- VR

'R • " • --. -- ( 1) VT , L. !lIiIgnit ud d. " es:

-L----------______ -+T

• , j (vT

)2 • R

" , .R , 1000

" • I • Ol¡ 1.33

(v A) 2

'p. • ,. p ies /s!! s ·

r lld11 t.in rey )( 60 seg

VA ~ 100 .i/h = 1116.7 p ie s/ .eg.

. " Luego: ,-______ _.---------------.

vR

= )(1116.7)2 -+- (1 . OI¡7.J3)f: 1 ,0 57.4 ni/ses

(b) La tra yectoria que de sc ribe es una héli ce.

¡Rpta: VR = 1,OS7.~ m/seg.1

17. ¿Cu:1l es 1" velocidad ,"lguli'lr J c un a.utmn6vil fl ue en una. c a



-293-

r r eter ~ da una vuelta de 110 m de r a dio ,o1' una ? e l ocid~d

d .. "9.3 klll/hr?

So luci6n.

v = "8.3 km/h ~ ~8. 3 km/h x 1 h/ 3&00 seg x 1000 n/l km

= "B .3 mIs T.T

r 11 0 1J1 .

Sa bem os que: " . Ree~plazand~ va lo r es:

.!!..!d w z -tTt- z 0 .12 rad/ seg

w = 0. 12 rad/segl

l B. Un cuerpo rigido, a pa rtir del punt o de re p ~s o , gira e n tO~

no de un eje fijo con a celeraci6n angular constante. (a)

txpre sar la aceleración radia l y la acel e r aci6n tangen c ial

de una part1 cula del cue rpo en fun c ió n de la aceleración a~

gula l' del

(b) Si lJ

mism o . Sea r la dist a nci a de la particula al eje.

aceleración I·esultante d e 1 ... p'lI·r i c ula en un e i e.!:

la i nstante f o rma un ~n8ul o de &0° con re s~~ = t o a la a~c le ~

raci ó n tangen c ial , ¿c uAl e s el Angula t ota l 1ue ha girado

el cuerpo hasta ese instante?

co ns tante

u: ~ co ns tant e

" " o

Soluci6n:

(a) tI punt~ P del

cuerpo rSg,id o ,

s e mueve una distan

c ia ..lL a l o la rgo del

arco cuando el c uerpo

gi ra un 'ngulo Q, de tal mynera q ue:

S : RiiI

I'er iv ando ( 1 ) re specto a t:

ds .d g R~ wR d r d t

pe r o

(n

d , d"t =

."

v(v e l o cida d l ine al de



-294-

P en ~ S~ i nst5nte) y su

direcci6n es tangen te a

la ci r cun f ere ncia.

S,l b$mo~ que:

d, • "

d{ wR) ~ : -d-'- • • ,

~r : - W R (po rQue es de se n

t jdu cont r ~rio al vector po

"ici6n 11)

y

•

(b) Por o tro lad o sa beaos que co.o a; z constante

W : v tcr::t s a;t------(l)

De h ti g

, , • "' , , per u ~ , , •

, , t ag

, • • " R. , 1, • .fJ7"2

, " Rw

• R~

o

, , " Ra; t

1 ve.o~ que t58 60° ~ • e

"

" , ,

~ • p~ , ---- ----, toR 60"

,"0 • .j'"3"¡2 r a d •

" ~R

rad .1

(2)

(J)

( " )

19. () del texto). Un aitod o pera .edir la ve locida d de l a l u ~

e.plee una rueda dentada li r atorla.

una ranura en el bo rd e exterior de la ru eda co.o ae il ustra

en la ril. 11 - 12 , va ha eia un e apejo d i stante, y regr e s~ ~

la rue da e xa ctamente e n el tiempo necesario para pas a r po r

s i¡uiente ranure d e l e r ued a . Una rueda par a e s te f i n

tiene un radio de ~. O ca y 500 d ien t e . en su bo r de .

dici o ne s t o.ad a . c uaQd o e l es pe jo es t eb a a SOO • d . l a rue-



- 295-

d" indic"ron una 5

v~l oc idad de la luz de 3.0 Jo; 10 km/seg .

( .) LCu ~1 era la veloc idad angular (constante) d. la rueda ~

(b) LCu ~ ) era la ve l oc idad li n al ~. un punt o de ; u perife-

L s

"1 ~ espejo semip l "tea do (~u ca pa ref le ctora e s tan delgad a

que s olo la .itad d e la luz que llega e s refl~jada

s iendo t ran s mitida la otra mitad).

r ~0.05 m

nCllllet 'O de d ien te s ~ 500

L = 500 m.

v ~ J, O 5

x 10 klll/ seg.

SOlud6n :

(a) ti tiemp o de ida y vuelta qu e t"rde el r"yo de luz en

re co rrer la distancia de r a " 2 es :

: 2 I./c (t, y deb e ser igual a l tiempo que requiere la r ued a para gir a r

161 .1ngulo O, (donde Q es l a dist a ncilll a ngu l lllr del cen tro d e

un h ueco al ce ntro de un diente) .,.1;e tiemp o es '.

Para que se cu mpla lo deseado:

2L :; ~ de donde o •

o, . . -2L

_-,("3C·CO,-.,--,1"OC'-im:/i-·"'·~"'C(-,lC/Cl",o~o"oC-'r-,·c·:.!...) " 300 r e y /s e g v :; 2 JI Soo

ro. :; 300--' ,., 2 rad 8 I 1 rey :; 1, S~ rad seg

(b) La velocidad lineal de un pun t o de su borde ~e r á:

v :; wr E l, 88~ x 0 .0 5 :; 9~. 20 mlse g



Rpt¡¡,:

- 296-

( a ) " '" 1, 8 811 rad /aeg

( b) v '" 9 11 .2 ./s eg.

'o . Uc ins~cto d e masa 8.0 x 10-2 g c a~ina hacia afuera con una

velocid ad co nst a nte de 1.6 c./seg s i gu i en do una linea r adial

mdrcada en el p la to ro tat o r i o de un f onógra f o qua gi r a con

velocid a d angular constante de 33 ~ rev /min . (a) Obte ner la

v~locid d d y la acelerac i ón del in s ecto tal como l o ve de sde

nfuera un ubs ervador, c uand o el insecto está a 1 2 c m del eje

de ,·otación. (b) ¿Cuál seria el ml01mo coeficiente de ro ~~

mlO,n t o para pe rmitir q u e el i nsecto s a liera hasta l a perit!

ría de la rresa g i rator ia ( r a dio " 16 cm) si n deslizar? (e)

¿Cómo .: ambiari an los r e sult a dos de (a) y de (b) s.i se apli

ca ra a la mesa giratoria una ac eleraci ón angular que aumen _

tar~ Su ve l ocid ad angu l a r ?

Soluci6 n : 100 r ..

" o -,- .. i n

100 ,. rod 1 alin " 0--,-- -1 rn 60 o.,

iI)vT:wT

reem plaza ndo datos:

hl "

"

" ' T

200"" 12 '" " 1 . 8 9 c. /s 180

- 1 . 6 Cal /s ha c i a af ue ra

, " 111 6.23 cm/s . ha c ia aden t ro

~ r '" 11 cmfs2

" 0 .2

200n o "TliOrad /seg

" peralanece ... .'i , .... Il:..t .• n::e,

el va l Or de " a ume n t a; a r ( b ) a ume nta rá

VT

, aR

, ~T aumentar§n po r qu e

au ment ar á ma t por . 1 te r mi no

" .n por el a umen to d e aR

y aT



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