presentacion y tratamiento de informacion 31

1

INDICE

INTRODUCCION………………………………………………………………………………….……………………………………

3

ORGANIZACIÓN DE LOS CONTENIDOS…………………………………………….……………………………………

3

ORIENTACIONES DIDÁCTICAS…………………………………………….…………………………………………………

4

PROPOSITOS GENERALES………………………………………………………………………………………………………

4

BLOQUE I.

CONCEPTOS ESTADÍSTICOS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE DATOS

CONCEPTOS DE ESTADÍSTICA………………………………………….……………………………………………………

5

BLOQUE II.

PRESENTACIÓN DE DATOS………………………………………………….…………………………………………………

8

BLOQUE III.

PARÁMETROS CENTRALES Y DE DISPERSIÓN…………………….…………………………………………………

12

BLOQUE IV.

CORRELACIÓN LINEAL………………………………………………………….…………………………………………………

15

MATERIAL DE APOYO

BLOQUE I

CONCEPTOS ESTADISTICOS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCION DE DATOS

LA PRESENTACION DE LOS NUMEROS…………………………….……………………………………………………

20

POTENCIALIDAD MATEMÁTICA DE LAS DIFERENTES UNIDADES DE CONTENIDO EN LOS

TEXTOS DE PRENSA ESCRITA…………………………………………………………………………………………………

67

ELEMENTOS MATEMÁTICOS EXPLÍCITOS EN LA PRENSA ESCRITA…………………………………

112

BLOQUE II

PRESENTACIÓN DE DATOS

ESTADÍTICA ELEMENTAL…………………………………………………………………………………………………………

159

ESTADISTICA………………………………………………………………………….……………………….……………………… 160

ANALISIS DESCRIPTIVO Y PRESENTACION DE DATOS UNIVARIADOS……………..…………………

219

ANALISIS DESCRIPTIVO Y PRESENTACION DE DATOS BIVARIADOS……………….…….…………… 250

2

BLOQUE III

PARAMETROS CENTRALES Y DISPERSIÓN

PARAMETROS CENTRALES………………………………………………………………………………………………………

278

ANALISIS EXPLORATORIO DE LOS DATOS……………………………………………………………………………

302

BLOQUE IV

EL TRATAMIENTO D ELA INFORMACIÓN Y LAS FUNCIONES

HACIENDO ENCUESTAS FIABLES……………………….………………………………………………………………….

353

3

INTRODUCCION

La incorporación de los temas relacionados con la presentación y el tratamiento de la información en

los planes y programas de educación secundaria es relativamente reciente. Antes se pensaba que una

buena selección de temas de aritmética, álgebra y geometría brindaba a los alumnos los

conocimientos y habilidades suficientes para enfrentar las exigencias de la vida cotidiana y proseguir

con éxito sus estudios superiores.

De esta forma, era natural que los egresados de ese nivel educativo, no entendieran el tratamiento

matemático de muchos hechos de la vida real como los cambios bursátiles, el riesgo de atentados

terroristas, los récords deportivos, las elecciones políticas, las primal de los seguros, los resultados de

análisis clínicos, los reportes médicos entre otros.

La sociedad genera gran cantidad de datos que se presentan a través de los medios de información

impresos y electrónicos mediante porcentajes, tasas e índices o bien en forma de tablas, gráficas e

inferencias estadísticas.

Por esta razón uno de los aspectos centrales en la formación de los futuros profesores es que estos

sean capaces de desarrollar en los estudiantes los conocimientos, habilidades y actitudes que les

permitirán mas tarde convertirse en ciudadanos que puedan interpretar adecuadamente ese tipo de

información.

ORGANIZACIÓN DE LOS CONTENIDOS

Los contenidos de los programas se organizan en cinco bloques temáticos. En el primer bloque se dan

las bases para que el estudiante cuantifique aspectos de la realidad que permitan interpretarla

adecuadamente, para lo cual se analiza la representatividad de las muestras y se proporcionan

elementos para elaborar y aplicar instrumentos de recolección de datos como el cuestionario y la

entrevista

En el segundo bloque se revisan los conceptos que permitan interpretar y elaborar tablas numéricas a

partir de conjuntos de datos, o de gráficas, teniendo en cuenta el fenómeno a que se refieren, o

inversamente, construir gráficas a partir de tablas estadísticas, eligiendo en cada caso el tipo de

grafica y la forma de elaboración que puede ser manual o electrónica; en este ultimo caso se propone

la utilización de un software como Excel. Se atiende de manera específica la noción de cantidades

relativas, dada su utilización en diversos indicadores sociales.

En el tercer bloque se dan criterios para elegir los parámetros centrales y de dispersión más

adecuados para describir una distribución en función del contexto y de la naturaleza de los datos,

utilizando los algoritmos tradicionales, la calculadora o la computadora para su obtención.

En el cuarto bloque se intenta que el estudiante identifique fenómenos de la vida cotidiana que varíen

a tasa constante y que realice proyecciones a futuro; describa tales fenómenos por medio de una

tabla, una grafica y una expresión simbólica de la forma y=mx+b, asimismo se trata que el estudiante

identifique fenómenos cuyo crecimiento sea de tipo aritmético o exponencial.

En el quinto bloque se pretende que el estudiante identifique fenómenos en los que intervengan dos

variables relacionadas, cuya representación grafica sea una nube de puntos alrededor de una recta; se

trata también de que, a partir de esos datos, el estudiante estime el grado de relación que tiene el

cambio de una variable sobre la otra, mediante el calculo del coeficiente de correlación lineal.

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Asimismo, a partir del mismo conjunto de datos el estudiante encuentre la ecuación de la recta "de

mejor ajuste" determinada por procedimientos formales e informales.

Debido a que la información estadística cambia muy rápidamente, se recomienda que al trabajar los

cinco bloques que conforman la asignatura, el docente proponga el uso de datos provenientes no

solamente de libros de texto y revistas actuales, sino también de sitios o páginas de Internet.

ORIENTACIONES DIDÁCTICAS

Se sugiere desarrollar la asignatura en forma de curso-taller, donde el profesor asume el papel de

conductor de las discusiones que se suscitan en la clase; esto implica que el profesor no es quien

decide sobre la veracidad de los juicios que se emitan clase, sino el grupo, tomando como base la

argumentación que se plantee por parte de los participantes de la clase. En la sección de actividades

sugeridas se muestran algunos ejemplos de como puede organizarse el trabajo colectivo.

Debe resaltarse la diferencia entre los resultados que se encuentran mediante la estadística y los

resultados "exactos" que se obtienen por otras partes de las matemáticas.

En los bloques donde se presenta mayor cantidad de cálculos es importante que la atención se centre

en la correcta interpretación de los resultados que se obtengan mediante dichos cálculos y no en los

algoritmos utilizados. En este punto, se recomienda el uso de las herramientas computacionales, con

objeto de agilizar los cálculos y dedicar más tiempo al análisis de la información y a la interpretación

de los resultados.

Si bien en ocasiones es útil plantear información ficticia para aclarar conceptos estadísticos o resaltar

inferencias incorrectas debido a gráficas y tablas engañosas, en lo posible se debe utilizar información

real derivada del entorno social. Es conveniente que en la recopilación de datos participen todos los

integrantes del grupo.

PROPOSITOS GENERALES

Al término del estudio de los contenidos de este programa se espera que el estudiante normalista:

- Incorporar al lenguaje y modos de argumentación habituales las distintas formas de presentar

información cuantitativa sobre fenómenos y situaciones de los ámbitos social, cultural, económico y

científico, con el fin de comunicarse de manera precisa y rigurosa.

- Utilizar las técnicas de recolección y organización de datos relativos a diversos aspectos de la

realidad que permitan interpretarla adecuadamente.

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BLOQUES TEMÁTICOS

BLOQUE I. CONCEPTOS ESTADÍSTICOS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE DATOS

CONCEPTOS DE ESTADÍSTICA.

Estadística Descriptiva e inferencias

1. Población y muestras. Representatividad de una muestra

2. Encuestas e instrumentos de obtención de datos. Como preparar una encuesta.

Cuestionarios y entrevistas.

3. Cantidades relativas. Promedios, densidades, concentraciones y razones de cambio

BIBLIOGRAFIA BASICA

• Johnson R. (1996) "Estadística Descriptiva. Capitulo 1" en Estadística elemental. México, Grupo,

Editorial Iberoamérica, pp.2-20.

Nortes Checa A. (1995) Encuestas y precios, España, Editorial Síntesis, pp. 11-48

• Sanchis C. (1993), Hacer Estadística, México, Biblioteca de recursos didácticos Alambra

• López Afonso P. (2000) Probabilidad y Estadística Conceptos, modelos y Aplicaciones en Excel,

Colombia, Prentice hall pp.4-31

• Allen Paulos, J. (1990), Haciendo encuestas fiables", en El hombre anumerico. Tusquets Editores,

España pp. 170-195

SEP (1994), Libro para el Maestro. Matemáticas. Educación Secundaria, México.

Actividades sugeridas

1. En trabajo colectivo, el profesor planteara las preguntas: ¿Que es la presentación y el tratamiento

de la información? ¿Que es hacer estadística? Seguramente en las respuestas Irán apareciendo

términos como población, muestra y otras mas, términos que el profesor ira anotando en el pizarrón

conforme vayan surgiendo. Cuando lo considere oportuno, el profesor puede agregar preguntas como:

¿Que es población, muestra? Una vez que se agoten las opiniones, los estudiantes leerán

individualmente las páginas 11-25 del libro de Nortes y al término de la lectura analizaran de nuevo

las preguntas planteadas con objeto de confrontar las concepciones que se tenían sobre los términos

enunciados. Enseguida, el profesor puede continuar la discusión planteando consignas como las

siguientes:

Den ejemplos de poblaciones y mencionen algunos caracteres que se pueden asociarse

a cada población. En cada caso, distingan si se trata de un carácter cuantitativo

(variable) o cualitativo (atributo.

Enuncien algunos ejemplos en los que es mejor una muestra que la población entera.

Comenten en que sentido la presentación y el tratamiento de la información es una

asignatura cultural imprescindible en la formación del individuo.

Individualmente, escriban un texto en el que expresen su opinión a este respecto. Se

sugiere que algunos alumnos lean el texto que escribieron y hagan comentarios para

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lograr cada vez mayor claridad.

2. En trabajo colectivo, el profesor preguntara a los estudiantes cual es su grupo sanguíneo;

enseguida el grupo tabulara y calculara los porcentajes correspondientes. Después, el profesor dará a

conocer el cuadro que aparece en la página 100 del libro de Sanchís, en donde se muestran los

porcentajes en que aproximadamente se reparten los grupos sanguíneos, y preguntará si el grupo es

una muestra representativa con respecto de este atributo. Preguntara enseguida: ¿Qué se entiende

entonces por una muestra representativa? Conforme los estudiantes expresen sus opiniones sobre

noción, el profesor ira anotando los aspectos relevantes que se vayan mencionando. Después,

organizados en parejas, leerán las páginas 97-103 del libro de Sanchis. Al término de la lectura, el

profesor puede continuar la discusión planteando preguntas y consignas como las siguientes:

¿Que diferencia existe entre estadística descriptiva y estadística inferencial?

¿Que precauciones deben tomarse para extender a toda la población el

comportamiento de un determinado carácter estudiado solamente en una muestra

extraída de dicha población.

Elijan una muestra de 20 alumnos de su escuela para estudiar un carácter de esa

población; empleen para el caso diversos métodos aleatorios. Estudien el mismo

carácter en su grupo y comparen estos resultados con los de la muestra aleatoria.

3. Organizados en equipos, los alumnos leerán y comentaron las páginas 27 a 41 del libro de Nortes.

Al término de la lectura, el profesor iniciara la discusión planteando la siguiente consigna: Enuncien

ejemplos de problemas de actualidad que puedan ser objeto de una encuesta. Conforme se vayan

presentando las propuestas, el profesor las anotará en el pizarrón y enseguida pedirá a los estudiantes

que elijan el problema que consideren más interesante.

Se sugiere que los alumnos se organicen nuevamente en equipos para elaborar un proyecto de

encuesta para obtener respuestas al problema elegido. Tal proyecto deberá contener el enunciado del

problema, el objetivo de la encuesta, el cuestionario que se aplicara, la elección de una muestra

representativa de la escuela y la selección de los aplicadores.

A continuación cada equipo hará una presentación de su proyecto el cual será objeto de crítica por

parte de los demás integrantes del grupo. Los proyectos serán corregidos tomando en cuenta las

observaciones que se les hicieron. Finalmente, el grupo seleccionara el proyecto más acabado, lo

aplicara y procesara expresando los resultados de las tendencias de opinión en términos de

porcentajes.

4. El profesor iniciara la discusión planteando el siguiente metaproblema: ¿Se resuelven de la misma

manera los dos problemas que siguen? ¿Hay diferencias entre los tipos de cantidades que se dan

como datos en estos problemas?

a) Juan realiza un viaje por carretera. El primer día recorre 450 Km y el segundo, 375. ¿Cuantos

kilómetros recorrió en total?

b) Según el pronóstico del tiempo proporcionado por un noticiario, la probabilidad de que llueva el

próximo sábado es del 50% y de que llueva el domingo es también del 50%. ¿Cual es la probabilidad

de que llueva este fin de semana?

Luego que los estudiantes hayan expuesto sus puntos de vista sobre esta cuestión, leerán y

resolverán en equipo los problemas de las páginas 301 a 309 del Libro para el Maestro. Matemáticas.

Educación secundaria. Una vez que los estudiantes hayan concluido este trabajo, el profesor podrá

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plantear las siguientes preguntas y consignas:

• ¿Qué diferencias hay entre los tipos de cantidades utilizados en el problema a) y en el

b)?

• ¿Por que el problema b) no se resuelve con una adición?

• ¿Cómo definirías una cantidad relativa? ¿Y una absoluta?

• De acuerdo con el LM, "la función principal de los porcentajes es reducir los datos a

una base común y a números cuya magnitud permita compararlos con facilidad y

darse cuenta de las relaciones existentes entre ellos". En este sentido, ¿cual es la

función de las cantidades relativas expresadas mediante promedios, densidades,

concentraciones y razones de cambio?

5. Organizados en equipos, los estudiantes leerán y comentaran la lectura "Hacienda encuestas

fiables" del libro El hombre anumérico.

Después, el profesor planteara las siguientes preguntas y consignas.

• Desde el punto de vista del autor ¿cual es el papel de los intervalos de confianza?

• ¿Cómo se produce errores en las fracciones y porcentajes?

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BLOQUE II. PRESENTACIÓN DE DATOS

• Tablas. Frecuencia absoluta y relativa. Frecuencias acumuladas. Datos agrupados en clase.

Tablas de más de dos dimensiones.

• gráficas. Pictogramas. Diagrama circular o de sector. Diagrama de Barra.

Poligono de Frecuencias.

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA

• Nortes Checa A. (1995), Encuestas y precios, España, Editorial Síntesis, pp. 11-24

• Sanchis C. (1993), Hacer Estadística, México, Biblioteca de recursos didácticos Alambra pp.

11-15

• Zeisel Hans (1997), Dígalo con números, México, Fondo de Cultura Económica, pp. 42-51

Rodríguez J. (1997), en Razonamiento Matemático. Fundamentos y aplicaciones, México,

Ediciones Thomson, pp. 308-339


SEP (2000), Fichero de Actividades Didácticas. Matemáticas. Educación Secundaria, México.

Actividades sugeridas

1. El profesor organizara al grupo en equipos y les planteara los siguientes problemas:

• Organizar la siguiente información en una tabla con su titulo, subtitulo y leyenda apropiados a la

situación.

En un laboratorio clínico, el número de pruebas de embarazo elaboradas durante los años 1990 a

1998 respectivamente fueron: 30685, 31463, 31583, 30026, 24509, 20453, 31677, 33 724, 31 877.

• Los censos realizados en el país durante los años de 1980 y 1990 reflejaron un aumento en

población en la mayoría de los municipios. Sin embargo, algunos tuvieron un descenso. La siguiente

tabla compara la población de ocho municipios de un Estado.

a) Completa los valores de la tabla

b) ¿Cuál municipio tuvo el cambio mayor?

c) ¿Cuáles municipios tuvieron una disminución en la población?

Cuando los equipos terminen organizara una confrontación de resultados y se continuara de la misma

9

manera con los siguientes problemas:

Después de resolver los problemas, se hará un análisis general apoyándose en las siguientes

preguntas:

a) ¿En qué medida se favorece la reflexión de los estudiantes con los problemas planteados?

b) ¿Que tipo de información se proporciona a los estudiantes?

c) ¿Cual es la estructura general de los problemas planteados?

Se recomienda al profesor recurrir a páginas como la de INEGI para seleccionar otras tablas para

plantear a los estudiantes otras actividades similares. También, si es posible se pueden construir las

tablas en Excel.

1. El profesor organizará al grupo en equipos y les planteará los siguientes problemas: ¿Qué gufeo?

La compañía de cereal "Masitas de Maíz" desea patrocinar el programa de televisión "Que Gufeo",

como parte de los preparativos de promoción, el gerente ha solicitado un informe de la distribución de

las edades de los televidentes del programa, con el fin de que los anuncios se adapten al gusto de la

teleaudiencia. Se realiza un estudio de los televidentes del programa y se presenta el siguiente

histograma con los resultados.

VER archivo GUFEO

1. ¿Qué representa la altura de cada barra?

2. ¿Cuántos televidentes participaron en la encuesta?

3. ¿Qué representa el ancho de cada barra?

4. ¿En qué grupo estaría una persona que cumplirá 28 años en una semana?

5. ¿En qué grupo se ubica una persona que tiene 15 años?

6. ¿Qué edades están incluidas en el grupo mayor de televidentes?

El departamento de la policía desea presentar el patrón de número de multas que se han dado

durante los primeros seis meses del año, y relacionarlo con una campaña de seminarios de orientación

que se han estado realizando. El jefe del departamento alega que durante los meses de orientación

aumenta el número de multas, pero este se ve disminuir durante los meses que no se han ofrecido

seminarios. La figura a continuación presenta una grafica de línea para esta situación.

VER archivo MULTAS

• ¿Cuántas multas se dieron durante abril?

• ¿En cuál mes hubo el mayor número de multas?

• ¿En cuál mes hubo el número menor de multas?

• ¿En qué meses consecutivos hubo un aumento en multas?

• ¿En cuáles meses consecutivos hubo un descenso en multas?

• ¿En cuáles meses consecutivos hubo el mayor aumento?

• Si compartiéramos el parecer del jefe del departamento en cuanto al efecto de los seminarios en el

número de multas dadas, ¿en cuáles meses podríamos inferir que se ofrecieron seminarios?

De continuar este patrón, ¿que cantidad de multas se pueden esperar para julio?

Venta de Autos

VER archivo autos

La siguiente gráfica resume las ventas de tres modelos de autos durante los años 1992, 1993, 1994,

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1995, 1996.

¿En 1993, aproximadamente cuantos carros del modelo A se habían vendido?

¿Cuáles fueron los dos años consecutivos en que el modelo B tuvo descenso en sus ventas?

¿Cuales fueron los dos años consecutivos en que el modelo C tuvo aumento en sus ventas?

¿Cuál de los modelos podría continuar incrementando sus ventas?

Hasta 1995, ¿cuál modelo mantenía el mayor número de ventas?

Hasta 1994, ¿cuál modelo mantenía el menor número de ventas?

Describe en un párrafo el comportamiento de las ventas de los tres modelos de autos durante el

período de 1992 hasta el 1996.

Gasto Familiar

La gráfica a continuación desglosa los gastos incurridos para la remodelación de la casa de la familia

Ramírez.

VER archivo GASTO

• ¿Cuál fue el gasto total de la remodelación?

• ¿Cuál fue el componente que incurrió el gasto mayor?

• ¿Cuánto se gasto entre madera y pintura?

• ¿Qué por ciento del costo total fue dirigido a la mano de obra?

• ¿Qué por ciento del costo total fue dirigido a cemento y madera?

• ¿Cuál fue la razón del costo de mano de obra comparado con el costo de la instalación eléctrica?

• ¿Cual fue la razón del costo de madera con el costo del cemento?

Universidad Matricula de la Licenciatura

La gráfica siguiente presenta la distribución de 14600 estudiantes de un municipio matriculados en

varias instituciones educativas.

• ¿Cuál es el sector que representa el mayor número de estudiantes?

• ¿Cuál es el sector que representa el menor número de estudiantes?

• ¿Cuántos estudiantes están en matriculados en un Instituto?

• ¿Cuántos estudiantes están en matriculados en un Instituto y en la Escuela Superior?

• ¿Cuál es la razón entre estudiantes en la Escuela Superior y en la Universidad Pública?

• ¿Cual es la razón entre estudiantes en la Universidad Privada y en la Universidad Pública?

La siguiente grafica representa la distribución de estudiantes de una Universidad matriculados en los

diferentes cursos.

¿Qué porcentaje de estudiantes están matriculados en cursos de razonamiento?

¿Cuántos estudiantes están matriculados en los cursos de la Universidad?

¿Cuál es la razón entre estudiantes matriculados en cursos de ciencia y cursos de razonamiento?

2. Después de resolver todos los problemas se hará un análisis general apoyándose en las siguientes

preguntas:

• ¿En qué medida se favorece la reflexión de los estudiantes con los problemas planteados?

• ¿Que tipo de información se proporciona a los estudiantes?

• ¿Cual es la estructura general de los problemas planteados?

3. El profesor planteara, al grupo, la siguiente pregunta: ¿Que implicaciones tiene el hecho de que un

cuadro tenga mucha información? Conforme los estudiantes expresan sus opiniones, el profesor

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anotara en el pizarrón los aspectos relevantes. Después organizados en binas, leerán las páginas 42 a

51 del libro de Dígalo con números referente a: Los cuadros como gráficas".

I. ¿En que sentido los cuadros pueden considerarse gráficas que facilitan la presentación de la

información?

II. ¿En que sentido las gráficas pueden facilitar la presentación de la información?

4. El profesor organizará al grupo en equipos leerán y comentaran el apartado 2.7 El arte de la

falsedad estadística del texto de Estadística Elemental de Robert Jonson. Posteriormente, el profesor

planteara la siguiente tarea:

Cada equipo elige un periódico o revista donde busquen gráficos y analicen si es correcta la grafica o

que tipo de truco estadístico se utilizo. Finalmente, cada equipo explicara al grupo el resultado de su

análisis.

5. Se organizara al grupo en equipos y se planteara la siguiente tarea: analizar, en los planes y

programas de estudio para la educación primaria y secundaria, respectivamente, el tema de

interpretación y elaboración de tablas y gráficas, con respecto a los siguientes aspectos:

a) ¿Dé dónde se parte y hasta dónde se llega?

b) Vínculos con los contenidos de otras asignaturas que se pueden establecer

c) Tipo de situaciones y problemas que se esperaría pudieran resolver los estudiantes que terminan la

educación secundaria, que involucren la lectura, interpretación y elaboración de tablas y gráfica.

Finalmente, cada equipo presentara al grupo el resultado de su análisis.

6. De acuerdo al proyecto propuesto en el bloque anterior y después de recopilado la información se

presentara en tablas y gráficas que mejor se adecuen al tipo de información.

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BLOQUE III. PARÁMETROS CENTRALES Y DE DISPERSIÓN

• Concepto de Parámetros. Clases de parámetros

• Parámetros centrales. Conceptos, propiedades y cálculos de la media aritmética, mediana y moda.

Ventajas e inconvenientes de los parámetros centrales. Relación entre

• la media aritmética, mediana y moda.

• Parámetros de dispersión. Conceptos. Rango o recorrido, desviación media, varianza, desviación

típica, coeficiente de variación.


• Sanchis C. (1993), "Parámetros centrales" en Hacer Estadística, México, Biblioteca de recursos

didácticos Alambra pp. 41-62

• Lopes Afonso P. (2000) "Análisis exploratorio de los datos: Un numero que los representa a todos:

las llamadas medidas de tendencia central" en Probabilidad y Estadística Conceptos, modelos y

Aplicaciones en Excel, Colombia, Prentice hall pp.37-59

• Rodríguez J. (1997) "Medidas de Tendencia Central", en Razonamiento Matemático. Fundamentos y

aplicaciones, México, Ediciones Thomson, pp. 340-354

• Nortes Checa A. (1995) "Los cálculos" en Encuestas y precios, España, Editorial Síntesis, pp. 73 -98


SEP (2000), Fichero de Actividades Didácticas. Matemáticas. Educación Secundaria, México

ACTIVIDADES SUGERIDAS

1. El profesor organizara al grupo en equipos y les planteara los siguientes problemas:

• El sindicato de empleados de la compañía ERA, ha sometido una propuesta de aumento de salario.

En un estudio realizado en una muestra aleatoria se determinan los siguientes salarios promedios:

Moda $15 400, Media $20 000 Mediana $16 500

a) ¿Cuál promedio usaría el dueño de la compañía para justificar el NO aumentar los sueldos de los

empleados?

b) Si se desea evitar el efecto que tienen valores extremos en el promedio de los salarios de los

empleados de la compañía, ¿cuál de las medidas de tendencia central utilizarías?

Cuando los equipos terminen se organizará una confrontación de resultados y se continuará de la

misma manera con los siguientes problemas:

• Un dueño de un edificio tiene tres departamentos con dos recamaras que se alquilan a $450 por

mes, dos departamentos con una recamara que se alquila a $410 y cuatro departamentos que se

rentan en $350 por mes.

a) Si el dueño anuncia que el número de cuartos promedio de los departamentos es 1, ¿cual promedio

utilizo?

b) Si el dueño anuncia que el precio promedio de los alquileres de los departamentos es $350, ¿cuál

promedio utilizó?

c) ¿Cuál promedio representa mejor el precio promedio de los alquileres?

• Para cada uno de los siguientes casos, indicar cual medida de tendencia central utilizara para

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describir los datos y ¿por qué?

a) La marca de automóvil de mayor venta en México

b) La estatura promedio de los estudiantes inscritos en la especialidad de Matemáticas.

c) El precio promedio de venta de una casa en México.

d) El refresco preferido por los estudiantes que visitan la cafetería de la escuela

e) El tiempo promedio para llegar a la escuela de los estudiantes de Matemáticas.

f) La edad promedio de las personas que viven en tu localidad.

Después de resolver los problemas, se hará un análisis general apoyándose en las siguientes

preguntas:

• ¿En que medida se favorece la reflexión de los estudiantes con los problemas planteados?

• ¿Qué tipo de información se proporciona a los estudiantes?

• ¿Cuál es la estructura general de los problemas planteados?

1. El profesor organizará al grupo en equipos y les planteara los siguientes problemas: Como

parte de un estudio sobre el salario de los jugadores en una liga de baloncesto profesional, se

recopiló información de un equipo de la liga. Los datos son los siguientes

Miguel $975000 Guillermo $ 310000 B.J. $140000

Horacio $215000 Scott $365000 Tuto $275000

Pepe $125000 Juan $180000 Tato$ 190000

Tito $210000 Tomás $135000 Ko Me $75000

¿Cuál es la medida de tendencia central que mejor representa a el salario de este equipo? ¿Porque?

¿Cuál es el alcance o recorrido de los salarios de los jugadores de este equipo?

3. ¿Cual es la desviación estándar?

Bloque IV. El tratamiento de la información y las funciones

Tasa índices. Crecimiento aritmético y exponencial.

Interpolación y extrapolación.


• Johnson R. (1996) "Estadística Descriptiva. Capitulo 1" en Estadística elemental. México, Grupo

Editorial Ibero América, pp.2-20.

Nortes Checa A. (1995) "índices, precios y aplicaciones", en Encuestas y precios, España, Editorial

Síntesis, pp. 133-160

14

• Sanchis C. (1993), "Índices e inferencia estadística: Índices" en Hacer Estadística, México, Biblioteca

de recursos didácticos Alambra pp. 87-96

• Zeisel Hans (1997) "Índices" en Dígalo con números, México, Fondo de Cultura Económica, pp. 98-

124


SEP (2000), Fichero de Actividades Didácticas. Matemáticas. Educación Secundaria, México.


1. Individualmente leerán las páginas 32 a 41 y después se organizara en grupo un análisis de los

siguientes aspectos:

• ¿Cuándo la tasa debe ser un tanto por ciento, por mil y por cien mil?

• La cadena de los tantos por ciento.

2. Organizados en equipos, los estudiantes leerán y comentaran las paginas 133 a 157 del libro de

Nortes. Posteriormente, el profesor planteara la actividad 1 de la página 158.

Cuando los equipos terminen se organizará una confrontación de resultados y se continuará de la

misma manera con los problemas 4, 5 y 6 de la página 159 del mismo libro. Después de resolver los

problemas propuestos se hará un análisis y confrontación de resultados en el grupo.

3. Individualmente, leerán las paginas 98 a 111 del texto de Zeisel. Al terminó de la lectura, el

profesor organizara una discusión con base en las siguientes preguntas:

¿Cuándo hace falta un índice y que propuesto se persigue con tal reducción a un solo número?

Determine a partir de la situación "la calificación olímpica presentada en el texto, ¿Cómo se

determinan los índices?

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BLOQUE IV. CORRELACIÓN LINEAL

• Datos bivariados.

• Correlación lineal. Regresión lineal.


Johnson R. (1996) "Análisis Descriptivo y presentación de datos bivariados. Capitulo 3" en Estadística

elemental. México, Grupo Editorial Ibero América, pp.92-116.

Castillo Juana (1998) "El Modelo de Regresión Lineal" en Estadística Inferencial Básica, México, Grupo

Editorial Ibero América, pp. 410-473

Fernández Lopes Juan "El fracaso escolar en barriadas marginales de Málaga. Un estudio del desfase

cronológico de los alumnos en las barriadas", en Tratamiento de la información UNO Revista de

didáctica de las Matemáticas, España, GRAO, pp. 25-39

Lopes Afonso P. (2000) "Inferencia y decisiones estadísticas: Regresión Lineal y Correlación", en

Probabilidad y Estadística Conceptos, modelos y Aplicaciones en Excel, Colombia, Prentice hall pp.

227-249


1. El profesor organizara al grupo en equipos y les planteara las cuatro situaciones de la página 94 del

texto de Johnson, que analizaran apoyándose en las siguientes preguntas:

• ¿Están relacionadas dos variables?

• ¿Cómo es esa relación?

2. El profesor organizará al grupo en parejas y les planteara el estudio de la página 96 del texto de

Johnson, estimaran el coeficiente de correlación lineal y de la recta de mejor ajuste propuesto en las

páginas 102 y 113, respectivamente. Cuando los equipos terminen se organizará una confrontación de

resultados.

3. Individualmente leerán las paginas 175 a 188 del texto de Zeisel. Al término de la lectura, el

profesor iniciara la discusión planteando la siguiente consigna:

• ¿Cuál es el propósito de la regresión?

• ¿Cómo se construyen falsas inferencias?

• ¿Cuánto explica la regresión?

Es importante que registren en su cuaderno de notas lo que cada uno considere más importante, con

base en la lectura y la discusión.

4. El profesor planteará a los estudiante la siguiente información que corresponde a la página del

INEGI, analizaran el método que utilizan. Es conveniente, de ser posible visitar el sitio de Internet

www.ineqi.qob.mx

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SELECCIÓN DE VARIABLES A TRAVÉS DE LA TÉCNICA DE COMPONENTES PRINCIPALES

INTRODUCCIÓN

La técnica de componentes principales tiene por objetivo el reducir el número de indicadores en el

análisis de un problema que involucra múltiples variables. Por ejemplo, para el caso que nos ocupa, el

bienestar de las familias y de los hogares mexicanos, se ha sugerido el uso de una gran cantidad de

indicadores asociados con el tema.

A partir de la propuesta de temas relacionados con la educación, la salud, la vivienda, el tamaño de la

familia o la disponibilidad de bienes y servicios para disfrute de sus miembros surgen, a su vez,

propuestas de indicadores numéricos.

Para el primer tema es factible considerar el porcentaje de individuos en una comunidad, entidad o

municipio que saben leer y escribir; el porcentaje de asistencia escolar; el promedio de años cursados

por los miembros de la comunidad; y aun algunos otros. Todos ellos nos dicen algo acerca tanto de la

infraestructura educativa disponible en la comunidad como de las oportunidades que tienen sus

miembros de mejorar sus condiciones de vida gracias a una mayor educación.

Del mismo modo es posible pensar en conjuntos numerosos de indicadores asociados a todos y cada

uno de los temas restantes. De esta forma no es difícil iniciar un estudio sobre el bienestar partiendo

de varias docenas de indicadores. La complejidad del análisis se incrementa a medida que el número

de variables crece cada una de ellas cuenta una parte distinta de la historia aunque pueda parecer que

dos o más "casi" son idénticos y, en consecuencia, nos dicen "casi" lo mismo. Es decir, parece haber

alguna redundancia entre indicadores, y de hecho la hay, pero cada uno de ellos aporta información

no contenida en los demás.

Cuando la complejidad del estudio causada por la presencia de un gran número de variables parece

insalvable, no es extraño intentar priorizar el uso de un subconjunto. De este modo, se deberá ignorar

un buen número de ellas y, en consecuencia, la información adicional que las mismas contienen.

COMPONENTES PRINCIPALES

Sin embargo, la estadística matemática ha propuesto una serie de alternativas de análisis que buscan

ayudar a resolver el conflicto: complejidad en el análisis contra pérdida de información. Entre otras, se

tiene la técnica conocida como Análisis por Componentes Principales.

En términos estadísticos, "casi idénticos" se mide con buena precisión a través del coeficiente de

correlación lineal. Más precisamente, dicho coeficiente mide el grado de redundancia lineal existente

entre dos indicadores. Cuando toma el valor 1, es posible decir que ambos indicadores son

redundantes; lo mismo ocurre cuando su valor es igual a -1, salvo que en este caso ambos

indicadores se comportan en sentidos opuestos. Por el contrario, cuando su valor es cero, se dice que

no existe ninguna asociación lineal entre ambos indicadores.

El coeficiente de correlación lineal, o la medida asociada denominada covarianza, constituye la base

del análisis por componentes principales. A partir de los valores que toman estas medidas de

asociación cuando se consideran todas las parejas de indicadores involucradas en el estudio y de los

valores de estos, es posible definir nuevos indicadores resumen denominados componentes

17

principales.

La primer componente principal es aquel indicador resumen que explica la mayor heterogeneidad

entre los casos; es decir, tiene la mayor varianza. La segunda componente principal es un indicador

resumen que es a la vez el mas heterogéneo después de la primer componente y que no esta

correlacionado con esta. La tercer componente no esta correlacionada ni con la primera ni con la

segunda y tiene la tercer varianza más grande. Las restantes componentes principales cumplen con

condiciones semejantes.

Se tienen dos situaciones extremas muy improbables en la práctica. Cuando las correlaciones entre

todas las parejas de variables son iguales a cero, lo que ocurre cuando no hay redundancia entre

ellas, habrá tantas componentes principales con varianzas distintas de cero como indicadores

originales. Por otro lado, cuando la redundancia es total, sólo la primera componente principal tendrá

una varianza distinta de cero. En el primer caso, la reducción de dimensionalidad se logrará sólo

sacrificando información. En el segundo bastará con realizar el análisis a partir del primer componente

principal.

En otras palabras, el primer componente principal resumirá toda la información sólo en el caso de

redundancia perfecta entre todos los indicadores. En cualquier otra circunstancia se hace

imprescindible considerar algunas más, siempre buscando que la perdida de información sea lo mas

pequeña posible.

Por ello, en nuestro caso, las componentes principales no son el resultado final con base en el cual

llevar a cabo el análisis, sino el recurso estadísticamente riguroso para detectar y seleccionar los

indicadores con mayor capacidad de sintetizar las diferencias habidas entre las observaciones. Una vez

hecha esta selección de indicadores, entra propiamente en juego la metodología de estratificación

multivariada para encontrar los distintos grupos homogéneos de observaciones (Entidades Federativas

o Municipios) que serán clasificados y ordenados jerárquicamente.

VARIABLES UTILIZADAS

1 % de población menor de 15 años

2 % de población residente nacida en otro estado

3 % de población de 5 años y más que en 1995 residía en otro estado

4 % de población de 6 a 14 años alfabeta

5 % de población de 15 años y más alfabeta

6 % de población de 6 a 11 años que asiste a la escuela



9 Escolaridad promedio

10 Promedio de hijos nacidos vivos de mujeres de 12 años y más

11 Promedio de hijos nacidos vivos de mujeres de 12 a 19 años

12 % de población económicamente activa

13 % de población ocupada que son trabajadores en servicios públicos

14 % de población ocupada que son comerciantes o dependientes

15 % de población ocupada que trabaja menos de 24 horas a la semana

18

16 % de viviendas con piso de tierra

17 Cuartos por vivienda

18 % de viviendas con drenaje

19 % de viviendas con agua entubada

20 % de viviendas con electricidad

21 Promedio de hijos nacidos vivos de mujeres de 12 a 29 años

22 Factor de dependencia

23 % de población rural

24 % de población urbana

25 % de población con postprimaria

26 % de población ocupada en el sector primario

19

MATERIAL

DE

APOYO

LA PRESENTACION DE LOS NUMEROS___________________________________________

20

BLOQUE I

CONCEPTOS

ESTADISTICOS E

INSTRUMENTOS DE

RECOLECCION DE

DATOS

GRÁFICAS

En este libro utilizo muy pocas gráficas. Casi

todos los números los presento en cuadros, de

modo que sea fácil leerlos. Esto obedece a que

uno de los objetivos del libro es instruir al

lector sobre la manera adecuada de

confeccionar cuadros estadísticos.

Lo más común es que los cuadros estadísticos

se los muestren a personas que no son

expertas en interpretarlos ni están ansiosas de

leerlos. De ahí que transformar los números en

gráficas no sea sino un paso más en la tarea

de esclarecer relaciones numéricas. Par si fuera

poco, con este paso se convierte en un placer

lo que las más de las veces es un tormento.

Día con día crece el volumen de la bibliografía

que trata del cómo hacer gráficas y de que

manera no hacerlas. Con la popularización de

las computadoras, se ha incrementado esta

tendencia.

Las secciones siguientes se insertan en esa

propensión, e ilustran tres clases de gráficas:

las que agregan información a una estructura

de suyo simple; las que hacen

que se destaquen, de un vistazo, relaciones

que los números, por si solos, únicamente

revelarían al ojo experto; y las elaboradas por

maestros.

LOS CUADROS COMO GRÁFICAS

Por regla general, un cuadro estadístico que

contiene mucha información es más difícil de

leer que otro que contenga poca. Hay

ocasiones, sin embargo, en que agregándole

información a un cuadro se mejora su

legibilidad. Considérese un cuadro que muestre

cual es la posición que mantiene cada una de

las 50 entidades federativas de los Estados

Unidos con respecto a la pena de muerte: en

13 de ellas no la hay; en 26 si la hay pero en

ninguna de ellas ha sido ejecutado nadie

durante los últimos 30 años; en 11 estados sí

ha habido ejecuciones. Haciendo una lista de

los nombres de estos estados, y concediéndole

a cada uno de ellos igual espacio, se facilitara

la lectura, gracias a la gráfica de barras que

abran formado tales listas (véase cuadro

11.10).

Oportunidad semejante es la que se da cuando

LA PRESENTACION DE LOS NUMEROS


21

los números de un cuadro estadístico denotan

unidades que se describen al detalle en otra

parte. A veces, por ejemplo, es deseable

relacionar un cuadro, estadístico con cada uno

de los casos de que se compone.

CUADRO 11-10. La pena de muerte en los 50

estados de los Estados Unidos

La gráfica 11.1, formada de un estudio de

procedimientos legales del fuero criminal,

desempeña esta doble función. Resume la

relación que hay entre la severidad de la

sentencia impuesta al acusado después de

haber sido convicto y sus antecedentes

delictivos.

El cuadro representa gráficamente las

frecuencias respectivas

mediante el número de cuadrados dentro de

cada celda. Además, todos los casos llevan su

número para que el analista los localice

fácilmente en caso de que desee estudiarlos en

detalle.

CÁLCULOS DE UN VISTAZO

Hay ciertos números, como la media

ponderada, cuya deducción es difícil de

comunicar mediante un cuadro estadístico,

porque se requiere una serie de

multiplicaciones o divisiones. Con una gráfica,

como la de la figura 11.2, se resolverá

cómodamente el problema.

El cuadro estadística que contuviera las cuatro

tasas de detenciones plantearía un acertijo que

la gráfica soluciona sin mayor trámite: la tasa

media de arrestos correspondiente a todos los

delitos es tan baja como aparece porque los

delitos no violentos contra la propiedad


22

constituyen la porción mayoritaria de las

detenciones.

Gráfica 11.2. Tasa de detenciones por delitos

denunciados a al policía.

LA "GESTALT"

Ciertas configuraciones se revelan a si mismas

sólo cuando se ven en su totalidad. Dada la

oportunidad, percibimos su estructura en un

instante. En la figura 11.3 se compara el

crecimiento del índice de homicidios en los

estados donde se han efectuado ejecuciones

por asesinato, con el mismo índice pero de los

estados en que no tienen pena de muerte o,

aunque la tienen, no han ejecutado a nadie en

el mismo periodo.

La gráfica comunica vividamente información

que seria muy difícil extraer de un cuadro

estadístico: en primer lugar, que los índices de

homicidios variaron considerablemente durante

esos años y, en segundo lugar, que el

crecimiento de ambos mostró un misterioso

paralelismo. De esta doble información

resultan estas reveladoras reflexiones: 1) que

hay en la sociedad poderosas fuerzas que

hacen ascender y descender el índice de

homicidios de una manera clara y

determinada; 2) que estas fuerzas, a juzgar

por el paralelismo de las dos curvas, son las

mismas en todos los Estados Unidos, y que el

freno que constituiría la amenaza de una

posible ejecución no cuenta entre esas fuerzas;

y

* Gestalt, en alemán "estructura" o "configuración",

se refiere a un todo integrado, que, por consiguiente,

es algo más que la mera suma de sus partes. (T.)

* Estados donde fue abolida la pena de muerte y

estados donde no se han efectuado ejecuciones

desde 1948. FUENTE: FBI Uniform Crime Reports.

GRAFICA 11.3. Tasas de homicidios, 1960-1969, en

estados con y sin ejecuciones.

3) que la virtud disuasiva de las ejecuciones,

en caso de que exista, debe ser tan pequeña


23

que es prácticamente invisible

UNA IMAGEN VALE LO QUE MIL NÚMEROS

En Viena, uno de mis profesores fue el gran

Otto Neurath físico, sociólogo, filósofo,

reformador, quien luchó apasionadamente por

la presentación pictórica de la información

estadística, como parte de su búsqueda de un

lenguaje que fuera entendido universalmente.

Ahora vemos sus inicios en los aeroplanos y los

aeropuertos de todo el globo terráqueo.

Neurath enriqueció enormemente el arte de las

gráficas estadísticas con su aplicación creadora

de un imperativo fundamental: transformar

tanto las palabras como los números de un

cuadro estadístico en dibujos o pictogramas,

como él los llamaba, que fueran tan fáciles de

percibir como de entender. Cuando la leyenda

de un cuadro se refería a una distribución

geográfica, un mapa simplificado servía de

ilustración de fondo. Mostraba los objetos

contados de modo que se percibieran al

instante su sustancia y su frecuencia. Cada

símbolo pictórico representaba un número

redondo de unidades y su disposición facilitaba

la multiplicación que llevaba al número total.

En consecuencia, las palabras y los números se

relegan a posiciones subordinadas. Las gráficas

11.4 y 11.5 son dos de sus muchas e

ingeniosas gráficas.

5Tomado de Hans Zeisel, The Limits of Law

Enforcement (Chicago: The University of Chicago

Press, 1983), p. 61.

La gráfica 11.4 ilustra con claridad sus dos

ideas: la configuración como en pendiente es la

distribución del ingreso, respecto a la cual se

muestran los diferentes lugares ocupados por

los blancos y los negros. Los símbolos nos

recuerdan que estamos tratando de seres

humanos y no sólo de dólares. La grafica 11.5

describe una dramática correlación que por

fortuna ya pertenece a la historia. Por último,

las gráficas 11.6 y 11.7 se ocupan de la

seguridad: la primera de la seguridad en las

carreteras; la segunda, de la seguridad de

nuestro planeta. La ley, y nosotros también,

habla de cosas seguras y de cosas inseguras

como si hubiera una frontera natural entre

ellas. En la grafica 11.6 se trata de hacer ver

que la seguridad es más bien cosa de grado,

que puede incrementarse tomando las medidas

adecuadas. La grafica 11.7 nos permite

comprender de una ojeada un problema que,

según la mayoría de nosotros, es demasiado

complejo. Relacionando visualmente la

cantidad de armamento atómico almacenada

hoy en el mundo con ciertas referencias de

conocimiento común, comprendernos de

inmediato la gravedad de la situación. Quizá

sea ésta la gráfica más importante que jamás

se haya hecho.

RESUMEN

Una presentación descuidada suele arruinar la

función esclarecedora de las cifras de tanto por

ciento. Los tantos por ciento de más de dos

cifras y demasiados decimales son difíciles de

leer. Hay razones especiales que a veces son

superiores a los tantos por ciento ordinarios.

6Tomado de Otto Neurath, Modern Man in the Making

(Nueva York: Alfred Knopf, 1939).

• Pero todavía no a la historia del llamado Tercer

Mundo. [T.]


24

Cuando los números originales acompañan a

los tantos por ciento, tienden a interferirse

mutuamente. Sirven de ayuda los recursos

tipográficos. La transformación a formas

gráficas es siempre atrayente, a menudo

esencial, y probablemente el estilo del futuro.

La potencia de fuego actual (1983), en todo el

mundo, en contraste con la correspondiente a

la segunda Guerra Mundial. El punto del centro

representa la potencia de fuego total de la

segunda Guerra Mundial: 3 megatones. Los

puntos restantes representan la potencia de

fuego de todas las armas nucleares que hoy

existen en el mundo. Este potencial equivale a

6 000 veces el de la segunda Guerra Mundial,

esto es, 18 000 megatones. Los Estados

Unidos y la Unión Soviética comparten, más o

menos equitativamente, esta potencia

destructiva.

El circulo superior izquierdo, que abarca 9


25

megatones, representa el armamento de que

esta dotado un solo submarino Poseidón, que

equivale a tres veces la potencia de fuego de la

segunda Guerra Mundial y basta para destruir

más de 200 de las ciudades soviéticas más

grandes. Los Estados Unidos poseen 31

submarinos de esta clase, aparte de 10

submarinos Polaris, armados de manera

similar.

El círculo que esta dentro del cuadrado inferior

izquierdo, que abarca 24 megatones,

representa uno de los nuevos submarinos Tri-

dente, cuya potencia de fuego es ocho veces la

de la Segunda Guerra Mundial, suficiente para

destruir todas las ciudades principales del

hemisferio norte.

La Unión Soviética posee niveles equivalentes

de capacidad destructiva.

Tan solo dos de los cuadrados de esta figura

(300 megatones) representan una potencia de

fuego capaz de destruir todas las ciudades de

tamaños grande y mediano del mundo entero.

(Un comité del Senado de Estados Unidos

revisó esta gráfica y todos sus miembros

coincidieron en que se trataba de una

representación fiel del arsenal nuclear del

planeta.)

Los índices que se basan por entero o incluso

solo parcialmente en juicios tienen poca

durabilidad. Imposible comparar a las reinas de

belleza resultantes de diferentes concursos sin

hacer un nuevo concurso. Por regla general,

tampoco se puede comparar a clavadistas o

gimnastas de diferentes competencias, a no

ser que en todas ellas funjan los mismos

jueces. Sólo en los casos extremos es posible

hacer una inferencia de superioridad. Cuando

Nadia Comaneci, la joven gimnasta rumana,

ganó una calificación perfecta, no alcanzada

nunca antes por ningún otro gimnasta, fue

proclamada la mejor de todos los tiempos.

Pero, como posteriormente otros gimnastas

obtuvieron también puntuaciones perfectas, el

problema persiste.

En ciertas instituciones, a veces es posible

hacer comparaciones en las que entra en juego

el paso del tiempo. Es factible comparar a los

estudiantes calificados en determinado año por

sus profesores con los estudiantes de años

anteriores, con tal de que no hayan cambiado

mientras tanto ni las normas de calificación ni

los profesores.


26

PROMEDIOS COMPLEJOS

Regresemos al índice de precios al consumidor

o índice del costo de la vida, que se basa en

datos perfectamente objetivos y que, por lo

mismo, sigue siendo comparable en términos

generales a pesar del paso del tiempo. El

propósito de este índice es el de reflejar los

cambios promedio de precios de la "canasta

básica" los bienes y servicios de primera

necesidad para una familia.

Hay desde luego dificultades conceptuales en

la definición de "la familia", pues no es creíble

que haya dos familias que compren los mismos

bienes y servicios exactamente en las mismas

proporciones. Se allana en parte la dificultad

definiendo a la familia como el promedio de la

categoría, más homogénea, de todas las

familias donde hay asalariados, en vez de

todas las familias en general.

El cómputo esquemático no real de la figura

V1.1 describe el fundamento de la definición de

este índice.

La parte que en el presupuesto familiar

representa cada una de sus categorías

principales alimentación, vivienda, médico, etc.

se determina estudiando los gastos de las

familias de

GRÁFICA V.I.I. Estructura esquemática del índice de

precios al consumidor

VI. INDICES

Se estudiaron en el capítulo anterior varias

maneras de representar una columna de

números con una cifra: el índice que simboliza

la columna. En este capitulo se amplia el

estudio de los índices, considerando su

variedad y funciones así como algunos de los

problemas que aparecen al construirlos.

Le llamaremos índice al número ideado para

medir un concepto multifacético. Por ejemplo,

los cambios del costo de la vida se miden por

el índice de precios al consumidor; el estado de

salud de una comunidad se puede valuar por

su tasa de mortalidad infantil; la belleza de

una muchacha se determina por el lugar que le

conceden los jueces en un concurso; y la

inteligencia de un estudiante por su CI, etc. En

cada uno de estos casos, se valora con un solo

numero un concepto relativamente complejo.

La complejidad que el índice trata de resumir

tal vez provenga de la multitud de sus

unidades, como sucede con los índices de

precios del consumidor, o de las muchas

dimensiones de una sola unidad, como en los

concursos de belleza.

¿Cuándo hace falta un índice y que propósito

se persigue con tal reducción a un solo

número? ¿Que no basta, se pregunta uno, con

decir, en un concurso de belleza, que la

muchacha X tiene las piernas más bonitas y la

Y la cara más hermosa? ¿Que necesidad hay

de resumir en un solo número los cambios de

precio de los alimentos, la vivienda y el

transporte? Son varias las respuestas. En

primer lugar, esta clase de número nos

informa sobre como cambia el valor real de

nuestra moneda. Y tal número hace falta, por

ejemplo, para ajustar las cuotas del seguro de

desempleo e incluso los salarios pagados por

algunas industrias.

Los índices se construyen por métodos de

durabilidad y complejidad variables. La


27

clasificación de las participantes en un

concurso de belleza es asunto singular, de una

sola vez; el índice de precios al consumidor

esta planeado para durar largo tiempo.

Y, como veremos, la complejidad de un índice

puede variar desde el simple promedio hasta

intrincadas estructuras matemáticas.

INDICES DE JUICIO

La mayoría de los índices se funda en

mediciones objetivas. Algunos se derivan de

juicios subjetivos y otros de una combinación

de juicio y medición.

El índice de un concurso de belleza no puede

ser otro que el lugar promedio que acuerdan

otorgar los jueces a cada participante. En los

concursos más serios de perros o caballos, se

les proporciona a los jueces una guía que los

orienta sobre la manera de desempeñar su

función.

En muchas clases de competencias deportivas

los índices salen sobrando porque lo que en

ellas cuenta es una sola dimensión: gana el

que corre más rápido o el que salta más alto.

En otras competencias, como las de clavados,

el patinaje o el salto con esquíes, sí hacen falta

índices, pues en ellas se juzga más de una

dimensión. En el salto con esquíes, pongamos

por caso, se juzga tanto la longitud del salto

como el estilo.

1 Quetelet, previendo que algún día se medirían

fenómenos psicológicos y estéticos, escribió en

1835: "En este respecto, los criterios

psicológicos...no difieren demasiado de las

propiedades físicas: se puede estimar su magnitud,

siempre y cuando guarden alguna relation con los

efectos que producen" (Essai de Physique Sociale.

Paris, Bachelier, 1835, vol. 2, p. 98). 98

Veamos algunos de los detalles del índice que

se aplica a la calificación de clavados,

compuesto tanto de elementos objetivos como

subjetivos. La parte objetiva de este índice es

el grado de dificultad del clavado de que se

trate. Se reconocen actualmente 72 elevados

básicos, para los cuales un comité

internacional de expertos estableció valores de

dificultad que varían de 1.0 para el más

sencillo hasta 3.5 para el más difícil.

La dimensión subjetiva de la calificación final

se refiere al grado de perfección con que se

ejecuta el clavado. La establece un grupo de

jueces expertos, cada uno de los cuales decide

con arreglo a una escala de 1 a 10 y en donde

este último número representa la perfección.

Tratando de anular los efectos del prejuicio, se

eliminan, de las calificaciones que dan los

jueces, la mas baja y la mas alta, y

seguidamente se multiplica el promedio de las

calificaciones restantes por el grado de

dificultad del clavado, Cuando cada competidor

tiene que ejecutar varios clavados, su

puntuación final es la suma de las diferentes

calificaciones que obtiene en cada ejecución.

Obsérvese en el cuadro VI.1 como se

determina el índice de ejecución de cierto

clavadista en una competencia de cuatro

clavados.

la muestra. Luego se seleccionan ciertos bienes

y servicios para que representen a las

categorías y subcategorías más amplias. Así, el

precio de un pollo y el de un kilogramo de

bísteces de lomo representarían el precio de la

carne, y el del pasaje del autobús de servicio

urbano y el del lavado de un traje, el precio de

los servicios. Los precios se combinan, pues,

para constituir los subíndices de alimentación,

vivienda y servicios y, por último, el índice

global.

El índice del costo de la vida es, por

consiguiente, el promedio ponderado de


28

muchos cambios de precios, cuyos pesos se

determinan por la proporción relativa de la

categoría presupuestaria a la que tales precios

representan.

OBJETO Y FÓRMULA DEL ÍNDICE

Es posible, como hemos visto, definir y

determinar con claridad el índice del costo de

la vida. En cuanto a otros índices, no es tan

sencillo transitar paso a paso el camino que va

desde el concepto a la realización. Considérese

el trabajo de construir un índice de "felicidad

conyugal". La tarea empezara en el momento

en que tratemos de explicar lo que queremos

decir con felicidad conyugal o, mas todavía,

como la reconoceremos. Quizá con la ayuda de

un consejero matrimonial logremos hacer una

lista de criterios que nos permitan distinguir

matrimonios felices de infelices. En un buen

matrimonio, decidiremos, los esposos pasan

mucho tiempo junto, conversan largamente,

celebran su aniversario de boda y se escriben

el uno al otro cuando están alejados. En un

mal matrimonio hay pleitos, infidelidad y otras

experiencias desagradables. Luego se

formalizaran estos criterios y se les asignaran

valores positivos y negativos:

a sobre las complejidades de detalle que

ofrecen estas operaciones véase, por ejemplo,

The Price Statistics of the Federal Government

(informe del Price Statistics Review

Committee; presidente, George J. Stigler),

Joint Economic Committee Hearings, U. S.

Congress, 24 de enero de 1961.

Si se considera que cierto criterio, por ejemplo

el de los pleitos, es indicador más significativo

que cualquier otro, o si surge como tai después

del análisis pertinente, se le asignara un valor

más alto:

En su forma más rudimentaria, el índice de

felicidad será el promedio de tales

puntuaciones. Considérese un índice que

pretenda medir el nivel de salarios

prevaleciente, término que, a menos que se

defina con claridad absoluta, invita al mal uso.

En el cuadro VI.2 se comparan los "niveles de

salarios" en dos años diferentes, y se obtienen

cuatro respuestas diferentes, que varían según

la manera como se defina dicho nivel (los

datos son hipotéticos).

El salario por hora subió 25%. El salario por

día permaneció inalterado porque -nos vemos

obligados a sacar en conclusión incremento de

la tarifa por hora lo compenso la reducción de

las horas de trabajo diarias. Las percepciones

anuales en dólares cayeron en 10% porque

disminuyo en la misma proporción el número

de días laborados. Por último, en cuanto a

poder adquisitivo, el nivel de salarios decreció

en 9% más por causa de la inflación.

CUADRO V1.2. "Niveles de salarios" en 1919 y

1927 *


29

Segun Willford I. King, Index Numbers

Elucidated (Nueva York: Longmans, 1930), p.

29.

Mientras tanto, los precios se incrementaron

10%.

El cuadro VI.3 muestra una trampa aun más

complicada y también consecuencia de la

imprecisa definición de nivel de salarios.

CUADRO VI.3. "Niveles de salarios" en dos

campos de trabajo *

* Adaptado de Franz Zizek, Statistical

Averages (Nueva York: H. Holt, 1913), p. 35.

El salario diario lo mismo de los hombres que

de las mujeres que laboran en el campo A es

25% superior al del campo B. Sin embargo, el

salario diario promedio para todos los

trabajadores, independientemente de su sexo,

es inferior en el campo A comparado con el B.

Esta contradicción propone de la mayor pro-

porción de mujeres que hay en el campo de

trabajo B y del hecho de que el salario de las

mujeres es mucho menor que el de los

hombres recuérdese que se trata del año de

1912. Todas las contradicciones desaparecen

una vez que se definen con precisión las

denominaciones.

3Según Ernest W. Burgess y Leonard S. Cottrell, Jr.,

Predicting Success or Failure in Marriage (Englewood

Cliffs, N. J.: Prentice-Hall, 1939).

EFECTO DE “ENVEJECIMIENTO”

Una de las comparaciones que se hacen más a

menudo es la de cómo difieren entre si

personas de edades diferentes. Observada al

detalle, se aprecia lo compleja que es la

sustancia de esta clase de comparación, al

parecer sencilla. Se aclarara el problema con la

ayuda de un diagrama hipotético (gráfica

VI.2), en el cual se comparan dos grupos de

edad, el de personas que están en la tercera

década de su vida (entre los 20 y los 29 años)

y el de quienes están en su cuarta década

GRAFICA VI.2. Proporción de personas que practican

deportes (Dos conceptos de envejecimiento)

(de los 30 a los 39 años). Deseamos encontrar

que efecto tiene el envejecimiento sobre la

proporción de personas de cada grupo que

practican deportes. Se hacen dos veces las

comparaciones, en 1970 y en 1980, en un in-

tervalo de 10 años.

El efecto del envejecimiento se deduce,

normalmente, comparando el grupo 1 con el

grupo 2, que, en promedio, es de sujetos 10


30

años mayores. La diferencia, que es un

descenso de 20 puntos de porcentaje, o la

mitad de todos los que a los veintitantos años

jugaban algún deporte, se atribuye al

envejecimiento.

Pero el efecto preciso del envejecimiento

depende de la época en la cual se registre el

incremento de la edad, lo que a menudo se

llama el efecto de la generación. La mejor

manera de medir este efecto consiste en

comparar el grupo 1 con el 3, y el grupo 2 con

el 4. La comparación muestra que, en el lapso

de una década, la práctica de deportes se

elevó del 40 al 70% entre personas de 20 a 30

años, y del 20 al 30% entre sujetos de 30 a 40

años.

Gracias a la gráfica VI.2 percibimos también el

efecto combinado de envejecer y de pertenecer

a otra generación. Se obtiene esta medida

comparando el grupo 1 con el 4, pues el grupo

1 de 1970 es, diez años más tarde, en 1980, el

grupo 4. Tal efecto combinado se manifiesta

como un descenso de 10 puntos porcentuales,

del 40 al 30%. Las matemáticas respectivas

son las que siguen:

INDICES DE BEISBOL

Hay ocasiones en que se mide un objeto por

varios índices, cada uno de los cuales

determina un aspecto diferente. Los tres

índices principales ideados para medir el

rendimiento del bateo de los jugadores de

béisbol el promedio de bateo, el bateo efectivo

y el número de carreras "empujadas"- son

ejemplos que vienen al caso.

Pegar de hit, es decir, pegarle tan a menudo y

tan eficazmente como se pueda a la bola

lanzada por el pitcher, e impedir que el equipo

contrario haga lo mismo, es la clave para

ganar en el béisbol. Los hits hacen que los

jugadores lleguen a una o más bases. Hits

posteriores le permiten al jugador "embasado"

completar el circuito de cuatro bases y anotar

carrera. El número de carreras hechas por

cada equipo decide cual es el ganador.

El promedio de bateo (PB) es el índice más

conocido y de más amplio uso del rendimiento

del bateo de un jugador dado:

El promedio de bateo mide el rendimiento del

bateo de un jugador por la frecuencia relativa

con que "pega de hit", lo cual no equivale

forzosamente a la frecuencia con que llega a

una de las bases "se embasa". Pues a lo mejor

se embasa no por haber pegado hit sino por

error del otro equipo. Esta jugada cuenta como

"ir al bat" pero no como hit, y por eso aumenta

el denominador del PB pero no el numerador.

Si el jugador se embasa por haber recibido

base por bolas, esto es, porque el pitcher le

hizo cuatro lanzamientos malos, o bolas; o

bien si una de las pitchadas fue de tan mala

puntería que golpeo al bateador, gracias a lo

cual tuvo derecho a ocupar la primera base

(pues ser golpeado equivale a recibir base por

bolas), el suceso no entra ni en el numerador

ni en el denominador. Se actúa así en este

caso partiendo de la idea de que en las

condiciones descritas no se pone a prueba la

habilidad del jugador para batear. Por la

misma razón, el promedio de bateo no es

afectado por el "toque de sacrificio", jugada en

la que el bateador toca levemente la pelota y

las más de las veces es hecho aut, pero hace

avanzar al compañero embasado.

. El promedio de bateo no es una medida

completa del rendimiento de un bateador, ya


31

que no incorpora las otras dos dimensiones del

batear: la calidad y la oportunidad de los hits

"conectados". Se mide la calidad por el número

de bases que logra recorrer el bateador antes

de verse obligado a detenerse. Cuando solo

llega a la primera base, no cubre más que la

cuarta parte del recorrido total; si logra

alcanzar la segunda base por haber enviado la

pelota cerca del otro extremo del campo, estar

a medio camino de llegar a home, lugar donde

culmina su recorrido y anota carrera; y así

sucesivamente. Lo que se conoce como

promedio de bateo efectivo mide así la

frecuencia como la de los hits

En la gráfica VI.4 se comparan los promedios

de bateo y de bateo efectivo de tres jugadores

hipotéticos.

CUADRO VIA Bateo y bateo efectivo

Los jugadores A y B tienen el mismo promedio

de bateo, pero A posee mayor promedio de

bateo efectivo. Los jugadores B y C tienen

igual promedio de bateo efectivo, pero B tiene

el promedio de bateo más alto.

La oportunidad de un hit se mide por otro

índice de bateo más: el de número de carreras

empujadas (CE). Registra el número de

carreras anotadas por sus compañeros de

equipo gracias a los hits que pego cuando

aquellos estaban embasados.

Es instructivo considerar los meritos relativos

de estos tres índices. El de bateo efectivo es el

más amplio de los tres. Cuando los dirigentes

de un equipo se ponen a considerar cuanto

deberán pagarle a cierto jugador, toman como

referencia este índice.

El promedio de bateo registra la frecuencia

pero no la calidad del pegar de hits. Aun a así

están en su cuarta década sí, tiene una ventaja

sobre los otros dos es fácil entender por que

sus matemáticas son sencillas. Cuando pasa a

batear determinado jugador, y además de su

nombre se anuncia que su promedio de bateo

es de, digamos, "0.330", todos los

espectadores entienden el significado de este

número: la probabilidad de que pegue hit en

esta oportunidad es de 1 a 3. No hay manera

de traducir con tanta sencillez el promedio de

bateo efectivo a probabilidades. Por otra parte,

en todo juego de béisbol hay muchos

momentos en que el interrogante decisivo no

es el de si el jugador pegara un buen hit sino

simplemente la de si lo pegara o no.

El índice de carreras empujadas mide una

dimensión que pasan por alto los índices de

"bateo" y de "bateo" efectivo. No todo hit

termina con la anotación de una carrera. Con

mucha frecuencia, al final de una entrada

(turno de batear de cada equipo), quedan

corredores en base, indicación de que no todos

los hits se aprovechan. Ser capaz de pegar hit

en el momento conveniente, cuando haya

jugadores en base que puedan llegar a home,

es en un beisbolista cualidad muy apreciada. El

índice de carreras empujadas mide esta

cualidad, sólo que de modo imperfecto. En

primer lugar, porque no se relaciona con la

frecuencia con que batea el jugador. De ahí

que se incremente con el progreso de la

temporada de juegos. En segundo lugar,

resulta afectado por el orden en que batea el

jugador. Cuando lo hace después de buenos

bateadores, que llegan a ocupar las bases con

más frecuencia que sus otros compañeros, su

probabilidad de empujar carrera es mayor que

la de otros jugadores que acaso sean tan

buenos como él.

Aun tornados en conjunto, estos tres índices de


32

bateo no abarcan la capacidad ofensiva total

de un jugador, pues no consideran ni su

destreza para "tocar la pelota" ni su habilidad

para "robar bases". Tal medida global seria,

sugieren algunos, el "índice de anotación", o

probabilidad (medida par el rendimiento

anterior) de que el jugador ocupe una base,

multiplicada por la probabilidad de que llegue a

home. Tendría este índice otra ventaja: la de

servir de fundamento de un índice de equipo,

pues permitiría promediar las puntuaciones de

cada uno de los jugadores. Y como cada

jugador debe saber también jugar a la

defensiva, cuando está bateando el equipo

contrario, para completar el cuadro deberá

haber igualmente índices adecuados de

defensa.

Los índices de bateo suscitan una duda más. A

veces, alguien trata de comparar el

rendimiento de los beisbolistas legendarios con

el de los contemporáneos. Esto plantea el

problema de si el paso del tiempo afecta o no

la estabilidad de los índices. Tal estabilidad se

ve desde luego amenazada, porque de tiempo

en tiempo se han hecho cambios que han

facilitado o dificultado el pegar hits: cambios

de las características de la pelota; prohibición

de que el pitcher "escupa" la pelota para que,

al lanzarla, ésta describa una trayectoria

peculiar; uso de mejores guantes y terrenos

más lisos, ambos factores a favor del trabajo

de los "jardineros", o encargados de capturar

la pelota en las profundidades del campo;

modificaciones de las reglas de "pitcheo", etc.

4 Véase Earnshaw Cook y Wendell L. Garner,

Percentage Baseball (Cambridge, Mass.: MIT, 1964),

cap. 2.

Se han hecho diversas propuestas para

corregir y ajustar el promedio respecto a tales

cambios, por ejemplo medir el rendimiento del

jugador por la razón de su promedio de bateo

anual al promedio de todos los promedios de

bateo registrados durante ese año. El promedio

de la carrera toda de un jugador seria entonces

el promedio de 'codas sus razones anuales.

Conforme a tal medida, Ty Cobb encabeza a

los grandes de todos los tiempos con una razón

índice de ±102%. Y con +96%,5 lo sigue "No

lo digas “Sin zapato” Jackson, el desafortunado

jugador cuyos registros fueron borrados por su

participación en el escándalo de los Medias

Negras, en 1919.

LA CALIFICACION OLÍMPICA

Para rematar nuestra revisión de los índices

que se emplean en los deportes, demos un

vistazo a la peculiar construcción de la medida

que sirve para decidir quiénes son los

ganadores del decatlón olímpico. En cada una

de sus diez disciplinas, la ejecución se mide

con precisión en centímetros o en fracciones de

segundo, según la prueba de que se trate.

¿Pero como se combinan unas con otras las

mediciones de centímetros y segundos, o la

puntuación del salto de longitud con la del

salto de altura, las cuales se miden en

centímetros? ¿Y cómo se decide quién gana, si

A o si B, en caso de que A salte más alto que B

pero B corra más rápidamente que A?

Un sistema justo debe asignar, en cada

disciplina, el mismo numero de puntos a

ejecuciones que sean de dificultad o excelencia

comparables. En el cuadro VI.5 hay una lista

de ejecuciones equivalentes en diez disciplinas.

5Véase Reed Browning, "These Numbers Don't Lie",

Sports Illustrated, 7 de abril de 1980, pp. 70 ss.


33

Cuadro V.I.5. Calificaciones equivalentes de las diez

disciplinas

Estas ejecuciones fueron calificadas con 800,

900 y 1000, respectivamente (se omitieron las

calificaciones intermedias).

En cada disciplina, el intervalo de ejecución

que va de 800 a 900 puntos es mayor que el

intervalo que va de 900 a 1000. En la carrera

de 100 metros pianos, por ejemplo, los dos son

de 0.4 y 0.3 de segundo. Esto refleja el hecho

de que ganar un décimo de segundo se hace

cada vez más difícil cuando se alcanza el nivel

de ejecución máximo.

¿Cómo se determinan estos puntos de igualdad

entre disciplinas? Se empieza, en el ámbito de

cada disciplina, por recopilar muestras de las

actuaciones de atletas competentes, definidos,

por ejemplo, como atletas que han participado

en un número suficientemente grande de

competencias internacionales de alto nivel. Es

probable que estas ejecuciones den lugar a

distribuciones que se aproximen a la curva

normal, con forma de campaña. Tal

distribución posee dos dimensiones básicas: la

media y la desviación estándar. Esta última es

la distancia que hay de la media al punto en

donde la curva cambia de inflexión, como lo

muestra el cuadro V1.3.

Grafica V.I.3 Las medidas estándar de la distribución

normal de los 100 m planos y el salto de longitud

En la parte inferior de la gráfica, los niveles de

ejecución de la carrera de 100 metros y del

salto de longitud ocupan las posiciones que les

corresponden en sus respectivas distribuciones

normales. Cada una de las medidas de

ejecución yuxtapuestas, de las dos disciplinas,

son equivalentes, es decir, que deben ser y son

calificadas con el mismo número de puntos,

porque ambas ejecuciones tienen el mismo

grado de "dificultad" en sus distribuciones

respectivas.

PORCENTAJES QUE SE RELACIONAN

MUTUAMENTE

El ejemplo siguiente, tornado del campo de la

investigación de número de lectores, contiene


34

un conjunto de índices, muy simples, que,

cuando se relacionan convenientemente unos

con otros, abarcan un sistema conceptual

amplio.

De tres conjuntos básicos de datos se extraen

fracciones que miden aspectos editoriales

relevante los artículos que ofrecen los medios

de difusión impresos. Se elaboraron estos

datos con el fin de que los directores de

publicaciones valoraran la calidad de sus

productos y advirtieran las razones de que

algunos de ellos gozaran de más aceptación

que otros. A los miembros de una muestra de

1 000 lectores de cierta revista, se les hicieron

las siguientes preguntas:

(A) ¿Vio usted este articulo?

En caso de respuesta positiva a A: (B)

¿Empezó usted a leerlo?

En caso de respuesta positiva a B: (C)

¿Terminó usted de leerlo?

De cada artículo, se obtuvo un conjunto de

porcentajes básicos, como a manera de

ejemplo se muestra en el cuadro VI.6.

6 Se elaboró originalmente para la desaparecida

revista This Week. (Ma-

Estas respuestas tienen coincidencias parciales.

Los 200 que terminaron de leer el artículo MM

forman parte de los 800 que empezaron a

leerlo; y a su vez estos 800 son parte de los

900 que vieron el artículo.

De estas tres medidas, se pueden elaborar

cuatro índices de lectura, los cuales informan

sobre el fracaso y el éxito relativos del artículo,

así como, pasta cierto punto, la razón de una u

otra cosa

Lectura completa: razón C/T

La proporción de todos los lectores de- revistas

que terminaron de leer el artículo. Ésta es la

medida de ejecución total. No es lo que nos

dice cual fue la causa de que el artículo "se

hubiera desempeñado" bien o deficientemente.

Tal información la dan los tres índices

siguientes. Para el artículo MM, este índice fue

de 0.20.

Valor de la atención: promedio A/T

La proporción de lectores que notó el artículo

al hojear la revista o, más exactamente,

quienes recordaron haberlo visto. Se

consideraría este índice como la medida de

todos los factores que explican come fue

atraída la atención inicial' del lector, entre ellos

la posición del articulo en la revista, el tamaño

del titulo, su formato y el tamaño y los colores

de la ilustración, en caso de que la haya. Para

el artículo MM, este índice fue de 0.90.

tilda White y Hans Zeisel, "Reading Indices",

Journal of Marketing, octubre de 1941, pp.

103-111.)

Cuadro VI.6 Datos del número de lectores de tres

artículos


35

Atracción del tema: promedio B/A

La proporción de lectores que empezaron a

leer el artículo como parada con la de quienes

lo notaron. Es una medida tosca del atractivo

del tema tal y como lo sugieren el titulo, la

ilustración y otros factores. Para el artículo MM,

este índice fue de 0.89.

Capacidad para mantener la atención:

promedio C/B

La proporción de lectores que terminó de leer

el artículo, de entre quienes comenzaron a

leerlo. Es una medida de la capacidad del

artículo para mantener en él la atención, y la

constituyen factores como el atractivo del

contenido, el desarrollo de la trama, el tamaño,

la dificultad del estilo. Para el articulo MM, este

índice fue de 0.25.

Los cuatro índices varían desde 0.0, que

representa la peor de las realizaciones, hasta

1.0, la máxima posible. Como todos los

índices, estos revelan su verdadera utilidad

cuando se utilizan para pacer comparaciones.

El cuadro VI.7 interpreta los datos del cuadro

VI.6 en sus índices respectivos.

CUADRO VI.7. Cuatro índices de lectura de tres

artículos

Medido por su éxito total, de lectura completa,

el artículo NN restito ser el mejor (0.30),

seguido por el MM (0.20) y el 00 (0.10). Los

otros tres índices explican por que fue tan alta

o tan baja la lectura total. Prácticamente todos

los miembros de la muestra (0.90) vieron el

articulo MM, y casi todos los que lo vieron

(0.89) empezaron a leerlo pues parecía

prometedor. Por algunas razones, sin embargo,

el artículo fue incapaz de mantenerlos

interesados. El índice C/B muestra el ínfimo

valor de 0.25, indicativo para el director de que

la debilidad de tal articulo estaba en el propio

texto.

Sólo una pequeña proporción de los lectores

(0.30) vio el artículo NN. Lo digno de

observarse es que todos los que lo vieron

comenzaron a leerlo (1.00), y la exposición del

asunto debió cumplir las expectativas de los

interesados porque el índice de capacidad para

retener su atención alcanzo también el valor

máximo (1.00): todos los que iniciaron la

lectura del artículo terminaron de leerlo.

Fueron muchos también los lectores que vieron

el artículo 00 (0.80), pero sólo unos cuantos lo

acabaron (0.25). Debe haber sólo poco

atractivo el contenido sugerido, ya que sólo la

mitad de quienes empezaron a leerlo lo

terminaron (0.50).

Los entrevistadores exploraron un poco más el

significado precise de estos índices,

investigando de qué factores dependía que el

índice de atención fuese alto o bajo. ¿Qué

atrae o repele al presunto lector de un artículo

dado? ¿Y qué tiene en si un artículo que lo

hace conservar o perder el interés de quien

comienza a leerlo?

INDICES SICOMÉTRICOS

Los índices que ahora se describir in se fundan

en las llamadas puntuaciones sociométricas de

actitudes. Describen la estructura de grupos

pequeños, como una clase escolar, una tropa

de boy scouts, un taller. Se le pide a cada

miembro del grupo que exprese su actitud


36

hacia cada uno de los demás miembros,

valiéndose para ello de una sencilla escala de

cinco puntos que va desde la aceptación

máxima (+1) hasta el rechazo completo (-1),

con un punto medio neutral de 0 y valores

intermedios de +1/2 y -1/2.

El cuadro VI.8 presenta las puntuaciones de

aceptación mutua, de un grupo de siete

miembros identificados con números romanos.

El 1 que se localiza en la intersección del

miembro III (arriba) con el II (izquierdo)

expresa aceptación total del miembro II por el

miembro III.

Partiendo de estas puntuaciones es posible

construir un número de índices

asombrosamente grande que describe la

variedad de relaciones de este grupo de siete

miembros.

Los primeros seis índices describen a los

individuos; el índice 7 caracteriza la relación

entre parejas; y el 8 caracteriza al grupo.

Índice 1, Puntuación media recibida

Mide la aceptación del individuo por parte del

grupo. Se obtiene dividiendo entre 6 los

números de la última columna del cuadro, que

son el total de las puntuaciones recibidas. Igual

que las puntuaciones individuales, varía entre

+1.0 y -1.0.

7 Véanse, por ejemplo, Evelyn Perloff, "Prediction of

Male Readership of Magazine Articles", Journal of

Applied Psychology, vol. 32, 1948, pp. 663-674, y

otro artículo sobre primacía femenina en la misma

revista, vol. 33, 1949, pp. 175-180.

Los índices correspondientes a cada uno de los

miembros son: I (0.41), II (0.75), III (0.08),

IV (0.50), V (0.17), VI (-0.25) y VII (0.08). El

miembro II tiene la puntuación de aceptación

más alta y el VI la más baja.

Índice 2, Desviación promedio respecto a la

puntuación media recibida

El grado de unanimidad con que se atribuyó el

índice 1 a cada individuo. Una desviación de

cero indica que los otros seis miembros del

grupo coincidieron en otorgarle la misma

puntuacion al mismo individuo. El promedio de

desviación con respecto al índice 1 de las seis

puntuaciones individuales, correspondientes a

cada uno de los siete individuos, es de: I

(0.42), 11 (0.25), III (0.14), IV (0.17), V

(0.50), VI (0.50) y VII (0.25). El veredicto del

grupo sobre el miembro II es relativamente

homogéneo (0.14); la aceptación de los

miembros V y VI muestra la variación más

pronunciada de uno a otro miembro del grupo

(0.50).

Índice 3, Puntuación media expresada

Mide la sociabilidad activa del individuo: el

grado en que el individuo acepta, a su vez, a

los demás miembros del grupo: I

(0.33), II (0.08), III (0.0), IV (0.08), V (0.25),

VI (0.67), VII (0.33). El miembro VI muestra la


37

mayor disposición a aceptar a los otros (0.67);

y el III, la menor (0.0).

Índice 4, Desviación promedio respecto a la

puntuación media expresada

Muestra el grado en que cada individuo

discrimina, en su aceptación, a los demás

miembros: I (0.33), II (0.43), III (0.50), IV

(0.43), V (0.25), VI (0.22), VII (0.33). El

número VI hace menos diferencia al aceptar a

sus compañeros (0.22). El III muestra el

mayor grado de diferenciación (0.50).

Índice 5, Correlación entre las puntuaciones

asignadas a los demás miembros y las

recibidas de estos

Por medio del coeficiente de rango de

correlación de grado, de Spearman, mide hasta

que punto son recíprocos los sentimientos de

los diferentes miembros del grupo: I (0.17), II

(0.43), III (-0.19), IV (-0.51), V (0.17), VI

(0.17), VII (-=0.11). El miembro II

corresponde con mayor exactitud a la

aceptación que recibe del grupo (0.43). El IV,

en cambio, califica a sus compañeros

prácticamente de manera contraria a la

aceptación que recibe de ellos (-0.51). Y del

VII diría que la aceptación que expresa es

independiente (-0.11) -o sea que tiende a

cero- de la que recibe de sus colegas.

Índice 6, Correlación entre las puntuaciones

expresadas por cada individuo y la puntuación

media general (Índice 1) de aceptación de

cada individuo

El grado en las puntuaciones expresadas por

cada individuo se conforman a la opinión

general expresada por el grupo en su conjunto.

Los coeficientes son: I (0.94), 11 (0.14), III

(1.00), IV (0.94), V (0.69), VI (0.71), VII

(0.83). El miembro III calificó a sus

compañeros exactamente como el grupo lo

calificó a 61 (1.00).

El II fue el que más se desvió de todos los

demás miembros del grupo (0.14). Que todos

los coeficientes sean positivos indica que, en

general, hay consenso en el grupo.

Índice 7, Media de las puntuaciones asignada y

recibida, calculada entre cuales quiera de dos

individuos y la cual indica la afinidad que hay

entre ellos.

Sólo una de las (6 7:2) - 21 relaciones de

pareja dentro del grupo obtuvo la puntuacion

mutua más alta posible (+1.00). Se trata de la

formada por los miembros I y II. Las relaciones

mas deficientes (-0.25) corresponden a las

parejas II y V, III y VI, y III y VII. No aparecen

puntuaciones inferiores a -0.25.

.8Aquí se evidencia muy especialmente que, en un

grupo tan pequeño como este, la actitud de un solo

individuo puede tener un efecto exagerado sobre la

puntuación del grupo. Ese efecto seria despreciable

si el grupo fuera más grande.

Índice 8, Media de todas las puntuaciones

Mide la cohesión del grupo. Con ayuda de este

índice se pueden comparar diferentes grupos y

también medir los cambios que ocurren dentro

del grupo con el paso del tiempo. La media de

todas las puntuaciones asignadas (y recibidas)

dentro del grupo es de (10:42) = 0.25.

Considerando que la puntuación máxima

hipotética es de 1.00 (si todas las

puntuaciones expresaran aceptación -

completa) y que la mínima es de -1.00 (si

todas las puntuaciones expresaran rechazo

total), diremos que este es un grupo de

cohesión moderada.

COEFICIENTE DE CORRELACION DE

RANCOS DE SPEARMAN


38

Emprenderemos ahora una faena que acaso

parecerá gratuita, la de construir un índice que

ya existe desde hace mucho y que puede

encontrarse en cualquier libro de estadística

elemental: el coeficiente de correlación de

rangos de Spearman.* Este índice mide, con

un solo numero, el grado de similitud o

disimilitud entre dos conjuntos de

ordenaciones por rangos de los mismos

conceptos. En nuestro ejercicio de

construcción, partiremos de las tres diferentes

clasificaciones de cinco concursantes, como se

ve en el cuadro VI.9.

* Más exacto seria llamarlo "Coeficiente de

correlación de variables expresadas en

rangos", como las medidas con escalas

ordinales, por ejemplo, las de "Me gusta

mucho, poco, nada". En las ediciones

anteriores de esta obra, a este numero se le

llama "coeficiente de correlación de grado".

[T.]

Sin necesidad de hacer muchos cálculos, salta

a la vista que las apreciaciones del juez A se

asemejan más a las del juez B que a las del C.

Lo que es difícil ver al instante es si las

conclusiones del juez B se parecen mas a las

del juez A que a las del C. Uno de los objetivos

que persigue el índice que nos proponernos

elaborar es el de que constituir una medida

que sea lo suficientemente sensible para

distinguir entre clasificaciones muy

semejantes.

¿De dónde partiremos para crear nuestro

índice de similitud? Empezaremos por definir

los dos límites extremos que deberá abarcar:

la identidad absoluta y la disimilitud máxima.

En el cuadro VI.10 se denotan estos dos

extremos mediante una escala de cinco puntos,

como en nuestro ejemplo.

Estas dos parejas de ordenaciones por rangos

tienen una propiedad matemática cuya validez

se conserva independientemente del tamaño

de las escalas: la suma de los productos de

cada par de ordenaciones por rangos alcanza

su máximo cuando hay similitud absoluta

(identidad) y su mínimo en caso de disimilitud

total.

Tales implicaciones y tales sumas se efectúan

en la tercera y la sexta columnas, (a) X (b),

del cuadro VI.10: en caso de similitud

absoluta, la suma de los productos es 55; en

caso de total disimilitud, 35. La diferencia

entre estos dos valores extremos es 20. Las

sumas de los productos de todas las demás

combinaciones posibles de escalas de cinco

conceptos están entre 35 y 55.

Estos límites varían naturalmente con la

longitud de la escala. En una escala de cuatro

puntos están entre 20 y 30; en otra, de seis,

estarán entre 56 y 91; y así sucesivamente.

Toda vez que nos gustaría que la fórmula del

índice que estamos por construir se aplicara a

escalas de cualquier tamaño, lo aconsejable

seria que el valor máximo (de identidad)

produjera siempre un índice de +1.0, y el de


39

disimilitud total otro de -1.0. El punto medio de

esa amplitud de 45 en la escala de cinco

puntos; de 25 en la de cuatro debe ser siempre

igual a 0.0, lo que indica el punto de falta de

correlación.

Lo que queda por pacer es simple.

Determínese el intervalo entre la puntuacion

máxima y el punto medio. Para la escala de

cuatro puntos es de 30 - 25 = 5. Luego,

divídase el intervalo del índice que va de +1.0

a 0.0 en cinco secciones iguales; y asígnense

estos valores a las puntuaciones entre 30 y 25,

de modo que 29 sea +0.8, 28 sea +0.6. etc.

En la gráfica VIA se concretan estas ideas en

relación con las escalas de cuatro, cinco y seis

puntos.

Los valores del índice son los valores

respectivos del coeficiente de correlación de

rangos de Spearman. Claro esta que es mucho

más sencillo calcularlos con la fórmula del

propio Spearman, el equivalente, más

elegante, de nuestra tosca pero instructiva

deducción:

Tres jueces en el cuadro VI.II se dan los

valores de P correspondientes a las tres

parejas de jueces.

Cuadro VI.II. Correlación de rangos entre tres jueces

Los dictámenes de los jueces A y B son los mas

semejantes entre sí (+0.8). Los jueces A y C

son los que más discrepan (+0.5). La relación

entre los jueces B y C se halla entre las cifras

anteriores (--f-0.6).

INDICES HECHOS A LA MEDIDA


40

A veces es tan peculiar el problema de hacer

índices, que ninguna de las formulas

tradicionales se adapta a la tarea y tiene que

construirse uno a la medida.

Cierta vez en una comunidad se presento la

necesidad de medir el grado de monopolización

de los principales medios de difusión -o medios

de comunicación unidireccionales como son los

periódicos y las estaciones de radio-. Surgió el

problema como parte de un litigio ante la

Comisión Federal de Comunicaciones. Al

Departamento de Investigaciones Sociales

Aplicadas de la Universidad de Columbia se le

pidió que elaborara un índice que pudiera el

grado en que estuvieran concentrados los

medios de -difusión locales en copropiedad. La

formula obtenida finalmente comprendía los

siguientes datos:

1. El numero de unidades de medios de

difusión (estaciones de radio o periódicos) de

la comunidad.

2. El grado en que estas unidades eran de

propiedad mancomunada.

Quizá la comunidad tuviera, por ejemplo, dos

periódicos y dos estaciones de radio, y un

periódico y una estación de radio fueran de un

mismo propietario. Para elaborar la formula del

índice se definieron varias condiciones,

derivadas en parte del concepto de

monopolización y en parte de ciertos requisitos

formales que lo hicieran claro y practico.

1. El índice no distinguiría entre estaciones de

radio y periódicos; unas y otros se reducirían a

unidades de medios de difusión (M).

2. El índice variaría de 0.0, cuando diferentes

medios de difusión fueren de diferentes -

propietarios, a 1.0, cuando todos los medios

fueren de propiedad común (el monopolio

absoluto).

3. El índice crecería a medida que decreciera el

número de medios de difusión en competencia:

en una ciudad con cuatro unidades de medios

de difusión, M-M, M-M tendría un índice más

elevado que M-M, M, M.

4. A numero igual de unidades en

competencia, mayor valor del índice cuanto

mayores fueran las desigualdades entre los

medios de difusión rivales: M-M-M, M debería

producir un mayor valor de índice que M-M, M-

M.

Esta fue la formula que finalmente se obtuvo:


41

RESUMEN

Construir un índice es expresar un objeto de

varias dimensiones con un solo número. Si se

mide el objeto en su totalidad, el índice será

una contracción de esas mediciones. A

menudo, sin embargo, el objeto del índice se

define conceptualmente y la formula del índice

trata de hacerle justicia al concepto. En cierto

sentido, es tautológica la pregunta de qué

mide un índice: mide lo que la formula indica.

Pero es posible que el concepto trascienda la

formula inmediata e incluya propiedades que

estén meramente relacionadas con los valores

numéricos de la formula.

SEGUNDA PARTE

LOS INSTRUMENTOS DEL ANALISIS

CAUSAL

Mucho del trabajo que se efectúa en el campo

de las ciencias sociales consiste aun en la

tarea, simple relativamente, de describir lo que

es y lo que sucede, pues sigue abundando en

parcelas donde aun no se han realizado

observaciones precisas. De ahí que con

empeño creciente estemos tratando de

descubrir por qué ocurren las cosas y cuales

son sus efectos. Ninguna otra realización

marca mejor el progreso de las ciencias

sociales, que nuestra capacidad, cada vez

mayor, de explicar por que la gente se

comporta como lo hace y de pronosticar, en

cierta medida, los efectos de nuestros actos.

El capítulo VII, primero de esta Segunda Parte,

describe uno de los pasos preliminares que

conducen al análisis causal. El refinamiento de

los datos estadísticos consiste en ver cómo

varían ciertas relaciones de un subgrupo de la

población a otro: en que difieren los jóvenes de

los ancianos, o los hombres de las mujeres, o

las jóvenes de las ancianas, etcétera.

El capítulo VIII se ocupa de uno de los

instrumentos, bien conocido pero raramente

empleado, que sirve para explorar relaciones

de causa y efecto: el experimento aleatorio

controlado. Como mejor lo conocemos es por

informes sobre las pruebas de eficacia que se

hacen en el campo farmacéutico. Este recurso

nos permite determinar con alguna precisión si

cierto tratamiento produce o no el efecto

esperado. Aparte de su utilidad como

instrumento de investigación, el experimento

controlado es importante como el paradigma

conceptual que guía también el análisis de

datos casi experimentales o definitivamente no

experimentales.

El capitulo IX plantea los problemas de analizar

datos de tratamientos diferentes que no se

obtuvieron por experimentación aleatoria

controlada. Tales datos no experimentales

llamados también observaciones son muchas

veces los subproductos administrativos del

curso normal de los acontecimientos. Se deno-

mina cuasiexperimento a los diseños

experimentales que tienen, potencialmente,

todas las características del experimento ideal


42

HACER ESTADÍSTICAS

C. SANCHÍS

J. SALI LLAS

T. RIERA

G. FONTANET

DEFINICIÓN

Decimos que una muestra es representativa

con relación a un carácter x si el porcentaje de

elementos de la población total que posee

dicho carácter coincide con el porcentaje de

elementos que tienen dicho carácter en la

muestra.

Ejercicios

1) Ya sabes que para realizar transfusiones de

sangre es muy importante conocer el grupo

sanguíneo al que pertenecen el donante y el

receptor. Los grupos sanguíneos se reparten

aproximadamente según indica el cuadro

siguiente:

Tomamos como muestra de la población los

alumnos de tu clase.

¿Es una muestra representativa? ¿Se aleja

mucho de los porcentajes dados por el cuadro?

Indicación: Pregunta a tus compañeros cual es

su grupo sanguíneo; recoge los dados,

tabúlalos y calcula los correspondientes

porcentajes.

2) Según el celebre escritor norteamericano

Edgar Allan Poe (en su cuento El escarabajo de

oro), ordenando las letras del alfabeto ingles

según su frecuencia de utilización, de mayor a

menor, se obtiene la serie:

Coge un libro inglés y lee una página del

mismo; ordena las letras según su frecuencia

de aparición. ¿Es esa página una muestra

representativa de la población total?

Repite el mismo ejercicio con todos los

alumnos de la clase, leyendo cada uno una

pagina del mismo libro distinto o de libros

diferentes. ¿Cuál de las dos muestras es más

representativa?

3) Lee una pagina de un libro escrito en

castellano y ordena las letras según su

frecuencia de aparición de mayor a menor. Haz

el mismo ejercicio con varios o todos los

alumnos de la clase, sumando las frecuencias

obtenidas por cada uno.

4) Siguiendo con el ejercicio anterior:

a.- Calcula la frecuencia relativa de aparición

de cada una de las letras.

b.- Compara los resultados obtenidos con los

datos siguientes (sacados de un libro de

Fonética y Fonología Españolas):


43

De la definición de muestra representativa que

hemos dado anteriormente resulta que para

saber si una muestra es representativa de una

población dada, necesitamos estudiar la

muestra y la población total, para poder

comparar los porcentajes correspondientes y

ver si coinciden.

Pero, si hemos estudiado toda la población ya

no necesitamos la muestra para deducir el

comportamiento de la población. Precisamos,

por tanto, de un procedimiento matemático

que nos permita juzgar la representatividad de

una muestra sin necesidad de conocer los

datos de toda la población.

Llegados a este punto, no podemos continuar

sin entrar de lleno en el campo de la Teoría de

la Probabilidad. Sí podemos decir, sin

embargo, que los procedimientos matemáticos,

que nos permiten averiguar si una muestra es

o no representativa, no nos dan una certeza

absoluta (a la que estamos acostumbrados, por

otro lado, en casi todas las ramas de la

Matemática), sino que nos proporcionan

únicamente una cierta probabilidad de acertar

y un riesgo de error.

Otro problema que plantean las muestras,

como hemos dicho al principio, es del de la

elección de los elementos que las componen.

¿Cómo deben elegirse los elementos de una

muestra? Para que una muestra sea

representativa es preciso que los elementos de

la población a estudiar tengan todos la misma

probabilidad (las mismas oportunidades) de ser

elegidos; este método de elección se llama

"método aleatorio o al azar".

Ejemplo:

Queremos elegir una muestra de 20 alumnos

de primer curso, en un colegio que tiene 250

alumnos de dicho curso, para estudiar la talla

media de los mismos.

El método aleatorio para elegir la muestra

puede consistir en ordenar alfabéticamente

todos los alumnos de primero asignándoles a

cada uno un numero del 1 al 250. A

continuación extraemos de una urna con 250

bolas, numeradas también del 1 al 250, veinte

de ellas y seleccionamos a los veinte alumnos

que tienen esos números.

Otro procedimiento puede consistir en sustituir

la extracción de bolas de la urna por una tabla

de números aleatorios. Actualmente podríamos

resolver el problema generando 20 números

aleatorios entre 1 y 250 mediante un

ordenador que, de paso, nos da también los

nombres de los alumnos agraciados.

Ejercicios

1) Tomando como población el conjunto de los

alumnos de la clase, vamos a estudiar la media

de las notas de Dibujo en la última evaluación:

a.- Calcúlala a partir de todos los elementos.

b.- Elige aleatoriamente 10 alumnos y calcula

la media correspondiente a los mismos.

c.- Compara ambas medias.


44

d.- Repite los apartados b) y c) con otras

muestras aleatorias.

2) A partir de los datos del cuadro adjunto

realiza las siguientes actividades:

a.- Calcula la media de vehículos matriculados.

b.- Elige una muestra aleatoria de 6 provincias,

y calcula su media.

c.- Compara ambas medias y di si la muestra

es representativa.

d.- Resuelve las mismas cuestiones con los

permisos expedidos.

e.- Haz lo mismo con las licencias.

Otra cuestión relacionada con las muestras es

la relativa al tamaño de las mismas. ¿De

cuantos elementos debe constar una muestra?

En igualdad de condiciones, cuanto mayor sea

el número de elementos de una muestra tanto

más se acercaran los parámetros calculados en

la misma a los parámetros correspondientes de

la población total. En la práctica real el número

de elementos de una muestra depende de

diversos factores:

• Dificultad de elección de los elementos

• Gastos que origina la elección de los

elementos

• Tiempo necesario para elegirlos según el

carácter a estudiar

• Grado de fiabilidad deseado

• Etcétera.

El tamaño real de la muestra en los estudios de

estimación estadística aplicados en Economía,

en Sociología, en Política, etc. depende, sobre

todo, de la aproximación que deseemos

obtener en la estimación y del riesgo que nos

permitamos corner en la predicción. Ambos

conceptos se miden en términos de

probabilidad y, por tanto, caen fuera de los

propósitos de este libro.

Los cálculos requeridos se hacen más

fácilmente con la ayuda de una calculadora o

programa computacional. Es posible que un

centro de computo local tenga una lista de

programas disponibles y también podría

proporcionar la información y accesoria


45

necesarias para analizar los datos en una

computadora.

HACER ESTADÍSTICAS

C. SANCHIS

J. SALI LLAS

T. RIERA

G. FONTANET

PARAMETROS CENTRALES

3.1. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Los objetivos específicos de este capitulo los

podemos resumir en los siguientes:

• Introducir la necesidad de los parámetros

estadísticos.

• Adquirir la idea correcta de parámetros

estadísticos.

• Comprender la utilidad de los parámetros

centrales.

• Calcular la media aritmética en los diversos

casos.

• Comparar dos conjuntos a partir de sus

medios.

• Calcular la mediana en los diversos casos.

• Calcular la moda en los diversos casos.

• Conocer las ventajas e inconvenientes de

cada uno de los parámetros centrales.

• Saber discernir que parámetro central es el

más adecuado según los datos.

• Hallar gráficamente los parámetros centrales.

• Conocer los cuartiles, deciles y percentiles.

3.2. CONCEPTO DE PARÁMETRO. CLASES

DE PARÁMETROS

Como habrás tenido ocasión de observar en la

parte que precede, una característica casi

constante a lo largo de la Estadística es el

manejo de gran cantidad de datos. Los

ejemplos de la vida real suelen superar en

mucho a los que nosotros utilizamos en el

texto, ya que estos últimos los hemos elegido

con la finalidad primordial de hacerlos

manejables y conseguir así que los cálculos

correspondientes sean factibles sin un excesivo

trabajo. Por este motivo, no debe extrañarte

que para el estudio de casos reales los

estadísticos necesiten utilizar ordenadores.

Uno de los fines importantes de la Estadística

Descriptiva es el de resumir o sintetizar esas

grandes cantidades de datos en unos pocos

números que nos proporcionen una idea, lo

mas aproximada posible, del comportamiento

de todos los elementos de una población con

relación al carácter que deseamos estudiar.

Estos números se conocen con el nombre de

parámetros y se dividen en dos grupos:

a) Parámetros centrales.

b) Parámetros de dispersión.

Los parámetros centrales son unos números

que tienen como objetivo agrupar o centralizar

los datos correspondientes a toda la población

en un solo valor numérico, representante del

conjunto total.

Los parámetros de dispersión tienen como

objetivo el darnos una idea o "medida" de la

proximidad o lejanía que presentan los datos

de la población respecto del valor que hemos

tornado como "central" o representante del

conjunto total.


46

que se lee "sumatorio desde i igual a 1 hasta

n". Sirve para indicar de un modo abreviado

una suma que consta de n sumandos siendo un

número natural cualquiera.

Para aclarar este concepto, imagínate que

queremos sumar los diez primeros números

naturales. Podemos expresar esta suma, como

habrás hecho siempre, en la forma

O bien como habrás visto muchas veces,

utilizando puntos suspensivos

Queda patente el hecho de que este

simbolismo es tanto más útil cuanto mayor es

el número de sumandos de que consta la suma

y que resulta muy cómodo si se ha de trabajar

con muchas sumas como es el caso de la

Estadística.

Análogamente obtendríamos en la expresión:

a.- Todos los números impares inferiores a

2.000.

b.- Todos los múltiplos de 3 inferiores a 1.000.

c.- Los cuadrados de todos los números

naturales entre 30 y 50.

d.- Los cubos de todos los números naturales

entre 30 y 50.

3.4. PARÁMETROS CENTRALES

Como hemos dicho anteriormente, los

parámetros centrales son unos números con


47

los que intentamos resumir o sintetizar los

datos correspondientes a toda una población.

Resulta a todas luces un tanto simplista el

querer representar todos los datos de una

población (que, como sabes, pueden ser

cientos, miles o millones) mediante un único

número. Sin embargo, veremos que estos

parámetros centrales son de gran utilidad para

el manejo de datos estadísticos.

Los principales parámetros centrales son:

• la media antmética

• la mediana, y

• la moda.

3.5. LA MEDIA ARITMÉTICA

Es sin duda el parámetro central que se utilizo

con mayor frecuencia, no sólo como

representante del promedio de los valores de

toda la población, sino también como elemento

auxiliar en el cálculo de otros parámetros que

veremos luego.

Seguramente tienes ya una idea sobre la

media aritmética (aunque no sepas definirla

con exactitud) y la has utilizado en más de una

ocasión. ¿Cuántas veces has preguntado a tus

profesores si para la nota final de curso hacen

la "media" de las notas de las evaluaciones?

Ejemplo:

Supongamos un alumno que realiza un

ejercicio de Ciencias Naturales compuesto de

cinco preguntas y obtiene las siguientes

puntuaciones:

¿Cual crees que debería ser la nota final del

ejercicio?

Ya se te habrá ocurrido que la nota final podría

obtenerse sumando las cinco puntuaciones

obtenidas en las preguntas y dividiendo el

resultado por cinco, es decir:

este valor, 5,2, recibe el nombre de nota

media o simplemente media. Es un número

que nos resume o sintetiza, en este caso, las

cinco puntuaciones obtenidas por separado en

las cinco preguntas.

Esta necesidad de resumir o condensar en un

solo número un conjunto de ellos se hace más

acuciante a medida que crece el número de

elementos del conjunto. Por consiguiente,

vamos a dar la definición de media aritmética

de un conjunto de datos o valores.

DEFINICIÓN

Si tenemos un conjunto de N datos numéricos

que representaremos por:

es decir, la medida aritmética de un conjunto

de N valores numéricos es decir el cociente de

divide la suma de todos los valores por el

número de ellos

Si usamos el símbolo , introducido

antenormente, podemos escribir la fórmula (1)

abreviadamente


48

Si el número de valores considerados es

grande y los hemos tabulado, como se indico

en capítulos anteriores, mediante una tabla de

frecuencias, entonces la media aritmética se

calcula utilizando la formula:

+

Ejemplo:

Las notas de francés de una clase de 40

alumnos han sido las siguientes:

Queremos hallar nota media de los alumnos de

esta clase.

Procedemos, en primer lugar, a contra y

tabular los datos, como ya sabemos:

A partir de dicha tabla, y aplicando la formula

(2), tenemos:

Este numero, 4,6, nos da una idea de las notas

de los 40 alumnos en conjunto, de forma mas

intuitiva que las 40 calificaciones por separado;

además, resulta de gran utilidad cuando se han

de realizar comparaciones entre diversos

grupos o clases para extraer resultados de

rendimientos.

Es conveniente que nos vayamos

acostumbrando a pensar que en Estadística no

interesan los datos de un individuo particular


49

(en este caso, la nota de fulanito), sino que

interesa el conjunto de toda la población y la

forma en que están distribuidos estos datos

Ejercicios

1) Realiza 30 tiradas con un dado y anota los

resultados. Tabula los resultados obtenidos.

Calcula la media aritmética de los puntos

obtenidos

2) Repite el mismo ejercicio anterior, pero en

grupo (por ejemplo, haciéndolo por separado

cada uno de los alumnos de la Clase).

Compara las medidas obtenidas por cada uno.

Deduce alguna consecuencia.

3) En tu clase toma como variable estadística x

el número de asignaturas aprobadas por cada

alumno en la última evaluación. Calcula la

media aritmética Opina sobre el fracaso esco-

lar.

4) Realiza una encuesta en la clase sobre el

número de hermanos de cada uno de los

alumnos. Calcula la media. Haz lo mismo con

los padres de los alumnos de la clase. Compara

los medios y saca consecuencias sobre la

evolución de la natalidad

5) Consulta la sección de economía de un

periódico cualquiera. Anota las cotizaciones del

dólar durante una semana. Calcula la

cotización media de la divisa norteamericana

durante esa semana.

Veamos ahora cómo se calcula la media

aritmética cuando los datos están agrupados

en clases. Tomemos como ejemplo la

extensión en Km2 de las cincuenta provincias

españolas (antes de constituirse las

Autonomías):

Podemos agruparlas en clases tomando, por

ejemplo, como longitud de clase 2.500 Km2

Indicaremos la primera clase por [0, 2'5), la

segunda por [2'5, 5), etc. La tabla de recuento

y de frecuencias viene dada por:

Aquí nos encontramos con una pequeña

dificultad: los Xi no son un número

determinado, sino intervalos. En este caso,

para calcular la media aritmética, sirve

también la formula (2), siendo Xi la marca de

clase y f1 la frecuencia de la clase

correspondiente.

Las marcas de clase, coma ya sabes de

páginas anteriores, son el punto medio del

intervalo correspondiente, que se obtiene

sumando los valores extremos y dividiendo por

dos; así, pues, tenemos:


50

Entonces, la extensión media en Km2 de las 50

provincias españolas es igual a 10.100 Km2.

Ejercicios

1) Calcula la extensión media de las provincias

españolas partiendo directamente de los datos

sin agrupar. Compara el resultado con el que

acabamos de obtener.

2) Recoge las tallas de los alumnos de la clase.

Agruparlas en clases. Tabula los resultados.

Calcula la media.

3) Toma un periódico de hoy. En la sección que

trata del tiempo encontraras las temperaturas

máximas y mínimas de las capitales de

provincia. Tabula los resultados agrupados en

clases. Calcula la media de las temperaturas

máximas y la media de las mínimas.

4) Repite el ejercicio anterior con las

temperaturas de las principales capitales

europeas.

Realiza el mismo ejercicio con las temperaturas

de las principales capitales mundiales.

5) Busca los periódicos correspondientes a una

semana determinada y anota las temperaturas

máximas y mínimas relativas a la capital de la

provincia o región. Calcula la media

correspondiente a cada una de ellas.

3.5.1. MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA

Habrás oído hablar sin duda de una posible

reforma de las Enseñanzas Medias y del

segundo ciclo de EGB, cuyo ensayo esta ya

funcionando. Aunque no se sabe aun

exactamente, en que va a consistir, una de las

novedades puede ser el que los alumnos

aprueben el curso "globalmente" y no

asignatura por asignatura.

Ejemplo:

Supongamos que en el primer curso del nuevo

plan figuren las siguientes materias, con el

número de horas semanales que se indican:

Lengua española………………………….………………… 4 H

Lengua extranjera…………………….…………………… 2 H

Matemáticas............................................. 4 H

Ciencias Naturales..................................... 3 H

Geografía e Historia….………………………………….. 3 H

Educación física……..……………………………………… 2 H

Tecnología……………………………………………………… 2 H

Informática……………………………………………………. 2 H

Etica (Religión)……………………………………………… 1 H

Música……………………………………………………………. 1 H

Como no está totalmente previsto el modo de

calificar, a la hora de poner la nota "global", se

podría adoptar como criterio el cálculo de la

media aritmética de todas las notas. Sin

embargo, parece más razonable que las

asignaturas no tengan todas la misma

influencia en el resultado final (que no tengan

el mismo peso); se decide, por tanto, que la

importancia o influencia de cada asignatura en

la nota global sea proporcional al número de

horas semanales que se imparten de la misma.

Siguiendo en el terreno hipotético,

supongamos que un alumno X ha obtenido las

siguientes calificaciones:


51

Lengua española………………………….………………… 5

Lengua extranjera…………………….…………………… 6

Matemáticas............................................. 2

Ciencias Naturales..................................... 3

Geografía e Historia….………………………………….. 7

Educación física……..……………………………………… 6

Tecnología……………………………………………………… 4

Informática……………………………………………………. 8

Etica (Religión)……………………………………………… 5

Música……………………………………………………………. 2

¿Qué nota global corresponderá al alumno X?

Si para aprobar el curso es necesaria una nota

global igual o superior a 4,5 ¿qué suerte

correrá nuestro amigo X?

En este caso no podemos hacer la media

aritmética de las calificaciones obtenidas en

cada una de las asignaturas, pues ello

equivaldría a que todas tuvieran la misma

importancia. Debemos introducir un factor que

nos permita a cada calificación la importancia

(el peso) que tienes según el número de hojas

semanales correspondiente a la asignatura en

cuestión para ello multiplicaremos la

calificación obteniendo en las toda la

asignaturas por el número de horas

correspondiente ala misma, sumaremos estos

productos y dividiremos por el número total de

horas semanales: tendremos así que la nota

global será:

la nota global del curso será, pues, 4,75 y

como quiera que 4,75 > 4,5 nuestro amigo x

habrá aprobado el curso completo.

Este valor x se llama media aritmética

ponderada. Los valores por los que se

multiplican los datos (en nuestro caso las

notas), para darles una determinada

importancia, se llaman pesos. Así, en nuestro

ejemplo, la nota de Lengua española tiene

peso 4, la nota de Ciencias Naturales tiene

peso 3, mientras que la nota de Música tiene

peso 1.

En general, cuando se trata de calcular la

media aritmética ponderada, partimos de un

conjunto de datos agrupados XI con unas

frecuencias FI y unos pesos PI, tal como se

Indica en la tabla adjunta:

DEFINICIÓN

Para un conjunto de datos, con sus frecuencias

y sus pesos expresados en la tabla anterior, se

llama media aritmética ponderada al valor XP

dado por la formula siguiente:

La media aritmética ponderada se utiliza en

multitud de ocasiones, un caso muy

interesante es el cálculo del Índice de Precios

al Consumo (IPC), del que hablaremos más

adelante.

Ejercicios

1) Un profesor de Matemáticas realiza a lo

largo del curso nueve ejercicios puntuables,

tres cada trimestre. Para la calificación final de

los alumnos hace la media aritmética

ponderada con el siguiente criterio: los


52

segundos ejercicios de cada trimestre cuentan

doble que los primeros, y los finales de cada

trimestre valen triple que los primeros.

Dos alumnos X e Y obtienen las notas

siguientes, en el orden que se indica:

X: 563; 745; 642

Y: 258; 045; 216

¿Qué nota final corresponderá a cada alumno?

¿Qué nota correspondería a cada alumno si el

profesor hiciera la media aritmética?

2) Los rendimientos del cultivo de trigo en

cuatro parcelas son los siguientes (expresados

en Qm/Ha):

Calcular el rendimiento medio.

3.5.2. VENTAJAS E INCONVENIENTES DE

LA MEDIA ARITMÉTICA

Una de las propiedades más importantes de la

media aritmética es el hecho de que este

parámetro tiene en cuenta todos los valores o

datos de la población y que los cálculos

necesarios para su elaboración son sencillos.

Sin embargo, presenta un inconveniente, a

.veces grave, que consiste en los efectos que

sobre ella producen los valores extremos que,

en muchas ocasiones, son los menos

significativos por su rareza o excepcionalidad.

Este problema es uno de los que surgen al

querer sintetizar en un solo número un

conjunto de ellos.

A veces nos encontramos con dificultades que

nos impiden el cálculo de la media aritmética.

Tal es el caso de datos agrupados en clases

cuando existen las llamadas "clases abiertas".

Así, según el INE (Instituto Nacional de

Estadística), la población española en 1981

constaba de 37.680.900 individuos,

distribuidos del siguiente modo:

Si quisiéramos calcular la media nos

encontraríamos con la dificultad de la última

clase (mayores de 64 años).

Otras veces las dificultades para el cálculo de

la media aritmética provienen de que los datos

observados o estudiados no son numéricos o

cuantitativos sino cualitativos.


53

Para resolver estos inconvenientes se utilizan

los otros parámetros centrales que, en algunas

ocasiones, son más representativos que la

media aritmética. Así tenemos la moda y la

mediana.

3.6 MODA

Se llama moda de un conjunto de datos a

aquel valor que se presenta con mayor

frecuencia.

De acuerdo con estas definiciones existentes

conjunto de datos que no tienen moda (ningún

dato se repite), que tiene una moda (hay un

dato con mayor frecuencia en el resto) o que

tiene más de una moda (varios datos con la

misma frecuencia) en este último caso se habla

de distribuciones bomidales, trimodales o

multimodales.

Ejemplo

1) si consideramos las notas de matemáticas

correspondientes a los 40 alumnos de la clase

vista anteriormente (página 46), vemos que la

nota 4 tiene frecuencia 8, que es la mayor

frecuencia de todas; según la definición

anterior, la moda de este conjunto de notas es

el 4.

2) Si miramos la tabla correspondiente a la

extensión de las provincias españolas (página

47), vemos que la clase modal es la (5, 7'5)

cuya frecuencia es 12.

3) Lanzamos un dado cinco veces y obtenemos

los siguientes resultados: 5 1 2 4 6 Esta serie

de datos no tiene moda.

4) Lanzamos dos dados veinte veces

obteniendo como suma de los puntos de cada

tirada los valores:

44, 8, 8, 7, 10, 2, 5.

La moda de esta distribución es el 7, que

aparece seis veces.

En el caso de una serie de datos agrupados en

clases se suele tomar como moda el valor

correspondiente a la marca de clase relativa a

la clase modal. Así, en el caso de los datos

correspondientes a la extensión de las

provincias españolas, la clase modal es la [5,

7'5) y podemos tomar como moda el valor

6'25, que es la marca de dicha clase.

Ejercicios

1) Lanza dos dados 40 veces y anota la suma

de las puntuaciones obtenidas en cada tirada.

Construye la tabla de frecuencias y di cuál es

la moda.

2) Haz el ejercicio anterior en grupo (realizar

cada uno de los alumnos de la clase el mismo

experimento). Compara los resultados

obtenidos.

¿Crees que es una casualidad, o hay alguna

razón que justifique el resultado?

3) Coge un libro cualquiera, escrito en

castellano, y lee una pagina del mismo

anotando las veces que aparece cada una de

las letras. Haz una tabla de frecuencias y di

cual es la, moda.

4) Realiza el mismo ejercicio con los resultados

obtenidos por tus compañeros. Compara los

resultados. ¿Qué explicación le das?

Comprueba si el mismo ejercicio, realizado con

un libro escrito en distinto idioma te da la

misma moda.

3.6.1. CÁLCULO GRÁFICO DE LA MODA

Hemos dicho hace poco que cuando los datos

están agrupados en clases se suele tomar

como moda el valor correspondiente a la marca

de clase de la clase modal. Se puede

aproximar un poco más este resultado si

trabajamos con papel milimetrado y de modo

gráfico, tal como se indica en la figura adjunta:


54

La intersección de las rectas PR y QS nos da el

punto M correspondiente a la abcisa X de la

moda.

El parámetro moda no es tan representativo

como la media aritmética, pero es útil en

algunas ocasiones, como habrás podido

apreciar en los ejercicios anteriores. La mayor

representatividad de la media se debe, sobre

todo, a que en el cálculo de esta intervienen

todos los datos del conjunto estadístico,

mientras que en el caso de la moda esto no

ocurre.

La moda y la clase modal no tienen demasiado

interés, salvo cuando su frecuencia se destaca

claramente de las del resto de la distribución.

La moda se considera como un valor central

porque indica la mayor frecuencia, pero puede

estar situada muy cerca de los extremos. Sin

embargo, tanto la moda como la clase modal

tienen un significado real; por ejemplo, en

Geografía pueden ser la expresión de una

estructura determinada, caracterizar una

región al darnos cuenta de un clima domi-

nante, del paisaje o de las actividades que

predominan en la misma.

Además, la moda es el único valor central que

puede calcularse en las series nominales.

El otro parámetro central es la mediana.

3.7. MEDIANA

Hasta el presente no hemos tenido en cuenta

para nada el orden de los valores que

componen la serie estadística. Pero es fácil de

comprende que al hablar de medidas centrales

nos puede ser útil disponer de los datos en

forma ordenada (generalmente en forma

creciente), siempre que dicha ordenación sea

posible.

Supongamos, pues, que dado un conjunto de

valores o datos Xi los hemos ordenado de

modo que

3.7.1. DEFINICIÓN

Se llama mediana a aquel valor, Xm, que ocupa

el lugar central si hay un número impar de

datos o a la media aritmética de los valores

centrales, xm y Xm+1, si el número de datos es

par.

Ejemplos:

1) Si consideramos las cinco tiradas del dado,


55

mencionadas anteriormente, y ordenamos las

puntuaciones obtenidas de menor a mayor,

resulta

1 2 4 5 6

La mediana es el 4 (valor central).

2) En el caso de las puntuaciones obtenidas

mediante el lanzamiento de dos dados

simultáneamente, una vez ordenadas

tenemos:

2 2 3 4 4 5 5 5 7 7 7 7 7 7 8 8 1 0 1 1 1 1 1 1

Los dos valores centrales valen 7 y, por tanto,

la mediana es 7

3) Supongamos ahora la serie de datos 2 3 4 4

5 5 6 7; los valores centrales son 4 y 5 y, por

consiguiente, la mediana es la media

aritmética de ambos, es decir, 4,5.

La mediana se utiliza especialmente en los

casos siguientes

• Cuando se trata con datos cualitativos

susceptibles de ser ordenados.

• Cuando el conjunto de datos estadísticos

posee unos valores extremos excepcionales

que afectan demasiado al valor de la media

• Cuando se trata de datos estadísticos

agrupados en clases y las clases extremas (o al

menos una de ellas) son abiertas,

3.7.2. PROPIEDAD DE LA MEDIANA

La mediana, tal como se deduce de su

definición, tiene la propiedad de que el

cincuenta por ciento de los datos son menores

o iguales que ella y el cincuenta por ciento

restante son mayores o iguales. Dicho de otra

manera: la mediana divide el conjunto de

datos en dos partes iguales dejando la mitad

de ellos a su izquierda y la mitad restante a su

derecha.

Esta propiedad justifica plenamente la inclusión

de la mediana entre los parámetros centrales.

3.7.3. CALCULO GRÁFICO DE LA MEDIANA

Para calcular gráficamente la mediana de una

distribución, un método consiste en dibujar el

polígono de frecuencias acumuladas, colocando

en el eje de las X los valores o clases y en el

eje de las Y los porcentajes correspondientes,

como indica la figura:

se traza una paralela al eje de las X por el

punto correspondiente al 50%, que corta al

polígono de frecuencias en un punto M; por

éste se traza una paralela al eje de las Y, que

corta al eje de las X en un punto M', que es el

valor de la mediana buscada. (Es conveniente

realizar el gráfico en papel milimetrado para

mayor precisión.)

3.8. RELACIÓN ENTRE LOS TRES

PARÁMETROS: MEDIA, MODA Y MEDIANA

En las distribuciones normales, como se ve en

la figura adjunta, los tres parámetros coinciden

en un mismo valor; además los datos están

distribuidos de forma simétrica a ambos lados

de dicho valor central. Este tipo de

distribuciones es muy frecuente y de gran


56

interés en los estudios teóricos de Estadística y

de teoría de probabilidades.

En las distribuciones que no son simétricas,

pero tampoco excesivamente asimétricas,

como las de las figuras siguientes, se verifica la

relación que escribimos a continuación:

media – moda = 3 (media-medina)

El signo = se lee aproximadamente igual

(quiere decir que no se trata de una igualdad,

sino simplemente de una aproximación).

3.9. CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES

Al estudiar la mediana hemos dicho que

cuando una serie de datos estadísticos se

colocan ordenados de menor a mayor, la

mediana es aquel valor que divide al conjunto

en dos partes iguales. A veces es conveniente

dividir el conjunto de datos en más partes

iguales; es frecuente dividirlo en cuatro partes

iguales, y a los valores que verifican esta

división se los conoce con el nombre de

cuartiles, designándose habitualmente por las

letras Q1, Q2 y Q3 y llamados

Q1: primer cuartil

Q2: segundo cuartil

Q3: tercer cuartil

Otras veces se divide el conjunto de datos en

diez partes iguales; en este caso los valores

que proporcionan tal división se conocen con el

nombre de deciles y se representan por D1,

D2, D9. Si dividimos el conjunto de datos en

den partes iguales los correspondientes valores

se llama percentiles y se representan por P1

P2,…, P99.

Es obvio que estos parámetros se utilizan a

medida que el número de datos aumenta, con

objeto de dividir el conjunto de datos en partes

con el mismo porcentaje de elementos.

El cálculo de los cuartiles, deciles y percentiles

se efectúa de modo similar a lo hecho en el

caso de la mediana. Observa asimismo que el

segundo cuartil Q2 coincide con la mediana, y

lo mismo ocurre con el quinto decil D5 y con el

percentil P50.

Ejemplos

1) Lanzamos un dado 25 veces y obtenemos

los resultados siguientes:

5, 3, 2, 6, 5, 1, 2, 3, 2, 1, 5, 1, 5, 2, 4, 5, 6, 1,

2, 4, 4, 2, 2, 4, 3

Queremos calcular los cuartiles Q1, Q2 y Q3.

Ordenamos los datos de menor a mayor:

-

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4,


57

4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6

Q1 = 2 (media de los datos 6.° y 7.0).

Q2 = 3 (valor del dato 13.°).

Q3 = 5 (media de los datos 19.° y 20.°).

Esto nos dice que el 25% de tiradas ha salido

un número igual o menor que 2; que el 50%

de las tiradas ha salido un número igual o

menor que 3 y que el 75% de las tiradas

hemos obtenido una puntuación igual o menor

que 5.

2) Las calificaciones de 150 alumnos se

recogen en el siguiente cuadro:

EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN

1) Lanza dos dados 100 veces y anota las

sumas obtenidas en cada tirada. Tabula los

resultados. Calcula la mediana, los cuartiles y

los deciles. Construye el polígono de las

frecuencias acumuladas y calcula a partir del

mismo la mediana, los cuartiles y los deciles.

Compara los resultados obtenidos mediante

ambos procedimientos.

2) Calcula los cuartiles y los deciles de la tabla

correspondiente a la extensión de las

provincias españolas.

El 25% de las provincias españolas tiene una

extensión igual o menor que

Km2

El 60% de las provincias españolas gene una

extensión igual o menor que

Km2.

3) Una clase de 40 alumnos se divide en tres

grupos para calcular la nota media de inglés,

resultando lo siguiente:

10 alumnos → nota media 6,5



¿Cuál es la nota media de los 40 alumnos de la

clase?

4) Realiza los ejercicios que se piden a partir

de los datos de las quinielas correspondientes

a la temporada actual.

a.- Calcula la media, la mediana y la moda

correspondientes a las variables: número de

veces que ha salido "" 1 ", '"x",

“2”

b.- Idem para la variable: numero de variantes

("x" y "2").

c.- ¿Qué medida de éstas te parece más

representativa?

d.- Si quisieras hacer una quiniela de acuerdo

con los datos obtenidos anteriormente,

¿cuántas variantes pondrías?

¿Cuantos "2"?

f.- Agrupa las recaudaciones en 8 clases: haz

la tabla de frecuencias, el diagrama de barras,

el polígono de frecuencias y el polígono de

frecuencias acumuladas.

g.- A partir del polígono de frecuencias

acumuladas calcula la moda, la mediana y los

cuartiles.

h.- Calcula la media de las recaudaciones.


58

Con los datos anteriores:

a.- Calcula la mediana y la media de las

ganancias de los jugadores.

b.- ¿Tiene sentido hablar de la moda de las

ganancias?

c.= Calcula la moda del número de torneos

jugados, la media y la mediana.

d.- ¿Qué valor de los anteriores, calculados en

el apartado?

c) ¿te parece más representativo?


59

HACER ESTADÍSTICAS

C. SANCHÍS

J. SALILLAS

T. RIERA

G. FONTANET

5. INDICE E INFERENCIA ESTADÍSTICAS

5.1. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Los objetivos específicos de este capítulo los

podemos resumir en los siguientes:

• Introducir el concepto de índice o números

índice.

• Tratar las principales propiedades de los

índices.

• Destacar la importancia de los índices en el

estudio de series temporales.

• Destacar la utilización de los índices en

Economía.

• Estudiar un poco el IPC.

• Dar unas nociones sobre el poder adquisitivo.

• Idea de la inferencia estadística.

• Conocimiento de la teoría de muestras.

• Propiedades que han de cumplir las

muestras.

• Elección de los elementos que componen una

muestra.

• Juzgar la representatividad de una muestra.

5.2. ÍNDICES (O NÚMEROS ÍNDICE)

SU SEÑORÍA EL IPC

El Índice de Precios de Consumo (IPC) es,

quizás, el indicador de la economía española al

que se presta más atención en los últimos

tiempos, por ser el expresivo de la marcha de

la tasa de inflación. Recogemos la evolución

del índice general, mes a mes en 1982 y 1983.

Los titulares anteriores pueden servir de

motivo para la introducción del concepto de

índice (o números índice). Debemos señalar,

sin embargo, que el concepto de índice es

mucho más amplio, aunque es preciso

reconocer que la mayor parte de los índices

han sido utilizados por los economistas para

resumir, sintetizar y comparar diversos

fenómenos.

Los índices se calculan con objeto de seguir

aisladamente la evolución de caracteres en

función del tiempo y facilitar de esta manera

las comparaciones. Ya hemos hablado

anteriormente de las series temporales;

existen boletines especializados que publican

series temporales bajo la forma de índices.

Tanto el Estado como las empresas y los

bancos poseen departamentos especializados

dedicados a la confección de índices. Así, el

Instituto Nacional de Estadística (INE) es

el encargado de confeccionar el IPC.

Un número índice es una medida estadística

cuya finalidad es mostrarnos los cambios

sufridos por una variable o por un grupo de

variables a través del tiempo (series

temporales) o de alguna otra característica


60

como la edad, la profesión, el nivel educativo,

la distribución geográfica, etc.

5.2.1. Tipos de índices

Podemos dividir los índices tal como indica el

cuadro:

Vamos a explicar brevemente cada uno de

ellos

a) Índices elementales simples

Un índice elemental simple es la razón o

cociente entre el valor vt de una variable en un

tiempo (t) y el valor vo de la misma variable

en un tiempo to tomado como referencia.

DEFINICIÓN

Al cociente Vt/Vo se le llama valor relativo.

Generalmente se expresa en forma de

porcentaje o de tanto por ciento, es decir, en la

forma

(Vt/Vo) x 100

De la formula se deduce fácilmente que al

valor correspondiente al tempo o, o sea, Vo le

corresponde el porcentaje 100.

Ejemplo:

Queremos estudiar la evolución de las

importaciones españolas de crudos de petróleo

desde el ano 1973 hasta el 1983. Según

fuentes del INK DG Aduanas, disponemos de

los datos siguientes:


61

Se pueden observar dos cambios bruscos en el

precio de los crudos: el primero del 320,8% en

el ano 1974 y otro de 1.305,5% en el año

1980, mientras que las cantidades importadas

se mantienen prácticamente iguales según nos

muestran los índices correspondientes. Estas

variaciones bruscas corresponden a los

aumentos de los precios por parte de los países

productores de petróleo (OPEP) y que dieron

lugar a crisis económicas importantes, sobre

todo la de los años 73-74 que todavía

arrastramos.

Ejercicios

1) Actualizar los datos del ejemplo anterior

hasta la flecha presente

2) con los mismos datos del cuadro de

importaciones de crudos calcula los índices

correspondientes tomando como año de

referencia 1890

3) en los cuadros siguientes figuran los

principales protectores y consumidores de

petróleo (y, además, España) en 1982

a) Calcula los índices de productores tomando

como referencia España.

b.- Calcula los índices de consumidores

tomando como referencia los Estados Unidos.

4) El siguiente cuadro representa el cambio

medio anual del dólar desde 1977 hasta 1983

(con relación a la peseta)


62

B) ÍNDICES ELEMENTALES PONDERADOS

Ya hemos hablado en el Tema 3 de la media

aritmética ponderada, en la que aparecían

unos números, llamados pesos, que servían

para dar una mayor o menor importancia a los

valores del conjunto estadístico. También aquí

al tratar de los índices aparece con frecuencia

la necesidad de combinar dos o más índices

elementales simples papa construir un índice

ponderado que los relacione.

Así, por ejemplo, si tenemos el precio pt de un

artículo determinado y la cantidad CL del

mismo producido en un periodo t y, por otro

lado, conocemos el precio po y la cantidad Co

del mismo artículo en el tiempo de referencia

to, podemos hallar el índice relativo del valor

de dicho artículo (entendiendo por valor el

producto del precio por la cantidad) tendremos

y, teniendo en cuenta las propiedades de las

fracciones, el cociente anterior se puede

escribir como un producto de dos cocientes

lo que nos dice que el índice del valor es igual

al producto del índice del precio por el índice

de la cantidad.

C) ÍNDICES SINTÉTICOS

En general, los índices elementales aportan

poca información en la economía a gran escala

donde se juega con multitud de datos. Por este

motivo han sido los economistas quienes han

creado los índices sintéticos que combinan

toda una gama de precios y. Al iniciar este

capítulo de los índices hemos tornado como

sugerencia el celebre IPC, en este no

interviene un solo articulo, sino una gran

cantidad de ellos.

Se podrían calcular los precios relativos o

índices de cada uno de los artículos o bienes

(comida, vestido, vivienda, transportes...),

pero esto nos daría tal cantidad de índices

(unos que subirían mucho, otros poco, otros

que bajarían que seria materialmente

imposible sacar una idea clara de la variación

de los precios de un ano con relación al año

anterior. Por este motivo interesa un solo

Índice que sintetice el conjunto de todos ellos.

No hace falta hacer hincapié en que la

elaboración de un índice de estas

características lleva aparejadas una serie de

dificultades tales como:

• Elegir el valor central que resuma mejor y

deforme menos la información.


63

• Establecer las ponderaciones más adecuadas.

• Decidir que bienes o artículos intervienen en

el mismo.

• Determinar el precio de los artículos que

varían a lo largo del año.

5.2.2. EL IPC

Para que to hagas una idea de la complejidad

ponemos a continuación una lista de los

artículos que intervienen, con sus

ponderaciones, correspondientes, en el cálculo

del IPC (según el sistema antiguo).

Recomendamos consultar el Anuario de INE

para ver el cuadro completo de los artículos

que intervienen.

Estos pesos fueron sustituidos recientemente

(finales de 1985) po, otros nuevos de acuerdo

con una estadística efectuada por el INE sobre

los hábitos de consumo de los españoles. En

un gráfico de la primera pagina de este

capitulo se recogen las nuevas ponderaciones.

En palabras de un director del INE:


64

"Para actualizar las ponderaciones del IPC se

ha realizado desde abril del 80 a abril del 81

una nueva encuesta de precios familiares... en

la que han colaborado durante un ano una de

cada 400 familias españolas (unas 24.000 en

total)... ", y en otro lugar "Hoy día la

elaboración de un buen índice de precios de

consumo exige un dispositivo técnico muy

perfeccionado, que mide, a su vez, el nivel de

calidad de la estadística de los países. El

principio es muy sencillo: se trata de comparar

en dos momentos del tiempo to que cuesta en

dinero un conjunto homogéneo de bienes y

servicios. Ahora bien, esto obliga a estimar

cual es la composición del consumo de la

población... ".

Generalmente a los trabajadores nos

aumentan el sueldo cada ano. Pero esto no

quiere decir que aumentemos el poder

adquisitivo, V2 que esto depende de varios

factores como el aumento del IPC, la

depreciación de la peseta, etc. De una manera

un poco simplista, podríamos decir que la

relación entre el aumento de sueldo y el del

IPC nos da la variación (perdida o aumento)

del poder adquisitivo: si el tanto por ciento de

aumento salarial es superior al tanto por ciento

de aumento del IPC se produce un auge del

poder adquisitivo y una disminución en caso

contrario.

Puedes sacar algunas conclusiones con los

datos que te ofrecemos a continuación sobre el

IPC y el salario mínimo:


65

Como vemos, estos dos índices no coinciden;

además no tienen las mismas propiedades.

Puesto que ambos están basados en la media

aritmética, adolecen de los defectos de ésta,

ya vistos anteriormente,

Para el cálculo de los índices sintéticos se

utilizan las medias aritmética, geométrica o

armónica, y a veces combinaciones de ellas.

Vamos a dar un ejemplo de utilización de la

media aritmética ponderada para el calculo de

índices sintéticos.

Ejemplo:


66

Supongamos, para simplificar, que en el

calculo del IPC intervienen cuatro conceptos A,

B, C y D, de los que conocemos sus precios po

en el año de referencia to y sus precios pt en el

año t, así como las ponderaciones o pesos q

atribuidos a cada uno de ellos. Representamos

todos estos datos en este cuadro:

POTENCIALIDAD MATEMÁTICA DE LAS DIFERENTES UNIDADES DE CONTENIDO EN LOS TEXTOS DE

PRENSA ESCRITA___________________________________________________________________

67

PRENSA Y EDUCACIÓN MATEMATICA

ANTONIO FERNANDEZ CANO

LUIS RICO ROMERO

Fernández Cano, Antonio y Luis Rico Romero (1992),

"Potencialidad matemática de las diferentes unidades

de contenido en los texto: de prensa escrita" y

"Elementos matemáticos explícitos en la prensa

escrita", en Prensa y educación matemática, Madrid,

Síntesis (Matemáticas: cultura y aprendizaje, 29),

pp. 63-130 y137-182.

“Siempre que de nosotros se apodera el

sentimiento, de armonía a él se apegan

mágicamente los detalles, como la última

pincelada…”

E. Jünger, Radiaciones.

En el capitulo anterior establecimos 11 tipos

distintos de unidades de contenido para los

textos de prensa escrita. Estas unidades de

contenido, solas o en combinación, organizan

la información que se transmite mediante la

prensa.

Si consideramos la información general que se

transmite mediante la prensa podemos

diferenciar cinco grandes categorías

informativas: Noticias. Publicidad, Opinión,

Agenda y Pasatiempos.

Prácticamente toda la información que

transmite la prensa se puede incluir en una de

esas categorías. Las unidades de contenido son

las diferentes formas de organizar las

categorías anteriores.

Pasamos a considerar la potencialidad

específica de cada uno de estos tipos en la

enseñanza- aprendizaje de las matemáticas.

4.1. TITULARES

Un titular es un resumen de lo esencial, o de lo

más destacable, de una noticia. Suele aparecer

como encabezamiento de la noticia y en

tamaño mayor, ocupando uno o dos renglones.

La habilidad de algunos periodistas está en

condensar un titular en el mínimo número de

palabras; por lo general este no suelen tener

más de 20.

La función de un titular es anticipar o resumir

lo esencial de una noticia; por este motivo se

incluyen los datos o hechos claves de la noticia

y un enjuiciamiento de los mismos.

Así, en el titular del ejemplo, los datos incluyen

la mayor parte del titular; Único juicio que

aparece está en el término “invasión”.

Esta misma noticia en un periódico pro-iraquí

no hubiera empleado ese término.

Los datos o hechos pueden venir expresados

mediante números y cantidades. o bien

mediante la descripción de objetos.

POTENCIALIDAD MATEMÁTICA DE LAS DIFERENTES UNIDADES DE CONTENIDO EN LOS

TEXTOS DE PRENSA ESCRITA

La invasión iraquí eleva un 15%

el precio del crudo en los

mercados internacionales


PRENSA ESCRITA___________________________________________________________________

68

El secretario general del V Centenario

asegura que Granada tendrá el

protagonismo que merece en 1992

En este titular hay muchos datos, tres de ellos

numéricos, y el juicio está en la expresión o

“protagonismo que merece”. En este otro

titular:

La Cruz Roja suprime toda

indumentaria

militar en los miembros de la

institución

no hay datos numéricos, pero si hechos. El

enjuiciamiento viene dado por el verbo

“suprime”. En este caso podía haberse escrito

“elimina” o “prohíbe”, juicios más duros o

descalificadores, o bien “reemplaza”,

“prescinde”, que dan una idea menos

conflictiva.

El que aparezcan datos numéricos en un titular

no quiere decir que la información sea más

precisa. De los dos ejemplos anteriores, el

segundo titular es más preciso que el primero.

Con la información numérica quedan mejor

delimitadas sólo aquellas partes del titular

afectadas por números, pero esto no hace -en

principio- más precisa la noticia.

En los titulares aparecen unos hechos escuetos

y una o dos relaciones entre esos hechos;

conjuntamente forman un juicio e intentan

transmitirnos una idea global sobre una

noticia. Los titulares no llegan a elaborar un

concepto, sino solo su aspecto más

destacable. Hasta no tener la noticia completa,

desde el punto de vista conceptual, un titular

comprende sólo hechos y alguna relación

importante entre ellos. Aunque el titular tenga

una expresión muy literaria:

DINERO CON OLOR A VINO

se ajusta a transmitir unos hechos y una

relación entre los mismos.

Conviene considerar que los titulares no

afectan solo a las noticias, las diferentes partes

y secciones de un periódico también se

distinguen entre si mediante titulares;

igualmente pueden aparecer titulares en los

anuncios.

Desde el punto de vista procedimental los

titulares ponen de manifiesto una buena

capacidad de síntesis. El mejor titular es el que

expresa con menos palabras la idea

fundamental de una información. Se puede

estimular a los alumnos a sintetizar noticias

elaborando titulares: para ellas, y discutiendo

cuales son los más acertados. También puede

seleccionarse el titular más adecuado entre

varios, comparando lo que dicen varios

periódicos; finalmente, se puede pedir el

desarrollo de una noticia de acuerdo con lo que

dice un titular.

Son tres tipos de actividades que permiten

mejorar las capacidades de interpretar,

resumir y comparar informaciones.

Si los empleamos como fuentes de información

se pueden plantear cuestiones a partir de un

titular y probar a obtener nueva información en

base a los datos aportados por el titular.

Este trabajo tiene que ver con la invención de

preguntas y el enunciado de problemas.

¿Cuántas preguntas significativas es capaz de

plantearse un alumno ante la lectura de un

titular? ¿Cuántas de esas preguntas tienen

sentido atendiendo al contexto de la

información? ¿Cuántas pueden responderse?

¿Qué otros datos son necesarios para lograr

una respuesta?

Estas actividades forman parte de las fases

iniciales en cualquier estrategia para la

resolución de problemas.


PRENSA ESCRITA___________________________________________________________________

69

En los titulares aparecen con frecuencia

números y cantidades, índices porcentajes;

comparaciones y relaciones entre

características; frecuencias y valores medios:

El estado tuvo un superávit de 60,000 millones

de pesetas en noviembre.

El Banco de España ganara más de 100.000

millones en 1988

La detección precoz del cáncer de mama tiene

un éxito del 75%

El aumento de la tensión en el Golfo provoca

de nuevo la calda de las bolsas y la subida del

crudo.

También pueden aparecer algunos términos

con significado matemático, de uso común,

como superficie, longitud, peso, capacidad,

producto, división, cuadrado, cubo pirámide,

volumen, etc.

Un buen ejercicio de reconocimiento puede

consistir en localizar todos los términos

matemáticos que aparezcan en los titulares de

un periódico, en día determinado.

Cuando haya que redactar titulares se pueden

poner condiciones complementarias como la de

no emplear términos matemáticos, o utilizar

uno, dos más de ellos.

Dentro de los titulares de un periódico hay uno

especialmente destacado, que es su cabecera.

En la cabecera de un periódico aparecen una

serie de Datos fundamentales, que

proporcionan información sobre la historia del

periódico, su dirección, su precio y su

orientación editorial. Los datos de la cabecera

permiten plantear cuestiones y ejercicios

numéricos interesantes.

4.2. NOTICIAS ESCRITAS

El grueso de información que se transmite por

la Prensa diaria puede catalogarse, según

hemos dicho, en cinco apartados generales:

Noticias, Publicidad, Opinión, Agenda y

Pasatiempos.

Las noticias narran los acontecimientos

cotidianos más destacados, o que son más

interesantes para una sociedad determinada.

Las noticias constituyen uno de los núcleos

fundamentales de la prensa diaria y una de sus

razones principales de existencia. La sociedad

necesita conocer los hechos o acontecimientos

que se han producido recientemente y, cu

algunos casos, su evolución y conclusión. Por

todo ello necesita información sistemática, que

presente los datos más relevantes de los

acontecimientos y que permita un

enjuiciamiento o una valoración de ellos.

Las noticias de la Prensa hacen una selección

de lo más destacable, dentro de lo cotidiano, y

ofrecen a los lectores sus aspectos más

interesantes. Las noticias suelen aparecer

clasificadas en grandes apartados mediante

criterios temáticos, en los que se tiene en

cuenta la mayor o menos proximidad del lugar

en el que se produce la noticia con el área de

difusión prioritaria del periódico y también su

concordancia o adaptación para la promoción

de determinado tipo de valores éticos o

morales.

Con ligeras variaciones de terminología,

resumiendo a veces dos o más epígrafes en

uno solo, las noticias suelen aparecer

agrupadas bajo las siguientes denominaciones:


PRENSA ESCRITA___________________________________________________________________

70

La mayor o menor extensión de la noticia; el

detalle con el que se desarrolla; la coherencia,

claridad y precisión con la que esta

presentada; su acompañamiento por

elementos gráficos que resaltan algunos

aspectos destacables de la información; el

enjuiciamiento y valoración que se desprende

de la exposición de los hechos son, todos ellos,

elementos valiosos que delimitan y configuran

la noticia.

Mediante estos elementos se expresa la

importancia que los redactores del periódico

conceden a la noticia y, por tanto, del interés

que puede presentar para los lectores a los que

va dirigida la información.

Una misma noticia puede recibir tratamientos

muy diferentes, y de hecho los recibe, según la

mayor o menor cercanía física, intelectual o

moral que pueda presentar con sus lectores

potenciales.

Las Noticias no aparecen en todas las páginas

de un periódico, o al menos no en el sentido en

el que venimos empleando el término de

noticias. Hay páginas dedicadas solo a Opinión,

a Publicidad, a Agenda o a Pasatiempos.

Lo más usual es que en una misma página

aparezca, al menos, información de dos de

estas categorías, pero es cierto que las Noticias

se suelen concentrar en determinadas páginas.

Hay periódicos que concentran más sus

noticias, mientras que otros las presentan más

dispersas.

Si dividimos el número de páginas en las que

aparece al menos una noticia por el número de

páginas totales del periódico tenemos el

porcentaje de páginas con noticias, que suele

oscilar entre un 60 y un 75 por 100, en

promedio, para diferentes periódicos.

También los periódicos varían en el número de

noticias que transmiten. En principio, a mayor

numero de paginas mayor número de noticias,

pero el número total de noticias, como

unidades de información diferenciadas no es,

por sí sólo, un dato relevante.

La extensión y el detalle con el que la noticia

se desarrolla el espacio -que se le asigna- es

un dato más revelador sobre el tratamiento

que un periódico hace de la noticia en cuestión.

La medida directa de la extensión de una

noticia viene dada por el número de caracteres

que se emplean en ella. Tabulando las noticias

de un periódico según su extensión, podemos

tener una medida de la finura y la capacidad

de análisis con la que un periódico transmite

las noticias.

Este proceso es complicado y nosotros lo

reemplazamos por tres índices:

En los cuadros que aparecen a continuación

tabulamos los datos obtenidos sobre cinco

periódicos durante una semana con relaciòn a

las noticias, Diario, ABC, 16 AL 22 de

noviembre de 1987.


PRENSA ESCRITA___________________________________________________________________

71

De la comparación de los datos podemos

observar que el porcentaje de paginas con

noticias oscila entre un 50 por 100, que en

números redondos es, lo que corresponde al

diario ABC, hasta un 75 por 100,

aproximadamente el promedio del Diario.


PRENSA ESCRITA___________________________________________________________________

72

Esto no indica nada sobre si hay mayor o

menor numero de noticias, o sobre si éstas

están más o menos desarrolladas. Si indica un

grado de estructuración interna del material

del periódico y una delimitación de las distintas

informaciones que lo componen.

El Ideal y el Ya presentan una regularidad

considerable sobre este porcentaje. Y, por los

datos obtenidos, parece usual ocupar alrededor

de los dos tercios de las páginas de un

periódico con noticias.

Otro dato importante es el índice de noticias

por página. Los valores más bajos los tiene el

diario ABC con un promedio semanal de 2,6

noticias por página, mientras que el diario Ya

tiene un promedio de 3,8 noticias por página.

Un mayor índice indica menor desarrollo de las

noticias, si bien esta relación habría que

matizarla también con el porcentaje de

ocupación de la página por las noticias.

Pero, en principio, si es valido suponer que un

mayor número de noticias por pagina -en

igualdad de circunstancias- supone un menor

desarrollo de las noticias correspondientes.

Los índices de ocupación oscilan entre 2,2

(valor mínimo) y 4,3 (valor máximo); sin

embargo, las frecuencias de las que se

obtienen estos valores medios y que no

aparecen tabuladas, pueden oscilar entre 1 y

.4.

La comparación que hemos realizado de cinco

diarios nacionales durante una semana es un

modelo de actividad que se puede desarrollar

en una clase de estadística o de ciencias

sociales, indistintamente.

Otra actividad consiste en comparar las

diferencias de tratamiento que distintos medios

hacen de una misma noticia.

En lo que sigue presentamos la información

transmitida por cinco diarios: ABC, El

Independiente, El País, El Sol, e Ideal, sobre

una misma noticia: La votación en el

Parlamento de la República Democrática

Alemana para establecer la fecha de su

integración en la República Federal Alemana, el

día 24 de agosto de 1990.

Elaboramos una ficha que abarca todos los

aspectos relevantes (indicadores) de la noticia

y que nos va a permitir comparar las distintas

informaciones.

Noticia: Votación en el Parlamento de la RDA

para establecer la fecha de su integración en la

RFA.

INDICADORES

Datos básicos:

I. Fecha establecida: 3 de octubre de 1990.

2. Resultado votación: 294 a favor, 62 en

contra, 7 abstenciones.

Problema planteado:

3. Determinar fecha adecuada para la

integración política de la RDA en la RFA.

Datos del problema

4. Ruptura de la coalición gobernante en la

RDA el 20 de agosto.

5. 12 de septiembre: Conferencia 2 + 4 en

Moscú sobre negociación para concluir

implicaciones de la derrota de Alemania en la

II Guerra Mundial.

6. I y 2 de octubre: reunión ministros Asuntos

Exteriores de la Conferencia de Seguridad y

Cooperación Económica Europea para tratar la

unificación alemana.

7. 7 de octubre: XLI aniversario de la RDA.

8. 14 de octubre: elecciones para los gobiernos

de los nuevos estados federales surgidos de la

RDA.

9. 2 de diciembre: elecciones en la Alemania

unificada.

10. Artículo 23 de la Constitución de la RFA

autoriza integración automática de nuevos

estados federales que lo soliciten.

11. Partidos en el Parlamento actual de la RDA:


PRENSA ESCRITA___________________________________________________________________

73

Unión Cristiano Democrática (CDU); Partido

Socialdemócrata (SPD), Unión Social Alemana

(DSU); Liberal; Comunistas (PDS).

Opciones:

12. Unificación inmediata (DSU).

13. Unificación 15 de septiembre (SPD).

14. Unificación 14 de octubre (CDU).

15. Oposición a la unificación (PDS).

Solución:

16. Unificación el 3 de octubre de 1990,

presentada por DSU, SPD, CDU y Partido Libre

Democrático.

Otras decisiones adoptadas

17. Aprobación ley electoral para próximas

elecciones en la Alemania Unificada.

Otros dato

1.8. Población: RFA 61 millones habitantes.

RDA 16 millones habitantes.

19. La RDA se constituye en 5 nuevos estados

federales.

20. Otros antecedentes del proceso de

unificación alemana.

Valoración político:

21. Pone en marcha el desenlace formal de la

unificación.

22. Despeja una incógnita social y económica.

23. Establece un marco legal conocido.

24. Abre perspectivas de inversión económica.

25. Supone un éxito del gobierno de la RFA.

26. Lleva consigo la desaparición de la RDA.

Temas pendientes:

27. Concluir tratado de unificación.

Otras cuestiones:

28. Hora de aprobación del acuerdo.

29. Necesidad de adaptar la RDA al nuevo

modelo federal.

30. 144 diputados de la RDA formarían parte

del Bundestag.


PRENSA ESCRITA___________________________________________________________________

74


PRENSA ESCRITA___________________________________________________________________

75


PRENSA ESCRITA___________________________________________________________________

76

La vista de la información que aparece en cada

uno de los diarios y del listado anterior, se

puede elaborar el siguiente cuadro.


PRENSA ESCRITA___________________________________________________________________

77

Aparte están las valoraciones políticas que

acompañan a la noticia, y que se expresan

mediante el uso de diferentes términos como:

anexión, unificación, reunificación,

desaparición, dejara de existir, etc.; también

aparecen consideraciones sobre implicaciones

para el futuro.

La matriz de unidades de información que

componen esta noticia pone de manifiesto que:

a) No hay dos noticias totalmente coincidentes.

b) Las diferentes noticias coinciden sólo en el

dato básico de la fecha.

c) Ninguna noticia cubre totalmente la matriz.

Las conclusiones de este análisis parecen

claras. Toda noticia escrita se puede

descomponer en una serie de unidades de

información, formadas por que datos generales

básicos; una cuestión o cuestiones destacadas;

datos para poder abordar la cuestión; opciones

posibles; desenlace de la cuestión; otras

decisiones y datos complementarios;

valoración del desenlace; cuestión; pendientes

y otras cuestiones relacionadas.

Cada una de esas unidades puede componerse

de uno o varios indicadores de información, y

su desglose constituye la matriz que permite

analizar la noticia y comparar sus diferentes

versiones.

La matriz de análisis de una noticia permite

conocer y controlar todos elementos

constituyentes.

Pasamos ahora a considerar el distinto peso

que tiene el conocimiento matemático en las

diferentes clases de noticias.

En las noticias de economía, en las políticas y

en los deportes suelen, aparecer datos y

relaciones cuantitativas considerables, que

permiten utilizarlas como generadoras de

conocimiento aritmético, estadístico e incluso

algebraico.

También pueden aparecer datos numéricos en

las noticias de Sociedad, procesos y

Espectáculos; pero en estos casos también

conviene analizar las relaciones de carácter

lógico que se establecen entre los distintos

componentes de la noticia, para considerar la

coherencia de la información y utilizarlos como

generadores de conocimiento lógico.

En las noticias de Cultura y Ciencia,

independientemente del tópico específico que

desarrollen, es más usual encontrar cuerpos y

figuras geométricas como elementos

constituyentes de la noticia o bien esquemas,

gráficas y representaciones en las que se

ofrece un modelo de las ideas presentadas en

la información.

Teniendo en cuenta que en este campo no se

pueden establecer leyes, generales, si es cierto

que hay una mayor probabilidad de localizar

determinados contenidos matemáticos en unas

categorías que en otras.

Al comparar la misma noticia en dos o más

periódicos podemos lograr que nuestros

alumnos:

- Obtengan una idea más completa de la

noticia.

- Reconozcan todos los elementos o unidades

de información que constituyen la noticia.

- Establezcan semejanzas y diferencias entre

las distintas versiones.

- Diferencien entre información e interpretación

en una noticia.

- Detecten lagunas e incoherencias en la


PRENSA ESCRITA___________________________________________________________________

78

noticia.

Sólo para alumnos de los grados superiores de

Secundaria puede tener sentido elaborar la

matriz de información de una noticia.

Todas estas consideraciones son válidas,

independientemente del contenido particular

que tenga la noticia y su utilización específica

de conceptos procedimientos matemáticos.

Finalmente, conviene destacar que, salvo para

noticias muy relevantes, es muy difícil

conseguir que cinco periódicos compartan una

misma noticia de manera que se puedan

considerar como versiones diferentes de una

misma información.

Es mucho menos frecuente de lo que se

supone el que una noticia tenga entidad

suficiente como para ocupar un espacio en

varios periódicos, lo cual indica cierto grado de

autonomía y capacidad de selección de la

información por parte de los consejos de

redacción.

4.3. ANUNCIOS

La Publicidad constituye otro de los grandes

bloques informativos que podemos encontrar

en la Prensa diaria. Por Publicidad entendemos

todo tipo de información que se incluye de la

Prensa a petición de alguna de las partes

afectadas y con el fin de hacer llegar esa

información de manera rápida y directa a un

colectivo determinado, o bien a la totalidad de

los lectores. La Publicidad puede generarse por

un particular, una empresa o una institución

pública o privada. Dentro de la publicidad se

encuentran los anuncios, edictos y

convocatorias.

En el caso de los anuncios se oferta o se

demanda un producto. El producto ofertado

puede ser un determinado punto de vista,

sostenido desde una opción política o religiosa,

sobre un suceso concreto; en estos casos, y

para no confundir con una opinión aceptada

por el periódico suele encabezarse con el

epígrafe de publicidad.

Pero lo más usual es que un anuncio tenga

carácter comercial, de oferta o de demanda.

También podemos calificar de anuncios la

comunicación de noticias de carácter

particular, como pueden ser las esquelas.

Los edictos y convocatorias se verán más

adelante, razón por la cual limitamos ahora

nuestra consideración a lo que hemos

denominado anuncios.

Los anuncios aparecen concentrados en

determinadas páginas especialmente dedicadas

a ellos o bien intercalados con otras

informaciones. La distribución de los anuncios

es también un rasgo característico de cada

periódico.

Presentamos la distribución de anuncios en los

cinco diarios ya considerados en el apartado de

noticias, y para el mismo periodo de tiempo.

Hemos distinguido tres niveles:

- Páginas que incluyen sólo anuncios, por lo

general sólo uno.

- Páginas de Anuncios por Palabras.

- Páginas con anuncios, pero con otras

informaciones.

Finalmente, hemos determinado el porcentaje

de páginas afectadas por anuncios respecto del

total de páginas de cada número o edición. Los

resultados son los siguientes:

ABC. 16 al 22 de noviembre de 1987.


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79

Es prácticamente imposible sacar conclusiones

definitivas de estos datos.

Sin embargo, la elaboración de las tablas nos

ha permitido realizar una observación más

minuciosa, que nos lleva a varias

consideraciones.

El fenómeno de la publicidad es complejo y en

él convergen intereses muy diversos. En los

anuncios encontramos desde la página doble

que utiliza cual gran empresa para

promocionar un producto nuevo, para lo cual

los elementos gráficos y el texto que emplea

son muy sencillos y directos, hasta los textos

reducidos de los anuncios por palabras. En

medio cabe toda la gama de combinaciones de

elementos gráficos y texto en diferentes

tamaños formatos.


PRENSA ESCRITA___________________________________________________________________

80

También se observa que la publicidad es un

fenómeno cíclico. No tiene la misma densidad

todos los días, alcanzándose unas crestas y

unos valles según días. Tampoco coinciden los

altos y bajos en todos los periódicos.

Si bien puede verse que el domingo es un día

con más publicidad, destaca el hecho de que

hay más páginas completas, pero el porcentaje

de ocupación de páginas no es muy diferente.

El jueves parece ser, al menos para el período

estudiado, un día también favorecido por la

publicidad.

Para los periódicos de difusión nacional, el

sábado es el día con menor peso de publicidad,

cosa que no ocurre con la prensa local.

Este análisis seria interesante realizarlo para

períodos más largos, ya que no cabe duda que

la publicidad tiene un fuerte componente

económico, y por tanto esta sometido a

diversos ciclos: semanal, estacional y ciclos

económicos más amplios.

Seguramente hay una correlación alta entre el

fenómeno de oferta demanda que se

manifiesta en los anuncios y otros indicadores

económicos.

Los anuncios pueden clasificarse según el

sector de la economía al que corresponden.

Otra observación importante es la poca

variabilidad que tienen algunos periódicos en

su porcentaje de páginas por anuncio.

El diario Ya oscila entre el 40 y el 51 por 100;

esta regularidad también se observa en la

propia distribución de los anuncios en la

composición de las páginas: la maquetación

elegida coloca siempre los anuncios en la mitad

inferior, y no suele haber muchos anuncios por

página. En el diario El País tampoco hay una

gran variación del porcentaje (el valor inferior

para el domingo se debe a que aquí no hemos

contabilizado las Ofertas de Empleo como

Anuncios); en este caso la maquetación es

diferente, y son muy pocas las páginas que no

quedan afectadas por anuncios.

Otros periódicos presentan una variación

mucho mayor en sus porcentajes: ABC entre el

60 y el 80 por 100; Diario 16 entre el 37 y el

57 por 100 e Ideal entre el 58 y el 91 por 100,

para días consecutivos. Con estos datos se

ponen de manifiesto ciertas regularidades y

cierto estilo de componer las páginas de los

periódicos y de distribuir las noticias en ellos.

Las páginas dedicadas a Anuncios por Palabras

también son un buen indicador de la difusión

del periódico, aunque en este caso conviene

considerar los tamaños relativos de cada

página, ya que a mayor tamaño también

mayor número de anuncios. Esta claro que los

diarios nacionales tienen una cantidad superior

de anuncios por palabras que los diarios

locales.

El número total de estos anuncios y los

criterios para su clasificación ofrecen otras

tantas posibilidades para su estudio.

Las matemáticas estudian regularidades, las

cuantifican, e intentan establecer relaciones

entre ellas. Esto es lo que nosotros

pretendemos hacer con esta reflexión sobre los

Anuncios, si bien hay que tener en cuenta que

el campo de trabajo que se puede desarrollar

tiene posibilidad de ser más amplio y profundo.

Las actividades escolares que se pueden

proponer relativas a los Anuncios son muy

variadas:

• Localizar el anuncio de un mismo producto en

varios periódicos y establecer las semejanzas y

diferencias.

• Estudiar la evolución de los anuncios de un

mismo producto en un determinado periódico,

durante un período de tiempo determinado.

• Estudiar las características generales que

pueden tener los anuncios de un tipo

determinado.

• Elaborar un anuncio estándar para un

producto determinado, utilizan de los

elementos gráficos y la cantidad de texto que

se indique.


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81

• Reconocer, de entre varias opciones, cual es

la más adecuada para anunciar un

determinado producto.

• Señalar sesgos, errores o falsas pistas en el

anuncio de un producto.

La elaboración de un anuncio también indica

capacidad de síntesis, para expresar los rasgos

más destacables o más atractivos de forma

escueta y concisa. En este caso la

incorporación de elementos gráficos puede ser

importante, y supone una variante que no se

contemplaba en las noticias.

4.4. FOTOGRAFÍAS

La fotografía es uno de los elementos gráficos

más utilizados en la prensa escrita. Salvo raras

excepciones, la fotografía aparece como

acompañamiento de una noticia o de un

anuncio y le sirve como apoyo o soporte visual.

Hay periódicos que emplean la técnica de dar

algunas noticias en dos fases: en primer lugar,

transmiten una fotografía acompañada de un

pequeño comentario o pie y, en segundo lugar,

hacen un comentario escrito más extenso, y

continuación.

También siguen esta técnica algunos periódicos

para componer las primeras páginas, en las

que se incluyen las noticias más importantes,

acompañadas de una ilustración gráfica.

Otros periódicos, como es el caso de ABC,

tienen una sección grafica en la que se

adelantan la información mediante una o varias

fotografías y un breve comentario, lo cual no

excluye el desarrollo posterior de la misma

Las fotografías de la prensa diaria reproducen

personajes y hechos, principalmente. La

fotografía del personaje: políticos, hombre de

negocios, deportista, artista o delincuente,

suele ser una foto de archivo, y no tiene rasgos

matemáticos destacables, salvo sus

dimensiones y la mayor o menor simetría la

foto.

Las fotografías que reproducen hechos son, en

su mayoría, fotos de agencia que suelen

coincidir en más de un periódico y tratan de

reproducir algún momento destacado del

hecho que se describe, o en su defecto una

foto anterior del mismo hecho o del lugar en el

que ocurre; en estos casos se indica que se

trata de una foto de archivo.

Con estas fotografías no se trata de transmitir

ninguna simetría, ni regularidad, ni sensación

de espacio ni ningún otro tópico o

consideración matemática, sino principalmente

“la emoción” del momento.

Tampoco estas fotografías suelen tener unos

valores, matemáticos considerables. Por otra,

la baja calidad de la reproducción suele hacer

que sea difícil captar muchos detalles en las

fotos de la prensa.

Suelen estar mucho más cuidadas las

fotografías que aparecen en los suplementos

semanales, en las que si es posible visualizar

cuerpos, figuras y relaciones geométricas.

Igualmente ocurre con las fotografías que

acompañan a los anuncios. Lo usual es que

aparezca la reproducción del producto que se

ofrece, o en todo caso algún grupo de personas

disfrutando del producto. De nuevo es en los

suplementos semanales en los que aparecen

composiciones gráficas más elaboradas y que

permiten encontrar patrones y regularidades.

Las fotografías de la ilustración contienen una

serie de elementos geométricos que visualizan

conceptos y relaciones geométricas muy

claras.


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82

Surgen de aquí una serie de actividades

posibles de carácter matemático a desarrollar

mediante las fotografías. En primer lugar caben

consideraciones generales de tipo lógico:

asociar fotografías y noticias; elaborar un pie

adecuado para una fotografía; eliminar

información incorrecta para una fotografía;

ordenar la secuencia que forman varias

fotografías para dar una noticia, etc. Todas

estas actividades son interesantes y sirve para

cultivar la atención y la capacidad de

observación de los alumnos.

Las mismas actividades se pueden considerar

para las fotografías que acompañan a un

anuncio, con la diferencia de que ahora la

libertad de actuación de los alumnos es mucho

mayor, pudiéndose emplear grades dosis de

inventiva para elaborar o diseñar un anuncio

adecuado.

En segundo lugar tenemos la elaboración de un

archivo de fotografías en las que se visualicen

distintos conceptos matemáticos. Debe ser el

Profesor el que disponga de elementos gráficos

suficientes como para motivar a sus alumnos,

pero las actividades las deben realizar ellos

mediante trabajo en equipo. Proponer como

tarea para la semana buscar y recortar todas

las fotografías de prensa -periódicos y revistas-

en las que aparecen objetos con una

determinada forma geométrica (pirámide,

cubo, cilindro, prisma, circulo, cuadrado, etc.),

proporciona gran cantidad de material que

sirve para elaborar un mural, en el que los

datos y relaciones más relevantes del concepto

geométrico en cuestión quedan visualizados

con claridad.

La comparación entre la información

desarrollada por los diferentes murales permite

poner en evidencia las relaciones mal

contempladas o los conceptos deficientes,

proporciona una base para su discusión y

aporta otras informaciones que llevan a


PRENSA ESCRITA___________________________________________________________________

83

consideraciones correctas.

Los resultados más destacables de los murales

elaborados para un determinado concepto

deben quedar expuestos en clase durante un

tiempo, y deben utilizarse como referencia

obligada en cualquier repaso que se realice

sobre el concepto en cuestión. Esta

información puede enriquecerse con nuevas

fotografías que aparezcan con posterioridad y

que supongan una mejora evidente del

material disponible.

En tercer lugar esta la realización de

fotografías por parte de los alumnos. Las

experiencias realizadas hasta el momento

(González, 1989) indican que se trata de una

actividad motivadora y creativa, con alumnos

de 12 años en adelante.

La motivación la proporciona el hecho do

realizar una excursión para visitar una

localidad cercana y conocer el entorno en el

que se enmarca. La actividad consiste en

buscar motivos, tanto en la población como en

su medio, que puedan servir como ejemplos o

modelos de un concepto o una relación

matemática. La capacidad de invención de los

alumnos es sorprendente, pero más

sorprendente es aun ver como se estimula su

capacidad para observar el entorno con visión

matemática y como aumenta su habilidad para

abstraer el aspecto geométrico de una

situación cotidiana.

No se trata en este caso de una actividad que

se pueda realizar con frecuencia ya, que es

necesario que cada alumno disponga de una

pequeña maquina fotográfica e, igualmente,

emplear una jornada completa -o al menos

media jornada- en recorrer una población y

fotografiaría desde todos los ángulos posibles.

Ahora bien, nuestra experiencia en este campo

nos dice que la actividad se prolonga con la

búsqueda de títulos o lemas para cada una de

las fotografías, con la valoración de los lemas

que presentan los compañeros, con la

preparación de una exposición del mejor

material conseguido y, si es posible, con la

valoración y concesión de premios a los

mejores trabajos.

Esta no es una actividad que surja del material

de prensa ya elaborado, pero si es una

actividad que permite contemplar las

fotografías como soporte de una noticia, aun

cuando la noticia en cuestión sean uno o varios

conceptos matemáticos.

Finalmente, queremos destacar que el empleo

de fotografías en la Prensa diaria tampoco es

un fenómeno aleatorio, sino que esta sometido

a unos esquemas y a una estructura, igual que

el resto de los elementos que constituyen el

material diario de la prensa escrita.

Que un periódico es un producto altamente

estructurado es algo casi evidente, pero no

deja de sorprender la cantidad de

regularidades que se obtienen cuando

realizamos su observación sistemática.

Hemos contado el número de fotografías que

aparecen en las Noticias de los cinco diarios

que venimos utilizando como muestra, durante

cada uno de los días de una semana.

Igualmente hemos contado el número de

fotografías que aparecen en los Anuncios. A

continuación hemos dividido el primer dato

entre el número total de noticias

correspondientes, obteniendo así el índice de

noticias con fotografías diario. Luego hemos

dividido el segundo dato entre el número total

de páginas con anuncios y obtenemos el índice

de páginas con anuncios que incluyen

fotografía. En cada uno de los casos se observa

un tipo de regularidad.

ABC, 16 al 22 de noviembre de 1987.


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84

Si el primer índice lo simbolizamos por 11 y al

segundo por 12, la oscilación de cada índice en

cada diario viene dada en esta tabla:

Se observa que, con los datos utilizados, El

País y el diario Ya tienen mayor regularidad en

el uso de fotografías por página con anuncios,

mientras que Ideal y Ya tienen mayor

regularidad en el empleo de fotografías para

las noticias.


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85

Seguramente, un estudio más detallado y

durante un periodo más amplio, llevaría a

inferir regularidades más consistentes.

4.5. CONVOCATORIAS

Constituyen junto con los Anuncios, el grueso

de lo que hemos denominado Publicidad. Sin

embargo, se trata de un tipo de publicidad

diferente, ya que se refiere a la difusión

pública que la Administración, en cualquiera de

sus niveles, debe realizar de sus actuaciones;

incluimos aquí también las convocatorias y

ofertas de empleo que hacen las empresas u

otras entidades privadas.

Se trata de un tipo de información que suele

tener otros cauces y mecanismos de difusión

establecidos, como pueden ser los Boletines

Oficiales, las resoluciones, los tablones de

anuncios y cualquier otro medio para dar a

conocer una decisión, convocatoria o

información de carácter oficial o semioficial.

Toda esta información viene siendo costumbre

comunicarla públicamente, al menos en

aquellos casos en los que el número de

personas afectadas o interesadas por la

información hace aconsejable una mayor

difusión pública de la que consiguen los medios

oficiales de comunicación.

Bajo este titulo están comprendidos los Avisos,

Notas informativas, Concursos de Obras,

Convocatorias, Expedientes de expropiación,

Presentación de Candidaturas, Concursos

públicos para asignación de servicios o

adquisición de bienes, Edictos y muchos otros,

de los que en ilustración se presentan varios

ejemplos.

El interés específico que presentan es el de

ofrecer una primera oportunidad de contacto a

los alumnos con las comunicaciones de

carácter social, en donde es una entidad

administrativa, económica o cualquier tipo de

sociedad que transmite una información de

interés general, y que no responde a intereses

particulares.

Hay un análisis general de estas informaciones

que facilita su comprensión por parte de

alumnos en formación. Una posible ficha para

hacer el estudio de la información que contiene

una convocatoria, es la siguiente:

1. Entidad convocante.

2. Servicio o Área de gestión que hace la

convocatoria.

3. Fecha en que se acordó realizarla.

4. Objeto de la convocatoria-o comunicación.

5. Condiciones para intervenir, solicitar o

participar.

6. Material que hay que presentar.


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86

7. Lugar de presentación de la documentación

pertinente.

8. Calendario hábil de solicitud o reclamación.

9. Otras indicaciones.

No codas las convocatorias necesitan cubrir

todos los apartados, pero hay apartados de

especial relieve que aparecen en todos los

casos.

Una vez hecho el análisis de varias

convocatorias se puede pedir a los alumnos

que redacten una Convocatoria a partir de una

información determinada. También se les

puede pedir que detecten que información

relevante, la que falta en una Convocatoria de

la que se ha eliminado parte del texto.

O cual de entre varias opciones que responder

a un mismo objetivo, se adapta mejor al

esquema de una convocatoria y cubre mejor la

información.

Se puede aprovechar el análisis de estos

elementos informativos para que los alumnos

conozcan cuales son las principales entidades

de su localidad y de su Comunidad Autónoma

que hacen convocatorias, y cuales son los

objetivos usuales de las mismas.

Esto puede servir para conectar con el estudio

de las competencias y funciones que ejercen

cada uno de esos organismos. El contenido y

condiciones de la convocatoria suelen llevar

una serie de datos que se prestan a plantear

cuestiones relevantes y, en su caso, permiten

enunciar y plantear problemas inventados por

los propios alumnos.

Lo más interesante de este tipo de información

esta en la reflexión que permite realizar sobre

el mundo de la Administración. Sus

competencias, los órganos que las ejecutan y

la participación de los ciudadanos en la puesta

en marcha y ejecución de las decisiones

administrativas.

4.6. EDITORIALES

El tercer gran bloque de información que

constituye el contenido de la prensa escrita,

además de las Noticias y la Publicidad, es el

llamado Opinión.

Bajo la categoría de Opinión entran todas

aquellas informaciones cuyo objetivo consiste

en enjuiciar, valorar y emitir una calificación

ética, estética, moral, política, económica o

práctica de unos determinados hechos o

actuaciones.

La Opinión puede provenir del Consejo de

Redacción del periódico, en cuyo caso se suele

presentar como Editorial. Las otras dos formas

usuales son la opinión del especialista o

persona de reconocido prestigio, que se

expresa mediante un Artículo, o la opinión de

cualquier particular que se expresa mediante

una Carta.

Nos ocupamos aquí de los Editoriales, y en los

siguientes apartados trataremos los Artículos y

las Cartas.

El Editorial, o Editoriales, de un periódico es un

elemento estable y permanente del mismo,

que suele ocupar una determinada posición y

tiene un formato y una extensión que lo hacen

fácilmente reconocible en cada periódico. El

Editorial esta sometido a un patrón preciso en

cada diario, que facilita su identificación y sirve

para ejercer una de las funciones más

destacadas de la prensa diaria: contribuir a la

creación de un estado de opinión sobre los

temas relevantes que interesan a una

sociedad, o a un sector destacado de ella.

El editorial, que no tiene firma, expresa la

opinión de todo el equipo que redacta el diario

y de los intereses que representa y defiende.

En cada periódico suele haber una o varias

personas encargadas de preparar y mejorar las

sucesivas redacciones que se realizan de un

mismo editorial, pero hasta que no lo aprueba

el Consejo de Redacción, o el equipo delegado

para esta tarea, no puede darse por finalizado

el proceso. Su contenido suele versar sobre las


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87

noticias de mayor actualidad en coordinación

con los temas prioritarios que constituyen la

línea editorial de cada periódico.

No hay limitaciones en cuanto a las noticias

que pueden formar parte del contenido de un

editorial y, de hecho, se pueden encontrar

editoriales sobre la práctica totalidad de los

temas informativos que aparecen en la prensa.

Pero lo específico en este caso no es dar la

información sino enjuiciarla y orientar al

público sobre las posibles consideraciones y

actuaciones que se pueden realizar y

emprender con relación al objeto de la noticia.

La misión de los editoriales es profundamente

didáctica y educativa, en el sentido más real

del término, y para ello debe utilizar los datos

y relaciones más significativos de entre los que

constituyen una noticia.

La extensión del editorial no es lo importante,

lo que hace un editorial valioso es la

coherencia de sus argumentos, la claridad de

su exposición y la contundencia en el

enjuiciamiento resultante y en el

mantenimiento de unos principios. La amplitud

de visión, el predominio de lo social sobre lo

particular del comportamiento responsable y

de los valores democráticos son algunos de los

elementos que deben predominar en un

editorial. No deben quedar excluidos los puntos

de vista y opciones más particulares pero, en

estos casos, debe explicitarse que se esta

defendiendo una determinada opción entre

otras posibles. La confianza de los lectores se

consigue cuando la defensa de los valores

sociales de carácter general se asume sin

subterfugios ni manipulaciones.

Un periódico puede producir uno, dos o tres

editoriales diarios; dependerá del interés

relativo de las noticias sobre las que conviene

emitir opinión el que haya uno o varios, y que

la extensión relativa de los mismos sea igual o

diferente.

El Editorial o editoriales, ocupa un espacio

permanente que no suele rebasarse. Los datos

relativos a la muestra de periódicos que

venimos utilizando para realizar nuestras

observaciones son los siguientes:

En la misma página de los editoriales suelen

aparecer los datos relativos a Empresa Editora,

Director, Subdirectores, Consejo de Redacción,

Responsables de Secciones, y todos los datos

necesarios para identificar la distribución de

competencias en la elaboración del periódico.

Al igual que con el resto de las noticias,

conviene entrenar a nuestros alumnos a que

analicen editoriales. En este caso los elementos

que conviene tener en cuenta son diferentes.

Desde nuestro punto de vista, el análisis de un

editorial debe abarcar los siguientes puntos:


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88

Son muchas las consideraciones que se pueden

desarrollar a partir de esos puntos. Nuestra

misión aquí consiste en recuperar y potenciar

el punto de vista adecuado para una

orientación matemática.

Una primera reflexión consiste en determinar

toda la información cuantitativa que aparece

en la noticia.

En segundo lugar, interesa considerar silos

datos señalados intervienen dentro de los

aspectos positivos o de los negativos,

destacando por qué esas cantidades vienen

afectadas por una valoración en uno u otro

sentido.

En tercer lugar conviene explicitar al máximo

la línea argumental que sustenta el juicio

crítico, diferenciando entre elementos lógicos y

los aspectos discutibles. Si en la

argumentación intervienen datos numéricos,

hay que asegurarse de que su empleo es

correcto y no se esta haciendo ninguna

manipulación numérica ni tampoco

interpretaciones inadecuadas.

Conviene cuestionarse también si los datos

utilizados son o no pertinentes para el tema en

discusión, si falta o sobra información, cómo

quedarían modificadas las conclusiones con

una pequeña variación de los datos o con un

dato nuevo, y si los datos forman parte

esencial o secundaria de la línea argumental.

Finalmente, en la valoración hay que distinguir

(cuando sea posible) entre una conclusión

derivada lógicamente de los pasos anteriores y

lo que una valoración moral o política, que

depende fuertemente del punto de lista del que

hace el enjuiciamiento. Ayudar al alumno para

que distinga entre elementos de una

argumentación lógica y elementos de una

valoración personal es contribuir a su

formación intelectual y moral.

No todos los editoriales serán adecuados para

todas las edades, ni tampoco los temas

interesan por igual. Un trabajo sistemático con

este material puede comenzarse en

Secundaria. Conviene tener también en cuenta

que, independientemente de la asignatura bajo

la que se realice este trabajo, la tarea que aquí

se propone es eminentemente interdisciplinar y

por ello debe realizarse bajo la coordinación de

varios profesores, entre ellos el de mate-

máticas.

La planificación de esta actividad permitirá a

los profesores comprobar que no sólo

comparten una tarea formar a unos mismos

alumnos sino que los métodos y conceptos de

los que se sirven son complementarios para el

dominio y conocimiento del medio social.

4.7. ARTICULOS

Para crear estado de opinión la Prensa diaria

no emplea solamente editoriales: Además de la

opinión del Consejo de Redacción hay otros

Puntos de vista importantes. También es

conveniente enjuiciar otros aspectos de

nuestro medio social, y no sólo aquellos que se

derivan de la actualidad inmediata.

Para genera un estado de opinión es necesaria

la aportación de diferentes interlocutor que

conozcan los temas que se debaten con

profundidad suficiente, con algún tipo de

especialización y disponiendo de información

destacada.

La presentación de diferentes interpretaciones

de las mismas cuestiones permite

contraponerlas, da lugar a un intercambio de


PRENSA ESCRITA___________________________________________________________________

89

ideas y argumentos, promueve el debate y

obliga a apreciar con mayor nitidez la riqueza

de matices con los que pueden contemplarse

cada uno de los temas que interesan a la

opinión pública.

Para poder realizar esta función la prensa

diaria dispuso de una o varios secciones de

artículos, que pueden recibir distintas

denominaciones, Por lo general, hay una

sección fija y, en ocasiones, hay también

secciones especificas en algunos de los

apartados informativos.

Últimamente se viene estableciendo la

costumbre de dedicar unas páginas especiales,

con carácter monográfico, a un tema específico

un día determinado de la semana; en estas

páginas monotemáticas los artículos constitu-

yen una parte destacada. Los temas

deportivos, económicos, culturales, educativos,

científicos, sociales y de ocio, están entre los

más usuales de esas páginas especiales.

Los artículos de opinión suelen estar

redactados por un especialista, persona de

prestigio o periodista cualificado en la materia.

Además de los artículos de opinión, también

aparecen bajo este título trabajos de divulga-

ción que intentan transmitir al público no

especializado un resumen adecuado de alguna

información científica o técnica, que destaque

algunos aspectos curiosos, nuevos

descubrimientos o aplicaciones nuevas de

conocimientos ya existentes.

Su denominador común es que pueden ser

leídos por el lector no especializado y mediante

ellos se logra transmitir un tipo de información

útil poco difundida. Estos artículos no suelen

estar escritos por profesionales de la

información, sino por especialistas de los

campos correspondientes, si bien es frecuente

en la mayor parte de los temas que haya

periodistas altamente especializados.

Por sus características particulares están a

medio camino entre lo que aquí hemos

denominado noticias y lo que estamos

describiendo como artículos. No suelen ser

frecuentes en la composición general de un

diario, si bien en los suplementos especiales

son un elemento casi obligado.

Se pueden hacer consideraciones didácticas

sobre los artículos muy similares a las que

hemos hecho sobre los editoriales. El análisis

de un artículo puede hacerse siguiendo el

guión preparado para los editoriales, quizás

con la única variante de que los datos

relevantes del artículo pueden necesitar de un

desglose más detallado.

Determinar-la información cuantitativa que se

emplea en el articulo, las relaciones entre los

datos y la valoración que reciben; reconocer la

línea argumental que se desarrolla, si el

empleo de los datos es o no pertinente para los

argumentos, la carencia de datos o información

importante; valorar si las conclusiones se

derivan lógicamente de los argumentos

empleados, o si el peso de las consideraciones

morales o políticas es más importante a la hora

de establecer el enjuiciamiento de los hechos

que se comentan; son todos ellos aspectos

importantes a la hora de analizar un artículo.

Seguramente los artículos sirven mejor para

transmitir información cualificada que como

unidades de información o textos de prensa

escrita, útiles para iniciar a los alumnos en el

análisis y enjuiciamiento critico. Salvo para

temas especialmente significativos, que

conecten bien con alguno de los tópicos que se

estén trabajando en el aula, los artículos sirven

mejor como documentos de trabajo sobre un

asunto determinado que para realizar

reflexiones lógicas o conseguir un contexto en

el que tengan sentido problemas numéricos.

No es usual una información matemática se

convierta en noticia; cuando dispone de un

archivo con noticias como ésta se puede hacer

el planteamiento de la clase de matemáticas

directamente desde noticias de prensa.


PRENSA ESCRITA___________________________________________________________________

90

Finalmente, en un artículo de opinión, como el

de Juan Cueto, se emplea la noción

matemática de simetría y se juega con ella

para hacer una pequeña crítica social; en este

caso la motivación esta servida.

4.8. CARTAS

Junto con los Editoriales y los Artículos, la

sección de Cartas de los lectores completa el

apartado dedicado a Opinión dentro de la

Prensa escrita. Si el Editorial expresa la opinión

del equipo que elabora el periódico y de la

empresa que lo edita, y los Artículos recogen

diversas opiniones de especialistas y personas

de calificación destacada, la sección de Cartas

transmite la opinión del lector, de cualquier

lector.

La sección de cartas se utiliza con varias

funciones. En primer término puede ocurrir que

una persona este afectada directamente por

una noticia publicada en el periódico. A veces,

la noticia les parece incompleta, otras que está

tergiversada la información o malinterpretados

los datos, muchas veces es cuestión de un

matiz o de unas consideraciones incompletas, o

también puede ocurrir que se confirme alguna

conjetura adelantada al completar una

información. En todos estos casos el lector,

que participa de algún modo en la noticia,

ejerce su derecho a mejorar la información

emitida por el periódico. En ocasiones se puede

producir un debate porque distintas partes

afectadas continúen explicando su punto de

vista y desmintiendo el punto do vista

contrario.

La segunda función que se realiza con las

cartas es la de dar cauce a las quejas por el

funcionamiento deficiente de un determinado

servicio, público o privado. Esto ocurre,

independientemente de que el periódico se

haya manifestado previamente sobre la

adecuación y aceptabilidad del servicio

denunciado. De este modo se llama la atención

públicamente sobre una gestión incorrecta, lo

cual permite que todas las partes interesadas

tengan un conocimiento inmediato y

simultáneo del problema, y éste pueda

aclararse y, o procede, poner los medios

necesarios para remediarlo. En algunos casos

estas denuncias ponen sobre aviso a los

redactores del periódico señalándoles un tema

sobre el que conviene realizar un estudio más


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91

detallado y elaborar una información más

completa. Pero aún en el caso en que ese

estudio no se realice, las quejas dan cauce a

un control público sobre los servicios de las

distintas administraciones que es conveniente

y necesario.

Como complemento hay que señalar que no

siempre se producen comentarios negativos

sobre el funcionamiento de los servicios; en

ocasiones el comentario es positivo y da lugar

a una felicitación.

Estas manifestaciones de los usuarios

contribuyen a mejorar la calidad del

funcionamiento administrativo y de servicios.

Un tercer lugar, las cartas suelen expresar

opiniones muy variadas sobre un tema de

actualidad, que no afecta directamente al

redactor de la carta. Estas cartas son las que

realmente dan el pulso de la opinión de los

lectores de un periódico sobre un tema.

Aunque parezca una actividad trivial y sencilla,

redactar una carta para un periódico

exponiendo un punto de vista determinado

sobre un tema de actualidad es una tarea

ardua y compleja.

En estos casos la opinión hay que expresarla

con brevedad, claridad y precisión, aportando

argumentos nuevos e interesantes que

destaquen aquellos rasgos que se quieren

poner de manifiesto, y esto, aunque parezca

sencillo no es fácil de conseguir, cuando no se

esta especialmente entrenado.

Aparte de lo que tiene de compromiso

personal, una opinión más explicada o

defendida se puede convertir en un argumento

a favor de aquello que uno quiere combatir;

por ello es importante que los argumentos

estén bien expresados, los razonamientos sean

coherentes, los datos están bien elegidos y las

conclusiones se deriven con claridad y

contundencia de la información disponible.

La cantidad y calidad de las cartas que los

lectores de un periódico envían sobre un tema

determinado son índices claros del interés y

actualidad que tiene la noticia, y de su peso

real en el área de información correspondiente.

Esto permite orientar a la redacción del

periódico sobre el tipo de información

complementaria que se necesita en cada caso.

Finalmente, hay una cuarta función de las

cartas de los lectores; se trata de aquellos

casos en que un lector está preocupado por un

tema que no es una, noticia de actualidad, y

sobre el que quiere emitir unas opiniones

meditadas. Se trata de una función idéntica a

la de los articulistas ya que introduce en la

prensa diaria temas de interés cultural o social,

o reflexiones políticas de carácter más general

o profundo que las que constituyen las noticias

cotidianas y sus comentarios. Hay cartas que

son realmente artículos escritos por un

particular, que o bien no es una personalidad

reconocida en el campo de opinión sobre el que

escribe, o también puede ocurrir que si lo sea y

quiera dar su opinión como un lector más,

aunque su firma preste un mayor peso a los

argumentos utilizados y las conclusiones

defendidas.

La sección de cartas de los lectores es una

sección muy importante que transmite el pulso

de la actualidad, de las valoraciones y temas

de interés y del grado de consenso o polémica

que se logra con algunos temas.

La actividad didáctica más específica en este

apartado consiste en la preparación y

redacción de una carta con relación a una

noticia determinada. El tema elegido debe ser

un tema de actualidad, sobre el que se

disponga de suficiente información y que haya

generado cierto grado de polémica. También

puede elegirse un tema científico del que se

quiera combatir algún concepto erróneo. Una

vez elegido el tema y asignada la redacción de

la carta a un grupo de cuatro o cinco alumnos,

se debe seguir un plan para la preparación del

material necesario y la redacción del


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92

documento.

El plan de trabajo puede constar de los

siguientes apartados:

1. Elección del tema.

2. Datos relevantes sobre el tema y

descriptores.

3. Opiniones emitidas sobre el tema y

argumentos principales en cada caso.

4. Puntos fuertes y puntos débiles de cada uno

de los argumentos considerados.

5. Disconformidad con el estado de opinión

sobre el tema.

6. Nuevos argumentos y nueva información.

7. Nueva valoración y opinión que se deriva.

8. Conclusiones y redacción de la carta.

Hasta aquí no hay gran diferencia con la

preparación de un trabajo cualquiera en grupo,

salvo lo específico del tema. Pero en este caso

se trata de influir sobre el estado de opinión

que tengan los compañeros de clase sobre el

tema en estudio, por ello hay dos etapas más

que deben llevarse a cabo:

9. Distribución de la carta a todos los

compañeros de la clase.

10. Discusión pública de la opinión transmitida

por la carta.

11. Crítica del material y de las actuaciones.

12. Balance y valoración final.

De este modo se consigue interesar a los

alumnos sobre un tema de actualidad, se les

enseña a buscar información y argumentos que

apoyen un punto de vista determinado y a

exponerlos con claridad y coherencia; final-

mente aprenden a tener en cuenta otras

valoraciones de los mismos hechos y a sopesar

sus argumentos.

Desde el punto de vista específico de las

matemáticas interesan aquellos temas en los

que las valoraciones cuantitativas y los datos

numéricos aportados desempeñen un papel

clave tanto en la clarificación de la información

como en su valoración posterior.

4.9. DIBUJOS

En la clasificación de las unidades de

información en la prensa diaria hemos

considerado tres apartados relativos al

tratamiento o presentación gráfica de la

información, son los que hemos denominado

Fotografía, Dibujo y Graficas.

Por Gráficas entendemos los distintos tipos de

diagramas y técnicas de representación

estadística que se utilizan en la prensa diaria.

Entre las Gráficas y las Fotografías es donde

situamos la categoría que denominamos

Dibujo.

Por dibujo entendemos toda representación de

una información mediante métodos gráficos,

excluidos los diagramas, empleados para

representar relaciones numéricas, y las

técnicas fotografías.

El dibujo tiene por misión dar la representación

de un objeto, persona o situación, de manera

que sea fácilmente reconocible; la gráfica tiene

un carácter más abstracto y su función no es

visualizar sino representar relaciones.

El empleo del dibujo en la prensa presenta una

gran variedad de matices y se utiliza para

muchas funciones diferentes.

Mientras que el uso de la fotografía esta

centrado en las Noticias y la publicidad, es más

raro su uso en Opinión y muy poco frecuente

en Agenda y Pasatiempos, sin embargo los

dibujos se emplean indistintamente en las

''cinco categorías de información.

El chiste y la caricatura constituyen un

elemento de opinión importante en, la prensa,

y tanto el uno como la otra entran dentro de la

categoría de dibujo. Igualmente, los esquemas

y mapas son dibujos que transmiten una

información del tipo que denominamos agenda.

Podemos distinguir diferentes tipos de dibujos


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en la prensa diaria.

En primer lugar están los Retratos, que

reproducen a una persona y reemplazan la

fotografía del personaje; en aquellos medios

que utilizan sistemáticamente el retrato

pueden introducirse matices en la imagen del

personaje presentando una imagen más

bondadosa, agresiva, dura, hierática, o

cualquier otro rasgo que se quiera destacar.

En el otro extremo está la caricatura del

personaje, que pone de relieve algún rasgo

cómico o critico.

En segundo lugar podemos considerar las

Reproducciones de un objeto o situación, que

también son una alternativa de la fotografía. El

dibujo permite hacer cierta interpretación de la

realidad que reproduce destacando algunos

rasgos o elementos del objeto o situación, o

bien añadiendo elementos gráficos que no

corresponden a ninguna realidad visual pero

que sirven para enfatizar o destacar algún

aspecto de aquello que se reproduce.

Muchas veces la Reproducción mejora la

fotografía, ya que transmite la misma

información pero incluye elementos destacados

que reflejan la opinión que se quiere dar en la

noticia o en el anuncio. Los dibujos pueden

favorecer la imagen de aquello que se quiere

promover, o empeorar la de aquello que se

quiere perjudicar.

A veces la Reproducción es el complemento de

una información escrita, mientras que en otras

es una simple ilustración, que mejora el diseño

de la información pero no modifica, ni siquiera

matiza, su contenido.

En tercer lugar encontramos los Comics. Los

Comics incluyen los Chistes, historietas

infantiles, tiras cómicas e incluso narraciones

para adultos cuyo soporte fundamental es el

dibujo. En la prensa diaria no suelen ocupar

mucho espacio, pero suelen constituir

secciones fijas.

Las dos funciones principales que realizan son

las de entretener y hacer una critica

desenfadada de alguna costumbre social o

noticia de actualidad.

Los apartados de Comics constituyen parte

popular y conocida de cada diario, y sus


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94

autores son auténticos profesionales del

periodismo, capaces de encerrar una

información, con sus elementos fundamentales

y un enjuiciamiento global de la misma, en

unos cuantos dibujos y palabras.

En cuarto término están los dibujos meramente

ilustrativos, de carácter más o menos artístico,

que acompañan y embellecen alguna unidad de

información, pero que no aportan ningún dato

complementario ni suponen una matización o

valoración de ella.

El que no tengan interés informativo no quiere

decir que estos dibujos no cumplan funciones

convenientes en un diseño adecuado del

periódico.

Aunque todos los dibujos, necesariamente,

esquematizan, simplifican e interpretan aquella

realidad que quieren reproducir, no cabe duda

que los tipos de dibujos considerados hasta

ahora incluyen ciertas dosis de realismo y en

ellos se intenta que siempre puedan

reconocerse las personas u objetos que se

reproducen.

Sin embargo hay una segunda clase de dibujos

en lo que no se intenta producir un objeto sino

representar un territorio a grandes rasgos y,

sobre todo, destacar algunas relaciones

importantes entre los elementos considerad-

ores en una reproducción.

Nos encontramos así con los Esquemas,

Planos, Mapas y Diagramas, en los que los

elementos gráficos y de representación

continúan teniendo un papel muy importante,

pero sirven a una función distinta que en los

casos interiores.

Con un Esquema se proporciona una imagen

visual de las sucesivas fases de un fenómeno

natural, mecánico o social. En un esquema

deben estar claros sus diferentes

componentes, las relaciones que se establecen

entre ellos en alguna secuencia de acción.

Con el esquema se quiere informar de las

causas que llevan a modificar las relaciones

mutuas de una situación y a seguir un

desarrollo o evolución.

Los esquemas nos permiten conocer dónde hay

que actuar para acelerar, o retrasar o alterar

un proceso. Un buen esquema supone una

capacidad de abstracción considerable y un

conocimiento profundo del fenómeno que se

describe. Los esquemas son un instrumento

didáctico de primer orden y ofrecen un

complemento adecuado para la comprensión y

dominio de una información.

Los planos son la representación gráfica de un

territorio en el que destacan el tamaño y la

posición relativa de una serie de elementos

importantes para el que recibe la información,

así como su ubicación en un contexto más

amplio y su orientación, si procede.

En la prensa aparecen con frecuencia los

planos de viviendas en los anuncios, planos de

edificios cuando se da una información

arquitectónica, planos de un sector de una

ciudad, de un barrio e incluso de la ciudad

completa.

En cada caso el detalle de la reproducción y la

extensión de territorio real representado

responden a las necesidades informativas de la

noticia que se transmite.

Un plano nunca aparece aislado de su contexto

informativo y sirve para visualizar las

relaciones mutuas entre los elementos

destacables del territorio que describe la

información, así como la posición concreta de

los elementos relevantes.

El plano esta relacionado con el urbanismo y la

arquitectura, y su empleo en la prensa

responde a necesidades informativas dentro de

esta escala; en ocasiones los planos

reproducen un objeto en perspectiva o varias

perspectivas de un mismo objeto.

Un mapa también es la representación gráfica

de un territorio, en el que los elementos que se

destacan son los del relieve terrestre, tales

como ríos, costas, montañas, islas, etc., o bien


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95

los núcleos de población, sus divisiones

administrativas y las principales vías de

comunicación.

Los mapas se relacionan con la geografía y las

divisiones políticas. Su aparición en la prensa

es muy frecuente para transmitir información

climatológica, estratégica, política, económica

o cientifica.

Los mapas pueden ser locales, nacionales,

regionales, continentales o mundiales, si bien

la graduación entre unos y otros puede ser

todo lo amplia que se quiera.

A veces se combinan dos o más mapas de un

mismo territorio con lo que se mejora la

visualización de una región y, al mismo

tiempo, contextualizan la situación descrita.

Tanto los planos como los mapas son

instrumentos potentes que sirven para

posicionar una noticia a escala geográfica o

urbana, para entender gran parte de los

condicionantes del suceso que se relata o de la

información que se transmite, y para localizarlo

en el caso de que se quiera observar directa-

mente o actuar en relación con él.

Además de los diagramas de tipo cartesiano,

que vamos a considerar a continuación, en la

prensa se utilizan otro tipo de diagramas

distintos de los que representan relaciones

numéricas. Nos referimos a los diagramas que

dan una visión gráfica de los elementos

destacados de una noticia o una información y

de las relaciones que se consideran entre ellos.

Con un diagrama no se intenta reproducir

ningún objeto, ni fenómeno, ni territorio, sino

destacar cuáles son las conexiones que nos

interesan entre ellos. En estos casos podemos

decir que un diagrama as la expresión gráfica

resumida de una noticia.

Los diagramas tienen una importancia

creciente en la representación de conceptos,

dando lugar a muy diversas técnicas de

representación tales como los diagramas de

flujo, los ordinogramas, grafos de distintos

tipos y los planos conceptuales (Novak).

Puesto que los conceptos hemos dicho que son

unidades de información fuertemente

interconectadas, una forma de visualizar un

concepto consiste en representar sus

elementos relevantes mediante un dibujo, un

símbolo o una palabra, y señalar las relaciones

entre los elementos mediante líneas.

Esto es lo que hace esencialmente un

diagrama: levantar el plano conceptual más o

menos parcial de lo más destacable de una

información. Si además hay qua indicar un

orden, una prioridad o una secuencia de

acción, esto suele conseguirse distribuyendo

los elementos de arriba hacia abajo o de

izquierda a derecha, a indicando con flechas el

orden de relación.

Los elementos gráficos pueden aparecer

combinados, y para ello se emplean diversas

técnicas de combinación. Las dos más usuales

son las viñetas y la composición.

Una viñeta es un dibujo que forma parte de

una secuencia y transmite sólo una parte de

una información. La información completa la

constituyen varias viñetas conjuntamente.

La secuencia de las viñetas es la misma que la

de la escritura: de izquierda a derecha y de

arriba a abajo; cuando se quiere seguir una


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96

secuencia distinta hay que destacarlo con

elementos gráficos complementarios. Muchas

veces sobre todo en los Comics la información

no concluye con las viñetas de un día, sino que

la historia continúa a lo largo de un período de

tiempo más amplio.

La composición combina distintos elementos

gráficos, y a diferentes escalas, para dar una

visión más completa de una noticia.

Así, en la siguiente ilustración se observa el

dibujo de una autopista (con su mapa

correspondiente anidado) y el esquema:

secuencial explicativo de un aparatoso y

cruento accidente, todo ello coordinando

distintos aspectos de una misma información.

Hacer una buena composición gráfica para una

noticia indica un nivel técnico, de dominio de la

información que se está transmitiendo, y un

nivel

En muchas ocasiones un dato determinado, por

ejemplo la temperatura media, varia de un

lugar a otro y, a su vez, varia a lo largo del

tiempo en nuestro ejemplo diariamente. Si

consideramos un conjunto de datos ordenados

con algún criterio se tiene un listado, que

informa de una situación. Una tabla consiste en

un esquema que organiza listados de datos

obtenidos sobre criterios o características

diferentes para una misma situación de refe-

rencia.

El País, 31-VIII-90

Así, en la ilustración aparece una tabla

formada por cuatro listados de datos

diferentes, que responden a distintos criterios,

y que en conjunto informan sobre la

implantación de las televisiones privadas en

una serie de ciudades.

Cuando los datos de la tabla relacionan

sucesos con el momento en el que van a

ocurrir tenemos los horarios y calendarios.

Los horarios están referidos a sucesos que

ocurren durante un día y los ejemplos más

conocidos son los horarios de puesta y salida,

del sol, de programas de TV, de llegadas y

salidas de transportes públicos y, en general

de las actividades de cualquier servicio social

relevante en la localidad o localidades de venta

del periódico. Si un diario nacional, o regional,

tiene diversas ediciones regionales, o locales,

los horarios constituyen un dato relevante que

se a apta a la localidad o región y que, por

tanto, varían de un sitio a otro.

Los calendarios relacionan las fechas en las

que van a ir sucediéndose o han sucedido una


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serie de acontecimientos, organizados según

un orden previo o posterior. Los calendarios de

competiciones deportivas, o de los pasos

sucesivos que desarrollan un acuerdo político,

están entre los ejemplos usuales.

Tanto los horarios como los calendarios nos

proporcionan información sobre el desarrollo

temporal de un determinado suceso o

actividad, permitiendo conocer cada una de sus

componentes o etapas, y el momento de

comienzo y, aproximadamente, su duración.

Relacionados también con el tiempo están los

aniversarios o efemérides, que es una sección

en la que se recuerdan sucesos importantes,

ocurridos en el día de la fecha a lo largo de la

historia.

Dentro de este mismo orden de ideas, en los

datos de sociedad suelen incluirse los

aniversarios de nacimiento y muerte de

personalidades relevantes y otras efemérides

importantes.

Los listados de ciudades y de las temperaturas

destacables en ellas a lo largo de un día (a

veces de períodos más amplios) constituyen

una información permanente en la prensa

presentada mediante una tabla. Es costumbre

concluir los datos sobre temperaturas máxima

y mínima de cada localidad, junto con alguna

indicación sobre la situación atmosférica

predominante.

Últimamente se está estableciendo la

costumbre de informar sobre el estado general

de la mar y sobre las mareas.


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El listado de teléfonos útiles que incluye los

servicios de policía, bomberos, urgencias

médicas, hospitales, oficinas de información,

transportes y algunos otros servicios públicos

importantes constituyen un tipo de tabla que

tiene un interés local informativo destacado.

También suelen aparecer en cada uno de los

diarios diferentes índices de materias, tratadas

en general o en una sección determinada, que

permiten localizar rápidamente una

información. Estos índices dan una visión de

las secciones contempladas y de cómo está

organizada la información en un determinado

periódico. Los anuncios por palabras llevan

también una clasificación exhaustiva de tópicos

que permiten localizar rápidamente aquello,

que nos interesa.

Los resultados de las competiciones deportivas

y de los juegos de azar más populares

constituyen igualmente parte de la información

que se organiza y transmite mediante tablas.

En el caso de la información deportiva el grado

de sofisticación para permitir el máximo de

comparaciones relativas entre los resultados

actuales, o bien de estos con resultados

anteriores, puede alcanzar una complejidad

considerable, y hay algunas tablas que

permiten acumular nuevas informaciones sobre

la base de los datos disponibles.


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100

Conviene recordar que los resultados de las

competiciones no se limitan a los de los

partidos de fútbol, sino que abarcan a muchos

otros deportes, pero quizás la riqueza de

relaciones y el nivel de análisis que se realiza

sobre los resultados de fútbol hacen que estas

tablas de resultados destaquen por encima de

las demás, al menos en la prensa de nuestro

país.

La sección de Bolsa constituye una sección fija

en los periódicos, dentro de la información

económica, y hace un empleo sistemático y

casi exclusivo de tablas con datos numéricos y

porcentajes. A su vez, dentro de esta sección,

hay una serie de subsecciones, cada una de las

cuales suele llevar más de una tabla. Entre los

apartados usuales en la información de Bolsa

se encuentran los siguientes:

En cada caso aparece la información

económica relevante y los índices

correspondientes que permiten conocer las

variaciones experimentadas y las tendencias

de esa variación.

De la información de Bolsa suele destacarse el

Índice General de variación, que proporciona el

pulso general de la jornada.

Renta fija. -Valor del ECU.

Renta variable. -Cambio del dólar.

Mercado continuo. - Paridad de la peseta.

Fondos de

inversión.

Futuros

financieros.

- Billetes de banco.

- Interbancario.

Monedas de oro. - Ampliaciones de

capital.

Eurobonos. - Bolsas extranjeras.

Seguro de cambio. - Materias primas.

Divisas. - Metales.


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La interpretación de cada una de estas tablas

supone unos conocimientos económicos y

aritméticos considerables, razón por la cual no

se pueden utilizar indistintamente, ni con

cualquier nivel de preparación.

En el currículo actual para la Enseñanza

Obligatoria la posibilidad de utilizar las tablas

económicas corresponde a los niveles de

Secundaria. El trabajo con la mayor parte de

ellas debe estar orientado para adquirir una

formación económica básica, que prepare a los

alumnos como consumidores y permita que

utilicen una serie de cálculos aritméticos para

obtener nuevos datos e interpretar el

significado económico de los existentes.

Con las tablas de la sección de Bolsa se

estudian exhaustivamente las relaciones entre

las principales magnitudes que caracterizan la

situación económica y financiera y su variación

en períodos cortos.

Es muy interesante comparar las secciones de

Bolsa de diferentes periódicos y ver que

epígrafes generales comparten, cuáles son las

tablas en las que coincide la información y

cuáles no. Cuando la información no es

coincidente conviene observar en que

consisten las diferencias, ya que pueden

presentarse variaciones por la mayor o menor

extensión en las listas de datos, por la

aparición de diferentes listas, o por listas que

establezcan nuevas relaciones entre datos

anteriores.

La Bolsa no es la única información que

aparece en la sección de Economía, aunque si

constituye un elemento fijo dentro de ella.

Cualquier información económica suele ir

acompañada de tablas en las que aparecen las

diferentes magnitudes que se consideran, las

distintas situaciones bajo las que se valora

cada magnitud y los valores correspondientes.

Sin pretender ser exhaustivos señalamos que

es usual encontrar tablas en las informaciones

relativas a:


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102

En realidad las diferentes magnitudes

económicas que interesa considerar pare

describir una situación y hacer comparaciones

entre diferentes dependencias administrativas

y localidades, o las mismas dependencias y

localidades en momentos diferentes, dan lugar

a una serie de cantidades y porcentajes cuya

representación mediante una tabla facilita su

comprensión, permite hacer comparaciones y

derivar nuevas relaciones e interpretaciones de

los datos disponibles.

Aunque el predominio de las tablas en la

información de Economía es obvio, su empleo

no queda reducido a esta sección informativo.

Los Resultados Electorales y las Encuestas de

Opinión son dos tipos de noticias que hacen un

uso obligado de tablas para informar de los

resultados de una consulta, expresar

variaciones en los resultados y proporcionar un

método rápido de hacer comparaciones entre

los resultados y sus diferencias.

La utilidad de la elaboración y aplicación de

encuestas, con la obtención de resultados y su

tratamiento para la iniciación escolar a la

Estadística, es suficientemente conocida como

para que no necesite de más comentarios.

Los resultados de unas elecciones permiten

emplear nociones y conceptos matemáticos

dentro del Área Social, y sirven para explicitar

cuál es la formulación matemática de cada uno

de los sistemas electorales más difundidos.

Suele ser un ejercicio interesante comparar los

resultados diferentes que pueden obtenerse

según el sistema electoral considerado y para

unos mismos datos de votación. El trabajo

“Fórmulas electorales basadas en sucesiones

de divisores”, (Ramírez, 1989), presenta un

desarrollo, detallado de estas ideas y plantea

cuestiones interesantes, en la que se conjuga

el uso y aplicación de las matemáticas con las

implicaciones sociales de esta utilización.

De nuevo la sistematización y claridad que

ofrecen las tablas para apreciar los datos y

relaciones destacables de una situación se

ponen aquel de manifiesto.

Tanto las Encuestas como los resultados de

unas Elecciones no son más que ocasiones

especialmente importantes en las que se ponen

de manifiesto las costumbres y preferencias

sociales, y esto se realiza presentando varias

opciones a una misma población para que haga

la elección de una de ellas.

La cuantificación de la elección para cada una

de esas opciones permite obtener unos

porcentajes de aceptación y a partir de ahí, y

de acuerdo con una reglamentación previa,

derivar unas consecuencias que pueden ser

normativas o simplemente descriptivas.

Otras veces los datos no se obtienen por

expresión de una elección entre varias

opciones sino contabilizando los sucesos

producidos en un determinado ámbito y

respecto de unos criterios previamente

establecidos. De esta forma diversos

organismos administrativos elaboran

estadísticas que organizan en forma de tablas.

Ejemplos relevantes son los relativos a

Enfermedades y Epidemias, Delincuencia,

prestación de Servicios Públicos, cambios en

los hábitos y costumbres sociales, en los

sistemas de producción, transporte o

comunicación, evolución de poblaciones y

muchos otros parámetros importantes para

conocer el desarrollo de una sociedad en una

variedad de aspectos relevantes.


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103

El uso de tablas para transmitir información es

prácticamente ilimitado.

Las tablas son un recurso para proporcionar de

forma resumida los datos más destacables de

un suceso, convirtiéndolo de este modo en

información. La tabla ofrece una técnica

sencilla para organizar una ficha con lo más

significativo de un acontecimiento, de un

proceso o un resultado; por ello las tablas no

se limitan a información económica, ni siquiera

a información cuantitativa, sino que su empleo

puede llevarse a cabo con cualquier unidad de

información en la Prensa escrita.


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104

Como caso extremo tenemos el use de una

tabla para hacer un poco de Numerología en la

sección de Pasatiempos.

La comprensión e interpretación de tablas

encuentra en el material de Prensa un campo

muy amplio, con ejemplos que abarcan la

práctica totalidad de usos y aplicaciones de las

tablas como sistema de organización de

información y técnica para expresar relaciones

entre datos. La mayor o menor belleza y

habilidad técnica en el diseño y presentación

puede resultar, en ocasiones, un elemento útil

para la comprensión de los datos que se

presentan mediante una tabla.

Por otra parte, cualquiera de las Noticias de

Prensa, como vimos en su momento, se puede

adaptar y dar lugar a una tabla con la

información más relevante. Aprender a

construir una tabla que organice los datos más

significativos de un determinado núcleo

informativo es una de las actividades más

productivas que puede aprenderse a partir del

material de Prensa.

Como complemento de las tablas aparecen las

Gráficas, que sirven para expresar relaciones

entre dos variables mediante la disposición en

un cuadrante. Las gráficas más usuales son

aquellas en las que se relaciona la variable


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105

tiempo con otra magnitud distinta: Índice de la

bolsa, IPC, precio de un producto determinado,

etc.

Aunque los valores que toma la variable son

discretos la representación se hace continua,

razón por la cual la gráfica tiene un trazado

poligonal, que técnicamente se denomina

polígono de frecuencias.

En multitud de ocasiones se representan sobre

un mismo cuadrante dos o más gráficos que

permiten comparar la evolución de las distintas

magnitudes.

Con este tipo de gráficas se visualiza

claramente la evolución de una magnitud

determinada en un período de tiempo

establecido. Esa evolución viene caracterizada

por unos aumentos y unas disminuciones, que

suceden en espacios de tiempo concretos,

teniendo en cuenta además que los cambios se

pueden producir con mayor o menor rapidez.

Los aumentos y disminuciones son fácilmente

reconocibles en los tramos crecientes y

decrecientes de las gráficas, junto con los

máximos y mínimos de la representación,

mientras que la velocidad del cambio viene

dada por el gradiente en cada uno de los

tramos de la representación.

Las gráficas suponen un modelo para

representar la relación entre dos variables con

carácter general, una de cuyas aplicaciones

prácticas más frecuentes se presenta al

estudiar una variable a lo largo del tiempo. Es

precisamente el hecho de que una de las

magnitudes consideradas sea el tiempo lo que

lleva a una representación continua.

Un segundo tipo de gráficas usuales en la

Prensa son los diagramas de barras en los que


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106

suelen representarse la frecuencias, u otros

valores cuantitativos de una variable discreta,

que no tiene por que depender del tiempo.

Sobre cada uno de los valores de la variable se

levanta un rectángulo de altura proporcional a

su frecuencia, o al valor numérico

correspondiente. La variación de unos valores

a otros se puede enfatizar o disminuir tomando

la unidad, con la que se expresan las

frecuencias, mayor o menor; esto es lo que

hace que una misma información pueda

presentar unos rasgos más o menos acusados,

según convenga o no destacar las diferencias

entre los distintos valores de la variable.

Otras veces las barras se representan

horizontalmente, por necesidades de

composición o para destacar algún dato de la

variable.

Los diagramas de barras y los histogramas son

técnicas de representación gráfica procedentes

de la Estadística, cuyo origen está en la

necesidad de visualizar fácilmente las

frecuencias absolutas o relativas de una

variable discreta cualesquiera. Los ejemplos

que aparecen en la Prensa recorren la misma

gama de situaciones que ya hemos comentado

para el caso de las tablas.

Resulta un ejercicio muy práctico pedir a los

alumnos de los primeros cursos de Secundaria

que recorten las gráficas que encuentren en el

periódico de casa durante una semana. La

cantidad de material que se obtiene por este

procedimiento es muy considerable, y suele

abarcar la mayor parte de los diagramas de

barras, polígonos de frecuencias y otros

sistemas de representación. Una primera

actividad consiste en clasificar las gráficas

obtenidas y distinguir entre los distintos tipos

que aparecen, estableciendo criterios que

permitan diferenciar unos de otros; más

adelante se podrán determinar las variaciones

posibles dentro de una misma clase, e incluso

las alternativas más utilizadas para expresar

una relación particular.

Los Pictogramas, Diagramas de Sectores y

Cartogramas son otras tantas normas de

representar las frecuencias u otros índices

numéricos de una variable cualitativa.

Los Pictogramas son una variante de los

diagramas de barras, en los que cada valor

numérico no queda visualizado por un

rectángulo de altura proporcional al número

que representa sino por una figura o dibujo

que esquematiza la variable considerada.

En los pictogramas que expresan datos sobre


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107

poblaciones suele ser el dibujo esquematizado

de un hombre o una mujer el que representa la

frecuencia; cuando se trata de un determinado

producto se emplea un logotipo reconocible del

mismo; en el caso de la ilustración los

rectángulos se convierten en chimeneas

contaminantes, y así sucesivamente.

Los alumnos pueden inventar pictogramas

adecuados para expresar informaciones que

vengan dadas mediante diagramas de barras y

comparar los resultados obtenidos por cada

uno do ellos a partir de una misma información

de partida.

Recíprocamente, pueden expresar en

diagramas de barras representaciones que

aparezcan mediante pictogramas. Aunque

parezcan muy similares hay algunas

diferencias. Las frecuencias influyen solamente

en las alturas de los rectángulos de los

diagramas de barras, es decir, afectan a una

sola dimensión. Sin embargo, con relación a

los pictogramas las frecuencias influyen sobre

dos dimensiones, ya que se mantiene la forma

del dibujo con el que se representan las

frecuencias variando su tamaño; muchas veces

no está claro si la frecuencia corresponde a la

altura, a la anchura o a la superficie del dibujo,

pudiendo prestarse a equívocos, ya que la

representación será distinta según se tenga en

cuenta una u otra opción.

Los Diagramas de Sectores son un método

muy empleado en la representación de los

porcentajes relativos de los diferentes valores

de una variable discreta.

La forma usual consiste en dividir un círculo en

sectores proporcionales a los diferentes

porcentajes considerados, coloreando cada uno

de ellos de un modo distinto. Es un sistema

muy empleado con algunas variables geográfi-

cas, políticas, demográficas o económicas. En

este caso el valor numérico de cada variable es

proporcional con un ángulo, siendo el valor

total el del ángulo completo.

Una variante es la que se emplea para dar los

resultados de unas elecciones políticas, en los

que el círculo queda reemplazado por una

semicorona circular, que representa la

disposición física de los escaños en la cámara

correspondiente.


PRENSA ESCRITA___________________________________________________________________

108

Un cartograma combina un mapa o piano y

tramas diferentes, que indican frecuencias

distintas de una variable determinada, que

depende o tiene en cuenta las diferentes partes

o secciones del plano o mapa en cuestión.

Los cartogramas no son un recurso muy

frecuente en la información de prensa, pero si

tienen importancia y, en algunos casos,

ofrecen una imagen visual muy clara de la

distribución territorial de un determinado

producto o de la densidad de una población.

Todos estos sistemas de representación

implican el dominio de determinados

convenios, el empleo de diversas técnicas y la

elección de unos códigos para expresar las

variables en juego. Por eso mismo las

actividades didácticas dirigidas al

conocimiento, interpretación y utilización de los

distintos modelos gráficos deben estar bien

diseñadas y convenientemente escalonadas

como para que el dominio por parte de los

alumnos quede garantizado.

Las representaciones gráficas son un medio

frecuente de presentar información de carácter

general, por ello mismo es importante que el

ciudadano medio disponga de los

conocimientos generales que garantizan una

interpretación correcta de estos recursos.

Los cuadros de doble entrada son, igualmente,

una forma usual de organizar información

relativa a dos variables discretas; en este

sentido son una variante más de las tablas.

Cuando una relación entre dos variables se

hace compleja, la tabla simplifica su expresión

y permite localizar los datos con rapidez y

precisión.

En la sección de Pasatiempos el uso de tablas

es muy frecuente para presentar gran parte de

los juegos que allí aparecen.


PRENSA ESCRITA___________________________________________________________________

109


PRENSA ESCRITA___________________________________________________________________

110

Las diferentes versiones emplean un sistema

de coordenadas, en el que algunos cuadros no

se utilizan. La letra que corresponde a cada

casilla queda controlada por la coincidencia

entre su valor en la palabra horizontal (absci-

sas) y la palabra vertical (ordenadas).

También los juegos de ajedrez emplean un

sistema de coordenadas para indicar la

posición y el movimiento de cada una de las

piezas.

Hay muchas otras variantes de juegos que

utilizan como marco de presentación un

diagrama cartesiano de cuadriculas, bien

añadiendo datos o bien realizando movimientos

a partir de los datos disponibles. La ubicación

de los nuevos datos o la posición que deben

ocupar después del movimiento se expresa

mediante cualquier variante que permita

emplear un sistema de coordenadas.

Existen versiones infantiles de estos tipos de

juegos, menos complicadas y que proporcionan

una rápida familiarización con su empleo, como

ocurre con el conocido juego de “hundir la

flota” o “los barcos”.

Todas estas variantes de juegos suponen una

primera aproximación al diagrama cartesiano,

permiten realizar actividades de identificación

de elementos o de posiciones a partir de las

coordenadas correspondientes.

De todos modos conviene tener en cuenta que

estos juegos no están pensados para aprender

a trabajar con las relaciones entre conjuntos y

sus propiedades sino que, simplemente,

utilizan los mismos convenios básicos.

Tanto las tablas como las gráficas y cuadros de

doble entrada son métodos empleados

sistemáticamente en matemáticas y que, por

tanto, llevan implícitos conceptos y

procedimientos que las matemáticas han

desarrollado exhaustivamente. En el caso de

las gráficas es donde esto se aprecia con

mayor nitidez, ya que todos los medios de

representación utilizados proceden de la

Estadística, que los ha estudiado y

sistematizado.

Aunque estos métodos tengan una

fundamentación matemática precisa conviene

tener en cuenta que esto no se hace explícito

cuando se emplean en la Prensa. La utilización

en Prensa de tablas, gráficas y cuadros es,

usualmente, un recurso para identificar con

claridad los elementos claves de una

información, organizarla y transmitirla de la

forma más rápida y precisa posible.

Estos métodos no son un fin en la Prensa

escrita, sino sólo un medio, pero no cabe duda

de que se trata de medios muy potentes y que

tienen un empleo sistemático en el tratamiento

de la información.

Quizás se trate de los conocimientos conceptos

y procedimientos matemáticos más explícitos

que tienen un uso permanente en la Prensa.

Por ello mismo ofrecen una posibilidad

indudable de iniciar y organizar el trabajo en

matemáticas a partir de los contenidos de

prensa.

4.1 1. SIGNOS, SEÑALES, SIMBOLOS

Para muchos autores los signos son objetos

reales, configuraciones gráficas o expresiones

verbales, por medio de los cuales se quiere

evocar, visualizar o representar alguna idea o

concepto.

La noción de signo es fundamental dentro del

ámbito de la comunicación, pero la variedad de

contextos en los que aparece hace difícil su

manejo y permite que se preste a cierta

ambigüedad, Muchos de los comentarios que

hemos hecho en las secciones anteriores se

refieren a distintos tipos de signos que

aparecen en la prensa.

En términos generales, son tres los elementos

que estructuran la noción de signo:


PRENSA ESCRITA___________________________________________________________________

111

a) Una base sensible, que da cuerpo al signo.

b) Una conexión con otra entidad, que es

aquella a la que se supone da expresión el

signo.

c) El reconocimiento por parte de uno o varios

sujetos de la conexión.

La estructura anterior se resume, según

Saussure, en:

Signo = significante + significado,

en donde el objeto o la imagen acústica o

gráfica es el significante, el concepto que se

expresa es el significado, y el signo es la

conjunción de ambos.

La noción de signo se ha entendido a lo largo

de la historia del pensamiento en varios

sentidos. Podía tratarse de un signo que,

simplemente, representase a la cosa

designada; podía tratarse también de un signo

que condujera al conocimiento por medio de

una similitud; pero también un signo puede

conducir al conocimiento de otra cosa

mediante un tipo de conexión distinta.

Diversos autores (Peirce, Reichembach) han

admitido una clasificación general de los signos

en tres grandes tipos:

• Los signos-Índices, que adquieren su función

mediante una conexión causal, como ocurre

con el humo como signo del fuego.

• Los signos icónicos, que tienen su

fundamento en una similitud del signo con lo

que significan, tal y como ocurre con las

fotografías o los dibujos, en tanto que signos

de los objetos reproducidos.

• Los signos convencionales o símbolos, en los

que la coordinación del signo con el objeto se

determina mediante reglas que establecen la

aceptación cultural del símbolo como

representación de un determinado ámbito de la

realidad.

ELEMENTOS MATEMATICOS EXPLICITOS EN LA PRENSA ESCRITA_____________________________

112

“En las matemáticas todo es un juego de

niños, porque en ellas todo está disponible. Sin

embargo, como con cualquier juego de niños,

se podía perecer también con las

matemáticas.”

T. Bernhard. Helada.

Hasta ahora hemos analizado las relaciones

entre matemáticas y prensa teniendo en

cuenta las cinco grandes categorías

informativas y la organización usual de las

unidades de información en diferentes

unidades de contenido. Creemos que esta

aproximación se ajusta mejor a la estructura

del material que nos proporciona cualquier

periódico y, por otra parte, nos ha permitido

poner de manifiesto los valores educativos de

los distintos componentes de un periódico.

También hemos podido comprobar que, en

todos los casos, hay consideraciones

matemáticas pertinentes sobre cualquier

unidad de contenido de Prensa, aparezcan o no

explícitamente, ya que las matemáticas no son

solamente unos términos, símbolos y

operaciones que se utilizan en determinados

momentos, cuanto una forma de organizar

nuestros conocimientos y trabajar sobre ellos.

Sin embargo, es cierto y evidente que hay

determinados tópicos matemáticos que se

emplean de forma explícita en Prensa, como

hemos visto en el análisis de tablas y gráficas.

Este uso de las matemáticas es amplio y

extenso y, observando con detalle, abarca más

contenidos de los que se aprecian en una

visión superficial.

A continuación presentamos una serie de

ejemplos de elementos matemáticos que

aparecen explícitamente en la prensa escrita,

que hemos seleccionado a partir de un vaciado

exhaustivo de periódicos. Estos ejemplos los

tenemos organizado de acuerdo con los dos

tipos de criterios que presentamos en el

Capítulo 3, el criterio cognitivo y al criterio de

la disciplina, cada uno de los cuales daba lugar

a categorías diferentes. Aparece así una

clasificación de materiales de prensa mediante

categorías que se derivan del tipo de

conocimiento matemático.

Por este motivo, los ejemplos que presentamos

los organizamos según los seis grandes

bloques de contenidos, que señalamos en su

momento; en cada caso indicamos el tópico

matemático concreto al que se ajusta el

material de prensa y el tipo de conocimiento

matemático que puede utilizarse o desarro-

llarse con el mismo.

Presentamos esta información en una serie de

tablas, con tres columnas cada una

Tópico matemático/Conocimiento que se

transmite-utiliza/Unidad de contenido y

referencias en textos de prensa.

A continuación de cada tabla aparecen uno o

varios ejemplos tomados de la prensa diaria,

como se ve en los siguientes apartados.

ELEMENTOS MATEMÁTICOS EXPLÍCITOS EN LA PRENSA ESCRITA


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5.7. PASATIEMPOS MATEMÁTICOS EN

PRENSA

La clasificación del material de Prensa realizada

en base a los seis grandes bloques de

contenidos anteriores no agota nuestro

análisis. Esto es lo que ocurre cuando

consideramos la sección de pasatiempos que,

con mayor menor regularidad, aparece en

todos los periódicos. Esta sección puede

comprender desde el popular y tradicional

crucigrama hasta otros ejercicios más

sofisticados, entre los que recientemente

vienen apareciendo pasatiempos de contenido

y orientación claramente, matemáticos.

El empleo de pasatiempos en educación

matemática no ha sido nunca extraño, y se ha

visto incrementado en los últimos tiempos. En

el Informe Teckcroft, punto 7, se insiste en que

“los intentos de resolver tales pasatiempos

producen un divertido placer y también en

muchos casos conducen a una mayor

comprensión matemática. Para algunas

personas, también, el atractivo de las

matemáticas puede ser incluso mayor y más

intenso”.

La utilización escolar de pasatiempos

matemáticos se ha visto incrementada con la

difusión de las calculadoras electrónicas, que

han aliviado los cálculos largos y tediosos que,

a veces, llevaban ciertos pasatiempos.

En la tradición británica del desarrollo

curricular se presentan las “situaciones” como

uno de los elementos claves en el modelo de

construcción del currículo (contenidos,

procesos y situaciones) de las matemáticas

escolares.

Shuard (1986) habla de situaciones de la vida

real, como aquellas que ya son parte de la

experiencia personal del alumno, distinguiendo

diversos ámbitos entre los que señala los

siguientes:

a) Matemáticas a través del currículo, como

disciplina auxiliar a otras áreas de

conocimiento.

b) Matemáticas para la vida diaria,

relacionadas con actividades de economía

doméstica.

c) Juegos, deportes, puzzles, investigaciones y

pasatiempos.

d) Situaciones matemáticas especialmente

diseñadas.

Cada una de estas situaciones necesitan

trabajarse en profundidad para conocer cómo

afectan en detalle, a los procedimientos

generales de resolución de problemas y como

deben integrarse en el contenido.

Podemos distinguir tres grandes bloques en los

pasatiempos matemáticos que aparecen en la

Prensa, según el núcleo temático al que se

refieren. Estos toques son: Numérico, Lógico y

Geométrico/Topológico. Dentro de cada bloque

podemos diferenciar distintos componentes o

variantes, diversificadas según la presentación

y según las destrezas o contenidos

matemáticos que se quiere utilizar.

Presentamos a continuación la clasificación

realizada por nosotros, en la que organizamos

un vaciado de pasatiempos localizados en

diferentes periódicos.

ESTADISTICA ELEMENTAL__________________________________:__________________________

159

BLOQUE II

PRESENTACIÓN DE

DATOS ESTADÍTICA ELEMENTAL

ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

181

ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

182

ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

183

ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

201

ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

202

ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

203

ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

204

ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

205

ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

206

ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

208

ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

209

ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

213

ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ESTADISTICA __________________________________________:__________________________

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ANALISIS DESCRIPTIVO Y PRESENTACION DE DATOS UNIVARIADOS___________________________

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ANALISIS DESCRIPTIVO Y PRESENTACION DE DATOS BIVARIADOS____________________________

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1.


277

PARAMETROS CENTRALES_____________________________________________________________

278

BLOQUE III

PARAMETROS

CENTRALES Y

DISPERSIÓN

Se estudia la Estadística para aplicar sus

conceptos como ayuda en la toma de

decisiones ante situaciones de incertidumbre,

en el gobierno, en los negocios, en la industria

y, también, en el ámbito de las ciencias

sociales, biológicas y físicas. La estadística se

presta para las aplicaciones operacionales e

investigativas, siendo efectiva no solamente en

los experimentos de laboratorio sino que

también lo es en los estudios fuera de él. La

Estadística incluye la planeación y ejecución de

las encuestas, la descripción y el análisis de los

resultados y la formulación de predicciones con

base en esos resultados.

"La estadística no es más que el sentido común

expresado numéricamente.”1

“Ninguna persona que se mezcle con ella es

normal.”2justificándola científicamente. Los

principios estadísticos se emplean en una gran

variedad de situaciones

“Antes se hacían estadísticas con los

habitantes. Ahora se hace con los

desempleados.

Cuanto más aumenta el número de listas, más

empleos habrá para los estadísticos."3

EL COMIENZO DE TODD: DETERMINACIÓN

DE LO QUE SE DEBE SABER

El método estadístico es un proceso para

obtener, representar y analizar las

características o los valores numéricos para

una mejor toma de decisiones en situaciones

de incertidumbre. Los pasos para seguir una

metodología estadística son los siguientes:

• Definición cuidadosa del problema;

• Definición de un plan para la recolección de

información de las unidades de observación;

• Recolección, resumen y representación de las

observaciones o de sus valores numéricos;

• Análisis de los resultados;

• Divulgación escrita de las conclusiones, de

modo que éstas sean fácilmente comprensibles

por quien las vaya a utilizar en la toma de

decisiones.

La Agencia Nacional de Telecomunicaciones de

Brasil, (Anatel) realizó, en enero de 19994, una

Audiencia Pública para discutir las condiciones

generales del edicto de licitación para la

contratación de la institución que desarrollará

la metodología para verificar el grado de

satisfacción de la comunidad con el Servicio

Telefónico Fijo de Conmutación. En la

Audiencia

PARAMETROS CENTRALES


279

Pública, fueron tratados los siguientes tópicos:

• Proceso de identificación del grado de

satisfacción;

• Lineamiento general del plan muestral de las

encuestas;

•Procedimiento para la recolección de datos en

todo el territorio nacional;

• Procedimiento de codificación y tabulación de

datos;

• Análisis que serian realizados;

• Identificación priorización de las cualidades

valorizadas por la comunidad y por Anatel

• Presentación de los resultados.

Entre las características del método estadístico,

se mencionan:

• es la única manera de tratar con una gran

cantidad de observaciones o de valores;

• se aplica solamente a las observaciones

reducibles a una forma cuantitativa;

• sucede lo mismo tanto para las ciencias

humanas y sociales como para las ciencias

tecnológicas;

• es objetivo; aunque los resultados están

influenciados (no debiera ser) por la

inescapable interpretación subjetiva.

La encuesta es fría, afirma la secretaría. El

asesor parlamentario de la Secretaría del

Estado para la Seguridad pública (...) afirma

que la encuesta del ISER (Instituto Superior de

los Estudios Religiosos) “es fría”, pues los

análisis fueron hechos "lejos del momento

ardiente de las confrontaciones.”

"Esta es la peor cifra del gobierno.”

A la Estadística no le interesa sacar

conclusiones con respecto a las unidades

individuales de observación, sino sobre grupos,

conjuntos o agregados, porque su objetivo es

el estudio de la

llamada población (también llamada universo)

la cuál puede ser finita o infinita.

Población finita es aquella en la cual el número

de unidades de observación puede ser contado

y es limitado.

• Ejemplos de población finita

• Alumnos matriculados en las escuelas

públicas estatales;

• Todas las declaraciones de Impuesto sobre la

Renta para el Ministerio de Hacienda;

• Todas las personas que compran teléfono

celular,

• Todos los delitos denunciados por las

Secretarias de Seguridad Pública.

Una población es infinita si la cantidad de

unidades observables es limitada o su

composición es tal, que las unidades de la

población no pueden ser contadas.

• Ejemplos de población infinita

• El conjunto de medidas de un experimento

repetido indefinidamente, puesto que no hay

límite para el número de veces que se pueda

medir;

• Los gases, los líquidos y algunos sólidos tales

como el talco, puesto que las unidades no

pueden identificarse ni contarse.

El número de unidades de la población se

denomina el tamaño y, en el caso finito, ese

tamaño se designa con la letra N.

"Con todo, la red estatal registrada en 1998,

con un total de 6´024.166 alumnos.

En una población se realiza una encuesta

observando a todas las unidades sobre una o

más características factibles de estudio;

también se identifica un área de cobertura que

es aquella que, físicamente, limita a las

unidades de observación que se desea

estudiar.

• Ejemplos de áreas de cobertura

• Alumnos matriculados en las escuelas


280

públicas estatales en 1999;

• Todas las declaraciones de Impuestos sobre

la Renta recibidas por el Ministerio de Hacienda

en 1999;

• Todas las personas que compran teléfono en

la región Sudeste de Brasil;

• Todos los delitos denunciados, en los meses

de diciembre, desde 1990, por las Secretarías

de Seguridad Pública.

Al describir una población se deben diferenciar

las unidades de observación de las

características de esa población. Una unidad de

observación es un objeto (o grupo de objetos)

del cual se recolectan datos y que puede tener

muchas características, aunque el interés

recaiga usualmente sobre apenas una o

algunas de ellas, cuyos valores se anotan y

sobre los cuales se aplican principios

estadísticos.

• Ejemplo de unidad de observación y

características

En un universo de municipios, una unidad de

observación es el municipio, el cual presenta

muchas características entre las que están el

área, el número de habitantes y la renta por

capita.

El instituto Brasileño de Geografía y Estadística

(IBGE) acaba de lanzar un CD-ROM (Banco de

Observaciones Municipales) que integra los

datos esenciales de los cerca de 5.000

municipios del peso, e intenta ampliarlo pares

incluir características tales como el folclor, la

culinaria y la cultura de todos ellos.

EVALUACIÓN NUMÉRICA DE LAS

UNIDADES DE OBSERVACIÓN CON LA

AYUDA DE LAS ESCALAS DE MEDIDAS

Hay dos tipos básicos de datos:

• los obtenidos de una población cualitativa;

• los obtenidos de una población cuantitativa.

CLASES DE VARIABLES

En Estadística, la variable es la atribución de

un valor (numérico o alfanumérico) a cada

característica de una unidad de observación, es

decir, es una función de las observaciones

(mediciones) realizadas.

Cuando una característica o variable no es

numérica, se denomina variable

Cualitativa o atributo

• Ejemplos de variable cualitativa

• Sexo:

• Religión;

• Origen;

• Color de los ojos;

• Intervalos de edad.

Una variable cualitativa se expresa en

categorías.

•Ejemplos de categorías de variables

cualitativas

• En el sexo: masculino o femenino;

• En la religión: católica, presbiteriana,

bautista, anglicana, etc.;

• En el origen: brasilero, peruano, colombiano;

• En el color de los ojos: castaños, verdes,

azules;

• En los intervalos de edad: hasta 25 años, de

los 26 a los 49 años y mayores de 50 años.

Cuando los datos son cualitativos, el interés se

concentra normalmente en la cantidad o en la

proporción de toda categoría en relación con el

total.

"Los Colegios Militares tienen un 42% de

alumnas. "9

Cuando puede ser expresada numéricamente,

la variable estudiada se denomina variable

cuantitativa.

Ejemplos de variables cuantitativas

• Cantidad de billetes de cada denominación de

una moneda;


281

• Cantidad de sabores de una bebida

refrescante;

• Valor del patrimonio de un ciudadano;

• Duración de una batería de un teléfono

celular.

Las variables cuantitativas pueden ser

discretas o continuas

• Ejemplos de variables cuantitativas

discretas

• Valores de las monedas: 5, 10, 20, 50, 100,

200 y 500.

El euro comenzó a circular con 13 billones de

billetes de siete denominaciones (5, 10, 20,

50, 100, 200y 500). Se acuñaron 76 billones

de monedas de 1 y 2 euros y de 1, 2, 5, 10, 20

y 50 centavos de euro, lo cual implicará un

cambio completo de máquinas y equipos de

ventas de periódicos, café y refrescos.” 10

O Navegando en Internet

"Los sistemas de 75 millones de computadores

en Europa tuvieron que ser actualizados. ¿Al

final, dónde se escondió el símbolo 0 (de Euro)

en el teclado? ¿Cómo imprimirlo? La Microsoft

esta distribuyendo un miniprograma especial

para el euro en

http://www.microsoft.com/windows/euro.asp.”

Cantidad de sabores de un refresco

En ocho deliciosos sabores mandarina,

naranja, maracuyá, lima-limón, cereza, ananá,

manzana verde y pomelo rosado.

Variables discretas

Las variables discretas sólo pueden tomar

determinados valores y son el resultado de un conteo

(es decir, son aquellas variables cuyo conjunto de

valor posibles es finito o infinito enumerable.)

Variables continuas

Pueden tomar cualquier valor dentro de

determinado rango de valores y son el resultado de

una medición.

Obsérvese que no se puede hablar de 5,4

valores de los billetes, ni de 3,8 sabores de

refrescos. Los números fueron obtenidos a

partir de un conteo.

“…los escasos 110 m2 del salón de gimnasia

localizado en la Academia ABC son ocupados

por casi 60 muchachos, lo cual da…0.545454…

muchachas por cada (sic) m2del salón. Esto

dicen las matemáticas. En la práctica, es

diferente, Allí no hay mujeres partida por la

mitad y tampoco ninguna fracción periódica

que se extienda hasta el infinito.”

Por otro lado, las variables continuas son

aquellas cuyo conjunto de valores posibles

están en un intervalo de números reales,

resultado de una medición con cualquier grado

de exactitud. En la práctica, entre tanto, los

mecanismos de medición tienen una precisión

limitada, en tal forma que los datos recogidos

de las variables continuas son, en muchos

casos, necesariamente discretos. Es decir,

existe solamente un conjunto finito (cal vez

muy grande) de valores posibles que

realmente pueden ser medidos.

Ejemplos de variables cuantitativas

continuos

• Valor del patrimonio de un ciudadano

brasileño: U$ 15.000.000, U$ 147.000,oo, U$

4'675.778,95.

A partir de 1999, las declaraciones de Renta de

los contribuyentes con patrimonio de hasta U$

20.000, podrán ser hechas telefónicamente".14

Para la duración de una batería de un teléfono

celular: 60, 46h37 min 12s ó34h 13 min

(dependiendo del tipo de batería o del tipo de

uso).

“Batería vibrante con 3h15 min de

conversación y 200h de espera”,”Batería con

1h30 min de conversación y 24h de

espera”,”Batería con 2h de conversación y 38h


282

de espera”, “Batería con 3h de conversación

57h de espera”,”Batería con 2h30 min de

conversación y 47 h de espera” y “hasta 5h y

10 minutos de conversación.”

La Figura 1.1 muestra, en forma esquemática,

la clasificación de las variables.

O NAVEGANDO EN INTERNET

Un paso vital en el análisis estadístico y en la

interpretación de los resultados es el valor de

los daros empleados. En Brasil y en Colombia,

varias agencias gubernamentales ejercen un

papel importante en la producción de datos en

diferentes áreas. En este párrafo se

recomienda visitar dos lugares imperantes

(site) en Internet, el del Instituto Brasileño de

Geografía y Estadística (IBGE) y el del

Departamento Administrativo Nacional de

Estadística (DANE) de Colombia. El objetivo es

dar a conocer el primer sitio donde los datos

oficiales de Brasil y Colombia son publicados y

enterarse de una variedad de datos que coda

una de las fuentes pone a disposición del gran

público. En el proceso de la visita, habrá

conexiones (links) hacia sitios donde pueden

ser consultados otros datos; la visita a estos

sites nunca dará una visión completa de todos

los recursos o daros existentes, pero ofrecerá

una introducción estructurada de los vastos

recursos disponibles.

El IBGE tiene las direcciones

http:www.ibge.gov.br y http://ibge.org.br, y la

del dance es http//www.dane.gov.co: Las dos

entidades ponen a disposición de los usuarios

datos territoriales, indicadores coyunturales,

estadísticas básicas de naturaleza demográfica,

social y económica, y los resultados de los

censos, incluyendo los datos sobre los estudios

y encuestas realizados. También facilita la

transferencia de archivos de datos, gráficos en

diferentes formatos, mapas y textos.

•Ejercicio-ejemplo 1.1

Diríjase a las direcciones

http://www.ibge.govbr y

http://www.dane.gov.co y haga lo siguiente:

a. copie las clases de variables (cualitativa y

cuantitativa) disponibles para ser consultadas;

b. identifique el formato de los datos (HTML,

DOC, XLS, etc.);

c. compruebe cómo pueden ser bajados

(download) los archivos de datos hasta su

computador;

d. compruebe si existen restricciones de acceso

para la obtención de los datos (pagos que

deban hacerse a la administración del site o

hay impedimentos de acceso para el público en

general); si esto es así, tome nota de ello;

e. escriba el URL de conexiones interesantes;


283

(URL = universal resource locator o

dirección de un sitio de acceso, generalmente

identificado con http://www)

f mencione cinco clases de datos disponibles en

IBGE y DANE;

g. haga una lista de sitios de la red para las

cuales el IBGE y el DANE suministra

conexiones;

h. identifique como IBGE y DANE facilitan su

atención a los usuarios.

LAS ESCALAS QUE CARACTERIZAN LAS

UNIDADES DE OBSERVACIÓN

Pueden usarse cuatro escalas de medidas para

caracterizar las unidades de una población.

Ellas son: nominal, ordinal, intervalar y

proporcional

ESCALA NOMINAL

En la escala nominal, Las características se

clasifican en varias categorías, en las cuales un

valor numérico asociado con la característica

no tiene un significado real.

•Ejemplo de escala nominal

La variable sexo tiene las categorías masculino

y femenino, las cuales pueden ser clasificadas

numéricamente asignándole el número 1 al

sexo femenino y el 2 al sexo masculino. "Tabla

de códigos de la declaración de bienes y

derechos de inmuebles: 11- Apartamentos; 12-

Casas, 13- Terrenos; 14- Tierra virgen; 15-

Salones o tiendas; 16-Construcción; 17-

Fundaciones de beneficencia; 19- Otras.

ESCALA ORDINAL

Las características son ordenadas (de manera

creciente o decreciente) en situaciones para las

cuales la posición asociada es importante.

•Ejemplo de escala ordinal

Al verificarse el comportamiento de una

persona o de una actividad, para lo cual hay

cinco categorías, con el fin de facilitar la

codificación se asocia un número a cada

desempeño: (5) óptimo, (4) bueno, (3)

regular, (2) malo y (1) pésimo. Un 4 indica un

mejor desempeño que un 3, pero no implica,

necesariamente, que se tenga un desempeño

dos veces mejor que quien obtuvo 2.

Una evaluación en el plan real, Respuesta

estimulada y típica, en porcentaje los días 10 y

11 de diciembre de 1998: óptimo/bueno, 61;

regular, 28; pésimo, 10; no sabe, 1.”

ESCALA INTERCALAR

Alas características se les atribuyen valores

que no solamente permiten comparar el orden,

sino que también permiten evaluar la variación

numérica entre las características.

•Ejemplo de escala intervalar

En un período de dos horas se hicieron cinco

lecturas de la temperatura: 205, 207, 210, 215

y 220. Después de haberse ordenado, la

variación entre 205 y 215 fue la misma que

para los valores entre 210 y 220. Aunque esos

valores referentes a la temperatura puedan ser

colocados en orden (creciente o decreciente),

la comparación entre ellos solo es posible si

estuvieren en la misma escala; por ejemplo, si

las escalas fueran Celsius y Fahrenheit, la

comparación no sería posible pues los ceros de

esas escalas son diferentes.

“El año 2000...será 2004 de acuerdo con la

fecha real del nacimiento de Cristo en el año 4

a. C, año 2753 del calendario romano, año

2749 según los babilonios, 6236 de acuerdo

con el primer calendario egipcio, 5760 en el

calendario hebreo, 1420 en el calendario

musulmán, 2544 según los budistas, 5115 en

el calendario maya y 208 de acuerdo con el


284

calendario cuya base es la Revolución

Francesa.”

ESCALA PROPORCIONAL

Las características se ordenan y la variación

entre ellas puede ser comparada si existe un

cero natural para la escala de medición.

• Ejemplo de escala proporcional

Considere una situación en la cual se

obtuvieron los siguientes pesos, en kilogramos:

5.0, 5.1, 5.3 y5.4. La variación de 5

kilogramos a 5.1 kilogramos es de 0.1 kilogra-

mos, que es la misma variación que hay entre

5.3 kilogramos %, 5.4 kilogramos y existe un

cero natural para la escala, es decir, 0

kilogramos.

• Ejercicio-ejemplo 1.2

La evaluación de los cursos superiores en

Brasil se hace a partir de la llamada Probación.

En 1996, fueron evaluados estudiantes de

administración, derecho e ingeniería civil; en

1997, los mismos del ano anterior y los de

ingeniería química, veterinaria y odontología;

en 1998, los cursos anteriores más los de

ingeniería eléctrica, periodismo, letras y

matemáticas. En 1999, fuera de los anteriores,

se incluyeron los estudiantes de economía,

ingeniería mecánica y medicina. La clasificación

fue hecha por calificaciones desde la A hasta la

E. Identifique el tipo de escala adoptada.


El 28 de diciembre de 1998, la Folha de S.

Paulo publicó la clasificación de los alcaldes de

nueve capitales brasileñas. Las calificaciones,

en una escala de 02 10, fueron las siguientes:

Curitiba, 6.7; Recife, 6.5; Porto Alegre, 6.4;

Florianópolis, 6.4; Salvador, 6.3; Fortaleza,

5.5; Belo Horizonte, 5.4; Río de Janeiro, 5.4 y

Sao Paulo, 3.4. Identifique el tipo de escala

utilizado, justificando su respuesta.

El hecho de que una variable sea expresada

numéricamente no significa que esta sea

necesariamente cuantitativa, pues la

clasificación de la variable depende de como

fue medida y no del modo en el cual se

manifiesta. Por ejemplo, para la variable peso

de un boxeador, si este fuera registrado por el

peso encontrado en la balanza, la variable

seria cuantitativa continua; par otro lado, si el

peso fuera clasificado según las categorías del

boxeo, la variable sería cualitativa ordinal.

COMENZANDO A ESTUDIAR, EN LA

PRÁCTICA, A UNA POBLACION: CENSO Y

MUESTREO

Si la población es pequeña, es razonable

observarla toda y esto se llama censo.

"Los datos iniciales del Censo Demográfico del

año 2000 estarán disponibles en diciembre de

ese año..."

Pero, examinar una población entera no es

siempre viable; en la mayoría de los casos hay

escasez de tiempo y de recursos (humanos o

financieros, por ejemplo o el Censo es

impracticable. Es posible entrevistar y anotar

lo que piensan las personas que están en una

reunión, pero no obtener y registrar, en un

tiempo razonable, la opinión de todos los

seguidores del encuentro final de un

campeonato de fútbol en un gran estadio.

Fuera de esto, el mundo esta cambiando

constantemente y, por lo tanto, nunca las

observaciones reflejarán, de manera

completamente precisa, las condiciones reales

y actuales de todas las unidades de

observación.

"Para el Censo, por ejemplo, su realización

más importante, el IBGE pidió R$600 millones,

diez veces menos de lo que los Estados Unidos

va a gastar en el mismo trabajo... La

recolección de los datos del Censo se efectuará

entre agosto y octubre del 2000 y será


285

realizado por 120.000 encuestadores. El país

estará dividido en 170.000 sectores

censales.”20

Por esos motivos, el estudio estadístico se

inicia con la selección de parte de una

población, llamada muestra, constituida por n

unidades de observación y la cual debe tener

las mismas características de la población. Este

proceso recibe el nombre de muestreo, el cual

comprende por lo menos dos etapas: la

selección de las unidades y el registro de las

observaciones. El tamaño de la muestra que

debe ser extraída de la población es el que

minimiza los costos del muestreo, pudiendo ser

hasta de tamaño 1.

"Hay 106'000.000 de electores en Brasil.... no

hay cómo oírlos a todos. Así que se utilizan

métodos estadísticos para deducir la intención

de votar de tal manera que los entrevistados

representen al conjunto del electorado. "21

El muestreo puede hacerse con o sin

reposición; en una muestra sin reposición,

comúnmente empleada en los trabajos

estadísticos, las unidades se seleccionan

apenas una vez; en el muestreo con reposición

se seleccionan las unidades por lo menos una

vez.

•Ejemplo de muestreo sin reposición

En una encuesta electoral, poco antes de una

elección, para que se conozca la intención de

voto de las personas entrevistadas, estas

deben ser escuchadas apenas una sola vez,

pues, en una elección, el voto es individual.

•Ejemplo de muestreo con reposición

Cuando se desea saber cuánto tiempo gasta

una persona haciendo cola en un banco, esta

puede ser observada una o más veces, cada

vez que vuelve al banco.

Se justifica el uso del muestreo porque,

comúnmente, no es viable observar cada

característica de todas las unidades de

observación de la población.

Además de la escasez de tiempo y de recursos,

se pueden mencionar:

• En el caso del examen de enfermedades

contagiosas, el encuestador podría contagiarse

y comenzar a transmitir la enfermedad a otros

encuestados;

• Con relación a las pruebas destructivas, al

final de estas no habría unidad de observación

disponible;

• En el caso de los exámenes clínicos, la

imposibilidad de examinar toda la sangre de

una persona sin causarle la muerte;

• Si el trabajo empleado para obtener los datos

fuera excesivo, se pueden presentar

anotaciones erradas debidas al cansancio del

encuestador después de examinar las últimas

unidades de una extensa población.

Decidido el tamaño de la muestra, la

recolección de daros puede llevarse a cabo de

dos maneras:

• Por observación directa: las unidades de

observación de la población son examinadas

por el propio analista o, automáticamente, por

un instrumento.

• Por observación indirecta: las unidades de

observación son revisadas por otras personas y

no por el analista.

En cuanto a los factores que la influencian, la

muestra puede ser:

• Observacional, en la cual no hay control

sobre los factores estudiados por el analista_

•Ejemplo del muestreo observacional

La muestra

Conjunto de unidades seleccionadas de una

población.

El muestreo

Proceso por el cual una muestra de unidades de

la población es seleccionada y observada.

El muestreo es la parte más importante de la

Estadística.


286

Los estudios estadísticos sobre la intención de

voto de los electores.

• De experimento o experimental en el cual se

tiene un control parcial, es decir, la localización

de factores que pueden influenciar los

resultados esta bajo el control del analista; por

ejemplo, un experimento en el que las

observaciones se hacen en un ambiente en el

cual una situación es modificada para

comprobar la influencia de esa variación.

•Ejemplo de experimento de muestreo

Las observaciones hechas a partir de una

experiencia para comprobar la reacción de las

personas sometidas a situaciones sorpresivas.

"...y sabían que serian despertados a Las 6:00

a. m. un día y a Las 9:00 a.m. en los otros días

en los que el estudio fue conducido. En uno de

los días del experimento, en vez de despertar a

los voluntarias a las 9:00 a.m., como se había

convenido, los científicos los despertaron a las

6.00 a.m. para comprobar como el organismo

de esas personas reaccionaria ante la sorpresa

de despertar más temprano de lo previsto.”92

TOMANDO UNA MUESTRA DE LA

POBLACIÓN

Los datos de la muestra relativos a cierta

característica de cada unidad de observación

de la población pueden obtenerse de manera

económica cuando apenas una parte de la

población es examinada.

Unidad muestral es una unidad individual de

observación o una colección de unidades no

coincidentes, tomadas de la población.

Base muestral o marco de muestreo es un

listado de Codas las unidades de observación

seleccionables para la muestra. Por ejemplo,

para un conjunto de piezas producidas por una

empresa en determinado mes, la unidad

muestral es una pieza individual y la base

muestral es el conjunto de todas las piezas

producidas.

El principal objetivo de cualquier plantación de

muestreo es seleccionar la muestra de tal

manera que ésta retrate fielmente a la

población, es decir, que sea representativa de

la población, lo que no siempre ocurre.

"El IBGE define como precaria la residencia

construida con materiales impropios, latón,

chatarra, maderas sin tratar, etc.- lo cual

marginas las casas de albañilería en las

barriadas pobres (favelas), por ejemplo.”23

La preocupación debe ser constante para

mantener dicha representatividad.

“Lo.... hacen los estudios previos para saber

cómo está compuesto el conjunto del electo-

rado. El objetivo es que la muestra sea

representativa del total de Los electores "24

TRES CLASES DE MUESTREO (DE ENTRE

VARIOS EXISTENTES)

MUESTREO SISTEMÁTICO

Hay diferentes maneras por las cuales las

muestras pueden ser seleccionadas, cada una

con ventajas e inconvenientes, y uno de los

problemas asociados al muestreo es la

definición del tamaño de la muestra que debe

tomarse de la población. El tamaño debe

minimizar los costos de la investigación,

pudiendo esta ser hasta de tamaño 1.

Una muestra es sistemática cuando la toma de

las unidades de observación se hace

obedeciendo a un período, siendo calculado el

intervalo de selección para una población

finita, por medio de la división del tamaño de

Unidad muestral

Es una unidad individual de observación o una

colección de unidades no-coincidentes tomadas

de la población.


287

la población por el tamaño de la muestra que

va a ser seleccionada.

•Ejemplo de muestreo sistemático

Se desea tomar una muestra de n=10

unidades de observación de una población de

tamaño N=874. El intervalo de selección es,

entonces, 874/10 = 87.4 = 87 (se aproxima

inferiormente, de lo contrario se traspasaría el

orden de la siguiente unidad). Se selecciona

aleatoriamente un arranque aleatorio (AA)

entre 1 y 87, el cual da el # de orden de la

primera unidad seleccionada para la muestra.

A continuación, se van contando las unidades

de observación y se seleccionarían aquellas

que estuvieren en las siguientes posiciones:

AA; AA + 87; AA + 2(87); AA + 3(87); AA

+3(87); hasta completar las 10 unidades.

MUESTREO ALEATORIO SIMPLE

El proceso de toma de la muestra de una

población en la cual cada unidad tiene la

misma probabilidad de ser seleccionada se

llama muestreo aleatorio simple; la muestra

así obtenida se llama muestra aleatoria. El

proceso de toma de muestras aleatorias

simples exige que se atribuyan números

consecutivos a las unidades de población y se

proceda a un sorteo, colocando los números en

un recipiente, por ejemplo, y sacando un

número, situación en la cual cada unidad de

observación tiene la misma probabilidad de ser

seleccionada.

Pero tal procedimiento no es práctico para una

población muy grande; se busca, entonces,

simular tal sorteo, lo cual se hace por medio de

una tabla de dígitos pseudo-aleatorios (Tabla

1.1.) Esta tabla, comúnmente conocida como

tablas de números aleatorios, está compuesta

por un listado de dígitos comprendidos entre 0

y 9 y tiene dos características que la vuelven

particularmente adecuada para las muestras

aleatorias simples: primero, los dígitos están

dispuestos de tal manera que la probabilidad

de que uno de ellos aparezca en determinada

secuencia es la misma de que aparezca en

cualquier otra posición; segundo, cada una de

la totalidad de las combinaciones de dos cifras

tiene la misma oportunidad de aparecer, así

como todas las combinaciones de tres cifras, y

así sucesivamente.

•Ejemplo de un muestreo aleatorio simple

Cuando se quiere seleccionar, aleatoriamente,

diez unidades de una población de tamaño N=

874 unidades, se las puede listar asignándoles

consecutivamente los números desde 001

hasta 874, desde la primera hasta la última.

Como la identificación de las unidades tiene

tres cifras, será necesario leer un conjunto de

tres dígitos en una tabla de dígitos pseudo-

aleatorios, para asegurar la correspondencia

entre los dígitos pseudo-aleatorios y las

unidades de la población. Se selección una

combinación de dígitos pseudo-aleatorios,

tomando de la población la unidad

correspondiente al número leído; si hubiere

repetición o se presentare un número mayor al

tamaño de la población, esta debe ser ignorada

y debe escogerse otra combinación de dígitos.

El procedimiento se continua hasta completar

la muestra de tamaño n=10.


De nuevo con la muestra de tamaño 10 de una

población de tamaño 874; se numeran las

unidades de observación de la población desde

001 hasta 874.

Muestreo aleatorio simple

Proceso de selección de una muestra de

población en la cual cada unidad tiene la misma

probabilidad (chance) de ser seleccionada.


288

Los dígitos pseudo-aleatorios pueden ser leídos

aisladamente o en grupo, en cualquier orden,

por columnas o por filas, de izquierda a

derecha o de derecha a izquierda,

diagonalmente de izquierda a derecha, etc.; la

regla para la lectura puede ser cualquiera,

mientras no sea alterada hasta el final de la

muestra. Considere que comenzó la lectura de

arriba hacia abajo, a partir de la primera co-

lumna mirando los tres primeros dígitos. Si es

así, la primera unidad sorteada será la 874*; la

segunda unidad la 855, y así sucesivamente:

422, 257, 706, 362, 434, 338, 365, 922 (el

cual debe ser descartado por ser mayor que

874) y 767. Cualquier secuencia de tres cifras

en una tabla de dígitos pseudo-aleatorios sirve

para identificar las unidades que serán

seleccionadas y el proceso continua hasta que

se haya obtenido diez números diferentes (lo

cual es equivalente a una muestra sin reposi-

ción, usualmente utilizada) los cuales

corresponderán a las unidades de la población

que serán estudiadas.

Es común el empleo de la expresión tabla de

números aleatorios, pero lo más correcto es

hablar de tabla de números pseudo-aleatorios,

pues estos son generados a partir de una

expresión matemática y de un conjunto inicial

de dígitos; si ese conjunto fuera generado de

nuevo, los dígitos subsiguientes podrían ser

previstos y, entonces, la tabla ya no seria

aleatoria. Como el conjunto de dígitos se

asemeja a un número porque las tablas

publicadas incluyen espacios entre grupos de

dígitos (generalmente un espacio cada cinco

dígitos) para facilitar su lectura, se induce,

erradamente, a que se lean los números y no

los dígitos. Para usar una tabla de dígitos

pseudo-aleatorios se deben seguir los siguien-

tes pasos:

• Paso 1: hacer un listado de las unidades de la

población;

• Paso 2: numerar consecutivamente las

unidades comenzando por el 1;' (*Se puede

comenzar por 0, 00 o 000, etc., pero,

usualmente, los números generados por las


289

calculadoras electrónicas y los computadores

no incluyen el valor 0).

• Paso 3: leer los números en la tabla de

dígitos pseudo-aleatorios de manera que el

total de Las cifras en cada uno de ellos sea

igual al Total

metal, o hierro; nada vimos... Aguas hay muchas;

infinitas. Es de tal manera bella que, queriéndola

aprovechar, dariaosla del todo; a causa de las aguas

que tiene

...Es de esta manera que relato a Vuestra Alteza

cuanto de esta, Vuestra tierra, vi.” 30

Como las informaciones provienen de un

conjunto menor que la población, se cometen

errores al hacer una inferencia. Estos errores

pueden ser cuantificados, así como la

probabilidad de cometerlos, la cual, además de

tratar con situaciones influenciadas por

factores no controlados por el analista, propor-

ciona un modelo racional para tratar con la

variabilidad inherente a la naturaleza y

también con las situaciones relacionadas con el

azar. El conocimiento de las probabilidades

relacionadas con una situación, suministra la

base para el desarrollo de las técnicas de la

toma de decisiones, explica el funcionamiento

de esas técnicas, e indica la manera en que las

conclusiones pueden ser presentadas e

interpretadas correctamente.

"Covas tiene una probabilidad de un 80% de

curarse.” 31

Es importante enfatizar que la estadística

descriptiva y las probabilidades son

herramientas para la inferencia estadística, la

cual interpreta de dos maneras los resultados

obtenidos a partir de la muestra tomada de

una población: o haciendo una estimación con

respecto al valor desconocido de una

característica de la población, o realizando una

verificación de esa característica sobre la cual

se afirma tener un determinado valor.

Así, el nombre Estadística tiene varios

significados: en este libro, por ejemplo, la

Estadística puede considerarse como

constituida por las tres áreas siguientes: la

estadística descriptiva, el calculo de Las

probabilidades y la inferencia estadístico. Una

visión sistémica de lo que se estudia en lo que

se conoce como Estadística está en la Figura

1.2


"El Termómetro Empresarial, encuesta cuyos

resultados serán divulgados hoy por la....

escuchó a las 500 mejores empresas del país y

constato que el 76% considera el paquete

fiscal como recesivo, aunque necesario."32 A

partir de esta noticia, puede afirmarse que el

tamaño de la muestra es grande y que el 76%

(más del 50%) de las empresas consideran

como recesivo al paquete fiscal; se concluye,

entonces, que la mayoría de las empresas

colombianas considera recesivo el paquete

fiscal. ¿Esta afirmación es verdadera o falsa?

Las explicaciones técnicas sobre la metodología

de las encuestas, cuando aparecen junto con la


290

divulgación de los resultados, vienen en pie de

página, con letra menuda y en un lenguaje

ininteligible para el lego. Por otro lado, en los

titulares principales todo aparece como

concluyente y lleno de certezas. "33

COMO REALIZAR LOS CALCULOS A PARTIR

DE LOS DATOS TOMADOS

Desde el comienzo de los estudios estadísticos

las operaciones matemáticas son realizadas

manualmente. Sin embargo, con la aparición

de las calculadoras electrónicas el trabajo se

hizo más fácil, pues se eliminan los cálculos

monótonos y se economiza tiempo para el

modelaje de los problemas, para la recolección

de los sectores y para el análisis de los resulta-

dos. Diversas empresas desarrollan productos

ligados directamente con el mercado escolar y

es creciente el número de estudiantes y

profesores que hacen uso de las calculadoras

electrónicas. Este interés se debe al

reconocimiento de la accesibilidad de la

tecnología, factor clave en la respuesta a las

mudanzas tecnológicas.

Conviene destacar que la tecnología mudo

radicalmente la manera de enseñar y de

aprender Estadística, así como la manera de

resolver problemas. A causa de esto, el libro

tiene varios ejemplos y ejercicios elaborados

en lenguaje natural, muchos otros basados en

las calculadoras científicas HP 48G, Casio CFX-

9850G/995OG Texas T1-83 y en el programa

Microsoft-Excel. En caso de que no se tenga

experiencia en esos recursos electrónicos,

acuda al Apéndice 2. Principios del uso de las

calculadoras científicas y al Apéndice 3.

Introducción al Microsoft-Excel.

LA GENERACIÓN DE LOS DIGITOS

PSEUDO-ALEATORIOS

La selección de las unidades para componer

una muestra fue hecha por medio del empleo

de la tabla de dígitos pseudo-aleatorios que

comúnmente aparece en los libros de

Estadística. Sin embargo, tal selección puede

hacerse más rápidamente, con el uso de las

calculadoras científicas. En las calculadoras se

genera una combinación de dígitos pseudo-

aleatorios en el rango comprendido entre 0 y I

empleando una semilla aleatoria.

Empleo de la calculadora electrónica

• Empleo de la calculadora electrónica HP 48G

• Paso 1: enciéndala;

• Paso 2: si la pantalla no fuera la inicial,

oprima la tecla morada identificada con la

flecha a la izquierda y después la tecla [DEL]

(tercera tecla a la derecha de [ENTER]), lo que

equivale a la función CLEAR;

• Paso 3: a partir del menú inicial, presione, en

orden, las teclas [MTH] (primera recta de la de

la segunda fila), [NXT] (última de la segunda

fila) y la primera tecla, totalmente blanca, de

la primera fila de teclas (identificada con la

letra A) para entrar en el menú PROB; observe

que existe una relación entre las teclas blancas

y las grises que aparecen en la última fila de la

pantalla: en el caso de la primera tecla blanca,

A, el nuevo menú corresponde a COMB,

mientras que el anterior correspondía a PROB.

En la última fila de la pantalla aparece una

serie de opciones y, para que aparezca un

número real incluyendo al 0 y excluyendo al 1,

de una sucesión de números pseudo-

aleatorios, oprima ahora la tecla blanca D.

Aparece ahora un número pseudo-aleatorio,

que se convierte en la semilla del numero

siguiente. Para generar otros números,

Heregía

Afirmar que cualquier información pública con base en una muestra es validad

para toda la población.

Si Los valores no son digitados correctamente, la calculadora o el computador

suministran

informaciones inútiles. Siendo así, compruebe siempre, antes de comenzar los

cálculos, si los

datos son correctos.


291

continúe apretando la tecla blanca D; si

aparece un número mayor que 1, observe si

termina con E-2 o- con E-3, queriéndose decir

que el valor presentado debe dividirse por 100

o por 1000.

• Empleo de la calculadora electrónica

Casio CFX-9850G/995OG

Para generar un número pseudo-aleatorio que

incluye al 0 y excluye al 1, los pasos son los

siguientes:

• Paso 1: después de encenderla, seleccione en

el Main Menu (menú principal), la opción RUN

(comúnmente ya destacada), con la recta que

tiene la flecha hacia la izquierda [←] del

conjunto de flechas [→] [←] [↑] [↓] ;

• Paso 2 teclee [EXE], en el extremo inferior

derecho; aparece una pantalla en blanco

• Paso 3: pulse la tecla [SHIFT] (tecla amarilla)

y después la tecla [MENU], tercera tecla a la

derecha de [SHIFT] que activa la opción SETUP

Aparecen en la última línea de la pantalla,

cinco opciones, la primera de las cuales es

Comp, equivalente a la tecla azul [F1 ]

(primera tecla de la primera fila de teclas);

• Paso 4: presione la teda [F1) y teclee [EXE];

aparece una pantalla en blanco;

• Paso 5: presione la tecla [OPTN], a la

derecha de la tecla amarilla [SHIFT),

apareciendo en la parte inferior de la pantalla

una serie de 6 opciones;

• Paso 6: oprima la teda azul [F6], en la

primera fila de teclas y aparecen más opciones

en la fila inferior, oprima ahora la tecla [F3]

(selecciona PROB) y, a continuación [F4]

(selecciona Ran#) cuando aparece en el menú

Ran#. Al oprimir la tecla [EYE], aparece un

número pseudo-aleatorio. Para generar otros

números pseudo-aleatorios, basta apretar,

continuamente, [F4] y [EXE].

•Empleo de la calculadora electrónica

Texas TI-83

Antes de efectuar una operación, limpie la

calculadora de cualquier información anterior,

después pulse la teda [CLEAR], última tecla de

la fila de teclas que comienza con [MATH].

Para generar números pseudo-aleatorios

comprendidos entre 0 excluido e incluyendo al

1, los pasos son los siguientes, una vez que la

máquina esta encendida:

•Paso 1: oprima la teda [MATH], situada en la

primera columna de teclas, la cuarta tecla.

Observe que, en la pantalla de la calculadora,

aparecen, en la primera fila, [MATH]

(destacada), NUM, CPX y PRB;

•Paso 2: oprima la teda azul (del conjunto de

dichas teclas con flechas hacia la izquierda,

derecha, arriba y abajo, a la derecha de la

calculadora [→] [←] [↑] y [↓]) relativa a la

flecha hacia la derecha [→], tres veces, hasta

que aparezcan en la primera fila de la pantalla,

las letras PRB cuando aparecen las siguientes

opciones:

• Paso 3: oprima la tecla [ENTER), situada en

el extremo inferior derecho, para ejecutar el

programa; aparece el cursor intermitente a la

derecha de la palabra rand. Oprima de nuevo

la tecla [ENTER] y aparecerá el resultado. Para

generar otros números pseudo-aleatorios, es

suficiente continuar presionando la tecla

[ENTER].

La TI-33 también genera un número pseudo-

aleatorio entero dentro, de un rango

Semilla aleatoria

Valor a partir del cual pueden ser generadas los

dígitos pseudo-aleatorios.


292

especificado por un límite inferior y uno

superior. Los pasos son los siguientes

• Paso 4: igual al Paso 1;

• Paso 5: igual al paso 2;

• Paso 6: oprima cuatro veces la tecla azul

relacionada con la flecha hacia abajo hasta que

se destaque 5: randlnt,

• Paso 7: oprima [ENTER] y aparecerá randlnt;

para especificar un límite inferior, un límite

superior y la cantidad deseada de números

pseudo aleatorios, digite el límite inferior, el

límite superior y el número deseado de valores

a ser generados, separados por una coma (te-

cla que está sobre la tecla con el número 7) y

terminando con un paréntesis (tecla superior

con el número 9);

• Paso 8: oprima la tecla [ENTER] y aparecerá

el resultado. Para generar la misma cantidad

de números enteros pseudo-aleatorios en el

mismo intervalo, hasta continuar presionando

la tecla [ENTER].

•Ejemplo de generación de números

pseudo-aleatorios en la calculadora TI-83

Para generar seis números enteros pseudo-

aleatorios, el comando es randlnt (2, 15, 6).

Cuando se oprime la tecla [ENTER] los

resultados aparecen.

EMPLEO DEL EXCEL

- La función ALEATORIOENTRE

• Paso 1: ir a la barra de herramientas, en el

icono f (en el Excel 97, al ser posicionada la

flecha del mouse encima de este icono aparece

la identificación Colocar función);

• Paso 2: teclee dos veces sobre el icono, para

que aparezca en la pantalla Colocar función;

• Paso 3: en la columna de la izquierda, Clase

de función, oprima encima de la categoría

Matemática y trigonométrica, la cual aparecerá

destacada;

• Paso 4: oprima, en la columna derecha,

Nombre de la función: la función

[ALEATORIOENTRE] (Figura 1.3);

• Paso 5: teclee OK en la parte inferior de la

pantalla y aparecerá en esta la Figura 1.4;

• Paso 6: el número pseudo-aleatorio deseado

se presenta al llenar los valores Inferior y

Superior con el primero y el último de los

índices, respectivamente, de las unidades de

observación de la población.

• Ejemplo de generación de un número

pseudo-aleatorio en Excel

Siendo 001 el mínimo y 874 el máximo de la

lista de la población, el número generado fue

307 (en el resultado de la formula, en la parte

inferior del cuadro). Teniendo en cuenta que

son pseudo-aleatorios los números, reproducir

este ejemplo puede suministrar otros números

en otras repeticiones, con resultados diferentes

a los presentados en la Figura 1.5.


293

Para generar más números pseudo-aleatorios

con la misma función, debe activarse la celda

con el número generado y llevar el mouse

hasta el extremo inferior derecho de la celda;

cuando la flecha cuadrada blanca del mouse se

transforma en una cruz, se aprieta el botón

izquierdo del mouse y, sin dejar de presionarlo,

se lleva hacia abajo hasta donde se desee;

varios números pseudo-aleatorios se

presentaran cuando se suelta el botón del

mouse.

La herramienta de análisis: Generación de

número aleatorio

• Paso 1: ir al menu de Herramientas y

escoger Análisis de datos; aparece la

respectiva pantalla (Figura 1.6);

• Paso 2: por medio de la barra de la derecha,

consiga entre las Herramientas de análisis, la

marcada con Generación de número aleatorio

(Figura 1.6):

• Paso 3: pulse OK en el extremo superior

derecho del cuadro, apareciendo en la pantalla

Generación de números aleatorios (Figura

1.7);

• Paso 4: en esa pantalla (Figura 1.7), en el

Número de variables, digite la cantidad de

columnas de valores que desea en la tabla de

salida, usualmente 1 (para generar una

columna). En Número de números aleatorios,

digite el total de números pseudo-aleatorios

deseado; cada valor generado aparecerá en

una línea de la planilla de salida. En

Distribución, seleccione el modelo que desea;

en el caso de muestras aleatorias simples, y en

la Uniforme, cuyo nombre se ve pulsando en la

flecha a la derecha de la palabra Discreta; en

ese momento aparece una lista de opciones.

Ahora se escoge la palabra uniforme,

apareciendo la figura1.8


294

En la pantalla correspondiente a la Figura 1.8

deben ser escritos previamente los valores

inicial, 001, y final, 847, como el primero y el

último de los índices de las unidades de

población, así como la semilla aleatoria -en

este ejemplo, 1999. Si diferentes personas

usaran la misma semilla en el Excel, pero en

computadores diferentes, serán generados los

mismos dígitos, presumiblemente aleatorios.

La explicación es la de que, en Excel, existe

una regla para la generación de esos dígitos, la

cual, siendo la misma para codas las

máquinas, produce los mismos valores. Por

esto, siempre se debe comenzar con una

semilla aleatoria diferente en cada máquina. El

aspecto es el de la Figura 1.9.

• Paso 5: oprima OK en la parte superior de la

pantalla; aparecen todos los números pseudo-

aleatorios generados.


Digite en Excel, a partir de la pantalla de la

Figura 1.8, los valores 001 y 874 en los

espacios Entre.... Y.... y, con la semilla

aleatoria 1999, observe el número generado.

Cada combinación de resultados de dígitos

pseudo-aleatorios se vuelve semilla para el

siguiente; debe tenerse cuidado porque, si la

semilla es la misma, se repite la secesión de

dígitos pseudo-aleatorios, lo que quita el

carácter de aleatoriedad. Se garantiza, en la

práctica, la generación de dígitos pseudo

aleatorios usando una función matemática,

denominada generadora de dígitos pseudo-

aleatorios, de tal manera que, en caso de una

repetición de la semilla aleatoria, esta se

presenta después de tanto tiempo que, en el

intervalo entre un digito (o conjunto de ellos) y

su repetición, los dígitos generados pueden ser

considerados aleatorios.

ERROR ES EN EL MUESTREO

Generalmente, las causas de los errores en el

muestreo son las siguientes:

• Falta de aleatoriedad en la selección de las

unidades de la población que constituyen una

muestra aleatoria simple;

• Falta de representatividad de la muestra

respecto a la población;

"estadísticas” ¡Ah! Está en algunos periódicos

la estadística sobre el número de creyentes en

todo el mundo... Comprobarán con menos

precisión, cii-een-tííí-fica quien cree en la

madera, la piedra o el argot. Son los medios -

ah, los medios - los que repiten eso sin la

menor crítica. Confeso una cosa: a mi, madre

vino a preguntarme. Le consultaron a usted,

lector amigo? ...Y, dígame todo el mundo

estará "enmarcado" religiosamente? Nadie es

indiferente? Nadie tiene un más o menos o un

así, así? El cristiano es cristiano las 24 horas

Mito

En el muestreo, pensar que solamente existe una

generación única de dígitos pseudo aleatorios en

la cual cada uno de ellos tiene la misma

probabilidad de aparecer, olvidando

que hay diferentes modelos matemáticos para

generar dígitos pseudo-aleatorios.


295

del día?"34

• falta de especificación o determinación de la

población, lo que puede suceder en un listado

incorrecto del marco muestral;

"Misterio. Los técnicos de IIBGE se llevaron

algunas sorpresas durante la elaboración del

Banco do Informaciones Municipales. Una de

ellas fue una cierta clase de nota de deceso, la

muerte por mal de ojo y afines: El problema,

restringido a la ciudad de Sao Paulo, registro

seis victimas. De qué se trate ese mal nadie

tiene la más remota idea. "

• Variación aleatoria, causada por la

variabilidad inherente a las diferentes

muestras;

"En lugares como Río Grande de Sul y Brasilia,

muy politizados, esas variaciones ya son

tradicionales."

“Hoy, la proporción de mujeres analfabetas

mayor que la de los hombres entre las

personas con más de 40 años que pasaran por

la escuela hace por lo menos más de 20 años.

La mayor diferencia se presenta entre Las

personas con más de 50 años. En ate grupo de

edad, el 28% de los hombres y el 34% de las

mujeres son analfabetas, según Los datos del

IBGE. "57

"Ya en la segunda feria, cuando el conteo de la

urnas mal se iniciara, el PT divulgó un

documento mencionando una docena de

diferencias entre los votos reales y las

investigaciones... y sugirió la creación de una

CPI. "38

“No inviten a la misma urna a luisa Erundina y

a los institutos de investigación. En 1988, al

ser elegida alcaldesa de Sao Paulo, ella

demostró que la encuesta no es una profecía.

En esta campaña, dijo que no votaría por

Francisco Rossi cuando el candidato iba

adelante en Las encuestas. Erundinas

verdaderamente una ranura de urna."39 "Esa

confusión se evidencia en los resultados de una

encuesta exclusiva encomendada por.... el

Instituto y llevada a cabo en cinco capitales del

país.” 38

INFORMACIONES ADICIONALES

UN TRABAJO EN EQUIPO

La mayoría de los problemas no es resuelta

únicamente por el estadístico, sino por un

grupo de personas que los conocen en detalle;

al estadístico le corresponde seleccionar las

herramientas estadísticas que ayudaran a

resolverlos. Debe hacerse énfasis en que el

espíritu de grupo es fundamental en cualquier

estudio; de ese modo, cada persona envuelta

en la investigación estadística tiene

importancia, porque, a primera vista, muchos

problemas pueden parecer vagos y con

definiciones complejas. Todos deben reunirse

para discutir detalladamente la naturaleza del

problema, las posibles opciones de solución y

las consecuencias de cada una de las posibles

decisiones. Al final, resulta un discernimiento

del problema y la percepción de los detalles,

pudiendo el equipo decidir si el problema es,

de hecho, estadístico; en caso de ser así, se

tiene un punto de partida para decidir sobre el

mejor modelo que debe ser adoptado.

UNA PALABRA DE ADVERTENCIA

La cantidad de información estadística que

llega al público es tan grande, que pudiera

desearse conocer la diferencia entre las buenas

y las malas estadísticas. Dicho esto, la emisión

de conclusiones erradas que salen de obser-

vaciones y valores absolutamente correctos

constituye un problema. Pero, además, a veces

sucede que, con los mismos valores, se

herejía

La estadística demuestra cualquier teoría


296

generan decisiones conflictivas. Conviene

aclarar que el adecuado tratamiento estadístico

de un problema consiste en llevar a cabo una

serie de observaciones, realizar algunos

cálculos y llegar a una conclusión. Sin

embargo, es de fundamental importancia

preguntar primero, como se planeo la encuesta

y de que manera se anotaron las

observaciones. Como ocurre en cualquier área

del conocimiento, nada se consigue en

Estadística si no se tiene cuidado en el estudio

correcto de las fases de la investigación, desde

el concepto y el enunciado del problema,

pasando por el planeamiento del mismo, por la

etapa de recolección de las observaciones y

por el análisis y la interpretación de los resulta-

dos, hasta llegar a una conclusión valida. De

modo general, no hay cálculo matemático ni

manipulación estadística que pueda dar

resultados confiables, partiendo de

observaciones mal hechas o muestras mal

planeadas.

1. Se estudia la Estadística para aplicar sus

conceptos como soporte en la toma de deci-

siones ante situaciones de incertidumbre,

justificando las decisiones científicamente.

2. El método estadístico es un proceso utilizado

para obtener, presentar y analizar

características o valores numéricos para una

mejor toma de decisiones en situaciones de

incertidumbre.

3. El objetivo de la Estadística es el estudio de

la llamada población, la cual consiste de todas

las unidades de observación (comúnmente

personas, objetos o eventos) para las cuales se

desea tomar una decisión.

4. Al describirse una población estadística, se

deben diferenciar las unidades de observación

de las características de esa población. Una

unidad de observación es un objeto (o grupo

de objetos) sobre el cual se recogen datos y

que puede tener muchas características, a

pesar-de que el interés recaiga, generalmente,

sobre unas pocas de dichas características.

5. En Estadística, la variable atribuye un valor

a cada característica de la unidad de

observación, es decir, es una función ma-

temática que se define sobre la población. La

variable puede ser cualitativa o cuantitativa y,

esta última puede ser discreta o continua.

6. Cuatro escalas de medidas pueden ser usa-

das para caracterizar las unidades de una

población: nominal, ordinal, intervalar y

proporcional. El hecho de que una variable sea

expresada numéricamente no significa que

esta sea necesariamente cuantitativa, pues la

clasificación de la variable depende de la forma

como fue medida y no de la manera como se

manifiesta.

7. El estudio estadístico inicia con la

recolección de datos de una población o de una

muestra, constituida esta por n unidades de

observación y la cual debe tener las mismas

características de la población. El método por

el cual se obtiene una muestra de la población

en estudio se denomina muestreo.

8. El principal objetivo de cualquier plan de

muestreo es el de seleccionar la muestra de tal

manera que esta retrate fielmente a la

No hay justicia para que se llame estadística

aquellos estudios que no siguen las reglas

estadísticas


297

población de la cual fue tomada, es decir, que

la muestra sea representativa de la población.

9. Entre las varias Bases de muestreo, se des-

tacan tres: sistemático, aleatorio simple y

estratificado.

10. El método de muestreo aleatorio simple

exige la simulación de un sorteo, lo cual se

hace a través de una selección de dígitos

pseudo-aleatorios.

11. Generalizar para la población lo que se

observó en la muestra caracteriza a la infe-

rencia estadística, la cual es la parte de la

Estadística que utiliza una muestra para

deducir generalidades con respecto a los as-

pectos importantes de una población.

.12. Como las informaciones provienen de un

subconjunto de la población, se cometen

errores al deducir una inferencia. Esos errores

pueden ser cuantificados matemáticamente,

así como la probabilidad de cometerlos, la

cual, además de tratar con situaciones

influenciadas por factores no controlados por el

analista, proporciona un modelo racional para

tratar con la variabilidad inherente a la

naturaleza, así como con las situaciones

aleatorias.

13. Con la aparición de las calculadoras

electrónicas y los computadores, el trabajo

estadístico se hizo más fácil pues se facilitan

los círculos interactivos y se economiza tiempo

para la modelación de los problemas, para la

recolección de los datos y para el análisis de

los resultados.

14. La tecnología modifico radicalmente la ma-

nera de enseñar y aprender la Estadística, así

como la manera de resolver problemas.

15. Generalmente las causas de los errores en

el muestreo son la falta de aleatoriedad en la

selección de las unidades de la población en

muestreo aleatorio simple, la ausencia de

representatividad de la muestra respecto a la

población, la especificación errónea de una

población y la variación aleatoria.

16. La mayoría de los problemas no es resuelta

solamente por el estadístico sino por un grupo

de personas que conoce los detalles; al

estadístico le corresponde seleccionar las

herramientas estadísticas que ayudan a re-

solver los problemas; el espíritu de grupo es

fundamental en cualquier estudio.

17. La cantidad de informaciones estadísticas

que llega al público es tan grande que se

puede distinguir entre las buenas y las malas

estadísticas. Otro problema es el de emitir

conclusiones erradas a partir de observaciones

y valores absolutamente correctos. Pero a

pesar de todo, a veces sucede que, con los

mismos valores, se producen decisiones

conflictivas. Por esto, es fundamental

preguntar, primero, como se planeó la

encuesta y cómo se anotaron las

observaciones.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. La Tabla 1.2 da un listado de las 30 mayores

empresas privadas del Brasil por concepto de

ventas, y los países que tienen la mayoría de

acciones en ellas (revista Exame, Maiores e

Melhores, Julio de 1998?

a. Uso la tabla de dígitos pseudo-aleatorios

(Tabla 1.1) para seleccionar ocho de esas

empresas para ser entrevistadas y pregun-

tarles los detalles con respecto a sus estrate-

gias de crecimiento. Comenzando con el

extremo superior derecho y moviéndose hacia

abajo en las dos últimas columnas de la

derecha, observe que los primeros números de

dos dígitos obtenidos son 64, 06 y 75;

determine las demás empresas siguiendo la

misma indicación. b. Identifique el tipo de

escala de control accionario de esas empresas.

2. Los resultados del SAEB (Sistema de

Evaluación de la Educación Básica) en 1997, se

basaron sobre una muestra de 167.196

estudiantes de las 27 unidades de la federación


298

de escuelas públicas y privadas del Brasil.

Estos resultados generaron polémicas, porque

mientras los estados que tuvieron una buena

evaluación festejaban los resultados, la

secretaria de Educación de un estado afirmaba

que había salido perjudicado porque la

evaluación excluyó a los alumnos de las

escuelas técnicas estatales, los cuales "tienen

un desempeño mejor".41

a. Identifique la clase de escala utilizada en la

frase "tienen un desempeño mejor".

b. Justifique su aprobación o desaprobación en

referencia a la afirmación de esa secretaria de

Educación.

3. En la Ingeniería de Evaluaciones, se

consideran diversas características de un

inmueble para el cálculo de los precios de

venta y de alquiler de los inmuebles

comerciales y residenciales. a. Identifique el

tipo de escala que se utilizaría para las

siguientes características: área, área

construida, y localización.42 b. Explique como

cuantificaría la existencia o inexistencias de un

garaje en el predio. Un articulo de la revista

Professor de Matemática, n° 3, del segundo

semestre de

1983, explica cómo un genio puede salir

reprobado en un examen de inteligencia,

porque la mayoría de las pruebas exige in-

tuición y no deducción, palpitos en vez de

raciocinio lógico. Con los conocimientos que ya

tiene de Estadística, responda la siguiente

pregunta: ¿qué número falta en la siguiente

sucesión 1, 2, 4, 5?

5. Identifique las clases de escala utilizadas en

cada una de las siguientes características de

las unidades de observación, tomadas de una

tabla de la Guía del Usuario del programa de

Microsoft-Excel: mes, clase de producto, ven-

dedor, región del país, unidades vendidas y

total de ventas.

6. Identifique el tipo de muestreo empleado en

esta encuesta: "La encuesta investigó a

mujeres de todas las clases sociales, con eda-

des que fluctúan entre los 25 y los 70 años. En

ese universo, 66% afirmo que el Viagra puede

mejorar el desempeño sexual de su pareja." `

7. En el libro "Las buenas prácticas de los la-

boratorios clínicos y listas de verificación",

utilizado en brasil, consta que el registro del

paciente debe contener, entre otras, las

siguientes informaciones:

a. nombre;

b. edad;

c. sexo;

d. procedencia u origen (por ejemplo, puesto

de consulta, convenio, etc.);

e. fecha de nacimiento;

f. número de registro;

g. teléfono del paciente o del solicitante (si no

lo tiene, es obligatoria la dirección):

h. nombre del responsable del paciente (si

fuere el caso);

i. teléfono del responsable (si no lo tiene, es

obligatoria la dirección).

Con base en esas informaciones, construya una

tabla en la cual todas estas características

puedan ser registradas.

8. Un articulista afirma que "cerca del 33% de

la población brasileña afirma tener una o dos


299

malas noches semanalmente, lo cual altera la

calidad de vida de la persona." Discuta esta

afirmación.

9. Según la edición especial de la revista " Vea-

30 años", de 1998, cada ejemplar es leído por

cuatro personas. Son 4,5 millones de lectores

por semana". Comente como llego la revista a

ese resultado.

10. "Los almacenes de artículos deportivos

pretenden reforzar en el consumidor en espe-

cial en el joven entre 15 y 29 años que gusta

de deportes tales como el surf y el patinaje - la

idea de que esos deportes son la imagen de su

estilo de vida".46 Identifique el tipo de

muestreo realizado.

11. "Es más: los lectores pedirán y nosotros los

atenderemos". Ester frase del publicista de la

revista Internet World, de diciembre de1998,

expresa una decisión tomada con base en

informaciones recibidas. Explique como

pudieron ser consultadas las opiniones de los

lectores, indicando los puntos posibles donde

hubo fallas en el muestreo.

12. Para la revista Internet Business de diciem-

bre de 1998, los grandes hospitales montan

redes de atención a los pacientes y de

intercambio de informaciones basadas en la

Web. Sin embargo, según un médico, "la red

aún no está lista para transmitir grandes

volúmenes de información en poco tiempo".

Identifique en este párrafo del artículo "salud a

distancia', la población de la que se habla y la

tendencia del empleo de muestreos a medida

que la capacidad de almacenamiento de la

información se haga mayor.

13. Considere la siguiente noticia: "Los ingle-

ses prefieren la novia a la TV" Una encuesta

realizada entre los ingleses con edades

comprendidas entre 18 y 30 años, demostró

que el 24% escogería a la novia si los pusieran

en la disyuntiva de optar por ella o la TV.""

Indique la importancia de la estadística en la

interpretación de las afirmaciones divulgadas

por la prensa.

14. Después de una encuesta, se hace una

crítica inicial de las observaciones para verificar

la exactitud de cada respuesta. El objetivo es,

si es necesario, repetir alguna entrevista,

rectificar los valores dudosos y preparar el

material para ser ubicado en una escala

numérica.

a. Justifique la necesidad de la crítica.

b. Explique sobre la necesidad de dar en-

trenamiento a los encuestadores para evitar

ese trabajo de depuración.

15. La creación de estereotipos con relación a

los pueblos del mundo se basa en opiniones

emitidas por pocas personas y acaban

diseminándose. En un reportaje sobre

estereotipos48, se publicó que "el personaje

humorístico Gardelón, de Jô Soares, es res-

ponsable de la muletilla muy amigo", sin duda

la más popular de todas ellas. "Fue basada en

un empresario artístico argentino que él

conocía”, relata el humorista. Exponga, con

base en los conceptos de muestreo, las causas

posibles de la aparición de los estereotipos.

16. Un ex ministro de Plantación afirma en un

artículo49 que, "en los Estados Unidos, en el

censo de población, me preguntaban si era

caucásico, mejicano, ario, asiático, mongólico y

otras tantas clasificaciones cuyo significado no

conocía.”

a. Identifique la clase de escala utilizada para

clasificar la nacionalidad de una persona.

b. Argumente sobre la precisión de las in-

formaciones obtenidas en un censo demo-

gráfico.

c. -Indique las consecuencias posibles debidas

al hecho de que un entrevistado no conozca el

significado de algunos términos contenidos en

Las preguntas que le son hechas.

17. Considere el artículo periodistico50 que

afirma, con respecto a las encuestas realizadas

antes de las elecciones de 1998, en Brasil:


300

a. "Nadie duda del poder de inducción que

tienen las encuestas electorales.”

Comente esta afirmación con base en su propia

apreciación.

b. "¿...sería una fantasía sospechar que las

encuestas son manipuladas? ¿Y especialmente

si, una vez abiertas las urnas, las divergencias

entre los resultados y las previsiones son

significativas, o que se puede pensar? ¿O serán

apenas errores inocentes de los institutos-que,

por cierto, nunca yerran en sus apariciones

ante las audiencias de la TV, o en las

encuestas de mercado para el lanzamiento

comercial de productos? Discuta estas

afirmaciones.

18. Anuncio de la empresa de teléfonos: "La

encuesta... muestra que, siete meses después

de entrar en operación en la ciudad, la celular

XYZ recibe una calificación de 7.3 contra 6.4

de la competencia. Luego, a continuación de

esta noticia, el comentario "En la evaluación

de... la telefónica XYZ tiene el mejor servicio

de telefonía celular con un 63% de

satisfacción. "

Comente con respecto a esas cifras.

19. Comente la siguiente noticia: "Según la

encuesta realizada telefónicamente, el fin de

semana pasado, con una muestra de 961

personas, el 32% de los entrevistados dijeron

que votarían por Chile. Otro 17% afirmó no

conocer la respuesta."52

20. "Cómo se llevó a cabo la encuesta: el

trabajo se llevó a cabo por medio de

entrevistas personales en un grupo de más de

500 millonarios y de encuestas con mas de

11.000 personas de ingresos altos o con un

alto patrimonio liquido. Cada una respondió

249 preguntas sobre los más diversos tópicos

relacionados con el dinero". "Esta noticia fue

publicada en la revista Voce de diciembre de

1998, en el artículo "El millonario vive al lado".

Sucede que los resultados se refieren a los

Estados Unidos. En caso de que usted deseare

hacer la misma encuesta, describa brevemente

cómo la realizaría y cuales serían sus fuentes

de consulta así como las posibles dificultades.

SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS-

EJEMPLO

1.2 La escala adoptada es la ordinal.

1.3 Las notas pueden ser ordenadas y una vez

hecho esto, determinadas las diferencias entre

si, constantes y conocidas, tienen un cero en

común. La nota 6.5 es 0.1 mayor que 6.4, la

misma diferencia que hay entre 6.4 y 6.3; la

escala es proporcional.

1.5 a. Con base en una muestra de 8.548 per-

sonas, se estima que la marca de jabón a favor

de ABC es recordada por (683/8.548) x 100 =

7.99% del total de consumidores; el periódico

informó de un 8%;

b. Inferencia estadística, pues fue utilizada una

muestra para sacar una conclusión con

respecto al porcentaje de consumidores que

recuerda la marca del jabón.

1.6 Falso; siempre hay un chance de que los

datos presentados por la muestra no reflejen

adecuadamente las características de la

población.

FUENTES DE NOTICIAS Y CITAS

1. Pierre Simon, marques de Laplace,

matemático francés del siglo XVIII.

2. Iván Soter, especialista en informática quien

almacena en un computador los valores sobre

la selección y sobre las personas que se

dedican a hacer estadísticas sobre esa selec-

ción. Folha de S Paulo, 24/12/1995.

3. Carlos Drummond de Andrade. Jornal do

Brasil, 29/8/1981.

4. Anuncio del Jornal do BrasiL 4/l/1999

5. Folha de S. Paulo, 9/12/1998.

6. Revista Época, Año 1 # 21, 12/12/1998.


301

7. Folha de S Paulo, 4/1/1999.

8. Folha de S Paulo, 4/l/1999.


10. Revista Época, Afio 1, # 33, 4/1/1999.

11. Revista Época, Ano 1, # 33, 4/1/1999.

12. Anuncio sobre una preparación sólida ar-

tificial para un refresco.

13. Revista Domingo, Jornal do Brasil, # 1.

185,

17/1/1999.

14. Revista Época, Año 1, # 33, 4/1/1999.

15. Anuncios de aparatos telefonicos celulares.

16. Declaración del Impuesto Anual, Instruc-

ciones para su diligenciamiento; Impuesto

sobre la Renta- Personas naturales, 1999.

17. Folha de S Paulo, 27/12/1998.

18. Suplemento "Un año para o año 2000",

Folha de S. Paulo, 1 /I/ 1999.


20. Folha de S. Paulo, 4/111999.

21. Folha de S Paulo, 18/10/1998.


23. Folha de S. Paulo, 10/ 12/1998.

24. Folha de S Paulo, 18/10/1998.

25. Folha de S. Paulo, 18/10/1998.

26. Folha de S. Paulo, Suplemento especial, I /

12/ 19')8.


28. Tolha de S. Paulo, 18/10/1998.

29. Folha de S. Paulo, 1 / 12/1998, Cuaderno

especial Top of Mind.

30. Desde este Puerto Seguro, de Vuestra Isla

de Veracruz, hoy, sexta feria, primero de mayo

de 1500, Pedro Vaz de Camina.

31. Jornal do Brasil, 22/12/1998.

32. Jornal do Brasil, Informe Economico,

10/12/1998.

33. Observaciones de un lector. Folha de S.

Paulo, 27/12/1998.

34. Millôr Fernández, en el periódico "O Día",

17/1/1999

35. Folha de S Paulo, 13/12/1998.

36. Revista Época, Año 1, #21, 12/12/1998.

37. Folha de S Paulo, 13/11/1998.




41. Folha de S Paulo, 26/ 11 / 1998.

42. Cuaderno Brasilero de Avaliacoes e

Pericias, año X, #111, Septiembre de 1998.


44. Inmetro - Instituto Nacional de Metrología,

Normalización y Calidad Industrial, ISBN

857303/735 Qualitymark Editora 1997.

45. Revista Boa Fama Homem, Afio 1, edition

3, diciembre de 1997.

46. Revista Isto E Dinheiro, 2/9/1998.

47. Folha de S. Paulo, 10/ 12/1998.

48. Folha de S. Paulo, 27/11/1998.

49. Folha de S. Paulo, 30/11/1998.

50. Hello Amorim, El arte de inducir, Jornal de

Brasil, 13/11/1998.

51. Folha de S. Paulo, 10/ 12/1998.

5 2. Folha de S. Paulo, 2/12/1998.

ANALISIS EXPLORATORIO_DE LOS DATOS_______________________________________________

302

El análisis exploratorio de los datos es la fase

inicial del proceso de estudio de los elementos

recolectados en las muestras. En esta etapa de

la evaluación, se emplean técnicas que

resumen y clasifican al conjunto de datos

recogidos para obtener las informaciones

pertinentes que serán utilizadas en la fase final

del proceso, la llamada inferencia estadística

(ver Capítulo 4), también conocida como

análisis confirmatorio de los datos. La

exploración o evaluación analítica de los datos

de la muestra es un enfoque (o filosofía) para

el análisis de los mismos, utilizando una

variedad de técnicas gráficas, con los

siguientes objetivos:

• tener el mejor conocimiento posible sobre un

conjunto de datos de una muestra;

• descubrir las estructuras básicas de la

organización de la población;

• identificar anomalías y datos dispersos;

• desarrollar modelos matemáticos adecuados

para el calculo de probabilidades y la inferencia

estadística.

Una vez recolectados los datos de todas las

variables contenidas en determinado estudio,

el paso siguiente consiste en descubrir lo que

esos datos tienen que decir con respecto a lo

que se esta investigando. Hojear una larga

lista de datos no permite extraer ninguna

conclusión; es preciso usar mediciones- tablas

o gráficos que resuman y muestren el

comportamiento de las variables, permitiendo

interpretaciones prácticas. En otras palabras,

deben emplearse técnicas que muestren las

informaciones contenidas en las variables.

En la vida diaria, vemos que los periódicos, las

revistas y los artículos técnicos publican,

frecuentemente, noticias relacionadas con

porcentajes, medias aritméticas, tablas y

gráficos, que son recursos destinados a

complementar la presentación de un hecho o

justificar un argumento.

Un gráfico relativo a la noticia "El cambio

vuelve a caer con la devaluación del real"

ilustra el "valor del real en dólares" a lo largo

de quince días.


Trate, en el índice de búsqueda Cadê

(www.cade.com.br), las direcciones de los

periódicos brasileños y localice las secciones

que contienen gráficos estadísticas

.

DESCRIPCIÓN DE LA MUESTRA:

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Como su nombre lo indica, la Estadística

Descriptiva tiene como finalidad describir las

unidades de observación recolectados en la

muestra. Ésta permite hacer comentarios

sencillos, de la manera más informativa

posible, empleando métodos numéricos y

gráficos. La interpretación de los resultados no

está incluida en el ámbito de la estadística

descriptiva; ella es función de la inferencia

estadística, la cual abordaremos con mayor

profundidad en el Capítulo 4.

ANALISIS EXPLORATORIO DE LOS DATOS

Informaciones

Son los datos que pasaron algún tipo de análisis

de tal manera que se vuelven útiles


303

COMENZANDO A ORGANIZAR LOS

VALORES DE LAS UNIDADES MUESTRALES

En la revista EXAME- Maiores e Melhores de

julio de 1998, no todas las entidades

relacionadas en una muestra de las 100

empresas privadas más grandes, en términos

de ventas, mencionaron su número de

empleados. De las 100 primeras, sólo 80

dieron los datos completos, los cuales

aparecen en la Tabla 2.1 (Note la ausencia de

los números 6, 14, 20, etc.). Cuando se

colocan en forma de lista o tabular, los valores

de la muestra son llamados los datos brutos de

la muestra. Pero aún si estuvieran agrupados

de la manera en la que fueron recolectados,

sería difícil, por ejemplo, localizar los valores

menor y mayor, o decidir si los valores están

concentrados o dispersos. Basta, por ejemplo,

colocarlos en orden creciente (o decreciente)

para tener una primera idea de la posición

relativa de esos valores. Esa lista ordenada se

llama la lista de la muestra.

Aunque, como es obvio, sea posible crear a

mano la lista de las muestras, esto requiere

mucho trabajo. Es más fácil hacerlo con una

calculadora científica o con la ayuda del Excel.

EMPLEO DE LA CALCULADORA PARA

ORDENAR LOS VALORES

• Con la calculadora HP 486

• Paso 1: introduzca los datos en una lista, la

cual estará en el nivel 1;

• Paso 2: teclee [MTH] (primera tecla de la

segunda fila de teclas) y las teclas blancas [C],

(LIST) y [D] (SORT); aparecen la lista

ordenada.

• Con la calculadora Casio CFX-

9850G/995OG

• Paso 1: inserte los datos en una lista, por

ejemplo lista 1; aparece un menú con la tecla

SRT.A (orden creciente), SRT D (orden

decreciente), DEL (elimina un solo dato) DEL.A

(elimina todos los datos), y la tecla INS

(incluye un nuevo dato); para cada uno de

estos comandos corresponden las teclas [F1],

[F2], [F3], [F4] Y [F5] respectivamente.

,

• Paso 2: teclee [F1] (SRT.A) para ordenarlos

en forma creciente o [F2] (SRT.D) para

ordenarlos en forma decreciente. Surge una

pregunta: ¿Cuántas listas?; teclee [1] [EXE];

aparece seleccionar lista [C]; tecleé [1] y

[EXE] y la lista aparece ordenada.

Tabla 2.1 cantidad de empleados en las 100

mayores empresas privadas del brasil,

clasificadas por ventas

Lista de muestra

es el conjunto de los valores de muestra,

dispuesto en orden creciente o decreciente.


304


305

• Con la calculadora Texas TI-83

• Paso 1: teclee [2nd][STAT] (List). Aparece

NAMES OPS MATH:

• Paso 2: con la tecla que tiene la flecha hacia

la derecha, selección OPS,1 : destacado,

equivalente a Sort Al (orden ascendente);

• Paso 3: teclee [ENTER] [2nd] [1] [equivale a

Lista 1] [)] [ENTER]; aparece Done y, para

encontrar el resultado, teclee [2nd] [1]

[ENTER] y aparecerá la Lista 1, ahora

ordenada.

EMPLEO DEL EXCEL PARA ORDENAR LOS

VALORES

•Paso 1: digite los valores en la columna A

(puede ser cualquier otra), un valor en cada

celda;

•Paso 2: seleccione las celdas que tienen los

valores (tecleando en la primera celda con el

botón izquierdo del mouse y arrastrando el

puntero, sin soltar el botón del mouse, hasta la

última celda); todos los valores aparecen

agrupados;

• Paso 3: en la Barra de Menús, en Datos...,

escoja Clasificar...; se abre una pantalla en la

cual se teclea Creciente en Clasificar, por,

teclee OK; en la columna A, en la cual los

valores fueron digitados originalmente,

aparecen los números ordenados.


Construya en EXCEL la lista de las medidas de

la muestra de la Tabla 2.1 (Guarde esta

plantilla: se usará en otros ejercicios).

UN NÚMERO QUE LOS REPRESENTA A T

ODOS: LAS LLAMADAS MEDIDAS DE

TENDENCIA CENTRAL

Para caracterizar a un conjunto de valores de

una muestra, es preciso escoger un valor único

que represente a todos los demás valores de la

muestra. Podrían escogerse innumerables

medidas, pero existen algunas que sugieren

una concentración a su alrededor, siendo por

esto llamadas medidas de tendencia central.

Para una muestra, las tres medidas más

conocidas son la media aritmética, la mediana

y la moda de la muestra.

Entendiendo el concepto de la media

La media de un conjunto de números es un

valor que, teniendo en cuenta la totalidad de

los elementos del conjunto, los puede sustituir

sin alterar determinada característica de ese

conjunto.

Hay dos clases comunes do media:

• Si la característica del conjunto es la suma de

sus elementos, se tiene la más sencilla de

todas Las medias: la media aritmética.

• Si la característica del conjunto es el

producto de sus elementos, se tendría la

medida geométrica.

DETERMINACIÓN DE LA MEDIA

ARITMÉTICA DE LA MUESTRA

•En lenguaje familiar

La media aritmética de una muestra es un

número que, teniendo en cuenta al total de los

elementos de la muestra, los puede

representar a todos sin alterar la suma de sus

componentes. Como la suma de los n

elementos debe ser igual a n veces la media

aritmética, para determinar la media aritmética

(simple) de la muestra (o, sencillamente,

media de la muestra), calculada a partir de un

conjunto de valores, se suman todos los

valores y esta suma se divide por la cantidad

de valores.

La media aritmética de la muestra puede no

pertenecer al conjunto original de valores, y

tampoco tiene que tener un significado real.

“El número de miembros de las familias

brasileñas está disminuyendo. En cinco años


306

(desde 1992 hasta 1997), el número promedio

de personas en cada casa cayó de 3.8 a 3.5,

según la Encuesta Nacional para la Muestra

Domiciliar (PNAD), divulgada por el IBGE. "2

"La tasa de natalidad- de 4.3 hijos por coda

mujer en 1980, llegó a 2.5 hijos por mujer en

1997 "3


Determine la media aritmética de la muestra

de la Tabla 2.1.

• Con las fórmulas

De manera general, el valor es representado

por una letra, comúnmente la X, y cada valor

esta identificado con un índice, comúnmente la

letra i escrita en la parte inferior de la; es

decir, cada valor está representado por X,

Pueden ser empleadas


307


308

[F3](Mean) [F6], (flecha hacia la derecha),

[F6] (flecha hacia la derecha) [F1] (List) [I] (si

fuera la Lista 1) [)] (marca paréntesis) y

[EXE]. Aparece en la pantalla el valor de la

media de la Lista 1, Mean (List 1).


• Paso 1: introduzca los datos en una lista;

• Paso 2: teclee [2nd] [STAT)(LIST); escoja

MATH y digite [3], apareciendo mean:;

• Paso 3: teclee [2nd) [1] [ENTER].

• Con el Excel

Para el cálculo de la media aritmética con el

Excel, se emplea Colocar Función con los

siguientes pasos:

• Paso 1: primero, escoja una celda

(volviéndola activa) donde desea colocar el

resultado deseado;

• Paso 2: oprima dos veces en el icono Colocar

Función, abriéndose la pantalla

correspondiente a la Figura 2.1;

• Paso 3: oprima en el cuadro de la izquierda,

en la categoría Estadística y, en el cuadro de la

derecha, en MEDIA (la cual debe encontrarse

accionando la barra de deslizamiento lateral) y,

en la parte inferior, en OK; aparece la pantalla

de la Figura 2.2.

• Paso 4: digite en el rectángulo Num 1 (que

ahora tiene una señal vertical intermitente),

las celdas inicial y final del conjunto de valores

para los cuales desea determinar la media

aritmética de la muestra, separadas por dos

puntos o, si no, seleccione el conjunto de

valores oprimiendo en la primera celda y

llevando el puntero del mouse (sin soltar el

botón izquierdo) hasta la última celda (sin

preocuparse por la notación, incluyendo el

signo $); en este último caso, obsérvese que

en Num 1 aparecen las columnas inicial y final

donde fueron digitados los valores y, a la

derecha, aparece una parte de la lista de estos,

a continuación aparece Num 1 (el resultado de

la media aritmética de la muestra aparece en

el extremo inferior izquierdo, Resultado de la

formula).

• Paso 5: haga click en OK; cierre la pantalla y

el resultado aparece en la celda tornada activa

en el Paso 1.

• Ejercicio-ejemplo 2,3

Usando el Excel, determine la media aritmética

del número de empleados de las empresas

mencionadas en la Tabla 2.1.

DETERMINACIÓN DE LA MEDIA

ARITMÉTICA PONDERADA DE LA MUESTRA

La media ponderada de una muestra es la

resultante de un conjunto de valores de los


309

cuales algunos tienen más importancia (o

frecuencia de presentarse) que los otros.

“El Instituto Brasileño de Geografía y

Estadística (IBGE) va a revisar el cálculo del

índice de inflación (INPC) para que refleje más

fácilmente el costo de vida... El sector del

vestuario, con un peso del 10% en la

conformación del índice, debe quedar con una

producción entre el 5% y el 6%. "4

• Con el lenguaje familiar

Debe multiplicarse cada valor por el número

atribuido a su importancia en el conjunto de

datos (el número es llamado el peso o

ponderación), sumar todos los productos así

obtenidos y dividir el total por la suma de los

pesos.

"El examen oral y la redacción tienen peso dos.

Queremos un alumno que sepa expresarse;

por esto, nuestros exámenes orales y de

redacción tienen peso dos."5


En la Tabla 2.2 se relaciona la puntuación de

los 20 primeros puestos en el ranking del

fútbol brasileño - versión 1998 - y la cantidad

de campeonatos y sub-campeonatos ganados

en diferentes torneos por esos equipos. La

puntuación de cada equipo se relaciona en la

Tabla 2.3. Con base en esas informaciones,

encuentre la puntuación de los que ocupan los

dos primeros lugares.

• Con la calculadora HP 48G

Este procedimiento emplea dos listados: uno

que contiene los valores y otro que contiene la

frecuencia con la que se ha presentado ese

valor. La frecuencia de los datos en la celda 1

del primer listado, esta indicada por el valor de

la celda 1 de la segunda lista, etc. Los dos

listados, deben contener la misma cantidad de

datos; en caso contrario, aparece un mensaje

de error.

•Paso 1: escriba los datos en las dos columnas

en ΣDAT, la primera con los valores y la

segunda con las frecuencias de los valores,

respectivamente;

• Paso 2: oprima las tedas verde y [5]; se abre

una pantalla con opciones;

• Paso 3: escoja Summary Sats... y tedee [F];

• Paso 4: marque ΣXY y oprima la tecla blanca

[F] (OK); aparece el resultado de la sumatoria

de los productos;

• Paso 5: digite el total de los números; teclee

[÷] y aparece la media ponderada.

• Con la calculadora Casio CFX-9850GI9

95OG

Este procedimiento emplea dos listados: uno

que contiene los valores y otro que contiene la

frecuencia con la que se presenta cada valor.

La frecuencia del dato de la celda 1 en la

primera lista, esta indicada por el valor de la

celda 1 del segundo listado, etc. Los dos

listados deben contener la misma cantidad de

datos pues, en caso contrario, aparece un

mensaje de error.

• Paso 1: inserte los datos de los dos listados:

el primero con los valores y el segundo con las

frecuencias de los valores respectivamente;

• Paso 2: tedee [MENU] para ir a la pantalla

principal;

• Paso 3: coloque el cursor en la opción RUN y

teclee [EYE];

• Paso 4: oprima, en orden, las teclas [OPTN],

[F1] (LIST), [F6] (flecha hacia la derecha) [F3]


310

(Mean) [F6], (flecha hacia la derecha), [F6]

(flecha hacia la derecha) [F 1) (list) [1] (si es

la lista 1), teclee [,] (localizada sobre la tecla

[DEL)), [F 1 ] (list) [2] (si es la lista 2) [) ]

(flecha de paréntesis) y [EYE]; aparece en la

pantalla el valor de la media ponderada de los

valores del listado 1 que tiene los pesos del

listado 2.


• Paso 1: cree las dos lista, la primera con los

valores (Lista 1) y la segunda (lista 2) con los

pasos.


311

• Paso 2: teclee [2nd] [STAT] (LIST); escoja

MATH y digite [3], y aparece mean;

•Paso 3: teclee [2nd] [1] [,] [2"d] [2] [ENTER].

• Con el Excel

Para el cálculo de la media aritmética

ponderada de la muestra, emplee la función

Colocar Función con los siguientes pasos:

• Paso 1: digite en una columna los valores

para los cuales se desea la media aritmética

ponderada; en la columna A, por ejemplo, de

Al hasta A5, y en la columna B, los respectivos

pesos desde B 1 hasta B5;

• Paso 2: escoja una celda donde quiera que

aparezca el resultado, volviéndola activa;

• Paso 3: tedee dos veces en la celda activada

y digite:

=SUMAR PRODUCTO (A1:A5; B 1:B5)/SUMA (B

1:B5);

• Paso 4: teclee ENTER y el resultado aparece

en la celda activada.

Excelencia Empresarial Indicador creado par

Maiores e Melhores. Es obtenido por medio de

la suma de los pesos ponderados conseguidos

por las empresas en cada uno de los seis

indicadores de desempeño: liderazgo en el

mercado (peso 10), crecimiento en ventas

(peso 20), rentabilidad de patrimonio (peso

25), activos corrientes (peso 20), inversiones

no inmovilizadas (peso 15) y valor agregado

por empleado (peso 10). Observar que, a la

rentabilidad y a las inversiones no

inmovilizadas apenas les son atribuidos puntos

cuyos índices son positivos. En cada indicador,


312

la escala de los puntos iniciales ya desde 10

para el primer lugar, hasta I para el décimo.

Así, el primer lugar en rentabilidad obtiene 250

puntos, 10 veces los puntos iniciales de peso

25.6

Determinación de la media geométrica de la

muestra

• En lenguaje familiar

La media geométrica de una muestra es un

número que, teniendo en cuenta la totalidad de

los elementos de la muestra, los representa a

todos, sin alterar el

Medida geométrica de la muestra

resultado de tomar la raíz de orden n del

producto de todos los valores de la

muestra.


313


314

•Paso 3: haga click en el cuadro de la

izquierda, en la categoría Estadística y, en el

cuadro de la derecha, MEDIA.GEOMETRICA

(que se alcanza con la barra de rotación

lateral); en la parte inferior, pulse OK y

aparece la Figura 2.5;

• Paso 4: digite, en el rectángulo Num. I (que

muestra una señal vertical intermitente), las

celdas inicial y final del conjunto de valores

para los cuales desea calcular la media

geométrica de la muestra, separadas por dos

puntos y entonces, registre el conjunto de

valores pulsando y llevando el puntero del

mouse (sin soltar el botón); en este último

caso, observe que en Num I aparecen las

columnas inicial y final donde fueron digitados

los valores y, a la derecha, parte de ese

listado; una vez llenado Num I, el resultado de

la media geométrica aparece en el extremo

inferior izquierdo (Resultado de la formula);

• Paso 5: pulse OK; cierre la pantalla y el

resultado aparece en la celda activada en el

paso 1.

"El estimativo de IBGE para la labranza del

arroz irrigado en la zafra de 198/99 es de un

área de 895.088 hectáreas, (una hectárea

equivale a 10.000 m2.) con una producción de

4.629.361 toneladas (una tonelada equivale a

1000 kilos), y una productividad inicial de 5. ;

72 kilos por hectárea. "


a. La, importaciones brasileñas durante 1998

fueron las siguientes, en billones de dólares:

enero 4.577; febrero, 3.799; marzo, 5.038;

abril, 4.779; mayo, 4.913; junio, 4.844; Julio,

5.329; agosto, 4.634, septiembre, 5.338,

octubre, 5.039, noviembre, 4.709, diciembre,

4.538.8 Determine la media de las

importaciones brasileñas en 1998.

b. El crecimiento del Brasil fue del 2.8% en

1996, 3.7% en 1997 y 0.5% en 1998.9

Determine la tasa media de crecimiento del

Brasil en esos tres años.

Entendiendo el concepto de la mediana

La mediana de una muestra es el valor que

ocupa la posición central de la lista, cuando los

valores están colocados en orden creciente o

decreciente e incluyendo también los valores

repetidos, individualmente, en la lista orde-

nada. La mediana de la muestra divide al

conjunto total en dos partes iguales, con la

mitad de los valores sobre la mediana de la

muestra y la otra mitad debajo de ella. La

mediana de la muestra puede no pertenecer a

un conjunto original de valores.

Cuando la cantidad de valores es impar, la

mediana de la muestra es el valor que ocupa la

posición central, la cual, es única.

Cuando la cantidad de valores es par, hay dos

posiciones centrales en la lista ordenada;

entonces, la mediana de la muestra es la

media aritmética de esos dos valores que

ocupan las posiciones centrales.


315

DETERMINACIÓN DE LA MEDIANA DE LA

MUESTRA


Haga una lista de la muestra y compruebe cual

es el valor que ocupa la posición central; si hay

un número par de valores, hay dos posiciones

centrales y, en ese caso, la mediana de la

muestra es la media aritmética de los valores

que ocupan esas posiciones.


Determine la mediana del comportamiento de

la Bolsa de Valores de Río de Janeiro en la

primera semana de enero de 1999, con base

en el 0%: 2a ronda: +i.4%; 3a ronda. +2.4%;

4a ronda: +2%, 5a ronda: -3.1% y 6a ronda: -

1.2%. 10


Determine la mediana de los siguientes índices

de reajuste de alquileres: IPCA, 1.76%; IGP,

1.41%; INPC, 2.64%; e IGP-M, 2.18%."

•Con las formulas

Haga una lista con los n valores de la muestra;

si hay un número impar de valores, la mediana

de la muestra es el valor que ocupa la (n +

1)/2-ésima posición a partir del comienzo de la

lista.


Determine la mediana del comportamiento de

la Bolsa de Valores de Río de Janeiro en la


en el 0%: 2a ronda: +1.4%; 3a ronda: +2.4%;

4a ronda: +2%; 5a ronda: -3.1 %; y 6a ronda:

-1.2% 12

Si hay un número par de observaciones,

(n+I)/2 no es un número entero, sino un

número de la forma (entero + 0.5). Entonces

la mediana de la muestra es la media

aritmética de los valores que están en las

posiciones (entero) .y (entero + 1) a partir del

comienzo de la lista.


Determine la mediana de los siguientes índices

de reajuste de alquileres: IPCA, 1.76%; IGP,

1.41%; INPC, 2.64%; e IGP-M, 2.18%.13


•Paso 1: digite los valores en una columna de

la matriz;

•Paso 2: en la primera fila de la pantalla

principal aparece [HOME EXAMPLES PRGS];

tedee [VAR] y [C] (Media); aparece el

resultado.


9850G/995OG

• Paso 1: digite los daros en una de las listas;

• Paso 2: teclee [MENU] para ir a la pantalla

principal;

• Paso 3: coloque el cursor en la opción RUN y

teclee (EYE];

•Paso 4: oprima, en orden, las tedas [OPTNJ,

[F1] (LIST), [F6] (flecha hacia la derecha) [F4]

(Med) (F6], (flecha a la derecha), [F6] (flecha

hacia la derecha) [F1] (list) [1] (si es la Lista

1) D] (flecha entre paréntesis) y [EXE].

Aparece en la pantalla el valor de la mediana

de la Lista 1: Median (List 1).


• Paso 1: almacene los valores en la Lista 1;

•Paso 2: teclee [2"d] [STAT] (List) MATH 4:

median;

•Paso 3: teclee [2"d] [11 [L1] [ENTER].

•Con el Excel

• Paso 1: en primer lugar, escoja una celda en

la cual quiera colocar el resultado deseado,

Medida de una muestra

En un listado ordenado creciente o decreciente

con respecto a la magnitud de los valores de una

muestra, es el valor(o la medida aritmética de los

valores) que ocupa(n) la posición central de la

lista


316

volviéndola activa;

• Paso 2: haga click dos veces en Colocar

Función y escoja la función MED, apareciendo

una pantalla como la de la Figura 2.6:

•Paso 3: haga click en el cuadro a la derecha,

MED y, en la parte inferior, OK; aparece una

pantalla como la de la Figura 2.7;

•Paso 4: digite, en el rectángulo Num I (que

ahora muestra una señal vertical intermitente),

las celdas inicial y final del conjunto de valores

para los cuales quiere determinar la mediana

de la muestra, separados "por dos puntos" (en

el Ejercicio-ejemplo 2.1; A1:A80); a continua-

ción, seleccione el conjunto de valores

haciendo click en Al y llevando el cursor del

ratón (sin soltar el botón izquierdo) hasta la

celda A80 (no se preocupe por la notación

$A$1: $A$80); en este último caso, observe

que en Num I aparecen las columnas inicial y

final donde fueron digitados los valores y, a la

derecha, parte de un listado de los mismos;

• Paso 5: una vez llenada Num I, oprima en

OK, cierre la pantalla y el resultado aparece en

la celda activada en el Paso 1.

La revista EXAME- Maiores e Melhores de julio

de 1998, mostró la rentabilidad de las 10

mejores empresas en el sector de la

electrónica en función del retorno de la

inversión obtenido en el año, expresado en %

(Tabla 2.4).

fuente revista:EXAME-maiores e melhores,Julio

de 1998

La mediana de las 22 empresas es igual a 6.5,

la media aritmética de los retornos de la

inversión de las empresas que se encuentran

en las posiciones

11 y 12 (y que no están en la tabla). Observar

que todos los retornos tabulados son mayores

que la mediana.


317


Determinar la median de los valores de la

Tabla 2.1


La aparición del lenguaje JAVA como lenguaje

de programación con aplicación en la Web,

independientemente del sistema operacional

utilizado, estimuló el desarrollo de aplicaciones

para las demostraciones interactivas vía

Internet. Diríjase al sitio

http://www.ruf.rice.edu/-lane/stat-

sim/index.htm/ o al http://www.ruf.rice.edul-

lane/stat...sim/descriptive/index.html y mire

una serie de simulaciones, entre las cuales

están Mean and Median, que demuestran las

propiedades básicas de la medida aritmética y

la mediana.

Instrucciones: un botón, Begín, (comenzar)

aparecerá a la izquierda cuando el apples

acaba de ser cargado, lo cual toma

aproximadamente dos minutos, a la velocidad

de 33.4 kBps. Si el botón no aparece,

probablemente su browser no soporta el

lenguaje JAVA. Es posible conectarse a

cualquiera de esas direcciones,

independientemente del browser, pero para

que las demostraciones funcionen, es

necesario que el browser tenga capacidad para

ejecutar los applets.

ENTENDIENDO EL CONCEPTO DE LA MODA

La moda de la muestra es el valor que más

aparece en la muestra. Cuando sólo hay una

moda, la muestra se denomina unimodal; con

dos modas, bimodal; con tres modas, trimodal

y con cuatro o mas modas, se llama polimodal

o multimodal. Si todos los valores se presentan

la misma cantidad de veces, la muestra se

llama amodal. La moda de la muestra siempre

pertenece al conjunto original de valores.

DETERMINACIÓN DE (A MODA DE LA

MUESTRA


Para determinar la moda de la muestra, es

suficiente encontrar el valor que más veces

ocurre.


Determine la moda de las primeras marcas

comerciales que se le ocurran:14 OMO, 8%;

Coca-Cola, 5%; Bombril, Natura, Phillips y

Avon, 1%.


Determine la moda de las marcas de tenis mis

recordadas por usted, exceptuando a

Olympicus, 15%15; Rainha, 14%; Nike, 14%;

Adidas, 7% y Reebok, 4%.

• Con las formulas

No hay fórmulas para determinar la moda, si la

variable es discreta. No obstante, para

variables continuas muchos textos presentan

formulaciones para su cálculo aproximado.

•Con la calculadora

Generalmente, no se encuentra la moda con la

calculadora.

•Con el Excel

El Excel no calcula correctamente la moda de

una muestra, excepto si ésta es unimodal; en

caso de que haya más de una moda en la

muestra, el Excel solamente reconoce el valor

más frecuente que aparece de primero en la

lista ignorando cualquier otra moda existente.

Dicho ésto, en Colocar Función se tradujo

erradamente la palabra inglesa mode por modo

cuando la más correcta y más usada

Moda

Valor que con mayor frecuencia se presenta en la

muestra


318

extensivamente es moda.

Aunque no se recomienda calcular una moda

en el Excel los pasos son semejantes a los del

cálculo de la media aritmética de la muestra y

de la median de la muestra, pero empleando

ahora la función MODO, tal como aparece en la

Figura 2.8

∎ Ejercicio-ejemplo 2.13

Determinar la moda de los valores de la Tabla

2.1

“Perfil. El turista brasileño tiene entre 30y 40

años, una renta promedio de R$ 1800."

escuela secundaria completa. Viaja dos veces

al año en bus. Su objetivo principal es el de

visitar a sus parientes y amigos. La mayoría -

70%- viaja en la estación alta. Los viajes

duran, en promedio, 12 días. Este es el perfil,

trazado por la Fundación Instituto de

Investigaciones Económicas, de la USP, del

turista brasileño en 1998. Los datos figuran en

la publicación Datos Estadísticos de Turismo -

1998.”16


Visite la dirección de Embratur- Empresa

Brasileña de Turismo (www.embratur.gov.br) y

actualícese en cuanto a los datos sobre el

turismo en el Brasil.

UN NÚMERO PARE MOSTRAR LA

VARIABILIDAD DE LOS DATOS: LAS

LLAMADAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Se comprobó, a lo largo de la historia de la

Estadística, que la mejor y más usada medida

de tendencia central es la media aritmética de

la muestra. Sin embargo, la media aritmética

de la muestra, por si sola, no suministra toda

la información necesaria para describir

adecuadamente los valores de las unidades

observadas. Considere, por ejemplo, los

valores, en kilómetros, de las dos muestras A y

B:

• Muestra A: 30 Km, 30 Km, 30 Km.

• Muestra B: 20 km, 30km, 40 km.

Aunque cada muestra tiene la misma media

aritmética, 30 km, se observa que hay mayor

variabilidad en la muestra B que en la muestra

A.

De esa manera, para describir adecuadamente

una muestra es necesaria otra medida que,

además de la información sobre el valor

representativo del conjunto de valores de la

muestra (dado por la medida de tendencia

central), exprese la variabilidad de esos

valores en relación con una determinada refe-

rencia. Cuanto mayor sea esa medida de

variabilidad, mayor es la dispersión del

conjunto de valores de la muestra.

DEDUCCIÓN INTUITIVA DE LAS MEDIDAS

DE VARIABILIDAD EN LENGUAJE

FAMILIAR

La forma más sencilla y natural para medir la

dispersión de una muestra es calcular la

diferencia entre los valores mayor y menor;

esa diferencia se llama la amplitud total o

rango de la muestra.

Continuando con el ejemplo anterior, la

amplitud total para la muestra A es 0 km (30


319

km menos 30 km) y para la muestra B, 20 km

(40 km menos 20 km), por lo cual se concluye

que la muestra B tiene mayor variabilidad,

es decir, es mas dispersa que la muestra A.

Entre mayor sea la amplitud total, mayor es la

variabilidad entre los extremos de los valores

ordenados. Esta primera medida de dispersión

sería útil si no tuviese la característica de

considerar únicamente los valores extremos,

ignorando los demás valores, lo que pudiera

conducir a una conclusión errada con respecto

al conjunto. Por esta razón, la conclusión

racional inmediata fue la de tratar de encontrar

otra medida que tuviese en cuenta todos los

valores y no sólo los extremos. Estudios

sistemáticos a lo largo del tiempo demostraron

la necesidad de tener un valor de referencia, y

la media aritmética de la muestra se revelo

como el punto de referencia más adecuado. De

esa forma, a partir de la media aritmética de la

muestras se calculan las más usuales medidas

de dispersión. Teniéndose ahora un punto de

referencia, la forma más natural de medir la

dispersión es calcular las diferencias de cada

valor con respecto a ese punto de referencia y

sumarlas para obtener un total general.

Ahora consideremos las muestras A y B: para

la muestra A,

(30 km - 30 km) + (30 km - 30 km) + (30 km

- 30 km) = 0 km+0 km+0 km=0 km

y para la muestra B,

(20 km – 30 km) + (30 km – 30 km) + (40 km

– 30 km)= - 10 km + 0 km +10 km = 0

km.

Aunque sea una medida intuitiva, esa suma de

diferencias será siempre igual a 0, pues el total

de las diferencias negativas es igual al total de

las diferencias positivas. Por esta razón, se

continuó la investigación para encontrar una

medida de dispersión que indicase que la

muestra B es más dispersa que la muestra A.

Observando los sumandos, se comprueba que

el signo que indica la diferencia entre cada

valor y la media aritmética de la muestra hace

que la suma de todos esos elementos sea igual

a cero. Siendo así, la segunda tentativa consis-

tió en ignorar los signos, es decir, tomar el

valor absoluto* y /5/ = 5). Hecho esto, se

obtiene para la muestra A

/30 km - 30 km/ + /30 km - 30 km/ + /30 km

- 30 km/ = /0 km/ + /0 km/ +/0km/= 10km+

0km +0km= 0km

y, para la muestra B,

/20 km - 30 km/ + /30 km -30 km/ + /40 km -

30 km/ = /-10 km/ + /0 km/ + / 10 km/ = 10

km + 0 km + 10 km = 20 km, encontrándose

de nuevo que la muestra B es más dispersa

que la muestra A.

Sucede que, en Matemáticas, efectuar

operaciones con valores absolutos de funciones

es, usualmente, difícil. La solución de eliminar

el signo, tomando el valor absoluto de los

valores y sumar todas esas diferencias, ahora

positivas,

“El valor absoluto o módulo de un número es

independiente del signo; se representa al valor

absoluto de un número y colocándolo entre dos

barras verticales. Por ejemplo, I-51 = 5

aunque indique cuál es la muestra más

dispersa con relación a una referencia, no es

práctica cuando se pasa a una formulación

herejía

En las interpretaciones de los datos,

considerar solamente las medidas de

tenencia central.

Amplitud total o rango de la muestra

Es la diferencia entre los valores mayor y

menor conjunto de números de la muestra


320

algebraica, sin valores numéricos. Se encontró

una medida adecuada para la variabilidad, pero

surgió el problema de su desarrollo algebraico.

La idea siguiente consistió en tratar de eliminar

el signo de cada diferencia sin emplear el valor

absoluto; la solución natural es la de elevar al

cuadrado cada una de las diferencias y

sumarlas de manera similar a la ya hecha. En-

tonces, para la muestra A,

(30km -30 km)2 + (30 km-30 km)2 + (30 km-

30 km)2 = (0 km)2 + (0 km)2+ (0 km)2 = 0

km2,

y para la muestra B,

(20 km - 30 km)2 + (30 km - 30 km)2 + (40

km - 30 km)2 = (-10 km)2 + (0 km)2 + (10

km)2= 100 km2 + 0 km2 + 100 km2 = 200 km2

comprobándose una vez más, que la muestra B

es más dispersa que la muestra A.

Como la variabilidad debe ser expresada como

una síntesis, se desea un valor único que

teniendo en cuenta todos los elementos del

listado no altere su característica, que es la

suma de esas diferencias al cuadrado. Tal

como se vio, ese valor único es la media

aritmética, pues la característica que la media

aritmética no altera es la suma. Además,

obsérvese que se está calculando el cuadrado

de la diferencia entre cada valor y la media

aritmética de esos mismos valores,

presentándose una redundancia; para

compensar esa situación, se divide la suma

final por (n - 1) en vez de n.

Este valor, resultante de la división por (n-1)

de la suma de las diferencias al cuadrado entre

cada valor de la muestra y la media de la

muestra, se llama varianza maestral.

Para la muestra A,

Varianza muestral

Medida de variabilidad resultante de la división (n-1)

de la suma de las diferencias al cuadrado entre cada

valor de la muestra y la medida de la muestra.

Vimos en el Capítulo 1 que, usualmente, se

desea estudiar cierta característica numérica

de un conjunto de elementos de una población.

Por ejemplo, en una población de carros (en la

cual cada carro es un elemento de la

población), puede desearse conocer el

kilometraje promedio por cada litro de

combustible. Esta medida característica de la

población es llamada un parámetro. Al tomarse

una muestra de la población, de los elementos

de está se obtiene una medida de la

característica que está siendo observada con el

fin de sacar una inferencia con respecto a la

población.

Cualquier operación matemática realizada con

esas medidas de la muestra, es llamada

estadística y el valor obtenido para esa

estadística se llama un estimativo del

parámetro de la población.

Se justifica la división por (n-1) porque, si hay

pocos valores disponibles, el estimativo de la

varianza de la población, así como la media, es

de poca precisión. Para la media de la muestra,

la precisión depende de la cantidad de

resultados utilizados en su cálculo, pero para la

varianza muestral, la precisión esta

subordinada a la cantidad de diferencias

independientes entre los valores a partir de los

cuales la varianza de la muestra es calculada.

Generalmente, las medidas se toman en una

muestra tomada de una población de la cual se


321

desconocen la media y la varianza. Si se hace

una medición y se encuentra que ´X = 193, se

tiene un estimativo de la media verdadera `X

= 193, igual a su propio valor X, pero no se

tiene una idea de la precisión de esa medida.

Si el cálculo de la varianza se hiciese

dividiendo por n igual a 1, la varianza sería

lo cual no es cierto, porque esta es

indeterminada, ya que no existen valores

suficientes para su cálculo. Siendo esto así, la

varianza muestral debe ser calculada con la

expresión

lo cual es una indeterminación, tal como debe

ser.

Si se hace una segunda medida, por ejemplo

183, se tiene un mejor estimativo de la media,

y también una comparación o diferencia sobre

la cual basarse para un estimativo de la

varianza de la muestra.

Nótese que las diferencias de cada una de las

observaciones a partir de la media no son

independientes, pues la media fue calculada a

partir de esos mismos valores; Como ´X = 188

y x1 = 193, entonces x2 es necesariamente

igual a 183; se dice, entonces, que el

estimativo tiene 1 grado de liberal. El divisor (n

- 1) representa lo que se llama grados de

libertad, es decir, la cantidad de

comparaciones independientes que pueden

hacerse entre las n unidades de la muestra. Si

hay n unidades de observación, hay n valores

(valor 1, valor 2,……, valor n) representados

por x1,………., xn y pueden hacerse (n - I)

comparaciones independientes de la clase de

un valor menos el otro, (xi - xi ) porque la

media aritmética de la muestra, ´X, es

calculada a partir de las n observaciones; silos

valores ´X y (n - 1) son dados, el último queda

determinado. Por ejemplo, si la media muestral

de 4 números es 9 y son conocidos los valores

6, 8 y 12, el último valor debe ser

necesariamente 10.

Otro ejemplo: si tres observaciones tienen

solamente dos comparaciones independientes,

y si se hacen dos comparaciones, por ejemplo,

el valor I menos el valor 2, (x1 – x2) y el valor

1 menos el valor 3, (x1 – x2), la tercera

comparación será conocida, porque el valor 2

menos el valor 3 = (valor 1 menos valor 3)

menos (valor I menos valor 2), es decir, (x2 -

x3) _ (x1 – x3) -( x1 - x2).

Sucede que, en el cálculo de la varianza

muestral, al elevarse al cuadrado la diferencia

entre cada valor y la media aritmética de la

muestra, la unidad de medida de los valores

originales también se eleva al cuadrado. Es

decir, se resuelve un problema de desarrollo

algebraico sin usar el valor absoluto de los

valores, pero se creó un problema con las

unidades de medida, existiendo una para la

medida de tendencia central y otra para la

dispersión, pero esta aparece ahora elevada al

cuadrado. Para que las unidades vuelvan a sus

dimensiones originales, es necesario extraer la

raíz cuadrada de la varianza de la muestra.

Cuando esto se hace, se define la medida de

dispersión más importante para una muestra:

la llamada desviación típica muestral que es la

raíz cuadrada positiva de la varianza de la

muestra. Para la muestra A, se tiene que la

desviación típica muestral es igual a

MITO

La desviación típica es una medida que sirve

únicamente para resolver problemas en las

cuáles ellas es conocida.


322

y, para la muestra B, la desviación típica

muestral es =

Desviación típica muestral

La desviación típica muestral de n valores esta

simbolizada por s y se calcula con la fórmula

Determinación de las medidas de

variabilidad con las calculadoras


Amplitud total de la muestra

• Paso 1: determine el máximo y el mínimo de

los datos en SINGLEVARIABLE STATISTICS;

• Paso 2: calcule la amplitud total, restando el

mínimo del máximo.

Varianza de la muestra

• Pasos 1, 2, 3, y 4: iguales al cálculo de la

media aritmética;

• Pasos 5: escoja Sample en TYPE;;

• Paso 6: en SINGLE-VARIABLE STATISTICS,

escoja VARIANCE (varianza), en la, primera fila

debajo de TYPE:, oprima la tercera tecla

blanca, [C] (equivalente a √ CHK, check, que

significa verificar). El nombre VARIANCE

aparecerá con el símbolo √ a su lado.

• Paso 7: oprima la última tecla blanca, [F];

aparecerá en la pila el resultado de la varianza

muestral, Variante___.

Desviación típica de la muestra

• Pasos 1,2, 3 y 4: iguales al cálculo de la

media aritmética;

• Paso 5: escoja Sample en TYPE:;

• Paso 6: en SINGLE-VARIABLE STATISTICS,

escoja STD DEV (Standard deviation,

desviación típica), en la primera fila debajo de

TYPE:, oprima la tercera tecla blanca, [C]

(equivalente a -1 CHK, check, que significa

verificar). El nombre STD DEV aparecerá con el

símbolo √ a su lado;

•Paso 7 oprima la última tecla blanca, [F];

aparecerá en la pila el resultado de la

desviación típica, Std Dev:___.

•Con la calculadora Casio CFX-

9850GI995OG


• Paso 1: escriba los datos en una de las listas;

•Paso 2: teclee [MENU] para ir a la pantalla

principal;

• Paso 3: coloque el cursor en la opción SEAT y

teclee [ EXE] [F2] y [F 1];


323

• Paso 4: en I-VAR, teclee en la flecha dirigida

hacia abajo y anote MinX y MaxX.

•Paso 5: calcule la amplitud tomando la

diferencia entre MinX y MaxX.

Varianza de La muestra


• Paso 2: teclee [MENU] para ir a la pantalla

principal;

• Paso 3: coloque el cursor en la opción STAT y

tedee [EXE];

• Paso 4: teclee [F6] y [F2] (CALC- para

cálculos estadísticos);

• Paso 5: teclee [F1] (1 - VAR) y la desviación

típica x" aparecerá;

• Paso 6: eleve al cuadrado la desviación típica

para obtener la varianza muestral.

Desviación típica


•Paso 2: teclee [MENU] para ir a la pantalla

principal;


teclee [EYE], [F6] y

[F2]: CALC para cálculos estadisticos;

• Paso 4: teclee [F6] y [F2] (CALC para

cálculos estadísticos);

•Paso 5: teclee [F 1] (1 - VAR) y la desviación

típica xn-1aparecera.

•Con la calculadora Texas TI-83


• Paso 1: coloque los valores en una lista, por

ejemplo, en la Lista 1;

• Paso 2: determine el máximo: [2nd] [STAT]

MATH 2: max [2nd] [1] (si los datos están en la

Lista 1);

• Paso 3: determine el mínimo: [2nd] [STAT]

MATH 1: min [2nd] [1];

• Paso 4: reste el mínimo del máximo.




• Paso 2: teclee [2nd] [STAT] MATH 8: variance

[2nd] [ 1 ] [ENTER] ;

Desviación típica



•Paso 2: teclee [2nd] [STAT]MATH 7: stdDev

[2nd] [1] [ENTER].

Determinación de las medidas de

variabilidad con la ayuda del Excel


No es posible, con la función Colocar Función,

calcular directamente la amplitud de toda la

muestra.


Los dos primeros pasos son semejantes al

cálculo de la media aritmética de la muestra y

de la mediana de la misma, escogiéndose

ahora la función VAR en el Paso 3 (Figura 2.9).


Determine con el Excel la varianza muestral de

la Tabla 2.1.

Desviación típica muestral

Los pasos son semejantes a los del cálculo de

la media aritmética de la muestra y de la

mediana de la misma, escogiéndose ahora a la

función DESVPAD, en el Paso 3 (Figura 2.10).


324


Determine, con el Excel, la desviación típica de

la Tabla 2.1.

HABLANDO DE NUEVO SORE LA POBLACIÓN

Conceptos semejantes

Hasta este momento hemos hecho énfasis en

el estudio de las muestras y el desarrollo de las

medidas que las caracterizan. Entre tanto,

puede haber situaciones, aunque de rara

ocurrencia, en las cuales se estudian

poblaciones finitas de tamaño N; en esos casos

se emplean los siguientes conceptos:

Datos brutos listas

• Los datos brutos de la población: son

semejantes a los datos brutos de la muestra;

• Lista de la población: semejante a la lista de

la muestra.

Tanto un concepto como el otro son conocidos,

sencillamente, como los datos brutos y la lista.

Medidas de tendencia central

a. Media aritmética de una población finita de

tamaño N: se encuentra la media aritmética

sumando todos los valores de la población y

dividiéndola por el tamaño N de la misma; se

representa la media aritmética de la población

por la letra griega µ (se pronuncia mǐ) y, de

este modo,

b. La media aritmética ponderada de una

población finita de tamaño N: se determina la

media aritmética ponderada sumando todos los

grupos definidos al efectuar el producto de

cada valor por su peso y dividiendo el total por

la suma de los pesos; se representa la media

aritmética ponderada también por la letra µ y,

así,

El proceso de cálculo de la media aritmética es

el mismo tanto para una muestra como para

una población finita, y ambas son llamadas,

sencillamente, media aritmética.

c. Media geométrica de una población finita de

tamaño N se encuentra la media geométrica

multiplicando todos los valores de la población

de tamaño N y extrayendo la raíz N-ésima y

así, la media geométrica estará dada por

d Mediana de una población finita de tamaño N

la determinación de la mediana es la misma

canto para una muestra como para una

población finita, y ambas se llaman,

sencillamente, la median.

e. Moda de una población finita de tamaño N la

determinación de la moda es la misma Canto

para una muestra como para una población

finita y ambas se llaman, sencillamente, la

moda.

MEDIDAS DE VARIABILIDAD

a. Amplitud total de una población finita de

tamaño N: la determinación de la amplitud

total es la misma tanto para una muestra como

para una población finita, y ambas se

denominan, sencillamente, la amplitud total.

b. Varianza de una población finita de tamaño

N: como ahora puede calcularse la media

aritmética exacta de la población, la situación


325

es diferente de aquella en la cual se estudiaba

una muestra. Por este motivo para la varianza

de la población se divide por N la suma de los

cuadrados de las diferencias entre cada valor

de la población y la media aritmética de la

misma. La expresión para la varianza de la

población simbolizada por o2 (se lee sigma al

cuadrado) y 02 es

Las comparaciones hechas entre los valores,

así como la diferencia de cada valor de la

población y la media aritmética de la población,

son tales que la cantidad de grados de libertad

es igual al total de los valores. La varianza de

una población finita de tamaño N es conocida

como la varianza poblacional.

c. Desviación típica de una población finita de

tamaño N la expresión de la desviación típica

de la población finita, simbolizada por 0 (se lee

sigma), es

La desviación típica de una población finita de

tamaño N es conocida como la desviación típica

de la población.

Obsérvese la notación estadística: los

parámetros de la población son, generalmente,

representados por letras del alfabeto griego y

las estadísticas muestrales, calculadas a partir

de la muestra, con caracteres latinos (en

mayúsculas).

CÁLCULOS SEMEJANTES

CON LA CALCULADORA CIENTÍFICA


Los pasos son semejantes a los cálculos para

las muestras, exceptuando el cálculo de la

varianza y la desviación típica poblacionales:

seleccione, con la tecla [↓] del conjunto de

teclas con las cuatro flechas, [→][←][↑] y [↓],

Populación en pues se desean los parámetros

de la población (Population).


9850G/995OG

Los cálculos son semejantes a los de las

muestras, exceptuando el cálculo de la

varianza y la desviación típica poblacionales.

La desviación típica poblacional esta dada

directamente por x 0 n. Para la varianza

poblacional, se eleva al cuadrado el valor de x

0 n.

•Con la calculadora Texas TI-83

Los pasos son semejantes a los cálculos para

las muestras, exceptuando el cálculo para la

varianza y la desviación típica poblacionales.

La desviación típica poblacional se calcula

extrayendo la raíz cuadrada positiva de la

varianza, tecleando (2nd) (x2) se obtiene la

varianza de la población.

• Con el Excel

Los pasos son semejantes al cálculo con las

muestras de la función Colocar Función, con

dos excepciones:

- Para la varianza de la población, la función es

VARP;

- Para la desviación típica, la función es

DESVPADP


326

CALCULANDO, DE UNA VEZ, LAS MEDIDAS

MÁS IMPORTANTES

• Con la calculadora cientifica HP 48G

Además de que el programa SINGLE-VARIABLE

STATISTICS permite encontrar la suma total

(TOT) del máximo (MAXIMUM) y del mínimo

(MINIMUM) de los valores, se pueden calcular

de una vez todas las variables de los datos

actuales. Los pasos son los siguientes, después

de escribir los datos en ∑DAT:

• Paso 1: oprima la tecla roja, [5] (STAT) y la

tercera blanca, [C], equivalente a 1 VAR en la

etiqueta del menú;

• Paso 2: optima las siguientes teclas blancas:

- la primera, TOT, para obtener la suma total

- la segunda, MEAN, para la media aritmética

- la tercera, SDEV, para la desviación típica de

la muestra

- la cuarta, MAX∑, para el máximo de los

valores

- la quinta, MIN∑, para el mínimo de los

valores

Los resultados aparecerán en la pila

correspondiente.

• Con la calculadora Casio CF X-9850GI995OG

• Paso 1: inserte los datos en una de las listas;

• Paso 2: teclee (MENU) para ir a la pantalla

principal;


teclee (EYE);

• Paso 4: teclee [F2) (CALC), y aparece la

pantalla con la lista de datos;

• Paso 5: teclee [F1) (1 VAR) y aparecerán los

siguientes resultados:

- x (barra): media aritmética

- ∑X: suma de los valores de la lista

-∑X2: suma de los cuadrados de los valores de

la lista

- xσ n: desviación típica de la población

- xσ n-I: desviación típica de la muestra

- n: total del primero de valores en la lista

• Paso 6 oprima la tecla [↓] seis veces, en el

conjunto con las flechas, apareciendo los

resultados:

- minX: mínimo de los valores del listado;

- Q1: valor del primer cuartil;

- Med: valor de la mediana;

- Q3: valor del tercer cuartil;

- X-X σ n: la media menos la desviación típica

poblacional;

- X+ X σ n: la media más la desviación típica

poblacional;

• Paso 7: oprima la teda [↓] dos veces, en el

conjunto con las flechas, apareciendo los

resultados:

- maxX: máximo de los valores del listado;

-Mod: la moda (cuyo resultado debe ser

examinado con cuidado, porque la calculadora

presenta, en un listado amodal, al mayor valor

como si fuera la moda).


• Paso 1: coloque los datos en la Lista L;

• Paso 2: teclee [STAT], escoja CALC, teclee

[1] y aparecerá I-Var Stats....

La pantalla debe mostrar I-Var Stan y el cursor

titilando a su lado;

• Paso 3: introduzca la lista deseada apretando

[2nd] y 1 para L1 y 2 para L2, etc.;

• Paso 4: teclee [ENTER].Aparecen los

siguientes resultados:

- x, la media aritmética de los valores;

- ∑X, suma de los valores;

- ∑X2, suma de los cuadrados de los valores;

- Sx, desviación típica de la muestra;

- -x, desviación típica de la población;

- σ x, cantidad de datos.

La primera pantalla tiene una flecha a la

izquierda del último resultado, indicando que la

pantalla continúa. Para ver los demás

resultados, reclee la flecha azul cinco veces

hasta que todos los datos sean presentados.

- MinX, mínimo de los valores X:

- QI, Valor del primer cuartil:


327

- Med, mediana;

- Q3, valor del tercer cuartil;

- MaxX, máximo de los valores x.

Con el Excel

Las medidas de tendencia central y de

dispersión calculadas una a una con el Excel

pueden también ser obtenidas de una sola vez,

por medio de la herramienta Estadística

descriptiva:

• Paso 1: después de digitados los valores en

la pantalla, ir a la Barra de Menús y

seleccionar Herramientas (Figura 2.11)

• Paso 2: escoja, en la última fila de

Herramientas, Análisis de datos....; si en la

última línea aparece escrito Actualizar vínculos

de suplementos..., haga click en el mismo

menú, Suplementos ...; se abre otra pantalla,

en la cual se debe hacer click sobre los

cuadrados referentes a Herramientas de

Análisis y a Herramientas de Análisis-VBA, y

después en el botón OK; vuelva a

Herramientas y pulse en Análisis de Datos ...,

ahora en la última línea (Figuras 2.12 y 2.13);

• Paso 3: después de que aparezca el cuadro

de Análisis de Datos (con el subtítulo

Herramientas de Análisis), haga click en

Estadística descriptiva, que fijara a las

seleccionadas con color diferente al de las

demás opciones (Figura 2.14);

• Paso 4: haga click en el botón [OK] y retírelo

cuando aparezca el cuadro Estadística

descriptiva (Fig. 2.15);


328

La herramienta Estadística descriptiva crea una

relación con los valores colocados en la

plantilla, dando informaciones sobre la

tendencia central y la variabilidad de los

valores seleccionados, generando dos

columnas de información: a la izquierda con los

nombres de las estadísticas y a la derecha con

los resultados. Para los conceptos estudiados

hasta ahora, el uso de esa herramienta es el

siguiente:

1) En el bloque Entrada"

a. Intervalo de entrada. Digite las celdas donde

se encuentran los valores que se quieren

analizar. En el caso del Ejercicio-ejemplo 2.1,

A1:A80.

b. Agrupado por. Seleccione (haciendo click en

el respectivo cuadrado, cuando aparezca una

"x") el botón de opción "Líneas" o "Columnas"

para indicar si los valores del intervalo de

entrada fueron digitados por filas o por

columnas; en el caso del Ejercicio-ejemplo 2.1,

corno los valores están en la primera columna,

se selecciona "Columnas".

2) En el bloque de "Opciones de salida".

Escoger Nueva plantilla para que los resultados

aparezcan en una nueva plantilla con el mismo

formato de la plantilla actual; digite "Ejemplo I

" en la caja del texto para darle un nombre a la

nueva plantilla.

3) Haga click en la opción Resumen estadístico,

para que el Excel presente, en la plantilla de

resultados, las siguientes estadísticas:

- media: media aritmética;

- error típico (de la media);

- mediana;

- modo (es la moda);

- desviación típica: desviación típica muestral;

- varianza de la muestra;

- curtosis;

- asimetría;

- intervalo: amplitud total;

- mínimo: valor mínimo del conjunto de

números;

- máximo: valor máximo del conjunto de

números;

- suma: suma de todos los valores;

- conteo: cantidad de valores ingresados

- mayor (#)

- menor (#)

- nivel de confianza: concepto que se verá en

el Capítulo 4.

Los resultados de todas las estadísticas

relativas al Ejercicio-ejemplo 2.1 aparecen en

la Figura 2.16.

COMPARACION DE MEDIAS Y

DESVIACIONES TÍPICAS: EL COEFICIENTE

DE VARIACIÓN

No se debe comparar directamente dos o más

medidas de dispersión. ¿Cómo se puede

afirmar que una variabilidad, medida por la

desviación típica de 3"C para una temperatura,

es mayor que una variabilidad, también


329

medida por una desviación típica, de 6.5 m.

para una determinada longitud? Es evidente

que no se puede comparar la temperatura con

la medida y, para volver comprensible una

comparación entre estas magnitudes con

relación a la variabilidad, es necesario

convertirlas para tener un valor relativo. Karl

Pearson, matemático inglés (1857-1936),

quien contribuyó significativamente en la

ciencia estadística, desarrollo una medida

relativa, llamada coeficiente de variación (CV),

calculado por la expresión


Determine el coeficiente de variación de los

datos de la tabla 2.1

Para su uso en la Inferencia Estadística, el

material hasta aquí presentado es suficiente,

porque los conceptos más importantes son la

media aritmética y la desviación típica

muestrales.

Sin embargo, muchas veces es necesario

mostrar, de manera rápida, especialmente

para una gran cantidad de personas, el

comportamiento de las unidades de

observación de la muestra, así como, de

manera sencilla, extraer una inferencia sobre

la población. Esto se consigue por medio de las

tablas y los gráficos.

RESUMEN TABULAR DEL CONJUNTO DE

VALORES

Las Tablas resumen informaciones de las

muestras o de la población y son presentadas

en un formato que permite sacar conclusiones

más fácilmente, aunque de manera limitada,

con respecto al conjunto total de categorías o

valores. Las tablas pueden formarse sin

perdida o con perdida de la información.

TABLA DE FRECUENCIAS SIN PÉRDIDA DE

LA INFORMACIÓN

Para que no se pierda la información, se hace

un listado de todos los valores o categorías de

la muestra o de la población, una en cada

línea, enumerándose las veces que aparecen,

incluyendo las repeticiones, y se cuenta la can-

tidad de veces que aparece cada valor;

“Para algunos autores de lengua inglesa, también

conocido como RSD (relativa standard deviation),

desviación típica relativa.

"El CV es razonable cuando la desviación típica es

estrictamente proporcional a la medida aritmética. Si

la desviación típica es constante en un intervalo

grande de los niveles de la propiedad que está

siendo investigado, el CV es, en ese caso, ilusorio.

Otra desventaja es la que su valor no es muy útil

cuando la medida no es aproximadamente cero

Coeficiente de variación

magnitud relativa de la desviación típica cuando

ésta es comparada con la media aritmética.

Herejía

Presentar los resultados del coeficiente de

variación sin decir si el número ésta expresando

en porcentaje


330

esta entidad recibe el nombre de frecuencia

absoluta. Por esta razón, las tablas presentan

valores o categorías y sus frecuencias y se

llaman tablas de frecuencias.

Para construir manualmente o en el

computador una tabla de frecuencias sin

pérdida de información, se dan los siguientes

pasos:

• Paso 1: escriba, en la parte superior de la

tabla, el título del fenómeno observado;

• Paso 2: trace una línea horizontal de doble

espesor;

• Paso 3: escriba en el renglón siguiente y, a la

izquierda, valores (o categorías);

• Paso 4: trace una línea divisoria sencilla;

• Paso 5: escriba cada valor o categoría en los

renglones siguientes;

• Paso 6: trace una línea vertical, a partir del

nombre valor o categoría, para crear una

segunda columna;

• Paso 7: escriba, en la primera línea de esa

columna, la palabra conteo;

• Paso 8: identifique con algún símbolo, en esa

segunda columna, cada vez que el valor o la

categoría escrito(a) en esa línea aparece;

• Paso 9: trace otra línea vertical, al lado de

conteo, para formar otra columna;

• Paso 10: escriba, en el primer renglón de

esta tercera columna, frecuencia absoluta;

• Paso 11: cuente, en cada renglón, la cantidad

de marcaciones registradas en el paso 8 y

escriba su total en la tercera columna;

• Paso 12: después del último valor o

categoría, trace otro renglón;

• Paso 13: después del último renglón, escriba,

en la primera columna,

Total, resaltado, así como en la tercera

columna, el total de las frecuencias absolutas,

también en forma resaltada;

•Paso 14. Termine la tabla, trazando una línea

horizontal gruesa y completando las líneas

verticales; ahora cierre las partes laterales de

la tabla;

•Paso 15: coloque bajo el último renglón la

palabra Fuente, seguida de dos puntos y

escriba la referencia de donde fueron tomados

los datos.

El aspecto inicial de una tabla de frecuencias

sin pérdida de información es el de la Tabla

2.5. La columna de conteo se usa, en general,

al comienzo del proceso de construcción de la

tabla; el resultado final es el que se ve en la

Tabla 2.6.

Tabla de frecuencia

Reorganización de los valores en orden

creciente o decreciente de magnitud, en tal

forma que una característica de la

población es subdividida en clases o

categorías indicándose la cantidad e veces

en las que se presentan cada clase y

relación el valor (o clase de valores )con la

frecuencia de su aparición.


331

Ejercicio ejemplo 2.17

Basándose en los datos de la tabla 2.7,

construya una tabla de frecuencia sin pérdida

de información.

TABLA DE FRECUENCIAS CON PÉRDIDA DE

INFORMACIÓN

Cuando hay una gran cantidad de categorías o

valores individuales con gran amplitud total, la

tabla sin perdida de información puede ser

Frecuencia absoluta de una categoría o de

un valor.

número de veces que una categoría o valor

aparece en un conjunto de datos: también

llamada frecuencia.


332

muy grande, siendo entonces necesario un

resumen de los datos, para los cuales el inter-

valo de los posibles valores está dividido en

subintervalos, conocidos como clases, con un

límite inferior y uno superior (llamados límite

inferior de clase y limite superior de clase), lo

que dará como resultado una pérdida de

información, pues los valores originales ya no

aparecen individualmente. Para cada clase, la

cantidad de datos en esta es anotada; esta es

la llamada frecuencia absoluta de la clase.

Un requisito esencial para una tabla de

frecuencias es que las clases sean mutuamente

excluyentes y exhaustivas. Es decir, cada valor

en el conjunto de datos debe pertenecer a una

y solamente a una de las clases. Una

característica deseable, pero no esencial, es

que las clases tengan la misma amplitud de

clase, es decir, que todos los intervalos de

clase tengan igual amplitud o extensión.

En una tabla con k clases, la frecuencia de la i-

ésima clase está denotada por ƒi para i = 1, 2,

3,….., k. Si las clases son mutuamente

excluyentes y exhaustivas, ƒ1 + ƒ2 + + ƒn =

n.

La construcción de una tabla de frecuencias

con pérdida de información necesita de las

siguientes etapas:

• Paso 1: determinar la amplitud total de los

valores;

• Paso 2: definir la cantidad de clases,

generalmente entre 5 y 15 (el número exacto

depende de quien-haga la tabla y del problema

en cuestión, de tal manera que los valores no

queden demasiado resumidos o demasiado

dispersos);

•Paso 3: calcular la amplitud de cada clase (es

decir, la amplitud del intervalo de clase),

dividiendo la amplitud total por el numero

escogido de Bases (redondeando generalmente

el resultado para tener un número entero o

múltiplo de 10, para facilitar la interpretación

de los valores);

•Paso 4: establezca los límites de cada clase, a

partir del primer valor (o de un entero

inmediatamente inferior), sumando a cada

límite inferior de clase el valor de la amplitud

de la clase:

- Primera clase: límite inferior de la 1a clase y

límite superior de la 1a clase =límite inferior de

la 1a clase + amplitud del intervalo de clase;

-Segunda clase: límite superior de la 1a clase y

límite superior de la 2a clase = limite superior

de la 1a clase + amplitud del intervalo de

clase, y así sucesivamente;

• Paso 5: escriba, en la parte superior de la

tabla, el título de la situación observada;

•Paso 6: trace una línea gruesa en la parte

superior de la tabla;

• Paso 7: escriba en el primer reglón y a la

izquierda, el título clase:

• Paso 8: trace una línea horizontal sencilla;

• Paso 9: escriba en cada renglón,

sucesivamente, el limite superior, el símbolo I-

es el límite superior de cada clase (para evitar

cualquier duda en cuanto a la posible inclusión

de determinado valor en más de una clase, se

adopta la siguiente notación para los límites

superior e inferior de cada clase: una barra

vertical seguida de una horizontal, queriéndose

decir con esto que esa clase incluyo el valor del

límite inferior pero excluyo el valor del límite

superior);

• Paso 10: trace una línea vertical, a partir del

primer renglón, para formar una segunda

columna;

• Paso 11: escriba en esa segunda columna el

título conteo;

• Paso 12: registre, con algún símbolo, en esa

segunda columna, cada vez que el valor o la

característica de esa línea aparece;

• Paso 13: trace otra vertical, a partir del

primer renglón, para formar una tercera

columna;

• Paso 14: escriba, en el primero renglón de

esta tercera columna, el título frecuencia


333

absoluta;

• Paso 15: cuente, en cada renglón, las

marcaciones y anote su total en la tercera

columna;

•Paso 16- después de la última clase, trace

una línea horizontal;

•Paso 17: después de la última clase escriba,

en la primera columna, Total, resaltado, así

como en la tercera columna, el total de las fre-

cuencias absolutas encontradas, también

resaltado;

• Paso 18: termine la tabla, trazando una

horizontal gruesa; no cierre las partes laterales

de la tabla;

•Paso 19: coloque debajo de la ultima línea, la

palabra Fuente, seguida de dos puntos, y

escriba la referencia de donde fueron extraídos

los datos.


Construya una tabla de frecuencias con pérdida

de información para los datos de la Tabla 2.1.

REPASO DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA

CENTRAL Y DE DISPERSIÓN

Todas las tablas de frecuencias, al resumir los

valores de las observaciones originales,

siempre pierden precisión en la información.

Por ejemplo, si hay 30 valores entre 100,

inclusive, y 3600, exclusive, no se sabe si

todos esos valores son iguales a 100, si hay 20

valores iguales a 200, 5 valores iguales a

1.000 y 10 valores iguales 3.000 o

cualesquiera otra distribución de valores que

resumidos , generasen lamisca frecuencia

absoluta para esa clase.

Por este motivo, para el cálculo de las medidas

de tendencia central, se deben usar siempre

los valores originales, cálculo éste que se

facilita mucho en nuestros días por el uso de

las calculadoras y los computadores. Entre

tanto, los libros de Estadística nos presentan

formas diferentes para el cálculo de la media

aritmética (método largo y método resumido),

de la mediana (por medio del empleo de la

proporcionalidad de los valores) y de la moda

(métodos de King y Czuber). De todos modos,

¿para qué emplear los métodos aproximados si

los cálculos pueden hacerse con los valores

originales? Esos métodos aproximados se

justificaban cuando no existían ni las

calculadoras ni los computadores, siendo, en

aquel entonces, una necesidad práctica, per-

diéndose en precisión lo que se ganaba en

tiempo y en el evitar los errores aritméticos al

tratar con gran cantidad de valores.

Los macacos de muestran hechos básicos con

respecto a la humanidad.17

Comience con una jaula que contenga cinco

macacos. En la jaula, cuelgue un banano de

una cuerda y ponga una escalera bajo el

banano. Al poco tiempo, un macaco irá hasta

la escalera y comenzará a subir para agarrar el

banana. En el momento en que va a tocar la

escalera, moje a todos lo macacos con agua

helada. Después de un rato, otro macaco

intentará de nuevo, con el mismo resultado:

todos los macacos mojados con agua helada.

Quité la ducha de agua helada.

Si, más tarde, un macaco trata de subir por la

escalera, los demás macacos tratarán de

impedírselo aún si no se les moja. Ahora, retire

un macaco de la jaula y cámbielo por otro

macaco; este ve el banano y trata de subir por

la escalera. Para su sorpresa, todos los

macacos lo atacan; después de una nueva

MITO

Si método aparentemente extraños aún existen

los libros de estadísticas, debe de haber alguna

razón histórica para esto, la tradición debe de

continuarse, ya que esta resume la experiencia

acumulada a través de los siglos.


334

tentativa y otro ataque, el aprende que, si

intenta subir por la escalera, será atacado. A

continuación, saque uno de los macacos

iniciales y ponga uno nuevo, el cual tratara de

subir por la escalera y también será atacado;

dos de los cuatro macacos que lo atacaron no

tienen la mínima idea de por qué a ellos no se

les permitió subir por la escalera, o por que

están participando en la agresión al nuevo

integrante del grupo. Después de cambiar al

cuarto y al quinto de los macacos originales,

todos los macacos que han sido mojados con

agua helada serán sustituidos. A pesar de esto,

ningún macaco se aproxima de nuevo a la

escalera. ¿Por qué no? Porque las cosas,

siempre han sido así por acá. Moraleja de la

historia: La tradición no justifica,

necesariamente, el modo de proceder actual

De todos modos, puede haber situaciones en

las que no se tiene acceso a los valores

originales y ni siquiera a las tablas de

frecuencia. Si esto es así, la determinación de

las medidas de tendencia central (y

subsecuentemente, de las medidas de

dispersión) puede hacerse de la siguiente

forma en las tablas de frecuencia con perdida

de información:

Media aritmética. Considere el punto media de

cada clase (semisuma del límite inferior y el

superior) como si fuera el representante de la

clase; para cada una de las clases, multiplique

el punto medio por la frecuencia de la clase;

sume esos productos y divida por el total de

los valores. Los pasos son los siguientes:

• Paso 1: determine el punto medio de cada

clase, dividiendo por 2 la suma de los límites

inferior y superior;

• Paso 2: multiplique cada uno de los puntos

medios de cada clase por la frecuencia

absoluta de la clase respectiva;

• Paso 3: sume todos esos productos;

• Paso 4: divida el total obtenido en el Paso 3

por el total de los valores.


Determine la media aritmética de los valores

de la tabla final del Ejercicio ejemplo 2.17,

obtenida a partir de la Tabla 2.1.

Mediana. Los pasos para el cálculo de la

mediana de los valores de una tabla con

perdida de información, son los siguientes:

• Paso 1: encuentre la posición central,

dividiendo el total de los valores (o total de los

valores más 1) por 2;

•Paso 2: sume la frecuencia absoluta de la

primera clase con la de la segunda clase y así,

sucesivamente; cuando esta suma acumulada

supera al número o números de las posiciones

centrales, deténgase.

La median del conjunto de valores es el punto

medio, de esa primera clase cuya suma

acumulada es inmediatamente superior a la

mitad del total de los valores.


Determine la mediana para los valores de la

tabla final del Ejercicio-ejemplo 2.17, obtenida

de la Tabla 2.1.

En este punto surge el concepto de frecuencia

acumulada de clase. Al sumar a cada

frecuencia de clase el total de los elementos de

todas las clases anteriores, se esta

encontrando la frecuencia acumulada de esa

clase, también conocida como frecuencia

acumulada por debajo de.

Moda. es el punto medio de la clase que tiene

mayor frecuencia.


Encuentre la moda para los valores de la tabla

final del Ejercicio-ejemplo 2.17, obtenida de la

Tabla 2.1.

Amplitud total es la diferencia entre el límite

superior de la última clase menos el límite


335

inferior de la primera clase.


Determine la amplitud total para los valores de

la tabla final del Ejercicio-ejemplo 2.17,

obtenida de la Tabla 2.1

Varianza. En el cálculo de la varianza, cada

valor es sustituido por el punto medio de la

clase 1, XMt es la diferencia en relación con la

media, elevada al cuadrado y multiplicada por

la frecuencia de la clase i, f1 para cada una de

las k clases. Las formulas son:

y para la varianza de la población


Determine la varianza para los valores de la

tabla, al final del Ejercicio-ejemplo 2.17,

obtenida de la Tabla 2.1.

HACIENDO UN POCO DE JUSTICIA EN

LAS COMPARACIONES Y LAS

CLASIFICACIONES

La mayoría de los estudios suministra valores

numéricos que no tienen un significado único y

tienen pocas medidas absolutas, si es que

tienen alguna. Sin embargo, la media

aritmética se convirtió en un clásico punto de

referencia, y las diferencias entre los valores

son presentadas con base en las unidades de

una escala que parte de la media aritmética.

De todos modos, se presentan situaciones que

tienen diferentes medias aritméticas y

desviaciones típicas, siendo esencial tener una

forma de convertir los valores brutos,

provenientes de varias poblaciones y medidos

en diferentes escalas, para obtener alguna

escala común, generalizada. El Ejercicio-

ejemplo 2.24 ilustra la necesidad de tener una

escala única para comparar los resultados.


Con base en los resultados de cuarto

evaluaciones, clasifique a las personas A y B de

acuerdo con la Tabla 2.8.

Tabla 2.8 resultado de cuatro

evaluaciones

Analizando los datos brutos, tanto A como B

tienen un total de puntos igual a 200,

existiendo, entonces, un empate. Pero, las

escalas brutas son arbitrarias y absolutas y no

consideran la posición relativa de cada valor en

relación al conjunto al cual pertenece.

Desgraciadamente, no hay escalas comunes

ideales para codas las situaciones con medidas

que informen sobre los parámetros de la

población, la cual puede tener una media alta y

una poca dispersión, o una media baja y una

alta dispersión. A pesar de estas dificultades,

las escalas tipificadas suministran mejores

resultados que los obtenidos a partir de

comparaciones hechas con base solamente en

Frecuencia acumulada por debajo de…

Frecuencia cumulada por debajo de una

clase es le número de los elementos que

tiene un valor menor que límite superior de

esa clase

Para la varianza de la muestra


336

los datos brutos. Una de esas escalas se

fundamenta en la desviación de cada uno de

los valores con respecto a la media aritmética,

expresándose esta desviación en unidades de

desviación típica. Esta es la escala tipificada,

denotada por z, llamada variable reducida, que

es una cantidad abstracta (es decir,

independiente de las unidades de medida

originales de los valores). Para el cálculo de la

variable reducida z, correspondiente a un

valor, se resta de este valor la media

aritmética del conjunto y se divide por la

desviación típica del conjunto, es decir,

Suponga que las medidas y las desviaciones

típicas de cada uno de los exámenes sean las

constantes de la tabla 2.9

Tabla 2.9 medidas aritméticas y desviación

típica de cuatro evaluaciones


Basándose en las Tablas 2.8 y 2.9, clasifique a

las personas A y B.

Para que la escala reducida no presente

valores negativos, la mayoría de las veces se

puede hacer un cambio de escala, fijándose,

arbitrariamente, una media y una desviación

típica. Por ejemplo, escoja la media 1.000 y

una desviación típica de 100 para transformar

los valores relativos en los nuevos valores por

medio de la expresión: nuevo valor = nueva

media + nueva desviación típica x, es decir, X

= 1.000 + 100z. De esta manera, los nuevos

valores para la persona A, partiendo de sus

valores relativos z se convierten en:

• En el examen A: X = 1.000 +100(0) =

1.000;

• En el examen B: X = 1.000 +100(-2) = 800;

• En el examen C: X = 1.000 +100(1) =

1.100;

• En el examen D: X = 1.000 +100(-1) = 900;

Haciendo los mismos cálculos para la persona

B, todos los resultados pueden ser resumidos

en la Tabla 2.10.

Tabla 2.10 Valores relativos de los cuatro

exámenes, cambiados a una escala donde la

medida es 1.000 y la desviación típica es 100.

Se concluye que la persona A es la mejor, ya

que tiene, en términos de los valores

calculados basándose en los valores relativos,

una ventaja de 700 puntos en relación con la

persona B (puntos equivalentes a la

multiplicación de la diferencia relativa de 7

puntos, multiplicada por la desviación típica

100).

Herejía

Emplear únicamente tablas de frecuencia y

gráficos para sacar conclusiones con

respecto a una población


337

PRESENTACIÓN VISUAL AL PÚBLICO DE

LA MUESTRA 0 LA POBLACIÓN:

CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICOS

Los gráficos facilitan la visualización de los

valores y son ampliamente utilizados en la

representación de los datos estadísticos.

Cuando se elabora cualquier clase de gráfico se

pierde información, pues no existen más las

observaciones originales. Sin embargo,

frecuentemente esa perdida de información es

pequeña comparada con la concisión y la

facilidad de interpretación. De todos modos,

cuando se saquen conclusiones sobre una

población a partir de los gráficos, hay que

tener un redoblado cuidado.


Vaya al site

http://www.math.yorku.caISCS/StatResource.

html, haga click en Gallery/ "Gallery of Data

Visualización -para ver algunos ejemplos de los

mejores y de los peores gráficos estadísticos.

Uno de estos es el gráfico de Minard, referente

a las campañas de Napoleón.

El ingeniero francés Charles Minard ilustro el

desastre de Napoleón en Rusia y muchos

consideran esté gráfico estadístico como el

mejor que hasta ahora se haya hecho;

representa el tamaño del ejercito junto con un

mapa de la campaña en el ataque y en la

retirada, haciendo énfasis en la amplitud del

terreno disponible para el ejército francés,

junto con la temperatura registrada, en un

gráfico de línea en la parte inferior. Aproveche

para explorar otros gráficos en esa dirección de

la Web.

La representación grafica de una serie de datos

permite, al mismo tiempo, una visión general y

alguna caracterización particular de la

población por medio de una correspondencia

entre las categorías o valores y una

determinada figura geométrica, de tal manera

que cada valor o categoría esta

representado(a) proporcionalmente.


Para los valores 5, 15 y 25, haga corresponder

a 5 una altura de 2 cm. Determine las alturas

que corresponden a los valores 15 y 25.

Se debe resaltar que es conveniente, por

motivos estéticos, considerar, en la elaboración

de los gráficos, los siguientes aspectos:

- el grafico, en conjunto, debe encuadrarse en

un rectángulo de dimensiones que lo hagan

agradable a la vista;

- las figuras no deben ser ni muy grandes ni

muy angostas, obedeciendo al gusto estético;

-finalmente, el grafico, por su objetivo de

simplificar, debe contener solamente algunas

divisiones de la escala vertical; las líneas

horizontales deben ser pocas, de tal manera

que lo hagan agradable para la lectura y la

interpretación.

Los elementos complementarios de un gráfico,

son:

- título general que indique la situación

estudiada, la época y el sitio;

- las escalas y las respectivas unidades de

medida;

- la indicación de las convenciones adoptadas

(generalmente cuando representan el resultado

de las observaciones de una misma situación

en dos o más regiones o en fechas diferentes);

- la fuente de la información de donde se

extrajeron los valores.

La estética y la corrección cientifica deben

contribuir para la escogencia de las escalas, de

tal manera que la apariencia del gráfico sea la

adecuada para sacar conclusiones con respecto

a la situación que este siendo analizada.

Generalmente los gráficos deben ser

presentados con la escala de ordenadas

partiendo de cero, con el fin de que la

comparación visual entre las sucesivas

marcaciones en el eje vertical puedan ser


338

hechas correctamente. Sin embargo, la escala

puede comenzarse con cualquier otro valor

cuando se desee, pero si de comparar los

datos se trata, hay que resaltar las variaciones

existentes entre estos.

Existe una gran variedad de formas de

presentación de los valores numéricos, todos

destinados a llamar la atención sobre ellos. En

este libro presentaremos apenas los gráficos

más usados comúnmente.

Descripción de los datos cualitativos

Para estas clases de datos, los gráficos más

utilizados son los de barras, o de columnas y

los de sectores.

Gráfico de barras

Un gráfico de barras ilustra comparaciones

entre categorías; estas son organizadas

verticalmente, pues los valores se disponen

horizontalmente para destacar la comparación

de los valores y dar menos énfasis al tiempo.

En el diagrama de barras (Figura 2.17), cada

categoría esta representada por un rectángulo

de área proporcional a su valor (si los

rectángulos tuvieran la mis base, es suficiente

considerar la proporcionalidad en relación con

las alturas).

fuente:folha de sau Paulo.25/3/1999.

Figura 2.17 gráfico de barras

En este gráfico, es indiferente el orden de

presentación de los rectángulos, por tratarse

de una serie ordenada según una característica

cualitativa: en esos casos, no hay, en general,

un orden unto, técnica y lógicamente

admisible, pudiendo existir diversos ordenes,

correspondientes a diferentes criterios. Una

variante de esta clase de gráfico es el de

barras yuxtapuestas (Figura 2.18), que

representa la relación entre los valores o

categorías individuales, y el total.

Figura 2.18

Gráfica de barras yuxtapuesta

Fuente: compañía siderúrgica nacional,

25/3/1999

Gráfico de columnas

Un gráfico de columnas muestra las

alteraciones que sufren los datos en un

intervalo de tiempo o ilustra comparaciones

entre categorías, las cuales son organizadas de

manera horizontal; los valores figuran en la

escala vertical para destacar la variación a lo

largo del tiempo. En el gráfico de columnas

(Figura 2.19), cada categoría esta

representada por un rectángulo de área

proporcional a su valor (si los rectángulos

tuvieran la misma base, es suficiente

considerar la proporcionalidad en relación con

las alturas).


339

En el gráfico de columnas, también es

indiferente el orden de presentación de los

rectángulos por tratarse de una serie ordenada

según una característica cualitativa. En esos

casos, no hay, en general, un orden, técnica y

lógicamente admisible, pudiendo presentarse

ordenaciones diferentes, correspondientes a

criterios diferentes.

Una variante de esta clase de gráficos es el de

las columnas yuxtapuestas, el cual representa

la relación que hay entre los valores o

categorías individuales y el total.

Figura 2.20 gráfico de columnas de

yuxtapuestas.

Gráficos por sectores*

Cada categoría corresponderá a una división o

a un sector de un circulo; de allí proviene el

nombre de gráfico por sectores, generalmente

utilizado cuando se intenta comparar el total

de cada categoría con el conjunto total.

Cuando el objetivo de la representación fuere

el análisis de la participación de cada categoría

en relación con el total, la representación por

sectores es la adecuada porque permite

establecer la comparación entre los valores

(sectores) y el total (Figura 2.21)

Descripción de los datos cuantitativos

Los gráficos más utilizados son el gráfico de

puntos y el histograma.

Gráfico de puntos **

El gráfico de puntos (Figura 2.22) es el

adecuado para ilustrar el comportamiento de

los valores individuales en relación con el

conjunto de esos valores. Se traza una línea

horizontal con una escala para la variable

cuantitativa, pues el valor numérico de cada

medida del conjunto de datos esta represen-

tado sobre la escala horizontal por un punto;

cuando los valores se repiten, los puntos son

colocados uno encima del oro, formando una

pila en aquella localización particular, en la

cual se hace una lista de los valores de la

variable que interesa.


340

Histogramas

El histograma (Figura 2.23) es el adecuado

para ilustrar el comportamiento de los valores

agrupados en clases, siendo, sencillamente, un

gráfico de columnas compuesto por varios

rectángulos adyacentes, que representan a la

tabla de frecuencias con perdida de

información de un conjunto de valores. En la

escala horizontal se marcan los intervalos de

clase, y cada intervalo es la base de cada

rectángulo; en la escala vertical se marcan las

alturas de los rectángulos, las cuales son las

respectivas frecuencias de las clases.

Figura 2.23 historigrama

MOSTRANDO LA RELACIÓN

Diagrama de dispersión

Es la mejor manera de visualizar la relación

entre dos variables cuantitativas. La

representación grafica se hace en el mismo

sistema de coordenadas, en el cual una

variable es colocada en el eje horizontal (el eje

de las x) y la otra en el eje vertical (el eje de

las y) Cuando los valores son ordenados, los

segmentos que representan a esos valores

deben disponerse en orden de valores su-

cesivos, con distancias proporcionales a las

diferencias de dichos valores. En este caso, el

diagrama de dispersión se identifica con la

llamada representación cartesiana de las

funciones.

El diagrama de dispersión es una aplicación del

proceso general de representación de las

funciones en el sistema de coordenadas

cartesianas. En ese sistema, los ejes

coordenados son dos rectas del plano que se

cortan perpendicularmente; su punto de corte

es el origen de una escala de medida para cada

una de las rectas, siendo fijado a partir de ese

origen un sentido positivo y uno negativo. En

general, una de las rectas es tomada

horizontalmente (eje de las abscisas) con

sentido positivo hacia la derecha y negativo

hacia la izquierda del origen; otra, vertical (eje

de Las ordenadas), con sentido positivo hacia

arriba y negativo hacia abajo del origen.

Todo punto P esta determinado de manera

única por la medida de los segmentos

perpendiculares a los dos ejes, trazados desde

el punto dado, siendo llamada abscisa de P,

simbolizada por la letra x, el segmento

perpendicular al eje de las ordenadas (cuya

longitud es medida por la escala del eje de las

abscisas); se llama la ordenada de P,

simbolizada por la letra y, al segmento

perpendicular al eje de las abscisas (cuya

magnitud es medida por la escala del eje de las

ordenadas). La abscisa y la ordenada se llaman

las coordenadas cartesianas de P

El gráfico de dispersión se usa para interpretar

la relación entre dos variables, observándose el

patrón representado, el cual debe informar con


341

respecto a la dirección, la forma y la intensidad

de la relación.

La dirección indica una asociación positiva

cuando, a medida que la variable colocada en

el eje de las x aumenta, también aumenta la

variable colocada en el eje de las y, la

dirección indica una asociación negativa

cuando, a medida que la variable colocada en

el eje de las x aumenta, la variable colocada en

el eje de las y, disminuye; tiene una

concentración de puntos en comparación con

un patrón no-uniforme. Un ejemplo de

diagrama de dispersión es el de la Figura 2.24

Figura 2.24

Diagrama de dispersion

Gráfico secuencial o en línea

Cuando una de las variables es el tiempo, ésta

se coloca en el eje horizontal el diagrama de

dispersión se llama gráfico secuencial o de

línea (Figura 2.25)

Aunque no pueda resumir cualquier

información, el gráfico da una idea de la

tendencia general y del grado de variabilidad.

En general, los intervalos se espacian

igualmente; por ejemplo, un día, o un año, o

cinco años. La Figura 2.26 muestra el gráfico

secuencial para los valores mostrados en la

Tabla 2.11


342

CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICOS

Manualmente

Grafico de barras

• Paso 1: establezca un orden (generalmente

arbitrario, pero, de acuerdo con los objetivos

del estudio, puede ser aconsejable el orden

creciente o decreciente de los valores) para

colocarlo en el eje vertical de las categorías;

• Paso 2: teniendo en cuenta el mayor valor de

las categorías, escoja una escala horizontal

para representar los valores correspondientes;

•Paso 3: en el eje vertical, para la primera

categoría dibuje un rectángulo con cualquier

base y con altura proporcional al valor de la

categoría;

• Paso 4: repita el proceso del paso 3 para las

demás categorías.

Ahora que la base y la altura esta

correlacionadas, al elaborar los gráficos es

conveniente, por razones estéticas, tener en

cuenta los siguientes aspectos:

- el gráfico, en su conjunto, debe encerrarse en

un rectángulo de dimensiones que lo hagan

agradable a la vista;

- la base del rectángulo no debe ser ni muy

grande, ni muy estrecha, guardando el sentido

de la estética;

- como la finalidad del gráfico es la de

simplificar, este debe contener solamente

algunas divisiones de la escala vertical; las

líneas horizontales deben ser pocas, y el

conjunto debe permitir que la lectura e

interpretación sean atrayentes.

Gráfico por columnas

• Paso 1: establezca un orden (generalmente

arbitrario, pero, de acuerdo con los objetivos

del estudio, puede ser aconsejable el orden

creciente o decreciente de los valores o de

acuerdo a su presencia a lo largo del tiempo)

para la colocación, en el eje horizontal, de las

categorías;

• Paso 2: teniendo en cuenta el valor mayor de

Las categorías, escoja una escala vertical para

representar los valores correspondientes;

• Paso 3: en el eje horizontal, para la primera

categoría, dibuje un rectángulo de base

cualquiera y altura proporcional al valor de la

categoría;

• Paso 4: repita el proceso del Paso 3 para las

demás categorías.

Gráfico por sectores

• Paso 1: calcule, por regla de tres, los grados

correspondientes a cada categoría; el total T

de las categorías equivale a 3600 y el ángulo

de una determina categoría C e igual a

(360°/T) x C;

• Paso 2: en un círculo de radio arbitrario, a

partir de cierto punto, marque, con el auxilio

de un transportador, el ángulo correspondiente

a la primera categoría;

• Paso 3: a partir de la marcación final de la

categoría recién señalada, repita el

procedimiento del Paso 2 con las demás

categorías;

• Paso 4: Repita el proceso del Paso 3 para las

demás categorías, marcando, sucesivamente,

los demás ángulos.

Al contrario del gráfico de barras, que puede

hacerse en un solo color (o un único tipo de

rayado), el gráfico por sectores debe tener


343

áreas diferenciadas por colores, gradaciones de

un mismo color, o también con rayados

diferentes. En el caso de una presentación, en

el mismo gráfico, de varios diagramas

sectoriales correspondientes a un mismo

fenómeno pero de fechas diferentes (u otras

formas equivalentes), se debe modificar el

radio de cada círculo, de modo que quede

protegida la regla general de proporcionalidad

entre los valores que estos representan y las

respectivas áreas de los círculos.

Gráfico de puntos

• Paso 1: trace un eje horizontal y marque en

él los puntos inicial y final, de tal manera que

incluyan todos los valores que figuraran en el

gráfico;

• Paso 2: marque, en la escala, cada valor

proporcionalmente;

•Paso 3: identifique cada valor por un punto

sobre el eje horizontal y en la dirección de ese

valor; cuando un valor se repita, coloque otro

punto sobre el anterior, formando un

apilamiento de puntos en esa localización

particular.

Histograma

• Paso 1: en el eje horizontal, marque,

sucesivamente, los límites de cada clase;

• Paso 2: en el eje vertical, marque, en la

escala, los valores relativos de las frecuencias

absolutas de las clases;

• Paso 3: para la primera clase, construya un

rectángulo cuya base es el intervalo de clase y

la altura es la frecuencia simple de esa clase;

• Paso 4: para la clase siguiente, construya un

rectángulo adyacente al primero cuya base es

el intervalo de la clase y la altura es la

frecuencia simple de esa clase;

• Paso 5: repita el procedimiento para las

demás clases.

Gráfico de dispersión

• Paso 1: trace los ejes coordenados;

• Paso 2: marque, en el eje horizontal, el

primer valor de la primera variable y trace una

recta paralela al eje vertical;

• Paso 3: marque, en el eje vertical, el

segundo valor de la primera variable y trace

una recta paralela al eje horizontal;

• Paso 4: identifique la intersección de las dos

rectas con un punto;

• Paso 5: repita el procedimiento para los

demás pares de valores de las variables.

Gráfico secuencial o de línea

• Los pasos son semejantes a los del gráfico de

dispersión, con la única diferencia que en el eje

horizontal se marca el tiempo.

Con el Excel

Es muy fácil y rápido presentar los datos de

una plantilla usando el Asistente de Gráficos,

con el cual se puede escoger el modelo a partir

de muchas variantes predefinidas y, en

consecuencia, personalizar cualquiera de esas

opciones. La vinculación del gráfico con los

valores que le dieron origen también es

sencilla, y cada cambio hecho en la planilla se

actualiza automáticamente en la figura. El

Apéndice 3 enseña cómo hacerlo.

GRÁFICOS ENGAÑOSOS

De nuevo, cuidado!!!!! Cuando se observa un

gráfico o una tabla, particularmente como

parte de un anuncio, sea cauteloso. Fíjese en

las escalas utilizadas en los ejes vertical y

horizontal. Se puede distorsionar la verdad con

las técnicas estadísticas, tal como lo muestran

las Figuras 2.27 y 2.28.

Herejía (mayor)

Usar gráficos con distorsiones para justificar

puntos de vista.


344

Términos claves

Análisis exploratorio de los datos

Información

Datos brutos de la muestra

Papel de la muestra

Medidas de tendencia central Media

Media aritmética muestral

Mediana de la muestra

Moda de la muestra

Media aritmética ponderada de la muestra

Desviación típica poblacional

Media geométrica muestral

Variabilidad

Medidas de dispersión


Tabla de frecuencia sin pérdida de información

Tabla de frecuencia con pérdida de información

Frecuencia absoluta

Límite inferior de clase Escalas patronizadas

Gráficos de barras

Gráficos por sectores

Histograma

Gráfico secuencial o en línea

Datos brutos de la población

Lista de la población

Medidas de tendencia central

Media aritmética poblacional

Mediana de la población

Moda de la población

Media aritmética ponderada de la población

Media geométrica poblacional

Amplitud total de la población

Varianza de la población

Parámetros de la población

Estadísticas muestrales

Coeficiente de variación

Tabla de frecuencias

Clases

Límite superior de clase

Datos cualitativos

Gráficos por columnas

Gráficos de puntos

Diagrama de dispersión


345

RESUMEN

El Análisis exploratorio de los datos es la fase

inicial del proceso de estudio de los elementos

recolectados en las muestras, en los cuales se

obtienen las informaciones que serán utilizadas

en la fase final, la llamada inferencia

estadística, también conocida como análisis

confirmatorio de los datos. Una vez

recolectados los datos de codas las variables

comprendidas en determinado estudio, el paso

siguiente consiste en descubrir lo que los datos

de la muestra tienen que decir con respecto a

lo que está siendo investigado.

Para mejor identificar a un conjunto de

números de una muestra, es preciso escoger

un valor único que representa a todos los

demos. Las tres medidas mis conocidas que

sugieren una concentración a su alrededor,

medidas de tendencia central, son la media

aritmética de la muestra, la mediana de la

muestra y la moda de la muestra.

La media de un conjunto de números es un

valor que, teniendo en consideración la to-

talidad de los elementos del conjunto, los

puede sustituir, sin alterar una determinada

característica del mismo. Si es la media

aritmética, conserva la suma total; si es la

media geométrica, conserva el producto. La

mediana de la muestra es el valor que ocupa la

posición central de la lista, cuando los valores

muestrales están en orden creciente o

decreciente e incluyendo los valores repetidos,

individualmente, en la lista ordenada.

La moda do La muestra es el valor que más

aparece en la muestra.

7. la varianza de la muestra es la medida de

variabilidad resultante de la división por (n-I)

de la suma de los cuadrados de las diferencias

entre los valores de la muestra y la media

aritmética de la muestra.

8. Para que las unidades de las medidas vuel-

van a sus dimensiones originales, se define la

más importante medida de dispersión para una

muestra, llamada desviación típica muestral,

que es la raíz cuadrada positiva de la varianza

de la muestra.

9. Los conceptos de las medidas que

caracterizan a una población finita de tamaño

N son semejantes a los de la muestra.

10. El coeficiente de variación es la magnitud

relativa de la desviación típica cuando era es

comparada con la media aritmética.

11. Las tablas resumen informaciones de las

muestras o de la población y se presentan en

un formato que permite sacar conclusiones

más fácilmente, aunque de manera limitada,

con respecto al conjunto total de categorías o

valores. Las tablas pueden construirse con o

sin pérdida de información.

12. La frecuencia absoluta de una categoría o

de un valor es la cantidad absoluta de veces en

que la categoría o el valor aparecen en un

conjunto de datos.

13. La tabla de frecuencias es la reorganización

de los valores en orden creciente o decreciente

de magnitud, en tal forma que una

característica de la población está subdividida

en clases o categorías, indicando la cantidad de

veces que aparece un dato en cada clase y

relacionando cada valor (o clase de valores)

con la frecuencia de su presencia.

14. La frecuencia acumulada de una clase es la

cantidad de elementos que tienen menor o

igual valor que el límite superior de esa Base.

15. Las escalas patronizadas o tipificadas dan,

mejores resultados que las comparaciones

basadas solamente en los datos brutos. Una de

esas escalas se basa en la desviación de cada

uno de los valores con respecto a la media

aritmética, expresándose esta desviación en

unidades de desviación típica.

16. Los gráficos facilitan la visualización de los

valores y son ampliamente utilizados en la

representación de los datos estadísticos. Al

hacer cualquier clase de gráfico se pierde


346

información, pues ya no existen las obser-

vaciones originales; de todos modos, fre-

cuentemente esta perdida de información es

pequeña comparada con la concisión y la

facilidad de interpretación proporcionada por

los gráficos.

17. Cuando se observa un grafico o una tabla,

especialmente cuando se trata de un anuncio,

sea cauteloso; observe las escalas utilizadas en

los ejes horizontal y vertical. Se puede

distorsionar la verdad con las técnicas

estadísticas.

EJERCICIOS PROPUESTOS

l. Para la siguiente noticia, identifique:

a. tipos de variables utilizados;

b. las medidas de tendencia central men-

cionadas;

c. las medidas de tendencia central calculadas.

Perfil. El turista brasileño tiene entre 30 y 40

años de edad una venta promedio de 851.800)

y secundaria completa viaja dos veces al año

en bus.

Su objetivo principal es el de visitar parientes y

amigos. La mayoría, el 70%, viaja en la

estación alta. Los viajes duran, en promedio,

12 días. Este es el perfil, encontrado por la

Fundación Instituto de Investigaciones

Económicas de la USP del turista brasileño en

1998. Los datos figuran en la publicación Datos

Estadísticos de, Turismo -1998.18

2. Demuestre las siguientes propiedades de la

media aritmética:

- la suma algebraica de las diferencias entre

cada valor observado y la media aritmética de

los valores es cero;

- la media del producto de una constante por

una variable es igual al producto de la

constante por la media de la variable;

- la suma de los cuadrados de las desviaciones

de la media aritmética es mínima comparada

con la suma de los cuadrados de las

desviaciones relacionadas con cualquier otro

valor diferente a la media aritmética.

3. En la definición de la media, si la

característica del conjunto que debe ser

conservada es la suma de los inversos de sus

elementos, se tiene la media armónica. El ori-

gen de la denominación de media armónica es

musical; ella es el término central de la

sucesión 6, 4, 3, donde 6:4:3 es la sucesión

según la cual debe estar comprendida la onda

musical para obtenerse una nota, la quinta y la

octava. Para dichos valores, la media

aritmética es 13/3, la media geométrica es la

raíz cúbica de 72 y la media armónica es 4.

Demuestre que la media aritmética es siempre

mayor o igual que la media geométrica y ésta

es siempre mayor o igual que la media

armónica.

4. Demuestre que:

- la varianza de una constante es igual a cero;

- la varianza del producto de una constante por

una variable es igual al producto del cuadrado

de la constante por la varianza de la variable;

- la varianza de la suma o la diferencia de una

constante y una variable es igual a la varianza

de la variable.

5. Comente el siguiente texto y decida quién

debe ser el vencedor: "La gente entonces

manda por los computadores de DATAMEC y

descubrieron cuál es el lector modelo de "EL

PASQUÍN". Lo cual quiere decir que quien esté

en medio de los medios gana".19

6. "El túnel Reboucas - inaugurado en 1965 es

un nexo importante entre las zonas Sur y

Norte - y la Avenida Brasil, principal eje de

acceso y salida de la ciudad,... son campeones

en los problemas causados por los conductores

y sus vehículos. Identifique la medida de

tendencia central que caracteriza al Túnel

Reboucas y a la Avenida Brasil.

7. El número de muertes por accidentes de

transito en Sao Paulo entre los años 1997 y


347

1998, es la que figura en la Tabla 2.12.

Explique por qué la variación total no es ni la

suma de las variaciones entre hombres y

mujeres, ni su media aritmética o geométrica.

8. los fieles de cada religión, en porcentajes de

población mundial, son los siguientes: ''

Católicos

Otros

cristianos

Musulmanes

Hindúes

Budistas

Judíos

Otros

16.9

17

23,1

13

6,1

0,2

23,7

Compare esas cifras con las constantes del

Problema 15 y saque sus conclusiones al

respecto.

9. Comente las siguientes frases: "Un escritor

medio:.. Los críticos que no gustan de....

acostumbran considerarlo "medio"…no tiene

genialidad, ni su abolengo provinciano, sus tics

moralistas, su adjetivación rococó: esa es la

forma de ser un gran "medio”22

10. Identifique la medida de tendencia central

presentada en esta noticia: "El ranking de los

remolcados. " Los modelos populares lideran

con holgura estadística en Río de Janeiro. El

recalentamiento es la mayor causa de las

averías."23

11. Compruebe si es correcta la siguiente

información:

"El cultivo del millo ocupa 1.320.880

hectáreas, con una productividad proyectada

de.2.937 kilos por hectárea y producción de

3.879.475 toneladas en el Estado."24

12. Con base en la información contenida en

las Tablas 2.2 y 2.3, asigne pesos a los

campeonatos y subcampeonatos, de tal ma-

nera que coloque en el primer lugar del ranking

del fútbol brasileño en 1998 a cualquier equipo

que esté entre la 2a y la 20a posiciones.

13. Los resultados del Examen Nacional de la

Enseñanza Media (ENEM), divulgados por el

Ministerio de Educación (MEC), en la parte

referente a los conocimientos generales, fueron

los siguientes: I-Dominio de idiomas, 4.2; II-

Comprensión de fenómenos, 4.1; III-

Resolución de situaciones-problema, 4; IV-

Construir argumentaciones, 3.7; V- Elaborar

propuestas, 3.9. Determine la calificación

media en cuestiones de conocimientos

generales y compare su respuesta con la

publicada: calificación.4

14. Elabore el gráfico de barras, el de

columnas y el de sectores para la distribución

de los fieles de cada religión en la población

mundial, en porcentajes. Ver datos en el

Problema 8.

15. "Según las estadísticas, de los 28.912 su-

cesos registrados en las cuatro vías especiales

de la ciudad, 9.764 fueron en Rebougas. La

Avenida Brasil aparece con 8.011, seguida por

el Túnel de Santa Bárbara con 6.260 y el Túnel


348

de los Hermanos con 4.877 accidentes"26 Para

ilustrar esta noticia, elabore un gráfico por

sectores.

16. Las importaciones brasileñas, en billones

de dólares, durante 1998 fueron las siguientes,

mes a mes: enero, 4.577; febrero, 3.799;

marzo, 5.038; abril, 4.779; mayo, 4.913;

junio, 4.844; jubo, 5.329; agosto, 4.634; sep-

tiembre, 5.338; octubre, 5.039; noviembre,

4.709; diciembre, 4.538.27 Construya un

gráfico de líneas para visualizar las importa-

ciones brasileñas en 1998.

17. Basándose en las importaciones y exporta-

ciones brasileñas en 1998, (ejercicio-ejemplo

2.5, y el Problema propuesto 12), construya un

gráfico que ilustre el déficit (o superávit) de la

balanza comercial brasileña.

18. Las principales religiones del mundo, en

número de fieles, es la siguiente:28

Cristianismo

Islamismo

Hinduismo

Budismo

Religiones

tribales

Judaísmo

Confucianismo

No religiosos y

ateos

1.929.957.000

1.147.494.000

747.797.000

353.141.000

231.614.000

14.890.000

6.112.000

906.995.000

Fuente David B. Barret /Organización de

Naciones Unidas / 1997

Construya los gráficos de barras, de columnas

y de sectores.

19. Las exportaciones brasileñas, en billones

de Mares, durante 1998 fueron las siguientes

mes a mes: enero, 3.914; febrero, 3.714;

marzo, 4.273, abril, 4.572; mayo, 4.609;

junio, 4.886; Julio, 4.970; agosto, 3.985; sep-

tiembre, 4.537; octubre, 4.014; noviembre,

3.702; diciembre, 3.944.29 Construya un

gráfico de líneas para visualizar las exporta-

ciones brasileñas en 1998.

20. Determine la mediana del comportamiento

de la Bolsa de Valores de Sao Paulo en la


en el 0%: 2a ronda: +2.32%; 3a ronda: +2.43;

4a ronda: +3.09; 5a ronda: -5.13% y 6 a

ronda: -2.48%.30

21. La revista EXAME- Maiores e Melhores, de

julio de 1998, publicó la inversión no

inmovilizada de las 10 mejores empresas del

Brasil en el ramo de la electroelectrónica, en

función del retorno de las adquisiciones, en %,

obtenidos en el año (Tabla 2.13). Identifique,

justificando, la empresa que ocupa la mediana

de la muestra observada.

Tabla 213 inversión no inmovilizada de la 10

mejores empresas del Brasil en el ramo de la

electroelectrónica en función del retorno de las

adquisiciones, en porcentajes (%).

SOLUCIONES DE LOS EJERCITOS-

EJEMPLO

2.1 La solución es:

• Paso 1: digite los valores en la columna A

(podría ser en cualquier otra), un valor en cada

línea, desde la línea 1 hasta la línea 80; guarde

esta plantilla: la usará en otros ejercicios.

• Paso 2: seleccione las celdas que tienen los

valores (haciendo click en la celda A con el

botón izquierdo del mouse y llevando el

puntero, sin soltar el botón del mouse, hasta la

celda A80); todos los valores aparecen en


349

fondo oscuro:

•Paso 3: en la Barra de Menús, en Datos…,

escoja Clasificar..; se abre una pantalla en la

cual se teclea Creciente (en el Excel 97) en

Clasificar por o Ascendente (en Excel 7.0);

haga click en OK; en la columna A, donde

fueron digitados los valores, aparecen los

primeros ordenados.

2.2 La solución es: (30.775 + 21.411 + 24.045

+…..+ 4.087 + 1.873) empleados/80 =

6.468,275 empleados. Observe que el valor

0.468.275 no esta en la lista original.

2.3 Siguiendo los pasos para calcular la media

aritmética de esa muestra, el Excel mostrará,

en la celda activa, el siguiente resultado:

6.468,275 empleados.

2.4 Los cálculos hechos por el periódico son

correctos.

2.5 A. Se desea una media M tal que, si las

importaciones brasileñas fuesen mensualmente

iguales a M, la importación anual también seria

la misma. La importación anual fue entonces

de 4.577 + 3.799 + 5.038 + + 4.538. Si en

todos los meses las importaciones fueran

iguales a M, la importación anual sería

entonces igual a 12M. En consecuencia, 12M =

4.577 + 3.799 + 5.038 +....+ 4.538 = 57.537

y M = 57-537/12 = 4.794.75 billones de

Mares. La media buscada es la media

aritmética.

2.5 B. La respuesta no es, como puede apare-

cer a primera vista (2,8 + 3,7 + 0,5) % /3 =

2,33%.

Se desea una tasa media i tal que si, en todos

los años la tasa de crecimiento fuera igual a i,

el aumento trianual sería el mismo. Tomando

100' como base en el año cero, al final del

primer año se tendría 100 x 1.028 = 102,8; al

final del segundo año, 102,8 X 1-037 =

106,6036 y al final del tercer año, 106,6036 x

1,005 =107,136618. Si esto es así, el aumento

trianual fue de 7,136618%. Si en todos los

años hubiese un aumento con la tasa i se

tendría, suponiendo a 100 como la base en el

año cero, al final del primer año 100[1 + z]; al

final del segundo año, [100(1 +i)] (1 +i) y al

final del tercer año

[100(1+i)(1+i)](1+i)= 100[1+i ]Entonces:

100(1+i)3 = 107,136618

(1 fr)= 1,07136618 y (I +i)= raíz cúbica de

1,07136618= 1,023244245 y 1=

0,623244245= 2,3244245%. La media en-

contrada es la geométrica.

2.6 La muestra + 1,4%, +2,4%, +2%,-3, 1 %

y -1,2% tiene la siguiente ordenación: en la

posición 1 está -3,2%; en la posición 2 esta, -

1,2%; en la posición 3 está +1,4%; en la

posición 4 está +2%; y en la posición 5 está

+2,4%. El valor que ocupa la posición central

es + 1,4%, que es el valor de la mediana de la

muestra.

2.7 La muestra 1,76%, 1,41%, 2,64% y

2,18% tiene la siguiente ordenación: en la

posición 1 está 1,41%, en la posición 2 está

1,76%, en la posición 3 está 2,18% y en la

posición 4 está 2,64% Hay dos valores que

ocupan las posiciones centrales: 1,76% y

2,18%. El valor de la mediana de la muestra es

(1,76 + 2,18)/2 = 1,97%.

2.8 La muestra + 1,4%, +2,4%, + 2%, -3,1%

y -1,2% tiene el siguiente orden: en la 1a

posición está -3,2%, en la 2a posición, - 1,2%,

en la 3a posición está + 1,4%, en la 4a posición

está +2%, y en 5a posición está +2,4%. De

esa manera, n = 5 y la posición central es

(5+1)/2 = 3; la mediana de la muestra ocupa

la tercera posición y su valor es + 1,4%.

2.9 La muestra 1,76%, 1,41%, 2,64%, y

2,18% tiene el siguiente orden: en la 1a

posición está 1,4%, en la 2a posición está

1,76%, en la 3a posición está 2,18% y en la 4a

posición está 2,64%. Entonces n = 4 y la

posición central es (4+1)12 = 2,5 = 2 + 0,5 y,

siendo así, la mediana de la muestra es la

media de los valores que están en las

posiciones 2a y 3a a partir del comienzo de la


350

lista. En este ejemplo, la mediana de la

muestra es la media aritmética de los valores

que ocupan las posiciones 2ª y 3a, es decir,

1,76% y 2,18%. La media aritmética entre

1,76% 2,18% es (1,76 + 2,18)/2 = 1,97% que

es el valor de la mediana de la muestra.

2.10 La mediana es 4.916.

2.11 La moda de esta nuestra es OMO.

2.12 Esta muestra es bimodal: Rainha y Nike.

2.13 Como apareció #N, entonces el conjunto

es amodal.

2.14 33.461.319 empleados al cuadrado.

2.15 5.784,576 empleados.

2.16 El valor del CV es 89,43%.

2.17 A.

Aspecto inicial de la tabla de frecuencias del

Ejercicio-ejemplo 2.17

2.18A Los pasos para la construcción de una

tabla de frecuencias con pérdida de

información a partir de los datos de la Tabla

2.1 son los siguientes:

• Paso I: amplitud total de los valores: 30.775

- 154 = 30.621;

• Paso 2: escoger la cantidad de clases: 9;

• Paso3: amplitud de cada clase: 30.621/9 =

3.402,333 - 3.400; en caso de que sea

aproximada inferiormente la amplitud de cada

clase, el último dato sería excluido. De esta

manera, se aproxima a 3.500;

• Paso 4: límites de cada clase: Primera clase:

límite inferior = 100 y límite superior =

100+3.500 = 3.600. Segunda Base: limite

inferior = 3.600 y límite superior = 3.600 +

3.500 = 7.100, y así sucesivamente.

2.18A


351

2.19

• Paso 1: para la 1a clase, se tiene

(100+3.600)/2 = 1.850; para la 2a clase se

tiene (3.600+7.100)/2 5.350, y así suce-

sivamente.

• Paso 2: se tiene para la 1a clase: 1.850x30 =

55.500 y para la 2a clase, 5.350x24 =

128.400;

• Paso 3: (55.500 + 128.400 + +

29.850) que tiene un total de 529.500;

• Paso 4: 529.500/80 = 6.618,75, que es el

valor representativo de la media aritmética de

los datos originales, los cuales originan la tabla

de frecuencias con perdida de información;

compare con el valor exacto, 6.468,275.

2.20

• Paso 1: hay 80 valores, con dos posiciones

centrales: 40a y 41a;

• Paso 2: la frecuencia absoluta de la 1 a clase

es 30, la cual sumada a la frecuencia absoluta

de la segunda clase (igual a 24), da un total de

54 que es mayor que 40 y 4 1;

• Paso 3: compuesta segunda clase es la pri-

mera con frecuencia acumulada inmedia-

tamente superior a la mirad del total de los

valores, su punto medio, 5.350, es considerado

la mediana del conjunto de valores; compare

con el valor exacto, 4.916.

2.21 La clase con mayor frecuencia absoluta es

la 1a; entonces la moda es el punto medio de

esa clase, es decir, la moda vale 1.850;

compare con el valor exacto, que no existe,

por ser amodal la distribución de los datos.

Observe que tratar de emplear el mismo

procedimiento en situaciones diferentes sin

hacer un atento análisis, puede conducir a

decisiones erradas.

2.22 La amplitud total esta dada por 31.600 -

100 = 31.500; compare con el valor verda-

dero, 30.621.

2.23 Para la varianza, se debe calcular, para la

primera Base (1.850-6.618,75)2x 30; para la

segunda clase (5.400 -6.618,75)2x 24, y así

sucesivamente. Sumando esos resultados y

dividiendo por 79, se obtiene 33.569.262,24;

compare con el valor verdadero, 33.461.319.

2.24 No es posible porque la suma de los pun-

tos es igual para las dos personas.

2.25 Transformando los datos brutos en

valores relativos, por medio de la expresión


352

Haciendo los mismos cálculos para la persona

B, todos los resultados pueden resumirse en la

siguiente tabla:

Solución del Ejercicio-ejemplo 2.25

Las dos personas pueden ser ahora

comparadas. Aunque A y B hayan obtenido la

misma suma de sus calificaciones brutas, el

resultado relación, que tiene en cuenta la

posición de cada persona en relación con codas

las demás que han obtenido determinada

evaluación, las coloca en orden. Se concluye

que la persona A es la mejor ya que, en

términos relativos, tiene una ventaja de 7 pun-

tos [-2 - (-9)] en relación con la persona B.

2.26. Las alturas serán, respectivamente, 6 cm

y 10 cm, porque, de esa manera, se asegura la

proporcionalidad. Se comprueba que la relación

entre cada altura y el respectivo valor es

constante e igual a 2/5 = 6/15 = 0,4.

Fuentes de noticias y citas

1. Folha de S. Paulo, 22/1/1999

2. Jornal do Brasil 10/12/1999

3. Miguel Jorge, Folha de S Paulo, 22/1/1999

4.Jornal do Brasil 26/1/1999

5. Folha de S. Paulo, 17/12/1998

6. Revista Exame - Maiores e Melhores, Julio

de 1998

7. Periodico Zero Hora, 14/1/1999

8. Jornal do Brasil, 8/1/1999

9. Carta Capital 3/2/1999

10. Periodico O Dia, 10/ 1 / 1999

11. Periodico O Dia, 10/ 1 / 1999

12. Periodico O Dia, 10/ 1 / 1999

13. Periodico O Dia, 10/ 1 /1999

14. Cuaderno Top of Mind, Folha de S. Paulo,

10/12/1998.

15. Cuaderno Top of Mind, Folha de S. Paulo,

10/ 12/1998.

16. Jornal do Brasil 31/12/1998.

17. Adaptado de <[email protected], 18.

Jornal de Brasil 31/12/1998.

19. MillOr Fernándes, Millor no Pasquim,

Circulo de libro, 1997

20. Jornal do Brasil 21/1/1998.

21. O Estado de S. Paulo, 13/1/1999

22. Otávio Frias Filho, Folha de S. Paulo,

10/12/1998

23. Jornal do BrasiL 16/1/1999.

24. Periodico How Zero, 14/1/1999.


26. Jornal do Brasih 12/1/1998.

27. Jornal do BrasiL 8/1/1999.


29. Jornal do Brasil, 8/ 1 / 1999.

30. Jornal O Dia, 10/ 1 / 1999

HACIENDO ENCUESTAS FIABLES_______________________________________________________

353

BLOQUE IV

EL TRATAMIENTO DE

LA INFORMACIÓN Y

LAS FUNCIONES

Clen Paulos, John (s/f), "Haciendo encuestas fiables",

en El hombre anumérico. El analfabetismo

matemático y sus consecuencias, México, Tusquets

(Metetemas), pp. 170-187.

Estimar las características de una población,

como el tanto por ciento que prefiere a cierto

candidato o a una marca concreta de comida

para perros, es en principio simple, igual que el

contraste de hipótesis. Se selecciona una

muestra al azar (esto es más fácil decirlo que

hacerlo) y luego se determina qué porcentaje

de la muestra prefiere al candidato (pongamos,

el 45 por ciento) o la marca de comida para

perros (pongamos, el 28 por ciento), ¿que

porcentajes hemos de tomar como estimación

de la opinión de la población total?

Sólo he trabajado efectivamente en una

encuesta en una ocasión. Se trataba de una

encuesta informal que pretendía resolver la

cuestión candente: ¿Que proporción, entre las

mujeres universitarias, se lo pasa bien viendo

series con Los tres Stooge? Descartando

aquellas que no conocían esa payasada tan

poco culta de los Stooge, encontró que un

sorprendente 8 por ciento de mi muestra

confesaba tal satisfacción.

No se puso demasiado cuidado en la selección

de la muestra, pero al menos el resultado el 8

por ciento, tenía ciertos visos de credibilidad.

Un problema evidente de afirmaciones tales

como «el 67 por ciento (o el 75 por ciento) de

los encuestados prefirieron la pastilla X» es

que fácilmente podrían estar basadas en

muestras pequeñas de tres o cuatro individuos.

Más descarado aún es el caso en que una ce-

lebridad avala una dieta, un medicamento, o lo

que sea, en tal caso tenemos una muestra de

uno, que generalmente, además, ha cobrado

por ello.

Así pues, más difícil que hacer cálculos

estadísticos es decidir que fiabilidad nos

merecen los mismos. Si la muestra es grande,

podemos confiar más en que sus

características se aproximen a las de la po-

blación total. Si la distribución de la población

no es demasiado dispersa ni variada, podemos

también confiar más en que las características

de la muestra sean representativas.

Con ayuda de unos pocos teoremas de teoría

de la probabilidad y estadística, podemos

sugerir lo que se conoce como intervalos de

confianza para estimar la probabilidad de que

una muestra característica sea representativa

del conjunto de la población. Así, podríamos

decir que un intervalo de confianza del 95 por

ciento para el porcentaje de electores que

votaran a favor del candidato X es el 45 por

ciento más o menos el 6 por ciento. Es decir,

HACIENDO ENCUESTAS FIABLES


354

que tenemos una seguridad del 95 por ciento

de que el porcentaje de la población se

desviara como mucho un 6 por ciento con

respecto a la estimación realizada en la

muestra; en este caso, entre un 39 y un 51 por

ciento de la población votar y por el candidato

X. Análogamente, podríamos decir que el

intervalo de confianza del 99 por ciento para la

proporción de consumidores que prefieren la

marca Y de comida para perro es del 28 por

ciento más o menos el 11 por ciento; o sea que

tenemos una seguridad del 99 por ciento de

que la proporción de la población se desvía

como mucho un 11 por ciento respecto de la

muestra; en este caso, entre el 17 y el 39 por

ciento de los consumidores prefieren la marca

Y.

Como en el caso del contraste de hipótesis, sin

embargo, en ninguna parte dan duros por

cuatro pesetas. Para muestras de un tamaño

dado, cuanto más estrecho es el intervalo de

confianza es decir, cuanto mas precisa es la

estimación, menos fiable es. Y a la inversa,

cuanto más ancho es el intervalo de confianza

esto es, cuanto menos precisa es la estima-

ción, más fiable es. Naturalmente, si

aumentamos el tamaño de la muestra,

podemos afinar, al mismo tiempo, el intervalo

de confianza y aumentar nuestra seguridad de

que este contiene el porcentaje de la población

(o cualquier parámetro o característica de la

misma), pero tomar muestras mayores es más

caro.

Los resultados de sondeos o de encuestas que

no llevan los intervalos de confianza o

márgenes de error son a menudo engañosos.

Lo más frecuente es que los sondeos si lleven

tales intervalos de confianza, pero que estos

no aparezcan en los reportajes de prensa. Las

afirmaciones que no se comprometen

demasiado y la incertidumbre rara vez son

noticia periodística.

Si un titular dice que el desempleo ha

disminuido del 7,1 al 6,8 por ciento, pero no

dice que el intervalo de confianza es de más o

menos 1 por ciento, uno puede llevarse la

impresión equivocada de que algo bueno ha

ocurrido. Sin embargo, dado el error del

muestreo, esa “disminución” podría ser

inexistente o, peor aun, podría haber habido

un aumento. Si no se dan los márgenes de

error, una buena regla empírica es que una

muestra aleatoria de mil o más individuos da

un margen suficientemente estrecho para la

mayoría de fines, mientras que una muestra

aleatoria de cien o menos da un margen

demasiado ancho.

Mucha gente se sorprende de que el número

de individuos que los encuestadores

entrevistan para llegar a sus resultados sea tan

pequeño. (La anchura del intervalo de

confianza es inversamente proporcional a la

raíz cuadrada del tamaño de la muestra.) En

realidad, el número de encuestados

generalmente es mayor que el que sería

necesario en teoría. Lo hacen así para

compensar problemas relacionados con la

dificultad de escoger una muestra aleatoria. Si

la muestra aleatoria seleccionada consta de mil

individuos, el intervalo de confianza teórico del

95 porciento para la estimación de los votantes

del candidato X o de quienes prefieren la

comida para perro de marca Y es

aproximadamente de más o menos el 3 por

ciento. Los encuestadores toman a menudo

más o menos el 4 por ciento en esta muestra,

para corregir el efecto de los que no contestan

y otros problemas.

Pensemos en los problemas que conlleva una

encuesta telefónica. ¿Afectará al resultado el

hecho de haber descartado de entrada las

casas que no tienen teléfono? ¿Qué porcentaje

de personas se negará a contestar o colgara

sin más cuando se entere de que se trata de

una encuesta? ¿Como los números se se-

leccionan al azar?, ¿qué pasa si el teléfono al


355

que se llama es una oficina? ¿Qué pasa si no

hay nadie en casa o si contesta un niño?

¿Cómo influye en las respuestas el sexo (la voz

o los modales) del entrevistador telefónico?

Cuando registra las respuestas, ¿el

entrevistador es siempre cuidadoso? ¿Es

siempre honesto? ¿Es aleatorio el método para

escoger números y centrales telefónicas?

¿Sugieren las preguntas alguna de las posibles

respuestas? ¿Son comprensibles? ¿Que

respuesta cuenta si hay más de un adulto en

casa? ¿Qué método se sigue para ponderar los

resultados? Si la encuesta se refiere a un tema

respecto al cual las opiniones varían

rápidamente, ¿cómo afecta a los resultados el

hecho de que la realización de la encuesta

haya durado cierto tiempo?

Las encuestas basadas en entrevistas

personales presentan también dificultades

parecidas. Entre los defectos más comunes de

las encuestas basadas en entrevistas

individuales tenemos el empleo de un tono

insinuante o la influencia del tipo de preguntas

sobre el encuestado. Por otra parte, una de las

preocupaciones más importantes en las

encuestas por correo es evitar que la muestra

se auto seleccione, al ser más probable que

contesten los individuos mas comprometidos y

estimulados, o los pertenecientes a cualquier

otro grupo atípico. (Tales muestras autoselec-

cionadas reciben a veces el nombre más

sincero de «grupo de presión».) La famosa

encuesta de 1936 del Literary Digest que

predijo que Alf Landon ganaría a Franklin

Roosevelt por un margen de tres a dos estaba

mal hecha, porque sólo el 23 por ciento de los

que recibieron cuestionarios los contestaron, y

estas personas eran generalmente de las

clases más altas. Un error parecido sesgó la

encuesta de 1948 que predijo que Thomas

Dewey ganaría a Harry Truman.

Es escandalosa la inclinación de los diarios y

revistas a publicar resultados sesgados

basados en respuestas a cuestionarios que

vienen en el mismo periódico. Estas encuestas

informales rara vez van acompañadas de los

intervalos de confianza u otros detalles de los

métodos seguidos, con lo que el problema de

las muestras auto seleccionadas no siempre

esta claro. Cuando autoras feministas como

Shere Hite o la columnista Ann Landers

informan que la proporción de sus encuestadas

que tienen aventuras amorosas o que

preferirían no haber tenido hijos es

sorprendentemente alta, tendríamos que

preguntarnos automáticamente quien va a

contestar mas probablemente a tales

cuestionarios: una mujer que tenga una

aventura o una que este razonablemente

satisfecha, una mujer desesperada por sus

niños o una que este contenta con ellos.

Las muestras autoseleccionadas no nos dan

mucha más información que una lista de

predicciones correctas hechas por alguien que

supuestamente tiene poderes psíquicos. A

menos que se tenga una lista completa de las

predicciones, o un subconjunto escogido al

azar, las predicciones correctas no significan

nada. Es seguro que algunas de ellas son

ciertas por

casualidad. Del mismo modo, a menos que la

muestra encuestada sea escogida al azar y no

autoseleccionada los resultados de la encuesta

no significaran gran cosa.

Además de ser consciente del problema de las

muestras autoseleccionadas, el consumidor con

cultura numérica debería comprender también

el problema a fin de los estudios

autoseleccionados. Si una compañía Y encarga

ocho estudios comparativos de las ventajas

relativas de su producto y el de la com-

petencia, y siete de los ocho señalan que el de

la competencia es mejor, no hay que ser muy

listo para adivinar cual de los estudios citara la

compañía Y en sus anuncios de televisión.

Como en los capítulos sobre las coincidencias y


356

la seudociencia, vemos que el deseo de filtrar y

poner énfasis en la información esta reñido con

el de obtener una muestra aleatoria. Para los

anuméricos especialmente, unas pocas

predicciones o coincidencias vividas tienen a

menudo mas peso que una evidencia

estadística que, aunque menos impresionante,

es mas concluyente.

Por todo ello, no comprendo por que tan

frecuentemente se llama encuesta a una

colección de perfiles íntimos o de historias

personales. Si se hace bien, tal colección es

atractiva (a pesar de que pueda ser menos

convincente) que la típica encuesta, y pierde

buena parte de su valor si se la envuelve en la

mortaja de un sondeo científico.

OBTENIENDO INFORMACIÓN PERSONAL

La madre del cordero de la estadística esta en

deducir información sobre una población

grande a partir de las características de una

muestra pequeña seleccionada al azar. Todas

las técnicas empleadas desee la inducción

enumerativa de Francis Bacon hasta las teorías

del contraste de hipótesis y del diseño expe-

rimental de Karl Pearson y R.A. Fisher, padres

fundadores de la estadística moderna-

dependen de esta (ahora) evidente

perspicacia. Siguen a continuación varias

maneras de obtener información.

La primera de ellas, que quizá cobrara cada

vez mayor importancia en una era inquisitiva

que sin embargo proclama el valor de la

intimidad, permite obtener información

delicada de un grupo sin comprometer la

intimidad de ninguno de sus miembros.

Supongamos que tenemos un grupo grande de

personas y queremos descubrir que porcentaje

de ellas ha mantenido cierto tipo de relación

sexual, con objeto de determinar que prácticas

llevan al SIDA con mayor probabilidad.

¿Que podemos hacer? Se pide al encuestado

que tome una moneda del bolsillo o del

monedero y que la lance al aire. Sin dejar que

nadie vea el resultado, ha de mirar si ha salido

cara o cruz. Si ha sido cara, ha de contestar

con sinceridad a la pregunta: ¿Ha mantenido

tal relación sexual, si o no? Y si sale cruz,

simplemente ha de escribir si. Así pues, una

respuesta si puede significar dos cosas, una

totalmente inocua (que ha salido cruz) y la

otra potencialmente embarazosa (haber

mantenido esa relación sexual). Como el

experimentador no puede saber que significa el

si es de esperar que los encuestados sean

sinceros.

Supongamos que de 1.000 respuestas, 620

son afirmativas. ¿Que nos dice esto acerca del

porcentaje de personas que han mantenido la

relación sexual? Aproximadamente 500 de los

1.000 encuestados habrán escrito si porque es

ha salido cruz. Quedan pues 120 personas que

han contestado si de entre las 500 que

contestaron con sinceridad a la pregunta

(aquellas a las que les salio cara). Por tanto, la

estimación del porcentaje de personas que han

mantenido esa relación sexual es el 24 por

ciento (120/500).

El método admite mas refinamientos que

pueden servir para conocer más detalles, por

ejemplo cuantas veces se ha tenido la relación

sexual. También admite algunas variantes que

se pueden realizar de modo informal, y podría

servir a una agencia de espionaje para calcular

el numero de disidentes de cierta región, o a

una agencia publicitaria para estimar el

mercado de un producto cuyo atractivo la

gente probablemente negara. Los datos en

bruto para los cálculos se pueden obtener de

fuentes públicas y, trabajadas con-

venientemente pueden llevar a conclusiones

sorprendentes.

Otra manera un tanto poco común de obtener

información es la que se conoce como método

de pescar-repescar. Supongamos que


357

queremos saber cuantos peces hay en cierto

lago. Capturamos cien, los marcamos y los

volvemos a soltar. Dejarnos transcurrir un

tiempo para que se dispersen por el lago,

volvemos a pescar otros cien peces y miramos

que fracción de ellos están marcados.

Si los peces marcados son ocho, una

estimación razonable es que el 8 por ciento de

los peces de todo el lago están marcados. Y

como este 8 por ciento lo forman los cien

peces que pescamos y marcarnos la primera

vez, obtendremos el numero de peces del lago

resolviendo la siguiente regla de tres: 8 (peces

marcados de la segunda muestra) es a 100 (el

numero de peces de la segunda muestra) igual

que 100 (el numero total de peces marcados)

es a N (el numero total de peces del lago). N

es, aproximadamente, 1.250.

Hay que tener cuidado, naturalmente, de que

el pez marcado no muera por el hecho de

haber sido marcado, de que se distribuyan mas

o menos uniformemente por el lago, de que los

marcados no sean solo los mas lentos o los

mas simplones de los peces, etc. Sin embargo,

como manera de obtener una estimación

aproximada, la pesca-repesca es un método

eficiente, y más general de lo que pudiera

sugerir el ejemplo de los peces.

Los análisis estadísticos de obras cuya autoría

esta en disputa (los libros de la Biblia, The

Federalist Papers [((Documentos

federalistas»], etc.) dependen también de

métodos ingeniosos similares para recoger

datos de fuentes que no están dispuestas a

colaborar (porque han muerto).

DOS RESULTADOS TEÓRICOS

Buena parte del atractivo de la teoría de la

probabilidad reside en la inmediatez y en el

interés intuitivo de sus problemas prácticos y

de los principios sencillos que nos permiten

resolver muchos de ellos. Sin embargo, los dos

resultados teóricos siguientes tienen una

importancia tan fundamental que pecaría de

negligencia si no dijera nada de ellos.

El primero es la ley de los grandes números,

uno de los teoremas más importantes de la

teoría de la probabilidad, a menudo mal

entendido. Es un teorema que a veces se

invoca para justificar todo tipo de conclusiones

extrañas. Dice sencillamente que, a la larga, la

diferencia entre la probabilidad de cierto

suceso y la frecuencia relativa con la que este

ocurre tiende a cero.

En el caso especial de una moneda no trucada,

la ley de los grandes números enunciada por

primera vez por Jean Bernoulli en 1713, dice

que la diferencia entre 1/2 v el cociente del

numero total de caras dividido por el numero

de tiradas se aproxima a cero tanto cot-no

queramos, a medida que aumenta el numero

de tiradas. Recuerdese, sin embargo, de

cuando hablábamos sobre los perdedores y las

monedas sin truco del Capitulo 2, que esto no

significa que la diferencia entre el número total

de caras y cruces haya de disminuir a medida

que aumenta el número de tiradas:

generalmente sucede todo lo contrario. Las

monedas sin truco se comportan bien en

sentido relativo pero no en sentido absoluto. Y,

contrariamente a lo que se pueda decir en

numerosas conversaciones de café, la ley de

los grandes números no implica la falacia del

jugador: que después de una larga serie de

cruces es mi s probable que salga cara.

Entre otras cosas, esta ley justifica la creencia

del experimentador de que la media de un

conjunto de mediciones de la misma cantidad

ha de aproximarse al verdadero valor de la

misma a medida que aumentamos el número

de mediciones. También proporciona una base

racional a la observación lógica de que si se

lanza un dado N veces, la probabilidad de que

el numero de veces que sale 5 difiera de N/6

es menor cuanto mayor es N.


358

Resumiendo: la ley de los grandes números

proporciona una base teórica para la idea

natural de que una probabilidad teórica es una

especie de guía para el mundo real, para lo

que realmente ocurre.

Según parece, la curva normal o campana

describe muchos fenómenos naturales. ¿Por

que? Otro resultado muy importante de la

teoría de la probabilidad conocida como

teorema del límite central, nos da la

explicación teórica del predominio de esta

distribución gaussiana normal (que debe su

nombre a Carl Friedrich Gauss, uno de los más

grandes matemáticos del siglo diecinueve y de

todos los tiempos). El teorema del límite

central dice que la suma o la media de un gran

conjunto de mediciones siguen una curva

normal, incluso en el caso de que cada

medición por separado no lo haga. ¿Qué

significa esto?

Imaginemos una fabrica que produzca pilas

para juguetes, y supongamos que esta dirigida

por un ingeniero sádico que asegura que

aproximadamente el 30 por ciento de las pilas

se agota en solo cinco minutos, y que el 70 por

ciento restante tiene una duración de unas mil

horas. Esta claro que la distribución de las

vidas de estas bacterias no es descrita por una

curva normal en forma de campana, sino más

bien por una curva en U con dos picos, uno en

los cinco minutos y el otro en las mil horas.

Supongamos ahora que estas pilas salen de la

cadena de montaje ordenadas al azar y se

empaquetan en cajas de treinta y seis. Si

decidimos determinar la vida media de las pilas

de una caja, encontraremos que nos da

aproximadamente 700; pongamos 709. Si

hacemos lo mismo con las pilas de otra caja de

treinta y seis, veremos que da otra vez

aproximadamente 700, quizá 687. De hecho, si

examinamos muchas de estas cajas, la media

de las medias será próxima a 700, y lo que es

mas impresionante, la distribución de dichas

medias será aproximadamente normal (en

forma de campana), con la proporción justa de

paquetes con vidas medias entre 680 y 700, o

entre 700 y 720, etcétera.

El teorema del limite central dice que, bajo una

amplia variedad de circunstancias, siempre

ocurre esto: las medias y las sumas de

cantidades que no están distribuidas

normalmente siguen sin embargo una

distribución normal.

La distribución normal también aparece en los

procesos de medida. Aquí el teorema nos

proporciona la justificación teórica del hecho de

que las medidas de cualquier cantidad tienden

a seguir una <<curva de error» normal en

forma de campana centrada en el verdadero

valor de la cantidad que estamos midiendo.

Entre otras cantidades que tienden a seguir

una distribución normal tenemos: los pesos y

estaturas para una edad determinada, el

consumo de agua de una ciudad en un día

dado, el grosor de unas piezas mecanizadas, el

CI (independientemente de lo que este

signifique), el n6mero de ingresos en un gran

hospital en un día dado, ]as distancias de los

dardos al blanco, el tamaño de las hojas, el

tamaño del pecho, o la cantidad de refresco

servida por una maquina de venta automática.

Todas estas cantidades pueden considerarse

como suma o media de muchos factores

(genéticos, físicos, o sociales) y por tanto el

teorema del limite central explica su

distribución normal.

Resumiendo: Las medias (o las sumas) de

cantidades tienden a seguir una distribución

normal, aun cuando las cantidades de las que

son media (o soma) no la sigan.

CORRELACIÓN Y CAUSALIDAD

Correlación y causalidad son dos palabras con

significados completamente distintos, pero los

anumericos tienen una tendencia muy fuerte a


359

confundirlas. Es muy frecuente que dos

cantidades estén correlacionadas sin que una

sea la causa de la otra.

Un modo bastante común de que esto pueda

ocurrir es que los cambios en ambas

cantidades sean consecuencia de un tercer

factor. Tenemos un ejemplo, bien conocido en

la correlación moderada entre el consumo de

leche y la incidencia del cáncer en distintas

sociedades. La explicación de la correlación

probablemente este en la prosperidad relativa

de dichas sociedades, que comporte tanto un

mayor consumo de leche como mas cáncer

debido a una mayor longevidad. De hecho,

cualquier practica saludable, coma beber leche,

que tenga una correlación positiva con la

longevidad probablemente la tenga también)

con la incidencia del cáncer.

En varias regiones del país hay una pequeña

correlación negativa entre las defunciones por

cada mil habitantes y las tasas de divorcio por

cada cien matrimonios. A mas divorcio, menos

mortalidad. Aquí también un tercer factor, la

distribución de edad de las distintas regiones,

nos puede apuntar una explicación. Las parejas

casadas de personas mayores tienen una

probabilidad menor de divorciarse y una

probabilidad mayor de morir que las parejas de

jóvenes. De hecho, como el divorcio es una

experiencia tan desgarradora y produce tanta

tensión nerviosa, probablemente comporte un

aumento del riesgo de muerte, con lo que en

realidad ocurre algo completamente distinto de

lo sugerido por esa correlación engañosa. Otro

ejemplo en el que correlación se ha confundido

con causa: en las islas Nuevas Hebridas, los

piojos eran considerados causa de buena

salud. Como muchas otras observaciones

populares, esta se apoyaba en evidencias

sólidas. Cuando la gente se ponía enferma, le

subía la temperatura y esto hacia que los

piojos buscaran un huésped más acogedor. Los

piojos y la buena salud se marchaban con la

llegada de la fiebre. Análogamente, la

correlación entre la calidad de los programas

de guarderías de un estado y la tasa de

denuncias de abusos sexuales infantiles no es

ciertamente causal, sino que simplemente

indica que cuanto mejor es la supervisión, mas

diligentemente se denuncian unos incidentes

que indudablemente ocurren.

Algunas veces dos cantidades correlacionadas

tienen también una relación causal, pero esta

es enmascarada por otros factores extraños.

Una correlación negativa -por ejemplo, entre el

grado académico alcanzado por una persona

(licenciatura, master o doctorado) y su primer

salario- se puede entender si se tiene en

cuenta el factor enmascarante de las distintas

clases de empleos. Es más probable que un

doctor acepte un empleo académico

relativamente mal pagado que personas con

una licenciatura o un master, que seguramente

irán a trabajar a la industria. De ahí que un

grado académico más alto y este último factor

expliquen que el primer salario sea inferior.

Fumar es, sin la menor duda, una causa

importante que contribuye al cáncer y a las

enfermedades de pulmón y corazón, pero hay

factores encubridores relacionados con el modo

de vida y el entorno que enmascararon

parcialmente este hecho durante algunos años.

Hay una pequeña correlación entre el hecho de

que una mujer sea soltera y el haber ido a la

universidad. Sin embargo, hay muchos

factores enmascarantes, y no esta claro-si hay

alguna relación causal entre ambos fenómenos

y, de haberla, cual de ellos es la causa y cual

el efecto. Podría ser que la tendencia de una

mujer a la «soltería o sea una causa que

contribuye a que vaya a la universidad, en vez

de lo contrario. A propósito, en cierta ocasión

Newsweek publico que las probabilidades que

tenia de casarse una mujer universitaria,

soltera y con mas de treinta y cinco años, eran

menores que las de ser asesinada por un


360

terrorista. Probablemente la observación era

una hipérbole intencionada, pero la he oído

también citada como una realidad por algunas

personas que trabajan en los medios

informativos. Si existiera el premio al

Anumerismo del ano», la afirmación anterior

seria una firme candidata.

Finalmente, hay muchas correlaciones

puramente accidentales. Los estudios que dan

pequeñas correlaciones no nulas, lo que en

realidad están dando en muchos casos son

fluctuaciones del azar, y son poco más o

menos tan significativas. Como el hecho de

haber lanzado una moneda cincuenta veces y

que no hayan salido exactamente veinticinco

caras. Gran parte de la investigación que se

hace en el campo de las ciencias sociales no

es, en realidad, más que una recopilación

estupida de datos irrelevantes de este estilo. Si

la propiedad X (por ejemplo, el sentido del

humor) se define así (numero de risas

provocadas por una serie de chistes) y la

propiedad Y (por ejemplo, el amor propio) se

define asa (numero de respuestas afirmativas

a una lista de rasgos positivos), entonces el

coeficiente de correlación entre el sentido del

humor v el amor propio es 0,217. Paparruchas.

La regresión lineal, que tiene por objeto

relacionar los valores de la cantidad X con Los

de la cantidad Y, es una herramienta muy

importante en estadística, pero frecuentemente

se emplea mal.

Demasiado a menudo se obtienen resultados

como los vistos en los ejemplos anteriores o

algo por el estilo de Y = 2,3 X + R, donde R es

una cantidad aleatoria con una variabilidad tan

grande corno para abrumar la supuesta

relación entre X e Y.

Tales estudios defectuosos constituyen

frecuentemente la base de los tests

psicotécnicos para la prospección de empleo,

las tarifas de las pólizas de seguros o el interés

de up crédito. Uno puede ser un buen

empleado, merecer primas bajas o ser digno

de un crédito a bajo interés, pero si de algún

modo se nota que no hay correlativos, lo

tendra también difícil.

Bena Ruiz, Julián (1 999), "Sistemas de datos en el

currículo", en Uno. Revista de didáctica de las

matemáticas, num. 20, abril, España (s/ed.), pp. 9-

24.

SISTEMAS DE DATOS EN EL CURRÍCULO

El articulo trata sobre las primeras fases de la

investigación estadística en la escuela

enfatizando su importancia educativa y so

dimensión matemático. Se hace un recorrido

par diferentes contenidos matemáticos

relacionados con el tratamiento de la

información, presentando la elaboración y use

de sistemas de datos coma uno estrategia

metodológica e interdisciplinar. Los de

reflexión, opiniones y sugerencias van dirigidas

a abordar desde las matemáticas escolares a la

obtención, organización y utilización de datos a

como parte diferenciora del currículo, sobre

todo aquellas experiencias que no tienen

cabida en lo que habitualmente llamamos libro

de texto. No se abogo par un estudio especifico

pero se abordan los bases y sistemas de datos

como ejes integradores y transversales que

conectan diferentes contenidos y materias.

DATA SYSTEMS IN THE CURRICULUM

This article looks at the first stages in

statistical research in schools emphostsing the

educational importance and the mathematical

dimension of this. It reviews the different

mathematical contents related to the treatment

of information, presenting the elaboration and

use of data systems as a methodologicol and

interdisciplinary strategy. The areas of


361

reflection, opinion and suggestion ore aimed at

ithe obtaining, organising and use of do to-

from a school moths point of view as a special

port of the curriculum, specially these onus

that are not usually found in textbooks. The

study doesn't pretend to be specific but rather

it looks at the bases and data systems as

integrating axis that connect different contents

and materials.

La introducción del estilo heurístico haría tan largos

los libros de texto que nunca podrían leerse hasta el

final.

La respuesta a este argumento pedestre es

intentémoslo.

I.Lakatos

LOS DATOS ELEMENTALES BÁSICOS DE

INFORMACIÓN

Me gustaría empezar distinguiendo algunos

significados del termino información*. No estoy

de acuerdo con quienes piensan que todo es

información. Una cosa parece clara: la

información es un producto humano y la

podemos situar dentro de lo artificial. El mundo

natural, en todas sus manifestaciones y sus

seres no contiene información. Es el hombre al

discriminar relacionar, abstraer y generalizar

en sus observaciones y sus contactos

sensoriales con el mundo exterior, quien

genera conocimientos sobre ellos y lo expresa

o registra a través de informaciones que le

sirven para comunicarse con los demos. Así

pues, los procesos de generación de

información también están vinculados a los de

9 Una Revista de didáctica de las matemáticas * n.

20 * pp. 9-74 * abril 1999

conceptualización y discriminación. De esta

forma surgen las primeras informaciones o

datos de los objetos: su nombre, tamaño,

color... A medida que la inteligencia del niño se

desarrolla aumentan las discriminaciones y

categorías con las que clasifica y designa los

objetos que percibe. La información, por tanto,

esta llegada al propio proceso de conocimiento

en el que están presentes la discriminación y

generalización.

7ampoco es admisible que toda producción

lingüística (oral o escrita) sea información. Por

ejemplo, una guía telefónica y un libro de

poemas. Casi todo lo que contiene la guía de

teléfonos es información, en cambio el libro de

poemas prácticamente no tiene información, el

contenido de un poema no es de tipo

informativo. En mi opinión, la información es

además un producto elaborado con una

intención concreta. La guía de teléfonos se ha

hecho con intención de informar mientras que

el poeta no se ha preocupado de informar

aunque si comunicar, ¡que no es lo mismo!

Cabe también otra interpretación: de un

poema podemos sacar información: el tipo de

rima, el tipo de estrofas, el numero de silabas

de cada verso..., pero estos datos no forman

parte del contenido del poema.

En resumen, la información en sus diferentes

soportes es un producto de la inteligencia

humana elaborado con la intención concreta

de dar a conocer una característica, hecho o

circunstancia relativa a un individuo,

acontecimiento o circunstancia. El ejemplo mas

claro de Información lo constituyen los datos

(numéricos o no). El termino dato no figura

habitualmente en los diccionarios de

matemáticas. En aquellos donde aparece tiene

el significado de producto o resultado de una

observación o medición que se realiza sobre un

objeto de estudio que puede ser concreto,

abstracto, o referirse a un hecho, fenómeno o

acontecimiento. Los datos son elementos

básicos de información y corresponden siempre

a atributos o características de determinados

individuos a los que habitualmente nos


362

referimos con el nombre de unidades o ele-

mentos de una población.

Una de las características de la era de la

información y la comunicación que vive nuestra

sociedad occidental es el vertiginoso ritmo de

producción y difusión de información. Incluso

podemos hablar de invasión informativa.

Continuamente nos llega más información de la

que podemos asimilar. A diario tenemos que

manejar y procesar con rapidez multitud de

datos para tomar decisiones, sin embargo, no

siempre disponemos de las herramientas y

conocimientos necesarios para conseguir

determinadas informaciones de interés o tomar

de decisiones. Para comprarme un ordenador,

un equipo de música o un coche utilizo los

datos que el vendedor me ofrece sobre el

producto, o tengo la suficiente capacidad para

definir, a partir de los motivos de la compra,

las cualidades que no figuran en la publicidad,

busco los datos que me faltan y decido en

consecuencia?


20 * pp. 9-74 * abril 1999

La adquisición y asimilación de los elementos

de nuestra cultura pasa también por una

formación a lo largo de todas las etapas

educativas en el tratamiento de la información

y so manejo mediante nuevas tecnologías,

especialmente en las habilidades para la

definición de los objetivos de un estudio y la

elaboración , organización y tratamiento do

datos. Es evidente que la mejor herramienta

para la supervivencia del ciudadano del futuro

es una mente bien organizada que disponga de

métodos para generar, representar,

almacenar, transmitir y acceder a la

información.

Estas destrezas son imprescindibles para

desenvolverse ante la cantidad de información

y las diversas y variadas formas en que se pre-

senta y se presentara. La relevancia de estas

capacidades nos lleva también a los

educadores a incluirlas dentro de las metas del

currículo. Principalmente considerar como

objetivo que ayude a comprender el mundo

actual, que los alumnos sepan cómo acceder,

comprender, analizar e interpretar la

información. En la educación escolar (desde la

escuela infantil hasta la universidad) alcanzar

esta meta es algo gradual, comienza pero

nunca acaba, pues siempre podemos acceder a

formas mas complejas de analizar y dar

significado a la información. Estas ideas se

ponen de manifiesto en los decretos de

enseñanza derivados de la LOGSE: sin

embargo, se necesitan respuestas concretas en

cada área en forma de actividades que pongan

en juego estas habilidades. Si no se ofrecen

situaciones de aprendizaje apropiadas desde la

escuela, no se aprenderán por arte de magia.

Antes de definir posibles actividades donde los

alumnos y alumnas planteen preguntas y

resuelvan problemas que se apoyen en la

observación, búsqueda, selección, recogida,

organización, registro, reducción e

interpretación de datos múltiples y diferentes,

conviene acotar previamente líneas de

intervención conjunta para contribuir desde

las matemáticas a que los estudiantes tengan

capacidad para desenvolverse con soltura ante

esta progresiva contaminación informativa en

la que vivimos inmersos.

Hace ocho o diez años, de acuerdo con los

programas vigentes, la mayoría de ejercicios

de los libros de texto de matemáticas

relacionados con el tratamiento de la

información, se consideraban principalmente

dentro de la estadística, a partir de datos o

tablas dados de antemano. Casi todo se

reducía al estudio de variables cuantitativas y

al cálculo e interpretación de parámetros:

media, moda, desviación típica, etc. dejando


363

de lado cuestiones básicas previas.


20 * pp. 9-74 • abril 1999

De acuerdo con los actuales decretos de

enseñanza y con distintos informes sobre

educación matemática, es necesario incorporar

nuevos contenidos propios: procesos de

análisis y formulación critica de preguntas

referidas a poblaciones y colectivos, definición

de las variables, de las unidades de estudio,

consulta de fuentes, técnicas y destrezas de

extracción de información, búsquedas,

interacción con sistemas de datos, elaboración

de bases de datos y so utilización critica en

tareas de recuento y resumen de datos.

Se trata de contenidos integrados en los

nuevos currículos de educación secundaria

dentro del bloque interpretación,

representación y tratamiento de la información

entre los que se encuentran, además de los

citados, otras destrezas y contenidos útiles:

recogida de datos, los diseños y planificaciones

de recogida de información relevante en fun-

ción del tipo de fuente, la valoración de

ventajas y peligros de los sistemas de datos, y

un largo etcétera que constituiría un núcleo de

destrezas y cualidades previas a (o integradas

en) la denominada formación estadística, y que

serán los cimientos de esa formación.

Tradicionalmente el cálculo -aritmético,

algebraico, vectorial, diferencial o integral- ha

demandado coordinaciones entre los

profesores de matemáticas y de otras

materias, principalmente tos de física. De

forma similar los contenidos de estadística

reclaman el contacto entre las matemáticas y

otras áreas, en especial las ciencias de la

naturaleza y las ciencias sociales, que también

incorporan sus métodos a la resolución de

múltiples problemas y comparten diversos

contenidos, en su mayoría técnicas

instrumentales no exclusivos de las

matemáticas. Parece obvio que la formación en

esta parcela es interdisciplinar y compete

directamente a las áreas y materias que

utilizan la estadística en la resolución de

problemas. Estos saberes metodológicos o

procedimentales se adquieren participando

activamente en las distintas fases y etapas. Por

este motivo la enseñanza de la estadística

debería ser enfocada basándose en trabajos

que impliquen a los alumnos y alumnas en el

proceso completo: desde la formulación y

refinamiento de preguntas, la elaboración de

instrumentos de recogida de datos, hasta la

elaboración de tablas y resúmenes, la

interpretación de parámetros y la comunicación

de los resultados. Sin olvidar la tecnología que

también tiene reservado so papel dentro de las

actividades cuando sea apropiada.

¿En que aspectos concretos las diferentes

áreas deben contribuir a la formación

estadística de los estudiantes? Ante una

cuestión tan importante como la definición de

objetivos y la selección de contenidos con

vistas a que el alumnado estudie métodos que

le faciliten el acceso racional a la información y

le permitan interpretarlo adecuadamente, las

matemáticas están obligadas a dar una

respuesta que contribuya en un gran objetivo

general de la educación básica.


20 * pp. 9-74 * abril 1999

Es un error pensar que, únicamente teniendo

en cuenta aisladamente los objetivos de cada

área, de manera milagrosa se consiguen metas

generales como esta. Reconozco que el

problema no tiene fácil solución pero observo

un camino plausible en el dialogo

interdisciplinar, y so respuesta expresada en el

proyecto curricular. Por ejemplo, si el profesor

o profesora de matemáticas se esfuerza en sus


364

clases por demostrar a los estudiantes las

ventajas de disponer de técnicas de análisis de

datos en el estudio de las ciencias sociales y el

profesor de sociales no le dan importancia a

estos métodos, o al contrario, si desde las

sociales se destaca el interés de las

matemáticas que están presentes en

investigaciones de las ciencias humanas y el

profesorado de matemáticas ni los menciona

en sus clases, el alumnado terminara pensando

que las afirmaciones de algunos de sus

profesores no eran muy sinceras.

Para precisar y concretar un poco mas esta

parte del currículo presente en los objetivos

generales y en la mayoría de áreas de la

educación obligatoria, voy a referirme a los

sistemas de datos como contexto donde llevar

a cabo la acción didáctica y punto de referencia

para dirigir las intervenciones, con una

presencia muy especifica de las matemáticas.

Independientemente del número de áreas

interesadas en abordar conjuntamente estas

técnicas, la organización de datos se integraría

dentro de las matemáticas a través de los

siguientes contenidos:

Preguntas y problemas que se

resuelven con un estudio estadístico.

Asignación de atributos.

Determinación de variables y

categorías.

Búsqueda de información. Consulta de

fuentes.

Estrategias de recuento. Tabulación.

Organización y estructuración de

datos. Tablas de datos. Bases de

datos.

Ordenación y clasificación.

Diseño de encuestas. Elaboración de

cuestionarios.

Obtención de datos de forma

individual y colectiva utilizando

diferentes fuentes y recursos.

Organización y estructuración de

datos utilizando diferentes es-

trategias de recuento.

Usos a interpretación critica del

lenguaje de las tablas y las graficas

Estadisticas.

Elección, cálculo e interpretación de

parámetros centrales y de dispersión.

Valoración de la incidencia de medios

tecnológicos en el tratamiento y

representación de la información.

Investigación de fenómenos aleatorios

y relaciones entre magnitudes,

formulación y comprobación de

conjeturas.

Utilización de la probabilidad para

detectar errores en la interpretación

del azar y para tomar decisiones en

distintas situaciones.

Interpretación de datos relativos a

una muestra estadística teniendo en

cuenta su representatividad.


20 * pp. 9-74 * abril 1999

En la enseñanza secundaria, la estadística

empieza cuando están definidas las variables,

la población y tenemos recogidos los datos. De

este modo, el aprendiz no participa en las

fases más importantes: la definición del

problema, delimitación de la población,

determinación de variables, recogida de datos

y registro de los mismos. Desde la educación

estadística se deberían considerar actividades

que partan de problemas y preguntas. Muchas

razones hay para defender este argumento.

Unas son de tipo normativo: constituyen

contenidos de los nuevos currículos de la

educación obligatoria. Y otras son de sentido

común: recientemente, determinados

especialistas en estadística están reconociendo

que la gran dificultad de los investigadores

universitarios -muchos de ellos licenciados en


365

matemáticas- es precisamente definir de forma

adecuada sus unidades de análisis y variables.

He aquí otro argumento que reclama el

encuentro, desde los primeros años, de los

alumnos con los sistemas de datos reales como

comienzo de la educación estadística.

Asumir estas premisas supone establecer

metodologías apropiadas, nuevas formas de

organizar los contenidos y la propia clase. Mi

experiencia, Las discusiones con colegas y las

lecturas sobre el tema me llevan a crecer

firmemente que la realización de

investigaciones relacionadas con la estadística

por parte de los estudiantes, son fructíferas en

la medida que estén conectadas con sus

intereses y el entorno donde viven y que

recorran todas las fases, desde la definición

del problema hasta la redacción y

presentación de conclusiones. Y considero que

son más viables a través de proyectos de

trabajo.

Proyectos para la vida y par la vida que surjan

de autenticas necesidades y mantengan un

dialogo con el media. El método de proyectos

es una técnica clásica, introducida en EE.UU.

durante 10 años veinte par seguidores de J.

Dewey, que podemos encontrar en cualquier

manual de pedagogía. A pesar de sus claras

ventajas para el aprendizaje, tiene escasa

acogida en España -al menos que yo sepa- por

parte de los profesores de matemáticas de

secundaria.

De todos modos, siempre cabe la posibilidad

de diseñar unidades didácticas donde tengan

presencia todos los pasos de una investigación

utilizando colecciones y ficheros como

sustitutos didácticos artificiales de una

población a estudiar, distinguiendo, eso si, las

unidades de estudio de sus representaciones

mediante las fichas.


20 * pp. 9-74 * abril 1999

Independientemente de cómo se trabaje, con o

sin proyectos, y de dónde se trabaje, dentro o

fuera del aula, las primeras fases de una inves-

tigación o Indagación que utilice técnicas

estadísticas se nutre de conocimientos

instrumentales básicos y conceptos

matemáticos y a la par incide en su desarrollo.

De ellos se ocupan los siguientes apartados del

artículo.

En los procesos de clasificación se definen

variables, se generan datos y se utilizan

categorías en un sentido lógico y excluyente. El

trabajo y las actividades de clasificación están

presentes en todas las disciplinas y facetas de

la vida. Cuando en clase de matemáticas

detectamos deficiencias en este ámbito, dentro

de la formación del alumnado, cuando

percibimos que estas técnicas elementales de

clasificación no se han trabajado en la medida

de lo deseable, sentimos la obligación de favo-

recer el razonamiento lógico a través de la

clasificación -o relaciones de equivalencia que

vienen a ser lo mismo- y reconocemos en ellas

el verdadero punto de partida. Desde las

matemáticas, antes de entrar de lleno a

estudiar temas propios de otras materias

(como ciencias de la naturaleza o sociales), es

menos complicado trabajar estos contenidos

mediante situaciones ideadas ad hoc que serán

mas o menos interdisciplinares en función de

las relaciones e intereses del profesorado de

cada centro. De entre las múltiples actividades

que podríamos introducir citare dos ejemplos:

juegos lógicos y una dinámica de grupos.

JUEGOS LÓGICOS

Se trata de adaptar ciertas aplicaciones de los

bloques lógicos de Dienes a cualquier nivel

educativo. Los bloques lógicos más conocido en

educación primaria son una colección de 48

objetos físicos -figuras de madera con cuatro


366

atributos cada uno: nombre (cuadrado, circulo,

rectángulo, triángulo); color (rojo, azul,

amarillo); tamaño (grande, pequeño) y grosor

(grueso, fino). No pretendo destacar las

grandes ventajas didácticas de este material -

poco se puede añadir sobre los bloques lógicos

que no este escrito- únicamente deseo

enfatizar su potencialidad en el desarrollo de

capacidades de observación activa, de

clasificación libre o dirigida, de extracción de

datos, conocimientos a partir de los que

edificar el resto de habilidades a las que nos

venimos refiriendo como parte del tratamiento

de la información.


20 * pp. 9-74 * abril 1999

Los juegos de Dienes no solo constituyen, en la

escuela infantil o primaria, los primeros pasos

en la matemática, también debemos caer en la

cuenta de que son además los inicios en el

análisis de datos. Desde el punto de vista del

uso inteligente de características y

clasificaciones de individuos y el manejo de

datos en el razonamiento, convendría

recuperar los juegos lógicos en la escuela. Si

están en desuso en parte es debido al enfoque

ortodoxo de determinadas propuestas que los

asociaron al formalismo y la teoría de

conjuntos y que hoy se ha desterrado del

currículo.

Otra manera de reconsiderar los trabajos de

Dienes consiste en enfocarlos bajo

perspectivas dirigidas a investigar sobre un

colectivo o población, mientras se trabaja el

razonamiento lógico,

sin recurrir necesariamente a la simbología y

representaciones conjuntistas. Se trata de

extender y generalizar las ideas principales,

diseñando, construyendo u adaptando

materiales similares en forma de colecciones

finitas de objetos, fichas o tarjetas, para llevar

también los juegos lógicos a las etapas de

secundaria.

La colección P, compuesta por un numero fijo y

no muy elevado -30 o 40- de unidades

(individuos) cada una de las cuales muestra

una serie de cualidades, atributos que dejan

ver, variables cualitativas o cuantitativas,

directamente o por comparación con el resto.

Para los primeros cursos de primaria podemos

inventar poblaciones artificiales sencillas, o

incluso usar juegos comercializados, cuyos

individuos sean como los de la figura 1.

En el segundo ciclo de primaria se pueden

extender a conjuntos procedentes del entorno

próximo -una colección de animales, plantas,

edificios, pueblos, obras de arte... En la ESO la

complejidad y abstracción de los colectivos

aumentaría pudiendo estudiarse colectivos de

las propias matemáticas recurriendo a las

fracciones o una colección de polígonos o

poliedros... Algunos profesores proponen la

utilización de colecciones de números naturales

para trabajar la factorización.

Muchos juegos se basan en disputas entre dos

jugadores o equipos basadas en preguntas que

solo pueden ser contestadas con si o no.

Cuando un jugador hace una pregunta que el

rival puede contestar, necesariamente esta

haciendo referencia a un variable lógica, o

dicotomica -la que solo admite dos estados.


367

Los jugadores, por tanto, están obligados a

observar detenidamente a los individuos como

elementos del colectivo, y a establecer

relaciones y comparaciones que conducirán a

establecer características, variables, categorías

y a generar información que usara para

formular las preguntas a su rival.

Una gran parte del interés formativo en el ma-

nejo de variables dicotómicas radica en su

presencia creciente en informaciones dirigidas

al consumidor. En la figura 2 tenemos un

ejemplo de estructura informativa basada en

este tipo de variables. Se trata de una etiqueta

de características técnicas que los

hipermercados acostumbran a colocar en los

productos de determinadas secciones.

DINÁMICA DE GRUPOS

En multitud de ocasiones, para distribuir los

alumnos en pequeños grupos de trabajo

necesitamos unos criterios. Relacionar estos

criterios con las clasificaciones es el pretexto y

la intención de esta actividad. Se trata de una

dinámica de grupos que va aplicar a un

profesor norteamericano.

El objetivo principal es que se trabaje la

clasificación libre de manera cooperativa y

consensuada. Los criterios de clasificación que

los alumnos deciden son la base para distribuir

a los propios estudiantes en pequeños grupos

de trabajo. Consiste en repartir a cada alumno

un objeto o ficha y pedirles que busquen a los

compañeros que tengan una ficha u objeto con

algo en común con el que se les ha entregado.

Por ejemplo, en un grupo de educación infantil

repartimos a cada chico o chica una figura. Se

pueden agrupar por el color (tres grupos), por

el grosor (dos grupos), por la forma (cuatro

grupos). Otro ejemplo, repartiendo en un

grupo de ESO, tarjetas con una ecuación, si el

gran grupo decide realizar agrupaciones

atendiendo a tenor la misma solución, es

preciso que previamente, en los diferentes

subgrupos espontáneos, se resuelvan y

compartan tantas ecuaciones como alumnos

participen de la discusión. Un ultimo ejemplo,

si en un grupo de primero de bachillerato de

ciencias o tecnología, dentro del estudio de la

analítica de la recta, repartimos a cada alumno

una tarjeta con la ecuación de un recta los

agrupamientos pueden producirse según sea el

tipo de ecuación (parametricas, continua,

implícita...), Si las rectas tienen la misma

dirección (pendiente), si las rectas coinciden en

un mismo punto, etc. En el intercambio de

información se comparten y repasan todos los

contenidos relacionados con el tema.


20 * pp. 9-74 * abril 1999

Si bien hemos conectado los inicios del análisis

de datos con procesos de clasificación, no

podemos olvidar que los problemas

estadísticos propiamente dichos empiezan con

un problema o pregunta dirigida hacia un

colectivo. El interés que despierte el contenido

de la pregunta, la forma en que esta redactada

y los términos que en ella se utilicen son

determinantes a la hora de elegir las variables

que intervienen en el estudio.

Por ejemplo, si preguntamos por las

preferencias musicales de los alumnos estamos

haciendo referencia a una variable concreta, la

preferencia musical y a unas unidades de


368

análisis, los alumnos del instituto. Si

preguntamos por el numero de alumnos

ecologistas en los centros de la provincia, el

numero de ecologistas será la variable y los

centros de la provincia las unidades. De

manera análoga a los datos se entiende la

noción de variable, en un sentido más amplio

que el numérico, como una propiedad de un

individuo susceptible de adoptar diferentes

nombres o valores. La idea de variable incluye

las denominadas nominales (cualitativas) que

clasifican a los individuos y solo permite

relaciones de igualdad o desigualdad; un caso

particular de estas son las dicotomicas. Cuando

una variable clasifica y ordena a los individuos

recibe el nombre ordinal, por ejemplo una

fecha, una escala cualitativa como las

calificaciones escolares (insuficiente, suficiente,

bien notable y sobresaliente). Las variables

numéricas también conectan estas investiga-

ciones con los números, las magnitudes y las

medidas (muchas propiedades de los objetos

son magnitudes, longitud, peso, anchura...

cuando se había de un colectivo, tenemos una

ocasión para trabajar con magnitudes y cosas

como rapidez, y otras destrezas de las

poblaciones).

Antes de preponer al alumnado una

investigación o actividad, conviene plantear

¿como se decide lo que hay que conocer?

Tengamos presente que el punto de partida de

las verdaderas investigaciones es el

desconocimiento de un tema sobre el que

deseamos profundizar o fundamentar opiniones

y creencias.

Una vez situados son múltiples y diversos los

matices y posibles grados de aproximación. Por

ejemplo, si abordamos vía publicidad en los

periódicos y revista a, las unidades de análisis

pueden ser a los medios de comunicación

escrita o bien a los anuncios que aparecen en

ellos. Supongamos que interesan como

unidades de estudio alas revistas semanales y

mensuales de tirada nacional, ¿que atributos

conviene destacar en relación con nuestro

tema de interés? El tipo de revista, si es sema-

nal, si es especifica de algún sexo, el numero

de paginas, el numero de paginas completas

de publicidad, el numero de paginas completas

de publicidad dedicadas a una misma marca, el

numero de dobles paginas dedicadas a un

anuncio, el numero de tres paginas

consecutivas dedicadas a un anuncio, el

numero de anuncios, la porción total dedicada

a publicidad, etc.


20 * pp. 9-74 * abril 1999

Cuando se analizan las unidades para recoger

los datos surgen nuevas dudas y hay que

volver a clarificar: ¿las paginas de moda se

consideran de publicidad?, ¿contamos también

como paginas los anexos u folletos

independientes que se incluyen?, etc.,

decisiones que hay que ir tomando y

consensuado para que la investigación sea

coherente.

De este modo los estudiantes llegan a toparse

con grandes sorpresas. Por ejemplo, en una

revista femenina de 220 páginas, un alumno

llego a contar 102 páginas de anuncios a toda

página, de las cuales había 5 dobles páginas, 3

triples y ¡hasta una cuádruple! Las

matemáticas, en este tipo de actividades,

ayudan a averiguar que determinados medios

de comunicación escrita contienen el mismo

numero de paginas de publicidad que de

información o que la mayoría de ejemplares

extra que las revistas regalan en verano o por

Navidad son en un 66% anuncios publicitarios,

o por que es cierto el dicho que en

determinadas cadenas de televisión

acostumbran a interrumpir los anuncios con

algún programa.

Cuando las variables proceden de preguntas, o


369

sea cuando los profesores preguntamos con la

intención de obtener variables Estadisticas

ocurren, como es lógico, otros fenómenos

curiosos. Pensamos que a una pregunta

corresponde una variable y resulta que no.

Resulta que surgen multitud de matices, de

posibilidades, de variables posibles... No es lo

mismo pensar en variables, llamémoslas

objetivas, como por ejemplo la fecha de

nacimiento, estatura o peso de una persona

que sus gustos, aficiones o satisfacción. Si por

ejemplo la pregunta se refiere a la satisfacción

escolar de los estudiantes, se aprecia que en la

delimitación de la variable esta también

implícita la forma en que se va a recoger la in-

formación o los datos correspondientes.

Otras cuestiones delicadas que conviene tener

previstas. El refinamiento de preguntas o

procedimiento por el cual una pregunta inicial

se va perfeccionando a lo largo de una

discusión critica. El valor de las hipótesis

cuando las preguntas tratan de relacionar dos

variables (confirmación de hipótesis). Por

ejemplo, si formulamos la hipótesis de que al

grado de satisfacción de los alumnos en el

instituto es mayor a medida que disminuye el

fracaso escolar. Antes de recoger información

sobre ambas variables conviene precisar

definiendo claramente lo que se entiende por

(o mejor que queremos decir con) fracaso

escolares y agrado de satisfacción.

Vivimos inmersos en un mundo de datos,

incluso podemos hablar de contaminación

informativa. Para desenvolvernos en la vida

cotidiana es más importante tener habilidades

para seleccionar, manejar, usar e interpretar

las informaciones, distinguiendo las básicas de

las superfluas y las útiles de las inútiles por

ello es también necesario facilitar a los futuros

ciudadanos buenas herramientas de

intervención ante la información en una doble

vertiente: por un lado, para determinar el

interés y la necesidad de los datos en un

asunto y por otro para disponer de buenas

estrategias de selección y recogida de datos.


20 * pp. 9-74 * abril 1999

Como profesores necesitamos justificar la

recogida y el tratamiento de los datos

.¿obtener datos, para?¿con que tipo de

situaciones debe ponerse en contacto el

alumnado para que verdaderamente sienta la

necesidad de generar y manejar datos ¿desde

luego no tiene sentido la obtención de datos

para ,la recogida debe venir motivada por una

pregunta o un problema diferente informes y

documentos curriculares consideran la recogida

de datos por los propios alumnos como base

del estudio de la estadística considerando el

tipo de datos apropiados ala razones para

recogerlas, los problemas que se plantean al

hacerlo, las formas en que pueden ser

tratados validamente y las conclusiones que

se puedan extraer de ellos, ahora hacen falta

criterios para diseñar las situaciones de

aprendizaje.

La recogida de datos es uno de los primeros

pasos en la realización e investigaciones

estadísticas, pero la selección del tipo de dato

necesario y la elección de la fuente de donde

de obtendrá los mismos y la elaboración del

instrumento, son pasos previos a la recogida

de datos

Normalmente, necesitamos los datos para

saber de los objetos (quiero comprarme un

ordenador, ¿Qué modelo me interesa?, pero

también para saber de los colectivos (¿son

puntuales en su llegada al instituto los

alumnos del centro?). El primer problema me

obliga a obtener datos (en función de mis

necesidades como usuario del ordenador) de

diferentes modelos y marcas, para posterior


370

mente decidirme por uno de ellos en el

segundo el atributo de la población se obtiene

a partir de los datos de sus componentes.

Dentro de la recogida de datos se distinguen

los procedimientos directos de los indirectos

,en los primeros se obtiene información de los

propios individuos las llamadas fuentes

primarias recurriendo a la observación

experimentación, encuesta cuestionada son

contenidos específicos de esta parte el

diseño y el refinamiento de cuestionarios

mediante exploraciones piloto los

procedimientos indirectos recogen datos de

fuente secundarias o colecciones de

información estructurada por ejemplo, se

puede hacer un estudio estadístico de los

alumnos de un centro recurriendo

exclusivamente ala información de secretaria

registro (sistema y bases de datos) para

describir las posibilidades didácticas del trabajo

de otra fase de una investigación, el registro

de los datos, utilizare dos ejemplos.

MATRICES DE DATOS

Aquí solo resumiré una experiencia vivida

dentro del escenario la clase de tercero de

primaria de un colegio de barrio del zaidin

(granda). Los alumnos investigan sobre

preferencias académicas y deportivas con este

fin la profesora había preparado una ficha

cuestionadota véase formato en la figura 3 que

reparte a los alumnos para que rellenen

cuando todos han respondido al cuestionario,

se les propone, en la hora de clase ,que

elaboren individualmente una tabla vacía y

establece un sistema de trabajo en cadena,

cada alumno rellene un renglón, pasa la ficha a

un compañero –siempre mismo-y la recoge de

otro-que tampoco cambia el resultado es un

matriz de datos,¡en veinte minutos cada uno

tenia su tabla de datos en la figura 5 aparece

la tabla de víctor.

Podemos imaginar cómo continúo la historia

que por problemas de espacio no cuento. si

diré que además de Estadisticas (elaboración

de otras tablas y gráficos) las tablas dieron

juego para las actividades de aritmética u

cálculo.

Estas experiencias constituyen uno de los

primeros contactos con los sistemas de datos

.en ellas se trabajan procedimientos para

pasar del fichero (véase figura 4) la tabla de

datos (figura 59 la tabla o matriz también es

una base de datos en sentido amplio en

particular su estructura cumple el requisito

que según la enciclopedia británica caracteriza

a las bases de datos servir para la búsqueda

y recuperación rápida.

Si esto contenidos no se trabajan en los

primeros curiosos los profesores de

secundaria que detecten deficiencias en este

terreno se encontraran ante un dilema: optar

entre proponer en edades de secundaria

actividades propias de niños pequeños o


371

eludirlos .si bien la primera opción, en muchos

casos, esta dando lugar a las famosas criticas

de bajadas de niveles la segunda es peor.

BASES DE DATOS UN ORDENADOR EN

CLASE

para niveles posteriores, a partir del primer

ciclo de ESO, si los alumnos están iniciados en

procesos de registro y familiarizados con las

tablas de datos, se puede incorporar a estas

tareas el uso de ordenadores, lo que ira

preemitiendo a los alumnos manejar

colecciones de datos cada vez mayores los

programas de gestión de bases de datos,

permiten a los estudiantes diseñar su propia

estructura de datos e introducir una gran

cantidad de información que luego puede

ordenar y recuperar siguiendo multitud de

criterios .se profundiza en los diferentes

conceptos estadísticos ,sobre todo en las ideas

de variable estadísticas que se generalizan a

través del concepto de campo y de unidad

estadística ,que viene a representarse con los

registros en el gestor de base de datos

muchas son las actividades que se pueden

proponer para introducir a los alumnos el uso

de software sobre base de datos ,incluso sin

necesidad de utilizar el aula de informática

del instituto, las tareas con base de datos se

presentan a ser trabajos con un solo

ordenador en clase ,es más, algunos de los

ordenadores que se desechan o abandonan

sirven para gestionar bases de datos o

admiten una hoja de calculo que ofrece las

mismas prestaciones.


372

USO DE BASES DE DATOS COMO FUENTES

DE INFORMACIÓN

Otra de las aplicaciones consiste en utilizar el

ordenador para manejar bases de datos

construidas de antemano.

La justificación de los contenidos de este

apartado se apoya en la necesidad del

ciudadano de consultar las bases do datos

mediante el ordenador. Hoy día es corriente

hablar de los discos compactos que contienen

enormes cantidades de datos (desde el

catalogo de una biblioteca, hasta actividades

de ocio, pasando por otros temas de interés)

hablar de Internet donde la navegación -

controlada, racional e inteligente- que tan de

moda se esta poniendo requiere conocimientos

y destrezas en el manejo de las bases de

datos. El orden es necesario par la búsqueda

en una base de datos. Incluso las variables

cualitativas se pueden ordenar, es necesario

ordenarlas para la búsqueda, puesto que

siempre se puede recurrir al orden

alfanumérico. Búsquedas condicurnadas y

tablas de contingencia. Ordenación por

diferentes criterios.

LA TABLA COMO ORGANIZADORA

Mucho se ha escrito del valor que tiene una

tabla a la hora de resumir la información, pero

tal vez no se ponga el énfasis necesario en su

enseñanza.

En un seminario sobre estadística, un grupo de

18 profesores, discutiendo la importancia del

manejo de tablas y los conocimientos del

alumnado sobre su construcción, decidió pasar

una aprueba» para detectar posibles

deficiencias en este sentido. Durante una hora

de ciase se propuso a alumnos de diferentes

niveles -desde 5° de primaria hasta COU- que

contaran en el cuadro (véase figura 6) las

figuras de cada clase y expresaran los

resultados en una tabla.

Constatamos que prácticamente ningún

alumno aplico estrategias de recuento y la

mayoría se equivoco contando. A partir de 14

años, casi todos establecieron correctamente

las dos categorías -tipo de figura, y tipo de

relleno- pero nadie utilizo una tabla de doble

entrada para expresar los resultados. Las

mejores eran simples tablas de frecuencia. Una

tabla» muy original es la de la figura 7.

En multitud de situaciones, la información se

puede resumir en una tabla. Estos ejercicios,

además de desarrollar técnicas de recuento,

obligan a identificar variables y crear una

estructura de resumen utilizando una tabla de

doble entrada.

Los conceptos y procedimientos matemáticos

implicados en el tratamiento de la información,

y en particular en la construcción y manejo de

sistemas de datos, son conocimientos

relevantes y prioritarios en la formación

matemática elemental. Pero difícilmente se

generaliza en la práctica aquello que no cabe

en los libros (para enseriarlo) y lo que no cabe

en los exámenes para evaluarlo. Clasificar,

etiquetar, fichar, reducir datos, separar

unidades, establecer sistemas de categorías,

construir tablas, diseñar encuestas, elaborar

cuestionarios, acceder a la información usando

diversas fuentes de datos (incluyendo las

informáticas), construir y manejar bancos y

bases de datos son saberes que ni caben en los

libros de texto ni sus niveles de conocimiento

pueden entrar en un examen. Si no prosperan

materiales didácticos alternativos que soporten

estas actividades y nuevos instrumentos de

evaluación que destierren como únicos los

exámenes al use o las pruebas de respuesta

única (tipo test) para medir la capacidad de los

estudiantes y a través de ellos la de los

profesores.

Me conformo con que alguna de las propuestas


373

o preguntas anteriores pueda contribuir a

generar opinión sobre el tema, aumentando el

interés por llevar a clase situaciones que den

verdadero sentido a la investigación, o a

suavizar el afán de trabajar la estadística

partiendo de datos que sedan organizados de

antemano.

Julian Baena Ruiz es miembro del grupo

Teseract y asesor de formación permanente.

Centro de Profesorado de Granada. C/ fábrica

Vieja, 1. 18002. TEL.: (958)264871. Línea de

trabajo Organización y desarrollo de la aurícula

mediante proyectos.


20 * pp. 9-74 * abril 1999

presentacion y tratamiento de informacion 31

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