Cap 11 Halliday & Resnick

1

Relembrando do cap. 10, já vimos o prob. Da maçaneta da porta, onde Vocês já se

perguntaram a respeito do motivo da maçaneta da porta ser posta o mais distante possível

da dobradiça. Bem, o motivo reside no fato de que, dependendo do lugar e da direção da

força aplicada na superfície da porta, você verá que diferentes acelerações angulares irão

surgir.

Torque e momento angular

Logo, o torque mede a tendência de uma força girar um objeto

sobre algum eixo.

A palavra torque vem do latim torquere, que significa torcer.

2

3

Naturalmente, uma força é necessária para que um torque seja criado, você não

pode girar um porta sem empurrá-la. Mas força e torque são duas coisas diferentes. Uma

distinção entre elas é a direção. Nós usamos sinais positivo e negativo para representar

forças nas duas direções possíveis ao longo de uma linha. No entanto, por convenção, a

direção de um torque é horária ou anti-horária e não uma direção linear.

Por ex.: considere uma partícula de massa m sujeita a uma força total F. A segunda Lei de

Newton aplicada a essa partícula é que determina os seus movimentos possíveis, ou seja,

p= momento linear

L= Momento angular da partícula em relação à uma origem O. É o

produto vetorial de seu vetor posição pelo seu momento linear.

Pela regra da mão direita visualizamos que L é perpendicular ao

plano formado por r e p.

= torque

dt

)pxr(dFXr..)r_por_lados_dois_os_multip(

dt

dprxxFr

dt

dpF...

dt

dp

dt

dmv

dt

dv.ma.mF

Usando as propriedades do produto vetorial, e sabendo que

Chegamos a:

Lembrando que v = r para o movimento circular, pela definição do momento angular,

temos:

4

Considerando o torque interno nulo, chegamos a:

5

6

Torque e Quantidade de Momento Angular

prL

A figura ao lado mostra uma partícula de massa m movendo-se

com uma velocidade v em uma posição r em relação à origem O.

A quantidade de momento linear da partícula é

p= m.v

ksenrmvvmrprL ˆ

Se r e p forem vetores posicionados no plano xy, conforme

mostrado na figura acima, o vetor L será paralelo ao eixo z e

expresso matematicamente por:

Como o torque, o momento angular é definido relativamente a um ponto no espaço.

A quantidade de momento angular L da partícula em relação à

origem O é definida como:

1L

Se Ø = 900, L= rmv k.

Sendo v = .r e o momento de inércia (I) de uma partícula em relação ao eixo z vale

mr2, tem-se:

L= rmr = mr2 = I

Corpo rígido sob a ação de um torque resultante - Torque e o produto vetorial

O torque, cujo nome vem do latim,que significa “torcer”, pode serdescrito como a ação de girar outorcer de uma força F. Quandoaplicamos uma força a um objetocom uma chave de fenda ou umachave de grifa com o objetivo defazer o corpo girar, estamosaplicando um torque (N.m). Émuito importante reconhecer que otorque é definido apenas quando éespecificado um eixo de referência.

Da segunda lei de Newton, vem que: Ft= m.at

E sabemos que at= α.R

Logo, Ft= m. α.R

Multiplicando os dois lados por R, temos: r.Ft= m. α.r2

Onde, o produto r.Ft é o torque associado a força: τ= r.Ft= r.F.senφ e,

torque aplicado à

i-ésima partícula.

(todas partículas)

é o momento de inércia do corpo. Desta forma:

Eixo de rotação

r Barra

rígida

F

tF

yF

2

, iiires rm

Irmrm iiiiresi )(22

,

)(2

iirm

Iextextres , 7

8

A mesma convenção que adota para a veloc.

Angular, adota-se para o toque (regra da mão

direita). A fig. mostra uma força F que atua

sobre a partícula numa posição r em relação

a origem O. o toque desta força, em relação a

origem, é o vetor perpendicular ao plano

definido por F e r, cujo módulo é F r sen φ,

em que φ é o ângulo entre F e r.

Se F e r estiverem no plano xy, como

na fig. o torque esta sobre o eixo z.

se F estiver aplicado à periferia de

um disco de raio r (fig. 10.4) o

torque tem módulo Fr e esta sobre o

eixo de rotação.

Definição de torque utilizando o produto vetorial

Em três dimensões, o torque éuma grandeza vetorial definidaem relação a um ponto fixo(usualmente a origem), ele édado por:

O produto vetorial entre doisvetores A e B é definido como ovetor , cujo módulo,

, é igual a área doparalelogramo formado entre osdois vetores

Podemos definir o produto vetorial como sendo:

Se A e B são paralelos,

é igual a zero. Assim, pela definição do produto vetorial: e

Fr

C AxBABsen

B

A

nABsenBA ˆ

BA

0AA

ABBA

9

c

Trabalho rotacional

drds ii

Quando um corpo é girado ele realiza trabalho,

aumentando a energia cinética. Considere a força F

agindo no corpo em rotação. Como o corpo gira de um

ângulo d, o ponto de aplicação da força se desloca de

i it i idW F ds (Fsen )rd ) d

ddW

A taxa na qual o torque realiza trabalho é a potência de

entrada do torque:

dt

d

dt

dWP

ouP 10

E a força realiza trabalho

Onde é o torque exercido pela componente tangencial

da força aplicada (Fg).

Quando um corpo gira de um pequeno ângulo d

Energia cinética rotacional de um sistema de partículas

Energia cinética rotacional da i-ésima partícula.

2 2 2

i i i

1 1K mv mr

2 2

Energia cinética rotacional de um sistema formado por N partículas

2 2 2 2 2 2 2 2

i 2 i i

2

1 1 1 1k mr mr ... mr mr

2 2 2 2

1k I

2

Onde I = momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação

2 2 2

i 2 iI mr mr .... mr

22

m 0I lim r m r dm

momento de inércia do corpo rígido:

11

12

11.3 - A Energia Cinética de Rolamento

Um objeto em rolamento possui dois tipos de energia cinética: uma

energia cinética de rotação

devida a sua rotação em torno do seu centro de massa

e uma energia cinética de translação devida a translação do seu

centro de massa

CMCM MVIK 22

2

1

2

1

CMMVK 2

2

1

Logo, a K total é:

13

11.11 – Conservação do momento angular

Momento angular inicial do sistema

roda de bicicleta – menino (+ banco)

ibicbiciILL

Menino inverte o eixo de rotação

da roda de bicicleta

ibicLL

Conservação do momento angular

Exemplo 1 - APLICAÇÕES

srotemkgImkgIitotbic

/9,3.8,6;.2,1 22 Dados

Queremos calcular a velocidade angular

final do sistema após o menino inverter o

eixo de rotação da roda de bicicleta (ver

figura)

14

Conservação do momento angular pois só

há forças internas no sistema

itotII 2

imen

iimenif

LL

LLLLL

2

Momento angular final do sistema

imenmenbicfLLLLL

srotI

I

tot

i /4,12

15

)(exti

iiFr

dt

Ld

Conservação do momento angularNo caso da mergulhadora da figura ao lado o

momento angular total não se conserva pois

Mas, no referencial do CM (acelerado neste

caso)

0

grmFrdt

Ld

iii

iii

0

.0 constLdt

Ld

gM

R L

e o CM segue o movimento

parabólico !16

11.4 - RolamentoEste é o caso em que a distância percorrida pelo CM do

objeto é dada por

Rsonde é o deslocamento angular do objeto em

torno de um eixo que passa pelo CM do sistema.

A velocidade do CM é dada por

Rdt

dR

dt

dsv

CM

Note que o ponto de contato P está sempre em repouso!

170v

Rs

sR

CMv

CMv

+ =

Rdt

dR

dt

dsv

CM

CMv

CMv

CMv

CMv

CMv2

0v

Decomposição do rolamento em rotação + translação

18

RolamentoVelocidade de um ponto em qualquer posição do corpo rígido

CM

vv

Qv

CMv Q

Energia cinética do corpo rígido

Exemplo

222

222

2

1)(

2

1

2

1

2

1

IMRIK

MRIK

CM

CM

I 19

gM

gMa

F

aF

- Rolamento

Atrito no rolamento

Transforma energia

cinética de rotação

em

translação

Transforma energia

cinética de

translação em

rotação

20

11.5 - O iô-iô

Z

Mg

T

Torque externo relativo ao CM

quando o iô-iô desce

CM

IT

Dinâmica linear

TMgMa

Condição de rolamento

a

TI

ae

I

M

MgT

CM

CM

2

2

1

21

Z

Mg

T

Note que se o iô-iô sobe, a velocidade angular

é a mesma, mas o torque muda de sinal

CM

IT

Por outro lado, o fio se enrola e a condição de

rolamento também muda de sinal

aComo a equação da translação não muda

temos novamente

TI

ae

I

M

MgT

CM

CM

2

2

1

22

Z

Mg

T

Podemos ainda resolver o mesmo problema

usando a conservação de energia

02

1

2

1 22 MgZIMvCMCM

A condição de rolamento é

CM

v

22 /2 MIgZMvCMCM

Sinal (+) para a subida e (–) para a descida. Equação que relaciona

posição com velocidade no movimento uniformemente acelerado.

23

Exemplo 3

Rolamento sobre um plano inclinado

gM

aF

N y

x

h

0cos MgN

Na direção y

Na direção x MaFMgasin

Torque relativo ao CM CMa

IRF R

Condição de rolamento sem deslizamento Ra Momento de inércia

2MkICM

k é o raio de giração

24

2

2

1

sin

R

k

ga

e

7/5

3/2

2/1

1

1

2

2

R

k

anel

esfera

Temos ainda

22

2

sinRk

kMgF

a

como cosMgFF

eea

rek

Rk tantan

2

22

Ângulo máximo para que haja rolamento sem

deslizamento

11.12- Precessão do momento angular

PiãoMódulo do torque da força peso

sinMgrLei fundamental da dinâmica das rotações

tL

tMgrL sin

sinsin ILLDa figura temos

25

sinsin ItMgr

Velocidade angular de precessão

I

Mgr

dt

d

- Precessão do momento angular

Centro de massa do pião executa movimento

circular com uma aceleração centrípeta

sin2rac

Força de atrito pião-piso é responsável por esta

aceleração

sin2rMFa

Como MgFa

r

g2

sin

para que a ponta do pião

fique fixa e haja apenas

movimento de rotação!

aF

26

Precessão do momento angular

Como a Terra é um esferóide oblato a Lua e o Sol provocam forças como as

mostradas abaixo e em 13000 anos...

27

Colisões com rolamento

O atrito entre as bolas de sinuca é desprezível,

mas o atrito entre a bola de sinuca e a mesa é

muito grande

Transmissão parcial do momento linear

da bola incidente

Transmissão total do momento linear da

bola incidente

(análise qualitativa)

28

- Colisões com rolamento

Diferentes momentos

angulares transmitidos à bola

Possíveis resultados da

colisão com uma bola que

incide com momento angular

não nulo

(análise qualitativa)

29

30

31

32

A taxa de variação com o tempo da área varrida por r é chamada de velocidade

aureolar. Pela Equação (7.3.15), a velocidade aureolar se expressa por

Como sabemos que o momento angular da Terra é constante, a velocidade

aureolar também é constante, ou seja, o raio vetor que liga a Terra ao Sol

descreve áreas iguais em tempos iguais. Aliás, essa é exatamente a 2ª Lei de

Kepler. Portanto, a 2ª Lei de Kepler é simplesmente uma conseqüência da

conservação do momento angular.33

rv

ksenrmvL

vmrprL

o ˆ90

22 ˆˆ mrkmrkrmvL

ImrL 2

Na figura ao lado, uma massa m está apoiada num disco circula de massa

desprezível, apoiado no plano xy com centro na origem. O disco gira em relação ao

seu eixo com velocidade angular

Sendo , temos:

Uma vez que o momento de inércia de uma partícula em relação ao eixo z vale mr2, tem-

se:

O1L

1r

Este resultado não é valido para a quantidade de movimento em

Relação a um ponto genérico sobre o eixo z. para duas massas

Iguais em relação a um ponto sobre o eixo z diferente daquele do

centro do disco: L = L1+L2

Para qquer sistema de partículas que gire em relação a um eixo

de simetria , a quantidade de mov. Angular tot, é paralela a veloc.

Angular e é Expressa por L = I

34

Velocidade Angular:

Suponha que o corpo em rotação

está na posição angular θ1 no

instante t1 e na posição θ2 no

instante t2. Definimos a velocidade

angular média do corpo por

35

Aceleração angular média

Aceleração angular instantânea

Fig.7: (a) Uma partícula em P do corpo rígido girante é localizada pelo vetor posição com origem em O. A partícula possui uma

velocidade angular (dirigida ao longo do eixo z) e velocidade tangencial. (b) A partícula em P possui aceleração angular ao longo do

eixo z, aceleração tangencial e aceleração radial.

velocidade angular instantânea: