183097292 halliday resnick krane fisica volumen 2 cap 25 31

~

FISICA Quinta edicin en ingls

(Cuarta edicin en espaol)

Robert Resnick Profesor de Fsica

Rensselaer Polytechnic Institute

David Halliday Profesor de Fsica

University of Pittsburgh

Kenneth S. Krane Profesor de Fsica

Oregon State University

Con la participacin de Paul Stanley

California Lutheran University

COMPAA EDITORIAL CONTINENTAL

PRIMERA REIMPRESIN MXICO, 2003

1

Para establecer comunicacin con nosotros puede hacerlo por:

~ -"} @

correo: Renacimiento 180, Col. San Juan Tllhuaca, Azcapotzalco, 02400, Mxico, D.F.

fax pedidos: (015) 561 4063. 561 5231

e-mail: [email protected]

home page: http:llwww.patriacultural.com.mx

Ttulo original de la obra: Physics/ Robert Resnick, David Halliday, Kenneth S. Krane, 5th edition ISBN: 0-471-40194-3 Copyright 1960, 1962, 1966, 1978, 1992, 2002. John Wuey & Sons,lnc. All rights reserved Traduccin autorizada de la edicin en ingls publicada por John Wiley & Sons, lnc.

Direccin editorial : Javier Enrique Callejas Coordinadora editorial: Elis.a Pecina Rosas Diseo de interiores: Ricardo Pineda Carrillo Diseo de portada: Enrique Romn Esnaurrzar

Traduccin: Efrn Alatorre Miguel Lic. en Fsica, UNAM

Revisin tcnica: Fsico Antonio Gen Mora Departamento de Ciencias - Coordinador de Fsica Universidad Iberoamericana - Cd. de Mxico

Ph. D. Ral Martnez Rosado Director del Departamento de Ciencias Bsicas ITESM - Campus Estado de Mxico

Ricardo Pez Martnez Coordinador Acadmico del Depto. de Fsica Universidad Nacional de Colombia

Fsica, vol. 2 Derechos reservados respecto a la cuarta edicin en espaol: 2002, GRUPO PATRIA CULTURAL, S.A. DE C.V. bajo el sello de Compaa Editorial Continental Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca, Delegacin Azcapotzalco, Cdigo Postal 02400, Mxico, D.F.

Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Registro nm. 43

ISBN 970-24-0326-X

Queda prohibida la reproduccin o transmisin total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas , sean electrnicas o mecnicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

Impreso en Mxico Printed in Mex.ico

Cuarta edicin: 2002 Primera reimpresin: 2003

( f

,. i

ALGUNAS CONSTANTES FiSICAS*

Velocidad de la luz en el vaco e 3.00 X 108 m/s Constante gravitacional Newtoniana G 6.67 X 10 11 N m2 / kg2 Constante de Avogadro NA 6.02 X 1023 mol- 1 Constante de gas molar R 8.3 1 J/ mol K Relacin masa-energa c2 8.99 X 1016 J/ kg

931.5 MeV / u Constante elctrica (permitividad) E o 8.85 X 10- 12 F / m Constante magntica (permeabilidad) P o 1.26 X 10- 6 H/ m Constante de P1anck h 6.63 X 10- 34 J s

4.14 X 10- 15 e V s Constante de Boltzman k 1.38 X 10- 23 J / K

8.62 X 10-5 e V / K Carga elemental e 1.60 x 10_9 e Masa del electrn me 9.11 x 10- 31 kg Energa del electrn en reposo m c2

e 511.0 keV

Masa del protn m p 1.67 x 10- 27 kg Energa del protn en reposo m c2 938.3 MeV p Radio de Bohr a o 5.29 X 10- ll m Magnetn de Bohr f.ts 9.27 X 10- 24 J/ T

5.79 X 10- 5 e V / T * En el apndice B viene una li sta ms completa que muestra tambin los valores experimentales ptimos.

ALG U NOS FACTOR ES DE C ONVE R S I N *

Masa 1 kg = 1,000 g = 6.02 X 1026 u 1 u = 1.66 x 10- 27 kg

Longitud 1 m = 100 cm = 39.4 in. = 3.28 ft 1 mi = 1.61 km = 5,280 ft 1 in. = 2.54 cm 1 ao luz = 3.26 parsec = 9.46 X 1015 m 1 = 0. 1 nm = 100 pm = 10- 10 m

Tiempo 1 d = 86,400 S 1 y = 365 .!.d = 3 16 X 107 s 4 .

Volumen 1 L = 1,000 cm3 = 10- 3 m3 = 1.06 quart 1 gal (U.S.) = 23 1 in .3 = 3.79 L

Medida angular l rad = 57.3 = 0.159 rev 1T rad = 180 = .!. rev 2

*Vase en el apndice G una li sta ms completa.

Velocidad 1 m/s = 3.28 ft /s = 2.24 mi/ h 1 kg/ h = 0.621 mi/ h

Fuerza y presin l N = 105 dina = 0.225 lb 1 Pa = 1 N/ m2 = 10 dina/cm2 = 1.45 X 10- 4 Ib/ in .2 1 atm = 1.01 X 105 Pa = 14.7 lb/ in.2 = 76 cm-Hg

Energa y potencia 1 J = 107 erg = 0.239 cal = 0.738 ft Ib 1 kW h = 3.6 X 106 J 1 cal = 4.19J 1 eV = 1.60 X 10- 19 J 1 caballo de fuerza = 746 W = 550ft Ib/s

Electricidad y magnetismo 1 T = 1 Wb/ m2 = 104 gauss

/

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

PREFACIO DEL VOLUMEN 2

/

E sta es la quinta edicin del libro que en 1960 David Ha-lliday y Robert Resnick publicaron por primera vez con el t-tulo de Physics for Students of Science and Engineering. Desde hace 40 aos ha sido la obra clsica en el curso intro-ductorio basado en el clculo y ha gozado de gran prestigio por su exposicin clara y exhaustiva. En esta edicin hemos procurado mejorar la accesibilidad, sin sacrificar el nivel ni el rigor de su contenido. Reescribimos gran parte del libro para que el material fluya mejor y para facilitar la introduccin a nuevos temas. Hemos tratado de ofrecer ejemplos ms prcti-cos y de proceder de lo particular a lo general cuando se abor-dan temas nuevos.

En la presente edicin se incluyen muchos cambios en la didctica, lo mismo que en la orden de los captulos. Quienes estn familiarizados con la cuarta edicin encontrarn los mismos temas, aunque en un orden ligeramente revisado. Al realizar las revisiones recurrimos a usuarios de las ediciones anteriores y tuvimos en cuenta los resultados de la investiga-cin dedicada a la enseanza de la fsica. A continuacin se-alamos las innovaciones que ofrece esta edicin.

l. Debido a la reordenacin que condujo a eliminar dos ca-ptulos del volumen 1, los del volumen 2 fueron numerados comenzando con el 25 (que corresponde al 27 de la cuarta edicin).

2. A los alumnos les resulta difcil integrar las distribucio-nes de carga continua cuando calculan los campos elctricos, procedimiento que es a la vez conceptualmente abstracto y nada fcil desde el punto de vista del clculo. A fin de resol-ver antes los problemas conceptuales, explicamos el procedi-miento al tratar de las fuerzas elctricas y no de los campos elctricos; por ejemplo, en el captulo 25 se explica cmo cal-cular la fuerza ejercida por una lnea de carga sobre una car-ga puntual. En general, los alumnos intuyen mejor las fuerzas que los campos, de modo que podemos exponer el procedi-miento matemtico en un contexto ms fsico. Ms adelante repetiremos los clculos de campos y de potenciales. Por mo-tivos parecidos, abordamos los teoremas de cascarones en el captulo 25 dentro del contexto de las fuerzas, lo cual corres-ponde a su introduccin en el captulo 14 del volumen 1 al tratar de la fuerza gravitacional.

3. En ediciones anteriores la dispersin de Rutherford se inclua en el captulo dedicado a la ley de Gauss; ahora se in-corpora en la explicacin de los campos elctricos en el cap-tulo 26.

4. En el captulo 27 (Ley de Gauss), hemos ampliado la ex-posicin sobre la relacin entre el flujo elctrico y las lneas de campo; ahora nos ocupamos de las aplicaciones ordinarias de la ley a las distribuciones de carga continua y luego de su aplicacin a los conductores.

5. El captulo 29 (Propiedades elctricas de los materia-les) fue reescrito e incorpora material acerca de los conducto-res y los dielctricos que en ediciones anteriores apareca en los dos captulos de los capacitares y la corriente. Creemos que se trata de material independiente y que, al exponerlo de esta manera, es ms fcil contrastar el comportamiento de los conductores y el de los aislantes en los campos elctricos.

6. La investigacin de la enseanza de la fsica revela que los estudiantes tienen serios problemas para entender el com-portamiento de los circuitos simples de corriente directa. Por ello hemos ampliado la exposicin de este teJ?a, al mismo tiempo que reducimos la de los circuitos multiespiras y la de los instrumentos de medicin.

7. En esta edicin comenzamos la introduccin a las fuen-tes del campo magntico (Captulo 33) explicando el campo debido a una sola carga en movimiento y pasando luego al campo debido a un elemento de corriente. Se logra as una mejor correspondencia con la forma en que se abordan los campos magnticos en el captulo anterior (se examina la fuerza en una sola carga en movimiento y luego en un ele-mento de corriente). Ahora se calcula directamente el campo axial de un solenoide usando la ley de Biot-Savart antes de re-petir el clculo mediante la de Ampere.

8. El momento dipolar magntico se pospone hasta el ca-ptulo 35 (Propiedades magnticas de los materiales) . En par-te lo hicimos para no sobrecargar a los estudiantes con material nuevo en el primer captulo dedicado a los campos magnticos y para ofrecerles una exposicin ms coherente al iniciar el tratamiento del dipolo magntico en un contexto donde se aplicar muy directamente. Hemos abreviado un po-co la explicacin del magnetismo atmico y nuclear en este captulo, optando por posponer una explicacin ms a fondo en un captulo posterior, una vez expuestos algunos de los ru-dimentos de la estructura atmica junto con el espn de los electrones.

9. Se integraron los captulo 40, 41, 42 y 43 de la edicin anterior a los captulos 38 y 39 de la quinta edicin. El cap-tulo 38 trata ahora de las ecuaciones de Maxwell y de sus apli-caciones a las ondas electromagnticas, material que figuraba

VIII PREFACIO DEL VOLUMEN 2

en los captulos 40 y 41 de la cuarta edicin. En el captulo 39 se estudian las propiedades de las ondas de luz, incluyndose adems la reflexin y la refraccin; se incorpora as material que apareca antes en los captulos 41, 42 y 43. La formacin de imgenes mediante espejos planos aparece en el siguiente captulo (40), donde encaja ms espontneamente con la ex-plicacin de la formacin de imgenes mediante espejos y lentes.

10. En la cuarta edicin los temas de la fsica moderna es-taban esparcidos a lo largo del libro, generalmente en seccio-nes marcadas como "opcionales". En esta edicin seguimos utilizando ejemplos tomados de ella donde conviene, pero las secciones especiales de la fsica moderna fueron integradas en los captulos 45-52 donde se estudian temas de la fsica cuntica y sus aplicaciones a tomos, slidos y ncleos. Esta-mos firmemente convencidos de que la relatividad y la fsica cuntica son partes esenciales de un curso introductorio de es-te nivel; pero la mejor forma de hacerles justicia a esos temas es una presentacin coherente y unitaria, no una mera colec-cin de exposiciones aisladas. Igual que en la cuarta edicin, el captulo dedicado a la relatividad especial se encuentra en-tre los captulos de la mecnica clsica en el volumen 1, lo cual refleja nuestra idea de que la relatividad especial debe ubicarse entre los captulos sobre la cinemtica y la mecnica que tratan de la fsica clsica. Los captulos 45-48, donde se estudian la fsica cuntica y sus aplicaciones al tomo, fueron reescritos en gran parte a partir de la cuarta edicin. En el ca-ptulo 45 se explican los primeros experimentos tradicionales que revelan las propiedades de la radiacin electromagntica a nivel de partculas: la radiacin trmica, el efecto fotoelc-trico y la difusin de Compton. Sin embargo, la evidencia ine-quvoca en favor de la dualidad partcula-onda de la luz proviene slo de los experimentos de decisin retrasada, que ahora se incluyen en el captulo 45. En esta edicin los rudi-mentos de la teora de Schrbdinger se estudian ahora en el ca-ptulo 46, con aplicaciones detalladas a los pozos de potencia y al tomo de hidrgeno en el captulo 47. El captulo 48, que versa sobre la estructura del tomo, se parece al 52 de la cuar-ta edicin, slo que se agreg material concerniente al mag-netismo atmico.

En esta edicin, el material de final de captulo difiere no-tablemente del que se incluy en la anterior. Los conjuntos de problemas (que remitan a las secciones de captulo) fueron revisados con mucho esmero y repartidos en dos grupos: ejer-cicios y problemas. Los ejercicios, que remiten a las seccio-nes del libro, suelen ser aplicaciones directas del material expuesto en la seccin correspondiente. Su finalidad es ayu-darle al alumno a familiarizarse con los conceptos, con fr-mulas importantes, con unidades y dimensiones, etc. Los problemas, que no remiten a las secciones del libro, requieren a menudo emplear conceptos de varias secciones e inclusive de captulos anteriores. En algunos se pide estimar o localizar por su cuenta los datos necesarios para resolverlos. Al corre-gir y agrupar los ejercicios y los problemas suprimimos algu-nos problemas de la edicin anterior. Un suplemento de problemas contendr la mayora de ellos, lo mismo que una

seleccin de ejercicios y problemas nuevos. Como en la cuar-ta edicin, las respuestas a los ejercicios y problemas impares vienen en el libro y las de los pares vienen en el manual del profesor.

Al material de final de captulo se agregaron preguntas de opcin mltiple y problemas para resolver por computadora. Las preguntas por lo regular son conceptuales y a menudo exigen gran penetracin del material. Las respuestas vienen en el manual del profesor. Los problemas pueden requerir ese tar familiarizados con las tcnicas de hojas de clculo o con las rutinas de manipulacin simblica como Maple o Mathe-matica.

El material de final de captulo se prepar con la valiosa ayuda de Paul Stanley de la California Lutheran University. En este proyecto tuvimos la suerte de aprovechar sus excelen-tes ideas y creatividad.

Hemos procurado elaborar un libro que ofrezca un trata-miento de la fsica lo ms completo y riguroso posible en es-te nivel. Con todo, conviene sealar lo siguiente: pocos profesores o ninguno querrn seguir el libro de principio a fin, sobre todo en un curso de un ao. Ofrece muchas alterna-tivas al respecto. El que desee estudiar con mayor profundi-dad menos temas (el conocido enfoque de "menos y mejor") podr seleccionar varias de ellos. Algunas secciones o subsec-ciones estn marcas como "opcionales", lo cual significa que pueden omitirse sin perder la continuidad. Segn el programa del curso, lo mismo puede hacerse con otra secciones o inclu-so con captulo enteros; tambin pueden estudiarse con menor profundidad. El manual del profesor, material complementa-rio del texto, contiene sugerencias para abreviar el tratamien-to. Con todo, se incluye una exposicin completa de los temas, de modo que el estudiante interesado encontrar en el libro los temas omitidos y se har una idea ms amplia del te-ma. Confiamos que nuestro libro sea visto como una especie de "mapa" de la fsica: pueden tomarse carreteras panormi-cas o directas, sin que se requiera utilizarlas todas en el pri-mer viaje. Al viajero lleno de curiosidad se le estimular para que regrese al mapa y explore regiones que no visit en el pri-mer recorrido.

El libro viene en dos volmenes. En el volumen 1 se es-tudian la cinemtica, la mecnica y la termodinmica; el vo-lumen Il incluye electromagnetismo, ptica, fsica cuntica y sus aplicaciones. Los suplementos disponibles en ingls son:

Instructor's Solutions Manual Student Solution Manual Instructor's Manual Student Study Guide Instructor 's Resource CD Physics Simulations Test Bank eGrade Homework

Management System

Para mayor informacin sobre estos suplementos, favor de comunicarse con su representante de CECSA.

Al preparar esta edicin hemos aprovechado las recomen-daciones de un equipo muy profesional de revisores quienes,

PREFACIO DEL VOLUMEN 2 IX -

en forma individual o colectiva, aportaron comentarios y cr-ticas en casi todas las pginas de la obra:

Richard Bukey, Loyola University Duane Carmony, Purdue University J. Richard Chrisman, U. S. Coast Guard Academy John Dixon, California State University-San Bernardino John Federici, New Jersey Institute of Technology David Gavenda, University of Texas-Austin Stuart Gazes, University of Chicago James Gerhart, University of Washington John Gruber, San Jose State University Martin Hackworth, ldaho State University Jonathan Hall, Pennsylvania State University, Behrend Oshri Karmon, Diablo Valley College Jim Napolitano, Rensselaer Polytechnic Institute Donald Naugle, Texas A&M University Douglas Osheroff, Stanford University Harvey Picker, Trinity College Anthony Pitucco, Prima Community College Robert Scherrer, Ohio State University John Toutonghi, Seattle University

Queremos expresar nuestra profunda gratitud a todas es-tas personas por su esfuerzo y por las ideas que nos dieron. Tambin queremos agradecer las recomendaciones del Phy-sics Education Group de la Universidad de Washington, espe-cialmente a Paula Heron y a Lillian McDermott.

El personal de John Wiley & Sons nos brind su constan-te ayuda en el proyecto, por lo cual le estamos profundamen-te agradecidos. Un testimonio especial de gratitud a Stuart Johnson por el manejo de l y por su dedicacin hasta una fe-liz culminacin. Contribuyeron mucho a la calidad del libro la editora de produccin Elizabeth Swain, la editora de foto-grafas Hilary Newman, la editora qe ilustraciones Anna Mel-horn y la diseadora grfica Karin Kinchloe. Este proyecto no hubiera sido posible sin las habilidades y el trabajo de ellas.

Pese a los esfuerzos de los autores, de los revisores y de los editores, es inevitable que aparezcan errores en el texto; agradeceramos mucho a los usuarios que nos hicieran llegar sus correcciones y comentarios sobre el contenido o la estruc-tura didctica de la obra. Nos comprometemos a leer el mayor nmero posible de ellos, pero sentimos no poder con-testarles a todos. No obstante, solicitamos a nuestros lectores enviarnos sus comentarios a la direccin electrnica: info@ patriacultural. com.mx

-----------------------------------~-----------------------------------------------------------------

CONTENIDO

CAPTULO 25 CARGA ELCTRICA Y LEY DE COULOMB 567 25-1 Electromagnetismo: introduccin 567 25-2 Carga elctrica 568 25-3 Conductores y aislantes 571 25-4 Ley de Coulomb 573 25-5 Distribuciones .continuas de carga 576 25-6 Conservacin de la carga 580

Preguntas y problemas 9

CAPTULO 26 CAMPO ELCTRICO 587 26-1 Qu es un campo? 587 26-2 Campo elctrico 588 26-3 Campo elctrico de cargas puntuales 590 26-4 Campo elctrico de distribuciones

continuas de carga 592 26-5 Las lneas del campo elctrico 595 26-6 Una carga puntual en un campo elctrico 597 26-7 Dipolo en un campo elctrico 600 26-8 El modelo nuclear del tomo (opcional) 602


CAPTULO 27 LEY DE GAUSS 611 27-1 A qu se refiere la ley de Gauss? 611 27-2 El flujo de un campo vectorial 612 27-3 El flujo de un campo elctrico 613 27-4 Ley de Gauss* 616 27-5 Aplicaciones de la ley de Gauss 617 27-6 Ley de Gauss y los conductores 621 27-7 Pruebas experimentales de la ley de Gauss

y de la de Coulomb 624 Preguntas y problemas 627

CAPTULO 28 LA ENERGA ELCTRICA Y EL POTENCIAL ELCTRICO 635 28-1 Energa potencial 635

MlJ\A LOPEZ ~Mf.RICO

28-2 Energa potencial elctrica 636 28-3 El potencial elctrico 639 28-4 Clculo del potencial a partir del campo 640 28-5 Potencial generado por cargas puntuales 641 28-6 El potencial elctrico de las distribuciones

de carga continua 644 28-7 Clculo del campo a partir del potencial 646 28-8 Superficies equipotenciales 648 28-9 El potencial de un conductor cargado 649 28-1 O El acelerador electrosttico (opcional) 651


CAPTULO 29 PROPIEDADES ELCTRICAS DE LOS MATERIALES 661 29-1 Tipos de materiales 661 29-2 Un conductor en un campo elctrico:

condiciones estticas 662 29-3 Un conductor en un campo elctrico:

condiciones dinmicas 663 29-4 Materiales hmicos 666 29-5 Ley de Ohm: una perspectiva microscpica 668 29-6 Un aislante en un campo elctrico 670


CAPTULO 30 CAPACITANCIA 679 30-1 Capacitores 679 30-2 Capacitancia 679 30-3 Clculo de la capacitancia 681 30-4 Capacitores en serie y en paralelo 683 30-5 Almacenamiento de energa en un

campo elctrico 685 30-6 Capacitor con dielctrico 687


CAPTULO 31 CIRCUITOS DE CORRIENTE DIRECTA 701 31-1 Corriente elctrica 701 31-2 Fuerza electromotriz 703 31-3 Anlisis de circuitos 704

/

XII

31-4 Campos elctricos en los circuitos* 709 31-5 Resistores en serie y en paralelo 710 31-6 Transferencias de energa en un

circuito elctrico 713 31-7 Circuitos RC 713


CAPTULO 32 EL CAMPO MAGNTICO 725 32-1 Interacciones y polos magnticos 725 32-2 La fuerza magntica sobre una carga

en movimiento 727 32-3 Cargas circulantes 731 32-4 El efecto Hall 734 32-5 La fuerza magntica en un alambre

portador de corriente 736 32-6 El par en una espira de corriente 738


CAPTULO 33 EL CAMPO MAGNTICO DE UNA CORRIENTE 749 33-1 El campo magntico producido por una

carga en movimiento 749 33-2 El campo magntico de una corriente 752 33-3 Dos corrientes paralelas 756 33-4 El campo magntico de un solenoide 758 33-5 Ley de Ampere 760 33-6 Electromagnetismos y marcos de referencia

(opcional) 764 Preguntas y problemas 772

CAPTULO 34 LA LEY DE INDUCCIN DE FARADAY 775 34-1 Los experimentos de Faraday 775 34-2 La ley de induccin de Faraday 776 34-3 Ley de Lenz 777 34-4 Fuerza electromotriz de movimiento 780 34-5 Generadores y motores 782 34-6 Campos elctricos inducidos 783 34-7 La induccin y el movimiento relativo

(opcional) 786 Preguntas y problemas 791

CAPTULO 35 PROPIEDADES MAGNTICAS DE LOS MATERIALES 801 35-1 El dipolo magntico 801 35-2 La fuerza sobre un dipol"en un campo

no uniforme 804

CONTENIDO

35-3 Magnetismo atmico y nuclear 805 35-4 Magnetizacin 807 35-5 Materiales magnticos 808 35-6 El magnetismo de los planetas (opcional) 811 35-7 Ley de Gauss aplicada al magnetismo 814


CAPTULO 36 INDUCTANCIA 823 36-1 Inductancia 823 36-2 Clculo de la inductancia 824 36-3 Circuitos LR 826 36-4 Almacenamiento de energa en un

campo magntico 827 36-5 Oscilaciones electromagnticas: cualitativas 830 36-6 Oscilaciones electromagnticas: cuantitativas 832 36-7 Oscilaciones amortiguadas y forzadas 833


CAPTULO 37 CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA 845 37-1 Corrientes alternas 845 37-2 Tres elementos separados 846 37-3 El circuito RLC de una malla simple 848 37-4 Potencia en los circuitos de corriente alterna 851 37-5 El transformador (opcional) 852


CAPTULO 38 LAS ECUACIONES DE MAXWELL Y LAS ONDAS ELECTROMAGNTICAS 861 3 8-1 Las ecuaciones bsicas del electromagnetismo 861 38-2 Campos magnticos inducidos y la

corriente de desplazamiento 862 38-3 Ecuaciones de Maxwell 864 38-4 Generacin de una onda electromagntica 866 38-5 Ondas viajeras y las ecuaciones de Maxwell 868 38-6 Transporte de energa y el vector de Poynting 870 38-7 Presin de radiacin 872


CAPTULO 39 ONDAS DE LUZ 883 39-1 El espectro electromagntico 883 39-2 La luz visible 886 39-3 La velocidad de la luz 887 39-4 Reflexin y refraccin de las ondas de luz. 890 39-5 Reflexin interna total 897 39-6 El efecto Doppler para la luz 899


CONTENIDO XIII 1

CAPTULO 40 ESPEJOS Y LENTES 913 40-1 Formacin de imgenes por medio

de espejos y lentes 913 40-2 Espejos planos 914 40-3 Espejos esfricos 917 40-4 Superficies esfricas refractantes 921 40-5 Lentes delgadas 923 40-6 Instrumentos pticos 928


CAPTULO 41 INTERFERENCIA 941 41-1 Interferencia de dos fuentes 941 41-2 Interferencia de rendija doble 942 41-3 Coherencia 944 41-4 Intensidad en la interferencia de rendija doble 946 41-5 Interferencia proveniente de

pelculas delgadas 948 41-6 Interfermetro de Michelson 953


CAPTULO 42 DIFRACCIN 963 42-1 La difraccin y la teora ondulatoria de la luz 963 42-2 Difraccin de rendija simple 965 42-3 Intensidad en la difraccin de rendija simple 967 42-4 Difraccin en una abertura circular 970 42-5 Combinacin de interferencia y

difraccin de rendija doble 971 Preguntas y problemas 976

CAPTULO 43 REJILLAS Y ESPECTROS 981 43-1 Rendijas mltiples 981 43-2 Rejillas de difraccin 985 43-3 Dispersin y potencia de resolucin 986 43-4 Difraccin de rayos X 988 43-5 Holografa (opcional) 992


CAPTULO 44 ----------- -------

POLARIZACIN 999 44-1 Polarizacin de las ondas electromagnticas 999 44-2 Hojas de polarizacin 1001 44-3 Polarizacin por reflexin 1003 44-4 Refraccin doble 1004 44-5 Polarizacin circular 1006 44-6 Polarizacin por dispersin 1008


MEJIA LDPEZ AMERICO CAPTULO 45 LA NATURALEZA DE LA LUZ 1015 45-1 Introduccin al fotn 1015 45-2 Radiacin trmica 1016 45-3 El efecto fotoelctrico 1019 45-4 El efecto Compton 1021 45-5 Descubrimiento del fotn 1025 45-6 Fotones y ondas 1024 45-7 Reduccin de la velocidad de los tomos

por bombardeo con fotones 1026 Preguntas y problemas 1029

CAPTULO 46 LA NATURALEZA DE LA MATERIA 1035 46-1 Ondas de materia 1035 46-2 Pruebas de la hiptesis de DeBroglie 1036 46-3 Ondas y partculas 1041 46-4 Principio de incertidumbre de Heisenberg 1042 46-5 La funcin de onda 1044 46-6 La ecuacin de Schrdinger 1045 46-7 El efecto tnel 1046


CAPTULO 47 ELECTRONES EN POZOS DE POTENCIAL 1055 47-1 Electrones libres y ligados 1055 47-2 Un electrn atrapado en un pozo de potencial 1055 47-3 Un electrn atrapado en un pozo finito 1060 47-4 Un electrn atrapado en un tomo 1062 47-5 El estado base del tomo de hidrgeno 1065 47-6 Momento angular de los electrones

en los tomos 1066 47-7 Un estado excitado del tomo

de hidrgeno 1069 47-8 Conteo de los estados del hidrgeno 1070


CAPTULO 48 ESTRUCTURAATMICA 1079 48-1 El espectro de rayos X de los tomos 1079 48-2 Los rayos X y la numeracin de

los elementos 1081 48-3 Construccin de tomos 1082 48-4 La tabla peridica 1083 48-5 Magnetismo atmico 1086 48-6 El experimento de Stem-Gerlach 1087 48-7 Resonancia magntica nuclear 1089 48-8 Magnetismo y radiaciones atmicas

(opcional) 1090 48-9 Lseres y luz lser 092


XIV CONTENIDO

CAPTULO 49 CONDUCCIN ELCTRICA EN LOS SLIDOS 1103 49-1 Teora cuntica de los slidos 1103 49-2 Electrones de conduccin en un metal 1104 49-3 Llenado de los estados pennitidos 1105 49-4 Conduccin elctrica en metales 1108 49-5 Bandas y brechas 1109 49-6 Conductores, aislantes y semiconductores 1111 49-7 Semiconductores dopados 1112 49-8 La unin pn 1114 49-9 Optoelectrnica 1117 49-1 O El transistor 1119 49-11 Superconductores 1120


CAPTULO 50 FSICA NUCLEAR 1129 50-1 Descubrimiento del ncleo 1129 50-2 Algunas propiedades del ncleo 1131 50-3 Decaimiento radiactivo 1135 50-4 Decaimiento alfa 1136 50-5 Decaimiento beta 1138 50-6 Medicin de la radiacin de ionizacin 1139 50-7 Radiactividad natural 1140 50-8 Reacciones nucleares 1141 50-9 Modelos nucleares (opcional) 1143


CAPTULO 51 ENERGA PROCEDENTE DEL NCLEO 1153

51-1 El tomo y el ncleo 1153 51-2 Fisin nuclear: el proceso bsico 1154 51-3 Teora de la fisin nuclear 1155 51-4 Reactores nucleares: los principios bsicos 1157

51-5 Un reactor natural 1159 51-6 Fusin termonuclear: el proceso bsico 1161 51-7 Fusin termonuclear en las estrellas 1162 51-8 Fusin termonuclear controlada 1164


CAPTULO 52 FSICA DE PARTCULAS Y COSMOLOGA 545 52-1 Interacciones de las partculas 545 52-2 Familias de partculas 546 52-3 Leyes de conservacin 547 52-4 El modelo de los quarks 551 52-5 La cosmologa del Big Bang 551 52-6 Nucleosntesis 555 48-7 La edad del universo 557


APNDICES A. El sistema internacional de unidades (SI) A -1 B. Constantes fsicas fundamentales A-3 C. Datos astronmicos A-4 D. Propiedades de los elementos A-6 E. Tabla peridica de los elementos A-9 F. Partculas elementales A-10 G. Factores de conversin A-12 H. Vectores A-17 l. Frmulas matemticas A-20 J. Premios Nobel de Fsica A-22

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS IMPARES A-26

CRDITOS DE LAS FOTOGRAFAS P-1

NDICE 1-1

CARGA ELCTRICA Y LEY DE COULOMB

liciamo,, en e>te capitulo, un e"udio de talludo del electro-magnetismo, que abarcar casi toda la parte restante de/libro. Las fuerzas electromagnticas producen la es-tructura de los tomos y la unin de stos en molculas y slidos. Muchas propiedades de los materiales examinados hasta ahora son de ndole electromagntica, entre ellas la elasticidad de los slidos y la tensin su-perficial de los lquidos. La fuerza de resorte, la friccin y la fuerza normal provienen de la fuerza electromag-ntica existente entre los tomos.

Entre los ejemplos del electromagnetismo que vamos estudiar se encuentran la fuerza entre cargas elctri-cas, como la que ocurre entre un electrn y el ncleo de un tomo; el movimiento de un cuerpo cargado sujeto a una fuerza elctrica externa (por ejemplo, un electrn en un haz de osciloscopio); el flujo de cargas elctri-cas a travs de circuitos y el comportamiento de los elementos de un circuito; la fuerza entre imanes permanen-tes y las propiedades de los materiales magnticos; la radiacin electromagntica, que finalmente culmina con el estudio de la ptica, la naturaleza y la propagacin de la luz.

En este captulo comenzaremos con la exposicin de la carga elctrica, algunas propiedades de los cuer-pos cargados y la fuerza elctrica fundamental entre dos cuerpos con carga.

25-1 ELECTROMAGNETISMO: INTRODUCCIN

Qu tienen en comn las tres situaciones siguientes? l. Encendemos el apagador del cuarto. El consumo de

combustible en una planta elctrica produce energa electro-magntica al hacer que una espira de un alambre conductor gire cerca de un imn. Finalmente parte de esta energa se transfiere a los electrones en el filamento de la lmpara, el cual transforma la energa elctrica en luz visible.

2. Introducimos una orden en el teclado de la compu-tadora. Se forma un haz de electrones que transmite nuestras instrucciones. En los circuitos del sistema existen miles de trayectorias posibles para los electrones, pero casi todas estn bloqueadas por puertas electrnicas. Los electrones pueden desplazarse slo a travs de las que abri la orden, de modo que el haz de electrones llega a su destino y se ejecuta la mis-ma orden.

3. Oprimimos el botn de seleccin de canales en el con-trol remoto de nuestro televisor. Las ondas electromagnticas se dirigen desde la unidad del control hasta un receptor del te-levisor, el cual entonces lo sintoniza para que acepte otra onda electromagntica proveniente de un satlite situado a gran al-tura de la Tierra. Las ondas provenientes del satlite dan ins-trucciones al televisor para que, con las fuerzas elctrica y magntica, concentre y dirija un haz de electrones que choca contra la superficie del tubo de la imagen y produzca una ima-gen visible.

El factor comn en estos tres fenmenos aparentemente diversos es que se basan en fuerzas elctricas o magnticas que controlan y dirigen el flujo de energa o de partculas. Estas fuerzas constituyen las bases para el estudio del electromag-netismo. En este estudio veremos que todos los efectos electro-magnticos pueden explicarse mediante cuatro ecuaciones bsicas, conocidas como ecuaciones de Maxwell. stas repre-sentan las leyes individuales del electromagnetismo, al igual que las ecuaciones antes expuestas, que representan

568 CAPITULO 25 1 CARGA ELCTRICA Y LEY DE COULOMB

las leyes de la mecnica de Newton o las de la termodin-mica.

Vamos a analizar primero los fenmenos elctricos y luego los magnticos. Ms adelante demostraremos que es imposi-ble separarlos: algunos fenmenos elctricos producen efectos magnticos, y algunos fenmenos magnticos, efectos elctri-cos. Esto nos lleva a unificarlos bajo la designacin comn de electromagnetismo. El descubrimiento de las leyes del elec-tromagnetismo y su unificacin fue un gran triunfo de la fsica del siglo XIX. Su aplicacin ha dado origen a muchos apara-tos de uso prctico: motores, radios, televisores, radar, hornos de microondas y telfonos celulares.

El desarrollo de la teora electromagntica prosigui en el siglo XX, con tres adelantos de gran trascendencia. En 1905 Albert Einstein demostr que, para un observador en movi-miento, los efectos elctricos aparecen como efectos magn-ticos; por tanto, los observadores en movimiento relativo podran disentir al asignar las mismas medidas a las causas elctricas o magnticas. Esta conclusin es la base de la teo-ra especial de la relatividad, la cual terminara revolucionan-do nuestros conceptos de espacio y tiempo. El segundo adelanto fue la formulacin de una teora cuntica del electro-magnetismo, denominada electrodinmica cuntica, que al-canz su plenitud hacia 1949 y que permiti calcular las propiedades del tomo con extraordinaria precisin, actual-mente con 11 cifras significativas. El tercer avance fue la uni-ficacin del electromagnetismo con otra fuerza, la fuerza "dbil", la cual causa decaimiento radiactivo y otras interaccio-nes entre las partculas. Del mismo modo que los efectos elc-tricos y magnticos fueron unificados como la interaccin electromagntica, tambin, en la dcada de 1960, se compro-b que los efectos electromagnticos y dbiles estaban unifi-

600 a. de C.

1600 d. de C.

1700 1785

1820 1825 1827 1829 1831 1864

1887 ~ 1897 // 1900 1905

1949

1967

2000

Minerales elctricos y magnticos (griegos antiguos) Atraccin elctrica y magntica (Gilbert)

Fuerza entre cargas elctricas (Coulomb)

-- Invencin de la batera (Volta) Las corrientes desvan la brjula magntica (Oersted) Campos magnticos causados por corrientes (Ampre) Conduccin elctrica (Ohm} Motor elctrico (Henry) Corrientes inducidas por campos magnticos (Faraday) Ecuaciones de electromagnetismo (Maxwell) Ondas electromagnticas (Hertz) Descubrimiento del electrn (Thomson)

Teora especial de la relatividad (Einstein) Electrodinmica cuntica

Teora electrodbil (Giashow, Weinberg, Salam)

FIGURA 25-1 . Cronologa de los principales avances en el electromagnetismo.

cados bajo la interaccin electrodbil. En nuestro estudio de las fuerzas elctricas y magnticas, esta interaccin no aporta nada nuevo; conviene ms estudiar de manera separada la in-teraccin electromagntica.

La figura 25-1 es una cronologa de algunos de los gran-des acontecimientos que han permitido el desarrollo de nues-tro conocimiento del electromagnetismo.

25-2 CARGA ELCTRICA Despus de pasar varias veces un peine de plstico por el cabe-llo, encontraremos que el peine ejerce una fuerza sobre los mechones. Tambin observaremos que, una vez atrados los me-chones hacia el peine y una vez que entran en contacto con l, dejan de verse atrados.

Parece razonable concluir lo siguiente: la atraccin entre el peine y el cabello se debe a que una entidad fsica es trans-ferida desde el peine hacia el cabello cuando se frotan; la mis-ma entidad fsica vuelve a ser transferida para que neutralice la atraccin cuando entran en contacto. Esta entidad fsica reci-be el nombre de carga elctrica; hoy interpretamos la transfe-rencia sobre la base de que los electrones pueden ser extrados de los tomos de un objeto y fijados a los de otro.

La transferencia de una carga elctrica mediante friccin es un fenmeno comn. Lo conocan los antiguos griegos, quie-nes observaron que el mbar al ser frotado con piel, atraa pe-dazos de heno. Cuando uno carnina sobre una alfombra y siente un choque elctrico al tocar una manija metlica de la puerta o cuando un relmpago llega al suelo desde una nube, son fenmenos que nos permiten observar esta transferencia de carga.

Cuando "cargamos" un objeto (es decir, cuando le trans-ferimos carga), descubrimos que ste ejerce fuerza sobre otro tambin cargado. Las primeras observaciones de que esta fuer-za puede ser atractiva o repulsiva, nos llevan a la conclusin de que existen dos tipos de carga elctrica: positiva y negati-va.*

Los efectos resultantes de la transferencia de carga son a veces potentes; no obstante, conviene sealar que se originan en la transferencia de una pequea fraccin de la carga elc-trica contenida en los objetos. La materia ordinaria se compo-ne de tomos o molculas elctricamente neutros, que contienen cantidades iguales de carga positiva (el ncleo) y negativa (los electrones). Cuando se frotan dos objetos, unos pocos electrones de los tomos de un objeto se transfieren al otro; la mayora de los electrones permanecen inalterados. Esta lige-ra perturbacin del equilibrio entre las enormes, pero iguales, cantidades de carga positiva y negativa en un objeto, ocasio-

* Benjarrn Franklin (1706-1790) propuso arbitrariamente la clasificacin de la carga elctrica en positiva y negativa. Era adems un ientfico de fama in-ternacional. De hecho, gracias a su reputacin cientfica obtuvo triunfos diplo-mticos en Francia durante la Guerra de Independencia de Estados Unidos.

}

\

25-2 CARGA ELCTRICA 569

Hilo Hilo

-+

F

a) b)

~Plstico

FIGURA 25-2. a) Dos varillas de la misma carga se repelen. b) Dos varillas de carga opuesta se atraen.

na la mayor parte de los efectos elctricos observados comn-mente.

Cuando frotamos con piel una varilla de plstico, se trans-fieren electrones a ella; como tiene un exceso de electrones (que portan carga negativa), la varilla adquiere carga negativa. La piel presenta ahora una deficiencia de electrones y, en conse-cuencia, tiene carga positiva. Vemos la atraccin que la vari-lla ejerce sobre las partes de la piel, proveniente de la carga en cada una. De modo parecido, cuando frotamos con seda una varilla de vidrio, observamos que adquiere carga positiva y que se atraen entre s. En ambos casos, hemos transferido un nme-ro relativamente pequeo de electrones y alterado la neutrali-dad elctrica de los objetos.

Carguemos ahora una varilla de cristal, frotando un extre-mo con seda y luego colgndola de un hilo, como en la figu-ra 25-2. Si colocamos cerca otra varilla cargada en forma similar, encontraremos que las dos se repelen entre s, como en la figura 25-2a. Pero si situamos cerca una varilla de pls-tico cargada (frotndola con piel), las dos varillas se atraern una a otra, como en la figura 25-2b.

Explicamos la existencia de esos dos tipos de fuerza en funcin de dos clases de carga. Cuando frotamos el plstico con piel, se transfieren electrones al plstico, y ste presenta carga negativa. Cuando frotamos vidrio con seda, se transfie-ren a ella, dejando el vidrio con una deficiencia de electrones y, por tanto, con una carga positiva neta. En la siguiente regla pueden resumirse las fuerzas de la figura 25-2:

Las cargas del mismo signo se repelen y las de signo contrario se atraen.

En la seccin 25-4 le damos una forma cuantitativa a esta re-gla designndola como la ley de fuerza de Coulomb. Tenemos en cuenta slo las cargas que se encuentran en reposo una res-pecto a otra o que se mueven con mucha lentitud, restriccin que define el tema de la electrosttica.

FIGURA 25-3. Partcula portadora de una fotocopiadora Xerox, cubierta con partculas toner que se pegan a ella por atraccin electrosttica. El dimetro de las partculas mide 0.3 mm aproximadamente.

Las fuerzas elctricas entre cuerpos cargados se prestan a muchas aplicaciones industriales, entre ellas la pintura por rociado y el revestimiento con polvo, la precipitacin de ceni-za, impresin de inyeccin de tinta de no impacto y fotocopia-do. La figura 25-3, por ejemplo, muestra una pequea partcula portadora de una fotocopiadora, cubierta con partculas de pol-vo negro, llamado toner, que se pega al bastidor por medio de fuerzas electrostticas. Las partculas del toner con carga ne-gativa finalmente son atradas de sus partculas portadoras a una imagen latente de carga positiva del documento a copiar, la cual se forma en un tambor giratorio. Entonces una hoja cargada de papel atrae las partculas de toner del tambor, tras lo cual se fusionan en su sitio aplicndoles calor para obtener la copia definitiva.

La carga elctrica neta de un objeto suele representarse con el smbolo q. Es una cantidad escalar. Puede ser positiva o negativa, dependiendo de si el objeto tiene una carga neta positiva o negativa. La carga elctrica se mide en coulombs (C). El coulomb es una unidad muy grande de carga; se nece-sitan unos 6 X 1018 electrones para obtener un coulomb.

El coulomb no puede derivarse de unidades definidas previamente. Por ser la carga elctrica una magnitud nueva, podemos definir su unidad bsica en forma accesible. Una op-cin es hacerlo en funcin de la fuerza ejercida entre dos car-gas estndar con una separacin determinada; por ejemplo, la carga que ejerce una fuerza de un newton sobre otra similar a un metro de distancia. Sin embargo, la fuerza entre cargas es-tticas es difcil de medir; as que en la prctica es ms til de-finir el coulomb a partir de la fuerza magntica entre los alambres portadores de corriente (tema que trataremos en el Cap. 33). Esta fuerza se mide con mayor precisin que la fuerza elctrica entre cargas estticas. Conviene, pues, definir

570 CAPITULO 25 / CARGA ELCTRICA Y u::y DE COULOMB

una unidad bsica del SI en funcin de la corriente (rapidez de flujo de la carga elctrica por unidad de tiempo). En con-clusin, el coulomb, como unidad de carga elctrica, es una unidad derivada, la cual se obtiene de las unidades fundamen-tales de corriente y tiempo (apndice A).

La carga elctrica est cuantizada Cuando transferimos carga elctrica de un objeto a otro, la transferencia no puede efectuarse en unidades arbitrariamen-te pequeas. En otras palabras, el flujo de carga como corriente no es continuo, sino que consta de elementos discretos.* Los experimentos demuestran que la carga elctrica siempre existe slo en cantidades que son mltiplos enteros de cierta magni-tud elemental de carga e. Es decir,

q = ne n = O,::: 1, ::: 2, ::: 3,.. . (25-1) donde (con cuatro cifras significativas)

e = 1.602 X 10-19 C.

La carga elemental e es una de las constantes fundamentales de la naturaleza, cuyo valor experimental se ha calculado con una incertidumbre de alrededor de 4 partes en 108.

El electrn y el protn son ejemplos de partculas comu-nes que portan una unidad fundamental de carga. El electrn tiene una carga de - e, y el protn una de+ e. Algunas partcu-las, entre ellas el neutrn, no portan una carga elctrica neta. Por lo que se sabe, otras partculas elementales transportan cargas que son mltiplos pequeos de e, generalmente::: 1, ::: 2, o ::: 3). Toda partcula tiene una antipartcula correspondiente, que posee la misma masa pero la carga opuesta; el antielec-trn, que se conoce como positrn, tiene una carga de + e. Las antipartculas no abundan en la naturaleza, pero pueden crearse en el decaimiento y en las reacciones de los ncleos y de las partculas elementales.

La ecuacin 25-1 indica que es posible tener, en un obje-to, una carga neta de + lOe o de - 6e, pero nunca una de 3.57e. Cuando los valores de una propiedad quedan restringi-dos a mltiplos discretos de una magnitud bsica, decimos que la propiedad est cuantizada.

Como la carga elemental es pequea, en condiciones ordi-narias no nos percatamos de la naturaleza discreta de su flujo . Por ejemplo, en un alambre de un circuito electrnico, donde suele haber corrientes pequeas de un miliampere, cada segundo pasan 6 X 1015 electrones en cualquier seccin transversal del alambre.

Los tomos comunes son neutros desde el punto de vista elctrico, o sea que contienen cantidades iguales de carga po-sitiva y negativa. Su ncleo contiene Z protones (donde Z se conoce como nmero atmico del tomo) y, por tanto, una

* En la poca de Franklin se pensaba que la carga elctrica era una sustancia y que flua como fluido continuo. Hoy sabemos que los fluidos estn consti-tuidos por tomos y molculas individuales: la materia es discreta. Asimismo, el "fluido elctrico" no es continuo sino discreto.

carga de + Ze. En un tomo neutro, los electrones con carga negativa Z circulan alrededor del ncleo. A menudo es posi-ble extraer uno o ms electrones de un tomo, creando as un in que presenta un exceso de carga positiva de + e, + 2e, .... Por ejemplo, si pudiramos extraer todos los electrones de un tomo de uranio (Z = 92), obtendramos una partcula con una carga de + 92e. En ciertas circunstancias hasta podemos unir un electrn adicional a un tomo neutro, creando un ion de carga negativa.

Aunque creemos que los electrones son partculas funda-mentales sin subestructura, los protones no son partculas fun-damentales. Constan de entidades ms elementales denominadas quarks. A los quarks se les asignan cargas elctricas fraccio-nales de -~e y + 2e. El protn se compone de tres quarks: dos

3 2 3 1 con cargas de +-e y uno con carga de --e, que al ser suma-das nos dan una ~arga neta de+ e. La evidencia experimental en favor de la existencia de quarks dentro del protn es sumamente slida (por ejemplo, podemos hacer que los pro-tones de mucha energa se dispersen de los quarks con carga fracciona! dentro del protn); sin embargo, aunque hagamos chocar los protones con gran violencia, no se ha obtenido un solo quark libre. De ah que nunca se haya observado una par-tcula libre con una carga fracciona! . Este hecho se explica si la fuerza de atraccin que un quark ejerce sobre otro aumen-ta con su separacin. Ello contrasta con las fuerzas electro-magnticas y gravitacionales, que disminuyen conforme va creciendo la distancia entre un par de cuerpos en interaccin.

PROBLEMA RESUELTO 25-1 . Un centavo de dlar, por ser elc-tricamente neutro, contiene la misma cantidad de carga positiva y negativa. Qu magnitud tienen estas cargas iguales? Solucin La carga q est dada por NZe, donde N es el nmero de tomos de un centavo, y Ze la magnitud de las cargas positivas y negativas transportadas por cada tomo.

El nmero N de tomos en un centavo, que para simplificar el problema suponemos que est hecho de cobre, es NAm/M, donde NA es la constante de Avogadro. La masa m de la moneda es 3.11 g y la masa M de 1 mol de cobre (su masa molar) es 63.5 g. Encontramos

N A m (6.02 X 1023 tomos/mo1)(3.11 g) N=--=

M 63.5 g/mol

= 2.95 X 1022 tomos.

Todo tomo neutro tiene una carga negativa de magnitud Ze aso-ciada a sus electrones y una carga positiva de la misma magnitud asociada a su ncleo. Aqu, e es la carga elemental, 1.60 X 1 o- 19 e, y Z el nmero atmico del elemento en cuestin. En el cobre, Z es 29. Por tanto, la magnitud de la carga negativa o positiva total en un centavo de dlar es

q = NZe = (2.95 X 1022)(29)(1.60 X 10 - 19 e) = 1.37 X 105 C.

Es una carga enorme. En comparacin con ella, la que podra obtener-se frotando una varilla de plstico es quiz w-9 e, ms pequea en un factor aproximado de 1014 He aqu otra comparacin: una carga de 1.37 x 105 e tardara de 1 a 2 das en fluir por el filamento de una lmpara comn. La materia ordinaria tiene una gran carga elctrica.

25-3 CONDUCTORES Y AISLANTES 571

25-3 CONDUCTORES Y AISLANTES

~os materiales se clasifican generalmente atendiendo la capa-cidad de los electrones para fluir por ellos. En algunos, como los metales, los electrones pueden desplazarse con relativa li-bertad. Estos materiales reciben el nombre de conductores. Los electrones depositados en un lugar del material se mueven a travs de l. Otros ejemplos de conductores son la llave de agua y el cuerpo humano.

En otros materiales los electrones apenas si pueden fluir. Los que se depositan en un lugar permanecern all. Se les co-noce como aislantes. He aqu algunos ejemplos: vidrio, plstico y muchos materiales cristalinos, como el NaCI.

Si usted intenta cargar una varilla de cobre sostenindo-la en la mano y frotndola con piel, no lo lograr. Tal vez se transfieran los electrones de la varilla a la piel a causa de la friccin, pero otros fluirn fcilmente del cuerpo por la mano hasta la varilla para reemplazar los electrones que fueron ex-trados. En consecuencia, con la friccin no se acumula una arga neta en la varilla. Podemos suponer que la Tierra posee un suministro infinito de electrones, algunos de los cuales en-tran en el cuerpo para sustituir los que pasaron a la varilla. Se dice que un objeto est aterrizado elctricamente cuando existe un camino por donde los electrones pueden fluir entre un objeto y la Tierra.

Si, por el contrario, le ponemos una manija de plstico a la varilla de cobre, veremos que podemos crear una carga fro-tndola. La manija aislante bloquea el flujo de electrones en-tre la varilla y nuestro cuerpo.

Los tomos aislados de un material conductor, como el cobre, generalmente contienen electrones no ligados firme-mente que podemos desprender con facilidad, dejando un ion

Hilo

FIGURA 25-4. Una varilla cargada de signo positivo o negativo atrae ambos extremos de una varilla de cobre aislada y sin carga. En este caso los electrones de conduccin de la varilla de cobre son atrados hacia el extremo cercano a ella, dejando el extremo lejano con una carga positiva neta.

con carga positiva. Cuando los tomos de cobre se combinan para formar cobre slido, esos electrones no permanecen ad-heridos a los tomos individuales, sino que pueden vagar li-bremente por el material. Se les conoce como electrones de conduccin; en el cobre, un conductor tpico, hay unos 1023

~lectrones de conduccin por cm3. Los iones con carga posi-tiva no pueden desplazarse libremente y permanecen fijos dentro de la slida estructura de la red del cobre.

El experimento de la figura 25-4 demuestra la movilidad de la carga en un conductor. Una varilla de cobre, sin carga, se cuelga de un hilo aislante. Cuando acercamos una varilla de vidrio con carga positiva a un extremo de la de cobre, los elec-trones mviles de conduccin de este material son atrados por las cargas positivas en la varilla de vidrio. El flujo de electro-nes hacia un extremo de la varilla de cobre deja al otro con una deficiencia de electrones y con una carga positiva neta. El ex-tremo con carga negativa de la varilla de cobre y la de vidrio de carga positiva ejercen fuerzas recprocas de atraccin. Ntese que esta situacin es muy distinta a la de la figura 25-2; en la figura 25-4 la varilla de vidrio atrae a la varilla de cobre que no lleva carga neta. (Como veremos en la siguiente seccin, la fuerza elctrica depende inversamente de la separacin entre las cargas; por tanto, la fuerza de atraccin entre la varilla de vidrio y el extremo negativo de la varilla de cobre es mucho ms fuer-te que la fuerza de repulsin existente entre la varilla de vidrio y el extremo positivo de la varilla de cobre.)

Si, en vez de la varilla de vidrio con carga positiva de la ~gura 25-4, usramos una varilla de plstico con carga nega-tiva, el efecto sera el mismo: una fuerza de atraccin entre el plstico y el cobre. En este caso el plstico de carga negativa repelera los electrones de conduccin del cobre, dejando un extremo del material con una carga positiva. Habra entonces una fuerza de atraccin entre el plstico de carga negativa y el extremo con carga positiva de la varilla de cobre.

Tambin es posible tener una fuerza de atraccin entre un cuerpo cargado y un aislante no cargado. La figura 25-5a muestra un peine cargado que atrae trozos no cargados de pa-pel. La explicacin de la atraccin es distinta de la explica-cin de la atraccin entre la varilla de vidrio y la de cobre. En este caso, el papel es un aislante y no es posible que los elec-trones se acumulen en un extremo de l (como sucedi con el conductor en la Fig. 25-4). Por el contrario, los electrones de las molculas individuales de los trozos de papel son repeli-dos por el peine de carga negativa; de ah que, los electrones se siten preferentemente al lado de las molculas alejadas del peine. En ellas, el extremo positivo (en el que faltan elec-trones) est ms cerca del peine y experimenta una fuerza mayor de atraccin hacia l. Es la causa de la fuerza neta de atraccin entre los dos objetos (Fig. 25-5b). La misma fuerza de atraccin habra tenido lugar si el peine tuviera carga posi-tiva.

Se da el nombre de polarizacin a la separacin de lacar-ga positiva y negativa en un objeto aislado bajo la influencia de un objeto cargado cercano. La polarizacin puede ocurrir a nivel macroscpico, como en la varilla de cobre de la figu-ra 25-4, 1 a nivel molecular, como en la figura 25-5.

572 CAPITULO 25 / CARGA ELCTRICA Y LEY DE COULOMB

a)

b)

FIGURA 25-5. a) Un peine cargado atrae pedazos no cargados de papel. (b) El peine de carga negativa polariza las cargas de las molculas, produciendo una fuerza de atraccin entre el peine y el papel.

Carga por contacto y por induccin Supngase que ahora tocamos con una varilla de vidrio de carga positiva una varilla de cobre sin carga, como en la figu-ra 25-6. Los electrones fluirn del cobre para neutralizar la carga positiva del vidrio. Sin embargo, debido a que los elec-trones no fluyen por el vidrio, pueden neutralizar slo lascar-gas positivas situadas en el punto de contacto con el cobre. Si queremos eliminar los electrones adicionales en el cobre, po-demos limpiar frotando la varilla de vidrio a lo largo de la de cobre; transferiremos as los electrones a las reas no neutraliza-das del vidrio que entran en contacto con el cobre (Fig. 25-6a). Si despus extraemos la varilla de vidrio, el cobre tendr una de-ficiencia de electrones y, en consecuencia, una carga positiva neta. Los electrones fluirn a travs del cobre, de modo que las cargas positivas (los ncleos de iones) estarn distribuidos uniformemente en la superficie del cobre. Carga por contacto es el nombre que se da a esta transferencia directa de la carga de un objeto a otro. Aun cuando se transfieren los electrones negativos, a menudo conviene considerar el experimento de la figura 25-6 como si se transfiriesen cargas positivas de la varilla de vidrio a la de cobre.

Retomemos la situacin de la figura 25-4. Si colocamos un alambre entre el extremo positivo del cobre y la tierra (co-mo en la Fig. 25-7a), los electrones fluirn desde tierra para

Vidrio

a)

b)

FIGURA 25-6. a) Carga por contacto. Los electrones fluyen del cobre para neutralizar las cargas positivas en el punto de contacto con el vidrio. b) Carga resultante en el cobre cuando se quita el vidrio.

neutralizar la carga positiva del cobre. Si dejamos la varilla de vidrio en su sitio y luego quitarnos la conexin a tierra, la varilla de cobre conservar una carga negativa neta. Si despus quitamos la varilla de vidrio, las cargas negativas se distribuirn sobre la superficie del cobre (Fig. 25-7 b) para separarse lo ms posible una de otra. Este mtodo de cargar un objeto recibe el nombre de carga por induccin. Ntese que hemos logrado utilizar la varilla de vidrio cargada positivamente para transfe-rir la carga positiva al cobre por contacto o la carga negativa (desde tierra) por induccin.

a)

b)

Alambre conector

Tierra

FIGURA 25-7. a) Carga por induccin. Los electrones fluyen de tierra para neutralizar la carga positiva en el extremo opuesto de la varilla de cobre. b) Carga resultante en el cobre cuando se quita el vidrio.

25-4 LEY DE COULOMB 573 -

25-4 LEY DE COULOMB Hasta ahora, en este captulo, hemos establecido que existen dos clases de carga elctrica y que las cargas ejercen fuerza una sobre otra. Ahora nuestro objetivo es entender la natura-leza de esta fuerza.

Los primeros experimentos cuantitativos exitosos con que se estudi la fuerza entre cargas elctricas fueron realiza-dos por Charles Augustin Coulomb ( 1736-1806), quien midi las atracciones y repulsiones elctricas deduciendo la ley que las rige. En principio su aparato se parece al de la figura 25-2, salvo Coulomb que emple pequeas esferas cargadas, las cuales se indican con las letras a y b en la figura 25-8.

Si las esferas a y b estn cargadas, la fuerza elctrica en a tiende a retorcer la fibra de suspensin. Coulomb anul el efecto de torsin girando la cabeza de suspensin por el n-gulo e necesario para mantener cierta separacin entre las dos cargas. Entonces, el ngulo e es una medida relativa de la fuerza elctrica que acta sobre la carga a. El aparato de la fi-gura 25-8 es una balanza de torsin; Cavendish utiliz ms tarde un dispositivo similar para medir las atracciones gravita-cionales (Sec. 14-3).

Los experimentos de Coulomb y de sus contemporneos demostraron que la fuerza elctrica ejercida por un cuerpo cargado sobre otro depende directamente del producto de sus magnitudes e inversamente del cuadrado de su separacin. En otras palabras,

Aqu, Fes la magnitud de la fuerza mutua que opera sobre las dos cargas q1 y q2, y r la distancia entre sus centros. La fuerza

Cabeza de suspensin

FIGURA 25-8. Balanza de torsin de Coulomb, tomado de su memoria presentada en 1785 a la Academia de Ciencias de Pars.

en una carga debido a la otra acta en la lnea que las conec-ta. Tal como lo establece la tercera ley de Newton, la fuerza ejercida por q 1 sobre q2 tiene la misma magnitud pero direc-cin opuesta a la fuerza ejercida por q2 sobre q 1, a pesar de que la magnitud de las cargas puede ser distinta.

Para convertir la proporcionalidad anterior en una ecua-cin, se introduce una constante de proporcionalidad K, que llamaremos constante de Coulomb. Para la fuerza entre las cargas, obtenemos as:

F=Kjqj~q2i. r

(25-2)

La ecuacin 25-2, conocida como ley de Coulomb, general-mente se cumple exclusivamente con objetos cargados cuyo tamao es mucho menor que la distancia entre ellos. A menudo se dice que esta ecuacin se aplica slo a cargas puntuales.

La aceptacin de la ley de Coulumb no se funda cuantitati-vamente en los experimentos de Coulomb. Tales mediciones no podran, por ejemplo, convencernos de que el exponente de r en la ecuacin 25-2 es exactamente 2 y no, digamos, 2.0001. En la seccin 27-7 demostraremos que la ley tambin puede deducirse de un experimento directo, el cual prueba que si el exponente de la ecuacin 25-2 no es exactamente 2, su dife-rencia ser a lo ms de 1 X 10-16.

La ley de Coulomb nos recuerda la ley de cuadrados in-versos de la gravitacin de Newton, F = Gm 1m2/r

2, que ya

tena 100 aos en la poca de los experimentos de Coulomb. Ambas son leyes de cuadrados inversos, y la carga q desem-pea la misma funcin en la ley de Coulomb que la masa m en la ley de gravitacin. Una diferencia entre ellas es que las fuerzas gravitacionales siempre son atractivas, mientras que las electrostticas pueden ser atractivas o repulsivas, depen-diendo, de si las dos cargas tienen signos iguales u opuestos.

En el Sistema Internacional de Unidades, la constate K se expresa de la siguiente manera:

1 K=--. 47TE0

(25-3)

Aunque la seleccin de esta forma de la constante K parece hacer innecesariamente compleja la ley de Coulumb, pero ter-mina por simplificar las frmulas del electromagnetismo que se emplean ms que la ley.

La constante E0, que se conoce como constante elctrica (o permitividad), tiene un valor que depende del valor de la velocidad de la luz, segn veremos en el captulo 39. Su va-lor exacto es

Eo = 8.85418781762 X w- 12 C2/N o m2. La constante de Coulomb K tiene el valor correspondiente (hasta tres cifras significativas)

1 K=--= 8.99 X 109 N m2/C 2.

47TEo

Con esta seleccin de la constante K, la ley de Coulomb puede escribirse as:

F=-l_jqjjq2j 47TEo r2

(25-4)

/


Cuando K tiene el valor anterior, la fuerza en newtons se ob-tiene expresando q en coulombs y r en metros.

La importancia de la ley de Coulomb trasciende la mera descripcin de las fuerzas ejercidas por las esferas cargadas una sobre otra. Esta ley, cuando la incorporamos a la estruc-tura de la fsica cuntica, describe correctamente 1) las fuerzas elctricas que unen los electrones de un tomo a su ncleo, 2) las fuerzas que enlazan los tomos para que formen molculas y 3) las fuerzas que ligan tomos y molculas para que formen slidos o lquidos. As pues, la mayor parte de las fuerzas en la experiencia cotidiana que no son gravitacionales son elctricas.

PROBLEMA RESUELTO 25-2. En el problema resuelto 25-1 Vi-mos que un centavo de cobre contiene cargas positivas y negativas, ca-da una con una magnitud de 1.37 X 105 C. Supngase que podamos concentrarlas en dos bultos independientes, mantenidos a una distan-cia de 100 metros. Qu fuerza de atraccin operar sobre cada uno? Solucin Con base en la ecuacin 25-4 tenemos

1 jqj 2 (8.99 X 109 Nm2/C 2)(1.37 X 105 C) 2 F = ---- = ....:..._- -----.:..:--------'--47TEo r2 ( 100 m)2

= 1.69 X 1016 N.

Alrededor de 2 X 1012 toneladas de fuerza! Aun cuando las cargas estuvieran a una distancia de 1 dimetro terrestre, la fuerza de atrac-cin seguira siendo de unas 120 toneladas. En este clculo hemos eludido el problema de formar las cargas individuales en un bulto cuyas dimensiones sean pequeas en comparacin con su separa-cin. Si alguna vez pueden formarse los bultos, los desharn las fuer-zas mutuas de repulsin de Coulomb.

Este problema resuelto nos da una leccin: no es posible perturbar mucho la neutralidad elctrica de la materia comn. Si se intenta ex-traer una parte considerable de la carga contenida en un cuerpo, de modo automtico aparece una gran fuerza de Coulomb que tiende a recuperarla.

PROBLEMA RESUELTO 25-3. La distancia promedio r entre el electrn y el protn del tomo de hidrgeno es 5.3 X 10-llm. a) Qu magnitud tiene la fuerza electrosttica promedio que acta entre las dos partculas? b) Qu magnitud tiene la fuerza gravitacio-nal promedio que opera entre ellas?

Solucin a) En el caso de la fuerza electrosttica, conforme a la ecuacin 25-4 tenemos

1 e 2 (8.99 X 109 N m2/C2)( 1.60 X 10- 19 C)2 F = --- = - - ------'-------,----'--e 47TEo r 2 (5.3 X 10- ll m)2

= 8.2 X 10- 8 N.

Aunque esta fuerza puede parecer pequea (equivale ms o menos al peso de una mancha de polvo), produce una enorme aceleracin del electrn dentro del tomo: 1023 m/s2 aproximadamente. b) En el caso de la fuerza gravitacional tenemos

= (6.67 X 10- 11 N m2/kg 2)(9.11 X 10- 31 kg)( 1.67 X 10- 27 kg) (5.3 X 10- 11 m)2

= 3.6 X 10- 47 N.

Vemos que la fuerza gravitacional es ms dbil que la electros-ttica por un factor aproximado de 1039. Pese a ello siempre es una fuerza de atraccin. En consecuencia, puede acumular masas muy grandes, como sucede en la formacin de estrellas y galaxias, de mo-do que pueden originarse importantes fuerzas gravitacionales. Por el contrario, la fuerza electrosttica repele las cargas del mismo signo; as que es imposible acumular una fuerte concentracin de carga po-sitiva o negativa. Siempre hay que mantener unidos ambos tipos de carga, a fm de que se compensen entre s. Las cargas que acostum-bramos en la vida diaria son pequeas perturbaciones de este equilibrio tan avasallador.

PROBLEMA RESUELTO 25-4. El ncleo de Un tomo de hierro tiene un radio aproximado de 4 X 10- 15 y contiene 26 protones. Qu fuerza electrosttica de repulsin opera entre dos protones del ncleo si se hallan a una distancia de un radio?

Solucin De acuerdo con la ecuacin 25-4 tenemos

1 e 2 F= - --47TEo r1

(8.99 X 109 N m2/C 2)( 1.60 X 10 19 C)2 (4 X 10- 15 m)2

= 14N.

La gran fuerza electrosttica de repulsin de ms de 3 lb, que acta sobre un solo protn, ha de ser equilibrada por la fuerza nuclear de atraccin que mantiene unido al ncleo. Esta fuerza, cuyo alcance es tan corto que sus efectos no se sienten muy lejos del ncleo, se co-noce como "fuerza nuclear fuerte", nombre que la describe a la per-feccin.

Ley de Coulomb: forma vectorial Hasta ahora nos hemos ocupado exclusivamente de la magni-tud de la fuerza ejercida por una carga sobre otra, la cual calcu-lamos basndonos en la ley de Coulomb. La fuerza tambin posee propiedades direccionales por ser un vector. En el caso de esta ley, su direccin la determina el signo relativo de las dos cargas elctricas.

Como s~ aprecia en la figura 25-9, supngase que hay dos cargas puntuales q1 y q2 separadas por una distancia r 12. Supongamos, por ahora, que las dos cargas tienen el mismo signo y que, por lo mismo, se repelen. Consideremos la fuer-za que la partcula 2 ejerce sobre la partcula 1, fuerza que es-cribirnos en la forma habitual como F 12. El vector de posicin que ubica la partcula 1 en relacin con la partcula 2 es f 12; en otras palabras, si tuviramos que definir el origen de nues-tro sistema coordenado en el lugar de la partcula 2, f 12 sera el vector de posicin de la partcula l.

Si las dos cargas tienen el mismo signo, la fuerza ser de repulsin y, como se advierte en la figura 25-9a, F 12 ha de ser paralela a f 12. Si las carga~ tienen signos opuestos, como en la figura 25-9b, la fuerza F 12 ser de atraccin y paralela a f 12. En uno y otro caso podemos representarla as

..... l q,q2 ' F 12 = ---2- rl2 47TEo ' 12 (25-5)

25-4 LEY DE COULOMB 575

b) FIGURA 25- 9 . a) Dos cargas puntuales q1 y q2 del mismo signo ejercen fuerzas iguales y opuestas de repulsin una sobre otra. El vector r l2 sita ql en relacin con q2, y e!_vector unitario \2 seala en la direccin de r 12. Ntese que F 12 es paralelo a r 12. b) Ahora las dos cargas tienen signos opuestos y la fuerza es de atraccin. Advirtase que F 12 es antiparalela a r 12"

Aqu r 12 representa la magnitud del vector r 12 y r12, e indica el vector unitario en la direccin de r 12 Esto es,

- r12 r 12 = - - . (25-6)

r12

Hemos utilizado una forma similar a la ecuacin 25-5 para expresar la fuerza gravitacional (vanse las Ecs. 14-2 y 14-3).

Otra caracterstica salta a la vista en la figura 25-9. Con-forme a la tercera ley de Newton, la fuerza ejercida sobre la partcula 2 por la partcula 1, F 21 , es opuesta a F 12. As pues, esta fuerza se expresa exactamente en la misma forma:

F21 = _I_ ql;2 r-21 47TEo r: 1

(25-7)

Aqu r21 es un vector unitario que apunta de la partcula 1 a la 2, es decir, sera el vector unitario en direccin de la partcula 2 si las coordenadas tuvieran su origen en el sitio de la partcula l.

La forma vectorial de la ley de Coulomb es til porque contiene la informacin direccional alrededor de F e indica si la fuerza atrae o repele. Su empleo es importantsimo cuando se trata de fuerzas que operan sobre ms de dos cargas. En es-te caso, la ecuacin 25-5 se aplicar a los pares de ellas, y la fuerza total de una se calcular tomando la suma vectorial de las fuerzas debidas a cada una de las cargas restantes. Por ejemplo, la fuerza sobre la partcula 1 en un sistema sera

(25-8)

donde F 12 es la fuerza sobre la partcula 1 proveniente de la partcula 2, F 13 es la fuerza sobre la partcula 1 proveniente de la partcula 3 y as sucesivamente. La ecuacin 25-8 es la representacin matemtica del principio de superposicin aplicado a las fuerzas elctricas. Establece que la fuerza que opera sobre una carga debido a otra no depende de la presen-cia o ausencia de otras cargas; por tanto, puede calcularse por

separado en cada par de cargas y luego servirse de su suma vectorial para obtener la fuerza neta en cualquiera de ellas. As, la presencia de la partcula 2 no afecta en absoluto a la fuerza F 13 que la partcula 3 ejerce sobre la partcula l. El principio de superposicin no es de ninguna manera evidente y puede no cumplirse tratndose de fuerzas elctricas muy in-tensas. Su aplicabilidad slo se verifica por medio de experi-mentos. Pero s se cumple en todos los casos presentados en este libro.

PROBLEMA RESUELTO 25-5. La figura 25-lQ muestra tres par-tCUlas cargadas, que se mantienen en su sitio por fuerzas que no se ven en ella. Qu fuerza electrosttica, debido a las otras dos caras, acta sobre q1? supngase q1 = -1.2 .LC, q2 = + 3.7 .LC, q3 = -2.3 JLC, r 12 = 15 cm, r 13 = 10 cm y e= 32. Solucin En este problema se aplica el principio de superposicin. Comenzamos calculando la magnitud de las fuerzas que q2 y q3 ejer-cen sobre q1. Las sustituimos en la ecuacin 25-5:

F _ _ 1_ qliq2i 12

- 47TEo rT2

(8.99 X 109 N m2/C 2)(1.2 X 10- 6 C)(3.7 X 10- 6 C) (0.15 m)2

1.77 N.

Las cargas q1 y q2 tienen signos opuestos, por 1~ cual la fuerza ejer-cida por q2 sobre q1 es de atraccin. Por tanto, F 12 apunta a la dere-cha en la figura 25-10.

Tambin tenemos

= 2.48 N.

Estas dos cargas tienen el mismo signo (negativo) y, por lo mismo, la fuerza ejercida por q3 sobre q 1 es de repulsin. As F 13 apunta hacia la derecha, como se indica en la figura 25-1 O.

Los componentes de la fuerza resultante F 1 que acta sobre q1, estn determinados por los componentes correspondientes de la ecuacin 25-8, o sea

= 1.77 N + (2.48 N)(sen 32) = 3.08 N

y

X

:13

FIGURA 25- 1 o. Problema resuelto 25-5. Las tres cargas ejercen tres pares de fuerzas de accin reaccin una sobre otra. Se muestran slo las dos fuerzas que operan sobre q 1.


y F 1y = F 12y + F 13y = O - F 13 cos 8

= -(2.48N)(cos32) = -2.10N. Por medio de los componentes anteriores, puede demostrarse que la magnitud de F 1 es 3.73 N y que este vector forma un ngulo de- 34 con el eje x.

25-5 DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGA

Hasta ahora hemos visto cmo calcular las fuerzas debidas a cargas puntuales. Pero en muchas aplicaciones las fuerzas son ejercidas por objetos cargados, como varillas, placas o slidos. Para simplificar la exposicin supondremos que los objetos son aislantes y que la carga se esparce por su superficie, o vo-lumen, formando una distribucin continua de carga.

La figura 25-2 mostr las fuerzas que una varilla cargada ejerce sobre otra. La ley de Coulomb se aplica slo a las car-gas puntuales; as que no podemos emplearla en esta forma para calcular la fuerza que una varilla cargada ejerce sobre otra. Es posible imaginar que estn cubiertas con cargas pun-tuales y calcular, con la ley de Coulomb, la fuerza ejercida por las cargas de una varilla sobre las cargas de la otra varilla; slo que el procedimiento resultara demasiado complicado: si las varillas tienen la carga pequea de apenas l nC, habra que considerar l 010 cargas puntuales en cada una.

Optamos por retomar una idea de la poca de Benjamn Franklin y concebir la carga como una propiedad continua. El procedimiento bsico consiste en dividirla en elementos infi-nitesimales y usar los mtodos de clculo para obtener la fuerza total debida a todos ellos.

Si un objeto contiene una carga neta q, imaginemos que se divide en muchos elementos pequeos dq. Cada uno posee cierta longitud, superficie o volumen, segn que considere-mos cargas que se distribuyen, respectivamente, en una, dos o tres dimensiones. Expresamos dq en funcin del tamao del elemento y de la densidad de carga, que describe cmo se distribuyen las cargas en la longitud, superficie o volumen del objeto. En la generalidad de los problemas incluidos en el li-bro, las cargas estarn distribuidas uniformemente en el obje-to, lo cual significa que la densidad posee el mismo valor en todas sus partes.

En algunas situaciones, las cargas se distribuyen en una dimensin, como las delgadas varillas cargadas de la figura 25-2. En este caso expresamos dq atendiendo a la densidad li-neal de carga (carga por unidad de longitud) A, cuya unidad bsica es C/m. Un elemento pequeo de la varilla con una longitud dx tiene una carga dq dada por

dq =A dx. (25-9) Si la varilla presenta una carga uniforme de modo que una car-ga total q se distribuya uniformemente por su longitud L, enton-ces A = q/L. Por ejemplo, una varilla de longitud L = 0.12 m

que lleva una carga distribuida uniformemente de q = 5.4 X 10-6 tendr una densidad lineal de carga de A = q/L = 4.5 X 10-5 C/m. Un pedazo pequeo de ella con una longitud dx = 1.0 mm tendr una carga dq = A dx = 4.5 X 10-8 C.

En otros casos la carga podra estar distribuida en una su-perficie bidimensional, digamos la superficie del bastidor por-tador de la figura 25-3. En este caso, dq se expresa a partir de la densidad supeificial de carga (carga por unidad de super-ficie) (J", medida en la unidad de C/m2 del SI. Entonces un ele-mento pequeo de la superficie dA tendra una carga dada por

dq = (J"dA. (25-10) Si una carga q se distribuye uniformemente en un rea de superficie A, entonces (J" = q /A.

La carga tambin podra distribuirse en todo el volumen de un objeto tridimensional. En tal caso se utiliza la densidad volumtrica de carga (carga por unidad de volumen) p, cuya unidad es C/m3 en el SI. Entonces la carga dq en un elemen-to de volumen dV sera

dq = p dV. (25-11) Si la carga q se distribuye uniformemente en todo el volumen V, entonceS p = q/V.

Para ejemplificar los conceptos anteriores calcularemos expresiones referentes a la fuerza que sobre una carga puntual q0 ejerce una distribucin continua de carga. Al ampliar estos mtodos es posible calcular la fuerza ejercida por una distri-bucin de carga continua sobre otra.

El procedimiento con que se calcula la fuerza que este ti-po de distribucin ejerce sobre una carga puntual es el si-guiente:

l. Se supone que la distribucin continua est dividida en muchos elementos pequeos de carga.

2. Se selecciona un elemento arbitrario y se expresa su carga dq a partir de las ecuaciones 25-9, 25-10 o 25-11, segn que se distribuya en una lnea, en una superficie o volumen, respectivamente.

3. Por ser dq infinitesimalmente pequea, se la trata co-mo una carga puntual. Se expresa la magnitud del elemento de fuerza dF ejercido por la carga dq sobre la carga q0 en fun-cin de la ley de Coulomb, ecuacin 25-4:

(25-12)

donde res la distancia entre dq y q0. 4. Se tienen en cuenta los signos y la ubicacin de dq y

de q0 para determinar la direccin del elemento de fuerza dF. 5. Luego se calcula la fuerza total, sumando todos sus

elementos infinitesimales, que implica la integral

(25-13)

Al calcular esta integral se necesita normalmente recordar que los elementos de carga dq pueden producir elementos de fuerza ctF en diversas direcciones. La ecuacin 25-13, en rea-

255 DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGA 577

lidad, sig~ica tres ecuaciones distintas para los tres compo-nentes de F :

En ocasiones puede recurrirse a los argumentos basados en la simetra para no calcular una o dos de estas integrales.

Lnea con carga uniforme La figura 25-11 muestra una delgada varilla de longitud L que se halla sobre el eje z y que tiene una carga positiva q, distri-buida uniformemente de modo que la densidad lineal de car-ga es = q /L. Queremos calcular la fuerza que la varilla ejerce sobre la carga puntual positiva q0 ubicada en la bisec-triz perpendicular de la varilla (el eje positivo y) , a una distan-cia y de su centro.

La figura muestra los resultados obtenidos al efectuar los pasos 1, 2 y 3 del procedimiento. Imaginamos que la varilla est dividida en elementos pequeos de longitud dz. Un ele-mento arbitrario de carga dq = dz se halla situado a una dis-tancia z de su centro y ejerce una fuerza dF sobre q0, donde

dF = _1_ qodq 4?TE0 r 2

L~ direccin de la fuerza dF aparece en la figura. La fuerza dF no tiene componentes en la direccin x (perpendicular a la pgina), as que Fx = O. Tambin podemos recurrir a un argu-mento de simetra para probar que F = O. Por cada elemen-z to de carga dq ubicado en la posicin + z, hay otro elemento de carga ubicado en - z. Cuando sumamos las fuerzas prove-nientes de los elementos de carga en + z y en - z, encontra-mos que los componentes z tienen igual magnitud pero que sealan en direccin opuesta; por tanto, su suma es igual a ce-ro. Como la carga q0 se encuentra en el plano medio de la va-rilla, esta cancelacin ocurrir con todos los pares de elementos de carga en toda la longitud de la varilla. Podemos, pues, concluir que Fz = O.

FIGURA 25-11 . Varilla cargada uniformemente. Para calcular la fuerza ejercida sobre la carga puntual q0, se supone que la varilla consta de muchos elementos individuales de carga, como dq.

Slo queda por calcular Fy. El elemento dFy = dF cos e se muestra en la figura 25-11. Con dq = dz, ,2 = y2 + z2 y cos e = y 1 r, tenemos

F, = f dF,. = 4~Eo qoAY J::2 (yz : zz2)312 . Al calcular la integral (consltese el Ap. 1 y observe que y es una constante), obtenemos

F=-1- qoq 1 47TEo Y~y2 + rz14 (25-15)

Esta fuerza sigue la direccin y positiva cuando q0 y q son po-sitivas . Si movemos la carga q0 a otra posicin del plano xy , cambia la expresin de la fuerza (Ej . 14).

A menudo resulta esclarecedor evaluar expresiones como la anterior en varios casos lmite. Examinemos el resultado cuando y >> L, en este caso la fuerza se convierte en

1 qoq F,,=---,- ,

47TEo y-

precisamente la expresin de la fuerza de una carga puntual sobre otra. La varilla se parece a una carga puntual cuando es-tamos muy lejos de la varilla cargada o cuando la varilla es muy pequea.

Anillo con carga En la figura 25-12 vemos un anillo delgado de radio R que tie-ne una carga positiva q distribuida uniformemente, de manera que la densidad de carga lineal es = q/2 ?TR. Queremos calcular la fuerza que ejerce el anillo sobre la carga puntual positiva q0, ubicada en el eje del anillo (que consideraremos como el eje positivo x), a una distancia z del centro del anillo. Un elemento del anillo con carga pequea tiene una longitud

r z

FIGURA 25-12. Anillo cargado uniformemente. Para calcular la fuerza ejercida sobre una carga puntual q0, se supone que el anillo consta de muchos elementos individuales de carga, como dq.


R d y, en consecuencia, porta una carga dq = AR d. La fuerza dF ejercida sobre q0 por dq es

l q0dq 1 q0 AR d dF =-- - - = - - , ? . 47TEo r 2 47TE0 (z- + R-)

Podemos servimos de un argumento de simetra para probar que la nica componente no cero de F es su componente z. Por cada elemento dq del anillo, habr otro elemento de igual carga dq en el extremo opuesto de un dimetro que cruza el centro del anillo; cuando se suman los elementos de fuerza sobre q0 provenientes de los dos elementos, se cancelarn to-dos los componentes de la fuerza, excepto Fz. Con cos () = z/ r, tenemo~

F, = f dF, = f dF cos 8 f l q0 ARd z = 47TEo (z2 + R1) ~z 2 + R1

q ARz ( 11T 47TEo (z2 : R2) 312 Jo dcf>.

La integral evaluada alrededor del anillo da 27Ty, por tanto, el resultado final de la fuerza es

l qoqz F = - - _,--::-::...:.....-,--,---,-z 47TEo (z2 + R1)312 . (25-16)

Es vlido el resultado anterior si q0 se halla en el eje z nega-tivo? (Ej. 15.)

Este resultado podemos examinarlo como z ~ oc para z >> R en el caso lmite y obtenemos

F = _ l_ qoq z 47TEo z2 '

expresin que vuelve a damos el resultado de las cargas pun-tuales. Aparecer como un carga puntual cuando estemos muy lejos del anillo.

Ntese, asimismo, que Fz = O para z = O. Esto es razo-nable porque en el centro del anillo los elementos constituti-vos del anillo empujarn la carga q0 en todas direcciones .

Disco con carga En la figura 25-13 se muestra un disco circular de radio R que porta una carga positiva q distribuida uniformemente en su superficie, de modo que la densidad de carga superficial es u = q/ 1rR2. Una carga puntual positiva q0 se halla en el eje del disco (el eje positivo z), a una distancia z del centro del disco. Para calcular la fuerza que ejerce el disco sobre la carga puntual, podemos dividirlo en una serie de anillos concntricos. La carga en el anillo, de radio w y de espesor dw, que aparece en la figura 25-13, es dq = u dA = u(27TW dw) = 27T(TW dw. La fuerza que sobre dFz ejerce este anillo se calcula por medio de la ecuacin 25-16, reemplazando q por dq y R por w:

dF = _ 1_ q0(27TUW dw)z z 47TEo (z2 + w2)311 .

FIGURA 25-13. Disco circular que porta una densidad de carga superficial uniforme. La fuerza ejercida sobre una carga puntual q0 se calcula dividiendo el disco en delgados ani llos circulares.

Si queremos sumar los elementos de fuerza procedentes de todos los anillos, integramos cuando w vara de O a R:

(25-17)

Ntese que la integral tiene la forma Ju-312, la cual puede calcularse directamente. Cmo se distinguir la ecuacin an-terior cuando z

25-5 DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGA 579 -

mg q = --------------------4_7T-:-~-2 ( 1 - ~z2: RJ

Y resolviendo tenemos q = 35 nC. Este mtodo lo utiliz Robert A. Millikan en una serie de expe-

rimentos, iniciados en 1906, para medir la carga del electrn (Sec. 26-6).

Un caso especial Existe un caso especial en el cual una distribucin de carga continua puede tratarse como carga puntual, lo cual permite aplicar la ley de Coulumb en su forma de carga puntual. Se presenta cuando la carga se distribuye con simetra esfrica. Dicho de otra manera, la densidad de carga volumtrica puede variar con el radio, pero la densidad es uniforme en un casca-rn delgado sin importar su radio.

Primero consideraremos el caso de un cascarn esfrico delgado. En la seccin 14-5 mencionamos. dos propiedades de la fuerza gravitacional que sobre una masa puntual ejerce un cascarn esfrico uniforme, a saber: 1) la fuerza sobre una par-tcula dentro del cascarn es cero y 2) la fuerza sobre una partcu-la externa es la misma que si la masa del cascarn se concentrase totalmente en su centro.

La simetra entre las leyes de la fuerza gravitacional y electrosttica (ambas dependen de 1/r 2) nos permitir hacer varias analogas entre la gravitacin y la electrosttica. A me-nudo podemos aplicar los resultados de la gravitacin a la electrosttica sin clculos ni pruebas adicionales. Esto lo ha-cemos con las propiedades de los cascarones uniformes. Las pruebas de esos dos resultados tan importantes en la electros-ttica se deducen exactamente de las de la seccin 14-5 apli-cables a la fuerza gravitacional.

Un cascarn esfrico de carga uniforme no ejerce fuerza electrosttica sobre una carga puntual ubicada en cual-quier parte del interior del cascarn.

Un cascarn esfrico uniformemente cargado ejerce fuer-za electrosttica sobre una carga puntual ubicada fuera de dicho cascarn, como si la carga entera del cascarn es-tuviese concentrada en una carga puntual en su centro.

Existe una diferencia entre los casos gravitacional y elec-trosttico: la fuerza gravitacional siempre es de atraccin, pe-ro la fuerza electrosttica puede ser de atraccin o de repulsin. Sin embargo, esta diferencia no afecta la transferencia de las dos reglas anteriores de la fuerza gravitacional a la electrosttica.

Las dos reglas pueden servir para obtener una relacin co-nexa que es vlida con las distribuciones esfricas de carga. Su-pngase que tenemos una distribucin esfrica donde la densidad de carga volumtrica p es constante o vara slo en funcin del radio r. Podemos, pues, suponer que la esfera se compone de va-rios cascarones esfricos delgados. Cada cascarn est cargado uniformemente, esto es, la densidad de carga de un cascarn puede diferir de la de otro cascarn, pero en cada cascarn indi-

vidualla carga esta distribuida de manera uniforme. Entonces podemos aplicar las dos reglas a todos los cascarones de la es-fera. Si la carga de prueba se encuentra en algn lugar del inte-rior de la esfera, segn la primera regla, los cascarones de la carga no ejercen fuerza sobre ella. (Este resultado se us con la fuerza gravitacional en el problema resuelto 14-14.) Si la carga de prueba se encuentra fuera de la esfera, todos los cascarones pueden ser reemplazados por una carga puntual en el centro; por consiguiente, la esfera puede reemplazarse ntegramente por una carga puntual igual a la carga total de la misma.

Por tal razn, la fuerza que el ncleo de un tomo ejerce sobre sus electrones generalmente no puede proporcionarnos informacin sobre la distribucin de la carga positiva dentro del ncleo. En los ncleos esfricos donde la densidad de la carga depende slo de r, todas las distribuciones suministran fuerzas idnticas a mi electrn fuera del ncleo. No obstante, en ocasiones un electrn puede vagar en su interior y ofrecemos informacin referente a su distribucin de carga positiva.

PROBLEMA RESUELTO 25-7. El ncleo esfrico de cierto tomo contiene una carga positiva Ze en un volumen de radio R. Compare la fuerza que se ejerce sobre un electrn dentro del ncleo en el radio O.SR, con la fuerza de radio R en un ncleo donde a) la densidad de carga es constante en todo su volumen y donde b) aumenta en pro-porcin directa con el radio r. Solucin a) En el ncleo de carga uniforme (que constituye una buena aproximacin al comportamiento de muchos ncleos), la den-sidad de carga volumtrica es

q Ze p =V = ~ 7TR 3 .

3

Cuando el electrn se halla en r = R, todo el ncleo puede sustituir-se por una carga puntual q = Ze ubicada en su centro, de modo que la fuerza F(r) en r = Res

1 Ze2 F(R) = ----.

47TEo R2

Cuando el electrn se encuentra en r = R/2, la carga en todos los ra-dios ms grandes no ejerce fuerza alguna sobre el electrn (segn lo establece la primera regla de los cascarones esfricos). La carga den-tro de R/ 2 puede reemplazarse con una carga puntual. Cunta car-ga est contenida en el interior hasta R/2? Puesto que el volumen de una esfera depende de ,.3, el volumen en el interior de r = R/2 es (1 / 2)3 = 1/ 8 de su volumen. Por tanto, la carga dentro de r = R/ 2 es 118 de la carga de toda la esfera; as concluimos que

F(R/2) 1 F(R) 8

b) Podemos escribir la densidad de carga como p(r) = br. Primero debemos calcular la constante de proporcionalidad b. Sabemos que la carga total en el ncleo debe ser Ze , as que

iR p dV = iR (br)47Tr2 dr = Ze, donde dV = 4 7Tr 2 dr es el volumen de un cascarn esfrico. Al re-solver la integral tenemos b = Ze/ 1rR 4.

De la segunda regla de los cascarones esfricos, se deduce que la fuerza F( R) es la misma en ambas distribuciones de carga. Sin em-

sao CAPITULO 25 / CARGA ELCTRICA Y LEY DE COULOMB

bargo, F(R/2) ser distinta para las dos distribuciones. Si queremos calcular esta ltima es necesario saber cunta carga q' est conteni-da dentro de la esfera de radio R/2, ya que la carga fuera del radio R/2 no ejerce fuerza alguna sobre el electrn. Esta carga es

iRt2 iR/2 Zer Ze

q' = pdV = - -4 47Tr2 dr = -.

o o 7TR 16

La fuerza sobre el electrn, con r = R/2, se obtiene sustituyendo la esfera dentro de R/2 por una carga puntual q' en su centro, lo cual nos da 1/16 de la fuerza en la superficie:

F(R/2) 1 F(R) 16

El resultado anterior es muy distinto del de la esfera uniforme de la parte a); lo cual demuestra que, aunque el electrn fuera del ncleo no puede distinguir entre las dos distribuciones, el del interior s puede.

En forma espordica los electrones atmicos penetran en el n-cleo, y un acelerador puede disparar los electrones hacia su interior. Ambos mtodos aportan informacin sobre la distribucin de la carga dentro del ncleo. Un resultado de estos experimentos es que la den-sidad de carga es casi uniforme en la generalidad de los ncleos. Los protones del ncleo se distribuyen con una densidad ms o menos uniforme, a pesar de la repulsin de Coulomb de los protones (que se supone que los impulse hacia la superficie nuclear) y a pesar de la intensa fuerza nuclear entre los protones (que se espera que los haga reunirse cerca del centro del ncleo). Ms an, la densidad es apro-ximadamente igual en los ncleos ligeros que en los ncleos pesa-dos. Resultados tan sorprendentes permiten entender las propiedades importantes de la fuerza nuclear.

25-6 CONSERVACIN DE LA CARGA Cuando se frota con seda una varilla de vidrio, aparece una carga positiva en ella. La medicin revela que una carga ne-gativa correspondiente aparece en la seda. Ello significa que el frotamiento no crea la carga, sino que se limita a transferir-la de un objeto a otro, perturbando un poco su neutralidad elctrica. Esta hiptesis de la conservacin de la carga ha pa-sado rigurosas pruebas experimentales en objetos a gran esca-la y en tomos, en ncleos y en partculas elementales. Nunca se han descubierto excepciones.

En analoga con otras leyes de conservacin, entre ellas la de la conservacin del momento o de la energa, podemos expresar la conservacin de la carga elctrica as:

L q = constante o q = q. (25-

183097292 halliday resnick krane fisica volumen 2 cap 25 31

Documents

v s constante

colombia fsica

kg2 constante

fsica universidad nacional

mxico ph

ingls cuarta edicin

mxico printed in

direccin editorial