pristupni rad

Pristupni rad

Predmet: Modeli ulaganja i amortizacije

Tema: Ulozi

Mentor: Studenti:

Prof. dr Željko Šain Edina Hajro 2739 - 69054

Hasanović Amra 2768 - 68852

Sarajevo, Maj 2014

Pristupni rad: Modeli ulaganja i amortizacije

1. SADRŽAJ

1. SADRŽAJ........................................................................................................................................... 2

2. UVOD................................................................................................................................................. 3

3. RAČUN ULOGA................................................................................................................................ 4

4. JEDNAKI ULOZI............................................................................................................................... 6

3.1. Periodi ulaganja i obračuna kamate isti..............................................................................................6

3.2.Ulozi odložene realizacije.........................................................................................................................10

3.3. Ulaganje češće od obračunavanja kamate.......................................................................................11

3.4.Ulaganje rjeđe od obračunavanja kamate.........................................................................................12

5. VARIJABILNI ULOZI.................................................................................................................... 14

4.1.Ulozi se mijenjaju po zakonitostima aritmetičke progresije....................................................14

4.2.Ulozi se mijenjaju po zakonitima geometrijske progresije.......................................................15

6. KOMBINOVANI PRIMJERI......................................................................................................... 17

7. ZAKLJUČAK................................................................................................................................... 21

8. LITERATURA................................................................................................................................ 23

2


2. UVOD

Finansijska matematika obuhvaća područje ekonomske grane matematike koja obrađuje

probleme poslovanja, kapitala, rentabilnosti ulaganja, zajmova i dr. Naime, u svakodnevnom

životu upravljamo osobnim finansijama kako bismo osigurali optimalni raspored

finansijskih sredstava kojima raspolažemo s ciljem zadovoljavanja naših potreba.

Vrijednost novca se tokom vremena mijenja pa donošenje odgovarajućih odluka postaje još

teže. Ukoliko raspolažemo s viškom finansijskih sredstava, zanima nas kako ih optimalno

„iskoristiti“: uložiti ih u banku ili investirati npr. u nekretninu?ematičkom zakonu, a

uplaćuju se na neki račun u jednakim vremenskim intervalima.

Kroz ovaj rad predstavit ćemo šta u finansijskoj matematici znače računi uloga. Teoretski

ćemo objasniti o čemu se u stvari radi, te ćemo kroz primjere objasniti kako se to radi u

praksi.

U smislu finansijske matematike ulozi su uplate koje se vrše privremeno u jednakim

vremenskim razmacima u jednakim iznosima, odnosno iznosima koje rastu ili opadaju po

nekom matematičkom zakonu.1

U nastavku ćemo najprije dati kratak prikaz osnovnih matematičkih pojmova i relacija koje

se koriste u finansijskoj matematici radi boljega razumijevanja izvoda temeljnih izraza.

1 Branko Trklja: Finansijska matematika, treće izdanje, 2008., Sarajevo, p. 35

3


3. RAČUN ULOGA

Ako se više jednakih ili varijabilnih iznosa, koji se mjenjaju po nekom matematskom

zakonu, uplaćuje na neki račun u jednakim vremenskim intervalima, onda takve iznose sa

stanovišta finansijske matematike nazivamo periodične uplate, ili jednostavno, ulozi.2

Prema tome ulozi imaju sljedeće karakteristike:

privremenost koja automatski isključuje jednokratnost ulaganja,

vremenska jednakost perioda ulaganja i

kvantitativno manifestovanje iznosa prema nekom matematičkom zakonu.

S obzirom na trenutak uplate ulozi se djele na anticipativne i dekurzivne. Ukoliko se uplate

događaju na počeku perioda onda govorimo a anticipativnim ulozima, a ako se ulozi

uplaćuju na kraju perioda onda je riječ o dekurzivnim ulozima.

Radi lakšeg razumijevanja, predstavit ćemo vam grafički ove dvije vrste ulaganja:

a) anticipativni:

b) dekurzivni:

2 Milivoj Krčmar: Finansijska matematika i metode investicionog odlučivanja, 2001., Sarajevo, p. 47

4


Na osnovu prethodnih grafičkih prikaza možemo zaključiti da se konačna vrijednost kod

anticipativnih uloga formira jedan period ulaganja nakon posljednje uplate, odnosno da se i

posljednji ulog kamati jedan period, dok se kod dekurzivnih uloga konačna vrijednost

formira na dan posljednje uplate što znači da posljednji ulog nije ukamaćen.

S obzirom na trenutak realizacije uplaćenih uloga oni mogu biti neposredni i ulozi odložene

realizacije. Ako se uplaćeni ulozi realizuju na dan posljednje uplate, odnosno jedan period

kasnije riječ je o neposrednim ulozima, a ako se ulozi realizuju po isteku dva ili više perioda

riječ je o ulozima odložene realizacije.

Vremenski razmak između dva sukcesivna obračuna kamata naziva se period obračuna

kamata (period kapitalisanja, period ukamaćenja). Period ulaganja može biti jednak, manji i

veći od perioda kapitalisanja. Ako je period ulaganja jednak periodu kapitalisanja, onda se

govori o modelu uplate gdje se poklapa period ulaganja sa sa periodom kapitalisanja, a ako

je period ulaganja manji od perioda kapitalisanja, onda se govori o modelu gdje je ulaganje

češće od kapitalisanja i ako je period ulaganja veći od perioda kapitalisanja onda se govori o

modelu plate gdje je ulaganje rjeđe od kapitalisanja.

Ako se više jednakih ili varijabilnih iznosa, koji se mijenjaju po nekkom matematskom

zakonu uplaćuje na neki račun u jednakim vremenskim intervalima, onda takve iznose sa

stanovišta finansijske matematike nazivamo periodične uplate, ili jednostavno, ulozi. Kao

primjer možemo uzeti mjesečnu uplatu preduzeća na određeni račun banke, uplata građana

za tzv. namjensku štednju itd.3

3 Dr Milivoj Krčmar “Finansijska matematika i metode investicionog odlučivanja”, str. 47

5


4. JEDNAKI ULOZI

3.1. Periodi ulaganja i obračuna kamate isti

Ako pođemo od pretpostavke da se ulaže po 1 n.j. (novčana jedinica) i da je riječ o

anticipativnim ulozima formulacija ovog modela bi bila:4

1) Početkom svake godine (ili nekog drugog perioda) u toku n godina ulagano je po 1

n.j. uz godišnji obračun kamate po stopi p% (d). Kolika je vrijednost uloga na kraju n-

te godine?

2) Svake godine u toku n godina ulaže se po 1 n.j. uz godišnji obračun kamate po stopi p

% (d). Kolika je vrijednost uloga jednu godinu nakon uplate posljednjeg uloga?

Konačna vrijednost uloga predstavlja vrijednost kojom ulagač raspolaže nakon što se završi

period ulaganja i obračuna kamata. Drugim riječima, ta vrijednost ustvari čini zbir svih

uloga i pripadajućih kamata. Prema ovom modelu, konačnu vrijednost (Kn) anticipativnih

uloga možemo izračunati pomoću:

1) algebarske formule

Kn=ur (r n−1)r−1

r=1+ p100

2) formule zasnovane na tablicama složenih kamata

Kn=u∗III pn

Primjer 1: Svake godine u toku 10 godina uplaćivano je po 1.000 n.j. Period obračuna

kamate je godišnji uz kamatnu stopu od 8% (d). Kolika je vrijednost uloga jednu godinu

nakon uplate posljednjeg uloga?

u = 1000 n.j.

4 Branko Trklja, op.cit., p. 36

6


n = 10

p = 8% r = 1,06

K5 = ?

a) Rješenje pomoću algebarske formule:

K8 = 1000 1,08(1,08¿¿10−1)

1,08−1¿ = 15645,487

b) Rješenje pomoću tablica složenih kamata:

K8 = 1000 III810 = 15.645,487

Konačna vrijednost uloga jednu godinu nakon posljednje uplate je 15.645.487 n.j.

Primjer 2: U toku 3 godine ulagano je svakog mjeseca po 300 n.j. Kamata se obračunava

mjesečno na bazi godišnje stope od 10%. Kojim će iznosom ulagač raspolagati 1 mjesec

nakon uplate posljednjeg uloga?

u = 300 n.j.

n = 3 m = 12

p = 12% p’ = 1% r = 1,01

K36 = ?

a) Rješenje pomoću algebarske formule:

K36 =300 1,01(1,01¿¿36−1)

1,01−1¿ = 13052,292


K36 = 300 III136 = 13.052,292

Mjesec dana nakon uplate posljednjeg uloga ulagač će raspolagati sa 13.052,292.

7


Uz istu pretpostavku da se ulaže po 1 n.j., kod dekurzivnih uloga formulacija ovog modela bi

bila:5

1) Na kraju svake godine (ili nekog drugog perioda) ulagano je po 1 n.j. u toku n godina

uz godišnji obračun kamate po stopi p% (d). Kolika je vrijednost uloga na kraju n-te

godine?

2) Svake godine u toku n godina ulaže se po 1 n.j. uz godišnji obračun kamate po stopi p

% (d). Kolika je vrijednost uloga na dan posljednje uplate?

Konačna vrijednost dekurzivnih uloga kod modela jednakih uloga uz iste periode ulaganja i

obračuna kamate izračunava se preko:

a) algebarske formule

K’n = u rn−1r−1

b) formule zasnovane na tablicama složenih kamata

K’n = u (1 + III pn−1)

Primjer 3: Ulagano je svake godine u toku 3 godine po 1000 n.j. Kamata se obračunava

godišnje po stopi od 6% (d). Kolika je vrijednost uloga na dan uplate posljednjeg uloga?

u = 1000

n = 3

p = 6% r = 1.06

K3 = ?

a) Rješenje pomoću algebarske formule

K’3 = 1000 1,063−11,06−1

= 3183,6


K’3 = 1000 (1 + III63−1) = 3.183,6

Vrijednost svih uloga na dan uplate posljednjeg uloga je 3.183,6.

5 Branko Trklja, op.cit., p. 37

8


Primjer 4: U toku 5 godina ulagano je svakog polugodišta po 400 n.j. Kamata se obračunava

polugodišnje uz godišnju stopu obračuna od 8% (d). Kolika je vrijednost uloga na dan

uplate posljednjeg uloga?

u = 400 n.j.

n = 5 m = 2

p = 8% p’ = 4% r = 1,04

K10 = ?

a) pomoću algebarske formule

K10 = 400 1,0410−11,04−1

= 4802,44

b) pomoću tablica složenih kamata

K10 = 400 (1 + III 410−1) =4.802,44


Primjer 5: Uloženo je prve godine 1.000 n.j., druge godine 3.000 n.j, zatim u naredne tri

godine ulagano je svake godine po 4.000 n.j. Kamata se obračunava godišnje po stopi od 5%.

Kolika je vrijednost svih uloga na dan uplate posljednjeg uloga?

u1 = 1000 n.j.

u2 = 3000 n.j.

u3 = 4000 n.j.

n = 5 p = 5%

K’5 = ?

Rješenje:

K’5 = 1000 I 54 + 3000 I 5

3 + 4000 (1 + III53−1)

K’5 =14.121,25


9


Bez obzira što su ulozi polagani u jednakim vremenskim razmacima, zbog razlike u

iznosima korištene su I i III tablica. I tablica je korištena kod jednokratnih uplata, dakle u

prvoj i drugoj godini, a III kod jednakih višekratnih uplata/uloga odnosno u posljednje tri

godine.

3.2.Ulozi odložene realizacije

Ulagač može realizovati svoje uloge odmah da dan uplate posljednjeg uloga ili jedan period

nakon uplate posljednjeg uloga ovisno o tome da li se radi o dekurzivnim ili anticipativnim

ulozima. Međutim, često ulagač koristi mogućnost realizacije svojih uloga dva ili više

obračunskih perioda nakon uplate posljednjeg uloga, i tada govorimo o ulozima odložene

realizacije. Akumulirana suma nakon uplate posljednjeg uloga kamati se n obračunskih

perioda, odnosno onoliko perioda za koliko je odložena realizacija uloga.

Problem se može matematički postaviti ovako:7

U toku n godina ulagano je svake godine (ili nekog drugog obračunskog perioda) po

u n.j. Kolika je vrijednost uloga m godina poslije uplate posljednjeg uloga ako se

kamata obačunava godišnje (ili za neki drugi obračunski period) po stopi p% (d)?

Konačnu vrijednost uloga odložene realizacije možemo izračunati pomoću sljedećih

formula:

a) anticipativni ulozi

Kn/m = u III pn I p

m−1

b) dekurzivni ulozi

Kn/m = u (1 + III pn−1) I p

n

Primjer 6: Početkom svake godine u toku 4 godina ulagano je po 2.000 n.j. Kamata se

obračunava godišnje uz kamatnu stopu od 6% (d). Kojim iznosom će ulagač raspolagati 3

godine nakon uplate posljednjeg uloga?

u = 2000

10


n = 4

p = 6%

K4/3 = ?

Rješenje:

K4/3 = 2000 III64 I 6

3−1 = 10.420,20

Tri godine nakon uplate posljednjeg uloga ulagač će raspolagati sa 10.420,20 n.j.

3.3. Ulaganje češće od obračunavanja kamate

Ako se u jednom periodu obračuna kamate ulaže više puta (m puta), onda se govori o

modelu računa uloga gdje je ulaganje češće od obračunavanja kamate.8 Na primjer ulozi se

polažu svakog kvartala, a obračun kamate je godišnji, ili se ulaže svakog mjeseca uz

polugodišnji obračun kamate.

Konačnu vrijednost kod ovog modela možemo izračunati na sljedeći način:


Kmn = u [m+p (m+1 )

200 ]¿)

b) dekurzivni ulozi

K’mn = u [m+p (m−1 )

200 ]¿)

Primjer 7: Ulagano je svakog polugodišta u toku 5 godina po 3.000 n.j. Kamata se

obračunava godišnje po stopi od 8%. Izračunati:

a) konačnu vrijednost svih uloga jednu godinu nakon uplate posljednjeg uloga;

b) konačnu vrijednost svih uloga na dan uplate posljednjeg uloga i

11


c) konačnu vrijednost svih uloga 3 godine nakon uplate posljednjeg uloga ako je ulagano na

početku svakog polugodišta

u =3000

n = 5 m = 2

p = 8%

Rješenje:


K10 = 3000 [2+ 8 (2+1 )200 ]¿) = 37.311,571

Konačna vrijednost svih uloga jednu godinu nakon uplate posljednjeg uloga je 37.311,571 n.j.

b) dekurzivni ulozi

K10 = 3000 [2+ 8 (2−1 )200 ]¿) = 35.903,592

Konačna vrijednost svih uloga na dan uplate posljednjeg uloga je 35.903,592 n.j.

c) ulozi odložene realizacije

K10/3 = 3000 [2+ 8 (2+1 )200 ]¿) I 8

3−1 = 43520,21

Konačna vrijednost svih uloga tri godine nakon uplate posljednjeg uloga je 43520,21 n.j.

3.4.Ulaganje rjeđe od obračunavanja kamate

Ako se u jednom periodu ulaganja, na primjer u toku jedne godine, pojavljuje više

obračunskih perioda: dva ako je obračun kamata polugodišnji, tri ako je obračun kamata

četveromjesečni i sl., tada govorimo o modelu u kojem je ulaganje rjeĎe od obračunavanja

kamate.

12


Konačna vrijednost za ovaj model ulaganja izračunava se na sljedeći način:


Kmn = u (III p

mn+m

III pm −1¿

b) dekurzivni ulozi

K’mn = u III p

mn

III pm

Primjer 8: Ulagano je svake godine u toku 6 godina po 1.000 n.j. Kamata se obračunava

polugodišnje na bazi godišnje stope od 8%. Izračunati:

a) konačnu vrijednost svih uloga jednu godinu nakon uplate posljednjeg uloga i

b) konačnu vrijednost svih uloga na dan uplate posljednjeg uloga.

u = 1000 n.j.

n = 6 m = 2

p = 8% p’ = 4%

Rješenje:


K12 = 1000 (III 4

2∗6+ 2

III42 −1¿ =7966,6195

Konačna vrijednost svih uloga jednu godinu nakon uplate posljednjeg uloga je 7966,6195 n.j.

b) dekurzivni ulozi

K’12 = 1000 III 4

2∗6

III42 = 7363,59

Konačna vrijednost svih uloga na dan uplate posljednjeg uloga je 7363,59 n.j.

13


5. VARIJABILNI ULOZI

Varijabilni ulozi su oni ulozi koji se mijenjaju iz perioda u period prema nekom

matematičkom zakonu, npr. rastu ili opadaju za određeni iznos ili određeni procenat.

Varijabilnost može biti u sukcesivnim vremenskim intervalima i u serijama. Period ulaganja

može biti jednak, manji ili veći od perioda kapitalisanja.

4.1.Ulozi se mijenjaju po zakonitostima aritmetičke progresije

Model u kojem se ulozi mijenjaju po zakonitostima aritmetičke progresije znači da ti ulozi

rastu ili padaju u određenom iznosu. Periodi ulaganja i obračunQavanja kamate se ne

moraju podudarati.

a) Anticipativni ulozi:

Kn=u∗III pn ± 100∗d

p¿)

b) Dekurzivni ulozi:

K 'n=u1∗(1+ III )± 100∗dp

(1+ III pn−n)

Primjer 9: Ulagano je u toku 15 godina, godišnje, kod banke koja nudi kamatnu stopu od

5% i godišnje kapitalisanje. Prvi ulog iznosi 1000 n.j., a svaki naredni je veći od prethodnog

za 100 n.j. Izračunati:

a) Konačnu vrijednost svih uloga jednu godinu nakon uplate posljednjeg uloga i

b) Konačnu vrijednost svih uloga na dan uplate posljednjeg uloga.

n=15

p=5%

u1= 1000

d + =100

14


Kn=?

Rješenje:

a) Anticipativni ulozi

Kn= 1.000*III515 +

100∗1005 (III5

15– 15*I 51)

Kn= 36.472,50


b) Dekurzivni ulozi

Kn= 1.000*(1+III515−1) +

100∗1005 (1+III5

15 – 15)

Kn= 38.893,55


4.2.Ulozi se mijenjaju po zakonitima geometrijske progresije

Ulozi formiraju geomterijsku progresiju ako je količnik dva vremenski sukcesivna uloga

neprekidno isti.6 Prema ovom modelu, ulozi iz godine u godinu rastu/opadaju za određeni

procenat, pa tako u konačnici imamo npr.: ulog u prvoj godini 100 n.j., u drugoj 200 n.j., u

trećoj 400 n.j. (kad ulozi rastu), ili npr. kad ulozi opadaju ulog u prvoj godini 1000 n.j., u

drugoj 500 n.j., u trećoj 250 n.j. I kod ovog modela periodi ulaganja mogu biti vremenski

podudarni s obračunskim periodima. Ali, oni mogu biti i kraći i duži od obračunskog

perioda.


6 Branko Trklja: Finansijska matematika, treće izdanje, 2008., Sarajevo, p. 55

15


Kn= u1* r (rn−qn)r−q

b) dekurzivni ulozi

K'n = u1* rn−qn

r−q

Primjer 10: Ulagač je odlučio da izdvaja na poseban račun kod banke, godišnje u toku 6

godina, po godišnjoj kamatnoj stopi od 4%. Ulog u prvoj godini iznosi 1000 n.j., a svake

naredne godine je veći za 5% od iznosa iz prethodne godine. Izračunati:

a) konačnu vrijednost svih uloga jednu godinu nakon uplate posljednjeg uloga i

b) končanu vrijednost svih uloga na dan uplate posljednjeg uloga.

u1=1000 n.j.

s+= 5%

q=1,05

p= 4%, r= 1,04

n= 6

Kn=?

Rješenje:


Kn= 1000*1,04(1,046−1,056)

1,04−1,05

Kn= 7.776,77 n.j.


b) dekurzivni ulozi

16


Kn= 1000* 1,046−1,056

1,04−1,05

Kn= 7.477,66 n.j.


6. KOMBINOVANI PRIMJERI

Primjer 1: Ulagač je ulagao novac u banku u toku 10 godina. U toku prve dvije godine

ulagano je na kraju svakog polugodišta po 500 n.j uz tromjesečni obračun kamate na

osnovu godišnje kamatne stope od 12%. U toku sljedeće četiri godine uloge je polagao na

kraju svakog mjeseca, tako da je svaki naredni u odsnosu na prethodni rastao za 100 n.j. U

ovom periodu kamata se obračunavala godišnje po stopi od 10%. U toku posljednje 4

godine ulozi od 400 n.j. su polagani dekurzivno godišnje, a obračun kamate je polugodišnji

na bazi godišnje kamatne stopd od 10%. Koliko će ulagač primiti novca dvije godine poslije

posljednje uplate, ako se u toku tog perioda kamata obračunavala kao i prethodne četiri

godine i ako je prvi ulog druge serije manji od zbira uloga prve i treće serije.

I serija: II serija: III serija:

u1= 500 u2<u1+u3 za 40%, u2=540 u3= 400

p= 12%, p'= 3% p=10% p= 10%, p'=5%

m= 2 m=2 n=4 m=2

n=4 d+ = 100 n=4

Rješenje:

Kn=500*III 3

2∗4

III 32 *I 10

4 *I 512+{540 (1+ III10

4−1 )+¿ 100∗10010

∗(1+ III 144−1−4)}*I 10

12+ 400*III 5

2∗4

III 52 *I 5

4

17


Kn=13.675,40 n.j.

Dvije godine nakon posljednje uplate, uz uslove navedene u postavci zadatka, ulagač će primiti

13.675,40 n.j.

Primjer 2: Početkom svake godine u toku 5 godina ulagano je po 500 n.j. Koliko bi se novca

trebalo jednokratno uplatiti 3 godine nakon uplate posljednjeg uloga da bi se, od formirane

mize 2 godine nakon jednakokratne uplate, moglo primiti 5 godišnjih anticipativnih renti po

3.000 n.j., ako se prva renta primila 2 godine nakon uplate jednakokratnog iznosa i ako se

kamata obračunava godišnje po stopi od 5%?

u1= 500 n.j.

p=5%

R= 3.000 n.j.

u2=?

Rješenje:

500*III55*I 5

4+ u2*III52=3000*(1+IV 5

5)

u2=11.670,74 n.j.

Da bi se primilo 5 anticipativnih godišnjih renti od 3.000 n.j., potrebno je početkom svake

godine u toku 5 godina ulagati po 500 n.j., a zatim nakon tri godine jednokratno uplatiti

11.670,74 n.j.

Primjer 37: Ulagano je u toku 8 godina početkom svake godine uz kamatnu stopu 10%(d) i

polugodišnji obračun kamate. Ulozi u toku prve četiri godine iznose po .... n.j.; ulozi u toku

naredne tri godine iznose po..... n.j.; ulog posljednje serije iznosi...... n.j. Izračunati:

a) Kolika je konačna vrijednost svih uloga 3,5 godine poslije posljednje uplate ako je

kamata za posljednje 2,5 godine 4.624,32 n.j. i ako je druge serije manji od uloga

treće serije za 5%, a ulog treće serije veći od uloga prve serije za 15%?7 Milivoj Krčmar, op.cit., str. 89

18


b) Koliki je ulog svake serije?

n= 8

p=10%, p'=5%

I2,5=4.624,32 n.j.

u2<u3 za 5%

u3>u1 za 15%

Rješenje:

u2=0,95u3= 0,95*1,15u1

u3=1,15u1

a) ∑I= Kn* (1-II pn)

4.624,32= Kn* (1-II55)

Kn= 21.362,03 n.j.

Konačna vrijednost svih uloga 3,5 godine nakon uplate posljednjeg uloga je 21.362,03 n.j.

b) 21.362,03= u1*[III 5

2∗4+2

III52 −1]*I 5

13 + u2*[III 5

2∗3+2

III52 −1]*I 5

7 +u3* I 57

21.362,03= u1*[III 5

2∗4+2

III52 −1]*I 5

13 + 1,0925u1*[III 5

2∗3+2

III52 −1]*I 5

7 +1,15u1* I 57

u1=1.262,12 n.j.

u2=1.378,87 n.j.

u3=1.451,44 n.j.

Ulog prve serije iznosi 1.262, 12 n.j, druge serije 1.378,87 n.j., i posljednji ulog iznosi 1.451,44

n.j.

19


Primjer 4: Uplaćivano je u toku 8 godina na kraju svakog polugodišta po ... n.j. Na bazi

akumuliranih sredstava obezbijeđena je ispata po 8.000 n.j. u tkou 7 godina na početku

svakog mjeseca. Koliko ja pojedinačna uplata ako je kamatna stopa za prvih 7 godina 10%, a

za naredni period 10,5% (d) i ako je prva isplata izvršena 2 godine poslije posljednje

uplate?

n=8

p1=10%

p2=10,5%

k=2, n=7

R=8000 n.j.

u=?

Rješenje:

u*[2+10(2−1)

200]*(1+ II I 10

7−1)*I 10,53 +u*[2+

10(2−1)200

]*(1+ II I 10,51−1) I 10,5

2 = 8000* [12+10,5(12+1)

200]

*IV 10,57

Da bi se u periodu od 7 godina mogle isplaćivati anticipativne mjesečne rente po 8.000 n.j., uz

ostale uslove navedene u postavci zadatka, uplaćivano je na kraju svakog polugodišta u

periodu od 8 godina po 16.903,43 n.j.

20


7. ZAKLJUČAK

Kroz ovaj rad imali smo mogućnost da vam predočimo teorijski i praktično kako da na

najlakši način savladate osnovne pojmove koji se pojavljuju vezani za račune uloga. Prije

svega bez razumijevanja anticipativnog i dekurzivnog načina obračuna, nije moguće dalje

nastaviti, pa smo to objasnili prije svega.

Anticipativno znači da se ulozi polažu na početku obračunskog perioda, dok dekurzivno

znači da se ulozi polazu na kraju obračunskog perioda. Samim tim, prilikom rada sa

anticipativnim ulozima, naši ulozi će biti ukamaćeni za jedan period duže, te samim tim

iznos kamata će biti veći.

Račun uloga je jako bitan i za ulagača i za banku, jer i jedna i druga strana nastoje pronaći

najbolje rješenje za sebe. Ulagač može da donese odluku da li će uloge u banku polagati

godišnje, polugodišnje, tromjesečno, mjesečno ili u drugim vremenskim razmacima. Što je

češći obračun kamate, vrijednost na kraju razdoblja će biti veća zbog kumulativnih kamata i

kamate na kamatu.

Također primjećujemo da se u formulama za izračunavanje modela računa uloga pojavljuju

I i III finansijska tablica. Prva tablica 𝐼𝑝n koja se koristi kod računa uloga predstavlja

vrijednost jediničnog uloga ukamaćenog uz kamatnu stopu p u periodu n. Treća tablica, 𝐼𝐼𝐼𝑝𝑛, predstavlja vrijednost jediničnih uloga koji se ulažu anticipativno u toku n perioda,

uz kamatnu stopu p.

Kod varijabilnih uloga, potrebno je spomenuti da se iznosi povećavaju/smanjuju za

određeni iznos ili određeni procenat. Ukoliko to nije slučaj, onda moramo posebno računati

za svaku godinu, kao da svake godine ulažemo drugi iznos.

Ova tema je bitna upravo iz razloga sto mnogi ne razumiju sistem kamate na kamatu i

načine na koji banke obračunavaju te iznose. Mnogi od nas će se naći u sličnim situacijama,

da budu ulagači gdje nam je obećan fiksni povrat na imovinu te je moguće vrlo jednostavno

21


odrediti buduću vrijednost sadašnje investicije, ili iznose koji se mogu podići (u razvijenim

zemljama) prilikom uplata u penzioni sistem, kada se dostigne potrebna starosna dob za to.

22


8. LITERATURA

Branko Trklja: Finansijska matematika, treće izdanje, 2008., Sarajevo

E. Gacić, S. Vuleta: „Tablice interesa na interes“, Sarajevo, decembar 1998.g.

Milivoj Krčmar: Finansijska matematika i metode investicionog odlučivanja, 2001., Sarajevo

Rovčanin Adnan: „Upravljanje finansijama“, peto izdanje, Sarajevo, oktobar 2010.g.

23

pristupni rad

Documents