MATEMTICA BSICA

Sesin Nro. 05

APLICACIONES DE ECUACIONES

EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS

Departamento de Ciencias

OBSERVA LAS SIGUIENTES IMGENES

Ley de enfriamiento

Caliente Fro

Antigedad de Restos Fsiles

Inversiones Financieras Niveles de Sonidos

OBSERVA LAS SIGUIENTES IMGENES

Crecimiento Poblacional

Magnitud de un terremoto

Decaimiento Radiactivo

Presin Atmosfrica

RESPONDA LAS SIGUIENTES PREGUNTAS

Qu situacin observamos en cada una de las imgenes?

Qu relacin matemtica podramos establecer despus

de observar las imgenes?

Qu otras situaciones reales pueden ser representadas

por una ecuacin logartmica o exponencial?

MODELO DE APRENDIZAJE

Cuando un estudiante de la UPN se prepara para el examen final de

Matemtica Bsica, adquiere una gran variedad de conocimientos

que le proporcionan los textos y artculos de Pre Clculo, pero semanas despus, del examen final, el porcentaje de conocimientos

que el estudiante es capaz de recordar est dado por el modelo:

Responder:

a) Cul es el porcentaje de

conocimientos que tiene el estudiante

al rendir su examen final?

b)Despus de cuntas semanas su

nivel de conocimientos es de 50%?

=175 + 250.4

1 + 0.4

LOGRO DE SESIN

Al finalizar la sesin el estudiante plantea, resuelve y analiza problemas de contexto real relacionados a la ingeniera y/o a la gestin empresarial haciendo uso de la teora de ecuaciones exponenciales y logartmicas, de forma correcta.

1) Aplicacin 1: Presin atmosfrica.

2) Aplicacin 2: Crecimiento poblacional.

3) Aplicacin 3: Decaimiento radiactivo.

4) Aplicacin 4: Magnitud de un terremoto.

5) Aplicacin 5: Modelo de aprendizaje.

6) Referencias bibliogrficas.

CONTENIDOS

Aplicacin 01: Presin atmosfrica

La presin atmosfrica depende

de la altura, y est dada por la

siguiente frmula:

Donde

Presin atmosfrica

: constantes y : altura con relacin al

nivel del mar

: presin en funcin de la altura

() =

La presin atmosfrica P sobre

un avin disminuye conforme

aumenta la altura. Esta presin

(en milmetros de mercurio), se

relaciona con la altura h (en

kilmetros) sobre el nivel del

mar, mediante la frmula:

= 760 0,145

Cul es la altura del avin,

sobre el nivel del mar, si la

presin atmosfrica es de 320

milmetros de mercurio?

Solucin Por dato, tenemos que la presin

atmosfrica del avin es 320 mm

de Hg, entonces: = 320

Reemplazando en la frmula:

320 = 760 0,145 320

760= 0,145

= 1

0,145ln

8

19

5,97

Rpta. La altura del avin es de aprox. 6 km sobre el nivel del mar

Aplicacin 01: Presin atmosfrica

Una funcin que modela el

nmero () de individuos de una poblacin, al transcurrir un

tiempo , est dada por:

Donde

Crecimiento poblacional

: es el nmero inicial de

individuos ( = 0)

() =

: constante positiva

denominada tasa de

crecimiento

Aplicacin 02: Crecimiento poblacional

Dentro de aos la poblacin de un pas europeo ser de:

() = 50 0,02

a)Cul es la poblacin actual?

b)Dentro de cuntos aos la

poblacin tendr alrededor de

66 000 000 de habitantes?

Solucin a) Evaluar = 0 en la frmula

de (), de donde: (0) = 50

reemplazando en la frmula:

66 = 50 0,02 66

50= 0,02

= 1

0,02ln

33

25 13,9

Rpta. Dentro de aprox. 14 aos

millones de habitantes.

Responder:

Rpta. La poblacin actual es de 50 000 000 de habitantes.

b) Por dato tenemos que: = 66

Aplicacin 02: Crecimiento poblacional

donde 0 es la cantidad de masa inicial del elemento radiactivo

Los elementos radiactivos

tienden a disminuir su masa

conforme transcurre el tiempo.

Sea el tiempo medido en aos y () la cantidad medida en gramos del elemento radiactivo,

entonces dicha cantidad est

dada por el siguiente modelo :

Decaimiento radiactivo

() =

Aplicacin 03: Decaimiento radiactivo

Una sustancia radiactiva se

desintegra siguiendo una

funcin exponencial.

La cantidad inicial de masa es

de 10 gramos, pero despus

de 200 aos la masa se reduce

a 2 gramos.

Calcular la cantidad de masa

despus de 100 aos.

() = 10

Solucin Por dato: 0 = 10, entonces

el modelo est dado por la

frmula:

reemplazando en la frmula:

2 = 10 200 1

5= 200

= 5

200 0,008047

Rpta. Aprox. 4,47 gramos.

Por condicin: (200) = 2,

() = 10 0,008047

(100) = 10 0,008047(100)

Aplicacin 03: Decaimiento radiactivo

Para medir la magnitud de un terremoto se realizan lecturas en un sismgrafo que deben ser representadas en una escala, por

ejemplo: La Escala Richter, cuya magnitud se halla mediante la

siguiente ecuacin :

donde es la intensidad del terremoto e 0 es la intensidad de un terremoto estndar de

referencia.

Magnitud de un terremoto

=

Aplicacin 04: Magnitud de un terremoto

El terremoto de Lima del ao 1940 registr una magnitud de 8,2 en

la escala de Richter Qu tan intenso fue el sismo de Ica del 15 de

Agosto del 2007 (magnitud de 7,9)? Solucin

Por dato: 1940 = 8,2 y 2007 = 7,9 entonces:

2007 1940 = log2007

0 log

19400

7,9 8,2 = log

20071940

20071940

= 100,3 0,501

Rpta. El sismo de 2007 fue aproximadamente la mitad de intenso que el sismo de 1940.

Aplicacin 04: Magnitud de un terremoto

Cuando un estudiante de la UPN se prepara para el examen final de

Matemtica Bsica, adquiere una gran variedad de conocimientos

que le proporcionan los textos y artculos de Pre Clculo, pero semanas despus, del examen final, el porcentaje de conocimientos

que el estudiante es capaz de recordar est dado por el modelo:

Responder:

a) Cul es el porcentaje de

conocimientos que tiene el estudiante

al rendir su examen final?

b)Despus de cuntas semanas su

nivel de conocimientos es de 50%?

=175 + 250.4

1 + 0.4

Aplicacin 05: Modelo de aprendizaje

Solucin a) Al rendir el examen final se considera = 0, entonces:

0 =175 + 250.4(0)

1 + 0.4(0)=

175 + 25

1 + 1= 100

representa el porcentaje pedido.

Rpta. Al rendir su examen final el nivel de conocimientos del

estudiante es del 100%.

b) Por dato = 50, entonces reemplazando en el modelo:

50 =175 + 250.4

1 + 0.4 2 1 + 0.4 = 7 + 0.4

0.4 = 5 =5

0,4 4,02

Rpta. El nivel de conocimientos del estudiante ser del 50%

despus de aproximadamente 4 semanas.

Aplicacin 05: Modelo de aprendizaje

1. Harshbarger, Reynolds. Matemticas Aplicadas. 510 HARS

2. Hoffmann Bradley, Rosen. Clculo Aplicado. 515 HOFF/C.

3. Haeussler, Ernest. Matemticas para Administracin. 510

HAEU/M.

4. Arya, Jagdish. Matemticas Aplicadas. 510 ARYA

5. REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS